Exercícios propostosMatemática capítulo 3

3

169. Resolva os sistemas abaixo:

a) 2 3 53 2 1

x yx y

+ =− =

b) x y

x y− =

− =

33 3 6

170. Resolva os sistemas abaixo:

a) 4 164 16

x yx y

+ =+ =

b) x y

x y+ =+ =

2 13 6 3

171. Determine a solução do sistema: x y

x y− =− =

2 02 4 0

172. (FGV – SP) Um motorista abasteceu seu carro flex num posto com 10 litros de álcool e 30 litros de gasolina pagando R$90,00. Na semana seguinte, no mesmo posto, abasteceu com 30 litros de álcool e 20 litros de gasolina pagando R$102,00. Se não houve alteração nos preços, calcule o preço do álcool nesse posto?

173. (Uniube – MG) Ao descontar um cheque, recebi somente notas de R$10,00 e R$50,00 em um total de 14 notas. Quando fui conferir, descobri que o caixa havia se enganado, pois recebi tantas notas de R$50,00 quanto as de R$10,00 que deveria ter recebido e vice-versa. Per-cebido o erro, verifiquei que, se gastasse R$240,00 da importância recebida, ainda ficaria com o valor do meu cheque. Qual era o valor do cheque?

174. (Cesgranrio) O sistema 3x y 211x 4y 3

+ =+ =

tem a solução: a) x = 5, y = 3b) x = –5, y = 13c) x = 5, y = –13

d) x =–5, y = –13e) x = 2, y = –13

175. (Fuvest – SP) S =22y x bz y b

az x b

+ =− =+ =

Resolva o sistema S para:a) a = 0 e b = 1 b) a = 4 e b = 0

176. (Unicamp – SP) Em um restaurante, todas as pes-soas de um grupo pediram um mesmo prato principal e uma mesma sobremesa. Com o prato principal o grupo gastou R$ 56,00 e com a sobremesa R$ 35,00; cada sobre-mesa custou R$ 3,00 a menos do que o prato principal.

a) Encontre o número de pessoas neste grupo.b) Qual o preço do prato principal?

177. (UEL – PR) Se os sistemas

2 3 13 2 4

x yx y

+ = −+ = −

e ax y

x by− =− =

3 02 0

são equivalentes, então a + b é igual a:

a) −72

b) –4

c) −92

d) –5

e) −112

178. Se ab = 10 e 2a – b = 6, quanto vale 2a2b – ab2?

179. O valor da expressão x2y + xy2, onde xy = 12 e x + y = 8, é:

a) 40b) 96

c) 44d) 88

e) 22

180. Sabe-se que 2x + y = 10 e 2x – y = 2, então calcule o valor de 4x2– y2.

181. (UFBA) Uma pessoa retira R$ 70,00 de um banco, rece-bendo 10 notas, algumas de R$ 10,00 e outras de R$ 5,00. Calcule quantas notas de R$ 5,00 a pessoa recebeu.

182. Determine dois números pares positivos e consecu-tivos cujo produto é 624:

a) 1 e 624 b) 2 e 312

c) 4 e 624 d) 24 e 26

e) N.D.A.

183. Pelo método da adição, resolva o sistema de equa-ções dado por:

2 2 23 4 52

x yx y

− =+ =

,

com U = Q x Q.

184. (ENEM) Na aferição de um novo semáforo, os tem-pos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde per-

maneça acesa igual a 23

do tempo em que a luz vermelha

fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos.

Qual a expressão que representa a relação entre X e Y? a) 5X – 3Y + 15 = 0 b) 5X – 2Y + 10 = 0 c) 3X – 3Y + 15 = 0

d) 3X – 2Y + 15 = 0 e) 3X – 2Y + 10 = 0

185. (UEMG) Uma pequena empresa fabrica dois tipos de colchão: solteiro e casal. A tabela a seguir refere-se ao faturamento da empresa nos meses de agosto e setembro:

Faturamento mensal com col-chão de solteiro

Faturamento mensal com col-

chão de casalTOTAL

Agosto (?) (?) R$ 8.320,00

SetembroMetade do valor

faturado em agosto

Um terço do valor faturado

em agostoR$ 3.200,00

Cada colchão de solteiro custa R$ 320,00, e cada col-chão de casal custa R$ 480,00.

A quantidade de colchões de solteiro vendidos em agosto corresponde a:a) 6b) 8

c) 10d) 11

4

186. (UEPA) Uma empresa utiliza o serviço de mala direta como meio de comunicação com seus clientes. O setor financeiro da empresa efetuou levantamento, no mês de agosto, sobre os custos com esse tipo de comu-nicação e constatou um gasto de com o envio de 300 malas diretas do tipo normal e 95 do tipo urgente. No mês de setembro, a empresa enviou 300 malas diretas do tipo normal e apenas 40 do tipo urgente, totalizando um gasto de R$ 194,00. O custo correspondente ao envio de uma mala direta normal é:

a) R$ 1,55 b) R$ 1,50

c) R$ 1,00d) R$ 0,55

e) R$ 0,50

187. (UEPG – PR) Se Bruna der 6 reais a Ana, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Carla perder 2 reais, ficará com a mesma quantia que tem Ana. Se Bruna per-der um terço do que tem, ficará com a mesma quantia que tem Carla. Nesse contexto, assinale o que for correto.

01)As três juntas têm mais de 50 reais. 02)Ana tem menos de 20 reais. 04)Carla tem mais de 15 reais. 08)Bruna tem mais do que Ana e Carla juntas.

188. (Udesc) Um Pet Shop tem cães, gatos e passari-nhos à venda, totalizando 38 cabeças e 112 patas. Sabe-se que nenhum destes animais apresenta algum tipo de deficiência física e que a metade do número de pas-sarinhos mais o número de cães supera em duas unida-des o número de gatos. Se o preço de venda de cada cão, gato e passarinho é, respectivamente, 500, 90 e 55 reais, então, ao vender todos estes animais, o Pet Shop terá arrecadado:

a) 4.770 reaisb) 3.950 reais

c) 6.515 reaisd) 5.250 reais

e) 5.730 reais

189. (Unesp) Um negociante trabalha com as mercado-rias A, B e C de cada uma das quais tem um pequeno estoque não nulo. Se vender cada unidade de A por R$ 2,00, cada uma de B por R$ 3,00 e cada uma de C por R$ 4,00, obtém uma receita de R$ 50,00. Mas, se vender cada unidade, respectivamente, por R$ 2,00, R$ 6,00 e R$ 3,00, a receita será de R$ 60,00. Calcular o número de unidades que possui de cada uma das mercadorias.

