MatemticasBiblioteca del profesorado

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BACHILLERATO

SOLUCIONARIO

El Solucionario de Matemticas para 2. de Bachillerato es una obra colectiva concebida, diseada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educacin, S. L., dirigido por Enrique Juan Redal. En su realizacin han intervenido: M. Jos Barbero Ana M. Gaztelu Augusto Gonzlez Jos Lorenzo Mercedes de Lucas Pedro Machn Mara Jos Rey Jos del Ro EDICIN Anglica Escoredo Carlos Prez DIRECCIN DEL PROYECTO Domingo Snchez Figueroa

Santillana

PresentacinEl nombre de la serie, La Casa del Saber, responde al planteamiento de presentar un proyecto de Matemticas centrado en la adquisicin de los contenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en la vida real. El saber matemtico debe garantizar no solo la interpretacin y la descripcin de la realidad, sino tambin la actuacin sobre ella.

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MatricesS OBJETIVO

Actitudes

rios. ntos crite do a disti rla atendien o orden. y clasifica del mism una matriz matrices entos de , as como dos o ms r los elem ms matrices riz resta de Identifica de dos o a y la mat el producto rada. matriz sum cuad Calcular la sea posible, en que una matriz los casos rdenes de Hallar, en dada. s de distintos una matriz las potencia . uesta de simtrica matriz trasp ss trica o anti Obtener la odo de Gau riz es sim rsa ando el mt matriz inve ar si una mat matriz utiliz nicin de Determin o de una de la defi ar el rang a a partir una dad Determin inversa de r la matriz rdan. ss-Jo Obtene odo de Gau y por el mt

reales. contextos en distintos matrices rices. . ad de las nes con mat con matrices n de la utilid a de operacio los clculos Valoraci samente n ordenad la resoluci zar cuidado d de reali Gusto por la necesida idad ante Sensibil l. CRITERIOS l principa y diagona , dimensin elemento de matriz, conceptos matrices. Utilizar los ldad de dos ar la igua rices. dada. Determin nmero. tipos de mat trica de una distintos riz por un r los matriz sim de una mat Identifica uesta y la caciones y multipli matriz trasp Calcular la ss. s de matrices el mtodo odo de Gau as, producto nicin o por por el mt Realizar sum ando la defi una matriz riz dada, aplic el rango de mat Calcular rsa de una matriz inve Calcular la rdan. de Gauss-Jo

CIN DE EVALUA

CONTENConceptos

IDOS

rices. cin de mat riz. Clasifica s de una mat Elemento rices: nes con mat iedades. Operacio rices. Prop Propiedades. resta de mat un nmero. Suma y matriz por de una des. Producto . Propieda trica. de matrices y antisim Producto riz simtrica uesta. Mat Gauss. Matriz trasp Mtodo de . una matriz. Rango de Gauss-Jordan Mtodo de riz inversa. Mat

ntos Procedimie

l, onal principa ensin y diag ento, dim matriz, elem matrices. a ceptos de distintos tipos de riz traspuest de los con los de la mat acin de Utilizacin y clculo cin y utiliz matrices ones e identifica ldad de dos multiplicaci ble) y de n de la igua dada. posi aci Determin de una (cuando sea l simtrica s de matrices dencia linea y la matriz y producto a o indepen de sumas dependenci Realizacin por un nmero. izando la riz matriz anal de una mat o de una rang acin del s. de Gauss. Determin o el mtodo o columna utilizand de sus filas una matriz nicin. rango de . iante su defi ss-Jordan Clculo del inversa med odo de Gau la matriz ando el mt Clculo de inversa utiliz la matriz Clculo de

715/7/09 09:12:

6dd 6-7

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Integrales definidasOBJETIVOSActitudesValoracin de la precisin y utilidad del empleo de la integral definida para representar y resolver problemas de la vida diaria.

Obtener aproximaciones del rea encerrada por una curva a travs de la suma de las reas de los rectngulos inscritos y circunscritos. Utilizar la integral definida y sus propiedades para resolver distintos problemas. Relacionar los conceptos de integral definida e indefinida utilizando el teorema del clculo integral. Aplicar la regla de Barrow para obtener la integral definida de distintas funciones. Obtener el rea de una regin limitada por una funcin, el eje OX y las rectas x as como el rea comprendida entre dos curvas. Calcular el volumen de un cuerpo de revolucin utilizando integrales definidas. ayx b,

CRITERIOS DE EVALUACINObtener el rea bajo una curva de una funcin cualquiera mediante aproximacin de la suma de las reas de rectngulos de igual base. Utilizar el concepto de integral definida y sus propiedades para resolver diferentes problemas. Determinar la funcin primitiva de una funcin dada, eligindola entre un conjunto de funciones. Verificar el cumplimiento del teorema del valor medio del clculo integral en distintas funciones.

CONTENIDOSConceptosrea bajo una curva. Integral definida. Propiedades. Funcin integral. Teorema del valor medio del clculo integral. Teorema fundamental del clculo integral. Regla de Barrow. Clculo de reas por integracin. rea entre dos curvas. Volumen de un cuerpo de revolucin.

Utilizar el teorema fundamental del clculo integral para resolver problemas. Calcular la integral definida aplicando la regla de Barrow. Determinar la derivada de una integral definida. Calcular el rea de una regin limitada por una curva, el eje OX y dos ordenadas de la curva. Obtener el rea de una regin comprendida entre dos curvas. Calcular el volumen de un cuerpo de revolucin.

ProcedimientosObtencin del rea de diferentes recintos, mediante aproximaciones sucesivas. Utilizacin del concepto de integral definida y de las propiedades de esta para resolver distintos problemas. Determinacin de la funcin primitiva de una funcin dada, eligindola entre un conjunto de funciones. Utilizacin del teorema del valor medio para resolver problemas. Utilizacin del teorema fundamental del clculo integral en la resolucin de problemas. Aplicacin de la regla de Barrow para obtener la integral definida de distintas funciones. Obtencin del rea de una regin limitada por una funcin y el eje OX. Determinacin del rea comprendida entre dos curvas, entre dos valores. Clculo del volumen de un cuerpo de revolucin.

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En este sentido, y considerando las matemticas a estos niveles como una materia esencialmente procedimental, recogemos en este material la resolucin de todos los ejercicios y problemas formulados en el libro del alumno. Pretendemos que esta resolucin no sea solo un instrumento sino que pueda entenderse como una propuesta didctica para enfocar la adquisicin de los distintos conceptos y procedimientos que se presentan en el libro del alumno.

Nmeros Matrices reales

1

SOLUCION

ARIO

1Carlo Fra

Los jardin

betti

es cifrad

os

SOLUCION

ARIO

1

L I T E R AT

Los jardin

URA Y M AT E M

De la pare d del fond o recorr y, al final, me parta un largo pasi llo dbilmen nacin: junt encontr ante una te iluminad puerta con nueve boto o a la puerta, bajo o; lo aper una pequ nes ea pantalla tura de combidel cuadrado numerados, disp uestos en cuadrada mgico. El , tres filas cajita me enano me de tres. Me haba abri acord la msica. ra ms de una pue haba dicho que el contenid Saqu el cuadrado rta, y no tena por o do de nm de metal qu referirse de la eros que [una repr aparece en la] y lo exam slo a oduccin el del cuad puertas sola in a la dbil luz grabado de Durero titulado Mela radel pasillo. aquel cuad n tener cuatro cifra s, y los nm Las combinaciones ncorado eran el 15 y el el ao en de las eros ms 14 que sign muerto por Durero haba reali del centro de la ltim ificativos de zado su Mela a fila: 151 cifras fuer esas fechas, tal vez 4 era ncola, y El on ese mism Bosco hab o ao. Mar la fila supe apareciendo en la a pant qu rior fras desapare y el 4 debajo del allita cuadrada: las el 1514 y las primer 1. tres primeras que llenar cieron sin que ocur Tras unos en la segundos, riera nada de acertar pantalla y marcar, . Entonces las por era pens que cidrado mg remotsima. Marqu tanto, nueve cifra s. La prob tena ico, y lueg las nueve abilidad o las nuev del 1 al 9 primeras e ltimas. en Luego prob cifras de mi cua7, 4, 1. Prob el orden en que apar con los eca varias com nmeros binaciones n en el cuadrado: Entonces, 3, 2, 5, 8, ms, pero cuando estab 9, 6, sin xito. bilidad: el a a punto cuadrado mgico que de renunciar, se me te un mod elo, ocurri otra tena en la tres por tres un referente. Pues mano pod a ser simp posito que tena lemenque compony haba nueve boto nes numerad que llenar una pant er con ellos alla de los nueve os del 1 al un cuad dgitos de 9, forma que rado mgico de orde tal vez tuviera sumaran lo mismo. todas sus n tres: disp [] filas so fue inten oner tar resolver Estaba cansado y atur , columnas y diag da pizarra onales manual no el cuadrado mgico dido, y mi primer impuldel mtodo permita muc por de Holmes: hos ensayos. tanteo. Pero mi redu tuviera en descartar ci.. De pron la primera to me acor casilla?, me lo imposible. Qu filas y las d columnas pasara si pregunt. tenan que el 1 esra fila dos En ese caso sum nmeros que sumaran ar 15, habra que , como todas las Marqu los poner en 14, y... [...] la primenmeros la pantalla en ese orde . Con un suave zum n y el cuadrado mg bido, la pue ico se form rta se abri en .CARLO FRABETTI

es cifrados

T I C A S

30833276Un idad01.ind

cuadrado o un rect mgico que le perm propieda ngulo iti d una matriz. especial) se llam de nmeros com al protagonista de a matriz. Descubre Hay situa o el anterior (aun esta novela abrir alguna. Si el 1 estu ciones que que la viera en la se pueden no cumpla ning puerta. fuera 14, primera una represen y esto es tar mediant imposible. casilla hara falta enco Siguiendo e Solo hay el dos parejas ntrar tres parejas en la segu razonamiento si de nmeros que suman el 1 estuviera nda casilla cuya 14 : 9 5 que form el cuadrado ara es: 8 6 14. suma 6 18 7 2 5 9 3 4

El narrado r de esta novela es edad que un hombre ha de Un da con sido abandonado por su muj mediana oce a otra er a pesar de muj que un amig er, Elena, de la que Nora. le dice que se o, que es esa mujer profesor de enamora va a dejarlo. no matemticas l contesta le conviene porque , : tambin Al menos quis No hay muc iera tener la opo rtunidad has mujeres de comprob as; ni una Alto ah! arlo. en un mill exclam n con gesto el amigo levantando alarmado . Si empieza los aspectos las s a tergiver manos matemticos sar Qu tien de la cues tin, est en que ver s perdido. las matem Mucho. ticas con Ests caye esto? ndo en la los tontos faIacia en enamorad la os, valga falacia de el pleonasm que caen todos pensar que el objeto de o, la absu En toda rda su amor es mi vida slo nico e irrep he conocido Supongam etible, o cuan a dos muj os, y es muc do menos eres como ho suponer, Depende un bien esca ellas. de lo que que eso sea ssimo. se entiend cierto. A Qu enti a por cono cuntas muj endes t cer. cuando dice eres has cono Bueno, he s que en toda cido? conocido tu vida slo en principio a muc has conocido , me interesa has mujeres lo suficiente ban o no. A cun a dos com como para tas? o ellas? darme cuen No las he ta de si, contado, pero muc Seamos has Vari generosos os cientos y para dart e cuenta de consideremos que has conocido su que la frecu encia esta posible adecuacin a mil muj lo de un dstica del eres com a en un mill tipo Nora-El o objeto amoroso Io suficiente com n es pura o . Bien, eso ena es del Pero hiprbole. dos por mil. sign As que, paraifica Djame seguir. Hay empezar, uno un tercio tendrn entr s tres mil millones de mujeres interesen e veinte y las cinc en el mun do, de las en principio nias ni las ancianas uenta aos (por cuales apro tu bien y ). , el de ellas ximadamente eso significa podras relacionarte. Es decir, hay uno . espe s mil mill Si la incid ones de muj ro que no te Como ver que hay unos dos millones de encia del tipo Nor eres con las s, es matem a-Elena es candidata y oscuras ticamente del dos por que, s intencion es como Elen absurdo que te obse que se ajustan a tu mil, concepto siones con a, habiendo de muj una otros dos millones espe de tan dudosa mor er ideal. Construye alidad rndote. [] el cuadrado Un

d 30-3 1

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MatricesANTES DE COMENZAR RECUERDA001 Resuelve estos sistemas. a) x 2x x a) y 2y 3y x 2x x 4y x y 3z z 2z y 2y 3y z 3z 0 4 4 3z z 2zz

