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CONSIDERAÇÕES SOBRE A APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA EM
RELAÇÃO AO CÁLCULO DE ÁREA, POR MEIO DO CONTEÚDO DE
“INTEGRAIS”
Adriana Helena Borssoi
Reginaldo Fidelis
Lourdes Maria Werle de Almeida
LINHA DE PESQUISA Educação Matemática no ensino superior.
RESUMO As Engenharias possuem em sua grade curricular as disciplinas de Cálculo Integral e Diferencial I e II, que trabalham de forma sistemática e conceitual o uso de Integrais; uma importante aplicação deste conceito, sempre destacada, é no cálculo de áreas. De forma geral, para obter uma maior precisão nos cálculos de área de secção transversal, utilizamos as Integrais. Assim, procuramos neste trabalho, averiguar se os alunos relacionam de forma significativa o cálculo de áreas por meio de integrais. Escolhemos como contexto de estudo uma atividade desenvolvida na disciplina de Cálculo Numérico, disciplina oferecida em um momento do curso em que os alunos já cursaram disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral. Nesta investigação, de abordagem qualitativa, foram analisadas produções escritas de um grupo de alunos e uma entrevista semi-estruturada. Para finalizar, apresentamos algumas reflexões em relação à atividade desenvolvida, à luz da Aprendizagem Significativa.
Palavras-chave: Ensino de Matemática. Aprendizagem Significativa. Integrais.
1 INTRODUÇÃO
Este texto decorre de uma pesquisa desenvolvida durante o período de realização
de uma disciplina, no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação
Matemática da Universidade Estadual de Londrina, sobre a Construção do Conhecimento
em Educação Matemática, ofertada no segundo semestre de 2010.
Encontramos no trabalho de Valadares (2007), estudado na referida disciplina, um
referencial para nosso estudo, ao qual incorporamos outros autores relevantes. De fato, a
2
temática considerada neste estudo segue a linha desenvolvida na pesquisa de Borssoi
(2004), que abordou a Aprendizagem Significativa em atividades de Modelagem
Matemática como estratégia de ensino. Contudo, neste caso, trataremos a Aprendizagem
Significativa à luz da qual pretendemos inferir sobre o conhecimento de um grupo de
alunos em uma atividade matemática. Assim, o objetivo almejado é averiguar se esse
grupo de alunos relaciona de forma significativa o cálculo de área por meio do conteúdo de
“Integrais”.
Este texto está organizado da seguinte forma: na seção 2 apresentamos alguns
aspectos teóricos relacionados à Aprendizagem Significativa; na terceira seção será
destacado o contexto em que foi desenvolvida a atividade “vazão em um segmento de
Rio”; na quarta seção realizamos algumas reflexões em relação à atividade desenvolvida, à
luz da Aprendizagem Significativa. Em seguida, na seção 5, são apresentadas as
Considerações Finais.
2 ALGUNS ASPECTOS DA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA
A Teoria da Aprendizagem Significativa, segundo Valadares (2007), é
classificada como Construtivismo Humano, ou humanista. Para Novak (apud
VALADADES, 2007, p. 342) é “uma visão da criação de significados que engloba quer
uma teoria da aprendizagem quer uma epistemologia da construção do conhecimento”.
Podemos indicar como princípios fundamentais em que se assenta o
construtivismo humano, os seguintes: os seres humanos são criadores de significados; o
objetivo da educação é a construção de significados compartilhados; os significados acerca
da experiência humana vão se modificando através do pensamento, sentimentos e ações;
esta capacidade de construir significados e traduzi-los em juízos surge quer nos estudantes
quer nas comunidades científicas como comunidades de aprendizagem que são
(VALADARES, 2007).
Esta visão mais humanista foi introduzida mais tarde, porém, as bases da teoria
são devidas a David Ausubel. A idéia mais importante e as possíveis implicações, segundo
Moreira (2006), para o ensino e aprendizagem da teoria de Ausubel pode ser resumida na
seguinte proposição: Se tivesse que reduzir toda psicologia educacional a um só princípio, diria o seguinte: o fator mais isolado que influência a aprendizagem é aquilo que o aprendiz já sabe. Averigüe isso e ensine-o de acordo (AUSUBEL, 1980).
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De acordo com Moreira (2006):
Ao falar “aquilo que o aprendiz já sabe” Ausubel está se referindo a “estrutura
cognitiva”. Para que a estrutura cognitiva já existente facilite a aprendizagem, é
preciso que seu conteúdo tenha sido aprendido de forma significativa, ou seja, de
forma substantiva e não arbitrária.
