Matemática Discreta - Capítulo 1 - Conjuntos

================================================================= FAL FACULDADE DE ALAGOAS CURSO: SISTEMAS DE INFORMAO

DISCIPLINA: MATEMTICA DISCRETA =================================================================

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Neivolan Amorim

1

CONJUNTOS

1. Conceito Pertinncia

Como o prprio nome indica, conjunto d uma idia de coleo. Assim, toda coleo de

objetos, pessoas, animais ou coisas constitui um conjunto.

Exemplos

a) conjunto dos alunos de uma sala de aula;

b) conjunto dos meses de um ano;

c) conjunto dos nmeros pares.

Os objetos que formam um conjunto so denominados elementos.

Os elementos de um conjunto so indicados por letras minsculas a, b, c, ... e os conjuntos,

por letras maisculas A, B, C, ...

Um elemento pode pertencer ou no pertencer a um determinado conjunto. Para se indicar

que um elemento pertence a um dado conjunto, utilizamos o smbolo e quando um elemento no pertence usamos .

x A (l-se: x pertence a A) x B (l-se: x no pertence a B)

2. Como Representar um Conjunto

Um conjunto pode ser representado por trs formas:

a) 1 forma: por extenso

Enumerem-se seus elementos, escrevendo-os entre chaves e separando-os por vrgulas.

Por exemplo, o conjunto dos dias da semana:

A = {segunda, tera, quarta, quinta, sexta, sbado, domingo}

Podemos, tambm, utilizar a representao por extenso mesmo que o conjunto seja

infinito, ou seja, finito mas com um nmero elevado de elementos.

Exemplos

a) conjunto dos nmeros mpares: A = {1, 3, 5, ...} conjunto infinito

b) conjunto dos nmeros pares positivos menores que 200: B = {2, 4, 6, ..., 198} conjunto finito

b) 2 forma: por compreenso

O conjunto ser representado por meio de uma propriedade que caracteriza os seus

elementos.

Exemplos a) A = {x | x e x < 8}

b) B = {x | x vogal}

Observe que a propriedade que caracteriza o conjunto permite estabelecer se um dado

elemento pertence ou no ao conjunto.




2

A

1

2

3

7

4

c) 3 forma: por figuras

Um conjunto pode ser representado por uma figura chamada diagrama de Venn1. Por

exemplo, o conjunto A = {1, 2, 3, 4} pode ser representado por:

Observe que:

Os elementos de A so representados por pontos internos da figura; 2 A ( um ponto interno); 7 A ( um ponto externo).

3. Igualdade de Conjuntos

Observe os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4} e B = {4, 3, 2, 1}.

Voc nota que A e B possuem os mesmos elementos.

Dizemos que o conjunto A igual ao conjunto B, pois possuem os mesmos elementos.

Indica-se: A = B (A igual a B). A negao da igualdade indicada por A B (A diferente de B).

Exemplo: A = {1, 3, 5}

B = {0, 1, 4, 8}

Da, define-se:

4. Conjunto Vazio

Sejam:

A o conjunto dos nmeros primos menores que 2. Este conjunto no possui elementos, pois no h nmero primo menor que 2.

B = {x | x inteiro e soluo da equao 2x = 1}. Este conjunto no possui elementos,

pois a soluo da equao dada x = , que no nmero inteiro.

Da, define-se:

Representa-se o conjunto vazio por { } ou .

1 (John Venn, lgico ingls; 1834-1923).

Conjunto vazio o conjunto que no possui elementos.

Dois conjuntos so iguais quando possuem os mesmos elementos.

A B (Significa que um desses conjuntos possui algum elemento que no pertence ao outro).




3

5. Principais Smbolos Lgicos

Utilizaremos com freqncia os seguintes smbolos extrados da lgica:

Estes smbolos lgicos simplificam a linguagem matemtica e a universalizam, isto , no

dependem do idioma em que o texto est escrito.

Observe os seguintes exemplos:

1 exemplo: Sendo = {0, 1, 2, 3, 4, ...}, dar, por extenso, os seguintes conjuntos:

a) A = {x | x = 3k, k }

b) B = {x | x = 2k, k }

Resoluo: a) Os elementos do conjunto A so determinados pela expresso x = 3k com k , logo:

k = 0 x = 3 0 = 0 k = 1 x = 3 1 = 3 k = 2 x = 3 2 = 6 Logo: A = {0, 3, 6, ...}

b) Os elementos do conjunto B so determinados pela expresso com k :

k = 0 x = 20 = 1

k = 1 x = 21 = 2

k = 2 x = 22 = 4

k = 3 x = 23 = 8

Logo: B = {1, 2, 4, 8, ...}

2 exemplo:

Representar o conjunto A = {0, 4, 8, 12, ...} por meio de uma propriedade.

