MCF+-+Guia+de+estudo (2)

Guia de Estudo MATEMTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 1

SABE Sistema Aberto de Educao

Av. Cel. Jos Alves, 256 - Vila Pinto Varginha - MG - 37010-540

Tele: (35) 3219-5204 - Fax - (35) 3219-5223

Instituio Credenciada pelo MEC Portaria 4.385/05

Centro Universitrio do Sul de Minas - UNIS/MG Unidade de Gesto da Educao a Distncia GEaD

Mantida pela Fundao de Ensino e Pesquisa do Sul de Minas - FEPESMIG

Varginha/MG


Todos os direitos desta edio reservados ao Sistema Aberto de Educao SABE. proibida a duplicao ou reproduo deste volume, ou parte do mesmo, sob

qualquer meio, sem autorizao expressa do SABE.

650.015 A474g. ALVES, Alessandro Ferreira.

Guia de Estudo Matemtica Comercial e Financeira Alessandro Ferreira Alves. Varginha: GEaD-UNIS/MG, 2007.

156p.

1. Matemtica Financeira. 2. Matemtica Comercial. 3. Contabilidade. I. Ttulo.


REITOR Prof. Ms. Stefano Barra Gazzola

GESTOR Prof. Ms. Toms Dias Sant Ana

Supervisor Tcnico Prof. Ms. Wanderson Gomes de Souza

Coord. do Ncleo de Recursos Tecnolgicos Prof. Simone de Paula Teodoro Moreira

Coord. do Ncleo de Desenvolvimento Pedaggico Prof. Vera Lcia Oliveira Pereira

Reviso ortogrfica / gramatical Prof. Maria Jos Dias Lopes Grandchamp

Design/diagramao Prof. Csar dos Santos Pereira

Equipe de Tecnologia Educacional Prof. Dbora Cristina Francisco Barbosa

Jacqueline Aparecida da Silva Prof. Lzaro Eduardo da Silva

Autor

ALESSANDRO FERREIRA ALVES [email protected]

Licenciado em Matemtica pela Universidade Federal de Uberlndia, mestre em Matemtica pela UNICAMP e doutor em Engenharia Eltrica tambm pela UNICAMP, no UNIS/MG ministra Matemtica, Estatstica e Computao em cursos de graduao e ps-graduao, alm de j ter coordenado cursos de ps-graduao e a Pesquisa e Extenso do curso de Matemtica.


TABELA DE CONES

REALIZE. Determina a existncia de atividade a ser realizada. Este cone indica que h um exerccio, uma tarefa ou uma prtica para ser realizada. Fique atento a ele.

PESQUISE. Indica a exigncia de pesquisa a ser realizada na busca por mais informao.

PENSE. Indica que voc deve refletir sobre o assunto abordado para responder a um questionamento.

CONCLUSO. Todas as concluses, sejam de idias, partes ou unidades do curso viro precedidas desse cone.

IMPORTANTE. Aponta uma observao significativa. Pode ser encarado como um sinal de alerta que o orienta para prestar ateno informao indicada.

HIPERLINK. Indica um link (ligao), seja ele para outra pgina do mdulo impresso ou endereo de Internet.

EXEMPLO. Esse cone ser usado sempre que houver necessidade de exemplificar um caso, uma situao ou conceito que est sendo descrito ou estudado.

SUGESTO DE LEITURA. Indica textos de referncia utilizados no curso e tambm faz sugestes para leitura complementar.

APLICAO PROFISSIONAL. Indica uma aplicao prtica de uso profissional ligada ao que est sendo estudado.

CHECKLIST ou PROCEDIMENTO. Indica um conjunto de aes para fins de verificao de uma rotina ou um procedimento (passo a passo) para a realizao de uma tarefa.

SAIBA MAIS. Apresenta informaes adicionais sobre o tema abordado de forma a possibilitar a obteno de novas informaes ao que j foi referenciado.

REVENDO. Indica a necessidade de rever conceitos estudados anteriormente.


SUMRIO

UNIDADE 01 ASPECTOS PRELIMINARES, DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA (DFC) E REGIME DE CAPITALIZAO SIMPLES 9 1. INTRODUO ...................................................................................................... 9 2. TEMPO E DINHEIRO: OBJETIVOS DE ESTUDO DA MATEMTICA

FINANCEIRA ....................................................................................................... 10 3. DIAGRAMAS DE FLUXO DE CAIXA .................................................................. 13 4. CRITRIOS DE CAPITALIZAO DOS JUROS EXEMPLO

