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Matemtica e Raciocnio Lgico

Professor Edgar Abreu

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Raciocnio Lgico

PROPOSIO

PROPOSIO SIMPLES

Um argumento uma sequncia de proposies na qual uma delas a concluso e as demais so premissas. As premissas justificam a concluso.

Proposio: Toda frase que voc consiga atribuir um valor lgico proposio, ou seja, frases que podem ser verdadeiras ou falsas.

Exemplos:

1) Ed feliz.

2) Joo estuda.

3) Zambeli desdentado

No so proposies frases onde voc no consegue julgar, se verdadeira ou falsa, por exemplo:

1) Vai estudar?

2) Mas que legal!

Sentena: Nem sempre permite julgar se verdadeiro ou falso. Pode no ter valor lgico.

Frases interrogativas, no imperativo, exclamativas e com sujeito indeterminado, no so proposies.

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Sentenas Abertas: So sentenas nas quais no podemos determinar o sujeito. Uma forma simples de identific-las o fato de que no podem ser nem Verdadeiras nem Falsas. Essas sentenas tambm no so proposies

Aquele cantor famoso.

A + B + C = 60.

Ela viajou.

QUESTO COMENTADA

(Cespe Banco do Brasil 2007) Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies.

I A frase dentro destas aspas uma mentira.

II A expresso X + Y positiva.

III O valor de

IV Pel marcou dez gols para a seleo brasileira.

V O que isto?

Soluo:

Item I: No possvel atribuir um nico valor lgico para esta sentena, j que se considerar que verdadeiro, teremos uma resposta falsa (mentira) e vice-versa. Logo no proposio.

Item II: Como se trata de uma sentena aberta, onde no esto definidos os valores de X e Y, logo tambm no proposio.

Item III: Como a expresso matemtica no contm varivel, logo uma proposio, conseguimos atribuir um valor lgico, que neste caso seria falso.

Item IV: Uma simples proposio, j que conseguimos atribuir um nico valor lgico.

Item V: Como trata-se de uma interrogativa, logo no possvel atribuir valor lgico, assim no proposio.

Concluso: Errado, pois existem apenas 2 proposies, Item III e IV.

PROPOSIES COMPOSTAS

Proposio Composta a unio de proposies simples por meio de um conector lgico. Este conector ir ser decisivo para o valor lgico da expresso.

Proposies podem ser ligadas entre si por meio de conectivos lgicos. Conectores que criam novas sentenas mudando ou no seu valor lgico (Verdadeiro ou Falso).

Uma proposio simples possui apenas dois valores lgicos, verdadeiro ou falso.

Raciocnio Lgico Proposio Prof. Edgar Abreu

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J proposies compostas tero mais do que 2 possibilidades distintas de combinaes dos seus valores lgicos, conforme demonstrado no exemplo abaixo:Consideramos as duas proposies abaixo, chove e faz frioChove e faz frio.

Cada proposio existe duas possibilidades distintas, falsa ou verdadeira, numa sentena composta teremos mais de duas possibilidades.

E se caso essa sentena ganhasse outra proposio, totalizando agora 3 proposies em uma nica sentena:Chove e faz frio e estudo.

A sentena composta ter outras possibilidades,

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PARA GABARITAR

possvel identificar quantas possibilidades distintas teremos de acordo com o nmero de proposio em que a sentena apresentar. Para isso devemos apenas elevar o numero 2 a quantidade de proposio, conforme o raciocnio abaixo:

Proposies Possibilidades

1 2

2 4

3 8

n 2n

QUESTO COMENTADA

(CESPE Banco do Brasil 2007) A proposio simblica P Q V R possui, no mximo, 4 avaliaes.

Soluo:

Como a sentena possui 3 proposies distintas (P, Q e R), logo a quantidade de avaliaes ser dada por:

2proposies = 23= 8

Resposta: Errado, pois teremos um total de 8 avaliaes.

Raciocnio Lgico Proposio Prof. Edgar Abreu

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Slides Proposio

Prova: UESPI - 2014 - PC-PI - Escrivo de Polcia Civil Assinale, dentre as alterna>vas a seguir, aquela que NO caracteriza uma proposio. a) 107 - 1 divisvel por 5 b) Scrates estudioso. c) 3 - 1 > 1 d) e) Este um nmero primo.

Prova: CESPE - 2014 - MEC - Todos os Cargos Considerando a proposio P: Nos processos sele?vos, se o candidato for ps-graduado ou souber falar ingls, mas apresentar deficincias em lngua portuguesa, essas deficincias no sero toleradas, julgue os itens seguintes acerca da lgica sentencial. A tabela verdade associada proposio P possui mais de 20 linhas ( ) Certo ( )Errado

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Prova: CESPE - 2013 - SEGER-ES - Analista Execu

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Raciocnio Lgico

NEGAO SIMPLES

1. der Feio.Como negamos essa frase?

Para quem, tambm disse: der bonito, errou. Negar uma proposio no significa dizer o oposto, mas sim escrever todos os casos possveis diferentes do que est sugerido.

der NO feio.

A negao de uma proposio uma nova proposio que verdadeira se a primeira for falsa e falsa se a primeira for verdadeira

PARA GABARITARPara negar uma sentena acrescentamos o no, sem mudar a estrutura da frase.

2. Maria Rita no louca.

Negao: Maria Rita louca.

Para negar uma negao exclumos o no

Simbologia: Assim como na matemtica representamos valores desconhecidos por x, y, z... Na lgica tambm simbolizamos frases por letras. Exemplo:

Proposio: Z

Para simbolizar a negao usaremos ~ ou .

Negao: der no feio.

Simbologia: ~ Z.

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Proposio: ~ A

Negao: Aline louca.

Simbologia: ~ (~A)= A

p= Thiago Machado gosta de matemtica.

~p = Thiago Machado no gosta de matemtica.

Caso eu queira negar que Thiago Machado no gosta de matemtica a frase voltaria para a proposio p, Thiago Machado gosta de matemtica.

~p = Thiago Machado no gosta de matemtica.

~(~p) = No verdade que Thiago Machado no gosta de matemtica.

ou

~(~p) = Thiago Machado gosta de matemtica.

EXCEESCuidado, em casos que s existirem duas possibilidades, se aceita como negao o "contrrio", alternando assim a proposio inicial. Exemplo:

p: Joo ser aprovado no concurso.

~p: Joo ser reprovado no concurso

q: O deputado foi julgado como inocente no esquema "lava-jato".

~q: O deputado foi julgado como culpado no esquema "lava jato".

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Raciocnio Lgico

CONECTIVOS LGICOS

Um conectivo lgico (tambm chamado de operador lgico) um smbolo ou palavra usado para conectar duas ou mais sentenas (tanto na linguagem formal quanto na linguagem natural) de uma maneira gramaticalmente vlida, de modo que o sentido da sentena composta produzida dependa apenas das sentenas originais.

Muitas das proposies que encontramos na prtica podem ser consideradas como construdas a partir de uma, ou mais, proposies mais simples por utilizao de uns instrumentos lgicos, a que se costuma dar o nome de conectivos, de tal modo que o valor de verdade da proposio inicial fica determinado pelos valores de verdade da ou das, proposies mais simples que contriburam para a sua formao.

Os principais conectivos lgicos so:

I "e" (conjuno).

II "ou" (disjuno).

III "se...ento" (implicao).

IV "se e somente se" (equivalncia).

CONJUNO E

Proposies compostas ligadas entre si pelo conectivo e.

Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por ^.

Exemplo:

Chove e faz frio

Tabela verdade: Tabela verdade uma forma de analisarmos a frase de acordo com suas possibilidades, o que aconteceria se cada caso acontecesse.

Exemplo:

Fui aprovado no concurso da PF e Serei aprovado no concurso da PRF

Proposio 1: Fui aprovado no concurso da PF.

Proposio 2: Serei aprovado no concurso da PRF.

Conetivo: e.

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Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de ^.

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p^q.

Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p: No fui aprovado no concurso da PF.q: Serei aprovado no concurso da PRF.

H2:

p: Fui aprovado no concurso da PF.q: No serei aprovado no concurso da PRF.

H3:

p: No fui aprovado no concurso da PF.q: No serei aprovado no concurso da PRF.

H4:

p: Fui aprovado no concurso da PF.q: Serei aprovado no concurso da PRF.

Tabela Verdade: Aqui vamos analisar o resultado da sentena como um todo, considerando cada uma das hipteses acima.

p q P ^ Q

H1 F V F

H2 V F F

H3 F F F

H4 V V V

Concluso

Raciocnio Lgico Conectivo E (Conjuno) Prof. Edgar Abreu

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Slides Conectivo E (Conjuno)

1. Prova: CESPE - 2014 - TJ-SE - Tcnico Judicirio

Julgue o item que se segue, relacionado lgica proposicional.

