Matriz (Matemáticas)

8/16/2019 Matriz (Matemáticas)

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Matriz (matemáticas)

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional

de números. Dado que puede definirse tanto la suma co-

mo el producto de matrices, en mayor generalidad se dice

que son elementos de un anillo. Una matriz se representa

por medio de una letra mayúscula(A,B..) y sus elemen-

tos con la misma letra en minúscula (a,b...), con un doble

subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la

columna a la que pertenece.

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

. . ....

an1 an2 · · · ann

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sir-

ven, en particular, para representar los coeficientes de

los sistemas de ecuaciones lineales o para representar

transformaciones lineales dada una base. En este último

caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los

datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de va-

rias formas, lo que también las hace un concepto clave enel campo del álgebra lineal.

1 Historia

El origen de las matrices es muy antiguo. Los cuadrados

latinos y los cuadrados mágicos se estudiaron desde hace

mucho tiempo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra

en la literatura china hacia el 650 a. C.[2]

Es larga la historia del uso de las matrices para resol-

ver ecuaciones lineales. Un importante texto matemáticochino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nue-ve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu ZhangSuan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del mé-todo de matrices para resolver un sistema de ecuaciones

simultáneas.[3] En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni po-co", el concepto de determinante apareció por primeravez, dos mil años antes de su publicación por el matemá-

tico japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán

Gottfried Leibniz en 1693.

Los “cuadrados mágicos” eran conocidos por los mate-

máticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo

VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemá-ticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos

de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que

la idea provino de China. Los primeros “cuadrados má-

gicos” de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983,

en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).[2]

Después del desarrollo de la teoría de determinantes por

Seki Kowa y Leibniz para facilitar la resolución de ecua-

ciones lineales, a finales del siglo XVII, Cramer pre-

sentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer.

Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la

eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.

Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez

el término « matriz » en 1848/1850.

En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de

matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matri-

cial, como forma abreviada de escribir un sistema de mecuaciones lineales con n incógnitas.

Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius, Olga

Taussky-Todd y John von Neumann cuentan entre los

matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de

las matrices. En 1925, Werner Heisenberg redescubre el

cálculo matricial fundando una primera formulación de lo

que iba a pasar a ser la mecánica cuántica. Se le conside-ra a este respecto como uno de los padres de la mecánica

cuántica.

Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra

Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el fe-

nómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.

2 Introducción

2.1 Definición

Una matriz es un arreglo bidimensional de números (lla-

mados entradas de la matriz) ordenados en filas (o ren-

glones) y columnas, donde una fila es cada una de las

líneas horizontales de la matriz y una columna es cada

una de las líneas verticales. A una matriz con n filas y mcolumnas se le denomina matriz n-por-m (escrito n × m) donde n,m ∈ N− {0} . El conjunto de las matrices detamaño n×m se representa como Mn×m(K) , donde Kes el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de

una matriz siempre se da con el número de filas primero

y el número de columnas después.

Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismotamaño y los mismos elementos en las mismas posicio-

