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MATERIAIS MANIPULÁVEIS E ALGUMAS REFLEXÕES CONCEITUAIS
PARA O ENSINO E A APRENDIZAGEM DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO
DECIMAL
Flávia Cheroni daSilva Brita
Universidade Estadual de Maringá
João Cesar Guirado
Universidade Estadual de Maringá
Resumo Este pôster prevê uma sequência de atividades para o ensino e a aprendizagem do Sistema de
Numeração Decimal e as Operações Fundamentais, bem como recursos didáticos que podem
estimular e provocar o desenvolvimento do raciocínio lógico. Vem contemplar uma necessidade
vivenciada pelos professores de sexto ano do Ensino Fundamental, que com queixas frequentes,
admitem a dificuldade dos alunos no entendimento do Sistema de Numeração Decimal. Os
materiais manipuláveis contribuem, positivamente, favorecendo a aprendizagem destes
conteúdos. Trata-se de uma forma de iniciar o estudo dos conceitos, que a princípio assume
caráter manipulativo, de auxílio à compreensão e, gradativamente, vai se transformando em
abstrações. O material dourado é apontado como um ótimo recurso didático resolver
dificuldades de aprendizagem referentes ao sistema de numeração decimal e as operações
fundamentais. A intenção não é criar panaceia, mas mostrar que o material manipulável pode
motivar e, consequentemente, estimular a aprendizagem dos conteúdos matemáticos, revendo as
dificuldades de aprendizagem e tornando-as um caminho alternativo para superação do fracasso
escolar.
Palavras-chave: Educação Matemática. Materiais Manipuláveis. Sistema Numérico
Decimal. Operações Fundamentais.
A maior queixa é que os alunos chegam no 6˚ ano com muitas dificuldades nas
operações fundamentais. Este fato desencadeia uma discussão que leva a crer que
existem lacunas no entendimento do Sistema de Numeração Decimal. A hipótese é que
podem existir problemas de ordem primária, originários da falta de estímulos
relacionados à estrutura da ação mental. Por premissas piagetianas, essa estrutura é
verificada por testes. Nesse sentido, iniciar as atividades, com o que Piaget chama de
provas piagetianas, é fazer uma tentativa de resgate a estes estímulos, é buscar
alternativas para defasagens que interferem no entendimento das operações
fundamentais. De acordo com os pressupostos piagetianos, a criança passa por estágios
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de desenvolvimento cognitivo e muitas crianças não compreendem alguns conteúdos
porque não conseguem desfazer em pensamento alguma ação realizada concretamente.
E a situação é ainda mais agravante quando se ensina um conteúdo que é abstrato
demais, sem recursos concretos. Dessa forma, para diagnosticar problemas ocorridos
nos estágios pré-operatório e de operações concretas, essa teoria ressalta a importância
de perceber a defasagem de estímulos, na tentativa de compreender o processo mental
da criança e fazer as intervenções necessárias e pontuais. Os testes piagetianos são
atividades deste tipo e, embora mais utilizados por psicopedagogos, também podem
fazer parte do rol de atividades diagnósticas planejadas pelos professores. Trata-se de
estímulos necessários à compreensão dos conteúdos matemáticos e que, muitas vezes,
passam despercebidos e deixam de ser explorados e interiorizados pelas crianças.
Problemas de aprendizagem matemática estão relacionados, na maioria das vezes, à
falta de estímulos.
Tais estímulos, favorecem o entendimento para a alfabetização matemática
deste sistema, cheio de regras que necessita de maior cuidado para ser ensinado, para
que seja compreendido pelas crianças, na escola.
Na sequência, serão apresentadas algumas atividades, que podem contribuir com
a prática pedagógica de professores que trabalham com o Sistema de \numeração
Decimal:
1 Diagnóstico do SND
A pesquisadora Constance Kamii, da Faculdade de Educação da Universidade
do Alabama, discute questões relacionadas à compreensão do SND (Sistema de
Numeração Decimal) às quais associamos com a forma de registrar quantidades.
Esta atividade é uma avaliação diagnóstica para verificação do entendimento das
regras do SND, cujo desenvolvimento, foi inspirado em sugestão apresentada por
KAMII (2002) e é realizado, individualmente, pelos alunos, sem interferência do
professor.