INTRODUTRIO ................................................................................................. 18 5. APLICAES PRTICAS DOS JUROS SIMPLES E COMPOSTOS ................. 22 6. ESTABELECIMENTO DAS NOTAES ............................................................ 23 7. CAPITALIZAO CONTNUA E DESCONTNUA .............................................. 25 8. FRMULAS DE JUROS SIMPLES ..................................................................... 26 9. TAXA E PERODO .............................................................................................. 30 10. VALOR FUTURO (OU MONTANTE) E CAPITAL .............................................. 31 11. DETERMINAO DA DATA DE VENCIMENTO E PRAZO DAS

APLICAES: CONTAGEM DE DIAS ENTRE DUAS DATAS ........................... 34 12. TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE.............................................. 38 13. EQUIVALNCIA FINANCEIRA A JUROS SIMPLES .......................................... 43

UNIDADE 02 REGIME DE CAPITALIZAO COMPOSTO E APLICAES ...................................................................................... 54 1. INTRODUO .................................................................................................... 54 2. O MECANISMO DA CAPITALIZAO COMPOSTA (FRMULAS DE

JUROS COMPOSTOS) ....................................................................................... 55 3. EXTENSES AO USO DAS FRMULAS .......................................................... 62 4. TAXAS EQUIVALENTES .................................................................................... 64


UNIDADE 03 A CALCULADORA HP 12C ASPECTOS INTRODUTRIOS E PRIMEIRAS FUNES ..................................... 66 1. INTRODUO .................................................................................................... 66 2. BREVE HISTRICO ........................................................................................... 67 3. CONHECENDO A CALCULADORA HP 12C ...................................................... 69 4. ALGUMAS FUNES BSICAS DA HP 12C .................................................... 70 5. PRINCIPAIS FUNES MATEMTICAS ........................................................... 76 6. ALGUMAS FUNES ESTATSTICAS NA HP 12C........................................... 82

UNIDADE 04 APLICAES ENVOLVENDO OS REGIMES DE CAPITALIZAO NA HP 12C ............................................................. 84 1. O REGIME DE CAPITALIZAO SIMPLES ....................................................... 84

1.1. Valor Futuro ou Montante - FV ..................................................................... 86 1.2. Desconto ...................................................................................................... 87

2. O REGIME DE CAPITALIZAO COMPOSTO OU REGIME EXPONENCIAL .. 90 2.1. A Conveno Linear ..................................................................................... 91 2.2. A Conveno Exponencial ........................................................................... 92 2.3. Cdigos de Erros .......................................................................................... 93

UNIDADE 05 TAXAS DE JUROS E APLICAES DIVERSAS ....... 95 1) INTRODUO .................................................................................................... 95 2) TAXAS EQUIVALENTES .................................................................................... 95 3) TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA .................................................................... 98 4) CONVERSO DE UMA TAXA NOMINAL EM TAXA EFETIVA E VICE-VERSA 99

UNIDADE 06 SRIES DE PAGAMENTOS OU ANUIDADES ......... 101 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS ........................................................................ 101 2. CLASSIFICAO DAS SRIES DE PAGAMENTOS OU ANUIDADES ........... 102 3. SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS VENCIDOS ..................... 103 4. SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS .............. 108


5. SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS VENCIDOS ..................... 110 6. SRIE DE PAGAMENTOS VARIVEIS COM TERMOS VENCIDOS .............. 113 7. VALOR PRESENTE DE UMA SRIE DE PAGAMENTO VARIVEIS

USANDO AS TECLAS < CF 0 >, , , e ............... 118 8. VALOR PRESENTE LQUIDO (VPL) ................................................................ 122 9. TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR OU IRR) ................................................. 125

UNIDADE 07 SISTEMAS DE AMORTIZAO DE EMPRSTIMOS E FINANCICAMENTOS ......................................................................... 133 1. INTRODUO .................................................................................................. 133 2. CONCEITOS BSICOS .................................................................................... 134 3. SISTEMA DE AMORTIZAO CONSTANTE (SAC) ........................................ 135

3.1. Montagem da Planilha ................................................................................ 135 4. SISTEMA FRANCS DE AMORTIZAO (OU TABELA PRICE) .................... 144 5. APLICAES DE FRMULAS MATEMTICAS NO SISTEMA FRANCS

(OU TABELA PRICE) ........................................................................................ 151

REFERNCIAS....................................................................................................... 156


INTRODUO GERAL DO MATERIAL

Ol pessoal, tudo bem? Estamos iniciando mais um mdulo e espero que a nossa convivncia seja a melhor possvel. Tenho certeza, que todos j conhecem diversas definies e aplicaes cotidianas que sero apresentadas neste material, j que o nosso mdulo a Matemtica Financeira, ramo da Matemtica que temos contato rotineiro e constante. Atualmente, o clculo financeiro e a anlise de investimentos so ferramentas essenciais para a tomada de decises e a gesto financeira das empresas e das pessoas. Desta forma, ter habilidade para lidar com clculos e investimentos hoje um requisito fundamental. De uma outra forma, nossa preocupao desenvolver a habilidade nos clculos e investimentos de modo gradual e efetivo. Para tal, trazemos uma grande quantidade de exemplos de aplicao dos aspectos tericos, que so resolvidos de forma analtica e com o uso da calculadora financeira HP 12C. Alm disso, colocamos uma srie de exerccios de fixao (propostos), alm claro de diagramas que facilitam a compreenso dos problemas. Sendo assim, o nosso mdulo est dividido em sete unidades, que so descritas abaixo:

Unidade 01 Aspectos Preliminares, Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) e Regime de Capitalizao Simples.

