MATRIZESÉ uma tabela disposta em “m” linhas e “n”

colunas.

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

n

n

m m m mn m n

a a a a

a a a a

a a a a

Tipos de MatrizesMatriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual

ao de colunas.

Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha pela coluna e vice-versa da matriz original.

632

420

531

A

645

323

201TA

Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero.

Ex: matriz identidade matriz identidade

de 2ª ordem de 3ª ordem

1 0 01 0

0 1 00 1

0 0 1

A B

diagonal principal

Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

Traço da Matriz: é a soma dos elementos da diagonal principal.

Traço: 4 + 2 + 6 = 12

Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

613

025

004

300

050

002

Matriz Simétrica: TAA

1 2 0

2 7 4

0 4 3

Os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais.

Matriz Anti-Simétrica: TAA

0 5 2

5 0 1

2 1 0

Os elementos da diagonal principal são iguais a zero.Os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos.

Operações com Matrizes:Adição e Subtração de Matrizes: só podemos somar ou subtrair matrizes de mesma ordem.

Dadas as matrizes 2 5

3 4A

, 1 6

5 2B

e 8 4

2 6C

, calcule:

62

48

25

61

43

52

40

157

62

48

25

61

43

52

A + B C=

Multiplicação de Matrizes

Só podemos multiplicar duas matrizes entre si, quando o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda matriz.O resultado será uma matriz com o número de linhas da primeira e número de colunas da segunda matriz.

mxpnxpmxn CBA .0 1

1 2 33 5

0 4 24 2

22541042)3(400

23521143)3(201

xxxxxx

xxxxxx

42008120

61011260

244

176=

=

Matriz Inversa: 1A

O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade.

IAA 1.Sendo

35

24A , determine

1A

det A = 12 – 10det A = 2

2

4

2

52

2

2

3

45

23

22

5

12

31A

I – DefiniçãoÉ um número associado a uma matriz quadrada.

II – Determinante de uma matriz de 2ª ordemSeja a matriz A =

2221

1211

aa

aa , então:

21122211 .. aaaa det A =

DETERMINANTES

Ex: 41

32

det = 2 . (- 4) – 1 . (- 3)det = -8 + 3det = -5

III – Determinante de uma matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus)Ex: 3 1 2

4 3 1

1 6 5

61

34

13

561

134

213

det = 3.(-3).5 + 1.1.(-1) + 2.4.6 – (-1).(-3).(2) – 6.1.3 – 5.4.1det = – 45 – 1 + 48 – 6 – 18 – 20det = – 42

IV – Menor Complementar (Dij)

É o determinante da matriz obtida após ser eliminada a linha e a coluna do elemento aij

considerado.Ex. Sendo

0 1 2

3 4 5

2 7 1

A

, calcule D12

12

53

det = 3 + 10det = 13D12 = 13

V – Cofator

Ex. Dada a matriz

0 1 2

3 4 5

2 7 1

A

, calcule C21

ijji

ij DC .)1(

2112

21 .)1( DC

17

21.)1( 3

21

C

]141[.)1(21 C 1521 C

Propriedades dos Determinantes:1ª propriedade:Se os elementos de uma linha ou coluna de umamatriz quadrada forem todos iguais a zero, o seu determinantes será zero.Ex. 3 0 5

4 0 1

6 0 2

2ª propriedade:Se os elementos de duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, o seu determinante será zero.Ex. 2 6 2

3 5 3

4 1 4

3ª propriedade:Se trocarmos de posição entre si duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada, o determinante é o simétrico do anterior.Ex. 2 5 5 2

e 3 4 4 3

det = 15 – 8det = 7

det = 8 – 15det = -7

4ª propriedade:Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna por um número real k, então o determinante da nova matriz é o anterior multiplicado pelo número k.Obs: Conseqüência da propriedade:

det ( ) detnk A k A , onde n é a ordem da matriz.

Ex: Sendo A3x3, e det A = 5, calcule det (2A).det (2A) = 23 . det Adet (2A) = 8 . 5det (2A) = 40

5ª propriedade:O determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta.

det det tA A

6ª propriedade:O determinante de uma matriz A igual ao inverso do determinante da matriz inversa de A.

1

1det

detA

A

7ª propriedade:O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.Ex: 3 0 0 0

5 2 0 0

6 1 4 0

7 2 3 2

det = (-3) . 2 . 4 . 2det = - 48

8ª propriedade: Teorema de BinetSendo A e B duas matrizes quadradas temos que: det (A.B) = det A . det B

14

32 e B=

23

20

calcule det (A.B).

Dadas as matrizes A =

det (A . B) = det A . det Bdet (A . B) = (-14) . 6det (A . B) = -84

4º) (UFAL – 2007) Considere o conjunto A, formado pelos algarismos de 0 a 9, e analise asafirmações que seguem.

(00) Com os elementos de A é possível escrever 32542 números de 5 algarismos distintos entre si.

__ __ __ __ __ 2721667899 =

X

(11) De todos os números de 4 algarismosdistintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 3120 são pares.

__ __ __ __

__ __ __ ____

0

2,4,6,8

9 8 7

8 8 7 4

=

=

504

1792

Total = 2296

X

(22) De todos os números de 3 algarismos distintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 176 são menores do que 350.

__ __ __ < 3501

2

3

9 8

9 8

72

__ __ __72

__ _____ __0,1,2,4

4 8 32

Total = 176

X

(33) Com os elementos ímpares de A é possívelescrever exatamente 60 números de3 algarismos distintos entre si.

1, 3, 5, 7, 9

__ __ __5 4 3 60

X

(44)De todos os números de 3 algarismosdistintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 150 são divisíveis por 5.

Para um número ser divisível por 5, tem queterminar em 0 ou 51º caso: terminação 0

__ __ __0

9 8 72

2º caso: terminação 5

__ __ __8 8

564

Total=136

X