190. (FGV – SP) Se a terna ordenada (a, b, c), de números reais, é solução do sistema

x y zx y z 22x y 3z 1,

+ − =− + =+ − =

0

então a soma a + b + c é igual a:a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

191. (UFMG) Uma indústria produz três produtos, A, B e C, utilizando dois tipos de insumo, X e Y. Para a manufa-tura de cada quilo de A, são utilizados 1 grama do insumo X e 2 gramas de insumo Y; para cada quilo de B, 1 grama de insumo X e 1 grama de insumo Y e, para cada quilo de C, 1 grama de X e 4 gramas de Y. O preço de venda do quilo de cada um dos produtos A, B e C é R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 5,00, respectivamente.

Com a venda da produção de A, B e C manufaturada com 1 quilo de X e 2 quilos de Y, essa indústria arrecadou R$ 2.500,00.

Determine quantos quilos de cada um dos produtos A, B e C foram vendidos.

192. (UFES) Resolva o sistema linear

2 3 116

5 2 3 18

x y zx y z

x y z

+ + =+ + =

+ + =

193. (UEL – PR) Um lojista pretende colocar um certo número de agasalhos em algumas prateleiras, de modo que o número de peças em cada prateleira seja o mesmo. Se colocar 9 agasalhos em cada prateleira, duas delas deixarão de ser usadas; entretanto, se colocar 7 em cada uma, usará todas as prateleiras. O número de agasalhos que ele deve acomodar é:

a) 52b) 56c) 58

d) 61e) 63

194. Determine geometricamente a interseção das retas dadas por:

x + y = 4 e 2x + 3y = 11

A qual quadrante pertence esse ponto?

195. (UFPE) Se (a, b, c) é a solução do sistema

x 2y z x y z 13x y 2z 5

+ − =− + =+ + =

0

calcule (a + b + c)4.

196. (UFRGS) O sistema de equações

5 4 2 03 4 18 0

x yx y

+ + =− − =

possui:a) nenhuma solução. b) uma solução. c) duas soluções. d) três soluções. e) infinitas soluções.

197. (UTF-PR) Num jogo de decisão de campeonato, os preços dos ingressos num estádio de futebol eram: arquibancada R$25,00 e geral R$10,00. A renda com a venda desses dois tipos de ingressos foi de R$48.200,00. Sabendo que todos os ingressos foram vendidos e que o número de ingressos da arquibancada equivale a 2/5 do número de ingressos da geral, determine quantos ingres-sos da arquibancada foram vendidos.

a) 1.024b) 964c) 1.824

d) 2.410e) 890

5

198. (UEL – PR) A tabela a seguir apresenta a capacidade de geração de energia C, a área inundada A e a razão da capacidade de geração de energia pela área inundada E = C/A, de 5 usinas hidrelétricas brasileiras.

Hidrelétrica C (MW) A (km2) E (MW/km2)

Itaipu 14.000 1.350 10,4Porto Primavera 1.800 2.250 0,8Serra da Mesa 1.275 1.784 0,7Sobradinho 1.050 4.214 0,2Tucuruí 8.370 2.430 3,4

O maior valor de E é aquele da usina de Itaipu. O par ordenado (x,y) do sistema linear

3 4 00 0

1010

, ,, ,

,,

28 7

44

=

xy

fornece a quantidade de vezes que se deve aumentar o valor de E nos pares de usinas Tucuruí/Sobradinho e Porto Primavera/Serra da Mesa para que cada par orde-nado tenha o mesmo valor E de Itaipu.

Com base no enunciado e nos conhecimentos sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, considere as afirmativas a seguir.

I. O sistema linear dado tem infinitas soluções. II. Para que a usina de Sobradinho tenha o mesmo E

da usina de Tucuruí, é necessário que ela aumente 9,7 vezes sua capacidade de geração de energia.

III. A matriz do sistema linear dado tem determinante não nulo, portanto a solução do sistema linear é única.

IV. Para que a usina de Porto Primavera tenha o mesmo E da usina de Itaipu, é necessário que ela aumente 13,0 vezes sua capacidade de geração de energia.

Assinale a alternativa correta.a) Somente as afirmativas I e II são corretas.b) Somente as afirmativas II e IV são corretas.c) Somente as afirmativas III e IV são corretas. d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas.e) Somente as afirmativas I, III e IV são corretas

199. (Unioeste – PR) Um fabricante de ração deseja fabri-car três tipos de ração. Para isso, ele dispõe de três tipos de mistura, Mistura 1, Mistura 2 e Mistura 3. Cada quilo-grama da Ração 1 custa R$13,00 e contém 200 gramas da Mistura 1, 200 gramas da Mistura 2 e 600 gramas da Mis-tura 3. Cada quilograma da Ração 2 custa R$11,00 e con-tém 200 gramas da Mistura 1 e 800 gramas da Mistura 3. Cada quilograma da Ração 3 custa R$16,00 e contém 600 gramas da Mistura 2 e 400 gramas da Mistura 3. Em vir-tude do disposto, é correto afirmar que:

a) um quilograma da Mistura 1 custa R$30,00. b) o custo de um quilograma da Mistura 1, somado com

o custo de um quilograma da Mistura 3, é R$25,00. c) um quilograma da Mistura 2 custa R$11,00. d) somando-se os custos de um quilograma da Mistura

1, um quilograma da Mistura 2 e um quilograma da Mistura 3, obtêm-se R$50,00.

e) um quilograma da Mistura 3 custa R$22,00.