Desenhe uma coleção com dezesseis objetos.
Escreva o número que representa a quantidade de objetos desenhados.
No desenho feito, grife o(s) objeto(s) que representa(m) o 1 do número
16.
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Circule o(s) objeto(s) que representa(m) o 6 do número 16.
Em relação ao segundo e ao terceiro itens, observa-se que, quando da aplicação
dessa atividade, inclusive para muitos adultos, as respostas mais comuns são as
retratadas na configuração a seguir:
Note que aqueles que não dominam o SND respondem que o 1 do número 16 é
o primeiro elemento do conjunto e o 6 do número 16 é o sexto elemento.
Em turmas em que tal situação ocorre, é salutar que o professor retome a
construção do SND, evitando assim que tal erro não volte a ocorrer.
2 Material Dourado
A ideia é utilizar o Material Dourado (MD), criado por Maria Montessori, uma
médica e educadora italiana que se preocupava com o processo de ensino e
aprendizagem, principalmente de crianças com necessidades especiais. Segundo Maria
Montessori, a criança tem necessidade de mover-se com liberdade dentro de certos
limites, desenvolvendo sua criatividade no enfrentamento pessoal com experiências e
materiais. Esta é a descrição do primeiro material dourado, pelas palavras de Maria
Montessori:
"Preparei também, para os maiorezinhos do curso elementar, um material
destinado a representar os números sob forma geométrica. Trata-se do
excelente material denominado material das contas. As unidades são
representadas por pequenas contas amarelas; a dezena (ou número 10) é
formada por uma barra de dez contas enfiadas num arame bem duro. Esta
barra é repetida 10 vezes em dez outras outras barras ligadas entre si,
formando um quadrado, "o quadrado de dez", somando o total de cem.
Finalmente, dez quadrados sobrepostos e ligados formando um cubo, "o
cubo de 10", isto é, 1000. Aconteceu de crianças de quatro anos de idade
ficarem atraídas por esses objetos brilhantes e facilmente manejáveis. Para
surpresa nossa, puseram-se a combiná-los, imitando as crianças maiores.
Surgiu assim um tal entusiasmo pelo trabalho com os números,
particularmente com o sistema decimal, que se pôde afirmar que os
exercícios de aritmética tinham se tornado apaixonantes". (Disponível em:
<http://www.educar.sc.usp.br/matemática/mod2.htm>. Acesso em: 06 nov.
2012.)
Essas contas douradas acabaram se transformando neste material em madeira
que hoje é conhecido e comercializado por Material Dourado.
Ele tem a seguinte representação:
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Cubo Placa Barra Cubinho
1 milhar ou 1 centena ou 1 dezena 1 unidade
10 centenas ou 10 dezenas ou 10 unidades
100 dezenas ou 100 unidades
1000 unidades
Conforme a ilustração, observa-se a semelhança com o SND, que funciona com
agrupamentos de dez, ou seja, a cada dez, troca-se pela “casa” posicional,
imediatamente superior. Esse número dez é chamado base do sistema. É posicional, isto
é, o valor de um algarismo é determinado pela posição que ocupa no numeral.
A primeira atividade com material dourado é destinada ao conhecimento
histórico do sistema de numeração decimal e do material dourado. O objetivo é
conhecer a história de maneira lúdica e atrativa. Nada muito aprofundado, apenas o
suficiente para a idade em que os alunos se encontram. Para isso, o professor da turma
(narrador) utilizará quatro fantoches (Mariana, mãe de Mariana, professora de Mariana
e Carlinhos), que dialogam, conforme sugestão a seguir:
2.1 Teatro de fantoches
Narrador: Mariana chega da escola muito feliz e conta para sua mãe tudo o que
aprendeu.
Mariana: - Mamãe, nós estamos estudando sobre o sistema de numeração decimal!
Você sabia que antigamente os homens não sabiam escrever números e também não
sabiam dizer quantos objetos ou animais eles possuíam, quando a quantidade era muito
grande? Minha professora falou que para a contagem eles, provavelmente, utilizavam
pedrinhas. Para isso, a cada ovelha que saía para pastar, o dono colocava uma
pedrinha dentro de um saquinho. No fim do dia, a cada ovelha que entrava no abrigo,
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ele retirava do saquinho, uma pedrinha. Dessa forma, ele conseguia saber se todas as
ovelhas retornaram ao abrigo ou se ainda havia alguma fora.