Ausubel se refere a “averigüe isso” como “desvelar a estrutura cognitiva
preexistente”, isto é, verificar os conceitos, as idéias, proposições disponíveis na
estrutura cognitiva do indivíduo e suas inter-relações, organização.
Ao mencionar “ensine-o de acordo” Ausubel coloca que o ensino deve ser baseado
naquilo que o individuo já sabe.
Dessa forma, o conceito central da teoria de Ausubel é o da Aprendizagem
Significativa, que pode ser definida como um processo por meio do qual o sujeito que
aprende relaciona, de maneira não-arbitrária e substantiva, uma nova informação a um
aspecto relevante de sua estrutura cognitiva. Moreira (1999) esclarece estes dois novos
conceitos, como vemos a seguir.
A não-arbitrariedade e a substantividade são conceitos básicos que caracterizam a
Aprendizagem Significativa. A não-arbitrariedade indica que o relacionamento de uma
nova informação deve se dar com um conhecimento especificamente relevante da estrutura
cognitiva de quem aprende, não com um aspecto qualquer, arbitrário, da mesma. A
substantividade significa que o que é essencial na nova informação é que deve ser
interiorizada pela estrutura cognitiva, não as palavras ou símbolos específicos usados para
expressá-la. (BORSSOI, 2004)
A nova informação interage com uma estrutura de conhecimento específica, que
Ausubel chama de conceito “subsunçor”. Para haver uma aprendizagem significativa, o
aluno deve relacionar o que está aprendendo a um conceito subsunçor, ou seja, um
conhecimento que o aluno possua previamente, mais generalizado e mais abrangente. Um
conceito acima na sua estrutura cognitiva. Assim se o aluno relacionar o novo conceito que
está vendo com os conceitos previamente adquiridos, ele terá uma maior facilidade de
aprender.
No âmbito escolar a Aprendizagem Significativa e a Aprendizagem Mecânica (ou
Automática) estão entre os principais tipos de aprendizagem, esta última como sendo
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aquela em que as novas informações são apreendidas praticamente sem interagirem com os
conceitos relevantes existentes na estrutura cognitiva, ou seja, de forma arbitrária e não-
substantiva. Conforme Moreira (2006) a distinção entre a Aprendizagem Significativa e a
Aprendizagem Mecânica não deve ser confundida com a distinção entre a aprendizagem
por “descoberta” e “recepção”. Na aprendizagem receptiva o que deve ser aprendido é
apresentado ao sujeito de forma acabada, enquanto na aprendizagem por descoberta, o
conteúdo a ser aprendido deve ser descoberto pelo sujeito antes e só depois incorporado
significativamente por sua estrutura cognitiva.
A aprendizagem por descoberta não é, necessariamente, significativa nem a
aprendizagem receptiva é, obrigatoriamente, mecânica. A aprendizagem é, em parte,
consequência da estratégia de ensino. Assim, tanto a aprendizagem receptiva, como a
aprendizagem por descoberta podem ser significativa ou automática, dependendo das
condições em que ocorrem. Essas condições não se referem apenas à estratégia de ensino
adotada pelo professor, mas envolvem também aspectos específicos de cada sujeito e,
dentre esses, os aspectos motivacionais. Mas é claro que a maneira como os conteúdos são
disponibilizados aos alunos em uma situação de ensino, pode levar a uma aprendizagem
mais significativa ou mais automática.
Conforme mencionado por Moreira (1999, 1997), essencialmente, o processo da
aprendizagem significativa está no relacionamento não-arbitrário e substantivo de idéias
simbolicamente expressas por algum conceito ou proposição que já é significativo,
presente na estrutura cognitiva e adequado para interagir com a nova informação. Durante
a interação, o conhecimento prévio se modifica pela aquisição de novos significados,
porém, quando essa interação não ocorre adequadamente, as novas informações podem ser
armazenadas de maneira arbitrária e literal, caracterizando a aprendizagem automática.
Pela teoria da Aprendizagem Significativa, percebe-se que a estrutura cognitiva
do sujeito é a variável mais importante no processo de ensino. Mas, estruturar uma
proposta de ensino e aprendizagem que considere os pressupostos da Aprendizagem
Significativa não é garantia de que ela ocorra nos estudantes. Assim, se faz necessário
encontrar uma maneira de investigar se a aprendizagem dos estudantes caracteriza uma
Aprendizagem Significativa.
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Borssoi e Almeida (2005) apresentam dois grupos distintos de aspectos a serem
considerados como indicativos de Aprendizagem Significativa no desenvolvimento de uma
atividade de Matemática.
