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A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA NO DESENVOLVIMENTO DO

PENSAMENTO ALGÉBRICO

Elisangela Cristina Perugini Mazaro

elisangelacpm@gmail.com

Magna Natalia Marin Pires

magnapires@yahoo.com.br

LINHA DE PESQUISA Educação Matemática nas Séries Finais do Ensino Fundamental

RESUMO O Estado do Paraná elaborou um programa de formação continuada para professores da rede pública, denominado PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional, no qual o professor elabora e aplica um projeto com vistas à melhoria na qualidade da educação. Neste trabalho, para superar a aprendizagem mecânica e proporcionar um melhor entendimento da Matemática, especificamente com relação à Álgebra, foram aplicadas atividades de Investigação Matemática numa turma de quinta série com o objetivo de desenvolver o pensamento algébrico dos alunos, preparando-os para uma futura apropriação da linguagem algébrica.

Palavras-chave: Álgebra. Pensamento Algébrico. Investigação Matemática. Educação Matemática.

1 INTRODUÇÃO:

Nesta proposta, serão apresentados os resultados da aplicação de um projeto de

estudos do PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional. O Programa é desenvolvido

em parceria com Instituições Públicas de Ensino Superior do Paraná, proporcionando uma

integração entre a formação inicial e a formação continuada do professor. Juntamente com

um professor orientador da IES, o professor da rede pública elabora um projeto e aplica-o

em sua escola de atuação. Optando por um tema de estudo, o professor PDE elabora, além

do projeto de intervenção, um material(s) didático(s) para uso nas escolas e torna-se tutor

dos chamados GTR - Grupos de Trabalho em Rede - no qual, na modalidade de Educação

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à Distância, atende a outros colegas da rede pública e conta com a colaboração dos

mesmos para o enriquecimento de sua proposta.

Como trabalho final, é elaborado um Artigo Científico enviado à Secretaria de

Estado de Educação, que apresenta os resultados e uma discussão apoiada numa teoria.

Este artigo relata a aplicação de algumas atividades de investigação matemática a

uma turma de quinta séria, visando o desenvolvimento do pensamento algébrico. Nesta

oportunidade, serão expostos resultados da aplicação de duas destas atividades.

2 INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA:

A estratégia metodológica da investigação matemática foi escolhida como uma

maneira de superar a aprendizagem puramente técnica e mecânica da Matemática por

considerar que o aluno se envolve ativamente no estudo e na resolução das atividades

apresentadas, favorecendo o desafio e a descoberta.

O conceito de investigação matemática, como atividade de ensino-aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito de atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com seus colegas e o professor. ((PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 23)

As tarefas investigativas apresentam esse caráter desafiador, estimulando a

criatividade, a reflexão e o trabalho em grupo.

A investigação matemática envolve um processo com quatro fases principais:

Exploração e formulação de questões Reconhecer uma situação problemática

Explorar a situação problemática Formular questões

Conjecturas Organizar dados Formular conjecturas (e fazer afirmações

sobre uma conjectura) Teste e reformulação Realizar testes

Refinar uma conjectura

Justificação e avaliação Justificar uma conjectura Avaliar o raciocínio ou o resultado do

raciocínio

Fonte: PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 21

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A Investigação Matemática favorece a socialização, a integração, a troca

idéias, criando um ambiente democrático, no qual o aluno tem a liberdade de expor suas

idéias e resoluções aos colegas e ao professor. Isso representa uma mudança no cenário

mais tradicional de uma aula de matemática.

Há diferentes aspectos envolvidos no processo de mudança de paradigma de exercícios1 para os cenários para investigação. Os padrões de comunicação podem mudar e abrir-se para novos tipos de cooperação e para novas formas de aprendizagem. [...] Em particular, estamos interessados na possibilidade de os alunos participarem ativamente do seu processo de aprendizado. Tanto o professor quanto os alunos podem ser acometidos por dúvidas quando chegam a trabalhar num cenário de investigação, sem a proteção de “regras” de funcionamento bem conhecidas do paradigma do exercício. Assim, deixar o paradigma do exercício significa também deixar uma zona de conforto e entrar numa zona de risco. Quais são os possíveis ganhos do trabalho numa zona de risco associada a um cenário para investigação? Vemos que isso está intimamente relacionado com o surgimento de novas possibilidades de envolvimento dos alunos, de padrões de comunicação diferentes e, consequentemente, novas qualidades de aprendizagem. (ALRO, SKOVSMOSE, 2006, p. 58)

3 PENSAMENTO ALGÉBRICO:

A aprendizagem mecânica, repetitiva, técnica e baseada puramente no simbolismo

formal, tem feito do ensino da Álgebra motivo de frustração tanto para professores quanto

para alunos. Essa forma de ensino e aprendizagem está muito atrelada ao ensino

tradicional, onde a matemática se apresenta como um conjunto de verdades imutáveis e

que devem ser aprendidas por pura repetição.