nes.A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila

1

https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Aeroelasticidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/II_Guerra_Mundialhttps://es.wikipedia.org/wiki/II_Guerra_Mundialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Olga_Taussky-Toddhttps://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1nticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Werner_Heisenberghttps://es.wikipedia.org/wiki/1925https://es.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumannhttps://es.wikipedia.org/wiki/Olga_Taussky-Toddhttps://es.wikipedia.org/wiki/Olga_Taussky-Toddhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Georg_Frobeniushttps://es.wikipedia.org/wiki/Hermann_Grassmannhttps://es.wikipedia.org/wiki/1858https://es.wikipedia.org/wiki/Arthur_Cayleyhttps://es.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamiltonhttps://es.wikipedia.org/wiki/1853https://es.wikipedia.org/wiki/1850https://es.wikipedia.org/wiki/1848https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/James_Joseph_Sylvesterhttps://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIXhttps://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordanhttps://es.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Jordanhttps://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramerhttps://es.wikipedia.org/wiki/1750https://es.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Cramerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIhttps://es.wikipedia.org/wiki/Seki_Kowahttps://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/983https://es.wikipedia.org/wiki/Bagdadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Chinahttps://es.wikipedia.org/wiki/Combinatoriahttps://es.wikipedia.org/wiki/Indiahttps://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_VIIhttps://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_VIIhttps://es.wikipedia.org/wiki/Mundo_%C3%A1rabehttps://es.wikipedia.org/wiki/1693https://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Alemaniahttps://es.wikipedia.org/wiki/1683https://es.wikipedia.org/wiki/Seki_K%C5%8Dwahttps://es.wikipedia.org/wiki/Jap%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_lineal_de_ecuacioneshttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_lineal_de_ecuacioneshttps://es.wikipedia.org/wiki/200_a._C.https://es.wikipedia.org/wiki/300_a._C.https://es.wikipedia.org/wiki/Chinahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/A%C3%B1os_650_a._C.https://es.wikipedia.org/wiki/Literatura_chinahttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrados_m%C3%A1gicoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrados_latinoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrados_latinoshttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Base_(%C3%A1lgebra)https://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_lineal_de_ecuacioneshttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica


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2 2 INTRODUCCIÓN

i− ésima y la columna j− ésima se le llama entrada i, jo entrada (i, j) -ésimo de la matriz. En estas expresio-nes también se consideran primero las filas y después las

columnas.

Se denota a las matrices con letra mayúscula, mientras

que se utiliza la correspondiente letra en minúsculas paradenotar a las entradas de las mismas, con subíndices que

refieren al número de fila y columna del elemento.[4]Por

ejemplo, al elemento de una matriz A de tamaño n ×m que se encuentra en la fila i− ésima y la columna j−ésima se le denota como aij , donde 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ m .

Cuando se va a representar explícitamente una entrada

la cuál está indexada con un i o un j con dos cifras se

introduce una coma entre el índice de filas y de columnas.

Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila y

la segunda columna de la matriz A de tamaño 50 × 100

se representa como a1

,2

mientras que la entrada que estáen la fila número 23 y la columna 100 se representa como

a23,100 .

Además de utilizar letras mayúsculas para representar

matrices, numerosos autores representan a las matrices

con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos

matemáticos.[cita requerida] Así A es una matriz, mientras

queA es un escalar en esa notación. Sin embargo esta no-

tación generalmente se deja para libros y publicaciones,

donde es posible hacer esta distinción tipográfica con fa-

cilidad. En otras notaciones se considera que el contexto

es lo suficientemente claro como para no usar negritas.

Otra notación, en sí un abuso de notación, representa a lamatriz por sus entradas, i.e. A := (aij) o incluso A :=aij .

Como caso particular de matriz, se definen los vectores

fila y los vectores columna. Un vector fila o vector ren-

glón es cualquier matriz de tamaño 1 × n mientras queun vector columna es cualquier matriz de tamaño m× 1.

A las matrices que tienen el mismo número de filas que

de columnas, m = n , se les llama matrices cuadradasy el conjunto se denota Mn(K)

2.2 Ejemplo

Dada la matriz A ∈ M4×3(R)

A =

1 2 31 2 74 9 26 0 5

es una matriz de tamaño 4 × 3 . La entrada a23 es 7.

La matriz R ∈ M1×9(R)

R =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

es una matriz de tamaño 1 × 9 : un vector fila con 9 en-tradas.

2.3 Operaciones básicas entre matrices

Las operaciones que se pueden hacer con matrices pro-vienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones

en álgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su for-

ma muy particular de ser implementadas, no son únicas.

