MATEMÁTICA - pcna.com.br · Segmentos Proporcionais Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. Quatro números , , e são proporcionais, nesta ordem, se a razão

E-books PCNA

Vol. 1

ELEMENTAR

CAPÍTULO 4 – GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL

MATEMÁTICA

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1 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 4

SUMÁRIO

Apresentação ------------------------------------------------- 3

Capítulo 4 ------------------------------------------------------4

Geometria Plana e Espacial -------------------------------4

4.1. Ponto ----------------------------------------------------4

4.2. Reta ----------------------------------------------------- 5 4.2.1 Postulados da Reta ----------------------------------- 5

4.3. Plano ---------------------------------------------------6 4.3.1 Postulados do Plano --------------------------------- 7 4.3.2. Posições Relativas de duas Retas no Plano ------ 9

4.4. Espaço ------------------------------------------------ 10 4.4.1 Posições Relativas de duas Retas no Espaço ----- 11

4.5. Segmento de Retas -------------------------------- 12 4.5.1. Razão entre Segmentos de Reta ------------------ 13 4.5.2. Segmentos Proporcionais ------------------------- 14 4.5.3. Teorema de Talles ---------------------------------- 18

4.6. Circunferência e Círculo ------------------------ 20 4.6.1. Elementos da Circunferência e do Círculo ----- 22

4.6.1.1. Corda e Segmento Circular (Figura. 4.23).22 4.6.1.2. Arco e Setor Circular (Figura. 4.24). ------ 22 4.6.1.3. Diâmetro, Semicircunferência e Semicírculo ----------------------------------------------------------- 23

4.7. Ângulo ------------------------------------------------ 24 4.7.1. Unidades de Medida de Ângulos----------------- 24

4.7.1.1. Grau ------------------------------------------ 24 4.7.1.2. Radiano -------------------------------------- 25

4.8. Conversão de unidades ------------------------ 26

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4.9. Classificação dos Ângulos -------------------- 29

4.9.1. Em relação a outro ângulo ----------------- 30

4.9.2. Em relação à posição de ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal (Figura. 4.31). --------------- 31

4.10. Polígono -------------------------------------------- 34 4.10.1. Classificação quanto ao número de lados. ---- 34

4.11. Semelhança de Polígonos ---------------------- 36

4.12. Semelhança de Triângulos -------------------- 39

4.13. Perímetro e Área --------------------------------- 42 4.13.1. Quadrado ------------------------------------------ 44 4.13.2. Círculo --------------------------------------------- 45 4.13.3. Paralelogramo ------------------------------------ 46 4.13.4. Triângulo ------------------------------------------ 46 4.13.5. Losango --------------------------------------------47 4.13.6. Trapézio ------------------------------------------- 48 4.13.7. Polígono Regular de 𝐧 lados -------------------- 49

4.14. Volume --------------------------------------------- 52 4.14.1. Cubo ----------------------------------------------- 54 4.14.2. Paralelepípedo------------------------------------- 55 4.13.3. Prisma ---------------------------------------------- 55 4.14.4. Cilindro -------------------------------------------- 56 4.14.5. Pirâmide ------------------------------------------ 56 4.15.6. Cone ------------------------------------------------ 57 4.15.7. Tronco de Cone ----------------------------------- 58 4.15.8. Esfera ---------------------------------------------- 60

LISTA DE EXERCÍCIOS ---------------------------------- 63

GABARITO -------------------------------------------------- 73

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Apresentação

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Neste fascículo você irá encontrar o conteúdo de

Geometria Plana e Espacial. É bom lembrar que não se

pode aprender Cálculo sem alguns pré-requisitos, que

muitas das vezes não valorizamos por acharmos simples e

descomplicados, todavia, atenção e compreensão se fazem

necessária.

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Capítulo 4 Geometria Plana e Espacial

A geometria plana euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem volume. Já a geometria espacial euclidiana, por sua vez, estuda os objetos que possuem mais de duas dimensões e ocupam lugar no espaço, ou seja, possuem volume e são conhecidos como sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais.

A seguir se definirá os entes geométricos, cujas propriedades serão estudadas ao longo do capítulo, entretanto é necessário enfatizar que não existe na geometria em geral uma noção para essas figuras primitivas (ponto, reta e plano), sendo assim, eles serão conceituados intuitivamente, baseado na experiência e observação do ponto de vista dimensional.

4.1. Ponto

O ponto determina uma localização e seu conceito é adimensional e não possui forma ou tamanho, embora seja necessário fazê-los, para a sua representação gráfica (Figura. 4.1). Usa-se letras maiúscula latinas para denotar pontos (A, B, C,...).

Figura 4.1 – Representação gráfica de um ponto.

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4.2. Reta

A reta é uma linha unidimensional ilimitada. Mesmo que seja necessário dar uma espessura e um tamanho para a representação gráfica de uma reta, ela não tem espessura e seu comprimento é infinito, como exemplificado na Figura. 4.2. Em sua notação usa-se letras minúsculas latinas (a, b, c, ...).

Figura 4.2 – Representação dos tipos de reta.

4.2.1 Postulados da Reta

• Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.

A Figura. 4.3 define uma representação gráfica deste

postulado.

Figura 4.3 – Pontos inclusos e exclusos à reta.

• Por um ponto passam infinitas retas (Figura. 4.4).

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Figura 4.4 – Representação de retas em um ponto.

• Dois pontos distintos determinam uma única reta que os

contém (Figura. 4.5).

Figura 4.5 – Reta formada pela união de dois pontos.

4.3. Plano

O plano corresponde a uma superfície plana bidimensional ilimitada.

Embora seja necessário dar uma forma e tamanho para a sua representação gráfica, o plano tem comprimento e largura

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infinitos e não tem profundidade, como exemplificado na Figura. 4.6. Para a representação com letras são utilizadas letras gregas minúsculas (𝛼, 𝛽, 𝛾, … ).

Figura 4.6 – Representação de um plano.

4.3.1 Postulados do Plano • Num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos. A

Figura. 4.7 define uma representação gráfica deste postulado.

Figura 4.7 – Representação de pontos inclusos e exclusos ao plano 𝛽.

• Toda reta que tem dois pontos distintos num plano fica

inteiramente contida nesse plano (Figura. 4.8).

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Figura 4.8 – Reta formada pela união de dois pontos contida em um plano.

• Três pontos não situados na mesma reta determinam um plano

(Figura. 4.9).

Figura 4.9 – Pontos determinantes de um plano α qualquer.

• Por uma reta passam infinitos planos (Figura. 4.10).

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Figura 4.10 – Reta com infinitos planos.

4.3.2. Posições Relativas de duas Retas no Plano Duas retas em um mesmo plano podem ser:

• Retas Concorrentes: Duas retas são ditas concorrentes

quando existe apenas um ponto comum entre elas, ou seja,

quando as retas se interceptam.

• Retas Paralelas Distintas: Duas retas 𝑎 e 𝑏, em um mesmo

plano, são ditas paralelas distintas quando não têm ponto

comum entre elas. Denota-se 𝑎/ /𝑏.

• Retas Paralelas Coincidentes: Duas retas são ditas

paralelas coincidentes quando têm todos os pontos em

comum.

A Figura. 4.11 esboça posições de duas retas concorrentes,

paralelas e coincidentes em um mesmo plano.

