MATRIZES: INTRODUÇÃO E NOTAÇÃO GERAL - Núcleo de ... parte... · Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos

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1a linha 2a linha 3a linha

linha

MATRIZES: INTRODUÇÃO E NOTAÇÃO GERAL

Introdução

A teoria das matrizes tem cada vez mais aplicações em áreas como Economia,

Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo de matriz.

A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:

Aluno Química Inglês Literatura Espanhol

A 8 7 9 8 B 6 6 7 6 C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em literatura, basta procurar o número que fica na

segunda linha e na terceira coluna da tabela.

Um exemplo de aplicação prática da teoria das matrizes pode ser visto nas próximas

páginas.

Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no

exemplo, acima, nas colocados entre parênteses ou colchetes:

9 5 4 6 7 6 8 9 8

ou 9 5 8 4

6 7 6 6

8678 8 7 8

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de

cima para baixo e a colunas, da esquerda para a direta:

5 0 033 2

7 4 1

coluna

3a coluna 2a coluna 1a coluna


50

Tabelas com m linhas e n colunas (m e n números naturais diferentes de 0) são

denominadas matrizes m x n. Na tabela acima temos uma matriz 3 X 3.

Veja mais alguns exemplos:

3 x 2 tipodo matriz uma é 17 3 30

1 3 2

2 x 2 tipodo matriz uma é 31

21

5 2

Notação Geral

Costuma-se apresentar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras

minúsculas acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna

que o elementos ocupa.

Assim, uma matriz A do tipo m X n é representada por:

mnm3m2m1

3n333231

2n232221

1n131211

a a a a

a a a aa a a aa a a a

A

ou, abreviadamente, A = (aij) m x n’ em que i e j representam, respectivamente, a linha e a

coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2a linha e

da 3a coluna.

2a e 21a 4,a

5a e 1a 2,a :temos,

2 21 4

5 1- 2 A matriz Na

232221

131211

Ou na matriz B = [-1 0 2 5], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 =5.


51

Exercícios Resolvidos

1. Determine a matriz A = (aij) 2 x 2 tal que aij = 2i + j.

Solução:

Sendo A do tipo 2 X 2, a matriz associada é da forma:

2221

1211

aaaa

Como aij = = 2i e j, temos:

a11 = 2 . 1 + 1 = 3 (pois i = 1 e j = 1) a21 = 2 . 2 + 1 = 5

a12 = 2 . 1 + 2 = 4 a22 = 2 . 2 +2 = 6

Logo, A =

6543

.

2. Dada a matriz A = (aij) 5 x 7 tal que aij = 4232

2

a a determine, impar é j i se 2ij,par é j i se,i

Solução:

a32 = 2 . 3 . 2 = 12

a42 = - 42 = -16

Logo, a32 + a42 = 12 – 16 a32 + a42 = -4

Exercícios Propostos

1. Determine as seguintes matrizes: a) A = (aij) 2 x 2 tal que aij = (i –j)2

b) B = (bij) 3 x 2 tal que bij = (i – j)3

c) C = (cij) 2 x 3 tal que cij =

j i se j, iji se 2,

d) D = (dij) 3 x 3 tal que dij =

ímpar é j i se ,j ipar é ji se ,ji

22

22

2. Dada a matriz A = (aij) 3 x 3 tal que aij = i2 + 2j –5, calcule a12 + a31.

linha

coluna


52

TIPOS DE MATRIZES

Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.

Matriz Linha: matriz do tipo 1 X n, ou seja, com uma única linha. Por

exemplo, a matriz A = [4 7 -3 1], do tipo 1 X 4.

Matriz Coluna: matriz do tipo m X 1, ou seja, com uma única coluna. Por

exemplo B = .1 3 tipodo,1

21

X

Matriz Quadrada: matriz do tipo n X n, ou seja, com o mesmo número de

linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz C =

1472

é do tipo 2 X 2, isto é quadrada de ordem 2.

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A

principal é formada pelos elementos aij tal que i = j. Na secundária i + j = n + 1.

Observe a matriz a seguir:

A3 =

675303521

a11 = -1 é elementos da diagonal principal, pois i = j = 1

a 31 = 5 é elementos da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 (3 + 1 = 3 + 1)

Matriz Nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada

por 0 m X n’ . Por exemplo, 0 2 X 3 =

0 0 00 0 0

.

Matriz Identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da

diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In’ sendo

n a ordem da matriz. Por exemplo:

ordem da matriz

diagonal principal

diagonal secundária


53

a) I2 =

1001

b) I3 =

100010001

Assim, para uma matriz identidade In = (aij), aij =

j i se 0,ji se 1,.

Matriz Oposta: matriz –A obtida a partir de A trocando-se o sinal de

todos os elementos de A. Por exemplo, se A =

1403

, então – A =

1403

.

Matriz Transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se

ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

Se A = ,12103 2

então At =

1 02312

.

Desse modo, se a matriz A é do tipo m X n, At é do tipo n X m.

Note que a 1a linha de A corresponde à 1a coluna de At e a 2a linha de A corresponde à

2a coluna de At.

Matriz Simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At. Por

exemplo,

A =

846425653

é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos

aij = aji.

Exercício Resolvido

Classifique as matrizes dadas quanto ao tipo e à ordem.

a) A =

1031

b) B = 541 c) C =

121

d) D =

100010001


54

Solução:

a) A =

1031

matriz quadrada de ordem 2.

b) B = 541 matriz linha do tipo 1 X 3.

c) C =

121

matriz coluna do tipo 3 X 1.

d) D =

100010001

matriz identidade de ordem 3 (I3).

Exercício Propostos

1. Determine o tipo e indique a denominação de cada matriz.

a)

4231

b)

134

c) 431 d)

1000010000100001

e)

000000

2. Dada a matriz A =

4121

, determine a transposta de A.

3. Sendo a matriz A =

320y43c32

simétrica, determine c e y.


55

IGUALDADE E MATRIZES E OPERAÇÕES

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m X n, são iguais se, e somente se, todos os

elementos que ocupam a mesma posição são iguais:

A = B aij = bij para todo 1 i m e todo 1 j n

Se A =

b1

02, B =

31

c2 e A = B, então c = 0 e b =3

Operações Envolvendo Matrizes

Adição

Dadas as matrizes A = (aij) m X n e B = (bij) m X n’ chamamos de soma dessas matrizes e

matriz C = (cij) m X n’ tal que cij = aij + bij , para todo 1 i m e todo 1 j n:

A + B = C Exemplo:

101

14521)1(110

10 133221111 3

1100 32

Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.

Subtração

Dadas as matrizes a = (aij) m X n e B = (bij) m X n’ chamamos de diferença entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:

A – B = A + (-B) Observe:

54

2227- 04

(-2)0 1)(32021

7403

2021

7403

-B


56

Exercício Resolvidos

1. Calcule x, y e z tal que

z00100

1 4-y 0 x0 1x

2

2

.

Solução:

De igualdade vem:

1z2- jou 2y0 4- y

1xconvém) (não 1ou x 1x01x

2

2

Logo, x = 1, y = 2 e z = 1.

