Matemática Básica – Leitura Complementar

Logaritmos Luiz Eurico Junqueira Coli

Paulo Henrique Sales Guimarães

Logaritmos

Definição: Sejam dois números reais positivos a e b, com a ≠ 1. Chamamos de

logaritmo de b na base a, o expoente x que satisfaz a equação ax = b, isto é,

log xa b x a b ,

x é o logaritmo

a é a base e

b é o logaritmando

Observações:

1) *a , isto é, a é pertencente ao conjunto dos números reais, com exceção

do zero;

2) 1a , pois, caso contrário, loga b só para b 1;

3) *b , uma vez que a > 0, tem-se que 0xa .

Exercícios:

(Questão 01) Calcule 2log 64 .

Resolução:

2log 64 2 64xx

Fatorando 64, isto é,

62 2 6x x , uma vez que quando as bases são iguais, podemos igualar

os expoentes. Portanto, 642log 6.

(Questão 02) Encontre o valor de 81log 3 .

Resolução:

81log 3 81 3xx

4 1 13 3 4 1 .4

x x x

(Questão 03) Encontre o valor de 8log 0,5 .

Resolução:

Sabemos que 0,5 = ½, logo,

81log 1/ 2 82

xx

13( ) 12 2 3 1 .3

x x x

Importante: Quando “trocamos” numerador com denominador em qualquer

fração, tem-se que a mesma fica elevada a um expoente negativo, isto é, - 1. Exemplo:

A fração,

11 2 .2

(Questão 04) Calcule 2log 32 .

Lembre-se: A raiz quadrada de um número pode ser expressa na forma

exponencial, isto é, 122 2 e

13 32 2 .

Resolução:

(Questão 05) Calcule o valor de 0,2log 125 .

Resolução:

0,2log 125 0, 2 125xx

1 31 125 5 5 3 3.5

xx

x x

Observação: Perceba que para chegar a uma equivalência foi preciso reescrever

0,2 como uma razão, isto é, 0,2 = 2/10 = 1/5.

Propriedades do logaritmo:

1) log log loga a abc b c , ou seja, o logaritmo de um produto é a

soma dos logaritmos b e c, sendo b e c números reais positivos.

2) log log loga a ab b cc

, isto é, o logaritmo de um quociente é a

diferença entre os logaritmos de b e c.

(Questão 06) Calcule 2log 64 1024 .

Resolução:

2 2 2log 64 1024 log 64 log 1024

2 2log 64 6 e log 1024 10

2log 64 1024 6 10 16.

(Questão 07) Calcule 21024log

32

.

Resolução:

2 2 21024log log 1024 log 32 10 5 5.

32

(Questão 08) Sendo a e b números reais positivos tais que 3

log 224a e

3log 218b , calcule o valor de a

b.

Resolução: 224

3

2183

2246 33

2183

log 224 ( 3 )

log 218 ( 3 )

log ( 3 ) ( 3 ) 3 27 .log ( 3 )

a a

b b

ab

(Questão 09) Encontre o valor de 31

16

1 10 102

log log .

Resolução:

31

161 / 3

31

16

31

16

1 10 1 02

1 1 1 1 2 1 6 2 1 2

31 0 102

1 1 3 1 9 10 1 0 .2 12 2 1 2

x

lo g log

lo g x x

lo g x x

lo g log

(Questão 10) Calcule o valor de 4 25

127 13

log 4 log 0, 2log 1 log 27

y

.

Resposta:

4 2 5

1 2 7 13

lo g 4 lo g 0 , 2lo g 1 lo g 2 7

1 ( 1 / 2 ) 1 / 2 1 .0 ( 3 ) 3 6

y

y

(Questão 11) Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00

numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros

compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3.500,00?

Resolução:

Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização

das técnicas de logaritmos é imprescindível. A fórmula para o cálculo do montante, em

juros compostos, é dada por: (1 )tM C i , em que M é o montante (o capital investido

acrescido com juros advindos do mesmo), C é o capital investido, i é a taxa de juros,

neste caso dada mensal e t é período de tempo, que deve sempre coincidir com a taxa,

isto é, se a taxa for mensal o período de tempo deverá também ser mensal. Logo, o valor

de t será,

i = 3,5% = 0, 035

C = R$ 500,00

M = R$ 3.500,00 e t?

3500 500(1 0,035)t

(1,035) 7t .

Lembre-se de que na Matemática tudo que fazendo de um lado da equação e do

outro não altera o resultado do mesmo, isto é, se eu somar com 2 no lado de uma

equação e também somar com 2 do lado direito, o resultado não irá alterar-se. Desta

forma, para resolvermos a equação acima, é preciso aplicar logaritmo em ambos os

lados da mesma, ou seja,

log(1,035) log 7t .

Importante: O valor de 4log 2 é igual a 4 log 2 (propriedade do logaritmo de

uma potência, que diz que o logaritmo da potência de um número real positivo é o

produto do expoente da potência pelo logaritmo da base da potência. Então, voltando ao

cálculo, tem-se,

log(1,035) log 7t . Utilizando a calculadora o valor de t será

0,014940 log 0,84509t

0,84509 56,5642 57.0,014940

t

Ou, aproximadamente 57 meses.

(Questão 12) Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é

de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar,

se a taxa de crescimento continuar a mesma?

Resolução:

Consideremos a população inicial do estudo igual a P0 habitantes. Após um ano

a população será P0 + 0,03 P0 ou então, P0 (1,03) e depois de dois anos P0 (1,03)2 e após

x anos P0 (1,03)x. Logo, para encontrar o valor de x que denotará quando a população irá

dobrar a partir do ano inicial P0, tem-se:

0 0(1,03) 2xP P

(1,03) 2 log(1,03) log 2x x

log 2log1,03 log 2 23, 449 23,5.log1,03

x x

Portanto, após 23 anos e meio a população desta cidade irá dobrar o seu número

de habitantes.