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FOMENTO AO USO DAS TECNOLOGIAS DE COMUNICAÇÃO E

INFORMAÇÃO NOS CURSOS DE GRADUAÇÃO – TICs

Modalidade: Educação a Distância

Exercícios – Objeto Integrais Ferramentas Interativas para Cálculo Diferencial e Integral,

Geometria e Álgebra Linear (m-learning)

Coordenação: Prof. Dr. Márcio Fabiano da Silva

Tutores:

Teófilo Andrade Farfán

Heleno Quevedo de Lima

Santo André, julho de 2012

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Exercícios – Objeto Integrais

1) Calcule a área da região sob o gráfico da função , com variando de a

. Qual é a relação desta área com a obtida quando varia de a . Observe que

estas regiões são triângulos cujas áreas podem ser obtidas facilmente.

2) Uma propriedade das funções pares, isto é, funções tais que , é que

sua integral definida, quando varia de até (com ), é igual ao

dobro de integral definida com variando de a . Verifique esta

propriedade para e . Também verifique para .

3) Uma propriedade das funções ímpares, isto é, funções tais que , é

que sua integral definida, quando varia de até (com ), é igual a

. Verifique esta propriedade para e . Também verifique para

.

4) Calcule uma “boa” aproximação para a área sob o gráfico da função ,

com variando de a . Compare este valor com (logaritmo natural de 3).

Conclua algum resultado a partir do cálculo da integral definida de ,

com variando de a .

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Gabarito – Objeto Integrais

Solução Exercício 1) Inicialmente vamos escolher uma função linear e definir a=1 e

b=0. Para avaliarmos esse exercício vamos desenvolver o processo tomando “Nº

de partições = 200” e escolher o método de aproximação por falta.

Para os limites e a área da região é mostrada na caixa

“ ”. Observe que uma aproximação para a área é 15.84 e a

integral é 0, conforme representado na Figura 1.

Figura 1 – Área = 16 para os limites e

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Mudando somente os limites para e , ilustrado na Figura 2, obtemos

que a “ ”, ou seja, a metade da área anterior, delimita pelos

limites e . E a área aproximada pelo método por falta corresponde

a .

Figura 2 – Área = 8 para os limites e

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Solução Exercício 2) Para esta solução vamos tomar o nº de partições igual a 200 e

escolher o método de aproximação por falta.

A integral calculada para a função quadrática (a=1, b=0 e c=0) com

variando de – a (limites nas posições a e b respectivamente) é igual a ,

como se vê na caixa “Integral Real”, conforme Figura 3.

Figura 3 – A integral calculada para com variando de – a é igual a

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Mudando somente os limites de integração para a (limites nas posições a e b

respectivamente), a integral é igual a , conforme representados na Figura 4.

Figura 4 – A integral calculada para com variando de a é igual a

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A integral calculada para com variando de – a é igual a ,

como se vê na caixa “Integral Real”, ilustrado na Figura 5. Na verdade, é

uma aproximação numérica para .

Figura 5 – A integral para com variando de – a é igual a

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Mudando somente os limites de integração para a , a integral é igual a ,

que é uma aproximação numérica para , representada na Figura 6.

Figura 6 – A integral calculada para com variando de a é igual a

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Solução Exercício 3) Inicialmente vamos selecionar a função polinomial, com ,

e . Para esta solução vamos tomar o nº de partições igual a 200 e

escolher o método de aproximação por falta.

A integral calculada para com variando de – a (limites nas

posições a e b respectivamente) é igual a (zero), como se vê na caixa “Integral

Real”, representado na Figura 7.

Figura 7 – Integral Real calculada para com variando de – a é igual a

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Mudando somente os limites de integração para a (limites nas posições a e b

respectivamente), a integral é igual a e a integral aproximada obtida pelo

método da aproximação por falta é igual a , conforme representado na

Figura 8.

Figura 8 – Integral Real calculada para com variando de a é igual a

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A integral calculada para com variando de – a (limites nas

posições a e b respectivamente) é igual a , como se vê na caixa “Integral Real” e

na caixa “Integral Método” (obtida pelo método de aproximação por falta),

ilustrada na Figura 9.

Figura 9 – Integral Real calculada para com variando de a é igual a

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Mudando somente os limites de integração para a (limites nas posições a e b

respectivamente), a integral real é igual a , Figura 10. Na verdade, é uma

aproximação numérica para – . E a integral obtida pelo método de

aproximação por falta é igual a .

Figura 10 – Integral Real calculada para com variando de a igual

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Solução Exercício 4) Para esta solução vamos escolher a função inversa com

, e . Vamos tomar o nº de partições igual a 300, definir os limites

, e escolher o método de aproximação por falta.

Deste modo a área da região é mostrada na caixa “Área embaixo = 1.1”, de acordo

com a Figura 11.

Figura 11 – Área e integral, obtidas pelo método real e pelo método de aproximação

por falta iguais ao valor

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Nesta etapa do exercício, para calcular uma aproximação para , acesse a

ferramenta limites, escolha a função logarítmica, com , , e

digite . Observe que uma aproximação para é , Figura 12 .

Figura 12 – A aproximação para é

Este resultado era esperado, pois a integral definida para , com

variando de a é igual a .