2. Sendo A =

4132

e B =

4213

, calcule:

a) A + B b) A- B c) At + Bt d) (A + B)t

Solução:

a) A + B =

8125

44 2113 32

4 213

4132

b) A – B = A + (- B) =

03 41

44 2113 32

421 3

4132

4 213

4132

c) At + Bt

A =

4132

At =

4312

B =

4 213

Bt =

4 123

Assim:

At + Bt =

4312

+

4 123

=

8215

44 1321 32

d) (A+B)t

Como A + B =

81

25, então (A +B)t =

8215

Comparando os itens c e d, podemos notar que: (A+B)t = At + Bt


57


1. Determine a, b e c tal que

921

c b

a 2

.

2. Determine x, y, z e w nas matrizes

A =

31

21, B =

31

yx e C

wz21

, tal que A = B = C

3. Determine x e y tal que:

7 1 03y 2x

=

2y5x 1 0 5

.

4. Calcule o valor de x tal que

2

2

x2

4 3x-x

.

5. Sendo A = (aij) 2 X 2 tal que aij = i + j, determine x, y e z tal que A =

zx

1y 2.

6. Sendo A =

314201

e B =

124103

, calcule:

a) A + B b) A – B c) B - A

7. Calcule x, y e z tal que

04

2z31771

1y xz2x

.

8. Sendo A = (aij) 3 X 2, com aij = 2i – j, e B = (bij) 3 X 2’ com bij = i2 + j, calcule:

a) A – B b) B - A

9. Dadas as matrizes A =

4101 32

e B =

730432

, determine o valor de :

a) At + Bt b) (A + B)t


58

MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dado um número real x e uma matriz A do tipo m X n, o produto de x por A é uma

matriz B do tipo m X n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij =

xaij:

B = xA

Observe o seguinte exemplo: 3 .

03

21603 (-1)373 23

0172



3021

e B =

2 014

, determine:

a) 31

A b) –3B c) 2A – 3B

Solução:

a) 31

A = 31

1032

31

331 0

31

231 1

31

3021

b) –3B= -3

60

3123.2- 0 . 3-

3(-1)- 4 . 32014

c) 2A – 3B = 2

00710

60312

6042

2014

)3(3021

22014

33021

2. Determine a matriz X, tal que X + A = 3B, par A =

1042

e B =

2001

.

Solução:

Aplicando as propriedade das matrizes, temos: X = 3B – A

Logo: X = 3

2001

-

1042

=

5045

1042

6003


59

3. Sendo A =

032

e B =

201

, determine as matrizes X e Y tal que 3Y – Y = 2A – B e

X + Y = A – B. Solução:

BA YX

B2AY3X

4X = 3A – 2B X = 41

(3A – 2B) = 43

. A - 21

. B =

04923

+

1021

.

1492

De X + Y = A – B, vem:

Y = A – B – X =

1492

201

032

= .

1431

4. Se A =

c3ba

e B =

1024

, determine a, b e c sabendo que 2A = (3B)t.

Solução:

2A = (3B)t 2

c3ba

=

tt

30612

2c62b2a

1024

3

t

36012

2c62b2a

23c32c

0b02b6 a122a

Logo, a = 6, b = 0 e c = 23



201

432 e B =

241 123

, calcule:

a) 5A b) 7B c) 3A – 4B d) -23

A


60


1032

, B =

2340

e C =

1801415

, calcule:

a) 3(A – B) +3 (B – C) + 3 (C- A) b) 2(A + B) –3 (B - C) – 3C


452301

e B =

43 1012

, calcule X = 2A – 3Bt.

4. Dadas as matrizes A (aij) 2 X 2 , com aij = i2 e j2, e B = (bij) 2 X 2, com bij = ij , calcule

21

A + Bt.

5. Sendo A =

112010321

e B = -2A, determine a matriz X tal que 2X – 3A = 21

B.

6. Sendo A = (aij) 2 X 2’ em que aij = 2i – j e B = (bij) 2 X 2’ em que bij = j – i, determine X

tal que 3A + 2X = 3B.

7. Sendo A =

2312

e B =

6340

, calcule as matrizes X e Y no sistema

A2Y3XBY2X

8. Se A =

z5yx

e B =

12103

, determine os valores de x, y e z sabendo que 2A =

Bt.


61

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos.

O produto das matrizes A = (aij)m X p e B = (bij) p X n é a matriz C = (cij) m X n em que cada

elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-

ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.

Vamos multiplicar a matriz A =

4321

e B =

2431

para entender como se obtém

cada cij:

1a linha e 1a coluna c11

____ ______ _____ .4 21)1.(

24 31-

. 43 21

1a linha e 2a coluna c12

___________

2 . 2 3 . 172431-

. 43 21

2a linha e 1a coluna

_______4.4.(-1) 3

772431-

. 43 21

c21

2a linha e 2a coluna

.2 4 3 . 313

77 2431-

. 43 21

c22

Assim, A . B =

171377

.


62

Observe que:

B . A =

4 . 2 .2 4 .3 2 1 . 4 4 . 3 2 . (-1) 3.31).1(

43 21

. 24 31

=

1610108

Portanto, A . B B . A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade

comutativa.

Vejamos outro exemplo com as matrizes A =

4110 32

e B =

402

321 :

A .B =

13 2- 9- 4 0 2-

18 4 4

.4 4 3 . 1- .0 4 2 . 1- 4(-2) 1 . 1-4 . 1 3 . 0 0 . 1 2 . 0 1(-2) 1 . 0 4 . 3 3 . 2 0 . 3 2 . 2 2)3(1 . 2

402 3 2 1

4110

32

Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A

for igual ao número de linhas de B:

A m X p . B p X n = (A . B)m X n

A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B (n): se A 3 X 2 e B 2 X 5 , então (A . B) 3 X 5 se A 4 X 1 e B 2 X 3, então não existe o produto


1. Calcule o produto de

501

. 0 41325

, se existir.

Solução:

Inicialmente, devemos verificar se é possível multiplicar as matrizes. A 1a matriz é do

tipo 2 X 3 e a 2a, do tipo 3 X 1. Como o número de colunas da 1a é igual ao número de linhas

da 2a, o produto é possível e a matriz resultante é do tipo 2 X 1:

=

=


63

1 10

5 . 0 0 . 4 1 . 15 (-3).0 21 . 5

501

. 0 41325

2. Determine a matriz X tal que X . A = B, sendo A =

0211

e B =

0624

.

Solução:

Como a matriz X é fator de um produto, é necessário, inicialmente, determinar o seu

tipo.

Assim, se X . A2 X 2 = B2 X 2, então X é do tipo 2 X 2. Logo, X =

dcba

.

Daí:

dcba

.

0624

c2dca2ba

0624

0211

Da igualdade de matrizes, temos

(II) 6 2dc(I) 4 2ba

e 0c2a

Substituindo a = 2 em (I) e c = 0 em (II), vem: 2 + 2b = 4 b =1 e 0 + 2d = 6 d = 3

Logo, X =

3012

.


1 012

, calcule A2 – 2A.

Solução:

A2 – 2A =

1 012

.

1 012

- 2

1 012

=

1 034

-

1010

2 024



7032

e B =

5241

, calcule:

a) A . B c) A2

b) B . A d) B2 – 3B

2. Sendo A =

123 1

e B =

7402

, determine a matriz X tal que A . X = B.