. O que se entende por Educação Matemática tradicional é algo que muda com o tempo e varia de país para país. Assim, é difícil caracterizar o que vem a ser “tradição” em Educação Matemática. Queremos sugerir, entretanto, que o ensino de Matemática tradicional é caracterizado por certas formas de organização de sala de aula. Por exemplo, nesse modelo, as aulas costumam ser divididas em duas partes: primeiro, o professor apresenta algumas idéias e técnicas matemáticas, geralmente em conformidade com o livro-texto. Em seguida, os alunos fazem alguns exercícios pela aplicação direta das técnicas apresentadas. O professor confere as respostas. Uma parte essencial do trabalho de casa é resolver exercícios do livro. Há variações possíveis no tempo gasto com a parte expositiva e com a resolução dos exercícios. Outros elementos podem ser

1 Exercícios preestabelecidos, preparados por autoridades externas à sala de aula, sem justificativa para sua relevância. (ALRO, SKOVSMOSE, 2006)

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combinados com esse modelo, por exemplo, os alunos podem apresentar pequenos seminários ou exercícios resolvidos. (ALRO, SKOVSMOSE, 2006, p. 51)

Talvez um dos grandes problemas seja no próprio entendimento do que é a

álgebra, já que a maioria dos educadores prioriza apenas o uso de sua linguagem,

considerando-a restritamente como o “uso de letras” na matemática.

Alguém que acredite que a atividade algébrica se resume a um “cálculo com letras”, pode propor o que para a sala de aula? Talvez adote, seguindo algumas péssimas idéias encontradas em propostas para a educação aritmética, a prática de utilizar a “seqüência” técnica (algoritmo)/prática (exercícios). Com toda a franqueza, isso é praticamente tudo o que encontramos na quase total maioria dos livros didáticos disponíveis no mercado brasileiro, e essa é uma situação bastante ruim. O que é, talvez, até pior é que essa prática não se baseia em uma investigação ou reflexão de qualquer natureza ou profundidade, apenas em uma tradição, tradição esta que estudos e projetos de todos os tipos, e por todo o mundo – inclusive no Brasil – já mostraram ser ineficaz e mesmo perniciosa à aprendizagem. (LINS; GIMENEZ, 2005, p. 105, grifos do autor)

Diante desta realidade, é necessário pensar em uma forma diferente de abordagem

deste conteúdo tão importante dentro da Matemática, mas ao mesmo tempo tão

incompreendido. O conceito de Álgebra é muito abrangente e possui uma linguagem permeada por convenções diversas de modo que o conhecimento algébrico não pode ser concebido pela simples manipulação dos conteúdos abordados isoladamente. Defende-se uma abordagem pedagógica que os articule, na qual os conceitos se complementem e tragam significado aos conteúdos abordados. (PARANÁ, 2009, p.52)

Tradicionalmente, o ensino de álgebra tende a considerar uma determinada faixa

etária ou série em que o aluno apresentaria um nível de maturidade ideal para a

aprendizagem, promovendo uma ruptura entre aritmética e álgebra.

Quando dissemos que a diferença entre álgebra e aritmética era de tratamento, de foco, estávamos sugerindo não apenas que uma se beneficia da outra, como também que uma depende da outra. O problema que aparece em tal formulação é o tradicional “do ovo ou da galinha”: Por onde começamos? A “sabedoria” tradicional, o senso comum da educação matemática, diz, como já sabemos, que é “óbvio” que começamos pela aritmética. Parece-nos, no entanto, que na há nada de óbvio nessa afirmação: [...] o óbvio aqui não parece ser mais do que a tradição vestida de razão. (LINS; GIMENEZ; 2005, p. 113, grifo do autor)

Muitas pesquisas apontam para a necessidade de se iniciar o estudo de álgebra

mais cedo, pois aritmética e álgebra devem ser trabalhadas juntas, como apresentam Lins e

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Gimenez (2005, p. 10) ao afirmarem que “é preciso começar mais cedo a trabalhar com

álgebra, e de modo que esta e a aritmética desenvolvam-se juntas, uma implicada no

desenvolvimento da outra”.

