Estatística Geral e Aplicada.pdf

Gilberto de Andrade Martins

Estatística Gerale Aplicada

Solução dos Exercícios

2a Edição

SÃO PAULOEDITORA ATLAS S.A. – 2002

Soluções e Respostas

Capítulo 2 – Estatística Descritiva

SÉRIE I

2.1

Oceano Antártico Ártico Atlântico Índico Pacífico

Área (milhõeskm2) 36,8 23,2 199,4 137,9 342,7

Área dos Oceanos (em colunas)

050

100150200250300350400

Antártico Ártico Atlântico Índico Pacífico

Oceano

Áre

a (m

ilhõe

s km

2)

Área dos Oceanos (em barras)

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Antártico

Ártico

Atlântico

Índico

Pacífico

Oce

anos

Área (milhões km2)

Área dos Oceanos (em pizza)

3%

27%

19%

46%

5%

AntárticoÁrticoAtlânticoÍndicoPacífico

2.2

Natureza Valor

Dívida externa líquida 111631

Governo federal e Bacen 248292

Governos estaduais e municipais 167850

Empresas estatais 13324

Dívida líquida total do setor público de maio de 2000 (em colunas)

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

Dívida externalíquida

Governo federal eBacen

Governos estaduaise municipais

Empresas estatais

Natureza

Val

or

Dívida líquida total do setor público de maio de 2000 (em barras)

0 50000 100000 150000 200000 250000 300000

Dívida externa líquida

Governo federal eBacen

Governos estaduais emunicipais

Empresas estatais

Nat

urez

a

Valor

Dívida líquida total do setor público de maio de 2000 (em pizza)

21%

46%

31%

2%Dívida externa líquida

Governo federal e Bacen

Governos estaduais emunicipais

Empresas estatais

2.3

a) Amplitude: r = 97 – 33 = 64Nº de intervalos: k • 1 + 3,22 * log50 • 7Tamanho do intervalo: h • 64 / 7 • 10

Classe Intervalos Fi fi % Fac fac %ac xi

1 30 • 40 4 0,08 8 4 0,,08 8 35

2 40 • 50 6 0,12 12 10 0,20 20 45

3 50 • 60 8 0,16 16 18 0,36 36 55

4 60 • 70 13 0,26 26 31 0,62 62 65

5 70 • 80 9 0,18 18 40 0,80 80 75

6 80 • 90 7 0,14 14 47 0,94 94 85

7 90 • 100 3 0,06 6 50 1,00 100 95

Somas 50 1 100

b)

His tograma de Freqüênc ia A bs oluta

0

2

4

6

8

10

12

14

30 • 40 40 • 50 50 • 60 60 • 70 70 • 80 80 • 90 90 • 100

Interv alos de Clas s es

Fi

His tograma de Freqüênc ia Relativ a

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

30 • 40 40 • 50 50 • 60 60 • 70 70 • 80 80 • 90 90 • 100


fi

c) 60 • 70.

d) 19 alunos.

e) x1 = 35.

2.4

a) Amplitude: r = 190 – 151 = 39.

b) Nº de intervalos: k • 1 + 3,22 * log100 • 8.

c) Tamanho do intervalo: h • 39 / 8 • 5.

d) e e)Classe Intervalos Fi fi % Fac fac %ac xi

1 151 • 156 4 0,04 4 4 0,04 4 153,5

2 156 • 161 4 0,04 4 8 0,08 8 158,5

3 161 • 166 11 0,11 11 19 0,19 19 163,5

4 166 • 171 33 0,33 33 52 0,52 52 168,5

5 171 • 176 17 0,17 17 69 0,69 69 173,5

6 176 • 181 17 0,17 17 86 0,86 86 178,5

7 181 • 186 9 0,09 9 95 0,95 95 183,5

8 186 • 191 5 0,05 5 100 1,00 100 188,5

Ó 100 1 100

f)

His tograma de Freqüênc ia A bs oluta

0

5

10

15

20

25

30

35

151 •156

156 •161

161 •166

166 •171

171 •176

176 •181

181 •186

186 •191


Fi

His tograma de Freqüênc ia Relativ a

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

151 •156

156 •161

161 •166

166 •171

171 •176

176 •181

181 •186

186 •191


fi

g) A menor altura é 1,51 m, enquanto a maior altura atinge 1,90m. Entre 1,66 e 1,70m,encontram-se 33% do total. A quantidade de pessoas altas é maior do que a proporção depessoas com estaturas mais baixas – 48% = 17% + 17% + 9% + 5% têm alturas superiores a1,70 m, enquanto 19% = 11% + 4% + 4% possuem alturas inferiores a 1,65m.

2.5

-

SÉRIE II

2.6

xmedia = Ó notas / nº de notas = 35,5 / 7 = 5,07 ou seja, aluno APROVADO.

2.7

xmedia = Ó defeitos / nº de computadores = (15 * 0 + ... + 6 * 6) / 100 = 2,21.

2.8

a) xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (3 * 2 + ...+ 12 * 3) / 22 = 6,82.

b) xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (10 * 5 + ... + 13 * 6) / 29 = 11,59.

c) xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (2 * 3 + ... + 6 * 3) / 28 = 4.

d) xmedia = (Ó xi * fi) = (7 * 1/16 + ... + 11 * 5/16) = 9,03.

e) xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (85 * 5 + ... + 90 * 5) / 24 = 87,88.

f) xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (5 * 18 + ... + 17 * 12) / 175 = $ 1061,00.

2.9

Média aritmética dos dados não agrupados = Ó observações / n = 3230 / 50 = 64,60.Média aritmética dos dados agrupados= (Ó xi * Fi) / n = (4 * 35 + ... + 3 * 95) / 50 = 65.Diferença: 64,60 – 65 = – 0,4.

2.10

Média aritmética dos dados não agrupados = Ó observações / n = 17138 / 100 = 171,38.Média aritmética dos dados agrupados= (Ó xi * Fi) / n = (4 *153,5 + ... + 5 * 188,5) / 100 =171,85.Diferença: 171,38 – 171,85 = – 0,47 m.

2.11

-

SÉRIE III

2.12

I) xmediana (n ímpar ) = 4.

II) xmediana (n par) = 5.

III) xmediana (n ímpar) = 8.

IV) xmediana (n par) = 87.

2.13

I) xmediana (n par ) = 4.

II) xmediana (n ímpar) = 77.

III) xmediana (n par) = 13.

IV) xmediana (n ímpar) = 235.

2.14

I) n / 2 = 29 / 2 = 14,5xmediana = lMd + [(n / 2 – Óf) * h] / FMd = 5 + [(14,5 – 8) * 2] / 8 = 6,63.

II) n / 2 = 93 / 2 = 46,5xmediana = lMd + [(n / 2 – Óf) * h] / FMd = 28 + [(46,5 – 43) * 3] / 30 = 28,35.

2.15

I) Maior número de observações iguais, Mo = 7.

II) Maior número de observações iguais, Mo = 43.

2.16

I) Maior número de observações iguais, Mo = 80.

II) Maior número de observações iguais, Mo = 3,5.

2.17

I) Maior número de observações iguais 13 • 16Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 13 + [5 / (5 + 5)] * 3 = 14,5.

II) Maior número de observações iguais 20 • 30Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 20 + [5 / (5 + 3)] * 10 = 26,25.

2.18

I) i * n / 10 = 6 * 35 / 10 = 21Di = lDi + [(i * n / 10 – Óf) * h] / FDi = 8 + [(21 – 15) * 2] / 15 = 8,08, ou seja, 60% dos valoresda amostra estão abaixo do valor 8,08.i * n / 100 = 65 * 35 / 100 = 22,75Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 8 + [(22,75 – 15) * 2] / 15 = 9,03, ou seja, 65% dosvalores da amostra estão abaixo do valor 9,03.i * n / 4 = 35 / 4 = 8,70Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 6 + [(8,70 – 4) * 2] / 11 = 6,86, ou seja, 25% dos valoresda amostra estão abaixo do valor 6,86.

II) i * n / 10 = 2 * 24 / 10 = 4,8Di = lDi + [(i * n / 10 – Óf) * h] / FDi = 30 + [(4,8 – 3) * 10] / 5 = 33,60, ou seja, 20% dosvalores da amostra estão abaixo do valor 33,60.i * n / 100 = 43 * 24 / 100 = 10,32Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 40 + [(10,32 – 8) * 10] / 10 = 42,32, ou seja, 43% dosvalores da amostra estão abaixo do valor 42,32.i * n / 4 = 3 * 24 / 4 = 18Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 40 + [(18 – 8) * 10] / 10 = 50,00, ou seja, 75% dos valoresda amostra estão abaixo do valor 50,00.

2.19

a) xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (0 * 20 + ...+ 4 * 3) / 53 = 1,17 acidentes por dia.

b) xmediana (n ímpar ) = 1.

c) Maior número de observações iguais, Mo = 0.

d) P% = (10 + 5 + 3) / 53 = 34%.

2.20

a)

Xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fi 1 1 5 6 3 2 3 2 0 1

b) xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (1 * 1 + ...+ 10 * 1) / 24 = 4,83.xmediana (n par ) = 4.Maior número de observações iguais, Mo = 4.

2.21

a) xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (12 * 15 + ...+ 40 * 5) / 163 = 22,99 anos.

b) n / 2 = 163 / 2 = 81,50, ou seja, no intervalo 18 • 22Xmediana = lXmed + [(n / 2 – Óf) * h] / FXmrd = 18 + [(81,50 – 43) * 4] / 40 = 21,85 anos.

c) Maior número de observações iguais 18 • 22Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 18 + [12 / (12 + 10)] * 4 = 20,18 anos é a idade maisfreqüente da amostra.

d) i * n / 10 = 3 * 163 / 10 = 48,90Di = lDi + [(i * n / 10 – Óf) * h] / FDi = 18 + [(48,90 – 43) * 4] / 40 = 18,59, ou seja, 30% daspessoas deste grupo têm idade inferior a 18,59.

e) i * n / 4 = 163 / 4 = 40,75Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 14 + [(40,75 – 15) * 4] / 28 = 17,58.

f) i * n / 100 = 80 * 163 / 100 = 130,40Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 26 + [(130,40 – 113) * 4] / 20 = 29,48, ou seja, 20% daspessoas deste grupo têm idade superior a 29,48.

2.22

a) Amplitude: r = 98 – 33 = 65.

b) Nº de intervalos: k • 1 + 3,22 * log50 • 7.

c) Tamanho do intervalo: h • 65 / 7 • 10.

d) e) f) g) e h)Classe Intervalos Fi fi XI Fac

1 30 • 40 4 0,08 35 4

2 40 • 50 6 0,12 45 10

3 50 • 60 8 0,16 55 18

4 60 • 70 12 0,24 65 30

5 70 • 80 9 0,18 75 39

6 80 • 90 7 0,14 85 46

7 90 • 100 4 0,08 95 50

Ó 50 1

i)

His tograma de Freqüênc ia A bs o luta

0

2

4

6

8

10

12

14

30 • 40 40 • 50 50 • 60 60 • 70 70 • 80 80 • 90 90 • 100

In terv a los de Clas s es

Fi

j) xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (35 * 4 + ...+ 95 * 4) / 50 = 65,60.

l) Maior número de observações iguais 60 • 70Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 60 + [4 / (4 + 3)] * 10 = 65,71.

m) n / 2 = 50 / 2 = 25, ou seja, no intervalo 60 • 70Xmediana = lXmed + [(n / 2 – Óf) * h] / FXmrd = 60 + [(25 – 18) * 10] / 12 = 65,38, ou seja, 50%das notas deste grupo estão abaixo de 65,38.

n) i * n / 4 = 50 / 4 = 12,50

Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 50 + [(12,50 – 10) * 10] / 8 = 53,125, ou seja, 25% dosalunos deste grupo tiraram notas inferiores a 53,125.

o) i * n / 100 = 55 * 50 / 100 = 27,50Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 60 + [(27,50 – 18) * 10] / 12 = 67,92, ou seja, 45% dosalunos deste grupo tiraram notas superiores a 53,125.

SÉRIE IV

2.23

a) Amplitude: r = 12 – 2 = 10.

b) S2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (7 – 1) * [347 – (1849) / 7] = 13,81.

c) S = (S2)1/2 = (13,81)1/2 = 3,72.

2.24

Intervalos Fi xi xi * Fi xi2 * Fi

2 • 4 3 3 9 27

4 • 6 5 5 25 125

6 • 8 8 7 56 392

8 • 10 6 9 54 486

10 • 12 3 11 33 363

Ó 25 177 1393

S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi) – (Óxi * Fi)

2 / n] = 1 / (25 – 1) * [1393 – (177)2 / 25] = 5,83.

2.25

Intervalos Fi xi xi * Fi xi2 * Fi

40 • 45 4 42,5 170 7225

45 • 50 10 47,5 475 22562,5

50 • 55 15 52,5 787,5 41343,75

55 • 60 8 57,5 460 26450

60 • 65 5 62,5 312,5 19531,25

65 • 70 3 67,5 202,5 13668,75

Ó 45 2407,5 130781,25

a) xmedia = (Ó xi . Fi) / n = 2407,5 / 45 = 53,5 kg.

b) S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi) – (Óxi * Fi)

2 / n] = 1 / (45 – 1) * [130781,25 – (2407,5)2 / 45] = 45kg.

c) CV = (S / xmedia) * 100 = (6,71 / 53,5) * 100 = 12,54%.

d) Maior número de observações iguais 50 • 55Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 50 + [5 / (5 + 7)] * 5 = 52,08 kgAS = (xmedia – Mo) / S = (53,5 – 52,08) / 6,71 = 0,21, portanto, a distribuição não é simétrica.

2.26

xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (2 * 2 + ... + 10 * 2) / 7 = 6.CV = (S / xmedia) * 100 = (3,02 / 6) * 100 = 50,33%, portanto, a amostra tem elevada dispersão.

2.27

CVA = (SA / xmediaA) * 100 = (40 / 150) * 100 = 26,67%CVB = (SB / xmediaB) * 100 = (50 / 200) * 100 = 25,00%CVC = (SC / xmediaC) * 100 = (60 / 300) * 100 = 20,00%

a) A tem desvio padrão de 40, portanto, é a caixa com menor variação absoluta na pressãode ruptura.

b) A tem o coeficiente de variação de 26,67%, portanto, é a caixa com maior variação relativana pressão de ruptura.

2.28

a) Amplitude: r = 44 – 14 = 30Nº de intervalos: k • 1 + 3,22 * log30 • 6Tamanho do intervalo: h • 30 / 6 • 5

Classe Intervalos Fi

1 14 • 19 4

2 19 • 24 6

3 24 • 29 5

4 29 • 34 4

5 34 • 39 2

6 39 • 44 9

Ó 30

b)


0123456789

10

14 • 19 19 • 24 24 • 29 29 • 34 34 • 39 39 • 44

In terv a los das Clas s es

Fi

c) xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (16,5 * 4 + .. + 41,5 * 9) / 30 = 900 / 30 = 30 anos.S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi

2 * Fi) – (Óxi * Fi)2 / n] = 1 / (30 – 1) * [29507,5 – (900)2 / 30] = 86,47

S = (S2)1/2 = (86,47)1/2 = 9,30.

2.29

a) xmedia = 45 sS = (S2)1/2 = (400)1/2 = 20 sCV1 = (S / xmedia) * 100 = (20 / 45) * 100 = 44,50%.

b) xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (20 * 10 + ... + 80 * 5) / 60 = 2700 / 60 = 45 s.

c) S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi) – (Óxi * Fi)

2 / n] = 1 / (60 – 1) * [135000 – (2700)2 / 60] = 228,81s2

S = (S2)1/2 = (228,81)1/2 = 15,13 s.

d) xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (40 * 45 + 60 * 45) / 100 = 45 s.

e) CV2 = (S / xmedia) * 100 = (15,13 / 45) * 100 = 34,00%, portanto, a equipe 2 apresentouresultados mais homogêneos, uma vez que tem CV (34%) menor que a equipe 1 (44%) .

f) Equipe 2.

2.30

a) Amplitude: r = 16 – 1 = 15Nº de intervalos: k • 6Tamanho do intervalo: h • 3


1 1 • 4 14

2 4 • 7 14

3 7 • 10 11

4 10 • 13 8

5 13 • 16 11

6 16 • 19 2

Ó 60

b)


0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 • 4 4 • 7 7 • 10 10 • 13 13 • 16 16 • 19

In terv a los de Clas s es

Fi

c) xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (14 * 2,5 + ... + 2 * 17,5) / 60 = 8,20.

d) n / 2 = 60 / 2 = 30, ou seja, no intervalo 7 • 10Xmediana = lXmed + [(n / 2 – Óf) * h] / FX = 7 + [(30 – 28) * 3] / 11 = 7,55, ou seja, metade dasrendas estão abaixo de $ 7550.

e) i * n / 4 = 3 * 60 / 4 = 45Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 10 + [(45 – 39) * 3] / 8 = 12,25, ou seja, 75% das rendasestão abaixo de $ 12250.

f) i * n / 10 = 4 * 60 / 10 = 24Di = lDi + [(i * n / 10 – Óf) * h] / FDi = 4 + [(24 – 14) * 3] / 14 = 6,14, ou seja, 40% das rendasestão abaixo de $ 6140.

g) i * n / 100 = 47 * 60 / 100 = 28,20Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 7 + [(28,20 – 28) * 3] / 11 = 7,05, ou seja, 47% dasrendas estão abaixo de $ 7055.

h) i * n / 4 = 60 / 4 = 15Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 4 + [(15 – 14) * 3] / 14 = 4,21.

i) S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi) – (Óxi * Fi)

2 / n] = 1 / (60 – 1) * [5289 – (492)2 / 60] = 21,26.

j) S = (S2)1/2 = (21,26)1/2 = 4,61.

l) CV = (S / xmedia) * 100 = (4,61 / 8,20) * 100 = 56,00%.

m) Maior número de observações iguais 1 • 4Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 1 + [14 / (14 + 0)] * 3 = 4AS = (xmedia – Mo) / S = (8,20 – 4) / 4,61 = 0,91, portanto, a distribuição não é simétrica.

n) O intervalo xmedia – S a xmedia + S, ou seja, $ 3590 e $ 12810 contém aproximadamente 60%das rendas.

2.31

-

SÉRIE IV

2.32

1. b, por definição de média.

2. b, uma vez que o maior número de observações iguais é 60.

3. c, por definição de mediana.

4. d, uma vez que a média leva em conta todos estes desvios, a soma deles deve ser zero.

5. b, uma vez que 70 é a média das observações além de separar em dois grupos com amesma quantidade.

6. a, por definição de moda.

7. d, uma vez que n = 100, a mediana será 50 (10 + 25 + 15), ou seja, 7.

8. b, uma vez que numa amostra de n = 5, a mediana é o 3º item, deixando dois de cada lado.

9. d, por definição de medidas de assimetria.

10. a, por definição de coeficiente de variância.

11. a, por definição de variância.

12. d, por definição de desvio padrão.

13. d, uma vez que n = 6, a mediana será [(n / 2) + (n / 2 +1)] / 2, ou seja, 45.

14. a, uma vez que a curva a é mais alargada horizontalmente, tem desvio padrão maior.

15. d, uma vez que apesar de A ter maior dispersão absoluta, ao se calcularem os coeficientesde variância de ambas as turmas, chega-se ao mesmo valor: 50%.

16. d, uma vez que a variância é o quadrado do desvio padrão.

17. b, por definição de mediana.

18. a, uma vez que n = 20, o 1º quartil será a média entre o 5º e o 6º item, ou seja, 5.

19. b, uma vez que CV = (S / Xmedia) * 100, Estatística é 20% e História é 25%.

20. b, por definição.

21. d, uma vez que Xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (2 * 2500 + ... + 3 * 22000) / 10 = 10500.

22. c, por definição.

23. d, uma vez que Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 50 + [15 / (15 + 10)] * 10 = 56.

24. b, uma vez que Xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (5 * 175 + ... + 3 * 475) / 10 = 3130 / 10 = 313.

25. c, uma vez que P45 = 40 + [(409,50 – 210) * 10] / 250 = 47,98.

26. c, uma vez que D5 = 6 + [(15 – 12) * 2] / 10 = 6,60.

27. a, uma vez que Xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (3 * 1 + ... + 15 * 5) / 8 = 96 / 8 = 12.

28. d, uma vez que S2 = 1 / (5 – 1) * [73600 – (600)2 / 5] = 400, ou seja, S = 20.

29. a, uma vez que S2 = (1 / 5) * [108 – (22)2 / 5] = 2,24.

30. b, por definição de média.


Capítulo 3 – Probabilidades

SÉRIE I

3.1

e) S = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1K, 2K, 3K, 4K, 5K, 6K}, onde C = cara e K = coroa.

f) A = {K2, K4, K6}B = {C1, C3, C5}C = {3C, 6C, 3K, 6K}.

g) a. Bcompl. = S – B = {C2, C4, C6, K1, K2, K3, K4, K5, K6}b. A U B = A + B = {K2, K4, K6, C1, C3, C5}c. B • C = {3C}d. (A U B)compl. = (Acompl • Bcompl) = {K1, K3, K5, C2, C4, C6}.

h) Apenas A e B são mutuamente exclusivos uma vez que A • B = Ø.

3.2

a) P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – ½ = ½.

b) P(Bcompl) = 1 – P(B) = 1 – ¼ = ¾.

c) P(A • B) = 0, uma vez que A e B s ão mutuamente exclusivos.

d) P(A U B) = P(A) + P(B) = ½ + ¼ = ¾.

e) P(Acompl • B compl) = 1 – [P(A • B)] = 1.

3.3

a) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) = ½ + 1/3 – ¼ = 7/12.

b) P(Acompl U Bcompl) = P(A • B) compl = 1 – P(A • B) = 1 – ¼ = ¾.

c) P(Acompl • B compl) = P(A U B) compl = 1 – P(A U B) = 1 – 7/12 = 5/12.

3.4

a) Seja A = {(x1)/ x1 = par}, P(A) = 3/6 = ½.

b) Seja A = {(x1)/ x1 = rei}, P(A) = 4/52 = 1/13.

c) Seja A = {(x1, x2, x3)/ x1 = x2 = x3 = K}, P(Acompl) = 1 – A = 1 – (½ . ½ . ½) = 7/8.

d) Seja A = {(x1, ..., xn)/ x1 = ... = xn = K}, P(Acompl) = 1 – A = 1 – (½)n = (2n – 1)/2n.

e) P(ambas copas, sem reposição) = P(1ª copas) * P(2ª copas) = 13/52 * 12/51 = 1/17.

f) P(1 copas e 1 ouros sem reposição) = P(copas) * P(ouros) + P(ouros) * P(copas) =13/52 * 13/51 + 13/52 + 13/51 = 13/102 ou,

13 13 52P(F) = 1 * 1 2 = (13/1 * 13/1) / (52 * 51/ 2 * 1) = 13/102.

3.5

a) Seja A = {(x1)/ x1 / 5}, P(A) = 10/50 = 1/5.

b) Seja A = {(x1)/ x1 = _3}, P(A) = 5/50 = 1/10.

c) Seja A = {(x1)/ x1 = primo}, P(A) = 15/50 = 3/10.

d) Seja A = {(x1)/ x1 / 6} = 8 e B = {(x1)/ x1 / 8} = 6,P(A U B) = P(A) + P(A) – P(A • B) = 8/50 + 6/50 – 2/50 = 12/50 = 6/25.

3.6

Seja A = {(x1)/ x1 = rei} = 4 e B = {(x1)/ x1 = 1 carta de copas} = 13P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13.

3.7

a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 < 4}, P(A) = 3/36 = 1/12.

b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 9}, P(A) = 4/36 = 1/9.

c) Seja A = {(x1, x2)/ x1 > x2}, P(A) = 15/36 = 5/12.

3.8

Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 10}, P(A) = 8/90 = 4/45.

3.9

a) Seja A = {(x1)/ x1 = defeitos graves}, P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – 1/8 = 7/8.

b) Seja A = {(x1)/ x1 = boas}, P(A) = 10/16 = 5/8.

c) Seja A = {(x1)/ x1 = com defeitos}, P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – ¼ = ¾.

3.10

a) P(ambas perfeitas, sem reposição) = P(1ª perfeita) * P(2ª perfeita) = 10/16 * 9/15 = 3/8.

b) P(ao menos uma é perfeita) = P[(P1 • P 2) U (P1 • D 2) U (D1 • P 2)] = P(P1) * P(P2/P1) +P(P1) * P(D2/P1) + P(D1) * P(P2/D1) = 10/16 * 9/15 + 10/16 * 6/15 + 6/16 * 10/15 = 7/8.

c) P(nenhuma com defeito grave) = P(sem d.g.) * P(sem d.g.) = 14/16 * 13/15 = 91/120.

d) P(nenhuma perfeita) = P(imperfeitas) * P(imperfeitas) = 6/16 * 5/15 = 1/8.

3.11

a) P(pretas) = P(1ª preta) * P(2ª preta) * P(3ª preta) = 6/11 * 5/10 * 4/9 = 4/33.

b) P(uma branca) = P(B1) * P(P2) * P(P3) + P(P1) * P(B2) * P(P3) + P(P1) * P(P2) * P(B3) ou3 * P(B1, P2, P3) = 5/11 * 6/10 * 5/9 + 6/11 * 5/10 * 5/9 + 6/11 * 5/10 * 5/9 = 5/11.

c) P(ao menos uma é preta) = 1 – P(brancas) = 1 – P(B1) * P(B2/B1) * P(B3/B2/B1) = 1 –5/11 * 4/10 * 3/9 = 1 – 2/33 = 31/33.

3.12

O número total de resultados possíveis = C12,7

O número de resultados favoráveis: C5,3 (3 do 4º ano) * C4,2 (2 do 2º ano) * C3,2 (2 do 3º ano)P(A) = (C5,3 * C4,2 * C3,2) / C12,7 = (5/3 * ... * 3/1) * (4/2 * 3/1) * (3/2 * 2/1) / (12/7 * ... * 6/1) = 5/22.

3.13

O número total de resultados possíveis = CN,n

O número de resultados favoráveis: CNv,nv (nv de vermelhas) * CNa,na (na de azuis) * CNp,np (np depretas)P(A) = (CNv,nv * CNa,na * CNp,np) / CN,n

Nv Na Np NP(A) = nv * na * np n .

3.14

a) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) = ½ + 1/3 – ¼ = 7/12.

b) P(A/B) = P(A • B) / P(B) = ¼ / 1/3 = ¾.

c) P(B/A) = P(A • B) / P(A) = ¼ / ½ = ½.

d) P[(A U B)/B] = P[(A U B) • B] / P(B) = P(B) / P(B) = 1.

3.15

P(Acompl/Bcompl) = P(Acompl • B compl) / P(Bcompl) = [P(A U B) compl] / [1 – P(B)] = 5/12 / 2/3 = 5/8.P(Bcompl/Acompl) = P(Bcompl • A compl) / P(Acompl) = [P(B U A) compl] / [1 – P(A)] = 5/12 / ½ = 5/6.

3.16

Seja A = {(x1)/ x1}, P(A) = 365/365Seja B = {(x1, x2)/ x1 • x 2}, P(B) = 365/365 * (365 – 1)/365 = 365* (365 – 1)/3652

Assim, de maneira geral o item xn terá probabilidade de [(365 – n + 1)/365],Portanto, seja R = {(x1, x2, ..., xr )/ x1 • x 2 • ... • x r},P(R) = 365/365 * [(365 – 1)/365] * ... * [(365 – r +1)/365] = 365 * 364 * ... * (365 – r + 1)/365r.

3.17

a) P(acertarem) = P(1º acertar) * P(2º acertar) * P(3º acertar) = 2/3 * 4/5 * 7/10 = 28/75.

b) P(apenas um acertar) = P(A1, E2, E3) + P(E1, A2, E3) + P(E1, E2, A3) = 2/3 * 1/5 * 3/10 +1/3 * 4/5 * 3/10 + 1/3 * 1/5 * 7/10 = 25/150 = 1/6.

c) P(errarem) = P(1ª errar) * P(2ª errar) * P(3ª errar) = 1/3 * 1/5 * 3/10 = 1/50.

3.18

Seja P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = p,P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) : P(Corrente LR) = P(F 1, F2) + P(F3, F4) – P(F1, F2 • F 3, F4)P(F1, F2) = P(F3, F4) = p * p = p2 e P(F1, F2 • F 3, F4) = p * p * p * p = p4

P(Corrente LR) = 2 * p2 – p4 = 2p2 – p4.

3.19

P(duas da mesma cor) = P(B1, B2) + P(V1, V2) + P(P1, P2) = 5/12 * 5/18 + 4/12 * 6/18 + 3/12 *7/18 = 35/108.

3.20

Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = R$ 1,50},P(A) = P(U1, C2) + P(C1, U2) = 5/9 * 4/8 + 4/9 * 5/8 = 5/9.

3.21

Seja A = {(x1, x2, x3)/ x1, x2, x3 = 2 pretas e 1 vermelha} com reposição,P(A) = P(P1, P2, V3) + P(P1, V2, P3) + P(V1, P2, P3) = 3 * 5/10 * 5/10 * 3/10 = 9/40.

3.22

Seja A = {(x1)/ x1 = 1 branca}, P(A) = 2/3.Seja B = {(x2)/ x2 = 1 branca}, P(B) = P(Brancanova) / P(Totalnova) = (1 + 2/3)/4 = 5/12.

3.23

Seja T = {(s1)/ s1 = 1 branca}, P(T) = x / (x + y).Seja U1 = {(s2)/ s2 = 1 branca}, P(U1) = P(Brancanova) / P(Totalnova) = {z + [x / (x + y)]} / (z + v + 1)P(U2) = P(B1, B2) + P(V1, B2) = [x / (x + y)] * [(z + 1) / (z + v + 1)] + [y / (x + y)] * [z / (z + v + 1)].

3.24

Seja A = {(x1, x2, x3, x4)/ x1 = P, x2 = P, x3 = V, x4 = V} com reposição + 5 bolas da cor,P(A) = P(P1, P2, V3, V4) = 10/15 * (10 + 5)/(15 + 5) * 5/(15 + 10) * (5 + 5)/(15 + 15) = 1/30Seja A = {(x1, x2, x3, x4)/ x1 = P, x2 = V, x3 = P, x4 = V} com reposição + 5 bolas da cor,P(A) = P(P1, V2, P3, V4) = 10/15 * 5/(15 + 5) * (10 + 5)/(15 + 10) * (5 + 5)/(15 + 15) = 1/30Seja A = {(x1, x2)/ x1 = P, x2 = P} com reposição + 5 bolas da cor,P(A) = P(P1, P2) = 1 * (10 + 5)/(15 + 5) = ¾.