64

3. Dadas as matrizes A = [-2 1 0] e B =

42

1

, calcule:

a) A . B b) B . A

4. Sendo A =

2122

, calcule A2 + 4A – 5I2.

5. Seja A = (aij) a matriz 2 X 2 real, definida por aij = 1, se i j; aij = -1, se i > j.

Calcule A2.

MATRIZ INVERSA

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A’, de mesma ordem,

tal que A . A’ = A’ . A = In, então A’ é matriz inversa de A. Representamos a matriz inversa

por A-1.

Acompanhe o procedimento para determinar uma matriz inversa.


1. Sendo A =

12

21, determine sua inversa, se existir.

Solução:

Existindo, a matriz inversa é da mesma ordem de A.

Como, para que exista inversa, é necessário que A . A’ = A’ . A = In’ vamos trabalhar

em duas etapas:

1a.) Impomos a condição de que A. A’ = In e determinamos A’:

10

01d2b- c2a-

2db 2ca 1001

dcba

1221


65

Da igualdade de matrizes, temos:

0c2a1c2 a

1d2b02db

Resolvendo os sistemas pelo método da adição, vem:

0c2a1c2 a

0c2a24c2a

5c = 2 c = 52

Substituindo o valor obtido para c em uma das equações do sistema, temos:

a + 2c = 1 a + 2 . 52

= 1 a + 54

= 1 a = 1 - 54 a =

51

1d2b04d2b

1d2b02db

5d = 1 d = 51

Substituindo o valor obtido para d em uma das equações do sistema, temos:

b + 2d = 0 b + 2 . 51

= 0 b = - 52

Assim:

A’ =

51

52

52

51

dcba

2a ) Verificamos se A’ . A = I2:

A’ . A =

51

54

52

52

52

52

54

51

1 . 51 2 .

52 2)(

511

52

1522 .

51 2)(

52 1 .

51

12-21

.

51

52

52

51

=

1001

550

055

I2


66

Portanto, temos uma matriz A’ tal que A . A’ = A’ . A = I2. Assim A’ é a inversa de A e

pode ser representa por:

A-1 =

51

52

52

51

2. Determine, se existir, a inversa da matriz A =

1122

Solução:

Se A . A’ = A’ . A = I2, então A’ = A-1.

Vamos verificar se A . A = I2:

Fazendo A’ =

dcba

, vem:

1001

db ca 2d2b c2a

1001

dcba

. 1122

Da igualdade de matrizes, temos:

(II) 0ca

(I) 21ca

0ca12c2a

Comparando as igualdades (I) e (II), observamos que é impossível obter

simultaneamente a + c = 21

e a + c = 0

Logo, o sistema não tem solução e a matriz A não é inversível.


1. Calcule, se existir, A-1 em cada caso.

a) A =

4321

b) A =

32

10


14

52, calcule o produto A . A-1.


67

3. Sendo A =

2642

, calcule o elemento a’12 da matriz A-1.

4. O produto da inversa da matriz A =

2111

pela matriz I =

1001

é igual a:

a)

1112

. c)

11

12

b)

1112

d)

1112

DETERMINANTES Como vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou

seja, é do tipo n X n).

A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de

determinante.

Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:

resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;

cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são

conhecidas as coordenadas dos seus vértices.

Determinante de 1a ordem

Dada uma matriz quadrada de 1a ordem M = [a11], o seu determinante é o número real

a11:

det M = [a11] = a11

Obs. Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de

módulo.

Por exemplo: M = [5] det M = 5 ou 5 = 5 M = [-3] det M = -3 ou 3 = -3


68

Determinante de 2a ordem

Dada a matriz M =

2221

1211

aaaa

, de ordem 2, por definição o determinante associado a

M, determinante de 2a ordem é dado por:

det M =

2221

1211

aaaa

= a11a22 – a12a21

Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o

produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal

secundária. Veja o exemplo a seguir.

Sendo M = 54 32

, temos:

det M = 54 32

= 2 . 5 – 4 . 3 = 10 – 12 det M = -2


1. Calcule o valor dos determinantes:

a) 46

31

21-

b) 4,01

210 2

Solução:

a) 46

31

21-

= -21

. 4 – 6 . 31

= 2 – 2 = - 4

b) 4,01

210 2= 10 . 0,4 – (-22)1 = 4 + 4 = 8


69

2. Calcule o valor x real na igualdade 3x433x = 0

Solução:

3x433x = 0 3x(x +3) – 4 . 3 = 0 3x2 + 9x – 12 = 0 x2 +3x – 4 =0

x =

253

x = - 4 ou x = 1


1. Calcule o valor do determinante das seguintes matrizes:

a) A =

4215

c) C =

21 321

2342

b) B =

5632 2

d) D =

3-2

14 .

4321

2. Calcule o valor dos seguintes determinantes:

a) 81

34

sen

c)

2731log

813 3

tg

b) 1438log 2

d) 13

2cos1 0

2

3. Calcule o valor de x IR nas igualdades:

a)

21x18

91

31x

= 0 c) 31 3 x tg

b) 22 4 xcos 4 = 0 d) 0

128416xlog 2


70

4. Se

4xb1

y32a

, A =

yxba

e B = At, então det (A . B) vale:

a) 8. b)4. c)2. d)-2. e) – 4.

5. O conjunto solução de 1x11

1x1111x1

é:

a) {x IR / x 1}. b) {0,1}. c) {1}. d) {-1} e){0}

DETERMINATES: REGRA DE SARRUS

O cálculo do determinante de 3a ordem pode ser feito por meio de um dispositivo

prático, denominado regra de Sarrus.

Acompanhe como aplicamos essa regra para D = aaaaaa aaa

333231

232221

131211

1o passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

aaaaaa aaa

333231

232221

131211

3231

2221

1211

aa aa aa

2o passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os

dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma

deve ser precedida do sinal positivo):

aaaaaa aaa

333231

232221

131211

3231

2221

1211

aa aa aa

+ (a11a22a23 + a12a23a31 +a13a21a32)

paralela diagonal principal


71

3o passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com

os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a

soma deve ser precedida do sinal negativo):

aaaaaa aaa

333231

232221

131211

3231

2221

1211

aa aa aa

- (a13a22a31 + a11a23a32 +a12a21a33)

Assim:

aaaaaa aaa

333231

232221

131211

3231

2221

1211

aa aa aa

=- (a13a22a31 + a11a23a32 +a12a21a33) +


1. Calcule o valor do determinante 123214132

.

23 14 32

123214132

= - 47

2. Calcule o valor x na igualdade 03x131x101

Solução:

Aplicando a regra de Sarrus, temos:

3 + 0 + x2 –( -1 + 3x) = 0 x2 +3x – 4 = 0 x = 1 ou x = - 4

2 –18 -8 -3 –8 -12

diagonal secundária paralelas

(a11a22a23 + a12a23a31 +a13a21a32)


72

3. Resolva em IR a inequação 10x011xx2

< 0.