2.3.1 Suma o adición

Sean A, B ∈ Mn×m(K) . Se define la operación de su-ma o adición de matrices como una operación binaria

+ : Mn×m(K) × Mn×m(K) −→ Mn×m(K) tal que(A,B) → C = A + B y donde cij = aij + bij en elque la operación de suma en la última expresión es la ope-

ración binaria correspondiente pero en el campo K . Porejemplo, la entrada c12 es igual a la suma de los elementos

a12 y b12 lo cual es a12 + b12 .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea A, B ∈ M3(R)

1 3 21 0 0

1 2 2

+

1 0 57 5 0

2 1 1

=

1 + 1 3 + 0 2 + 51 + 7 0 + 5 0 + 0

1 + 2 2 + 1 2 + 1

=

2 3 78 5 0

3 3 3

No es necesario que las matrices sean cuadradas:

2 2 13 2 12 3 22 0 4

+

0 1 41 4 02 1 10 2 2

=

2 3 54 6 14 4 32 2 6

A la luz de estos ejemplos es inmediato ver que dos matri-

ces se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo

tamaño. La suma de matrices, en el caso de que las en-

tradas estén en un campo, poseen las propiedades de aso-ciatividad, conmutatividad, existencia de elemento neu-

tro aditivo y existencia de inverso aditivo. Esto es así ya

que estas son propiedades de los campos en los que están

las entradas de la matriz.

Propiedades de la suma de matrices

Sean A,B, C ∈ Mn×m(K) , donde K es un campo en-tonces se cumplen las siguientes propiedades para la ope-

ración binaria +

• Asociatividad

(A + B) + C = A + (B + C )

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2.3 Operaciones básicas entre matrices 3

• Conmutatividad

(A + B) = (B + A)

• Existencia del elemento neutro aditivo

Existe 0 ∈ Mn×m(K) tal que

A + 0 = 0 + A = A

• Existencia del inverso aditivo

Existe D ∈ Mn×m(K) tal que

A + D = 0

a esta matriz D se le denota por −A .

En efecto, estas propiedades dependen del conjunto en el

que estén las entradas, como se ha dicho antes, aunque en

las aplicaciones generalmente los campos usados son R

(los números reales) y C (los números complejos).

Por como se definió la operación binaria adición se dice

que ésta operación es una operación interna por lo que se

cumple intrínsecamente la propiedad de que Mn×m(K)es cerrado bajo adición. Con éstas propiedades se tiene

que (Mn×m(K),+) es un grupo abeliano.

En el caso en que el conjunto al que pertenecen las entra-das de la matriz sea un anillo (A,+A, ·A) , la operaciónde adición de matrices continúa dotando de estructura de

grupo abeliano a (Mn×m(A),+) , ya que bajo un anillo(A,+A, ·A) se tiene que (A,+A) es un grupo abeliano.En el caso de que las entradas estén en un grupo (G,+G), éste necesita ser un grupo abeliano para que la adición

de matrices siga dotando de estructura de grupo abeliano

a (Mn×m(G),+) .

2.3.2 Producto por un escalar

Sean A ∈ Mn×m(K) y λ ∈ K . Se define la ope-ración de producto por un escalar como una función

K×Mn×m(K) −→ Mn×m(K) tal que (λ,A) → B =λA y donde bij = λaij en donde el producto es la ope-ración binaria correspondiente pero en el campo K . Por

ejemplo, la entrada b12 es igual al producto λa12 .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea A ∈ M2×3(R) y2 ∈ R

2

1 8 −34 −2 6

=

2(1) 2(8) 2(−3)2(4) 2(−2) 2(6)

=

2 16 −68 −4 12

También es inmediato observar que el producto por un

escalar da como resultado una matriz del mismo tamaño

que la original. También el producto por un escalar de-

penderá de la estructura algebraica en la que las entradas

están. En el caso de que estén en un campo serán dos dis-

tributividades (una respecto de suma de matrices y otra

respecto de suma en el campo), asociatividad y una pro-

piedad concerniente al producto por el elemento neutro

multiplicativo del campo. A continuación se presentan laspropiedades.

