Matemática Ensino Fundamental I · Para mim, isso é um desafio grande, pois o livro que eu adoto não tem essa abor - dagem, os problemas servem mais como aplicação do que já

FORMAÇÃO DE PROFESSORES

Caderno Bimestral II

Matemática Ensino Fundamental I

O programa Ação Educação da Fundação Vale tem como objetivo contribuir para o desenvolvimento humano nos territórios onde atua, apoiando os municípios em ações que contribuam para fomentar a justiça social e promover a inclusão no mercado de trabalho da forma mais equânime possível.

Diretora FunDação ValeIsis Pagy

Gerente - Geral De eDucação FunDação ValeJoaquim Antônio Gonçalves

equipe De eDucação FunDação ValeAndreia PrestesAnna Cláudia Eutrópio B. d’AndreaCláudia CostaLílian Neves

apoio eDitorialDepartamento de Comunicação Corporativa Vale

parceiro Comunidade Educativa CEDAC

projeto GráFico e DiaGramaçãoCrama Design Inventum Design

Formação de Professores Matemática – Caderno Bimestral II

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A resolução de problemas do campo aditivo

Professor(a)

Neste segundo bimestre, vamos aprofundar o trabalho com a resolução de problemas que foi iniciado no bimestre anterior, focando os problemas do campo aditivo. Teremos a oportunidade de trocar ex-periências, discutindo as dificuldades e os avanços que vivenciamos no trabalho com os problemas na perspectiva colocada pelo Caderno Bimestral I.

Vamos conhecer uma classificação que se baseia nos vários significados que as operações de adição e de subtração podem assumir. A ideia é incorporar a diversidade existente na prática com o ensino das operações de adição e subtração ao longo dos anos iniciais do Ensino Fundamental.

Nossa tarefa prática será a de planejar o trabalho com problemas do campo aditivo. Também vamos co-letar, organizar e analisar os procedimentos das crianças para resolvê-los, com a finalidade de refletir so-bre como podemos intervir para favorecer as aprendizagens dos alunos.

Espera-se desenvolver e/ou ampliar as seguintes competências docentes neste bimestre:

■ Trabalhar em equipe, interagindo com os colegas e colaborando com a formação do grupo.■ Apropriar-se do recurso à resolução de problemas, reconhecendo-o como ponto

de partida da aprendizagem matemática.■ Reconhecer a importância da interação entre pares na elaboração do conhecimento,

promovendo as condições para que essa interação ocorra nas aulas.■ Ampliar o repertório de possibilidades do ensino das operações do campo aditivo.■ Coletar, organizar, analisar e interpretar informações sobre procedimentos dos alunos. ■ Elaborar e desenvolver projetos pessoais de estudo e trabalho, empenhando-se

em compartilhar a prática e produzir coletivamente.


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Neste encontro, você participará de situações nas quais abordaremos os seguintes conteúdos:

■ Operações do campo aditivo: ideias da adição e subtração. ■ Identificação e classificação de problemas do campo aditivo.■ Potencialidade da interação entre pares no trabalho com a resolução de problemas.■ Acompanhamento das aprendizagens dos alunos relativas aos problemas do campo aditivo.


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Encontro PresencialDuração: 4h

Para começo de conversaDuração: 30min

Pensar sobre a prática e compartilhar resultados

Começaremos este encontro retomando suas impressões a respeito da atividade de Aplicação Prática proposta no bimestre anterior. Vamos centrar nossa atenção na dinâmica da atividade, nas interações e no envolvimento dos alunos. O objetivo dessa atividade é promover uma troca a respeito dos fatores que mais influenciaram os sucessos e as dificuldades naquela experiência vivida por todos do grupo.

Para isso, retome o seu “Registro da atividade: resolução de problemas”. Depois de relê-lo, prepare-se pa-ra trocar experiências com seus colegas.

1. Discuta com o grupo como foi aquela experiência. Nessa conversa, procure refletir e identificar:

■ Quais foram os ganhos para os alunos?

■ Quais foram os ganhos para você, na perspectiva do seu processo de formação?

■ Que dificuldades os alunos encontraram?

■ Que dificuldades você encontrou?

2. Leia com seus colegas, de forma compartilhada, os depoimentos de seis professores a respeito de uma prática similar à que vocês realizaram. Durante a leitura, procure semelhanças entre o que é re-latado e o que você vivenciou na realização daquela atividade.

Depoimento 1

Eu propus o problema para que os alunos resolvessem sozinhos. Depois, pedi que discutis-sem seus resultados em duplas ou trios. Da primeira vez, o resultado foi muito pobre, pois eles não se engajaram em discutir, eles queriam acertar, alguns copiavam do colega que havia ter-minado e pronto. Precisei deixar muito claro, na discussão coletiva, que não estávamos inte-ressados somente nas respostas certas, mas nos diferentes procedimentos. Na segunda vez que trabalhei com problemas dessa maneira, percebi que eles já começaram a conversar mais entre si, trocar ideias, comparar o que haviam feito.

Depoimento 2

Quando chamei alguns alunos para mostrar na lousa como haviam resolvido o problema, sur-giram formas de chegar ao resultado que eu nem supunha que eles utilizassem. E, ainda por cima, outras crianças diziam que tinham feito da mesma maneira! Foi uma surpresa para mim, descobri muito a respeito dos procedimentos de resolução que eles usam.


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Depoimento 3

Eu propus um problema sobre área que extraí do livro didático. Não houve muita troca entre os alunos, eles queriam apenas corrigir as respostas. Na hora de discutir coletivamente os pro-cedimentos de resolução, como não teve muita diversidade, também não houve muita dis-cussão. Pensando a respeito, percebi que aquele problema era inadequado, já que não trazia nenhum desafio novo, eles já tinham ferramentas para resolvê-lo. Foi apenas um treino, um exercício. É preciso selecionar problemas desafiantes, em que as ferramentas ainda não estão disponíveis. Para mim, isso é um desafio grande, pois o livro que eu adoto não tem essa abor-dagem, os problemas servem mais como aplicação do que já foi ensinado.

Depoimento 4

Eu acho que alguns alunos descobriram que a forma de eles pensarem pode estar certa, mesmo quando é diferente da dos outros alunos ou da convencional. Viram que o que eles pensam e acham tem valor, pois validamos na lousa aquele procedimento como um entre tantos outros. Eles ficaram mais confiantes em si mesmos, e era isso mesmo o que eu queria que acontecesse.

Depoimento 5

Tive dificuldades quando um aluno foi mostrar na lousa para a turma como resolveu o proble-ma. Ele se deu conta de que havia cometido um erro e ficou inseguro, com medo de ser ridi-cularizado pelos colegas. Por isso, não conseguiu pensar sobre seu erro.

Para evitar esse tipo de situação, já que sabemos da importância de formar nossos alunos so-bre o respeito e a ética, percebi que temos de discutir com a classe como ajudar o amigo sem constrangê-lo. Percebi que nós temos de criar um hábito de trabalhar com o erro, não valori-zar o acerto e pronto, mas começar a tirar proveito dos erros, dar valor aos procedimentos de cada um e extrair conclusões. Isso leva tempo!

Depoimento 6

No início, quando propus um problema que eles ainda não sabiam como resolver, foi difícil. Algumas crianças nem começaram! Eu acho que elas estavam acostumadas de outro jeito. Mas, depois, pedi que se agrupassem e mostrassem uns aos outros como pensaram. Também pedi que escolhessem uma das soluções nos grupos. Quando fomos discutir as soluções com toda a turma, aos poucos as crianças foram falando, entrando no jogo! Todos queriam expli-car seus porquês! Foi muito rico.

Comunidade Educativa CEDAC


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3. Com quais dos depoimentos lidos você mais se identificou, em relação àquela situação específica? Selecione ao menos dois depoimentos que tenham relação com a sua vivência.

4. Depois de verificar as situações que foram mais frequentes para o grupo, conversem sobre os prováveis fatores que as determinaram, sejam elas favoráveis ou não, respondendo a duas perguntas:

a. Quais foram os fatores que mais contribuíram para as vivências positivas?

b. Quais foram os fatores que mais contribuíram para as dinâmicas difíceis ou desfavoráveis? O que vocês poderiam colocar em prática para mudar isso?

Para pensar

Para promover um clima favorável à aprendizagem, é fundamental que você conheça os seus alunos, a realidade em que estão inseridos e a relação que têm com a escola e o conhecimento. Aprender é desafiador! E as atividades matemáticas podem imprimir um clima favorável e afetivo a essa relação.

Atividade de contextualização Duração: 30min

1. Organize-se com seus colegas em grupos para ler a seguinte proposta:

Ana, professora do segundo ano, propôs alguns problemas aos seus alunos. Como sempre faz, ela os orientou a registrar como fizeram para chegar ao resultado (seus procedimentos de resolução).

