Matemática aplicada a Computação - UNIFEB - Centro ...feb.unifeb.edu.br/dmdocuments/apostila-matematica-aplicada.pdf · UNIFEB – Sistemas de Informação Apostila de Matemática

Matemática aplicada a Computação Autor: Prof. Me. Luiz Henrique Morais da Silva

Centro Universitário da Fundação Educacional de Barretos

UNIFEB- Fevereiro 2016

4. FUNÇÕES

4.1 - Definição; Tipos de funções, propriedades;

4.2– Aplicações.

5. DERIVADA

5.1 – Definição, interpretação geométrica, propriedades;

5.2 – Taxa de variação instantânea, aplicações de

derivadas,

6. INTEGRAL

6.1 – Integral indefinida (Primitiva ou anti – derivada de

uma função), Integral de uma função polinomial, técnicas

de integração;

6.2 – Integral definida, Teorema fundamental do cálculo;

6.3 - Aplicações de Integrais.

1. MATRIZES

1.1- Definição e exemplos.

1.2 - Operações com Matrizes.

2. DETERMINANTES

2.1 – Definição, Propriedades de aplicação.

2.2 - Resolução de determinantes de ordem n (Teorema de

Laplace).

3. EQUAÇÕES LINEARES

3.1 - Sistemas de equações lineares – definição;

3.2 - Resolução de sistemas de equações lineares;

3.3 – Escalonamento de sistemas lineares.

UNIFEB – Sistemas de Informação

Apostila de Matemática Aplicada a Computação

Prof. Me. Luiz Henrique Morais da Silva

1

SUMÁRIO

1.ESTUDO DAS MATRIZES ......................................... 4

1.1 MATRIZ “RETANGULAR”. ...................................... 4

1.2 REPRESENTAÇÕES DE UMA MATRIZ. .................. 4

1.2.1 FORMA INDEXADA. ........................................... 4

1.2.2 FORMA MATRICIAL. ........................................... 4

ATIVIDADE 1: ............................................................. 4

1.3 DIAGONAL DE UMA MATRIZ QUADRADA ............. 5

1.4 TRAÇO DE UMA MATRIZ QUADRADA. .................. 5

1.5 MATRIZ TRANSPOSTA (TRANSPOSTA DE UMA

MATRIZ). ..................................................................... 6

ATIVIDADE 2: ............................................................. 6

1.6 MATRIZES COM REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS. . 7

1.7 OPERAÇÕES COM MATRIZES ............................... 9

ATIVIDADE 3: ............................................................11

ATIVIDADE 4: ............................................................13

1.8 INVERSA DE UMA MATRIZ – MATRIZ INVERSA. ..15

ATIVIDADE 5: ............................................................15

1.9. LEITURA COMPLEMENTAR – MATRIZES COM

REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS (SEGUNDA PARTE) .. 16

ATIVIDADE COMPLEMENTAR: .................................. 17

2. ESTUDO DOS DETERMINANTES .......................... 17

2.1.1 TERMO PRINCIPAL. .......................................... 17

2.1.2 TERMO SECUNDÁRIO. ..................................... 17

2.2.1 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA.

................................................................................. 18

2.2.2 NOTAÇÃO DE UM DETERMINANTE. ................. 18

2.3 CÁLCULO DE UM DETERMINANTE DE ORDEM 2.

................................................................................. 19

2.4 CÁLCULO DE UM DETERMINANTE DE ORDEM 3.

................................................................................. 20

ATIVIDADE 6: ............................................................ 22

2.5 CÁLCULO DE UM DETERMINANTE DE ORDEM N (

2n ) ......................................................................... 22

MATRIZ COMPLEMENTAR ......................................... 22

2.6 TEOREMA DE LAPLACE. ..................................... 23

ATIVIDADE 7 ............................................................. 24

2.7 LEITURA COMPLEMENTAR – PROPRIEDADES DOS

DETERMINANTES. .................................................... 25




2

2.8 REGRA PRÁTICA DE CHIÒ. ..................................26

2.9 CÁLCULO DE DETERMINANTE PELAS

OPERAÇÕES ELEMENTARES. ...................................27

ATIVIDADE COMPLEMENTAR ....................................27

2.10 RELAÇÃO ENTRE A MATRIZ INVERSA E OS

DETERMINANTES. .....................................................28

ATIVIDADE 8: ............................................................30

3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. ..................31

3.1 EQUAÇÃO LINEAR. ..............................................31

3.2 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES. ..................31

3.3 FORMA MATRICIAL DE UM SISTEMA DE

EQUAÇÕES LINEARES ..............................................31

(MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR) ....31

3.4 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

QUANTO AO CONJUNTO VERDADE. .........................33

3.5 SISTEMAS LINEARES EQUIVALENTES. ...............35

3.6 SISTEMAS LINEAR HOMOGÊNEO. .......................35

3.7 MÉTODO DE ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA

LINEAR. .....................................................................36

ATIVIDADE 9: ............................................................36

ATIVIDADE COMPLEMENTAR: .................................. 37

RESPOSTAS: ............................................................. 40

4. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO ........... 41

4.1 FUNÇÃO DE A EM B (APLICAÇÃO DE A EM B). ... 41

ATIVIDADE 10 ........................................................... 41

4.1.1 NOTAÇÃO ALGÉBRICA DE UMA FUNÇÃO. ....... 42

4.1.2 GRAFICOS. ....................................................... 42

ATIVIDADE 11 ........................................................... 42

ATIVIDADE 12 ........................................................... 42

4.1.3 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO. ................. 43

1.1.4 CRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO. .................. 43

4.1.5 PARIDADE DE UMA FUNÇÃO. .......................... 44

4.1.6 FUNÇÕES PERIÓDICAS. ................................... 45

4.1.7 FUNÇÃO SOBREJETORA, INJETORA E

BIJETORA. ................................................................ 45

4.1.8 FUNÇÃO INVERSA. ........................................... 45

4.1.9 FUNÇÃO COMPOSTA – COMPOSIÇÃO DE

FUNÇÕES. ................................................................ 46

ATIVIDADE 13 ........................................................... 46

4.2 FUNÇÃO POLINOMIAL. ........................................ 47




3

4.2.1 FUNÇÕES POLINOMIAIS BÁSICAS. ...................47

4.2.2 FUNÇÃO RACIONAL. .........................................47

ATIVIDADE 14 ...........................................................48

5. A DERIVADA. .........................................................49

5.1 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA DERIVADA:

INTRODUÇÃO HISTÓRICA. ........................................49

5.2 A DERIVADA – DEFINIÇÃO. .................................49

5.2.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA.

..................................................................................49

ATIVIDADE 15 ...........................................................52

5.3 TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA: A DERIVADA

..................................................................................52

5.4 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA – REGRA DA

CADEIA. .....................................................................53

ATIVIDADE 16 ...........................................................54

6. INTEGRAL ..............................................................55

6.1 INTEGRAL INDEFINIDA (PRIMITIVA OU ANTI-

DERIVADA) ................................................................55

ATIVIDADE 17 ...........................................................55

ATIVIDADE 18 ...........................................................56

6.2 INTEGRAL E A REGRA DA CADEIA – MÉTODO DE

SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA DE VARIÁVEL PARA

INTEGRAÇÃO. ........................................................... 57

ATIVIDADE 19 ........................................................... 59

6.3 INTEGRAL DEFINIDA .......................................... 59

6.3.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL 61

ATIVIDADE 20 ........................................................... 62

BIBLIOGRAFIAS ........................................................ 62




4

ESTUDO DAS MATRIZES

1.1 Matriz “retangular”.

Definição 1: “Definição formal”

Sejam I = {1, 2, 3, 4,..., m} e j = {1, 2, 3, 4,..., n} com

m,n IN*, dois conjuntos com m e n elementos

respectivamente.

Define-se a função M : I x J A, com A 0 como

sendo uma matriz retangular m x n sobre A.

Nota 1: Se m = n, temos uma matriz quadrada de ordem

n.

Nota 2: Intuitivamente, uma matriz é uma tabela (ou

quadro) com elementos (números, polinômios, funções,...)

dispostos em m linhas por n colunas.

1.2 Representações de uma matriz.

1.2.1 Forma Indexada.

Uma matriz A composta por m linhas e n colunas na

forma indexada é representada por:

1.2.2 Forma matricial.

Uma matriz A composta por m linhas e n colunas na

forma matricial é representada por:

mxnmnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

Atividade 1:

1.Encontar a forma matricial das matrizes abaixo,

representadas na forma indexada.

a. A = (aij)2x3 tal que : aij = i2 - 3j

b. B = (bij)3x3 tal que: bij = jiseji

jiseji

,3

,2




5

1.3 Diagonal de uma matriz quadrada

Diagonal Principal.

Definição 2:

Diagonal principal ou simplesmente diagonal de

uma matriz quadrada (mij) Mn(A) é a família jiiim 1)( .Ou

em outras palavras, uma matriz quadrada A = [aij], de

ordem n, a diagonal principal é constituída pelos

elementos aij, onde i = j.

Exemplo:

Sua diagonal principal é formada pelo

elementos (1 5 9).

Diagonal Secundária.

Definição 3:

A famíli (mij) com i + j = n + 1 é a diagonal secundária

da matriz (mij) Mn(A) .Ou em outras palavras, uma matriz

quadrada A = [aij], de ordem n, a diagonal secundária é

constituída pelos elementos aij, onde i + j = n + 1

Exemplo:

Sua diagonal secundária é formada pelos

elementos (3 5 7).