3.25

a) P(duas perfeitas) = P(P1, P2) = 5/8 * 3/5 = 3/8.

b) P(uma defeituosa) = P(D1, P2) + P(P1, D2) = 3/8 * 3/5 + 5/8 * 2/5 = 19/40.

c) P(defeituosa vir de A) = P(D1, P2) / P(uma defeituosa) = (3/8 * 3/5) / (19/40) = 9/19.

3.26

a) P(só H viver) = P(M vivercompl) * P(H viver) = ¼ * 3/5 = 3/20.

b) P(só M viver) = P(H vivercompl) * P(M viver) = 2/5 * ¾ = 3/10.

c) P(ambos viverem) = P(H viver) * P(M viver) = 3/5 * ¾ = 9/20.

3.27

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x2 = B},P(A) = P(B1, B2) / [P(B1, B2) + P(P1, B2)] = (½ * 2/3) / [(½ * 2/3) + (½ * ½)] = (1/3) / (1/3 * ½) =4/7.

3.28

a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = mesma cor},P(A) = P(P1, P2) + P(V1, V2) = ½ * 3/6 + ½ * 4/6 = 1/4 + 1/3 = 7/12.

b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = V sabendo que x2 = P},P(A) = P(V1, P2) / [P(V1, P2) + P(P1, P2)] = (½ * 2/6) / (½ * 2/6 + ½ * 3/6) = (1/6) / (5/12) =2/5.

3.29

a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B ou V, x2 = V},P(A) = P(B1, V2) + P(V1, V2) = 3/8 * (5 + 2)/(8 + 2 – 1) + 5/8 * (5 – 1)/(8 + 2 – 1) = 41/72.

b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = B ou V},P(A) = P(B1, B2) + P(V1, V2) = 3/8 * (3 – 1)/(8 + 2 – 1) + 5/8 * (5 – 1)/(8 + 2 – 1) = 13/36.

3.30

a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = V sabendo que x2 = V},P(A) = P(V1, V2) / [P(B1, V2) + P(V1, V2)] = (20/72) / (41/72) = 20/41.

b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x1 = x2 = mesma cor},P(A) = P(B1, B2) / [P(B1, B2) + P(V1, V2)] = (6/72) / (13/36) = 3/13.

3.31

a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = urna 1 ou 2, x2 = V},P(A) = P(U11, V2) + P(U21, V2) = [(½) * x/(x + y)] + [(½) * z/(z + v)] = ½ * x/(x + y) + z/(z + v).

b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B ou V, x2 = V},P(A) = P(B1, V2) + P(V1, V2) = y/(x + y) * z/(z + v + 1) + x/(x +y) * (z + 1)/(z + v + 1) =(y * z)/(x + y)(z + v + 1) + [(x * z) + (x)]/(x + y)(z + v + 1) = (yz + xz + x)/(x + y)(z + v + 1).

3.32

Seja A = {(s1, ..., sx + y) / s1, ..., sx = B, sx + 1, ..., sx + y = P},P(A) = P(X1, ..., Xx, Yx + 1, …, Yx + y) = x/(x + y) * (x – 1)/(x + y – 1) * … * y/y * (y – 1)/ (y – 1)/ =(x! y!) / (x + y)!

3.33

Seja,A = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}B = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}C = {(4,6), (5,5), (6,4)}D = {(2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3), (5,4), (6,4), (6,5)}E = {(2,1), (4,2), (6,3)}

a) P(A/B) = P(A • B) / P(B) = 1/6.

b) P(C/D) = P(C • D) / P(D) = 1/15.

c) P(D/E) = P(D • E ) / P(E) = 3/3 = 1.

d) P(A/C) = P(A • C) / P(C) = 0.

e) P(C/E) = P(C • E ) / P(E) = 0.

f) P(C/A) = P(C • A) / P(A) = 0.

g) P(A/D) = P(A • D) / P(D) = 2/15.

h) P(B/C) = P(B • C) / P(C) = 1/3.

i) P(A/E) = P(A • E ) / P(E) = 0.

j) P(B/E) = P(B • E ) / P(E) = 0.

l) P(A/B • C) = [P(A • B) / P(B)] • P(C) = 0.

m) P[(A • B) / (C • D)] = [P(A • B) • P(C • D)] / [P(C • D)] = 0.

3.34

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = caixa 1 ou 2 sabendo que x2 = P},P(A) = P(C11, P2) / [P(C11, P2) + P(C21, P2)] = (1/2 * 7/10) / [(1/2 * 7/10) + (1/2 * 5/6)] = (7/20) /(46/60) = 21/46P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – 21/46 = 25/46.

3.35

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x2 = D},

P(A) = P(B/D) = [P(B • D) / P(D)] = {[P(B) * P(D/B)] / [P(A) * P(D/A) + P(B) * P(D/B) + P(C) *P(D/C)]} = (1/6 * 3/5) / [(3/4 * 1/20) + (1/6 * 3/5) + (1/10 * 3/10)] = (1/10) / (67/400) = 40/67.

3.36

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = M sabendo que x2 = 1,80},P(A) = P(M1, A2) / [P(M1, A2) + P(H1, A2)] = (4/10 * 2/100) / [(4/10 * 2/100) + (6/10 * 5/100)] =(1/125) / (19/500) = 4/19.

3.37

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x2 = D},P(A) = P(B1, D2) / [P(A1, D2) + P(B1, D2) + P(C1, D2)] = (5/10 * 5/100) / [(4/10 * 3/100) + (5/10 *5/100) + (1/10 * 2/100)] = (1/40) / (39/1000) = 25/39.

3.38

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = T sabendo que x2 = Y positivo},P(A) = P(T1, Y2) / [P(T1, Y2) + P(NT1, Y2)] = (1/10 * 80/100) / [(1/10 * 80/100) + (9/10 * 30/100)] =(2/25) / (7/20) = 8/35.

3.39

a) P(só caras) = P(C1, C2, C3) = ½ * ½ * ½ = 1/8.

b) P(2 C, 1 K) = 3 * P(C1, C2, K3) = 3 * ½ * ½ * ½ = 3/8.

c) P(1 C) = 3 * P(C1, K2, K3) = 3 * ½ * ½ * ½ = 3/8.

d) P(ao menos 1 K) = 3 * P(K1, C2, C3) + 3 * P(K1, K2, C3) + P(K1, K2, K3) = 7 * ½ * ½ * ½ =7/8.

e) P(só coroa) = P(K1, K2, K3) = ½ * ½ * ½ = 1/8.

3.40

a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2}, P(A) = 6/36 = 1/6.

b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2}, P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – 1/6 = 5/6.

c) Seja A = {(x1, x2)/ x1 < x2}, P(A) = 15/36 = 5/12.

d) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = par}, P(A) = 18/36 = ½.

e) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 7, sabendo que x1 • x 2}, P(A) = 6/(36 – 6) = 1/5.

f) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 6, sabendo que x1 = x2}, P(A) = (5 – 4)/(36 – 30) = 1/6.

g) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 14}, P(A) = 0.

3.41

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = Errar}, P(Acompl) = 1 – P(E1, E2) = 1 – (2/5 * 3/7) = 29/35.

3.42

Seja A = {(x1)/ x1 = 5 ou par}, P(A) = P(5) + P(par) = 1/6 + 3/6 = 4/6 = 2/3.

3.43

a) Seja A = {(x1)/ x1 = H}, P(A) = 10/15 = 2/3.

b) Seja A = {(x1)/ x1 = A}, P(A) = 7/15.

c) Seja A = {(x1)/ x1 = M} ou B = {(x1)/ x1 = Me}, P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) = 8/15 +5/15 – 3/15 = 2/3.

d) Seja A = {(x1)/ x1 = H, sabendo que x1 = A}, P(A) = 5/(15 – 8) = 5/7.

e) Seja A = {(x1)/ x1 = Me, sabendo que x1 = Mu}, P(A) = 3/(15 – 10) = 3/5.

3.44

a) Seja X = {3, 6, 9, 12, 15, 18} e Y = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20},X e Y serão independentes se e somente se P(X • Y) = P(X) * P(Y)P(X • Y) = 3/20, P(X) = 6/20, P(Y) = 10/20P(X) * P(Y) = 6/20 * 10/20 = 3/20 = P(X • Y), portanto, X e Y s ão independentes.

b) Seja M = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} e N = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19},M e N serão independentes se e somente se P(M • N) = P(M) * P(N)P(M • N) = 7/20, P(M) = 9/20, P(N) = 10/20P(M) * P(N) = 9/20 * 10/20 = 9/40 • P(M • N), portanto, M e N n ão são independentes.

3.45

a) Seja A = {(x1)/ x1 = H}, P(A) = 60/100 = 60%.

b) Seja A = {(x1)/ x1 = M e Y}, P(A) = 26/100 = 26%.

c) Seja A = {(x1)/ x1 = Y}, P(A) = 65/100 = 65%.

d) Seja A = {(x1)/ x1 = H e X}, P(A) = 21/100 = 21%.

e) Seja A = {(x1)/ x1 = M, sabendo que x1 = X}, P(A) = 14/(100 – 65) = 40%.

f) Seja A = {(x1)/ x1 = Y, sabendo que x1 = H}, P(A) = 39/(100 – 40) = 65%.

3.46

Sendo A e B independentes, temos que P(A • B) = P(A) * P(B)A e B também são mutuamente exclusivos, ou seja, P(A • B) = ØComo P(Ø) = 0, então P(A • B) = 0Voltando para a primeira igualdade, teremos que P(A) * P(B) = 0Para que a igualdade seja verdadeira P(A) = 0 ou P(B) = 0.

3.47

Sendo A e B independentes, temos que P(A • B) = P(A) * P(B)Como P(A) • 0 e P(B) • 0, ent ão P(A) * P(B) • 0 e conseqüentemente P(A • B) • 0Portanto, P(A • B) • Ø, acarretando na não exclusividade dos eventos.

3.48

Sendo A e S independentes, temos que P(A • S ) = P(A) * P(S )Como S é o espaço amostral, temos que P(S) = 1Como A está contido em S, temos que P(A • S ) = P(A)Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que P(A) = P(A) * 1Portanto, conclui-se que A e S são independentes.

3.49

Sendo A e Ø independentes, temos que P(A • Ø) = P(A) * P(Ø)Como P(Ø) = 0, temos que P(A • Ø) = P(Ø) = 0Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que 0 = P(A) * 0Portanto, conclui-se que A e Ø são independentes.

3.50

Sendo S e Ø independentes, temos que P(S • Ø) = P(S) * P(Ø)Como P(Ø) = 0, temos que P(S • Ø) = P(Ø) = 0Como S é o espaço amostral, temos que P(S) = 1Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que 0 = 1 * 0Portanto, conclui-se que S e Ø são independentes.


Capítulo 4 – Distribuições de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Discretas

SÉRIE I

4.1

S = {cc, ck, kc, kk}X = número de coroas (k) = 0, 1, 2

Xi 0 1 2

P(Xi) 1/4 1/2 1/4

Dis tr ibuiç ão de Probab ilidade

0

1/4

1 /2

3 /4

1

0 1 2

Xi

P(X

i)

4.2

i) S = {(1,1), (1,2), ..., (6,5), (6,6)} = 36 casosX = soma dos pontos = 2, 3, ..., 12

Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(Xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

j) P(3 • X • 10) = 1 – [P(2) + P(11) + P(12)] = 1 – 4/36 = 32/36 = 8/9.

k) P(X > 7) = P(8) + ... + P(12) = 5/36 + ... + 1/36 = 15/36 = 5/12.

l) P(X • 5) = P(2) + ... + P(5) = 1/36 + ... + 4/36 = 10/36 = 5/18.

m) P(X • 6) = P(X • 5) + P(6) = 10/36 + 5/36 = 15/36 = 5/12.

n) P(X • 3) = 1 – P(2) = 1 – 1/36 = 35/36.

o) F(4) = P(2) + ... + P(4) = 1/36 + ... + 3/36 = 6/36 = 1/6.

p) F(8) = P(2) + ... + P(8) = 1/36 + ... + 5/36 = 26/36 = 13/18.

q) F(15) = 1.

r) F(1) = 0.

l) F(5,5) = P(X • 5) = 5/18.

m) F(12) = 1.

4.3

a) Ó P(X i) = 1P(1) + P(3) + P (5) + P (7) = 1k + k/3 + k/5 + k/7 = 176k/105 = 1, portanto, k = 105/176.

b) P(2 • X • 6) = P(3) + P(5) = 105/176 * 1/3 + 105/176 * 1/5= 56/176 = 7/22.

c) F(5) = 1 – P(7) = 1 – 105/176 * 1/7 = 161/176.

4.4

S = {vv, vn, nv, nn}, com v = vende e n = não vendeY = número de clientes que assinam venda (v) = 0, 1, 2P(0) = P(N,N) = 80/100 * 80/100 = 64/100 = 0,64P(1) = P(V,N) + P(N, V) = 20/100 * 80/100 + 80/100 * 20/100 = 32/100 = 0,32P(2) = P(V,V) = 4/100 = 0,04.

Yi 0 1 2

P(Yi) 0,64 0,32 0,04

SÉRIE II

4.5

a) Ó P(X i) = 1P(3) = 1 – [P(1) + P (2) + P (5) + P (8)] = 1 – [0,20 + 0,25 + 0,30 + 0,10] = 0,15.

b) F(5) = 1 – P(8) = 1 – 0,10 = 0,90.

c) ì (x) = Ó xi * P(x i) = 1 * 0,20 + … + 8 * 0,10 = 3,45.

d) ó(x)2 = Ó xi

2 * P(x i) – ì (x)2 = (1 * 0,20 + ... + 64 * 0,10) – (3,45)2= 16,45 – 11,9025 =

4,5475ó(x) = (ó(x)

2)1/2 = (4,5475)1/2 = 2,1325.

4.6

a) P(1) = (0,8) * (0,2)1 – 1 = 0,8P(2) = (0,8) * (0,2)2 – 1 = 0,16P(3) = (0,8) * (0,2)3 – 1 = 0,032P(4) = (0,8) * (0,2)4 – 1 = 0,0064P(5) = (0,8) * (0,2)5 – 1 = 0,00128.

b) F(X • 5) = P(1) + ... + P(5) = 0,8 + ... + 0,00128 = 0,99968, ou seja, a soma dasprobabilidades atinge 0,99968, logo, as probabilidades para valores maiores do que 5 sãopróximas a zero (ou mais exatamente 0,00032).

4.7

a) F(2) = P(0) + …+ P(2) = 0,55 + … + 0,10 = 0,90.

b) P(1 • X • 4) = 1 – [P(0) + P (5)] = 1 – (0,55 + 0,02) = 1 – 0,57 = 0,43P(X > 1) = 1 – [P(0) + P(1)] = 1 – (0,55 + 0,25) = 1 – 0,80 = 0,20.

c) ì (x) = Ó xi * P(x i) = 0 * 0,55 + … + 5 * 0,02 = 0,83 chamadas por minuto.

d) ó(x)2 = Ó xi

2 * P(x i) – ì (x)2 = (0 * 0,55 + … + 25 * 0,02) – (0,83)2= 2,15 – 0,6889 = 1,4611

ó(x) = (ó(x)2)1/2 = (1,4611)1/2 = 1,20876

CV = ì (x)/ó(x) = 1,20876/0,83 = 1,456337 = 145,6%.

4.8

a) S = {(0-0), (0-1), ..., (5-6), (6,6)} = 28 casosZ = pontos numa peça de dominó = 0, 1, ..., 12.

Zi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(Zi) 1/28 1/28 2/28 2/28 3/28 3/28 4/28 3/28 3/28 2/28 2/28 1/28 1/28

Dis tr ibu iç ão de Probab ilidade

0

1 /20

1 /10

3 /20

1 /5

1 /4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Z i

P(Z

i)

b) P(2 • Z • 6) = P(2) + ... + P(6) = 2/28 + … + 4/28 = 14/28 = ½.

c) F(8) = 1 – [P(9) + ... + P(12)] = 1 – (2/28 + … + 1/28 = 1 – 6/28 = 22/28 = 11/14.

d) ì (x) = Ó xi * P(x i) = 0 * 1/28 + … + 12 * 1/28 = 6.

4.9

a) S = {(R, R, R), (R, R, M), ..., (M, M, R), (M, M, M)} = 8 casosX = número de rapazes = 0, 1, 2, 3P(0) = P(M, M, M) = 4/9 * 3/8 * 2/7 = 1/21P(1) = P(R, M, M) = 3 * 5/9 * 4/8 * 3/7 = 5/14P(2) = P(R, R, M) = 3 * 5/9 * 4/8 * 4/7 = 10/21P(3) = P(R, M, M) = 5/9 * 4/8 * 3/7 = 5/42.

Xi 0 1 2 3

P(Xi) 1/21 5/14 10/21 5/42

b) I. P(X • 2) = 1 – P(3) = 1 – 5/42 = 37/42II. P(X • 0) = P(0) = 1/21III. P(1 < X • 3) = P(2) + P(3) = 10/21 + 5/42 = 25/42IV. P(2 < X < 3) = 0V. P(X > 2) = P(3) = 5/42VI. P(X > – 1) = 1VII. P(X < 5) = 1.

c) F(2,5) = 1 – P(3) = 1 – 5/42 = 37/42F(3) = 1F(0,5) = P(0) = 1/21F(3,5) = 1F(2) = F(2,5) = 37/42F(1) = P(0) + P(1) = 1/21 + 5/14 = 17/42F(6) = 1F(– 0,5 ) = 0.

4.10

S = {(I, I), (I, N), (N, I), (N, N)} = 4 casos, com I = IBM e N = não IBM

X = é IBM = 0, 1, 2P(0) = P(N, N) = 30/100 * 30/100 = 9/100P(1) = P(I, N) + P(N, I) = 2 * 70/100 * 30/100 = 21/50P(2) = P(I, I) = 70/100 * 70/100 = 49/100

Xi 0 1 2

P(Xi) 0,09 0,42 0,49

ì (x) = Ó xi * P(x i) = 0 * 0,09 + … + 2 * 0,49 = 1,4ó(x)

2 = Ó xi2 * P(x i) – ì (x)

2 = (0 * 0,09 + … + 4 * 0,49) – (1,4)2= 2,38 – 1,96 = 0,42ó(x) = (ó(x)

2)1/2 = (0,42)1/2 = 0,65.

SÉRIE III

4.11

P(X = x) = 10 * (½)x * (½)10 – x = 10 * (½)10, com x = ser cara x x

a) P(x = 6) = [(10 * ... * 5)/(6 * ... *1)] * (½)10 = 105/512.

b) P(x • 2) = 1 – [P(0) + P(1)] = 1 – [(½)10 + 10 * (½)10] = 1 – 11/1024 = 1013/1024.

c) P(x = 10) = (½)10 = 1/1024.

d) P(x • 1) = 1 – P(0) = 1 – 1/1024 = 1023/1024.

e) P(x • 5) = 1 – P(5) = 1 – [(10 * ... * 6)/(5 * ... *1)] * (½)10 = 1 – 63/256 = 193/256.

4.12

P(X = x) = 6 * (½)x * (½)6 – x = 6 * (½)6, com x = filhos homens x x

P(x = 4) = [(6 * ... * 3)/(4 * ... * 1)] * (½)6 = 15/64.

4.13

P(X = x) = 4 * (½)x * (½)4 – x = 6 * (½)4, com x = ter menino x x

a) P(x = 4) = (½)4 = 1/16, famílias com nenhuma menina = 1/16 * 320 = 20.

b) P(x = 3) = [(4 * ... * 2)/(3 * ... *1)] * (½)4 = 1/4, famílias com 3 meninos = 1/4 * 320 = 80.

c) P(x = 4) = (½)4 = 1/16, famílias com 4 meninos = 1/16 * 320 = 20.

4.14

P(X = x) = n * (1/6)x * (5/6)n – x , com x = ser face 3 do dado. x

P(x • 1) = 1 – P(0) = 1 – (5/6)n.

4.15

P(X = x) = 5 * (2/3)x * (1/3)5 – x , com x = vitória x

a) P(x = 3) = [(5 * ... * 3)/(3 * ... *1)] * (2/3)3 * (1/3)2 = 80/243.

b) P(x • 1) = 1 – P(0) = (1/3) 5 = 1 – 1/243 = 242/243.

c) P(x • 3) = (3) + P(4) + P(5) = 80/243 + [(5 * ... * 2)/(4 * ... *1)] * (2/3) 4 * (1/3)1 + (2/3)5 =80/243 + 80/243 + 32/243 = 192/243 = 64/81.

4.16

P(X = x) = 6 * (1/3)x * (2/3)6 – x , com x = acertar o alvo x

a) P(x = 2) = [(6 * 5)/(2 * 1)] * (1/3)2 * (2/3)4 = 80/243.

b) P(x = 0) = (2/3)6 = 64/729.

4.17

P(X = x) = 100 * (1/2)x * (1/2)100 – x = 100 * (1/2)100, com x = acertar o teste x x

P(x = 70) = 100 * (½)100. 70

4.18

a) Se F(5) = P(0) + ... + P(5) = 1, portanto, n = 5.

b) P(y = 0) = p0 * q(n – 0) = q(n – 0), portanto, q5 = 1/243, q = (1/243)1/5 = 1/3Se p + q = 1, p = 2/3.

c) ì (y) = n * p = 5 * 2/3 = 10/3.

d) ó(y)2 = n * p * q = 5 * 2/3 * 1/3 = 10/9.

e) P(y • 1) = 1 – P(0) = 1 – 1/243 = 242/243.

f) P(2 • y • 4) = F (4) – F (1) = 211/243 – 11/243 = 200/243.

4.19

P(X = x) = 100 * (0,05)x * (0,95)100 – x, com x = ser defeituosa x

a) P(0) = (0,95)100 – x = (0,95)100.

b) P(3) = 100 * (0,05)3 * (0,95)97

3

c) P(x < 99) = 1 – [P(100) + P(99)] = 1 – (0,05)100 – 100 * (0,05)99 * (0,95).

SÉRIE IV

4.20

a) P(x = 5) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(35 * e-3) / 5!] = [(243 * 0,0498) / 120] = 0,1008.

b) P(x • 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e -5,5 + (5,51 * e-5,5) + [(5,52 * e-5,5) / 2!]} = 0,0041 +0,0225 + 0,1240 = 0,0886.

c) P(x • 4) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 – {e-7,5 + (7,51 * e-7,5) + [(7,52 * e-7,5) / 2!] +[(7,53 * e-7,5) / 3!]} = 1 – (0,00055 + ... + 0,0387) = 1 – 0,0588 = 0,9412.

d) P(x = 8) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(48 * e-4) / 8!] = [(65536 * 0,0183) / 40320] = 0,0297.

4.21

ì = λ * t = 0,02 * 100 = 2

a) P(x • 3) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 – {e-2 + (21 * e-2) + [(22 * e-2) / 2!]} = 1 – (0,1353 +0,2707 + 0,2707) = 1 – 0,6767 = 0,3233.

b) P(x = 5) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(25 * e-2) / 5!] = 0,0361.

c) P(x = 5) = e-2 = 0,1353.

d) P(x < 2) = [P(0) + P(1)] = e-2 + (21 * e-2) = 0,1353 + 0,2707 = 0,4060.

4.22

ì = λ * t = 0,03 * 230 = 6,9P(x = 10) = [(6,910 * e-6,9) / 10!] = 0,0679.

4.23

a) Para 5000 km, ì = n * p, 1 = 5000 * p, p = 0,0002,Para 3000 km, ì = n * p = 3000 * 0,0002 = 0,6P(x • 1) = P(0) + P(1) = e -0,6 + (0,6 * e-0,6) = 0,5488 + 0,3293 = 0,8781.

b) Para 5000 km, ì = n * p, 1 = 5000 * p, p = 0,0002,Para 8000 km, ì = n * p = 8000 * 0,0002 = 1,6P(x = 0) = e-1,6 = 0,2019.

4.24

a) P(x = 4) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(34 * e-3) / 4!] = 0,1681.

b) P(x • 3) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 – {e-3 + (31 * e-3) + [(32 * e-3) / 2!]} = 1 – (0,0498 +0,1494 + 0,2241) = 1 – 0,4233 = 0,5767.

4.25

a) P(x = 3) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(33 * e-3) / 3!] = 0,2241.

b) Para 1 hora, ì = λ * t, 3 = λ * 1, λ = 3,Para 1,5 hora, ì = λ * t = 3 * 1,5 = 4,5P(x • 4) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 – {e-4,5 + ... + [(4,53 * e-4,5) / 3!]} = 1 – (0,0111 +... + 0,1687) = 1 – 0,3423 = 0,6577.

4.26

Para 1 cm2, ì = λ * t, 1 = λ * 1, λ = 1,Para 4 cm2, ì = λ * t = 1 * 4 = 4P(x = 3) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(43 * e-4) / 3!] = 0,1954.

4.27

a) P(x = 2) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(22 * e-2) / 2!] = 0,2707.

P(x = 3) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(23 * e-2) / 3!] = 0,1804.

4.28

Para 50000, ì = n * p, 2 = 50000 * p, p = 0,00004,Para 100000, ì = n * p = 100000 * 0,00004 = 4

a) P(x = 0) = e- ì = e-4 = 0,01832.

b) P(x = 1) = ì * e- ì = 4 * e-4 = 0,0733.

c) P(x = 2) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(42 * e-4) / 2!] = 0,14656.

d) P(x • 2) = 1 – [P(0) + P(1)] = 1 – (0,01832 + 0,07328) = 1 – 0,9160 = 0,9084.

4.29

ì = 400/500 = 0,8

a) P(x = 0) = e- ì = e-0,8 = 0,4493.

b) P(x = 2) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(0,82 * e-0,8) / 2!] = 0,1438.

4.30

a) Para 1 hora, ì = λ * t, 5 = λ * 1, λ = 5,Para 24 minutos , ì = λ * t = 5 * 0,4 = 2P(x = 2) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(22 * e-2) / 2!] = 0,2707.

b) Para 1 hora, ì = n * p, 5 = 1 * p, p = 5,Para 18 minutos , ì = n * p = 0,3 * 5 = 1,5P(x • 3) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 – {e-1,5 + (1,51 * e-1,5) + [(1,52 * e-1,5) / 2!]} = 1 –(0,2231 + 0,3347 + 0,2510) = 1 – 0,8088 = 0,1912.

4.31

a) Para 1 hora, ì = λ * t, 3 = λ * 1, λ = 3,Para 20 minutos , ì = λ * t = 3 * 0,333 = 1P(x = 3) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(13 * e-1) / 3!] = 0,0613.

b) Para 1 hora, ì = λ * t, 3 = λ * 1, λ = 3,Para 30 minutos , ì = λ * t = 3 * 0,5 = 1,5P(x • 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e -1,5 + (1,51 * e-1,5) + [(1,52 * e-1,5) / 2!]} = 0,2231 + 0,3347 +0,2510 = 0,8088.

4.32

Para 100000, ì = n * p, 3 = 100000 * p, p = 0,00003,Para 200000, ì = n * p = 200000 * 0,00003 = 6P(x • 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e -6 + (61 * e-6) + [(62 * e-6) / 2!]} = 0,0025 + 0,0149 + 0,0446 =0,0620.

4.33

Para 1 minuto, ì = λ * t, 40 = λ * 1, λ = 40,Para 6 segundos, ì = λ * t = 40 * 0,1 = 4P(x = 2) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(42 * e-4) / 2!] = 0,14656.

4.34

Para 1 minuto, ì = λ * t, 1,7 = λ * 1, λ = 1,7,Para 2 minutos , ì = λ * t = 1,7 * 2 = 3,4P(x = 2) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(3,42 * e-3,4) / 2!] = 0,1929.

4.35

P(x > 3) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 – {e-2 + ... + [(23 * e-2) / 3!]} = 1 – (0,1353 + ... +0,1804) = 1 – 0,8571 = 0,1429.

4.36

Para 1 peça, ì = λ * t, 2,2 = λ * 1, λ = 2,2,Para 2 peças, ì = λ * t = 2,2 * 2 = 4,4P(x • 2) = 1 – [P(0) + P(1)] = 1 – [e-4,4 + (4,4 * e-4,4)] = 1 – (0,0123 + 0,0540) = 1 – 0,0663 =0,9337.


Capítulo 5 – Distribuições de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Contínuas

SÉRIE I

5.1

d) P(0 • z • 1,44) = 0,4251 ou 42,51%.

e) P(–0,85 < z < 0) = P(0 < z < 0,85) = 0,3023.

f) P(–1,48 < z < 2,05) = P(z < 1,48) + P(z < 2,05) = 0,4306 + 0,4798 = 0,9104.

g) P(0,72 < z < 1,89) = P(z < 1,89) – P(z < 0,72) = 0,4706 – 0,2642 = 0,2064.

h) P(z • 1,08) = 0,5 – P(z < 1,08) = 0,5 – 0,3599 = 0,1401.

i) P(z • –0,66) = 0,5 + P(z < 0,66) = 0,5 + 0,2454 = 0,7454.

j) P(|z| • 0,5) = 2 * P(z < 0,5) = 2 * 0,1915 = 0,3830.

5.2

a) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(700 – 850)/45 < z < (1000 – 850)/45]P(700 < x < 1000) = P(–3,33 < z < 3,33) = 2 * P(z < 3,33) = 0,9991, ou seja, 1.

b) [z > (a – ì )/ó] = [z > (800 – 850)/45]P(x > 800) = P(z > –1,11) = 0,5 + P(z < 1,11) = 0,5 + 0,3665 = 0,8665.

c) [z < (a – ì )/ó] = [z < (750 – 850)/45]P(x < 750) = P(z < –2,22) = 0,5 – P(z < 2,22) = 0,5 – 0,4868 = 0,0132.

d) [z = (a – ì )/ó] = [z = (1000 – 850)/45]P(x = 1000) = P(z = 3,33) = 0,5 – P(z = 3,33) = 0,5 – 0,49957 = 0,0004, ou seja, 0.

5.3

a) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(60 – 65,3)/5,5 < z < (70 – 65,3)/5,5]P(60 < x < 70) = P(–0,96 < z < 0,85) = P(z < 0,96) + P(z < 0,85) = 0,3315 + 0,3023 =0,6338 ou 380 estudantes.

b) [z > (a – ì )/ó] = [z > (63,2 – 65,3)/5,5]P(x > 63,2) = P(z > –0,38) = 0,5 + P(z < 0,38) = 0,5 + 0,1480 = 0,6480 ou 389 estudantes.