Propiedades del producto por un escalar

Sean A, B ∈ Mn×m(K) y λ, µ ∈ K , donde K es uncampo, entonces se cumplen las siguientes propiedades

para la operación producto por un escalar

• Asociatividad

(λµ)A = λ(µA)

• Distributividad respecto de la suma de matrices

λ(A + B) = λA + λB

• Distributividad respecto de la suma en el campo

(λ + µ)A = λA + µA

• Producto por el neutro multiplicativo del campo

1KA = A

Por como se definió la operación de producto por esca-

lares se dice que Mn×m(K) es cerrado bajo productopor escalares. Con éstas propiedades y las de la adición

se tiene que Mn×m(K) es un espacio vectorial con lasoperaciones de suma y producto por escalares definidas

antes.

En el caso de que las entradas y los escalares no estén en

un campo sino en un anillo entonces no necesariamen-

te existe el neutro multiplicativo. En caso de que exista,

con lo cual el anillo es un anillo con uno, se dice que

Mn×m(A) es un módulo sobre A .

Ahora, a partir de las propiedades básicas se puede de-

mostrar inmediatamente que

Este último resultado permite usar la notación −λA sinriesgo de ambigüedad.

2.3.3 Producto de matrices

El producto de matrices se define de una manera muy pe-

culiar y hasta caprichosa cuando no se conoce su origen.

El origen proviene del papel de las matrices como repre-

sentaciones de aplicaciones lineales. Así el producto de

matrices, como se define, proviene de la composición deaplicaciones lineales. En este contexto, el tamaño de la

matriz corresponde con las dimensiones de los espacios

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4 3 OTROS CONCEPTOS RELACIONADOS CON MATRICES

A

B

Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matricesAy B dando como resultado la matriz AB .

vectoriales entre los cuales se establece la aplicación li-

neal. De ese modo el producto de matrices, representa la

composición de aplicaciones lineales.

En efecto, en ciertas bases tenemos que f : V −→ W se puede representar como f (x) = Ax donde x es larepresentación de un vector de V en la base que se ha

elegido para V en forma de vector columna. Si tenemos

dos aplicaciones lineales f : V −→ W y g : W −→ U

entonces f (x) = Bx y g(x) = Ax , luego la aplica-ción g ◦ f : V −→ U se representará como g ◦ f (x) =g(f (x)) = g(Bx) = ABx donde AB es el producto delas representaciones matriciales de f, g . Nótese que la

composición no se puede dar entre cualquier aplicación

sino entre aplicaciones que vayan de V → W → U , enparticular debe de haber una relación entre las dimensio-

nes de los espacios vectoriales. Una vez dicho esto pode-

mos definir el producto de la siguiente manera.

Sean A ∈ Mn×m(K) y B ∈ Mm× p(K) . Se define elproducto de matrices como una función Mn×m(K) ×Mm× p(K) −→ Mn× p(K) tal que (A,B) → C = AB

y donde cij = ∑m

k=1 aikbkj para toda i, j , esdecircij =ai1b1j +ai2b2j +ai3b3j + · · ·+aimbmj . Por ejemplo, laentrada c12 = a11b12+a12b22+a13b32+ · · · +a1mbm2.

Veamos un ejemplo más explícito. Sean A ∈ M2×3(R)y B ∈ M3×2(R)

1 0 2

−1 3 1

3 12 1

1 0

=

1(3) + 0(2) + 2(1) 1(1) + 0(1) + 2(0)

−1(3) + 3(2) + 1(1) −1(1) + 3(1) + 1(0)

=

5 14 2

dónde la matriz producto es como habíamos establecidoen la definición: una matriz C ∈ M2×2(R) .

