1

BALANÇO GLOBAL DE MASSA

INTRODUÇÃO

para iniciar, trataremos uma geometria simples e, em seguida,

desenvolveremos as equações gerais.

- Sem reação química

Consideremos um tanque no qual um fluido é adicionado numa vazão mássica w1

e de onde se remove o mesmo fluido numa vazão w2:

A aplicação do conceito de conservação de massa leva a se escrever:

massa de

acúmulo

sai

que massa

entra

que massa ou seja, dt

dMww 21

- Com reação química

Se os componentes podem reagir quimicamente, o termo de geração deve ser

adicionado ao balanço. Também é usual e mais conveniente trabalhar em

unidades molares (~). O balanço apropriado fica:

massa de

acúmulo

sai

que massa

reação pela

gerada qtidd

entra

que massa

dt

M~

dx~w~R

~x~w~ i

2i2i1i1

Somando as N componentes: dt

M~

dw~R

~w~ 2

N

i

i1

w1

w2

Volume de

controle

2

Considere a reação química: b1B1 + b2B2 → b3B3 + b4B4

Se expressarmos a reação química como um somatório:

-b1B1 - b2B2 + b3B3 + b4B4 = 0 ou 0BbN

i

ii

onde bi > 0 é indicação de produto e bi < 0 é indicação de reagente, então:

N

i

i

2

2N

i

i

1

1ii b

b

R~

R~

:comp. N os somando e b

R~

bR~

EQUAÇÕES GERAIS DE BALANÇO DE MASSA

Agora vamos considerar um elemento de volume (EV) mais geral:

- denominando como sendo o ângulo entre o vetor normal à superfície e o

vetor velocidade (v)

o fluxo líquido que cruza a superfície dA é dado por:

dAcosvdA)n.v(AA

Note que: massa que entra v.n = - v.n cosθ (termo negativo pois > 90)

massa que sai v.n = - v.n cosθ (termo positivo pois < 90)

Assim, se: integral > 0 sai mais do que entra EV

integral < 0 entra mais do que sai no EV

integral = 0 a massa dentro do EV é constante

(o que entra = ao que sai)

n v

dA

3

o acúmulo dentro do EV:

- quantidade de massa dentro do volume de controle: VC

dV

- acúmulo de massa dentro do volume de controle:

VC

dVt

Como:

massa de

acúmulo

sai

que massa

entra

que massa

0dVt

dA)n.v(VCA

ESTÁTICA DOS FLUIDOS

Estuda problemas de mecânica dos fluidos onde o fluido está em repouso ou

num movimento que não caracteriza deslocamento relativo entre as

partículas de fluido adjacentes.

As tensões de cisalhamento nas superfícies das partículas do fluido são nulas

Únicas forças que atuam nessas superfícies são as de pressão

Neste tópico: estudo de como a pressão varia no meio fluido

Referenciais: - inercial: referencial fixo em relação à Terra ( 0F

)

- não-inercial: ( a.mF

)

Como a pressão em um ponto do fluido varia com a direção?

Fluido em repouso: não há forças de cisalhamento ( 0F

)

Fluido escoando sem movimento relativo ( a.mF

)

4

Aplicando a Lei de Newton em um elemento de volume fluido:

Dessa forma, fazendo um balaço de forças:

onde ps, px e pz são pressões médias atuando nas superfícies da cunha, é o peso

específico do fluido e é a massa específica do fluido, ay e az são as acelerações.

Analisando a geometria da figura:

cos.sy e sen.sz

Dessa forma: ysyy a2

zyxzxpzxpF

zszz a2

zyx

2

zyxyxpyxpF

Ou seja, ysy a2

ypp

e

2

zapp ysz

Como estamos interessados no que acontece em um ponto, analisando o caso limite

com x, y e z tendendo a zero: 0pp sy e 0pp sz

Por simplicidade, as forças

na direção x não estão sendo

mostradas

ou = 0

ou = 0

5

ou seja: syx ppp Lei de Pascal: a pressão num ponto de um fluido

em repouso (ou num movimento onde as tensões de cisalhamento não existem) não

depende da direção (independem de ).

Obs.: isso não é necessariamente verdadeiro quando, em caso de escoamento, as

tensões de cisalhamento forem diferentes de zero. Nesse caso, a pressão em um

ponto é obtida pela média das tensões normais.

Equação básica do campo de pressão: a pergunta agora é como a pressão

varia ponto a ponto no fluido (que não apresenta tensões de cisalhamento)?

Pelo balanço de forças: 0FFF0F zyx

onde:

zyxgkyxPkyxPF

jzxPjzxPF

izyPizyPF

zzzz

yyyy

xxxx

0zyxg

kyxPPjzxPPizyPPF zzzyyyxxx

Dividindo ambos os membros pelo volume do elemento:

0gk

z

PPj

y

PPi

x

PP zzzyyyxxx

x y

z

y

z x

y

z

x+x

y+y

z+z

6

Rearranjando e tomando o limite com o volume tendendo a zero:

k

z

PPj

y

PPi

x

PPlimg

zzzyyyxxx

0zyx

Mas, por definição de derivada: dx

df

x

fflim

xxx

0x

então: kz

Pj

y

Pi

x

Pg

ou seja

Pg

equação básica da estática dos fluidos

essa equação estabelece que a maior variação de pressão ocorre na

direção do vetor gravidade.

para um fluido estagnado: kz

Pj

y

Pi

x

Pg

e as componentes da equação ficam: zgz

P e 0

y

P ,0

x

P

ou seja, a pressão é constante em x e y, e varia em z: g

dz

dP

equação usada para determinar como P varia com a altura. Observe que

o gradiente é negativo. Assim, a medida que subimos em direção à

superfície a pressão diminui.

7

Equação válida para fluidos com massa específica constante (por ex., líquidos)

e para fluidos com massa específica que pode variar (ex., gases) nesse caso,

para resolver o problema temos que saber como varia com y.

FLUIDO INCOMPRESSÍVEL ( constante):

Como as variações da aceleração da gravidade (g), na maioria das aplicações da

engenharia são desprezíveis, e como para líquidos a variação de pode ser

desprezada mesmo para grandes variações de altura: gdzdPgdz

dP

Consideremos o sistema:

Assim: ou ghPPgdzdP AB0

h

0

P

P

0

AB

ghPP 0AB

Assim, a distribuição de pressão em um fluido homogêneo,

incompressível e em repouso:

é função apenas da profundidade

não é influenciada pelo tamanho ou forma do tanque ou

recipiente que o contém

Da expressão anterior: ghPP 0AB ou pode-se escrever:

g

PPh 0AB

ou ainda,

PPh 0AB

8

onde h é a carga (altura de coluna de fluido com peso específico , necessária

para promover uma diferença de pressão (PAB – P0)).

