MATEMÁTICA DE CRÉDITO AO CONSUMIDORde valor nominal NCr$ 1.000,00 cada uma e que a Finan-ceira recebeu NCr$ 5.172,414 deverá pagar ao corretor (~Al) ou seja NCr$ 5.172,414 X 0,025=

MATEMÁTICADE CRÉDITO

AO CONSUMIDOR

EDMUNDO ÉBOLI BONINI *Desde que se iniciou no Brasil a chamada "reforma domercado de capitais" êste setor passou a concentrar asatenções de todos os segmentos da economia nacional. Asdiferentes entidades que compõem o setor financeirocomeçaram a ser alvo de especial curiosidade. As Bôlsas deValôres dos Bancos Comerciais, dos Bancos de Investi-mentos e sobretudo das Financeiras começaram a serobjeto de atenção especial.Essa atenção não se circunscreveu às suas funções comopeças de um mecanismo maior. Ao contrário, a mecânicade funcionamento de cada uma delas, sobretudo daquelasque foram particularmente influenciadas pela mencionadareforma, vem despertando inusitado interêsse. O funcio-namento de entidades como a Bôlsa, as Financeiras ou osBancos de Investimento, a par das sutilezas próprias dequalquer emprêsa, pressupõe também tôda uma técnicade análise, sem a qual não seria êle satisfatório.Nessa matéria tem papel destacado a matemática finan-ceira, indispensável para a correta tomada de decisões* Professor Contratado do Departamento de Métodos Quantitativos da Escolade Administração de Emprêsas de São Paulo, da Fundação Getúlio Vargas.Professor das Faculdades de Ciências Econômicas e Administrativas da Uni-versidade de São Paulo, Faculdade de Ciências Econômicas de São Paulo,Faculdade de Ciências Econômicas de São Luís, Escola de Engenharia Mauá eFaculdade de Ciências Econômicas da Universidade Mackenzie.

46 CRÉDITO AO CONSUMIDOR R.A.E. 29/68

sôbre empréstimos ou inversões efetuadas por essas em-prêsas.O presente artigo aborda a questão do crédito ao consu-midor e a interveniência das financeiras em operaçõesdêsse tipo.Em função da carência de capital para a aquisição de pro-dutos de consumo durável e veículos, as financeiras podememitir títulos (letras de câmbio), para a obtenção decapital e entregá-las aos consumidores de capital para aaquisição de bens.O fluxograma apresenta-se da seguinte forma:

FINANCEIRA

MERCADODOADOR

MERCADOCONSUMIDOR

Portanto, temos duas fases do processo do fluxo do ca-pital:1 . Obtenção por parte da financeira do capital nomercado.2 . Entrega do capital ao mercado consumidor (usuá-rios).EXEMPLOS DE CÁLCULOS

A financeira para a obtenção de dinheiro no mercadodoador, deverá, evidentemente, pagar algumas comissões,taxas e também apresentar uma certa rentabilidade, taiscomo:• Rentabilidade para o mercado doador (Letra de

Câmbio).• Corretagem para o vendedor da Letra de Câmbio.• Corretagem de Aceite (Receita da financeira).

R.A.E. 29/68 CRÉDITO AO CONSUMIDOR 47

• Outras Corretagens (Receitas das financeiras).• Impôsto sôbre Operações financeiras (IOF).Iremos, a título de exemplo, considerar as seguintes taxas:

• 32% ao ano

• 5% " "• 5% " "• 1,6% " "• 1% " "Consideremos que o Mercado Consumidor deva .NCr$ 12.000,00, a serem pagos à financeira em 12 pro-missórias de NCr$ 1.000,00 cada. Para a obtenção dêstecapital, a financeira lançará no mercado doador letrasde câmbio. Suponhamos que sejam 12 letras de câmbiode NCr$ 1.000,00. Como o prazo mínimo de vencimentoda letra é de 6 meses, teremos que a primeira terá o valorde NCr$ 6.000,00 e as sucessivas de NCr$ 1.000,00, deacôrdo com o seguinte diagrama:

6 meses 7 8 9 10 11 12I I I I ! I I

Hoje 6.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

1. A que valor serão colocadas no Mercado Doador asletras de câmbio? De acôrdo com o primeiro exemplo,temos uma taxa a = 32% a.a. Assim, a letra de câmbiocom o vencimento para 6 meses terá o valor no mercadodoador de:

K1 + ~ K1 = 1= > K1 (1 + Cl!2)= 1 = > K1 = 11+~

21 1 1

O 16 = 1,16 = 0,8620691+ ,0,32

1+-2-

Sendo que Ki é o coeficiente que deverá multiplicar asletras de câmbio com o vencimento para 6 meses. Portanto,teremos:

6.000,00 X 0,862069 = 5.172,414 (Anexo 1)


Para as outras letras com vencimentos sucessivos, oscoeficientes serão:

1K2 = -------

a a1+-+-,1

2 12

1------- = 0,8426941 0,32 0,32 1

+-2-+12'

e assim, genericamente, teremos:

1Kj + 1 = -------

a a .l+-+-'J2 12

j = [O, 1, 2, ••.... , 18]

e os respectivos valôres serão:1

K3 = 1,21334 = 0,824171

K4 = 0,806445

Ks = 0,789465

K6 = 0,773186

K7 = 0,757564

Ks = 0,742561

K9 = 0,728141

KlO = 0,714270

Kll = 0,700918

K12 = 0,688056

K13 = 0,675657

K14 = 0,663698

K15 = 0,652154

K16 = 0,641005

K17 = 0,630230

K1S = 0,619813

K19 = 0,609734


Temos, então, no Anexo 1, o dinheiro proveniente do"mercado doador".

2 . A financeira terá de pagar uma taxa de corretagem(~) sôbre a venda das letras de câmbio. Consideremosque a taxa seja da ordem de 5% ao ano. Assim, temosque para a primeira letra a financeira pagará 0,025.Observar que as comissões são pagas sôbre o líquido dasletras. Os outros coeficientes para a obtenção da corre-tagem serão:

~1 = 0,05 + 0,05 • O = O0252 12 '

0,05 0,05~2 = -2- + 12· 1 = 0,025 + 0,004166· 1 = 0,029166

e assim, genericamente, teremos:

~.+ 1 = ~ + L .J'J 2 12

j = [O, 1, 2, •••.• , 181

À3 = 0,033332 À9 = 0,058328 À1S = 0,083324

À4 = 0,037498 À10 = 0,062494 À16 = 0,087490

Às = 0,041664 À11 = 0,066660 À17 = 0,091656

À6 = 0,045830 À12 = 0,070826 À18 = 0,095822

À7 = 0,049996 À13 = 0,074992 À19 = 0,099988

À8 = 9,054162 À14 = 0,079158

Temos no Anexo 2 a corretagem a ser paga pela finan-ceira, sendo que o mesmo foi obtido multiplicando-se cadaparcela de capital recebido do mercado doador pela corres-pondente taxa do prazo (A). Assim, temos que, por exem-plo, para o dinheiro proveniente do mercado pelas 6 letrasde valor nominal NCr$ 1.000,00 cada uma e que a Finan-ceira recebeu NCr$ 5.172,414 deverá pagar ao corretor(~Al) ou seja NCr$ 5.172,414 X 0,025= 129,310350;a segunda letra com vencimento para 7 meses e de valornominal de NCr$ 1. 000,00 a financeira receberá domercado doador NCr$ 842,694, conforme Anexo 1 e


deverá pagar ao corretor (!lI Â2) Ouseja NCr$ 842,694 XX 0,029166 = 24,578013, conforme Anexo 2 e assimpor diante.

3 . A financeira, para aceitar a operação de crédito,cobrará uma comissão de 5% ao ano, sendo que estacomissão comportar-se-á de acôrdo com a corretagem,uma vez que a mesma é de 5% ao ano, por hipótese.