SOLUCIONARIO

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ACTIVIDADES001 Escribe una matriz que cumpla las siguientes condiciones. Su dimensin sea 3 2. a21 a11 1 a32 a22 a12 a31 2 1 2 La matriz es: 1 2. 2 1 Se venden listones con dos calidades y de dos longitudes. Los listones grandes de baja calidad cuestan 0,75 y 1 los de alta, mientras que los listones pequeos de baja calidad cuestan 0,45 y 0,60 los de alta. Anota estos datos en forma de matriz. La matriz ser de dimensin 2 2. Las filas indican la calidad; las columnas, el tamao y los elementos de la matriz, el precio: 0, 45 0, 75 0, 60 1 003 Halla el valor de cada incgnita para que las dos matrices sean iguales. x z 17 yz 5 39 . 5 1 3 0 1 x 2 z 1 2 y 2 y 3 1 0 y

b) 2x x 0 4 40 x y 3z

2y 3y 5y

3z 3z 3z

1 0 7 4 4 4y 4y 7z 7z 6z 4 4 0

2( y 3z ) 2 y z y 3z 3 y 2 z

z

0

002

4 yy 1, z 0

1 1 1, y 2x y 1yz 0. 0 7 2x x x 5y 5y 3 7 10

0 x

La solucin del sistema es x b) 2x x x z 2y y 5y 5y 2y 7 z 3zx y

1 0 710 17 5

z 2y 1

3( 2 y 1) x 5y

y z

17 5 34 5 1 10, y 39 5

1

La solucin del sistema es x 002 Resuelve estos sistemas. a) x 2x 2x 2y 2y 3y x 2x y 2x b) x 2x 3x 3x x 4y 2y 0 5 1 2y 2yy 2y

b)

x 2x 3x xx 2y

4y 4y 4y 2y 4y

0 3 1 3 y 5 y 1 004

Para que las matrices sean iguales deben tener la misma dimensin y ser iguales todos sus elementos. Las dos matrices son de dimensin 2 3. x 1 2x 1 z 1 y 2z y 1z 3 3 y 1y 2 x 2 3x 1 0 0 z 1 yz 1 2 3 Es decir, la solucin es x 1, y 2 y z 3. Escribe un ejemplo de las siguientes matrices. a) Una matriz fila con cuatro columnas. b) Una matriz columna con cuatro filas. c) Una matriz cuadrada de orden 4. Respuesta abierta. Por ejemplo: a) A b) B

a)

0 5x 2, y

2x 21

x y

2y 5

1 x 3y y y

1 4 0 3 3x x

3

1. En este caso, la solucin del sistema es vlida.

(1 1 2 4 1 1 0 5 1

3

1

0)

x1, y 1, y

11

y 4 11

1 1 2 3 c) C

1 3 3

En este caso, la solucin del sistema es vlida.

2 2 2 1

3 3 2 1

4 1 0 1

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3

ndiceProgramacin de las unidadesUnidad 1 Unidad 2 Unidad 3 Unidad 4 Unidad 5 Unidad 6 Unidad 7 Unidad 8 Unidad 9 Unidad 10 Unidad 11 Unidad 12 Matrices Determinantes Sistemas de ecuaciones lineales Geometra en el espacio Producto escalar Productos vectorial y mixto Lmites y continuidad Derivada de una funcin Aplicaciones de las derivadas Representacin de funciones Integrales indefinidas Integrales definidas 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

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Resolucin de las actividadesUnidad 1 Unidad 2 Unidad 3 Unidad 4 Unidad 5 Unidad 6 Unidad 7 Unidad 8 Unidad 9 Unidad 10 Unidad 11 Unidad 12 Matrices Determinantes Sistemas de ecuaciones lineales Geometra en el espacio Producto escalar Productos vectorial y mixto Lmites y continuidad Derivada de una funcin Aplicaciones de las derivadas Representacin de funciones Integrales indefinidas Integrales definidas 30 80 128 202 260 328 392 452 504 562 664 720

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MatricesOBJETIVOS

Identificar los elementos de una matriz y clasificarla atendiendo a distintos criterios. Calcular la matriz suma y la matriz resta de dos o ms matrices del mismo orden. Hallar, en los casos en que sea posible, el producto de dos o ms matrices, as como las potencias de distintos rdenes de una matriz cuadrada. Obtener la matriz traspuesta de una matriz dada. Determinar si una matriz es simtrica o antisimtrica. Determinar el rango de una matriz utilizando el mtodo de Gauss Obtener la matriz inversa de una dada a partir de la definicin de matriz inversa y por el mtodo de Gauss-Jordan.

CONTENIDOSConceptos Elementos de una matriz. Clasificacin de matrices. Operaciones con matrices: Suma y resta de matrices. Propiedades. Producto de una matriz por un nmero. Propiedades. Producto de matrices. Propiedades. Matriz traspuesta. Matriz simtrica y antisimtrica. Rango de una matriz. Mtodo de Gauss. Matriz inversa. Mtodo de Gauss-Jordan.

Procedimientos Utilizacin de los conceptos de matriz, elemento, dimensin y diagonal principal, e identificacin y utilizacin de los distintos tipos de matrices. Determinacin de la igualdad de dos matrices y clculo de la matriz traspuesta y la matriz simtrica de una dada. Realizacin de sumas y productos de matrices (cuando sea posible) y de multiplicaciones de una matriz por un nmero. Determinacin del rango de una matriz analizando la dependencia o independencia lineal de sus filas o columnas. Clculo del rango de una matriz utilizando el mtodo de Gauss. Clculo de la matriz inversa mediante su definicin. Clculo de la matriz inversa utilizando el mtodo de Gauss-Jordan.

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Actitudes Valoracin de la utilidad de las matrices en distintos contextos reales. Gusto por la resolucin ordenada de operaciones con matrices. Sensibilidad ante la necesidad de realizar cuidadosamente los clculos con matrices.

CRITERIOS DE EVALUACIN Utilizar los conceptos de matriz, elemento, dimensin y diagonal principal. Determinar la igualdad de dos matrices. Identificar los distintos tipos de matrices. Calcular la matriz traspuesta y la matriz simtrica de una dada. Realizar sumas, productos de matrices y multiplicaciones de una matriz por un nmero. Calcular el rango de una matriz por el mtodo de Gauss. Calcular la matriz inversa de una matriz dada, aplicando la definicin o por el mtodo de Gauss-Jordan.

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DeterminantesOBJETIVOS

Reconocer el significado del determinante de una matriz cuadrada. Obtener los valores numricos de determinantes de orden 2 y de orden 3, aplicando la regla de Sarrus. Utilizar las propiedades de los determinantes para simplificar su clculo. Calcular el menor complementario y el adjunto de un elemento cualquiera de una matriz cuadrada. Obtener el valor de un determinante mediante el desarrollo por los elementos de una fila o de una columna. Calcular el valor de un determinante de cualquier orden haciendo ceros. Aplicar los determinantes para obtener el rango de una matriz. Utilizar los determinantes para decidir si una matriz tiene inversa y, en caso afirmativo, calcularla.

CONTENIDOSConceptos Determinantes de orden 2 y 3. Regla de Sarrus. Menor complementario y adjunto. Determinantes de cualquier orden. Rango de una matriz. Matriz adjunta de una matriz dada.

Procedimientos Clculo del valor de un determinante de orden 2. Aplicacin de la regla de Sarrus para obtener el valor del determinante asociado a una matriz cuadrada de orden 3. Utilizacin de las propiedades para simplificar el clculo de determinantes. Obtencin del menor complementario y del adjunto de un elemento cualquiera de una matriz cuadrada. Desarrollo de un determinante por los adjuntos de los elementos de una lnea. Determinacin de todos los menores de un orden dado de una matriz cuadrada. Clculo del valor de un determinante de cualquier orden haciendo ceros. Obtencin del rango de una matriz, hallando el orden de su mayor menor no nulo. Obtencin de la matriz adjunta de una matriz. Clculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada dada, obteniendo la matriz traspuesta de su matriz adjunta y dividindola por el valor del determinante.

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Actitudes Curiosidad e inters por la resolucin de problemas que impliquen clculos con determinantes, confiando en las propias capacidades para resolverlos. Perseverancia y flexibilidad en la resolucin de problemas de determinantes.

CRITERIOS DE EVALUACIN Calcular el valor de un determinante de orden 2. Aplicar la regla de Sarrus para calcular el valor de un determinante de orden 3. Aplicar las propiedades de los determinantes para simplificar los clculos. Obtener el menor complementario y el adjunto de un elemento cualquiera de una matriz cuadrada. Desarrollar un determinante por los adjuntos de los elementos de una lnea. Calcular el valor de un determinante de cualquier orden haciendo ceros. Determinar todos los menores de un orden dado de una matriz cuadrada. Obtener el rango de una matriz. Determinar la matriz adjunta de una matriz dada. Calcular la matriz inversa de una matriz dada.

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Sistemas de ecuaciones linealesOBJETIVOS

Resolver sistemas mediante su transformacin en sistemas escalonados. Analizar, discutir y resolver por el mtodo de Gauss sistemas de ecuaciones lineales y sistemas dependientes de un parmetro. Expresar sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices. Analizar la compatibilidad e incompatibilidad de los sistemas de ecuaciones aplicando el teorema de Rouch-Frbenius. Aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones. Discutir la compatibilidad y resolver sistemas de ecuaciones lineales homogneos. Analizar, discutir y resolver sistemas de tres ecuaciones dependientes de parmetros. Discutir y resolver sistemas con distinto nmero de ecuaciones que de incgnitas.

CONTENIDOSConceptos Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones escalonados. Mtodo de Gauss para la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. Teorema de Rouch-Frbenius. Regla de Cramer. Sistemas homogneos. Sistemas con distinto nmero de ecuaciones que de incgnitas. Sistemas dependientes de un parmetro.

Procedimientos Transformacin de un sistema en otro equivalente escalonado y resolucin del mismo. Aplicacin del mtodo de Gauss a la resolucin y discusin de sistemas de ecuaciones lineales. Discusin y resolucin de sistemas de ecuaciones que tengan distinto nmero de ecuaciones que de incgnitas. Resolucin de sistemas de ecuaciones dependientes de un parmetro utilizando el mtodo de Gauss y discusin de sus soluciones en funcin de los valores de este. Resolucin de sistemas por mtodos matriciales, mediante la matriz inversa. Discusin y clasificacin de sistemas de ecuaciones, aplicando el teorema de RouchFrbenius, a partir del rango de la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada. Utilizacin de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones con igual nmero de ecuaciones que de incgnitas y con determinante distinto de cero. Discusin y resolucin de sistemas homogneos. Discusin y resolucin de sistemas dependientes de parmetros.

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Actitudes Valoracin de la utilidad del lenguaje algebraico para representar, comunicar y resolver situaciones cotidianas. Valoracin de la necesidad de interpretacin crtica de las soluciones obtenidas. Confianza en las propias capacidades para resolver problemas.

CRITERIOS DE EVALUACIN Aplicar correctamente el lenguaje algebraico para expresar situaciones de la vida cotidiana. Obtener sistemas de ecuaciones equivalentes a uno dado por distintos procedimientos. Resolver un sistema de ecuaciones mediante su transformacin en sistemas escalonados. Aplicar el mtodo de Gauss para estudiar y resolver sistemas. Resolver sistemas de ecuaciones mediante mtodos matriciales. Discutir y clasificar sistemas de ecuaciones aplicando el teorema de Rouch-Frbenius. Utilizar correctamente la regla de Cramer. Discutir y resolver sistemas de ecuaciones homogneos. Discutir y resolver sistemas de ecuaciones dependientes de parmetros.