FLUIDO COMPRESSÍVEL ( varia):

Gases como oxigênio, nitrogênio e outros, em alguns casos são modelados

como fluidos compressíveis, pois a massa específica varia significativamente

com P e T. A equação obtida anteriormente se aplica também para esse caso:

gdz

dP , mas precisamos saber como varia com z

No entanto, a massa específica de gases é, em geral, muito pequena em

relação à de líquidos:

ar (= 0,21O2 + 0,79N2) = 1,22 kg/m3 e água= 1000 kg/m3

ar (1 atm, 15C) =ar. g = 12 N/m3

água (1 atm, 15C) =água. g = 9,8.103 N/m3

a variação da pressão em uma coluna de ar com centenas de metros

é muito pequena

Para grandes variações de altura, podemos expressar como função de P:

Pela lei dos gases: PV = nRT, onde n = m/M

T

dzg

R

M

P

dPg

RT

PMg

dz

dP

RT

PM

V

mRT

M

mPV

Se T não variar com z, ou seja, T = T0 = cte

)zz(

RT

Mg)PPln(dzg

RT

M

P

dP12

0

12

z

z0

P

P

2

1

2

1

9

ou

)zz(RT

Mg

12

120ePP

T varia com z, por exemplo, quando se avalia a variação da pressão com

a altitude:

TÉCNICAS DE MEDIDAS DE PRESSÃO

Trata-se de um dos principais parâmetros no estudo do escoamento de fluidos

DEFINIÇÕES

Pressão absoluta: medida em relação ao vácuo perfeito (Pabs nula). É

sempre positiva).

Pressão manométrica: medida em relação à pressão atmosférica local.

Pmanométrica (relativa) = Pabsoluta - Patmosférica

10

Dessa forma, a pressão relativa pode ser positiva ou negativa.

Nota-se que P1 (abs) e P2 (abs) serão sempre positivas. Mas P1 (manométrica) > 0

e P2 (manométrica) < 0 (vácuo, pois se está abaixo da pressão atmosférica).

Portanto, pressão manométrica negativa é também referida como vácuo.

Assim, considerando Patm = 100 kPa, se Pabs = 70 kPa Pman = - 30 kPa.

Unidades: Pressão = Força/área [P] = [F]/[A]

o SI: [P] = N/m2 (1 N/m2 = 1 Pa)

o Sistema inglês: 1 psi = 1 lbf/in2

Obs: 1 N/m2 = 6,89.103 psi

o Em altura de coluna de líquido: 760 mm Hg (abs)

P = Hg g h = 13600 kg/m3. 9,8m/s2.0,76m = 1,013.105 N/m2

MANOMETRIA

Barômetro (Torricelli, ≈1644):

Considere o desenho abaixo. Inicialmente o tubo estava repleto com

mercúrio e então, foi rapidamente virado com sua extremidade aberta,

agora bloqueada, e imediatamente inserido em um recipiente contendo Hg.

11

Tubo Piezométrico:

No equilíbrio: peso da coluna de

Hg + Pvapor Hg = Patm, ou seja,

Patm = Hg g h + Pvapor Hg

A contribuição da Pvapor do Hg é

normalmente desprezível.

Pvapor Hg (20C) = 0,16 Pa (abs.)

1 atm = 0,76 m de coluna de Hg

ou 10,36 m de coluna de água

Tipo mais simples de manômetro

P1 = PA = f g h + P0 = 1h+ P0

Indica a pressão relativa

PA = f g h

Limitações (apesar da simplicidade e precisão):

o Quando PA > P0

o PA não pode ser muito alta (a altura da coluna deve ser

razoável)

o Apenas para líquidos

Tubo em U:

12

P2 = P3 (mesmo fluido entre 2 e 3)

P3 = 2 g h2 + P0

P2 = PA + 1 g h1

Assim: 2 g h2 + P0 = PA + 1 g h1

PA (abs) = 2 g h2 - 1 g h1+ P0

13

Alguns cálculos úteis:

o PA (relativa) = 2 g h2 - 1 g h1

o Se o componente 1 for um gás: PA (relativa) = 2 g h2

Tubo Inclinado:

Usado para medir pequenas diferenças de pressão

P1 = PA +1 h1 PA = P1 - 1 h1 e P2 = PB +3 h3 PB = P2 - 3 h3

PA - PB = P1 - P2 - 1 h1 + 3 h3, mas P1 = P2 + 2 l2 sen

Portanto: PA - PB = P2 + 2 l2 sen - P2 - 1 h1 + 3 h3

PA - PB = 2 l2 sen - 1 h1 + 3 h3

Simplificações:

Se os bulbos estiverem preenchidos com gases: 1 = 3 = 0

PA - PB = 2 l2 sen ou l2 = (PA - PB)/sen

Quando 0 (sen 0) l2 maior precisão

BALANÇO INTEGRAL DE ENERGIA

14

x

A terceira lei para ser aplicada a análise do escoamento de fluido é a primeira lei

da termodinâmica:

“Se um sistema é transportado através de um ciclo, o calor total adicionado ao

sistema a partir de suas vizinhanças é proporcional ao trabalho realizado pelo

sistema nas referidas vizinhanças.”

Diferente do balanço de momento, a equação de energia resultante estará

na forma escalar.

WQ

onde δQ e δW são diferenciais de calor e trabalho. O operador δ é usado uma

vez que tanto Q quanto W são funções do “caminho” escolhido.

Considerando um ciclo termodinâmico (a):

1

2

2

1

1

2

2

1 aaaa

WWQQ (1)

Considerando um novo ciclo termodinâmico ida por a e volta por b:

1

2

2

1

1

2

2

1 baba

WWQQ (2)

Subtraindo (1) de (2):

1

2

1

2

1

2

1

2 baba

WWQQ

y

2

1

a

a

b

15

Que pode ser escrito como:

1

2

1

2

)()(ba

WQWQ

Como cada lado da equação acima se refere ao valor da integral de uma função

realizada por caminhos diferentes, o valor obtido não depende deste. Essa

propriedade será designada como dE e representa a quantidade total de energia

do sistema.

→ Expressão alternativa para a primeira lei da termodinâmica: WQdE

Obs:

Para um sistema que está submetido a um processo que ocorre em um

intervalo de tempo dt: dt

W

dt

Q

dt

dE

δQ é positivo quando calor é adicionado ao sistema e δW é positivo

quando o trabalho é feito pelo sistema

→ Escrevendo a equação de balanço de energia:

VC no gia

-ener de mulo

-acú de taxa

escoamento

pelo sai que

energia de taxa

as vizinhançnas

VC pelo feita

trabalhode taxa

VC o para

as vizinhançdas

calor de taxa

escoamento

pelo entra que

energia de taxa

(1)

→ e aplicando ao volume de controle:

Fluxo líquido (saída – entrada):

→ No balanço de massa: A

dAnv ).(

→ No balanço de momento: A

dAnvv ).(

→ No balanço de energia: A

dAnve ).(

n v

dA

16

Ou seja,

A

dAnve ).(

escoamento

pelo sai que

energia de taxa

escoamento

pelo entra que

energia de taxa

Acúmulo:

VC

dVet

Substituindo na equação de balanço (1) os termos obtidos:

VCA

dVet

dAnvedt

W

dt

Q

).(

OBSERVAÇÃO:

→ Temos 3 tipos de trabalho:

Trabalho de eixo (Ws): realizado pelo sistema sobre a vizinhança

ocasionando a rotação de um eixo, se positivo. Se negativo, a vizinhança

promove a rotação do eixo.

Trabalho devido ao escoamento (Wσ): realizado nas vizinhanças para vencer as

tensões normais na superfície do VC.

Trabalho cisalhante (W): realizado para vencer as forças cisalhantes

(tangenciais) na superfície do VC.

→ S é o vetor resultante das forças normais

e de cisalhamento (σii e τij) por unidade de

área, envolvidas em um escoamento. Assim,

a força atuando em um elemento de área dA

é S.dA e a taxa de trabalho realizada é

vdAS

.