Solução:

Aplicando a regra de Sarrus, temos:

2 +0 + 0 -(x2 + x + 0)<0 - x2 – x + 2 <0

Resolvendo a inequação do 2o grau e estudando o seu sinal, vem:

- x2 – x + 2 = 0 x = 2

31x = 1 ou x = -2

Então, S = {x IR/ x < -2 ou x > 1}.

Exercícios Propostos:

1. Sendo A =

231210032

, calcule:

a) det A b) det A’

2. Sendo A = (aij) 3 X 3’ em que aij = 2i –j, calcule det A.

3. Calcule o valor dos seguintes determinantes:

a) 540331

110 b)

3 2 2

3cos

1- 0 1 log

1 1- 2

sen

01-

2

4. Calcule o valor de x real:

a) 0 1x0x

1x3x102x

c) 0331x101x1

-2 1 + - +


73

b) x142x

2x04xx311

5. O determinante associado à matriz

2 3412y01 2y

é igual à maior das raízes da

equação x 01 = 2. Determine o menor valor de y.

SISTEMAS LINEARES

Equação Linear

Equação linear é toda equação da forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...anxn = b em que a1, a2,

a3, ... an são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x1, x2, x3,... xn,

e b é um número real chamado termo independente.

Veja alguns exemplos de equações lineares: 3x – 2y + 4z = 7 - 2x + 4z = 3t – y +4

As equações a seguir não são lineares:

xy – 3z + t = 8 x2 – 4y = 3t – 4 x -2y +z = 7

Sistema Linear

Um conjunto de equações lineares da forma:

mnmn3m32m21m1

2n2n323222121

1n1n313212111

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxa

é um sistema linear de m equações e n incógnitas.

A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3, ..., rn)

que é simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.


74

Matrizes Associadas a um Sistema Linear

A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:

matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas

do sistema.

Em relação ao sistema:

427z4x

0z3y2x

yxa matriz incompleta é: A =

012104132

matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz

incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do

sistema.

Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:

B =

401271 040132

Sistemas Homogêneos

Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes das equações são

nulos. Veja um exemplo:

03y2

03z4yx0z2y3x

A n-upla (0,0,0, ...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e

recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não

triviais,

Sistema Normal

Um sistema normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e

o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.

Se m = n e det A 0, então o sistema é normal.


75

Exercícios Resolvidos:

1. Verifique quais dos seguintes sistemas são normais:

a)

4z3x2z3y2x

0yx

b)

5wt5zy3yx

c)

74z4y3x15z3y2x

4zyx

Solução:

a)

4z3x2z3y2x

0yx

m = 3, n = 3m = n (I)

det A = 103 132

011

= - 4 0 (II)

De (I) e (II), concluímos que o sistema é normal.

c)

74z4y3x15z3y2x

4zyx

m = 3, n = 3 m = n

det C 443

532111

= 0

Logo, o sistema não é normal.

b)

5wt5zy3yx

m = 3, n = 5 m n

Logo, o sistema não é normal.

2. Determine k R de modo que o sistema

5kyx3ykx

seja normal.

Solução:

1a. condição: det A 0

det A = k11k 0 k2 – 1 0 k 1

2a condição: m = n

No sistema, o número de equações (2) é igual ao número de incógnitas (2).

Logo, o sistema é normal para qualquer k real diferente a 1 a de –1.


76


1. Verifique se os sistemas são normais.

a)

42zyx52z3y2x

1zyx

b)

94y3x0zyx

8z3y2x

2. Determine os valores de k R para que os sistemas sejam normais.

a)

3k12y1)x(k2k4y1)x(k

b)

19z4yxk73z2ykx

1zyx

2

SISTEMAS LINEARES: RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NORMAIS

Regra de Cramer

Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

xi = D

Dix

em que i {1, 2, 3 , n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao

sistema, e ixD é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i

pela coluna formada pelos termos independentes.

A regra de Cramer é um instrumento importante para a resolução de sistemas normais.

Acompanhe a sua aplicação.


1. Resolva, com o auxílio da regra de Cramer, os seguintes sistemas:

a)

33y2x7y2x

b)

62zy3x0zy2x

3zyx


77

Solução:

a)

33y2x7y2x

D = 3212 = -6 – 2 = -8 0

m = n = 2

Como o sistema é normal, podemos utilizar a regra de Cramer para resolvê-lo.

Substituindo, na matriz incompleta 3212 , a coluna formada pelos termos

independentes, encontramos:

Dx = 32 17 = -21 – 3 = -24

Substituindo, agora, C2 pela coluna dos termos independentes, encontramos:

Dy = 32 72

= 6 – 14 = -8

Assim:

x = 824

DDx

= 3 y = 188

DD y

Logo, (x, y) = (3, 1) é a solução do sistema dado.

b)

62zy3x0zy2x

3zyx

D = 213

112 111

= 3 0

m = n = 3

Como o sistema é normal, podemos utilizar a regra de Cramer:

Dx = 216

110113

= 3 Dy = 263102

131 = -3 Dz =

613012311

= 3

Assim:

x = 33

DDx = 1 y = 1

33

DD y

z = 1

33

DD z


78

Logo, (x, y, z) = (1, -1, 1) é a solução do sistema dado.

2. Resolva o sistema linear homogêneo

0z3yx0zy2x0z4y3x

Solução:

m = n = 3

D = 131 112

1 43

= 3 + 6 + 4 –1 + 9 +8 = 29 0

O sistema é normal, apresentando uma única solução. Mas, como ele também é

homogêneo e todo sistema homogêneo tem pelo menos a solução trivial (0 ,0, 0), essa será a

solução única.

Logo, (x, y, z) = (0, 0, 0).


1. Resolva os seguintes sistemas lineares:

a)

43y2x5y3x

b)

63z2yx02zyx

58zy2x

c)

0zy2x54zy3x

93z2yx

2. Determine o valor de z no sistema:

63z5y 22z3y4x

33zy2x

3. Determine x, y e z no sistema:

0y2x0z5yx

0z2yx3


79

CLASSIFICAÇÃO E DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Classificação de um sistema quanto ao número de soluções

Resolvendo o sistema

1y2x8yx

, encontramos uma única solução: o par ordenado (3,

5).

Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).

No caso do sistema

16y22x8yx

, verificamos que os pares ordenados (0, 8), (1, 7), (2,

6), (3, 5), (4, 4), (5, 3),são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o

sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).

Para

10yx-10yx

, verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as

equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).

Discussão de um sistema linear

Se um sistema tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:

a) possível e determinado, se D = det A 0; caso em que a solução é única.

Exemplo:

62zy3x3 n m0zy2x

3zyx

e D = 03 213 112

111

Então o sistema é possível e determinado, tenso solução única.

b) possível e indeterminado, se D = 1xD = 2xD = 3xD = = nxD = 0, para n = 2. Se

n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas

respectivamente proporcionais e termos independentes e termos independentes não-

proporcionais.

Exemplo:

13z4yx2zy2x

12z3yx

D = 0, Dx = 0, Dy = 0 e Dz = 0


80

Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.

c) impossível, Se D = 0 e ixD 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem

solução. Exemplo:

02z3y3x43zy2x

1z2yx

D = 233 312

1 21

= 0, Dx =

230 314

1 21

= 35 0

Como D = 0 e Dx = 0, o sistema é impossível e não apresenta solução.