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Figura 4.11 – Posições relativas de retas em um plano.

4.4. Espaço

O espaço tridimensional é o conjunto de todos os pontos situados em um plano e fora dele.

Embora seja necessário dar uma forma para a sua representação gráfica do plano, ele tem comprimento, largura e

profundidade infinitos, como exemplificado na Figura. 4.12.

Figura 4.12 – Representação de espaço

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4.4.1 Posições Relativas de duas Retas no Espaço Duas retas no espaço tridimensional podem ser:

• Retas Coplanares: Duas retas são ditas coplanares quando

existe um plano que as contêm.

• Retas Reversas: Duas retas são ditas reversas quando não

existe um plano que as contêm.

A Figura. 4.13 aponta retas coplanares e retas reversas.

Figura 4.13 – Posições relativas de retas em um espaço.

De acordo com a Figura acima, pode-se afirmar que:

• As retas 𝑟 e 𝑠 estão contidas no plano ABFE, portanto são

coplanares.

• As retas 𝑡 e 𝑠 estão contidas no plano EFGH, portanto são

coplanares.

• As retas 𝑡 e 𝑟 são retas reversas, pois não existe um plano que

as contêm.

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Exemplo 4.1.: De acordo com a Figura 4.14 abaixo, dê a

classificação em relação à posição relativa dos pares de retas

indicadas:

Figura 4.14 – Figura referente ao Exemplo 4.1.

a) Retas r e s: coplanares paralelas

b) Retas r e t: coplanares concorrentes

c) Retas r e x: reversas

d) Retas t e x: coplanares paralelas

4.5. Segmento de Retas

Segmento de reta é o conjunto de todos os pontos de uma reta que estão limitados por dois pontos, denominados extremidades, como é exemplificado na Figura 4.15.

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Figura 4.15 – Representação de um segmento de reta

𝐴𝐵 = medida do comprimento de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

4.5.1. Razão entre Segmentos de Reta O conceito de razão é a forma mais comum e prática de

fazer a comparação relativa entre duas grandezas.

A razão entre dois números 𝑥 e 𝑦 é definida pela Equação (4.1).

𝑥

𝑦= 𝑘 (4.1)

𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈ ℜ 𝑒 𝑦 ≠ 0,

A razão 𝑘 indica o valor do número 𝑥 quando comparado

ao número 𝑦, tomando-o como unidade. Por exemplo, a razão

entre dois números reais 𝑥 = 2 e 𝑦 = 4 é determinada por (I).

𝑥

𝑦=

2

4=

1

2= 0,5 (I)

Isto significa que o número 𝑥 é 0,5 vezes o número 𝑦, ou

seja, 𝑥 é a metade de 𝑦.

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Não é possível dividir um segmento de reta por outro para determinar a razão entre segmentos, mas é possível realizar a divisão entre as medidas (tamanho) dos segmentos. Por exemplo,

a razão os entre os segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , respectivamente, de comprimentos 6 cm e 3 cm é determinada por (II).

𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝐶𝐷̅̅ ̅̅=

6

3= 2 (II)

Isto significa que o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é 2 vezes maior do que o

segmento 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ .

4.5.2. Segmentos Proporcionais Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. Quatro números 𝑥, 𝑦, 𝑎 e 𝑏 são proporcionais, nesta

ordem, se a razão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja:

𝑥

𝑦=

𝑎

𝑏= 𝐶 (4.2)

𝑦 ≠ 0; 𝑏 ≠ 0

O número real 𝐶 é chamado de constante de

proporcionalidade. Lê-se 𝑥 está para 𝑦 assim como 𝑎 está para 𝑏.

Por exemplo, se os números 𝑥 e 𝑦 são proporcionais a 2 e 3, nesta ordem, então a razão entre x e y é igual a (I).

𝑥

𝑦=

2

3 (I)

onde 2/3 é a constante de proporcionalidade.

Observe que apenas a informação da constante de

proporcionalidade não define exatamente os valores de 𝑥 e 𝑦, pois

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existem infinitas soluções para 𝑥 e 𝑦. Por exemplo, 𝑥 = 4 e 𝑦 =6; 𝑥 = 6 e 𝑦 = 9.

𝑥

𝑦=

4

6=

6

9= ⋯ =

2

3 (II)

De forma semelhante aos números reais, é possível estabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta igualando as razões que são equivalentes.

Os segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ e 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ são, nesta ordem, proporcionais quando a razão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja, seguem a razão (III):

𝐴𝐵

𝐶𝐷=

𝐸𝐹

𝐺𝐻 (III)

onde: 𝐴𝐵 é a medida do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷 é a medida do segmento

𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐹 é a medida do segmento 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ , 𝐺𝐻 é a medida do segmento

𝐺𝐻̅̅ ̅̅ .

Exemplo 4.2: Verifique se os segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ e 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ , nesta

ordem, são proporcionais, sabendo que 𝐴𝐵 = 6 𝑐𝑚, 𝐶𝐷 = 18 𝑐𝑚,

𝑀𝑁 = 4 𝑐𝑚 e 𝑃𝑄 = 12 𝑐𝑚.

Solução:

Para verificar, teremos que as razões entre 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ / 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ e 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅/

𝑃𝑄̅̅ ̅̅ são iguais a (I) e (II), respectivamente.

𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝐶𝐷̅̅ ̅̅=

6

18=

1

3 (I)

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𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅

𝑃𝑄̅̅ ̅̅=

4

12=

1

3 (II)

Como

𝐴𝐵

𝐶𝐷=

𝑀𝑁

𝑃𝑄=

1

3

podemos afirmar que os segmentos são proporcionais e a constante de proporcionalidade é de 1/3.

Exemplo 4.3: Considere os segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ e 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ,

proporcionais nesta ordem. Calcule as medidas dos segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ sabendo que 𝐴𝐵 = (𝑥 + 3) 𝑐𝑚, 𝐶𝐷 = (𝑥 − 2) 𝑐𝑚, 𝑀𝑁 = 40 𝑐𝑚

e 𝑃𝑄 = 30 𝑐𝑚.

Solução:

A equação (I) referencia a proporcionalidade entre os

quatro seguimentos e substituindo os respectivos valores nesta,

será possível calcular o valor de x.

𝐴𝐵

𝐶𝐷=

𝑀𝑁

𝑃𝑄 (I)

𝑥+3

𝑥−2=

40

30

𝑥 + 3

𝑥 − 2=

4

3 → 3 (𝑥 + 3) = 4 (𝑥 − 2)

3𝑥 + 9 = 4𝑥 − 8

9 + 8 = 4𝑥 − 3𝑥 ∴ 𝑥 = 17

Dessa forma, os seguimentos 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 serão,

respectivamente, (II) e (III).

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𝐴𝐵 = (𝑥 + 3) = 17 + 3 = 20 𝑐𝑚 (II)

𝐶𝐷 = (𝑥 − 2) = 17 − 2 = 15 𝑐𝑚

(III)

Exemplo 4.4: Suponha que um segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ seja

dividido pelo ponto 𝑃 numa razão de 2/3, conforme Figura 4.16.

Calcule os comprimentos dos segmentos 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ e 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ sabendo

que o comprimento de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é 20 𝑐𝑚.


Solução:

De acordo com a Figura 4.16, os seguimentos 𝐴𝑃, 𝑃𝐵 e 𝐴𝐵

são iguais a (I), (II) e (III), respectivamente.