O primeiro grupo, leva em conta os aspectos motivacionais relacionados com
atitudes e com a predisposição para a aprendizagem.
Envolvimento nas atividades: a participação ativa nas atividades de
aprendizagem pode indicar se há predisposição do aluno para aprender significativamente.
Elaboração de estratégias próprias: a aprendizagem pode ser mais ou menos
significativa dependendo das estratégias adotadas pelo aluno.
Aprendizagem extraconteúdo: uma atividade de ensino pode fazer emergir um
conjunto de aprendizagens que envolvem, além de aspectos do próprio conteúdo, outros
tais como, aprendizagem sobre o contexto, aprendizagem de habilidades, aprendizagem de
atitudes, aprendizagem de valores.
O segundo grupo de aspectos leva em conta questões cognitivas, para observar se
há Aprendizagem Significativa do conteúdo.
Compreensão conceitual: a aprendizagem de conceitos é central para a
Aprendizagem Significativa. A compreensão conceitual requer a interação entre a nova
informação e a estrutura conceitual já existente, que remete à existência de conhecimentos
prévios relevantes para que o aluno relacione adequadamente uma nova informação com
sua estrutura cognitiva.
Construção e manipulação de representações múltiplas: habilidades com este
aspecto podem evidenciar o relacionamento não-arbitrário e substantivo do conhecimento
com a estrutura cognitiva.
Aplicação do conhecimento a situações novas: a aprendizagem significativa é
evidenciada quando o aluno consegue reconhecer a aplicabilidade de determinado
conhecimento em uma nova situação.
Retenção do conhecimento por longo tempo: quando o aprendizado é
significativo os conceitos aprendidos permanecem por mais tempo claros e diferenciados
na estrutura cognitiva, em relação à aprendizagem memorística. Em caso de esquecimento,
são facilmente reativados.
Para observar os aspectos apresentados é necessário um acompanhamento
criterioso das produções dos estudantes, bem como das atitudes dos mesmos durante as
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atividades de aprendizagem. A análise dos dados envolve uma abordagem interpretativa
dos mesmos. Neste sentido, os valores e as experiências do investigador não podem ser
completamente desvinculados da análise.
3 ATIVIDADE: CÁLCULO DA VAZÃO EM UM SEGMENTO DE RIO
Apresentaremos aqui uma atividade proposta aos alunos da disciplina de Cálculo
Numérico, por meio da qual pretendemos averiguar se a aprendizagem dos alunos em
relação ao cálculo de área por meio de integrais, conteúdo este trabalhado na disciplina
Cálculo Diferencial e Integral I e II, foi significativa.
O contexto do estudo se deu na disciplina de Cálculo Numérico do Curso de
Engenharia Ambiental, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. Esta
disciplina é ministrada no quarto semestre da grade curricular, quando os alunos,
necessariamente, já tenham cursado as disciplinas Cálculo Diferencial e Integral I e II,
sendo este o motivo da escolha dessa disciplina para realização deste trabalho.
Esta disciplina tem uma carga horária de 60 horas aula, divididas igualmente entre
aulas práticas e teóricas.Nas aulas práticas a turma é dividida em duas, para que o
laboratório de informática comporte o número de alunos. No segundo semestre de 2010 a
turma era composta por 32 alunos, sendo que nas aulas práticas um grupo ficava com 11 e
outro com 21 alunos.
As aulas práticas eram realizadas sempre em laboratório de informática, com o
objetivo de utilizar recursos computacionais que proporcionassem meios para auxiliar na
interpretação geométrica e na simulação de resultados numéricos. Além disso, um objetivo
presente era a implementação de algoritmos que possibilitassem aplicações dos métodos
numéricos para a resolução de problemas matemáticos. Os principais recursos utilizados
foram Software Numérico, VCN, planilhas eletrônicas como Excel ou BrOffice, e outros
recursos como: Software GeoGebra, wxMaxima, Maple 13. A linguagem Java foi utilizada
para implementação de alguns algoritmos no decorrer das aulas, pois, foi a linguagem de
programação estudada pelos alunos no início do curso. O acesso à Internet era outro
importante recurso disponível.
A atividade descrita a seguir foi proposta aos alunos depois que eles já haviam
estudado os conceitos e métodos sobre: determinação de raízes de equações; sistemas de
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equações lineares; e, interpolação polinomial. Não foi mencionado que conteúdo eles
deveriam utilizar para resolver a atividade, mas foi solicitado que cada um a desenvolvesse
individualmente. Para isso, poderiam fazer uso de seus conhecimentos, tanto os estudados
na disciplina, quanto em outras áreas. Os alunos tiveram o tempo de duas aulas para
desenvolver, ao final das quais deveriam enviar o(s) arquivo(s) à professora, por e-mail.