1. Verifique para quis valores de k o sistema

2ky2x32yx

é:

a) possível e determinado; b) possível é indeterminado.

Solução:

a) O sistema é possível e determinado se D 0. Assim:

k221

0 k – 4 0 k 4

b) O sistema é possível e indeterminado se D = Dx = Dy = 0.

Como Dy = 2231

= -4 0, então k R tal que o sistema seja possível e

indeterminado.

2. Determine p de modo que o sistema

4ypx32y3x

seja impossível.

Solução:

Para que o sistema impossível, devemos ter D = 0 e Dx 0 ou Dy 0.

Assim:

D = 1p23

= 3 – 2p Dx = 1423

= 3 –8 = -5 Dy = 4p33

= 12 – 3p

Como D = 0, temos: 3 – 2p =0 p = 23

Sendo Dx = - 5 0, o sistema é impossível para p = 23


81


1. Classifique o sistema

12z2x13zy2x

5yx

2. Classifique o sistema

43zy2x1yx

32zyx

3. Determine para que valores de m o sistema

my2x32yx

é:

a) impossível; b) possível e indeterminado.

4. Classifique os sistemas a seguir e resolva apenas os possíveis e

determinados:

a)

12yx23yx

b)

13z2yx05z3yx

0zyx

c)

02z3y2x03z5y5x

0z2y3x

d)

52z2y3x3zy2x

3zyx

5. O valor de m para que o sistema

0y4x0ymx

seja indeterminado é:

a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.

6. O sistema

0z3x03z2yx

0zy2x

a) tem uma única solução. b) não tem soluções reais.

c) tem três soluções distintas. d) tem infinitas soluções reais.


82

SISTEMAS LINEARES: EQUIVALENTES E ESCALONADOS

Sistemas equivalentes

Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.

Por exemplo, dados os sistemas:

S1 =

83y2x3yx

e S2 =

5y2x3yx

Verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2

são equivalentes: S1 ~ S2.

Propriedades

a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.

Por exemplo:

S1 =

(II) 3y2x(I) 23yx

e S2 =

(II) 23y-x(I) 3y2x

b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número k (k R*),

obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:

S1 =

(II) 0y-x(I) 32yx

3por (II) equaçãoa ndomultiplica

S2 =

(II) 03y-3x(I) 3y2x

S1 S2

c) Adicionado a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse

mesmo sistema por um número k (k R*), obtemos um sistema equivalente ao

anterior

Por exemplo:

Dado S1 =

(II) 1yx(I) 42yx

e substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I)

por –1 com (II), obtemos:

S’1 =

3 -3y-

1y x 42yx

S2 =

33y 42yx

S1 ~ S2, pois (x, y) = (2, 1) é solução de ambos os sistemas.


83

Sistemas escalonados

Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o

número de equações (m) é igual de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-

se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso , usamos a técnica de escalonamento, que

facilita a discussão e a resolução de quaisquer sistemas lineares.

Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada

equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não-

nulo aumenta de equação para equação.

Exemplos:

S1 =

24z 1zy 0zy2x

S2 =

306t2z 1t4zy

6tzyx

S3 =

42zy 14z 2x

S4 =

13wz 5w2z3y2x

Os sistemas S1, S2, S3 e S4 estão na forma escalonada.

Técnica do escalonamento

Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:

a) Fixamos como 1a equação uma das que possuem o coeficiente da 1a

incógnita diferente de zero.

b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os

coeficientes da 1a incógnitas das demais equações.

c) Anulamos todos os coeficientes da 2a incógnita a partir da 3a equação.

d) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne

escalonado. Vamos então aplicar a técnica do escalonamento. Veja os exemplos:

Exemplo 1:

12zy3x3z2yx4z3y2x


84

Trocamos de posição a 1a equação com a 2a equação, de modo que o 1o coeficiente de x

seja igual a 1:

12zy3x4z3y2x

3z2yx

1o passo: Anulamos todos os coeficientes da 1a incógnita a partir da 2a equação,

aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:

12zy3x

4z3y2x(-2) 3z2yx

12zy3x23z7y

3z2yx

12zy3x

2z3y7 (-3) 3z2yx

8z5y723z7y

3z2yx

2o passo: Anulamos os coeficientes da 2a incógnita a partir da 3a equação:

8z5y7

2z3y7 (-1) 3z2yx

(III) 6z2 (II) 23z7y (I) 3z 2y x

O sistema está escalonado. Como m = n e a última equação –2z = -6 tem solução única,

o sistema é possível e determinado.

Exemplo 2:

22zy3x1zy2x3z2yx

1o passo: Anulamos todos os coeficientes da 1a incógnita a partir da 2a equação:

22zy3x

1zy2x(-2) 3z2y-x

22zy3x5zy5

3z2y-x


85

22zy3x

5z5y (-3) 3z2y-x

7zy5 5zy5

3z2yx


75y

5z5y (-1) 3z2y-x

z

(III) 20z (II) 5z5y (I) 3 z 2y -x

Ao escalonar o sistema, notamos que sua última equação 0z = -2 não admite nenhum

valor real para z que satisfaça igualdade. Logo, o sistema é impossível. Observação: Sempre que ao escalonar um sistema linear encontrarmos uma equação do tipo 0x1

+ 0x2+ ... + 0xn = b, com b 0, o sistema será impossível.

Exemplo 3:

6z4y3x42z3y2x

2zyx

1o passo: Anulamos todos os coeficientes da 1a incógnita a partir da 2a equação:

6z-4y3x

42z-y32x(-2) 2zyx

6z-4y3x

0z4y 2zyx

6z-4y3x

0z4y (-3) 2zyx

0z4y 0z4y 2zyx


0z4y

0z4y (-1) 2zyx

(III) 00z (II) 0z4y (I) 2 z y x

O sistema está escalonado e sua última equação 0z = 0 é verdadeira para qualquer valor

real de z (infinitas soluções). Logo, o sistema é possível e indeterminado.


86

Observação: Neste último exemplo, suprimindo-se a 3a equação 0z = 0, teremos:

04zy 2zyx

Sempre que um sistema na forma escalonada tiver o número de equações menor que o

número de incógnitas (m < n), ele será possível e indeterminado.

Exemplo 4:

1z2y2x2zyx

1o passo: Anulamos o coeficiente da 1a incógnita a partir da 2a equação:

1z2y2x(-2) 2zyx

5z

2zyx

O sistema está escalonado e o número de equações é menor que o número de incógnitas

(m < n), então o sistema é possível e indeterminado. Observação: Note que o mesmo sendo z = 5 solução única, ao substituirmos esse valor em x +y

- z = 2, teremos: x + y – z = -2 x + y = 3, possuindo essa equação infinitas

soluções, tornando assim o sistema possível e indeterminado.

Exercício Proposto

Escalone e classifique os seguintes sistemas lineares:

a)

7z3y2x12zy3x

0z2yx

b)

2z2y2x12zyx

0zy3x

c)

44z9y4x22z3y2x

1zyx

d) 13x27y

3y2x1

SISTEMAS LINEARES: ESCALONAMENTO Apresentaremos neste módulo a resolução de alguns sistemas lineares aplicando a

técnica do escalonamento.