𝑥 = 𝐴𝑃 (I)

𝑥 + 𝑦 = 20 (II)

𝑥

𝑦=

2

3 (III)

Isolando 𝑦 na equação (II), este será igual à (IV).

y= 20 − 𝑥 (II)

Substituindo y na equação (III), é possível obter o valor de x.

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𝑥

20 − 𝑥=

2

3 → 3 𝑥 = 2 (20 − 𝑥)

3𝑥 = 40 − 2𝑥 → 5𝑥 = 40 → 𝑥 = 8 Substituindo o valor de 𝑥 na equação (II), y será

igual a 12. 𝑦 = 20 − 𝑥 → 𝑦 = 20 − 8 → 𝑦 = 12

Logo, 𝐴𝑃 = 8 𝑐𝑚 ; 𝑃𝐵 = 12 𝑐𝑚

4.5.3. Teorema de Talles “Um feixe de retas paralelas determina, em duas retas

transversais, segmentos que são proporcionais”.

Um feixe de retas paralelas é o conjunto de três ou mais retas coplanares paralelas. Uma reta neste mesmo plano que corta o feixe é chamada de reta transversal.

O teorema de Talles encontra-se ilustrado na Figura 4.17.

Figura 4.17 – Representação de um feixe de retas paralelas

𝑠𝑒 𝑟//𝑠//𝑡 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴𝐵

𝐵𝐶=

𝑀𝑁

𝑁𝑃

Exemplo 4.5: Determine o valor de 𝑥 na Figura 4.18.

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Figura 4.18 – Figura referente ao Exemplo 4.5..

Solução:

De acordo com o teorema de Talles, a igualdade (I) prevalece.

11

7=

𝑥

8 (I)

Sendo possível inferior que o valor de x é igual a (II)

𝑥 =11∙8

7 → 𝑥 =

88

7 (II)

Exemplo 4.6: A Figura 4.19 mostra dois terrenos cujas

laterais horizontais são paralelas. Determine as medidas 𝑥 e 𝑦.

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Solução:

De acordo com o teorema de Talles, tem-se a equação (I):

𝑥

𝑦=

20

50 (I)

Isolando x, obteremos a equação (II).

𝑥 =2

5 . 𝑦 (II)

Sendo que a soma de x e y a equação (III) e substituindo (II) nesta, é possível calcular o valor de y.

𝑥 + 𝑦 = 63 (III)

2 𝑦

5+ 𝑦 = 63 →

2𝑦 + 5𝑦

5= 63

7𝑦 = 315 → 𝑦 =315

7= 45

𝑦 = 45 𝑚

Dessa maneira, substituímos o valor de y na equação (III) para obter o valor de x.

𝑥 =2 𝑦

5=

2.45

5= 18 m

As medidas são: 𝑥 = 18 𝑚 𝑒 𝑦 = 45 𝑚

4.6. Circunferência e Círculo

A circunferência é o conjunto dos pontos de um plano que estão a uma mesma distância (denominada raio) de um ponto fixo situado no mesmo plano (chamado centro). A Figura. 4.20 aponta uma representação esquemática de uma circunferência.

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Figura 4.20 – Representação de uma circunferência

O interior da circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma distância menor do que 𝑟 do centro 𝑂.

O exterior da circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma distância maior do que do que 𝑟 do centro 𝑂, conforme a Figura. 4.21.

Figura 4.21 – Representação de um círculo.

O círculo ou disco é a superfície plana e fechada, limitada pela circunferência, ou seja, é o conjunto de pontos situados na circunferência e em seu interior. A Figura. 4.22 compara círculo e circunferência.

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Figura 4.22 – Comparação entre círculo e circunferência

4.6.1. Elementos da Circunferência e do Círculo 4.6.1.1. Corda e Segmento Circular (Figura.

4.23).

Corda é um segmento de reta que liga dois pontos de uma circunferência.

Segmento circular é a interseção de um círculo com o semipleno definido por uma corda que não contém o centro do

círculo.

Figura 4.23 – Representação de corda e segmento circular

4.6.1.2. Arco e Setor Circular (Figura. 4.24).

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Figura 4.24 – Representação de arco e setor circular

O arco 𝐴�̌� de uma circunferência é o conjunto de pontos desta circunferência compreendidos pelos raios 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ e 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ .

O setor circular 𝐴𝑂�̌� é o conjunto de pontos do círculo que estão compreendidos pelos raios 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ e 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ .

4.6.1.3. Diâmetro, Semicircunferência e

Semicírculo (Figura. 4.25).

Figura 4.25 – Representação de diâmetro, semicircunferência e

semicírculo.

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O diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência. É a corda de comprimento máximo e mede o dobro do raio.

A semicircunferência 𝐴�̆� é o arco definido pelos pontos 𝐴 e 𝐵 diametralmente opostos da circunferência.

O semicírculo 𝐴𝑂�̌� é o setor circular definido pelos raios 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ e 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ .

4.7. Ângulo

Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de mesma origem. A Fig. 4.26 aborda uma ilustração esquemática de um ângulo qualquer.

Figura 4.26 – Representação de ângulo

4.7.1. Unidades de Medida de Ângulos Duas unidades de medida de um arco e, consequentemente, de

um ângulo são normalmente utilizadas: o grau e o radiano.

4.7.1.1. Grau

Se uma circunferência for dividida em 360 arcos iguais, o

ângulo que determina um destes arcos corresponde a 1 grau (1∘), ou seja, o arco da circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.

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Um grau tem 60 minutos (60′). Um minuto tem 60

segundos (60′′).

A medida do ângulo de uma volta completa ou giro é de

360∘. A Figura. 4.27 representa um arco de 90° subdivididos a cada 10°.

Figura 4.27 – Ângulos de 0° a 90°

4.7.1.2. Radiano

Um Radiano (1 𝑟𝑎𝑑) é a medida de um arco cujo comprimento (𝐿) é igual ao raio (𝑅) da circunferência que o contém. Como ao arco está associado um ângulo central, também podemos dizer que 1 radiano é a medida deste ângulo, o qual determina um arco de comprimento igual ao raio da respectiva circunferência. O comprimento de um arco qualquer está representado na Figura. 4.28.

A medida do ângulo de uma volta completa é de 2𝜋 𝑟𝑎𝑑, onde 𝜋 ≈3.14159265..., é um número irracional.

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Figura 4.28 – Comprimento de arco

Pela definição de radiano temos que:

• Se 𝛼 = 2 𝑟𝑎𝑑 então 𝐿 = 2 𝑅;

• Se 𝛼 = 3 𝑟𝑎𝑑 então 𝐿 = 3 𝑅, etc.

• Se o ângulo for dado em radianos, o comprimento do arco fica determinado pela equação (4.3):

𝐿 = 𝛼 ∙ 𝑅 (4.3)

com 𝛼 dado em radianos.

4.8. Conversão de unidades

Dado um ângulo 𝛼 em grau (𝛼°) podemos ter determinar

seu valor em radianos (𝛼𝑟𝑎𝑑), ou vice e versa, utilizando a equação (4.4).

360

𝛼°=

2 𝜋

𝛼𝑟𝑎𝑑 (4.4)

Exemplo 4.7: Determine o valor de 𝛼 = 45° em radianos.

