nº15MatemáticaProf.: Fabrício Maia

Matemática eSuas Tecnologias

PROPORÇÃO ÁUREA NA ARTE

É bastante frequente encontrar a proporção áurea em pinturas renascentistas ou em grandes obras de arte, como, por exemplo:

Sacramento da Última Ceia, de Salvador Dalí, as dimensões do quadro (aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão numa razão áurea entre si.

No nascimento de Vênus, de Boticceli:

PROPORÇÃO ÁUREA

O Homem Vitruviano é um desenho famoso que

acompanhava as notas que Leonardo da Vinci fez em

1490 num dos seus diários.

“

”

2

Matemática e Suas Tecnologias

FB NO ENEM

Em Monalisa ou Autorretrato, de Leonardo da Vinci:

O Homem Vitruviano é um desenho famoso que acompanhava as notas que Leonardo da Vinci fez em 1490 num dos seus diários.

Descreve uma figura masculina nua separadamente e simultaneamente em duas posições sobrepostas com os braços inscritos num círculo e num quadrado.

Às vezes, o desenho e o texto são chamados de Cânone das Proporções.

PROPORÇÃO ÁUREA NA ARQUITETURA

O retângulo de ouro, proveniente da montagem sucessiva das medidas da Série de Fibonacci, foi apropriada em grandes construções desde as eras primórdias até as cidades de hoje.

Exemplo disso é a Pirâmide de Queóps, centrada nas 3 pirâmides designadas de Gize no Cairo, capital do Egito.

Cada bloco da pirâmide era 1,618 vez maior que o bloco do nível logo acima.As câmaras no interior das pirâmides também seguiam essa proporção, de forma que os comprimentos das salas são 1,618

vez maiores que as larguras.O Parthenom, construção grega que resistiu parcialmente ao tempo e onde são notadas inúmeras presenças da razão áurea.

Matemática e Suas Tecnologias

3FB NO ENEM

PROPORÇÃO ÁUREA NA LITERATURA

Na literatura, o número de ouro encontra a sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos últimos dias da Guerra de Troia.

Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo a 1,618, o número de ouro.

Luís de Camões, na sua obra Os Lusíadas, colocou a chegada à Índia no ponto que divide a obra na proporção áurea.

Virgílio, na obra Eneida, constituiu a razão áurea com as estrofes maiores e menores.

PROPORÇÃO ÁUREA NA NATUREZA

Os números de Fibonacci estão presentes na vegetação.É possível encontrá-los no arranjo das folhas de um ramo de

uma planta, nas copas das árvores ou até mesmo no número de pétalas das flores.

Podemos também encontrar a espiral de Fibonacci nas sementes das flores, em frutos e pinhas.

Uma planta em particular mostra os números da sucessão de Fibonacci nos seus “pontos de crescimento“. Quando a planta tem um novo rebento, leva dois meses a crescer até que as ramificações fiquem suficientemente fortes. Se a planta ramifica todos os meses, depois disso, no ponto de ramificação, obtemos uma figura semelhante às ao lado.

Na fruta, também encontra-se presente este fenômeno.Se cortarmos uma maçã ao meio, iremos deparar-nos com

5 caroços em forma de um pentagrama, mais uma vez os números de Fibonacci e uma figura geométrica adjacente ao número de ouro.

PROPORÇÃO ÁUREA NO SER HUMANO

Em toda a Natureza, seja ela cósmica, biológica ou catalizadora, segue um só padrão, que é a proporção áurea, resultante da série de Fibonacci e o número de ouro, Phi.

As medidas das nossas articulações resultam no número Phi, já o número de ossos segue o padrão de números de Fibonacci.

Se medirmos os ossos de forma crescente e dividirmos uma medida pela sua antecessora, iremos encontrar o número Phi, algo em redor de 1,618...

Estão em proporção áurea:

• aalturadocorpohumanoeamedidadoumbigoaochão;

• aalturadocrânioeamedidadamandíbulaaoaltodacabeça;

• amedidadacinturaàcabeçaeotamanhodotórax;

• amedidadoombroàpontadodedoeamedidadocotoveloàpontadodedo;

• otamanhodosdedoseamedidadadobracentralatéaponta.

Ainda hoje, existem pesquisadores que associam a beleza do rosto humano às proporções áureas.

4

Matemática e Suas Tecnologias

FB NO ENEM

EXERCÍCIOS

1. Sejam a e b números reais positivos. Considere a igualdade a + b

a=

ab

. O número positivo ab

que satisfaz essa igualdade

é chamado “número de ouro“ ou “número áureo“. O valor do número de ouro é:

A) 5 1

5 1

−+

D) 5 1

5 1

+−

B) π E) 5 1

2

+

C) 5 1

2

−

2. O ponto P é interior a um segmento de reta, cuja medida é x = 2m, e o divide em dois segmentos cujas medidas são y e z e satisfazem a relação y2 = xz. A razão x/y (denominada de número de ouro ou razão áurea) é igual a:

A) 1 3

2

+ C) − +1 3

2

B) 1 5

2

+ D) − +1 5

2

3. O retângulo de ouro é utilizado em Arquitetura desde a Grécia Antiga. A razão entre as medidas do maior e do menor lado desse retângulo é o número de ouro, representado por φ.

Sabendo que φé uma das raízes da equação x2 = x + 1, então φ4 – 3φ é igual a:A) 0 D) 1,618...B) 0,618... E) 2C) 1

4. Dois números positivos, m e n, com m > n, estão em uma proporção de ouro se ocorre que m + nm

=mn

. Se é este o caso,

quando o menor número é igual a 1, o maior número é chamado de número de ouro e é denotado pela letra grega ϕ – homenagem ao arquiteto grego Phidias (490 – 430 a.C.). Qual dentre os valores abaixo é o número de ouro?A) ϕ = 3,14159265... D) ϕ = 1,70796327...

B) ϕ= 1 5

2

− E) ϕ = 2,01010101...

C) ϕ= 1 5

2

+

5. Provavelmente, você não sabe que os cartões de crédito ou de débito que tanto usamos são retângulos áureos, ou

seja, a razão entre seus lados é igual ao número de ouro: 1+ 52

. Observe a figura e demonstre que ab

=1+ 5

2.

GABARITO (V. 14)

1 2 3 4 5

D B A E C

Professor Colaborador: Sérgio Rosa

OSG: 45590/11 - A.J - REV.: AR