Resoluo: A = {x = 4k, k }

Exerccios de Aprendizagem

1. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 5}. Utilizando os smbolos e , relacione:

a) 1 e A

b) 3 e B

c) 4 e A

d) 5 e B

| significa tal que

significa existe ao menos um

significa existe um nico

significa qualquer que seja ou para todo

significa implica

significa equivalente




4

2. Sendo = {0, 1, 2, 3, ...}, d, por extenso, os seguintes conjuntos:

a) A = {x | x e x = 2k, k }

b) B = {x | x e x = k2, k }

c) C = {x | x e x2 + x - 42 = 0}

3. Represente os conjuntos a seguir, por meio de uma propriedade:

a) A = {1, 3, 5, 7, ...}

b) B = {1, , , , ...}

4. Classifique os conjuntos abaixo em vazio, unitrio, finito ou infinito.

a) B = {0, 1, 2, ..., 70}

b) C = {x | x um nmero par positivo}

c) E = {x | x um nmero mpar, soluo da equao x2 = 4}

5. Seja D(a) o conjunto dos divisores inteiros e positivos do nmero real a. Escreva por extenso,

os conjuntos D(18) e D(50).

6. Considere os diagramas abaixo:

D, por extenso, os conjuntos A e B.

6. Subconjuntos

Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que A subconjunto de B se cada elemento do

conjunto A , tambm, um elemento do conjunto B.

A B l-se: A est contido em B.

Ou tambm por:

B A L-se: B contm A.

Exemplo: O conjunto A = {0, 2, 4} um subconjunto do conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4, 5},

pois cada elemento pertencente a A tambm pertence a B.

Indicamos:

{0, 2, 4} {0, 1, 2, 3, 4, 5} ou A B.

Observando o diagrama, podemos escrever que B A.

A B

1

2 3

4

5




5

Observaes:

1) Adotaremos que, para todo conjunto A, tem-se A.

2) Se A B e B A A = B

3) Escrevemos A B (A no este contido em B) ou B A (B no contm A), se A no for

subconjunto de B. Isto significa que x A tal que x B.

4) Os smbolos , , e so utilizados para relacionar conjunto com conjunto.


1. Sejam A = {1}, B = {0, 1}, C = {1, 2, 3} e D = {0, 1, 2, 4}. Usando os smbolos ou ,

relacione entre si os conjuntos:

a) A e B

b) A e C

c) A e D

d) B e C

e) B e D

f) C e D

2. Sejam A = {x | x nmero par compreendido entre 3 e 15}, B = {x | x nmero par menor que 15} e C = {x | x nmero par diferente de 2}. Usando os smbolos ou , relacione

entre si os conjuntos:

a) A e B

b) A e C

c) B e C

3. No diagrama seguinte, A, B e C so trs conjuntos no vazios. Associe V ou F a cada uma das

seguintes sentenas, conforme ela seja verdadeira ou falsa: a) A B

b) C B

c) B A

d) A C

e) B A

f) A C

g) B A

h) A B

4. Qual deve ser a relao entre os conjuntos A, B e C para que A B, B C e C A?

1

3

0 2 4

A

5

B

A

C

B




6

5. Considere o diagrama. Escreva, por extenso, os conjuntos X e Y.

6. Dado o conjunto A = {0, 1, 2, {3}}, diga se as proposies a seguir so verdadeiras ou falsas: a) 0 A

b) 1 A

c) {3} A

d) {3} A

e) {1, 2} A

f) A

g) A

h) 3 A

7. Conjunto Universo

Quando estudamos Conjunto, podemos estabelecer um conjunto determinado que contm

todos os conjuntos estudados. Esse conjunto se chama conjunto universo de estudo.

Assim:

Quando estudamos geometria plana, o conjunto universo formado por todos os pontos do

plano.

Quando estudamos a populao humana, o conjunto universo constitudo de todos os

habitantes da Terra.

8. Conjunto das Partes

O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A denominado conjunto das

partes de A, sendo indicado por P(A).