Assim:

VCAA

s dVet

dAnvedASvdt

W

dt

Q

).(.

n

v

dA

S (comp. σii e τij)

17

Onde

A

ii

A

ii

normalA

dAnvdAnvdASv ).(..

A tensão normal tem uma forma mais usual de se apresentar. Ela engloba

efeitos de pressão e efeitos viscosos, da mesma forma que o W. Assim:

→ atribuindo toda a contribuição viscosa a um trabalho W:

VCAA

s dVet

dA)n.v(edt

WdA)n.v(P

dt

W

dt

Q

Reagrupando os termos:

dt

WdVe

tdAnv

Pe

dt

W

dt

Q

VCA

s

).()(

(2)

Obs.: a energia total específica, e, pode ser expressa para incluir as

contribuições de energia cinética, energia potencial e energia interna, ou seja:

uv

gye 2

2

(3)

SIMPLIFICAÇÕES:

Considere um escoamento no volume de controle estabelecido abaixo, na

situação de regime permanente e desprezando as perdas por atrito.

Determine a equação que rege esse sistema.

Para essas condições, a equação de energia (eq. (2)) fica:

18

(4)

Com base na equação (3), o termo (e+P/) pode ser escrito como:

Pu

vgy

Pe

2

2

, mas

Assim, a equação (4) fica:

Pelo balanço de massa: 222111 AvAvm

1

111

2

1

2

222

2

2

22

Pugy

vPugy

v

m

Wq s

Ou, na forma mais familiar:

m

WPgy

vu

m

qPgy

vu s

2

22

2

22

1

11

2

11

22

Mas, por definição entalpia é a soma da energia interna e da energia do

escoamento, ou seja:

Puh

Com isso, outra forma de se expressar a equação (5) é:

m

Whgy

v

m

qhgy

v s

22

2

211

2

1

22

Na situação de regime transiente e desprezando as perdas por atrito:

Retomando a equação global de energia:

19

dt

WdVe

tdAnv

Pe

dt

W

dt

Q

VCA

s

).()(

t

)M.e(w)

Pe(w)

Pe(wq

t

)M.e(Av)

Pe(Av)

Pe(wq

1

1

112

2

22s

111

1

11222

2

22s

t

)M.e(w)

Pugy

2

v(w)

Pugy

2

v(wq 1

1

111

2

12

2

222

2

2s

ou t

)M.e(w)hgy

2

v(w)hgy

2

v(wq 111

2

1222

2

2s

EQUAÇÃO DE BERNOULLI

Sob determinadas condições de escoamento a expressão da primeira lei da

termodinâmica aplicada a um volume de controle se reduz a uma equação muito

útil, conhecida com equação de Bernoulli.

Consideremos o escoamento de um fluido incompressível, isotérmico,

invíscido (viscosidade nula: não há trabalho viscoso), ocorrendo em estado

estacionário. Tomemos um volume de controle, conforme abaixo

esquematizado:

Nessas condições:

- escoamento estacionário, incompressível e invíscido

20

- não há trabalho de eixo

- não há transferência de calor ou mudança na energia interna, então:

0 e 0 dt

W

dt

Q s

21

).().().(AAA

dAnvedAnvedAnve

)(2

)(2

).().(

2222

2

22111

1

11

2

1

21

Avgyv

uAvP

gyv

dAnvedAnveAA

0

VC

dVet

Com essas simplificações a equação da 1ª Lei fica:

)(2

)(2

0 222

2

22

2

2111

1

11

2

1 AvP

gyv

AvP

gyv

Como 222111 AvAv

2

22

2

2

1

11

2

1

22

Pgy

vPgy

v

Dividindo pela aceleração da gravidade:

g

P

g

vy

g

P

g

vy

2

2

2

22

1

1

2

11

22

MEDIDORES DE VAZÃO

1. DEFINIÇÃO DE PRESSÃO

21

A pressão de estagnação e a pressão dinâmica podem ser associadas à

equação de Bernoulli: 2

22

2

2

1

11

2

1

22

Pgy

vPgy

v

Pressão estática: P é a pressão termodinâmica no fluido que escoa. Para medi-la

precisamos nos mover com a velocidade do fluido (ou seja, de modo estático em

relação a fluido). Um outro modo de se medir é usando um tubo piezométrico:

P1 = P3 + h3-1 = h4-3 + h3-1 = h, conforme Figura:

Pressão dinâmica: o termo v2/2 é denominado pressão dinâmica e surge

quando a velocidade é nula e ele é transformado em energia de pressão.

Pressão hidrostática: o termo gy é denominado pressão hidrostática pois,

apesar de não ser uma pressão, pode representar uma possível mudança na

pressão devido a variação da energia potencial do fluido.

Pressão de estagnação: aplicando a equação de Bernoulli nos pontos 1 e

2 do gráfico, é possível obter: P2 = P1 +v2/2 , onde 2 é o ponto de

estagnação onde a velocidade do fluido é zero, após o líquido preencher o

tubo até a altura H. Assim, a pressão de estagnação é maior que a pressão

estática P1 de v12/2, ou seja:

Pressão de estagnação = Pressão estática + Pressão dinâmica

22

Observação: Se efeitos de elevação (variação de altura) na linha podem

ser desprezados, a pressão de estagnação: P2 = P1 +v2/2 é a maior

pressão que uma linha de corrente pode apresentar, o seja, toda a energia

cinética do fluido é convertida num aumento de pressão.

Pressão total: a equação de Bernoulli estabelece que a pressão total

permanece constante ao longo da linha de corrente (LC), ou seja, P

+v2/2+y = PT = constante ao longo da LC

Observação: lembre-se de verificar se as hipóteses usadas na dedução da

equação de Bernoulli se aplicam no escoamento em análise.

2. TUBO DE PITOT

Consiste de um tubo com uma abertura perpendicular à direção do

escoamento e um segundo tubo cuja abertura é paralela ao escoamento.

A velocidade de escoamento é calculada a partir da diferença entre a pressão na

abertura paralela ao escoamento, chamada de pressão estática, e a pressão no

tubo de impacto, chamada de pressão de estagnação.

P2 (pressão de estagnação) = P1 (pressão estática) +v12/2

P2 – P1 = v12/2 v1 = (2 P/)

1/2 (*)

A pressão de trabalho para o tubo de Pitot é normalmente:

v1 = C (2 P/)1/2

= C [2 (m-)gh/]1/2

Tubo de Pitot

simples

Tubo de Pitot

compacto

23

onde m é a massa específica do fluido manométrico, é a massa

específica do fluido que escoa e h é o desnível no manômetro. A

constante C foi inserida para corrigir desvios em relação à equação (*).

O tubo de Pitot mede a velocidade local, mas medindo a velocidade em várias

posições radiais, para um mesmo comprimento de tubo, pode-se estimar a

velocidade média do escoamento.

Obs.: esse sistema se aplica a fluidos incompressíveis e aos gases em

velocidades moderadas, onde a variação de pressão é inferior a 15%.

Outras formas do tubo de Pitot:

3. MEDIDORES POR RESTRIÇÃO

Um modo eficiente de medir a vazão volumétrica em tubos é instalar algum

tipo de restrição no tubo e medir a diferença entre as pressões na região de

baixa velocidade e alta pressão (ponto 1) e de alta velocidade e baixa pressão

(ponto 2).