Para o desenvolvimento da atividade a professora informou que, mesmo que solicitada, não
faria intervenções no que diz respeito às estratégias de resolução; e solicitou que fossem
minuciosos no desenvolvimento.
Para o desenvolvimento deste trabalho não houve intenção dos pesquisadores em
criar um ambiente de aprendizagem específico, ou seja, a atividade proposta se deu no
ambiente de sala de aula, pois o objetivo desse trabalho consistia em averiguar se a
aprendizagem dos alunos em relação ao cálculo de área por meio de integrais, foi
significativa, já que todos os alunos participantes cursaram as disciplinas de Cálculo
Diferencial e Integral I e II, disciplinas estas que trabalham de forma exaustiva, sistemática
e conceitual o uso de integrais para o cálculo de áreas.
A seguir, apresentamos o enunciado da atividade e, posteriormente, um quadro
com os diferentes encaminhamentos estruturados pelos alunos.
Nesta questão, pretende-se saber a velocidade de fluxo de um rio, em um trecho
de seu leito, no centro da cidade. São feitas medidas da profundidade em vários lugares do
rio para avaliar a seção transversal do mesmo. A largura do rio é 20 m onde foram feitas
seis medidas da profundidade: uma em cada borda e as outras com intervalos de 4 m,
conforme indicado na Figura 1. Supondo que foi cronometrado um flutuador pelo rio e
que ele viaja a 14m por minuto:
i) Descreva um (ou mais) procedimento(s) para calcular uma aproximação
para a área da seção transversal exibida na figura.
ii) Considerando também que, a seção transversal do rio é essencialmente
constante na distância de 14m que a água flui em um minuto, encontre uma aproximação
para o volume que fluiu em um minuto.
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iii)
Figura 1: Representação de um corte transversal do rio.
3.1 CONSIDERAÇÕES METODOLÓGICAS
Em consonância com os pressupostos da pesquisa qualitativa, este trabalho
consiste em uma investigação de caráter descritivo, sendo que a investigação ocorre em
ambiente natural, tendo o investigador como principal responsável pela coleta de dados.
Após a leitura dos arquivos enviados pelos alunos, foi possível organizar três
categorias de resoluções, as quais podem ser conhecidas no Quadro 1. Para os propósitos
deste trabalho, consideramos adequado tomarmos um representante de cada categoria para
a realização de uma entrevista, que será considerada uma fonte de informações para a
análise. São eles: Aluno J, Aluno A e Aluno C. A escolha dos alunos se deu a partir de uma
análise prévia de suas produções no desenvolvimento da atividade.
As observações de aula foram registradas pela professora e os pesquisadores
realizaram entrevista semi-estruturada com cada um dos três alunos individualmente. A
entrevista, realizada no final do semestre letivo, foi transcrita e utilizada como fonte para a
compreensão da problemática investigada.
Quadro 1: Categorias de resolução da atividade
Nº de Alunos Forma resumida de resolução
23 Os alunos representaram no eixo ordenado as seis medidas de profundidade apresentadas
no problema. Em seguida, ajustaram uma curva (polinômio de grau 5), com o intuito de
representar a seção transversal do rio. Calcularam a área por meio da integral dessa função
limitada de 0 a 20.
Finalizando, calcularam a vazão do rio pelo produto da área da seção transversal pela
velocidade do fluxo do rio.
4 m
8,5m 9,0m 8,7m 7,0m 6,4m 6,0m
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Os alunos realizaram toda a atividade usando alguns softwares: GeoGebra, Numérico e o
VCN. O software mais utilizado foi o GeoGebra.
2 Transformaram cada subdivisão da seção do rio em triângulos, retângulos e/ou trapézios.
A área total da seção foi a soma das áreas de cada figura plana.
Finalizando, calcularam a vazão do rio pelo produto da área da seção transversal pela
velocidade do fluxo do rio.
2 Calcularam a área da seção plana de duas formas:
1ª resolução: Transformaram cada subdivisão da seção do rio em triângulos, retângulos
e/ou trapézios. A área total da seção foi a soma das áreas de cada figura plana.