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Geometra en el espacioOBJETIVOS

Determinar los elementos de un vector en el espacio. Utilizar el concepto de combinacin lineal de vectores para establecer cundo un vector depende linealmente de otros. Analizar cundo varios vectores en el espacio son linealmente independientes o dependientes. Encontrar las coordenadas de un vector en una base y determinarlas cuando se cambia de base. Reconocer y determinar las distintas formas de expresar la ecuacin de una recta en el espacio. Reconocer y determinar las distintas formas de expresar la ecuacin de un plano en el espacio. Analizar las posiciones relativas de dos rectas en el espacio. Interpretar y resolver problemas de posiciones relativas de un plano y una recta en el espacio. Determinar las posiciones relativas de dos o tres planos en el espacio.

CONTENIDOSConceptos Vectores en el espacio. Mdulo, direccin y sentido. Combinacin lineal de vectores. Dependencia e independencia lineal de vectores. Base y dimensin de un espacio vectorial. Coordenadas de un vector. Ecuaciones de la recta en el espacio. Ecuaciones del plano. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio. Posiciones relativas de recta y plano en el espacio. Posiciones relativas de dos planos en el espacio. Posiciones relativas de tres planos en el espacio.

Procedimientos Utilizacin del concepto de vector y clculo de sus elementos. Realizacin de sumas de vectores libres y producto de un nmero por un vector. Obtencin de combinaciones lineales de vectores, matrices y polinomios. Clculo de las coordenadas de un vector en una base cualquiera y en la base cannica. Obtencin de la ecuacin de una recta en forma vectorial, paramtrica, continua y cartesiana o implcita, pasando de unas formas a otras.

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Obtencin de la ecuacin del plano en forma vectorial, paramtrica y general, pasando de unas formas a otras. Anlisis de la posicin relativa de dos rectas en el espacio, expresadas mediante dos puntos, un punto y un vector director, o mediante ecuaciones paramtricas, continuas o generales. Determinacin de la posicin relativa de dos planos en el espacio, mediante el anlisis de las matrices asociadas a las ecuaciones generales de los planos. Determinacin de las posiciones relativas de tres planos, obteniendo las matrices del sistema formado por las ecuaciones generales de los planos y aplicando correctamente el teorema de Rouch-Frbenius. Estudio de la posicin relativa de planos y rectas en el espacio mediante mtodos matriciales y algebraicos.

Actitudes Valoracin de la presencia de vectores en la realidad. Comprender el lenguaje geomtrico en informaciones de todo tipo.

CRITERIOS DE EVALUACIN Determinar el mdulo, direccin y sentido de un vector en el espacio. Obtener combinaciones lineales de vectores. Determinar la relacin de linealidad entre dos vectores. Calcular las coordenadas de un vector en una base cualquiera y en la base cannica. Expresar la ecuacin de una recta en forma vectorial, paramtrica, continua y cartesiana o implcita, pasando de una forma a otra correctamente. Obtener la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos, eligiendo uno de los puntos y calculando un vector director de la misma. Expresar la ecuacin de un plano en forma vectorial, paramtrica y general, pasando de una forma a otra correctamente. Estudiar la posicin relativa de dos rectas en el espacio, distinguiendo la forma en que estn expresadas, as como el procedimiento ms adecuado para aplicar en cada caso. Analizar la posicin relativa de planos y rectas en el espacio aplicando mtodos matriciales (teorema de Rouch-Frbenius) y algebraicos (anlisis del valor del parmetro). Determinar la posicin relativa de dos planos en el espacio, analizando las matrices asociadas a las ecuaciones de los planos. Aplicar correctamente el teorema de Rouch-Frbenius para analizar la posicin relativa de tres planos en el espacio.

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Producto escalarOBJETIVOS

Expresar analticamente el producto escalar de vectores. Aplicar el producto escalar a la determinacin de ngulos entre vectores. Calcular vectores perpendiculares a uno dado. Determinar la perpendicularidad entre planos y rectas. Determinar las ecuaciones de un haz de planos secante y perpendicular a una recta. Calcular el ngulo que forman dos rectas, dos planos y una recta y un plano. Calcular las coordenadas de la proyeccin ortogonal de un punto sobre una recta o sobre un plano. Determinar la ecuacin de la proyeccin ortogonal de una recta sobre un plano. Establecer estrategias para determinar las coordenadas de un punto simtrico de otro respecto de una recta o de un plano. Determinar distancias entre dos puntos, de un punto a un plano y de un punto a una recta. Hallar distancias entre planos y entre rectas determinando previamente sus posiciones relativas.

CONTENIDOSConceptos Producto escalar de dos vectores: definicin, interpretacin geomtrica y expresin analtica. Aplicaciones del producto escalar: ngulo entre dos vectores, clculo de vectores perpendiculares, vector perpendicular a un plano. Haces de planos. ngulo que forman dos rectas y dos planos. ngulo entre una recta y un plano. Proyeccin ortogonal de un punto sobre una recta o un plano. Proyeccin ortogonal de una recta sobre un plano. Punto simtrico respecto de otro punto, una recta o de un plano. Distancia entre un punto y otro punto, una recta o un plano. Distancia entre dos planos y entre dos rectas.

Procedimientos Expresin analtica del producto escalar entre dos vectores, anlisis de sus propiedades e interpretacin geomtrica del mdulo del producto escalar. Obtencin del producto escalar entre dos vectores y utilizacin de sus propiedades para resolver distintos problemas: ngulo entre dos vectores, clculo de vectores perpendiculares Clculo de las ecuaciones de los haces de planos secantes y perpendiculares a una recta.

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Determinacin del ngulo que forman dos rectas, dos planos o una recta y un plano. Obtencin de la proyeccin ortogonal de un punto sobre una recta o un plano, y de una recta sobre un plano. Obtencin del punto simtrico de otro respecto de otro punto, una recta o un plano. Clculo de la distancia entre dos puntos, de un punto a un plano y de un punto a una recta. Obtencin de la distancia entre dos planos paralelos, entre una recta y un plano y entre dos rectas.

Actitudes Valorar la importancia de las representaciones grficas para obtener y comunicar informacin. Gusto por la realizacin cuidadosa de los clculos con vectores.

CRITERIOS DE EVALUACIN Calcular el producto escalar de dos vectores expresados en coordenadas. Determinar el ngulo entre dos vectores utilizando el producto escalar. Determinar el vector normal a un plano. Calcular rectas o planos perpendiculares a otras rectas u otros planos. Hallar las ecuaciones de los haces de planos secantes y perpendiculares a una recta. Calcular el ngulo entre dos rectas, dos planos o una recta y un plano. Determinar las coordenadas de la proyeccin ortogonal de un punto sobre una recta o un plano. Calcular las ecuaciones de la proyeccin ortogonal de una recta sobre un plano. Hallar las coordenadas del punto simtrico de otro respecto de otro punto, una recta o un plano. Calcular la distancia de un punto a otro punto, una recta o un plano. Determinar la distancia entre dos rectas, dos planos o una recta y un plano.

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Productos vectorial y mixtoOBJETIVOS

Expresar analticamente el producto vectorial de vectores. Aplicar el producto vectorial al clculo de bases ortogonales y al clculo del vector director de una recta. Expresar analticamente el producto mixto de vectores. Aplicar el producto mixto al clculo del volumen de un paraleleppedo y de un tetraedro definido por tres vectores. Determinar el rea un paralelogramo definido por dos vectores. Calcular la distancia de un punto a una recta utilizando el producto vectorial. Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan utilizando el producto mixto. Determinar el lugar geomtrico de los puntos del espacio que cumplen ciertas propiedades. Calcular la ecuacin de una esfera. Determinar las posiciones relativas de un plano o una recta con una esfera. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a un punto de una esfera.

CONTENIDOSConceptos Producto vectorial de vectores: definicin, interpretacin geomtrica y expresin analtica. Aplicaciones del producto vectorial: clculo de bases ortogonales, clculo del vector director de una recta, reas de figuras planas en el espacio, distancia entre un punto y una recta Producto mixto de vectores: definicin, interpretacin geomtrica y expresin analtica. Aplicaciones del producto mixto: volumen de un paraleleppedo y de un tetraedro, distancia entre dos rectas que se cruzan Lugares geomtricos en el espacio. Esferas. Posiciones relativas entre rectas, planos y esferas. Recta tangente y normal a un punto de una esfera.

Procedimientos Expresin del producto vectorial entre dos vectores, interpretacin geomtrica y expresin en coordenadas. Aplicacin del producto vectorial para calcular un vector perpendicular a otros dos. Aplicacin del producto vectorial para hallar el rea de un paralelogramo y de un tringulo, conocidas las coordenadas de sus vrtices. Determinacin del producto mixto entre dos vectores, interpretacin geomtrica y expresin en coordenadas. Clculo mediante el producto mixto del volumen de un paraleleppedo y de un tetraedro.

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Determinacin de la distancia entre dos rectas que se cruzan utilizando el producto mixto. Clculo del radio y el centro de una superficie esfrica. Determinacin de la posicin relativa de un plano o de una recta respecto de una superficie esfrica. Determinacin de la recta tangente o normal a un punto de una superficie esfrica.

Actitudes Valorar la importancia de las representaciones grficas para obtener y comunicar informacin.

CRITERIOS DE EVALUACIN Expresar analticamente el producto vectorial y mixto de vectores. Determinar del vector director de una recta utilizando el producto vectorial. Determinar el rea un paralelogramo definido por dos vectores. Aplicar el producto mixto al clculo del volumen de un paraleleppedo y de un tetraedro definido por tres vectores. Calcular la distancia de un punto a una recta utilizando el producto vectorial y la distancia entre dos rectas que se cruzan utilizando el producto mixto. Determinar el lugar geomtrico de los puntos del espacio que cumplen ciertas propiedades. Calcular el radio y el centro de una esfera. Determinar las posiciones relativas de un plano o una recta con una esfera comparando distancias y el radio de la esfera. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a un punto de una esfera.

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Lmites y continuidadOBJETIVOS

Determinar, si existe, el lmite de una sucesin de nmeros reales. Aplicar la definicin de lmite de una sucesin a la resolucin del lmite de una sucesin de nmeros reales. Determinar el valor del lmite de una funcin en el infinito. Aplicar la definicin de lmite de una funcin en el infinito a la resolucin de lmites de funciones. Aplicar las operaciones con lmite: suma, diferencia, producto y cociente, en la resolucin de lmites. Determinar el lmite de una funcin en un punto y obtener sus lmites laterales. Resolver indeterminaciones de distinto tipo a la hora del clculo de lmites. Analizar la continuidad de una funcin en un punto, verificando si los lmites laterales son iguales al valor que toma la funcin en ese punto. Determinar los puntos de discontinuidad de una funcin, y el tipo de discontinuidad que presentan. Aplicar los teoremas de Bolzano y de Weierstrass a la resolucin de problemas en los que intervengan funciones continuas.

CONTENIDOSConceptos Lmite de una sucesin. Lmite de una funcin en el infinito. Operaciones con lmites. Lmites infinitos y en el infinito. Indeterminaciones. Lmites laterales. Continuidad de una funcin en un punto y en un intervalo. Tipos de discontinuidades. Teoremas de Bolzano y de Weierstrass.

Procedimientos Determinacin, si existe, del lmite de una sucesin de nmeros reales de la que conocemos su trmino general. Determinacin, si existe, del lmite de una funcin en un punto de manera aproximada y de forma exacta. Clculo del lmite de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones, y del producto de un nmero por una funcin. Lmite de funciones potenciales, exponenciales y racionales.

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Obtencin de los lmites laterales de una funcin en un punto. Resolucin de indeterminaciones en el clculo de lmites. Anlisis de la continuidad de una funcin en un punto, verificando si se cumple que los dos lmites laterales son iguales al valor de la funcin en ese punto. Evaluacin de la continuidad de una funcin en un intervalo. Estudio de las discontinuidades de una funcin, determinando de qu tipo son. Aplicacin de los teoremas de Bolzano y de Weierstrass a la resolucin de distintos problemas en los que intervengan funciones continuas.