24

Todos apresentam o mesmo princípio de funcionamento: um aumento na

velocidade provoca uma diminuição na pressão. A diferença entre eles é uma

questão de custo, precisão e como sua condição ideal de funcionamento (efeitos

viscosos e de compressibilidade não são levados em conta) se aproxima da

condição real.

Admitindo que o escoamento entre os pontos 1 e 2 é incompressível, invíscido

e horizontal (y1 = y2) e que estamos trabalhando em regime permanente, então

a equação de Bernoulli fica:

P1 +v12/2 = P2 +v2

2/2

Pelo balanço de massa: Q = A1v1 = A2v2

onde A1 e A2 são as áreas das seções transversais 1 e 2.

Substituindo v1 e v2 por Q/ A1 e Q/A2, respectivamente, podemos isolar Q e

determiná-lo em função da diferença de pressão.

Placa (ou medidor)

de orifício

Medidor de Venturi

Medidor de bocal

25

INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO DOS FLUIDOS

Para se distinguir fluido de sólido: submete-se ambos a uma força cisalhante:

sólido elástico: elevada resistência do material a alteração de sua forma.

Sofre uma deformação proporcional à força aplicada.

fluido: praticamente, não oferece resistência a alteração de sua forma. Nas mesmas

condições o fluido continua a deformar-se (escoa) enquanto houver uma tensão de

cisalhamento aplicada, mesmo sendo muito pequena .

sólido elástico: resistem às forças de cisalhamento até o seu limite elástico ser

alcançado (tensão crítica de cisalhamento). Forças que superam a tensão crítica

promovem uma deformação irreversível.

fluido: são imediatamente deformados de modo irreversível, mesmo para valores

pequenos da tensão de cisalhamento.

LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON

A relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação depende do fluido

em análise. Fluidos que obedecem a relação:

tensão de cisalhamento (= força de cisalhamento/área) taxa de deformação

são denominados fluidos newtonianos pois seguem a Lei da Viscosidade de Newton:

tensão de cisalhamento = viscosidade . taxa de deformação (1)

Como exemplo de fluidos newtonianos pode-se citar a água, os gases em

sua maioria, petróleo, entre outros.

viscosidade: propriedade física do fluido (não é mera constante de

proporcionalidade). Indica a resistência apresentada por um fluido à alteração de sua

forma, ou aos movimentos internos de suas moléculas umas em relação às outras. É

a propriedade do fluido de resistir à deformação quando o fluido é submetido a

forças de cisalhamento. Ela pode depender da temperatura, composição e pressão.

Para fluidos newtonianos, a viscosidade independe da taxa de deformação.

26

Consideremos um elemento de volume de um fluido inicialmente

estagnado entre duas superfícies planas e paralelas. Num dado instante, a placa

superior move-se e o fluido começa a se deslocar na direção x.

O perfil de velocidade do fluido apresenta-se da seguinte forma:

Como a velocidade no topo do sistema é diferente da velocidade na base, o

escoamento paralelo em x deformará o elemento de volume.

Sendo o ângulo inicial no EV (figura acima), a deformação pode ser

calculada pela variação desse ângulo com o tempo:

t

ytvv

tdt

d yyy

tyx

ttt

tyx

2/]/)arctan[(2/limlim

0,0,,

27

)(lim

/)(lim

Δt/Δy)v(v Δt/Δy])varctan[(v 0, Δquando Assim,

. tanarc tan 0, quando , qualquer ângulo um Para

]/)arctan[(lim

0,,0,,

yΔyyyΔyy

0,,

y

vv

t

ytvv

dt

d

t

t

ytvv

dt

d

yyy

tyx

yyy

tyx

yyy

tyx

No limite, tocisalhamen de taxa dy

dv

dt

d (2)

Combinando as equações (1) e (2), com μ sendo a viscosidade chegamos à

dy

dv * onde * é a tensão de cisalhamento.

FLUXO DE MOMENTO

Além da tensão de cisalhamento, um outro parâmetro muito importante no

estudo da mecânica dos fluidos está associado à determinação do fluxo de

momento. O fluxo de momento surge devido a um gradiente de velocidade no

fluido. Consideremos a situação:

OBSERVAÇÃO: o fluxo de momento e a tensão de cisalhamento na

placa são numericamente iguais, mas têm direções diferentes.

Tensão de

cisalhamento Fluxo de

momento

yx

v0

vx

y

y

x

A

Fyx *

dy

dv

dy

dv

A

F

xyx

xyx

ou

Newton de de Viscosidada Lei

*

28

TENSÃO DE CISALHAMENTO: para um elemento tridimensional

entidade tensorial → necessária a magnitude, direção e orientação com

relação a um plano para ser identificada.

*

xy : * → magnitude

Primeiro subscrito (x) → plano de ação da força

Segundo subscrito (y) → direção da tensão de cisalhamento

FLUXO DE MOMENTO: para um elemento tridimensional - entidade

tensorial → necessária a magnitude, direção e orientação com relação a

um plano para ser identificado.

xy: → magnitude

Primeiro subscrito (x) → direção do fluxo de momento

(direção do gradiente de velocidade)

Segundo subscrito (y) → direção da velocidade (escoamento)

29

30

A Lei da Viscosidade de Newton define o fluxo de quantidade de

movimento (ou fluxo de momento) por unidade de área. Para melhor

compreensão, considere a interação de duas camadas adjacentes de fluido

submetidas a um gradiente de velocidade (dv/dy 0).

A movimentação ao acaso das moléculas da camada com velocidade mais

elevada permite a passagem de algumas dessas moléculas para a camada de

velocidade menor. Neste caso, as moléculas de velocidade maior colidirão com

as de velocidade menor, tendendo a aumentar a velocidade das últimas. Da

mesma forma, a camada mais lenta tende a frear a mais rápida. Essa troca de

moléculas produz um transporte de quantidade de movimento (fluxo de

momento ), paralela ao gradiente de velocidade e uma certa tensão (força por

unidade de área = tensão de cisalhamento aplicada) é necessária para vencer o

atrito entre as camadas e manter o gradiente de velocidade.

Tensão de

cisalhamento

Fluxo de

momento

31

TENSÕES DE CISALHAMENTO EM ESCOAMENTO

MULTIDIMENSIONAL LAMINAR DE UM FLUIDO NEWTONIANO:

Lei de Newton Multidimensional

Obtida a partir da análise das tensões cisalhantes que atuam no fluido quando escoa

TENSÃO DE CISALHAMENTO:

*

xy atua no plano de x constante (plano yz) e na direção y.

O sinal da componente da tensão de cisalhamento é positivo quando

ambos, o vetor normal à superfície de ação da força e a tensão de

cisalhamento agem na mesma direção (ambos negativos ou ambos

positivos). Por exemplo, a componente *

yx atua no plano xz. O vetor

normal a essa área tem direção y positiva e a tensão atua na direção x

positiva. Daí *

xy é positivo.

TAXA DE DEFORMAÇÃO: para um elemento tridimensional → a

taxa de deformação pode ser determinada analisando a taxa nos vários

planos: xy, yz e xz.