Partindo deste princípio, pode-se considerar então a possibilidade de se trabalhar a

educação algébrica em séries anteriores ao período em que os programas curriculares

normalmente a iniciam. Obviamente que não se deve apresentar conceitos formais, como,

por exemplo, a definição de incógnitas e variáveis para crianças menores. Mas podem ser

realizadas atividades que buscam desenvolver o pensamento algébrico.

Se não há o domínio da linguagem algébrica formal, como caracterizar o chamado

pensamento algébrico?

Para Fiorentini, Miorim e Miguel (1993, p 87) alguns elementos representam

características do pensamento algébrico, tais como: “percepção de regularidades,

percepção de aspectos invariantes em contraste com outros que variam, tentativas de

expressar ou explicitar a estrutura de uma situação-problema e a presença do processo de

generalização.” Esses elementos constituem-se de importante ferramenta para que o aluno

perceba o real significado da utilização da álgebra com a utilização, ou não, de uma

linguagem simbólica.

Sendo assim, nada impede que o pensamento algébrico seja trabalhado em séries

iniciais. Embora os alunos desta fase escolar não tenham ainda domínio da linguagem

algébrica formal, podem desenvolver apenas o raciocínio algébrico.

O pensamento algébrico nos primeiros anos de escolaridade envolve o desenvolvimento de maneiras de pensar em actividades em que o símbolo-letra da Álgebra pode ser usado como ferramenta, que não é exclusiva da Álgebra, e que podem ser realizadas sem usar qualquer símbolo-letra da álgebra, tais como analisar relações entre quantidades, perceber estruturas, estudar a mudança, generalizar, resolver problemas, modelar, justificar e prever.(KIERAN apud BRANCO, 2008, p. 4)

Para as séries iniciais, não acostumadas ao termo Álgebra e nem às formalizações

que competem a ela, algumas características do Pensamento Algébrico são importantes

precursoras da apropriação da linguagem formal da álgebra, quando os alunos:

identificam ou criam padrões numéricos e geométricos; descrevem padrões verbalmente e representam-nos por meio de tabelas

ou símbolos;

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procuram e aplicam relações entre quantidades variáveis, para fazerem previsões;

fazem e explicam generalizações que aparentam ser sempre válidas em determinadas situações;

utilizam gráficos para descrever padrões e fazer previsões; exploram propriedades dos números; usam notações inventadas por eles, símbolos convencionais e variáveis

para representar um padrão, uma generalização ou uma situação. (PORTUGAL, 2008, p. 183)

4 DESENVOLVIMENTO

A proposta do PDE, além de proporcionar formação continuada ao professor, tem

como objetivo desenvolver um projeto que colabore com um ensino de qualidade. Para isso

foram escolhidos como tema o Pensamento Algébrico com a utilização da estratégia

metodológica da Investigação Matemática.

Foram selecionadas onze tarefas de investigação matemática que foram aplicadas

numa turma de quinta série (sexto ano) do ensino fundamental no segundo semestre de

2010.

Para este artigo foram escolhidas duas atividades:

a primeira envolve máquinas transformadoras que operam com números com

objetivo de fazer com que as crianças estabeleçam relações entre quantidades e

desenvolvam intuitivamente a idéia de funções e variáveis;

a segunda envolve uma estória com duas meninas e um cofrinho com o objetivo de

trabalhar informalmente a noção de equação.

4. 1 Tarefa: Máquinas de transformação2

2 Atividade adaptada de Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico (FIORENTINI, D.; FERNANDES, F. L. P.; CRISTOVÃO, E. M., p. 13, 2005)

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Veja a conversa entre Caio e Bia:

Caio então mostrou o que a máquina fez com o número 2 transformando-o em 6 e o 4

transformando-o em 12:

2

4

Que operação Bia descobriu que a máquina fez com os números?

Caio aprimorou as máquinas e agora elas podem fazer mais de uma operação. Descubra o que

as “máquinas transformadoras” fizeram com os números em cada situação:

a) 4 8

Ei Bia! Acabei de inventar uma máquina

que transforma números. Ela faz uma

operação e dá o resultado. Você vai ter

que adivinhar o que ela fez!