87

Exercício Resolvido

Resolva os seguintes sistemas:

a)

7z2yx9z7y2x

82z3yx

b)

57z6y2x12zy3x

6zyx

c)

45zyx194z5y2x

53z2yx

d)

1zy2x6zyx

Solução:

a) Vamos escalonar o sistema:

7z2yx 9z7y2x

(-2) 82z3yx

7z2yx 255zy

(-1) 82z3y-x

153z5y (5) 255zy

82z3y-x

(III) 01428z (II) 255zy (I) 82z3y-x

A última equação do sistema escalonado –28z = -140 tem solução única e como m = n,

o sistema é possível e determinado . Sua solução é:

-28z = -140 z = 5. Substituindo z = 5 em (II), vem:

-y – 5 . 5 = -25 -y – 25 = -25 y = 0

Substituindo z = 5 e y = 0 em (I), temos:

x – 3 . 0 +2 . 5 = 8 x + 10 = 8 x = -2

Portanto, x = -2 y = 0 e z = 5 e S = {(-2, 0, 5)}.

b) Escalonando o sistema, temos:

57z6y2x 12zy3x

(-2) . (-3) . 6zyx

75z4y 175z4y

6z-yx


88

24z00y 175z4y

6z-yx

Como a última equação do sistema é sempre falsa, então o sistema é impossível e S =

.

c) Vamos escalonar o sistema:

45zy - x 19z4y52x

(-2) . (-3) . 53z2y-x

92zy

92z-y 53z2y-x

00z0y 92zy 53z2y-x

A última equação do sistema escalonado é verdadeira para qualquer valor real de y e z.

Assim, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções.

Eliminado a última equação do sistema escalonado, temos:

92zy 53z2yx

O sistema está escalonado e m < n. Logo, ele é possível e indeterminado.

Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:

Consideramos o sistema em sua forma escalonada.

Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:

GI = n – m = 3 – 2 = 1

Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor ,

supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. Sendo z = e

substituindo esse valor na 2a equação, obtemos:

- y - 2 = 9 y = -2 - 9

Substituindo z = e y = - 2 - 9 na 1a equação, temos:

x – 2(- 2 - 9) + 3 = 5 x+ 4 + 18 + 3 5 x = - 7 - 13

Portanto, S = {(- 7 - 13, - 2 - 9, )}.


89

d) Vamos escalonar o sistema:

1zy2x.(-2) 6zyx

113zy

6zyx

O sistema está escalonado e m < n. Logo, ele é possível e indeterminado.

GI = n – m = 3 – 2 = 1

De maneira análoga ao exercício anterior vamos resolver o sistema:

z = α

- y - 3α = - 11 - y = 3α - 11 y = 11 - 3α

x + y +z = 6 x + 11 - 3α + α = 6 x - 2α = 6 – 11 x = 2α - 5

Portanto, S = {(2α - 5, 11 - 3α , α )}.

Exercício Proposto

Classifique e resolva os sistemas a seguir:

a)

83zy3x52z2yx

9z3y2x

b)

03zy2x0zy3x0z2yx

c)

343y5x3y3x74yx

d)

7z2y2x3zyx

e) 132x12y

2yx1

f)

1zx02zy13yx

CONTEXTOS, APLICAÇÕES INTERDISCIPLINARIDADE

Uma seção para você ligar a Matemática à realidade da vida e da sociedade

Matrizes, Sistemas Lineares, Eletricidade e Livros No exemplo 1 vamos calculara as correntes de um circuito elétrico usando os conceitos

matemáticos de matrizes e sistemas lineares. No exemplo 2, vamos calcular os preços de três

livros de Matemática de uma determinada livraria com sede e duas filiais e novamente esses

conceitos devem ser usados.


90

Exemplo 1

Esse circuito possui:

Dois geradores de forças eletromotrizes (fem) E1 = 27V e E2 = 24V e

resistências internas r1 = 1 ;

Três resistores: R1 = 2 , R2 = 6 e R3 = 3 . Observação: A unidade de medida de fem é o volt (V); a unidade de medida de resistência

elétrica é o ohm ( ).

Resolver um circuito elétrico significa determinar as intensidade das correntes elétrica

que nele circulam; a unidade de medida da corrente elétrica é o ampère (A).

Nesse circuito, temos rês correntes, representadas por i1, i2 e i3.

Para calcular suas intensidade, vamos montar o sistema a seguir, que resulta da

aplicação das 1a e 2a leis de Kirchhoff no circuito da figura acima. Observação: Essas lei são vistas detalhadamente no estudo de Eletrodinâmica, que pertence à

Física.

424i6i- 27 6i 3i0iii

32

2

321

Aplicando a regra de Cramer, temos:

D = 54 460

063111

1iD =

46240627110

= -126

2iD =

42400273101

= -180 3i

D = 2460

2763011

= -54


91

Assim:

i1 =

54

126D

D1i i1 = 3

7A , i2 =

54

180D

D2i i2 = A

310

e i3 = D

D3i =

5454

i3 = 1A

Logo, as correntes do circuito são i1 = 37

A, i2 = A3

10 e i3 = 1A

Exemplo 2

Uma coleção de livros de Matemática para o ensino médio é representada por três

livros:

M1 é do 1o ano;

M2 o do 2o ano;

M3 o do 3o ano.

As livrarias A, B e C, em um relatório sobre as vendas diárias, apresentam os seguintes

resultados num determinado dia:

Livraria Total de vendas Valor total recebido

A 1M1 2M2 3M3

R$ 111,00

B 2M1 1M2 2M3

R$ 88,00

C 3M1 2M2 5M3

R$ 181,00

Com base nesse relatório, determine os preços dos livros M1, M2 e M3.

Solução:

Se M1 custar x reais, M2 custar y reais e M3 custar z reais, teremos o seguinte sistema:

1815z2y3x882z1y2x1113z2y1x


92

Escalonando o sistema teremos:

20z 38zy 1113z2yx

Assim, z = 20, y = 18 e x = 15.

Logo, M1 custará R$ 15,00; M2 custará R$ 18,00 e M3 custará R$ 20,00.

NÚMEROS COMPLEXOS: INTRODUÇÃO, ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Introdução

Sabemos que N Z Q R, sendo o conjunto R o mais amplo que conhecemos até

agora. Nele não podemos resolver equações do 2o grau em Δ < 0, como x2 + 1 = 0, x2 +4 = 0,

x2 + 5x +7 = 0, isto é, não há solução em R para essas equações.

Durante muitos séculos essas equações ficaram sem solução até que Raffaeli Bombeli,

em 1572, publicou seu tratado de Álgebra, falando sobre raízes quadradas de números

negativos.

Assim, começava a surgir um novo conjunto, chamado de conjunto dos números

complexos e representando por C e no qual aquelas equações (Δ < 0) não tinham solução.