Actitudes Reconocimiento de la utilidad del estudio de los lmites y la continuidad de funciones en los distintos contextos del desarrollo cientfico.

CRITERIOS DE EVALUACIN Calcular, si existe, el lmite de una sucesin de nmeros reales. Calcular el lmite, si existe, de una funcin en el infinito. Aplicar las operaciones con lmites para resolver lmites de funciones. Determinar el lmite de una funcin en un punto. Calcular los lmites laterales de una funcin en un punto. 0 Resolver indeterminaciones de los tipos: ` , ` `, 1` y . ` 0 Estudiar la continuidad de una funcin en un punto. Estudiar la continuidad de una funcin en un intervalo. Determinar las discontinuidades de una funcin y estudiar el tipo al que pertenecen. Aplicar e interpretar geomtricamente el teorema de Bolzano para funciones continuas. Aplicar e interpretar geomtricamente el teorema de Weierstrass para funciones continuas.

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Derivada de una funcinOBJETIVOS

Utilizar la tasa de variacin media de una funcin para interpretar situaciones de la vida cotidiana. Obtener la derivada de una funcin en un punto y sus derivadas laterales. Obtener la ecuacin de la recta tangente y la recta normal a una funcin en un punto. Analizar la continuidad y derivabilidad de una funcin en un punto, teniendo en cuenta las relaciones entre ambas. Calcular la funcin derivada de una funcin, as como las derivadas sucesivas. Calcular derivadas usando las reglas de derivacin. Obtener derivadas de operaciones con funciones. Aplicar la regla de la cadena al clculo de la derivada de una funcin compuesta. Calcular la derivada de las funciones potenciales, exponenciales, logartmicas y trigonomtricas. Utilizar las tcnicas de derivacin para calcular la derivada de algunas funciones.

CONTENIDOSConceptos Tasa de variacin media. Derivada de una funcin en un punto. Interpretacin geomtrica. Derivadas laterales. Continuidad y derivabilidad. Funcin derivada. Derivada de la suma y de la diferencia de funciones. Derivada del producto y cociente de funciones. Regla de la cadena. Derivadas de funciones potenciales, exponenciales, logartmicas, trigonomtricas e implcitas.

Procedimientos Obtencin de la funcin derivada y de las derivadas sucesivas de una funcin. Clculo de las derivadas laterales de una funcin en un punto. Anlisis de la continuidad y derivabilidad de una funcin en un punto a partir de las relaciones entre ambas. Deduccin y aplicacin de las reglas de derivacin para obtener la derivada de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones.

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Utilizacin de la regla de la cadena para obtener la funcin derivada de distintas funciones compuestas. Deduccin y aplicacin de las reglas de derivacin para obtener funciones derivadas de funciones potenciales, exponenciales, logartmicas, trigonomtricas e implcitas.

Actitudes Reconocimiento de la utilidad del estudio de la continuidad y derivabilidad de funciones en los distintos contextos del desarrollo cientfico. Valoracin del lenguaje grfico a la hora de tratar la informacin. Capacidad para formularse preguntas nuevas explorando al mximo un fenmeno o situacin.

CRITERIOS DE EVALUACIN Hallar la tasa de variacin media de una funcin en un intervalo. Determinar la derivada de una funcin en un punto, y sus derivadas laterales. Utilizar la interpretacin geomtrica de la derivada para resolver problemas. Obtener la ecuacin de la recta tangente y de la recta normal a una funcin en un punto. Analizar la continuidad y derivabilidad de una funcin en un punto. Obtener la funcin derivada de una funcin elemental. Calcular derivadas sucesivas de una funcin. Calcular derivadas de operaciones con funciones, y aplicar la regla de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas. Obtener la derivada de las funciones potenciales, exponenciales, logartmicas, trigonomtricas, y de funciones compuestas de estas. Calcular la derivada de una funcin expresada en forma implcita.

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Aplicaciones de la derivadaOBJETIVOS

Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funcin a partir del signo de su derivada primera. Obtener los mximos y los mnimos de una funcin a partir de sus derivadas primera y segunda. Determinar los intervalos de convexidad y concavidad de una funcin, as como sus puntos de inflexin, mediante el estudio de su derivada segunda. Conocer los pasos que hay que seguir para optimizar una funcin dada. Optimizar funciones. Reconocer los teoremas fundamentales del clculo diferencial: teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy, as como sus aplicaciones en diferentes contextos. Aplicar los teoremas anteriores a la resolucin de problemas. Determinar la regla de LHpital y su aplicacin al clculo de lmites.

CONTENIDOSConceptos Crecimiento y decrecimiento. Mximos y mnimos. Convexidad y concavidad. Puntos de inflexin. Optimizacin. Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy. Aplicaciones. Regla de LHpital.

Procedimientos Determinacin de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funcin a partir del signo de su derivada primera. Obtencin de los puntos crticos de una funcin y de sus mximos y mnimos a partir de sus derivadas primera y segunda. Determinacin de los intervalos de convexidad y concavidad de una funcin, y de sus puntos de inflexin, mediante el estudio de su derivada segunda. Resolucin de problemas reales de optimizacin de funciones. Reconocimiento de los teoremas del clculo diferencial (teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy) y su aplicacin en la resolucin de problemas. Aplicacin de la regla de LHpital para resolver indeterminaciones en el clculo de lmites de funciones derivables.

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Actitudes Valoracin de la presencia de las derivadas en la vida real. Gusto por la presentacin clara y ordenada de los desarrollos necesarios en el clculo de derivadas.

CRITERIOS DE EVALUACIN Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funcin. Obtener los mximos y los mnimos de una funcin. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una funcin. Hallar los puntos de inflexin de una funcin. Resolver problemas reales de optimizacin de funciones: maximizar y minimizar. Comprender y aplicar en problemas reales los teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy. Aplicar la regla de LHpital para resolver indeterminaciones en el clculo de lmites de operaciones con funciones derivables.

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Representacin de funcionesOBJETIVOS

Obtener el dominio y puntos de corte con los ejes de una funcin. Determinar si una funcin es simtrica. Estudiar si una funcin es peridica y, en caso de que lo sea, calcular su perodo. Determinar las asntotas verticales, horizontales y oblicuas. Obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los mximos y mnimos a partir del estudio de la derivada primera. Calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexin a partir del estudio de la derivada segunda. Representar grficamente una funcin.

CONTENIDOSConceptos Dominio y puntos de corte con los ejes. Simetras. Periodicidad. Ramas infinitas. Asntotas. Crecimiento y decrecimiento. Mximos y mnimos. Convexidad y concavidad. Puntos de inflexin. Funciones polinmicas, racionales, con radicales, exponenciales, logartmicas y definidas a trozos.

Procedimientos Obtencin del dominio y puntos de corte con los ejes de una funcin dada. Estudio de las simetras de una funcin. Determinacin del perodo de una funcin peridica. Clculo de las asntotas verticales, horizontales y oblicuas de una funcin. Determinacin de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funcin a partir del signo de su derivada primera. Obtencin de los mximos y mnimos de una funcin a partir de sus derivadas primera y segunda. Determinacin de los intervalos de convexidad y concavidad de una funcin, y de sus puntos de inflexin, mediante el estudio de su derivada segunda. Representacin grfica de funciones polinmicas, racionales, con radicales, exponenciales, logartmicas y definidas a trozos utilizando todos los elementos anteriores.

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Actitudes Reconocimiento de la utilidad del lenguaje grfico como medio para el estudio y comprensin de fenmenos de la vida real. Aprecio de los medios tecnolgicos como herramienta para analizar la realidad.

CRITERIOS DE EVALUACIN Hallar el dominio, las simetras y los puntos de corte con los ejes de una funcin. Determinar si una funcin es peridica. Calcular las asntotas horizontales, verticales y oblicuas de una funcin, y determinar la posicin relativa de la grfica de una funcin respecto a ellas. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funcin. Obtener los mximos y los mnimos de una funcin. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una funcin. Hallar los puntos de inflexin de una funcin. Representar grficamente una funcin a partir del estudio de sus propiedades.

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Integrales indefinidasOBJETIVOS

Establecer la relacin entre una funcin y su posible funcin primitiva, realizando la derivada. Obtener funciones primitivas de funciones sencillas. Utilizar las propiedades de la integral indefinida para resolver distintos problemas. Determinar las integrales inmediatas de las funciones simples y compuestas. Utilizar el mtodo de integracin por partes para resolver integrales. Resolver integrales de funciones racionales atendiendo al nmero y el carcter de las races del polinomio del denominador. Resolver integrales aplicando el mtodo de sustitucin o cambio de variable.

CONTENIDOSConceptos Primitiva de una funcin. Integral de una funcin. Integral de funciones elementales. Integracin por partes. Integracin de funciones racionales. Integracin por cambio de variable.

Procedimientos Comprobacin, realizando la derivada, de la relacin entre una funcin y su posible funcin primitiva, y obtencin de funciones primitivas de funciones sencillas a partir de las reglas de derivacin. Obtencin de las integrales inmediatas de las funciones simples y compuestas ms conocidas, aplicando las frmulas pertinentes en cada caso. Utilizacin del mtodo de integracin por partes para resolver integrales de un producto, estableciendo los factores de manera correcta para que la integral resultante sea sencilla. Resolucin de integrales de funciones racionales, reducindolas a la integral de una funcin racional con el grado del numerador menor que el grado del denominador, y analizando el tipo de races y la multiplicidad de este. Resolucin de integrales aplicando el mtodo de sustitucin o cambio de variable, determinando el cambio ms adecuado y obteniendo una integral ms sencilla que la de partida.

Actitudes Sensibilidad y gusto por la presentacin clara y ordenada de los clculos numricos. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar clculos.

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CRITERIOS DE EVALUACIN Comprobar, mediante derivacin, si una funcin es o no primitiva de una funcin dada. Calcular las funciones primitivas de funciones sencillas a partir de las reglas de derivacin. Obtener integrales inmediatas de funciones sencillas o compuestas. Resolver integrales utilizando el mtodo de integracin por partes. Resolver integrales de funciones racionales, analizando el grado del numerador y del denominador, y estudiando el tipo de races del denominador. Resolver integrales aplicando el cambio de variable.

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Integrales definidasOBJETIVOS

Obtener aproximaciones del rea encerrada por una curva a travs de la suma de las reas de los rectngulos inscritos y circunscritos. Utilizar la integral definida y sus propiedades para resolver distintos problemas. Relacionar los conceptos de integral definida e indefinida utilizando el teorema del clculo integral. Aplicar la regla de Barrow para obtener la integral definida de distintas funciones. Obtener el rea de una regin limitada por una funcin, el eje OX y las rectas x = a y x = b, as como el rea comprendida entre dos curvas. Calcular el volumen de un cuerpo de revolucin utilizando integrales definidas.

CONTENIDOSConceptos rea bajo una curva. Integral definida. Propiedades. Funcin integral. Teorema del valor medio del clculo integral. Teorema fundamental del clculo integral. Regla de Barrow. Clculo de reas por integracin. rea entre dos curvas. Volumen de un cuerpo de revolucin.

Procedimientos Obtencin del rea de diferentes recintos, mediante aproximaciones sucesivas. Utilizacin del concepto de integral definida y de las propiedades de esta para resolver distintos problemas. Determinacin de la funcin primitiva de una funcin dada, eligindola entre un conjunto de funciones. Utilizacin del teorema del valor medio para resolver problemas. Utilizacin del teorema fundamental del clculo integral en la resolucin de problemas. Aplicacin de la regla de Barrow para obtener la integral definida de distintas funciones. Obtencin del rea de una regin limitada por una funcin y el eje OX. Determinacin del rea comprendida entre dos curvas, entre dos valores. Clculo del volumen de un cuerpo de revolucin.

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Actitudes Valoracin de la precisin y utilidad del empleo de la integral definida para representar y resolver problemas de la vida diaria.