2ª resolução: Os alunos representaram no eixo ordenado as seis medidas de profundidade
apresentadas no problema. Em seguida, ajustaram uma curva (polinômio de grau 5), com
o intuito de representar a seção transversal do rio. Calcularam a área por meio da integral
dessa função limitada de 0 a 20.
Os alunos realizaram toda a atividade (2ª resolução) usando alguns softwares: GeoGebra,
Numérico e o VCN. O software mais utilizado foi o GeoGebra.
Finalizando, calcularam a vazão do rio pelo produto da área da seção transversal pela
velocidade do fluxo do rio.
3.2 Resolução dos Alunos
No Quadro 1 as categorias são assim colocadas: primeira categoria – o aluno
desenvolveu a atividade sem utilizar o conteúdo “integral”, utilizou apenas as idéias
envolvidas no cálculo de áreas por figuras planas; segunda categoria - o aluno desenvolveu
a atividade usando apenas o conceito de “Integral” e alguns softwares para ajudá-lo no
desenvolvimento da atividade; terceira categoria - desenvolveu a atividade de duas formas
diferentes, utilizando apenas as idéias envolvidas no cálculo de áreas por figuras planas, e
utilizando o conceito de “integral”, juntamente com alguns softwares para ajudá-lo no
desenvolvimento da atividade.
A resolução apresentada pelos referidos alunos, são colocadas na sequência:
Resolução do Aluno J
“Primeiramente, os pontos de A a F foram “plotados” no software GeoGebra,
após isso, foi feita a regressão polinomial, para aproximar o polinômio que interpolaria
os 6 pontos e, por ultimo, foi calculada a integral definida da função entre os pontos x=0 e
x=20, para se obter a área da seção transversal do rio. Tomando a área em módulo, temos
que ela é igual a 153,8517 m2.
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Como temos a área da sessão, e considerando que a seção transversal do rio é
constante, podemos obter o volume de água que flui em um minuto: V(x) = 153,85417*14
= 2153,95838 m3 de água.”
Resolução do Aluno A
“Para o cálculo da área da seção transversal deste rio, utilizarei a técnica dos
trapézios. Na qual a área será a soma das áreas dos trapézios na qual a figura será
divida. Neste caso, serão 5 trapézios.
Base maior Base menor Altura Área do trapézio 1 9 8,5 4 35 2 9 8,7 4 35,4 3 8,7 7 4 31,4 4 7 6,4 4 26,8 5 6,4 6 4 24,8 Área total 153,4
*Os valores das bases são em metros e as áreas em metros quadrados.
Outra alternativa possível é somando todas as profundidades, incluindo o das
bordas e dividindo pelo número de divisões feitas no rio. Em seguida multiplique pela
largura total do rio:
1) 8,5+9+8,7+7+6,4+6 = 45,6
2) 45,6/6 = 7,6
3) Área: 7,6*20 = 152 metros quadrados
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Utilizando as duas áreas obtida anteriormente, temos que o volume de água que
flui por minuto é, respectivamente: Volume 1 = 2147,6 metros cúbicos e Volume 2 = 2128
metros cúbicos.”
Resolução do Aluno C
“Existe primeiramente um método de forma muito simplificada, podemos fazer
um somatório da área de cada coluna formada pela divisão de 4 metros. Obviamente, este
método não possui muita precisão. Para aumentar essa precisão, podemos considerar a
área das colunas como a soma da área de um quadrado (menor medida multiplicado pela
largura), mais a área de um triangulo (diferença entre a maior e menor medida
multiplicado pela largura e dividido por 2). A seguir os cálculos e o resultado para a área.54321 areaareaareaareaareaA
)2
44,046()2
46,044,6()2
47,147()49()2
45,045,8(
A
2154mA
Outro método possível e de maior precisão, é fazer a interpolação dos pontos e
descobrir a função que simula o comportamento do fundo do rio. A integração dessa
função nos dará a área da seção transversal do rio. Para fazer a interpolação utiliza-se o
software Geogebra, que utiliza o método dos mínimos quadrados. A função encontrada é:
5,834375,025182,004329,000262,000005,0)( 2345 xxxxxxf
220
0
85,153)( mdxxfA
Para calcular o volume que flui em um minuto, considerando a área constante:
lAV lmV 21539009,21531485,153 3 ”
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4 ALGUMAS REFLEXÕES EM RELAÇÃO À ATIVIDADE DESENVOLVIDA À LUZ DA
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA
A partir da fundamentação teórica que sustenta a teoria da Aprendizagem
Significativa, pode-se considerar que a aprendizagem dos estudantes sofre influência de
diversos fatores. Entre estes fatores podemos citar o material de ensino, a condição de que
existam conhecimentos prévios relevantes e uma estrutura cognitiva organizada capaz de
relacionar adequadamente a nova informação de tal forma que os significados produzidos
individualmente sejam os reconhecidos como corretos.
