MATEMÁTICA

ENEM 200912 de Setembro

PROF. MARCELO CÓSER

FUNÇÕES: “Para que servem mesmo?”

Funções Lineares: problemas com variação constante.

f(x) = ax + bVARIAÇÃO

CONSTANTEVALORINICIAL

a > 0 a < 0

xya

01) (UFRJ) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é de R$ 1,50. Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que o plano A.

A(x) = 0,25x + 50

B(x) = 40 para x 50. E para x > 50?

(50, 40) B(x). Logo, 40 = 1,5 · 50 +b.Assim, b = 40 - 75 = -35.

Para x > 50, a função B(x) tem sua lei na forma B(x) = ax + b.

Do enunciado, aB = 1,5. Assim, B(x) = 1,5x + b.

1,5x - 35 = 0,25x + 501,25x = 85

x = 68 minutos.

(50; 40)

02) (FGV) Uma fábrica de bolsas tem um custo fixo mensal de R$ 5.000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4.000,00, ela deverá fabricar x bolsas. O valor de x é:

a) 300b) 350c) 400d) 450e) 500

C(x) = 25x + 5000 e R(x) = 45x.

Um lucro de R$ 4.000 implica R(x) - C(x) = 4000.

45x - (25x + 5000) = 400020x - 5000 = 4000

20x = 9000

450200009

.x

Lucro por bolsa

Lucro desejado

+Custofixo

CUIDADO! Raciocínios que envolvam “Regra de 3” só funcionam para problemas com variação constante/funções lineares. Do contrário, falham!

X

03) Fritz Assad é gerente de produção da companhia de alimentos congelados G. Ladeira, que processa batatas em embalagens de batatinha frita, picadinho de batata e flocos para purê. Assad pode comprar batatas de duas fontes, que diferem no sortimento dos vários tamanhos e qualidades possíveis. Com as batatas compradas da fonte 1, há uma produção de 20% de batatinha frita, 20% de picadinho e 30% de flocos, sendo o restante refugo irrecuperável. Com as batatas da fonte 2 os mesmos percentuais são 30%, 10%, 30% e 30%.

Ainda, as contribuições de lucro de cada fonte são diferentes: as batatas da fonte 1possibilitam um lucro de R$ 5.000 por tonelada, sendo de R$ 6.000 por tonelada para a fonte 2. No entanto, os custos de armazenagem são altos demais para que se produza em excesso: Assad sabe que não há demanda para mais de 1,8 toneladas de batatinha frita, 1,2 t de picadinho e 2,4 t de flocos para purê.

Quantas toneladas de batata Assad deve comprar de cada fonte? Qual será o lucro máximo?

Sejam x e y as quantidades compradas das fontes 1 e 2, respectivamente. Dessa forma, 20% de x e 30% de y serão destinadas à produção de batatinha frita, e tal quantidade não deve ser superior a 1,8 toneladas. Ou seja, 0,2x + 0,3y 1,8. Com o mesmo raciocínio, podemos montar o seguinte sistema de inequações no plano:

Qualquer ponto da região destacada respeita simultaneamente todas as restrições. No entanto, o lucro será maximizado quando o maior número de restrições for explorado ao máximo ao mesmo tempo, o que o ocorre somente no ponto de intersecção entre as retas que restringem a batatinha frita e o picadinho.

SOLUÇÃOÓTIMA

39125,4184

636218

2123

218

2123

218

yxx

xx

xx

xyexy

O lucro máximo será:

LMÁX = 4,5 · 5000 + 3 · 6000

LMÁX = R$ 40.500

Funções Quadráticas: geralmente associadas a problemas de Área.

f(x) = ax² + bx + c

vV

VV

xfy

RRxouabx

2221

a > 0

a < 0

Toda parábola possui um foco e uma diretriz:

Uma propriedade particular das párabolas diz que raios perpendiculares à diretriz são refletidos e sempre passam pelo foco.

04) (UFRN) O Sr. José dispõe de 180 metros de tela para fazer um cercado retangular, aproveitando, como um dos lados, parte de um extenso muro reto. O cercado compõe-se de uma parte paralela ao muro e três outras perpendiculares a ele. Para cercar a maior área possível, com a tela disponível, os valores de x e y são, em metros, respectivamente:

a) 45 e 45b) 30 e 90c) 36 e 72d) 40 e 60e) 20 e 120

3x + y = 180 → y = 180 - 3x

A(x, y) = x · y

A(x) = x · (180 - 3x)

1ª) A(x) = 180x - 3x²a < 0: voltada para baixoRaízes: 180x - 3x² = 00 e 60 são as raízes.