Solução:

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Para a solução desse exemplo, utilizamos a regra de três

denotada pela equação (I), a fim de determinarmos o valor de 𝛼.

360

45=

2𝜋

𝑥 (I)

𝑥 =2𝜋 ∙ 45

360=

𝜋

4

Assim, 𝛼 será:

𝛼 = 45° = 𝜋

4 𝑟𝑎𝑑

Exemplo 4.8: Determine o valor de 𝛼 = 2𝜋 3⁄ 𝑟𝑎𝑑 em graus.

Solução:

Para o Exemplo 4.8, utilizaremos o mesmo método de resolução do Exemplo 4.7, a regra de três, para encontrarmos o valor de x.

360

𝑥=

2𝜋2𝜋

3

(I)

𝑥 = 2 𝜋 ∙ 120

2 𝜋= 120°

Exemplo 4.9: Duas polias de raios iguais a 12 cm são ligadas por

uma correia, como mostra Figura 4.29.

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Figura 4.29 –Figura referente ao Exemplo 4.9.

Calcule o comprimento aproximado da correia, assumindo que a distâncias entre os centros das polias é 40 cm. (Use 𝜋 =3,14). Solução:

Para determinar o comprimento da correia (L), é

necessário calcular o comprimento do arco (Ca) de duas

circunferências utilizando a equação (I).

𝐶𝑎 = 2𝜋. 𝑟 = 2𝜋. 12 = 75,36 𝑐𝑚 (I)

O comprimento da correia (definido pela equação (II)) será

dado pela soma do comprimento do arco e da distância entre os

centros das correias (d).

𝐿 = 𝐶𝑎 + 2𝑑 = 75,36 + 2.40 = 155,36 𝑚 (II)

Dessa forma, o comprimento da correia será de 155,36 cm.

Exemplo 4.10: Determine quantas voltas por segundo deve dar cada roda de um automóvel na velocidade linear constante de 31,4

𝑚/𝑠, sabendo que o raio de cada roda é 25 cm e que a roda não

desliza durante a rolagem (adotar 𝜋 = 3.14).

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Solução:

Distância percorrida em 1 segundo: 𝐿 = 31,4 𝑚. E o raio

da roda: 𝑅 = 25 𝑐𝑚 = 0.25 𝑚.

Utilizando a equação (I), obteremos o valor de 𝛼.

𝐿 = 𝛼 ∙ 𝑅 (I)

𝛼 =𝐿

𝑅=

31.4

0.25= 125,6 𝑟𝑎𝑑

Cada volta de roda equivale a um ângulo de 2𝜋 𝑟𝑎𝑑. Se o

ângulo total percorrido por cada roda é de 𝛼 = 125,6 𝑟𝑎𝑑, então

o número de voltas (𝑛) é calculado pela equação (II):

𝑛 =𝛼

2 𝜋 (II)

𝑛 =125,6

2 𝜋=

125,6

2 ∙ 3,14 = 20 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠

4.9. Classificação dos Ângulos

Em relação à sua medida, a Figura 4.30 apresenta uma

relação esquemática entre ângulos agudo, obtuso, reto, raso, de

uma volta e côncavo.

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Figura 4.30 – Representação de ângulos: (a) ângulo agudo, (b) ângulo

obtuso, (c) ângulo reto, (d) ângulo raso, (e) ângulo de uma volta, (f)

côncavo.

4.9.1. Em relação a outro ângulo

Na geometria, há relação entre dois ângulos quando estes

são iguais ou - quando somados - resultam em um terceiro, por

exemplo.

• Congruentes: Dois ângulos são chamados congruentes quando

suas medidas forem iguais.

• Complementares: Dois ângulos são chamados

complementares quando a soma entre eles for igual a 90°.

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• Suplementares: Dois ângulos são chamados suplementares

quando a soma entre eles for igual a 180°.

• Replementares: Dois ângulos são chamados replementares

quando a soma entre eles for igual a 360°.

4.9.2. Em relação à posição de ângulos formados por duas

retas paralelas cortadas por uma reta transversal

(Figura. 4.31).

Figura 4.31 – Ângulos formados por duas retas cortadas por uma

transversal.

• Os ângulos correspondentes (quando estão na mesma posição)

são congruentes, isto é, são iguais.

a) Ângulos congruentes: b e f.

• Os ângulos colaterais (mesmo lado) são suplementares.

a) Ângulos colaterais internos: h e c.

b) Ângulos colaterais externos: d e g.

• Os ângulos alternos (lados alterados) são congruentes.

a) Ângulos alternos internos: b e h.

b) Ângulos alternos externos: a e g.

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• Os ângulos opostos pelo vértice (ângulos cujos lados são

semirretas opostas aos lados do outro) são congruentes.

a) Ângulos opostos pelo vértice: b e d.

Exemplo 4.11: Determine o valor do ângulo 𝑎, na Figura 4.32,

sabendo que ℎ = 40°.


Solução:

Os ângulos ℎ e 𝑑 são correspondentes, pois ocupam a

mesma posição. Portanto, são iguais.

𝑑 = ℎ = 40° (I)

Os ângulos a 𝑎 e 𝑑 são suplementares, então a soma deles é

igual a equação (II). E substituindo o valor de d nela, adquirimos

o valor de 𝑎.

𝑎 + 𝑑 = 180° (II)

𝑎 + 40° = 180°

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𝑎 = 180° − 40° ∴ 𝑎 = 140°

Exemplo 4.12: Na Figura 4.33, determinar os valores dos

ângulos x, y e z.


Solução:

Os ângulos 4𝑥 e 𝑧 são opostos pelo vértice, portanto são

iguais.

4 𝑥 = 𝑧 (I)

𝑥 =𝑧

4

Os ângulos 𝑥 e 𝑧 são suplementares, então a soma deles é

igual a equação (II). E substituindo a relação de x nesta, obteremos

o valor de z.

𝑥 + 𝑧 = 180° (II)

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𝑧

4+ 𝑧 = 180

𝑧 + 4 𝑧 = 180 ∙ 4 → 5 𝑧 = 720 →

𝑧 = 144 ∴ 𝑧 = 144°

Assim, substituímos o valor de z na equação (I) para

calcularmos o valor de x.

𝑥 =𝑧

4=

144

4= 36 ∴ 𝑥 = 36°

Os ângulos x e 2y são iguais por serem opostos pelo vértice.

Assim essa relação será representada pela equação (III).

𝑥 = 2𝑦 (III)

Para termos o valor de y, isolamos o e substituímos o valor

numérico de x.

𝑦 =𝑥

2=

36°

2= 18°

Logo x, y e z serão, respectivamente, 36°, 18° 𝑒 144°.

4.10. Polígono

Um polígono é uma figura plana limitada por uma linha

poligonal fechada formada por segmentos consecutivos não

colineares. Chamamos de polígono regular o polígono cujos lados

e ângulos internos são congruentes (mesmas medidas).

4.10.1. Classificação quanto ao número de lados.

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Os Polígonos são classicados de acordo com a quantidade

de lados que estes possuem (ver Figura 4.34). Sendo denominados

segundo a Tabela 4.1:

Figura 4.34 – Representação de polígonos quanto aos lados

Número de lados Nomenclatura

3 Triângulo

4 Quadrilátero

5 Pentágono

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6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octógono

9 Eneágono ou Nonágono

10 Decágono

11 Hendecágono ou Undecágono

12 Dodecágono

Tabela 4.1 – Nomenclatura de Polígonos de acordo com a quantidade de

lados.