Analisaremos então, a atividade de acordo com os dois grupos distintos de
aspectos a serem considerados como indicativos de Aprendizagem Significativa,
apresentados na seção 2.
4.1 Aspectos Motivacionais
Abordamos nesta seção as informações obtidas em relação aos aspectos
motivacionais apresentados pelos alunos no desenvolvimento desta atividade.
Em relação ao envolvimento nas atividades, foi possível observar interesse e
envolvimento dos alunos. Assim como relatam:
A atividade foi legal, tanto que mandei pra ela no mesmo dia (alguns alunos não
conseguiram finalizar a atividade e poderiam entregar no dia seguinte) (Aluno J);
Hum.... há não sei, meu problema é em todas as disciplinas. É sentar e estudar.
Sou meio imperativo, não consigo sentar e ficar estudando, por isso estudo muito picado,
muito assim, bate o olho (da aquela revisada), só no outro dia olho de novo. O maior
problema mesmo é consegui se concentrar para estudar. Mas nessa atividade, sei lá, sentei
e fiz....(Aluno A)
Sim, tudo que a gente aprende aqui é válido, tudo tem um propósito. Tudo que a
gente aprende acho que é significativo. (Aluno C)
Em muitas situações do contexto escolar o aluno se depara com a necessidade de
adotar estratégias próprias, mesmo em situações corriqueiras como de identificar um
determinado método de resolução, adequado para o cálculo de área. Este aspecto foi
evidenciado nos alunos no desenvolvimento da atividade.
...vi o desenho do rio, da área do rio e pensei se dava pra fazer uma curva com
aquilo, integrar a curva, obter a área e multiplicar pelo volume, pela vazão para obter o
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volume.... Primeiro coloquei os pontos no gráfico, daí usei o software para interpolar
esses pontos, para achar um polinômio, polinômio interpolador desses pontos, para ter
uma integral definida entre o ponto 0 e 20, que seria a área da secção. (aluno J)
...pra mim era o jeito mais fácil e rápido de resolver, não que cálculo seja difícil.
Como é uma coisa que teoricamente se aprende desde a quarta, quinta série (se referindo
ao cálculo de área) podia resolver. O raciocínio vem muito mais rápido...(aluno A)
A professora tinha pedido pra gente fazer da forma que a gente quisesse,
soubesse fazer. Comecei pelo mais simples, tinha maior chance de erro. Depois fui
refinando, usando técnicas que a gente sabe que é mais precisa.... (forma mais simples
citada pelo aluno) Pensei em como a gente chega em integral, a gente tenta pegar
pequenos dx e calcular a área de cada coluna, só nesse caso seriam maiores. Calculei
cada coluna e como as pontas não seria quadrados, então pra ter aproximação maior eu
fiz pequenos triângulos nas pontas. Eu teria cada dx teria um retângulo e mais um
triangulo na ponta,.e somei tudo. (forma mais refinada citada pelo aluno) Usei o
GeoGebra porque eu sei que ela faz interpolação pelo método dos mínimos quadrados,
quer dizer o GeoGebra seria mais fácil colocar os pontos e já pedir a regressão
polinomial. eu pensei o fundo do rio como se fosse uma função, teria que ter uma função
com esses pontos do rio. E com o resultado da regressão polinomial do GeoGebra e
calcular a área. (aluno C)
A aprendizagem extraconteúdo também foi observada, não de forma direta, pois
apesar dos alunos não reconhecerem que aprenderam algo diferente, eles aprenderam
bastante sobre a própria topografia, a dinâmica pluvial e o uso de vários softwares.
Segundo Novak & Gowin (1988), a aprendizagem extraconteúdo envolve, também
aprendizagem de atitudes, valores, e construção de conhecimentos não essencialmente
relacionados com a matemática envolvida no problema.
4.2 Aspectos Cognitivos
Moreira (1999) sugere buscar continuamente, evidências de que o aluno cada vez
mais, usa os significados compartilhados no contexto da matéria de ensino. A resolução
correta de um problema, a aplicação correta de um método de resolução, são alguns
indícios de como ocorreu a interação entre o novo conhecimento e a estrutura cognitiva do
aluno.