Tomemos como exemplo o plano xy:

*

yx

*

yx

*

xy *

xy

*

zy

*

zy

*

yz *

yz

*

xz

*

xz

*

zx *

zx

32

x

)vv(

y

)vv(lim

dt

d

t

x/t)vv(

t

y/t)vv(lim

dt

d

:portanto ,x/t)vv( x/t)vvarctan(

e y/t)vv(y/t)vvarctan( 0,t Quando

t

x/t)vvarctan(]y/t)vvarctan(lim

t

2/]x/t)vvarctan[(]y/t)vvarctan[(2/lim

tlim

dt

d

xyxxyyxyyx

0t,y,x

xy

xyxxyyxyyx

0t,y,x

xy

xyxxyxyxxy

yxyyxyxyyx

xyxxyyxyyx

0t,y,x

xyxxyyxyyx

0t,y,x

ttt

0t,y,x

xy

x

v

y

v

t

yxxy

E, da mesma forma, para os planos xz e yz:

x

v

z

v

t

zxxz

y

v

z

v

t

zyyz

33

Com base no desenvolvido anteriormente é possível escrever as

componentes do tensor tensão para um fluido escoando laminarmente que:

Tensões Cisalhantes

)(

)(

)(

**

**

**

x

v

z

v

y

v

z

v

x

v

y

v

zxzxxz

zy

zyyz

yxyxxy

Tensões Normais

Pvz

v

Pvy

v

Pvx

v

zzz

y

yy

xxx

).(

).(

).(

3

22

3

22

3

22

34

Lei da viscosidade de Newton

Ao invés de analisar as forças cisalhantes, analisarmos o fluxo de momento, a Lei de

Newton considerando todas as direções pode ser escrita como:

Coordenadas Retangulares

)(

)(

)(

x

v

z

v

y

v

z

v

x

v

y

v

zxzxxz

zy

zyyz

yxyxxy

Coordenadas Cilíndricas

r

v

z

v

z

vvr

v

rr

v

rr

zrrzzr

zzz

rrr

1)(

Coordenadas Esféricas

)(

)(

)(

r

v

rr

v

rsen

v

rsensen

v

r

sen

v

rr

v

rr

rrr

rrr

1

1

1

35

EXEMPLOS:

Para exemplificar a aplicação direta da lei de Newton, vamos discutir alguns exemplos:

1. movimento de uma placa que retém um fluido inicialmente estagnado:

Considere um fluido entre duas placas inicialmente paradas:

Imagine que a placa superior comece a se mover com velocidade v0 (constante)

em relação à placa inferior. Ocorrerá transferência de momento da placa em

movimento para o fluido.

Partindo da Lei de Newton (coord. retangulares):

)(

)(

)(

x

v

z

v

y

v

z

v

x

v

y

v

zxzxxz

zy

zyyz

yxyxxy

:

Como há velocidade apenas em x: y

v xyxxy

v0

D

x

y

z

36

2. Movimento de um dos cilindros que mantém um fluido inicialmente estagnado

Partindo da Lei de Newton (coord. Cilíndricas):

r

v

z

v

z

vvr

v

rr

v

rr

zrrzzr

zzz

rrr

1)(

Como há velocidade apenas em : dr

dvr

APLICAÇÕES DA LEI DE NEWTON

Aplica-se quando se tem transporte de momento molecular (transporte de

momento de camada para camada de fluido). Ex.: nas situações onde o fluido

se desloca apenas devido ao movimento da fronteira (exemplos anteriores).

Quando transporte convectivo está presente ela se aplica, mas calcula

apenas a contribuição do transporte molecular.

37

TRANSPORTE MOLECULAR E TRANSPORTE CONVECTIVO

Consideremos a situação: um surfista no mar, deitado sobre sua prancha. Como

ele vai se deslocar?

- pelo movimento de seus braços

- pelo movimento das ondas

As duas possibilidades podem ocorrer.

- Quando o mar está calmo ele se desloca movimentando seus braços

- Quando o mar está batendo não muito forte, em certos momentos, ele se desloca

na direção desejada, em outros, quando as ondas não muito forte chegam, ele

tenta se deslocar na direção desejada e não na direção que a onda tenta levá-lo.

- Quando o mar está batendo forte, ele fica ao sabor das ondas pois suas

braçadas não são suficientes para vencer a força das mesmas.

Fazendo uma analogia:

transporte molecular: momento sendo transferido de camada para camada de

fluido (seria o surfista se movimentando sem a contribuição das ondas).

transporte convectivo: momento sendo transferido por exemplo, pela ação de

turbilhões (seria o surfista se deslocando essencialmente pela ação das ondas).

transporte molecular + convectivo: situação intermediária onde momento é

transferido pela ação de ambos os transporte (o surfista tenta se deslocar para

uma dada direção mas fica sujeito a interferências das ondas).

TRANSPORTE MOLECULAR: está presente sempre que houver gradiente

de velocidade.

TRANSPORTE CONVECTIVO: sempre que há escoamento há convecção.

Mas é necessário avaliar se há contribuição convectiva líquida, ou seja, se a

quantidade de momento que entra no EV por convecção é diferente da quantidade

38

de momento que sai do EV por convecção. Como momento é o produto da massa

pela velocidade, se estivermos trabalhando em regime permanente e analisando o

escoamento de um único fluido, só teremos contribuição líquida de momento se

tivermos variação de velocidade entre a entrada e a saída do EV.

Consideremos os exemplos:

Exemplo 1:

Nesse caso:

transporte molecular: apenas na direção radial

Transporte convectivo: existe mas a contribuição total é nula pois

não há variação de velocidade na direção do escoamento

Exemplo 2:

Nesse caso: transporte molecular: nas direções radial e axial

transporte convectivo: na direção axial (na direção do escoamento

há variação de velocidade há transporte líquido de momento

quantidade de momento que entra no EV é diferente do que sai)

perfis radiais de velocidade

perfis radiais de velocidade

39

Exemplo 3: Turbulência

Nesse caso: transporte molecular: em todas as direções

transporte convectivo: em todas as direções

abordagem complexa

CLASSIFICAÇÃO DOS FLUIDOS SEGUNDO

COMPORTAMENTO REOLÓGICO

40

FLUIDOS NEWTONIANOS

FLUIDOS NEWTONIANOS: são

fluidos que seguem a Lei de Newton.

dx

dvy

constante: independe de

dv/dx e do tempo

Ex.: gases e líquidos de baixo

peso molecular.

Fluido Newtoniano: constante independe de dv/dx e do tempo

41

VISCOSIDADE: FORMAS DE DETERMINAÇÃO

1. Tabelas e gráficos

42

(cP)

43

44

Variação da viscosidade dos fluidos com a temperatura:

Alterações na viscosidade estão diretamente relacionadas com a resistência do

fluido ao cisalhamento que depende das forças de coesão e da taxa de

transferência de momento.

LÍQUIDOS

A viscosidade de um líquido diminui com a temperatura:

temperatura forças de coesão viscosidade

GASES

A viscosidade de um gás aumenta com a temperatura: forças de coesão pequenas.

A viscosidade está associada ao transporte de momento

temperatura transferência de momento viscosidade

CORRELAÇÕES PARA A ESTIMATIVA DA VISCOSIDADE

GASES

Para gases e vapores puros em pressões baixas pode-se usar a modificação de

Bromley e Wilke da equação de Hirschfelder que estima a viscosidade com um

erro médio de 3% e um erro máximo de 13%:

onde 0 = viscosidade (micropoise), Tc = temperatura crítica (K),

Vc = volume crítico (cm3/mol) e que se aplica para Tr>0,3.

)]33,1([).(3,33

3/2

2/10

r

c

c TfV

TM

)9,1log(9,0

645,0

)9,1(

261,0058,1)33,1(

rT

r

rrT

TTf

45

O efeito da temperatura é indicado pela expressão:

Que pode ser expressa como:

O efeito da pressão sobre a viscosidade dos gases é importante quando P excede a

10 atm, aproximadamente. Maiores detalhes vide Bird (2003).