Exemplo: Dado A = {1, 2, 3}, teremos: P(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

Observaes: 1) Voc deve observar que, no exemplo dado, , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1,

2, 3} so elementos do conjunto P(A); assim:

P(A) e P(A);

{1} P(A) e no {1} P(A);

{2, 3} P(A) e no {2, 3} P(A).

2) Se o conjunto A tem n elementos, ento o conjunto P(A) ter 2n elementos; assim,

observando o exemplo dado:

nmero de elementos de A igual a 3;

nmero de elementos de P(A) igual a 8, isto , 23.

Conjunto universo o conjunto ao qual pertencem os elementos de todos os

conjuntos que fazem parte do nosso estudo.

3

4

1

2

Y X




7


1. Dados A = {0, 2, 4} e B = {2, 3}, determine:

a) P(A)

b) P(B)

2. Determine o nmero de elementos de P(A), quando:

a) A = {1, 2, 3, 4}.

b) A = {0, 1, 2, 3, 4}.

c) A = {1, 2, 3, ..., 9}.

d) A = {x | x nmero par menor que 8}

3. Quantos elementos tem um conjunto de 2048 subconjuntos?

4. Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e} e B = {a, d, e, f}. Determine os subconjuntos de A

que sejam ao mesmo tempo subconjuntos de B.

9. Unio dos Conjuntos

Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}.

Vamos determinar um conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A ou a B, ou a

ambos:

A = {0, 2, 4, 6}

B = {0, 1, 2, 3, 4}

O conjunto C, assim formado, chamado unio de A e B.

Designamos a unio de A e B por A B (l-se: A unio B).

A B = {x | x A ou x B}

Exemplos:

a) A = {0, 1, 2, 3, 4}

B = {1, 3, 5, 7} A B = {0, 1, 2, 3,4 ,5 , 7}

b) A = {0, 1, 2}

B = {0, 1, 2, 3, 4} A B = {0, 1, 2, 3, 4} = B

A unio de dois conjuntos A e B conjunto formado por todos os elementos

que pertencem a A ou a B.

C = {0, 1, 2, 3, 4, 6}

A

B 0

2 4

1

3

5

7

Em diagrama:

A B

3

4

1 2

0




8

c) A = {0, 2}

B = {1, 3, 5} A B = {0, 1, 2, 3, 5}


1. Sendo A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 2, 3, 5}, C = {x | x nmero par menor que 10} e D = {x |

x nmero mpar compreendido entre 4 e 10} determine: a) A B

b) A C

c) A D

d) B C

e) B D

f) C D

g) (A B) C

h) (A C) D

i) (B C) D

2. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} e C = {1, 2, 4}, determine o conjunto M tal que A M = {1, 2, 3};

B M = {3, 4};

C M = A B.

3. Considere o diagrama a seguir.

Calcule:

a) A B

b) A C

c) B C

d) A B C

A

C

B

1

3 4 2

9

5 8

6

7

A B

2

0 3

5

1




9

10. Interseco de Conjuntos

Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}.

Vamos determinar um conjunto C formado pelos elementos que so comuns a A e a B, ou

seja, pelos elementos que pertencem a A e tambm pertencem a B:

A = {0, 2, 4, 6}

B = {0, 1, 2, 3, 4}

O conjunto C, assim formado, chamado interseco de A e B.

Ento:

Designamos a interseco de A e B por A B (l-se: A inter B).

A B = {x | x A e x B}

Exemplos:

a) A = {0, 1, 2, 3, 4}

B = {1, 3, 5, 7} A B = {1, 3}

b) A = {0, 1, 2}

B = {0, 1, 2, 3, 4} A B = {0, 1, 2} = A

c) A = {0, 2}

B = {1, 3, 5}

A B =

Quando A B = , os conjuntos A e B so chamados disjuntos.

A interseco de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos que so

comuns a A e a B, isto , pelos elementos que pertencem a A e tambm pertencem a B.