4 . A financeira cobrará também outras comissões que,somadas, serão 1,6% ou 0,016 e, desdobradas, serão:0,016 = (0,005 + 0,005 + 0,005 + 0,001). Portanto,teremos de obter os coeficientes para: 0,005 (Y) e 0,001(Ô ). Assim, temos:

Para 0,005 (Y)

j = [O, 1, 2, ....• , 18)

M1 = 0,005 + 0,005 • O = 00025 + 00004166. O = 000250002 12 " ,

M2 = 0,0029166 Mn = 0,0066600

M3 = 0,0033320 M12 = 0,0070826

M4 = 0,0037498 M13 = 0,0074992

Ms = 0,0041664 M14 = 0,0079158

M6 = 0,0045830 M1s = 0,0083324

M7 = 0,0049996 M16 = 0,0087490

Ms = 0,0054162 M17 = 0,0091656

Mg = 0,0058328 M1S = 0,0095822

MlO = 0,0062494 M19 = 0,0099988

Assim, temos o Anexo 3, obtido através da multiplicaçãodos coeficientes MHl pelos capitais líquidos provenientesdo mercado doador (Anexo 1).


Para a taxa: 0,001 (ô)

N Ô + Ô •H1=2' 12J, [j = O, 1, 2, •.•.. , 18J

N1

= 0,001 + 0,001 • O = O0005 + O 00008333 • O = O000500002 12 " ,

N2 = 0,00058333 N8 = 0,00108331 N 14 = 0,00158329

N3 = 0,00066666 Ng = 0,00116664 N 15 = 0,00166662

N4 = 0,00074999 NlO = 0,00124997 N 16 = 0,0014 7995

N5 = 0,00083332 N 11 = 0,00133330 N17 = 0,00183328

N6 = 0,00091665 N 12 = 0,00141663 N18 = 0,00191551

N7 = 0,00099998 N13 = 0,00149996 N19 = 0,00199940

Assim, temos que o Anexo 4 é obtido através da multipli-cação Ni+1, pelos capitais líquidos provenientes do mer-cado doador (Anexo 1).

5. O impôsto sôbre operações financeiras (IOF) é de1% e incide sôbre a soma dos valôres nominais das letrase da corretagem, cujos cálculos estão apresentados noAnexo 5.

COMENTÁRIOS FINAIS

I . A financeira funciona apenas como uma interme-diária entre o mercado doador e o mercado consumidor.Por isso, em nosso Anexo 6, apresentamos os seguinteselementos:

( 1) Capitais.(2) Correção monetária = capitais - capitais pro-

venientes do mercado doador (Anexo 1), que cor-responde o lucro do mercado doador (lucratividadedas letras de câmbio).

(3) Corretagem.(4 ) Comissão da financeira.(5) Impôsto de Operações Financeiras (IOF).(6 ) Outras comissões [3 X Anexo (3) + Anexo (4)].


( 7 ) Somas dos itens (2) + (3) + (4) + (5) + (6) == despesas e lucratividade da financeira.

( 8 ) Líquido = capitais ( 1) - despesas ( 7), quecorresponde à quantia que será dada ao mercadoconsumidor (usuários).

II . Determinação da taxa de juros para o mercadoconsumidor, isto é, para os usuários. O montante do ca-pital líquido recebido pelo mercado consumidor deveráser igual ao montante das prestações. Assim, temos doiscritérios:

• a capitalização simples, e• a capitalização composta.

Determinação da taxa

• Capitalização simples

M = M'; sendo M = montante do capital líquido (8),Anexo 6 e M' = montante das prestações a serem pagaspelos usuários.

M = C (1 + in)

M' = C1

[ n + in (n2- 1) ]

C (1 + in) = C1 [n + in (n - 1) -I2 -1

C1 • n - C1 = --~----=----

(n - 1)Cn - C1 n . -'=--'-

2

Considerando-se n =12, Ci = 1.000,00 e C = 9.105,46;vem:

1.000,00 X 12 - 9.105,46 011 = ----~~~-----..:....:....:...-.~- = 0,0669 ou 6,69;0

12·119.105,46 X 12 - 1.000,00 X .....:..::----=-=-2


ao mês. Para o cálculo de outros capitais, o procedi-mento é análogo.

• Capitalização Composta

M = M'; sendo M = montante do capital líquido (8),anexo 6 e M' = montante das prestações a serem pagaspelos usuários.