2ª) A(x) = x · (180 - 3x)a < 0: voltada para baixoRaízes: x = 0 ou 180 - 3x = 00 e 60 são as raízes

2270090303031803030

3032

180302600

mAA

xoux

MÁX

VV

....

X

05) (CESGRANRIO) O diretor de uma orquestra percebeu que, com o ingresso a R$ 9 em média 300 pessoas assistem aos concertos e que, para cada redução de R$ 1 no preço dos ingressos, o público aumenta de 100 espectadores. Qual deve ser o preço para que a receita seja máxima?

RECEITA = Número de Espectadores · Preço do Ingresso

Cada variação unitária no preço do ingresso implica uma variação de 100 no número de espectadores. Por exemplo, se reduzir o preço em R$ 5, o número de espectadores aumentará em 5 · 100 = 500. De modo geral, uma variação de x no preço do ingressoimplica uma variação de 100x na platéia.

Como um preço de R$ 9 traz 300 espectadores, um preço de 9 - x trará 300 + 100x espectadores. Desse modo,

R(x) = (9 - x)·(300 + 100x)

O gráfico de R(x) é uma parábola voltada para baixo com raízes 9 - x = 0 → x = 9 e 300 + 100x = 0 → x = -3.

326

293

Vx

Logo, o preço que maximiza a receita é 9 - 3 = R$ 6.

-3 93

3600

Funções Exponenciais & Logarítmicas: problemas com taxa de variação constante.

xbxf xxf blog

06) A água de uma piscina cheia, com capacidade para 100.000 litros, foi tratada com 1000g de cloro. Água pura (sem cloro) continua a ser colocada na piscina a uma vazão constante, sendo o excesso eliminado através de um ladrão. Depois de uma hora, um teste revela que ainda restam 900g de cloro na piscina. Que quantidade de cloro restará na piscina 10 horas após sua colocação?

Água pura

Água com cloro

Repare que, em uma hora, a quantidade de cloro retirada foi de 100g. No entanto, éincorreto afirmar que a cada hora o comportamento será o mesmo, já que a quantidade de cloro que sai é proporcional àquantidade de cloro existente. Ou seja, a perda de cloro será menor durante a segunda hora; no entanto, seguirá a mesma proporção anterior.

10 reduções de 10% Q = 1000 · 0,9 · 0,9 · 0,9 · … · 0,9 = 1000 · 0,910 = 348,68 g.

Q(x) = 1000 · 0,9x

Uma abordagem mais adequada para o problema diz que, a cada hora, a quantidade de cloro existente na piscina reduz em 10%, já que foram perdidas 100g das 1000g iniciais.

07) Uma pessoa tomou 60 mg de uma certa medicação. A bula do remédio informava que sua meia-vida era de 6 horas. Como o paciente não sabia o significado da palavra, foi a um dicionário e encontrou a seguinte definição:

Meia-vida: tempo necessário para que uma grandeza (física, biológica) atinja metade de seu valor inicial.

Após 18 horas da ingestão do remédio, qual será a quantidade de remédio ainda presente no organismo? E após 3 horas?

Aplicando a definição de meia-vida, a cada 6 horas temos uma redução de 50%. Ou seja, em 18 horas teremos três reduções de 50%: Q = 60 · 0,5 · 0,5 · 0,5 = 7,5 mg

Para o cálculo da quantidade após 3 horas, é preciso descobrir o fator de redução correspondente a esse intervalo de tempo. Sabe-se que para 6 horas a redução é de 50% e em que 6 horas temos dois intervalos de 3 horas.

Assim, é preciso descobrir o fator de variação f que aplicado duas vezes equivale ao fator de variação 0,5:

mgQ

f

fff

42,42707,0.60

707,04143,1

1215,0

5,05,0. 2

Outra resolução consiste em obter a lei da função. Reduções de 50% a cada 6 horas em uma quantidade inicial de 60 mg são calculadas por Q(x) = 60 · 0,5x, onde x são períodos de 6 horas. No caso, x = 0,5 e Q(0,5) = 60 · 0,50,5.

08) A lei do resfriamento de Newton estabelece que, quando um corpo é colocado em um ambiente mantido à temperatura constante, sua temperatura varia de modo a ser a mesma do ambiente, a uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente. Desse modo, T(x) = TAMBIENTE + a · bx.