200. (UFSJ – MG) No quadro de alimentos que devem compor uma dieta alimentar específica, o total de car-boidratos, proteínas e lipídios a ser ingerido diariamente deve ser de 117 gramas. A prescrição é que a quantidade de proteínas ingerida seja 1/4 da quantidade de carboi-dratos e que a quantidade de lipídios equivalha a 30% da quantidade de carboidratos e proteínas. Considerando essa dieta, é incorreto afirmar que o consumo diário de:

a) carboidratos é superior ao consumo diário de proteínas.

b) lipídios e carboidratos é de 101 gramas. c) carboidratos excede o de proteínas em 54 gramas. d) proteínas e lipídios são de 45 gramas.

201. (UFRGS – RS) As soluções do sistema de equações

4x 3y z 2x 3z

8x 6y 2z

− + =− =

− + − =

00

0

estão representadas pela terna

a) xx x

, ,14

923

b) x xx

, ,1423

−

c) xx x

, ,−

149

23

d) x xx

, ,1423

e) xx x

, ,14

923

−

202. (Fatec) Se a terna de números reais (a, b, c) é uma solução de sistema de equações

3x 6y 9z x y 4z 6y 14z

+ − =− + =− =

00

0

então é verdade que:a) a = 2c/3 b) a = c

c) a = – 5c/3 d) a = – 5c

e) a = 4c

203. (UFRGS-RS) Três discos estão soldados como na figura a seguir. Considerando que as medidas de A, B e C, em centímetros, são, respectivamente, 12, 16 e 18, os diâmetros dos discos P, Q e R, nesta ordem, medem, em centímetros:

P

QR

C

A

B

a) 5, 7 e 11b) 12, 6 e 4

c) 11, 7 e 5d) 4, 6 e 12

e) 9, 8 e 6

6

204. (PUC-PR) O valor de Y no sistema de equações

x 5z 23x y 5z 34x 4y 3z 4

− =− − =− − = −

é:a) 4b) 5

c) 1d) 2

e) 3

205. Resolva e classifique os sistemas abaixo:

a)

x y zx y zx y z

+ + =+ + =+ + =

2 3 32 3 8 43 2 18 1

b)

x y zx y zx y z

+ + =− + − = −− + + = −

2 72 5 20

4 13

c)

x y zx y z

x y z

+ + =− + =

− + = −

2 32 3 5

3 2 2

d) x y zx y zx y z

+ + =− − =+ + =

2 22 5

3 2 1

206. Resolva e classifique o sistema:

2 3 82 3

5 3 1

x yx yx y

− =+ = −+ = −

207. (FGV – SP) Os números reais x, y e z são tais que x + y + z = 6 e 3x + 4y + 2z = 17.

a) Encontre uma solução do sistema formado por essas duas equações.

b) Determine todas as soluções do sistema.c) Calcule o valor de 8x+11y+7z.

208. Resolva e classifique o sistema:

x y zx y z

x y z

+ + =− + =− + =

3 42 2 53 4 10

209. (UFRGS – RS) Inovando na forma de atender aos clientes, um restaurante serve alimentos utilizando pra-tos de três cores diferentes: verde, amarelo e branco. Os pratos da mesma cor custam o mesmo valor. Na mesa A, foram consumidos os alimentos de 3 pratos verdes, de 2 amarelos e de 4 brancos, totalizando um gasto de R$ 88,00. Na mesa B, foram consumidos os alimentos de 2 pratos verdes e de 5 brancos, totalizando um gasto de R$ 64,00. Na mesa C, foram consumidos os alimentos de 4 pratos verdes e de 1 amarelo, totalizando um gasto de R$ 58,00.

Comparando o valor do prato branco com o valor dos outros pratos, verifica-se que esse valor é:a) 80% do valor do prato amarelo. b) 75% do valor do prato amarelo. c) 50% do valor do prato verde. d) maior que o valor do prato verde. e) a terça parte do valor da soma dos valores dos outros

pratos.

210. (CFTRJ)

Um pai deixou herança para seus filhos Aldo, Baldo e Caldo, mas determinou que, distribuída a herança:

– Aldo desse uma parte do que recebera a Baldo e a Caldo, de modo que os legados de Baldo e Caldo dobrassem;

– Depois disso, Baldo desse uma parte do que rece-bera a Aldo e a Caldo, de modo que os legados de Aldo e Caldo dobrassem;

– Finalmente, Caldo fizesse o mesmo, de modo que os legados de Aldo e Baldo dobrassem.

Cumpridas as determinações do pai, os filhos veri-ficaram que cada um ficara com 160 mil reais. Qual é a soma dos algarismos do número que representa o que fora o legado original de Aldo?a) 5 b) 6 c) 7 d) 8

211. (UFES) Dona Lúcia, preocupada com o longo tempo que seu filho Lucas passava conectado à internet, bem como com a sua pouca motivação para estudar em casa, fez ao filho a seguinte proposta, que foi aceita por ele: a cada dia em que Lucas não acessasse a internet e estu-dasse em casa, ela lhe daria R$ 20,00; a cada dia em que ele acessasse a internet, mas, em compensação, estu-dasse, ela lhe daria R$ 5,00, e, finalmente, a cada dia em que Lucas não estudasse, ele devolveria R$ 15,00.

a) Sabendo que, num período de 30 dias, a quantidade de dias em que Lucas acessou a internet e estudou foi igual à soma da quantidade de dias em que ele não acessou a internet e estudou com a quantidade de dias em que ele não estudou e que, nesse período, devido ao acordo, ele teve um saldo de R$ 305,00, calcule a quantidade de dias desse período em que Lucas não acessou a internet e estudou.

b) Sabendo que, em outro período de 30 dias, Lucas estudará todos os dias, determine todos os possíveis valores que ele poderá ganhar nesse período.

212. (UFG – GO) Um fabricante combina cereais, frutas desidratadas e castanhas para produzir três tipos de gra-nola. As quantidades, em gramas, de cada ingrediente utilizado na preparação de 100 g de cada tipo de granola são dadas na tabela a seguir.