1.4 Traço de uma matriz quadrada.

Definição 4:

Define-se Traço de uma matriz quadrada A = (aij), de

ordem n, como a soma dos elementos da diagonal

principal, e denota-se pot tr(A).

Exemplo:

tr(A) = 1 + 5 + 9 = 15




6

1.5 Matriz Transposta (transposta de uma matriz).

Definição 5:

A matriz de ordem n x m obtida de uma matriz A, m

x n, mudando-se as linhas pelas colunas, é chamada

transposta de A e denota-se por AT. Ou em outras

palavras, se A = (aij)mxn, então AT = (bij)nxm, onde bij = aji.

Exemplo:

Propriedades:

P1. (AT)T = A.

P2. Sejam A e B matrizes compatíveis para se realizar a

adição (A + B), então: (A + B )T = AT + BT.

P3.(k.A)T = k. AT, onde K C .

P4.Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem,

então (A.B)T = BT.AT.

P5.Se A é uma matriz que admite inversa, então (A-1)T =

(AT)-1.

Atividade 2:

1.Encontar a transposta das matrizes abaixo:

a)

b) B = (bij)2x4, onde bij = ij+4i – 5j (dica : BT = (aij)4x2, onde

aij = ji+4j – 5i)

2. Calcule o traço da matriz do item a) do exercício

anterior.

428765

4321

x

A

24

8

7

6

5

4

3

2

1

x

TA

987

654

321

A




7

1.6 Matrizes com representações especiais.

Matriz Nula (matriz zero).

Definição 6:

Dada uma matriz A = (aij)mxn, a matriz nula é a

matriz onde aij = 0, para todo i e todo j. Ou seja, é uma

matriz que possui todos seus elementos nulos.

Exemplo: 42

0000

0000

x

A

Matriz Linha.

Definição 7:

Define-se uma matriz B = (bij)1xn como uma matriz

linha. Ou seja, a matriz linha é toda matriz do tipo 1 x n.

Exemplo: 41

3412x

B .

Nota 3: A matriz - linha é denominada vetor - linha.

Matriz Coluna.

Definição 8:

Define-se uma matriz C = (cij)mx1 como uma matriz

coluna. Ou seja, a matriz coluna é toda matriz do tipo m x

1.

Exemplo:

142

6

3

1

x

C

Nota 4: A matriz – coluna é denominada vetor - coluna.

Matriz Diagonal.

Definição 9:

A matiz diagonal é uma matriz quadrada de ordem

n (D = [dij]), na qual se ji , então dij = 0.

Exemplo:

33300

020

001

X

D

Matriz Escalar.

Definição 10:

A matriz diagonal que possui os elementos dij iguais

entre si para i = j, é chamada de matriz escalar.

Exemplo:

33300

030

003

X

E




8

Matriz Identidade (unidade).

Definição 11:

A matriz Escalar que possui os elementos dij iguais

entre si para i = j e unitários dij =1, é chamada de matriz

Identidade.

Exemplos:

10

012I ;

100

010

001

3I ...

Matriz Simétrica.

Definição 12:

Uma matriz quadrada A = (aij) de ordem n é

simétrica se, e somente se AT = A.

Exemplos:

375

714

540TAA

Nota 5: Se A = (aij) é uma matriz simétrica, os elementos

dispostos simetricamente em relação diagonal principal

são iguais, ou seja, aij = aji.

Nota 6: O produto de uma matriz quadrada A pela sua

transposta AT é uma matriz simétrica.

Matriz Antissimétrica.

Definição 13:


antissimétrica se, e somente se AT =- A.

Exemplos: AAAA TT

075

704

540

075

704

540

Nota 7: Se A = (aij) é uma matriz antissimétrica, os

elementos dispostos simetricamente em relação diagonal

principal são opostos (iguais em módulo, ou seja diferem

apenas no sinal) e os elementos da diagonal principal são

nulos.

Matriz Ortogonal.

Definição 14:


ortogonal se, e somente se a inversa de uma matriz

coincide com a sua transposta A-1=AT.

Exemplos: 1

2

1

2

32

3

2

1

2

1

2

32

3

2

1

AAA T




9

Matriz Triangular Superior.

Definição 15:

Define-se como uma matriz triangular superior a

matriz quadrada A = [aij], de ordem n, no qual os elementos

aij = 0 para i > j, para todo i e j.

Exemplo:

1000

9800

7650

4321

A

Matriz Triangular Inferior.

Definição 16:

Define-se como uma matriz triangular inferior a

matriz quadrada A = [aij], de ordem n, no qual os

elementos aij = 0 para i < j, para todo i e j.

Exemplo:

1987

0654

0032

0001

A

1.7 Operações com matrizes

Igualdades de matrizes:

Definição 17:

Dados duas matrizes de mesma ordem (m,n) A = (aij)

e B = (bij), dizemos que A = B se, e somente se, aij = bij, para

todo i e j.

Exemplo:

2323

54

32

10

54

32

10

xx

BA

Adições de matrizes:

Definição 18:


e B = (bij), dizemos que a matriz S =(sij) é a matriz que

representa a soma S = A + B, tal que sij = aij + bij.

Exemplo:

2323

45

23

01

54

32

10

xx

BeA

2323232399

55

11

4554

2332

0110

45

23

01

54

32

10

xxxx

SBAS




10

Propriedades:

P1. Associativa: (A + B ) + C = A + (B + C) = A + B + C .

P2. Comutativa: A + B = B + A.

P3. Elemento neutro: A + O = O + A = A.

P4. Lei do corte: A + (-A) = (-A) + A = O.

Matrizes Oposta e a subtração de matrizes:

Definição 19:


e B = (bij), define-se a matriz oposta de A como

sendo a matriz – A = (-aij).

Dizemos então, que a matriz D =(dij) é a matriz que

representa a diferença D = B + (- A) = B - A tal que: dij = bij

+ (-aij) =bij – aij.

Exemplo:

2323

45

23

01

54

32

10

xx

BeA

2323232311

11

11

5445

3223

1001

54

32

10

45

23

01

xxxx

DABD

Multiplicação de um escalar por uma matriz:

Definição 20:

Seja IR , um escalar, e A = [aij]mxn uma matriz de

ordem (m,n), a matriz P = (pij)mxn é a matriz que representa

o produto P = A, tal que: pij = . aij.

Exemplo:

2

54

32

10

23

eA

x

232323108

64

20

5.24.2

3.22.2

1.20.2

54

32

10

2

xxx

PAP

Propriedades:

P1. 1. A =A P2. A)..( = )..( A

P3. AAA ..).( P4. BABA ..).(




11

Atividade 3:

1. Quais os valores de x e y reais que satisfazem:

1

2

1

3

x

y, sendo U = IR2.

2. Determine x, y e z reais, sabendo que a matriz a seguir

é antissimétrica:

043

402

zyx

3.Sendo

920

531A e

752

614B , obtenha:

a. 2A + 3B b. 3B – 2A

4. Sendo

43

21A e

87

65B , resolva a equação

matricial: 2X – A = B. 5. Considere as matrizes A = (aij)3x2

e B = (bij)3x2 dadas por: aij =i – 2j +3 e bij = 3i –j -1.

Obtenha:

a) a matriz C tal que eu C = A + B. b) a matriz D tal

que D = B – A

Multiplicação de matrizes.

Definição 21:

1ª. Parte: Define-se o produto A.B de duas matrizes A e B

nesta ordem, se, e somente se, A é do tipo nm e B é do

tipo pn ; ou seja, a multiplicação de duas matrizes existe,

se, e somente se o número de colunas da primeira matriz

(no caso a matriz A) é igual ao número de linhas da

segunda matriz (no caso a matriz B).

2ª. Parte: A matriz P = (pij)mxp é a matriz que representa

o produto A.B (P = A.B) caso exista, ou seja, o produto de

A.B, definido nesta ordem, terá m linhas (número de

linhas da 1ª. matriz, A) por p colunas (número de colunas

da 2º matriz, B).

pnijnmij bBeaABA

)(

pnijnmij

pmij

bBeaA

pPBAPBA

)(.)(




12

3ª. Parte: Para calcular o elementos pij da matriz produto

P = (pij)mxp, onde P =A.B, tomamos a linha i da matriz A e

a coluna j da matriz B e fazemos ai1.b1j + ai2.b2j + a13.b3j

+ ... + ain.bnj, ou seja, tomamos o 1º elemento da linha i e

multiplicamos pelo 1º elemento da coluna j, tomamos o

2º elemento da linha i e multiplicamos pelo 2º elemento

da coluna j, tomamos o 3º elemento da linha i e

multiplicamos pelo 3º elemento da coluna j, e assim

sucessivamente, somamos então estas parcelas e

obtemos pij.

Exemplo:

23

32 00

09

87

654

321

BeA

1ª. parte: Como o número de colunas da primeira matriz

é igual ao número de linhas da segunda matriz, a

multiplicação A.B é possível.

2ª. parte a matriz P, que representa A.B, é uma matriz 2

x 2, ou seja, o número de linha da 1ª. matriz pelo número

de colunas da segunda matriz.

