Universidade Federal de Pernambuco

Departamento de Fısica

Exame Geral de Doutorado

Segundo Semestre de 2014

Mecanica Classica

08/08/2014 - 09:00 as 12:00 h

(Escolha tres dentre as quatro questoes)

Exame Geral de Doutorado 2014.2 – Mecanica Classica 1

Questao 1 – Leis de Newton

Dois blocos unidos por um fio inextensıvel de massa desprezıvel se

encontram dispostos numa rampa fixa ao solo, como mostrado na fi-

gura. O bloco de massa 2M desliza sem atrito sobre a superfıcie.

A polia e composta por um disco fino

raio R e massaM uniformemente dis-

tribuıda. O fio passa pela polia sem

deslizar e o segundo bloco de massa

M se encontra pendurado sob acao da

gravidade. A polia gira sem atrito.

2M

M

M

R

β

z

x

(a) [20%] Encontre o angulo crıtico βc para o qual as forcas sobre o bloco

de massa M se anulam.

(b) [10%] Nas condicoes do item (a), encontre o vetor momento angular

(em relacao ao eixo da polia) para o sistema formado pelos dois blo-

cos e a polia, sabendo que o bloco de massa M se movimenta com

velocidade constante ~v = v0z.

(c) [10%] Nas condicoes do item (a), encontre a variacao de energia po-

tencial do sistema formado pelos dois blocos e a polia quando o bloco

de massa M desce por uma altura h.

Suponha nos itens abaixo que o angulo formado pela rampa e β < βc.

(d) [30%] Encontre a aceleracao do bloco de massa 2M .

(e) [30%] Encontre a tracao no fio nos dois lados da polia.

Exame Geral de Doutorado 2014.2 – Mecanica Classica 2

Questao 2 – Oscilacao e ressonancia

A posicao unidimensional x(t) de uma partıcula com massa m sujeita

a acao de uma forca externa periodica, com magnitude F e frequencia Ω,

obedece a equacao de movimento

x+ γx+ ω2

0x =

F

mcos(Ωt), (1)

em que γ e ω0 sao constantes (com dimensao de inverso de tempo) associ-

adas, respectivamente, a uma forca dissipativa e a uma forca restauradora

atuando sobre a partıcula.

(a) [25%] Encontre a solucao oscilatoria geral do movimento para o caso

em que F = 0. Determine a frequencia ω de oscilacao.

(b) [25%] Aplique as condicoes iniciais x(t = 0) = x0 e x(t = 0) = 0 a

solucao do item (a). Esboce x(t) graficamente, indicando as escalas

relevantes dessa funcao.

(c) [25%] Determine a solucao particular da Eq. (1) com forca externa nao

nula. Encontre a frequencia, a amplitude A e a fase φ da oscilacao.

(d) [25%] A potencia fornecida pelo agente causador da forca externa e dis-

sipada pelo oscilador e proporcional a |A|2. Esboce |A|2 graficamente

como funcao da frequencia Ω da forca externa, indicando no grafico as

escalas relevantes. Suponha que a dinamica seja dominada pela forca

restauradora (i.e. ω0 ≫ γ) e desconsidere efeitos transientes.

Exame Geral de Doutorado 2014.2 – Mecanica Classica 3

Questao 3 – Modos normais de vibracao

Um pendulo e formado por uma partıcula com massa m1 = 3m sus-

pensa por uma haste rıgida (com massa desprezıvel e fixa a um suporte)

com comprimento ℓ. Um segundo pendulo, com massa m2 = m e mesmo

comprimento, e fixado a partıcula com massa m1, formando um pendulo

duplo. Esse sistema e livre para oscilar num plano fixo.

(a) [35%] Escreva a lagrangiana do sistema e as equacoes de movimento

para as posicoes das partıculas 1 e 2 em termos das coordenadas ge-

neralizadas que voce achar mais convenientes. Desenhe esquematica-

mente o sistema, apontando as coordenadas escolhidas.

(b) [35%] Determine as frequencias normais de vibracao para pequenas

oscilacoes.

(c) [15%] Determine os modos normais de vibracao no regime de pequenas

oscilacoes.

(d) [15%] Escreva a solucao para as posicoes das partıculas como funcao

do tempo para a configuracao inicial (t = 0) em que um agente ex-

terno, encontrando o sistema em repouso em seu ponto de equilıbrio,

aplica uma forca impulsiva a massa m2 fornecendo-lhe velocidade ini-

cial v2(t = 0) = v0.

Exame Geral de Doutorado 2014.2 – Mecanica Classica 4

Questao 4 – Corpo rıgido

Considere duas partıculas de massas m1 e m2 conectadas por uma haste

rıgida de massa desprezıvel. O conjunto esta em rotacao como mostrado

na figura, sendo ~vi a velocidade e ~ri a posicao da partıcula i (i = 1, 2).

O sistema de eixos de re-

ferencia e definido pelos ver-

sores de base e1, e2 e e3 mos-

trados na figura. O versor e3

se encontra ao longo da linha

que une as partıculas e e2 esta

no plano definido por e3 e ~ω.

Considere a distancia entre as

partıculas e a origem das co-

ordenadas igual a b.

m1

m2

v1

v2

O

e2

r2

r1

ωωωω

|r1| = |r2| = b

α

(a) [50%] Encontre o momento angular ~L do sistema.

(b) [30%] Explique porque a velocidade angular ~ω e o momento angular

nao apontam na mesma direcao.

(c) [20%] Determine o torque necessario para manter o movimento con-

forme descrito.

Exame Geral de Doutorado 2014.2 – Mecanica Classica 5

Formulario

L(q1, . . . , qn, q1, . . . , qn) = T (q1, . . . , qn, q1, . . . , qn)− U(q1, . . . , qn)

∂L

∂qj−

d

dt

∂L

∂qj= 0

Ixωx − (Iy − Iz)ωyωz = Nx

Iyωy − (Iz − Ix)ωzωx = Ny

Izωz − (Ix − Iy)ωxωy = Nz

I =

∑

j mj

(

y2j + z2j)

−∑

j mjxjyj −∑

j mjxjzj

−∑

j mjxjyj∑

j mj

(

x2

j + z2j)

−∑

j mjyjzj

−∑

j mjxjzj −∑

j mjyjzj∑

j mj

(

x2

j + y2j)