Narrador: A mãe encantada diz:
Mãe de Mariana: - Que bom minha filha! Vejo que você é uma aluna atenciosa, porque
aprendeu muita coisa referente à história dos números.
Narrador: E Mariana continua:
Mariana: - Ah, e eu também aprendi que quem criou este nosso conjunto de símbolos e
regras, que são os números que usamos hoje para contar e fazer os cálculos, foram os
indianos, há mais de 1 400 anos.
Narrador: E a mãe de Mariana acrescenta:
Mãe de Mariana: - Agora eu vou te ensinar uma coisa, minha filha! Pedrinha em latim
quer dizer cálculo e até hoje usamos essa palavra com significado de pedra. Por
exemplo, quando dizemos que alguém está com cálculo renal, isso quer dizer que ela
está com pedra no rim.
Narrador: Mariana sorri e diz empolgada:
Mariana: - Nossa! Que legal mamãe! Amanhã vou contar isso para minha professora.
Narrador: No outro dia, Mariana vai para a escola entusiasmada para contar o que
sua mãe falou sobre o cálculo renal. Chegando lá contou para sua professora Marta
que adorou a história e contou para as outras crianças. A professora continuou a aula
falando:
Professora de Mariana: - Como estamos estudando o Sistema de Numeração Decimal,
vamos usar o Material Dourado (e o exibiu aos alunos).
Mariana: - Professora, eu acho que a senhora não conhece as cores, pois esse material
não tem nada de dourado!
Narrador: Mas a professora foi logo explicando:
Professora de Mariana: - Crianças! Este material foi criado por uma médica e
educadora italiana chamada Maria Montessori. Ela se preocupava muito com a
aprendizagem das crianças na escola, principalmente aqueles com necessidades
especiais.
Narrador: Um grito no fundo da sala revela uma inquietação de Carlinhos.
Carlinhos: - Professora, o que é necessidade especial?
Narrador: E a professora atenciosamente responde:
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Professora de Mariana: - Muito boa sua pergunta Carlinhos! Isso quer dizer que uma
determinada criança pode precisar de mais ajuda do que outra, de um atendimento
especial e diferenciado, por causa de alguma limitação. São as pessoas portadoras de
deficiência física ou intelectual, mas que hoje em dia não são chamadas de deficientes e
sim pessoas com necessidades especiais.
Narrador: E continua a professora:
Professora de Mariana: - Então...essa médica fez o Material Dourado para trabalhar
com crianças com necessidades especiais. Quando ela o criou, ele era feito de contas
douradas, daí o seu nome. Observando que o material deu certo para o ensino do
sistema de numeração decimal, as escolas regulares passaram a utilizá-lo e daí passou
a ser industrializado em madeira.
Carlinhos: - O que isso tem a ver com os números, professora?
Narrador: E a professora explica:
Professora de Mariana: - Tem tudo a ver Carlinhos, pois este material apresenta as
peças de acordo com as regras do sistema de numeração decimal. Por exemplo, o
cubinho representa a unidade; a barrinha representa a dezena; a placa representa a
centena e o cubo grande representa a unidade de milhar. Que tal vocês brincarem um
pouquinho com o material dourado para perceber e sentir as propriedades?
Narrador: Neste momento cria-se um espaço para o jogo livre e os personagens do
teatro se despedem.
Figura 1: Sugestão de "casinha de fantoches"
2.2 Ábaco pedagógico de metal e peças do Material Dourado com imã
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Para o sucesso da utilização do material dourado, e de acordo com experiências
de sala de aula, sugere-se que, depois do teatro de fantoches, seja produzido, um
modelo de ábaco que facilita o encaminhamento das atividades com este material
manipulável. Para isso, é necessário construir um ábaco pedagógico feito com placa
retangular de metal e material dourado com imã. É um recurso excelente para o trabalho
em sala de aula, pois as peças ficam visíveis e as atividades mais compreensíveis. Eis o
MD (material dourado) preparado com imã em uma das faces e o Ábaco Pedagógico de
Metal de dimensões 90cm x 60cm:
Figura 2: Material Dourado com imã e ábaco de metal (Fonte Própria)
2.3 Ábaco de Sulfite
Também é um encaminhamento metodológico necessário para esta prática, a
construção, pelo aluno, de um ábaco feito com sulfite, para que possam manusear as
peças e organizá-las melhor.