3ª. parte: Calculo de P = (pij)2x2 , sendo P = A x B:

2221

1211

pp

ppP

p11 = (1 x 7) + (2 x 9) + (3 x 0) = 7 + 18 + 0 = 25

p12 = (1 x 8) + (2 x 0) + (3 x 0) = 8 + 0 + 0 = 8

p21 = (4 x 7) + (5 x 9) + (6 x 0) = 28 + 45 + 0 = 73

p22 = (4 x 8) + (5 x 0) + (6 x 0) = 32 + 0 + 0 = 32

23

32 00

09

87

654

321

BA

23

32 00

09

87

654

321

BA

23

32 00

09

87

654

321

BA

23

32 00

09

87

654

321

BA




13

3273

825P

Propriedades:

P1. Associativa: Se A, B e C são matrizes compatíveis para a

multiplicação, então: A.B.C = (A.B).C = A.(B.C).

P2. Distributiva: Se A e B + C, são matrizes compatíveis

para a multiplicação, então: A.(B + C) = A.B + A.C.

P3. Se A é uma matriz do tipo nm , então: A.In = Im.A = A,

onde In é a matriz identidade de ordem n, Im é uma matriz

identidade de ordem m.

Nota 8: Na maior parte das vezes a propriedade comutava

não é válida, ou seja: ABBA .

Potência de matrizes quadradas – Expoentes não

negativos

Definição 22:

Se A é uma matriz quadrada de ordem m,

definimos: 1,.

0,

1

nseAA

nseIA

nn

mn

Potência de matrizes quadradas – Expoentes não

negativos

Definição 23:

Se A é uma matriz quadrada de ordem m, e n < 0

definimos: nn AA )( 1, onde A-1 é a matriz inversa de A.

Atividade 4:

1.Calcule o produto das matrizes a seguir:

a)

1

3

4

5

.3012 b)

110

987.

65

43

21

2.Determine o valor de x, sabendo que o produto das

matrizes

10

21

31

2e

xé uma matriz simétrica.




14

3.Determine os valores de x e y na equação matricial:

7

1.

21

34

y

x.

4. Sendo

10

11A , calcule:

a) A2 b) A3 c) A4 d)

A20

5. Uma construtora recebe encomenda do governo para

fazer o arcabouço de três tipos de edifícios: escolas,

hospitais e teatros. As matérias primas a serem utilizadas

são: ferro, cimento, madeira, areia mais a mão de obra. A

matriz a seguir representa a quantidade de cada uma

destas matérias primas que serão utilizadas em cada tipo

de obra.

Perceba que cada linha indica a matéria – prima de

que se necessita em cada tipo de obra e cada coluna da

matriz indica as quantidades de cada matéria - prima que

participam na construção de cada tipo de edifício.

Suponhamos agora que a encomenda tenha sido

feita para 7 escolas, 5 hospitais e 2 teatros, na forma de

matriz temos A = (7 5 2). Calcule o quanto a construtora

vai gastar em material. (Dica: o gasto da construtora será

produto P = A.B).




15

1.8 Inversa de uma matriz – Matriz Inversa.

Definição 24:

Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem

tais que A.B = B.A = I, dizemos que A é inversa de B

e B é inversa de A.

Denota-se A = B-1 e B = A-1.

Propriedades:

Se A e B são matrizes que admitem inversa, então:

P1. (A-1)-1= A.

P2. (A-.B)-1 = B-1 . A-1.

P3. .0)det(;)det(

)(1 AA

AAdjA

Exemplo:

43

21A

10

01

43

21. 2

1 IAA

Faremos então uso de operações elementares para

o cálculo da inversa da matriz A.

1º multiplicando a 1ª linha por -3 e somando com a

2ª linha, temos uma nova 2ª. linha.

13

01

20

21

10

01

43

21221.3 lll

2º Multiplicando a nova segunda linha por -1/2.

2

1

2

301

10

21

13

01

20

21 2.2

1

l

3º Multiplicando a 2ª linha por -2 e somando a 1ª

linha, temos:

2

1

2

312

10

01

2

1

2

301

10

21112.2 lll

2

1

2

312

1A

Atividade 5:

1. Obter a inversa das matrizes:

a)

14

32A b)

080

320

641

B




16

1.9. Leitura complementar – Matrizes com

representações especiais (Segunda parte)

Matriz Periódica.

Definição 25:

Seja uma matriz quadrada A, diz-se que A é uma

matriz periódica se, e somente se, An = A, para 2n .

Nota 9: Se n é o menor inteiro para o qual An =A, então o

período da matriz A é n – 1.

Exemplo: A matriz identidade de ordem n é periódica.

2

32

10

01

10

01

10

01IAAAA n

Matriz Idempotente.

Definição 26:

Dada uma matriz periódica A, tal que A2 = A, diz-se

que A é uma matriz idempotente.

Nota 10: O período de uma matriz idempotente é 2 -1 =1.

Exemplo:

2

455

343

112

BB

455

343

112

Obs1: se A2 = A, então A3 = A4 = A5 = ... = An =A.

Matriz Nihilpotente.

Definição 27:

Dada uma matriz quadrada A, se existir um número

INm , tal que Am = 0, diz –se que A é uma matriz

nihilpotente.

Nota 11: Se m é o menor inteiro positivo tal que Am = 0,

diz-se que a matriz A é nihilpotente de “índice” m.

Exemplo1:

444

333

111

C

000

000

0002C

A matriz C é nihilpotente de índice 2.

Obs2: se A2 = 0, então A3 = A4 = A5 = ... = An =0.




17

Exemplo 2:

312

625

311

D

311

933

0002D

000

000

00023 DDD

A matriz C é nihilpotente de índice 3.

Obs3: se A3 = 0, então A4 = A5 = A6 = ... = An =0.

Atividade complementar:

Com os devidos cálculos, utilizando a multiplicação

de matrizes, prove o exemplo da matriz idempotente e os

dois exemplos da matriz nihilpotente.

2. ESTUDO DOS DETERMINANTES

2.1.1 Termo Principal.

Definição 27:

Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, o

produto dos elementos da diagonal principal é chamado

termo principal.

nn

nnmm

n

n

aaaa

aaa

aaa

aaa

A .... 332211

21

22221

11211

Exemplo:

401851

1000

9800

7650

4321

A

2.1.2 Termo Secundário.

Definição 28:

Dada uma matriz quadrada B, de ordem n, o

produto dos elementos da diagonal secundária é chamado

termo secundário




18

123121

21

22221

11211

.... nnnn

nnmm

n

n

aaaa

aaa

aaa

aaa

B

Exemplo:

12)2(23

312

625

311

B

2.2.1 Determinante de uma matriz quadrada.

Definição 29:

Seja uma matriz A quadrada, n x n, sobre C.

Definimos o determinante de A e indicamos por det A ou

|A|, ao elemento C:

nnjjjj

ni aaaaA 321 321)1(det

Onde ni é o número de inversões da permutação (j1, j2, j3,

..., jn) em relação à permutação (1, 2, 3, ..., n) escolhida

como fundamental e indica que a soma é sobre as n!

permutações de {1, 2, 3, ..., n}.

Em outras palavras, o determinante de uma matriz

quadrada é a soma algébrica dos produtos que se obtém

efetuando todas as permutações dos segundos índices do

termo principal, fixados os primeiros índices, e fazendo-se

preceder os produtos dos sinais + ou –n, conforme as

permutações dos segundos índices seja de classe par ou

ímpar.

Nota 12: A ordem de um determinante é a mesma ordem

da matriz quadrada correspondente.

2.2.2 Notação de um determinante.

A notação usada para representar um

determinante de uma matriz quadrada A será:

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

det




19

2.3 Cálculo de um determinante de Ordem 2.

Dada uma matriz quadrada A de ordem 2,

2221

1211

aa

aaA , para calcular o determinante desta matriz,

faremos, 2221

1211det

aa

aaA , e de acordo com a definição de

um determinante de uma matriz quadrada, temos:

1º passo: Escrever os elementos que compõem o termo

da diagonal principal, um após o outro, somente com os

primeiros índices, tantas vezes quantas forem as

permutações dos números 1 e 2 ( no caso, duas vezes: 12

e 21 ou 2! = 2 x 1 = 2).

a1 a2 a1 a2

2º Passo: Colocar como segundo índice (nas duas

expressões obtidas anteriormente), as permutações 12 e

21.

a11 a22 a12 a21

3º Passo: Fazer preceder cada um dos dois produtos

assim formados dos sinais + ou -, conforme a permutação

dos segundos índices serem de classe par ou ímpar.

Permutaçã

o principal

Permutaçõe

s

Número

de

inversõe

s

Classe da

permutaçã

o

Sina

l

12

12

12

21

0

1

par

Ímpar

+

+ a11 a22 - a12 a21

4º Passo: Efetuar a soma algébrica dos produtos assim

obtidos.

det A = + a11.a22 + (- a12.a21) = + a11.a22 - a12.a21

Nota 12: Por comodidade e simplicidade costuma-se

dizer que o determinante de uma matriz quadrada de




20

ordem 2 é igual: o produto dos elementos da diagonal

principal menos o produtos dos elementos da diagonal

secundária.

Exemplo:

1138)3()1()4(243

12

Nota 13: De acordo com a definição de determinante

para uma matriz quadrada A de ordem 1, como não

temos permutações a serem realizadas, então

convenciona-se que o determinante desta matriz é o

número que forma a matriz.

det A= |a11| = a11

Exemplo:

|-2| = - 2

Obs 3: Há um cuidado especial em não confundir a

simbologia de uma determinante de ordem 1, com módulo

(valor absoluto) de um número real, pois a escrita na

simbologia é muito semelhante!

