Material de razes, propores e regra de trs

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Entendendo a razoConsidere a situao a seguir.

1. No treino de vlei, a cada 10 saques Cludia errou 9.

Para comparar o nmero de saques que no deram certo com o total de saques de Cludia, podemos usar uma frao:

Ento, que frao representa a comparao entre o nmero de saques que Cludia acertou e o nmero total de saques realizados. 2. Em um conjunto, 240 candidatos disputam 80 vagas.

Vamos comparar esses dois nmeros.

Dividindo o nmero de candidatos pelo nmero de vagas:

24080 = Dizemos que h para cada vaga ou que a razo entre o nmero de candidatos e o nmero de vagas de 3 para 1.

Ou

Dividindo o nmero de vagas pelo nmero de candidatos:

= Dizemos que para cada vaga h 3 candidatos ou que a razo entre o nmero de vagas e o nmero de candidatos de 1 para 3.Quando comparamos dois nmeros, usamos uma diviso, como na situao acima, o resultado obtido chama-se razo entre esses dois nmeros.Conceituando...

Sendo a e b nmeros racionais, com b0, denomina-se razo entre a e b ou razo de a para b ou cociente ou a:b. A razo ou a:b pode ser lida de uma das seguintes maneiras: razo de a para b ou a est para b ou a para b.Os termos de uma razo, na forma fracionria ou como uma diviso, recebem normas especiais: o primeiro nmero denomina-se antecedente e o segundo nmero, consequente.

Algumas razes especiais Velocidade mdia

Felipe Massa:

Vencedor do GP do Brasil em 2006 e 2008.O piloto brasileiro Felipe Massa triunfou no Grande Prmio do Brasil de Frmula 1, em 2006. Ele foi o quinto brasileiro a conquistar a primeira colocao em pistas brasileiras.Felipe Massa conquistou a vitria no GP do Brasil 2006 com a velocidade mdia de 199,732 km/h e foi o terceiro colocado na classificao final do Campeonato Mundial de 2006. No GP Brasil 2008, chegou em 1 lugar com velocidade mdia de 194,97 km/h e foi o 2 colocado na classificao final do Campeonato Mundial de 2008. Fonte:Denomina-se velocidade mdia a razo entre a distncia total percorrida e o tempo gasto para percorr-la.

Considere a situao:Um trem percorreu a distncia de 453 km em 6 horas. Qual foi a velocidade mdia do trem nesse percurso?

A velocidade mdia do trem foi de 75,5 km/h, que se l: 75,5 quilmetros por hora.EscalaUma das aplicaes da ideia da razo entre duas grandezas encontra-se na escala de reduo ou na escala de ampliao, conhecidas simplesmente como escala.

Profissionais de diversas reas usam uma determinada escala de reduo, por exemplo, no construir a maquete de um prdio, ao fazer a planta de um imvel ou desenhar um novo modelo de carro.

A escala de ampliao um dado importante em anlises cientficas, por exemplo, na visualizao de uma bactria.

Conceituando...Denomina-se escala de um desenho a razo entre o comprimento considerado no desenho e os correspondentes reais medidos com a mesma unidade. Em geral, utilizamos as medidas em centmetros para determinar uma escala.

Tomemos o exemplo, em um mapa em que a escala de 1:50 000 000. Isso significa que 1 cm no desenho corresponde a 50000000 cm no real, ou seja, a 500 km. Assim, se a distncia entre duas cidades no mapa de 2,5 cm, a distncia real entre essas cidades de 1250 km (2,5500).Densidade de um corpo

Para calcular a distncia de um corpo, tambm se aplicar a ideia de razo entre duas grandezas. Assim, a densidade de um corpo dada pela razo entre a massa e o volume desse corpo, ou seja:

Vejamos o exemplo:

Uma escultura de bronze tem 3,5 kg de massa e volume de 400 cm3. Qual a densidade dessa escultura de bronze?De acordo com os dados, temos:

Logo, a densidade dessa escultura de bronze 8,75 g/cm3.

Densidade demogrfica O clculo da densidade demogrfica tambm uma aplicao de razo entre duas grandezas. Ela expressa o nmero de habitantes por quilmetros quadrado de uma regio. Assim, densidade demogrfica a razo entre o nmero de habitantes e a rea da regio ocupada, ou seja: Veja um exemplo: Tocantins o mais novo dos 26 estados brasileiros e ocupa uma rea aproximada de 280000 km2. De acordo com o IBGE, em 2005, o estado de Tocantins tinha populao aproximada de 1300 000 habitantes. Qual era, ento, a densidade demogrfica aproximada desse estado nesse ano?

