Material -SISTEMAS NUMERAÇÃO - SDAC - Módulo I

Manual de Apoio

Módulo 1 – Sistemas de numeração

Turma – 1TEI

\\\Ano letivo 2012 – 13 \\\ Prof.MJCunha

Unidade 1 – Sistemas de numeração Disciplina: SDAC

Prof.MJCunha

2

Índice

MÓDULO 1 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO .......................................................................... 1

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO .............................................................................................. 3

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL .............................................................................................. 3

SISTEMA DE NUMERAÇÃO BINÁRIA ............................................................................................... 5

CONVERSÃO DECIMAL PARA BINÁRIO ........................................................................................... 6

SISTEMA DE NUMERAÇÃO OCTAL ................................................................................................. 9

SISTEMA DE NUMERAÇÃO HEXADECIMAL ..................................................................................... 12

NÚMEROS FRACCIONÁRIOS ...................................................................................................... 16


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3

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Sistema de numeração decimal

No sistema decimal usamos como é sabido, dez símbolos, a que chamamos

algarismos decimais (0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ), e que por combinações destes em

diferentes posições nos permite contabilizar e representar quantidades grandes

ou pequenas.

Em termos simples, podemos afirmar que: Os algarismos que formam um

número decimal, estão multiplicados por uma potência de 10 que determina a

posição relativa desses algarismos no número.

Como sabemos as potências na base 10 representam-se por:

10 n em que o número 10 é a base e n o expoente.

Na leitura corrente da numeração escrita ao ler-mos o número 27315, dizemos

simplesmente: “ vinte sete mil trezentos e quinze” , e não nos apercebemos

que o número é constituído por 2 dezenas de milhar, 7 milhares 3 centenas 10

dezenas e 5 unidades.

Quer isto dizer que o número decimal 27315 pode ser escrito na seguinte

forma:

20000 + 7000 + 300 + 10 + 5 ou 2* 10000 + 7*1000 + 3*100 + 1*10 + 5

Sabemos que pelo desenvolvimento das potências na base 10 que:

10 4 = 10*10*10*10 = 10000 ( 4 zeros )

10 3 = 10*10*10 = 1000 ( 3 zeros )

10 2 = 10*10 = 100 ( 2 zeros )

10 1 = 10 = 10 ( 1 zero )

10 0 = 10/10 = 1

10 -1 = 10/101 = 1/10 = 0,1

10 -2 = 10/102 = 1/(10*10) = 1/100 = 0,01

10 -3 = 10/103 = 1/(10*10*10) = 1/1000 = 0,001

Etc.


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4

Se o expoente n de um número for menor que zero, então o valor de n indica

as casa decimais desse número

Ex:

10 -4 = 0,0001 ; 10 -3 = 0,001 ; 10 -2 = 0,01 Então podemos escrever :

Nº 27315 da seguinte forma

27315 = 2*104

+ 7* 103 + 3*10

2 + 1* 10

1 + 5*10

0

Nº 342,3 da seguinte forma

342,3 = 3*102 + 4*10

1 + 2*10

0 + 3*10

-1

Exercícios

1- Converta os somatórios das seguintes potências de base 10 em números

decimais:

a) 8 105 + 5 10

2 + 3 10

0

b) 3 104 + 7 10

3 + 3 10

-2

c) 7 10-1

+ 3 10-2

d) 4 103 + 5 10

0 + 2 10

-1 + 7 10

–3

Resolução

a) 800503

b) 37000,03

c) 0,73

d) 4005,207

2- Desenvolva em potências de base 10 , os seguintes números:

a) 382,001

b) 73201,027

c) 0,010038

d) 739,00701


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5

Resolução

a) 3 102 + 8 10

1 + 2 10

0 + 1 10

–3

b) 7 104 + 3 10

3 + 2 10

2 + 1 10

0 +

2 10

-2 + 7 10

–3

c) 1 10 -2

+ 3 10 –5

+ 8 10 –6

d) 7 102 + 3 10

1 + 9 10

0 + 7 10

–3 + 1 10

–5

Sistema de numeração binária

Os números com que os sistemas informáticos operam, ao nível do hardware ou da

linguagem máquina, têm de se encontrar sempre convertidos para sistema de numeração

binário – é o sistema de numeração que opera com 2 dígitos: 0 e 1.