2.4 Cálculo de um determinante de Ordem 3.

Dada uma matriz quadrada A de ordem 3,

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A , para calcular o determinante desta

matriz, faremos,

333231

232221

131211

det

aaa

aaa

aaa

A , e de acordo com a

definição de um determinante de uma matriz quadrada,

temos:

1º passo: Escrever os elementos que compõem o termo

da diagonal principal, um após o outro, somente com os

primeiros índices, tantas vezes quantas forem as

permutações dos números 1,2 e 3 (no caso, seis vezes, 3!

= 3 x 2 x 1 = 6).

a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3

a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3

21122211

2221

1211det aaaa

aa

aaA




21

2º Passo: Colocar como segundo índice (nas seis

expressões obtidas anteriormente), as permutações 123,

132, 312, 213, 231 e 321.

a11 a22 a33 a11 a23 a32 a13 a21 a32

a12 a21 a33 a12 a23 a31 a13 a22 a31

3º Passo: Fazer preceder cada um dos dois produtos

assim formados dos sinais + ou -, conforme a permutação

dos segundos índices serem de classe par ou ímpar.

Permutação

principal

Permutações Número

de

inversões

Classe da

permutação

Sinal

123

123

123

123

123

123

123

132

312

213

231

321

0

1

2

1

2

3

par

ímpar

par

ímpar

par

ímpar

+

-

+

-

+

-

+ a11 a22 a33 - a11 a23 a32 + a13 a21 a32

- a12 a21 a33 + a12 a23 a31 - a13 a22 a31

4º Passo: Efetuar a soma algébrica dos produtos assim

obtidos.

detA=+a11.a22.a33+(-a11.a23.a32)+a13.a21.a32+(-

a12.a21.a33)+a12.a23.a31+(-a13.a22.a31)

detA=+a11.a22.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a32-a12.a21.a33-

a11.a23.a32 - a13.a22.a31.

Nota 14: Por comodidade e simplicidade costuma-se

fazer uso de uma regra prática (Regra de Sarrus) para

determinante de uma matriz quadrada de ordem 3, esta

regra é dada pelo seguinte dispositivo prático:

Repetir as duas primeiras linhas ou colunas. (Geralmente

por facilidade, repete-se as linhas).




22

detA = a11.a22.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a32–

(a12.a21.a33+a11.a23.a32+a13.a22.a31)

Exemplo:

)]2(00)1(2113)3[()2(11)3(2003)1(

13

32

01

013

232

101

= 0+ 0 -2 – [- 9 - 2 + 0] = -2 + 11 = 9

Atividade 6:

1. Calcule o valor dos determinantes a seguir:

a) 41

23

b)

987

654

321

2. Resolva a equação: 0

140

110

213

x

x

x

2.5 Cálculo de um determinante de ordem n ( 2n )

Matriz Complementar

Definição 30:

Dada uma matriz quadrada A, a matriz quadrada

que se obtém de A suprimindo-se a linha de índice i e a

coluna de índice j é denominada matriz complementar de

A relativa ao elemento de posição (i,j) e denota-se Mij.

Exemplos:




23

E assim, podemos calcula outras matrizes

complementares como M11, M12, M13,..., M33.

Cofator ou complemento algébrico.

Definição 31:

Sendo aij um elemento qualquer de uma matriz

quadrada A, de ordem n, chama-se cofator ou

complemento algébrico de aij ao número Aij, dada por:

ij

ji

ij MA .)1( , onde |Mij|é o determinante da matriz

complementar Mij.

Exemplo:

A23 = (-1)2+3. |M23| = (-1)5 . 1 = (-1) . 1 = -1

E assim, podemos calcular os cofatores A11, A12, A13,

A21,...A33

2.6 Teorema de Laplace.

Definição 32:

De um modo geral, dada uma matriz quadrada A,

de ondem n ( 2n ), temos:

I. Se o determinante for desenvolvido tomando como base

uma linha de índice i da matriz A:

n

k

ikikininiiii AaAaAaAaA1

2211 .......det

II. Se o determinante for desenvolvido tomando como base

uma coluna de índice j da matriz A:

n

k

kjkjnjnjjjjj AaAaAaAaA1

2211 .......det

Nota 15: A partir da definição geral, podemos calcular um

determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n (

2n ) pelos seguintes passos:

32

65

312

625

311

12MA

12

11

312

625

311

23MA

12112

11

12

11

312

625

311

23

MA




24

I. Escolhe-se em A uma fila qualquer (linha ou coluna),

preferencialmente aquela que possuir “se existir” maior

“quantidade de elementos aij = 0.

II. Calcula-se o cofator Aij da respectiva fila escolhida.

III. Efetua-se o produto de cada elemento da fila escolhida

pelo seu respectivo cofator.

IV. Soma-se todos estes produtos anteriores.

Exemplo:

152

240

331

I. Escolhendo a 1º coluna: a11 = 1, a21 = 0 e a31 = 2

Antes que façamos os cofatores, a escolha pela primeira

coluna pelo fato a21 = 0, traz uma maior facilidade de

cálculos, pois o cofator A21 não precisa ser calculado, pois

a21 x A21 = 0.

II. Cálculo dos cofatores da primeira coluna.

6)6(1)104(1)2514()1(15

24)1( 211

11 A

6)6(1)126(1)3423()1(24

33)1( 413

31 A

III. Cálculo do determinante, pelo teorema de Laplace.

Det. = a11 x A11 + a21 x A21 + a31 x A31

Det. = 1 x (-6) + 0 x A21 + 2 x (-6) = - 6 + 0 – 12 = -18

Atividade 7

1. Aplicando o Teorema de Laplace calcule o valor dos

determinantes a seguir:

a) 41

23

b)

987

654

321

c)

0140

1032

1121

0110




25

2.7 Leitura complementar – Propriedades dos

determinantes.

Seja A uma matriz quadrada de ordem n, temos as

seguintes propriedades:

P1. det (A) = det (At).

P2. Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna)

de A forem nulos, det(A) = 0.

Nota 16: Essa propriedade é um corolário, pois é uma

consequência imediata do teorema de Laplace.

P3. Se multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) de A por

um escalar IRk , então o determinante fica multiplicado

por A.

P4. Se )(CMA n , então det (k.A) = kn. det A.

P5. Se permutarmos (trocarmos) duas filas paralelas

(linhas ou colunas), o determinante troca de sinal.

P6. Se duas filas paralelas (linhas ou colunas) forem

iguais, o determinante da matriz é nulo.

P7. Se duas filas paralelas (linhas ou colunas) forem

proporcionais, o determinante da matriz é nulo.

P8. O determinante de uma matriz não se altera se

somarmos a uma linha (coluna) um múltiplo de outra

linha (coluna).

P9. O determinante de uma matriz não se altera se

somarmos a uma linha (coluna) uma combinação linear

de outras linhas (colunas).

P10. Uma matriz que possui uma linha (coluna) que é

combinação linear das outras duas linhas (colunas) tem

determinante nulo.

P11. Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem,

então: det (A. B) = det (A) . det (B)

P12. det (A.B) = det (A) . det (B)

P13. det (An) = [det(A)]n

P14. )det(

1)det( 1

AA

P15. Determinante de Vandermonde.

Consideremos os seguinte determinante:




26

njiondeaa

aaa

aaa

aaa

Dji

ji

n

n

nn

n

n

,1,)(

111

11

2

1

1

22

2

2

1

21

Exemplo:

2112)23()34()24(

432

432

111

1694

432

111

222

2.8 Regra prática de Chiò.

Para o cálculo de um determinante de uma matriz

quadrada qualquer de ordem n, podemos usar uma regra

prática, conhecida como regra prática de Chiò, que

consiste em:

I. Escolher uma elemento aij = 1 no determinante de A,

caso exista.

II. Se não existir aij = 1 em det (A), escolher 0ija ,

multiplicar det (A) por ija e dividir a linha ou coluna por

ija , pois assim teremos 1' ija .

III. Suprimir a linha ou coluna que cruzam sobre o

elemento aij = 1 ou 1' ija .

IV. Agora iremos fazer uma “redução” da ordem de det(A),

ou seja, para obtermos os elementos do determinante de

ordem n – 1, vamos subtrair de cada um dos elementos

não suprimidos o produto daqueles elementos que se

encontram nos “pés” das perpendiculares baixadas de

cada um deles sobre a linha e a coluna suprimida.

V. Anteceder ao determinante menor obtido o sinal (-1)i+j.

Para facilitar, é interessante escolher a11 = 1, pois (-1)1+1

= 1.

Exemplos:

27633663

216

12685

210148




27

2.9 Cálculo de determinante pelas operações

elementares.

Para o cálculo de um determinante de uma matriz

quadrada qualquer de ordem n, podemos usar operações

elementares e chegar a uma matriz triangular superior

ou inferir e procedemos da seguinte maneira para se

obter o det(A):

I. Através de operações elementares, devemos obter uma

matriz triangular superior ou inferior no determinante da

matriz.

II. Após obtida a matriz triangular (inferior ou superior),

multiplica-se os elementos da diagonal principal, e

assim, temos o valor de det (A).

Exemplo:

321

654

087

I. através de operações elementares, temos:

7

900

630

087

37

60

630

087

321

630

087

321

654

087332331

223 7

2

7

1

4

lllllllll

II. Agora basta multiplicarmos os elementos da diagonal

principal do último determinante (que representa uma

matriz triangular).