5.4

P(z > ?) = 0,1500, P(z < ?) = 0,5 – 0,1500 = 0,3500, portanto, z = 1,04z = (a – ì )/ó, 1,04 = [(a – 73)/15], a = 88,5P(z < – ?) = P(z > ?) = 0,1200, P(z < ?) = 0,5 – 0,1200 = 0,3800, portanto, z = –1,175z = (b – ì )/ó, –1,175 = [(b – 73)/15], b = 55.

5.5

a) [z > (a – ì )/ó] = [z > (46 – 48)/2]P(x > 46000) = P(z > –1,00) = 0,5 + P(z < 1,00) = 0,5 + 0,3413 = 0,8413.

b) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(45 – 48)/2 < z < (50 – 48)/2]P(45000 < x < 50000) = P(–1,5 < z < 1,00) = P(z < 1,5) + P(z < 1,00) = 0,4332 + 0,3413 =0,7745.

5.6

a) [z < (a – ì )/ó] = [z < (–3 – 12)/5]P(x < –3) = P(z < –3,00) = 0,5 – P(z < 3,00) = 0,5 – 0,49865 = 0,00135.

b) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(–1 – 12)/5 < z < (15 – 12)/5]P(–1 < x < 15) = P(–2,60 < z < 0,60) = P(z < 2,60) + P(z < 0,60) = 0,4953 + 0,2257 =0,7210.

5.7

a) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(150 – 180)/25 < z < (178 – 180)/25]P(150 < x < 178) = P(–1,20 < z < –0,08) = P(z < 1,20) – P(z < 0,08) = 0,3849 – 0,0319 =0,3530.

b) P(z < ?) = 0,48, portanto, z = 2,05z = (a – ì )/ó, 2,05 = [(a – 180)/25], a = 231,25z = (b – ì )/ó, –2,05 = [(b – 180)/25], b = 128,75, portanto, 96% dos salários estão entre $128, 75 e 231,25.

5.8

X1 • N (10 g; 0,25 g 2) e X2 • N (150 g; 64 g 2)120 * X1 + X2 = T ou N (1200 g; 30 g2) + N (150 g; 64 g2) = N (1350 g; 94 g2)[z > (a – ì )/ó] = [z > (1370 – 1350)/(94)0,5]P(t > 1370) = P(z > 2,06) = 0,5 – P(z < 2,06) = 0,5 – 0,4803 = 0,0197.

5.9

a) X1 • N (70 kg; 400 kg 2) e X2 • N (12 kg; 25 kg 2)4 * X1 + 4 * X2 = T ou N (280 kg; 1600 kg2) + N (48 kg; 100 kg2) = N (328 kg; 1700 kg2)[z > (a – ì )/ó] = [z > (350 – 328)/(1700)0,5] = 0,53P(t > 350) = P(z > 0,53) = 0,5 – P(z < 0,53) = 0,5 – 0,2019 = 0,2981.

b) z > (b – ì )/ó = [(400 – 328)/(1700)0,5, z > (400 – 328)/(1700)0,5 = 1,74P(t > 400) = P(z > 1,74) = 0,5 – P(z < 1,74) = 0,5 – 0,4591 = 0,0409.

5.10

P(z < –?) = P(z < ?) = 0,5 – 0,12 = 0,38, portanto, z = –1,18 ... z = (a – ì )/ó, –1,18 = (19 – ì )/ó,ó = (19 – ì )/1,18P(z < ?) = 0,5 – 0,28 = 0,22, portanto, z = 0,58 ... z = (b – ì )/ó, 0,58 = (34 – ì )/ó, ó = (34 –ì )/0,58–(19 – ì )/1,18 = (34 – ì )/0,58 ... –11,02 + 0,58ì = 40,12 – 1,18ì ... 1,76ì = 51,14 ... ì = 29,06e 0,58 = (34 – ì )/ó ... 0,58 = (34 – 29,06)/ó ... ó = 8,52, ó2 = 72,64.

5.11

X1 • N (10; 9), X 2 • N (–2; 4) e X 3 • N (5; 25)X1 + X2 + X3 = T ou N (10; 9) + N (–2; 4) + N (5; 25)= N (13; 38).

5.12

a) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(0,20 – 0,25)/0,02 < z < (0,28 – 0,25)0,02]P(0,20 < x < 0,28) = P(–2,5 < z < 1,5) = P(z < 2,5) + P(z < 1,5) = 0,4938 + 0,4332 = 0,9270,portanto, 1 – 0,9270 = 0,0730 é a porcentagem de defeituosos.

b) P(z < –?) = 0,5 – 0,12 = 0,38, portanto, z = –1,17 ... z = (a – ì )/ó ... –1,17 = (? –0,25)/0,02 ... ? = 0,2266 polegadas.

5.13

z > (a – ì )/ó = z > (45 – 45)/3, P(x > 45) = P(z > 0) = 0,5z > (b – ì )/ó = z > (45 – 40)/6, P(x > 45) = P(z > 0,83) = 0,5 – 0,2967 = 0,2033Deve ser preferido o equipamento 1, uma vez que sua probabilidade de funcionar por mais de45 horas é maior que a probabilidade do equipamento 2.

5.14

P(z < –?) = 0,10 ... P(z < ?) = 0,40, portanto, z = –1,28z = (a – ì )/ó ... –1,28 = [(400 – ì )/20] ... ì = 425,6 g.

5.15

a) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – ó) – ì ]/ó < z < [(ì + ó) – ì ]/ó} = [–ó/ó < z < ó/ó]P(ì – ó < X < ì + ó) = P(–1 < z < 1) = 2 * P(z < 1) = 2 * 0,3413 = 0,6826.

b) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 2ó) – ì ]/ó < z < [(ì + 2ó) – ì ]/ó} = [–2ó/ó < z < 2ó/ó]P(ì – 2ó < X < ì + 2ó) = P(–2 < z < 2) = 2 * P(z < 2) = 2 * 0,4772 = 0,9544.

c) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 3ó) – ì ]/ó < z < [(ì + 3ó) – ì ]/ó} = [–3ó/ó < z < 3ó/ó]P(ì – 3ó < X < ì + 3ó) = P(–3 < z < 3) = 2 * P(z < 3) = 2 * 0,49865 = 0,9973.

d) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 1,5ó) – ì ]/ó < z < [(ì + 1,5ó) – ì ]/ó} = [–1,5ó/ó < z <1,5ó/ó]P(ì – ó < X < ì + ó) = P(–1,5 < z < 1,5) = 2 * P(z < 1,5) = 2 * 0,4332 = 0,8664.

e) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 3,5ó) – ì ]/ó < z < [(ì + 3,5ó) – ì ]/ó} = [–3,5ó/ó < z <3,5ó/ó]P(ì – 3,5ó < X < ì + 3,5ó) = P(–3,5 < z < 3,5) = 2 * P(z < 3,5) = 2 * 0,49977 = 0,999.

5.16

b) O intervalo compreendido entre o valor da média menos dois desvios padrão e o valorda média mais dois desvios padrão contém aproximadamente 95% das observações.

c) O intervalo compreendido entre o valor da média menos três desvios padrão e o valorda média mais três desvios padrão contém aproximadamente 99,7% das observações.

d) O intervalo compreendido entre o valor da média menos um e meio desvios padrão e ovalor da média mais um e meio desvios padrão contém aproximadamente 87% dasobservações.

e) O intervalo compreendido entre o valor da média menos três e meio desvios padrão e ovalor da média mais três e meio desvios padrão contém aproximadamente 100% dasobservações.

5.17

a) P(x < –?) = 0,05, P(x < ?) = 0,5 – 0,05 = 0,45P(z < ?) = 0,45, portanto, z = –1,645 ... z = (a – ì )/ó ... –1,64 = (? – 18)/8 ... ? = 4,88.

b) P(x > ?) = 0,15, P(x < ?) = 0,5 – 0,15 = 0,35P(z < ?) = 0,35, portanto, z = 1,04 ... z = (a – ì )/ó ... 1,04 = (? – 20)/10 ... ? = 30,4.

c) P(x < –?) = 0,10, P(x < ?) = 0,5 – 0,10 = 0,40P(z < ?) = 0,40, portanto, z = –1,28 ... z = (a – ì )/ó ... –1,28 = (? – 30)/7 ... ? = 21,04.

d) P(x > ?) = 0,30, P(x < ?) = 0,5 – 0,30 = 0,20P(z < ?) = 0,20, portanto, z = 0,52 ... z = (a – ì )/ó ... 0,52 = (? – 120)/9 ... ? = 124,68.

e) P(x < –?) = 0,25, P(x < ?) = 0,5 – 0,25 = 0,25P(z < ?) = 0,25, portanto, z = –0,67 ... z = (a – ì )/ó ... –0,67 = (? – 5)/3 ... ? = 2,99.

f) P(x > ?) = 0,25, P(x < ?) = 0,5 – 0,25 = 0,25P(z < ?) = 0,25, portanto, z = 0,67 ... z = (a – ì )/ó ... 0,67 = (? – 78)/11 ... ? = 85,37.

g) P(x < ?) = 0,5P(z < ?) = 0,5, portanto, z = 0 ... ? = ì = 30.

5.18

a) P(Z < –Zo) = 0,05, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,05 = 0,45, portanto, z = –1,64.

b) P(Z < –Zo) = 0,12, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,12 = 0,38, portanto, z = –1,17.

c) P(Z < –Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = –0,39.

d) P(Z < Zo) = 0,50, portanto, z = 0.

e) P(Z < Zo) = 0,60, P(Z < Zo) = 0,60 – 0,5 = 0,10, portanto, z = 0,25.

f) P(Z < Zo) = 0,75, P(Z < Zo) = 0,75 – 0,5 = 0,25, portanto, z = 0,67.

g) P(Z < Zo) = 0,90, P(Z < Zo) = 0,90 – 0,5 = 0,40, portanto, z = 1,28.

h) P(Z > Zo) = 0,72, P(Z < –Zo) = 0,28, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,28 = 0,22, portanto, z = –0,58.

i) P(Z > Zo) = 0,65, P(Z < –Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = –0,39.

j) P(Z > Zo) = 0,38, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,38 = 0,12, portanto, z = 0,31.

l) P(Z > Zo) = 0,08, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,08 = 0,42, portanto, z = 1,41.

5.19

X • N (65; 100)P(z > a) = 0,15, P(z < a) = 0,5 – 0,15 = 0,35, portanto, z = 1,04,z = (a – ì )/ó ... 1,04 = (a – 65)/10 ... a = 75,4;P(z > b) = 0,15 + 0,20, P(z < b) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39,z = (b – ì )/ó ... 0,39 = (b – 65)/10 ... b = 68,9;P(z > –c) = 0,65, P(z < c) = 0,65 – 0,5 = 0,15, portanto, z = –0,39,z = (c – ì )/ó ... –0,39 = (c – 65)/10 ... c = 61,10;P(z > –d) = 0,90, P(z < c) = 0,90 – 0,5 = 0,40, portanto, z = –1,28,z = (d – ì )/ó ... –1,28 = (d – 65)/10 ... d = 52,20;Portanto,

E D C B A

0 52,20 61,10 68,90 75,40 100

5.20

X • N (50 ohms; 40 ohms 2), P(a < x < b) = 0,99 e |a| = |b|P(z < b) = 0,99/2 = 0,4950, portanto z = 2,575z = (b – ì )/ó ... 2,575 = (b – 50)/6,32 ... 16,27 = (b – 50) ... b = 16,27 + 50 (limite superior) e–z = (a – ì )/ó ... –2,575 = (a – 50)/6,32 ... –16,27 = (a – 50) ... a = 16,27 – 50 (limite inferior).

5.21

X • N (70; 100)P(z > a) = 0,15, P(z < a) = 0,5 – 0,15 = 0,35, portanto, z = 1,04,z = (a – ì )/ó ... 1,04 = (a – 70)/10 ... a = 80,4;P(z > b) = 0,15 + 0,20, P(z < b) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39,z = (b – ì )/ó ... 0,39 = (b – 70)/10 ... b = 73,9;P(z > –c) = 0,65, P(z < c) = 0,65 – 0,5 = 0,15, portanto, z = –0,39,z = (c – ì )/ó ... –0,39 = (c – 70)/10 ... c = 66,10;P(z > –d) = 0,90, P(z < c) = 0,90 – 0,5 = 0,40, portanto, z = –1,28,z = (d – ì )/ó ... –1,28 = (d – 70)/10 ... d = 57,20;Portanto,

E D C B A

0 57,20 66,10 73,90 80,40 100

5.22

X • N (1,5 ano; 0,09 ano 2)z < (a – ì )/ó = z < (1 – 1,5)/0,3 = z < –1,67,P(x < 1 ano) = P(z < –1,67) = 0,5 – P(z < 1,67) = 0,5 – 0,4525 = 0,0475, ou, 570 máquinas..

5.23

P(x < 20), z < (a – ì )/ó = z < (20 – 18)/5, P(z < 0,40) = 0,5 + 0,1554 = 0,6554P(x < 20), z < (b – ì )/ó = z < (20 – 20)/2, P(z < 0) = 0,50Deve ser escolhido o trajeto A, uma vez que sua probabilidade é maior que a probabilidade dotrajeto B.

5.24

X • N (104 ano; 225 ano 2)P(x < 98), z < (a – ì )/ó = z < (98 – 104)/15, P(z < –0,4) = 0,5 – P(z < 0,4) = 0,5 – 0,1554 =0,3446, ou 1378,5 empregados tem QI abaixo de 98P(x > 110), z > (b – ì )/ó = z < (110 – 104)/15, P(z > 0,4) = 0,5 – P(z < 0,4) = 0,5 – 0,1554 =0,3446, ou 1378,5 empregados tem QI acima de 110, assim,Total de adaptados = Total de empregados – Total de não capacitados – Total desupercapacitados = 4000 – 1378,5 – 1378,5 = 1243.

5.25

a) P(x > 200), z > (a – ì )/ó = z > (200 – 250)/20, P(z > –2,5) = 0,5 + P(z < 2,5) = 0,5 +0,4938 = 0,9938.

b) X = N(250, 20), portanto, Y = N(1000, 80)P(y > 1150), z > (a – ì )/ó = z > (1150 – 1000)/80, P(z > 1,875) = 0,5 – P(z < 1,875) = 0,5 –0,4672 = 0,0328.

5.26

X • N (2; 0,0001), P(2,03 < x < 2,03) = ?[(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 3ó) – ì ]/ó < z < [(ì + 3ó) – ì ]/ó} = [–3ó/ó < z < 3ó/ó]P(ì – 3ó < X < ì + 3ó) = P(–3 < z < 3) = 2 * P(z < 3) = 2 * 0,49865 = 0,9973 de nãodefeituosos, portanto, apenas 26 seriam defeituosos.

5.27

a) P(x > 50), z > (a – ì )/ó = z > (50 – 45)/8, P(z > 0,63) = 0,5 – P(z < 0,63) = 0,5 – 0,2357= 0,2643.

b) P(z < ?) = 0,40, portanto, z = 1,28z = (a – ì )/ó, 1,28 = [(a – 45)/8], a = 55 min e 15 segundos.

5.28

X1 • N (94; 2,98) * 22 = N (2068; 65,56)X2 • N (42; 1,21) * 14 = N (588; 16,94)e X3 • N (3,35; 0,04) * 120 = N (402,0; 4,8)22 * X1 + 14 * X2 + 120 * X3 = T = N (3058; 87,3).Peso Total = Caminhão Vazio + Motorista + Produtos, Produtos = 3040P(x < 3040) = ?, z < (a – ì )/ó = z < (3040 – 3058)/(87,3)0,5, P(z < –1,92) = 0,5 – P(z < 1,92) =0,5 – 0,4726 = 0,0274Probabilidade de ser multado = 1,00 – 0,0274 = 0,9726 = 97%.

5.29

a) P(x < 80) = 0,5.

b) P(x > 120) = ?, z > (a – ì )/ó = z > (120 – 80)/20, P(z > 2) = 0,5 – P(z < 2) = 0,5 –0,4772 = 0,0228.

c) P(x < 60) = ?, z < (a – ì )/ó = z < (60 – 80)/20, P(z < –1) = 0,5 – P(z < 1) = 0,5 – 0,3413= 0,1587 ou 32 candidatos.

5.30

P(y > 22) = ?, z > (a – ì )/ó = z > (22 – 16)/4, P(z > 1,5) = 0,5 – P(z < 1,5) = 0,5 – 0,4332 =0,0668.P(y < 15) = ?, z < (a – ì )/ó = z < (15 – 16)/4, P(z < –0,25) = 0,5 – P(z < 0,25) = 0,5 – 0,0987 =0,4013.

5.31

a) P(x < 700) = ?, z < (a – ì )/ó = z < (700 – 800)/90, P(z < –1,11) = 0,5 – P(z < 1,11) = 0,5– 0,3665 = 0,1335.

b) P(780 < x < 820) = ?, [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = (780 – 800)/90 < z < (820 – 800)/90 =–0,22 < z < 0,22, P(–0,22 < z < 0,22) = 2 * P(z < 0,22) = 2 * 0,0871 = 0,1742.

c) P(Peixe acima, Peixe abaixo) + P(Peixe abaixo, Peixe acima) = 0,5.

5.32

X1 • N (2; 0,01), X 2 • N (1; 0,00600625), X 3 • N (0,5; 0,00399424) e X 4 • N (1,5; 0,01100401)X1 + X2 + X3 + X4 = N (5; 0,0310045)P(4,9 < x < 5,1) = ?, [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = (4,9 – 5)/ 0,18 < z < (5,1 – 5)/ 0,18 = –0,56 < z< 0,56, P(–0,56 < z < 0,56) = 2 * P(z < 0,56) = 2 * 0,2123 = 0,4246.

SÉRIE II

5.33

a) P(t < 1000) = 1 – e – t / 1000 = 1 – e –1 = 1 – 0,3679 = 0,6321.

b) ì = 1/ë, ì = 1/ (1/1000), portanto, ì = 1000P(t > 1000) = e – t / 1000 = e–1 = 0,3679.

c) ó = 1/ë, ó = 1/ (1/1000), ó = 1000 horas .

5.34

a) ì = ët, 0,25 = ë * 1, ë = 0,25P(t < 1) = 1 – e –ë t = 1 – e –0,25 * (1) = 1 – e –0,25 = 1 – 0,7788 = 0,2212.

b) P(10 < t < 12) = e –ë t1 – e –ë t2 = e –0,25 * 10 – e –0,25 * 12 = e –2,5 – e –3 = 0,0821 – 0,0498 =0,0323.

c) P(t = 4) = 0, uma vez que a área de um ponto é igual a zero.

d) P(t > 3) = e –ë t = e –0,25 * (3) = e –0,75 = 0,4724.

5.35

a) ì = 1 / ë, 4 = 1 / ë, ë = 0,25P(t > 4) = e –ë t = e –0,25 * (4) = e –1 = 0,3679.

b) P(t < 5) = 1 – e –ë t = 1 – e –0,25 * (5) = 1 – e –1,25 = 1 – 0,2865 = 0,7135.

c) P(t = 4) = 0, uma vez que a área de um ponto é igual a zero.

5.36

ì = 1 / ë, 100 = 1 / ë, ë = 0,01, portanto, P(t > 200) = e –0,01 * 200 = e –2 = 0,1353.

SÉRIE III

5.37

ö = 23, portanto,Média: ì (x2

23) = 23,Variância: ó2(x2

23) = 2 * 23 = 46 e Desvio padrão: ó (x223) = (46)0,5 = 6,78,

3º Quartil: ö = 23 e á = 0,25, Q3 = 27,141.

5.38

ö = 8 e á = 0,10, ass im, X2sup = 13,36 e ö = 8 e á = 0,90, ass im, X2

inf = 3,49.

5.39

ö = 23, portanto,Média: ì (t23) = 0 e Moda: Mo = 0,Variância: ó2(t23) = 23 / (23 – 2) = 1,095 e Desvio padrão: ó (t23) = (1,095)0,5 = 1,0465,3º Quartil: ö = 23 e á = 0,25, Q3 = 0,6853 e, por simetria, 1º Quartil: Q1 = – 0,6853.

5.40

a: ö = 20 e á = 0,10, a = – 1,3253 e b: ö = 20 e á = 0,025, b = 2,0860.

5.41

ö1 = 8 e ö2 = 10, portanto,Média: ì = ö2 /(ö2 – 2), ì = 10 / 8 = 1,25Variância: ó2 = [2 * ö2

2 * (ö1 + ö2 – 2)] / [ö1 * (ö2 – 4) * (ö2 – 2)2] = (2 * 100 * 16)/(8 * 6 * 64) =1,042 e Desvio padrão: ó = (1,042)0,5 = 1,021P95 = F5% (8, 10) = 3,07, logo, P95 = 3,07 eP5 = F95% (8, 10) = 1 / [F5% (10, 8)] = 1 / 3,35 = 0,2985, logo, P5 = 0,2985.

5.42

a) P(Z < –Zo) = 0,25, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,25 = 0,25, portanto, z = –0,67,z = (a – ì )/ó, –0,67 = [(a – 100)/7], a = 95,31.

b) P(Z > Zo) = 0,65, P(Z < –Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = –0,39.

c) P(Z < Zo) = 0,80, P(Z < Zo) = 0,80 – 0,5 = 0,30, portanto, z = 0,84.

d) P(–1,57 • z • 2,42) = P(z < 1,57) + P(z < 2,42) = 0,4418 + 0,4922 = 0,9340.

e) P(Z < Zo) = 0,40, portanto, z = 1,28, z = (a – ì )/ó, 1,28 = [(a – 2000)/45], a = $ 2057,60.

f) 1º Quartil: ö = 30 e á = 0,75, Q1 = 24,478.

g) X2: ö = 15 e á = 0,90, X2 = 8,55.

h) X2: ö = 15 e á = 0,10, X2 = 22,31.

i) ó2(x223) = 50, portanto, ö = 25, D9: ö = 25 e á = 0,10, D9 = 34,381.

j) áinf: x2inf = 13,8 e ö = 26, áinf = 0,975 e ásup: x

2sup = 38,9 e ö = 26, ásup = 0,05, portanto

P(13,8 • x 226 • 38,9) = P(x 2

26 • 13,8) – P(x 226 • 38,9) = 0,975 – 0,05 = 0,925.

l) 3º Quartil: ö = 5 e á = 0,25, Q3 = 0,7267.

m) á: ö = 8 e t = 2,3060, á = 0,025.

n) á: ö = 14 e t = 2,9768, á = 0,005, portanto, ácompl = 1 – 0,005 = 0,995.

o) á1: ö = 22 e t = - 1,3212, á1 = 0,10 e á2: ö = 22 e t = 2,8188, á2 = 0,005,P(-1,3212 • t 22 • 2,8188) = P(t 22 • –1,3212) – P(t22 • 2,8188) = 0,90 – 0,005 = 0,895.

p) 95º Percentil: ö = 27 e á = 0,05, P95 = 1,7033.

q) á1: ö = 30 e t = 0,68276, á1 = 0,25 e á2: ö = 30 e t = 2,7500, á2 = 0,005,P(–0,68276 • t 30 • 2,7500) = P(t 22 • –0,68276) – P(t22 • 2,7500) = 0,75 – 0,005 = 0,745.

r) P5 = F95% (8, 7) = 1 / [F5% (7, 8)] = 1 / 3,50 = 0,2857, logo, P5 = 0,2857.

s) P95 = F5% (7, 8) = 3,50, logo, P95 = 3,50.

t) Psup = Fsup (1, 8) = 5,32, logo, Sup = 0,05 e Pinf = 1 / Finf (8, 1) = 0,00418, logo, Inf = 0,95P(0,00418 • F (1, 8) • 5,32) = P(F (1, 8) • 0,00418) – P(F (1, 8) • 5,32) = 0,95 – 0,05 = 0,90.

u) Pinf = 1 / Finf (4, 6) = 0,22075, Finf (4, 6) = 0,05, logo, Inf = 0,05.


Capítulo 6 – Distribuições Amostrais

SÉRIE I

6.1

k) Média da População: ì = Óxi / N = 14 / 4 = 3,5.

l) Desvio Padrão da População: ó2 = [Ó(xi – ì )2] / N = 5 / 4 = 1,25 e ó = 1,1180.

m) Amostras = {(2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5);(5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5)}Média da distribuição amostral das médias: ì (xmedia) = (xmedia da amostra 1 + ... + xmedia mostra n) /Nº de amostras = (2 + 2,5 + 3 + 3,5 + 2,5 + 3 + 3,5 + 4 + 3 + 3,5 + 4 + 4,5 + 3,5 + 4 + 4,5 +5) / 16 = 56 / 16 = 3,5.

n) Desvio Padrão da distribuição amostral das médias: ó2(xmedia) = [Ó(xmedia de cada amostra –ì (xmedia)

2] / Nº de amostras = [(– 1,5)2 + (– 1)2 + (– 0,5)2 + (0)2 + (– 1)2 + (– 0,5)2 + (0)2 +(0,5)2 + (– 0,5)2 + (0)2 + (0,5)2 + (1)2 + (0)2 + (0,5)2 + (1)2 + (1,5)2] / 16 = 10 / 16 = 0,625 eó(xmedia) = 0,7906.

Fica constatado que:ì (xmedia) = ì , uma vez que 3,5 = 3,5 eó(xmedia) = ó / (n)0,5, uma vez que 0,7906 = 1,1180 / (2)0,5.

6.2

a) Média da População: ì = Óxi / N = 14 / 4 = 3,5.

b) Desvio Padrão da População: ó2 = [Ó(xi – ì )2] / N = 5 / 4 = 1,25 e ó = 1,1180.

c) Amostras = {(2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 2); (3, 4); (3, 5); (4, 2); (4, 3); (4, 5); (5, 2); (5, 3); (5,4)}Média da distribuição amostral das médias: ì (xmedia) = (xmedia da amostra 1 + ... + xmedia mostra n) /Nº de amostras = (2,5 + 3 + 3,5 + 2,5 + 3,5 + 4 + 3 + 3,5 + 4,5 + 3,5 + 4 + 4,5) / 12 = 42 /12 = 3,5.

d) Desvio Padrão da distribuição amostral das médias: ó2(xmedia) = [Ó(xmedia de cada amostra –ì (xmedia)

2] / Nº de amostras = [(– 1)2 + (– 0,5)2 + (0)2 + (– 1)2 + (0)2 + (0,5)2 + (– 0,5)2 + (0)2 +(1)2 + (0)2 + (0,5)2 + (1)2] / 12 = 10 / 12 = 0,4167 e ó(xmedia) = 0,6455.

Fica constatado que:ì (xmedia) = ì , uma vez que 3,5 = 3,5 eó(xmedia) = [ó(x) / (n)0,5] * [(N – n)/(N – 1)]0,5, uma vez que 0,6455 = [1,1180 / (2)0,5] * (2/3)0,5.

6.3

Média Amostral: xmedia; Variância Amostral: S2; Freqüência Relativa: f; Diferença entre duasMédias: (xmedia1 – xmedia2); Diferença entre duas Freqüência Relativas: (f1 – f2).

6.4

a) p = probabilidade de uma peça boa = 2/4 = ½Como neste primeiro caso temos reposição das peças, o número de amostras é igual a Nn

= 42 = 16 amostras: {(B1, B1); (B1, B2); (B1, D1); (B1, D2); (B2, B1); (B2, B2); (B2, D1);(B2, D2); (D1, B1); (D1, B2); (D1, D1); (D1, D2); (D2, B1); (D2, B2); (D2, D1); (D2, D2)}Para cada uma das amostras, devemos calcular o f, ou seja, o número de casos favoráveisao evento retirar pelo menos uma peça boa sobre o número total de casos da amostra.Multiplicando cada um destes f pela probabilidade da amostra ocorrer (1/16), teremos ì (f).Portanto,ì (f) = 1/16 * 2/2 + 1/16 * 2/2 + 1/16 * ½ + 1/16 * ½ + 1/16 * 2/2 + 1/16 * 2/2 + 1/16 * ½ +1/16 * ½ + 1/16 * ½ + 1/16 * ½ + 1/16 * 0/2 + 1/16 * 0/2 + 1/16 * ½ + 1/16 * ½ + 1/16 * 0/2 +1/16 * 0/2 = 4 * (1/16 * 2/2) + 8 * (1/16 * ½) + 4 * (1/16 * 0) = ½

Como p = ½ e as amostras são de tamanho 2 e com reposição, temos:[(p * q) / n] = [(½ * ½) / 2] = 1/8Para encontrar ó2(f), devemos encontrar a E[f2] e subtrair ì (f)2.E[f2] = Ó f2 * p(f) = (2/2)2 * 1/16 + (2/2)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (2/2)2 * 1/16 +(2/2)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (0/2)2 * 1/16 + (0/2)2 *1/16 + (½)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (0/2)2 * 1/16 + (0/2)2 * 1/16 = 4 * [(2/2)2 * 1/16] + 8 * [(½)2 *1/16] + 4 * [0 * 1/16] = 3/8ó2(f) = E[f2] – ì (f)2 = 3/8 – (1/2)2 = 1/8

Portanto, fica constatado que:ì (f) = p, uma vez que 0,5 = 0,5 eó2(f) = [(p * q) / n], uma vez que 0,125 = 0,125.

b) p = probabilidade de uma peça boa = 2/4 = ½Como neste segundo caso não temos reposição das peças, o número de amostras é iguala = N = 4 = 6 amostras: {(B1, B2); (B1, D1); (B1, D2); (B2, D1); (B2, D2); (D1, D2)}

n 2Novamente, para cada uma das amostras, devemos calcular o f, ou seja, o número decasos favoráveis ao evento retirar pelo menos uma peça boa sobre o número total decasos da amostra. Multiplicando cada um destes f pela probabilidade da amostra ocorrer(1/6), teremos ì (f).Portanto,ì (f) = 1/6 * 2/2 + 1/6 * ½ + 1/6 * ½ + 1/6 * ½ + 1/6 * ½ + 1/6 * 0/2 = (1/6 * 2/2) + 4 * (1/6 * ½)+ (1/16 * 0) = ½

Como p = ½ e as amostras são de tamanho 2 e sem reposição, temos:[(p * q) / n] * [(N – n) / (N – 1)] = [(½ * ½) / 2] * [(4 – 2) / (4 – 1)] = 1/8 * 2/3 = 1/12Novamente, para encontrar ó2(f), devemos encontrar E[f2] e subtrair ì (f)2.E[f2] = Ó f2 * p(f) = (2/2)2 * 1/6 + (½)2 * 1/6 + (½)2 * 1/6 + (½)2 * 1/6 + (½)2 * 1/6 + (0/2)2 * 1/6= [(2/2)2 * 1/6] + 4 * [(½)2 * 1/6] + [0 * 1/6] = 1/3ó2(f) = E[f2] – ì (f)2 = 1/3 – (1/2)2 = 1/12

Portanto, fica constatado que:ì (f) = p, uma vez que 0,5 = 0,5 eó2(f) = [(p * q) / n], uma vez que 1/12 = 1/12.