A sentena O reitor declarou estar contente com as polticas relacionadas educao superior adotadas pelo governo de seu pas e com os rumosatuais do movimento estudantil uma proposio lgica simples.( ) Certo ( ) Errado

2. Prova: FCC - 2009 - TJ-SE Tcnico Judicirio

Considere as seguintes premissas:

p : Trabalhar saudvelq : O cigarro mata.

A afirmao "Trabalhar no saudvel" ou "o cigarro mata" FALSA sea) p falsa e ~q falsa.b) p falsa e q falsa.c) p e q so verdadeiras.d) p verdadeira e q falsa.e) ~p verdadeira e q falsa.

Gabarito:1. Errado2. D

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Raciocnio Lgico

DISJUNO OU

Recebe o nome de disjuno toda a proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por v.

Exemplo:

Estudo para o concurso ou assisto o Big Brother.

Proposio 1: Estudo para o concurso.

Proposio 2: assisto o Big Brother.

Conetivo: ou.

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de v.

Assim podemos representar a sentena acima da seguinte forma: p v q.

Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p: Estudo para o concurso.

q: assisto o Futebol.

H2:

p: No Estudo para o concurso.

q: assisto o Futebol.

H3:

p: Estudo para o concurso.

q: No assisto o Futebol...

H4:

p: No Estudo para o concurso.

q: No assisto o Futebol.

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Tabela Verdade:

p q P v QH1 V V VH2 F V VH3 V F VH4 F F F

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Raciocnio Lgico

DISJUNO EXCLUSIVA OU...OU

Recebe o nome de disjuno exclusiva toda a proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou primeira proposio ou segunda proposio. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por v.

Exemplo:

Ou vou a praia ou estudo para o concurso.

Proposio 1: Vou a Praia.

Proposio 2: estudo para o concurso.

Conetivo: ou.

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de " v "

Assim podemos representar a sentena acima da seguinte forma: p v q

Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p: Vou praia.

q: estudo para o concurso do Banco do Brasil.

H2:

p: No Vou praia.

q: estudo para o concurso do Banco do Brasil.

H3:

p: Vou praia.

q: No estudo para o concurso do Banco do Brasil.

H4:

p: No Vou praia.

q: No estudo para o concursodo Banco do Brasil.

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Tabela Verdade:

p q P v QH1 V V FH2 F V VH3 V F VH4 F F F

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Raciocnio Lgico

CONDICIONAL SE...ENTO...

Recebe o nome de condicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo Se... ento, simbolicamente representaremos esse conectivo por .

Em alguns casos o condicional apresentado com uma vrgula substituindo a palavra ento, ficando a sentena com a seguinte caracterstica: Se proposio 1, proposio 2.

Exemplo: Se estudo, ento sou aprovado.

Proposio 1: estudo (Condio Suficiente).

Proposio 2: sou aprovado (Condio Necessria).

Conetivo: se... ento.

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q

Agora vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p: estudo.q: sou aprovado.

H2:

p: No estudo.q: sou aprovado.

H3:

p: No estudo.q: No sou aprovado.

H4:

p: estudo.q: No sou aprovado.

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p q P Q

H1 V V V

H2 F V V

H3 F F V

H4 V F F

A tabela verdade do condicional a mais cobrada em provas de concurso pblico.

A primeira proposio, que compe uma condicional, chamamos de condio suficiente da sentena e a segunda a condio necessria.

No exemplo anterior temos:

Estudo condio necessria para ser aprovado.

Ser aprovado condio suficiente para estudar.

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Raciocnio Lgico

BICONDICIONAL ... SE SOMENTE SE ...

Recebe o nome de bicondicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ... se somente se ... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por . Portanto, se temos a sentena:

Exemplo: Maria compra o sapato se e somente se o sapato combina com a bolsa.

Proposio 1: Maria compra o sapato.

Proposio 2: O sapato combina com a bolsa.

Conetivo: se e somente se.

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de .

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q.

Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p: Maria compra o sapato.

q: O sapato no combina com a bolsa.

H2:

p: Maria no compra o sapato.

q: O sapato combina com a bolsa.

H3:

p: Maria compra o sapato.

q: O sapato combina com a bolsa.

H4:

p: Maria no compra o sapato.

q: O sapato no combina com a bolsa.

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p q P Q

H1 V F F

H2 F V F

H3 V V V

H4 F F V

O bicondicional s ser verdadeiro quando ambas as proposies possurem o mesmo valor lgico, ou quando as duas forem verdadeiras ou as duas proposies forem falsas.

Uma proposio bicondicional pode ser escrita como duas condicionais, como se tivssemos duas implicaes, uma seta da esquerda para direita e outra seta da direita para esquerda, conforme exemplo abaixo:

Neste caso, transformamos um bicondicional em duas condicionais conectadas por uma conjuno. Estas sentenas so equivalentes, ou seja, possuem o mesmo valor lgico.

PARA GABARITAR

SENTENA LGICA VERDADEIROS SE... FALSO SE...

p q p e q so, ambos, verdade um dos dois for falso

p q um dos dois for verdade ambos, so falsos

p q nos demais casos que no for falso p = V e q = F

p q p e q tiverem valores lgicos iguais p e q tiverem valores lgicos diferentes

Raciocnio Lgico Conectivo se e somente se (Bicondicional) Prof. Edgar Abreu

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Slides Conectivo se e somente se (Bicondicional)

1. Prova: FJG - RIO - 2014 - Cmara Municipal -RJ - Analista

Os valores lgicos que devem substituir x, y e z so, respectivamente:

a) V, F e Fb) F, V e Vc) F, F e Fd) V, V e F

P Q ~ Q PV V F

VF

F xV y

F F z

2. Prova: CESPE - 2012 - Banco da Amaznia - Tcnico Cientfico

Com base nessa situao, julgue os itens seguintes.

A especificao E pode ser simbolicamente representada por A[BC], em que A, B eC sejam proposies adequadas e os smbolos e representem, respectivamente,a bicondicional e a disjuno.

( ) Certo ( ) Errado

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3. Prova: CESPE - 2012 - TC-DF - Auditor de Controle Externo

Com a finalidade de reduzir as despesas mensais com energia eltrica na suarepartio, o gestor mandou instalar, nas reas de circulao, sensores de presena ede claridade natural que atendem seguinte especificao:

P: A luz permanece acesa se, e somente se, h movimento e no h claridade natural suficiente no recinto.

Acerca dessa situao, julgue os itens seguintes.

A especificao P pode ser corretamente representada por p (q r ), em que p, q er correspondem a proposies adequadas e os smbolos e representam,respectivamente, a bicondicional e a conjuno

( ) Certo ( ) Errado

Gabarito:1. D2. Certo3. Certo

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Raciocnio Lgico

TAUTOLOGIA

Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, ... que a compem.

Exemplo:

Grmio cai para segunda diviso ou o Grmio no cai para segunda diviso.

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de ~p e o conetivo de v.

Assim podemos representar a sentena acima da seguinte forma: p v ~p.

Agora vamos construir as hipteses:

H1:

p: Grmio cai para segunda diviso.

~p: Grmio no cai para segunda diviso.

H2:

p: Grmio no cai para segunda diviso.

~p: Grmio cai para segunda diviso.

p ~p p v ~p

H1 V F V

H2 F V V

Como os valores lgicos encontrados foram todos verdadeiros, logo temos uma TAUTOLOGIA!

Exemplo 2, verificamos se a sentena abaixo uma tautologia:

Se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo.

p = Joo alto. ppv qq = Guilherme gordo.

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Agora vamos construir a tabela verdade da sentena anterior:

p q p v q p p v q

H1 V F V V

H2 F V V V

H3 F V V V

H4 F F F V

Como para todas as combinaes possveis, sempre o valor lgico da sentena ser verdadeiro, logo temos uma tautologia.

Raciocnio Lgico Tautologia Prof. Edgar Abreu

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Slides Tautologia

1. Prova: Uespi - 2014 - PC-PI - Escrivo de Polcia Civil

Um enunciado uma tautologia quando no puder ser falso, um exemplo :

a) Est fazendo sol e no est fazendo sol.b) Est fazendo sol.c) Se est fazendo sol, ento no est fazendo sol.d) no est fazendo sol.e) Est fazendo sol ou no est fazendo sol.

2. Prova: Cespe - 2014 - TJ-SE - Tcnico Judicirio

Julgue os prximos itens, considerando os conectivos lgicos usuais , , , , e que P, Q e R representam proposies lgicas simples.

A proposio uma tautologia.

( ) Certo ( ) Errado

Gabarito:1. E2. C

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Raciocnio Lgico

CONTRADIO

Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita uma contradio se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, ... que a compem.

Exemplo: Lula o presidente do Brasil e Lula no o presidente do Brasil.

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de ~p e o conetivo de ^.