C = {0, 2, 4}

A B

0

2

4

1

3

5

7

A B

A B 2

0 3

5

1

A

3 4 1

2

0

B




10


1. Considere os conjuntos:

A = {3, 6, 9, 12, ...}

B = {2, 4, 6, 8, ...}

C = {4, 8, 12, 16, ...}

Determine:

a) A B

b) B C

c) A B C

2. Dados A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 2, 4}, C = {1, 3, 5} e D = {2, 3}, determine: a) (A B) C

b) (B D) A

c) (A C) D

d) (A B) (C D)

e) (A D) (B C)

f) (A C) (B D)

3. Sendo A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2}, C = {x | x par menor que 10} e D = {x | x

mpar compreendido entre 0 e 6}, determine: a) A B

b) A C

c) A D

d) B C

e) (A B) C

f) (A C) D

4. Em , representa-se por M(a) o conjunto dos mltiplos de a e por D(a) o conjunto dos

divisores de a. Calcule: a) M(3) D(30)

b) M(2) M(4)

c) D(100) D(50)

d) M(7) M(5)

5. Considere o diagrama

X

Z

Y

1

4 3

2

5

6

7




11

Determine:

a) X Y

b) X Z

c) Y Z

d) X Y Z

6. Considere os conjuntos:

A = {divisores naturais de 30}

B = {mltiplos de 6}

C = {mltiplos de 3}

Calcule: a) A C

b) A (B C)

c) A B C

d) Quais os elementos de A que no pertencem a B.

7. Calcule o conjunto A, sabendo que A Z e que:

A {1, 4, 5, 10} = {4, 5};

A {0, 4, 5, 8, 9} = {0, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

{6, 7} A;

A {1, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12}.

11. Diferena de Conjuntos

Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5 e B = {2, 4, 6, 8}.

Vamos determinar um conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A mas que no

pertencem a B:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {2, 4, 6, 8}

O conjunto C, assim formado, chamado diferena de A e B. Ento:

Designamos a diferena de A e B por A B (l-se: A menos B).

A B = {x | x A e x B}

Em diagrama

A

B 1

2

4 3

5

6

8

A B

A diferena de dois conjuntos A e B um conjunto dos elementos que pertencem

a A mas que no pertencem a B.

C = {1, 3, 5}




12

Observao: Se B A, a diferena A B denomina-se complementar de B em relao a A e indica-se CAB.

Exemplo: Se B = {2, 3} e A = {0, 1, 2, 3, 4}, ento CAB = A B = {0, 1, 4}.

Por diagrama, temos:

O complementar de B em relao a A o que falta para o B ficar igual ao A.


1. Dados A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 3} e C = {2, 3, 4, 5}, determine:

a) A B b) A C c) B C d) (A B) C e) (A C) (B C) f) A

2. Considere os conjuntos A = {0, 2, 4, 6}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {0, 3, 6} e D = {2, 4, 6}.

Determine: a) (A C) (B D) b) (A B) (C D) c) D (A B C) d) (A D) (B C)

3. Dados U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {0, 2, 5}, B = {1, 3, 5, 7} e E = {2, 4, 6}, determine:

a) CUA

b) CUB

c) CUE

A

B

0

1

2

3 4

CAB

CAB = A B




13

5. Dado o diagrama seguinte, determine os conjuntos pedidos, escrevendo os seus elementos:

a) CEA

b) CEB c) CE (A B)

d) CE (A B)

6. Sendo dados X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y = {0, 1} e M = {1, 2, 3}, determine:

a) CX (M Y)

b) CX (M Y)

c) CX (Y M)

7. Se os conjuntos A, B e E so tais que A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A B = {4, 5}, E B =

{1, 2}, B A = {6, 7}, E B = e E A, calcule CAE.

E

A

B

1

2

3 9

4

5

6

7

8

10

11




14

12. Resoluo de Problemas

Neste item, estudaremos alguns problemas envolvendo conjuntos.

1 exemplo:

Sejam n(A) = o nmero de elementos de A; n(B) = o nmero de elementos de B; n(A B) = o

nmero de elementos de A B e n(A B) = o nmero de elementos de A B. Dados os conjuntos A

= {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7, 9}, mostrar que n(A B) = n(A) + n(B) n(A B).

Resoluo:

n(A) = 6

n(B) = 5

n(A B) = 8

n(A B) = 3

Observe esta concluso atravs do diagrama

Note que os elementos de A B foram contados duas vezes: uma em n(A) e outra em n(B).

Por esse motivo, descontamos a segunda contagem desses elementos.

2 exemplo:

Em uma universidade so lidos dois jornais, A e B; exatamente 80% dos alunos lem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que todo aluno leitor de pelo menos um dos jornais,

determinar o percentual de alunos que lem ambos.

Resoluo: O percentual total de 100%, pois todo aluno l pelo menos um dos jornais.

O percentual dos alunos que lem os dois jornais de 40%.