277

9)3(7det

Atividade complementar

1. Se 1

ifc

heb

gda

, utilizando as propriedades do

determinantes, calcule:

a)

ifc

heb

gda

2

2

2

b)

ifc

heb

gda

222

222

222

c)

ihg

fed

cba




28

2.No determinante de Vandermonde abaixo, resolva a

equação:

0

2781

941

321

1111

3

2

x

x

x

3. Calcule o terminante abaixo pela regra prática de Chiò,

pelo teorema de Laplace e utilizando operações

elementares.

1100

1214

0132

1001

2.10 Relação entre a Matriz inversa e os

determinantes.

Matriz Co-fatora.

Definição 33:

Se A é uma matriz quadrada de ordem n,

denominamos matriz co-fatora de A (indicamos por cof A)

a matriz obtida de A, substituindo cada um de seus

elementos pelo respectivo cofator.

Exemplo:

11

01A

A11 = (-1)1+1 .|1|= 1

A12 = (-1)1+2 .|1|= -1

A21 = (-1)2+1 .|0|= 0

A22 = (-1)2+2 .|1|= 1

10

11)(ACof




29

Matriz Adjunta.

Definição 34:

Se A é uma matriz quadrada de ordem n,

denominamos matriz adjunta de A (indicamos por Adj A) a

matriz transposta da matriz co-fatora de A.

TACofAAdj )]([)(

Exemplo:

11

01A

11

01)]([)(

10

11)( TACofAAdjACof

Matriz Inversa.

Como visto anteriormente, uma matriz quadrada A,

de ordem n, é dita inversível (ou não – singular) se existe

uma matriz quadrada B, também de ordem n, tal que:

A.B = B.A = In. A partir daí faremos uso da seguinte

propriedade:

P3. .0)det(;)det(

)(1 AA

AAdjA ;

também vista anteriormente.

Exemplo:

11

01A

11

01)]([)(

10

11)( TACofAAdjACof

10111

01)det( A

Como, então temos: )det(

)(1

A

AAdjA

11

01

1

11

01

1A

Matriz Singular.

Definição 35:

Uma matriz quadrada A, de ordem n, cujo

determinante é nulo é uma matriz singular.

Ou seja, uma matriz quadrada A, de ordem n, é

singular se e somente se A não admite inversa A-1.

Exemplo:

0)det(

1282

320

641

AA A é uma matriz singular




30

Matriz Não - Singular.

Definição 36:

Uma matriz quadrada A, de ordem n, cujo

determinante é não –nulo (diferente de zero) é uma matriz

não – singular ou regular.

Ou seja, uma matriz quadrada A, de ordem n, é não

– singular (ou regular) se e somente se A admite inversa A-

1.

Exemplo:

1)det(

010

110

111

AA A é uma matriz não- singular(ou

regular)

Atividade 8:

1. Obter a inversa das matrizes:

a)

14

32A b)

080

320

641

B

2. Determine os valores de K para que a matriz

31

31

101

k

kC :

a) seja singular.

b) Admita inversa (seja não – singular ou regular)

3.Dadas as matriz

14

32A e

11

01B , calcule

(A.B)-1.




31

3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES.

3.1 Equação linear.

Definição 37:

Uma equação linear é uma equação do tipo:

a1.x1 + a2. x2 + a3.x3 + an.xn = b ou bxa i

n

i

i

.1

Nota 17: Os valores das variáveis que transforma um

equação linear em identidade, isto é, que satisfazem a

equação, constituem sua solução. Esses valores são

denominas raízes da equação.

Exemplo:

2x + 3y – 7z = -13

É uma equação linear cujas raízes são x =1, y = 2 e z =3

3.2 Sistema de equações lineares.

Definição 38:

Define-se um sistema de equações lineares como

sendo um conjunto de equações lineares unidas por um

conectivo e )(

mnmnmmm

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

.......

.......

.......

.......

332211

33333232131

22323222121

11313212111

Exemplos:

2;623

23IRU

yx

yx

3;

4

6

4

IRU

zyx

zyx

zyx

4;

2

1

10

IRU

tzx

tyx

tzyx

3.3 Forma matricial de um sistema de equações

lineares

(Matrizes associadas a um sistema linear)

Podemos associar um sistema de equações lineares

com o uso de matrizes associadas a este sistema linear,

assim dizemos que este está expresso na forma matricial.




32

mnmnmmm

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

.......

.......

.......

.......

332211

33333232131

22323222121

11313212111

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

.

Nota 18: Onde a matriz .

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

é chamada

de matriz incompleta do sistema de equações lineares e a

matriz .

21

222221

111211

nmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

é a matriz completa do

sistema de equações lineares.

Exemplos:

6

2.

23

31;

623

232

y

xIRU

yx

yx

Matriz incompleta: .23

31

Matriz completa:

623

231

4

6

4

.

111

111

111

;

4

6

43

z

y

x

IRU

zyx

zyx

zyx

Matriz incompleta: .

111

111

111

Matriz completa: .

4111

6111

4111




33

Nota 19: Os valores das variáveis que transformam

simultaneamente as equações de um sistema linear em

identidade, isto é, que satisfazem todas as equações do

sistema, constituem sua solução. Esses valores são

denominas raízes do sistema de equação linear.

3.4 Classificação de um sistema linear quanto ao

conjunto verdade.

Um sistema de equações lineares pode admitir uma

única solução, infinitas soluções ou até mesmo não

admitir solução, dentro de um conjunto universo.

Sendo assim, podemos classificar um sistema de

equações lineares e acordo com o tipo de solução (ou não

solução) que ele irá possuir.

Sistema Compatível. (S.C.)

Definição 41:

Um sistema de equações lineares é dito compatível

quando admite solução, ou seja, quando seu conjunto

verdade não for vazio.

Sistema Compatível e Determinado. (S.C.D.)

Definição 42:

Um sistema de equações lineares Compatível é

dito. Determinado quando admite solução única.

Exemplo:

O sistema linear a seguir é compatível e

determinado, pois admite uma única solução, o par

ordenado (2,1).

22 )1,2(423

13IRVIRU

yx

yx

Interpretação geométrica:




34

Sistema Compatível e Indeterminado. (S.C.I.)

Definição 43:

Um sistema de equações lineares Compatível é dito

indeterminado quando admite mais de uma solução (na

verdade infinitas soluções).

Exemplo:

O sistema linear a seguir é compatível e

indeterminado, pois admite uma infinidade de soluções.

IRIRVIRU

yx

yx

:

3

1,

262

1322


Sistema Incompatível. (S.I.)

Definição 44:

Um sistema de equações lineares é dito

incompatível quando não admite solução, ou seja, seu

conjunto verdade é vazio.

Exemplo:

O sistema linear a seguir é incompatível, pois não

admite soluções.

VIRU

yx

yx2

093

13





35

3.5 Sistemas lineares Equivalentes.

Definição 45:

Dois sistemas de equações lineares são

equivalentes quando admitem a mesma solução (ou o

mesmo conjunto verdade), dentro de um mesmo conjunto

universo.

Exemplo:

Os dois sistemas a seguir são equivalentes, pois

possuem o mesmo conjunto verdade.

IRyxIRVIRUyx

yxe

yx

yx

,:)1,2()(

3

02

423

1322

3.6 Sistemas Linear Homogêneo.

Definição 46:

Um sistema de equações lineares é dito homogêneo

se os termos independentes são todos nulos.

0.......

0.......

0.......

0.......

332211

3333232131

2323222121

1313212111

nmnmmm

nn

nn

nn

xaxaxaxa

xaxaxaxa

xaxaxaxa

xaxaxaxa

Exemplos:

2;063

02IRU

yx

yx

3;

0

0

0

IRU

zyx

zyx

zyx

4;

0

0

02

0

IRU

ty

zx

tyx

tzyx

Nota 20: Um sistema homogêneo será sempre compatível,

ou seja, sempre ira admitir solução sendo:

I. Compatível e Determinado, se admitir apenas a solução

chamada Trivial, U = IR2, V = (0,0); U = IR3,V = (0,0,0),

U = IR4, V = (0,0,0,0); ...

II. Compatível e indeterminado, se o sistema admitir

infinitas soluções.




36

Resolução de um sistema linear.

Existem vários métodos de resolução para um

sistema linear, no qual iremos destacar dois:

I. Método de Escalonamento.

II. Método de Gauss – Jordan.

3.7 Método de escalonamento de um sistema linear.

O escalonamento de um sistema linear consiste em

um método de eliminação de variáveis, tornando o

sistema escalonado. Para resolução de um sistema de

equações lineares por este método, devemos efetuar os

seguintes passos:

1º Passo: Escolher uma equação linear do sistema para

não ser escalonada (ou seja se manter imutável);

2º Passo: escolher a primeira variável a ser eliminada;

3º Passo: com as equações já escalonadas, escolher outra

equação (fora a primeira já escolhida), para não mais ser

escalonada;

4º Escolher a segunda variável (caso houver), para ser

eliminada;

E assim, sucessivamente, até que a última equação

escalonada tenha apenas uma única variável, a

penúltima, duas variáveis e assim por diante.

Atividade 9:

1. Resolver e classificar os sistemas lineares abaixo

quanto ao seu conjunto verdade.