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Dessa forma, pudemos observar que os alunos J e C apresentaram indícios de
Compreensão conceitual do cálculo de áreas por meio de integrais, apesar de não
conseguirem apresentar uma relação consistente entre o cálculo de área e integrais. O
mesmo não ocorreu com o aluno A, entretanto, de forma geral, esses alunos associaram o
uso da integral ao cálculo de áreas e argumentam que “não possuem problemas para
realizar os cálculos”. Percebemos a falta de argumentações teóricas para justificar o uso da
integral para o cálculo da área.
.... a área da secção ia variar, ai ia mudar, a cada dx tinha que mudar a integral
... é porque tem a área da secção aqui, como ela é Constante, então vai pegar a área da
secção e multiplicar pelo comprimento. Se mudar essa área, se o lado for diferente, vai
mudar a área mesmo da secção! ... você precisa saber os conceito de integral, por que eu
não lembrava ao certo o conceito dela, sei que eu posso usar ela para calcular área,
calcular volume, calcular outras coisas....então se eu não soubesse disso eu provavelmente
não ia saber como calcular o volume desse problema. (aluno J)
Pensei em como a gente chega em integral, a gente tenta pegar pequenos dx e
calcular a área de cada coluna, só nesse caso seriam maiores... (aluno C)
A integral em si eu resolveria, mas o raciocínio, talvez eu demorasse mais para
resolver. A maneira pela qual chegasse na integral, se eu fosse fazer, sei lá, fazer uma
interpolação das bases, ou fosse tentar calcular, achar uma curva, uma reta para calcular
a área, não sei... (aluno A)
Quando os alunos foram questionados dos motivos que os levaram a utilizar o
ajuste de curvas, eles responderam “que era para ajustar uma curva aos pontos para
representar o fundo do rio”. Mas não responderam quando se pode utilizar um ajuste de
curvas, nem mencionaram claramente as diferenças entre os diferentes métodos de
obtenção do ajuste de curvas. Os alunos J e C utilizaram softwares para a obtenção do
ajuste de curvas, mas sem demonstração de que conheciam a fundamentação teórica
envolvida. Já o aluno A, não sabia nem utilizar o software para a obtenção da curva.
A partir dos pontos, tem o programa ou dá pra fazer por métodos numéricos, vai
aproximar uma função que vai chegar mais perto de tocar todos os pontos que ela
conseguir... (questionado da escolha do polinômio de grau 5) porque era 6 pontos, eu
aprendi que se deve usar um grau a menos que o número de pontos. Não lembro porque
tem que usar um grau a menos. (Aluno J)
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O ajuste de curva, no exercício a gente usaria para aproximar a superfície
inferior do rio, para ter uma maior aproximação. Sei lá, tentar aproximar uma curva,
teoricamente, mais real possível, para ter maior precisão de cálculo. (questionado da
escolha do polinômio de grau 5) Não sei, realmente não faço idéia. (aluno A)
Porque a regra para calcular polinômio era um grau menor (não lembra
justificativa). (Aluno C)
Durante a entrevista os alunos J e C demonstraram relativa capacidade de
interpretar e reescrever uma idéia, uma hipótese, em termos matemáticos. Apresentaram
diferentes formas para calcular a área da secção transversal do rio. Já o aluno A apenas
apresentava a idéia do calculo da área por figuras planas, não demonstrando outras
possibilidades concretas de resolução.
O aluno J apresentou uma nova proposta de cálculo da área, além da apresentada
anteriormente
É mais ou menos assim, aquela parte da secção do rio e da distância da borda é
mesma. E daí você pega três pontos e vai calculando a área de influência, digamos assim,
dos pontos, pega de uma área até a outra. Aqui ta vazão a área do rio, ela vai influenciar
daqui até a metade da distância da outra, a outra até a metade do outro ponto. Daí você
pega os valores da velocidade do rio e com a área você acha a vazão do rio, a gente faz o
contrário. Peguei e tinha a vazão e a área do rio e achar o volume. (aluno J).
Quando questionado sobre a sua segunda forma de resolução, que consistia no
produto da média aritmética das profundidades pela largura do rio, o aluno A não soube
argumentar sobre as razões que justificam esse cálculo.
Porque eu achei um exercício resolvido na internet,para cálculo de altura. Não,
não sei por que dá certo.(aluno A)
Os alunos A e J aceitaram como válido suas resoluções por partilharem de
respostas parecidas com o restante da turma. Já o aluno C resolveu o problema utilizando
apenas figuras planas e para validar seu resultado resolveu utilizando interpolação
polinomial e o cálculo da área por meio de integral.