4.11. Semelhança de Polígonos

Dois polígonos (ver Figura 4.35) de mesmo número de lados A , B , C , D e E e A’,B’,C’,D’ e E’ são ditos semelhantes se forem satisfeitas simultaneamente ambas as condições:

i) Ângulos correspondentes iguais:

�̂� ≅ 𝐴′̂ ; �̂� ≅ 𝐵′̂ ; �̂� ≅ 𝐶 ′̂ …

ii) Lados correspondentes proporcionais:

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𝐴𝐵

𝐴′𝐵′=

𝐵𝐶

𝐵′𝐶′=

𝐶𝐷

𝐶′𝐷′= ⋯ = 𝑘

onde 𝑘 é a razão de semelhança

A razão de semelhança 𝑘 pode ser de ampliação (𝑘 > 1) ou

de redução (𝑘 < 1).

Figura 4.35 – Semelhança de polígonos quanto ao formato.

Exemplo 4.13: Determine os comprimentos x, y e z dos polígonos da Figura 4.36, sabendo que eles são semelhantes.


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Solução:

Se 𝐴𝐵𝐶𝐷 ~𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ então podemos afirmar que prevalece a igualdade (I).

𝐴𝐵

𝐴′𝐵′=

𝐵𝐶

𝐵′𝐶′=

𝐶𝐷

𝐶′𝐷′=

𝐷𝐴

𝐷′𝐴′= 𝑘 (I)

Assim, obtemos – a partir da igualdade (II) – o valor de k.

𝐵𝐶

𝐵′𝐶′=

4

6=

2

3= 𝑘 (II)

Com o valor de K, é possível calcular o valor de x, posteriormente o de y e z – de acordo com as equações de (III) à (V).

𝐷𝐴

𝐷′𝐴′ = 𝑘 (III)

𝑥

3=

2

3 ∴ 𝑥 = 2 𝑐𝑚

𝐴𝐵

𝐴′𝐵′ = 𝑘 (IV)

𝑦

5,7=

2

3 ∴ 𝑦 = 3,8 𝑐𝑚

𝐶𝐷

𝐶′𝐷′ = 𝑘 (V)

2,4

𝑧=

2

3 ∴ 𝑧 = 3,6 𝑐𝑚

Conclui-se que os comprimentos de x, y, e z são, respectivamente, x = 2 cm, y = 3,8 cm e z = 3,6 cm.

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4.12. Semelhança de Triângulos

Não é necessário que sejam conhecidos todos os lados e todos os ângulos de dois triângulos para que a semelhança entre eles possa ser assegurada. Para garantir a semelhança de dois triângulos, basta seguir uma das condições seguintes.

i) Caso LLL: Se dois triângulos possuem os seus lados

correspondentes proporcionais, então eles são semelhantes,

conforme a Figura. 4.37.

Figura 4.37 – Semelhança de triângulos quanto aos lados

ii) Caso AA: Se dois triângulos possuem dois ângulos

iguais, então eles são semelhantes. O terceiro ângulo é facilmente

determinado, pois a soma dos ângulos internos do triângulo é de

180°, conforme Figura. 4.38.

Figura 4.38 – Semelhança de triângulos quanto aos ângulos.

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iii) Caso LAL: Se dois lados de um triângulo são

proporcionais aos lados correspondentes do outro triângulo e se o

ângulo entre estes lados for igual ao correspondente do outro

triângulo, então os triângulos são semelhantes (ver Figura. 4.39).

Figura 4.39 – Semelhança de triângulos quanto a dois lados e um ângulo

A consequência dessa condição é que toda reta traçada paralela a um dos lados de um triângulo determina outro triângulo semelhante ao primeiro, como é possível observar na Figura. 4.40.

Figura 4.40 – Demonstração de semelhança de lado e ângulo de dois triângulos quaisquer

Se r//BC ⃡ então ∆ABC~∆ AB′C′

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Exemplo 4.14: Determine o valor de 𝑥 na Figura 4.41.


Solução:

Os triângulos ABC e AED são semelhantes, pois possuem dois ângulos iguais, são triângulos retângulos e possuem o ângulo

Â em comum.

Para calcularmos o valor de x, utilizaremos a equação (I).

𝐴𝐵

𝐴𝐸=

𝐶𝐴

𝐷𝐴 (I)

Assumindo que a existência das igualdades (II) e (III).

𝐴𝐵

𝐴𝐸=

𝑥

6 (II)

𝐶𝐴

𝐷𝐴=

8+6

𝑥+5 (III)

Por conseguinte, substituímos (II) e (III) em (I) para calcularmos o valor de x.

𝑥

6=

8 + 6

𝑥 + 5

𝑥2 + 5𝑥 − 84 = 0

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Resolvendo a equação de segundo grau.

𝑥 =−5 ± √52 − 4.1. (−84)

2.1=

−5 ± 19

2

𝑥 = −12 ∴ 𝑥′ = 7

Como a medida de comprimento não pode ser negativa,

teremos que o valor de x é 𝑥 = 7.

4.13. Perímetro e Área

Podemos ter como Perímetro a medida do contorno de um objeto bidimensional, ou seja, é a soma dos comprimentos de todos os lados de uma figura geométrica. Enquanto que a Área é uma função que associa a cada figura um número positivo que representa a medida de sua superfície.

Exemplo 4.15: Considerando uma sala cuja planta baixa está indicada na Figura 4.42.

Figura 4.42 – Figura referente ao Exemplo 4. 15.

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a) Quantos metros de rodapé serão necessários para contorná-la?

b) Deseja-se revestir o piso da sala com lajotas quadradas de 1 𝑚2

(Figura. 4.43). Quantas lajotas serão necessárias?

c) Qual é a área da sala?

Solução:

a)

Desejamos saber a medida do contorno da sala, isto é, o perímetro 𝑃 do retângulo, o qual pode ser calculado ao somarmos os 4 lados da sala.

𝑃 = 7 + 4 + 7 + 4 = 22 𝑚 (I)

Portanto, serão necessários 22 m de rodapé.

b)

Se colocarmos sobre a sala uma malha quadriculada na qual cada quadrado representa uma lajota, o número de lajotas necessárias será a quantidades de quadrados da malha.

Figura 4.43 – Malha Quadriculada.

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Precisaremos de 28 lajotas.

c)

Cada lajota pode ser considerada como uma unidade de área (𝑢. 𝑎 = 1 𝑚2). Para revestir a sala são necessárias 28 lajotas, isto é, 28 𝑢. 𝑎., então a área (𝑆) da sala é igual a equação (II).

𝑆 = 28 𝑢. 𝑎 = 28 ∙ 1 𝑚2 = 28 𝑚2 (II)

Nos subtópicos seguintes, indicamos o perímetro (2𝑝) e a área (𝑆) de algumas figuras geométricas planas.

4.13.1. Quadrado O perímetro e a área do quadrado (representado pela Figura 4.44) podem ser calculados segundo as equações (4.5) e (4.6)

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Figura 4.44 – Representação de um quadrado.

𝑝 = 4. 𝑎 (4.5)

𝑆 = 𝑎2 (4.6)

4.13.2. Círculo O perímetro e a área do círculo (representado pela Figura 4.45) podem ser calculados segundo as equações (4.7) e (4.8).