Lá vem o Caio com as

suas idéias! Pensa

que vai me pegar,

mas vai ser moleza!

6

Ah, já descobri!

Essa foi fácil!

7 15

12

8

b) 5

Esta tarefa foi realizada em duplas. Os alunos ficaram bastante interessados em

descobrir o que as máquinas faziam para transformar os números.

A primeira questão que transformou 2 em 6 e 4 em 12, foi de fácil compreensão,

pois rapidamente os alunos perceberam que as máquinas “transformaram o número”

multiplicando-o por três.

Porém, algumas crianças tiveram dificuldade em descobrir a operação que a

máquina fez com os números ou simplesmente não conseguiram distinguir entre dobro e

triplo.

Veja o diálogo sobre a questão acima apresentada por uma das equipes para a

primeira questão da atividade:

Prof: Será que é o dobro mesmo? O que você entende como sendo “dobro” de

uma quantidade?

Aluno: Eu entendo que é a quantia vezes dois.

17 8

2

9

Prof: Ah, muito bem! Vamos ver então: dobro de dois é duas vezes dois, certo?

Aluno: Certo!

Prof: Então, duas vezes dois é seis? E quatro vezes dois é doze?

Aluno: Não é não! Temos que pensar melhor.

As situações seguintes apresentaram-se um pouco mais complexas, pois exigiam

que o aluno pensasse em mais de uma operação.

Na situação “a” a máquina multiplica o número por 2 e subtrai 1 do resultado. Na

situação “b” o número é multiplicado por 3 e soma-se o resultado com 2.

Para Lins e Gimenez (2005), resolver as operações por tentativas dos números

apresentados seria o pensar aritmeticamente, como nos exemplos a seguir:

Questão “a” Questão “b”

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Ao descrever as operações envolvidas, desvinculando-se parcialmente das

máquinas e pensando no caráter operatório, estaria o pensar internamente (LINS,

GIMENEZ, 2005).

Questão “a” Questão “b”

A descrição em linguagem verbal das operações realizadas pelas máquinas,

explicitando a compreensão das relações entre as quantidades variáveis podendo fazer

previsões com outros números diferentes dos apresentados na atividade, representa

características do pensamente algébrico ( PORTUGAL, 2008).

Há aqui também a generalização de um padrão (FIORENTINI, MIORIM E

MIGUEL, 1993) quando se percebe que as operações são as mesmas para diferentes

números.

Uma das equipes apresentou um raciocínio diferente no reconhecimento do

padrão de transformação nas máquinas nas questões “a” e “b” que pode ser notado pelo

diálogo:

Prof: Vocês estão consultando uma “tabuada” para prever os resultados?

Aluno: Sim, professora. Na letra “a”, a gente olha na tabuada e os resultados mais

próximos são da tabuada do dois que é o oito e o dezesseis, só que tem um a menos.

Prof: Ah, muito bem! Então como a máquina faz para chegar no resultado final.

Aluno: Ela pegou o quatro fez vezes dois menos um que deu sete. E fez a mesma coisa

com o oito.

Prof: E a máquina na situação “b”? Como você descobriu pela tabuada, o que ela fez?

Aluno: O resultado é mais próximo da tabuada do três só que faltando dois. Por exemplo:

cinco vezes três é quinze e falta dois para dezessete e duas vezes três é seis e falta dois para

oito.

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Há a percepção de quantidades variáveis (o número a ser transformado) e aquelas

que não variam (como na máquina da situação “a” que sempre se multiplica por 2 e

subtrai-se 1) isso representa o pensamento algébrico caracterizado por Fiorentini, Miorim e

Miguel (1993).

Descrição da questão “a”: Descrição da questão “b”:

Embora a maioria das equipes tenha conseguido atingir, de uma forma ou outra,

os objetivos da tarefa, algumas apresentaram dificuldades especialmente nas situações “a”

e “b”, quando a máquina deveria fazer duas operações com os números.

Essa dupla, por exemplo, não soube distinguir entre “soma” e “multiplicação”.

Esta outra dupla nem especificou o “número” pelo qual a máquina deveria

“dividir” a quantidade a ser transformada.

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Todos esses erros foram depois percebidos e corrigidos durante a reflexão e

debate com turma toda. Percebeu-se assim que muitas crianças desta turma não tinham

paciência para estudar as situações apresentadas. Eles preferiam terminar rapidamente as

atividades respondendo com aquilo que entendiam na primeira impressão. No decorrer das

resoluções, eles foram compreendendo que precisavam estar mais atentos e dispor de mais

tempo e envolvimento para poder apresentar bons resultados. Esse é mais um ponto

positivo da Investigação Matemática.