Unidade 02 O Regime de Capitalizao Composto e Aplicaes.

Unidade 03 A Calculadora HP 12C: Aspectos Introdutrios.

Unidade 04 Aplicaes Envolvendo os Regimes de Capitalizao na HP 12C

Unidade 05 Taxas de Juros e Aplicaes.

Unidade 06 Sries de Pagamentos e Anuidades.

Unidade 07 Sistemas de Amortizao de Emprstimos e Financiamentos.

Pessoal, para finalizar gostaria de dizer que o referencial terico possui uma srie de exemplos resolvidos que daro suporte para a resoluo dos demais exerccios propostos (exerccios de fixao); alm claro, sempre leiam os aspectos tericos com muita calma e ateno. Sem mais para o momento, sempre lembrando que quem estiver com algum tipo de dvida s entrar no ambiente e enviar um e-mail, que estarei sempre ao dispor de qualquer um de vocs.

Tenham todos um bom trabalho!


UNIDADE 01 ASPECTOS PRELIMINARES, DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA (DFC) E REGIME DE CAPITALIZAO

SIMPLES

Tempo dinheiro. Benjamim Franklin

Objetivos da Unidade

Apresentar a Matemtica Financeira, bem como a sua importncia nos dias atuais;

Apresentar as principais definies e notaes usadas no dia-a-dia da Matemtica Financeira;

Apresentar e Interpretar os Diagramas de Fluxo de Caixa (DFC); Apresentar as principais diferenas entre os regimes de capitalizao simples

e composto; Apresentar exemplos envolvendo a equivalncia financeira a Juros Simples;

1. INTRODUO

Nosso objetivo aqui apresentar a Matemtica Financeira e seus principais elementos de trabalho. A Matemtica Financeira um ramo da Matemtica Aplicada que estuda as operaes financeiras de uma forma geral. Todos os dias, de uma forma ou de outra nos deparamos com tpicos relacionados Matemtica Financeira propriamente dita.

Ressaltamos, tambm, a importncia do entendimento do diagrama de fluxo de caixa uma representao fcil e simples das movimentaes financeiras e que ajuda no entendimento dos principais problemas financeiros. Alm disso, trabalharemos a fundo com a equivalncia financeira no regime de capitalizao simples.

A Matemtica Financeira trata, em essncia, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo bsico o de efetuar anlises e comparaes dos vrios fluxos de entrada e sada de dinheiro de caixa verificado em diferentes momentos.


2. TEMPO E DINHEIRO: OBJETIVOS DE ESTUDO DA MATEMTICA FINANCEIRA

Se algum amigo lhe pedisse uma quantia de R$1.000,00 emprestados para lhe pagar de volta o mesmo valor daqui a um ano, voc acharia a proposta atraente? Por melhor que seja seu amigo, com certeza esse pedido no lhe agradaria. Algumas questes surgiriam em sua mente:

Ser que ele me pagar na data prevista?

Ser que o poder de compra dos R$1.000,00 permanecer inalterado durante um ano inteiro?

Contudo, se eu permanecesse com o dinheiro, poderia consumi-lo, satisfazendo as minhas necessidades, ou poderia aplic-lo na caderneta de poupana, ganhando os juros e rendimentos do perodo!

Intuitivamente, voc descartaria o principal aspecto da Matemtica Financeira:

Dinheiro tem custo associado ao tempo

Diversas razes influenciam a preferncia pela posse atual do dinheiro:

Risco: existe sempre a possibilidade de no ocorrerem os planos conforme o previsto; em outras palavras, sempre haver o risco de no receber os valores programados em decorrncia de fatos imprevistos.

Utilidade: o investimento implica deixar de consumir hoje para consumir no futuro, o que somente ser atraente se existir alguma compensao.

Oportunidade: se os recursos monetrios so limitados, a posse deles, no presente, permite aproveitar as oportunidades mais rentveis que surgirem.

Desta forma, existe um custo associado posse do dinheiro no tempo, estudado pela Matemtica Financeira e discutido ao longo do nosso mdulo. A Matemtica Financeira compreende um conjunto de tcnicas e formulaes extradas da Matemtica, com o objetivo de resolver problemas relacionados s Finanas de modo geral, e que, basicamente, consistem no estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo.