Criou- se também o símbolo i (pois esses números eram chamados imaginários) para ser

usado no lugar de 1

Vamos, então, resolver algumas equações em C para exemplificar.

a) x2 + 1 = 0 x2 = -1 x = 1 x = + i ou x = - i

S = {- i, i}

b) x2 + 25 = 0 x2 = -25 x = 25(-1) 25 x = 5i

S = {-5i, 5i}

c) x2 –2x +2 = 0 x =

2)i1(2

22i2

242

2842 1 i

S = {1 - i, 1 + i} Números como i, 2i, -3i, 2 +3i, 4 – 2i são exemplos de números complexos, ou seja,

todo número da forma z = a +bi ( (a, b R e i = 1 ) é um número complexo:


93

C = {z / z = a + bi, a R e b R } Sendo a a parte real (R) e bi a parte imaginária (Im).

Dessa forma, podemos escrever N Z Q R C.

Observações:

1a) i2 = -1 2a) z = a + bi é chamado forma algébrica do número complexo. 3a) Se a = 0, então z = bi, que chamamos de número imaginário puro, ou simplesmente, número

imaginário. 4a) Se b = 0, z = a é real. Igualdade de números complexos

Dois números complexos são iguais se, e somente têm a mesma parte real e a mesma

parte imaginária:

a + bi = c + di a = c e b = d

Adição e subtração de números complexos

Dados dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, temos por definição:

a) z1 + z2 = (a +c) + (b + d)i parte real parte imaginária

a) z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i

parte real parte imaginária Veja os exemplos:

z1 = 3 – 5i e z2 = 4 + 4i

9i-1- i 4)-(-54)-(3z-zi7i 4)5(4)(3zz

21

21

z1 = 2 +3i e z2 = -2 + 4i

6i1012i66i44i)23(3)2(23z2zi44)i(3)(2zz

7i4)(2)(2zz

21

21

21


1. Determine p para que z = (2p +7 ) + 3i seja imaginário puro.

Solução:

Devemos ter: a = 2p + 7 = 0 p = - 27


94

2. Sejam os números complexos z1 = k + 3i e z2 = 3 – mi. Determine k e m

para que z1 + z2 = 2(5+2i).

Solução:

z1 + z2 = k + 3i +3 – mi = (k+ 3) + (3 . m) i = 2(5 + 2) = 10 + 4i

R Im R Im

Logo,

1m4m37k103k


1. Resolva em C as equações:

a) x2 +36 = 0 b) x2 +7x + 10 = 0 c) x2 +2x+2 = 0

2. Encontre a de modo que z = (a2 – 4) + (a – 2)i seja imaginário puro.

3. Determine os números reais m e n tal que (m + n) + (m – n)i = 4 + 2i.

4. O número complexo z = x +(x2 – 4)i é real se, e somente se:

a) x = 0. b) x 0. c) x = 2. d) x 2. e) x 0 e x 2.

5. Determine k e m para que z1 – z2 = 3 +2i, sendo z1 = k + mi e z2 = 2 – 2i.

6. Se z1 = 2 + mi e z2 = 3 + 4i, obtenha m tal que z2 – z1 = z1 – 1 – 3i.

7. Sendo z1 = 2 +3i, z2 = -3 – i e z3 = 4 –2i, determine:

a) z1 –2z2 – z3 b) 2z1 – 3(z3 – z2)

NÚMEROS COMPLEXOS: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

Multiplicação de números complexos

Dados dois números complexos, z1 = a +bi e z2 = c + di, temos por definição:

z1z2 = (a +bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci – bci – bd z1z2 =(ac –

bd) + (ad + bc)i.


95

Exemplos:

z1 = 2 + 3i e z2 = 1 – 2i

z1z2 = (2 + 3i) (-1 + 2i) = -2 – 3i + 4i + 6i2 = -2 – 3i + 4i – 6 = -8 + i

z1 = 1 – i e z2 = 3 +4i

z1z2 = (1 - i) (3 + 4i) = 3 + 4i - 3i - 4i2 = 3 + 4i - 3i + 4 = 7 + i

Conjugado

Chamamos de conjugado de z = a + bi o número complexo, indicado por z , tal que:

z = a – bi

Veja:

z1 = 2 – 2i 1z = 2 + 2i

z2 = 3 + 4i 2z = 3 – 4i

z3 = -5 +2i 3z = -5 –2i

Na prática, para obter o conjugado de um número complexo, trocamos o sinal do

coeficiente da parte imaginária.

Observações: Sendo z = a + bi, temos:

1a) z + z é sempre real, pois z + z = a + bi + a – bi = 2a.

2a)z - z é sempre imaginário puro, pois z - z = a + bi – (a – bi) = a +bi – a + bi = 2bi.

3a) z z é sempre real não-negativo, pois z z = (a + bi) (a – bi) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 – b2i2 =

a2 +b2.

Propriedades

1a) Se z = a + bi, então z = a – bi z = bia = a + bi: z = z.

2a) O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados: 21 zz = 1z + 2z .

3a) O conjugado do produto é igual ao produto ao produto dos conjugados: 21zz = 1z 2z .

4a) O conjugado de uma potência é igual à potência do conjugado: nz = nz (n N).


96

Divisão de números complexos

Dados dois números complexos, z1 = a +bi e z2 = c + di, para obter a forma algébrica do

quociente 2

1

zz

, z2 0, multiplicamos o numerador e o denominador da fração por 2z

(conjugado do denominador).

Esse procedimento, além de não alterar o valor de 2

1

zz

, permite eliminar a parte

imaginária do denominador (pois z2 2z é real), obtendo, desse modo, a forma algébrica.

Observe o exemplo.

Sendo z1 = 2 + 3i e z2 = 4 + 3i, temos:

.i256

2517

9166i17

9i169i12i6i8

3i43i4.

3i43i2

3i43i2

zz

2

2

2

1


1. Determine o complexo x tal que (1 i) z –(1 + 2) z = 7 + 3i.

Solução:

Sendo z = a + bi, temos z = a – bi

Substituindo na equação, vem:

(1 + i) (a + bi) – (1 +2i) (a – bi)= 7 + 3i a + bi + ai – b – a + bi - 2ai – 2b = 7 +3i

-3b + (2b – a) i = 7 + 3i

3a2b73b

Resolvendo o sistema, obtemos b = 37

e a = 323

. Logo, z = 323

37

. i

2. Efetue:

a) i1i2

b) 2i1i3

i2i1

Solução:

a) i1i2

= 23

21

23i1

i1i2i2

i)i)(1(1i)i)(1(2

2

2

. i

b) 2i1i3

i2i1

=

57i1

53i1

412i6i3

1412ii2

2i12i1.

2i1i3

i2i2.

i2i1


97

.i54

52

54i2


1. Calcule:

a) i1

2i3

b)

i3i2

c) 2i

4i3 d)

5i43i2

5i43i2

2. Dados os números complexos z1 = a + bi e z2 = 1 –2i. Como z1z2 = 15,

então z1 + z2 é igual a:

a) 8. b) 4. c) 4 + 4i. d) 6 + i. e) 8 – 2i.

3. A divisão i12i1

dá como resultado o número:

a) - .i23

21 b)

23

21 . i c) -

23

21 . I d) )

23

21 . i e) –1 + 3i.

4. O quociente de z = 3 + 2i por w = 1 + i é:

a) 3 + 2i. b) 3 – i. c) 5 – i. d) 21

25 . i . e)

23

- i.