Sin tomar en cuenta la motivación que viene desde las

aplicaciones lineales, es evidente ver que si ignoramos la

definición de la función de producto de matrices y sólo se

toma en cuenta la definición de las entradas, el producto

no estará bien definido, ya que si A no tiene el mismo

número de columnas que B de filas entonces no podre-

mos establecer en donde acaba la suma: si la acabamos en

el mayor de éstos números habrá sumandos que no estándefinidos ya que una de las matrices no tendrá más entra-

das, mientras que si tomamos el menor habrá entradas de

alguna de las matrices que no se tomen en cuenta. Así es

necesario que A tenga el mismo número de columnas

que B de filas para que AB exista.

Como se puede suponer también, las propiedades de ésta

operación serán más limitadas en la generalidad ya que

además de las limitaciones impuestas por la naturaleza

de las entradas está esta limitación respecto a tamaño. Es

claro, además, que el producto de matrices no siempre es

una operación interna.

Propiedades del producto de matrices

Sean A,B, C matrices con entradas en K , donde K es

un campo, entonces se cumplen las siguientes propieda-

des para el producto de matrices (considerando que los

productos existan)

• Asociatividad

A(BC ) = (AB)C

• Distributividad respecto de la suma de matricespor la derecha

(A + B)C = AC + BC

• Distributividad respecto de la suma de matricespor la izquierda

A(B + C ) = AB + AC

El producto de matrices no es conmutativo, si lo fuera

la composición de funciones lineales sería conmutativa y

eso en general no sucede. Obviamente existen casos parti-culares de algunos tipos de matrices en los que si hay con-

mutatividad. En el caso en que tengamosMn(K) tendre-mos que el producto entre matrices en Mn(K) tambiénestá en Mn(K) . En ese caso Mn(K) además de espaciovectorial es un álgebra sobre un campo. En el caso de que

el conjunto al que pertenecen las entradas sea un anillo

conmutativo con uno entonces Mn(A) además de módu-lo es un álgebra sobre un anillo. Mas aún (Mn(K),+, ·)con · el producto de matrices es un anillo.

3 Otros conceptos relacionados conmatrices

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_sobre_un_cuerpohttps://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_internahttps://es.wikipedia.org/wiki/Base_(%C3%A1lgebra)https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial


5/7

5

3.1 Rango de una matriz

El rango de una matriz A es la dimensión de la imagen de

la aplicación lineal representada por A , que coincide con

la dimensión de los espacios vectoriales generados por las

filas o columnas de A .

3.2 Matriz traspuesta

La traspuesta de una matriz A ∈ Mn×m(X ) , dondeX no es necesariamente un campo, es una matriz B ∈Mm×n(X ) tal que bij = aji . Por ejemplo la entradab12 = a21 .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea A ∈ M2×3(R)

1 8 −34 −2 6

entonces su traspuesta es

1 48 −2

−3 6

Así, informalmente podríamos decir que la traspuesta es

aquella matriz que se obtiene de la original cambiando

filas por columnas. Las notaciones usuales para denotar

la traspuesta de una matriz son AT , At .

La trasposición de matrices tiene las siguientes propieda-

des (donde ahora sí el conjunto de entradas debe ser al

menos un anillo conmutativo):

(AT )T = A,

(A + B)T = AT + BT ,

(AB)T = BT AT ,

Si A ∈ Mn×m(X ) representa una aplicación lineal, en-tonces la matrizAT describe la traspuesta de la aplicación

lineal.

3.3 Matrices cuadradas y definiciones re-

lacionadas

Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo

número de filas que de columnas. El conjunto de todas

las matrices cuadradas n-por-n junto a la suma y la mul-tiplicación de matrices, es un anillo que generalmente no

es conmutativo.

M(n,R), el anillo de las matrices cuadradas reales, es un

álgebra asociativa real unitaria. M(n,C), el anillo de lasmatrices cuadradas complejas, es un álgebra asociativa

compleja.

La matriz identidad In de orden n es la matriz n por nen la cual todos los elementos de la diagonal principal son

iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0.

La matriz identidad se denomina así porque satisface las

ecuaciones MIn = M y InN = N para cualquier matriz Mm por n y N n por k . Por ejemplo, si n = 3:

I3 =

1 0 00 1 0

0 0 1

.