Tipo de granola/ingredientes Cereais Frutas Castanhas

Light 80 10 10Simples 60 40 0Especial 60 20 20

7

O fabricante dispõe de um estoque de 18 kg de cereais, 6 kg de frutas desidratadas e 2 kg de castanhas. Deter-mine quanto de cada tipo de granola ele deve produzir para utilizar exatamente o estoque disponível.

213. (UERJ) Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 L, de 10 L e de 2 L. Ao todo, foram com-prados 94 L de água, com o custo total de R$ 65,00. Veja na tabela os preços da água por embalagem:

Volume da embalagem (L) Preço (R$)20 10,0010 6,002 3,00

Nessa compra, o número de embalagens de 10 L cor-responde ao dobro do número de embalagens de 20 L, e a quantidade de embalagens de 2 L corresponde a n.

O valor de n é um divisor de: a) 32 b) 65 c) 77 d) 81

214. (IFPE) Com a proximidade do final do ano, uma papelaria quis antecipar as promoções de material didá-tico para o ano letivo de 2012. Foram colocados em pro-moção caneta, caderno e lápis. As três ofertas eram:

1ª) 5 canetas, 4 cadernos e 10 lápis por R$ 62,00;2ª) 3 canetas, 5 cadernos e 3 lápis por R$ 66,00;3ª) 2 canetas, 3 cadernos e 7 lápis por R$ 44,00.

Para comparar os preços unitários dessa papelaria com outras do comércio, o Sr. Ricardo calculou os pre-ços de uma caneta, um caderno e um lápis. A soma des-ses preços é: a) R$ 20,00b) R$ 18,00

c) R$ 16,00d) R$ 14,00

e) R$ 12,00

215. (IFAL) Analise as afirmativas abaixo.

I. O sistema x y

x y+ =

− =

52 1 é possível

e indeterminado.

II. O sistema

x y zx y z

x y z

+ − =− + = −

+ − =

42 3 5

2 2 7 é possível

e determinado.

III. O sistema 2 54 2 10

x yx y

+ =+ =

é impossível.

Marque a alternativa correta. a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas II é verdadeira. c) Apenas III é verdadeira.

d) Apenas I é falsa. e) Apenas III é falsa.

216. (UEPA) Em um shopping center, uma pessoa veri-ficou o valor por unidade de CD de diferentes gêneros musicais (samba e forró) nas lojas A e B, conforme indi-cado na tabela abaixo:

Samba ForróLoja A R$ 18,00 R$ 21,00Loja B R$ 17,00 R$ 20,00

Se essa pessoa decidisse comprar x unidades de CD do gênero samba e y unidades de CD do gênero forró, na loja A, ela gastaria R$ 138,00. Mas, se ela comprasse as mesmas quantidades de CDs x e y na loja B ela gastaria R$ 131,00. Então a soma x + y é igual a: a) 8b) 7

c) 6d) 5

e) 4

217. (Unesp) Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas lojas de eletrodomésticos, à procura de três produ-tos que desejava adquirir: uma TV, um freezer e uma churrasqueira. Em três das lojas pesquisadas, os pre-ços de cada um dos produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos simulta-neamente para a venda. A loja A vendia a churrasqueira e o freezer por R$ 1.288,00. A loja B vendia a TV e o free-zer por R$ 3.698,00 e a loja C vendia a churrasqueira e a TV por R$ 2.588,00.

A família acabou comprando a TV, o freezer e a chur-rasqueira nestas três lojas. O valor total pago, em reais, pelos três produtos foi de:a) 3.767,00. b) 3.777,00.

c) 3.787,00. d) 3.797,00.

e) 3.807,00.

218. (UFU – MG) A prefeitura de uma cidade, preocu-pada com o meio ambiente e com o problema da falta de espaço físico adequado destinado a depósitos de lixo, criou uma cooperativa de reciclagem em parceria com os moradores de baixa renda. A Tabela 1 fornece os preços de venda (em reais) de cada kg de papel, vidro e plástico referente à primeira semana dos meses de setembro de 2009 e setembro de 2010; a Tabela 2 expressa a quanti-dade total (em kg) vendida desses três materiais na pri-meira semana dos meses mencionados acima e o rendi-mento (em reais) referentes à venda dos materiais reci-clados, obtidos nas referidas semanas

Tabela 1

Papel Vidro PlásticoSet. / 2009 0,30 0,20 0,50Set. / 2010 0,40 0,30 1,0

Tabela 2

Quantidade (kg) Rendimento (reais)

Set. / 2009 8.000 R$ 2.580,00

Set. / 2010 9.000 R

Sabe-se que, na primeira semana de setembro de 2010, foram vendidos 50% a mais de papel do que o ven-dido na primeira semana de 2009 e iguais quantidades, que aquelas comercializadas na primeira semana de 2009, de vidro e plástico.

Interprete e analise o texto dado, descrevendo expressões matemáticas que conduzam ao valor de R. Determine-o.

219. (IFSC) Um cinema recebeu R$ 663,00 (seiscentos e sessenta e três reais) pela venda de ingressos (entrada), durante uma única sessão.

8

221. (Unaerp – SP) Dado o sistema:

mx 3y mz 12x 5y 2z

x y z 1

+ − =− + =+ − =

0

para m = 3, o sistema é: a) determinado.b) possível.c) possível e determinado.d) impossível.e) indeterminado.

222. Sem resolver o sistema, classifique-o em possível determinado, possível indeterminado ou impossível.

2x y 3x 2y 3

+ =+ =

223. (Mackenzie – SP) Relativas ao sistema kx ky

x kyk

+ =+ =

∈

4 03 8

, � , considere as afirmações I, II e

III abaixo.