CRITERIOS DE EVALUACIN Obtener el rea bajo una curva de una funcin cualquiera mediante aproximacin de la suma de las reas de rectngulos de igual base. Utilizar el concepto de integral definida y sus propiedades para resolver diferentes problemas. Determinar la funcin primitiva de una funcin dada, eligindola entre un conjunto de funciones. Verificar el cumplimiento del teorema del valor medio del clculo integral en distintas funciones. Utilizar el teorema fundamental del clculo integral para resolver problemas. Calcular la integral definida aplicando la regla de Barrow. Determinar la derivada de una integral definida. Calcular el rea de una regin limitada por una curva, el eje OX y dos ordenadas de la curva. Obtener el rea de una regin comprendida entre dos curvas. Calcular el volumen de un cuerpo de revolucin.

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Solucionario

1

nmeros reales

1

Matrices

L I T E R AT U R A Y M AT E M T I C A S

Los jardines cifradosDe la pared del fondo parta un largo pasillo dbilmente iluminado; lo recorr y, al final, me encontr ante una puerta con apertura de combinacin: junto a la puerta, bajo una pequea pantalla cuadrada, haba nueve botones numerados, dispuestos en tres filas de tres. Me acord del cuadrado mgico. El enano me haba dicho que el contenido de la cajita me abrira ms de una puerta, y no tena por qu referirse slo a la msica. Saqu el cuadrado de metal [una reproduccin del cuadrado de nmeros que aparece en el grabado de Durero titulado Melancola] y lo examin a la dbil luz del pasillo. Las combinaciones de las puertas solan tener cuatro cifras, y los nmeros ms significativos de aquel cuadrado eran el 15 y el 14 del centro de la ltima fila: 1514 era el ao en que Durero haba realizado su Melancola, y El Bosco haba muerto por esas fechas, tal vez ese mismo ao. Marqu el 1514 y las cifras fueron apareciendo en la pantallita cuadrada: las tres primeras en la fila superior y el 4 debajo del primer 1. Tras unos segundos, las cifras desaparecieron sin que ocurriera nada. Entonces pens que tena que llenar la pantalla y marcar, por tanto, nueve cifras. La probabilidad de acertar era remotsima. Marqu las nueve primeras cifras de mi cuadrado mgico, y luego las nueve ltimas. Luego prob con los nmeros del 1 al 9 en el orden en que aparecan en el cuadrado: 3, 2, 5, 8, 9, 6, 7, 4, 1. Prob varias combinaciones ms, pero sin xito. Entonces, cuando estaba a punto de renunciar, se me ocurri otra posibilidad: el cuadrado mgico que tena en la mano poda ser simplemente un modelo, un referente. Puesto que tena que llenar una pantalla de tres por tres y haba nueve botones numerados del 1 al 9, tal vez tuviera que componer con ellos un cuadrado mgico de orden tres: disponer los nueve dgitos de forma que todas sus filas, columnas y diagonales sumaran lo mismo. [] Estaba cansado y aturdido, y mi primer impulso fue intentar resolver el cuadrado mgico por tanteo. Pero mi reducida pizarra manual no permita muchos ensayos... De pronto me acord del mtodo de Holmes: descartar lo imposible. Qu pasara si el 1 estuviera en la primera casilla?, me pregunt. En ese caso, como todas las filas y las columnas tenan que sumar 15, habra que poner en la primera fila dos nmeros que sumaran 14, y... [...] Marqu los nmeros en ese orden y el cuadrado mgico se form en la pantalla. Con un suave zumbido, la puerta se abri.Carlo Frabetti

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Solucionario

1

Los jardines cifradosCarlo FrabettiEl narrador de esta novela es un hombre de mediana edad que ha sido abandonado por su mujer Nora. Un da conoce a otra mujer, Elena, de la que se enamora a pesar de que un amigo, que es profesor de matemticas, le dice que esa mujer no le conviene porque tambin va a dejarlo. l contesta: Al menos quisiera tener la oportunidad de comprobarlo. No hay muchas mujeres as; ni una en un milln Alto ah! exclam el amigo levantando las manos con gesto alarmado. Si empiezas a tergiversar los aspectos matemticos de la cuestin, ests perdido. Qu tienen que ver las matemticas con esto? Mucho. Ests cayendo en la faIacia en la que caen todos los tontos enamorados, valga el pleonasmo, la absurda falacia de pensar que el objeto de su amor es nico e irrepetible, o cuando menos un bien escassimo. En toda mi vida slo he conocido a dos mujeres como ellas. Supongamos, y es mucho suponer, que eso sea cierto. A cuntas mujeres has conocido? Depende de lo que se entienda por conocer. Qu entiendes t cuando dices que en toda tu vida slo has conocido a dos como ellas? Bueno, he conocido a muchas mujeres lo suficiente como para darme cuenta de si, en principio, me interesaban o no. A cuntas? No las he contado, pero muchas Varios cientos Seamos generosos y consideremos que has conocido a mil mujeres Io suficiente como para darte cuenta de su posible adecuacin como objeto amoroso. Bien, eso significa que la frecuencia estadstica del tipo Nora-Elena es del dos por mil. As que, para empezar, lo de una en un milln es pura hiprbole. Pero Djame seguir. Hay unos tres mil millones de mujeres en el mundo, de las cuales aproximadamente un tercio tendrn entre veinte y cincuenta aos (por tu bien y el de ellas. espero que no te interesen las nias ni las ancianas). Es decir, hay unos mil millones de mujeres con las que, en principio, podras relacionarte. Si la incidencia del tipo Nora-Elena es del dos por mil, eso significa que hay unos dos millones de candidatas que se ajustan a tu concepto de mujer ideal. Como vers, es matemticamente absurdo que te obsesiones con una de tan dudosa moralidad y oscuras intenciones como Elena, habiendo otros dos millones esperndote. []construye el cuadrado mgico que le permiti al protagonista de esta novela abrir la puerta. un cuadrado o un rectngulo de nmeros como el anterior (aunque no cumpla ninguna propiedad especial) se llama matriz. Hay situaciones que se pueden representar mediante una matriz. Descubre alguna. Si el 1 estuviera en la primera casilla hara falta encontrar tres parejas de nmeros cuya suma fuera 14, y esto es imposible. Solo hay dos parejas que suman 14 : 9 + 5 = 8 + 6 = 14. Siguiendo el razonamiento si el 1 estuviera 6 1 8 en la segunda casilla el cuadrado 7 5 3 que formara es:2 9 4

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MatricesANTES DE COMENZAR RECUERDA001 resuelve estos sistemas. a) x + y + 3z = 0 2x 2y z = 4 x 3y + 2z = 4 a) b) 2 y + 3 z = 1 2 x + 3 y 3z = 0 x 5 y 3z = 7

x + y + 3z = 0 x =y 3 z 2( y 3z ) 2 y z = 4 4 y 7 z = 4 2 x 2 y z = 4 4 y 7 z = 4 y 3 z 3 y + 2 z = 4 x 3 y + 2 z = 4 6z = 0 z = 0

}

4y z = 4 y = 1 x + y + 3z = 0 x = 1 La solucin del sistema es x = 1, y = 1 y z = 0. b) 2 y + z = 1 z = 2y 1 2 x + y 3( 2 y 1) = 0 2 x 5 y = 3 2 x + y 3z = 0 x 5y = 7 x 5 y = 7 =7 x 5y x = 10 x 5 y = 7 y = y = x =10 17 5 y = 1, z = 0

z=0

17 5

z = 2 y 1 z =

34 39 1= 5 5 17 39 y z = .. 5 5

La solucin del sistema es x = 10, y = 002 resuelve estos sistemas. a) x + 2 y = 0 2 x + 2 y = 5 2 x 3y = 1 b) x 4y 2x + 4y 3x 4 y x 2 y

=0 =3 = 1 = 3

x = 2y x =2y a) x + 2 y = 0 4y + y = 5 y = 1 2 x + 2 y = 5 2x + y = 5 y = 1 x = 2 2x 3y = 1 4 3 = 1. En este caso, la solucin del sistema es vlida. b) + x y = 0 2 x + y = 3 3x = 3 x = 1 y = 1x = 1, y = 1 x = 1, y = 1 x = 2, y = 1 y = 2y

3x 4y = 1 3 4 = 1 x 2y = 3 1 2 = 3 En este caso, la solucin del sistema es vlida.

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Solucionario

1

ACTIVIDADES001 Escribe una matriz que cumpla las siguientes condiciones. Su dimensin sea 3 2. a32 = a21 = a11 = 1 a22 = a12 = a31 = 2 1 2 La matriz es: 1 2. 2 1 Se venden listones con dos calidades y de dos longitudes. los listones grandes de baja calidad cuestan 0,75 y 1 los de alta, mientras que los listones pequeos de baja calidad cuestan 0,45 y 0,60 los de alta. anota estos datos en forma de matriz. La matriz ser de dimensin 2 2. Las filas indican la calidad; las columnas, el tamao y los elementos de la matriz, el precio: 0, 45 0, 75 0, 60 1 003 Halla el valor de cada incgnita para que las dos matrices sean iguales. x + 1 3 0 z + 1 x + 2 z 1 2 y + 2 y + 1 0 3 y

002

Para que las matrices sean iguales deben tener la misma dimensin y ser iguales todos sus elementos. Las dos matrices son de dimensin 2 3. x+1=2x=1 z+1=y+2z=y+1z=3 3=y+1y=2 x+2=3x=1 0=0 z1=yz=1+2=3 Es decir, la solucin es x = 1, y = 2 y z = 3. 004 Escribe un ejemplo de las siguientes matrices. a) una matriz fila con cuatro columnas. b) una matriz columna con cuatro filas. c) una matriz cuadrada de orden 4. Respuesta abierta. Por ejemplo: a) A = (1 3 1 0) 1 2 b) B = 4 1 1 2 3 4 0 2 3 1 c) C = 5 2 2 0 1 1 1 1

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Matrices005 Escribe matrices que cumplan las siguientes condiciones. a) Matriz diagonal de orden 4 que cumple que ai i = 7. b) Matriz identidad con tres filas. 7 0 a) A = 0 0 006 0 7 0 0 0 0 7 0 0 0 0 7 1 0 0 b) B = 0 1 0 0 0 1

Escribe matrices que cumplan estas condiciones. a) Diagonal de orden 3. b) Triangular superior con tres columnas, de forma que los elementos distintos de 0 cumplan que aij = i + j. Respuesta abierta. Por ejemplo: 2 0 0 a) A = 0 1 0 0 0 8 2 3 4 b) B = 0 4 5 0 0 6

007

realiza la siguiente operacin con matrices: 1 2 1 2 2 3 1 4 0 + 0 3 1 1 0 1 2 2 1 1 2 1 2 2 0 3 1 1 0 3 1 4 0 0 8 2 + = 1 2 2 1 1 1 3

008

averigua los elementos que faltan si A + B = C. 3 4 5 2 c d A= B = 5 a b e 3 1

f 7 6 C = 1 1 0

3 4 5 2 c d f 7 6 5 4 + c 5 + d f 7 6 5 a b + e 3 1 = 1 1 0 5 + e a + 3 b 1 = 1 1 0 f=5 5 + e = 1 e = 4 009 4+c=7c=3 a + 3 = 1 a = 4 5+d=6d=1 b1=0b=1

Haz la siguiente operacin con matrices: 4 3 3 1 0 4 1 0 2 2 1 2 0 3 1 1 2 2 3 1 0 2 1 5 2 1 1 0 3 4 3 3 6 12 1 0 4 1 0 2 5 5 2 1 2 0 3 1 1 2 2 3 1 = 1 2 0 2 1 5 2 1 1 0 1 15 13 3

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Solucionario

1

010

realiza las operaciones indicadas con estas matrices. 1 3 2 0 A= B = 1 2 3 1 a) 2(A B) + 3C b) (2)(A C ) 3(B + 2C )

2 3 C = 1 2

1 3 2 3 8 15 a) 2( A B ) + 3C = 2 2 3 + 3 1 2 = 7 0 3 0 6 0 18 3 2 = b) (2)( A C ) 3( B + 2C ) = (2) 7 2 4 1 5 7 011 calcula la siguiente operacin con matrices: 5 0 2 (3 1 4 ) 5 1 3 (3 1 4 ) 1 0 2 5 0 5 0 2 ( 3 1 4 ) 5 1 3 ( 3 1 4 ) 1 = ( 6 2 8 ) 5 ( 9 3 12) 1 = 0 10 0 2 = 6 0 + 2 5 8 10 9 5 + 3 1 12 0 = 10 80 45 + 3 = 112 2 012 Halla el valor de x en esta igualdad de matrices. 3 x (1 1) (1 x 9) 1 = 0 1 0 3 x (1 1) (1 x 9 ) 1 = 0 x 1 ( 3 x ) = 0 2 x = 4 x = 2 1 0 013 realiza los productos que sean posibles entre las matrices A, B y C. 3 0 1 0 1 4 2 A= B = 1 2 C = 2 1 3 3 2 2 3 7 6 AB = 13 11 3 12 B C = 7 0 11 2 3 0 6 B A = 5 2 8 8 3 13 9 4 14 C A= 1 2 0

A C no se puede multiplicar, ya que la dimensin de A es 2 3 y la de C es 2 2. C B no se puede multiplicar, pues la dimensin de C es 2 2 y la de B es 3 2.

35

Matrices014 Determina la dimensin de la matriz resultante de esta operacin y, despus, comprubalo efectuando las operaciones. 2 1 0 + 3 2 1 4 5 1 2 3 3 0 1 0 2 1 3 La dimensin de la matriz resultante es 2 3.

2 1 0 + 3 2 1 4 5 1 = 4 2 0 + 3 6 9 2 3 3 12 15 0 1 0 2 1 3 6 0 2 22 25 3 = 42 45 11 015 comprueba si se cumple que A (B + C ) = B A + C A, siendo las matrices: 1 1 3 3 0 1 A= B = C = 2 3 2 1 1 1 Si no es cierto, aplica correctamente la propiedad. 1 1 3 1 3 2 3 2 1 + 1 3 1 1 1 3 + 2 1 2 3 1 1 0 1 1 0 1 1 = = 1 2 3 1 0 3 2 0 1 1 5 = 1 2 3 4

1 = 3

3 0 3 3 2 + = 1 3 2 1 1

La igualdad correcta es: A ( B + C ) = A B + A C 1 1 3 1 0 2 1 1 1 1 1 3 0 1 = + = + 2 3 2 1 2 3 1 1 12 5 9 3 3 2 016 realiza la operacin B A + C A, sacando previamente factor comn a la matriz A. 2 0 A = 1 3 0 2 2 0 4 B = 1 3 5 3 1 1 1 3 2 C = 2 0 3 1 1 5

Qu propiedad has aplicado al sacar factor comn? Para sacar factor comn aplicamos la propiedad distributiva por la derecha. B A + C A = (B + C ) A 2 0 0 1 3 4 1 3 2 2 0 3 1 3 = 1 25 ( B + C ) A = 1 3 5 + 2 8 0 1 1 3 1 5 2 12 1 017 calcula (A B)t, siendo A y B las siguientes matrices. 1 7 4 1 3 A = 0 B = 5 8 5 4 t t 1 7 7 4 1 4 1t 1 4 5 1 0 5 31 15 40 0 0 = = 3 3 = 5 4 5 8 5 8 5 4 1 8 7 3 4 57 24 27

36

Solucionario

1

018

realiza esta operacin con matrices: 5 0t 0 1 5 1 9 3 4 + 8 3 7 2 3 5 0 0 1 5 1 9 3 4 + 8 3 7 2 3 t

1 7t 2 0 8 2 = 0 60 33

0 1 5 t 1 7 5 1 3 = 3 4 + 1 0 9 2 0 7 2 3 7 5 9 5 1 3 6 4 = 6 = 27 7 0 9 9 3

019

completa la siguiente matriz para que sea antisimtrica. a 1 b c 0 3 2 d e a 1 b c 0 3 es antisimtrica si: a = 0, b = 2, c = 1, d = 3, e = 0. 2 d e Estudia si la matriz A + B es simtrica. 3 4 1 A = 2 2 1 3 3 0

020

1 4 1 B = 0 2 1 3 3 0

3 4 1 1 4 1 4 8 2 A + B = 2 2 1 + 0 2 1 = 2 4 2 no es simtrica. 3 3 0 3 3 0 0 6 0 021 completa los elementos que faltan en la matriz para que sus filas sean linealmente dependientes. 3 1 b 2 9 a 0 c Para que sus dos filas sean dependientes tienen que ser proporcionales, F2 = F1. 9 = 3 a = 0 = b c = 2 022 = 3 a = 3 3 1 b 2 3 1 0 2 9 a 0 c 9 0=b 3 0 6 c = 6

Determina el rango de las siguientes matrices. 1 1 1 1 3 3 0 a) 2 1 1 1 b) 2 2 6 0 3 3 3 9 7 1

37

Matricesa) Ninguna de las tres filas es proporcional a otra. Comprobamos si alguna fila es combinacin lineal de las otras dos: 1 = 1 2 2 1 = 2 1 = 1 + = 3 1 = + 2 2 F1 = F2 + F3 3 = + 1 = 7 3 = + 0 = 2 2 1 = 1 0 = 2 2 = Como los valores de son diferentes, el sistema no tiene solucin. Ninguna fila es combinacin lineal de las otras dos, entonces las tres filas son linealmente independientes y, por tanto, el rango de la matriz es 3. 1 1 3 Rango 2 1 1 0 3 7 0 1 = 3 1

b) Como F2 = 2F1 y F3 = 3F1, todas las filas son proporcionales. Luego el nmero de filas linealmente independientes es 1 y, por tanto, el rango de la matriz es 1. 1 1 3 Rango 2 2 6 = 1 3 3 9 3 2 7 calcula el rango utilizando el mtodo de Gauss: 0 1 2 3 0 5 3 0 5 3 2 7 0 1 2 F3 = F3 + 5 F1 0 3 0 3 2 7 1 2 = 3 3 0 2 1 19 3 3 7 2 0 35 F = F + 19 F 3 3 3 2 0 3 2 1 0 7 2 73 3

023

3 Rango 0 5

024

1 3 5 7 Halla el rango mediante el mtodo de Gauss: 8 3 2 14 2 1 4 0 1 3 1 3 5 7 5 7 8 3 2 14 0 21 42 42 F2 = F2 8F1 1 2 1 4 0 F3 = F3 2F1 0 7 14 14 F3 = F3 3 F2 1 3 5 7 Rango 8 3 2 14 = 2 2 1 4 0 1 3 5 7 0 21 42 42 2 0 0 0 0

38

Solucionario

1

025

calcula, si es posible, la inversa de estas matrices utilizando la definicin. 1 2 3 5 a) b) 2 4 1 2 a + 2c 1 2 a b 1 0 b + 2d = a) 2a + 4 c 2 4 c d 0 1 2b + 4 d = 1 a + 2c = 1 = 0 b + 2 d = 0 = 0 2( a + 2c ) = 0 = 1 2( b + 2d ) = 1

El sistema no tiene solucin, luego no existe matriz inversa. 3 5 a b 1 0 = b) 1 2 c d 0 1 a = 2 3a 5c = 1 3a 5c = 1 6c 5c = 1 3b 5d = 0 3b 5d = 0 b = 5 c = 1 a + 2c = 0 a = 2c 6d 3 5d = 0 d = 3 b + 2d = 1 b = 2d 1 2 5 Comprobamos que 1 3 es la matriz inversa: 2 5 3 5 1 0 3 5 2 5 1 0 = = 2 0 1 2 1 3 0 1 1 3 1 1 026 2 3 1 Halla, si es posible, la inversa de esta matriz: 3 1 1 0 1 0 2 3 1 a 3 1 1 d 0 1 0 g b c 1 0 0 e f = 0 1 0 0 0 1 h i 2a + g = 1 2b + h = 0 2c + i = 3 3a + g = 0 3b + h = 1 3c + i = 1 a = 1 2a + g = 1 b = 1 3a + g = 0 c = 4 2b + h = 0 3b + h = 1 g = 3 h = 2 2c + i = 3 i = 11 3c + i = 1

2a 3d + g = 1 2b 3e + h = 0 2c 3f + i = 0 3a + d + g = 0 3b + e + h = 1 3c + f + i = 0 d = 0 e = 0 f = 1

1 1 4 Comprobamos que 0 0 1 es la matriz inversa: 3 2 11 2 3 1 1 1 4 1 0 0 3 1 1 0 0 1 = 0 1 0 1 0 3 2 11 0 0 1 0 1 1 4 2 3 1 1 0 0 0 0 1 3 1 1 = 0 1 0 3 2 11 0 1 0 0 0 1

39

Matrices027 calcula, por el mtodo de Gauss-Jordan, la inversa de estas matrices. 6 2 3 7 a) b) 12 5 2 5 6 2 1 0 6 2 1 0 6 0 5 2 a) 12 5 0 1 F2 = F2 2F1 0 1 2 1 F1 = F1 2F2 0 1 2 1 1 0 5 2 6 6 1 F1= F1 2 1 0 1 6 3 7 1 0 3 7 1 0 b) 2 5 0 1 F = F + 2 F 0 1 2 1 2 2 3 1 3 3 3 0 15 21 1 0 5 7 1 2 F1 = F1 + 21F2 0 1 F1 = 1 F1 0 1 2 3 3 3 3F2 =3F2

028

Halla, por el mtodo de Gauss-Jordan, la inversa de la matriz: 3 0 1 2 3 1 1 0 1 3 0 1 1 3 0 1 1 0 0 5 2 2 3 1 0 1 0 0 3 2 3 3 0 1 1 0 0 1 F2 = F2 3 F1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1

3 0 1 1 0 0 0 3 5 2 1 0 3 3 1 F3 = F3 F2 4 2 1 0 0 3 1 9 9 3 3 3 9 3 0 0 2 4 4 3 9 15 0 3 0 2 4 4 F1 = F1 + 9 F3 4 2 1 4 15 F 0 0 1 F2 = F2 4 3 9 3 9 1 1 3 1 0 0 2 4 4 1 3 5 0 1 0 1 2 4 4 F1 = F1 3 1 3 9 0 0 1 F2 = 1 F2 3 2 4 4F3 = 9 F3 4

40

Solucionario

1

029

clasifica las matrices y determina su dimensin. 0 A = (1 2 2) B = 1 7 2 0 D = 0 2 G = 1 0 E = 0 1 1 1 1 H = 0 1 3 0 0 2

0 2 3 3 1 C = 4 0 1 2 3 0 0 F = 0 1 0 0 1 1 3 0 J = 4 8

0 1 2 1 0 3

A = (1 2 2) Matriz fila de dimensin 1 3 0 B = 1 Matriz columna de dimensin 3 1 7 0 2 3 3 1 Matriz cuadrada de orden 3 C = 4 0 1 2 2 0 D = 0 2 Matriz diagonal de orden 2 1 0 Matriz unidad de orden 2 E = 0 1 3 0 0 F = 0 1 0 Matriz triangular inferior de orden 3 0 1 1 0 1 2 Matriz rectangular de dimensin 2 3 G = 1 0 3 1 1 1 H = 0 1 3 Matriz triangular superior de orden 3 2 0 0 3 0 Matriz triangular inferior de orden 2 J = 4 8 030 una empresa de autobuses tiene tres lneas: A, B y C. El lunes salieron 5 autobuses en la lnea A, 3 en la B y 4 en la C. El martes salieron 2 autobuses en la lnea A, 1 en la B y 4 en la C. El mircoles sali 1 autobs en la lnea A, 3 en la B y 5 en la C. represntalo en forma de matriz. Lo representamos en una matriz de dimensin 3 3. Las filas representan los das de la semana: lunes, martes y mircoles. Las columnas corresponden a las lneas A, B y C, respectivamente. Cada elemento de la matriz es el nmero de autobuses. 5 3 4 2 1 4 1 3 5

41

Matrices031 una fbrica elabora dos tipos de productos, X e Y, que vende a tres empresas A, B y C. inicialmente distribua 1.000 unidades de cada producto a cada una, pero en este mes la empresa A recibi 600 unidades de X y 300 de Y; la empresa B recibi 400 unidades de X y 800 de Y, y la empresa C recibi 900 unidades de X y 700 de Y. representa mediante una matriz las disminuciones porcentuales que se han producido en la distribucin de los productos a estas empresas. Las filas corresponden a cada tipo de empresa, A, B y C, y las columnas corresponden al tipo de producto, X e Y. Cada elemento de la matriz es la disminucin porcentual de la produccin. 600 = 40 1.000 400 100 100 = 60 1.000 900 = 10 100 100 1.000 100 100 032 300 = 70 1.000 800 100 100 = 20 1.000 700 100 100 = 30 1.000 100 100 40 70 60 20 10 30

Son triangulares las siguientes matrices? Por qu? 3 0 0 3 2 0 0 4 2 0 1 0 0 1 4 1 0 0 9 0 1 0 1 1 3 2 0 No, porque ni todos los elementos situados por encima de la diagonal 0 1 4 0 1 1 principal, ni todos los situados por debajo, son cero. 0 4 2 1 0 0 No, porque no es cuadrada. 3 0 0 0 1 0 S, porque todos los elementos situados por encima de la diagonal 9 0 1 son cero.

033

Pon dos ejemplos de estas matrices: a) Matriz columna b) Matriz fila c) Matriz diagonal d) Matriz cuadrada e) Matriz triangular superior f ) Matriz triangular inferior 3 2 3 e) 0 3 1 0 0 1 3 0 0 f ) 2 3 0 3 1 1

Respuesta abierta. Por ejemplo: 8 2 0 0 a) 1 c) 0 5 0 0 0 0 7 b) ( 3 2 9 ) 4 9 d) 0 2

42

Solucionario

1

034

Halla los valores de a y b para que las matrices sean iguales. 1 1 b 3 5 3 A = 3 1 0 B = 1 a 1 0 9 9 4 1 4 1 1 b 3 1 5 3 3 1 0 = 1 a 1 0 b = 5, a = 2 9 4 1 9 4 1

035

considera las matrices: 0 1 6 A= 1 4 3 9 1 6 B = 1 8 9

comprueba con esas matrices la propiedad conmutativa de la suma. 0 1 6 9 1 6 9 2 12 = + 1 4 3 1 8 9 0 12 6 9 1 6 0 1 6 9 2 12 = + 1 8 9 1 4 3 0 12 6 5 0 5 5 4 1 y B = 4 2. considera las matrices A = 3 2 1 3 Qu relacin hay entre A B y B A? 0 5 5 5 5 0 A B = 4 1 4 2 = 8 3 3 1 0 1 3 2 5 0 5 0 5 5 B A = 4 2 4 1 = 8 3 1 3 1 0 3 2 A B y B A son matrices opuestas. 037 considera las matrices: A = 1 1 4 0 1 3 calcula. a) A + B C b) A B + C c) A B + C d) A + B + C 0 1 2 B = 1 0 3 2 1 2 C = 1 4 3

036

e) A (B C ) f ) C (A + B) 3 3 0 d) A + B + C = 2 5 3 1 1 4 e) A ( B C ) = A B + C = 3 3 0 3 1 4 f ) C ( A + B ) = A B + C = 0 5 3

3 1 4 a) A + B C = 0 5 3 1 1 4 b) A B + C = 3 3 0 3 1 4 c) A B + C = 0 5 3

43

Matrices038 6 1 2 Determina una matriz X que verifique: A + X = B, siendo A = 1 0 4 y B = 0 1 2. 1 9 3 0 1 2 6 1 2 6 0 = A+ X = B X = B A = 1 9 3 1 0 4 2 9 039 considera las matrices: 3 0 A= 4 8 2 1 1 B = 1 0 3 4 1 2 C = 0 5 3 2 1 0 d) BC 0 1

realiza, si es posible, los siguientes productos. a) AB b) BA c) AC 3 0 2 1 1 6 3 3 a) AB = 4 8 1 0 3 = 0 4 20

b) No se pueden multiplicar B y A, ya que la dimensin de B es 2 3 y la de A es 2 2. c) No se pueden multiplicar A y C, ya que la dimensin de A es 2 2 y la de C es 3 3. 4 1 2 2 1 1 3 3 0 5 3 = 7 d) B C = 1 0 3 1 1 8 2 0 0 040 comprueba que, en general, el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa multiplicando estas matrices: 1 2 2 0 2 1 A = 1 5 3 B = 5 1 3 2 0 0 0 2 2 2 4 2 AB = 26 7 20 2 4 6 041 6 10 6 BA = 5 5 19 4 0 4

comprueba que se cumple la propiedad distributiva del producto de matrices con respecto de la suma utilizando estas matrices. 3 3 1 2 1 0 A= B = C = 4 8 0 2 1 0 3 0 1 2 3 6 A( B + C ) = 4 8 1 2 = 12 8 3 0 3 1 3 0 2 AB + AC = 4 8 0 2 + 4 8 1 9 6 3 3 3 6 = = + 12 12 0 4 12 8 1 = 0

44

Solucionario

1

042

Expresa la condicin que tienen que cumplir dos matrices M y N para que pueda realizarse su suma. Y, si lo que pretendemos es multiplicarlas, qu condicin deben cumplir las matrices?(Galicia. Septiembre 2004. Bloque 1. Pregunta 2)

Para que se puedan sumar dos matrices estas deben tener la misma dimensin. Para que se puedan multiplicar dos matrices el nmero de columnas de la primera debe ser igual al nmero de filas de la segunda. 043 1 1 , B = 2 0 y C = 1 0 , calcula, si es posible: con las matrices: A = 4 1 3 2 1 4 a) 2A 3B b) 2A 3B c) A(B + C) d) A 3B 4 2 a) 2 A 3B = 3 16 6 24 b ) 2 A 3B = 24 48 4 5 c) A( B + C ) = 9 10 5 1 d) A 3B = 0 14

044

1 2 1 1 0 , B = 0 5 y C = 0 1 , con las siguientes matrices: A = 2 0 2 3 6 3 8 calcula, si es posible: a) ABC b) 2AB c) A(B C ) d) B 3C 1 3 0 a) ABC = ( AB )C = 9 14 2 1 6 17 = 6 28 75

1 2 2 2 0 0 5 = 2 6 b) 2 AB = 18 28 0 4 6 3 8 c) No se puede realizar esta operacin ya que B y C no se pueden restar por no tener la misma dimensin. 1 2 0 3 12 39 d) B 3C = 0 5 6 18 = 30 90 48 135 3 8 045 calcula AB y BA, siendo las matrices: A = (1 3 1 AB = (1 3 1 2) = 4 0 2 3 3 9 3 6 1 1 3 1 2 BA = (1 3 1 2) = 0 0 0 0 0 2 2 6 2 4 3 1 2) 3 1 B = 0 2

(La Rioja. Septiembre 2000. Propuesta A. Ejercicio 2)

45

Matrices046 Sea A una matriz m n. a) Existe una matriz B tal que BA sea una matriz fila? Si existe, qu dimensin tiene? b) Se puede encontrar una matriz B tal que AB sea una matriz fila? Si existe, qu dimensin tiene? 1 1 c) Busca una matriz B tal que BA = (0 0), siendo A = 0 1. 0 0 (Asturias. Junio 2001. Bloque 2) a) Para que BA sea una matriz fila, la matriz B tiene que ser una matriz de dimensin 1 m, y la dimensin del producto es 1 n. b) El nmero de filas de la matriz AB no depende de la matriz B, sino que es igual al nmero de filas de la matriz A, que es m. Solo es posible obtener una matriz fila si A es tambin una matriz fila. c) La dimensin de la matriz B es 1 3 B = (a b 1 1 BA = ( a b c ) 0 1 = ( a a + b ) 0 0 ( a a + b ) = ( 0 0 ) a = 0, b = 0 B = ( a b c ) = ( 0 0 c ) con c R. 047 1 1 1 : y B = 1 Dadas las matrices A = 4 1 2 1 a) calcule AB y B A. b) compruebe que (A + B)2 = A2 + B2.(Catalua. Junio 2006. Cuestin 3)

c).

1 1 1 1 3 2 a) AB = 2 1 4 1 = 2 3

1 1 1 1 3 2 BA = 4 1 2 1 = 2 3

b) ( A + B )2 = A2 + AB + BA + B 2 Como en este caso, AB = BA, entonces se cumple (A + B)2 = A2 + B 2. 0 1 0 0 2 1 con las matrices A = 1 4 1 y B = 5 1 3 , 0 0 2 0 0 2 calcula (A + B)2 y A2 + 2AB + B2. Por qu no coinciden los resultados? cul sera la frmula correcta para el cuadrado de una suma de matrices? 0 1 1 0 1 1 4 5 6 ( A + B )2 = 6 5 4 6 5 4 = 22 31 34 2 2 0 2 4 2 2 2 0 4 0 0 0 0 8 5 1 1 A2 + 2 AB + B 2 = 2 16 6 + 40 10 26 + 5 6 4 = 0 0 4 0 4 4 0 0 4 1 1 9 = 47 32 36 0 4 4

048

46

Solucionario

1

Como el producto de matrices no es conmutativo, el clculo correcto sera: ( A + B )2 = A2 + AB + BA + B 2 Lo comprobamos calculando de nuevo el segundo miembro: 4 0 0 0 0 4 A2 + AB + BA + B 2 = 2 16 6 + 20 5 13 + 0 0 4 0 2 2 3 4 1 5 1 1 4 5 6 + 5 4 11 + 5 6 4 = 22 31 34 4 0 4 2 0 0 2 0 4 2 2 1 Se consideran las matrices: A = 1 1 1 2 1 2 Se pide: a) Hallar (A I )2. b) calcular A4 haciendo uso del apartado anterior.(Madrid. Ao 2006. Modelo. Opcin B. Ejercicio 4)

049

1 0 0 I = 0 1 0 0 0 1

1 2 1 1 2 1 0 0 0 1 = 0 0 0 a) ( A I )2 = 1 2 1 1 2 1 2 1 2 0 0 0 1 1 b) ( A I )2 = A2 2 A + I 2 = 0 A2 = 2 A I A4 = ( 2 A I )2 3 4 2 5 8 4 4 2 3 2 = 4 7 4 A4 = ( 2 A I )2 = 2 3 2 2 3 2 4 4 5 3 4 8 3 2 4 050 0 1 1 Sean M = 0 0 1 y N = M + I, donde I denota la matriz identidad de orden n. 0 0 0 2 3 calcula N y M .(Galicia. Junio 2001. Bloque 1. Pregunta 1)

1 1 1 1 1 1 1 2 3 N = 0 1 1 0 1 1 = 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2

0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 M 3 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 = 0 0 0 0 0 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 051 Sean A una matriz de dimensin 5 3, B una matriz de dimensin m n y C una matriz de dimensin 4 7. Si sabemos que se puede obtener la matriz ABC, cules son las dimensiones de B y de ABC ? Para poder obtener el producto, B tiene que tener tantas filas como columnas tenga A y tantas columnas como filas tenga C. Es decir, la dimensin de B es 3 4 y la dimensin del producto ABC es 5 7.

47

Matrices052 Dadas tres matrices A, B y C, se sabe que ABC es una matriz de dimensin 2 3 y que BC es una matriz de dimensin 4 3. cul es el orden de A?(Galicia. Junio 2002. Bloque 1. Pregunta 1)

La dimensin de ABC es 2 3 El nmero de filas de A es 2 y el nmero de columnas de C es 3. La dimensin de BC es 4 3 El nmero de filas de B es 4 y el nmero de columnas de C es 3. Las matrices se pueden multiplicar si el nmero de columnas de A es igual al nmero de filas de B La dimensin de A es 2 4. 053 1 1 . calcular A10. Sea la matriz A = 0 1 (Madrid. Ao 2008. Modelo. Opcin B. Ejercicio 3)

1 1 A= 0 1

1 1 1 1 1 2 = A2 = 0 1 0 1 0 1

1 2 1 1 1 3 = A3 = 0 1 0 1 0 1

1 n A10 = 1 10 En general: An = 0 1 0 1 054 1 0 y sea n un nmero natural cualquiera. Sea la matriz A = 3 1 Encuentra el valor de An para cada n y halla A350 A250.(Pas Vasco. Junio 2003. Bloque A. Cuestin A)

1 0 A= 3 1

1 0 1 0 1 0 = A2 = 3 1 3 1 6 1

1 0 1 0 1 0 = A3 = 6 1 3 1 9 1

1 0 0 1 0 0 0 = A350 A250 = 1 En general: An = 1.050 1 750 1 300 0 3n 1 0 1 0 Sea la matriz A = 0 0 1. Encuentra la regla del clculo de las potencias sucesivas 1 0 0 n de A, es decir, de A para cualquier nmero natural n. 0 A = 0 1 0 A3 = 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 2 0 0 1 0 0 1 = 1 0 0 0 1 A = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 = 0 1 0 = I A4 = I A = A 1 0 1 0 0 0 0 1

055

As, si dividimos n entre 3 tenemos n = 3p + q, donde q, el resto al dividir n entre 3, es un nmero natural menor que 3. A si q = 1 An = A3 p + q = A3 p Aq = I Aq = Aq y Aq = A2 si q = 2 I si q = 0

48

Solucionario

1

056

1 0 1 Dada la matriz A = 0 1 0 , halla A3, A5 y An. 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 2 A2 = 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 3 1 0 1 1 0 4 A4 = 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 n En general: An = 0 1 0 n 0 0 1 1 0 2 1 0 1 1 0 3 A3 = 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 4 1 0 1 1 0 5 A5 = 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1

057

0 0 2 calcula A2.000, siendo A = 0 2 0 . 2 0 0 0 0 1 A = 2 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 A2 = 2 0 1 0 2 0 1 0 = 22 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1 1 0 0 A3 = 22 0 1 0 2 0 1 0 = 23 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 En general: 1 0 0 Si n es un nmero par resulta: A = 2 0 1 0 0 0 1 n n

0 0 1 Si n es un nmero impar resulta: An = 2n 0 1 0 1 0 0 1 0 0 As, tenemos que: An = 22.000 0 1 0 0 0 1 058 2 2 2 Sea la matriz A = 2 2 2 . Se pide: 2 2 2 a) comprobar que A3 2A2 = 0.(Madrid. Ao 2005. Modelo. Opcin B. Ejercicio 2)

b) Hallar An.

a) A3 2 A2 = 0 A2 ( A 2I ) = 0 2 2 2 2 2 2 4 4 4 A2 = 2 2 2 2 2 2 = 4 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 0 2 2 0 0 0 A2 ( A 2I ) = 4 4 4 2 0 2 = 0 0 0 4 4 4 2 2 4 0 0 0 0 2 2 A 2I = 2 0 2 2 2 4

49

Matricesb) A3 = 2 A2 A4 = AA3 = A2 A2 = 2 A3 = 2 2 A2 A5 = 23 A2 4 En general: An = 2n2 A2 = 2n2 4 4 059 1 1 n Sea A = 0 2. calcula A . 1 1 A= 0 2 1 3 1 1 1 7 A3 = A2 A = 0 4 0 2 = 0 8 1 2n 1 En general: An = 2n 0 060 1 a Sea la matriz A = 0 1 : a) Para cada nmero natural n, hallar An. b) calcular A22 12A2 + 2A.(Pas Vasco. Junio 2006. Bloque A. Cuestin A)

= 22 A2 1 1 1 4 4 4 4 = 2n 1 1 1 1 1 1 4 4

1 1 1 1 1 3 A2 = 0 2 0 2 = 0 4 1 7 1 1 1 15 A4 = A3 A = 0 8 0 2 = 0 16

1 a a) A = 0 1

1 a 1 a 1 2a = A2 = 0 1 0 1 0 1

1 2a 1 a 1 3a A3 = A2 A = 0 1 0 1 = 0 1 1 na En general: An = 0 1 1 22a 0 12 1 2a + 2 1 a = 9 b) A22 12 A2 + 2 A = 0 1 0 1 0 1 0 9 061 0 a 0 Dada la matriz A = 0 0 a . Hallar An para todo entero positivo n. 0 0 0 (Aragn. Junio 2001. Opcin A. Cuestin 1)

0 A2 = 0 0 0 A3 = 0 0

a 0 0 0 a 0 0 0 0 2 0 a 0 0 0 0 0 0 0

a 0 0 0 a = 0 0 0 0 a 0 0 0 a = 0 0 0 0

0 a2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A si n = 1 An = A2 si n = 2 0 si n 3

50

Solucionario

1

062

0 0 1 Sea la matriz A = 0 a 0 . 1 0 2 Halla el valor o los valores de a para que se cumpla la identidad A2 + 2A + I = 0, siendo I la matriz identidad de orden 3 y 0 la matriz nula de orden 3.(Aragn. Junio 2000. Opcin A. Cuestin 1)

1 0 2 0 A2 = 0 a 2 3 2 0 0 0 2 2 A = 0 2a 0 2 0 4 2 1 0 2 0 0 A2 + 2 A + I = 0 0 a 2 0 + 0 2a 2 0 3 2 0 0 0 0 0 0 a 2 + 2a + 1 0 = 0 0 0 0 0 063 Sean A, I y B las matrices dadas por: 0 1 1 A = 1 1 0 1 0 0 1 0 0 I = 0 1 0 0 0 1 6 3 4 B = 3 2 1 1 5 4 2 1 0 0 0 0 0 0 + 0 1 0 = 0 0 0 4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 a 2 + 2a + 1 = 0 a = 1 0 0

contestar razonadamente a la siguiente pregunta: Existe algn valor de R tal que la igualdad (A I )2 = B sea cierta? En caso afirmativo, hallar dicho valor de .(Pas Vasco. Julio 2007. Bloque A. Cuestin A)

1 1 A I = 1 1 0 1 0 2 + 1 2 1 1 1 1 2 + 2 1 1 0 1 1 0 = 2 + 1 2 2 + 2 ( A I) = 1 1 1 2 0 0 2 1 + 1 2

2 + 2 2 + 1 2 6 3 4 ( A I) = B 2 + 1 2 2 + 2 1 = 3 2 1 2 4 2 1 5 1 + 1 2

Igualando el elemento a13 de las dos matrices: 2 = 4 = 2 Comprobamos el resultado para los dems elementos. 2 + 2 2 + 1 2 = 2 6 3 4 2 + 1 2 2 + 2 1 3 2 1 2 2 4 1 5 1 + 1

51

Matrices064 2 1 2 Demuestra que la matriz A = 1 2 verifica una ecuacin del tipo A + A + I = 0, determinando y (I denota la matriz identidad).(Galicia. Septiembre 2003. Bloque 1. Pregunta 1)

2 1 A= 1 2

2 1 2 1 5 4 A2 = 1 2 1 2 = 4 5

5 4 2 1 1 0 0 0 A2 + A + I = 0 4 5 + 1 2 + 0 1 = 0 0 5 + 2 + 4 + 0 0 = 4+ 5 + 2 + 0 0 5 + 2 + = 0 = 4 4 + = 0 = 3

065

Sean I y A las matrices cuadradas: 1 0 I = 0 1 a) las matrices A2 y A5. b) los nmeros reales y para los que se verifica (I + A)3 = I + A.(C. Valenciana. Junio 2008. Bloque 1. Problema 2)

17 29 A= 10 17

calcular, escribiendo las operaciones necesarias:

17 0 29 17 29 1 = = I a) A2 = 10 17 10 17 0 1 17 29 5 2 2 A = A A A = (I ) (I ) A = A = 10 17 b) ( I + A)3 = ( I + A) ( I + A) ( I + A) = ( I + A) ( I + 2 A + A2 ) = I + 3 A + 3 A2 + A3 = = I + 3 A + 3 A2 A = I + 2 A 3I = 2 A 2I 3 ( I + A) = I + A,siendo = 2y = 2 066 calcula la matriz traspuesta de cada una de estas matrices: A = (1 7 2) 4 0 D = 0 4 1 At = 7 2 4 0 Dt = 0 4 0 B = 1 7 0 1 7 E = 1 9 3 Bt = (0 1 7) 0 1 E t = 1 9 7 3 5 4 3 3 1 C = 4 2 8 9

5 4 2 3 8 C t = 4 1 9 3

52

Solucionario

1

067

2 1 y B = 0 1, comprueba que se cumplen con las matrices A = 0 3 4 1 las siguientes propiedades. a) (At )t = A b) (A + B)t = At + Bt c) (AB)t = BtAt 2 0 2 a) ( At )t = 1 4 = 0 t t

1 = A 4

2 2 2 3 = b) ( A + B )t = 3 5 2 5 2 0 0 3 2 3 At + B t = 1 4 + 1 1 = 2 5 3 3 = 3 12 c) ( AB )t = 12 3 4 4 0 3 2 0 3 12 B t At = 1 1 1 4 = 3 4 068 Determina qu matrices son simtricas o antisimtricas, y realiza los clculos que se indican, si es posible. 2 1 2 3 A= 1 5 2 3 2 a) AtC b) CDt 2 0 B = 0 2 0 1 2 C = 1 0 3 2 3 0 e) AtC t f ) (3E )t 1 0 D = 0 1 1 1 1 1 E = 1 1 t

c) (B + E )t d) DDt

Son simtricas las matrices A y B, y es antisimtrica la matriz C. 2 1 2 0 1 2 5 4 7 a) At C = 1 5 3 1 0 3 = 1 10 17 2 3 2 2 3 0 1 4 5 b) No se puede multiplicar CD t ya que la dimensin de C es 3 3 y la de D t es 2 3. 3 1 3 1 c) ( B + E )t = 1 3 = 1 3 1 0 1 0 1 1 0 1 d) DD t = 0 1 0 1 1 = 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 0 1 2 5 4 7 e) At C t = 1 5 3 1 0 3 = 1 10 17 2 3 2 2 3 0 1 4 5 3 3 3 3 f ) ( 3E )t = 3 3 = 3 3 t t

53

Matrices069 responde a estas preguntas. a) Existe siempre el producto At A, siendo A una matriz cualquiera? Por qu? b) El producto de dos matrices simtricas de la misma dimensin es tambin una matriz simtrica? Por qu? a) S, porque si la dimensin de A es m n entonces la de At ser n m, y por tanto, la dimensin de la matriz producto AtA ser n n. b) En general, no, porque ( AB )t = B t At = BA . 070 Sean A, B y C tres matrices tales que su producto ABC es una matriz de dimensin 3 2 y su producto AC t es una matriz cuadrada, siendo C t la traspuesta de C. calcula, razonando la respuesta, las dimensiones de A, B y C.(Galicia. Septiembre 2006. Bloque 1. Opcin 1)

dimensin (A) = m n

dimensin (B ) = p q

dimensin (C ) = r s

dimensin (ABC ) = 3 2 m = 3 y s = 2, n = p y q = r La matriz AC t es una matriz cuadrada n = s y m = r. dimensin (A) = 3 2 071 dimensin (B ) = 2 3 dimensin (C ) = 3 2

En cada una de las matrices, determina mentalmente cul es el mayor nmero de filas y de columnas linealmente independientes. A = (1 2 3) 0 B = 1 3 2 0 6 E = 1 0 3 1 4 5 C = 2 5 7 3 6 9 1 3 4 F = 0 0 0 2 6 8

2 0 D= 0 2

A = (1 2 3) 1 fila y 1 columna 0 B = 1 1 fila y 1 columna 3 1 4 5 C = 2 5 7 2 columnas (1.a y 2.a) y 2 filas 3 6 9 2 0 2 columnas y 2 filas D = 0 2 2 0 6 E = 1 0 3 1 fila y 1 columna 1 3 4 F = 0 0 0 1 columna y 1 fila 2