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p ^ ~p.

p ~p p ^ ~p

H1 V F F

H2 F V F

Logo temos uma CONTRADIO!

PARA GABARITAR Sempre verdadeiro = Tautologia Sempre Falso = Contradio Verdadeiro e Falso = Contigncia

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Raciocnio Lgico

NEGAO DE UMA PROPOSIO COMPOSTA

Agora vamos aprender a negar proposies compostas, para isto devemos considerar que:

Para negarmos uma proposio conjunta devemos utilizar a propriedade distributiva, similar aquela utilizada em lgebra na matemtica.

NEGAO DE UMA DISJUNO.

Negar uma sentena composta apenas escrever quando esta sentena assume o valor lgico de falso, lembrando as nossas tabelas verdade construdas anteriormente.

Para uma disjuno ser falsa (negao) a primeira e a segunda proposio tem que ser falsas, conforme a tabela verdade abaixo, hiptese 4:

p q P QH1 V V V

H2 F V V

H3 V F V

H4 F F F

Assim conclumos que para negar uma sentena do tipo P v Q, basta negar a primeira (falso) E negar a segunda (falso), logo a negao da disjuno (ou) uma conjuno (e).

Exemplo 1:

1. Estudo ou trabalho.

p = estudo.

q = trabalho P Q

Conectivo =

Vamos agora negar essa proposio composta por uma disjuno.

(p q) = p q

No estudo e no trabalho.

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Para negar uma proposio composta por uma disjuno, ns negamos a primeira proposio, negamos a segunda e trocamos ou por e.

Exemplo 2:

No estudo ou sou aprovado.

p = estudo

q = sou aprovado p q~p = no estudo

Conectivo:

Vamos agora negar essa proposio composta por uma disjuno.

(p q) = p q

Lembrando que negar uma negao uma afirmao e que trocamos ou por e e negamos a afirmativa.

Estudo e no sou aprovado.

NEGAO DE UMA CONJUNO.

Vimos no captulo de negao simples que a negao de uma negao uma afirmao, ou seja, quando eu nego duas vezes uma mesma sentena, encontro uma equivalncia.

Vimos que a negao da disjuno uma conjuno, logo a negao da conjuno ser uma disjuno.

Para negar uma proposio composta por uma conjuno, ns devemos negamos a primeira proposio e depois negarmos a segunda e trocamos e por ou.

Exemplo 1:

Vou a praia e no sou apanhado.

p = vou a praia.

q = no sou apanhado p q

Conectivo =

Vamos agora negar essa proposio composta por uma conjuno.

No vou praia ou sou apanhado.

Raciocnio Lgico Negao da conjuno e disjuno inclusiva (Lei de Morgan) Prof. Edgar Abreu

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PARA GABARITARVejamos abaixo mais exemplo de negaes de conjuno e disjuno:

~(p v q) = ~(p) ~(v) ~(q) = (~p ~q)

~(~p v q) = ~(~p) ~(v) ~(q) = (p ~q)

~(p~q) = ~(p) ~() ~(~q) = (~p v q)

~(~p ~q) = ~(~p) ~() ~(~q) = (p v q)

Na linguagem falada ou escrita, o elemento primitivo a sentena, ou proposio simples, formada basicamentepor um sujeito e um predicado. Nessas consideraes, esto includas apenas as proposies afirmativas ounegativas, excluindo, portanto, as proposies interrogativas, exclamativas etc. S so consideradas proposiesaquelas sentenas bem definidas, isto , aquelas sobre as quais pode decidir serem verdadeiras (V) ou falsas (F).Toda proposio tem um valor lgico, ou uma valorao, V ou F, excluindo-se qualquer outro. As proposies serodesignadas por letras maisculas A, B, C etc. A partir de determinadas proposies, denominadas proposiessimples, so formadas novas proposies, empregando-se os conectivos e, indicado por v, ou, indicado por w,se ... ento, indicado por , se ... e somente se, indicado por . A relao AB significa que (AB) v (BA).Emprega-se tambm o modificador no, indicado por . Se A e B so duas proposies, constroem-se astabelas-verdade, como as mostradas abaixo, das proposies compostas formadas utilizando-se dos conectivos emodificadores citados a coluna correspondente a determinada proposio composta a tabelaverdade daquelaproposio.

1. Prova: CESPE 2008 - TRT 5 Regio(BA) - Tc. Judicirio

A B R

V V F

V F F

F V F

F F V

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H expresses s quais no se pode atribuir um valor lgico V ou F, por exemplo: Ele juiz do TRT da 5.Regio, ou x + 3 = 9. O sujeito uma varivel que pode ser substitudo por um elemento arbitrrio,transformando a expresso em uma proposio que pode ser valorada como V ou F. Expresses dessa formaso denominadas sentenas abertas, ou funes proposicionais. Pode-se passar de uma sentena aberta auma proposio por meio dos quantificadores qualquer que seja, ou para todo, indicado por oe, eexiste, indicado por . Por exemplo: a proposio (oex)(x 0 R)(x + 3 = 9) valorada como F, enquanto aproposio (x)(x 0 R)(x + 3 = 9) valorada como V. Uma proposio composta que apresenta em suatabelaverdade somente V, independentemente das valoraes das proposies que a compem, denominada logicamente verdadeira ou tautologia. Por exemplo, independentemente das valoraes V ou Fde uma proposio A, todos os elementos da tabela-verdade da proposio Aw(A) so V, isto , Aw(A) uma tautologia.

Considerando as informaes do texto e a proposio P: "Mrio pratica natao e jud", julgue os itens seguintes.

A negao da proposio P a proposio R: Mrio no pratica natao nem jud, cuja tabela-verdade a apresentada ao lado.

Certo Errado

2. Prova: FCC - 2014 - AL-PE - Agente Legislativo

A negao da frase Ele no artista, nem jogador de futebol equivalente a:

a) ele artista ou jogador de futebol.b) ele artista ou no jogador de futebol.c) no certo que ele seja artista e jogador de futebol.d) ele artista e jogador de futebol.e) ele no artista ou no jogador de futebol.

Gabarito:1. E2. A

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Raciocnio Lgico

NEGAO DE UMA CONDICIONAL

Conforme citamos anteriormente, negar uma proposio composta escrever a(s) linha(s) em que a tabela verdade tem como resultado falso.

Sabemos que uma condicional s ser falsa, quando a primeira proposio for verdadeira e a segunda for falsa.

Assim para negarmos uma sentena composta com condicional, basta repetir a primeira proposio (primeira verdadeira), substituir o conetivo se...ento por e e negar a segunda proposio (segunda falsa).

Vejamos um exemplo:

1. Se bebo ento sou feliz.

p = bebo. p qq = sou feliz.

Conectivo =

Negao de uma condicional.

~ (p q) = p ~ q

Resposta: Bebo e no sou feliz.

2. Se no estudo ento no sou aprovado.

p = estudo.

~p = no estudo. ~p~qq = sou aprovado.

~q = no sou aprovado

Conectivo =

Negando: ~(~p~q)=~pq

Resposta: No estudo e sou aprovado.

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3. Se estudo ento sou aprovado ou o curso no ruim.

p = estudo.

q = sou aprovado. pq~rr = curso ruim.

~r = curso no ruim.

Negando, ~(pq~r).

Negamos a condicional, mantm a primeira e negamos a segunda proposio, como a segunda proposio uma disjuno, negamos a disjuno, usando suas regras (negar as duas proposies trocando ou por e).

~(pq~r)=p~(q~r)=p~qr.

Estudo e no sou aprovado e o curso ruim.

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Raciocnio Lgico

NEGAO DE UMA BICONDICIONAL

Existe duas maneiras de negar uma bicondicional. Uma a trivial onde apenas substitumos o conetivo bicondiciona pela disjuno exclusiva, conforme exemplo abaixo:

Sentena: Estudo se e somente se no vou praia.

p = estudo.q = vou praia. ~[ p ~ q ] = [ p ~ q ]~ q = no vou praia

Conectivo =

Logo sua negao ser: Ou Estudo ou no vou praia.

A segunda maneira de negar uma bicondicional utilizando a propriedade de equivalncia e negando as duas condicionais, ida e volta, temos ento que negar uma conjuno composta por duas condicionais.

Negamos a primeira condicional ou negamos a segunda, usando a regra da condicional em cada uma delas.

Exemplo 1:

Estudo se e somente se no vou praia.

p = estudo.q = vou praia. p ~ q = [ p ~ q ] [ ~ q p]~ q = no vou praia

Conectivo =

Uma bicondicional so duas condicionais, ida e volta.

Negando,

~ (p ~ q) = ~ [[p ~ q] [~ q p]] =

~ [p ~ q] ~ [~ q p ]

p q ~ q ~ p.

Estudo e vou praia ou no vou praia e no estudo.