I. Apresenta solução única para, exatamente, dois valores distintos de k.

II. Apresenta mais de 1 solução para um único valor de k.

III. É impossível para um único valor de k.Dessa forma:

a) somente I está correta. b) somente II e III estão corretas. c) somente I e III estão corretas. d) somente III está correta. e) I, II e IIIestão corretas

224. (Unesp) Seja o sistema linear

S =− =− =

− = −

x 2y 12x y a

x ay 26

Determinar os seguintes subconjuntos de R:L1 = {a ∈ R: S é possível determinado}L2 = {a ∈ R: S é possível indeterminado}L3 = {a ∈ R: S é impossível}

225. (Unesp) Determine um valor de p que torne incom-patível o seguinte sistema:

3 2 5 32 6 95 4

x y zx y pzx y z p

+ − =− + =− − =

226. (UFMG) Determine os valores de a e b para que o sistema

x y 2z2x y z bx ay z

+ − =+ + =

+ + =

0

0

a) tenha solução única.b) tenha infinitas soluções.c) não tenha soluções.

Nessa sessão, o número de ingressos vendidos para adultos foi o triplo do número de ingressos vendidos para crianças. O ingresso para adulto custava R$ 12,00(doze reais) e o das crianças R$ 3,00(três reais). Considere que xseja o número de ingressos vendidos para os adultos e y, o número de ingressos vendidos para as crianças.

Imagem disponível em: http://www.google.com.br/Imgres?imgurl= http://www.expressodasilhas.sapo.

cv/uploads/noticias/big_1281969105_4994_Turma_da_Monica_Cine-Gibi_3.jpg&imgrefurl=http:www.

expressodasilhas.sap. Acesso em: 25 nov. 2010

Assinale a alternativa que expressa corretamente a equação que permite determinar o número de ingressos vendidos para crianças, bem como para os adultos

a) x y

x y= +

+ =

312 3 663

b) x yx y

=+ =

3663

c) x yx y

= ++ =

3663

d) x y

x y=

+ =

312 3 663

e) x y

x y=+ =

33 12 663

220. (UFMG) Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x e y

2 3 26 3

x yx ay

+ =+ =

Observando-se que o coeficiente de y na segunda equação é um parâmetro a,a) determine para quais valores de a o sistema

tem solução.b) determine as soluções x e y em função do parâmetro

a, caso o sistema tenha solução.c) determine todos os valores de a para os quais o

sistema tenha como solução números inteiros x e y.

9

232. (UPE) Considerando o sistema

5 3 4 315 9 8 620 12 16 12

x y zx y zx y z

+ + =+ + =+ + =

, analise as afirmativas

abaixo e conclua.a) O sistema é impossível. b) O sistema é possível e indeterminado. c) O sistema é possível e determinado. d) O sistema admite como solução única x = 4, y = 8, z = –11e) O sistema admite como solução, para qualquer

valorde x, a terna (x, x, 5x).

233. (Espcex/Aman) Para que o sistema linear 2 5

2x y

ax y b+ =+ =

seja possível e indeterminado, o valor de

a+b é:

a) –1b) 4c) 9

d) 14e) 19

234. (Cesgranrio) Se o sistema

y mx 3

y 2m 1 x 4

= += −( ) +

tem apenas uma solução (x, y), então o parâmetro m satisfaz à condição: a) m ≠ 1b) m ≠ –1c) m ≠ 0

d) m ≠ 1/2e) m ≠ 2

235. (Fuvest – SP) Considere o sistema:

x my 1 m − = −+ + =

( )1 1m x y

a) Prove que o sistema admite solução única para cada número real m.

b) Determine m para que o valor de x seja o maior possível.

236. (Unitau) Para que valores de k o sistema a seguir é possível e determinado?

2 3 52 3

2 70

x y zx y z k

x y zx y z

− − = −+ − =

+ + =+ − =

237. (Unicamp – SP) Encontre o valor de a para que o sistema

2x y 3z ax 2y z 3

7x 4y 3z 13

− + =+ − =+ + =

seja possível. Para o valor encontrado de a, ache a solu-ção geral do sistema, isto é, ache expressões que repre-sentem todas as soluções do sistema. Explicite duas des-sas soluções.

227. (Unesp) Seja (1, 1, 1) uma solução particular do sis-tema linear

x ay 2

2x by az 0

+ =

+ − =

Nas incógnitas x, y e z. Nessas condições, o conjunto solução do sistema é:a) {(x, –x + 2, 3x –2) | x ∈R }. b) {(1, 1, 1)}. c) {(x, x –2, 3x – 2) | x ∈ R}. d) {( –y + 2, y, 5y - 4) | y ∈ R}. e) {(z, z, z) | z ∈ R}.

228. (UFSJ) A respeito do sistema

x y azx y zx y z b

+ − =− − =+ − =

13 2 62 2 2

é correto afirmar que:a) se a ≠ 1, o sistema tem solução única. b) se b = 2, o sistema tem infinitas soluções. c) se a = 1 e b = 2, o sistema não tem solução. d) se a = 1, o sistema tem infinitas soluções.

229. (UEM – PR) Considere os sistemas lineares

Ix y

x y:

215

5

6 2 8

− =

− =

e II

kx y kx y

:+ = +− =

2 2 42 1

, em que k é

uma constante real, e assinale o que for correto.01)O sistema I é possível e determinado. 02)Não existe valor real de k para o qual o sistema II

seja possível e indeterminado. 04)Existe um único valor da constante real k para o

qual o sistema II seja possível e determinado. 08)Se k = −6 , o sistema II é equivalente ao sistema I. 16)O par ordenado (−1, 1) é solução do sistema II, para

algum valor real de k.

230. (IFSC) O sistema

2 2 2 2 02 3 6

5 9

x y zx y z

kx y z

− − − =+ + =+ + =

é possível

e determinado, quando o valor de k for:a) k ≠ 3 b) k = 5c) k = 3 d) k ≠ 5 e) k = 0

231. (UPE) Os elementos {a,b,c}, todos reais e positivos, estão, nesta ordem, em progressão geométrica. Sabendo

que ax bycx ay

+ =+ =

11

é possível e indeterminado, é correto

afirmar que, necessariamente:

a) a será o único termo não nulo no conjunto {a,b,c,}.b) se abc ≠ 0 , então os elementos {a,b,c} estão, nesta

ordem, também em progressão aritmética. c) a2 ≠ 0 ou c ≠ 0 , mas a2 – bc = 0 d) a2 = 0 ou c = 0, mas a2 – bc ≠ 0 e) pelo menos dois elementos no conjunto {a,b,c} são

diferentes de zero.