Depois da atividade, ao analisar os procedimentos utilizados pelos alunos, ela verificou que, para um mesmo problema, alguns alunos usavam procedimentos de adição, enquanto outros utilizavam pro-cedimentos ligados à ideia de subtração. Outro fato que ela verificou foi que a maioria dos alunos mostrava maior dificuldade em alguns problemas, mesmo que os números envolvidos não fossem maiores que nos outros problemas.

Ela ficou intrigada a respeito desses fatos. Gostaria de entender os porquês dos procedimentos dife-rentes e das dificuldades.

Eis os registros de alguns procedimentos de resolução. Em alguns deles, a professora anotou as falas e justificativas dos alunos.


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Problema 1.

Elisa tinha 12 balas, mas chupou 7. Quantas balas restaram?

Marineide Paola

Problema 2.

Eu tinha algumas figurinhas. Joguei com meu amigo e ganhei 5. Por isso, fiquei com 11 figuri-nhas. Quantas eu tinha antes de jogar?

Luíza Felipe

“Das 11 , tiro essas que eu ganhei” ”5 mais 6 dá 11”

Problema 3.

Marcos e seu primo, juntos, têm 13 bonequinhos de heróis. Se Marcos tem 8, quantos bonequi-nhos tem o seu primo?

José Luís Cristiane

“Oito. (Apontando) 9, 10, 11, 12, 13” ”Tirando os 8 do Marcos, ficam os do primo”


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Problema 4.

Flora tem 5 anos e sua irmã Helena tem 3 a mais. Quantos anos a Helena tem?

Beatriz João

“Estes aqui são os que a Helena tem a mais”

2. Analise com seu grupo os procedimentos utilizados pelos alunos para resolver os problemas.

■ Quais procedimentos podem ser associados à ideia de adição? E de subtração?

■ Um mesmo problema foi resolvido tanto por procedimentos ligados à ideia de adição quanto de subtração?

■ Todas as resoluções foram consideradas corretas pela professora. O que você acha a respeito? Também agiria assim? Por quê?

■ Qual (ou quais) problema(s) parece(m) ser mais desafiante(s)? Por quê?

3. Coletivamente, comparem as respostas do seu grupo com as dos demais grupos.

A prática em questãoDuração: 2h40min

Momento 1 – Os problemas do campo aditivo

1. Organize-se com seus colegas de grupo para ler de forma compartilhada o texto a seguir.

No trabalho proposto no bimestre anterior, enfatizamos a importância de assegurar que os alunos busquem suas estratégias de resolução de problemas nas aulas de matemática.

Na atividade de contextualização deste caderno, constatamos que, ao resolver problemas de adição e de subtração, as crianças alcançam seus resultados a partir de diferentes procedi-mentos, ora de adição, ora de subtração. Vimos que isso acontece mesmo naqueles proble-mas que nós, tradicionalmente, consideramos de adição ou de subtração. Também verifica-mos que os problemas são mais ou menos complexos graças às ideias que eles envolvem, e não somente por apresentarem números grandes ou pequenos.


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Essas questões foram objeto de interesse do pesquisador francês Gérard Vergnaud.

A partir de suas pesquisas, ele propôs que os problemas que tradicionalmente conhecíamos como “problemas de adição” e “problemas de subtração” fossem reunidos em um só grupo de-nominado “problemas do campo aditivo”. Propõe que esses problemas sejam classificados de uma nova forma: a partir das ideias que eles envolvem e não mais por uma só operação.

Assim, os problemas do campo aditivo são aqueles que envolvem ideias de adição e de sub-tração. Eles são considerados pertencentes a uma mesma família, a um mesmo campo conceitual.

Veremos que no campo dos problemas aditivos existem tipos de problemas mais complexos que outros, mas as dificuldades não se devem ao fato de eles serem “de adição” ou “de subtração”, ou de envolverem números grandes ou pequenos (embora este seja um fator importante a ser considerado). Veremos que há outros fatores que tornam os problemas mais ou menos comple-xos e desafiantes para os alunos: as ideias envolvidas (juntar, transformar, comparar), a própria forma como o problema é proposto (seu enunciado) e o que é pedido nele (a incógnita).

Essa abordagem traz novas reflexões e indicações a respeito do ensino das operações funda-mentais. Tradicionalmente, o ensino da adição tem sido proposto antes do ensino da subtração, porque a adição é considerada uma operação mais fácil. Quando trabalhamos na abordagem do campo aditivo, abandonamos essa separação e essa ordem no ensino das operações1. Pas-samos a considerar a importância de trabalhar com uma grande variedade de problemas do campo aditivo durante todo o Ensino Fundamental 1, explorando a diversidade de ideias exis-tente, com o intuito de ampliar progressivamente os conhecimentos das crianças a respeito das operações de adição e de subtração.

Para saber mais

Gérard Vergnaud é um psicólogo francês que valoriza os caminhos que o aluno percorre para solucionar um problema. Discípulo de Jean Piaget (1896-1980) e Lev Vygotsky (1896-1934), Vergnaud sugere que diversas áreas do conhecimento sejam ensinadas sob a perspectiva dos campos conceituais, a apreensão progressiva de conceitos por meio de um conjunto variado de problemas, conteúdos, situações, estruturas e relações. Em matemática, desenvolveu a te-oria dos campos conceituais (aditivo e multiplicativo).

Para saber mais sobre o trabalho desse pesquisador, leia as entrevistas em:

■ Revista Nova Escola - Edição Especial no 14, ano 2007, ou no link http://revistaescola.abril. com.br/matematica/fundamentos/somar-subtrair-operacoes-irmas-500497.shtml

■ Revista Nova Escola, no 215, ano 2008, ou no link http://revistaescola.abril.com.br/matematica/ fundamentos/todos-perdem-quando-nao-usamos-pesquisa-pratica-427238.shtml


1 Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, a Prova Brasil e o Saeb incorporaram essas propostas didáticas ao tratar das operações.


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2. Vamos nos deter agora a estudar os tipos de problemas do campo aditivo. A proposta aqui é que você, junto com seus colegas, realize duas ações, tal como proposto na formação em língua portu-guesa, quando também estudaram um texto de fundamentação teórica:

a. Leiam o texto “Problemas aditivos”, a respeito da classificação de problemas.

b. Grifem no texto as ideias que interessam a este estudo. Dessa forma, vocês estarão trabalhando também uma importante competência para a profissão docente, que é a de estudar textos teóricos.

Problemas aditivos

Apresentaremos uma classificação de problemas a partir das características dos enunciados e das ideias das operações, a saber:

■ Problemas em que algo mudou, uma quantidade aumentou ou diminuiu, enfim, ocorreu uma transformação positiva ou negativa (ideia de acrescentar, da adição, ou de tirar, da subtração)

Esta classe de problemas inclui aqueles nos quais encontramos um estado inicial, uma transfor-mação que opera sobre ele e que conduz a um estado final. Por exemplo: “Pedro tinha 17 figurinhas em seu álbum. Ganhou algumas de seus colegas e agora tem 29. Quantas figurinhas Pedro ganhou?”

Dentro desta estrutura, a transformação pode ser positiva ou negativa: “Tinha 17 figurinhas e ganhou 12...” (ideia de acrescentar) ou “Tinha 17 figurinhas e perdeu 12...” (ideia de tirar).

É possível também variar o lugar da incógnita, do termo desconhecido. Ela pode estar no estado final (“Tinha 17 figurinhas e ganhei 12, com quantas fiquei?”), na transformação (“Ti-nha 17 figurinhas, ganhei algumas, fiquei com 29, quantas ganhei?”) ou no estado inicial (“Ti-nha algumas figurinhas, ganhei 12 e fiquei com 29, quantas tinha inicialmente?”).

Dentro desta categoria, os problemas de transformação positiva ou negativa cujas per-guntas se referem ao estado final são os que, em geral, apresentam menor grau de dificul-dade em sua resolução, porque basta aplicar a transformação que se propõe ao estado ini-cial. A procura pelo estado inicial é muito mais complexa para as crianças.

■ Problemas em que duas ou mais medidas se combinam para formar outra medida (ideia de juntar da adição e de separar da subtração)

Por exemplo: “No pomar de Pedro há 17 pés de laranja-lima e 12 limoeiros. Quantas árvores frutíferas há no pomar de Pedro?” (ideia de juntar).

Neste caso, não ocorrem transformações, nem acontecem mudanças numa sequência tempo-ral: 17 e 12 são medidas das duas coleções, e 29 é o resultado de uma composição de medidas.

A partir dessa situação, podemos encontrar dois tipos de problemas: um mais simples, quando é preciso encontrar o total, como no exemplo acima, e outro mais complexo, quando é preciso encontrar uma das medidas: “Pedro tem 29 árvores frutíferas em seu po-mar. Algumas são pés de laranja-lima e 12 são limoeiros. Quantos pés de laranja-lima há no pomar de Pedro?” (ideia de separar ou completar).


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■ Problemas que relacionam duas medidas (ideia de comparação)

Este tipo de problema envolve uma relação estática entre ambas as medidas, uma compa-ração entre elas. Não existem transformações. Por exemplo: “Pedro tem 17 figurinhas e Carlos tem 23. Quantas figurinhas Carlos tem a mais que Pedro?”

Nota-se que a quantidade de figurinhas de cada menino não se altera.

Também neste caso é possível variar o lugar onde está a pergunta. É possível formular um enunciado em que a pergunta recaia sobre a relação entre as medidas, como no nosso exem-plo, mas também é possível formular enunciados em que a pergunta incida sobre uma das co-leções. Por exemplo: “Pedro tem 17 figurinhas. Carlos tem 6 a mais que Pedro. Quantas figurinhas Carlos tem?”. As variações também podem ocorrer na maneira como se formula a relação entre as medidas: “mais que” ou “menos que”, “quantos a mais”, “quantos a menos”, “qual é a diferença”.

Este tipo de problema é de uma complexidade maior que os dois precedentes, porque não é simples a associação de uma operação com a ideia de comparação. A compreensão da situação enunciada representa um obstáculo para as crianças, pois a relação com a sub-tração não é evidente inicialmente. Além disso, os termos “mais que” ou “quantos a mais” podem-se configurar como pistas falsas da operação a ser utilizada, levando os estudantes a realizarem uma adição ao invés da subtração.

■ Problemas que envolvem a composição de duas ou mais transformações que dão lugar a outra transformação

São problemas do tipo: “Pedro perdeu 8 figurinhas na primeira partida de um jogo e, na segun-da, perdeu outras 4. Quantas figurinhas Pedro perdeu no jogo?” ou “Pedro perdeu 7 figurinhas na primeira partida de um jogo e ganhou 5 na segunda partida, terminando o jogo com 16 figuri-nhas. Com quantas figurinhas Pedro iniciou o jogo?”

Também neste grupo, os problemas podem variar de acordo com as transformações, po-sitivas ou negativas. As duas podem ser do mesmo tipo ou de tipos diferentes. O segundo caso torna o problema bem mais complexo. É possível ainda variar o lugar da pergunta, que pode recair sobre a transformação composta, como no primeiro exemplo citado ante-riormente, ou também pode pedir para que se encontre uma das transformações elemen-tares. Por exem plo: “Na primeira partida, Pedro perdeu 8 figurinhas e, na segunda, perdeu mais algumas. No total Pedro perdeu 13 figurinhas. Quantas ele perdeu na segunda partida?”

Outros exemplos de questões que exploram a composição de transformações são os seguintes:

“João está juntando dinheiro para comprar uma televisão e um fogão. Ele já possui R$ 976,00. Resolveu comprar o fogão, que custou R$ 599,00. Quanto ainda precisa juntar para comprar uma televisão que custa R$ 750,00?”

“Júlia estava brincando com seus amigos de bolinhas de gude. Júlia tinha várias bolinhas, mas, na primeira partida, perdeu 5 bolinhas. Na segunda, ganhou 8 bolinhas. E na terceira partida, perdeu 4 bolinhas, ficando com 21 bolinhas. Quantas bolinhas Júlia tinha no início do jogo?”


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É necessário, então, explorar toda essa diversidade de tipos de problemas em sala de aula, para que os estudantes se familiarizem com os diferentes tipos, podendo relacionar problemas já conhecidos e discutidos durante as aulas com os novos problemas que terão de enfrentar.

[...]

É importante destacar que os nomes das diferentes categorias ou subclasses de problemas são instrumentos de trabalho para o professor – para selecionar, comparar, analisar e propor diferen-tes problemas para os estudantes –, mas essa classificação não deve ser apresentada às crianças.

Matemática: orientações para o professor. Saeb/Prova Brasil – 4ª série/5º ano, Ensino Fundamental. pp. 98-100.

3. A seguir, temos uma lista de problemas do campo aditivo. Leia os problemas com seus colegas, pro-curando identificar quais são as ideias contidas em cada um: combinar, transformar e comparar. Para fazer essa tarefa, retome as ideias apresentadas no texto lido.

Lista de problemas1. Camila tem 6 anos e André tem 11. Quantos anos André tem a mais que Camila?

2. Guilherme foi ao supermercado com algum dinheiro na carteira. Gastou com suas compras R$ 15,00 e voltou para casa com R$ 24,00. Quanto Guilherme tinha na carteira antes de fazer a compra no supermercado?

3. Paulo tem 5 livros que estão guardados no seu armário e 7 que estão em cima de sua mesa. Quantos livros ele tem?

4. Pedro tinha no seu cofrinho R$ 86,00. Ganhou de seus avós R$ 15,00, e também colocou no co-frinho. Quanto ele já tem guardado?

5. No minizoo da minha cidade há 36 animais. Se já vi 15 animais, quantos estão faltando para eu ver?

6. Dona Bete deu um pacote com 12 balas a cada um dos netos: Fábio, Valéria e Marcelo.

a. A Valéria comeu 8 balas do pacote. Quantas restam?

b. O Fábio comeu 6 balas, deu algumas para seu amigo e ainda restam 4. Quantas ele deu ao amigo?

c. O Marcelo comeu 2 na mesma hora, outras 5 no cinema e mais 3 em casa. Quantas balas ele ainda tem?

7. Depois de ganhar de aniversário 26 adesivos, a coleção de Camila passou a ter 80 adesivos. Quantos ela tinha antes de seu aniversário?

8. Eu e meu irmão fomos à praia e apanhamos conchinhas. Eu peguei 7 conchinhas. Se ele pegou 6 a mais que eu, quantas ele apanhou?

9. Mariana, Gabriel e Laura estavam jogando.

a. A peça da Mariana estava na casa 8. Ela jogou o dado e avançou para a casa 13. Quantos pon-tos ela tirou no dado?

b. A peça do Gabriel estava na casa 15. Nessa casa, havia uma penalidade: depois de lançar o dado, ele teria que recuar em vez de avançar. Ele jogou o dado e voltou para a casa 9. Quanto ele tirou no dado?

c. Laura também sofreu penalidade e teve de recuar 5 casas, até a casa 10. Em que casa a peça da Laura estava?


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4. Utilizando a proposta de classificação apresentada no texto que foi lido, organize os problemas do item anterior neste quadro :

Quadro de classificação dos problemas do campo aditivo

Classificação Esquema

Quais problemas fazem parte desse grupo? Identifique-os pela numeração usada na lista de problemas

Problemas em que duas ou mais medidas se combinam para formar outra medida

O valor desconhecido (a incógnita) é o resultado da combinação

A

B?{


O valor desconhecido (a incógnita) é uma das medidas

A

?C{

Problemas de transformação positiva

O valor desconhecido (a incógnita) é o estado final

A ?+B


O valor desconhecido (a incógnita) é o estado inicial

? C+B


O valor desconhecido (a incógnita) é a transformação

A C?

Problemas de transformação negativa


A ?-B



? C-B


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A C?

Problemas que relacionam duas medidas (ideia de comparação)

O valor desconhecido (a incógnita) é uma das medidas A

?

B

Problemas que relacionam duas medidas (ideia de comparação)

O valor desconhecido (a incógnita) é a relação entre as medidas A

C

?

Duas transformações se compõem para dar lugar a outra transformação

O valor desconhecido (a incógnita) varia: pode ser um dos estados (inicial ou final) ou uma das transformações

A EC

±B ±D

Observação: no âmbito do estudo deste Caderno Bimestral não estão incluídos os problemas de es-tados relativos (a exemplo dos Parâmetros Curriculares Nacionais). Entretanto, para os professores do 4º e 5º anos, sugerimos a leitura das páginas 21 e 22 do livro As operações matemáticas no ensino fun-damental I, indicado na seção Sugestões de Leituras Complementares.

5. Para verificar as respostas e dúvidas, consultem o gabarito comentado desse quadro presente no fim desta publicação.

Momento 2 – Como o trabalho com o campo aditivo está sendo realizado em sua sala de aula?

Nesta etapa, continuaremos pensando sobre a complexidade envolvida no trabalho com o campo adi-tivo na sala de aula.

1. Individualmente, a partir do que foi discutido no momento anterior, responda às questões abaixo:

Como você trabalha com os problemas do campo aditivo em sua sala de aula? Já tinha se dado con-ta da diversidade de problemas que fazem parte desse campo? Como esses diferentes tipos apare-cem em sua prática?


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2. Coletivamente, socializem suas anotações e busquem identificar o que, para o grupo:

■ está assegurado em relação ao trabalho com o campo aditivo;

■ ainda não aparece no trabalho realizado em sala de aula;

■ quais são as maiores dificuldades por parte de vocês, professores, e de seus alunos.

3. É importante destacar que o planejamento do trabalho com os diferentes tipos de problemas do campo aditivo deve ocorrer ao longo de todo o Ensino Fundamental. Leiam as orientações dos Parâ-metros Curriculares Nacionais:

A construção dos diferentes significados leva tempo e ocorre pela descoberta de diferentes procedimentos de solução. Assim, o estudo da adição e da subtração deve ser proposto ao longo dos dois ciclos, juntamente com o estudo dos números e com o desenvolvimento dos procedimentos de cálculo, em função das dificuldades lógicas, específicas a cada tipo de problema, e dos procedimentos de solução de que os alunos dispõem.

Parâmetros Curriculares Nacionais (1ª a 4ª série) – Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. pp. 105.

Momento 3 – Planejamento passo a passo

1. No desenvolvimento das atividades que você realizou até este momento, pôde compreender a di-versidade de problemas que fazem parte do campo aditivo. Agora vamos pensar na prática de sala de aula. Para isso, planejaremos uma situação de trabalho com problemas desse campo do tipo transformação positiva, considerando as incógnitas nos diferentes lugares. Para tanto, tenha em mãos o livro didático adotado por sua escola.

No contexto do estudo deste bimestre, em que a proposta é realizar um levantamento diagnóstico a respeito de como seus alunos resolvem os problemas de transformação positiva do campo aditivo, introduzimos mais um conteúdo de reflexão: o acompanhamento das aprendizagens dos alunos. Esse conteúdo estará presente em outros bimestres também. Ao fim desta etapa de planejamento, discutiremos a importância dos registros para auxiliar o acompanhamento.


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Quadro de etapas a serem asseguradas para o planejamento da atividade de resolução de problemas do campo aditivo

Etapas Orientações

Selecionar, conhecer e preparar a situação

■ Eleja três problemas para trabalhar com seus alunos. Você pode escolher os problemas do livro didático adotado ou da lista de problemas usada no Momento 1, mas, nesse caso, pode ser necessário adequar a ordem de grandeza dos números para a série com a qual trabalha. É importante que todos os problemas selecionados sejam de transformação positiva, e que cada um tenha a incógnita em lugares diferentes: um no estado inicial, um na transformação e um terceiro no estado final.

■ Como se trata de um levantamento diagnóstico, você precisará recolher as produções dos alunos. Então, pense em como o problema será apresentado para eles. Qual suporte será utilizado pelos alunos na resolução (caderno, folha xerografada, livro didático...)?

Competências e habilidades discentes a serem desenvolvidas

■ Descritor 19 – resolver problemas com números naturais, envolvendo diferentes significados da adição ou subtração: juntar, alteração do estado inicial (positiva ou negativa), comparação e mais de uma transformação (positiva ou negativa).

Obs.: para os fins deste estudo, vamos trabalhar com as transformações positivas considerando as incógnitas no estado inicial, final e na transformação.

■ Inclua outras competências envolvidas na resolução de problemas usando o quadro (*) que se encontra no fim do item 2.

Organizar as etapas de trabalho com os alunos no tempo e no espaço da sala de aula

■ Como serão organizadas as etapas desse trabalho? Os três problemas serão propostos juntos ou serão divididos por aulas?

■ Como os alunos estarão organizados em cada etapa? Para planejar esse item, retome o que foi discutido no caderno do bimestre anterior sobre interação entre pares. Destacamos que somente a etapa inicial de resolução precisa ser individual para que você possa registrar as resoluções dos alunos, mas as seguintes podem ser em grupos ou coletiva.

O papel do professor

■ Procure antecipar qual será seu papel em cada etapa de trabalho, como irá intervir com os alunos que tiverem mais dificuldade (só tenha em mente que, por se tratar de um levantamento diagnóstico, é importante registrar as dificuldades que os alunos apresentarem).

Conversar com os alunos

■ Como irá orientar seus alunos para a realização dessa tarefa? O que poderá ser ou não antecipado para o aluno? Por exemplo, deixar claro que devem escolher a estratégia para a resolução de cada problema, mas não antecipar a operação que deverão usar.


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Desenvolvimento do momento coletivo após a resolução dos problemas

■ Depois de ter preenchido a pauta de observação, após a primeira etapa individual, como será realizada a socialização das resoluções dos problemas? Você fará uma socialização após a resolução de cada um dos problemas ou depois da realização dos três?

■ Como fará em relação às diferentes estratégias que provavelmente irão aparecer? Vai pedir que os alunos contem como fizeram ou você irá expor as estratégias dos alunos? Usará o registro na lousa como apoio?

Avaliar a atividade

■ Organize-se para preencher a pauta de acompanhamento das aprendizagens. Ela será importante para você conhecer as estratégias, os saberes e as dificuldades dos seus alunos.

Para pensar

Durante a etapa de socialização, é importante ficar atento à participação de seus alunos para acolher, respeitar e considerar seus comentários, dando voz a todos, principalmente àqueles que pouco participam.

2. Em pequenos grupos (organizados pelo ano escolar em que atuam), utilizem o roteiro de planeja-mento que segue e planejem a atividade de resolução de problemas do campo aditivo do tipo trans-formação positiva. Usem como referência o quadro de planejamento anterior.

Roteiro para planejamento da atividade de levantamento diagnóstico de resolução de problemas do campo aditivo – transformação positiva

Situações-problema:

1- 2-3-

Fonte:

Etapas:Planejamento: descrever os procedimentos a serem feitos, o material que será utilizado e o tempo previsto para a atividade (ou cada parte da atividade).

Selecionar, conhecer e preparar a situação-problema


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Competências e habilidades discentes a serem desenvolvidas

Organizar as etapas de trabalho com alunos no tempo e no espaço da sala de aula

O papel do professor

Conversar com os alunos

Desenvolvimento do momento coletivo após a resolução da situação-problema

* Para definir as competências discentes que serão trabalhadas, você pode se basear também no quadro que segue:

Competências dos alunos envolvidas na interação entre pares

Competências dos alunos envolvidas na resolução de problemas

Trabalhar coletivamente supõe uma série de aprendizagens, como:

■ perceber que, além de buscar a solução para uma situação proposta, devem cooperar para resolvê-la e chegar a um consenso;

■ saber explicitar o próprio pensamento e tentar compreender o pensamento do outro;

■ discutir as dúvidas, assumir que as soluções dos outros fazem sentido e persistir na tentativa de construir suas próprias ideias;

■ incorporar soluções alternativas, reestruturar e ampliar a compreensão acerca dos conceitos envolvidos nas situações e, desse modo, aprender.

Resolver um problema pressupõe que o aluno:

■ elabore um ou vários procedimentos de resolução (como, por exemplo, realizar simulações, fazer tentativas, formular hipóteses);

■ compare seus resultados com os de outros alunos;

■ valide seus procedimentos.

Parâmetros Curriculares Nacionais – (1ª a 4ª série) Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. p. 41 e p. 44.

3. Neste estudo, apresentamos um modelo de pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alu-nos (essa pauta encontra-se presente na seção Aplicação Prática desta publicação e no Portal de Aprendizagem). Junto com seu grupo, analise como esse instrumento foi organizado, o que há em cada campo e antecipe seu preenchimento tirando dúvidas com os colegas. O preenchimento des-sa pauta será feito no momento de Aplicação Prática; a proposta agora é apenas a discussão e análise desse documento.


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Pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos

Conteúdo: PROBLEMAS DO CAMPO ADITIVO – TRANSFORMAÇÃO POSITIVAData:

Nome dos

alunos

Problema 1 Problema 2 Problema 3

Acertou tudo

Utilizou estratégia adequada, mas errou

algum cálculo

Não acertou

Acertou tudo


algum cálculo

Não acertou

Acertou tudo


algum cálculo

Não acertou

Possibilidades interdisciplinares: a pauta de acompanhamento é um instrumento importante para o professor em qualquer campo disciplinar, na medida em que permite orientar a prática de forma fundamentada nas reais necessidades dos alunos.

Quando o professor realiza esse acompanhamento de forma sistemática, além de conhecer as demandas da classe, ele se apropria de informações a respeito dos processos individuais de seus alunos. Essas informações são indispensáveis para avaliar as crianças e pensar nas melhores estratégias para potencializar suas aprendizagens.

3. Leiam a contribuição dos Parâmetros Curriculares Nacionais.

Mudanças na definição de objetivos para o Ensino Fundamental, na maneira de conceber a aprendizagem, na interpretação e na abordagem dos conteúdos matemáticos implicam repensar sobre as finalidades da avaliação, sobre o que e como se avalia, num trabalho que inclui uma variedade de situações de aprendizagem, como a resolução de problemas, o trabalho com jogos, o uso de recursos tecnológicos, entre outros.

Alguns professores têm procurado elaborar instrumentos para registrar observações so-bre os alunos. (...)


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Os resultados expressos pelos instrumentos de avaliação, sejam eles provas, trabalhos, postura em sala, constituem indícios de competências e, como tal, devem ser considerados. A tarefa do avaliador constitui um permanente exercício de interpretação de sinais, de indícios, a partir dos quais manifesta juízos de valor que lhe permitem reorganizar a atividade pedagógica.

Parâmetros Curriculares Nacionais - (1ª a 4ª série) – Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. p. 58 e p. 59.

E depois...

Nesta formação presencial, propusemos que você planejasse, desenvolvesse e avaliasse uma atividade com problemas envolvendo transformação positiva.

Sugerimos que você desenvolva com sua turma atividades similares com problemas que envolvam os outros sentidos da adição e da subtração: combinação, transformação negativa, comparação e com-posição de mais de uma transformação.

Enfim, a sugestão é explorar os problemas do campo aditivo ao longo de todo o ano, ampliando cada vez mais a compreensão dos alunos sobre a adição e subtração.

Avaliação do encontroDuração: 10min

Este é um momento para você avaliar como foi este Encontro Presencial.

Você terá acesso a uma avaliação avulsa. Preencha com bastante atenção e empenho, pois o objetivo é melhorar cada vez mais esse programa de formação para você.

Preparação para o próximo encontro

Para o próximo Encontro Presencial, você vai precisar:

■ Do livro didático de matemática adotado pela sua escola.

■ De alguns registros (diferentes entre si) de resoluções de problemas feitos pelos seus alunos.

■ Do registro que você fez sobre a atividade de Aplicação Prática (que foi planejada no 2° encontro e desenvolvida em sua sala de aula).

■ Do texto e seu registro da atividade de Reflexão sobre a Prática.

■ Do Caderno de Metodologia.

■ Deste Caderno Bimestral II.


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Sugestões de leituras complementares

■ BROITMAN, Claudia. Mudam os problemas, mudam os procedimentos de resolução. In: BROITMAN, Claudia (trad. Rodrigo Vilela). As operações matemáticas no ensino fundamental I: contribuições para o trabalho em sala de aula. São Paulo: Ática, 2011. (Nós da educação).

■ BROITMAN, Claudia. Somar não é sempre juntar, subtrair nem sempre é tirar. In: BROITMAN, Claudia (trad. Rodrigo Vilela). As operações matemáticas no ensino fundamental I: contribuições para o trabalho em sala de aula. São Paulo: Ática, 2011. (Nós da educação).

■ VERGNAUD, Gérard. A criança, a matemática e a realidade – Problemas do ensino da matemática na es-cola elementar. Curitiba: UFPR, 2009.

■ PENAS, Fernanda. Suma y resta, in CASTRO, Adriana et al. Enseñar matemática em la escuela primaria. Buenos Aires: Tinta Fresca, 2011.

Aplicação PráticaDuração: 4h

A proposta aqui é que você desenvolva com seus alunos a atividade de levantamento diagnóstico de resolução de problemas do campo aditivo que foi planejada. Para isso, siga os passos a seguir:

■ Releia o planejamento e procure esclarecer eventuais dúvidas com seus colegas de escola.

■ Lembre-se das competências discentes que trabalhará na atividade e também dos encaminhamentos que planejou.

■ Se planejou usar como suporte para apresentação da atividade algum material, como cartaz ou folha xerografada, é preciso já ter em mãos esse material no momento da aplicação da atividade.

■ Realize a atividade em sua sala de aula, levando em consideração os aspectos discutidos no Encon-tro Presencial sobre o trabalho com o campo aditivo. Considere também os princípios de trabalho discutidos no bimestre anterior sobre o papel da resolução de problemas e da interação entre pares nas aulas de matemática.


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Registrando a prática

1. Depois do desenvolvimento da atividade em sua sala de aula, preencha a pauta de acompanhamen-to das aprendizagens dos alunos (para isso você precisará ter em mãos as produções de seus alunos).

Use como modelo a pauta a seguir, que já foi analisada por você no Encontro Presencial. Se preferir, você pode imprimir uma versão desta pauta no Portal de Aprendizagem.

Pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos

Conteúdo: PROBLEMAS DO CAMPO ADITIVO – TRANSFORMAÇÃO POSITIVAData:

Nome dos

alunos

Problema 1 Problema 2 Problema 3

Acertou tudo


algum cálculo

Não acertou

Acertou tudo


algum cálculo

Não acertou

Acertou tudo


algum cálculo

Não acertou


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2. Agora faça o registro reflexivo da atividade utilizando o modelo a seguir:

Registro da atividade – problemas do campo aditivo (transformação positiva)

Município:

Escola:

Professor:

Ano/Série:

Quantidade de alunos presentes no(s) dia(s) da atividade:

Tempo utilizado para realização da atividade:

1. Quais foram os problemas propostos? Preencha a tabela abaixo, anotando o problema utilizado em cada caso:

Classificação do problema Problema

Problema 1Envolve uma transformação positiva, com a incógnita no estado inicial.

Problema 2Envolve uma transformação positiva, com a incógnita na transformação.

Problema 3Envolve uma transformação positiva, com a incógnita no estado final.

2. Comente como os alunos participaram de cada etapa (concentração, envolvimento etc.). Por que você acha que eles agiram dessa maneira?

Quantos alunos acertaram? Quantos alunos erraram?

Problema 1

Problema 2

Problema 3

3. Houve algum (ou alguns) problema(s) que todos acertaram? Qual (ou quais)?

4. Na sua avaliação, em qual dos problemas os alunos tiveram mais dificuldade? Por que isso ocorreu?

5. Analise as estratégias de resolução usadas pelos alunos nos três problemas propostos. Registre na tabela a estratégia mais frequente em cada caso.

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Releia e revise o texto das suas respostas antes de colocá-lo no Portal de Aprendizagem (esses docu-mentos também estarão disponíveis no Portal de Aprendizagem).


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Atividade VirtualDuração: 4h

Para ampliar sua reflexão sobre os problemas do campo aditivo, analise o estudo de caso que está no Portal de Aprendizagem. Reflita e registre suas conclusões participando do Fórum de Discussões.

Primeiro, uma retomada importante

1. Na atividade de Aplicação Prática deste Caderno Bimestral, uma de suas tarefas era identificar quais ti-pos de problemas de transformação positiva os alunos de sua turma já conseguem realizar. Além dis-so, você procurou identificar como os alunos resolveram esses problemas. Esse levantamento per-mite que você planeje novas situações e atividades com problemas do campo aditivo que contem-plem as reais necessidades de seu grupo. Ou seja, se a maioria dos alunos já consegue resolver pro-blemas em que a incógnita está no estado final (A + B = ?), é sinal de que essa situação não é muito complexa para eles. Por isso, situações desse tipo não podem mais ser consideradas como problemas, mas como exercícios. Uma de suas metas de trabalho seria, então, planejar situações que envolvam as outras ideias do campo aditivo e que sejam desafiadoras para os alunos.

Para que você pudesse ter um panorama, uma fotografia dos conhecimentos de sua turma em relação a essa categoria de problemas, introduzimos uma reflexão sobre a importância do acompanhamen-to das aprendizagens dos alunos. E propusemos um instrumento de verificação e análise.

É possível que em sua turma você tenha encontrado muitos tipos de procedimentos diferentes en-tre si. Que intervenções você, professor, pode fazer a esse respeito, para favorecer a aprendizagem dos alunos? Esse é o tema deste Encontro Virtual.

Agora, a nova proposta

2. O objetivo da Atividade Virtual é ampliar a discussão sobre os problemas do campo aditivo e retomar o importante conteúdo tratado no Caderno Bimestral I – a interação entre pares –, pois acreditamos que tais interações são férteis para o aprendizado de todos. Por isso, escolhemos colocar em debate a potencialidade das discussões em grupos e coletivas no trabalho com a resolução de problemas desse campo. Participe do fórum refletindo e dando sua opinião.

Estudo de caso – É ”de mais” ou é “de menos”?

Apresentamos fragmentos de uma aula que aconteceu no início do ano em uma turma de 2o ano do Ensino Fundamental. Leia as três partes destacadas e, em seguida, analise as reflexões de duas professoras sobre a aula, respondendo às propostas que serão feitas ao final.

Primeira parte

A professora Cristina escreveu a situação-problema na lousa e estipulou um tempo para que pensassem na resolução individualmente.


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Luiz ganhou 15 figurinhas da sua tia. Depois de colar todas elas em seu álbum, verificou que ficou com um total de 35. Quantas figurinhas havia no álbum antes de Luiz colar as que ganhou da sua tia?

Em seguida, ela organizou grupos de quatro crianças e entregou uma única cópia da situa-ção-problema para cada grupo. Pediu que conversassem sobre como poderiam resolver e que registrassem seus procedimentos. Também informou que, depois de chegarem a um acordo sobre a resolução, deveriam apresentar o resultado ao grupo todo. Ela ficou circulan-do entre os grupos, observando as discussões e ajudando a resolver pequenos conflitos.

Segunda parte

A professora Cristina pede que cada grupo apresente sua resolução aos demais colegas da turma, divide a lousa em sete partes (que é a quantidade de grupos) e observa as explicações.

Grupo 1: A gente pensou que ele colou 35, mas a tia dele só deu 15 figurinhas, então a gente pre-cisava descobrir quantas ele tinha antes. Deu 20 antes, porque 20 mais 15 dá 35. É de mais.

20 + 15 = 35 (João explica: 20 + 10 a gente já sabia que dava 30; e 30 + 5 é 35.)

Grupo 2: A gente concorda que é de mais, porque ele ganhou, então é de mais mesmo. Só que o nosso deu 50. Olha:

15 + 35 =

10 + 30 = 40

5 + 5 = 10

Grupo 3: A gente acha que é de tirar, porque tem que tirar o 15 que a tia dele deu pra ficar o que ele ti-nha antes dela dar as outras. Aí, 35 tirando o 15 dá 20, porque 30 tira 10 é 20 e 5 tira 5 é zero. Só 20 mesmo.

35 – 15 = 20

Ana Paula, que é do grupo 1 diz: Como pode ser de tirar se ele ganhou figurinhas da tia dele? Não dá pra ser de tirar!

Viviane, que é do grupo 3 responde: É que a gente se lembrou do problema que a gente fez outro dia e podia ser de tirar também. Aqui precisava tirar pra achar quanto ele tinha antes.

Grupos 4 e 5 repetem o resultado 50, assim como o grupo 2.

Grupo 6: O que foi difícil foi achar quanto que ele tinha antes da tia dele dar as 15 figurinhas, porque só depois que ele ficou com 35. Então a gente foi acrescentando do 15 até chegar no 35, um por um. Deu 20.

15 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 35

20

40 + 10 = 50


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Luísa, que é deste mesmo grupo: Mas a gente acha que é de mais porque ele ganhou e não perdeu. E o grupo da Pietra (que é do grupo 3) falou que é de tirar. Cada grupo fez como conseguiu fazer!

Grupo 7: Bom, deu 20 também. A gente tá concordando que é de tirar porque se ele ganhou 15 não dava pra saber quantas ele tinha antes de colar no álbum. Mas foi o Lucas que deu essa dica pra gente. Aí, eu resolvi dar a dica de colocar as 35 figurinhas e tirar as 15 que ele ganhou. O que so-brou foi o que ele já tinha antes da tia dele dar as figurinhas. Aí ficou bem fácil tirar.

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Terceira parte

A professora toma a palavra e começa a direcionar a discussão:

Professora Cristina: Primeiro, vamos pensar nos resultados que os grupos expuseram na lousa, certo? Alguns acham que o resultado é 20 e outros acham que é 50. Vamos verificar juntos. Pode-mos ter esses dois resultados como certos?

Lucas: Eu acho que 50 não pode ser, é muito.

Professora Cristina: Mas por que é muito?

Lucas: Porque ele só colou 35 e 50 é mais que 35. No problema não fala que ele colou 50 figurinhas, o máximo que ele colou foi 35.

Sérgio: É mesmo, nunca pode ser mais que 35! 35 já é o máximo que ele colou.

Professora Cristina: Quer dizer então que ele ficou com 35 figurinhas no fim de tudo? Então, ele tinha menos de 35 antes de ganhar?

Vários alunos: É, é!

Professora Cristina: Então, nós conseguimos chegar a uma conclusão, não foi? Não é possível somar os números que aparecem no problema, apenas. O 35 significa o total de figurinhas que o Luiz colou em seu álbum e 15 foram as figurinhas que ele ganhou. Qual era o maior desafio, então?

Ana Paula: Era descobrir quantas figurinhas ele tinha antes da tia dele dar as outras figurinhas pa-ra ele, pra juntar com as que ele ganhou dela e ficar 35 no total pra colar.

Professora Cristina: E por que alguns grupos acham que o problema pode ser resolvido com uma subtração?

Viviane: Porque quando a gente TIROU AQUI (falou dando ênfase às palavras) foi pra achar quan-to ele tinha antes de ganhar. A gente tirou o que ele ganhou pra saber quanto ele tinha antes de ga-nhar. Então é de menos, de subtrair, mesmo que ele ganhou figurinhas. É de menos só pra descobrir quantas ele já tinha. Dá pra ser de menos, sim.


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Professora Cristina: Isso mesmo! Mas outros grupos também chegaram ao mesmo resultado SOMANDO (ressaltou essa palavra). É possível descobrir quantas figurinhas já havia partindo do 15 que ele ganhou e somar até completar o 35, não é? Como eles fizeram aqui (indica a resolução do grupo 6 na lousa).Então, a gente pode chegar à conclusão de que, no caso deste problema, foi pos-sível resolver com a soma ou com a subtração e de diferentes maneiras. Deu certo de jeitos diferen-tes, não foi de um jeito só, mas o resultado é mesmo o 20!


Para refletir, registrar e postar no Portal de Aprendizagem

Duas professoras analisaram os mesmos fragmentos desta aula e se posicionaram de diferentes ma-neiras diante de algumas questões. Leia os registros dessas professoras e identifique a justificativa que você também daria à pergunta.

1. Fórum – parte 1

Por que a professora Cristina pede que os alunos, inicialmente, pensem a respeito do proble-ma indivi dualmente?

Fórum – parte 1

Município:

Escola:

Professor:

Ano/série:

Professora Elizabeth Professora Maria do Carmo

Ela pede para que pensem sozinhos porque é muito tradicional e não valoriza o trabalho em grupos. Acho que não precisava dessa parte, poderia ir diretamente para os grupos. O nosso tempo já é bem curto e não podemos ficar tanto tempo por conta de um único problema. Tirando essa parte, seria mais rápido.

Ela pede que cada um faça uma reflexão individual porque é importante que cada criança tenha um tempo com o problema para pensar em como pode resolvê-lo. É nesse momento que a criança vai acionar o que sabe e poderá pensar em como resolver, em quais estratégias utilizar.

Acho que não precisa ser um tempo longo, pois precisamos controlar e dividir o tempo muito bem pra não ficar cansativo e não perdermos tempo de estudo com as crianças. Precisamos considerar as outras partes da aula, que também são muito importantes.

Sua reflexão


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Por que a professora Cristina não faz nenhuma intervenção na segunda parte da aula?

Fórum – parte 2

Município:

Escola:

Professor:

Ano/série:


Claro que isso foi intencional. Ela queria saber o que as crianças realmente pensavam. Se ela falasse alguma coisa, poderia influenciar nas respostas.

Porque ela queria favorecer o intercâmbio entre as próprias crianças sobre o resultado alcançado. Penso que ela organizou a situação para fazer as intervenções apenas no momento seguinte.

Sua reflexão


Podemos considerar que essa situação foi realmente um problema para os alunos porque ela reúne algumas condições necessárias, que indicamos a seguir:

– ter sentido no campo do conhecimento da criança, para que ela possa imaginar uma estratégia para resolvê-lo, mesmo que não seja a correta, nem a mais econômica;

– que o problema envolva um desafio: a estratégia conhecida não pode ser suficiente – ou eficiente – para resolvê-lo;

– que seja suficientemente aberto para dar espaço ao surgimento de diferentes estratégias de resolução válidas, para que seja possível confrontá-las e extrair conclusões a partir delas.

Matemática: orientações para o professor. Saeb/Prova Brasil. p. 97.


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Alguns alunos erraram o problema e outros tiveram dificuldade para entender que ele poderia ser re-solvido tanto por meio da adição quanto pela subtração. Isso é esperado para essa série? A quantidade de acertos não deveria ter sido maior, já que os números envolvidos no problema não eram tão altos? Qual o motivo das dificuldades?

Fórum – parte 3

Município:

Escola:

Professor:

Ano/série:


Eu nem achei que os alunos foram mal, não. Talvez os meus alunos nem tivessem conseguido resolver das diferentes maneiras que essa turma apresentou. Primeiramente, eu até achei os números baixos, mas, depois que eu percebi que a dificuldade estava no que era pedido pelo problema – que a incógnita não estava no estado final, mas sim no estado inicial, vi que esse era o maior desafio para os alunos.

Eu não costumo trabalhar com esses problemas mais difíceis com minhas crianças. Agora começo a perceber que é importante trabalhar também com esse tipo. Pelo exemplo dessa turma, eu reparo que as crianças podem conseguir resolver, sim. No meu caso, eu ainda teria que iniciar o trabalho, pois nunca tentei. No meu livro didático não tem esse tipo de problema; se tiver algum, eu pulei, pois nem me lembro.

Porque para mim também é novidade essa história de poder resolver tanto pela adição quanto pela subtração, então acho que é esperado, sim, que alunos tão pequenos ainda sintam dificuldade para resolver. Mas estou sentindo que o importante é planejar situações-problema desse tipo também pra eles aprenderem mais.

Eu penso que era realmente para ser uma atividade desafiadora e foi por isso que a professora organizou a aula dessa maneira (primeiro a reflexão individual, depois o trabalho em grupos, depois a apresentação dos grupos e a argumentação sobre as resoluções e, por fim, as suas intervenções para fechar a atividade). Para mim, esse é um tipo de problema mais difícil, e nós não estamos acostumados a trabalhar com ele. Portanto, as crianças também não estão tão acostuma-das a pensar sobre eles. É um problema que apresenta a incógnita no estado inicial, ou seja, é preciso encontrar o primeiro número e não o resultado final (? + B = C) e isso muda completamente a maneira de pensar.

Então, mesmo que alguns alunos tenham errado o problema (aqueles que responderam 50) e outros nem tenham entendido muito bem o porquê de se resolver pela adição ou pela subtração, TODOS tiveram de refletir muito para resolvê-lo e tiveram oportunidade de pensar sobre esse tipo de resolução. É a continuida-de do trabalho com problemas da mesma categoria que vai possibilitar o avanço de todos.

Sua reflexão


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Fórum – parte 4

Município:

Escola:

Professor:

Ano/série:

Você acredita que realizar essa Atividade Virtual ajudou você a pensar sobre sua prática? Justifique e compartilhe sua resposta.

Reflexão sobre a prática Duração: 4h

Estamos terminando o estudo do material do 2º bimestre. No caderno anterior, começamos a refletir sobre a importância dos problemas nas aulas de matemática e o papel das interações entre pares na construção dos conhecimentos envolvidos nessas situações. Continuando e ampliando esse estudo, neste caderno, focamos os problemas que fazem parte do campo aditivo. Já deu para perceber o tanto de coisas que temos de considerar ao planejarmos nossas aulas, não é mesmo?

Agora, sua tarefa é ler o texto Problemas complexos, mas não impossíveis. Esse texto traz relatos de pro-fessoras sobre como encaminharam algumas situações desafiadoras para seus alunos com os proble-mas do campo aditivo – e como esse trabalho ajudou seus alunos a avançarem nas estratégias de reso-lução de problemas e na compreensão das ideias envolvendo a adição e a subtração.

Para pensar

Quando consideramos válidos os procedimentos dos alunos para resolver um problema, estamos confirmando que sua lógica de pensamento é correta, contribuindo para que construam uma relação positiva com o conhecimento matemático.


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Problemas complexos, mas não impossíveis

Ao colocar a incógnita em lugares diferentes, os enunciados ficam mais complexos, o que obriga a turma a trabalhar dentro dos conceitos de campo aditivo.

Danielle Amaral Ambrósio entrou na sala do 3º ano da Escola Castanheiras, em Santana de Parnaíba, município da Grande São Paulo, com suas colegas Adriana Mercês e Laura Bugni. Com ela, uma balança portátil para pesar as professoras convidadas. Os alunos se amontoa-ram para observar o ponteiro: quanto pesava Adriana? Minutos depois, todos anotaram o enunciado que estava no quadro: “Adriana pesa 68 quilos. Juntas, ela e Laura pesam 125 qui-los. Quanto pesa Laura?”

Em problemas de composição como esse, a professora se preocupa em variar o lugar da in-cógnita para tornar o enunciado mais complexo e, com isso, exigir que a turma raciocine den-tro dos princípios do campo aditivo. Em vez de propor “Adriana pesa 68 quilos e Laura pesa 57, quanto pesam as duas juntas?”, Danielle apresentou os valores parcial inicial e final, deixando a busca da outra parte da composição para as crianças.

Quem ainda não entendeu o que o problema solicita logo pergunta: “É para fazer conta de mais ou de menos?” Outras dúvidas surgiram:

■ Como posso calcular o peso da professora Laura se o problema não diz nada sobre ela?

■ De 125 posso tirar 68. Mas como tiro 8 de 5? (referência às unidades.)

Num primeiro momento, a tendência de algumas crianças é somar os números apresentados antes de notar que não é o valor final a resposta solicitada.

É quando Danielle retoma o texto e ajuda na análise das informações. No caso da balança, a professora ressaltou que o peso da Laura sozinho não poderia ser maior do que o das duas juntas. Alguns alunos decompõem o 125 e retiram dele os 68 por vários caminhos. Outros uti-lizam direto o algoritmo da subtração. Um deles optou por conservar o 68 e completar com pauzinhos até chegar ao 125, o que pediu uma intervenção dela no fim do raciocínio: “Será que não há uma maneira mais econômica de realizar a conta?”

Depois dos cálculos individuais, a professora analisou as várias resoluções, anotou as dúvidas e organizou a classe em quartetos. Nesses pequenos grupos, os estudantes expuseram suas estra-tégias e conheceram as dos colegas. Coube a Danielle expor outros procedimentos possíveis – ainda que não tenham aparecido durante a atividade – e discuti-los. Dessa forma, a turma aumen-tou o repertório de soluções e todos os caminhos foram registrados no quadro e nos cadernos.

Hora de avançar

Quando as crianças já estão familiarizadas com problemas envolvendo números baixos – usan do com destreza os dedos ou o cálculo mental para resolvê-los –, Danielle começa a di-ficultar, aumentando gradualmente os valores e sempre mudando a incógnita de lugar. Com a primeira estratégia, ela faz a turma sentir necessidade de voltar a registrar o raciocínio no pa-


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pel para chegar à resposta. Já com a segunda – que também demanda anotações –, a criança é levada a pensar na adição por outro viés e a construir o significado da operação.

Para ajudar na transição dos trabalhos com os números baixos para os altos, Renata Praxe-des, também da Castanheiras, propôs à turma de 1º ano colecionar tampinhas. Conforme as peças eram trazidas pelos pequenos, a contagem ia ficando mais complexa. Primeiro eles verificavam a quantidade, apontando os objetos do pote de um em um e acrescentando os recém-chegados. Depois de alguns dias, a professora quis saber como eles poderiam continu-ar a somar sem ter de partir sempre do começo: “Já temos 56 tampinhas. Como fazemos para continuar o registro?” Um dos alunos sugeriu: “Vamos contar a partir do 56! Assim fica mais fá-cil saber quanto a gente tem no final”. Esse processo, chamado de sobrecontagem, ajuda a en-tender os problemas de transformação.

“Algumas crianças ainda não tinham percebido que conservar a quantidade já obtida e a par-tir dela acrescentar novos elementos facilita o processo”, recorda Renata. Em uma das situa-ções, a turma chegou a 146 tampinhas – mas faltava contar muitas que estavam na mochila de uma colega. “Sugeri que meninos e meninas formassem dois grupos e dividissem as novas tampinhas para contar.” Os meninos foram de um em um e chegaram a 107. As meninas sepa-raram em montinhos e foram somando de pouco em pouco.

A soma desses valores parciais deu 88. “Se imaginarmos que os meninos têm mais ou menos 100 e as meninas 88, quanto temos ao todo?”, perguntou a professora. As crianças responde-ram 188 em coro. Para o valor final, faltava apenas acrescentar o 7 (dos 107) e, em seguida, as 146 que já estavam no pote. Total: 341. Assim, fazendo sobrecontagem e trabalhando dia após dia problemas de transformação positiva, a turma acabou juntando 2.000 tampinhas. Para manter o controle preciso do acervo, os alunos preencheram uma tabela na qual registravam a quantidade arrecadada e a que chegava a cada dia.

Outro desafio levou a garotada a ter contato com a transformação negativa: confeccionar uma bandeira com as tampinhas, um processo em que as crianças subtraíam as peças da coleção. “To-dos aprenderam as operações antes de conhecer a conta armada”, explica Cíntia Fondora Simão, coordenadora pedagógica dos primeiros anos do Ensino Fundamental da Escola Castanheiras.

Guilherme Santinho Jacobik, que trabalha há 12 anos com formação de professores de Edu-cação Infantil para a rede pública, também optou por ensinar o raciocínio antes do algoritmo após conhecer a teoria dos campos conceituais. Hoje ele não ensina conta armada para tur-mas dos primeiros anos do Ensino Fundamental: “Valorizo o caminho que o aluno optou e o cálculo mental. Nós, adultos, fazemos isso naturalmente, começando pela maior grandeza nu-mérica. Já as crianças precisam aprender essas estratégias, que são as mais usadas no dia a dia”.

As anotações são fundamentais para entender não só o caminho adotado pelo estudante mas, principalmente, quais são suas dificuldades. “Quando comecei a dar aulas, não me preo-cupava em ensinar diferentes caminhos. Ia direto à técnica operatória. Com isso, deixava de ensinar conteúdos essenciais, como a decomposição numérica, o valor posicional de uso so-cial e o uso de registros diversos. Tudo isso é importante para mostrar como se dá a comuni-cação matemática e a linguagem própria da disciplina”, admite Guilherme.


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“Pensei com a cabeça”

A turma de 4º ano de Glads Mari da Silva de Oliveira, da EM Mewton Borges dos Reis, em Curi-tiba, já está acostumada com a perspectiva dos campos aditivos e reclama quando o desafio é muito fácil. Para complicar um pouco, ela elabora enunciados com composição de trans-formação. Numa atividade, Glads levou para a escola encartes de supermercados da região. Divididas em pequenos grupos, as crianças analisaram as promoções para resolver o seguinte enunciado: “Precisamos realizar um almoço, mas só temos 50 reais. Vamos fazer o cardápio e descobrir o que é possível comprar?” Os alunos pesquisaram os preços e discutiram a melhor maneira de gastar o dinheiro. “Peço também que eles comprem mercadorias saudáveis, mas que não as repitam na lista”, adianta Glads.

Um grupo selecionou primeiro os produtos que queria e, num cálculo prévio, ultrapassou o orçamento. “Pensem no que podem tirar”, sugeriu a professora. Mesmo sem o macarrão, a conta não fechou. Decidiram tirar a carne, a mercadoria mais cara, e recolocar a massa.

Outra equipe escolheu frango e propôs uma seleção tão enxuta que sobraram 4,60 reais. Nova dúvida: quantos refrigerantes é possível comprar com o que sobrou se cada refrigerante custa 1,20 real? Um dos alunos subtraiu o valor de uma garrafa e percebeu que ainda sobravam 3,40 reais. A professora quis saber se o troco ainda dava para mais. Registro de uma criança:

1,20 + 1,20 = 2,40

2,40 + 1,20 = 3,60

Ela tentou mais uma adição para ter certeza de que o valor é superior a 4,60 reais. Resultado: três refrigerantes. A calculadora foi usada para fazer a conferência. Depois da “compra”, cada grupo expôs seu cardápio e o valor gasto.

“Sempre peço que eles expliquem como pensaram”, afirma Glads. Num primeiro momento, o mais comum é o aluno escrever “pensei com a cabeça”. “Com o tempo, ele consegue se ex-pressar muito bem e passa a usar os termos apropriados”, diz a professora.

www.novaescola.org.br, maio de 2007

Depois da leitura desse texto, continue a pensar no seu trabalho em sala da aula, considerando tudo o que foi discutido até este momento, tanto no Encontro Presencial como na Atividade Virtual:

a. O texto faz referências a situações que propiciam que os alunos avancem em suas aprendizagens.

■ Identifique no texto quais são elas.

■ Situações semelhantes a essas aparecem no seu trabalho em sala de aula? Procure relatar como você faz isso.


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b. Considerando a diversidade dos problemas do campo aditivo, procure fazer uma avaliação sobre co-mo esses problemas estão sendo contemplados no seu trabalho com os alunos.

c. Releia a proposta realizada no início do Encontro Presencial deste bimestre, intitulada Para começo de conversa. Retome o depoimento com o qual você mais se identificou. À luz de tudo o que estu-dou neste bimestre, procure explicar melhor os porquês, tanto dos bons resultados como das situa-ções mais complicadas que teve que gerenciar em sala de aula.

Autoavaliação

Terminamos mais uma etapa de nossa formação. Após a realização das atividades e reflexões que fize-ram parte deste Caderno Bimestral, propomos que você faça uma autoavaliação. Como já comentado no caderno anterior, trata-se de um conjunto de competências específicas que, juntas, constituirão aquelas competências mais amplas, cujo desenvolvimento é o propósito deste processo formativo. Sendo assim, os critérios de avaliação são os mesmos utilizados no caderno do 1º bimestre. Leia cada item da coluna à esquerda e, após refletir, marque com X a coluna que corresponde à sua avaliação.

Competências e habilidades para o trabalho docente

Plenamente desenvolvida/

ampliada

Parcialmente desenvolvida/

ampliada

Não foi desenvolvida/

ampliada

Envolver-se em atividades formativas na perspectiva do aprimoramento da prática pedagógica e do atendimento de objetivos e metas estabelecidos.

Trabalhar em equipe, interagindo com os colegas e colaborando com a formação do grupo.

Identificar a adequação das diferentes formas de organização do grupo (trabalho individual, em pequenos grupos e coletivo) e considerar suas potencialidades para a aprendizagem.

Refletir sobre a importância da interação entre pares nas aulas de matemática.

Demonstrar compreensão do recurso à resolução de problemas como caminho para a elaboração do conhecimento matemático.

Realizar leitura profissional, explorando as potencialidades do texto e relacionando a teoria com a prática docente.

Identificar os principais elementos que constituem um problema, diferenciando-o de exercício.


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Planejar atividades que possam se constituir em situações-problema ajustadas às possibilidades dos alunos, de forma a favorecer as aprendizagens de conteúdos e desenvolvimento de competências discentes.

Utilizar o livro didático integrado a atividades planejadas com objetivos claros.

Agora reflita...

- Houve avanço em relação às competências e habilidades que no encontro anterior ainda não haviam sido plena-mente desenvolvidas ou ampliadas por você?

- Há ainda alguma competência e/ou habilidade na qual houve pouco ou nenhum avanço em relação ao primeiro caderno? O que acha que precisa acontecer para desenvolver plenamente essas competências e habilidades?


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Durante este bimestre, novas competências foram colocadas em jogo, ampliando nosso quadro de avaliação.

Competências e habilidades para o trabalho docente

Plenamente desenvolvida/

ampliada

Parcialmente desenvolvida/

ampliada

Não foi desenvolvida/

ampliada

Reconhecer a variedade de situações-problema relacionadas ao campo aditivo.

Coletar e organizar informações sobre os procedimentos dos alunos.

Analisar e interpretar informações sobre os procedimentos dos alunos.

No próximo caderno a proposta será avançar nos estudos sobre a resolução de problemas, já que é o conteúdo estruturante deste programa e formação, levando em consideração os resultados já identificados por vocês, professores, no trabalho com seus alunos. O foco será dado ao campo multiplicativo – que propõe o estudo da multiplicação e da divisão conjuntamente. A partir de quando é possível abordar a multiplicação e a divisão na escola? Elas já podem aparecer nos primeiros anos do Ensino Fundamental? Problemas envolvendo ambas as situações devem ser explorados em um trabalho continuado que percorra toda a escolaridade? Por que tratá-los como etapas diferentes se a ligação entre eles é tão estreita?

Aguardem!


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Gabarito comentado

Quadro de classificação dos problemas do campo aditivo

Classificação Esquema

Quais problemas fazem parte desse grupo? Identifique-os pela numeração usada na lista de problemas


O valor desconhecido (a incógnita) é o resultado da combinação

A

B?{

Problema 3O número de livros do armário e da mesa são duas medidas que se juntam para formar uma nova medida (o total).



A

?C{

Problema 5O número de animais que eu vi (15) e os que eu não vi (incógnita) são duas medidas que se combinam para formar o total de animais (36).



A ?+B

Problema 4O valor que havia no cofrinho, os 86 reais, são o estado inicial de uma transformação positiva (acrescentar 15 reais). A incógnita é o valor total no cofrinho (estado final).



? C+B

Problema 7A coleção sofreu uma transforma-ção positiva (recebeu 26 adesivos). O estado final é conhecido: 80 adesivos.

A incógnita é a quantidade de adesivos que Camila tinha inicial-mente, ou seja, é o estado inicial.



A C?

Problema 9.a

Sabemos os valores do estado inicial (casa de partida) e do estado final da transformação (casa de chegada). A incógnita é a transfor-mação sofrida, ou seja, o número de casas que a peça avançou.



A ?-B

Problema 6.aAs balas recebidas (estado inicial) sofrem uma transformação negativa (chupou 8 balas). O valor desconhe-cido (balas restantes) é o estado final da transformação.


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? C-B

Problemas 2 e 9.cO valor desconhecido é o estado ini-cial (dinheiro que havia na carteira ou casa em que a peça estava). São dados: a transformação negativa (valor que foi gasto e número de casas que recuou) e o estado final (o dinheiro restante ou a casa em que a peça chegou).



A C?

Problema 9.bA casa em que ele está (15) é o estado inicial, a incógnita está na transformação (saber os pontos que ele tirou no dado para voltar as casas). O estado final é a casa em que ele parou (9).

Problemas que relacionam duas me-didas (ideia de comparação)


A

?

B

Problema 8As duas medidas (número de conchinhas de cada um) estão sendo comparadas pela relação “ter 6 a mais”. A incógnita é a uma das medidas (número de conchinhas do irmão).

Problemas que relacionam duas me-didas (ideia de comparação)

O valor desconhecido (a incógnita) é a relação entre as medidas

A

C

?

Problema 1As idades de Camila e André constituem duas medidas. A relação de comparação (“ter x a mais”) é a incógnita do problema.

Duas transformações se compõem para dar lugar a outra transformação

O valor desconhecido (a incógnita) varia: pode ser um dos estados (inicial ou final) ou uma das transformações

A EC

±B ±DProblemas 6.b e 6.cNos dois problemas, o estado inicial (12 balas) sofre duas transformações negativas. No problema 6.b, uma das transformações tem valor desconhecido. No problema 6.c, o valor desconhecido é o resultado.

Formação de Professores

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Anotações

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Matemática – Caderno Bimestral II


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Documents

Matemática Ensino Fundamental I · Para mim, isso é um desafio grande, pois o livro que eu adoto não tem essa abor - dagem, os problemas servem mais como aplicação do que já