A B

A B

A B

A B

8 = 6 + 5 3 n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)

n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)

n(A B) = n(A) + n(B) n(A B) 100% = 80% + 60% n(A B) n(A B) = 140% 100% n(A B) = 40%




15

3 exemplo:

Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam Matemtica, 210 estudam Fsica e 90 estudam

as duas matrias (Matemtica e Fsica). Pergunta-se:

a) Quantos alunos estudam apenas Matemtica? (Estudam Matemtica mas no estudam

Fsica.)

b) Quantos alunos estudam apenas Fsica? (Estudam Fsica mas no estudam Matemtica.)

c) Quantos alunos estudam Matemtica ou Fsica?

d) Quantos alunos no estudam nenhuma das duas matrias?

Resoluo:

So dados:

n(U) = nmero total de alunos = 630

n(M) = nmero de alunos que estudam Matemtica = 350

n(F) = nmero de alunos que estudam Fsica = 210 n(M F) = nmero de alunos que estudam Matemtica e Fsica = 90

Vamos fazer um diagrama:

a) Se 350 alunos estudam Matemtica e 90 deles estudam Matemtica e Fsica, ento o

nmero de alunos que estudam apenas Matemtica : 350 90 = 260 b) Se 210 alunos estudam Fsica e 90 deles estudam Matemtica e Fsica, ento o nmero

de alunos que estudam apenas Fsica : 210 90 = 120 c) 260 + 90 + 120 = 470

d) 630 470 = 160


1. Numa pesquisa realizada, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150

liam o jornal B, 20 liam os dois jornais (A e B) e 110 no liam nenhum dos jornais. Quantas

pessoas foram consultadas?

2. Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A ou B. O

produto B usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo.

Quantas pessoas usam o produto A?

U

90

M F

350 90 = 260

210 90 = 120

630 470 = 160




16

3. Numa pesquisa sobre a preferncia em relao a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas

e o resultado foi o seguinte: 250 delas lem o jornal A, 180 lem o jornal B e 60 lem os

jornais A e B.

Pergunta-se:

a) Quantas pessoas lem apenas o jornal A?

b) Quantas pessoas lem apenas o jornal B?

c) Quantas pessoas lem jornais?

d) Quantas pessoas no lem jornais.

4. Uma editora estuda a possibilidade de lanar novamente as publicaes: Helena, Senhora e A

Moreninha. Para isso, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas

consultadas:

600 leram A Moreninha;

400 leram Helena;

300 leram Senhora;

200 leram A Moreninha e Helena;

150 leram A Moreninha e Senhora;

100 leram Senhora e Helena;

20 leram as trs obras.

Calcule:

a) o nmero de pessoas que leu apenas uma das trs obras.

b) o nmero de pessoas que no leu nenhuma das trs obras.

c) o nmero de pessoas que leu duas ou mais obras.

5. Uma cidade que tem 10.000 habitantes possui dois clubes de futebol: A e B. Numa pesquisa

feita com todos os habitantes, constatou-se que 1.200 pessoas no apreciam nenhum dos

clubes, 1.300 apreciam os dois clubes e 4.500 pessoas apreciam o clube A. Pergunta-se:

a) quantas pessoas apreciam apenas o clube A?

b) quantas pessoas apreciam o clube B?

c) quantas pessoas apreciam apenas o clube B?

6. Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vlei, 20 jogam vlei e xadrez, 22 jogam xadrez e

tnis, 18 jogam vlei e tnis, 11 jogam as trs modalidades. O nmero de pessoas que jogam

xadrez igual ao nmero de pessoas que jogam tnis. Pergunta-se:

a) quantos jogam tnis e no jogam vlei?

b) Quantos jogam xadrez ou tnis e no jogam vlei?

c) Quantos jogam vlei e no jogam xadrez?




17

7. Numa cidade so consumidos trs produtos A, B e C. Feito um levantamento do mercado sobre

o consumo desses produtos, obteve-se o seguinte resultado disposto na tabela abaixo:

PRODUTOS NMERO DE CONSUMIDORES

A 150

B 200

C 250

A e B 70

A e C 90

B e C 80

A, B e C 60

Nenhum dos Trs 180

Pergunta-se:

a) Quantas pessoas consomem apenas o produto A?

b) Quantas pessoas consomem o produto A ou produto B ou o produto C?

c) Quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B?

d) Quantas pessoas consomem apenas o produto C?

e) Quantas pessoas foram consultadas?

8. Uma prova era constituda de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um dos

problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro.

Quantos alunos fizeram a prova?