Figura 4.45 – Representação de Circulo.

𝑝 = 2. 𝜋. 𝑟 (4.7)

𝑆 = 𝜋. 𝑟2 (4.8)

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Observe que o perímetro do círculo é o comprimento da circunferência (𝐿 = 𝛼 𝑟 , 𝛼 = 2𝜋)

4.13.3. Paralelogramo O perímetro e a área do paralelogramo (representado pela Figura 4.46) podem ser calculados segundo as equações (4.8) e (4.9).

Figura 4.46 – Representação de um paralelogramo

𝑝 = 2𝑎 + 2𝑏 (4.8)

𝑆 = 𝑏. ℎ (4.9)

4.13.4. Triângulo O perímetro e a área do triângulo (representado pela Figura 4.47) podem ser calculados segundo as equações (4.10) e (4.11)

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Figura 4.47 – Representação de um triângulo

𝑆 =𝑏ℎ

2 (4.10)

𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 (4.11)

Observe que a área do triângulo é igual à metade da área do paralelogramo.

Existem outras fórmulas para o cálculo da área de um triângulo evolvendo apenas lados ou outros elementos como o ângulo entre dois lados, raio da circunferência inscrita, etc...

A expressão utilizada no cálculo da área de triângulo e que envolve apenas os lados do triângulo é chamada Fórmula de Heron e está mostrada na equação (4.12).

𝑆 = √𝑝𝑠(𝑝𝑠 − 𝑎)(𝑝𝑠 − 𝑏)(𝑝𝑠 − 𝑐) (4.12)

Onde 𝑝𝑠 é o semiperímetro do triângulo, ou seja:

𝑝𝑠 =𝑎+𝑏+𝑐

2 (4.13)

4.13.5. Losango O perímetro do triângulo (representado pela Figura 4.48) pode ser calculado segundo a equação (4.14)

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Figura 4.48 – Representação de um losango

𝑝 = 4. 𝑎 (4.14)

Assumindo que 𝑎 é igual a equação (4.15).

𝑎 =√𝑑2+𝐷2

2 (4.15)

Sendo 𝐷 a diagonal maior e d, a menor.

E a área é calculada a partir da equação (4.16).

𝑆 =𝐷.𝑑

2 (4.16)

Observe que o losango ocupa a metade do retângulo cujos lados têm medidas iguais às diagonais.

4.13.6. Trapézio O perímetro e a área do trapézio (representado pela Figura 4.49) podem ser calculados segundo as equações (4.17) e (4.18)

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Figura 4.49 – Representação de um trapézio

𝑝 = 𝑎 + 𝐵 + 𝑏 + 𝑐 (4.17)

𝑆 =(𝐵+𝑏).ℎ

2 (4.18)

A área do trapézio pode ser obtida pela soma das áreas dos dois triângulos determinados por uma de suas diagonais.

4.13.7. Polígono Regular de 𝒏 lados O perímetro de um polígono regular de n lados (representado pela Figura 4.50) pode ser calculado segundo a equação (4.19).

Figura 4.50 – Representação de um polígono regular

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𝑝 = 𝑛 . 𝑙 (4.19)

Um Polígono regular de 𝑛 lados pode ser dividido, a partir do centro, em 𝑛 triângulos isósceles congruentes de altura 𝑎, tal altura é denominada apótema. A área do polígono será 𝑛 vezes a área deste triângulo, tal qual a equação (4.20).

𝑆 = 𝑛. (𝑙.𝑎

2) (4.20)

Exemplo 4.16: Calcule a área da superfície composta pelas áreas rachuradas e pontilhadas da Figura 4.51.

Figura 4.51 – Figura referente ao exemplo 4.

A unidade de área é um quadrado de lado com comprimento igual a 1 𝑐𝑚, então 𝑢. 𝑎. = 1 𝑐𝑚2.

Solução:

Cada retângulo pontilhado é formado por 2 𝑢. 𝑎., então sua área é 𝑆𝑝 = 2 𝑐𝑚2.

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A parte rachurada de baixo da figura é um semicírculo de raio igual a 2 𝑐𝑚 e a parte branca de cima da figura também. Assim a parte rachurada se encaixa perfeitamente na parte branca da figura, formando um retângulo rachurado com 8 𝑢. 𝑎. Então, a área hachurada é 𝑆ℎ = 8 𝑐𝑚2.

A área total da superfície é calculada pela equação (I).

𝑆𝑇 = 2 ∙ 𝑆𝑝 + 𝑆ℎ = 2 ∙ 2 + 8 = 12 𝑐𝑚2 (I)

Exemplo 4.17: Calcule a área da coroa circular de raio 𝑅 = 20 𝑐𝑚 e largura 𝑡 = 5 𝑐𝑚, indicada na Figura 4.52, isto é, calcule a área da superfície colorida na figura.

Figura 4.52 –Figura referente ao exemplo 4..

Solução:

Podemos observar na figura que a área da coroa circular (I) é igual à diferença entre a área do círculo maior (II) e da área do círculo menor (III).

𝑆1 = 𝜋. 𝑅2 (I)

𝑆2 = 𝜋. 𝑟2 (II)

𝑆𝑐 = 𝑆1 − 𝑆2 (III)

𝑆𝑐 = 𝜋. (𝑅2 − 𝑟2)

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Como 𝑅 = 20 𝑐𝑚 e 𝑡 = 5 𝑐𝑚, então podemos calcular o raio a partir da equação (IV).

𝑟 = 𝑅 − 𝑡 (IV)

Logo, substituindo a equação IV em III, obteremos a área 𝑆𝑐.

𝑆𝑐 = 𝜋. (𝑅2 − 𝑟2) = 𝜋. (202 − 152) = 175 𝜋 𝑐𝑚2

𝑆𝑐 ≅ 175 ∙ 3,14 = 549,5 𝑐𝑚2 4.14. Volume

Volume é o espaço ocupado por um corpo e também a capacidade do corpo de comportar alguma substância.

A unidade de volume no Sistema Internacional de unidade é o metro cúbico (𝑚3). Um metro cúbico (1 𝑚3) pode ser representado pelo espaço ocupado por cubo de aresta igual a 1 𝑚.

Existe outro conceito relacionado com volume, o de capacidade. Volume e capacidade não são a mesma coisa. Capacidade está relacionado com o espaço interno de um recipiente, ou seja, ele descarta o volume ocupado pelo próprio material. A unidade utilizada para capacidade é o litro (𝐿). Para alguns problemas práticos usa-se a relação:

1 𝐿 = 1000 𝑚3

Exemplo 4.18: Considere um tanque de água 4 𝑚 de comprimento, 2 𝑚 de largura e 2 𝑚 de altura, conforme indicado na Figura 4.53.

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Figura 4.53 – Tanque de água

a) Desprezando a espessura, quantas caixas d’água de 1 𝑚 ×

1𝑚 ×1 𝑚 = 1 𝑚3 caberão dentro do tanque?

b) Qual é o volume do tanque?

c) Quantos litros de água serão necessários para encher o

tanque?

Solução:

a) Traçando no tanque uma malha de cubos na qual cada cubo

representa a caixa d’água, observa-se que foram utilizadas 16

caixas.

b) Cada caixa d’água pode ser considerada como uma unidade

de volume (1 𝑢. 𝑎 = 1 𝑚3). Para preencher o tanque são

necessárias 16 caixas, isto é, 16 𝑢. 𝑣., então o volume (𝑉) do

tanque é obtido pela equação (I).

𝑉 = 16 𝑢. 𝑣 (I)

𝑉 = 16 ∙ 1 𝑚3 = 16 𝑚3 (II)

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c) A quantidade de água necessária para preenche o tanque pode

ser definida ao multiplicarmos o volume em 𝑚3 por 1000.

Haja vista que 1𝑚3 = 1 000𝑙.

𝑉 = 16 ∙ 103𝑙 (IV)

𝑉 = 16000 𝑙

Nos subtópicos seguintes, mostraremos como calcular o volume de alguns Sólidos Geométricos. Para determina-lo, é necessário multiplicarmos a área da base e a altura do sólido.

É válido lembrar-vos que um sólido possui diferentes bases, tais como: quadrangular, retangulares, trapezoidais etc. Dessa maneira, temos seguintes sólidos.

4.14.1. Cubo Como o cubo (Figura 4.54) possui as mesmas medidas nas três dimensões 𝐿 (largura, altura e comprimento), isto é, possui a base quadrada. O seu volume será o produto entre elas, tal qual é explicitado na equação (4.21)

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Figura 4.54 – Representação de um cubo.

𝑉 = 𝐿3 (4.21)

4.14.2. Paralelepípedo O cálculo do volume do paralelepípedo (Figura 4.55) é semelhante ao do cubo. Entretanto, ele pode possuir bases quadradas ou retangulares.

A equação (4.22) Explicita tais definições.

Figura 4.55 – Representação de um paralelepípedo

𝑉 = 𝐿 ∙ 𝑙 ∙ ℎ (4.22)

4.13.3. Prisma O prisma (Figura 4.56) é um sólido que pode possuir diferentes tipos de base, sejam estas quadradas, trapezoidais, retangulares etc. Dessa forma, o seu volume será calculado a partir da área dessa base e a altura (4.23).

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Figura 4.56 – Representação de um prisma

𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ (4.23)

4.14.4. Cilindro O cilindro (Figura 4.57) possui as bases inferior e superior circulares. O seu volume é obtido a partir da equação (4.24).

Figura 4.57 – Representação de um cilindro

𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ (4.24)

𝑉 = 𝜋. 𝑟2 ∙ ℎ

4.14.5. Pirâmide A pirâmide (Figura 4.58) pode dispor de bases

triangulares, pentagonais, hexagonais etc. Com a equação (4.25) determinamos o volume desta.

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Figura 4.58 - Representação de uma pirâmide.

𝑉 =𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ℎ

3 (4.25)

4.15.6. Cone O cone (Figura 4.59) é definido como uma pirâmide de infinitos lados. Nesse caso, ele possui uma base circular. Com isso, para determinarmos o seu volume, utilizamos a equação (4.26)

Figura 4.59- Representação de um cone

𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ℎ

3 (4.26)

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𝑉 =𝜋∙𝑟2 ∙ℎ

3

4.15.7. Tronco de Cone Agora imagine um cone seccionado. É possível calcularmos o volume da parte inferior deste - chamada de tronco de cone (Figura 4.60) – utilizando o método de semelhança de triângulos.

Figura 4.60 – Representação de um tronco de cone.

Primeiro, separamos o triângulo retângulo (Figura 4.61).

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Figura 4.61 – Representação do triângulo retângulo,

Por semelhança de triângulos, temos a equação (I).

𝐻+ℎ

ℎ=

𝑅

𝑟 (I)

Manipulando algebricamente, obteremos a Equação (II).

(𝐻 + ℎ)𝑟 =𝑅

𝑟

𝐻𝑟 + ℎ𝑟 = 𝑅ℎ

𝐻𝑟 = 𝑅ℎ − ℎ𝑟

𝐻𝑟 = ℎ(𝑅 − 𝑟)

ℎ =𝐻𝑟

𝑅−𝑟 (II)

O volume do tronco de cone será a diferença entre o volume do cone maior e o cone menor (III).

𝑉𝑇 = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

𝑉𝑇 =1

3𝜋𝑅2(𝐻 + ℎ) −

1

3𝜋𝑟2ℎ

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𝑉𝑇 =𝜋

3(𝑅2𝐻 + 𝑅2ℎ − 𝑟2ℎ)

𝑉𝑇 =𝜋

3(𝑅2𝐻 + ℎ(𝑅2 − 𝑟2) (III)

Substituindo II em III, encontramos a equação 4.27.

𝑉𝑡 =𝜋

3𝐻(𝑅2 + 𝑅𝑟 + 𝑟2) (4.27)

4.15.8. Esfera A esfera (Figura 4.62) é um corpo maciço gerado a partir da rotação de um de semicírculo em torno de um eixo. Podemos calcular o seu volume segundo a equação 4.28.

Figura 4.62 – Representação de uma esfera.

𝑉 =4∙𝜋∙𝑟3

3 (4.28)

Exemplo 4.19: A área de uma pirâmide quadrangular é igual a 9 𝑐𝑚2 e a sua altura é igual ao comprimento das laterais de sua base. Com estas informações, determine o volume da pirâmide.

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Solução:

Uma pirâmide quadrangular é uma pirâmide cuja base é um quadrado. Chamando de 𝑎 o comprimento dos lados deste quadrado, a área da base é igual a equação (I).

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑎2 (I)

𝐴 = 9 𝑐𝑚2 ∴ 𝑎 = 3 𝑐𝑚

A altura ℎ da pirâmide é igual ao comprimento do lado da base, então ℎ = 𝑎. Assim, a Equação (II) determinará o volume do sólido.

𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ℎ

3 (II)

𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 =9 ∙ 3

3= 9 𝑐𝑚3

Exemplo 4.20: Dispomos de 1300 cm2 de um papel adesivo para encapar uma caixa com a forma de um paralelepípedo retângulo com 20 cm de comprimento e 15 cm de largura. Qual deve ser o volume desta caixa considerando que todo o papel adesivo disponível será utilizado, que não haverá sobreposição dele e que toda a superfície da caixa será encapada?

Solução:

A área total a ser encapada é explicitada pela equação (I).

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝐴𝑡𝑎𝑚𝑝𝑎 + 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 (I)

http://www.matematicadidatica.com.br/Solidos-Geometricos-Exercicios-Calculo-Area-Volume.aspx#anchor_ex2






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A altura ℎ da caixa é desconhecida e a base da caixa é um

retângulo de 15 𝑐𝑚 ×20 𝑐𝑚. Assim, a área da base será igual a

equação (II).

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝐴𝑡𝑎𝑚𝑝𝑎 = 20 ∙ 15 = 300 𝑐𝑚3 (II)

A área lateral será dada pela Equação (III).

𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒 ×𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 (III)

𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = (20 + 15 + 20 + 15) ∙ ℎ = 70 ∙ ℎ

Como já possuímos os valores numéricos das 3 áreas e a soma delas, é possível determinar a altura da caixa e o volume desta pelas Equações (I) e (IV), respectivamente.