5. Se z1 = 2 + 3i e z2 = 3 + 4i, calcule:

a) z1 . 2z . B) 2

1

zz

6. Se z1 = 3 – 2i, z2 = 2 + i e z3 = 1 + i, calcule 3

21

z.zz

.

NÚMEROS COMPLEXOS: POTÊNCIAS DE i E REPRESENTAÇÃO

GRÁFICA DE UM NÚMERO COMPLEXO

Potência de i

Estudando as potências de i( in, n N), temos:

i0 = 1 i6 = i4i2 = 1(-1) = -1 i1 = i i7 = i4i3=1 (-1) = -i i2 = -1 i8 = i4i4 = 1 . 1 = 1 i3 = i2i = -i i9 = i8i = 1 . i = i


98

i4 = i2i2 = -1(-1) = 1 i10 = i8i2 = 1(-1) = -1 i5 = i4i = 1 . i = i i11= i10i=-1 . i = -i Então, podemos escrever:

-i1(-i)iiiiii-11(-1)iiiiii

i1.iiiiiii11)(iiiii

34n34n1173

24n24n1062

4n14n951

nn44n840

Portanto, para determinar uma potência de i superior a 4, basta dividir o expoente de i

por 4 e considerar apenas i elevado ao resto dessa divisão. Veja: i9 i82 i123

9 4 i9 = i2.4+1 = i8 . i =1 . i = i 82 4 i82 = i2 = -1 123 4 i123 = i3 = -i

1 2 2 20 03 30

Representação gráfica de um número complexo

Para representar o número complexo z = a + bi num plano (chamado de Argand-Gauss),

marcamos o coeficiente da parte real no eixo Ox e o coeficiente da parte imaginária no eixo

Oy.

Veja:

biaz complexo do afixoou geométrica imagemb)P(a,)(imaginário eixoIm

)( rea eixoOy

OxR

Por exemplo, se z1 = 2 + 3i e z2 = -2 + i, P1 (2, 3) é o afixo de z1 e P2 (-2, 1) é o afixo de

z2. Então, representação desses números é:

Módulo

O módulo ( z ) de um número complexo é a distância de seu afixo à origem do plano de

Argand-Gauss. Assim, se P(a, b) e O(0, 0), temos:


99

z = dOP = 22 0)(b0)(a z = 22 ba

Veja alguns exemplos:

z = 2 +3i z = 22 32 = 13 z = -5i z = 22 )5(0 = 5

Argumento

Argumento de um número complexo (arg (z)) é o número θ (0 θ < 360°) tal que:

sen θ = z b

e cos θ = z a

(z 0)

O ângulo θ é considerado no sentido anti-horário, a partir do eixo real (parte positiva)

até encontrar OP .


1. Calcule 13

28243

iii

.

Solução:

i243 = i3 = - i

i28 = i0 = 1

1

i1i

iii

i)1)(i(i

1ii

ii2

2

213

28243

= -1 + i

i13 = i1 = i

2. Represente graficamente e determine o módulo e o argumento dos

seguintes números complexos:

a) z = 2 + 2 3 i b) w = 1 - i


100

Solução:

a)Representação gráfica

Módulo

z = 22 )32(2 = 124 = 4

Argumento:

sen θ = 23

432

zb

Como 2 + 2 3 i está no 1° quadrante

(0 < θ < 90°), então θ = 60°.

Módulo

w = 22 )1(1 = 2

a)Representação gráfica

Argumento:

Como 1- i está no 4° quadrante, 270° < θ < 360°. Assim:

cos θ = 22

21

wa

θ = 315°


1. Calcule:

a) i107 b) i100 – i200 c) 12

10033

iii

d) 19

218

iii

e) 18

321

ii

2. A expressão 13

11031

iii

é equivalente a:

a) 1 – i . b) –1 + i. c) 1 + i. d) i. e) – 1 – i.

3. Represente graficamente e determine o módulo e o argumento dos

seguintes números complexos.

a) z = 1 +i b) z = - 1 + i c) z = 3 + i. d) z = -1 + i 3

e) z = -2i f) z = 4 g) z = 2 +2i h) z = -1 - 3


101

FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DE UM NÚMERO COMPLEXO

Seja um número complexo z = a + bi, z 0.

Sendo o ângulo θ em radianos, temos:

cos θ = za a = z . cos θ (1)

sen θ = zb b = z . sen θ (2)

Substituindo (1) em (2) em z = a + bi, temos:

z = z .cos θ + i . z . sen θ z = z . (cos θ + i . sen θ )

Que é a forma trigonométrica ou polar de um número complexo.


1. Passe para a forma trigonométrica

a) z = 1 + i b) z = -1 + 3 i.

Solução:

a) z = 1 + i é um complexo que tem representação gráfica no 1° quadrante:

Assim:

z = 11 = 2

cos θ = za

= 22

21

θ 4

rad (0 < θ < 2

)

Então:

z = z . (cos θ +i . sen θ ) = 2 (cos 4

+ i . sen 4

)


102

b) z = - 1 + 3 i tem representação gráfica no 2° quadrante (2

rad < θ < rad):

Assim:

z = 22 )3()1( = 4 = 2

cos θ = za

= - 21

θ = 3

2rad (

θ 2

)

Então:

z = 2 ( cos 3

2 + i . sen

32

)

2. Dê a forma trigonométrica de z = (1 + i )4.

Solução:

(1 + i)2 = 12 + 2 . 1 . i + i2 = 1 +2i – 1 = 2i

Logo, (1 + i )4 = [(1 + i)2]2 = (2i)2 = 4i2 = -4

Se z = (1 + i)4 = -4, então a = -4 e b = 0.

Logo, sua representação gráfica é:

Assim, z = 22 0)4( = 4 e θ = rad.

Então: z = z (cos θ + i . sen θ ) = 4 (cos + i . sen )


1. Passe para a forma trigonométrica:

a) 2 – 2i b) 2 2 + 2 2 i c) –i d) -4

e) -2 3 -2i f) 5i13i)2(2

g) 5i


103

2. Dado z = 4i33i4

, determine:

a) seu argumento e seu módulo; b) a forma trigonométrica de z.

3. O número complexo 2 2 i, na forma trigonométrica, é:

a) 2(cos 6

+ i . sen 6

). b) 2(cos 4

+ i . sen 4

).

c) 2(cos 3

+ i . sen 3

). d) 2(cos 4

3 + i . sen

43

).

e) 2(cos 4

5 + i . sen

45

).

4. Dê a forma trigonométrica de:

a) z = ( 1 . i)2 b) z = (1 + 3 i)2 c) z = i1i1

5. O módulo e o argumento de z = 3i valem respectivamente:

a) 3 e b) 9 e 2 c) 3 e 2

d) 3 e - 2

e) nda

6. Qual a forma trigonométrica de um número complexo de módulo 5 e o

argumento 2

3 θ ?

7. Se u = 3 + 2i e v = 1 + i, então vu é:

a) 5. b) 26 c) 29 d) 7. e)15.

8. O módulo do número complexo (1 + 3i)4 é :

a) 256. b) 100. c) 81. d) 64. e) 16.

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MATRIZES: INTRODUÇÃO E NOTAÇÃO GERAL - Núcleo de ... parte... · Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos