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MATEMÁTICA
ENEM 2009
PROF. MARCELO CÓSER
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DESAFIO DO NOVO ENEM:
Aliar habilidades/competências a conteúdos específicos do Ensino Médio.
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01) (ENEM) Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa de crescimento populacional em quase todos os continentes. A seguir, são apresentados dados relativos aos países mais populosos em 2000 e também as projeções para 2050. Com base nas informações acima, é correto afirmar que, no período de 2000 a 2050:
a) taxa de crescimento populacional da China seránegativa.
b) a população do Brasil duplicará.
c) a taxa de crescimento da população da Indonésia será menor que a dos EUA.
d) a população do Paquistão crescerá mais de 100%.
e) a China será o país com a maior taxa de crescimento populacional do mundo.
%4747,0212
212311
%4141,0283116
283283397
INDONESIA
EUA
Taxa
Taxa
x
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02) (SIMULADO ENEM) As condições de saúde e a qualidade de vida de uma população humana estão diretamente relacionadas com a disponibilidade de alimentos e a renda familiar. O gráfico I mostra dados da produção brasileira de arroz, feijão, milho, soja e trigo e do crescimento populacional, no período
compreendido entre 1997 e 2003. O gráfico II mostra a distribuição da renda familiar no Brasil, no ano de 2003. Considere que três debatedores, discutindo as causas da fome no Brasil, chegaram às seguintes conclusões:
Debatedor 1 – O Brasil não produz alimento suficiente para alimentar sua população. Como a renda média do brasileiro é baixa, o País não consegue importar a quantidade necessária de alimentos e isso é a causa principal da fome.
Debatedor 2 – O Brasil produz alimentos em quantidade suficiente para alimentar toda sua população. A causa principal da fome, no Brasil, é a má distribuição de renda.
Debatedor 3 – A exportação da produção agrícola brasileira, a partir da inserção do País no mercado internacional, é a causa majoritária da subnutrição no País.
Considerando que são necessários, em média, 250 kg de alimentos para alimentar uma pessoa durante um ano, os dados dos gráficos I e II, relativos ao ano de 2003, corroboram apenas a tese do(s) debatedor(es):
A) 1. B) 2. C) 3. D) 1 e 3. E) 2 e 3.
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03) (ESPM) As notas da prova de Matemática numa classe foram distribuídas conforme a tabela abaixo. A média aritmética dessa distribuição é:
a) 5,15b) 5,45c) 5,75d) 6,00e) 6,15
8Acima de 7, até 10
20Acima de 5, até 7
12De zero até 5
Número de AlunosNotas
45540
21882012
5886205212 ,,,
M
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ATENÇÃO: nem toda média é aritmética.
As médias aritméticas não se aplicam a todas as situações.
Por exemplo, um valor sofre aumentos sucessivos de 20%, 25% e 45%. No entanto, esses três aumentos acumulados não equivalem a um aumento de 90%, muito menos a três aumentos de 30%. Só utiliza-se média aritmética quando os valores são acumulados via adição.
A MODA de um conjunto de valores corresponde ao valor que ocorre mais vezes.
Por exemplo, a tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa realizada com 280 pessoas. A moda é ir ao dentista uma vez por ano.
1016473910563Número de pessoas
5 ou mais43210
Número de visitas ao dentista por ano
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VARIAÇÃO PERCENTUAL
FATOR DE VARIAÇÃO
O FATOR DE VARIAÇÃO é obtido somando ou subtraindo a variação desejada a 100%. A variação é obtida a partir da MULTIPLICAÇÃO pelo fator de variação.
Exemplos:
+ 15% f = 1,15+ 234% f = 3,34-23% f = 0,77
Ainda, a idéia de um fator decimal para porcentagem se mostra útil para equacionar problemas. Por exemplo, 23% de determinado valor corresponde a 0,23V.
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04) (CÓSER) A meta para a inflação no primeiro trimestre de 2009 em certo país era de 15%. Se a inflação em janeiro foi de 6% e em fevereiro foi de 5%, qual deverá ser a inflação em março para que a meta seja atingida?
%,
,,,
,,,,
33
0331051061
151151051061
MAR
MAR
TRIMESTREMARFEVJAN
f
fffff
Variações percentuais são acumuladas a partir da multiplicação dos fatores de variação correspondentes.
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05) (CÓSER) No primeiro bimestre de 2009, as ações de certa companhia valorizaram 21%. Qual foi a valorização percentual mensal média?
Temos que duas variações acumuladas devem equivaler a uma variação de 21%. O fator de variação correspondente a um aumento de 21% é 1,21. Assim, dois fatores desconhecidos multiplicados devem resultar em 1,21.
2
1,211,21
121 111,21 1,1100 10
10%
f ff
f
No exemplo dado anteriormente, um valor sofre aumentos sucessivos de 20%, 25% e 45%. O aumento mensal médio pode ser calculado por:
%56,292956,1175,2175,2
45,125,120,133
ff
fff
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06) Uma pessoa tomou 60 mg de uma certa medicação. A bula do remédio informava que sua meia-vida era de 6 horas. Como o paciente não sabia o significado da palavra, foi a um dicionário e encontrou a seguinte definição:
Meia-vida: tempo necessário para que uma grandeza (física, biológica) atinja metade de seu valor inicial.
Após 18 horas da ingestão do remédio, qual será a quantidade de remédio ainda presente no organismo? E após 3 horas?
Aplicando a definição de meia-vida, a cada 6 horas temos uma redução de 50%. Ou seja, em 18 horas teremos três reduções de 50%: Q = 60 · 0,5 · 0,5 · 0,5 = 7,5 mg
Para o cálculo da quantidade após 3 horas, é preciso descobrir o fator de redução correspondente a esse intervalo de tempo. Sabe-se que para 6 horas a redução é de 50% e em que 6 horas temos dois intervalos de 3 horas.
Assim, é preciso descobrir o fator de variação f que aplicado duas vezes equivale ao fator de variação 0,5:
mgQ
f
fff
42,42707,0.60
707,04143,1
1215,0
5,05,0. 2
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07) (UFG) As curvas de logística são usadas na definição de modelos de crescimento populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por exemplo, estima-se que decorridas t semanas, a partir da constatação da existência de uma forma de gripe, o número N de pessoas contaminadas (em milhares) é aproximadamente .
De acordo com essa estimativa, pode-se afirmar corretamente que:
( ) menos de 500 pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a existência da gripe.( ) menos de 6 mil pessoas haviam contraído a doença, decorridas duas semanas da constatação da existência da gripe.( ) são necessárias mais de quatro semanas para que 18 mil pessoas sejam infectadas.( ) o número de pessoas infectadas atingirá 20 mil.
0,5.2
1
201 19.10
201 19.10
20 20 6,891 1,9 2,9
N
N
N
0,5
201 19.10 tN
t = 0
0,5.0
201 19.10
201 19.120 120
N
N
N
0,5.4
2
201 19.10
201 19.10
20 20 16,81 0,19 1,19
N
N
N
F
t = 2
F
t = 4
VF
N = 20
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
20201 19.10
111 19.10
1 19.10 119.10 010 0
t
t
t
t
t
Um número positivo elevado a qualquer expoente real é sempre positivo.
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0,5
201 19.10 tN
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Escalas Logarítmicas: problemas com valores muito grandes.
6543210log2 x
6432168421x
Escalaem PG
Escalaem PA
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08) (FFFCMPA) A unidade de medida do som é o bel. Na prática, costuma-se utilizar o decibel, que corresponde a um décimo do bel. As sonoridades, medidas em bel, constituem uma escala de progressão aritmética, mas a intensidade do som cresce segundo uma progressão geométrica. Quando o som, na escala bel, cresce uma unidade, a intensidade do som (em watts por metro quadrado) aumenta 10 vezes. A
sonoridade, medida em decibéis, de uma determinada banda de rock é de 90 decibéis, ao passo que a da conversação normal corresponde a 60 decibéis. Assim sendo, pergunta-se: quantas vezes a intensidade do som, em watts por metro quadrado, da banda de rock é maior do que a intensidade do som de uma conversação normal?
a) 3 vezesb) 10 vezesc) 30 vezesd) 1.000 vezese) mais de 1.000 vezes
A diferença entre o som da banda e o da conversação é de 30 decibéis = 3 béis. Como a cada variação unitária em béis a intensidade do som aumenta 10 vezes, a intensidade do som da banda corresponde a 10 · 10 · 10 = 1.000 vezes a intensidade do som da conversação.
Observe que na escala em decibéis constata-se que a medida da banda de rock é 50% maior que a da conversação. No entanto, tal interpretação é incorreta pois a escala em questão não é linear, mas sim logarítmica.
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