Exerccios de Fixao

1. Determine os seguintes conjuntos, relacionando seus elementos:

a) A = {x | x letra da palavra cacau}

b) B = {x | x nmero mpar menor que 8}

c) C = {x | x nmero par compreendido entre 1 e 9}

2. Determine os conjuntos X que satisfazem {1, 2} x {1, 2, 3, 4}.

3. Caracterize por meio de uma propriedade de seus elementos os seguintes conjuntos:

a) M = {1, 3, 5, 7, 9}

b) P = {100, 200, 300, 400}

c) S = {0, 2, 4, 6, ..., 300}

4. Determine todos os subconjuntos de A = {0, 1, 2, 3, 4} com trs elementos.

5. Dado A = {1, 2, 3}, determine P(A).




18

6. Dados A = {1, 3, 5}, B = {0, 1, 2, 4}, E = {2, 4} e F = {3, 5}, calcule:

a) (A B) E

b) (A B) F

c) (A B E) (E F)

d) (A B) (E F) e) CBE CAF

f) (F A) (E B)

7. Associe V ou F a cada uma das seguintes afirmaes, conforme ela seja verdadeira ou falsa: a) A (A B)

b) A (A B)

c) (A B) A

d) (A B)

e) (A B) (A B)

f) (A B) (A B)

8. Sendo A o conjunto dos divisores naturais de 18 e B o conjunto dos divisores naturais de 30,

escreva:

a) o conjunto A.

b) o conjunto B.

c) o conjunto dos divisores comuns de 18 e 30.

d) o mximo divisor comum de 18 e 30.

9. Sabe-se que: A B C = {n | 1 n 10}

A B = {2, 3, 8}

A C = {2, 7}

B C = {2, 5, 6}

A B = {n | 1 n 8}

Determine o conjunto C.

10. Analisando-se as carteiras de vacinao das 84 crianas de uma creche, verificou-se que 68

receberam vacina Sabin, 50 receberam vacina contra sarampo e 12 no foram vacinadas.

Quantas dessas crianas receberam as duas vacinas?

11. Segundo a teoria, um conjunto com m elementos tem exatamente 2m subconjuntos. Usando

este resultado, determine o nmero de elementos do conjunto A, sabendo-se que:

1. B um conjunto de trs elementos;

2. A B vazio;

3. o nmero de subconjuntos de A B 32.

12. Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 so homens ou jogam xadrez e 3

mulheres jogam xadrez. Calcule o nmero de homens que no jogam xadrez.




19

13. Considere os pacientes com AIDS classificados em trs grupos de risco: hemoflicos,

homossexuais e toxicmanos. Num certo pas, de 75 pacientes, verificou-se que:

41 so homossexuais;

9 so homossexuais e hemoflicos, e no so toxicmanos;

7 so homossexuais e toxicmanos, e no so hemoflicos;

2 so hemoflicos e toxicmanos, e no so homossexuais;

6 pertencem apenas ao grupo de risco dos toxicmanos;

o nmero de pacientes que so apenas hemoflicos igual ao nmero de pacientes que so

apenas homossexuais;

o nmero de pacientes que pertencem simultaneamente aos trs grupos de risco a

metade do nmero de pacientes que no pertencem a nenhum dos grupos de risco.

Quantos pacientes pertencem simultaneamente aos trs grupos de risco?




20

Smbolos - Significado:

Definies:

Nmeros reais ( ) so nmeros usados para representar uma quantidade contnua (incluindo o zero e os negativos).

Nmeros naturais ( ) so nmeros inteiros no-negativos (0, 1, 2, 3, ...).

Nmeros inteiros ( ) so aqueles somente constitudos dos nmeros naturais {0, 1, 2, ...} e

dos seus opostos {-1, -2, -3, ...}.

Nmeros racionais ( ) so todos os nmeros que podem ser representados por uma razo (ou

frao) entre dois nmeros inteiros.

Nmeros primos so nmeros naturais maiores que 1 cujos nicos divisores naturais so 1 e o prprio nmero.

| significa tal que

significa existe ao menos um

significa existe um nico

significa qualquer que seja ou para todo

significa implica

significa equivalente

significa pertence

significa no pertence

significa diferente

significa vazio

significa naturais

* significa naturais excluindo o zero

significa est contido

significa contm

significa no est contido

significa no contm

significa unio

significa interseco

significa portanto

significa menor ou igual

significa maior ou igual

Documents

Matemática Discreta - Capítulo 1 - Conjuntos