10

a) não admite solução, se k = 4. b) admite infinitas soluções, se k = m = 3. c) admite infinitas soluções, se k = 3 e m = 5. d) admite solução única, se k = 3 e m é qualquer real. e) admite solução única, se k ≠ 5 e m = 3.

244. (FGV – SP) Considere o sistema linear

kx y zx ky z kx y kz

− + =+ + =+ + =

3

1 de incógnitas x, y e z. Sendo k um

parâmetro real, então: a) o sistema será impossível se k = –1 ou k = 1.b) o sistema será determinado se k = 1.c) o sistema será impossível se k = 0 ou k = –1.d) o sistema será indeterminado se k = 0 ou k = –1.e) o sistema será determinado se k = 0 ou k = –1.

245. (Fatec – SP) Sejam a e b números reais tais que o sis-tema, nas incógnitas x e y,

x a y sen a sen

x b y sen badmita

⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ = −

cos

cos cos

u

3575

π

π

mma única solução.Nessas condições, pode-se afirmar que, sendo k um

número inteiro:

a) b a k≠ + ⋅ π2

.

b) b a k≠ + ⋅π.

c) b a k≠ + ⋅ 23π

.

d) b a k≠ + + ⋅π

π2

.

e) b a k≠ + + ⋅π π2

23

.

246. (Unitau – SP) Calcule o valor de k para que o sis-tema a seguir tenha solução diferente da trivial.

3x y z

2x 2 k y 2z

x y 1 k z

+ + =

+ −( ) + =

+ + −( ) =

0

0

0

247. (Faap – SP) Seja o sistema linear

k xyz

3 31 4 31 3 4

000

=

Qual é a única alternativa correta?a) Se k = 1, a única solução é x = y = z = 0.b) O sistema é impossível.c) O sistema tem infinitas soluções para qualquer k.d) Somente se k = 0, o sistema é impossível.e) Não é possível investigar o sistema com os

dados disponíveis.

248. (UFC – CE) Os inteiros não todos nulos m, n, p, q são tais que 45m · 60n · 75p · 90q = 1 .

Pede-sea) dar exemplo de um tal quaterno (m, n, p, q).b) encontrar todos os quaternos (m, n, p, q) como acima,

tais que m + n + p + q= 8.

238. (UEL – PR) O sistema

ax yx y

+ =− =

3 22 0

é possível e determinado:a) para qualquer valor de ab) somente para a = 0c) somente para a = 6

d) se a ≠ 0e) se a ≠ –6

239. (FGV – SP) Considere o sistema linear nas incógni-tas x e y

mx yx y n

− =+ =

2 34

a) Para que valores de m e n o sistema é determinado? E indeterminado? E impossível?

b) Resolva o sistema para m = 3 e n = –2.

240. (Udesc) Encontre o valor real de r para que o sis-tema a seguir admita uma única solução (a,b,c).

a b ca b r

a b c

+ − =+ + =

− + =

7 02

2 1

A resposta é:a) ∀ r realb) r = –1/5

c) r ≠ –1/5 d) r ≠ 1/5

e) r = 1/5

241. (FGV – SP) O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y:

x y mx py+ =− =

32 2

será impossível quando: a) nuncab) p ≠ –6 e m = 1c) p ≠ –6 e m ≠ 1

d) p = –6 e m = 1e) p = –6 e m ≠ 1

242. (Ibmec – RJ) Seja o sistema linear nas incógnitas x, y e z:

x y kzx k z

x y z

+ + =+ = −

+ + =

12 1

2 0

2

Assinale a afirmativa correta.a) Para k = 1, possui mais de uma solução. b) Para k = 3, não possui solução. c) Para k = 2, possui infinitas soluções. d) Para k = 2, não possui solução. e) Para k = 2, possui uma única solução.

243. (Fatec – SP) Sobre o sistema linear, nas incógnitas x, y e z,

Sx 2y 3z 12x y z m

3x ky 2z 4

+ + =+ − =+ + =

em que k e m são constantes reais, pode-se afirmar que:

11

254. (FGV – SP) O sistema linear

x y zx y zx y z

+ − =+ + =− − =

α 2 000

admite solução não trivial, se:a) α = –2b) α ≠ –2c) α = 2d) α ≠ 2e) α ∈R, sendo R o conjunto dos números reais.

255. (UFRGS – RS) O sistema linear

k x y zx ky z

x k z

+( ) + − =+ + =

− + −( ) =

2 00

1 4

é possível e determinado, exceto para um número finito de valores de k. A soma de todos esses valores de k é:a) –1

b) – 12

c) 0

d) 12

e) 1

256. (Unicamp – SP) Dado o sistema linear homogêneo:

cos

cos cos

α α αα α α

+( ) + ( ) =( ) + −( ) =

sen x sen y

x sen y

2 0

0

a) Encontre os valores de α para os quais esse sistema admite solução não trivial, isto é, solução diferente da solução x = y = 0;

b) Para o valor de α encontrado no item (a) que está no

intervalo [0, π2

], encontre uma solução não trivial do sistema.

257. (Fuvest – SP) Considere o sistema linear nas variá-veis x, y e z:

x cos a y sen a z

x cos b y sen b z

2 2

2 2

+ ( ) + ( ) =

+ ( ) + ( ) =

0

0

cos c y sen c z 2 2( ) + ( ) =

0

a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear.

b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admite soluções não triviais?

c) Calcule as soluções do sistema quando sen2a = 1 e

cos2c = 15

.

258. (ESPM – SP) Carlinhos possui certa quantidade de bolinhas de gude e algumas latinhas onde guardá-las. Ao colocar 4 bolinhas em cada lata, sobraram 2 bolinhas, mas quando colocou 5 bolinhas em cada lata, a última ficou com apenas 2 bolinhas. Podemos afirmar que todas as latas ficariam com o mesmo número de bolinhas se ele tivesse:

a) 36 bolinhas.b) 42 bolinhas.

c) 49 bolinhas.d) 55 bolinhas.

e) 63 bolinhas.