92

82

72

)

zyx

zyx

zyx

a

02

2072

4754

)

zyx

zyx

zyx

b

725

5363

12

)

zyx

zyx

zyx

c

03

0

043

)

zyx

zyx

zyx

d




37

Atividade Complementar:

1. Discutir os sistemas:

)ax

mx

my

y4

0

2

m b )

x

kx

x

ky

y

z

z

z

3

3

1

0

0

2. Discutir e resolver o sistema:

x

x

x

y

y

y

3

z

z

z

k

2

5

3. Dadas as matrizes:

A = (a1i) 32x tal que jiaij 32

B= (bij

) 32 tal que ijb =

i

i

3

2

j

j se

se i

i

j

j

140

321C ,

321

502D

a) Calcule 2.AT – 3C

b) Calcule D + B

4 . Dada a matriz A =

0

2

1

3

3

0

1

5

3

9

7

4

6

0

2

1

Apresente:

a ) a diagonal principal.

b ) a diagonal secundária.

c ) tr (A).




38

5. Prove que:

6. Prove que a matriz

2

1

2

32

3

2

1

A é ortogonal.

7. Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C) são

usados botões grandes (G) e pequenos (p). O número de

botões por modelos é dado pela tabela:

Camisa

A

Camisa

B

Camisa

C

Botões

p

3 1 3

Botões

G

6 5 5

O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos

meses de maio e junho, é dado pela tabela:

Maio Junho

Camisa

A 100 50

Camisa

B 50 100

Camisa

C 50 50

Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões

usados em maio e junho.

8. (Faap –SP) Uma montadora produz três modelos de

veículos, A, B e C. Neles podem ser instalados dois tipos

1

101

01

01

011

34 xxx

x

xx

xx

x




39

de air bags, D e E. A matriz [air bag modelo] mostra a

quantidade de unidades de air bags instaladas:

Numa determinada semana foram produzidas as

seguintes quantidades de veículos, dadas pela matriz

[modelo-quantidade]:

a) 300 b) 200 c) 150 d) 100

e) 0

9. Um dispositivo eletrônico, usado em segurança,

modifica a senha escolhida por um usuário, de acordo

com o procedimento descrito abaixo. A senha escolhida

S1S2S3S4 deve conter quatro dígitos, representados por

S1,S2,S3 e S4. Esses dígitos são então, transformados nos

dígitos M1, M2, M3 e M4 da seguinte forma:

.

Se a senha de um usuário, já modificada, isto é, M1 = 0,

M2 = 1, M3 = 1 e M4 = 0, podemos afirmar que a senha

escolhida pelo usuário foi:

a) 0011 b) 0101 c) 1001 d) 1010

e) 1100

10. (UEL – PR) Uma das formas de se enviar uma

mensagem secreta é por

meio de códigos matemáticos, seguindo os passos:

I. Tanto o destinatário quanto o remetente possuem

uma matriz chave C;




40

II. O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal

que MC=P, onde M é a matriz mensagem a ser

decodificada;

III. Cada número da matriz M corresponde a uma letra

do alfabeto: 1 = a, 2 = b, 3 = c, ..., 23 = z;

IV. Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as

letras, k, w e y.

V. O número zero corresponde ao ponto de exclamação.

VI. A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo

correspondência número/letra e ordenando as letras por

linhas da matriz conforme segue:

m11m12m13m21m22m23m31m32m33.

Considere as matrizes:

Com base nos conhecimentos e nas informações

descritas, assinale a alternativa que apresenta a

mensagem que foi enviada por meio da matriz M.

a) Boasorte! b) Boaprova! c) Boatarde!

d) Ajudeme! e) Socorro!

Respostas:

1) a)

2.

2...

2..

mIS

mICS

mDCS

4.

1...)

14..

kIS

kICSb

kkDCS

IRtqV

kICS

.,2

7,

2

3

12...)2

3)

4) a) (-3 -1 9 6) b) ( 1 7 0 0 )

c) 11 7) 8) b) 9) c) 10) c)




41

4. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO

4.1 Função de A em B (Aplicação de A em B).

Definição 47 : Sejam A e B subconjuntos de IR, uma

função de A em B ( BAf : ) é uma lei que associa a todo

elemento de A um único elemento em B.

O diagrama abaixo representa a situação descrita.

O conjunto A = {x1, x2, x3, x4, x5} é chamado conjunto de

partida da função f, ou domínio de f (D(f)).

O conjunto B = {y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7} é chamado

conjunto de chegada da função f, ou contradomínio de f

(CD(f)).

O conjunto Im(f) = {y1, y2, y3, y4, y5}, que é o conjunto

formado pelos elementos do contradomínio que estão

associados aos elementos do domínio pela função f, é

chamado de conjunto imagem de f.

Atividade 10

Verifique qual(is) das relações abaixo é (são) função (ões).




42

4.1.1 Notação algébrica de uma função.

4.1.2 Graficos.

Definição 48 : Seja f uma função. O gráfico de f é o

conjunto de todos os pontos (x, f(x)) do plano IR2 (Plano

cartesiano),onde:

)( fDx e )Im()( fxf .

Atividade 11

Verifique qual(is) das relações abaixo é(são) função(ões).

Atividade 12

Verifique o domínio de validade das funções abaixo:

1) 82)( xxf 2) 5

3)(

xxg

3) 5

3)(

xxh 4)

1)(

x

xxl




43

4.1.3 Continuidade de uma função.

Uma função f em um intervalo [a.b], pode ser contínua

ou descontínua neste intervalo.

Função contínua.

Função descontínua.

1.1.4 Crescimento de uma função.

Definição 49: Uma função f é crescente sobre um certo

intervalo aberto I, se :

2121 )( xfxfxx ou 0)(0 1212 xfxfxx

)Im(),()(, 2121 fxfxfefDxx

Definição 50: Uma função f é decrescente sobre um certo




Definição 51: Uma função f é constante sobre um certo







44

Exemplo

] a, b [ - f é decrescente

] b, c [ - f é crescente

] c, d [ - f é constante

4.1.5 Paridade de uma função.

Definição 52: Dizemos que uma função f(x) é par se, para

todo )( fDx , temos:

)()( xfxf

Exemplo

)()()()( 222 xfxxxfxxf

Definição 53 : Dizemos que uma função f(x) é impar se,

para todo )( fDx , temos:

)()( xfxf

Exemplo

)()()()( 333 xfxxxfxxf




45

4.1.6 Funções periódicas.

Definição 54:Dizemos que uma função f(x) é periódica se

existe um número real 0T , tal que )()( xfTxf para

todo )( fDx .

Onde T é chamado de período da função f(x). O gráfico

de uma função periódica se repete a cada intervalo de

comprimento | T |.

Período | T |= 2

4.1.7 Função Sobrejetora, Injetora e Bijetora.

Definição 55 : Uma função BAf : é dita Sobrejetora

se, e somente se, para todo By , existe um elemento

Ax , tal que )(xfy , ou seja, se, e somente se,

Bf )Im( .

Definição 56: Uma função BAf : é dita injetora se, e

somente se, dois elementos distintos de A têm imagens

distintas em B, ou seja, )()(;, 212121 xfxfxxAxx .

Definição 57 : Uma função BAf : é dita bijetora se, e

somente se, é Sobrejetora e injetora.

4.1.8 Função Inversa.

Definição 58: Seja )(xfy uma função BAf : . Se,

para cada By , existir exatamente um valor Ax tal que

)(xfy , então podemos definir a função ABg : tal que

)(ygx . A função g definida desta maneira é chamada

função inversa de f e denotada por f-1.

Observação 1 : Uma função BAf : admite inversa se,

e somente se, esta função f é bijetora.

Exemplo

A função IRIRf : dada por 3)( xxf tem inversa

IRIRg : dada por 3)( xxg .




46

Prova: 31333)( xyyxxyxxf

4.1.9 Função composta – Composição de funções.

Definição 59: Dadas duas funções f e g, a função

composta de g com f, denotada gof, é definida por:

))(())(( xfgxfgo

O domínio de gof, é o conjunto de todos os pontos x no

domínio de f tais que f(x) esta no domínio de g.

Simbolicamente, temos: )()(/)()( gxffDxfgD o

O diagrama abaixo ilustra esta situação.

De maneira análoga, define-se:

i) ))(())(( xgfxgfo

ii) ))(())(( xffxffo

iii) ))(())(( xggxggo

Atividade 13

Sejam as funções: IRf ),0[: xxf )( e IRIRf :

32)( xxg .

1) Encontre gof, fog, fof e gog.

2) Encontre a inversa da função g(x).




47

4.2 Função polinomial.

Definição 60: Uma função IRIRf : é dita polinomial se

é representada por nn

nn axaxaxaxf

1

1

10 ...)( , onde

)0(,,...,, 0110 aaaaa nn , são números reais chamados de

coeficientes e Zn , determina o grau da função.

4.2.1 Funções polinomiais básicas.

i) Função Constante: É uma função polinomial de grau

zero, ou seja, kxf )( .

ii) Função polinomial do primeiro grau: É uma função

do tipo )0()( abaxxf .

Observação 2 : Uma função polinomial do primeiro grau

do tipo )0()( abaxxf é chamada de função Afim.

Uma função polinomial do primeiro grau do tipo

)0()( aaxxf é chamada de função linear.

Uma função polinomial do primeiro grau do tipo

)0()( axxf é chamada de função identidade.

iii) Função Polinomial do segundo grau (Função

Quadrática): É uma função do tipo

)0()( 2 acbxaxxf

4.2.2 Função Racional.

Definição 61: É uma função definida como o quociente de

duas funções polinomiais, isto é, )0()(

)()( xq

xq

xpxf ,

onde p(x) e q(x) são polinômios.