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Raciocnio Lgico

EQUIVALNCIA DE UMA CONDICIONAL

Vamos descobrir qual a sentena equivalente a uma condicional, negando duas vezes a mesma sentena.

Exemplo: Se estudo sozinho ento sou autodidata.

Simbolizando temos:

p = estudo sozinho p qp = sou autodidata

conectivo =

Simbolicamente: p q

Vamos negar, ~ [ p q ] = p ~ q

Agora vamos negar a negao para encontrarmos uma equivalncia.

Negamos a negao da condicional ~ [p ~ q] = ~ p q

Soluo: No estudo sozinho ou sou autodidata.

Mas ser mesmo que estas proposies, p q e ~ p q so mesmo equivalentes? Veremos atravs da tabela verdade.

p Q ~p p q ~ p v q

V V F V V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

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Perceba na tabela verdade que p q e ~ p q tem o mesmo valor lgico, assim essas duas proposies so equivalentes.

Exemplo 2: Vamos encontrar uma proposio equivalente a sentena Se sou gremista ento no sou feliz.

p = Sou gremista.q = Sou feliz. p ~ q~ q = No sou feliz.

Negao: ~ [ p ~ q ] = p q

Sou gremista e sou feliz.

Equivalncia: negao da negao.

~ [ p ~ q ] = p q

~ [ p q ] = p ~ q

Logo, No sou gremista ou no sou feliz uma sentena equivalente.

Exemplo 3: Agora procuramos uma sentena equivalente a Canto ou no estudo.

c = Canto.e = Estudo .c~ e~ e = No estudo.

Negao: ~ [ c ~ e ] = ~ c e

Equivalncia: Negar a negao: ~ [ ~ c e ] = c ~e

Voltamos para a mesma proposio, tem algo errado, teremos que buscar alternativa. Vamos l:

Vamos para a regra de equivalncia de uma condicional.

p q = ~ p q

, podemos mudar a ordem da igualdade.

~ p q = p q

Veja que o valor lgico de p mudou e q continuou com o mesmo valor lgico.

Usando a regra acima vamos transformar a proposio inicial composta de uma disjuno em numa condicional.

c ~ e = p q

Para chegar condicional, mudo o valor lgico de p,

Raciocnio Lgico Equivalncia de uma Condicional e Disjuno Inclusiva Prof. Edgar Abreu

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Troco ou por se...ento e mantenho o valor lgico de q, ficando

Se no canto ento no estudo.

Exemplo 4: Estudo ou no sou aprovado. Qual a sentena equivalente?

e = Estudo.a = Sou aprovado. e~ a~ a = No sou aprovado.

Dica: quando for ou a equivalncia sempre ser se...ento.

Assim, temos que transformar ou em se...ento. Mas como?

p q = ~ p q (equivalentes), vamos inverter.

~ p q = p q

Inverte o primeiro e mantm o segundo, trocando ou por se...ento, transferimos isso para nossa proposio.

e ~ a = ~ e ~ a

Trocamos e por ~ e, mantemos ~ a e trocamos " " por " ".

Logo, Se no estudo ento no sou aprovado.

No podemos esquecer que ou comutativo, assim a opo de resposta pode estar trocada, ento atente nisto, ao invs de e ~ a pode ser ~ a e , assim a resposta ficaria:

Se sou aprovado ento estudo.

Quaisquer das respostas estaro certas, ento muita ateno!

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Raciocnio Lgico

CONTRAPOSITIVA

Utilizamos como exemplo a sentena abaixo:

Se estudo lgica ento sou aprovado

p = estudo lgica. p qq = sou aprovado.

Vamos primeiro negar esta sentena:

(p q) = p q

Lembrando da tabela verdade da conjuno e, notamos que a mesma comutativa, ou seja, se alterarmos a ordem das premissas o valor lgico da sentena no ser alterado. Assim vamos reescrever a sentena encontrada na negao, alterando o valor lgico das proposies.

p q = q p

Agora vamos negar mais uma vez para encontrar uma equivalncia da primeira proposio.

(q p) q p

Agora vamos utilizar a regra de equivalncia que aprendemos anteriormente.

Regra:p q p q

Em nosso exemplo temos:q p q p

Logo encontramos uma outra equivalncia para a nossa sentena inicial.

Esta outra equivalncia chamamos de contrapositiva e muito fcil de encontrar, basta comutar as proposies (trocar a ordem) e negar ambas.

p q = q pExemplo 2: Encontrar a contrapositiva (equivalente) da proposio Se estudo muito ento minha cabea di

p = estudo muito. p qq = minha cabea di.

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Encontramos a contrapositiva, invertendo e negando ambas proposies.p q = q p

Logo temos que: Se minha cabea no di ento no estudo muito.

PARA GABARITAR

EQUIVALNCIA 1: p q = p q

EQUIVALNCIA 2: p q = q p (contrapositiva)

Raciocnio Lgico Equivalncia Contrapositiva Prof. Edgar Abreu

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Slides Equivalncia Contrapositiva

''

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Raciocnio Lgico

EQUIVALNCIA BICONDICIONAL E CONDICIONAL

Recebe o nome de bicondicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ... se somente se... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por . Portanto, se temos a sentena:

Exemplo: Estudo se e somente se sou aprovado

Proposio 1: Estudo.

Proposio 2: Sou aprovado.

Conetivo: se e somente se.

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q

Sua tabela verdade :

p q p q

H1 V F F

H2 F V F

H3 V V V

H4 F F V

Uma proposio bicondicional pode ser escrita como duas condicionais, como se tivssemos duas implicaes, uma seta da esquerda para direita e outra seta da direita para esquerda, conforme exemplo abaixo:

Neste caso, transformamos um bicondicional em duas condicionais conectadas por uma conjuno. Estas sentenas so equivalentes, ou seja, possuem o mesmo valor lgico.

p q p q p q (p q) (p q) p q

V V V V V V

F F V V V V

F V V F F F

V F F V F F

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Raciocnio Lgico

QUANTIFICADORES LGICOS

Chama-se argumento a afirmao de que um grupo de proposies iniciais redunda em uma outra proposio final, que ser conseqncia das primeiras. Estudaremos aqui apenas os argumentos que podemos resolver por diagrama, contendo as expresses: Todo, algum, nenhum ou outras similares.

Um argumento vlido tem obrigatoriamente a concluso como consequncia das premissas. Assim, quando um argumento vlido, a conjuno das premissas verdadeiras implica logicamente a concluso.

Exemplo: Considere o silogismo abaixo:

1. Todo aluno da Casa do Concurseiro aprovado.

2. Algum aprovado funcionrio da defensoria.

Concluso:

Existem alunos da casa que so funcionrios da defensoria.

Para concluir se um silogismo verdadeiro ou no, devemos construir conjuntos com as premissas dadas. Para isso devemos considerar todos os casos possveis, limitando a escrever apenas o que a proposio afirma.

Pelo exemplo acima vimos que nem sempre a concluso acima verdadeira, veja que quando ele afirma que existem alunos da casa que so funcionrios da defensoria, ele est dizendo que sempre isso vai acontecer, mas vimos por esse diagrama que nem sempre acontece.

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Nesse diagrama isso acontece, mas pelo dito na concluso, sempre vai existir, e vimos que no, logo a concluso falsa.

No mesmo exemplo, se a concluso fosse:

Existem funcionrios da defensoria que no so alunos da casa.

Qualquer diagrama que fizermos (de acordo com as premissas) essa concluso ser verdadeira, tanto no diagrama 1 quanto no diagrama 2, sempre vai ter algum de fora do desenho.

Logo, teramos um silogismo!

Silogismo uma palavra cujo significado o de clculo. Etimologicamente, silogismo significa reunir com o pensamento e foi empregado pela primeira vez por Plato (429-348 a.C.). Aqui o sentido adotado o de um raciocnio no qual, a partir de proposies iniciais, conclui-se uma proposio final. Aristteles (384-346 a.C.) utilizou tal palavra para designar um argumento composto por duas premissas e uma concluso.

ALGUM

Vamos representar graficamente as premissas que contenham a expresso algum.

So considerados sinnimos de algum as expresses: existe(m), h pelo menos um ou qualquer outra similar.

Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

Concluses:Existem elementos em A que so B. Existem elementos em B que so A.Existem elementos A que no so B.Existem elementos B que no esto em A.

Raciocnio Lgico Quantificadores Lgicos: Todo, Nenhum e Existe Prof. Edgar Abreu

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NENHUM

Vejamos agora as premissas que contm a expresso nenhum ou outro termo equivalente.

Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

Concluses:

Nenhum A B.

Nenhum B A.

TODO

Vamos representar graficamente as premissas que contenham a expresso todo.

Pode ser utilizado como sinnimo de todo a expresso qualquer um ou outra similar.

Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

Concluso:

Todo A B.

Alguns elementos de B A ou existem B que so A.

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Prova: FGV - 2014 - AL-BA - Tc.Nvel Mdio

Afirma-se que: Toda pessoa gorda come muito.

correto concluir que:

a) se uma pessoa come muito, ento gorda.b) se uma pessoa no gorda, ento no come muito.c) se uma pessoa no come muito, ento no gorda.d) existe uma pessoa gorda que no come muito.e) no existe pessoa que coma muito e no seja gorda.

Gabarito:1. C

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Raciocnio Lgico

NEGAO DE TODO, ALGUM E NENHUM

As Proposies da forma Algum A B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.

As Proposies da forma Todo A B estabelecem que o conjunto A um subconjunto de B. Note que no podemos concluir que A = B, pois no sabemos se todo B A.

Como negamos estas Proposies:

Exemplos:

1. Toda mulher friorenta.

Negao: Alguma mulher no friorenta

2. Algum aluno da casa ser aprovado.

Negao: Nenhum aluno da casa vai ser aprovado.

3. Nenhum gremista campeo.

Negao: Pelo menos um gremista campeo.

4. Todos os estudantes no trabalham

Negao: Algum estudante trabalha.

PARA GABARITAR

Cuide os sinnimos como por exemplo, existem, algum e etc.

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1. Prova: Instituto AOCP 2014 UFGD Analista de Tecnologia da Informao

Assinale a alternativa que apresenta a negao de Todosos pes so recheados.

a) Existem pes que no so recheados.b) Nenhum po recheado.c) Apenas um po recheado.d) Pelo menos um po recheado.e) Nenhuma das alternativas.

2. Prova: FJG-RIO 2014 Cmara Municipal do Rio de Janeiro Analista Legislativo

Seja a seguinte proposio: existem pessoas que no acordam cedo e comem demais no almoo.

A negao dessa proposio est corretamente indicada na seguinte alternativa:

a) Todas as pessoas acordam cedo ou no comem demais no almoo.b) No existem pessoas que comem demais no almoo.c) No existem pessoas que acordam cedo.d) Todas as pessoas que no acordam cedo comem demais no almoo.

Raciocnio Lgico Negao Todo, Nenhum e Existe Prof. Edgar Abreu

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3. Prova: CESPE 2014 Cmara dos Deputados Tcnico Legislativo

Considerando que P seja a proposio Se o bem pblico, entono de ningum, julgue os itens subsequentes.

A negao da proposio P est corretamente expressa por Obem pblico e de todos.

( ) Certo ( ) Errado

4. Prova: FGV - 2013 TJ/AM - Analista Judicirio - Servio Social

Jos afirmou: Todos os jogadores de futebol que no so ricos jogamno Brasil ou jogam mal.

Assinale a alternativa que indica a sentena que representa a negao do queJos afirmou:

a) Nenhum jogador de futebol que no rico joga no Brasil ou joga mal.b) Todos os jogadores de futebol que no jogam no Brasil e no jogam mal.c) Algum jogador de futebol que no rico no joga no Brasil e no joga mal.d) Algum jogador de futebol rico mas joga no Brasil ou joga mal.e) Nenhum jogador de futebol que rico joga no Brasil ou joga mal.

Gabarito:1. A2. A3. Errado4. C

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Raciocnio Lgico

SILOGISMO

Silogismo Categrico uma forma de raciocnio lgico na qual h duas premissas e uma concluso distinta destas premissas, sendo todas proposies categricas ou singulares. Existem casos onde teremos mais de duas premissas.Devemos sempre considerar as premissas como verdadeira e tentar descobrir o valor lgico de cada uma das proposies, com objetivo de identificar se a concluso ou no verdadeira.Sempre que possvel devemos comear nossa linha de raciocnio por uma proposio simples ou se for composta conectada pela conjuno e.Abaixo um exemplo de como resolver uma questo envolvendo silogismo.

QUESTO COMENTADA(FCC: BACEN - 2006) Um argumento composto pelas seguintes premissas:

I Se as metas de inflao no so reais, ento a crise econmica no demorar a ser superada.II Se as metas de inflao so reais, ento os supervits primrios no sero fantasioso.III Os supervits sero fantasiosos.Para que o argumento seja vlido, a concluso deve ser:

a) A crise econmica no demorar a ser superada.b) As metas de inflao so irreais ou os supervits sero fantasiosos.c) As metas de inflao so irreais e os supervits so fantasiosos.d) Os supervits econmicos sero fantasiosos.e) As metas de inflao no so irreais e a crise econmica no demorar a ser

superada.

Soluo:

Devemos considerar as premissas como verdadeiras e tentar descobrir o valor lgico de cada uma das proposies.Passo 1: Do portugus para os smbolos lgicos.

I Se as metas de inflao no so reais, ento a crise econmica no demorar a ser superada

~ P Q ~

II Se as metas de inflao so reais, ento os supervits primrios no sero fantasiosos.

~ P R ~

III Os supervits sero fantasiosos.

Passo 2: Considere as premissas como verdade.

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PREMISSA 1 PREMISSA 2 PREMISSA 3

VERDADE VERDADE VERDADE

~ P ~ Q ~ P ~ R R

No possvel determinar o valor lgico de P e Q, j

que existem 3 possibilidades distintas que torna o

condicional verdadeiro.

No possvel determinar o valor lgico de P e Q, j

que existem 3 possibilidades distintas que torna o

condicional verdadeiro.

CONCLUSO: R=V

Passo 3: Substitui a premissa 3 em 2 e analise.

Como na premissa 3 vimos que R V logo ~ R = F. Como P uma proposio, o mesmo pode ser F ou V.

Vamos testar:

P ~ R P ~ RF F F V F

V F V F F

Como a premissa 2 verdade e caso a proposio P tenha valor V teremos uma premissa falsa, logo chegamos a concluso que P = F.

Passo 3: Substitui a premissa 2 em 1 e analise.

Como na premissa 2 vimos que P F logo ~ P = V. Como Q uma proposio, o mesmo pode ser F ou V. Analisando o condicional temos:

~ P ~ QV V V

V F F

Logo ~ Q = V, assim Q = F

Passo 4: Traduzir as concluses para o portugus.

Premissa 1: P = F

as metas de inflao no so reais.

Premissa 2: Q = F

crise econmica no demorar a ser superada.

Concluso: Alternativa A

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Slides

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Raciocnio Lgico

ARGUMENTO COM QUANTIFICADORES VLIDO SILOGISMO

QUESTO COMENTADA

FCC: TCE-SP 2010

Considere as seguintes afirmaes:

I Todo escriturrio deve ter noes de Matemtica.

II Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo so escriturrios.

Se as duas afirmaes so verdadeiras, ento correto afirmar que:

a) Todo funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo deve ter noes de Matemtica.

b) Se Joaquim tem noes de Matemtica, ento ele escriturrio.c) Se Joaquim funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo, ento ele

escriturrio.d) Se Joaquim escriturrio, ento ele funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So

Paulo.e) Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo podem no ter noes

de Matemtica.

Resoluo:

Primeiramente vamos representar a primeira premissa.

I Todo escriturrio deve ter noes de Matemtica.

II Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo so escriturrios.

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Vejamos uma hiptese para a segunda premissa.

Vamos considerar agora a possibilidade de todos os funcionrios terem noes de Matemtica, ficamos agora com duas possibilidades distintas.

Analisamos agora as alternativas:

Alternativa A: Todo funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo deve ter noes de Matemtica

Soluo:

Observe que o nosso smbolo representa um funcionrio do TCE que no possui noo de matemtica. Logo a concluso precipitada.

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Alternativa B: Se Joaquim tem noes de Matemtica, ento ele escriturrio.

Soluo:

O ponto em destaque representa algum que possui noo de matemtica, porm no escriturrio, logo a concluso precipitada e est errada.

Alternativa C: Se Joaquim funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo, ento ele escriturrio.

Soluo:

O ponto em destaque representa algum que possui funcionrio do TCE, porm no escriturrio, logo a concluso precipitada e est errada.

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Alternativa D: Se Joaquim escriturrio, ento ele funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo.

Soluo:

O ponto em destaque representa algum que escriturrio, porm no funcionrio do TCE, logo a concluso precipitada e est alternativa est errada.

Alternativa E: Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo podem no ter noes de Matemtica.

Soluo:

O ponto em destaque representa um funcionrio do TCE que no tem noo de matemtica, como a questo afirma que podem, logo est correta.

Raciocnio Lgico Argumento com Quantificadores Vlidos (Silogismo) Prof. Edgar Abreu

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Prova: IESES - 2014 - IGP-SC - Auxiliar Pericial Criminalstico

Considere que as seguintes frases so verdadeiras e assinale a alternativa correta:

- Algum policial alto; - Todo policial educado.

a) Todo policial educado alto.b) Algum policial alto no educado.c) Algum policial no educado alto.d) Algum policial educado alto.