La matriz identidad es el elemento unitario en el anillo de

matrices cuadradas.

Los elementos invertibles de este anillo se llaman

matrices invertibles, regulares o no singulares. Una

matriz A n por n es invertible si y sólo si existe una ma-triz B tal que

(left)

En este caso, B es la matriz inversa de A, identificada

por A−1 . El conjunto de todas las matrices invertibles

n por n forma un grupo (concretamente un grupo de Lie)bajo la multiplicación de matrices, el grupo lineal general.

Si λ es un número y v es un vector no nulo tal que Av =

λv, entonces se dice que v es un vector propio de A y que

λ es su valor propio asociado. El número λ es un valor

propio de A si y sólo si A−λIn no es invertible, lo quesucede siy sólo si pA(λ) = 0, donde pA( x ) es el polinomiocaracterístico de A. pA( x ) es un polinomio de grado ny por lo tanto, tiene n raíces complejas múltiples raícessi se cuentan de acuerdo a su multiplicidad. Cada matriz

cuadrada tiene como mucho n valores propios complejos.

El determinante de una matriz cuadrada A es el producto

de sus n valores propios, pero también puede ser definidapor la fórmula de Leibniz. Las matrices invertibles sonprecisamente las matrices cuyo determinante es distinto

de cero.

El algoritmo de eliminación gaussiana puede ser usado

para calcular el determinante, el rango y la inversa de una

matriz y para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

La traza de una matriz cuadrada es la suma de los ele-

mentos de la diagonal, lo que equivale a la suma de sus nvalores propios.

Una matriz de Vandermonde es una matriz cuadrada cu-

yas filas son las potencias de un número. Su determinante

es fácil de calcular.

4 Aplicaciones

4.1 Las matrices en la Computación

Las matrices son utilizadas ampliamente en la compu-

tación, por su facilidad y liviandad para manipular infor-

https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_Vandermondehttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadradahttps://es.wikipedia.org/wiki/Traza_de_una_matrizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_linealeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_gaussianahttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Leibniz_para_el_c%C3%A1lculo_de_determinanteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomiohttps://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caracter%C3%ADsticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caracter%C3%ADsticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Valor_propiohttps://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propiohttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_lineal_generalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_de_Liehttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_inversahttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)#Eqnref_lefthttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertiblehttps://es.wikipedia.org/wiki/Diagonal_principalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_asociativahttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_conmutativohttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadradahttps://es.wikipedia.org/wiki/Traspuesta_de_una_aplicaci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Traspuesta_de_una_aplicaci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_traspuestahttps://es.wikipedia.org/wiki/Imagen_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3n_de_un_espacio_vectorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Rango_de_una_matriz


6/7

6 8 ENLACES EXTERNOS

mación. En este contexto, son una buena forma para re-

presentar grafos, y son muy utilizadas en el cálculo nu-

mérico. En la computación gráfica, las matrices son am-

pliamente usadas para lograr animaciones de objetos y

formas.

4.2 Teoría de matrices

La teoría de matrices es una rama de las matemáticas

que se centra en el estudio de matrices. Inicialmente una

rama secundaria del álgebra lineal, ha venido cubriendo

también los temas relacionados con la teoría de grafos, el

álgebra, la combinatoria y la estadística.

4.3 Matrices relacionadas con otros temas

Una matriz puede identificarse a una aplicación linealentre dos espacios vectoriales de dimensión finita. Así

la teoría de las matrices habitualmente se considera co-

mo una rama del álgebra lineal. Las matrices cuadradas

desempeñan un papel particular, porque el conjunto de

matrices de orden n (n entero natural no nulo dado) po-

see propiedades de « estabilidad » de operaciones.

Los conceptos de matriz estocástica y matriz doblemen-

te estocástica son herramientas importantes para estudiar

los procesos estocásticos, en probabilidad y en estadística.

Las matrices definidas positivas aparecen en la búsqueda

de máximos y mínimos de funciones a valores reales, y a

varias variables.