Parâmetros desconhecidos Pontos conhecidos

(0; 34,8), (1; 34,1) pertencem à função. Desse modo,

9527,08,141,141,14201,348,14.8,14201,341,34;1

8,14208,34.208,348,34;0

1

0

bbbxT

abaxT

114865,19527,09527,0.8,145,16

9527,0.8,14205,369527,0.8,1420

x

x

x

xxT acblog a = c b

min15225,29527,0log

114865,1log114865,1log 9527,0 hhx

A morte ocorreu às 23h30 - 2h15 = 21h15min.

O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O médico da políciachegou às 23h30 e imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de 34,8º C. Uma hora mais tarde, ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1º C. A temperaturado quarto era mantida constante a 20ºC. Se a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36,5º C , estime a hora que se deu a morte.

09) (UFG) As curvas de logística são usadas na definição de modelos de crescimento populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por exemplo, estima-se que decorridas t semanas, a partir da constatação da existência de uma forma de gripe, o

número N de pessoas contaminadas (em milhares) é aproximadamente .

De acordo com essa estimativa, pode-se afirmar corretamente que:

( ) menos de 500 pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a existência da gripe.( ) menos de 6 mil pessoas haviam contraído a doença, decorridas duas semanas da constatação da existência da gripe.( ) são necessárias mais de quatro semanas para que 18 mil pessoas sejam infectadas.( ) o número de pessoas infectadas atingirá 20 mil.

0,5.2

1

201 19.10

201 19.10

20 20 6,891 1,9 2,9

N

N

N

0,5

201 19.10 tN

t = 0

0,5.0

201 19.10

201 19.120 120

N

N

N

0,5.4

2

201 19.10

201 19.10

20 20 16,81 0,19 1,19

N

N

N

F

t = 2

F

t = 4

VF

N = 20

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

20201 19.10

111 19.10

1 19.10 119.10 010 0

t

t

t

t

t

Um número positivo elevado a qualquer expoente real é sempre positivo.

0,5

201 19.10 tN

Escalas Logarítmicas: problemas com valores muito grandes.

6543210log2 x

6432168421x

Escalaem PG

Escalaem PA

10) (FFFCMPA) A unidade de medida do som é o bel. Na prática, costuma-se utilizar o decibel, que corresponde a um décimo do bel. As sonoridades, medidas em bel, constituem uma escala de progressão aritmética, mas a intensidade do som cresce segundo uma progressão geométrica. Quando o som, na escala bel, cresce uma unidade, a intensidade do som (em watts por metro quadrado) aumenta 10 vezes. A sonoridade, medida em decibéis, de uma determinada banda de rock é de 90 decibéis, ao passo que a da conversação normal corresponde a 60 decibéis. Assim sendo, pergunta-se: quantas vezes a intensidade do som, em watts por metro quadrado, da banda de rock é maior do que a intensidade do som de uma conversação normal?

a) 3 vezesb) 10 vezesc) 30 vezesd) 1.000 vezese) mais de 1.000 vezes

A diferença entre o som da banda e o da conversação é de 30 decibéis = 3 béis. Como a cada variação unitária em béis a intensidade do som aumenta 10 vezes, a intensidade do som da banda corresponde a 10 · 10 · 10 = 1.000 vezes a intensidade do som da conversação.

Observe que na escala em decibéis constata-se que a medida da banda de rock é 50% maior que a da conversação. No entanto, tal interpretação é incorreta pois a escala em questão não é linear, mas sim logarítmica.

X

11) (UFRN) Na década de 30 do século passado, Charles F. Richter desenvolveu uma escala de magnitude de terremotos - conhecida hoje em dia por escala Richter -, para quantificar a energia, em Joules, liberada pelo movimento tectônico. Se a energia liberada nesse movimento é representada por E e a magnitude medida em grau Richter é representada por M, a equação que relaciona as duas grandezas é dada pela seguinte equação logarítmica:

log E = 1,44 + 1,5 · M

Comparando o terremoto de maior magnitude ocorrido no Chile em 1960, que atingiu 9.5 na escala Richter, com o terremoto ocorrido em San Francisco, nos EUA, em 1906, que atingiu 7.8, podemos afirmar que a energia liberada no terremoto do Chile é aproximadamente ______ vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA.

a) 10b) 15c) 21d) 31

Substituindo os valores 9,5 e 7,8 em M, obtemos:

14,13

69,15

1014,137,1144,18,7.5,144,1log1069,1525,1444,15,9.5,144,1log

SF

CHILE

EE

EE

SFCHILE

CHILE

EEE

.3110.10.101010 14,135,0114,1369,15

X