Prova: FDRH - 2008 - IGP-RS - Papiloscopista Policial

Considere os argumentos abaixo:

I Todos os gatos so pretos. Alguns animais pretos mordem. Logo, alguns gatos mordem.

II Se 11 um nmero primo, ento, 8 no um nmero par. Ora 8 um nmero par, portanto, 11 no um nmero primo.

III Todos os X so Y. Todos os Z so Y. Alguns X esto quebrados. Logo, alguns Y esto quebrados.

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Quais so vlidos?

a) Apenas o I.b) Apenas o II. c) Apenas o III.d) Apenas o II e o III. e) O I, o II e o III.

Gabarito:1. D2. D

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Matemtica Financeira

PORCENTAGEM TAXA UNITRIA

DEFINIO: Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa unitria.

A taxa unitria importante para nos auxiliar a desenvolver todos os clculos em matemtica financeira.

Pense na expresso 20% (vinte por cento), ou seja, esta taxa pode ser representada por uma frao, cujo o numerador igual a 20 e o denominador igual a 100.

COMO FAZER AGORA A SUA VEZ:

15%20%4,5%254%0%

22,3%60%6%

10% = 10100

= 0,10

20% = 20100

= 0,20

5% = 5100

= 0,05

38% = 38100

= 0,38

1,5% = 1,5100

= 0,015

230% = 230100

= 2,3

FATOR DE CAPITALIZAO

Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual o novo valor deste produto?

Claro que se no soubermos o valor inicial deste produto fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmao a seguir:

O produto valia 100% sofreu um aumento de 20%, logo est valendo 120% do seu valor inicial.

Como vimos no tpico anterior (1.1 taxas unitrias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para determinarmos o novo preo deste produto, aps o acrscimo.

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Fator de Capitalizao = 120100

= 1,2

O Fator de capitalizao trata-se de um nmero no qual devo multiplicar o meu produto para obter como resultado final o seu novo preo, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar.

Assim se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo fator de capitalizao 1,2 para conhecer seu novo preo, neste exemplo ser de R$ 60,00.

CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAO: Basta somar 1 com a taxa unitria, lembre-se que 1 = 100/100 = 100%

COMO CALCULAR:

o Acrscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/ 100 = 1,45

o Acrscimo de 20% = 100% + 20% = 120% = 120/ 100 = 1,2

ENTENDENDO O RESULTADO:

Para aumentar o preo do meu produto em 20% devo multiplicar por 1,2.

Exemplo: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acrscimo de 20% passar a custar 1.500 x 1,2 (fator de capitalizao para 20%) = R$ 1.800,00.

COMO FAZER:

Acrscimo de 30% = 100% + 30% = 130% = 130100

= 1,3

Acrscimo de 15% = 100% + 15% = 115% = 115100

= 1,15

Acrscimo de 3% = 100% + 3% = 103% = 103100

= 1,03

Acrscimo de 200% = 100% + 200% = 300% = 300100

= 3

Matemtica Financeira Porcentagem Prof. Edgar Abreu

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1. AGORA A SUA VEZ:

Acrscimo Clculo Fator

15%

20%

4,5%

254%

0%

22,3%

60%

6%

FATOR DE DESCAPITALIZAO

Vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual o novo valor deste produto?

Claro que se no soubermos o valor inicial deste produto fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmao a seguir:

O produto valia 100% sofreu um desconto de 20%, logo est valendo 80% do seu valor inicial.

Como vimos no tpico anterior (1.1 taxas unitrias), podemos calcular qual o fator que conseguimos utilizar para aferir o novo preo deste produto, aps o acrscimo.

Fator de Descapitalizao = 80100

= 0,8

O Fator de descapitalizao trata-se de um nmero no qual devo multiplicar o meu produto para obter como resultado final o seu novo preo, considerando o percentual de desconto que desejo utilizar.

Assim se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo fator de descapitalizao 0,8 para conhecer seu novo preo, neste exemplo ser de R$ 40,00.

CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAO: Basta subtrair o valor do desconto expresso em taxa unitria de 1, lembre-se que 1 = 100/100 = 100%

COMO CALCULAR:

o Desconto de 45% = 100% 45% = 65% = 55/ 100 = 0,55

o Desconto de 20% = 100% 20% = 80% = 80/ 100 = 0,8

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ENTENDENDO O RESULTADO:

Para calcularmos um desconto no preo do produto de 20% devemos multiplicar o valor deste produto por 0,80.

Exemplo: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% passar a custar 1.500 x 0,80 (fator de descapitalizao para 20%) = R$ 1.200,00.

COMO FAZER:

Desconto de 30% = 100% 30% = 70% = 70100

= 0,7

Desconto de 15% = 100% 15% = 85% = 85100

= 0,85

Desconto de 3% = 100% 3% = 97% = 97100

= 0,97

Desconto de 50% = 100% 50% = 50% = 50100

= 0,5

2. AGORA A SUA VEZ:

Desconto Clculo Fator

15%

20%

4,5%

254%

0%

22,3%

60%

6%

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Matemtica Financeira

ACRSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO

Temas muito comuns abordados nos concursos so os acrscimos e os descontos sucessivos. Isto acontece pela facilidade que os candidatos tm em se confundir ao resolver uma questo deste tipo.

O erro cometido neste tipo de questo bsico, o de somar ou subtrair os percentuais, sendo que na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de capitalizao e descapitalizao.

Vejamos abaixo um exemplo de como fcil se confundir se no tivermos estes conceitos bem definidos:

Exemplo:

Os bancos vm aumentando significativamente as suas tarifas de manuteno de contas. Estudos mostraram um aumento mdio de 30% nas tarifas bancrias no 1 semestre de 2009 e de 20% no 2 semestre de 2009. Assim podemos concluir que as tarifas bancrias tiveram em mdia suas tarifas aumentadas em:

a) 50%b) 30%c) 150%d) 56%e) 20%

Ao ler esta questo, muitos candidatos se deslumbram com a facilidade e quase por impulso marcam como certa a alternativa a (a de apressadinho).

Ora, estamos falando de acrscimo sucessivo, vamos considerar que a tarifa mdia mensal de manuteno de conta no incio de 2009 seja de R$ 10,00, logo teremos:

Aps receber um acrscimo de 30%

10,00 x 1,3 (ver tpico 1.3) = 13,00

Agora vamos acrescentar mais 20% referente ao aumento dado no 2 semestre de 2009.

13,00 x 1,2 (ver tpico 1.3) = 15,60

Ou seja, as tarifas esto 5,60 mais caras que o incio do ano.

Como o valor inicial das tarifas eram de R$ 10,00, conclumos que as mesmas sofreram uma alta de 56% e no de 50% como achvamos anteriormente.

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COMO RESOLVER A QUESTO ANTERIOR DE UMA FORMA MAIS DIRETA:

Basta multiplicar os fatores de capitalizao, como aprendemos no tpico 1.3

Fator de Capitalizao para acrscimo de 30% = 1,3

Fator de Capitalizao para acrscimo de 20% = 1,2

1,3 x 1,2 = 1,56

Como o produto custava inicialmente 100% e sabemos que 100% igual a 1 (ver mdulo 1.2)

Logo as tarifas sofreram uma alta mdia de: 1,56 1 = 0,56 = 56%.

COMO FAZER

Exemplo 1.5.2: Um produto sofreu em janeiro de 2009 um acrscimo de 20% sobre o seu valor, em fevereiro outro acrscimo de 40% e em maro um desconto de 50%. Neste caso podemos afirmar que o valor do produto aps a 3 alterao em relao ao preo inicial :

a) 10% maiorb) 10 % menorc) Acrscimo superior a 5%d) Desconto de 84%e) Desconto de 16%

Resoluo:

Aumento de 20% = 1,2

Aumento de 40% = 1,4

Desconto de 50% = 0,5

Assim: 1,2 x 1,4 x 0,5 = 0,84 (valor final do produto)

Como o valor inicial do produto era de 100% e 100% = 1, temos:

1 0,84 = 0,16

Conclui-se ento que este produto sofreu um desconto de 16% sobre o seu valor inicial. (Alternativa E)

Exemplo O professor Ed perdeu 20% do seu peso de tanto trabalhar na vspera da prova do concurso pblico da CEF, aps este susto, comeou a se alimentar melhor e acabou aumentando em 25% do seu peso no primeiro ms e mais 25% no segundo ms. Preocupado com o excesso de peso, comeou a fazer um regime e praticar esporte e conseguiu perder 20% do seu peso. Assim o peso do professor Ed em relao ao peso que tinha no incio :

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a) 8% maiorb) 10% maiorc) 12% maiord) 10% menore) Exatamente igual

Resoluo:

Perda de 20% = 0,8

Aumento de 25% = 1,25

Aumento de 25% = 1,25

Perda de 20% = 0,8

Assim: 0,8 x 1,25 x 1,25 x 0,8 = 1

Conclui-se ento que o professor possui o mesmo peso que tinha no incio. (Alternativa E).