Es también importante disponer de una teoría de matrices

a coeficientes en un anillo. En particular, las matrices a

coeficientes en el anillo de polinomios se utilizan en teoría

de mandos.

En matemáticas puras, los anillos de matrices pueden

proporcionar un rico campo de contraejemplos para con-

jeturas matemáticas.

4.4 Matrices en teoría de grafos

En teoría de los grafos, a todo grafo etiquetado correspon-

dela matriz de adyacencia. Una matriz de permutación es

una matriz que representa una permutación; matriz cua-

drada cuyos coeficientes son 0 o 1, con un solo 1 en cada

línea y cada columna. Estas matrices se utilizan en com-

binatorio.

En la teoría de grafos, se llama matriz de un grafo a la

matriz que indica en la línea i y la columna j el número

de aristas que enlazan el vértice i al vértice j. En un grafo

no orientado, la matriz es simétrica. La suma de los ele-

mentos de una columna permite determinar el grado de

un vértice. La matrizM n indica en la línea i y la columnaj el número de caminos a n aristas que adjuntan el vértice

i al vértice j.

5 Algunos teoremas

• Teorema de Cayley-Hamilton

• Teorema de Gerschgorin

6 Véase también

• Descomposición de Schur

• Descomposición en valores singulares

• Descomposición QR

• Determinante (matemática)

• Eliminación de Gauss-Jordan

• Factorización LU

• Forma canónica de Jordan• Lema de Schur

• Matlab

• Matriz triangular

7 Referencias

• Beezer, Rob, Un primer curso en álgebra lineal , li-cencia bajo GFDL. (En inglés)

• Jim Hefferon: Álgebra lineal (Libros de texto enlínea) (En inglés)

7.1 Notas

[1] Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre ma-temáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.

[2] Swaney, Mark. History of Magic Squares.

[3] Shen Kangshen et al. (ed.) (1999). Nine Chapters of theMathematical Art, Companion and Commentary. OxfordUniversity Press. cited byOtto Bretscher (2005). Linear Algebra with Applications (3rd ed. edición). Prentice-Hall.p. 1.

[4] De Burgos, Juan. «Sistemas de ecuaciones lineales».

Álgebra lineal y geometría cartesiana. p. 6. ISBN9788448149000.

8 Enlaces externos

• Una breve historia del álgebra lineal y de la teoría dematrices lineal (en inglés)

• Matemáticas/Matrices(En Wikilibros)

• Reducir matrices por Gauss Jordan de manera On-line

http://www.resolvermatrices.com/http://www.resolvermatrices.com/https://es.wikibooks.org/wiki/es:Matem%25C3%25A1ticas/Matriceshttp://web.archive.org/web/http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.htmlhttp://web.archive.org/web/http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.htmlhttps://es.wikipedia.org/wiki/Especial:BookSources/9788448149000https://es.wikipedia.org/wiki/ISBNhttp://www.arthurmag.com/magpie/?p=449https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/9789871496099http://joshua.smcvt.edu/linalg.html/https://es.wikipedia.org/wiki/Licencia_de_documentaci%C3%B3n_libre_GNUhttp://linear.ups.edu/index.htmlhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_triangularhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matlabhttps://es.wikipedia.org/wiki/Lema_de_Schurhttps://es.wikipedia.org/wiki/Forma_can%C3%B3nica_de_Jordanhttps://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_LUhttps://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordanhttps://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Descomposici%C3%B3n_QRhttps://es.wikipedia.org/wiki/Descomposici%C3%B3n_en_valores_singulareshttps://es.wikipedia.org/wiki/Descomposici%C3%B3n_de_Schurhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Gerschgorinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Cayley-Hamiltonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_permutaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_adyacenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_los_grafoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_mandoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_mandoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_de_polinomioshttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_definida_positivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_estoc%C3%A1sticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_estoc%C3%A1sticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadradahttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Combinatoriahttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafoshttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Grafo