48

Atividade 14

1) Dada a função É 7

13)(

x

xxf , obtenha o valor de

7

)5(.3)0(2)1(5 fff

2) Um grupo de amigos trabalham no período de férias

vendendo salgadinhos nas praias. O aluguel do trailer e

todos os equipamentos necessários para a produção são

alugados pelo valor de R$ 1.300,00 por mês. O custo do

material de cada salgadinho é R$ 1,20 .

a) Expressar o custo total como uma função do número

de salgadinhos fabricados.

b) Construir um gráfico desta função obtida no item

anterior, e fazer toda a análise matemática desta função.

c) Sabendo que cada salgadinho é vendido no valor de R$

2,50, expresse a função matemática que representa o

lucro deste grupo de amigos. (L(x) = V(x) – C(x))

d) Esboçar o gráfico que representa a função L(X) do item

anterior.

e) Qual a quantidade mínima de salgados a serem

vendidos para que os amigos não levem prejuízos?

b) Qual será o lucro obtido em uma venda mensal de

5.000 salgadinhos?

3) Uma indústria comercializa um certo produto e tem

uma função custo total dada por 70020)( 2 uuxC , se

u o número de unidades produzidas. A função receita

total é dada por . Determine:

a) A função lucro desta empresa (L(x) = R(x) – C(x)).

b) O gráfico da função L(x) obtida no exercício anterior,

fazer toda a análise matemática da função.

c) o lucro para a venda de 100 unidades.

d) Qual o lucro máximo desta empresa?

e) Quantas unidades u devem ser vendidas para que o

lucro seja máximo?




49

5. A DERIVADA.

5.1 - Introdução ao estudo da Derivada: Introdução

histórica.

O final do século XVII viu o surgimento de uma

conquista matemática formidável: O Cálculo Diferencial.

Descoberto independentemente pelos contemporâneos

Sir. Isaac Newton (1642 – 1727) e Gottfried Leibniz

(1642 - 1716, tornou-se base para o desenvolvimento de

várias áreas da Matemática, além de possuir aplicações

em praticamente todas as áreas do conhecimento

científico.

5.2 A Derivada – Definição.

Definição 62 - Derivada: A derivada de uma função

)(xfy , definida em um intervalo aberto I em um ponto

Ix 0 é dada por

h

xfhxfxf

h

)()(lim)( 00

00

,

caso o limite exista.

Existindo o limite acima, a função f é dita

derivável em 0x .

Definição 63 – Função derivada: Seja f uma função

definida em um intervalo aberto I. Se f é derivável para

todo ponto de seu domínio, dizemos que a função

IRIf : , que associa a cada Ix o valor )(xf é uma

função derivada de f.

Notação:

i) )(xfy (notação de Newton) ;

ii) dx

dy(notação de Leibniz);

Ambas representam a derivada da função f em relação a

x.

5.2.1 Interpretação geométrica da Derivada.

Dada a função f, definida em um intervalo aberto I,

sendo f derivável para todo ponto de seu domínio. Dado

ainda um ponto xo e sua imagem )( 0xf , se realizarmos

um acréscimo muito pequeno em Ix 0 , por exemplo




50

Ihx )( 0 , obtemos a imagem )( 0 hxf , o gráfico abaixo

ilustra esta situação.

Pela definição de tangente, temos

)()()(

lim 00

0o

hxf

h

xfhxftg

.

Exemplo: Utilizando a definição de derivada, calcule a

derivada da função 2)(,: xxfIRIRf , no ponto (3,0).

Resolução:

h

xhxxf

h

xfhxfxf

hh

22

00

)(lim)(

)()(lim)(

xhxh

xh

h

xhxhx

hhh22lim

)42.(lim

2lim

00

222

0

63.2)3(2)( fxxf

Proposição 1 - Derivada da função constante.

Seja kxfIRIRf )(,: , uma função constante, a

sua derivada )(xf é nula, ou seja, 0)( xf .

Prova: Seja a função kxf )( , então pela definição de

derivada, segue:

h

kkxf

h

xfhxfxf

hh 00lim)(

)()(lim)(

00lim0

lim00

hh h

Proposição 2 – Derivada da função afim.

Seja 0)(,: abaxxfIRIRf uma função

afim, então axf )(

Prova: Seja a função baxxf )( , então pela definição

de derivada, segue:

h

baxbhxaxf

h

xfhxfxf

hh

)(]).([lim)(

)()(lim)(

00

aah

ah

h

baxbahxa

hohh

00limlim

.lim




51

Proposição 3 – Derivada da função potência.

Seja )()(,: IRnxxfIRIRf n , uma função

potência, então 1.)( nxnxf .

Prova: Seja a função nxxf )( , então pela definição de

derivada, segue:

h

xhxxf

h

xfhxfxf

nn

hh

)(lim)(

)()(lim)(

00

Expandindo Seja nhx )( ,pelo binômio de Newton, temos:

h

xhnxhhxnn

hxnx

xf

nnnnnn

h

).....!2

)!1(..(

lim)(

1221

0

h

hnxhhxnn

xnh nnnn

h

).....!2

)!1(.(

lim

1221

0

11221

0.......

!2

)!1(lim

nnnnn

hxnhhnxhx

nnnx

Proposição 4 – Derivada da soma.

Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis, e s(x) uma

função definida por )()()( xgxfxs então, a derivada da

função s(x) é

)()()( xgxfxs .

Proposição 5 – Derivada do produto.

Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis, e p(x) uma

função definida por )().()( xgxfxp então, a derivada da

função d P(x) é

)().()().()( xfxgxgxfxp .

Proposição 6 – Derivada do quociente.

Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis, e q(x) uma

função definida por )(

)()(

xf

xfxq então, a derivada da

função d q(x) é

2)(

)().()().()(

xg

xgxfxgxfxq

.

As provas das proposições 4,5 e 6 foram omitidas,

mas no livro cálculo A (6ª. Edição), nas páginas 135 e

136, as mesmas são apresentadas.




52

Atividade 15

Calcule as derivadas das seguintes funções:

1. 43)( xxf 2. 1352)( 23 ttttf

3. 4

5

)(

rrf 4. xy 5. )1).(3()( 2 uxuf

6. 2

2)(

n

nnf 7. 3 2xy 8. 54)( xxf

9. xxf 5)( 10. x

xy

5.3 Taxa de variação instantânea: A derivada

Definição 64 – Taxa de variação média: seja f(x) uma

função, a taxa de variação média para esta função é

definida por

x

yTVM

Exemplos.

1. Suponhamos que um automóvel popular custe R$

25.000, 00 no final de dezembro, agora, no final de junho,

está custando R$ 28.000,00. Qual a taxa de

variação média deste automóvel?

5006

000.3

06

000.25000.28

)()(

)()(

dezembrotjunhot

dezembrovalorjunhovalorTVM

Ou seja, a TVM é de 500 reais/mês.

Assim, a função 000.25500)( ttfC represente o custo

mensal a cada mês deste automóvel.

Definição 65 – Taxa de variação instantânea

(A Derivada):

Define-se a taxa de variação instantânea como sendo o

limite da TVM quando 0x , ou seja

x

xfxxf

x

yTVI

xx

)()(limlim

00

Exemplo: Consideremos como exemplo a função y = x2, x

= 1, 2,0x e faremos 0x pela sequência 0,2; 0,1;

0,05; 0;025;0,001; etc




53

f(x) = x2, x = 1

x x +

x

2)()( xxxxf

1)( 2 xxy

x

y

0,2 1,2 1,44 0,44 2,2

0,1 1, 1,21 0,21 2,1

0,05 1,05 1,1025 0,1025 2,05

0,025 1,025 1,050625 0,050625 2,025

0,00

1

1,001 1,002001 0,002001 2,001

0,000

1

1,000

1

1,00020001 0,00020001 2,0001

Podemos notar que, a medida que 0x , a razão

incremental 2

x

y, isto quer dizer que a taxa de

variação instantânea (ou a derivada) da função y = x2,

quando x = 1 é 2.

5.4 Derivada da Função Composta – Regra da Cadeia.

Consideremos inicialmente duas funções

deriváveis f e g onde y = g(u) e u = f (x). Para todo x tal

que f(x) esta no domínio da g, podemos escrever y = g(u)

= g[f(x)], isto é, podemos considerar a função composta

(gof)(x).

Teorema 1: Se y = g(u) e u = f(x) e as derivadas dy/dx e

du/dx existam, então a função composta y = g[f(x)] tem

derivada que é dada por

dx

du

du

dy

dx

dy. ou ).().()( xfugxy

A prova deste teorema pode ser encontrada no livro

Cálculo A (6ª.edição) pag139 a 140.

Exemplo: Calcular a derivada da função

723 352)( tttf .

Resolução: )352.(]352[)( 23723 tttttf

)02.53.2.(]352.7)( 12131723 tttttf

6232 352).106.(7)( tttttf




54

Atividade 16

1) Encontre as derivas da funções abaixo:

a) 23 2)( xxxf b) 3.5)( 2 ttf

c) 3

38 1)42(

xxxy d)

3 2 276)( xxxf

2) Uma cidade X é atingida por uma epidemia. Os setores

de saúde calculam que o número de pessoas atingidas

pela epidemia depois de um tempo t (medido em dias a

partir do primeiro dia da epidemia) é aproximadamente,

dado por:

364)(

3tttf

a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t =

4?

b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t =

8?

c) quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º

dia?