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TAXA PROPORCIONAL

Calculada em regime de capitalizao SIMPLES: Resolve-se apenas multiplicando ou dividindo a taxa de juros:

Exemplo 2.1: Qual a taxa de juros anual proporcional a taxa de 2% ao ms?

Resposta: Se temos uma taxa ao ms e procuramos uma taxa ao ano, basta multiplicarmos essa taxa por 12, j que um ano possui 12 meses.

Logo a taxa proporcional de 2% x 12 = 24% ao ano.

Exemplo 2.2: Qual a taxa de juros bimestral proporcional a 15% ao semestre?

Resposta: Neste caso temos uma taxa ao semestre e queremos transform-la em taxa bimestral. Note que agora essa taxa vai diminuir e no aumentar, o que faz com que tenhamos que dividir essa taxa ao invs de multiplic-la, dividir por 3, j que um semestre possui 3 bimestres.

Assim a taxa procurada de 15% 5%3

= ao bimestre.

COMO FAZER

TAXA TAXA PROPORCIONAL

25% a.m (ao ms) 300% a.a (ao ano)

15% a.tri (ao trimestre) 5% a.m

60% a. sem (ao semestre) 40% ao. Quad. (quadrimestre)

25% a.bim (ao bimestre) 150% (ao ano)

AGORA A SUA VEZ

QUESTES TAXA TAXA PROPORCIONAL

2.1.1 50% a.bim. ___________a.ano

2.1.2 6% a.ms _________a.quad.

2.1.3 12% a.ano _________ a.Trim.

2.1.4 20% a. quadri. __________a.Trim.

Gabarito:2.1.1. 300%2.1.2. 24%2.1.3 3%2.1.4 15%

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TAXA EQUIVALENTE

Calculada em regime de capitalizao COMPOSTA. Para efetuar o clculo de taxas equivalentes necessrio utilizar uma frmula.

Para facilitar o nosso estudo iremos utilizar a ideia de capitalizao de taxas de juros de uma forma simplificada e mais direta.

Exemplo: Qual a taxa de juros ao bimestre equivalente a taxa de 10% ao ms?

1 passo: Transformar a taxa de juros em unitria e somar 1 (100%). Assim:

1 + 0,10 = 1,10

2 passo: elevar esta taxa ao perodo de capitalizao. Neste caso 2, pois um bimestre possui dois meses.

(1,10)2 = 1,21

3 passo: Identificar a taxa correspondente.

1,21 = 21%

Exemplo: Qual a taxa de juros ao semestre equivalente a taxa de 20% ao bimestre?

1 passo: Transformar a taxa de juros em unitria e somar 1 (100%). Assim:

1 + 0,20 = 1,20

2 passo: elevar esta taxa ao perodo de capitalizao. Neste caso 3, pois um semestre possui trs bimestres.

(1,20)3 = 1,728

3 passo: Identificar a taxa correspondente.

1,728 = 72,8%

COMO FAZER

10% a.m equivale a:

Ao Bimestre (1,1)2 = 1,21 = 21%

Ao Trimestre (1,1)3 = 1,331 = 33,10%

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20% a.bim equivale a:

Ao Quadrimestre (1,2)2 = 1,44 = 44%

Ao Semestre (1,2)3 = 1,728 = 72,8%

AGORA A SUA VEZ

QUESTO 1

21% a.sem. equivale a:

Ao Ano

Ao Trimestre

QUESTO 2

30% a.ms. equivale a:

Ao Bimestre

Ao Trimestre

Gabarito:1. 46,41% ao ano e 10% ao trimestre2. 69% ao bimestre e 119,7% ao trimestre.

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CAPITALIZAO SIMPLES X CAPITALIZAO COMPOSTA

A definio de capitalizao uma operao de adio dos juros ao capital. Bom, vamos adicionar estes juros ao capital de duas maneiras, uma maneira simples e outra composta e depois comparamos.

Vamos analisar o exemplo abaixo:

Exemplo: Jos realizou um emprstimo de antecipao de seu 13 salrio no Banco do Brasil no valor de R$ 100,00 reais, a uma taxa de juros de 10% ao ms. Qual o valor pago por Jos se ele quitou o emprstimo aps 5 meses, quando recebeu seu 13?

Valor dos juros que este emprstimo de Jos gerou em cada ms.

Em juros simples, os juros so cobrados sobre o valor do emprstimo (capital)

CAPITALIZAO COMPOSTA

MS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR

1 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00

2 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 110,00 + R$ 10,00 = R$ 120,00

3 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 120,00 + R$ 10,00 = R$ 130,00

4 10% de R$ 100,10 = R$ 10,00 R$ 130,00 + R$ 10,00 = R$ 140,00

5 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 140,00 + R$ 10,00 = R$ 150,00

Em juros composto, os juros so cobrados sobre o saldo devedor (capital + juros do perodo anterior)

CAPITALIZAO COMPOSTA

MS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR

1 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00

2 10% de R$ 110,00 = R$ 11,00 R$ 110,00 + R$ 11,00 = R$ 121,00

3 10% de R$ 121,00 = R$ 12,10 R$ 121,00 + R$ 12,10 = R$ 133,10

4 10% de R$ 133,10 = R$ 13,31 R$ 133,10 + R$ 13,31 = R$ 146,41

5 10% de R$ 146,41 = R$ 14,64 R$ 146,41 + R$ 14,64 = R$ 161,05

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Assim notamos que o Sr. jos ter que pagar aps 5 meses R$ 150,00 se o banco cobrar juros simples ou R$ 161,05 se o banco cobrar juros compostos.

GRFICO DO EXEMPLO

Note que o crescimento dos juros compostos mais rpido que os juros simples.

JUROS SIMPLES

FRMULAS:

CLCULO DOS JUROS CLCULO DO MONTANTE

J = C x i x t M = C x (1 + i x t)OBSERVAO: Lembre-se que o Montante igual ao Capital + Juros

Onde:

J = Juros

M = Montante

C = Capital (Valor Presente)

i = Taxa de juros;

t = Prazo.

A maioria das questes relacionadas a juros simples podem ser resolvidas sem a necessidade de utilizar frmula matemtica.

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APLICANDO A FRMULA

Vamos ver um exemplo bem simples aplicando a frmula para encontrarmos a soluo.

Exemplo: Considere um emprstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3 meses e taxa de 2% ao ms. Qual o valor dos juros?

Dados do problema:

C = 100.000,00

t = 3 meses

i = 2% ao ms

OBS: Cuide para ver se a taxa e o ms esto em meno perodo. Neste exemplo no tem problema para resolver, j que tanto a taxa quanto o prazo foram expressos em meses.

J = C x i x t

J = 100.000 x 0,02 (taxa unitria) x 3

J = 6.000,00

Resposta: Os juros cobrado ser de R$ 6.000,00

RESOLVENDO SEM A UTILIZAO DE FRMULAS:

Vamos resolver o mesmo exemplo 3.2.1, mas agora sem utilizar frmula, apenas o conceito de taxa de juros proporcional.

Resoluo:

Sabemos que 6% ao trimestre proporcional a 2% ao ms.

Logo os juros pagos ser de 6% de 100.000,00 = 6.000,00

PROBLEMAS COM A RELAO PRAZO X TAXA

Agora veremos um exemplo onde a taxa e o prazo no so dados em uma mesma unidade, necessitando assim transformar um deles para dar continuidade a resoluo da questo.

Sempre que houver uma divergncia de unidade entre taxa e prazo melhor alterar o prazo do que mudar a taxa de juros. Para uma questo de juros simples, esta escolha indiferente, porm caso o candidato se acostume a alterar a taxa de juros, ir encontrar dificuldades para responder as questes de juros compostos, pois estas as alteraes de taxa de juros no so simples, proporcional, e sim equivalentes.

Exemplo 3.2.2 Considere um emprstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3 meses e taxa de 12% ao ano. Qual o valor dos juros?

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Dados:

C = 100.000,00

t = 3 meses

i = 12% ao ano

Vamos adaptar o prazo em relao a taxa. Como a taxa est expressa ao ano, vamos transformar o prazo em ano. Assim teremos:

C = 100.000,00

t = 3 meses =

i = 12% ao ano

Agora sim podemos aplicar a frmula

J = C x i x t

J = 100.000 x 0,12 x

J = 3.000,00

ENCONTRANDO A TAXA DE JUROS

Vamos ver como encontrar a taxa de juros de uma maneira mais prtica. Primeiramente vamos resolver pelo mtodo tradicional, depois faremos direto.

Exemplo 3.2.3 Considere um emprstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, sabendo que o valor do montante acumulado em aps 1 semestre foi de 118.000,00. Qual a taxa de juros mensal cobrada pelo banco.