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9 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias

9.1 Texto

• Matriz (matemáticas) Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)?oldid=91187731 Colaboradores: RomeroSchmidtke, Joseaperez, Sabbut, Moriel, JorgeGG, Pieter, Lourdes Cardenal, Alberto Salguero, Sanbec, DefLog, Zorosandro, Bermie-

go, Triku, Tostadora, Tano4595, Camilosw, El Hoy, Gengiskanhg, Jecanre, Cinabrium, Yopohari~eswiki, Santiago Hernández, Chewie,

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Yrbot, Amadís, BOT-Superzerocool, Davidsevilla, Adrruiz, Vitamine, YurikBot, Mortadelo2005, GermanX, Euratom, C-3POrao, Tigerfe-

nix, Eduardo Lima,Eskimbot, CHV, Ummowoa, CaStarCo, Paintman, BOTpolicia, Ricard Delgado Gonzalo, Rdaneel, CEM-bot, Jorgelrm,

Retama, Baiji, IvanStepaniuk, Davius, Rastrojo, Antur, Jjafjjaf, FrancoGG, Jatt~eswiki, Ingenioso Hidalgo, Fsd141, Thijs!bot, Roberto

Fiadone, Yeza, RoyFocker, Inajle, Will vm, Malguzt, Mgallege, Botones, Isha, JAnDbot, Kved, Gaius iulius caesar, TXiKiBoT, Epnob, As-

troza, Humberto, Rei-bot, Casary, Pólux, BL, Sebanievas87, Macalla, Jtico, AlnoktaBOT, 2orejas1boca, VolkovBot, Technopat, Queninos-

ta, Matdrodes, BlackBeast, Barri, AlleborgoBot, 3coma14, Muro Bot, Alexandrosas, Komputisto, Numbo3, BotMultichill, Gerakibot, Sie-

Bot, Mushii, Danielba894, PaintBot, Cobalttempest, Bigsus-bot, BOTarate, Manwë, Marcodallacamina, Javierito92, Dnu72, HUB, L&T2,

Antón Francho, DragonBot, Farisori, Veon, Leonpolanco, Juan Mayordomo, Açipni-Lovrij, UA31, AVBOT, Steve.jaramillov, LucienBOT,

J.delanoy, Diegusjaimes, MelancholieBot, Julio Isaac Moreno Díaz, Arjuno3, Lampsako, Andreasmperu, Luckas-bot, MystBot, Nallimbot,

Ptbotgourou, Jotterbot, Angelsaracho, Jorge 2701, CayoMarcio, Mcapdevila, SuperBraulio13, Almabot, Kender00, Xqbot, Jkbw, GNM,

Umburi, FrescoBot, Ricardogpn, Esceptic0, Igna, Botarel, Jlbezares, Rojasyesid, D'ohBot, Hprmedina, TobeBot, Halfdrag, RedBot, Pa-

truBOT, Sheldonspock, Euclides, Tarawa1943, Eudescontreras, Proferichardperez, EmausBot, AVIADOR, ChessBOT, Africanus, J. A.

Gélvez, Rubpe19, Ezequieldiazbarral, Danicm, J caraballo, Waka Waka, Mpinomej, Movses-bot, MerlIwBot, Franco68, Nodulation, Metro-

Bot, Invadibot, Elessar.telkontarg, LlamaAl, Elvisor, Gaard van der Pol, Creosota, Julinspi, MatemáticaAlejandra, QFI.RICRADO, Lautaro

97, Addbot, Balles2601, FedeBosio, DavosMat, JacobRodrigues, MrCharro, Jarould, 4lextintor, Lectorina, Carlos Silvero, Johansneider,JoannetRivas, Nataliarodriguezlopez y Anónimos: 346

9.2 Imágenes

• Archivo:Matrix_multiplication_diagram.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/11/Matrix_multiplication_diagram.svg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: User:Bilou

9.3 Licencia del contenido

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