LÍQUIDOS

A viscosidade da maioria dos líquidos orgânicos e inorgânicos, no ponto de

ebulição normal pode ser obtida pela equação de Arrhenius:

onde eb = viscosidade do líquido à T eb (cP) e eb = densidade do líquido na

Teb (g/cm3).

Em temperaturas diferentes da Teb, deve-se usar a reação de Thomas:

onde r

r

T

TB )1( , = viscosidade (cP), = massa específica (g/cm

3) e B é

uma constante de viscosidade obtida pelo somatório das contribuições

atômicas e de grupos que estão na tabela a seguir:

ebTT

T

47,1

2/30

)47,1(

)47,1()(

2

12/3

1

2

01

02

eb

eb

TT

TT

T

T

ebeb 324,0

101167,0 2/1

46

Tabela: Contribuições estruturais para o cálculo de B (PERRY, 1973).

Átomos ou

grupos

Contribuição para

o cálculo de B

Átomos ou

grupos

Contribuição para o

cálculo de B

Carbono - 0,462 Enxofre + 0,043

Hidrogênio + 0,249 C6H5 + 0,385

Oxigênio + 0,054 Dupla ligação + 0,478

Cloro + 0,340 CO (cetonas,

ésteres)

+ 0,105

Bromo + 0,326 CN (cianetos) + 0,381

Iodo + 0,335

O efeito da temperatura sobre a viscosidade dos líquidos pode ser ajustada pela

equação de Guzman-Andrade, que exige o conhecimento de, no mínimo, dois

ou mais valores de para se determinar as constantes A e B: T/BAe

FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS

FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS: são fluidos que se caracterizam por possuir

a viscosidade dependente de dv/dx ou do tempo de aplicação do esforço. Eles

combinam características de sólidos com características de líquidos.

Exemplo: argila + água: aplicando-se uma pequena força – comportamento de

sólido aplicando-se uma força maior: ela escoa – comportamento de líquido.

O escoamento de fluidos não-newtonianos é descrito por equações empíricas,

que são, frequentemente, modificações da lei de Newton:

47

Viscosidade aparente: definida da mesma forma que a viscosidade

newtoniana: dx

dvay

ou seja, combinando as equações: )/(

)/(

dxdv

dxdva

FLUIDOS NÃONEWTONIANOS CUJA VISCOSIDADE DEPENDE DE dv/dx

FLUIDOS PLÁSTICOS DE BINGHAN

Existe uma tensão de cisalhamento mínima (0) que deve ser excedida antes

do escoamento iniciar.

0

00

0

)(

y

yBy

se dx

dv

se dx

dv

portanto:

dx

dvdx

dvB

a

0

Ex.: suspensões aquosas de rochas,

lamas de perfuração, argilas, etc.

48

FLUIDOS DILATANTES

a

n

a

ny

dx

dv

dx

dvK

1n com dx

dvK

1

)(

eviscosidad a aumenta

to,cisalhamen o aumentando

Ex.: suspensões de amido, soluções

de silicato de potássio, soluções de

goma-arábica, soluções de farinha

de milho e açúcar, etc.

FLUIDOS PSEUDOPLÁSTICOS

a

n

a

ny

dx

dv

dx

dvK

1n com dx

dvK

1

)(

eviscosidad a diminui

to,cisalhamen o aumentando

Ex.: polpa de papel, maionese,

soluções poliméricas, susp. coloidais,

sangue, etc.

49

Todos reunidos num único gráfico:

FLUIDOS NÃONEWTONIANOS CUJA VISCOSIDADE DEPENDE DO TEMPO

Alguns fluidos apresentam mudança na viscosidade em função do tempo sob

taxa de cisalhamento constante. Assim, dv/dx é constante e o tempo é o

parâmetro que influencia.

FLUIDOS REOPÉTICOS

Fluidos cuja viscosidade aumenta com o tempo, a uma taxa de cisalhamento

constante. Assim, após a aplicação de um esforço constante, o aumento do tempo de

aplicação desse esforço aumenta a viscosidade aparente. Cessada a aplicação da

força, a viscosidade retorna à condição original.

Ex.: suspensões de bentonita

dv/dy

dv/dy

Herschel -

Bulkley

50

FLUIDOS TIXOTRÓPICOS

Fluidos cuja viscosidade diminui com o tempo enquanto são submetidos a uma

taxa de cisalhamento constante. Assim, após a aplicação de um esforço constante,

o aumento do tempo de aplicação desse esforço diminui a viscosidade aparente.

Cessada a aplicação da força, a viscosidade retorna à condição original. Ex.: tintas

(a aplicação da tinta com pincel ou rolo diminui a viscosidade da tinta; quando o

esforço cessa, ela volta a ter a viscosidade inicial e não escorre), molho de tomate,

etc.

FLUIDOS NÃONEWTONIANOS VISCOELÁSTICOS

Possuem propriedades independentes do tempo de cisalhamento nem

tensão de cisalhamento inicial

Exibem muitas características de sólidos;

São substâncias que apresentam propriedades viscosas e elásticas

acopladas.

Quando cessa a tensão de cisalhamento, ocorre uma certa recuperação

da deformação.

Exemplos: massas de farinha de trigo, gelatinas, queijos, etc.

dv/dx

dv/dx

51

DEFINIÇÃO DE FLUIDO COM RELAÇÃO AO SEU

CARÁTER VISCOSO

Fluidos reais: os efeitos viscosos estão intrinsecamente presentes. A

variação de velocidade entre as camadas de fluido está diretamente

relacionada à viscosidade do fluido. Ex.: Fluidos newtonianos e não

newtonianos.

Figura F. Lopes, UFBa

Fluidos ideais: despreza-se o atrito os efeitos viscosos são desprezíveis

=0 dvx/dy = 0

Trata-se de uma aproximação pois não existem fluidos ideais. Esse conceito

é usado para simplificar a análise do problema

52

ANÁLISE DIFERENCIAL DE UM ELEMENTO DE FLUIDO EM

ESCOAMENTO LAMINAR

Escoamento de fluido - duas abordagens:

Uso de volume de controle (VC) macroscópico: análise de

problemas do ponto de vista macroscópico,onde grandes quantidades

de massa, momento e energia cruzam as fronteiras do VC

acompanhamento de mudanças nessas quantidades. Alterações que

ocorram dentro do VC não podem ser obtidas por esse tipo de

abordagem.

Solução do problema: fornece informações de projeto que o

engenheiro necessita.

Uso de volume de controle microscópico: a atenção se volta para o

elemento de fluido quando ele se aproxima de uma dimensão

diferencial. O objetivo é estimar e descrever o comportamento do

fluido de um ponto de vista diferencial. Essa abordagem resulta, ao

final da análise, numa equação diferencial.

Solução da equação diferencial: informações sobre o

escoamento de natureza diferente daquela alcançada pelo

balanço macroscópico

Resultados fornecem mais informações com relação ao

mecanismo de transporte de massa, calor ou momento

53

Resolução completa das equações diferenciais só é possível

apenas se o escoamento for laminar. Por essa razão, neste

capítulo somente se abordará escoamento laminar.