Como o exemplo pede a taxa de juros ao ms, necessrio transformar o prazo em ms. Neste caso 1 semestre corresponde a 6 meses, assim:

Dados:

C = 100.000,00

t = 6 meses

M = 118.000,00

J = 18.000,00 (Lembre-se que os juros a diferena entre o Montante e o Capital)

Aplicando a frmula teremos:

18.000 = 100.000 x 6 x i

i = 18.000

100.000x6= 18.000600.000

= 0,3

i = 3% ao ms

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Agora vamos resolver esta questo sem a utilizao de frmula, de uma maneira bem simples.

Para saber o valor dos juros acumulados no perodo, basta dividirmos o montante pelo capital:

Juros acumulado = 18.000100.000

=1,18

Agora subtraimos o valor do capital da taxa de juros (1 = 100%) e encontramos:

1,18 1 = 0,18 = 18%

18% so os juros do perodo de um semestre, para encontrar o juros mensal, basta calcular a taxa proporcional e assim encontrar 3 % ao ms.

ESTO FALTANDO DADOS?

Alguns exerccios parecem no informar dados suficientes para resoluo do problema. Coisas do tipo: O capital dobrou, triplicou, o dobro do tempo a metade do tempo, o triplo da taxa e etc. Vamos ver como resolver este tipo de problema, mas em geral bem simples, basta atribuirmos um valor para o dado que est faltando.

Exemplo: Um cliente aplicou uma certa quantia em um fundo de investimento em aes. Aps 8 meses resgatou todo o valor investido e percebeu que a sua aplicao inicial dobrou. Qual a rentabilidade mdia ao ms que este fundo rendeu?

Para quem vai resolver com frmula, a sugesto dar um valor para o capital e assim teremos um montante que ser o dobro deste valor. Para facilitar o clculo vamos utilizar um capital igual a R$ 100,00, mas poderia utilizar qualquer outro valor.

Dados:

C = 100,00

t = 8 meses

M = 200,00 (o dobro)

J = 100,00 (Lembre-se que os juros a diferena entre o Montante e o Capital)

Substituindo na frmula teremos:

100 = 100 x 8 x i

i = 100100x8

= 100800

= 0,125

i = 12,5% ao ms

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COMO RESOLVER

Exemplo: A que taxa de juros simples, em porcento ao ano, deve-se emprestar R$ 2 mil, para que no fim de cinco anos este duplique de valor?

Dados:

C = 2.000,00

t = 5 anos

M = 4.000,00 (o dobro)

J = 2.000,00 (Lembre-se que os juros a diferena entre o Montante e o Capital)

i = ?? a.a

Substituindo na frmula teremos

2.000 = 2.000 x 5 i

i = 2.0002.000x5

= 200010.000

= 0,2

i = 20% ao ano

Exemplo: Considere o emprstimo de R$ 5 mil, no regime de juros simples, taxa de 2% ao ms e prazo de 1 ano e meio. Qual o total de juros pagos nesta operao?

Dados:

C = 5.000,00

i = 2 % ao ms

t = 1,5 anos = 18 meses

J = ???

Substituindo na frmula teremos

J = 5.000 x 18 x 0,02

J = 1.800,00

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JUROS COMPOSTOS

FRMULAS:

CLCULO DOS JUROS CLCULO DO MONTANTE

J = M C M = C x (1 + i)t

OBSERVAO: Lembre-se que o Montante igual ao Capital + Juros.

Onde:

J = Juros

M = Montante

C = Capital (Valor Presente)

i = Taxa de juros

t = Prazo

RESOLUO DE QUESTES DE JUROS COMPOSTOS

Como notamos na frmula de juros compostos, a grande diferena para juros simples que o prazo (varivel t ) uma potncia da taxa de juros e no um fator multiplicativo.

Assim poderemos encontrar algumas dificuldades para resolvermos questes de juros compostos em provas de concurso pblico, onde no permitido o uso de equipamentos eletrnicos que poderiam facilitar estes clculos.

Por este motivo, juros compostos podem ser cobrados de 3 maneiras nas provas de concurso pblico.

1. Questes que necessitam da utilizao de tabela.

2. Questes que so resolvidas com substituio de dados fornecidas na prpria questo.

3. Questes que possibilitam a resoluo sem a necessidade de substituio de valores.

Vamos ver um exemplo de cada uma dos modelos.

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JUROS COMPOSTOS COM A UTILIZAO DE TABELA

Este mtodo de cobrana de questes de matemtica financeira j foi muito utilizado em concurso pblico, porm hoje so raras as provas que fornecem tabela para clculo de juros compostos. Vamos ver um exemplo.

Exemplo: Considere um emprstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8 meses e taxa de 10% ao ms. Qual o valor do montante?

Dados do problema:

C = 100.000,00t = 8 mesesi = 10% ao ms

M = C x (1 + i)t

M = 100.000 x (1 + 0,10)8

M = 100.000 x (1,10)8

O problema est em calcular 1,10 elevado a 8. Sem a utilizao de calculadora fica complicado. A soluo olhar em uma tabela fornecida na prova em anexo, algo semelhante a tabela abaixo.

Vamos localizar o fator de capitalizao para uma taxa de 10% e um prazo igual a 8.

(1+i)t TAXA5% 10% 15% 20%

PRAZO

1 1,050 1,100 1,150 1,200

2 1,103 1,210 1,323 1,440

3 1,158 1,331 1,521 1,728

4 1,216 1,464 1,749 2,074

5 1,276 1,611 2,011 2,488

6 1,340 1,772 2,313 2,986

7 1,407 1,949 2,660 3,583

8 1,477 2,144 3,059 4,300

9 1,551 2,358 3,518 5,160

10 1,629 2,594 4,046 6,192

Consultando a tabela encontramos que (1,10)8 = 2,144

Substituindo na nossa frmula temos:

M = 100.00 x (1,10)8

M = 100.00 x 2,144

M= 214.400,00

O valor do montante neste caso ser de R$ 214.400,00

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JUROS COMPOSTOS COM A SUBSTITUIO DE VALORES

Mais simples que substituir tabela, algumas questes disponibilizam o resultado da potncia no prprio texto da questo, conforme a seguir.

Exemplo: Considere um emprstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8 meses e taxa de 10% ao ms. Qual o valor do montante? Considere (1,10)8 = 2,144

Assim fica at mais fcil, pois basta substituir na frmula e encontrar o resultado, conforme o exemplo anterior.

JUROS COMPOSTOS SEM SUBSTITUIOA maioria das provas de matemtica financeira para concurso pblico, buscam avaliar a habilidade do candidato em entender matemtica financeira e no se ele sabe fazer contas de multiplicao.

Assim as questes de matemtica financeira podero ser resolvidas sem a necessidade de efetuar contas muito complexas, conforme abaixo.

Exemplo: Considere um emprstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 2 meses e taxa de 10% ao ms. Qual o valor do montante?

Dados do problema:

C = 100.000,00

t = 2 meses

i = 10% ao ms

M = C x (1 + i)t

M = 100.000 x (1 + 0,10)2

M = 100.000 x (1,10)2

M = 100.00 x 1,21

M= 121.000,00

Resposta: O valor do montante ser de R$ 121.000,00

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COMO RESOLVER

Exemplo: Qual o montante obtido de uma aplicao de R$ 2.000,00 feita por 2 anos a uma taxa de juros compostos de 20% ao ano?

Dados do problema:

C = 2.000,00t = 2 anosi = 10% ao anoM = ???

M = C x (1 + i)t

M = 2.000 x (1 + 0,20)2

M = 2.000 x (1,20)2

M = 2.000 x 1,44

M= 2.880,00

Exemplo: Quais os juros obtidos de uma aplicao de R$ 5.000,00 feita por 1 ano a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre?

Dados:

C = 5.000,00

t = 1 ano ou 2 semestres

i = 10% ao ano

M = C x (1 + i)t

M = 5.000 x (1 + 0,10)2

M = 5.000 x (1,10)2

M = 5.000 x 1,21

M= 6.050,00

Como a questo quer saber quais os juros, temos:

J = M C

J = 6.050 5.000

J = 1.050,00

Assim os juros sero de R$ 1.050,00

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Exemplo: Uma aplicao de R$ 10.000,00 em um Fundo de aes, foi resgatada aps 2 meses em R$ 11.025,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos), qual foi a taxa de juros mensal que este fundo remunerou o investidor?

Dados:

C = 10.000,00

t = 2 meses

M = 11.025,00

i = ??? ao ms

M = C (1+ i)t

11.025= 10.000 (1+ i)2

(1+ i)2 = 11.02510.000

(1+ i)2 = 11.02510.000

(1+ i)= 105100

i=1,051= 0,05i= 5% ao ms