6.5

xmedia = Óxi / n = (5 + 6 + ... + 4) / 30 = 104 / 30 = 3,48,utilizando o estimador, x* = N * xmedia , x = 15000 * 104 /30 = 52000.

6.6

xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (42 * 23 + ... + 3 * 1) / 50 = 1471 / 50 = 29,42,

utilizando o estimador, x* = N * xmedia , x = 676 * 29,42 = 19888 assinaturas.

6.7

-


Capítulo 7 – Inferência Estatística: Estimativas por Ponto e Intervalos de Confiança

SÉRIE I

7.1

n = 25, xmedia = 5,2 mm, ó = 1,2 mmPara (1 – á) * 100 = 90%, á/2 = 5%, portanto z = 1,64; aplicando a fórmula:P {xmedia – [z * ó/(n)0,5] • ì • x media + [z * ó/(n)0,5]} temos,P [5,2 – (1,64 * 1,2 / 5) • ì • 5,2 + (1,64 * 1,2 / 5)] = P (4,81 • ì • 5,59), portanto, o intervalo[4,81; 5,59] contém a média populacional com 90% de confiança.

Para (1 – á) * 100 = 95%, á/2 = 2,5%, portanto z = 1,96, que aplicando a fórmula:P {xmedia – [z * ó/(n)0,5] • ì • x media + [z * ó/(n)0,5]} temos,P [5,2 – (1,96 * 1,2 / 5) • ì • 5,2 + (1,96 * 1,2 / 5)] = P (4,73 • ì • 5,67), portanto, o intervalo[4,73; 5,67] contém a média populacional com 95% de confiança.

Para (1 – á) * 100 = 99%, á/2 = 0,5%, portanto z = 2,56, que aplicando a fórmula:P {xmedia – [z * ó/(n)0,5] • ì • x media + [z * ó/(n)0,5]} temos,P [5,2 – (2,56 * 1,2 / 5) • ì • 5,2 + (2,56 * 1,2 / 5)] = P (4,58 • ì • 5,82), portanto, o intervalo[4,58; 5,82] contém a média populacional com 99% de confiança.

7.2

n = 6, xmedia = 26,883, ó = 1,4Para (1 – á) * 100 = 95%, á/2 = 0,025, portanto z = 1,96, que aplicando a fórmula:P {xmedia – [z * ó/(n)0,5] • ì • x media + [z * ó/(n)0,5]} temos,P [26,88 – (1,96 * 1,4 / 2,45) • ì • 26,88 + (1,96 * 1,4 / 2,45)] = P (25,76 • ì • 28,00), portanto,o intervalo [25,76; 28,00] contém a média populacional com 95% de confiança.

Para (1 – á) * 100 = 90%, á/2 = 0,05, portanto z = 1,64, que aplicando a fórmula:P {xmedia – [z * ó/(n)0,5] • ì • x media + [z * ó/(n)0,5]} temos,P [26,88 – (1,64 * 1,4 / 2,45) • ì • 26,88 + (1,64 * 1,4 / 2,45)] = P (25,94 • ì • 27,82), portanto,o intervalo [25,94; 27,82] contém a média populacional com 90% de confiança.

7.3

n = 100, xmedia = 175 cm, ó = 15 cmPara (1 – á) * 100 = 95%, á/2 = 2,5%, portanto z = 1,96, que aplicando a fórmula:P {xmedia – [z * ó/(n)0,5] • ì • x media + [z * ó/(n)0,5]} temos,P [175 – (1,96 * 15 / 10) • ì • 175 + (1,96 * 15 / 10)] = P (172,06 • ì • 177,94), portanto, ointervalo [172,06 cm; 177,94 cm] contém a verdadeira altura média dos alunos com 95% deconfiança.

7.4

n = 10, xmedia = 110, S = 10Para (1 – á) * 100 = 90% e graus de liberdade = 9, portanto t = 1,83, que aplicando a fórmula:P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,P [110 – (1,83 * 10 / 3,16) • ì • 110 + (1,83 * 10 / 3,16)] = P (104,21 • ì • 115,79), portanto, ointervalo [104,21; 115,79] contém a média populacional com 90% de confiança.

Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 9, portanto t = 2,26, que aplicando a fórmula:

P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,P [110 – (2,26 * 10 / 3,16) • ì • 110 + (2,26 * 10 / 3,16)] = P (102,85 • ì • 117,15), portanto, ointervalo [102,85; 117,15] contém a média populacional com 95% de confiança.

Admite-se a hipótese de que a distribuição de probabilidade da população é normal.

7.5

n = 16, xmedia = 10,875, S = 2,63Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 15, portanto t = 2,1315, que aplicando afórmula:P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,P [10,875 – (2,1315 * 2,63 / 4) • ì • 10,875 + (2,1315 * 2,63 / 4)] = P (9,474 • ì • 12,276),portanto, o intervalo [9,474; 12,276] contém a média populacional com 95% de confiança.

Para (1 – á) * 100 = 80% e graus de liberdade = 15, portanto t = 1,3406, que aplicando afórmula:P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,P [10,875 – (1,3406 * 2,63 / 4) • ì • 10,875 + (1,3406 * 2,63 / 4)] = P (9,994 • ì • 11,756),portanto, o intervalo [9,994; 11,756] contém a média populacional com 80% de confiança.

A amplitude do primeiro intervalo é de 2,80, enquanto a amplitude do segundo é de 1,77. Apreferência poderia ser pelo segundo intervalo, mas sua probabilidade de erro é de 20%,enquanto que a probabilidade do primeiro é de apenas 5%. Logo, a opção de escolha peloprimeiro é a mais indicada.

7.6

n = 30, xmedia = 296,63 kg, S = 22,23 kgPara (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 29, portanto t = 2,05, que aplicando a fórmula:P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,P [296,63 – (2,05 * 22,23 / 5,48) • ì • 296,63 + (2,05 * 22,23 / 5,48)] = P (287,31 • ì • 305,95),portanto, a amostra satisfaz a especificação pois o intervalo [287,31 kg; 305,95 kg] contém opeso médio da população (300 kg) com 95% de confiança.

7.7

o) xmedia = Óxi / n = 394 / 30 = 13,13 e S2 = [Ó(xi – xmedia)2] / (n – 1) = 2,05.

p) Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 29, portanto t = 2,05, que aplicando afórmula: P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,P [13,13 – (2,05 * 1,43 / 5,48) • ì • 13,13 + (2,05 * 1,43 / 5,48)] = P (12,60 • ì • 13,66),portanto, o intervalo [12,60; 13,66] contém a média populacional com 94,5% de confiança.

7.8

n = 4, xmedia = 29,2 s, S2 = 5,76 s2, S = 2,4Para (1 – á) * 100 = 90% e graus de liberdade = 3, portanto t = 2,35, que aplicando a fórmula:P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,P [29,2 – (2,35 * 2,4 / 2) • ì • 29,2 + (2,35 * 2,4 / 2)] = P (26,38 • ì • 32,02), portanto, ointervalo [26,38 s; 32,02 s] contém a média populacional com 90% de confiança.

7.9

a) n = 12, xmedia = 10,42 e S = 4,98Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 11, portanto t = 2,2, que aplicando afórmula: P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,P [10,42 – (2,2 * 4,98 / 3,46) • ì • 10,42 + (2,2 * 4,98 / 3,46)] = P (7,25 • ì • 13,59),portanto, o intervalo [7,25; 13,59] contém a média populacional com 95% de confiança.

b) n = 55, xmedia = 23,37 e S = 4,38Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 54, portanto t = 2,0049, que aplicando afórmula: P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,P [23,37 – (2 * 4,38 / 7,42) • ì • 23,37 + (2 * 4,38 / 7,42)] = P (22,19 • ì • 24,55), portanto,o intervalo [22,19 • ì • 24,55] cont ém a média populacional com 95% de confiança.

c) n = 15, xmedia = 10,33 e S = 4,24.Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 14, portanto t = 2,1448, que aplicando afórmula: P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,P [10,33 – (2,15 * 4,24 / 3,87) • ì • 10,33 + (2,15 * 4,24 / 3,87)] = P (7,97 • ì • 12,69),portanto, o intervalo [7,97; 12,69] contém a média populacional com 95% de confiança.

7.10

a) n = 6, S2 = 0,72Para (1 – á) * 100 = 90% e graus de liberdade = 5, portanto x2

inf = 1,145 e x2sup = 11,071,

que aplicando a fórmula: P {[(n – 1) * S2] / x2sup • ó2 • [(n – 1) * S 2] / x2

inf} temos,P [(5 * 0,72) / 11,1 • ó2 • (5 * 0,72) / 1,15] = P (0,32 • ó2 • 3,13), portanto, o intervalo [0,32;3,13] contém a variância populacional com 90% de confiança.

b) n = 15, S2 = 3,81Para (1 – á) * 100 = 90% e graus de liberdade = 14, portanto x2

inf = 6,571 e x2sup = 23,685,

que aplicando a fórmula: P {[(n – 1) * S2] / x2sup • ó2 • [(n – 1) * S 2] / x2

inf} temos,P [(14 * 3,81) / 23,685 • ó2 • (14 * 3,81) / 6,57] = P (2,25 • ó2 • 8,12), portanto, o intervalo[2,25; 8,12] contém a variância populacional com 90% de confiança.

7.11

n = 10, S2 = 2,25Para (1 – á) * 100 = 80% e graus de liberdade = 9, portanto x2

inf = 4,168 e x2sup = 14,684, que

aplicando a fórmula: P {[(n – 1) * S2] / x2sup • ó2 • [(n – 1) * S 2] / x2

inf} temos,P [(9 * 2,25) / 14,684 • ó2 • (9 * 2,25) / 4,168] = P (1,38 • ó2 • 4,86), portanto, o intervalo [1,38;4,86] contém a variância populacional com 80% de confiança.Admite-se a hipótese de que a distribuição de probabilidade da população é normal.

7.12

Relembrando a fórmula de variância e aplicando os valores, temosS2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi

2) – (Óxi)2 / n] = 1 / (15 – 1) * [27,3 – (8,7)2 / 15] = 1,59 e n = 15,

Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 14, portanto x2inf = 5,629 e x2

sup = 26,12, queaplicando a fórmula: P {[(n – 1) * S2] / x2

sup • ó2 • [(n – 1) * S 2] / x2inf} temos,

P [(14 * 1,59) / 26,12 • ó2 • (14 * 1,59) / 5,629] = P (0,85 • ó2 • 3,95), portanto, o intervalo[0,85; 3,95] contém a variância populacional com 95% de confiança.

7.13

n = 30, S2 = 494,17


sup = 52,336, queaplicando a fórmula: P {([(n – 1) * S2] / x2

sup)0,5 • ó2 • ([(n – 1) * S 2] / x2

inf)0,5} temos,

P {[(29 * 494,17) / 52,336]0,5 • ó • [(29 * 494,17) / 13,121] 0,5} = P (16,55 • ó • 33,05), portanto,o intervalo [16,55; 33,05] contém o desvio-padrão populacional com 99% de confiança.

7.14

Relembrando a fórmula de variância e aplicando os valores, temosS2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi

2) – (Óxi)2 / n] = 1 / (30 – 1) * [23436,80 – (700,8)2 / 30] = 243,66 e n = 30,


sup = 42,557, queaplicando a fórmula: P {[(n – 1) * S2] / x2

sup • ó2 • [(n – 1) * S 2] / x2inf} temos,

P [(29 * 243,66) / 42,557 • ó2 • (29 * 243,66) / 17,708] = P (166,04 • ó2 • 399,04), portanto, ointervalo [166,04; 399,04] contém a variância populacional com 90% de confiança.

7.15

n = 100, f = 0,93Para (1 – á) * 100 = 95%, á/2 = 0,025, portanto z = 1,96, que aplicando a fórmula:P {f – [z * (f * (1 – f) / n)0,5] • p • f + [z * (f(1 – f) / n)0,5]} temos,P {0,93 – [1,96 * (0,93 * 0,07 / 100)0,5] • p • 0,93 + [1,96 * (0,93 * 0,07 / 100) 0,5]} = P (0,88 • p •0,98), portanto, o intervalo [16,55; 33,05] contém a proporção populacional com 95% deconfiança.

7.16

n = 400, f = 0,25Para (1 – á) * 100 = 98%, á/2 = 0,01, portanto z = 2,33, que aplicando a fórmula:P {f – [z * (f * (1 – f) / n)0,5] • p • f + [z * (f(1 – f) / n)0,5]} temos,P {0,25 – [2,33 * (0,25 * 0,75 / 400)0,5] • p • 0,25 + [2,33 * (0,25 * 0,75 / 400) 0,5]} = P (0,20 • p •0,30), portanto, o intervalo [0,20; 0,30] contém a proporção populacional com 98% deconfiança.

7.17

n = 50, f = 0,60Para (1 – á) * 100 = 96%, á/2 = 0,02, portanto z = 2,05, que aplicando a fórmula:P {f – [z * (f * (1 – f) / n)0,5] • p • f + [z * (f(1 – f) / n)0,5]} temos,P {0,60 – [2,05 * (0,60 * 0,40 / 50)0,5] • p • 0,60 + [2,05 * (0,60 * 0,40 / 50) 0,5]} = P (0,46 • p •0,74), portanto, pode-se dizer, ao nível de 96%, que a moeda é honesta, pois o intervalo deconfiança para a proporção de caras [0,46; 0,74] contém p = 50%.

7.18

n = 120, f = 0,2083Para (1 – á) * 100 = 99%, á/2 = 0,005, portanto z = 2,575, que aplicando a fórmula:P {f – [z * (f * (1 – f) / n)0,5] • p • f + [z * (f(1 – f) / n)0,5]} temos,P {0,2083 – [2,575 * (0,2083 * 0,7917 / 120)0,5] • p • 0,2083 – [2,575 * (0,2083 * 0,7917 /120)0,5]} = P (0,1128 • p • 0,3038), portanto, pode-se dizer, ao nível de 99%, que o dado éhonesto, pois o intervalo de confiança para a proporção de cincos [0,11; 0,30] contém p = 17%.

7.19

n = 300, f = 0,60Para (1 – á) * 100 = 90%, á/2 = 0,05, portanto z = 1,645, que aplicando a fórmula:P {f – [z * (f * (1 – f) / n)0,5] • p • f + [z * (f(1 – f) / n)0,5]} temos,P {0,60 – [1,645 * (0,60 * 0,40 / 300)0,5] • p • 0,60 – [1,645 * (0,60 * 0,40 / 300) 0,5]} = P (0,553 •p • 0,647), portanto, o intervalo [0,553; 0,647] contém a proporç ão populacional de favoráveis àfluoração com 90% de confiança.Para (1 – á) * 100 = 95%, á/2 = 0,025, portanto z = 1,96, que aplicando a fórmula:P {f – [z * (f * (1 – f) / n)0,5] • p • f + [z * (f(1 – f) / n)0,5]} temos,P {0,60 – [1,96 * (0,60 * 0,40 / 300)0,5] • p • 0,60 – [1,96 * (0,60 * 0,40 / 300) 0,5]} = P (0,545 • p• 0,655), portanto, o intervalo [0,545; 0,655] contém a proporç ão populacional de favoráveis àfluoração com 95% de confiança.


Capítulo 8 – Amostragem

SÉRIE I

8.1

c) ó = 7000, d = 2000, (1 – á) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a fórmula:n = {(z2 * ó2 * N) / [d2 * (N – 1) + z2 * ó2]} = [4 * 49000000 * 100 / (4000000 * 99 + 4 * 49000000)]= 196 * 108 / 592 * 106 = 33.

d) n = 33 e N = 100, portanto, a = 100 / 33 = 3 e a amostra será composta peloselementos correspondentes a: 1, 4, 7,10, ..., 100, ou seja, a amostra será:29, 12, 34, 30, 24, 31, 20, 4, 14, 18, 31, 18, 26, 5, 30, 29, 32, 21, 16, 22, 32, 13, 23, 21, 32,30, 14, 22, 19, 7, 26, 30, 17, 9.

e) Amplitude: r = 34 – 4 = 30Nº de intervalos: k • 1 + 3,22 * log34 • 1 + 3,22 * 1,53 • 6Tamanho do intervalo: h • 30 / 6 • 5


1 4 • 9 3

2 9 • 14 3

3 14 • 19 6

4 19 • 24 7

5 24 • 29 3

6 29 • 34 12

Somas 34

f) xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (6,5 * 3 + ...+ 31,5 * 12) / 34 = 22,38, ou seja, $ 2238.

g) S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi) – (Óxi * Fi)

2 / n] = 1 / (34 – 1) * [19406,5 – (761)2 / 34] =71,93, portanto S = 8,48, ou seja, $ 848.

h) ì = Ó xi / n = (29 + ...+ 9) / 100 = 19,62, ou seja, $ 1962,| ì – xmedia | = | 1962 – 2238 | = $ 276 que é menor que $ 2000, portanto, | ì – xmedia | • d foiverificado.

8.2

-

8.3

-

8.4

pest = qest = 0,5, d = 0,05, (1 – á) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a fórmula:n = z2 * pest * qest / d

2 = 4 * 0,25 / 0,0025 = 400.

8.5

pest = qest = 0,5, d = 0,05, N = 200000, (1 – á) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando afórmula: n = {(z2 * pest * qest * N) / [d2 * (N – 1) + z2 * pest * qest]}

, temos,[4 * 0,25 * 200000 / 0,0025 * (199999) + 4 * 0,25)] = 200000 / 499,9975 = 399. Comparando-seos resultados de 8.4 e 8.5, verifica-se que o cálculo do tamanho amostral para uma populaçãode 200000 dá, aproximadamente, o mesmo resultado, se considerarmos a população infinita.

8.6

-

8.7

pest = qest = 0,5, d = 0,03, (1 – á) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a fórmula:n = z2 * pest * qest / d

2 = 4 * 0,25 / 0,0009 = 1111, ou seja, uma amostra de 1111 semáforos.

8.8

ó = 10, d = 3, (1 – á) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a fórmula:n = (z * ó / d)2 = (2 * 10 / 3)2 = 44.

8.9

a) O fato de cada criança receber um questionário não garante aleatoriedade ao processouma vez que famílias que não tem filhos ou crianças que faltaram, por exemplo, nãoparticipam da amostra.

b) Apesar de o centro da cidade grande apresentar grande número de pessoas ao meiodia, o processo não pode ser considerado aleatório, pois não garante que todas aspessoas participem da amostra.

c) Apesar da escolha ser aleatória, os 10 membros não representam todos os 26 estados.

8.10

ó = 3, d = 1, (1 – á) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a fórmula:n = (z * ó / d)2 = (2 * 3 / 1)2 = 36.

8.11

pest = qest = 0,5, d = 0,03, N = 10000, (1 – á) * 100 = 99%, ou seja: z = 2,57, aplicando afórmula: n = {(z2 * pest * qest * N) / [d2 * (N – 1) + z2 * pest * qest]}

, temos,[6,60 * 0,25 * 10000 / 0,0009 * (9999) + 6,60 * 0,25)] = 16500 / 10,65 = 1550.

8.12

pest = 0,4, qest = 0,6, d = 0,025, N = 5000, (1 – á) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2,, aplicando afórmula: n = {(z2 * pest * qest * N) / [d2 * (N – 1) + z2 * pest * qest]}

, temos,[4 * 0,24 * 5000 / 0,000625 * (4999) + 4 * 0,24)] = 4800 / 4,08 = 1175.

8.13

pest = 0,8, qest = 0,2, d = 0,01, (1 – á) * 100 = 98%, ou seja: z = 2,33, aplicando a fórmula:n = z2 * pest * qest / d

2 = 5,43 * 0,16 / 0,0001 = 8686.

8.14

-


Capítulo 9 – Inferência Estatística

SÉRIE I

9.1

-

9.2

Quando um professor decide aprovar um aluno, poderá estar cometendo um Erro tipo II –aceitar H0 sendo H0 falsa – no caso, aprovar o aluno quando deveria reprová-lo. Por outro lado,quando um professor decide reprovar o aluno, poderá estar cometendo um Erro tipo I – rejeitarH0 sendo H0 verdadeira – no caso, reprovar o aluno quando deveria aprová-lo.

9.3

Poderá ocorrer o Erro tipo II, caso o gerente contrate o profissional. Isto é: contrata e oprofissional revela-se sem qualidades – aceitar H0 falsa. Por outro lado, quando o gerentedispensa (não contrata) determinado profissional, poderá estar cometendo o Erro tipo I –rejeitar H0 verdadeira. Isto é: não contrata e o profissional revela-se com qualidades, em outroemprego assemelhado.

9.4

H0: ì = 50 contra H1: ì > 50, ó2 = 25, n = 25 e á = 10%, portanto, na tabela normal, Z á = 1,28Utilizando a fórmula, Zá = (xc – ì ) / [ó / (n)0,5] temos:1,28 = (xmediac – 50) / (5/5), portanto, xmediac = 51,28 e assim, a regra de decisão para H0 será:Rejeitar H0 quando Xmedia > 51,28 e Aceitar H0 quando Xmedia • 51,28

Para ì = 50,4, P(ß/ì = 50,4) = P(Xmedia < 51,28/ì = 50,4) = P[z < (51,28 – 50,4) / (5/5) = 0,88] =0,3106 + 0,5 = 0,8106,Para ì = 50,8, P(ß/ì = 50,8) = P(Xmedia < 51,28/ì = 50,8) = P[z < 0,48] = 0,1844 + 0,5 = 0,6844,Para ì = 51,2, P(ß/ì = 51,2) = P(Xmedia < 51,28/ì = 51,2) = P[z < 0,08] = 0,0319 + 0,5 = 0,5319,Para ì = 51,6, P(ß/ì = 51,6) = P(Xmedia < 51,28/ì = 51,6) = P[z < -0,32] = 0,5 – 0,1255 = 0,3745,Para ì = 52,0, P(ß/ì = 52,0) = P(Xmedia < 51,28/ì = 52,0) = P[z < -0,72] = 0,5 – 0,2642 = 0,2358,Para ì = 52,4, P(ß/ì = 52,4) = P(Xmedia < 51,28/ì = 52,4) = P[z < -1,12] = 0,5 – 0,3686 = 0,1314,Para ì = 52,8, P(ß/ì = 52,8) = P(Xmedia < 51,28/ì = 52,8) = P[z < -1,52] = 0,5 – 0,4357 = 0,0643,Para ì = 53,2, P(ß/ì = 53,2) = P(Xmedia < 51,28/ì = 53,2) = P[z < -1,92] = 0,5 – 0,4726 = 0,0274,Para ì = 53,6, P(ß/ì = 53,6) = P(Xmedia < 51,28/ì = 53,6) = P[z < -2,32] = 0,5 – 0,4898 = 0,0102,Para ì = 54,0, P(ß/ì = 54,0) = P(Xmedia < 51,28/ì = 54,0) = P[z < -2,72] = 0,5 – 0,4966 = 0,0034,

ì = ì 0 50,4 50,8 51,2 51,6 52,0 52,4 52,8 53,2 53,6 54,0

ß(%) 81,06 68,44 53,19 37,45 23,58 13,14 6,43 2,74 1,02 0,34

Curv a Carater ís tic a e Operaç ão

010

20304050607080

90100

50 50,4 50,8 51,2 51,6 52 52,4 52,8 53,2 53,6 54

• = • 0

ß(%

)

9.5

H0: ì = 15 contra H1: ì • 15, ó = 2, n = 9 e á = 5%, portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 1,96 eZá/2 = 1,96Utilizando a fórmula, Zá/2 = (xc – ì ) / [ó / (n)0,5] temos:1,96 = (xm c sup – 15) / (2/3), xm c sup = 16,31 e– 1,96 = (xm c inf – 15) / (2/3), xm c inf = 13,69, assim,a regra de decisão para H0 será:Rejeitar H0 quando Xmedia < 13,69 e Aceitar H0 quando Xmedia • 13,69 até 15 eRejeitar H0 quando Xmedia > 16,31 e Aceitar H0 quando Xmedia • 16,31 até 15

Para ì = 15,5, P(ß/ì = 15,5) = P(Xmedia < 16,31/ì = 15,5) = P[z < (16,31 – 15,5) / 2/3 = 1,21] =0,5 + 0,3869 = 0,8869,Para ì = 16,0, P(ß/ì = 16,0) = P(Xmedia < 16,31/ì = 16,0) = P[z < 0,47] = 0,5 + 0,1808 = 0,6808Para ì = 16,5, P(ß/ì = 16,5) = P(Xmedia < 16,31/ì = 16,5) = P[z < –0,28] = 0,5 – 0,1103 = 0,3897Para ì = 17,0, P(ß/ì = 17,0) = P(Xmedia < 16,31/ì = 17,0) = P[z < –1,03] = 0,5 – 0,3485 = 0,1515Para ì = 17,5, P(ß/ì = 17,5) = P(Xmedia < 16,31/ì = 17,5) = P[z < –1,78] = 0,5 – 0,4625 = 0,0375Para ì = 18,0, P(ß/ì = 18,0) = P(Xmedia < 16,31/ì = 18,0) = P[z < –2,53] = 0,5 – 0,4943 = 0,0057

Como a distribuição é normal e existe simetria, as probabilidades de valores eqüidistantes deH0: ì = 15 serão iguais. Por exemplo, P(ß/ì = 15,5) = P(ß/ì = 14,5) e ass im por diante.

ì = ì 0 12 12,5 13 13,5 14 14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5 18

ß(%) 0,57 3,75 15,15 38,97 68,08 88,69 95 88,69 68,08 38,97 15,15 3,75 0,57

(1 - ß)% 99,43 96,25 84,85 61,03 31,92 11,31 5 11,31 31,92 61,03 84,85 96,25 99,43

Curv a de Forç a

0102030405060708090

100

12 12,5 13 13,5 14 14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5 18

• = • o

(1 -

ß)%

9.6

i) H0: ì = 25 contra H1: ì • 25, ó = 2, n = 16 e á = 5%, portanto, na tabela normal, – Zá/2 =– 1,96 e Zá/2 = 1,96Utilizando a fórmula, Zá/2 = (xc – ì ) / [ó / (n)0,5] temos:– 1,96 = (xm c2 – 25) / (2/4), xm c2 = 24,02 e1,96 = (xm c1 – 25) / (2/4), xm c1 = 25,98, assim,a regra de decisão para H0 será:Rejeitar H0 quando Xmedia > 25,98 e Aceitar H0 quando Xmedia • 25,98 até 25 eRejeitar H0 quando Xmedia < 24,02 e Aceitar H0 quando Xmedia • 24,02 até 25.

j) P(ß/ì = 25,4) = P(Xmedia < 25,98/ì = 25,4) = P[z < (25,98 – 25,4) / ½ = 1,16] = 0,5 +0,3770 = 0,8770,P(ß/ì = 25,8) = P(Xmedia < 25,98/ì = 25,8) = P[z < 0,36] = 0,5 + 0,1406 = 0,6406,P(ß/ì = 26,2) = P(Xmedia < 25,98/ì = 26,2) = P[z < – 0,44] = 0,5 – 0,1700 = 0,3300,P(ß/ì = 26,6) = P(Xmedia < 25,98/ì = 26,6) = P[z < – 1,24] = 0,5 – 0,3925 = 0,1075,P(ß/ì = 27,0) = P(Xmedia < 25,98/ì = 27,0) = P[z < – 2,04] = 0,5 – 0,4793 = 0,0207,

Como a distribuição é normal e existe simetria, as probabilidades de valores eqüidistantesde H0: ì = 25 serão iguais. Por exemplo, P(ß/ì = 25,4) = P(ß/ì = 24,6) e ass im por diante.

ì = ì 0 23 23,4 23,8 24,2 24,6 25 25,4 25,8 26,2 26,6 27

ß(%) 2,07 10,75 33,00 64,06 87,70 95 87,70 64,06 33,00 10,75 2,07

(1 - ß)% 97,93 89,25 67 35,94 12,3 5 12,3 35,94 67 89,25 97,93

Curv a de Forç a

0102030405060708090

100

22,6 23 23,4 23,8 24,2 24,6 25 25,4 25,8 26,2 26,6 27 27,4

• = • o

(1 -

ß)%

k) H0: ì = 25 contra H1: ì • 25, ó = 2, n = 36 e á = 5%, portanto, na tabela normal, – Zá/2 =– 1,96 e Zá/2 = 1,96Utilizando a fórmula, Zá/2 = (xc – ì ) / [ó / (n)0,5] temos:1,96 = (xm c2 – 25) / (2/6), xm c2 = 25,65 e– 1,96 = (xm c1 – 25) / (2/6), xm c1 = – 24,35, assim,a regra de decisão para H0 será:Rejeitar H0 quando Xmedia > 25,65 e Aceitar H0 quando Xmedia • 25,65 até 25 eRejeitar H0 quando Xmedia < 24,35 e Aceitar H0 quando Xmedia • 24,35 até 25

P(ß/ì = 25,4) = P(Xmedia < 25,65/ì = 25,4) = P[z < (25,65 – 25,4) / 1/3 = 0,76] = 0,5 + 0,2764= 0,7764,P(ß/ì = 25,8) = P(Xmedia < 25,65/ì = 25,8) = P[z < – 0,45] = 0,5 – 0,1736 = 0,3264,P(ß/ì = 26,2) = P(Xmedia < 25,65/ì = 26,2) = P[z < – 1,67] = 0,5 – 0,4525 = 0,0475,P(ß/ì = 26,6) = P(Xmedia < 25,65/ì = 26,6) = P[z < – 2,88] = 0,5 – 0,4980 = 0,0020,P(ß/ì = 27,0) = P(Xmedia < 25,65/ì = 27,0) = P[z < – 4,09] = 0,5 – 0,5000 = 0,0000,

Como a distribuição é normal e existe simetria, as probabilidades de valores eqüidistantesde H0: ì = 25 serão iguais. Por exemplo, P(ß/ì = 25,4) = P(ß/ì = 24,6) e ass im por diante.