249. (Uece) O valor de h para que o sistema

2 x y 3 z x 2 y z x h y 6 z

− + =+ − =+ − =

00

0

tenha a solução não nula é:a) 5 b) 6 c) 7 d) 8

250. (Unioeste – PR) Sabe-se que x, y e z são números reais. Se (2x + 3y - z )2 + (2y + x - 1)2 + (z - 3 - y)2 = 0, então x + y + z é igual a

a) 7b) 6

c) 5d) 4

e) 3.

251. (UFSJ – MG) Considere o seguinte sistema de equa-ções lineares, nas incógnitas x, y e z:

a x b y c za x b y c za x b y c z

1 1 1

2 2 2

3 3 3

000

+ + =+ + =+ + =

Sobre seu conjunto solução, é correto afirmar que ele

a) possui infinitas soluções quando deta b ca b ca b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0

≠

b) possui uma única solução quando deta b ca b ca b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0

=

c) possui infinitas soluções quando deta b ca b ca b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0

=

d) não possui solução quando deta b ca b ca b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0

≠

252. (UFJF – MG) Considere o sistema de equações linea-res nas incógnitas x e y:

ax a y

a x e ya

+ ( ) =

−( ) + =

−

log2

34

2

0

2 3 0

em que a > 0.

É correto afirmar que: a) se a= 4, então o sistema é impossível. b) se a= 4, então o sistema é possível e determinado. c) se a= 4, então o sistema é possível e indeterminado. d) se a ≠ 4 então o sistema é impossível. e) se a= 2, então o sistema é possível e indeterminado.

253. (ESPM – SP) Sendo x e y números reais e (3x + 2y)2 + (x – 2y + 8)2 = 0, o valor de yx é:

a) 19

b) 18

c) –8

d) 9

e) 8

12

259. (UFPR) Uma bolsa contém 20 moedas, distribuí-das entre as de 5, 10 e 25 centavos, totalizando R$ 3,25. Sabendo-se que a quantidade de moedas de 5 centavos é a mesma das moedas de 10 centavos, quantas moedas de 25 centavos há nessa bolsa?

a) 6b) 8

c) 9d) 10

e) 12

260. (Unisinos – RS) Numa loja, todas as calças têm o mesmo preço, e as camisas também, sendo o preço de uma calça diferente do de uma camisa. Ricardo comprou 1 calça e 2 camisas e pagou R$240,00. Roberto comprou 2 calças e 3 camisas e pagou R$405,00. Qual o preço, em reais, de uma calça e uma camisa, respectivamente?

a) 70 e 95b) 75 e 90

c) 80 e 85d) 85 e 80

e) 90 e 75

261. (Espcex/Aman) A figura abaixo é formada por um dispositivo de forma triangular em que, nos vértices e nos pontos médios dos lados, estão representados alguns valores, nem todos conhecidos. Sabe-se que a soma dos valores correspondentes a cada lado do triân-gulo é sempre 24.

x

y z15

5 10

Assim, o valor numérico da expressão x – y – z é:a) –2b) –1

c) 2d) 5

e) 10

262. (IFAL) As equações 2x + y = 5 (I) e x – 2y = –5 (II) são conhecidas como equações do 1º grau com duas incógni-tas. Separadamente, cada uma dessas equações tem infi-nitas soluções. Neste caso, existe apenas uma solução que satisfaz às duas equações ao mesmo tempo. Com base no exposto acima, assinale a alternativa correta.

a) O par (2, 1) não é uma das soluções da equação I. b) O par (1, –3) é uma das soluções da equação II. c) O par (1, 2) é a solução do sistema formado pelas

equações I e II. d) O par (1, 3) é a solução do sistema formado pelas

equações I e II.

e) O par 12

4,

não é uma das soluções da equação I.

263. (UESC) Uma empresa turística pretende alugar alguns ônibus para levar 260 pessoas em excursão.

Para minimizar a despesa com esse aluguel, foi feita uma pesquisa de preços em uma empresa de transpor-tes que, para o período desejado, disponibilizou 5 ôni-bus de 40 lugares e 8 ônibus de 50 lugares, mas apenas 6 motoristas.

Sabendo-se que o aluguel do ônibus maior custa R$ 2.000,00 e o aluguel do ônibus menor, R$ 1.300,00, pode-

se concluir que a menor despesa com aluguel de ônibus, nessa empresa de transportes, será, em reais, igual a:a) R$ 8.500,00b) R$ 9.200,00c) R$ 9.900,00

d) R$ 10.600,00e) R$ 11.900,00

264. (UEPG – PR) Considere a seguinte situação: Júlia tem em sua bolsa moedas de 1 real, 50 centavos, 25 cen-tavos e 10 centavos. Dessas moedas 25% são de 1 real, 3 moedas são de 50 centavos e o número de moedas de 25 centavos é igual ao dobro do número de moedas de 10 centavos que, juntas, correspondem a 60% do número total de moedas. Com base nessas informações, assinale o que for correto.

01) O número de moedas de 1 real é menor que o número de moedas de 10 centavos.

02) O número de moedas de 25 centavos é menor que 10. 04) Júlia tem a quantia de R$ 8,90 em moedas. 08) O número total de moedas é menor que 15.

265. (Fuvest – SP) Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontra-ram uma velha balança com defeito que só indicava cor-retamente pesos superiores a 60 kg. Assim eles se pesa-ram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:

- Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;- Carlos e Andreia pesam 123 kg e- Andreia e Bidu pesam 66 kg.

Podemos afirmar que: a) Cada um deles pesa menos que 60 kg.b) Dois deles pesam mais de 60 kg.c) Andreia é a mais pesada dos três. d) O peso de Andreia é a média aritmética dos pesos de

Carlos e Bidu. e) Carlos é mais pesado que Andreia e Bidu juntos

266. (Unicamp – SP) Resolva o seguinte sistema de equa-ções lineares:

2 12 2

2 32 4

x y z wx y z wx y z wx y z w

+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =

267. (UFPE) Suponha que x, y e z são números reais tais que x –2y + 3z = 5 e –x + 9y + 2z = 2. Qual o valor de 2x + 3y + 11z?