Tipos de escoamento de fluido: uma possível divisão (FOX):

- NESTE CAPÍTULO: Serão desenvolvidas duas equações:

Equação da continuidade: conservação da massa

Equação do movimento: conservação do momento

São equações diferenciais parciais e vão descrever a relação entre as

variáveis físicas, tempo e coordenadas geométricas.

54

São equações mais complicadas, mas uma análise da situação física

pode simplificá-la é fundamental entender o problema fisicamente.

Fluxo convectivo

Está presente quando há escoamento, mas havendo escoamento, não

significa que necessariamente teremos fluxo convectivo.

Como o fluxo convectivo vai ser considerado, é importante relembrar

o que é fluxo convectivo, além de formas diferentes de se expressar a

derivada em relação ao tempo.

AS DERIVADAS EM RELAÇÃO AO TEMPO

Vamos considerar o caso mais geral: a variável v vai variar com o

tempo e com a três coordenadas de posição. Considerando coordenadas

retangulares: v = f (x,y,z,) 4 variáveis independentes.

DERIVADA PARCIAL

descreve a variação de v (variável dependente) em relação a qualquer

uma das 4 variáveis independentes, as outras 3 são mantidas constantes.

zyx

vv

,,

(1)

a derivada parcial em relação ao tempo = variação da variável v

com o tempo que seria verificada por um observador estacionário.

Por exemplo, considere

que a vazão de um fluido

que escoa no interior de

55

um tubo esteja sendo aumentada paulatinamente com o tempo e a

variação da velocidade no centro do tubo esteja sendo acompanhada

por um tubo de Pitot. A variação observada em v é a derivada parcial.

Em regime permanente, 0/ v

DERIVADA TOTAL EM RELAÇÃO AO TEMPO

descreve a variação de v em relação ao tempo e à posição

é a taxa temporal de variação de v conforme observada por um

observador móvel, onde dx/d, dy/d e dz/d são as componentes de

velocidade do observador móvel.

)()()()(

v

d

dz

z

v

d

dy

y

v

d

dx

x

v

d

vd

(2)

observador não se desloca: dx/d = dy/d = dz/d = 0 dv/d =

v/

DERIVADA MATERIAL OU DERIVADA SUBSTANTIVA EM

RELAÇÃO AO TEMPO

descreve a variação de v quando se tem um fluido em escoamento e

um observador movendo-se com a corrente de fluido, observando a taxa

de variação temporal de v.

56

o observador move-se com a velocidade do escoamento (componentes

vx (ou u), vy (ou v) e vz (ou w)) nas três direções x, y, z, respectivamente.

localaceleração

convectiva aceleraçãopartícula da

total aceleração

)()()()(

vv

z

vv

y

vv

x

va

D

vDzyxp

(3)

Ex.: estamos analisando a variação da velocidade de uma corrente em um

tubo de seção transversal variável, como no esquema onde estão

dispostos diversos tubos de Pitot:

Dv/d: estamos com a mesma velocidade do escoamento e, portanto,

seria como se estivéssemos acompanhando um dado volume de fluido.

Numa situação de regime permanente, a derivada parcial de v em relação

ao tempo, presente na equação (3) se anula e a derivada material se reduz

a :

57

zyx vz

vv

y

vv

x

v

D

vD)()()(

ou seja, mesmo em regime permanente, podemos observar uma

aceleração no sistema, como no caso acima, onde observamos variação

da velocidade com a direção x.

58

EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE: Balanço de massa

BALANÇO DE MASSA PARA UM ÚNICO COMPONENTE:

Considerando um elemento de volume diferencial:

massa de

acúmulo

sai

que massa

reaçãopor

gerada qtidd

entra

que massa

não há reação química ocorrendo (um só componente)

transporte de massa apenas por convecção (ou arraste): não há difusão

pois não estamos trabalhando com misturas multicomponentes.

Taxa de entrada: em x: (vx)x zy

em y: (vy)y xz

em z: (vz)z xy

Taxa de saída: em x+x: (vx)x+x zy

em y+y: (vy)y+y xz

em z+z: (vz)z+z xy

59

Taxa de acumulação: / (xyz)

Substituindo na equação de balanço:

(vx)x zy + (vy)y xz + (vz)z xy = (vx)x+x zy + (vy)y+y

xz + (vz)z+z xy + / (xyz)

Reagrupando:

- / (xyy) = {(vx)x+x – (vx)x}zy + {(vy)y+y - (vy)y} xz

+ {(v)z+z - (vz) z} xy

Dividindo por xyz:

- / = {(vx)x+x - (vx)x}+ {(vy)y+y + (vy)y} + {(vz)z+z + (vz)z}

x y z

Tomando o limite quando xyz 0:

- / = (vx)/x + (vy)/y + (vz)/z equação da

continuidade

ou, na forma vetorial: )v(

onde kvjvivv zyx

Expressando a equação da continuidade de uma outra forma;

- / = (vx)/x + (vy)/y + (vz)/z

- / = vx/x + vy/y + vz/z + [vx/x + vy/y + vz/z]

- [/ + vx/x + vy/y + vz/z] = .v

60

v

D

D

EQUAÇÃO DE MOVIMENTO: Balanço de momento

Considerando um elemento de volume diferencial:

elemento no

momento

de acúmulo

de taxa

conveccão)por

emolecular

transporte

(por elemento

no momento de

saída de taxa

elemento no

atuam que

externas forças

eprovenient

momento de

adição de taxa

conveccão)por

emolecular

transporte

(por elemento

no momento de

entrada de taxa

Momento: massa de um corpo . volume vmmomento

Momento na mecânica dos fluidos:

interesse mais direto no momento por unidade de volume: vM

61

Em suas componentes:

zz

yy

xx

vM

vM

vM

Pode movimentar-se através das seis faces do elemento de volume

Pode entrar ou sair pelo mecanismo de transporte molecular e pelo

mecanismo convectivo (arraste escoamento)

Considerando a transferência de momento pelo fluxo na direção x:

Taxa de entrada e saída de momento no EV por convecção:

Taxa de entrada: em x: [(vx)vx]x zy

em y: [(vx)vy]y xz

em z: [(vx)vz]z xy

Taxa de saída: em x+x: [(vx)vx]x+x zy

em y+y: [(vx)vy]y+y xz

em z+z: [(vx)vz]z+z xy

Taxa de entrada e saída de momento no EV por transporte

molecular:

62

Taxa de entrada: em x: xxx zy

em y: yxy xz

em z: zxz xy

Taxa de saída: em x+x: xxx+x zy

em y+y: yxy+y xz

em z+z: zxz+z xy

Taxa de adição de momento no EV proveniente de forças externas:

Serão consideradas forças externas associadas à gravidade e à

pressão do fluido

Pressão do fluido: em x: Px zy

em x+x: Px+x zy

Gravidade: gxxyz

Taxa de acúmulo de momento no EV:

Taxa de acumulação: (vx)/ (xyz)

z

63

Substituindo na equação de balanço:

[(vx)vx]x zy + [(vx)vy]y xz + [(vx)vz]z xy + xxx zy +

yxy xz + zxz xy + Px zy + gxxyz = [(vx)vx]x+x zy +

[(vx)vy]y+y xz + [(vx)vz]z+z xy + xxx+x zy + yxy+y xz +

zxz+z xy + Px+x zy + (vx)/ (xyz)

Reagrupando:

- (vx)/ (xyz) = {[(vx)vx]x+x - [(vx)vx]x} yz + {[(vx)vy]y+y -

[(vx)vy]y} xz + {[(vx)vz]z+z - [(vx)vz]z} xy + (xxx+x+xxx)zy

+(yxy+y+yxy)zy + (zxz+z+zxz)zy + (Px+x - Px )zy -

gxxyz

Dividindo por xyz:

xxxxzzxzzzx

yyxyyyxxxxxxxxzzxzzzx

yyxyyyxxxxxxxxx

gx

PP

z

yxz

vvvv

y

vvvv

x

vvvvv

)()(

)()()()()(

Limite quando xyz 0, a equação de movimento fica:

Direção x: x

zxyxxx

zxyxxxx

gx

P

zyx

z

vv

y

vv

x

vvv

)()()()(

64

Direção y: y

zyyyxy

zyyyxyy

gy

P

zyx

z

vv

y

vv

x

vvv

)()()()(

Direção z: z

zzyzxz

zzyzxzz

gz

P

zyx

z

vv

y

vv

x

vvv

)()()()(

ou, na forma vetorial, considerando todas as direções:

gPvvv

)()(

65

Escrevendo em termos de derivada substantiva (efetuam-se as derivadas

na equação anterior e organizam-se os termos):

zzzyzxzz

y

zyyyxyy

xzxyxxxx

gz

P

zyxD

Dv

gy

P

zyxD

Dv

gx

P

zyxD

Dv

Essas equações mostram as forças que atuam no EV que se desloca com o

fluido pois a derivada material ou substantiva engloba a contribuição

convectiva.

Na forma vetorial:

gPD

vD

)( 2a Lei do Movimento de Newton

EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES

Quando o fluido é newtoniano, pode-se expressar as equações de

movimento substituindo o

pelas expressões (Lei da Viscosidade de

Newton):

66

)(

)(

)(

x

v

z

v

y

v

z

v

x

v

y

v

zxzxxz

zy

zyyz

yxyxxy

e

)(3

22

)(3

22

)(3

22

z

v

y

v

x

v

z

v

z

v

y

v

x

v

y

v

z

v

y

v

x

v

x

v

zyxzzzzz

zyxy

yyyy

zyxxxxxx

Obs: nas tensões normais removeu-se o efeito das forças de pressão,

uma vez que elas estão explícitas na equação.

Com essa substituição obtém-se:

z

yzxzzz

y

yzxyyy

xxzyxxx

gz

P)

z

v

y

v(

y)

z

v

x

v(

xv.

z

v

zD

Dv

gy

P)

z

v

y

v(

z)

y

v

x

v(

xv.

y

v

yD

Dv

gx

P)

z

v

x

v(

z)

x

v

y

v(

yv.

x

v

xD

Dv

3

22

3

22

3

22

Se e forem constantes, as equações se reduzem a :

67

zzzzz

y

yyyy

xxxxx

gz

P

z

v

y

v

x

v

D

Dv

gy

P

z

v

y

v

x

v

D

Dv

gx

P

z

v

y

v

x

v

D

Dv

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Ou, na forma vetorial: gPvD

vD

2

As equações de Navier-Stokes se aplicam para as seguintes condições:

fluidos newtonianos

escoamento incompressível ( constante)

viscosidade () constante

escoamento laminar

USO DAS EQUAÇÕES DE BALANÇO PARA RESOLVER

PROBLEMAS DE ESCOAMENTO

Para descrever o escoamento de um fluido a temperatura constante, em geral

necessita-se de:

Equação da continuidade

Equação do movimento

Componente de

Equação de estado (P = P())

Expressão para a viscosidade

68

A resolução de problemas típicos de escoamento segue alguns passos. No

exemplo a seguir, será apresentada a abordagem mais completa, nem sempre

necessária.

FLUIDO NEWTONIANO ESCOANDO NO INTERIOR DE UM

TUBO CIRCULAR E LONGO, EM REGIME PERMANENTE

Deduzir a expressão do perfil de velocidade de um escoamento, em

regime permanente, de um fluido newtoniano com µ e constantes, no

interior de uma tubulação horizontal e longa, de raio R1.

1. Equação da Continuidade 0)()(1

)(1

zr v

zv

rrv

rr

Considerando: regime permanente, escoamento unidirecional somente na

direção z e constante: constante é v 0 z

z

v z

2. Equação do movimento: como se trata de fluido newtoniano, para

simplificar, já será inserida a equação de Navier-Stokes

Componente r:

rrr

rr

zrr

rr g

z

vv

r

v

rrv

rrrr

P

z

vv

r

vv

r

v

r

vv

v

2

2

22

2

2

2211

Componentes :

pg

z

vv

r

v

rrv

rrr

P

rz

vv

r

vvv

r

v

r

vv

vr

zr

r

2

2

22

2

2

2111

Componentes z:

69

zzzzz

zzz

rz g

z

vv

rr

vr

rrz

P

z

vv

v

r

v

r

vv

v

2

2

2

2

2

11

Após as simplificações ficamos com:

Componente r: dr

dP0

Componentes : d

dP

r

10

Componentes z:

r

vr

rrz

P z10

Para a determinação da velocidade só precisaremos da componente z (direção

do escoamento). Das componentes r e tiramos que P é função apenas de z.

)()(

1

zF

dz

dP

z

P

rF

r

vr

rrz

Matematicamente, F(r) = F(z) somente se F(r) = F(z) = constante = C0

Com isso: L

P

L

PPCC

dz

dP L

0

0

00 e

2

:

1

1

2 CL

Pr

dr

dvrIntegrando

drL

Pr

dr

dvrd

L

P

dr

dvr

dr

d

r

z

zz

1ª condição de contorno: em r = 0 vz é máxima dvz/dr = 0 C1 = 0

2

2

z

2

4 v :

2

2

CrL

PIntegrando

rdrL

Pdv

L

Pr

dr

dvr z

z

2ª condição de contorno: em r = R1 vz = 0

2

122

2

14

- C 4

0 RL

PCR

L

P

70

)(4

2

1

2 RrL

Pvz

Essa expressão é o perfil de velocidade do fluido no interior do tubo.

Assim, para qualquer valor de r, determina-se vz que é a velocidade

pontual. Para calcular a velocidade média, pode-se integrar a expressão

do perfil de velocidade com o raio variando de zero a R1:

2

1

4

1

4

1

2

1

0

2

1

3

2

10

2

1

22

1

22

11

0

1

824

1

2

)(1

22)(

4

2r S e R S mas

11

1

RL

Pv

RR

RL

Pv

drrRrRL

PvrdrRr

L

PRv

rdrdSdSvSv

zz

R

z

R

z

S

zz

O perfil de velocidade também pode ser obtido através da velocidade

média:

2

1

2

1

2

8

)(4

RL

P

RrL

P

v

v

z

z

2

12R

r

v

v

z

z

FLUIDO NEWTONIANO ESCOANDO ENTRE PLACAS PLANAS

E PARALELAS

Perfil de

velocidade

Perfil de

momento

71

FLUIDO NEWTONIANO ESCOANDO NA SEÇÃO ANULAR DE

DOIS TUBOS CONCÊNTRICOS

FLUIDO NEWTONIANO INICIALMENTE ESTAGNADO NA

SEÇÃO ANULAR DE DOIS TUBOS CONCÊNTRICOS

2y0

2y0

72

FLUIDO NEWTONIANO ESCOANDO EM UMA RAMPA

73

FLUIDO NEWTONIANO ESCOANDO VERTICALMENTE COM

UMA DAS PAREDES SE DESLOCANDO