4.2 TAREFA: DINHEIRO NO COFRINHO3

Bia e sua irmã Carol têm um cofre cada uma. No domingo, ambas tinham a mesma quantidade

de dinheiro no seu cofrinho. Na segunda-feira, a sua avó veio visitá-las e deu 3 reais para cada

uma delas. Na terça-feira elas foram juntas à livraria. Bia gastou 3 reais com adesivos e Carol

gastou 5 reais em uma agenda. Na quarta-feira Carol ganhou 4 reais por ajudar seu tio no

mercadinho e Bia também ganhou 4 reais por cuidar do bebê da vizinha. Elas então correram

para guardar o dinheiro no cofrinho. Na quinta-feira, Bia abriu seu cofrinho e descobriu que

tinha 9 reais.

a) É possível descobrir quanto tinha cada uma no Domingo? Por quê?

b) De que maneira podemos descobrir quanto Carol tinha na quinta-feira?

Para realizar esta atividade, foram formadas equipes com três a quatro alunos. Foi

entregue a tarefa, deixando que cada grupo fizesse a leitura. Porém, houve bastante

dificuldade no início. Eles entenderam que seria necessário ler o enunciado mais de uma

vez para compreender o problema.

A maioria dos grupos resolveu por tentativas.

3 Atividade adaptada do artigo Can Young Students Operate On Unknowns? (CARRAHER, D.;

SCHLIEMANN, A. D.; BRIZUELA, B. M., 2001).

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Mesmo resolvendo por tentativas, algumas equipes apresentaram raciocínios bem

interessantes respondendo à primeira pergunta:

Prof: Observando as suas contas, vocês estão testando várias hipóteses?

Aluno: Nem precisou fazer muitas contas, professora.

Prof: Por quê?

Aluno: A gente fez primeiro com um real e nós descobrimos que no final dava cinco reais,

então só precisava aumentar quatro reais para chegar a nove reais. Daí, fizemos as contas

aumentando quatro reais também no começo, o que deu cinco reais.

Poucos alunos resolveram utilizando as operações inversas, demonstrando assim

um pensamento algébrico mais elaborado.

Não houve utilização de nenhum símbolo para representar o valor inicial, embora

a equipe que utilizou as operações inversas percebeu que, de certa forma, poderia ter

utilizado algo para representar o valor desconhecido.

Segundo Kieran (apud BRANCO, 2008) perceber a estrutura de um problema,

prevendo e justificando os resultados é uma forma de demonstrar o raciocínio algébrico.

No exemplo abaixo, para responder à pergunta “b”, o aluno somou todos os

ganhos e depois subtraiu o gasto, demonstrando um raciocínio elaborado.

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`

Outra equipe, respondendo à pergunta “a”, observou que, se Bia ganhou três

reais e, em seguida, gastou três reais, então houve a compensação e não alteraria o valor

inicial. Bastaria apenas subtrair quatro reais dos nove no final.

Essa percepção da estrutura de um problema também está caracterizado por

Fiorentini, Miorim e Miguel (1993).

Vejamos o que duas das equipes responderam na pergunta “b”, utilizando a

linguagem corrente, mas relacionando “o que ganhou” com adição e “o que gastou” com

subtração:

Grupo 1:

Grupo 2:

Para Lins e Gimenez (2005) essa atividade leva a uma forma de pensar

aritmeticamente, pois prioriza operações com números, neste caso a quantidade em reais,

mas com intenção de dar significado à relação algébrica implícita na situação apresentada.

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Uma das equipes colocou os dados do problema em forma de tabela:

Nesta tabela há algumas indicações utilizando letras, como os dias da semana,

valores gastos (g) e valores que as meninas possuíam (t de “tinham”). Por meio da tabela,

essa equipe também percebeu que “ganhar três reais” e “gastar três reais” não apresentava

alteração ao valor inicial.

Segundo Portugal (2008), quando a criança usa de algum tipo de linguagem, não

necessariamente a algébrica, como, por exemplo, utilizando-se de palavras para expressar

uma situação, ela pode estar, dentro de um contexto, explicitando seu raciocínio algébrico.