3) A demanda D de um certo produto está relacionada

com seu peço p pela relação 1

5

pD . Determine a

taxa instantânea, a qual a demanda está variando em

relação ao preço, quando p = R$ 3,50.




55

6. INTEGRAL

6.1 Integral Indefinida (Primitiva ou anti-derivada)

Introdução:

O processo conhecido como integração, pode ser

entendido como a operação inversa da derivação, ou seja

o cálculo de uma integral é um processo de anti-derivada.

Definição 66 - (Primitiva de uma função):

Seja IRIf : uma função contínua, definida no intervalo

aberto I, então, existe uma função, chamada de primitiva

de f. Isto é, existe uma função derivável IRIF : tal que,

se Ix ,

)()(' xfxF

Proposição 7: Seja F(x) uma primitiva de f(x) . Então, se k

é uma constante qualquer, a função G(X) = F(x) + c também

tem primitiva f(x).

Prova: Como F(x) é primitiva de f(x), pela definição temos

que F’(x) = f(x), Assim:

G’(x)=(F(x)+c)’ = F’(x)+c’=F’(x) + 0 = F’(x),

O que prova que G(x) é primitiva de f(x).

Exemplos:

1) A primitiva de x2 é 3

3x, pois

223

3

3'

3x

xx

.

2) A primitiva de 3 2x é

3 5

5

3x , pois:

3 23

21

3

5

3 5

3

5.

5

3'

5

3xxxx

Atividade 17

1) Encontre uma primitiva para as funções:

a) f(x) = 4x3 b) f(x)= 3

2x c) f(t) =

5 3t

Definição 67 (Integral indefinida): Se F(x) é uma

primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral

indefinida da função f(x) e é denotada por

).()(')()( xfxFcxFdxxf




56

Nota: O símbolo dxxf )( , representa uma família de

funções, ou seja, a família de todas as primitivas da

função integrando.

Proposição 8: Sejam IRIf : e k uma constante real,

então:

dxxfkdxxkf )()(

Proposição 9: Sejam IRIgf :, , então:

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

As provas das proposições 8 e 9 foram omitidas,

mas no livro cálculo A (6ª. Edição), na página 242, as

mesmas são apresentadas.

Regras Práticas:

Integral indefinida da função potência:

)1(1

1

ncn

uduu

nn

Integral de du: cudu

Atividade 18

1) calcule as integrais indefinidas a seguir:

a) dxx3 b) dxx )3( 4

c) dttt )1172( 5 d) duu4 3

e) dvvv .3 f)

dx

x

xxx 23 3

2) Derivar as respostas das integrais indefinidas

anteriores para conferir os resultados.




57

6.2 Integral e a regra da cadeia – Método de

substituição ou mudança de variável para integração.

Definição 68: Se IRIf : , definida no intervalo aberto

I, é derivável, definimos a diferencial de f como

dxxfdydf )('

Observação 2: A noção de diferencial é adequada para o

processo de integração. Isto é, dada uma diferencial

dxxfdy )( , queremos encontrar as funções primitivas

de )(xFy que realizam essa equação como diferencial

.)(' dxxFdy

Teorema 2: Sejam u = g(x) uma função diferenciável

definida em um intervalo aberto IRJ e IRIRIf :

uma função contínua tais que ).()Im( fDomg Então:

cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()()).((

Onde IRIRIF : é uma primitiva de f.

Demonstração:

Basta calcular a derivada de H(x) = F(g(x)). Realmente,

).()).(()()).(()( xgxgfxgxgFxH

Isto mostra que H’(x) = F(g(x)) é uma primitiva de

f(g(x)).g’(x).

Em outras palavras, sejam f(x) e F(x) duas funções

tais que F´(x) = f(x). Suponhamos uma outra função

também derivável g(x), tal que a imagem de g esteja

contida no domínio da F. Podemos considerar então, a

função composta Fog = F(g(x)); pela regra da cadeia

temos:

)()).(()()).(())(( xgxgfxgxgFxgF

I.

Isto é, F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) .g’(x), dai temos

que

cxgFdxxgxgf ))(()()).(( II.

Fazendo u = g(x) , du = g’(x)dx e substituindo em II, vem

cuFduufdxxgxgf )()()()).((

Exemplos:

Resolva as integrais:

1) dxxx 52 )1.( 2) dxxx 1.

Resolução:




58

1) Fazendo xdxduxdx

duxu 20212

Voltando na integral original: xdxxI 2)1(2

1 52

Pela regra da Cadeia, temos:

cu

cu

cu

duuI

126.

2

1

152

1

2

1 66155

Voltando em 12 xu

cx

I

12

)1( 62

2) fazendo 11 uxux , dai:

dxdudx

du 01

Voltando na integral original:

duuudxxxI )1(1.

Portanto:

duuuduuuduuuI )(.)1()1( 2

1

2

3

2

1

cuu

cuu

duuduuI

2

3

2

51

2

11

2

3

2

3

2

51

2

11

2

3

2

1

2

3

cuuI 35

3

2

5

2

Voltando em ux 1

cxxI 35 )1(3

2)1(

5

2




59

Atividade 19

1) Resolva as integrais abaixo aplicando o método de

substituição ou mudança de variável para integração:

a) dxxx11

3 7. b) dtt

t 21

2 c) 8)53( x

dx

d) dtt

t

1

2 e) dvvv 42 2

2) Aplicação da integral indefinida: A DeWitt Company

descobriu que a taxa de variação de seu custo médio para

um produto é 2

' 100

4

1)(

xxC , onde x é o número de

unidades e o custo esta em dólares. O custo médio para

produzir 20 unidades é $ 40,00.

a) Encontre a função custo médio para o produto.

b) Encontre o custo médio de 100 unidades do produto.

6.3 Integral Definida

Definição 69: Seja f: [a, b] → R uma função definida no

intervalo fechado e limitado [a, b] e seja uma partição

de [a, b]. Para cada i = 1,2,...,n, escolhemos um ponto ci ∈

[xi−1, xi]. Definimos a Soma de Riemann de f, relativa à

partição P e à escolha dos pontos ci por

n

i

ii xcffS1

).(),(




60

Definição 70: A integral definida da função f : [a, b] → R

é o limite das suas Somas de Riemann quando as normas

das partições tendem à zero:

),(lim)(0

fSdxxf

b

a

Definição 71: Seja f: [a, b] → R uma função contínua. São

válidas as seguintes afirmações:

i. Seja bac , .Então 0)( dxxfc

c

ii. a

b

b

adxxfdxxf )()(

Teorema 3: Se f é uma função contínua sobre o intervalo

fechado ba, , então f é continua em ba, .

Observação 3: A demonstração deste teorema será

ocultada, devido a não necessidade ao curso.

Proposição 10: Seja f: I → R uma função contínua

definida em intervalo I. Se a, b e c ∈ I, então

dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a )()()(

Observação 4: A prova desta proposição pode ser

encontrada no livro Cálculo A (Diva Marília Flemming) , 6ª.

Edição pagina 262.

Proposição 11: Sejam f,g: [a, b] → R funções contínuas, k

∈ R e uma constante. Então

i. dxxgdxxfdxxgfb

a

b

a

b

a )()())((

ii. b

a

b

adxxfkdxxfk )(.)(.



Edição página 261.




61

6.3.1 Interpretação geométrica da integral

I. Se f: [a, b] → R é uma função contínua tal que f(x) ≥ 0,

para todo x ∈ [a, b], então o limite dxxfb

a )( é a área da

região determinada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas

retas verticais x = a e x = b.

II. De maneira geral, se f : [a, b] −→ R é uma função

contínua, então dxxfb

a )( é a soma das áreas orientadas

das regiões determinadas pelo eixo Ox e pelo gráfico de f,

entre as retas verticais x = a e x = b. Isto é, as regiões que

ficam abaixo do eixo Ox contribuem com os valores

negativos de suas áreas enquanto que as regiões que

ficam acima do eixo contribuem com os valores positivos

de suas áreas. Veja um exemplo gráfico.

Teorema 4 (Teorema Fundamental do Cálculo):Seja f:

I → R é uma função contínua definida no intervalo aberto

I e seja F: I → R uma primitiva de f. Então, se [a, b] ⊂ I,

)()()( aFbFdxxfb

a



Edição pagina 265 a 267.




62

Atividade 20

1) Calcule as integrais definidas a seguir:

a) 3

1dx b)

2

0

2dxx c)

1

0

23 14 dttt

d) 5

112 dvv e)

1

1 3

2

9dx

x

x

2) Encontre a área limitada pela curva y = 4 – x2 e o eixo

ox.

3) Obtenha a área limitada pela função F(t) = t2 e

f(t) = x + 2.

BIBLIOGRAFIAS

STEIBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra Linear.

Iezzi, Gelson e outros , Fundamentos de matemática

elementar – volume 4 e 8.

ETAPA, sistema de ensino – Apostilas.

Flemming, Diva e Gonçalves; Mirian - Cálculo A – – 6ª.

Ed. – Editora Pearson – 2012

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Matemática aplicada a Computação - UNIFEB - Centro ...feb.unifeb.edu.br/dmdocuments/apostila-matematica-aplicada.pdf · UNIFEB – Sistemas de Informação Apostila de Matemática