Fig. Correspondência entre os dígitos decimais e os respectivos números em binário

Potências de base 2

2 0

= 1

2 1

= 2

2 2

= 4

2 3

= 8

2 4

= 16

2 5

= 32

2 6

= 64

2 7

= 128

2 8

= 256

2 9

= 512

2 10

= 1024

Decimal Binário

0 0

1 1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7 111

8 1000

9 1001


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6

Conversão Decimal para Binário

Menor = 1

Maior = 0

Exercícios:

1. Converta o número 243(10) para a sua representação binária .

(128) (64) (32) (16) (8) (4) (2) (1)

243 1 1 1 1 0 0 1 1

-128

115

-64

51

-32

19

-16

3

-2

1

-1

0

O nº 243(10) 11110011 (2)

2. Converta o número 78(10) para a sua representação binária .

(64) (32) (16) (8) (4) (2) (1)

78 1 0 0 1 1 1 0

-64

14

-8

6

-4

2

-2

0

O nº 78(10) 1001110 (2)

< Conversão de decimal para binário pelo Método das divisões sucessivas >


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7

1. Converta o número 29 ( 10) _____________________? ( 2)

29 2

09 14

2

1 0 7 2

1 3 2

1 1 2

1 0

29 ( 10) = 11101 ( 2)

2. Converta o número 678 ( 10) _____________________? ( 2)

678 2

07 339 2

18 13 169 2

0 19 09 84 2

1 1 04 42 2

0 02 21 2

0 01 10 2

1 0 5 2

1 2 2

0 1 2

1 0

678 ( 10) = 1010100110 ( 2)


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8

Conversão Binário para Decimal

A correspondência entre a numeração binária e a numeração decimal é fácil de obter,

para tal podemos utilizar a seguinte regra:

1) Multiplicam-se todos os dígitos binários pelo valor decimal da potência de 2

correspondente ao peso de cada dígito.

2) Somam-se os resultados obtidos.

3) O resultado da soma, é o equivalente decimal do número binário.

Exercícios:

1. Converta o número 101110101 ( 2) ______________________________ ? ( 10)

(256) (128) (64) (32) (16) (8) (4) (2) (1)

1 0 1 1 1 0 1 0 1

1

4

16

32

64

256

375

101110101 ( 2) = 373 ( 10)

2. Converta o número 1011101 ( 2) ______________________________ ? ( 10)

1011101=1*2

6 + 0*2

5 + 1*2

4 + 1*2

3 + 1*2

2 + 0*2

1 + 1*2

0

= 64 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 93

1011101 ( 2) = 93 ( 10)


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9

Sistema de numeração Octal

É um sistema de numeração cuja base é 8, ou seja, utiliza 8 símbolos para a

representação de quantidade (0,1,2,3,4,5,6,7).

A aritmética deste sistema é semelhante á do sistema decimal e binário.

Conversão Decimal para Octal

Exercícios:

1.

Converta o número 500 (decimal) em octal ( pelo método das divisões sucessivas).

500 8

20 62 8

4 6 7 8

7 0

O n.º 500(10) 764(8)

2.

Converta o número 1992 (decimal) em octal ( pelo método das divisões sucessivas).

1992 8

39 249 8

72 09 31 8

0 1 7 3 8

3 0

O n.º 1992(10) 3710(8)


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10

Conversão Octal para decimal

Exercícios:

1.

Converta o número 764 (octal) em decimal .

764 = 7*8 2 + 6*8

1 + 4*8

0

(64) (8) (1)

7 6 4

pesos valor valor_total

0-1 4 4*1=4

1- 8 6 8*6=64

2- 64 7 64*7=448

500 O n.º 3710(8) 500(10

2.

Converta o número 4701 (octal) em decimal .

4701 = 4*8 3 +7*8

2 + 0*8

1 + 1*8

0

(512) (64) (8) (1) 4 7 0 1


0-1 1 1*1=1

1-8 0 8*0=0

2-64 7 64*7=448

3-512 4 512*4=2048

2497 O n.º 4701(8) 2497(10)


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11

Conversão Octal para Binário

Sistema octal Sistema binário

0 000

1 001

2 010

3 011

4 100

5 101

6 110

7 111

Exercício:

1.

Converta o número 1274 (octal) em binário.

001 010 111 100

1 2 7 4

O n.º 1274(8) 001010111100(2)

Conversão Binário para Octal

Exercício:

1.

Converta o número 001 010 111 100 (2) ________________? (8) .

001 010 111 100

1 2 7 4

O n.º 001010111100(2) 1274(8)


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12

Sistema de numeração Hexadecimal

O sistema hexadecimal, como o nome indica, é formado por 16 símbolos (dígitos)

diferentes. Estes símbolos são os dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 do sistema decimal e as

letras A,B,C,D,E,F.