Apresentaram de forma inconsistente, exemplos sobre possíveis problemas que
poderiam ser resolvidos utilizando os mesmos conhecimentos usados nesta atividade. A
transferência do conhecimento adquirido em uma situação para situações novas é uma
forma de explicitar a aprendizagem. D’Ambrósio (1986) denomina a transferência de
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aprendizado de uma situação para outra como ponto crucial para o aprendizado em
Matemática.
(ficou pensando) dá pra usar na emissão de gás, se for circular, se tiver que
calcular a área da chaminé, o volume de gás que tá passando....nesse sentido. (Aluno J)
Sei lá, calcular a secção de um morro. Deuma ponte, sei lá. É lógico que você
não vai ter como afundar nada ou subir nada, mas hoje com GPS, tem imagem de satélite.
Acho que de repente traçar o perfil de um morro, não sei...(Aluno A)
Talvez área de um terreno irregular....área de um lugar....(aluno C)
Aparentemente, apesar dos alunos estarem no 4º período de Engenharia
Ambiental e já terem cursado as disciplinas de Cálculo Integral Diferencial I e II,
disciplinas estas que trabalham de forma sistemática e conceitual o uso de integrais para o
cálculo de áreas, eles não obtiveram retenção deste conhecimento ao longo do tempo.
Sabem que existe a relação entre o cálculo de áreas e o uso do conteúdo de “Integrais”,
mas não foram capazes de explicar sistematicamente os conceitos envolvidos.
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A intenção de realizar esse trabalho de investigação surgiu com nossa inquietação
em relação aos conceitos trabalhados nas disciplinas de Cálculo Diferencial Integral I e II,
em específico, o cálculo de área por meio de integrais, já que este conteúdo é de
fundamental importância para o Curso de Engenharia Ambiental. Dessa forma, escolhemos
uma atividade desenvolvida na disciplina de Cálculo Numérico, com o intuito de averiguar
se os alunos relacionam de forma significativa o cálculo de área por meio do conteúdo de
“Integrais”, tendo em conta que neste período os alunos, necessariamente, já haviam
cursado as disciplinas de Cálculo Diferencial Integral I e II.
Com esse intuito, realizamos uma análise das produções escritas dos alunos e uma
entrevista semi-estruturada, para posteriormente tecermos considerações a partir de todo o
material coletado,à luz da teoria da Aprendizagem Significativa.
Temos consciência da complexidade que envolve os processos de aprendizagem,
de modo que aferir se determinado aluno teve ou não uma aprendizagem significativa é
uma tarefa pretensiosa. Assim, não pretendemos, nesta fase final do estudo, ditar
conclusões a este respeito, mas sim algumas considerações.
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Em linhas gerais, os alunos participantes da pesquisa, demonstraram
envolvimento na atividade desenvolvida “Cálculo da Vazão em um segmento de Rio”,
apresentaram indícios de elaboração de estratégias próprias de resolução e aprendizagem
extraconteúdo, apesar de que, em alguns aspectos, isso tenha sido pouco satisfatório.
Observamos que dois alunos apresentaram indícios de compreensão conceitual do
cálculo de áreas por meio de integrais, apesar de não terem apresentado rigor matemático
ao relacionarem o cálculo de área e integrais. O que não ocorreu com o terceiro aluno.
Apesar dos alunos terem estudado este conteúdo nas disciplinas de Cálculo
Diferencial Integral I e II, de forma sistemática e conceitual, há pelo menos um ano e meio
e um ano, respectivamente, há indícios que eles não obtiveram retenção deste
conhecimento ao longo do tempo, ao menos não formalmente. Ou seja, sabem que existe a
relação entre o cálculo de áreas e o uso de integrais, mas não são capazes de explicar
sistematicamente os conceitos envolvidos.
Vale lembrar que a pesquisa que realizamos é de cunho qualitativo, portanto
nossas considerações apresentam um considerável grau de subjetividade. Mesmo assim,
podemos indicar com segurança, que uma atenção maior quanto à estruturação das
disciplinas de Cálculo Diferencial I e II, no sentido da Teoria da Aprendizagem
Significativa, pode provocar resultados mais satisfatórios. Por isso, indicamos como
proposta futura a realização de um estudo nesse sentido.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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NOVAK, J; GOWIN, D. B. Aprendiendo a Aprender.Tradução: J.M. Campanario & E. Campanario, Barcelona: Martínez Roca, 1988.
VALADARES, J. Fundamentação epistemológica da Teoria da Aprendizagem Significativa, Indivisa - Boletín de Estudios e Investigación, 2007, p. 333-347. ISSN: 1579-3141.