M = C (1 + il( n 1) (1 + í)" - 1

M' = C1• r -:- = C1 • .1 1

(1 + i)" - 1 C (1 + i)" - 1C (1 + i)" = C1 • = > - = = >

C1 (1 + il - i

C1 =C

(1 + il· i(1 + i)" - 1

-1=a~

Considerando n = 12jCl = 1.000 e C = 9.105.46, temos:

o 109824 = 1.000,00, 2 9.205,46

(1 + ')12 .112 • 1 , observando a tabela

(1+ i) - 1

a-1 para n = 12 encontramos i aproximadamente igualnla 0,045 ou 4,5% ao mês.Obs.: Um processo mais refinado para o cálculo da taxa

na capitalização composta pode ser feito através deum processo iterativo. (Aproximações sucessivas.)

Seja:

C1 = C. a-I,

~sendo a

~

C1= _---=.C-.-i-- = > Ci = [1 - (1+ i)-n] C1

1 = (1 + i)-n

i= C1 Ll-(I+i)-n]aC

1 - (1 + i)-n

S4 CRÉDITO AO CONSUMIDOR R.A.E. 29/68

Esta fórmula vai servir-nos para determinar i, por apro-ximações sucessivas. A aproximação ih, de ordem h de i,determina-se pela aproximação de ordem ih-I, pela se-guinte fórmula de recorrência:

Como ponto de partida para a primeira aproximação 10

de i, vamos estabelecer um valor menor que i, mas queseja próximo de seu valor.Para isso vamos desenvolver a potência (1 + i) -n deacôrdo com a lei binomial de NEWTON.

(1 + i)-n = 1 _ n> i + n (n + 1) • i2 _ n;n + 1) (n + 2) i3 + ... ;2 2' 3

êste desenvolvimento apresenta uma série convergenteSubstituindo na igualdade a O têrmo (1 + i) -n pelodesenvolvimento acima, vem:

. C1 [1 +. n (n + 1) i2

.2 + n (n + 1) (n + 2).3 ]1=- -1 01- 1 '1-C 2 2· 3 ...

i =S[ni- n(n+l) .i2 + n(n+l)(n+2) .i3_ ... ]C 2 2·3

dividindo-se ambos têrmos por n.i, obtemos:

...!.. = S [1 _ n +- 1 • i + (n + 1) (n + 2) • i2 - ... ],n C 2 2·3

desprezando ....:('-n_+~l:....)(.:.-n_+~2.:....).2• 12·3

e os sucessivos, temos a

seguinte desigualdade:

~ > C1 [1 _ n + 1 . iJn C 2

1 C1 (n + 1) . C1->-- '1-n C 2 C

(n + 1) • i ~ > C1 _ ~ (x 2C ) .2 C C n (n+ 1) C1


. 2 2C1 > --- - -----

n + 1 n (n + 1) C1

i > _2_[I-~Jn + 1 nCl

Podemos, então, tomar como primeira aproximação de io valor do segundo membro da desigualdade, isto é:

. 2 [ C ]lo = n + 1 1 - nC1

Em nosso exemplo anterior, teríamos:

i = 2 (1 _ 9.105,46 ) = 00371 ou 371%o 12+1 12X1.000,00 ' , o

IH . A financeira ao vender o crédito ao consumidor,ou seja, o financiamento ao mercado consumidor, diz quea taxa de juros é obtida através da seguinte fórmula:

1 = N X C1 - C d N ' d -C ' on e = numero e prestaçoes,

i = taxa de juros do empréstimo,

C1 = valor de cada prestação,

C = líquido recebido.

Portanto, para C = 9.105,46, N = 12 e Crteremos:

1.000,00,

12 X 1.000,00 - 9.105,461 = -----'-=-------'-- = 0,31789 e a taxa mensal será:

9.105,46

0,31789im = --'--- = 0,0265 ou 2,65% ao mês.12

CRíTICA

Observamos aqui que não há para o cálculo da taxa aaplicação fundamental do princípio da amortização de umempréstimo ou seja:"O montante do capital emprestado deverá ser igual aomontante das prestações."

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MATEMÁTICA DE CRÉDITO AO CONSUMIDORde valor nominal NCr$ 1.000,00 cada uma e que a Finan-ceira recebeu NCr$ 5.172,414 deverá pagar ao corretor (~Al) ou seja NCr$ 5.172,414 X 0,025=