Estas letras em correspondência com o sistema decimal equivalem aos

valores 10,11,12,13,14 e 15, respectivamente. Assim a correspondência

entre o sistema decimal, o sistema hexadecimal e o sistema binário para os

16 primeiros dígitos é o seguinte:

Sistema decimal Sistema

hexadecimal

Sistema binário

0 0 0000

1 1 0001

2 2 0010

3 3 0011

4 4 0100

5 5 0101

6 6 0110

7 7 0111

8 8 1000

9 9 1001

10 A 1010

11 B 1011

12 C 1100

13 D 1101

14 E 1110

15 F 1111

Conversão decimal para hexadecimal

Exercícios:

1.

Converta o número 1256 (Dec.) em hexadecimal, (pelo método das divisões sucessivas).

1256 16

136 78 16

08 14 4

O n.º 1256(10) 4E8(16)


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13

2.

Converta o número 1710 (Dec.) em hexadecimal, (pelo método das divisões sucessivas)

1710 16

110 106 16

14 10 6

O n.º 1710(10) 6AE(16)

3. Converta o número 243 (Dec.) em hexadecimal.

Se o peso é Menor que o n.º = 1

Se o peso é Maior que o n.º = 0

(128) (64) (32) (16) (8) (4) (2) (1)

243 1 1 1 1 0 0 1 1 -128

115 -64

51 -32

19 -16

3 -2

1 -1

0

1111 F 0011 3

0 n.º 143(10) F3(16)

4. Converta o número 243 (Dec.) em hexadecimal.

1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0

4 E 8

1256 Da esquerda para a direita

-1024

232……… O n.º 243(10) 4E8(16)


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14

Conversão hexadecimal para decimal

Exercícios:

1.

Converta o número 2CA(16) __________________? (10)

2CA = 2*16 2 + C(12)*16

1 + A(10)*16

0

(256) (16) (1)

2 C A


0-1 A (10) 1*10=10

1-16 C (12) 16*12=192

2-256 2 256*2=512

714 O n.º 2CA(16) 714(10)

2.

Converta o número E201(16) __________________? base(10)

E201 = E(14)*16 3+2*16

2 + 0*16

1 + 1*16

0

(512) (256) (16) (1)

E 2 0 1


0-1 1 1*1=1

1-16 0 16*0=0

2-256 2 256*2=512

3- 4096 E(14) 4096*14=57344

57857 O n.º E201(16) 578557(10)


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15

Conversão hexadecimal para Binário

Exercício:

1.

Converta o número 2B0D(16) __________________? Para base (2)

2(16) = 2 (10) = 0010 (2)

B(16) = 11 (10) = 1011 (2)

0(16) = 0 (10) = 0000 (2)

D(16) = 13 (10) = 1101 (2)

O n.º 2B0D1(16) 0010 1011 0000 1102 ( 2 )

Conversão hexadecimal para Octal

Exercício:

1.

Converta o número 1F4(16) __________________? Para base (8)

1 F 4

000 1 11 11 0 100

111 110 100

7 6 4

O n.º 1F4(16) 764 (8 )


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16

Conversão Octal para hexadecimal

Exercício:

1.

Converta o número 144(8) __________________? Para base (16)

1 4 4

001 10 0 100

0110 0100

6 4

O n.º 144(8) 64 (16 )

Números fraccionários

Conversão Binária para Decimal

Exercícios 1:

a) 0,1101 = 1 2-1

+ 1 2-2

+ 0 2-3

+ 1 2 –4

=

= 1 1/ 21 + 1 1/ 2

2 + 0 1/2

3 + 1 1/ 2

4

= (1/2) + (1/4) + (1/16) =

= 0,8125 (10)

0 n.º 0,1101(2) 0,8125 (10 )

b) 11001,00101 = 1 24 + 1 2

3 + 0 2

2 + 0 2

1 + 1 2

0 +

+ 0 2 -1

+ 0 2 -2

+ 1 2 -3

+ 0 2 –4

+ 1 2 -5

=

= 16+8+1+0,125 + 0,03125 = 25, 15625 (10)

O n.º 11001,00101 (2) 25, 15625 (10)


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17

Conversão Decimal para binária

Exercícios:

a) Converta o n.º 0,828125 (10) em binário _ _

0,828125 * 2 = 1 , 65625

0, 65625 * 2 = 1 , 3125

0 , 3125 * 2 = 0 , 625

0 , 625 * 2 = 1 , 25

0,25 * 2 = 0 , 5

0,5 * 2 = 1

O n.º 0,828125 (10) ) 0,110101 (2)

b) Converta o n.º 350,765625 (10) em binário

b1)

350 2

2

….

_ _ b2)

0,765625 * 2 = 1 , 53125

0, 53125 * 2 = 1 , 0625

0 , 0625 * 2 = 0 , 125

….

0 n.º 350,765625 (10) ) ………. (2)

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