ì = ì 0 23 23,4 23,8 24,2 24,6 25 25,4 25,8 26,2 26,6 27

ß(%) 0,00 0,20 4,75 32,64 77,64 95 77,64 32,64 4,75 0,20 0,00

(1 - ß)% 100 99,80 95,25 67,36 22,36 5 22,36 67,36 95,25 99,80 100

Curv a de Forç a

0102030405060708090

100

22,6 23 23,4 23,8 24,2 24,6 25 25,4 25,8 26,2 26,6 27 27,4

• = • o

(1 -

ß)%

l) Como já se sabe, o aumento do tamanho de uma amostra acarreta uma reduçãosimultânea de erros. Isso pode ser claramente observado quando comparamos os gráficos.O gráfico com n = 36 tem um curva “U” mais estreita e com crescimento maior, ou seja,atinge valores de erros próximos a zero mais rapidamente que o gráfico com n = 16.

9.7

H0: p= 0,5 contra H1: p > 0,5, ó2 = 25, n = 100 e á = 5%, portanto, na tabela normal, Z á = 1,64Utilizando a fórmula, Zá = (xc – p) / [(p * q) / n]0,5 temos:1,64 = (xc – 0,50) / (0,05), portanto, xmediac = 0,5820 e assim, a regra de decisão para H0 será:Rejeitar H0 quando Xmedia > 0,5820 e Aceitar H0 quando Xmedia • 0,5820Para p = 0,55, P(ß/p = 0,55) = P(Xmedia < 0,582/ì = 0,55) = P(z < 0,64) = 0,2389 + 0,5 = 0,7389,Para p = 0,60, P(ß/p = 0,60) = P(Xmedia < 0,582/ì = 0,60) = P(z < -0,36) = 0,5 – 0,1406 = 0,3594,Para p = 0,65, P(ß/p = 0,65) = P(Xmedia < 0,582/ì = 0,65) = P(z < -1,36) = 0,5 – 0,4131 = 0,0869,Para p = 0,70, P(ß/p = 0,70) = P(Xmedia < 0,582/ì = 0,70) = P(z < -2,36) = 0,5 – 0,4909 = 0,0091,Para p = 0,75, P(ß/p = 0,75) = P(Xmedia < 0,582/ì = 0,75) = P(z < -3,36) = 0,5 – 0,4996 = 0,0004,

p = p0 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75

ß(%) 73,89 35,64 8,69 0,91 0,04

Curv a Carater ís tic a e Operaç ão

010

20304050607080

90100

0,5 0 ,55 0 ,6 0 ,65 0 ,7 0 ,75 0 ,8

• = • 0

ß(%

)

9.8

H0: ì = 1,70 contra H1: ì < 1,70, ó = 0,2, n = 36 e á = 8%, portanto, na tabela normal, – Zá = –1,41Utilizando a fórmula, – Zá = (xc – ì ) / [ó / (n)0,5] temos:– 1,41 = (xm c – 1,70) / (0,2 / 6), xm c = 1,653 assim, a regra de decisão para H0 será:Rejeitar H0 quando Xmedia > 1,653 e Aceitar H0 quando Xmedia • 1,653;P(ß/ì = 1,65) = P(Xmedia < 1,653/ì = 1,65) = P[z < (1,653 – 1,65) / (0,2 / 6)] = P[z < – 0,09] = 0,5– 0,0359 = 0,4641 ou 46,41%.

SÉRIE II

9.9

H0: ì = 16 contra H1: ì • 16, N(13,5; 4,4 2), n = 25 (24 graus) e á = 5%, portanto, na tabela tStudent, – tá/2 = – 2,0639 e tá/2 = 2,0639tcal = {(xmedia – ì o)/[S/(n)0,5]} = {(13,5 – 16) / [4,4 / (25)0,5]} = – 2,8409Como tcal < – tá/2, rejeita-se H0: ì = 16 com um nível de significância de 5%.

9.10

Primeiramente, calculando a média e a variância da amostra, temos:xmedia = Ó xi / n = (10 + ... + 15) / 15 = 12,2S2 = 1 / (n – 1) * [Óxi

2 – (Óxi)2 / n] = 1 / (15 – 1) * [2269 – (183)2 / 15] = 2,6 e S = 1,61

H0: ì = 12,5 contra H1: ì • 12,5, N(12,2; 1,61 2), n = 15 (14 graus) e á = 5%, portanto, na tabelat Student, – tá/2 = – 2,145 e tá/2 = 2,145tcal = {(xmedia – ì o)/[S/(n)0,5]} = (12,2 – 12,5) / [1,61 / (15)0,5] = – 0,72Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: ì = 12,5 com um nível de significância de 5%

H0: ì = 12,5 contra H1: ì > 12,5, N(12,2; 1,612), n = 15 (14 graus) e á = 5%, portanto, na tabelat Student, tá = 1,7613tcal = {(xmedia – ì o)/[S/(n)0,5]} = (12,2 – 12,5) / [1,61 / (15)0,5] = – 0, 72Como tcal • t á, não se pode rejeitar H0: ì = 12,5 com um nível de significância de 5%

H0: ì = 12,5 contra H1: ì < 12,5, N(12,2; 1,612), n = 15 (14 graus) e á = 5%, portanto, na tabelat Student, – tá = – 1,7613tcal = {(xmedia – ì o)/[S/(n)0,5]} = (12,2 – 12,5) / [1,61 / (15)0,5] = – 0, 72Como tcal • – t á, não se pode rejeitar H0: ì = 12,5 com um nível de significância de 5%.

9.11

Primeiramente, calculando a média e a variância da amostra, temos:xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (7,5 * 3 + ... + 27,5 * 2) / 21 = 16,55S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi

2 * Fi) – (Óxi * Fi)2 / n] = 1 / (21 – 1) * [6431,25 – (347,5)2 / 21] = 34,05 e S =

5,84

H0: ì = 20 contra H1: ì • 20, N(16,55; 5,84 2), n = 21 (20 graus) e á = 2,5% ou 2%(aproximadamente), portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 2,5280 e tá/2 = 2,5280tcal = {(xmedia – ì o)/[S/(n)0,5]} = (16,55 – 20) / [5,84 / (21)0,5] = – 2,71Como tcal < – tá/2, rejeita-se H0: ì = 20 com um nível de significância de 2,5%.

9.12

q) Primeiramente, calculando a média da amostra, temos:xmedia = Ó xi / n = (41 + ... + 50) / 20 = 49,35Quando temos a variância da população, utilizam-se a tabela normal e o Zcal para o testede significância.H0: ì = 50 contra H1: ì • 50, N(49,35; 2 2), n = 20 e á = 5%, portanto, na tabela normal, –Zá/2 = – 1,96 e Zá/2 = 1,96Zcal = {(xmedia – ì o)/[ó/(n)0,5]} = (49,35 – 50) / [(2)0,5/ (20)0,5] = – 2,06Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: ì = 50 com um nível de significância de5%.

r) Primeiramente, calculando a variância da amostra, temos:

S2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (20 – 1) * [48849 – (987)2 / 20] = 7,40 e S = 2,72Neste caso, como não temos o valor da variância da população, calculamos a variância daamostra e devido à perda de um grau de liberdade, utilizamos a tabela t Student e o tcal.H0: ì = 50 contra H1: ì • 50, N(49,35; 2,72 2), n = 20 (19 graus) e á = 5%, portanto, natabela t Student, – tá/2 = – 2,0930 e tá/2 = 2,0930tcal = (xmedia – ì o)/[S/(n)0,5] = (49,35 – 50) / [2,72 / (20)0,5] = – 1,068Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: ì = 50 com um nível de significância de 5%.

9.13

Primeiramente, calculando a média e a variância da amostra, temos:xmedia = Ó xi / n = (25 + ... + 31) / 15 = 31,80S2 = 1 / (n – 1) * [Óxi

2 – (Óxi)2 / n] = 1 / (15 – 1) * [15449 – (477)2 / 15] = 20,02 e S = 4,48

H0: ì = 30 contra H1: ì • 30, N(31,80; 4,48 2), n = 15 (14 graus) e á = 10%, portanto, na tabela tStudent, – tá/2 = – 1,7613 e tá/2 = 1,7613tcal = {(xmedia – ì o)/[S/(n)0,5]} = (31,80 – 30) / [4,48 / (15)0,5] = 1,556Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: ì = 30 com um nível de significância de 10%.

9.14

a) xmedia = Ó xi / n = (12,4 + ... + 12,7) / 8 = 12,325S2 = 1 / (n – 1) * [Óxi

2 – (Óxi)2 / n] = 1 / (8 – 1) * [1215,76 – (98,6)2 / 8] = 0,0736.

b) H0: ó2 = 1,00 contra H1: ó

2 < 1,00, S2 = 0,0736, n = 8 (7 graus) e á = 5%, portanto, natabela qui quadrado, Xinf

2 = 2,167 e com á = 10%, portanto, X inf2 = 2,833

Xcal2 = {[(n – 1) * S2] / óo

2} = (7 * 0,0736) / 1 = 0,49Como em ambos casos Xcal

2 < Xinf2, rejeita-se H0: ó

2 = 1,00 com níveis de significância de5% e 10%.

c) A hipótese admitida é de que a população tem distribuição normal.

9.15

Primeiramente, calculando a média e a variância da amostra, temos:xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (7,5 * 3 + ... + 27,5 * 1) / 20 = 16,00S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi

2 * Fi) – (Óxi * Fi)2 / n] = 1 / (20 – 1) * [5675 – (320)2 / 20] = 29,21

H0: ó2 = 10,0 contra H1: ó

2 • 10,0, S 2 = 29,21, n = 20 (19 graus) e á = 20%, portanto, na tabelaqui quadrado, Xinf

2 = 11,651 e Xsup2 = 27,204

Xcal2 = {[(n – 1) * S2] / óo

2} = (19 * 29,21) / 10 = 55,50Como Xcal

2 > Xsup2, rejeita-se H0: ó

2 = 10,0 com nível de significância de 20%.

9.16

Primeiramente, calculando a média e a variância da amostra, temos:xmedia = Ó xi / n = 8,7 / 15 = 0,58S2 = 1 / (n – 1) * [Óxi

2 – (Óxi)2 / n] = 1 / (15 – 1) * [27,3 – (8,7)2 / 15] = 1,59

H0: ó2 = 4,0 contra H1: ó

2 • 4,0, S 2 = 1,59, n = 15 (14 graus) e á = 1%, portanto, na tabela quiquadrado, Xinf

2 = 4,075 e Xsup2 = 31,319

Xcal2 = {[(n – 1) * S2] / óo

2} = (14 * 1,59) / 4 = 5,57Como Xinf

2 • X cal2 • X sup

2, não se pode rejeitar H0: ó2 = 4,0 com nível de significância de 1%.

9.17

H0: p = 0,50 contra H1: p • 0,50, n = 500, f = 0,52 e á = 5%, portanto, na tabela normal, – Zá/2 =– 1,96 e Zá/2 = 1,96Zcal = {(f – po) / [[po * (1 – po)] / n]0,5} = {(0,52 – 0,5) / [(0,5 * 0,5) / 500]0,5} = 0,89Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: p = 0,50 com nível de significância de 5%.

9.18

a) H0: p = 0,80 contra H1: p • 0,80, n = 140, f = 0,79 e á = 4%, portanto, na tabela normal,– Zá/2 = – 2,05 e Zá/2 = 2,05Zcal = {(f – po) / [[po * (1 – po)] / n]0,5} = {(0,79 – 0,8) / [(0,8 * 0,2) / 140]0,5} = – 0,30Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: p = 0,80 com nível de significância de 4%.

b) H0: p = 0,70 contra H1: p • 0,70, n = 140, f = 0,64 e á = 2%, portanto, na tabela normal,– Zá/2 = – 2,33 e Zá/2 = 2,33Zcal = {(f – po) / [[po * (1 – po)] / n]0,5} = {(0,64 – 0,7) / [(0,7 * 0,3) / 140]0,5} = – 1,55Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: p = 0,70 com nível de significância de 2%.

c) H0: p = 0,40 contra H1: p • 0,40, n = 50, f = 0,68 e á = 1%, portanto, na tabela normal, –Zá/2 = – 2,57 e Zá/2 = 2,57Zcal = {(f – po) / [[po * (1 – po)] / n]0,5} = {(0,68 – 0,4) / [(0,4 * 0,6) / 50]0,5} = 4,04Como Zcal > Zá/2, rejeita-se H0: p = 0,40 com nível de significância de 1%.

9.19

H0: p = 0,50 contra H1: p • 0,50, n = 100, f = 0,60 e á = 5%, portanto, na tabela normal, – Zá/2 =– 1,96 e Zá/2 = 1,96Zcal = {(f – po) / [[po * (1 – po)] / n]0,5} = {(0,60 – 0,50) / [(0,50 * 0,50) / 100]0,5} = 2,00Como Zcal > Zá/2, rejeita-se H0: p = 0,50, ou seja, que a moeda é honesta com nível designificância de 5%.

9.20

H0: p = 0,50 contra H1: p • 0,50, n = 500, f = 0,60 e á = 4%, portanto, na tabela normal, – Zá/2 =– 2,05 e Zá/2 = 2,05Zcal = {(f – po) / [[po * (1 – po)] / n]0,5} = {(0,60 – 0,50) / [(0,50 * 0,50) / 500]0,5} = 4,47Como Zcal > Zá/2, rejeita-se H0: p = 0,50 com nível de significância de 5%.

9.21

H0: p = 0,40 contra H1: p > 0,40, n = 90, f = 0,44 e á = 5%, portanto, na tabela normal, Z á = 1,64Zcal = {(f – po) / [[po * (1 – po)] / n]0,5} = {(0,44 – 0,40) / [(0,40 * 0,60) / 90]0,5} = 0,85Como Zcal • Z á, não se pode rejeitar H0: p = 0,40 com nível de significância de 5%.

9.22

H0: ó12 = ó2

2 contra H1: ó12 • ó2

2, S12 = 43,2, S2

2 = 29,5, á = 10%, portanto, na tabela F , com ö1

= n1 – 1 = 40 e ö2 = n2 – 1 = 30, Fsup = 1,79 e Finf = 1 / F(30,40) = 0,57Fcal = S1

2 / S22 = 43,2 / 29,50 = 1,46

Como Finf • F cal • F sup, não se pode rejeitar H0: ó12 = ó2

2 com nível de significância de 10%.

9.23

Tomando A e B, temos:SA

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (5 – 1) * [3811 – (137)2 / 5] = 14,30SB

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (5 – 1) * [3777 – (133)2 / 5] = 59,80H0: óA

2 = óB2 contra H1: óA

2 • óB2, SA

2 = 14,30, SB2 = 59,80 e á = 10%, portanto, na tabela F ,

com ö1 = n1 – 1 = 4 e ö2 = n2 – 1 = 4, Fsup = 6,39 e Finf = 1 / F(4, 4) = 0,16Fcal = S1

2 / S22 = 14,30 / 59,80 = 0,24

Como Finf • F cal • F sup, não se pode rejeitar H0: óA2 = óB


9.24

Primeiramente, calculando as variâncias das amostras, temos:SA

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (6 – 1) * [890 – (64)2 / 6] = 41,47SB

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (6 – 1) * [2198 – (98)2 / 5] = 119,47

Tomando as marcas A e B:H0: óA

2 = óB2 contra H1: óA

2 • óB2, SA

2 = 41,47, SB2 = 119,47 e á = 10%, portanto, na tabela F ,

com ö1 = n1 – 1 = 5 e ö2 = n2 – 1 = 5, Fsup = 5,05 e Finf = 1 / F(5, 5) = 0,20Fcal = S1

2 / S22 = 41,47 / 119,47 = 0,347

Como Finf • F cal • F sup, não se pode rejeitar H0: óA2 = óB


9.25

H0: µ1 = µ2 contra H1: µ1 • µ 2, n1 = 60, xmedia 1 = 5,71, ó12 = 43, n2 = 35, xmedia 2 = 4,12, ó2

2 = 28 eá = 4%, portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 2,05 e Zá/2 = 2,05Zcal = {(xmedia 1 – xmedia 2) / [(ó1

2 / n1) + (ó22 / n2)]

0,5} = {(5,71 – 4,12) / [(43 / 60) + (28 / 35)]0,5} =1,29Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: µ1 = µ2 com nível de significância de 4%.

9.26

Primeiramente, calculando as médias das amostras, temos:xmedia A = Ó xi / n = (14 + ... + 12) / 6 = 64 / 6 = 10,67xmedia B = Ó xi / n = (45 + ... + 10) / 6 = 98 / 6 = 16,34Do exercício 9.24, temos: SA

2 = 41,47 e SB2 = 119,47

H0: µA = µB contra H1: µA • µ B, nA = 6, xmedia A = 10,67, SA2 = 41,47, nB = 6, xmedia B = 16,34, SB

2 =119,47 e á = 5%, portanto, na tabela t S tudent, com ö = (6 + 6 – 2) = 10, – tá/2 = – 2,2281 e tá/2

= 2,2281Sc = {[(n1 – 1) * S1

2 + (n2 – 1) * S22] / (n1 + n2 – 2)}0,5 = {[5 * 41,47 + 5 * 119,47] / 10}0,5 = 8,97

tcal = {[(xmedia 1 – xmedia 2)] / Sc * [(n1 + n2) / (n1 * n2)]0,5} = {[(10,67 – 16,34)] / 8,97 * [12 / 36]0,5} = –

1,1Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: µ1 = µ2 com nível de significância de 5%.

9.27

a) Tomando A e B, temos:Primeiramente, calculando as médias das populações, temos:xmedia A = Ó xi / n = (22 + ... + 27) / 5 = 137 / 5 = 27,4xmedia B = Ó xi / n = (22 + ... + 40) / 5 = 133 / 5 = 26,6Do exercício 9.23, temos: SA

2 = 14,3 e SB2 = 59,8

H0: µA = µB contra H1: µA • µ B, nA = 5, xmedia A = 27,4, SA2 = 14,3, nB = 5, xmedia B = 26,6, SB

2 =59,8 e á = 5%, portanto, na tabela t S tudent, com ö = (5 + 5 – 2) = 8, – tá/2 = – 2,3060 e tá/2

= 2,3060Sc = {[(n1 – 1) * S1

2 + (n2 – 1) * S22] / (n1 + n2 – 2)}0,5 = {[(5 – 1) * 14,3 + (5 – 1) * 59,8] / (5 +

5 – 2)}0,5 = 6,09tcal = {[(xmedia 1 – xmedia 2)] / Sc * [(n1 + n2) / (n1 * n2)]

0,5} = {[(27,4 – 26,6)] / 6,09 * [10 / 25]0,5} =0,21Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: µ1 = µ2 com nível de significância de 5%.

b) Tomando C e D, temos:Primeiramente, calculando as médias e as variâncias amostrais, temos:xmedia C = Ó xi / n = (42 + ... + 25) / 5 = 151 / 5 = 30,2 eSC

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (5 – 1) * [4749 – (151)2 / 5] = 47,2xmedia D = Ó xi / n = (21 + ... + 28) / 5 = 106 / 5 = 21,2 e SD

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (5 – 1) * [2316 – (106)2 / 5] = 17,2

H0: µC = µD contra H1: µC • µ D, nC = 5, xmedia C = 30,2, SC2 = 47,2, nD = 5, xmedia D = 21,2, SD

2

= 17,2 e á = 10%, portanto, na tabela t S tudent, com ö = (5 + 5 – 2) = 8, – tá/2 = – 1,8595 etá/2 = 1,8595Sc = {[(n1 – 1) * S1

2 + (n2 – 1) * S22] / (n1 + n2 – 2)}0,5 = {[(5 – 1) * 47,2 + (5 – 1) * 17,2] / (5 +

5 – 2)}0,5 = 5,67tcal = {[(xmedia 1 – xmedia 2)] / Sc * [(n1 + n2) / (n1 * n2)]

0,5} = {[(30,2 – 21,2)] / 5,67 * [10 / 25]0,5} =2,51Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: µ1 = µ2 com nível de significância de 5%.

9.28

Primeiramente, calculando as médias e as variâncias das amostras, temos:xmedia M = (Ó xi . Fi) / n = (17,5 * 8 + ... + 77,5 * 3) / 45 = 41,50SM

2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi) – (Óxi * Fi)

2 / n] = 1 / 44 * [90731,25 – (1867,5)2 / 45] = 300,68xmedia F = (Ó xi . Fi) / n = (17,5 * 7 + ... + 77,5 * 4) / 39 = 42,88SF

2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi) – (Óxi * Fi)

2 / n] = 1 / 38 * [84843,75 – (1672,5)2 / 39] = 345,24

H0: µM – µF = 5 contra H1: µM – µF • 5, n M = 45, xmedia M = 41,50, SM2 = 300,68, nF = 39, xmedia F =

42,88, SF2 = 345,24, e á = 10%, portanto, na tabela t S tudent, com ö = (45 + 39 – 2) = 82, – tá/2

= – 1,6636 e tá/2 = 1,6636Sc = {[(n1 – 1) * S1

2 + (n2 – 1) * S22] / (n1 + n2 – 2)}0,5 = {[(45 – 1) * 300,68 + (39 – 1) * 345,24] /

(45 + 39 – 2)}0,5 = 17,93tcal = {[(xmedia 1 – xmedia 2) – d] / Sc * [(n1 + n2) / (n1 * n2)]

0,5} = {[(41,50 – 42,88) – 5] / 17,93 * [(45 +39) / (45 * 39)]0,5} = – 1,63Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: µM – µF = 5 com um nível de significância de10%.

9.29

H0: psp = prj contra H1: psp • p rj, nsp = 300, fsp = 0,25, nrj = 400, frj = 0,30 e á = 5%, portanto, natabela normal, – Zá/2 = – 1,96 e Zá/2 = 1,96pcom = (x1 + x2) / (n1 + n2) = (75 + 120) / (300 + 400) = 0,28Zcal = {(f1 – f2) / [pcom * (1 – pcom) * (1 / n1 + 1 / n2)]

0,5} = {(0,25 – 0,30) / [0,28 * (1 – 0,28) * (1 /300 + 1 / 400)]0,5} = – 1,46Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: psp = prj com nível de significância de 5%.

9.30

H0: p1 = p2 contra H1: p1 • p 2, n1 = 1000, f1 = 0,05, n2 = 1000, f2 = 0,20 e á = 5%, portanto, natabela normal, – Zá/2 = – 1,96 e Zá/2 = 1,96pcom = (x1 + x2) / (n1 + n2) = (50 + 200) / (1000 + 1000) = 0,125Zcal = {(f1 – f2) / [pcom * (1 – pcom) * (1 / n1 + 1 / n2)]

0,5} = {(0,05 – 0,20) / [0,125 * (1 – 0,125) * (2 /1000)]0,5} = – 10,14Como Zcal < – Zá/2, rejeita-se H0: p1 = p2 com nível de significância de 5%.

9.31

H0: pX = pY contra H1: pX • p Y, nX = 200, fX = 0,60, nY = 500, fY = 0,48 e á = 10%, portanto, natabela normal, – Zá/2 = – 1,64 e Zá/2 = 1,64pcom = (x1 + x2) / (n1 + n2) = (120 + 240) / (200 + 500) = 0,5143Zcal = {(f1 – f2) / [pcom * (1 – pcom) * (1 / n1 + 1 / n2)]

0,5} = {(0,60 – 0,48) / [0,5143 * (1 – 0,5143) * (1/ 200 + 1/ 500)]0,5} = 2,86Como Zcal > Zá/2, rejeita-se H0: pX = pY com nível de significância de 10%.


Capítulo 10 – Análise da Variância: Anova

SÉRIE I

10.1

s) Primeiramente, contando o número de elementos e calculando a soma, a média e avariância das amostras, temos:xm1 = Ó xi / n = (26 + ... + 28) / 6 = 159 / 6 = 26,50S1

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (6 – 1) * [25281 – (159)2 / 6] = 3,50xm2 = Ó xi / n = (17 + ... + 21) / 4 = 80 / 4 = 20,00S2

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (4 – 1) * [1614 – (80)2 / 4] = 4,67xm3 = Ó xi / n = (36 + ... + 29) / 4 = 129 / 4 = 32,25S3

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (4 – 1) * [4184 – (129)2 / 4] = 8,92xm4 = Ó xi / n = (20 + ... + 23) / 6 = 121 / 6 = 20,17S4

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (6 – 1) * [2467 – (121)2 / 6] = 5,37

GRUPO CONTAGEM SOMA MÉDIA VARIÂNCIA

Coluna 1 6 159 26,50 3,50

Coluna 2 4 80 20,00 4,67

Coluna 3 4 129 32,25 8,92

Coluna 4 6 121 20,17 5,37

t) xtotal = Ó xi / n = (26 + ... + 23) / 20 = / 20 = 24,45.

u) C = [(Ói Ój xij)2 / n] = (489)2 / 20 = 11956,05

Qt = (Ói Ój xij)2 – C = (262 + ... + 232) – 11956,05 = 12499 – 11956,05 = 542,95.

v) Qe = Ói * [(Ój xij)2 / n] – C = [(159)2 / 6] + ... + [(121)2 / 6] – 11956,05 = 12413,92 – 11956,05

= 475,87.

w) Qr = Qt – Qe = 542,95 – 475,87 = 85,08.

x) Se2 = [Qe / (k – 1)] = 475,87 / 3 = 152,62

Sr2 = [Qr / (n – k)] = 85,08 / 16 = 5,32

Fcal = [Se2 / Sr

2] = 152,62 / 5,32 = 28,70 e á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 3 e16, Ftab(3, 16) = 3,24Como Fcal > Ftab, rejeita-se H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 com nível de significância de 5%,concluindo-se que há diferença entre as médias.

VARIAÇÃO SOMA DOS 2S G.L. 2S MÉDIOS TESTE F F CRÍTICO

Entre Tratamentos 475,87 k – 1 = 4 – 1 = 3 152,62 28,70 3,24

Residual 85,08 n – k = 20 – 4 = 16 5,32

Total 542,95 n – 1 = 20 – 1 = 19

y) Éxm1 – xm2É > {S r2 * (k – 1) * (1/n1 + 1/n2) * Fá[(k – 1), (n – k)]}0,5

É 26,50 – 20,00 É e [5,32 * 3 * 0,42 * F (3, 16)]0,5, ou seja, 6,50 > 4,66, portanto, µ1 • µ 2

É 26,50 – 32,25 É e [5,32 * 3 * 0,42 * F (3, 16)]0,5, ou seja, 5,75 > 4,66, portanto, µ1 • µ 3

É 26,50 – 20,17 É e [5,32 * 3 * 0,33 * F (3, 16)]0,5, ou seja, 6,33 > 4,13, portanto, µ1 • µ 4É 20,00 – 32,25 É e [5,32 * 3 * 0,50 * F (3, 16)]0,5, ou seja, 12,25 > 5,08, portanto, µ2 • µ 3

É 20,00 – 20,17 É e [5,32 * 3 * 0,42 * F (3, 16)]0,5, ou seja, 0,17 < 4,66, portanto, µ2 = µ4

É 32,25 – 20,17 É e [5,32 * 3 * 0,42 * F (3, 16)]0,5, ou seja, 12,08 > 4,66, portanto, µ3 • µ 4.

10.2

Primeiramente, contando o número de elementos e calculando a soma, a média e a variânciadas amostras, temos:xmA = Ó xi / n = (53 + ... + 55) / 6 = 333 / 6 = 55,50SA

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (6 – 1) * [18535 – (333)2 / 6] = 10,70xmB = Ó xi / n = (52 + ... + 54) / 6 = 326 / 6 = 54,33SB

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (6 – 1) * [17788 – (326)2 / 6] = 15,07xmC = Ó xi / n = (51 + ... + 50) / 6 = 320 / 6 = 53,33SC

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (6 – 1) * [17100 – (320)2 / 6] = 6,67xmD = Ó xi / n = (49 + ... + 51) / 6 = 309 / 6 = 51,50SD

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (6 – 1) * [15931 – (309)2 / 6] = 3,50


A 6 333 55,50 10,70

B 6 326 54,33 15,07

C 6 320 53,33 6,67

D 6 309 51,50 3,50

C = [(Ói Ój xij)2 / n] = (1288)2 / 24 = 69122,67

Qt = (Ói Ój xij)2 – C = (532 + ... + 512) – 69122,67 = 69354 – 69122,67 = 231,33

Qe = Ói * [(Ój xij)2 / n] – C = [(333)2 / 6] + ... + [(309)2 / 6] – 69122,67 = 69174,33 – 69122,67 =

51,67Qr = Qt – Qe = 231,33 – 51,67 = 179,67Se

2 = [Qe / (k – 1)] = 51,67 / 3 = 17,22Sr

2 = [Qr / (n – k)] = 179,67 / 20 = 8,98Fcal = [Se

2 / Sr2] = 17,22 / 8,98 = 1,92 e á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 3 e 20,

Ftab(3, 20) = 3,10Como Fcal < Ftab, não se pode rejeitar H0: µA = µB = µC = µD com nível de significância de 5%,concluindo-se que não há diferença entre as médias.



Residual 179,67 n – k = 24 – 4 = 20 8,98

Total 231,33 n – 1 = 24 – 1 = 23

10.3

Primeiramente, contando o número de elementos e calculando a soma, a média e a variânciadas amostras, temos:xmA = Ó xi / n = (3,6 + ... + 3,2) / 6 = 20,2 / 6 = 3,37SA

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (6 – 1) * [68,36 – (20,2)2 / 6] = 0,07xmB = Ó xi / n = (3,3 + ... + 3,4) / 6 = 20,2 / 6 = 3,37SB

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (6 – 1) * [68,06 – (20,2)2 / 6] = 0,01xmC = Ó xi / n = (3,5 + ... + 3,2) / 6 = 20,1 / 6 = 3,35SC

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (6 – 1) * [67,39 – (20,1)2 / 6] = 0,01xmD = Ó xi / n = (3,5 + ... + 3,8) / 6 = 20,3 / 6 = 3,38SD

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (6 – 1) * [69,03 – (20,3)2 / 6] = 0,07xmE = Ó xi / n = (3,7 + ... + 3,4) / 6 = 21,2 / 6 = 3,53SE

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (6 – 1) * [74,98 – (21,2)2 / 6] = 0,01


Mistura A 6 20,2 3,37 0,07

Mistura B 6 20,2 3,37 0,01

Mistura C 6 20,1 3,35 0,01

Mistura D 6 20,3 3,38 0,07

Mistura E 6 21,2 3,53 0,01

C = [(Ói Ój xij)2 / n] = (102)2 / 30 = 346,80

Qt = (Ói Ój xij)2 – C = (3,62 + ... + 3,42) – 346,80 = 347,82 – 346,80 = 1,02

Qe = Ói * [(Ój xij)2 / n] – C = [(20,2)2 / 6] + ... + [(21,2)2 / 6] – 346,80 = 346,94 – 346,80 = 0,14

Qr = Qt – Qe = 1,02 – 0,14 = 0,88Se

2 = [Qe / (k – 1)] = 0,14 / 4 = 0,03Sr

2 = [Qr / (n – k)] = 0,88 / 25 = 0,04Fcal = [Se

2 / Sr2] = 0,03 / 0,04 = 0,97 e á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 4 e 25,

Ftab(4, 25) = 2,76Como Fcal < Ftab, não se pode rejeitar H0: µA = µB = µC = µD = µE com nível de significância de5%, concluindo-se que não há diferença entre as médias.



