Matemática

Lógica Proposicional

Professor Dudan

Equivalência de Proposições CompostasDuas proposições são consideradas EQUIVALENTES entre si, quando elas transmitem a mesma ideia. De forma prática, dizemos que duas proposições são equivalentes entre si quando elas SEMPRE possuem o mesmo valor lógico – ou seja, quando uma é verdadeira, a outra também é, e quando uma é falsa, a outra também é. Resumidamente, duas proposições são equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade. Vamos aprender os principais mecanismos de equivalência lógica?

Conectivos : “e” / “^”Tabela Verdade: V V = VEquivalência: (p^q) = (q ^ p) Comutatividade.

Exemplo: Dudan viaja e ensina Matemática.Equivalência: Dudan ensina Matemática e viaja.

Conjunção

Mais Exemplos:• Adoro Matemática e passarei nesse concurso.

• Vou ser nomeado e agradecerei aos professores.

Conectivos : “ou” / “V”Tabela Verdade: F F = FEquivalência 1: (p V q) = (q V p) Comutatividade. Equivalência 2: (p V q) = (~pàq)

Exemplo: Dudan viaja ou ensina Matemática.Equivalência 1 : Dudan ensina Matemática ou viaja.Equivalência 2 : Se Dudan não viaja , então ele ensina Matemática.

Disjunção Inclusiva

Mais Exemplos:• Adoro Matemática ou passarei nesse concurso.

• Vou ser nomeado ou agradecerei aos professores.

Conectivos : “Se ...então ” / “à”Tabela Verdade: V F = FEquivalência 1: (p à q) = (~p V q) Duas negações em sequencia.Equivalência 2: (p à q) = ( ~q à ~p) Contrapositiva

Exemplo: Se Dudan viaja, então ensina Matemática.Equivalência 1: Dudan não viaja ou ensina Matemática.Equivalência 2: Se Dudan não ensina Matemática, então não viaja.

Condicional

Mais Exemplos:

• Se adoro Matemática então passarei nesse concurso.

Mais Exemplos:

• Se adoro Matemática então passarei nesse concurso.

Mais Exemplos:

• Se vou ser nomeado então agradecerei aos professores.

Mais Exemplos:

• Se vou ser nomeado então agradecerei aos professores.

Conectivos : “Ou...ou...” / “V”Tabela Verdade: F F = F e V V = FEquivalência: (p V q) = (q V p) Comutatividade.

Disjunção Exclusiva

Mais Exemplos:

• Ou adoro Matemática ou passarei nesse concurso.

• Ou vou ser nomeado ou agradecerei aos professores.

Conectivos : “Se e somente se” / “↔”Tabela Verdade: F F = V e V V = VEquivalência: (p ↔ q) = (q ↔ p) Comutatividade.

Bicondicional

Mais Exemplos:• Adoro Matemática se e somente se passarei nesse concurso.

• Vou ser nomeado se e somente se agradecerei aos professores.

COMO AFCC

COBRA ISSO?

A respeito de um objeto, sabe-se que:− se é pequeno, então é escuro;− se é quadrado, então é de papel;− se não é pequeno, então não é quadrado.Se o objeto é quadrado, é correto afirmar que ele é

a) pequeno, escuro, mas não é de papel. b) pequeno, claro e de papel. c) de papel, escuro e grande. d) de papel, escuro e pequeno. e) grande, escuro e de papel.

FCC 2018

Assinale a alternativa que apresenta uma afirmação equivalente à afirmação “Se comprei e paguei, então levei”.

a) Se comprei e não paguei, então não levei. b) Se não comprei e paguei, então não levei.c) Se não levei, então não paguei ou não comprei.d) Se comprei ou paguei, então não levei.e) Se levei, então comprei e paguei.

FCC 2018

De acordo com a legislação de trânsito, se um motorista dirigir com a habilitação vencida há mais de 30 dias, então ele terá cometido uma infração gravíssima. A partir dessa informação, conclui-se que, necessariamente, a)se um motorista tiver cometido uma infração gravíssima, então ele dirigiu com a habilitação vencida há mais de 30 dias. b)se um motorista não dirigiu com a habilitação vencida há mais de 30 dias,

então ele não cometeu qualquer infração gravíssima. c)se um motorista não tiver cometido qualquer infração gravíssima, então

ele não dirigiu com a habilitação vencida há mais de 30 dias. d)se uma infração de trânsito é classificada como gravíssima, então ela se

refere a dirigir com a habilitação vencida há mais de 30 dias. e)se uma infração de trânsito não se refere a dirigir com a habilitação vencida há mais de 30 dias, então ela não pode ser classificada como gravíssima.