Proporo

Uma sentena matemtica que expressa uma igualdade entre duas razes chamada proporo.Conceituando...

Proporo uma igualdade entre duas razes.Acompanhe a situao: A Organizao Mundial de Sade (OMS), rgo da ONU que trata dos temos ligados sade, recomenda 1 mdico para cada grupo de 1000 habitantes. Nessas condies, quantos mdicos deveriam ter uma cidade com 50 000 habitantes?De acordo com o problema, temos:

Razo entre o nmero de mdico e o nmero de habitantes:

QUOTE Razo entre o nmero de mdicos e o nmero de habitantes: a cidade deviria ter 50 mdicos.

Ento, uma proporo.

L-se: 1est para 1000, assim como 50 est para 50 000.

Nesse caso, dizemos que os nmeros 1, 1000, 50, 50 000, nessa ordem, formam uma proporo.

Conceituando...

Quatro nmeros racionais a, b, c e d, diferentes de zero, tomados nessa ordem, formam uma proporo quando: a:b = c:dNa proporo , temos:

Os nmeros a, b, c e d so denominados termos da proporo. O primeiro e o quarto termos so denominados extremos, enquanto o segundo e o terceiro so denominados meios.

Propriedade fundamental das proporesVeja o exemplo: Na proporo , temos: Produto dos extremos: 6 x 18 = 108 6 x 18 = 9 x 12

Produto dos meios: 9 x 12 = 108

Esse fato se repete sempre que tornamos uma proporo. Assim, definimos a propriedade fundamental das propores:Conceituando...

De modo geral, em toda proporo, o produto dos extremos igual ao produto dos meios e vice-versa.Clculo de um termo desconhecido

Usando a propriedade fundamental, podemos calcular valores desconhecidos em uma proporo.Veja o exemplo: Calcular o valor de X, sabendo que 3, 5, 2 e X+1 formam nessa ordem, uma proporo.

Resoluo: definio de proporo

3(x+1) = 5 2 propriedade fundamental

3x + 3 = 10 3x = 10 3 3x = 7 x = ou 2,33

Regra de trsRegra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvem quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos.

Passos utilizados numa regra de trs simples:

1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia.2) Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais.

3) Montar a proporo e resolver a equao.

Exemplo: Em um treino de frmula 1, um piloto fez o percurso em 18 segundos, com uma velocidade mdia de 200 km/h. Se a velocidade mdia fosse de 240 km/h, qual seria o tempo gasto no percurso?

Soluo: Vamos representar por X o tempo procurado. Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo (18 s e X s). Queremos determinar um desses valores, sendo que j conhecemos os outros trs.Tempo gasto para fazer o percurso.

VelocidadeTempo

200 km/h18 s

240 km/hX s

Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cair para a metade, e assim por diante. Logo, as grandezas so inversamente proporcionais. Assim, nmeros 200 e 240 so inversamente proporcionais aos nmeros 18 e X.

Da, temos: razo inversa

20018 = 240 X 3600 = 240 X X = X = 15

O tempo gasto do percurso seria 15 segundos.

Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.

Como as palavras so contrrias (aumentando-diminui), podemos afirmar que grandezas so inversamente proporcionais. Isso explica o porque invertemos a coluna do tempo.

Regra de trs composta utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplo: Uma ciclista percorre, em mdia, 200 km/h em dois dias, pedalando durante 4 horas por dia. Em quantos dias essa percorrer 500 km/h, se pedala horas por dia?

Soluo: Indicamos o nmero de dias pala letra X, organizamos os dados na tabela a seguir:

Desempenho da ciclistaNmero de kmNmero de h/diaNmero de dias

20042

5005X

Fixando a grandeza nmero de km, vamos relacionar as grandezas nmeros de horas que ela pedala por dia. Dobrando-se o nmero de horas que ela pedala por dia, o nmero de dias cair para a metade. Logo, as grandezas nmeros de horas por dia e nmero de dias so inversamente proporcionais. Fixando a grandeza nmero de hora por dia vamos relacionar as grandezas nmero quilmetro e nmero de dias.

Dobrando-se o nmero de quilmetros percorridos, o nmero de dias tambm dobrar. Logo, as grandezas nmero de quilmetros e nmero de dias so diretamente proporcionais.

Ento, a grandeza nmero de dias diretamente proporcional grandeza nmero de quilmetros inversamente proporcional grandeza nmero de hora por dia. Isso leva a escrever a razo inversa dos valores que representam a grandeza nmero de hora por dia.

Da, temos:

QUOTE 1000 X = 4000 X X = 4A ciclista levar 4 dias para percorrer 500 km, se pedalar 5 horas por dia.