268. (FEI – SP) Se o sistema linear a seguir é impossível,

ax y zx y z

x y z

+ + =− + =

+ − =

12 3 0

2 3 2

então

a) a = 0

b) a = −143

c) a = 34

d) a = 1

e) a = 28

13

269. (Unitau – SP) O sistema

x 2y 53x 6y 15− =

− + = −

a) é possível e determinado. b) é possível e indeterminado. c) é impossível. d) tem determinante principal diferente de zero. e) não admite nenhuma raiz real.

270. (Mackenzie – SP) Para que o sistema a seguir, nas incógnitas x, y e z, seja impossível ou indeterminado, deveremos ter para o real k valores cuja soma é:

kx y z 1x ky z k

x y kz k2

+ + =+ + =+ + =

a) –1b) 1

c) 0d) –2

e) 2

271. (Fuvest – SP) Considere o sistema de equa-ção lineares

x y z 2nx y 2z 2n

2x y 2z 3n 5

+ + = −− − =

+ − = +

a) Para cada valor de n, determine a solução (xn,yn,zn) do sistema.

b) Determine todos os valores de n, reais ou complexos, para os quais o produto xnynzn é igual a 32.

272. (FGV – SP) Em um quadrado mágico, como o indi-cado na figura, a soma dos números em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal assume o mesmo valor.

A 24 B18 C D25 E 21

Se as letras A, B, C, D e E representam números, então D + E é igual a:a) 43b) 44

c) 45d) 46

e) 47

273. (PUC – SP) Considere que os elementos da matriz coluna, solução da equação matricial seguinte, são ter-mos da matriz quadrada A = (xij)2x2.

1 1 0 00 0 1 11 0 0 11 0 1 0

3316

11

12

21

22

⋅

=

xxxx

Se o determinante de A é igual a k, então o número de soluções da equação tg (kx/4) = –1, para –2π < x < 2π, é:a) 2b) 4

c) 6d) 8

e) 10

274. (Unesp) Considere a matriz

A =−

−−

6 3 03 6 0

1 1 2

a) Determine todos os números reais λ para os quais se tem det (A –λI) = 0, onde I é a matriz identidade de ordem 3.

b) Tomando λ = –2, dê todas as soluções do sistema

6 3 03 6 0

2 0

−( ) − =− + −( ) =

− + −( ) =

λλλ

x yx y

x y z

275. (FGV – SP) O sistema linear a seguir

x 2y 3z 12x y z 4

+ − =− − =

a) é impossível. b) admite apenas uma solução. c) admite apenas duas soluções. d) admite apenas três soluções. e) admite infinitas soluções.

Gabarito169. a) S = {(1,1)}

b) S = ∅170. a) S = {(x,16 – 4x)}

b) S = {(1 –2y, y)}171. S= {(2y, y)}172. X = 1,8 e y = 2,4173. R$ 300,00174. C175. a) V = {(1, 0, 1/2)}

b) V = {(–4α, 2α, α); α ∈R}176. a) 7 pessoas

b) R$ 8,00177. E178. 40

179. B180. (2x+y) · (2x –y) e 20181. 6 notas182. D183. V=(8,7)184. B185. B186. E187. 01 + 02 + 04 = 07188. A189. 15 unidades de A

4 unidades de B 2 unidades de C

190. A191. A → 700 quilos

B → 200 quilos C → 100 quilos

192. x = 1 y = 2 z = 3

193. E194. (1,3) pertence ao pri-meiro quadrante195. 81196. B197. B198. C199. B200. B201. A202. C203. C204. E205. a) S = {(1,2,0)} SPD

b) S = {(11, –2,0)} SPD c) S = ∅ d) S = {(4+z, –1– z,z)} SPI

206. S = {(1, –2)} SPD207. a) (–1, 3, 4)

b) S={(7 –2a,a –1,a)} c) 52

208. S = ∅209. A210. D211. a) 13 dias

b) (150, 165, 180, ... 585, 600)212. 12 kg de granola light, 10 kg de granola simples e 4 kg de especial213. C

14

214. D215. B216. B217. C218. 4.820 reais219. D220. a) ≠ 9

b) xaa

=−

⋅ −2 9

2 9( ) c)

39

218 3

2−= ⇒ =

− ∈a

n an

nR, com n *

221. D222. SPD223. B224. L1 = {–7, 11}

L2 = ∅ L3 = R –{–7, 11}

225. P=4226. a) (SPD) ⇔ a ≠ 2 / 5

b) (SPI) ⇔ a = 2 / 5 e b = 0 c) (SI) ⇔ a = 2 / 5 e b ≠ 0

227. A228. A229. 01+02+08=11230. D231. B232. F – V – F – F – F233. D234. A235. a) D ≠ 0, ∀ m ∈R

b) m = –1/2236. k = –4,4237. a = 2

S = {[(7 – 5z)/5, (5z+4)/5, z)]} (z ∈R )238. E239. a) m ≠ 8 → SPD

m = –8 e n = –3/2 → SPI m = –8 e n ≠ –3/2 → SI b) S = {(–1/11 ,–18/11)}

240. A241. E242. D243. B244. C245. B246. k = 0 ou k = 2

247. A248. m = 40, n = 24, p = –8 e q = –48249. C250. D251. C252. B253. A254. A255. A256. a)α

π π=

+

∈

8 2k

k Z,

b) (( ) ; )2 2 1−257. a) sen (a + b) · sen (a –b)

b) Para qualquer c real e b = ±a + kπ, k ∈Z c) S = { (0; 0; 0) }, se cos b ≠ 0 e S = {(–α; –4α; α), α∈R }, se cos b = 0

258. D259. D260. E261. A262. D263. B264. 02+04=06265. E266. V = {(–1, 0, 1, 2)}267. 17268. B269. B270. A271. a) xn = –n – 1, yn = n + 3 e zn = –2n – 2

b) n = 1 ou n = –3– 2i ou n = –3 + 2i 272. D273. C274. a) λ = 2 ou λ = 3 ou λ = 9

b) S = {(0, 0, 0)}275. E