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1 Profa. Msc. Érica Siqueira
Matemática FinanceiraAula 1 (manhã e tarde)
Profaª Msc. Érica Siqueira
Matemática Financeira
Objetivos de aprendizagem:Depois de ler e discutir este tópicovocê será capaz entender
• Fazer contas utilizando a regra de três eporcentagens
• Entender os princípios de Matemática Financeira• Calcular valores futuros e presente em juros simples
e compostos• Entender operações com taxas
3 Profa. Msc. Érica Siqueira
Agenda do CursoData Horário Período Tema da Aula
03/06/2017
08:30
Manhã
Apresentação da DisciplinaRevisão de PorcentagensRevisão de Regra de Três Simples e Composta
10:30
Juros SimplesDesconto de Duplicata
Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Simples
03/06/2017
13:00
Tarde
Juros Compostos
Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Compostos
Convenção Linear (parte inteira e fracionária)
15:00Inflação, Taxa Real e Taxa AparenteTaxa AcumuladaTaxa Nominal e Taxa Efetiva
17/06/2017
08:30
Manhã
Cálculo de Juros Simples e Compostos no Excel
Pagamentos e Depósitos ConstantesFluxo de Caixa
10:30Payback Simples e DescontadoVPLTIR
17/06/201713:00
Tarde
Sistema de Amortização: PriceSistema de Amortização: SAC
15:00Operação com DebenturesDúvidas e Prova
4 Profa. Msc. Érica Siqueira
Observações• Usar HP12C
• Para estudar: • Slides como grandes tópicos
• Livros indicados na bibliografia
• Lista de Exercícios
• Na prova poderá utilizar todo material: livros, cadernos, calculadoras, slides, etc..., mas não poderá utilizar celular
5 Profa. Msc. Érica Siqueira
Aplicações
• Gestão Financeira
• Planejamento Financeiro
• Investimentos
• Finanças Pessoais
6 Profa. Msc. Érica Siqueira
Revisão: Início
7 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Resolução de problemas, usando igualdade de frações, sobre as quais conhece-se 3 valores dos 4 valores possíveis.
• A partir desses 3 valores é possível montar uma equação, de primeiro grau, com uma incógnita.
• Os valores conhecidos podem ser diretamente proporcionais, ou seja, a medida que um valor aumenta, espera-se que o outro também aumente, mantendo a proporção
• Ou, podem ser inversamente proporcionais: a medida que um aumenta o outro diminui.
Regra de Três Simples
8 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Se um produto custa R$ 400,00 e teve um desconto de R$ 30,00 representa que percentual de desconto?
Porcentagens com Regra de Três
Reais (R$) Porcentagem
400,00 100%
30,00 X
400
30�
100
�� �
100 ∗ 30
400� � 7,5%
9 Profa. Msc. Érica Siqueira
• (SóMatemática) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Diretamente Proporcional
Área Energia
1,2 400
1,5 X
1,2
1,5�
400
�� �
1,5 ∗ 400
1,2� � 500
10 Profa. Msc. Érica Siqueira
• (Globo) Um atleta, com velocidade constante de 8km/h, leva 50 minutos para percorrer um quarteirão. Se sua velocidade passar a ser de 16km/h, de forma constante, quanto tempo ele levará para percorrer esse mesmo quarteirão?
Inversamente Proporcionais
Velocidade (km/h) Tempo (minutos)
8 50
16 X
8
16�
�
50� �
8 ∗ 50
16� � 25
11 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Enquanto a regra de três simples envolve até 2 grandezas, velocidade e tempo, por exemplo, a regra de três composta envolve 3 ou mais grandezas direta ou indiretamente.
• A forma de resolução é montar uma série de regra de três simples
Regra de Três Composta
12 Profa. Msc. Érica Siqueira
• (Globo) Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. Calcule o número de horas por dia que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10 barracões em 20 dias.
Exemplo Regra de Três Composta
��
���
��
�=
��
���
�
�
�
6�
12 ∗ 10 ∗ 30
18 ∗ 5 ∗ 20
1800� � 6 ∗ 3600
�
6�
3600
1800
� ���.���
����= 12
13 Profa. Msc. Érica Siqueira
• A porcentagem é uma maneira de expressar um número como parte de um todo.
• Para calculá-la, damos ao todo o valor de 100%.
• Por exemplo, digamos que você tenha 10 reais (=100%).
• Se você gastar 2, então você gastou 2/10 × 100% = 20% dos seus 10 reais, e ficou com apenas 80%
Revisão de Porcentagem
14 Profa. Msc. Érica Siqueira
Taxa Unitária Corresponde à Taxa Percentual
0,05 = 5%
0,5 = 50%
0,8 = 80%
1 = 100%
Taxas Unitárias e Percentuais
15 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Dessa forma, 20% = 0,20 ou 30% = 0,3 e 5%=0,05
• Para achar o valor correspondente, basta multiplicar pela porcentagem, sem necessidade de usar a regra de 3
• Por exemplo: 10% de R$ 1.000
• 0,10 * 1000 = R$ 100,00
O percentual de um valor
16 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Por outro lado, para achar o percentual, basta dividir a parte pelo todo, também sem necessidade de usar regra de três.
• Exemplo: Se há um grupo de 1000 pessoas, das quais 485 são universitárias, qual o percentual de universitários?
• Parte = 485
• Todo = 1000
• O primeiro passo é dividir a parte pelo todo
• 485 / 1000 = 0,485
• Depois multiplicar por 100 para achar o valor em percentual
• 0,485 x 100 = 48,5%
• 48,5% das pessoas desse grupo são universitárias
Para calcular o percentual
17 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Para somar uma porcentagem ao número original, por exemplo “200 + 40%”, basta utilizar a fórmula 200 x (1 + 0.40) = 280
• Exemplos: acrescentar ao preço original um valor de lucro, comissão ou taxas
Acrescentar um Percentual
18 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Ex: Achar valor final após conceder descontos
• Para retirar um porcentagem basta multiplicar pela porcentagem restante, por exemplo:
• Se temos 100 caixas, sendo que 40 delas estão cheias de areia, dizemos que 40% estão cheias, e que as restantes estão vazias (60 caixas, ou 60% nesse caso).
• Fórmula = 100 * 0,6 = 60 caixas vazias
Subtrair um Percentual
19 Profa. Msc. Érica Siqueira
Calcule as porcentagens correspondentes:• 2% de R$ 700 • 40% de 48 m• 38% de 200 Kg• 6% de R$ 50• 37,6% de R$200• 22,5% de R$60
Exercícios de Porcentagem
20 Profa. Msc. Érica Siqueira
a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00?
b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância xxxx?
c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola?
d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?
e) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?
Exercício de Porcentagem
21 Profa. Msc. Érica Siqueira
Matemática Financeira
22 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Estudar o valor do dinheiro no tempo
• Conceitos de juro, capital e tempo
• Habilidades matemáticas prévias:• Porcentagem
• Frações, Potências, Raiz, Log
Observações
23 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Receber uma quantia hoje, equivale a receber uma quantia maior amanhã (Valor Futuro);
• Receber uma quantia amanhã, equivale a receber uma quantia menor hoje (Valor Presente).
• E assim surge o estudo do "dinheiro no tempo", cuja "taxa de juros" representa o fator de correção no tempo.
Dinheiro no Tempo
24 Profa. Msc. Érica Siqueira
• O Capital é o valor, na data ZERO, aplicado ou emprestado através de alguma operação financeira.
• Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.
• Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).
• Excel: Valor Presente
Capital
25 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Remuneração do Capital• O jurojurojurojuro existe porque a maioria das pessoas prefere o
consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempotempotempotempo e riscoriscoriscorisco, que a operação envolver.
• O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa taxa taxa taxa de jurosde jurosde jurosde juros.
• Representação nas calculadoras financeiras: i
Juro
26 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Tempo decorrido entre a aplicação inicial e o resgate, também chamado de prazo ou período de capitalização
• Utiliza-se calendário comercial, na marioria das vezes, sendo os meses de 30 dias, e anos de 360 dias (12 meses de 30 dias).
• Notação nas calculadoras financeiras: n
• a. a . = ao ano a. b. = ao bimestre a. q. = ao quadrimestre a. p. = ao período a. m. = ao mês a. t. = ao trimestre a. s. = ao semestre
• Conversão? Pode?
Tempo
27 Profa. Msc. Érica Siqueira
• É a soma do Capital inicial com juro produzido em determinado tempo
• O montante é calculado apenas no fim da capitalização.
• Outras representações: S (de SSSSaldo); VF (de VVVValor FFFFuturo); FV (de FFFFuture VVVValue)
• VF = VP + J
Montante
28 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Os juros podem ser capitalizados segundo doisregimes: simples ou compostos.
• JUROSJUROSJUROSJUROS SIMPLESSIMPLESSIMPLESSIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre écalculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.
• JUROSJUROSJUROSJUROS COMPOSTOSCOMPOSTOSCOMPOSTOSCOMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo écalculado a partir do saldo no início de correspondenteintervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo éincorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
• A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza jurosjurosjurosjuroscompostoscompostoscompostoscompostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo,compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, asaplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança eaplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramenteencontramos uso para o regime de juros simples: é o caso dasoperações de curtíssimo prazo, e do processo de descontosimples de duplicatas.
Juro Simples e Composto
29 Profa. Msc. Érica Siqueira
• J = C * i * n
• Quanto rende um capital inicial (principal) de $100,00 aplicado à taxa de 5% ao semestre e por um prazo de 2 anos?
• Qual o montante ao final de 2 anos?
Calculando Juros Simples
30 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Determinar o montante, ao fim de 5 meses, correspondente a uma aplicação no valor de R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros simples.
• Solução: P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. n = 5 meses
• S = P(1 + in)
• S = 6.000 (1 + 0,04×5)
• S = R$ 7.200,00
Cálculo do Montante em Juros Simples
31 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o montante (S) daqui a n períodos a uma taxa (i) de juros simples basta inverter a relação anterior, isto é:
• P = S/(1+ in)
Cálculo do Valor Atual Juros Simples
32 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Partindo da Fórmula inicial utilizada para calcular o valor do Juros (J = C * i * n) podemos deduzir que
• � � �
��∗��
• Na qual “i” é a Taxa a ser descoberta, “J” o valor de juros, “C” o capital e “n” a quantidade de períodos.
Cálculo da Taxa em Juros Simples
33 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Partindo da Fórmula inicial utilizada para calcular o valor do Juros (J = C * i * n) podemos deduzir que
• � � �
��∗ �
• Na qual “i” é a Taxa, “J” o valor de juros, “C” o capital e “n” a quantidade de períodos a ser descoberta.
Cálculo do Tempo em Juro Simples
34 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade
• No regime de juros simples, “Taxas Proporcionais” e “Taxas Equivalentes” são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente a classificação deduas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes. Este conceito diz mais a respeito ao regime de juros compostos.
Taxas Proporcionais e Equivalente em JS
35 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exemplo 1
36 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exemplo 2
37 Profa. Msc. Érica Siqueira
Desconto de Duplicata
• Operação conhecida no Brasil como Desconto comercial ou bancário (por fora).
• Diferentemente do cálculo de juros, que incide sobre um Capital ou Valor Presente, a taxa de desconto incide sobre o valor futuro.
• O valor futuro, nesse caso, é conhecido como valor de face ou valor nominal
• Abate-se o desconto para conhecer o valor presente, ou, o quanto será pago pelo desconto da duplicata (antecipação de recebíveis)
38 Profa. Msc. Érica Siqueira
Desconto de Duplicata Juros Simples
• Fórmulas para cálculo:
• Valor do Desconto (D): D = VF.d.n
• Valor presente, abatendo o desconto
• VP = VF * (1 – d *n) onde d é a taxa de desconto
• Exemplo:
• Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 1.600,00, com vencimento para 120 dias, á taxa de 3% ao mês?
39 Profa. Msc. Érica Siqueira
Resolução
• Dados retirados do problema• VF = 1.600,00
• n = 120 dias = 4 meses (pois a taxa está em mês)• d = 2,5% ao mês
• Valor do Desconto (D) =?
• Solução:
• Fórmula D = VF . d . n
• D = 1.600,00 . 0,03 . 4 = 192,00
40 Profa. Msc. Érica Siqueira
Juros Compostos
Fonte: http://excelplanilhasprontas.com.br/
41 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Enquanto no Juros Simples temos uma função linear, no juros compostos temos uma função exponencial.
• Como ser observa na fórmula do Montante
• ! � " ∗ �1 # ���
Cálculo do Montante em Juros Compostos
42 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Determinar o montante, ao fim de 5 meses, correspondente a uma aplicação no valor de R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros simples e compostos.
Exemplo Comparativo
43 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Dados: P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. e n = 5 meses
• Juros Simples:• S = P(1 + in)
• S = 6.000 (1 + 0,04×5)
• S = R$ 7.200,00
• Juros Compostos• ! � " ∗ �1 # ���
• S = 6.000 * (1+ 0,04)⁵
• S = 6.000 * 1,04⁵
• S = 6.000 * 1,216653
• S = R$ 7.299,92
Exemplo Comparativo
44 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o montante (S) daqui a n períodos a uma taxa (i) de juros Compostos basta inverter a relação anterior, isto é:
• $ � %
��& �'
Cálculo do Valor Atual Juros Compostos
45 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Para calcular a taxa também é possível deduzir a fórmula a partir da fórmula do montante:
• ! � " ∗ �1 # ���
•%
�� �1 # ���
•%
�
'= 1 # �
•%
�
'- 1 = �
• � �%
�
'( 1
Cálculo da Taxa em Juros Compostos
46 Profa. Msc. Érica Siqueira
Cálculo do Tempo em Juro Compostos
• A quantidade de períodos (n) também pode ser deduzida a partir da fórmula do montante
• ! � " ∗ �1 # ���
•%
�� �1 # ���
• Log �%
�� = Log �1 # ���
• Log �%
�� = n * Log�1 # ��
•Log �)
*�
Log��& � = n
O LOG pode ser
substituído, nesse
caso, pelo LN
47 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Trata-se de aplicar o sistema de juros compostos para a parte inteira do período e juros simples para a parte fracionada.
• Exemplo:
Convenção Linear
48 Profa. Msc. Érica Siqueira
Convenção Linear
Convenção
Exponencial
Convenção
Linear
49 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exercício
• (MathFinanceira) -Seja o capital de R$100.000,00 emprestado à taxa de 18% ao ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante deste empréstimo pela convenção linear.
• Resultados para Conferência:
• FV (Conv. Linear) = R$ 220.051,30
• FV (Conv. Exponencial) = R$ 219.502,50
50 Profa. Msc. Érica Siqueira
Convenção Linear na HP
• A HP 12C resolve problemas em ambas as convenções.
• Quando o período n é um número fracionário, é necessário
verificar a letra C está aparecendo no visor
• A letra C pode ser colocada ou retirada pressionando-se as teclas
STO EEX.
• Se a letra C estiver aparecendo no visor, a HP 12C está realizando
os cálculos segundo a convenção exponencial.
• Caso contrário, a HP 12C está realizando os cálculos segundo a
convenção linear.
• Para o uso da HP 12C, no regime de juros compostos ou simples,
a unidade de referência do período deve ser a mesma da taxa de
juros
51 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Quando uma taxa de aplicação ou empréstimo é informada em uma determinada unidade de tempo mas a capitalização ocorre em outra unidade de tempo, temos aí a distinção entre Taxa Nominal e Efetiva.
• Exemplo: Se o banco te oferece um investimento com taxa nominal de 24% a. a. mas com capitalização mensal, isso significa que a taxa nominal é 24% a.a porém a taxa efetiva, a qual seu rendimento estará sujeito é de 24/12
• Ou seja, a taxa efetiva é 2% a.m
• Para achar a taxa efetiva anual, basta achar a taxa anual equivalente a 2% a.m, no caso 26,82% a.a.
Taxa Nominal e Efetiva
52 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Você faz um empréstimo pessoal de R$5.000,00 que será liquidado em 36 parcelas mensais de R$256,35.
• O gerente do banco informa que a taxa nominal do empréstimo é de 45,33% a.a.
• Calcule a taxa efetiva mensal e anual
Exercício Taxa Nominal e Efetiva
53 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Para calcular sucessivos aumentos, que produziram uma taxa acumulada, usa-se a formula abaixo caso a taxa já esteja em índice
Exemplo de Taxa Acumulada
• Caso contrário, é preciso dividir a taxa por 100
54 Profa. Msc. Érica Siqueira
Taxa Acumulada de Inflação
Mês IPCA (%)
Janeiro 0,5Fevereiro 0,4
Março 0,3Abril 0,5Maio 0,7Junho 0,4Julho -0,2
Agosto -0,5Setembro 0,3Outubro 0,7
Novembro 0,9Dezembro 1
• Qual a taxa de inflação acumulada no período de 12 meses da tabela ao lado?
• [(1,005)x(1,004)x(1,003)x(1,005)x(1,007)x(1,004)x(0,998)x(0,995)x(1,003)x(1,007)x(1,009)x(1,01) – 1] x 100.
• =5,1%
55 Profa. Msc. Érica Siqueira
• A taxa aparente é formada por dois componentes: a taxa real e a inflação.
• A taxa real, portanto, é a taxa aparente, descontada da inflação
• Fórmula para achar a taxa real:
• 1 +1 +1 +1 + iiiiaaaa = ( 1 += ( 1 += ( 1 += ( 1 + iiiirrrr ) * ( 1 +) * ( 1 +) * ( 1 +) * ( 1 + IIII ))))
• Onde:
• ia = taxa aparenteir = taxa realI = inflação
Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente
56 Profa. Msc. Érica Siqueira
• (BrasilEscola) - Um empréstimo foi realizado a uma taxa de 32% ao ano. Considerando-se que a inflação do período foi de 21%, determine a taxa real anual.
• Taxa aparente = 32% = 0,32 e Inflação = 21% = 0,21
• 1 + 0,32 = (1 + ir) * (1 + 0,21)1,32 = (1 + ir) * 1,211,32/1,21 = 1 + ir
1,09 = 1 + ir
ir = 1,0909 – 1ir = 0,0909ir = 9,09%
• A taxa real anual foi equivalente a 9,09%.
Exemplo de Taxa Real e Aparente
57 Profa. Msc. Érica Siqueira
Bibliografia BibliografiaI. Básica:
1. Lima, Iran Siqueira; Galardi, Ney & Neubauer, Ingrid. Mercados de Investimentosfinanceiros. 2ª ed.: manual para certificação profissional ANBID Série 20 (CPA - 20).São Paulo: Atlas, 2008.
2. Neto, Alexandre Assaf. Mercado Financeiro. 12ª ed. São Paulo: Atlas, 2014.
3. Securato, José Roberto. Decisões financeiras em condições de riscos. São Paulo:Atlas, 1996.
II. Complementar1.Freund John E.; Simon, Gary A. Estatística aplicada: economia, administração econtabilidade. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000
2. LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando Excel 5 e 7. São Paulo: LapponiTreinamento, 1997.
3. Levine, David M.; Bereson, Mark L.; Stephan, David. Estatística: teoria eaplicações, usando o Microsoft Excel em português. 3.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005.
4.-MORETTIN, Luiz Gonzaga. Vol. 1. Estatística básica. 7.ed. São Paulo:Pearson/Makron Books, 2000.
5. MORETTIN, Luiz Gonzaga. Vol. 2. Estatística básica. 7.ed. São Paulo:Pearson/Makron Books, 2000.