Com o sulfite na horizontal, dobrar ao meio, obtendo um eixo de simetria.
Em seguida, dobrar novamente, dividindo a folha em quatro partes iguais.
Usar canetinhas e régua para que o ábaco fique com a seguinte configuração:
CUBO
Unidade
de milhar
PLACA
Centena
BARRA
Dezena
CUBINHO
Unidade
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No entanto, esse não é o único, pois existem outros tipos de ábaco, entre eles o
ábaco aberto que também é indicado para ensinar o SND.
2.4 Ábaco aberto
É válido e oportuno lembrar que existe uma sequência didática que valoriza o
trabalho com o SND e materiais manipuláveis. Após utilização do material dourado, é
necessário oportunizar maiores abstrações pelas crianças, mostrando no ábaco aberto
que os números não são diferentes, porém dependendo do lugar em que está, assume
valores distintos. É importante ressaltar que para o trabalho com ábaco aberto, os
canudinhos ou varetas devem ser da mesma cor. Não faz sentido usar cores diferentes,
uma vez que o sistema é posicional e não é a cor que define a ordem na representação
numérica.
O ábaco aberto pode ser confeccionado pelo professor, com baixo custo, quando
se utiliza caixa de sapato, cilindros de papelão (obtidos de rolos de papel higiênico,
papel toalha, contact e outros) e palitos de churrasco ou canudinhos de mesma cor.
Veja um exemplo:
Figura 3: Ábaco aberto (Fonte Própria)
No decorrer desta sequência de atividades, outros materiais manipuláveis serão
utilizados, como forma de exercitar o raciocínio lógico. Na dimensão psicológica do
conhecimento matemático, estudado por Piaget, este é o conhecimento lógico-
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matemático que aparece juntamente com o conhecimento físico e o social. É importante
conhecer a natureza do conhecimento matemático, para conseguir usar estratégias
metodológicas que possam auxiliar o processo de assimilação. Dentre muitos materiais
desta natureza, destacam-se a Torre de Hanói e os Blocos Lógicos de Dienes.
3 Torre de Hanói
A Torre de Hanói , também conhecida como Torre de Lucas, é um quebra-
cabeça criado por Édouard Lucas, composto por uma base com três pinos. Em um
desses pinos são dispostos discos sobrepostos em ordem decrescente de diâmetro. Sua
origem está associada a uma lenda para construir o jogo das Torres de Hanói, em 1883,
e seu nome foi inspirado na torre símbolo da cidade de Hanói, no Vietnã. Trata-se de
um desafio que consiste em passar todos os discos de um pino para outro, de forma que
não saia da ordem decrescente de diâmetro. O número de discos pode variar,
dependendo da idade e do grau de habilidade com o quebra-cabeça. É um recurso
didático usado para desenvolver o raciocínio lógico e para otimizar a resolução de
problemas. Dessa forma, pode contribuir com a prática pedagógica, proporcionando
uma ação docente lúdica, atraente, motivadora e com objetivos educacionais voltados
para a atenção, concentração, iniciativa, tomada de decisões, visão estratégica, entre
outras ações necessárias para a formação do educando, enquanto ser participativo e
atuante na realidade em que está inserido.
Segundo estudos realizados por Shine (Disponível em:
<http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/hanoi.pdf>.
Acesso em: 16 nov. 2012), para solucionar um quebra-cabeça contendo sessenta e
quatro discos, são necessários 18.446.744.073.709.551.615 movimentos.
Para entender a lógica da Torre de Hanói é necessário analisar a construção
de diferentes níveis da torre com o número mínimo de movimentos, tendo o
nível anterior já formado, sendo que esses níveis são o número de peças
desintegradas da torre original que irão formar outra torre com os menores
discos. Para mover o primeiro disco da torre original, 1 movimento é gasto.
Para mover o segundo da torre original, sendo que o primeiro já foi movido e
será construída uma torre com os 2 menores discos, são gastos 2 movimentos.