Residual 0,88 n – k = 30 – 5 = 25 0,04

Total 1,02 n – 1 = 30 – 1 = 29

10.4

Primeiramente, contando o número de elementos e calculando a soma, a média e a variânciadas amostras, temos:xm1 = Ó xi / n = (40 + 59 + 42) / 3 = 141 / 3 = 47,00S1

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (3 – 1) * [6845 – (141)2 / 3] = 109,00xm2 = Ó xi / n = (39 + 55 + 51) / 3 = 145 / 3 = 48,33S2

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (3 – 1) * [7147 – (145)2 / 3] = 69,33xm3 = Ó xi / n = (47 + 55 + 45) / 3 = 147 / 3 = 49,00S3

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (3 – 1) * [7259 – (147)2 / 3] = 28,00xm4 = Ó xi / n = (45 + 50 + 40) / 3 = 135 / 3 = 45,00S4

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (3 – 1) * [6125 – (135)2 / 3] = 25,00xm5 = Ó xi / n = (52 + 52 + 41) / 3 = 145 / 3 = 48,33S5

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (3 – 1) * [7089 – (145)2 / 3] = 40,33xmA = Ó xi / n = (40 + ... + 52) / 5 = 223 / 5 = 44,60SA

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (5 – 1) * [10059 – (223)2 / 5] = 28,30xmB = Ó xi / n = (59 + ... + 52) / 5 = 271 / 5 = 54,20SB

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (5 – 1) * [14735 – (271)2 / 5] = 11,70xmC = Ó xi / n = (42 + ... + 41) / 5 = 219 / 5 = 43,80SC

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (5 – 1) * [9671 – (219)2 / 5] = 19,70


Operário 1 3 141 47,00 109,00

Operário 2 3 145 48,33 69,33

Operário 3 3 147 49,00 28,00

Operário 4 3 135 45,00 25,00

Operário 5 3 145 48,33 40,33

Máquina A 5 223 44,60 28,30

Máquina B 5 271 54,20 11,70

Máquina C 5 219 43,80 19,70

C = [(Ói Ój xij)2 / n] = (713)2 / 15 = 33891,27

Qt = (Ói Ój xij)2 – C = (402 + ... + 412) – 33891,27 = 34465 – 33891,27 = 573,73

Qel = Ój * [(Ój xij)2 / k] – C = [(141)2 / 3] + ... + [(145)2 / 3] – 33891,27 = 33921,67 – 33891,27 =

30,40Qec = Ói * [(Ój xij)

2 / L] – C = [(223)2 / 5] + ... + [(219)2 / 5] – 33891,27 = 34226,20 – 33891,27 =334,93Qr = Qt – Qec – Qel = 573,73 – 334,93 – 30,40 = 208,40Sel

2 = [Qel / (L – 1)] = 30,40 / 4 = 7,60Sec

2 = [Qec / (k – 1)] = 334,93 / 2 = 167,47Sr

2 = [Qr / (n – L – k + 1)] = 208,40 / 8 = 26,05FL

cal = [Sel2 / Sr

2] = 7,60 / 26,05 = 0,29 e á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 4 e 8,FL

tab(4, 8) = 3,84Como FL

cal < FLtab, não se pode rejeitar H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 com nível de significância de

5%, concluindo-se que não há diferença entre os operáriosFc

cal = [Sec2 / Sr

2] = 167,47 / 26,05 = 6,43 e á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 2 e 8,Fc

tab(2, 8) = 4,46Como Fc

cal l > Fctab, rejeita-se H0: µA = µB = µC com nível de significância de 5%, concluindo-se

que há diferença entre as máquinas.


Linhas 30,40 L – 1 = 5 – 1 = 4 7,60 0,29 3,84

Colunas 334,93 k – 1 = 3 – 1 = 2 167,47 6,43 4,46

Residual 208,40 15 – 5 – 3 + 1 = 8 26,05

Total 573,73 n – 1 = 15 – 1 = 14

10.5

Primeiramente, contando o número de elementos e calculando a soma, a média e a variânciadas amostras, temos:xmA = Ó xi / n = (15 + ... + 14) / 4 = 51 / 4 = 12,75SA

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (4 – 1) * [665 – (51)2 / 4] = 4,92xmB = Ó xi / n = (19 + ... + 11) / 4 = 57 / 4 = 14,25SB

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (4 – 1) * [851 – (57)2 / 4] = 12,92xmC = Ó xi / n = (18 + ... + 12) / 4 = 59 / 4 = 14,75SC

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (4 – 1) * [889 – (59)2 / 4] = 6,25xmD = Ó xi / n = (16 + ... + 16) / 4 = 55 / 4 = 13,75SD

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (4 – 1) * [777 – (55)2 / 4] = 6,92xmE = Ó xi / n = (17 + ... + 14) / 4 = 58 / 4 = 14,50SE

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (4 – 1) * [862 – (58)2 / 4] = 7,00xm1 = Ó xi / n = (15 + ... + 17) / 5 = 85 / 5 = 17,00S1

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (5 – 1) * [1455 – (85)2 / 5] = 2,50xm2 = Ó xi / n = (12 + ... + 16) / 5 = 68 / 5 = 13,60S2

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (5 – 1) * [942 – (68)2 / 5] = 4,30xm3 = Ó xi / n = (10 + ... + 11) / 5 = 60 / 5 = 12,00S3

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (5 – 1) * [734 – (60)2 / 5] = 3,50xm4 = Ó xi / n = (14 + ... + 14) / 5 = 67 / 5 = 13,40S4

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (5 – 1) * [913 – (67)2 / 5] = 3,80


Bloco A 4 51 12,75 4,92

Bloco B 4 57 14,25 12,92

Bloco C 4 59 14,75 6,25

Bloco D 4 55 13,75 6,92

Bloco E 4 58 14,50 7,00

Café 1 5 85 17,00 2,50

Café 2 5 68 13,60 4,30

Café 3 5 60 12,00 3,50

Café 4 5 67 13,40 3,80

C = [(Ói Ój xij)2 / n] = (280)2 / 20 = 3920

Qt = (Ói Ój xij)2 – C = (152 + ... + 142) – 3920 = 4044 – 3920 = 124,00

Qel = Ój * [(Ój xij)2 / k] – C = [()2 / 4] + ... + [()2 / 4] – 3920 = 3930 – 3920 = 10,00

Qec = Ói * [(Ój xij)2 / L] – C = [()2 / 5] + ... + [()2 / 5] – 3920 = 3987,60 – 3920 = 67,60

Qr = Qt – Qec – Qel = 124 – 10 – 67,60 = 46,40Sel

2 = [Qel / (L – 1)] = 10 / 4 = 2,5Sec

2 = [Qec / (k – 1)] = 67,60 / 3 = 22,53Sr

2 = [Qr / (n – L – k + 1)] = 16,40 / 12 = 3,87FL

cal = [Sel2 / Sr

2] = 2,5 / 3,87 = 0,65 e á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 4 e 12,FL

tab(4, 12) = 3,26Como FL

cal < FLtab, não se pode rejeitar H0: µA = µB = µC = µD = µE com nível de significância de

5%, concluindo-se que não há diferença entre os solosFc

cal = [Sec2 / Sr

2] = 22,53 / 3,87 = 5,83 e á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 3 e 12,Fc

tab(3, 12) = 3,49Como Fc

cal l > Fctab, rejeita-se H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 com nível de significância de 5%, concluindo-

se que há diferença entre os tipos de café.


Linhas 10,00 L – 1 = 5 – 1 = 4 2,50 0,65 3,26

Colunas 67,60 K – 1 = 4 – 1 = 3 22,53 5,83 3,49

Residual 46,40 20 – 5 – 4 + 1 = 12 3,87

Total 124,00 n – 1 = 20 – 1 = 19

10.6

Primeiramente, contando o número de elementos e calculando a soma, a média e a variânciadas amostras, temos:xmFAR = Ó xi / n = (78 + ... + 125) / 12 = 1227 / 12 = 102,25SFAR

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (12 – 1) * [130095 – (1227)2 / 12] = 421,30xmDRO = Ó xi / n = (78 + ... + 128) / 12 = 1250 / 12 = 104,17SDRO

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (12 – 1) * [134800 – (1250)2 / 12] = 417,42xmOUT = Ó xi / n = (80 + ... + 129) / 12 = 1266 / 12 = 105,50SOUT

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (12 – 1) * [138408 – (1266)2 / 12] = 440,45xmP1 = Ó xi / n = (78 + ... + 81) / 12 = 936 / 12 = 78,00SP1

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (12 – 1) * [73048 – (936)2 / 12] = 3,64xmP2 = Ó xi / n = (108 + ... + 111) / 12 = 1299 / 12 = 108,25SP2

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (12 – 1) * [140671 – (1299)2 / 12] = 4,93xmP3 = Ó xi / n = (124 + ... + 129) / 12 = 1508 / 12 = 125,67SP3

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (12 – 1) * [189584 – (1508)2 / 12] = 125,67


Farmácia 12 1227 102,25 421,30

Drogaria 12 1250 104,17 417,42

Outro 12 1266 105,50 440,45

P1 = 54 12 936 78,00 3,64

P2 = 49 12 1299 108,25 7,93

P3 = 44 12 1508 125,67 125,67

C = [(Ói Ój Ól xijl)2 / n] = (3743)2 / 36 = 389168,03

Qt = (Ói Ój Ól xijl)2 – C = (782 + ... + 1292) – C = 403303,00 – 389168,03 = 14134,97

Qel = Ói * [(Ój Ól xijl)2 / RK] – C = [(1227)2 / 12] + ... + [(1266)2 / 12] – C = 389232,08 – 389168,03

= 64,06Qec = Ój * [(Ói Ól xijl)

2 / RL] – C = [(936)2 / 12] + ... + [(1508)2 / 12] – C = 403130,08 – 389168,03 =13962,06Qr = Ói Ój Ól xijl

2 – Ói Ój * [(Óe xijl)2 / R] = [(78)2 + ... + (129)2] – [(305)2 / 4 + ... + (513)2 / 4] =

403303 – 403207,30 = 95,80Qi = Qt – Qec – Qel – Qr = 14134,97 – 13962,06 – 64,06 – 95,80 = 13,11Sel

2 = [Qel / (L – 1)] = 64,06 / 2 = 32,03Sec

2 = [Qec / (k – 1)] = 13962,06 / 2 = 6981,03Si

2 = [Qi / (k – 1)(L – 1)] = 13,11 / 4 = 3,28Sr

2 = [Qr / L * K * (R – 1)] = 95,80 / (3 * 3 * 3) = 3,55

a) FLcal = [Sel

2 / Sr2] = 32,03 / 3,55 = 9,03 e á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 2

e 27, FLtab(2, 27) = 3,35

Como FLcal > FL

tab, rejeita-se H0: µFAR = µDRO = µOUT com nível de significância de 5%,concluindo-se que a distribuição interfere nas quantidades.

b) Fccal = [Sec

2 / Sr2] = 6981,03 / 3,55 = 1966,49 e á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 e

ö2 = 2 e 27, Fctab(2, 27) = 3,35

Como Fccal > Fc

tab, rejeita-se H0: µP1 = µP2 = µP3 com nível de significância de 5%,concluindo-se que o preço interfere nas quantidades.

c) Fical = [Si

2 / Sr2] = 3,28 / 3,55 = 0,92 e á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 4 e

27, Fitab(4, 27) = 2,73

Como Fical < Fi

tab, não se pode rejeitar H0 com nível de significância de 5%, concluindo-seque não há efeito devido à interação.


Linhas 64,06 L – 1 = 3 – 1 = 2 32,03 9,03 3,35

Colunas 13962,06 k – 1 = 3 – 1 = 2 6981,03 1966,49 3,35

Interação 13,11 (k – 1)(L – 1) = 4 3,28 0,92 2,73

Residual 95,80 LK (R – 1) = 27 3,55

Total 14134,97 KLR – 1 = 35

10.7

Primeiramente, contando o número de elementos e calculando a soma, a média e a variânciadas amostras, temos:xmX = Ó xi / n = (516 + ... + 506) / 12 = 6134 / 12 = 511,17SX

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (12 – 1) * [3135674 – (6134)2 / 12] = 16,15xmY = Ó xi / n = (529 + ... + 508) / 12 = 6157 / 12 = 513,08SY

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (12 – 1) * [3159467 – (6157)2 / 12] = 37,54xmZ = Ó xi / n = (518 + ... + 506) / 12 = 6146 / 12 = 512,17SZ

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (12 – 1) * [3148120 – (6146)2 / 12] = 31,24xm1 = Ó xi / n = (516 + ... + 518) / 9 = 4664 / 9 = 518,22S1

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (9 – 1) * [2417160 – (4664)2 / 9] = 21,44xm2 = Ó xi / n = (517 + ... + 516) / 9 = 4625 / 9 = 513,89S2

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (9 – 1) * [2376787 – (4625)2 / 9] = 6,36xm3 = Ó xi / n = (512 + ... + 509) / 9 = 4588 / 9 = 509,78S3

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (9 – 1) * [2338904 – (4588)2 / 9] = 5,44xm4 = Ó xi / n = (506 + ... + 506) / 9 = 4560 / 9 = 506,67S4

2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)

2 / n] = 1 / (9 – 1) * [2310410 – (4560)2 / 9] = 1,25


Técnico X 12 6134 511,17 16,15

Técnico Y 12 6157 513,08 37,54

Técnico Z 12 6146 512,17 31,24

Bloco 1 9 4664 518,22 21,44

Bloco 2 9 4625 513,89 6,36

Bloco 3 9 4588 509,78 5,44

Bloco 4 9 4560 506,67 1,25

C = [(Ói Ój Ól xijl)2 / n] = (18437)2 / 36 = 9442307,69

Qt = (Ói Ój Ól xijl)2 – C = (5162 + ... + 5062) – C = 9443261,00 – 9442307,69 = 956,31

Qel = Ói * [(Ój Ól xijl)2 / RK] – C = [(6134)2 / 12] + [(6157)2 / 12] + [(6146)2 / 12] – C = 9442326,75

– 9442307,69 = 22,06Qec = Ój * [(Ói Ól xijl)

2 / RL] – C = [(4664)2 / 9] + ... + [(4560)2 / 9] – C = 9442985 – 9442307,69 =680,31Qr = Ói Ój Ól xijl

2 – Ói Ój * [(Óe xijl)2 / R] = (516)2 + ... + (506)2 – [(1543)2 / 3 + ... + (1519)2 / 3] =

9443261 – 9443130,30 = 130,67Qi = Qt – Qec – Qel – Qr = 956,31 – 680,31 – 22,06 – 130,67 = 123,28Sel

2 = [Qel / (L – 1)] = 22,06 / 2 = 11,03Sec

2 = [Qec / (k – 1)] = 680,31 / 3 = 226,77Si

2 = [Qi / (k – 1)(L – 1)] = 123,28 / 6 = 20,55Sr

2 = [Qr / L * K * (R – 1)] = 130,67 / (3 * 4 * 2) = 5,44

a) Fccal = [Sec

2 / Sr2] = 226,77 / 5,44 = 41,65 e á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 =

3 e 24, Fctab(3, 24) = 3,01

Como Fccal > Fc

tab, rejeita-se H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 com nível de significância de 5%,concluindo-se que as durezas médias dos blocos não são constantes.

b) FLcal = [Sel

2 / Sr2] = 11,03 / 5,44 = 2,03 e á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 2

e 24, FLtab(2, 24) = 3,40

Como FLcal < FL

tab, não se pode se rejeitar H0: µX = µY = µZ com nível de significância de5%, concluindo-se que as determinações dos técnicos são iguais.

c) Fical = [Si

2 / Sr2] = 20,55 / 5,44 = 3,77 e á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 6 e

24, Fitab(6, 24) = 2,51

Como Fical > Fi

tab, rejeita-se H0 com nível de significância de 5%, concluindo-se que háinteração entre técnicos e blocos.


Linhas 22,06 L – 1 = 3 – 1 = 2 11,03 11,03 3,40

Colunas 680,31 k – 1 = 4 – 1 = 3 226,77 41,65 3,01

Interação 123,28 (k – 1)(L – 1) = 6 20,55 20,55 2,51

Residual 130,67 LK (R – 1) = 24 5,44

Total 956,31 KLR – 1 = 35

10.8

Qr = Qt – Qmaq – Qope = 5832 – 904 – 2334 = 2594Smaq

2 = [Qmaq / (k – 1)] = 904 / 5 = 180,80Sope

2 = [Qope / (b – 1)] = 2334 / 9 = 259,33Sr

2 = [Qr / (n – k – b + 1)] = 2594 / 45 = 57,64Fmaq

cal = [Smaq2 / Sr

2] = 180,80 / 57,64 = 3,14 e á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 5 e45, Fmaq

tab(5, 45) • F maqtab(5, 40) = 2,45

Como Fmaqcal > Fmaq

tab, rejeita-se H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 = µ6 com nível de significância de5%, concluindo-se que há diferença entre as máquinasFope

cal = [Sope2 / Sr

2] = 259,33 / 57,64 = 4,50 e á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 9 e45, Fope

tab(9, 45) • F opetab(9, 40) = 2,12

Como Fopecal > Fope

tab, rejeita-se H0: µ1 = ... = µ10 com nível de significância de 5%, concluindo-se que há diferença entre os operários.


Linhas 30,40 k – 1 = 6 – 1 = 5 180,80 3,14 2,45

Colunas 334,93 b – 1 = 10 – 1 = 9 259,33 4,50 2,12

Residual 208,40 60 - 6 - 10 + 1 = 45 57,64

Total 573,73 n – 1 = 15 – 1 = 14

10.9

Primeiramente, veremos o Teste de Scheffé para as colunas, usando a seguinte equação:ÉxmX – xmYÉ > {S r

2 * [2 * (K – 1) / RL] * Fá[(K – 1), (KL * (R – 1)}0,5

É 511,17 – 513,08 É e [5,44 * (2 * 3) / 9 * Fá(3, 24)]0,5, ou seja, 1,91 < 3,30, portanto, µX = µYÉ 511,17 – 512,17 É e [5,44 * (2 * 3) / 9 * Fá(3, 24)]0,5 = 1,00 < 3,30, portanto, µX = µZ

É 513,08 – 512,17 É e [5,44 * (2 * 3) / 9 * Fá(3, 24)]0,5 = 0,91 < 3,30, portanto, µY = µZ

Agora, o Teste de Scheffé para as linhas, usando a seguinte equação:Éxm1 – xm2É > {S r

2 * [2 * (L – 1) / RK] * Fá[(L – 1), (KL * (R – 1)}0,5

É 518,22 – 513,89 É e [5,44 * (2 * 2) / 12 * Fá(2, 24)]0,5, ou seja, 4,33 > 2,48, portanto, µ1 • µ 2




É 513,89 – 506,67 É e [5,44 * (2 * 2) / 12 * Fá(2, 24)]0,5, ou seja, 7,22 > 2,48, portanto, µ2 • µ 4É 509,78 – 506,67 É e [5,44 * (2 * 2) / 12 * Fá(2, 24)]0,5, ou seja, 3,11 > 2,48, portanto, µ3 • µ 4.


Capítulo 11 – Teste Qui-Quadrado e Outras Provas Não-Paramétricas

SÉRIE I

11.1

H0: Moeda é honesta (200 lances, 100 caras e 100 coroas) e H1: Moeda não é honestaá = 10% e k = 2, portanto, ö = k – 1 = 1, na tabela qui quadrado, X2

tab = 2,706

EVENTOS CARA COROA

Observado 110 90

Esperado 100 100

X2cal = Ói (Foi – Fei)

2 / Fei = [(110 – 100)2 / 100] + [(90 – 100)2 / 100] = 2,00Como X2

cal < X2tab, não se pode rejeitar H0: Moeda honesta, com nível de significância de 10%.

11.2

H0: Dado é honesto (180 lances, 30 cada face) e H1: Dado é viciadoá = 5% e k = 6, portanto, ö = k – 1 = 5, na tabela qui quadrado, X2

tab = 11,071

EVENTOS 1 2 3 4 5 6

Observado 31 28 35 26 29 31

Esperado 30 30 30 30 30 30


2 / Fei = [(31 – 30)2 / 30] + ... + [(31 – 30)2 / 30] = 48 / 30 = 1,60Como X2

cal < X2tab, não se pode rejeitar H0: Dado honesto, com nível de significância de 5%.

11.3

H0: Dados são honestos (240 lances) e H1: Dados são viciadosá = 1% e k = 2, portanto, ö = k – 1 = 1, na tabela qui quadrado, X2

tab = 6,635

SOMA 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Observado 17 42

Probabilidade 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Esperado 6,67 13,33 20,00 26,67 33,33 40,00 33,33 26,67 20,00 13,33 6,67


2 / Fei = [(17 – 20)2 / 20] + [(42 – 40)2 / 40] = 0,45 + 0,10 = 0,56Como X2

cal < X2tab, não se pode rejeitar H0: Dado são honestos, com nível de significância de

1%.

11.4

H0: CPFs são aleatórios (40 CPFs) e H1: CPFs não são aleatóriosá = 5% e k = 10, portanto, ö = k – 1 = 9, na tabela qui quadrado, X2

tab = 16,919

ALGARISMO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

Observado 4 4 4 4 2 4 5 3 5 4

Esperado 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4


2 / Fei = [(4 – 4)2 / 4] + ... + [(4 – 4)2 / 4] = 7 / 4 = 1,75Como X2

cal < X2tab, não se pode rejeitar H0: CPFs são aleatórios, com nível de significância de

5%.

11.5

H0: distribuições de sangue iguais (770 total) e H1: distribuições são diferentesá = 2,5% e k = 4, portanto, ö = k – 1 = 3, na tabela qui quadrado, X2

tab = 9,348

SANGUE 1 2 3 4 TOTAL

Observado 180 360 130 100 770

Probabilidade 0,18 0,48 0,20 0,14 1

Esperado 138,6 369,6 154 107,8 770


2 / Fei = [(180 – 138,6)2 / 138,6] + ... + [(100 – 107,8)2 / 107,8] = 12,37 + 0,25+ 3,74 + 0,56 = 16,92Como X2

cal > X2tab, rejeita-se H0: distribuições de sangue iguais, com nível de significância de

2,5%.

11.6

H0: distribuições de livros iguais (625 total) e H1: distribuições são diferentesá = 1,00% e k = 5, portanto, ö = k – 1 = 4, na tabela qui quadrado, X2

tab = 13,277

DIA SEG TER QUA QUI SEX TOTAL

Observado 110 135 120 146 114 625

Probabilidade 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 1

Esperado 125 125 125 125 125 625


2 / Fei = [(125 – 110)2 / 125] + ... + [(125 – 114)2 / 125] = 1,80 + 0,80 + 0,20 +3,53 + 0,97 = 7,30Como X2

cal < X2tab, não se pode rejeitar H0: distribuições de livros iguais para todos os dias,

com nível de significância de 5%.

SÉRIE II

11.7

H0: Não há relação entre as duas variáveis e H1: Há relação entre as duas variáveisá = 5%, L = 3 e C = 3, portanto, ö = (L – 1) * (C – 1) = 4, na tabela qui quadrado, X2

tab = 9,488Calculando a tabela de freqüências através da fórmula: Feij = [(Ói) * (Ój) / (n)], por exemplo, FeAA

= [(50,00) * (40,00) / (150)] = 13,33, temos:

FREQÜÊNCIAS N. ALTA N. MÉDIA N. BAIXA TOTAL

S. ALTO 13,33 18,67 8,00 40

S. MÉDIO 26,67 37,33 16,00 80

S. BAIXO 10,00 14,00 6,00 30

TOTAL 50 70 30

X2cal = Ói Ój (Foij – Feij)

2 / Feij = [(18,00 – 13,33)2 / 13,33] + ... + [(9,00 – 6,00)2 / 6,00] = 6,11Como X2

cal < X2tab, não se pode rejeitar H0: Não há relação entre as duas variáveis, com nível

de significância de 5%.

11.8

H0: Resultados são homogêneos e H1: Resultados não são homogêneosá = 5%, L = 2 e C = 2, portanto, ö = (L – 1) * (C – 1) = 1, na tabela qui quadrado, X2

tab = 3,841Entre parênteses na tabela temos as freqüências esperadas, calculadas através da fórmula:Feij = [(Ói) * (Ój) / (n)], por exemplo, Fe11 = [(56,00) * (30,00) / (100)] = 16,80.

C/ DOENÇA S/ DOENÇA TOTAL

VACINADOS A = 14 (16,80) B = 42 (39,2) 56

N/ VACINADOS C = 16 (13,20) D = 28 (30,8) 44

TOTAL 30 70 100

Calcularemos o X2cal convencional e também com a correção de Yates:

X2cal conv = Ói Ój (Foij – Feij)

2 / Feij = [(14 – 16,80)2 / 16,80] + ... + [(28 – 30,80)2 / 30,80] = 1,52X2

cal yates = [N * (É AD – BC É – N/2)2] / [(A + B) (C + D) (A + C) (B + C)] = [100 * (É 392 – 672 É –100/2)2] / (56 * 44 * 30 * 70) = 1,02Em ambos casos, como X2

cal < X2tab, não se pode rejeitar H0: Resultados são homogêneos,

com nível de significância de 5%.

11.9

H0: Não há associação entre variáveis e H1: Há associação entre variáveisá = 1%, L = 2 e C = 4, portanto, ö = (L – 1) * (C – 1) = 3, na tabela qui quadrado, X2

tab = 11,345Calculando a tabela de freqüências através da fórmula: Feij = [(Ói) * (Ój) / (n)], por exemplo, Fe1A

= [(124,00) * (72,00) / (400)] = 23,32, temos:

FREQÜÊNCIAS A B C D TOTAL

1 23,32 37,20 33,48 31,00 124,00

2 49,68 82,80 74,52 69,00 276,00

TOTAL 72,00 120,00 108,00 100,00


2 / Feij = [(28,00 – 23,32)2 / 23,32] + ... + [(24,00 – 31,00)2 / 31,00] = 5,81Como X2

cal < X2tab, não se pode rejeitar H0: Não há associação entre variáveis, com nível de

significância de 1%.

11.10

H0: Dados independentes e H1: Dados dependentesá = 5%, L = 3 e C = 3, portanto, ö = (L – 1) * (C – 1) = 4, na tabela qui quadrado, X2

tab = 9,488Calculando a tabela de freqüências através da fórmula: Feij = [(Ói) * (Ój) / (n)], por exemplo, FeAE

= [(165,00) * (100,00) / (500)] = 33,00, temos:

FREQÜÊNCIAS ESQUERDA CENTRO DIREITA TOTAL

APROVAM 33,00 66,00 66,00 165,00

NÃO APROVAM 37,00 74,00 74,00 185,00

SEM OPINIÃO 31,00 60,00 60,00 150,00

TOTAL 100,00 200,00 200,00


2 / Feij = [(35,00 – 33,00)2 / 33,00] + ... + [(60,00 – 60,00)2 / 60,00] = 16,83Como X2

cal > X2tab, rejeita-se H0: Dados independentes com nível de significância de 5%,

concluindo-se que a opinião e o partido tem dependência.

11.11

a) PAR ANTES DEPOIS SINAL Di POSTO PAR ANTES DEPOIS SINAL Di POSTO

1 55 50 – 5 21,5º 16 48 50 + 2 8,5º

2 63 65 + 2 8,5º 17 49 51 + 2 8,5º

3 78 78 = 0 -- 18 90 81 – 9 26º

4 81 79 – 2 8,5º 19 93 85 – 8 24,5º

5 68 70 + 2 8,5º 20 90 90 = 0 --

6 58 57 – 1 2º 21 56 58 + 2 8,5º

7 60 58 – 2 8,5º 22 66 64 – 2 8,5º

8 60 62 + 2 8,5º 23 67 68 + 1 2º

9 75 70 – 5 21,5º 24 73 70 – 3 15,5º

10 85 81 – 4 18,5º 25 74 70 – 4 18,5º

11 90 80 – 10 27,5º 26 48 53 + 5 21,5º

12 50 60 + 10 27,5º 27 68 65 – 3 15,5º

13 58 55 – 3 15,5º 28 72 70 – 2 8,5º

14 83 75 – 8 24,5º 29 86 83 – 3 15,5º

15 47 52 + 5 21,5º 30 80 81 + 1 2º

Teste dos SinaisH0: Dieta não alterou peso (p = 0,5) e H1: Dieta alterou pesos (p • 0,5)á = 2,5%, portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 2,24 e Zá/2 = 2,24Sinais “+” (acréscimo de peso) = 11Sinais “–“ (decréscimo de peso) = 17Sinais “0“ (sem alteração no peso) = 2n = n – empates = 28Zcal = [(y – np) / (npq)0,5] = (11 – 28 * 0,5) / (28 * 0,5 * 0,5)0,5 = – 1,13Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: Dieta não alterou peso, com nível designificância de 2,5%.