Os grupos se interessaram bastante por este problema, pois, depois de

compreenderem bem o que estava sendo pedido, não demoraram a resolvê-lo. A

apresentação final das diversas conjecturas foi motivo de bastante reflexão para toda a

turma que apreciou as diversas formar de resoluções dos colegas.

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS:

Iniciativas governamentais como o PDE, deveriam ser muito valorizadas pelo

poder público, pois possibilitam ao professor se afastar de sua rotina escolar para poder se

aprofundar em seus estudos. Esta foi uma oportunidade ímpar para retornar ao ambiente

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universitário e, além de proporcionar contato com pesquisas acadêmicas, oportunizou

momento de reflexão sobre a prática pedagógica em sala de aula.

Um dos propósitos deste projeto é viabilizar maior qualidade no ensino público

por meio da aplicação de um projeto em sala de aula. Para isso, foi escolhida uma turma de

quinta série (sexto ano) com trinta e seis alunos. Essa turma foi muito participativa. Todos

queriam expor seu ponto de vista. Isso gerou um ambiente mais democrático em sala de

aula.

Porém, sempre que se muda a dinâmica usual de sala de aula, o professor obriga-

se a sair de sua “zona de conforto”, pois muda os padrões de comunicação em sala. O

mesmo acontece com os alunos que estão sempre acostumados com o professor indicando

a forma de resolução da atividade explicando passo a passo ou resolvendo um exemplo que

serve de modelo para vários exercícios parecidos.

Alguns pontos dificultaram a realização das investigações:

demora na formação de grupos e duplas, especialmente nas primeiras atividades,

pois a turma era bastante agitada;

número grande de alunos na turma, o que dificultava o atendimento a todos os

grupos ou duplas;

tempo reduzido das aulas;

dificuldade das crianças em redigir os relatórios escritos.

No entanto, os objetivos principais da proposta foram atingidos. Em geral, as

crianças gostaram bastante de investigar, trabalhar em grupo ou dupla e ficaram

extremamente felizes com suas descobertas.

As características principais do desenvolvimento do pensamento algébrico foram

identificadas nas atividades. Isso comprova que podermos trabalhar com tarefas deste tipo

com crianças de quinta série e até mesmo das séries iniciais.

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A Investigação Matemática mostrou-se uma estratégia eficiente, muito embora

precise ser mais trabalhada para que alunos e professores habituem-se a este tipo de

atividade.

REFERÊNCIAS:

ALRO, Helle; SKOVSMOSE, Olé. Diálogo e Aprendizagem em Educação Matemática. Tradução: Orlando de A. Figueiredo. Belo Horizonte: Autêntica, 2006. BRANCO, Neuza Cristina Vicente. O Estudo de Padrões e Regularidades no Desenvolvimento do Pensamento Algébrico. 2008 Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade de Lisboa, Portugal.

BRIZUELA, Bárbara M. Desenvolvimento Matemática na Crianças: Explorando Notações. Tradução: Maria Adriana V. Veronese. Porto Alegre: Artmed, 2006.

FIORENTINI, Dario; FERNANDES, Fernando L. P.; CRISTOVÃO, Eliane M. Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico. In: SEMINÁRIO LUSO-BRASILEIRO DE INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS NO CURRÍCULO E NA FORMAÇÃO DO PROFESSOR, 2005, LISBOA. Anais...Lisboa: Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, 2005. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/seminario_lb.htm>. acesso em: 28 set. 2009. FIORENTINI, Dário.; MIORIM, Maria Angela.; MIGUEL, Antonio. Contribuição para um repensar...a Educação Algébrica. Pro-posições , Campinas: Cortez. v. 4, n. 1(10), março 1993, disponível em

<http://mail.fae.unicamp.br/~proposicoes/edicoes/sobre_a_revista.html >. Acesso em: 28 set. 2009

GIMÉNEZ, Joaquim. Explorando figuras feitas com palitos: áreas e perímetros, Educação Matemática em Revista, São Paulo, n. 5, p. 15-18, nov. 1996.

LINS, Romulo Campos; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o Século XXI. 6.ed. Campinas: Papirus, 2005.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática. Curitiba: SEED, 2009.

PONTE, João Pedro; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia (2009). Investigações Matemáticas na Sala de Aula. 2.ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2009.

PORTUGAL. Associação de Professores de Matemática APM. Princípios e Normas para a Matemática Escolar. 2.ed. Lisboa: Gabinete de edição da APM, 2008.