FCC 2018

Uma afirmação que seja logicamente equivalente à afirmação ‘Se Luciana e Rafael se prepararam muito para o concurso, então eles não precisam ficar nervosos’, é

a)Se Luciana se preparou para o concurso e Rafael não se preparou, então eles precisam ficar nervosos.b)Se Luciana e Rafael precisam ficar nervosos, então eles não se prepararam muito para o concurso. c)Se Luciana e Rafael não precisam ficar nervosos, então eles se prepararam muito para o concurso. d)Se Luciana não se preparou muito e Rafael se preparou muito para o concurso, então Luciana precisa ficar nervosa e Rafael não precisa ficar nervoso. e)Luciana e Rafael se prepararam muito para o concurso e mesmo assim ficaram nervosos.

FCC 2018

A produtividade de um agente público de determinada categoria em um período de um ano pode ser alta, média ou baixa, conforme os critérios estabelecidos no regimento interno. Todo agente que atinge produtividade alta e não possui faltas sem justificativa no período de um ano recebe um bônus especial no mês de janeiro seguinte. Artur, um agente público dessa categoria, não recebeu o bônus especial em janeiro de 2018. Dessa forma, Artur, no ano de 2017, necessariamente,

a) teve produtividade baixa e pelo menos uma falta sem justificativa. b) não teve produtividade alta ou teve pelo menos uma falta sem justificativa. c) teve produtividade média ou baixa e exatamente uma falta sem justificativa. d) não teve produtividade alta e teve pelo menos uma falta sem justificativa. e) teve produtividade baixa ou pelo menos uma falta sem justificativa.

FCC 2018

Se o veículo ultrapassar os 50 km/h, então seu motorista será multado.Uma afirmação equivalente à afirmação anterior é:(A) Se o motorista não foi multado, então seu veículo ultrapassou os 50 km/h.(B) O veículo não ultrapassou os 50 km/h e seu motorista não será multado.(C) O veículo não ultrapassa os 50 km/h ou seu motorista é multado.(D) Se o motorista foi multado, então seu veículo ultrapassou os 50 km/.(E) O motorista só será multado se o veículo ultrapassar os 50 km/h.

FCC 2018

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será considerada uma TAUTOLOGIA se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem.Já uma proposição composta formada por duasou mais proposições p, q, r, ... será dita uma CONTRADIÇÃO se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem.

PARA GABARITAR• Sempre Verdadeiro = Tautologia• Sempre Falso = Contradição

Tautologia x Contradição

CASO ESPECIAL: SER OU NÃO SER , SER E NÃO SER• Casos de proposições compostas do tipo: SER ALGO OU NÃO SER ALGO

caracterizam Tautologia, pois ambas terão obrigatoriamente valor lógico contrário e a Disjunção Inclusiva só é Falsa se ambas as proposições simples forem falsas.• Exemplo: Sou feliz OU não sou feliz. → TAUTOLOGIA• Da mesma forma os casos de proposições compostas do tipo: SER ALGO E

NÃO SER ALGO caracterizam Contradição, pois ambas terão obrigatoriamente valor lógico contrário e a Conjunção só é Verdadeira se ambas as proposições simples forem verdadeiras.• Exemplo: Sou feliz E não sou feliz. → CONTRADIÇÃO

Conceitos importantesRevisando alguns conceitos:• PARADOXO àÉ uma frase que ofende o principio da não contradição.

Exemplo: “Eu só falo mentira”• SILOGISMO àÉ a estrutura lógica composta por 3 proposições: Premissa 1,

premissa 2 e conclusão.• TAUTOLOGIA àÉ a estrutura lógica onde todos os resultados são

VERDADEIROS• CONTRADIÇÃO à É a estrutura lógica onde todos os resultados

são FALSOS.• CONTINGÊNCIA à É a estrutura lógica onde temos valores VERDADEIROS

e FALSOS.

Exemplos

Exemplos

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