Teste de WilcoxonH0: Dieta não alterou peso e H1: Dieta alterou pesosá = 2,5%, portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 2,24 e Zá/2 = 2,24

Soma dos Postos com Sinal “+” = 125,5Soma dos Postos com Sinal “–“ = 280,5Portanto, T (menor soma dos postos de mesmo sinal) = 125,5nval = n – empates = 30 – 2 = 28µT = nval * (nval + 1) / 4 = 28 * (28 + 1) / 4 = 203óT = [nval * (nval + 1) * (2 * nval + 1) / 24]0,5 = [28 * 29 * 57 / 24]0,5 = 43,91Zcal = (T – µT) / óT = (125,5 – 203) / 43,91 = – 1,76Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: Dieta não alterou peso, com nível designificância de 2,5%.

b) PAR ANTES DEPOIS SINAL Di POSTO PAR ANTES DEPOIS SINAL Di POSTO

1 8,7 9,3 + 0,6 11,5º 13 4,8 5,5 + 0,7 14,5º

2 9,8 9,2 – 0,6 11,5º 14 6,7 6,8 + 0,1 1,5º

3 10 9,5 – 0,5 8º 15 8,3 8,5 + 0,2 3,5º

4 9,6 9,6 = 0 -- 16 9,5 9 – 0,5 8º

5 8,5 8,8 + 0,3 5º 17 10,5 10 – 0,5 8º

6 5,8 6,5 + 0,7 14,5º 18 12,5 13 + 0,5 8º

7 6,3 7 + 0,7 14,5º 19 12,5 12 – 0,5 8º

8 12,5 11,5 – 1 18º 20 9 10 + 1 18º

9 8,8 8,9 + 0,1 1,5º 21 14 12 – 2 22,5º

10 7,3 8 + 0,7 14,5º 22 13 11 – 2 22,5º

11 12,5 11 – 1,5 21º 23 9,5 10,5 + 1 18º

12 13,8 14 + 0,2 3,5º 24 8 9,3 + 1,3 20º

Apesar da amostra ser composta por 24 elementos, utilizaremos a distribuição normal.

Teste dos SinaisH0: Aditivo não alterou consumo (p = 0,5) e H1: Aditivo alterou consumo (p • 0,5)á = 2,5%, portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 2,24 e Zá/2 = 2,24Sinais “+” (acréscimo no consumo) = 14Sinais “–“ (decréscimo no consumo) = 9Sinais “0“ (sem alteração no consumo) = 1Zcal = [(y – np) / (npq)0,5] = (14 – 23 * 0,5) / (23 * 0,5 * 0,5)0,5 = 1,04Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: Aditivo não alterou consumo, com nível designificância de 2,5%.

Teste de WilcoxonH0: Aditivo não alterou consumo e H1: Aditivo alterou consumoá = 2,5%, portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 2,24 e Zá/2 = 2,24nval = n – empates = 24 – 1 = 23Soma dos Postos com Sinal “+” = 148,5Soma dos Postos com Sinal “–“ = 127,5Portanto, T (menor soma dos postos de mesmo sinal) = 127,50µT = nval * (nval + 1) / 4 = 23 * (23 + 1) / 4 = 138,00óT = [nval * (nval + 1) * (2 * nval + 1) / 24]0,5 = [23 * 24 * 47 / 24]0,5 = 32,88Zcal = (T – µT) / óT = (127,50 – 138,00) / 32,88 = – 0,32Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: Aditivo não alterou consumo, com nível designificância de 2,5%.

11.12

H0: Não há diferença entre X e Y e H1: Há diferençaá = 1,0 %, portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 2,57 e Zá/2 = 2,57

X = n2 COLOCAÇÃO Y = n1 COLOCAÇÃO

63 11º 90 23º

65 12,5º 50 7,5º

70 14,5º 60 10º

48 6º 70 14,5º

50 7,5º 40 3º

81 17,5º 38 2º

88 21º 89 22º

99 24º 47 4,5º

35 1º 51 9º

47 4,5º 65 12,5º

75 16º 87 20º

85 19º

81 17,5º

R2 172 R1 128

U1 = n1 * n2 + [n1 * (n1 + 1)] / 2 – R1 = 11 * 13 + (11 * 12 / 2) – 128 = 81µ(U) = (n1 * n2) / 2 = 11 * 13 / 2 = 71,50ó(U) = [n1 * n2 * (n1 + n2 + 1) / 12]0,5 = [11 * 13 * 25 / 12]0,5 = 17,26Zcal = [µ – µ(U)] / ó(U) = (81,00 – 71,50) / 17,26 = 0,55Como Zcal < Zá/2, não se pode rejeitar H0: Não há diferença entre X e Y, com nível designificância de 1,0%.

11.13

H0: Não há diferença entre as medianas de X e Y e H1: Há diferençaá = 1,00 %, ö = 1, na tabela qui quadrado, X2

tab = 6,635Com os dados e a tabela do exercício 11.12, temos Md = 65; entre parênteses na tabela temosas freqüências esperadas, calculadas através da fórmula: Feij = [(Ói) * (Ój) / (n)], por exemplo,Fe11 = [(13,00) * (11,00) / (24)] = 5,96

X Y TOTAL

Z > 65 A = 7 (5,96) B = 4 (5,04) 11

Z • 65 C = 6 (7,04) D = 7 (5,96) 13

TOTAL 13 11 24

Calcularemos o X2cal convencional e também com a correção de Yates:

X2cal conv = Ói Ój (Foij – Feij)

2 / Feij = [(7 – 5,96)2 / 5,96] + ... + [(7 – 5,96)2 / 5,96] = 0,73X2

cal yates = [N * (É AD – BC É – N/2)2] / [(A + B) (C + D) (A + C) (B + C)] = [24 * (É 49 – 24 É –24/2)2] / (11 * 13 * 13 * 11) = 0,20Em ambos casos, como X2

cal < X2tab, não se pode rejeitar H0: Não há diferença entre as

medianas de X e Y, com nível de significância de 1,00 %, portanto, o mesmo resultado que oteste de Mann-Whitney.

11.14

H0: Não há diferença entre as médias de A e B e H1: Há diferençaá = 5%, portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 1,96 e Zá/2 = 1,96

A = n2 COLOCAÇÃO B = n1 COLOCAÇÃO

26560 11º 33400 26º

21900 1º 29600 21º

28800 19º 25500 8º

27700 12,5º 27900 16,5º

31800 24º 24500 4,5º

24500 4,5º 23800 2º

27800 14,5º 27800 14,5º

30600 23º 30100 22º

25600 9º 28860 20º

24600 6º 27700 12,5º

25400 7º 24450 3º

35500 28º 32300 25º

26300 10º 34300 27º

27900 16,5º

28400 18º

R2 204 R1 202

U1 = n1 * n2 + [n1 * (n1 + 1)] / 2 – R1 = 13 * 15 + (13 * 14 / 2) – 202 = 84µ(U) = (n1 * n2) / 2 = 13 * 15 / 2 = 97,50ó(U) = [n1 * n2 * (n1 + n2 + 1) / 12]0,5 = [13 * 15 * 29 / 12]0,5 = 21,71Zcal = [µ – µ(U)] / ó(U) = (84,00 – 97,50) / 21,71 = – 0,622Como Zcal < Zá/2, não se pode rejeitar H0: Não há diferença entre as médias de A e B, com nívelde significância de 5%.

11.15

H0: Não há diferença entre as médias das marcas e H1: Há diferençaá = 5%, ö = k – 1 = 3, na tabela qui quadrado, X2

tab = 7,815

A POSTO B POSTO C POSTO D POSTO

704 7º 752 12º 873 20º 690 5º

604 2º 709 8º 666 3º 850 18º

1038 31º 717 9º 1021 30º 824 17º

881 21º 921 24º 992 29º 856 19º

924 25º 761 13º 816 16º 915 22º

672 4º 991 28º 918 23º 734 11º

723 10º 805 15º 978 26º 799 14º

591 1º 981 27º 1203 32º 700 6º

RA 101 RB 136 Rc 179 RD 112

H = 12 / [n * (n + 1)] * Ói [(Ri)2 / ni] – 3 * (n + 1) = 12 / [32 * (32 + 1)] * [(101)2 / 8 + (136)2 / 8 +

(179)2 / 8 + (112)2 / 8] – 3 * (33) = 0,011 * 9160,25 – 99 • 4,30Como H < X2

tab, não se pode rejeitar H0: Não há diferença entre as médias, com nível designificância de 5%.

11.16

H0: Não há diferença entre as médias das vendas e H1: Há diferençaá = 2,5%, ö = k – 1 = 2, na tabela qui quadrado, X2

tab = 7,378

A POSTO B POSTO C POSTO

3,2 11º 6,2 20º 5 16º

4,8 14º 1,3 2º 4 12º

5 16º 1,7 3,5º 3 10º

2,7 9º 2 6,5º 2 6,5º

1,8 5º 5 16º 1,7 3,5º

6 19º 2,3 8º 1 1º

7 21º 4,5 13º

5,5 18º

RA 113 RB 56 RC 62

H = 12 / [n * (n + 1)] * Ói [(Ri)2 / ni] – 3 * (n + 1) = 12 / [21 * (21 + 1)] * [(113)2 / 8 + (56)2 / 6 +

(62)2 / 7] – 3 * (22) = 0,260 * 2667,93 – 66 • 3,37Como H < X2

tab, não se pode rejeitar H0: Não há diferença entre as médias das vendas, comnível de significância de 2,5%.


Capítulo 12 – Correlação Entre Variáveis

SÉRIE I

12.1

c) Sxy = Ó(XY) – [Ó(X) * Ó(Y) / n] = 837 – (169 * 327 / 64) = – 26,484Sxx = Ó(X2) – [Ó(X)2 / n] = 1450 – (169)2 / 64 = 1003,734Syy = Ó(Y2) – [Ó(Y)2 / n] = 2304 – (327)2 / 64 = 633,234rxy = Sxy / (Sxx * Syy)

0,5 = – 26,484 / (1003,734 * 633,234)0,5 = – 0,033 ou r = – 3,3%.

d) H0: ñ = 0, ou seja, inexis tência de correlação linear entre as variáveis e H1: ñ • 0á = 2,5% • 2,0%, com ö = n – 2 = 62, na tabela t S tudent, – tá/2 = – 2,3880 e tá/2 = 2,3880tcal = [r * (n – 2)0,5] / (1 – r2)0,5 = [(0,033 * (62)0,5] / [1 – (0,033)2]0,5 = – 0,2599Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: ñ = 0, ou seja, inexis tência de correlaçãolinear entre as variáveis com um nível de significância de 2,5%.

12.2

Ó(X) = 889, Ó(Y) = 4261, Ó(X2) = 26671, Ó(Y2) = 609049 e Ó(XY) = 127035Sxy = Ó(XY) – [Ó(X) * Ó(Y) / n] = 127035 – (889 * 4261 / 30) = 767,37Sxx = Ó(X2) – [Ó(X)2 / n] = 26671 – (889)2 / 30 = 326,97Syy = Ó(Y2) – [Ó(Y)2 / n] = 609049 – (4261)2 / 30 = 3844,97rxy = Sxy / (Sxx * Syy)

0,5 = 767,37 / (326,97 * 3844,97)0,5 = 0,684 ou r = 68,4%

H0: ñ = 0, ou seja, inexis tência de correlação linear entre as variáveis e H1: ñ • 0á = 5,0%, com ö = n – 2 = 28, na tabela t S tudent, – tá/2 = – 2,0484 e tá/2 = 2,0484tcal = [r * (n – 2)0,5] / (1 – r2)0,5 = [(0,684 * (28)0,5] / [1 – (0,684)2]0,5 = 4,966Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: ñ = 0, portanto, exis te correlação linear entre as variáveis com umnível de significância de 5%.

SÉRIE II

12.3

a) EMP. HORAS SCORE CLAS H CLAS S Di (Di)2

10 6 45 1 13 (A) -12 144

8 11 48 2 14 (B) -12 144

6 34 35 3 9 (C) -6 36

2 36 42 4 12 (D) -8 64

13 43 36 5 10 (E) -5 25

1 49 39 6 11 (F) -5 25

14 57 49 7 15 (G) -8 64

11 63 29 8 7 (H) 1 1

5 72 22 9 5 (I) 4 16

12 79 21 10 4 (J) 6 36

15 82 31 11 8 (K) 3 9

4 91 25 12 6 (L) 6 36

3 127 10 13 2 (M) 11 121

7 155 15 14 3 (N) 11 121

9 192 7 15 1 (O) 14 196

1038

rs = 1 – {6 * [Ó(di2)] / (n3 – n)} = 1 – [6 * 84631 / (153 – 15)] = – 0,8536.

b) Comparando-se A com B até O, temos que A é menor em dois casos, portanto, doisvalores positivos e menor em doze casos, portanto, doze valores negativos. Realizandoisso para todas as letras, temos:S = (2 – 12) + (1 – 12) + (4 – 8) + (1 – 10) + (2 – 8) + (1 – 8) + (0 – 8) + (1 – 6) + (2 – 4) + (2– 3) + (0 – 4) + (0 – 3) + (1 – 1) + (0 – 1) = – 71,00Tau = (2 * S) / [n * (n – 1)] = 2 * (– 71,00) / (15 * 14) = – 0,6761.

c) H0: não há correlação entre as classificações de Horas e Scores e H1: há correlaçãoá = 5,0%, com ö = n – 2 = 13, na tabela t S tudent, – tá/2 = – 2,1604 e tá/2 = 2,1604tcal = [r * (n – 2)0,5] / (1 – r2)0,5 = [(– 0,85 * (13)0,5] / [1 – (– 0,85)2]0,5 = – 5,82Como tcal < – tá/2, rejeita-se H0, portanto, existe correlação entre as classificações de Horase Scores segundo Spearman, com um nível de significância de 5%.

H0: não há correlação entre as classificações de Horas e Scores e H1: há correlaçãoá = 5,0%, na tabela normal, – Zá/2 = – 1,96 e Zá/2 = 1,96Zcal = Tau / {[2 * (2 * n + 5)] / [9 * n * (n – 1)]}0,5 = – 0,676 / [(2 * 35) / (9 * 15 * 14)]0,5 = – 3,51Como Zcal < – Zá/2, rejeita-se H0, portanto, existe correlação entre as classificações deHoras e Scores segundo Kendall, com um nível de significância de 5%.

12.4

MODELO CIDADE ESTRADA CLAS C CLAS E

1 7,4 8,68 1 1 (A)

2 8,15 9,44 2 2 (B)

10 8,5 9,5 3 3 (C)

3 8,68 9,6 4 4 (D)

4 8,9 10,4 5 5 (E)

5 9,75 11,4 6 8 (F)

6 10,4 10,4 7 6 (G)

12 10,5 10,9 8 7 (H)

9 10,7 12,2 9 10 (I)

7 10,9 12,9 10 11 (J)

11 11 13 11 12 (K)

8 11,6 11,8 12 9 (L)

Comparando-se A com B até L, temos que A é menor em todos os casos, portanto, 11 valorespositivos e nenhuma vez é menor, portanto, nenhum valore negativo. Realizando isso paratodas as letras, temos:S = (11 – 0) + (10 – 0) + (9 – 0) + (8 – 0) + (7 – 0) + (4 – 2) + (5 – 0) + (4 – 0) + (2 – 1) + (1 – 1)+ (0 – 1) = 56Tau = (2 * S) / [n * (n – 1)] = 2 * (56) / (12 * 11) = 0,8484H0: não há correlação entre as classificações e H1: há correlaçãoá = 2,5%, na tabela normal, – Zá/2 = – 2,24 e Zá/2 = 2,24Zcal = Tau / {[2 * (2 * n + 5)] / [9 * n * (n – 1)]}0,5 = 0,8484 / [(2 * 29) / (9 * 12 * 11)]0,5 = 3,84Como Zcal > Zá/2, rejeita-se H0, portanto, existe correlação entre as variáveis segundo Kendall,com um nível de significância de 2,5%.

12.5

EMPRESA CLAS X CLAS Y CLAS Z CLAS V Rj

6 1 2 1 3 7

2 2 5 3 6 16

12 3 4 2 1 10

9 4 3 6 2 15

4 5 6 5 5 21

8 6 12 11 10 39

10 7 1 4 8 20

11 8 8 7 9 32

1 9 7 8 4 28

7 10 11 12 7 40

3 11 10 9 12 42

5 12 9 10 11 42

312

Rmedio = Ó(R j) / n = 312 / 12 = 26B = Ój (Rj - Rmedio)

2 = (7 – 26)2 + ... + (42 – 26)2 = 1816W = B / [1/12 * k2 * (n3 – n)] = 1816 / [1/12 * 42 * (123 – 12)] = 0,7937H0: não há correlação entre as classificações de Horas e Scores e H1: há correlaçãoá = 5% e n = 12, portanto, ö = n – 1 = 11, na tabela qui quadrado, X2

tab = 16,675X2

cal = k * (n – 1) * W = 4 * 11 * 0,79 = 34,76Como X2

cal > X2tab, rejeita-se H0, portanto, existe correlação entre os especialistas, com um

nível de significância de 5%.


Capítulo 13 – Regressão Linear Simples

SÉRIE I

13.1

e) Sxy = Ó XY – [Ó X * Ó Y / n] = 26 – (5 * 11) / 5 = 15,00.

f) Sxx = Ó(X2) – [Ó(X)2 / n] = 15 – (5)2 / 5 = 10,00.

g) xm = Ó xi / n = (– 1 + ... + 3) / 5 = 1,00.

h) b = Sxy / Sxx = 15,00 / 10,00 = 1,50.

i) ym = Ó yi / n = (– 1 + ... + 5) / 5 = 2,20a = ym – b * xm = 2,20 – (1,5 * 1,00) = 0,70.

13.2

a)

Diagrama de Dis persão

y = 3,34 + 0,58x

0

1

2

3

4

5

6

7

-6 -4 -2 0 2 4 6

V alores de X

Va

lore

s d

e Y

b) Sxx = Ó(X2) – [Ó(X)2 / n] = 70 – (0)2 / 7 = 70,00Sxy = Ó XY – [Ó X * Ó Y / n] = 40,3 – (0 * 23,4) / 7 = 40,30xm = Ó xi / n = (– 5 + ... + 5) / 7 = 0,00ym = Ó yi / n = (0,8 + ... + 6,2) / 7 = 3,343b = Sxy / Sxx = 40,30 / 70,00 = 0,576a = ym – b * xm = 3,343 – (0,576 * 0,00) = 3,343Portanto, a reta será dada pela equação: y = 3,343 + 0,576 * x.

13.3

a)

Diagrama de Dis pers ão

y = 5,9772 + 74 ,068x

0 ,000

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

18,000

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100

V a lo res de X

Va

lore

s d

e Y

b) Sxx = Ó(X2) – [Ó(X)2 / n] = 0,062 – (0,958)2 / 20 = 0,016Sxy = Ó XY – [Ó X * Ó Y / n] = 10,292 – (0,958 * 190,500) / 20 = 1,167xm = Ó xi / n = (0,003 + ... + 0,028) / 20 = 0,048ym = Ó yi / n = (5,6 + ... + 5,9) / 20 = 9,525b = Sxy / Sxx = 1,167 / 0,016 = 74,068a = ym – b * xm = 9,525 – (74,068 * 0,048) = 5,977Portanto, a reta será dada pela equação: y = 5,977 + 74,068 * x.

c) y = 5,977 + 74,068 * x com x = 0,070,y = 5,977 + 74,068 * 0,070 = 11,162.

13.4

Sxx = Ó(X2) – [Ó(X)2 / n] = 1664 – (152)2 / 45 = 1150,578Sxy = Ó XY – [Ó X * Ó Y / n] = 5886 – (152 * 1426) / 45 = 1069,289xm = Ó xi / n = (1 + ... + 15) / 45 = 3,378ym = Ó yi / n = (18 + ... + 54) / 45 = 31,689b = Sxy / Sxx = 1069,289 / 1150,578 = 0,929a = ym – b * xm = 31,689 – (0,929 * 3,378) = 28,550Portanto, a reta será dada pela equação: y = 28,550 + 0,929 * x.

SÉRIE II

13.5

a) S2 = VR / (n – 2) = 2,2 / 8 = 0,275.

b) S = (S2)0,5 = (0,275)0,5 = 0,524.

13.6

a) Com dados do exercício 13.2, temos:Sxy = 40,30 e b = 0,576Syy = Ó(Y2) – [Ó(Y)2 / n] = 103,24 – (23,4)2 / 7 = 25,02VR = Syy – (b * Sxy) = 25,02 – (0,576 * 40,30) = 1,816.

b) S2 = VR / (n – 2) = 1,816 / 5 = 0,603S = (S2)0,5 = (0,603)0,5 = 0,363.

13.7

Observando as tabelas temos facilmente:VR (Variação Residual) = Soma dos Quadrados dos Resíduos (2ª tabela) = 0,000982S2 = VR / (n – 2) = 0,000982 / 13 = 0,000075a = Coeficiente da Intersecção (3ª tabela) = 0,005195b = Coeficiente da variável X1 (3ª tabela) = 0,002247.

SÉRIE III

13.8

a) H0: â = 0 contra H1: â • 0, n = 7 (5 graus) e á = 5%, portanto, na tabela t Student, – tá/2

= – 2,5706 e tá/2 = 2,5706tcal = b / [S / (Sxx)

0,5] = 0,7 / [(0,36)0,5 / (10)0,5] = 3,6893Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-se, com risco de 5%, que há regressão.

b) H0: â = 0 contra H1: â > 0, n = 5 (3 graus) e á = 10%, portanto, na tabela t Student, tá =1,6377tcal = b / [S / (Sxx)

0,5] = 1,5 / [(0,10)0,5 / (10)0,5] = 15,00Como tcal > tá, rejeita-se H0: â > 0, concluindo-se, com risco de 10%, que há regressão.

c) H0: â = 0 contra H1: â < 0, n = 7 (5 graus) e á = 1%, portanto, na tabela t Student, – tá =– 3,3649tcal = b / [S / (Sxx)

0,5] = – 0,11 / [(3,88)0,5 / (21,752)0,5] = – 0,260Como tcal > – tá/2, não se pode rejeitar H0: â < 0, concluindo-se, com risco de 1%, que nãohá regressão.

13.9

a) Com dados dos exercícios 13.2 e 13.6, temos:H0: â = 0 contra H1: â • 0, n = 7 (5 graus) e á = 5%, portanto, na tabela t Student, – tá/2 = –2,5706 e tá/2 = 2,5706tcal = b / [S / (Sxx)

0,5] = 0,576 / [0,603 / (70)0,5] = 7,99Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-se, com risco de 5%, que há regressão.

H0: â = 0 contra H1: â • 0 e á = 5%, portanto, na tabela F , com ö 1 e ö2 = 1 e 5, Ftab(1, 5) =6,61Se = VE / 1 = b * Sxy = 0,576 * 40,30 = 23,201Sr = VR / (n – 1) = (1,816 / 5) = 0,363Fcal = [Se / Sr] = 23,201 / 0,363 = 63,885Como Fcal > Ftab, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-se, com risco de 5%, que há regressão.

b) n = 7 (5 graus) e á = 10%, portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 2,0150 e tá/2 = 2,0150P (b – (tá/2) * [S / (Sxx)

0,5] • â • b + (t á/2) * [S / (Sxx)0,5]) = P (0,576 – (2,0150) * [0,363 / (70)0,5]

• â • 0,576 + (2,0150) * [0,363 / (70) 0,5]) = P (0,391 • â • 0,761) = 90%.

13.10

Observando as tabelas temos facilmente:n = 15 (13 graus) e á = 5%, uma vez que os valores do intervalo são 5% de superiores e 5% deinferiores, portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 2,1604 e tá/2 = 2,1604tcal = Estatística t da variável X1 (3ª tabela) = 5,856711Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-se, com risco de 5%, que há regressão;

Observando os graus de liberdade da regressão (1) e do resíduo (13) e com á = 5%, temos natabela F com ö1 e ö2 = 1 e 13, Ftab(1, 13) = 4,67Fcal = Estatística F da regressão (2ª tabela) = 34,301067Como Fcal > Ftab, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-se, com risco de 5%, que há regressão.

O IC pode ser construído observando os dois valores referentes a 95% inferiores e 95%superiores da variável X1 (3ª tabela). Assim, P (0,001418 • â • 0,003076) = 95%.

SÉRIE IV

13.11

a) VR = Syy – (b * Sxy) = 59,21 – (3,4 * 16,22) = 4,062S2 = VR / (n – 2) = 4,062 / 18 = 0,226

b) • (x = 2,5) = 2,1 + 3,4 * (2,5) = 10,60, assim,• (x = 2,5) ± (tá/2) * S * [1/n + (x – xmedia)

2/ Sxx]0,5 = 10,60 ± (2,1009) * (0,226)0,5 * [1/20 + (2,5 –

2,5)2/ 4,77]0,5 = 10,60 ± 0,225, portanto, o intervalo [10,37; 10,83] contém o valor médio dey, quando x = 2,5, com 95% de confiança.

c) • (x = 2,0) = 2,1 + 3,4 * (2,0) = 8,90, assim,• (x = 2,0) ± (tá/2) * S * [1/n + (x – xmedia)

2/ Sxx]0,5 = 8,90 ± (2,1009) * (0,226)0,5 * [1/20 + (2,0 –

2,5)2/ 4,77]0,5 = 8,90 ± 0,322, portanto, o intervalo [8,58; 9,22] contém o valor médio de y,quando x = 2,0, com 95% de confiança.

d) • (x = 3,0) = 2,1 + 3,4 * (3,0) = 12,30, assim,• (x = 3,0) ± (tá/2) * S * [1/n + (x – xmedia)

2/ Sxx]0,5 = 12,30 ± (2,1009) * (0,226)0,5 * [1/20 + (3,0 –

2,5)2/ 4,77]0,5 = 12,30 ± 0,322, portanto, o intervalo [11,98; 12,62] contém o valor médio dey, quando x = 3,0, com 95% de confiança.

e) Quando os valores de x se distanciam de xmedia, a diferença entre estas variáveis deixade ser zero e aumenta na fórmula (x – xmedia)

2/ Sxx, conseqüentemente, as amplitudes dosintervalos aumentam.

f) • (x = 3,0) = 2,1 + 3,4 * (3,0) = 12,30, assim,• (x = 3,0) ± (tá/2) * S * [1 + 1/n + (x – xmedia)

2/ Sxx]0,5 = 12,30 ± (2,1009) * (0,226)0,5 * [1 + 1/20 +

(3,0 – 2,5)2/ 4,77]0,5 = 12,30 ± 1,057, portanto, o intervalo [11,24; 13,36] contém o valor y,quando x = 3,0, com 95% de confiança.

g) Para um mesmo valor de x, no caso x = 3, é menor a amplitude do IC para o valormédio de y do que o IC para o valor de y.

SÉRIE V

13.12

a) Sxx = Ó(X2) – [Ó(X)2 / n] = 593175 – (1885)2 / 8 = 149021,875Sxy = Ó XY – [Ó X * Ó Y / n] = 126920 – (464 * 1885) / 8 = 17590xm = Ó xi / n = (36 + ... + 69) / 8 = 58ym = Ó yi / n = (50 + ... + 335) / 8 = 235,625b = Sxy / Sxx = 17590 / 149021,875 = 0,118a = ym – b * xm = 235,625 – (0,118 * 58) = 30,188Portanto, a reta será dada pela equação: y = 30,188 + 0,118 * x.

b) Preço do pneu do Rio para a cidade B = $ 160,00Preço do pneu de São Paulo para a cidade B: y = 30,188 + 0,118 * (250) = $ 59,70Assim, deve ser vendido o pneu de São Paulo, uma vez que é mais barato e tem um preçomais competitivo.

13.13

Sxx = Ó(X2) – [Ó(X)2 / n] = 3690 – (120)2 / 5 = 810Sxy = Ó XY – [Ó X * Ó Y / n] = 2494,5 – (120 * 90,7) / 5 = 317,7xm = Ó xi / n = (6 + ... + 42) / 5 = 24ym = Ó yi / n = (9,7 + ... + 26) / 5 = 18,14b = Sxy / Sxx = 317,7 / 810 = 0,392a = ym – b * xm = 18,14 – (0,392 * 24) = 8,727Portanto, a reta será dada pela equação: y = 8,727 + 0,392 * xPara uma máquina de 3 anos e meio, temos:y = 8,727 + 0,392 * 3,5 = 10,10, ou seja, um custo de 10,10.

13.14

a) Sxx = Ó(X2) – [Ó(X)2 / n] = 254434 – (1136)2 / 9 = 111045,556Sxy = Ó XY – [Ó X * Ó Y / n] = 44910 – (1136 * 271) / 9 = 107003,778xm = Ó xi / n = (16 + ... + 378) / 9 = 126,22ym = Ó yi / n = (14 + ... + 50) / 9 = 30,11b = Sxy / Sxx = 10703,778 / 111045,556 = 0,096a = ym – b * xm = 235,625 – (0,096 * 126,22) = 17,944Portanto, a reta será dada pela função: y = 17,944 + 0,096 * x.

b) Para determinarmos a função potência y = a * xb, devemos efetuar a transformação:log Y = log a + b * log X, ou,D = á + b * C, onde: D = log Y, á = log a e C = log XCom os logaritmos dos dados originais, teremos a seguinte tabela:

D = log Y C = log X

1,146 1,204

1,204 1,477

1,279 1,544

1,477 1,845

1,491 1,954

1,519 2,079

1,544 2,204

1,633 2,375

1,699 2,577

Scc = Ó(C2) – [Ó(C)2 / n] = 34,703 – (17,260)2 / 9 = 1,602Scd = Ó CD – [Ó C * Ó D / n] = 25,592 – (17,260 * 12,993) / 9 = 0,675cm = Ó ci / n = (1,204 + ... + 2,577) / 9 = 1,918dm = Ó di / n = (1,146 + ... + 1,699) / 9 = 1,444b = Scd / Scc = 0,675 / 1,602 = 0,421á = dm – b * cm = 1,444 – (0,421 * 1,918) = 0,636Portanto, a reta será dada pela equação: d = 0,636 + 0,421 * cPorém, como á = log a, logo, log a = 0,636, a = 4,322, correspondendo à função potencial:y = 4,322 * x0,421.

c) Para a função linear:Primeiramente devemos calcular S:S = [(Syy – (b * Sxy)) / (n – 2)]0,5 = [(1176,889 – (0,096 * 107003,778)) / 7]0,5 = 4,554H0: â = 0 contra H1: â • 0, n = 9 (7 graus) e á = 1,00%, portanto, na tabela t Student, – tá/2 =– 3,4995 e tá/2 = 3,4995tcal = b / [S / (Sxx)

0,5] = 0,096 / [4,554 / (111045,556)0,5] = 7,054Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-se, com risco de 1%, que há regressão.Para a função potência:Primeiramente devemos calcular S:S = [Syy – (b * Sxy) / (n – 2)]0,5 = [0,293 – (0,421 * 0,675) / (7)]0,5 = 0,036H0: â = 0 contra H1: â • 0, n = 9 (7 graus) e á = 1,00%, portanto, na tabela t Student, – tá/2 =– 3,4995 e tá/2 = 3,4995tcal = b / [S / (Sxx)

0,5] = 0,421 / [0,036 / (1,602)0,5] = 14,790Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-se, com risco de 1%, que há regressão.

d) Para a função linear: R2 = (b * Sxy) / Syy = (0,096 * 107003,778) / 1176,889 = 0,877Para a função potência: R2 = (b * Sxy) / Syy = (0,421 * 0,675) / 0,293 = 0,969.

e) Como o indicador R2 é um indicador de qualidade de ajustamento, ou seja, um númeroque representa o poder explicativo da função, a escolha sempre deve ser o maior R2

possível. Assim, a função potência deve ser a escolhida porque apresenta este indicadormaior e, portanto, mais próximo a um.

13.15

a) Para facilitar os cálculos, vamos subtrair a cada um dos anos da amostra o valor 1957;Sxx = Ó(X2) – [Ó(X)2 / n] = 1785 – (153)2 / 17 = 408Sxy = Ó XY – [Ó X * Ó Y / n] = 555 * 105 – (153 * 455 * 104) / 17 = 145 * 105

xm = Ó xi / n = (1 + ... + 17) / 17 = 9ym = Ó yi / n = (30542 + ... + 729135) / 17 = 268 * 103

b = Sxy / Sxx = 145 * 105 / 408 = 35735,583a = ym – b * xm = 268 * 103 – (35735,583 * 9) = – 54051,074Portanto, a reta será dada pela função: y = – 54051,074 + 35735,583 * x.

b) Para determinarmos a função exponencial y = a * bx, devemos efetuar a transformação:log Y = log a + X * log b, ou,D = á + â * x, onde: D = log Y, á = log a e â = log bCom os logaritmos dos dados originais, teremos a seguinte tabela:

D = log Y X D = log Y X

4,485 1,0 5,351 10,0

4,785 2,0 5,353 11,0

4,983 3,0 5,445 12,0

5,124 4,0 5,543 13,0

5,163 5,0 5,619 14,0

5,281 6,0 5,713 15,0

5,241 7,0 5,785 16,0

5,264 8,0 5,863 17,0

5,268 9,0

Sxx = Ó(X2) – [Ó(X)2 / n] = 1785 – (153)2 / 17 = 408Sxd = Ó XD – [Ó X * Ó D / n] = 839,590 – (153 * 90,266) / 17 = 27,197xm = Ó xi / n = (1 + ... + 17) / 17 = 9dm = Ó di / n = (4,485 + ... + 5,863) / 17 = 5,310â = Sxd / Sxx = 27,197 / 408 = 0,067á = dm – â * xm = 5,310 – (0,067 * 9) = 4,710Portanto, a reta será dada pela equação: d = 4,710 + 0,067 * xPorém, como â = log b, logo, log b = 0,067, b = 1,166 e á = log a, logo, log a = 4,710, a =51267,144, correspondendo à função exponencial: y = 51267,144 + 1,166x.

c) Para a função linear: R2 = (b * Sxy) / Syy = (35735,583 * 408) / 613 * 109 = 0,849Para a função exponencial: R2 = (â * Sxy) / Syy = (0,067 * 408) / 1,994 = 0,909.

d) Como o indicador R2 é um indicador de qualidade de ajustamento, ou seja, um númeroque representa o poder explicativo da função, a escolha sempre deve ser o maior R2

possível. Assim, a função exponencial, deve ser a escolhida porque apresenta esteindicador maior e, portanto, mais próximo a um.

13.16

a) Sxx = Ó(X2) – [Ó(X)2 / n] = 24562 – (494)2 / 12 = 4225,67Sxy = Ó XY – [Ó X * Ó Y / n] = 390,30 – (494 * 10,64) / 12 = – 47,71xm = Ó xi / n = (8 + ... + 38,5) / 12 = 41,17ym = Ó yi / n = (1,26 + ... + 0,7) / 12 = 0,88b = Sxy / Sxx = 4225,67 / (– 47,71) = – 0,011a = ym – b * xm = 0,88 – (– 0,011 * 41,17) = 1,351Portanto, a reta será dada pela função: y = 1,351 – 0,011 * x.

b) H0: â = 0 contra H1: â • 0, n = 12 (10 graus) e á = 5%, portanto, na tabela t Student, –tá/2 = – 2,2281 e tá/2 = 2,2281S = [(Syy – (b * Sxy)) / (n – 2)]0,5 = [(0,613 – (– 0,011 * – 47,71)) / 10]0,5 = 0,086tcal = b / [S / (Sxx)

0,5] = – 0,011 / [0,086 / (4225,67)0,5] = – 8,503Como tcal < – tá/2, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-se, com risco de 5%, que há regressão.

c) n = 12 (11 graus) e á = 10%, portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 1,7959 e tá/2 =1,7959P (b – (tá/2) * [S / (Sxx)

0,5] • â • b + (t á/2) * [S / (Sxx)0,5]) = P (– 0,011 – (1,7959) * [0,086 /

(4225,67)0,5] • â • – 0,011 + (1,7959) * [0,086 / (4225,67) 0,5]) = P (– 0,014 • â • – 0,009) =90%

d) • (x = 12) = 1,351 – 0,011 * (12) = 1,219, assim,• (x = 12) ± (tá/2) * S * [1/n + (x – xmedia)

2/ Sxx]0,5 = 1,219 ± (2,2010) * (0,086) * [1/12 + (12 –

41,17)2/ 4225,67]0,5 = 1,219 ± 0,101, portanto, o intervalo [1,118; 1,320] contém o valormédio de y, quando x = 12, com 95% de confiança.

e) • (x = 36) = 1,351 – 0,011 * (36) = 0,955, assim,• (x = 36) ± (tá/2) * S * [1/n + (x – xmedia)

2/ Sxx]0,5 = 0,955 ± (2,2010) * (0,086) * [1/12 + (36 –

41,17)2/ 4225,67]0,5 = 0,955 ± 0,057, portanto, o intervalo [0,898; 1,012] contém o valormédio de y, quando x = 3 anos, com 95% de confiança.

f) R2 = (b * Sxy) / Syy = (– 0,011) * (– 47,71) / 0,613 • 0,881

13.17

a) Sxx = Ó(X2) – [Ó(X)2 / n] = 5500 – (150)2 / 5 = 1000Sxy = Ó XY – [Ó X * Ó Y / n] = 54600 – (150 * 1500) / 5 = 9600xm = Ó xi / n = (10 + ... + 50) / 5 = 30ym = Ó yi / n = (100 + ... + 490) / 5 = 300b = Sxy / Sxx = 9600 / (1000) = 9,6a = ym – b * xm = 300 – (9,6 * 30) = 12Portanto, a reta será dada pela função: y = 12 + 9,6 * x.

b) H0: â = 0 contra H1: â • 0, n = 5 (3 graus) e á = 1%, portanto, na tabela t Student, – tá/2

= – 5,8409 e tá/2 = 5,8409S = [(Syy – (b * Sxy)) / (n – 2)]0,5 = [(94000 – (9,6 * 9600)) / 3]0,5 = 24,766tcal = b / [S / (Sxx)

0,5] = 9,6 / [24,766 / (1000)0,5] = 12,258Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-se, com risco de 1%, que há regressão.

c) n = 5 (3 graus) e á = 5%, portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 3,1824 e tá/2 = 3,1824P (b – (tá/2) * [S / (Sxx)

0,5] • â • b + (t á/2) * [S / (Sxx)0,5]) = P (9,6 – (3,1824) * [24,766 /

(1000)0,5] • â • 9,6 + (3,1824) * [24,766 / (1000) 0,5]) = P (7,108 • â • 12,092) = 95%.

13.18

Sxx = Ó(X2) – [Ó(X)2 / n] = 1,986 – (4,754)2 / 12 = 0,103Sxy = Ó XY – [Ó X * Ó Y / n] = 45740,475 – (4,754 * 15077,000) / 12 = 150,804xm = Ó xi / n = (0,296 + ... + 0,405) / 12 = 0,396ym = Ó yi / n = (7737 + ... + 9059) / 12 = 9589,750b = Sxy / Sxx = 150,804 / 0,103 = 1466,309a = ym – b * xm = 9589,750 – (1466,309 * 0,396) = 9008,847Portanto, a reta será dada pela função: y = 9008,847 + 1466,309 * x.H0: â = 0 contra H1: â • 0, n = 12 (10 graus) e á = 5%, portanto, na tabela t Student, – tá/2 = –2,2281 e tá/2 = 2,2281S = [(Syy – (b * Sxy)) / (n – 2)]0,5 = [(34070548,250 – (1466,309 * 150,804)) / 10]0,5 = 1839,821tcal = b / [S / (Sxx)

0,5] = 1466,309 / [1839,821 / (0,103)0,5] = 0,256Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: â = 0, concluindo-se, com risco de 5%, que nãohá regressão.R2 = (b * Sxy) / Syy = (1466,309) * (150,804) / 34070548,250 = 0,0065.

13.19

Sxx = Ó(X2) – [Ó(X)2 / n] = 15192 – (388)2 / 11 = 1506,182Sxy = Ó XY – [Ó X * Ó Y / n] = 27,597 – (3,880 * 72,060) / 11 = 2,179xm = Ó xi / n = (57 + ... + 33) / 11 = 35,273ym = Ó yi / n = (12,54 + ... + 1,86) / 11 = 6,551b = Sxy / Sxx = 2,179 / 1506,182 = 0,145a = ym – b * xm = 6,551 – (0,145 * 35,273) = 1,448Portanto, a reta será dada pela função: y = 1,448 + 0,145 * x.H0: â = 0 contra H1: â • 0, n = 11 (9 graus) e á = 5%, portanto, na tabela t Student, – tá/2 = –2,2622 e tá/2 = 2,2622S = [(Syy – (b * Sxy)) / (n – 2)]0,5 = [(621,824 – (0,145 * 2,179)) / 9]0,5 = 3,625tcal = b / [S / (Sxx)

0,5] = 0,145 / [3,625 / (1506,182)0,5] = 1,549Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: â = 0, concluindo-se, com risco de 5%, que nãohá regressão.R2 = (b * Sxy) / Syy = (0,145 * 2,179) / 621,824 = 0,211.

13.20

a) Para determinarmos a função inversa y = a + b * (1 / p), devemos efetuar atransformação:y = a + b * x, onde: x = 1 / p,Sxx = Ó(X2) – [Ó(X)2 / n] = 0,199 – (1,261)2 / 8 = 0,0003Sxy = Ó XY – [Ó X * Ó Y / n] = 10,928 – (1,261 * 68,910) / 8 = 0,064xm = Ó xi / n = (0,167 + ... + 0,149) / 8 = 0,158ym = Ó yi / n = (11,20 + ... + 6,88) / 8 = 8,614b = Sxy / Sxx = 0,064 / 0,0003 = 243,228a = ym – b * xm = 8,614 – (243,228 * 0,158) = – 29,732Portanto, a reta será dada pela equação: y = – 29,732 + 243,228 * (1 / p).

b) O ajustamento pode ser considerado adequado uma vez que o R2 da função atinge umpoder explicativo de 97,4% (ver próximo item).

c) R2 = (b * Sxy) / Syy = (243,228 * 0,064) / 16,034 = 0,974.


Capítulo 14 – Regressão Linear Múltipla

SÉRIE I

14.1

Sy1 = Ó YX1 – [Ó Y * Ó X1 / n] = 211 – (36 * 36) / 6 = – 5Sy2 = Ó YX2 – [Ó Y * Ó X2 / n] = 101 – (36 * 14) / 6 = 17S11 = Ó(X1

2) – [Ó(X1)2 / n] = 232 – (36)2 / 6 = 16

S12 = Ó X1X2 – [Ó X1X2 / n] = 75 – (36 * 14) / 6 = – 9S22 = Ó(X2

2) – [Ó(X2)2 / n] = 52 – (14)2 / 6 = 19,33

x1m = Ó xi / n = (8 + ... + 7) / 6 = 6x2m = Ó xi / n = (0 + ... + 5) / 6 = 2,33ym = Ó yi / n = (2 + ... + 9) / 6 = 6

Sy1 = b1 * S11 + b2 * S12 ou – 5 = b1 * 16 + b2 * (– 9)Sy2 = b1 * S21 + b2 * S22 17 = b1 * (– 9) + b2 * 19,33

Desenvolvendo o sistema, chegamos a duas equações gerais para as variáveis:b2 = ((Sy1 * S21) – (S11 * Sy2)) / ((S12 * S21) – (S11 * S22))b1 = – (((b2 * S12) – Sy1) / S11)Resolvendo as equações chegamos aos seguintes valores:b1 = 0,247b2 = 0,994a = ym – b1 * x1m – b2 * x2m = 6 – (0,247 * 6) – (0,994 * 2,33) = 2,200Portanto, a reta será dada pela função: y = 2,200 + 0,247 * x1 + 0,247 * x2.

14.2

a) Sy1 = Ó YX1 – [Ó Y * Ó X1 / n] = 2230 – (210 * 90) / 9 = 130Sy2 = Ó YX2 – [Ó Y * Ó X2 / n] = 1602 – (210 * 63) / 9 = 312S11 = Ó(X1

2) – [Ó(X1)2 / n] = 1050 – (90)2 / 9 = 150

S12 = Ó X1X2 – [Ó X1X2 / n] = 630 – (90 * 63) / 7 = 0S22 = Ó(X2

2) – [Ó(X2)2 / n] = 567 – (63)2 / 9 = 126

x1m = Ó xi / n = (5 + ... + 15) / 9 = 10x2m = Ó xi / n = (3 + ... + 12) / 9 = 7ym = Ó yi / n = (16 + ... + 32) / 9 = 23,33

Sy1 = b1 * S11 + b2 * S12 ou 130 = b1 * 150 + b2 * 0Sy2 = b1 * S21 + b2 * S22 312 = b1 * (0) + b2 * 126

Resolvendo as equações chegamos aos seguintes valores:b1 = 0,867b2 = 1,048a = ym – b1 * x1m – b2 * x2m = 23,33 – (0,867 * 10) – (1,048 * 7) = 7,333Portanto, a reta será dada pela função: y = 7,333 + 0,867 * x1 + 1,048 * x2.

b) Utilizando a função encontrada em a), teremos:y = 7,333 + 0,867 * x1 + 1,048 * x2 = 7,333 + 0,867 * (12,5) + 1,048 * (4) = 22,357.

SÉRIE II

14.3

a) Sy1 = Ó YX1 – [Ó Y * Ó X1 / n] = 3649,145 – (1269,515 * 19,417) / 19 = 2351,768Sy2 = Ó YX2 – [Ó Y * Ó X2 / n] = 465,860 – (1269,515 * 5,299) / 19 = 111,799S11 = Ó(X1

2) – [Ó(X1)2 / n] = 69,167 – (19,417)2 / 19 = 49,323

S12 = Ó X1X2 – [Ó X1X2 / n] = 8,210 – (19,417 * 5,299) / 19 = 2,795S22 = Ó(X2

2) – [Ó(X2)2 / n] = 2,287 – (5,299)2 / 19 = 0,809

x1m = Ó xi / n = (0,599 + ... + 0,808) / 19 = 1,022x2m = Ó xi / n = (0,247 + ... + 0,334) / 19 = 0,279ym = Ó yi / n = (38,490 + ... + 73,447) / 19 = 66,817

Sy1 = b1 * S11 + b2 * S12 ou 2351,768 = b1 * 49,323 + b2 * 2,795Sy2 = b1 * S21 + b2 * S22 111,799 = b1 * 2,795 + b2 * 0,809

b2 = ((Sy1 * S21) – (S11 * Sy2)) / ((S12 * S21) – (S11 * S22))b1 = – (((b2 * S12) – Sy1) / S11)Resolvendo as duas equações acima, chegamos aos seguintes valores:b1 = 49,550b2 = – 32,998a = ym – b1 * x1m – b2 * x2m = 66,817 – (49,550 * 1,022) – (– 32,998 * 0,279) = 25,382Portanto, a reta será dada pela função: y = 25,382 + 49,550 * x1 – 32,998 * x2.

b) H0: â1 = â2 = 0 contra H1: â1 • 0 e â2 • 0, com á = 2,5%, portanto, na tabela F , com ö1 = 2 eö2 = n – 3 = 16, Ftab = 4,69VE = (b1 * Sy1 + b2 * Sy2) = 49,550 * 2351,768 – 32,998 * 111,799 = 112842,052VT = Syy = Ó(Y2) – [Ó(Y)2 / n] = 202054,403 – (66,817)2 / 19 = 117229,740VR = VT – VE = 117229,740 – 112842,052 = 4387,688Fcal = (VE / 2) / [VR / (n – 3)] = (112842,052 / 2) / (4387,688 / 16) = 205,743Como Fcal > Ftab, rejeita-se H0: â1 = â2 = 0, concluindo-se, com risco de 2,5%, que háregressão linear entre a variável Y e as variáveis X1 e X2.

c) R2 = VE / VT = 112842,052 / 117229,740 = 0,963.

14.4

a) Sy1 = Ó YX1 – [Ó Y * Ó X1 / n] = 342895 – (3549 * 984) / 10 = – 6326,600Sy2 = Ó YX2 – [Ó Y * Ó X2 / n] = 95066 – (3549 * 254) / 10 = 4921,400S11 = Ó(X1

2) – [Ó(X1)2 / n] = 97856 – (984)2 / 10 = 1030,400

S12 = Ó X1X2 – [Ó X1X2 / n] = 25018 – (984 * 254) / 10 = 24,400S22 = Ó(X2

2) – [Ó(X2)2 / n] = 7076 – (254)2 / 10 = 624,400

x1m = Ó xi / n = (101 + ... + 82) / 10 = 98,400x2m = Ó xi / n = (10 + ... + 34) / 10 = 25,400ym = Ó yi / n = (220 + ... + 560) / 10 = 354,900

Sy1 = b1 * S11 + b2 * S12 ou – 6326,600 = b1 * 1030,400 + b2 * 24,400Sy2 = b1 * S21 + b2 * S22 4921,400 = b1 * 24,400 + b2 * 624,400

b2 = ((Sy1 * S21) – (S11 * Sy2)) / ((S12 * S21) – (S11 * S22))b1 = – (((b2 * S12) – Sy1) / S11)Resolvendo as duas equações acima, chegamos aos seguintes valores:b1 = – 6,332b2 = 8,129H0: â1 = â2 = 0 contra H1: â1 • 0 e â2 • 0, com á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 = 2 eö2 = n – 3 = 7, Ftab = 4,74VE = (b1 * Sy1 + b2 * Sy2) = (– 6,332) * (– 6326,600) + 8,129 * 4921,400 = 80070,217

VT = Syy = Ó(Y2) – [Ó(Y)2 / n] = 1349099 – (3549)2 / 10 = 89558,900VR = VT – VE = 89558,900 – 80070,217 = 9488,683Fcal = (VE / 2) / [VR / (n – 3)] = (89558,900 / 2) / (9488,683 / 7) = 29,535Como Fcal > Ftab, rejeita-se H0: â1 = â2 = 0, concluindo-se, com risco de 5%, que háregressão linear entre a variável Y e as variáveis X1 e X2.

b) R2 = VE / VT = 80070,217 / 89558,900 = 0,894.

14.5

a) Para determinarmos a função potência múltipla y = a * x1b * x2

c, devemos efetuar atransformação para uma equação linear:log Y = log a + b * log X1 + c * log X2

Como os valores dados das 3 variáveis são logaritmos, podemos utilizar o sistema:

Sy1 = b * S11 + c * S12 ou 2,5174 = b * 1,1172 + c * 0,7442Sy2 = b * S21 + c * S22 4,0507 = b * 0,7442 + c * 2,4762

c = ((Sy1 * S21) – (S11 * Sy2)) / ((S12 * S21) – (S11 * S22))b = – (((b2 * S12) – Sy1) / S11)Resolvendo as duas equações acima, chegamos aos seguintes valores:b = 1,4549c = 1,1986log a = log Ym – b * log X1m – c * log X2m = 1,8216 – 1,4549 * 1,1548 – 1,1986 * 3,3808 = –3,911, portanto, a = 0,0001228Assim, a função ajustada será dada por: y = 0,0001228 * x1

1,4549 * x21,1986.

b) VE = (b * Sy1 + c * Sy2) = 1,4549 * 2,5174 + 1,1986 * 4,0507 = 8,5177VT = Syy = 9,4850VR = VT – VE = 9,4850 – 8,5177 = 0,9673R2 = VE / VT = 8,5177 / 9,4850 = 0,898.

c) H0: â1 = â2 = 0 contra H1: â1 • 0 e â2 • 0, com á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 = 2e ö2 = n – 3 = 23, Ftab = 3,42VR = VT – VE = 9,4850 – 8,5177 = 0,9673Fcal = (VE / 2) / [VR / (n – 3)] = (8,5177 / 2) / (0,9673 / 23) = 101,2649Como Fcal > Ftab, rejeita-se H0: â1 = â2 = 0, concluindo-se, com risco de 5%, que háregressão entre a variável Y e as variáveis X1 e X2.

14.6

Sy1 = Ó YX1 – [Ó Y * Ó X1 / n] = 421 – (74 * 45) / 9 = 51,000Sy2 = Ó YX2 – [Ó Y * Ó X2 / n] = 2771 – (74 * 285) / 9 = 427,667S11 = Ó(X1

2) – [Ó(X1)2 / n] = 285 – (45)2 / 9 = 60,000

S12 = Ó X1X2 – [Ó X1X2 / n] = 2025 – (45 * 285) / 9 = 600,000S22 = Ó(X2

2) – [Ó(X2)2 / n] = 15333 – (285)2 / 9 = 6308,000



b2 = ((Sy1 * S21) – (S11 * Sy2)) / ((S12 * S21) – (S11 * S22))b1 = – (((b2 * S12) – Sy1) / S11)Resolvendo as duas equações acima, chegamos aos seguintes valores:

b1 = 3,523b2 = – 0,267a = ym – b1 * x1m – b2 * x2m = 8,222 – (3,523 * 5,000) – (– 0,267 * 31,667) = – 0,929Portanto, a parábola será dada pela função: y = – 0,929 + 3,523 * x – 0,267 * x2.

14.7

a) Sxx = Ó(X2) – [Ó(X)2 / n] = 285 – (45)2 / 10 = 82,5Sxy = Ó XY – [Ó X * Ó Y / n] = 307,300 – (45 * 63,700) / 10 = 20,650xm = Ó xi / n = (0 + ... + 9) / 10 = 4,500ym = Ó yi / n = (9,1 + ... + 10,2) / 10 = 6,370b = Sxy / Sxx = 20,650 / 82,5 = 0,250a = ym – b * xm = 6,370 – (0,250 * 4,500) = 5,244Portanto, a reta será dada pela equação: y = 5,244 + 0,250 * x.

b) VE = b * Sxy = 0,250 * 20,650 = 5,169VT = Syy = Ó(Y2) – [Ó(Y)2 / n] = 463,330 – (63,7)2 / 10 = 57,561R2 = VE / VT = 5,169 / 57,561 = 0,090.

c) Sy1 = Ó YX1 – [Ó Y * Ó X1 / n] = 307,300 – (63,700 * 45) / 10 = 20,650Sy2 = Ó YX2 – [Ó Y * Ó X2 / n] = 2153,300 – (63,700 * 285) / 10 = 337,850S11 = Ó(X1

2) – [Ó(X1)2 / n] = 285 – (45)2 / 10 = 82,500

S12 = Ó X1X2 – [Ó X1X2 / n] = 2025 – (45 * 285) / 10 = 724,500S22 = Ó(X2

2) – [Ó(X2)2 / n] = 15333 – (285)2 / 10 = 7210,500

x1m = Ó xi / n = (0 + ... + 9) / 10 = 4,500x2m = Ó xi / n = (0 + ... + 81) / 10 = 28,500ym = Ó yi / n = (9,1 + ... + 10,2) / 10 = 6,370


b2 = ((Sy1 * S21) – (S11 * Sy2)) / ((S12 * S21) – (S11 * S22))b1 = – (((b2 * S12) – Sy1) / S11)Resolvendo as duas equações acima, chegamos aos seguintes valores:b1 = – 2,341b2 = 0,288a = ym – b1 * x1m – b2 * x2m = 6,370 – (– 2,341 * 4,500) – (0,288 * 28,500) = 8,698Portanto, a parábola será dada pela função: y = 8,698 – 2,341 * x + 0,288 * x2.

d) VE = (b1 * Sy1 + b2 * Sy2) = (– 2,341) * 20,650 – 0,288 * 337,850 = 48,926VT = Syy = Ó(Y2) – [Ó(Y)2 / n] = 463,330 – (6,370)2 / 10 = 57,561R2 = VE / VT = 48,926 / 57,561 = 0,850

e) Como o indicador R2 é um indicador de qualidade de ajustamento, ou seja, um númeroque representa o poder explicativo da função, a escolha sempre deve ser o maior R2

possível. Assim, a função parábola deve ser a escolhida porque apresenta este indicadormaior.

14.8

H0: â1 = â2 = 0 contra H1: â1 • 0 e â2 • 0, com á = 5%, portanto, na tabela F , com ö1 = 2 e ö2 =n – 3 = 250, Ftab • 3,92Como R2 = VE / VT = 0,780, portanto, VR / VT = 0,220 e VT / VR = 1 / 0,220 = 4,545Fcal = (VE / 2) / [VR / (n – 3)] = (VE / VR) * (250 / 2) = [(VT – VR) / VR] * 125 = [(VT / VR – VR /VR)] * 125 = [(4,545 – 1,000)] * 125 = 443,182

Como Fcal > Ftab, rejeita-se H0: â1 = â2 = 0, concluindo-se, com risco de 5%, que há regressãoentre a variável Y e as variáveis X1 e X2.

14.9

a) H0: â1 = â2 = â3 = â4 = â5 = â6 = 0 contra H1: â1 • 0, â2 • 0, â3 • 0, â4 • 0, â5 • 0 e â6 • 0,com á = 10%, portanto, na tabela F , com ö1 = 6 e ö2 = n – 7 = 104, Ftab • 2,17Como R2 = VE / VT = 0,860, portanto, VR / VT = 0,140 e VT / VR = 1 / 0,140 = 7,149Fcal = (VE / 6) / [VR / (n – 7)] = (VE / VR) * (104 / 6) = [(VT – VR) / VR] * 17,333 = [(VT / VR– VR / VR)] * 17,333 = [(7,149 – 1,000)] * 17,333 = 106,581Como Fcal > Ftab, rejeita-se H0: â1 = â2 = â3 = â4 = â5 = â6 = 0, concluindo-se, com risco de10%, que há regressão entre a variável Y e as variáveis X1, X2, X3, X4, X5 e X6.

b) á = 10%, portanto, na tabela t S tudent, com ö1 = 111 – 6 = 105, – tá/2 • – 1,6588 e t á/2 •1,6588P (b – (tá/2) * [S / (Sxx)

0,5] • â • b + (t á/2) * [S / (Sxx)0,5]) = P {[– 725 – (1,6588) * (120,8)] • â •

[– 725 + (1,6588) * (120,8)]} = P (– 925,38 • â • – 524,62) = 90% ou – 725 ± 200,38.

c) â5 é o efeito incremental no preço de venda em decorrência da casa ser financiada ounão. Caso a casa tenha sido financiada, o valor de X5 é 1 e em conseqüência, o preço devenda decaíra 1,45 enquanto que se a casa não foi financiada, o valor de X5 é 0 e o preçode venda não é afetado.

d) H0: â6 = 0 contra H1: â6 • 0, com á = 5%, portanto, na tabela t S tudent, com ö1 = 111 –6 = 105, – tá/2 • – 1,6588 e t á/2 • 1,6588tcal = bi / Sbi = 0,43 / 0,25 = 1,72Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: â6 = 0, concluindo-se, com risco de 10%, que há regressãoentre a variável Y e a variável X6.

14.10

a) Sy1 = Ó YX1 – [Ó Y * Ó X1 / n] = 23914 – (172 * 1152) / 10 = 4099,600Sy2 = Ó YX2 – [Ó Y * Ó X2 / n] = 3453728 – (172 * 145894) / 10 = 944351,200S11 = Ó(X1

2) – [Ó(X1)2 / n] = 145894 – (1152)2 / 10 = 13183,600

S12 = Ó X1X2 – [Ó X1X2 / n] = 19730778 – (1152 * 145894) / 10 = 2923789,200S22 = Ó(X2

2) – [Ó(X2)2 / n] = 2790088786 – (145894)2 / 10 = 661582862,400



b2 = ((Sy1 * S21) – (S11 * Sy2)) / ((S12 * S21) – (S11 * S22))b1 = – (((b2 * S12) – Sy1) / S11)Resolvendo as duas equações acima, chegamos aos seguintes valores:b1 = – 0,282b2 = 0,003a = ym – b1 * x1m – b2 * x2m = 17,200 – (– 0,282 * 115,200) – (0,003 * 14589,400) = 10,659Portanto, a parábola será dada pela função: y = 10,659 – 0,282 * x + 0,003 * x2.

b) VE = (b1 * Sy1 + b2 * Sy2) = (– 0,282) * 4099,600 + 0,003 * 944351,200 = 1368,775VT = Syy = Ó(Y2) – [Ó(Y)2 / n] = 4472 – (172)2 / 10 = 1513,600VR = VT – VE = 1513,600 – 1368,775 = 144,825Rajus

2 = 1 – (VR / VT) * [(n – 1) / (n – p)] = 1 – (144,825 / 1513,600) * (9 / 7)] = 0,877.

SÉRIE III

14.11

Considerando X1 = 36 e X2 = 0 na equação do exemplo 14.7, temos:ln (L) = – 6,92923 + (0,13925) * (36) + (2,77118) * (0) = – 1,91623Logo, L = e – 1,91623 = 0,14716Então a probabilidade de mudança será de:P = L / (1 + L) = 0,14716 / 1,14716 = 0,12823 ou 12,82%.

14.12

Considerando X1 = 18 e X2 = 0 na equação do exemplo 14.7, temos:ln (L) = – 6,92923 + (0,13925) * (18) + (2,77118) * (0) = – 4,42273Logo, L = e – 4,42273 = 0,012Então a probabilidade de mudança será de:P = L / (1 + L) = 0,012 / 1,012 = 0,0119 ou 1,19%.

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Estatística Geral e Aplicada.pdf