Para deslocar o terceiro disco formando nova torre com os três menores
discos, tendo a torre com os dois menores já formada, são gastos 4
movimentos. Assim se sucede com os próximos discos até que o enésimo
disco (o último) seja deslocado compondo uma torre com os outros discos
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tendo uma torre com o penúltimo disco e os demais juntos já formada. A
sucessão formada pela soma dos movimentos é uma sucessão (1, 2, 4, 8, 2n)
.
(Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Torre_de_Han%C3%B3i>.
Acesso em: 16 nov. 2012.)
Figura 4: Torre de Hanói em madeira (Fonte Própria)
4 Blocos Lógicos
Os Blocos Lógicos foram divulgados pelo professor Zoltan Paul Dienes. Ele
defende o uso de materiais manipuláveis para auxiliar no processo de abstração. Toledo
& Toledo (1997) afirmam que “na maioria das vezes, os blocos lógicos não são
aproveitados em toda a sua potencialidade”. Em geral, são usados apenas por
professores da Educação Infantil, no entanto é um excelente recurso didático para
trabalhar o raciocínio lógico em qualquer série. Sua prática constante melhora a atenção,
a concentração, a agilidade, a discriminação visual e auditiva, a percepção, entre outras
atitudes pedagógicas necessárias à assimilação dos conteúdos e ao bom desempenho
escolar.
São coleções de peças, geralmente em madeira, com quatro atributos diferentes:
cor, forma, tamanho e espessura. Esses atributos variam em três cores (vermelho,
amarelo e azul), em quatro formas (quadrada, retangular, triangular, circular), em dois
tamanhos (grande e pequena) e em duas espessuras (grossa e fina). Pelo princípio
fundamental da contagem, o número total de peças é 3 x 4 x 2 x 2 = 48 peças.
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Figura 5: Blocos Lógicos e Fichas dos atributos (Fonte Própria)
Para a realização de atividades com blocos lógicos, é necessária a confecção de
fichas ou dados contemplando os atributos do material. Em praticamente todas as
atividades, de caráter lúdico, o encaminhamento é realizado por meio deste material de
apoio. De acordo com Moran:
Um dos grandes desafios para o educador é ajudar a tornar a informação
significativa, a escolher as informações verdadeiramente importantes entre
tantas possibilidades, a compreendê-las de forma cada vez mais abrangente e
profunda e a torná-las parte do nosso referencial (MORAN, 2012, p.23).
Os jogos propiciam o desenvolvimento da autonomia, da linguagem, da
criatividade, da interação social, além de outras habilidades. Jogar desperta o interesse,
pois não é uma imposição, é um desejo. No que se refere ao desenvolvimento cognitivo,
os jogos de regras são ações que levam à resolução de problemas. Articulado aos jogos,
estão os materiais manipuláveis (“concretos”), que facilitam a compreensão dos
conteúdos envolvidos nos jogos, neste caso, o SND e as Operações Fundamentais. São
estratégias que facilitam a ação pedagógica, estimulam as conjecturas e levam à
abstração. O professor precisa ter o cuidado de proporcionar a passagem das ações
concretas para a abstração dos conceitos. Essa ação docente precisa ser cuidadosamente
planejada e não pode deixar de ser efetivada. Os jogos e os materiais manipuláveis, por
si mesmos, colaboram para que este processo aconteça com naturalidade.
REFERÊNCIAS
ALVES, Eva Maria Siqueira. A ludicidade e o ensino da matemática. 4. ed.
Campinas: Papirus, 2001.
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KAMII, Constance. Aritmética: novas perspectivas: implicações da teoria de Piaget.
3.ed. Campinas: Papirus, 1994.
LORENZATO, Sérgio. O laboratório de ensino de matemática na formação de
professores. São Paulo: Autores Associados, 2009.
MORAN, José Manoel; MASETO, Marcos T.; BEHRENS, Marilda Aparecida. Novas
tecnologias e mediação pedagógica. 19. ed. Campinas: Papirus, 2012.
TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática de matemática: como dois e dois: a
construção da matemática. São Paulo: FTD, 1997.
Disponível em: <http:www.educar.sc.usp.br/matemática/mod2.htm>. Acesso em: 06
nov. 2012.
Disponívelem:<http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/
hanoi.pdf>.Acesso em 16 nov. 2012.)