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 300 + 300 + 70 ℎ = 1300 𝑐𝑚2

70ℎ = 1300 − 600 → ℎ =700

70→ ℎ = 10

𝑉𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ = 300 ∙ 10 (IV)

𝑉𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎 = 3000 𝑐𝑚3

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LISTA DE EXERCÍCIOS

Aqui estão questões relacionadas ao capítulo estudado. É

importante o esforço para resolver todas as questões. Em caso de

dúvidas os monitores do programa estão prontos para lhe ajudar.

Bons estudos!

Geometria Plana 1) Determine a medida do segmento 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ , na Figura 4.20, sabendo

que 𝑀𝑃 = 20 𝑐𝑚 ; 𝑃𝑁 = 50 𝑐𝑚; 𝑃𝐵 = 60 𝑐𝑚.

Figura 4.63 – Figura referente ao Exercício 1.

2) Na Figura 4.64, calcule o valor de 𝑥.

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Figura 4.64 – Figura referente ao Exercício 2.

3) Determine os valores de 𝑥, 𝑦.e 𝑧 indicados na Figura. 4.65.

Figura 4.65 – Figura ilustrativa referente ao Exercício 3.

4) Determine o valor do ângulo 𝑥 da Figura 4.66, sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é de 360°.


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5) Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que, a partir de 185.600 voltas, ele passa a se deteriorar. Sabendo que o diâmetro do pneu é 0,5 𝑚, determine, aproximadamente, a distância em 𝑘𝑚 que ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto.

6) A soma das áreas dos três quadrados, representados pela Figura 4.67, é igual a 83 𝑐𝑚2. Determine a área do quadrado maior.


7) O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na Figura 4.68.

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As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. Qual será o perímetro do circuito?

8) Uma mulher gostaria de pendurar um quadro circular. Como o quadro era pesado e o barbante de que ela dispunha não era muito resistente, resolveu usar 3 pedações de barbante para pendurar o quadro. Os comprimentos dos pedações de barbamte era PT, PB E PD. Na Figura 4.69, o ponto T é o ponto de tangência da circunferência.


Se 𝑃𝐶 = 4 𝑐𝑚, 𝑃𝐷 = 6𝑐𝑚 𝑒 𝑃𝐴 = 3 𝑐𝑚, determine as medidas de PB E PT.

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9) Encontre a área de um retângulo, sabendo que a diagonal mede 10 m e o perímetro é igual a 28 m.

10) Na Figura 4.70, P é o ponto médio do segmento 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ do paralelogramo ABCD. Calcule a área, em metros quadrados, do triângulo APB, sabendo-se que a área do paralelogramo é 136 𝑚2.


11) Calcule a área do segmento circular da Figura 4.71. Use 𝜋 =

3.14 𝑒 √3 = 1.73.


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Geometria Espacial

12) Na Figura 4.72, 𝐴𝐵𝐶 é um quadrante de um círculo de raio igual a 3 𝑐𝑚 e 𝐴𝐷𝐸𝐹 é um quadrado de lado igual a 1 𝑐𝑚. Considere

o sólido gerado pela rotação de 360° da região hachurada da figura em torno da reta 𝐴𝐵. Determine o volume deste sólido de revolução.

Figura 4.72 – Figura referente ao Exercício 12

13) Dois cubos de alumínio com arestas medindo 10 𝑐𝑚 e 6 𝑐𝑚 são levados juntos à fusão. A seguir, o alumínio líquido é moldado na forma de um paralelepípedo reto de base quadrada de lado igual a 8 𝑐𝑚. Determine a altura do paralelepípedo.

14) Uma pirâmide (ilustrada pela Figura 4.73) tem a altura medindo 30 cm e a área da base igual a 150 𝑐𝑚2. Qual é a área da seção superior do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesa, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é de 17 m?

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15) Um copo de vidro com formato de um cilindro circular reto, cujo diâmetro interno mede 4 cm, está cheio de um liquido até a borda. Inclinando esse copo, despeja-se o líquido nele contido até

que atinja a marca que dista da borda 16

𝜋𝑐𝑚. Qual o volume do

líquido despejado?

16) A Figura 4.74 mostra a maquete do depósito a ser construído. A escala é 1:500, ou seja, 1 cm, na representação, corresponde a 500 cm na realidade. Qual será a capacidade, em metros cúbicos, do depósito?


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17)Um recipiente cilíndrico (ilustrado pela Figura 4.75) de 60cm de altura e base com 20cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40cm, conforme indicado na figura.


Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%. Considerando 𝜋 igual a 3, qual a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água?

18) O volume de um cilindro circular reto é 36√6𝜋 𝑐𝑚3 Se a altura

desse cilindro mede 6√6𝑐𝑚, qual será a área total desse cilindro, em 𝑐𝑚2?

19) O raio de uma esfera de metal mede 30 cm. Com o material dessa esfera, foram fabricadas x esferas de raio medindo 3 cm. Com bases nessas informações, qual o valor de x?

20) Três bolas de tênis idênticas, de diâmetro igual a 6cm, encontram-se dentro de uma embalagem cilíndrica com tampa. As

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bolas tangenciam a superfície interna da embalagem nos pontos de contato, como ilustra a Figura 4.76.


Calcule:

a) a área total, em cm2 , da superfície da embalagem.

b) b) a fração do volume da embalagem ocupado pelas bolas.

21) A Figura 4.77 representa um sólido obtido de um

paralelepípedo retorretangular de dimensões 9 m, 9 m e 8 m, de

onde foram retirados dois outros paralelepípedos de dimensões 3

m, 3 m e 8 m.


Determine:

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a) a área total.

b) o volume do sólido resultante.

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GABARITO

1) 𝑨𝑷 = 𝟐𝟒 𝒎

2) 𝒙 =𝟐𝟏

𝟐 𝒄𝒎

3) 𝒙 =𝟔𝟑

𝟏𝟏 ; 𝒚 =

𝟐𝟏

𝟐; 𝒛 =

𝟐𝟐

𝟗

4) 𝒙 = 𝟕𝟎°

5) 𝟐𝟗𝟏, 𝟓 𝒌𝒎

6) 𝟒𝟗 𝒄𝒎𝟐

7) 𝟏𝟗, 𝟓 𝑲𝒎

8) 𝑷𝑩 = 𝟖𝒄𝒎 𝒆 𝑷𝑻 = 𝟐√𝟔𝒄𝒎

9) 𝟒𝟖 𝒎𝟐

10) 𝟑𝟒 𝒎𝟐

11) 𝟑, 𝟐𝟕 𝒎𝟐

12) 𝟏𝟕𝝅 𝒄𝒎𝟑

13) 𝟏𝟗 𝒄𝒎

14) 𝑨𝒔 = 𝟐𝟖. 𝟏𝟕𝒄𝒎𝟐

15) 𝟑𝟐 𝒄𝒎𝟑

16) 𝟑𝟐𝟒𝟎 𝒄𝒎𝟑

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17) 𝟏𝟎𝟑√𝟏𝟐

18) 𝟖𝟒 𝝅

19) 𝟏𝟎𝟎𝟎

20) 𝒂) 𝟏𝟐𝟔 𝝅 𝒄𝒎𝟐, 𝒃)𝟐

𝟑

21) 𝒂) 𝟓𝟏𝟎 𝒄𝒎𝟐, 𝒃) 𝟓𝟎𝟒 𝒄𝒎

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MATEMÁTICA - pcna.com.br · Segmentos Proporcionais Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. Quatro números , , e são proporcionais, nesta ordem, se a razão