Por sua vez, o valor do dinheiro no tempo relaciona-se idia de que, ao longo do tempo, o valor do dinheiro muda, quer em funo de ter-se a oportunidade de aplic-lo, obtendo-se, assim, uma remunerao (juros) sobre a quantia envolvida, quer em funo de sua desvalorizao por causa da inflao.

Desta forma, alguns princpios bsicos sempre devero ser respeitados:

S se pode comparar valores (R$) se estes estiverem referenciados na mesma data.

S se pode efetuar operaes algbricas com valores referenciados na mesma data.

Nunca some valores em datas diferentes

O tempo uma das variveis chaves para a Matemtica Financeira. Existem duas formas bsicas para considerar a evoluo do custo do dinheiro no tempo: o Regime de Capitalizao Simples ou Regime de Capitalizao Linear (RCS) e o Regime de Capitalizao Composto ou Regime de Capitalizao Exponencial (RCC).

Independentemente da forma de capitalizao dos juros, sempre existiro em problemas de Matemtica Financeira alguns elementos bsicos:

Capital Inicial ou Valor Presente: a quantidade de moeda (ou dinheiro) que um indivduo tem disponvel e concorda em ceder a outro, temporariamente, mediante determinada remunerao. Notao: PV, P ou C.

Juros: equivalem ao aluguel do dinheiro e so genericamente representados por taxa expressa em forma percentual ao perodo, simbolizada pela letra i (do ingls, interest rate, taxa de juros). o nome que se d remunerao paga para que um indivduo ceda temporariamente o capital que dispe. Deve ser eficiente, de maneira a remunerar o risco ( ) envolvido na operao de emprstimo ou aplicao, representado genericamente pela incerteza em relao ao futuro do capital emprestado ou aplicado. Os juros devem gerar um ganho real (r) ao proprietrio do capital como forma de compensar sua privao por determinado perodo de tempo (o ganho estabelecido basicamente em funo das diversas outras oportunidades de investimento); a perda do poder aquisitivo, que corrodo pela inflao ( ). Expressando algebricamente a taxa de juros: (1 + i) = (1 + r) .(1 + ).(1 + ). Embora


seu valor seja comumente representado em forma de taxa percentual ao perodo, matematicamente, a taxa de juros deve ser operada em sua forma unitria. Notao: i = taxa, J = juros.

Montante ou Valor Futuro: o resultado da aplicao do capital inicial. Matematicamente, representa a soma do capital inicial mais os juros capitalizados durante o perodo. Em algumas situaes, como nas operaes de desconto comercial (ou desconto bancrio D = N.i.n), o valor futuro tambm denominado valor nominal. , portanto, a quantidade de moeda (ou dinheiro) que poder ser usufruda no futuro. Notao: FV ou M.

Tempo: ou perodo de capitalizao, corresponde durao (em dias, semanas, meses, anos, etc.) da operao financeira. comumente expresso em unidades do perodo a que se refere. Notao: n.


3. DIAGRAMAS DE FLUXO DE CAIXA

Para facilitar a representao das operaes financeiras, costuma-se empregar o Diagrama de Fluxo de Caixa ou, simplesmente, DFC, que consiste na representao grfica da movimentao de recursos ao longo do tempo (entradas e sadas de caixa).

No diagrama de fluxo de caixa, alguns aspectos merecem ser destacados:

A escala horizontal representa o tempo, que pode ser expresso em dias, semanas, meses, anos, etc.

Os pontos 0 e n indicam as posies relativas entre as datas. Assim, o 0 representa, normalmente, a data inicial. O ponto n representa o nmero de perodos passados. Caso a unidade de tempo utilizada seja meses, ento consideram-se n meses.

As entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Tm sempre sinal positivo e so representadas por setas apontadas para cima.

As sadas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Tm sempre sinal negativo e so representadas por setas apontadas para baixo.

A Figura 01 abaixo, ilustra diferentes diagramas de fluxo de caixa para operaes de emprstimo e aplicao.

Figura 01: Diagramas de Fluxo de Caixa.


Por exemplo, o diagrama de fluxo de caixa de um emprstimo contrado por algum no valor de R$300,00, que ser quitado mediante pagamento de R$340,00, daqui a seis meses, pode ser visto na Figura 02 abaixo:

Figura 02: Diagrama de fluxo de um emprstimo no valor de R$300,00.

Exerccios de Fixao

Exerccio 01: Representar o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicao no valor de R$500,00 que ser resgatado em trs parcelas iguais, mensais, no valor de R$200,00.

Soluo:

Observao Importante: A importncia do desenho e da interpretao de diagramas de fluxo de caixa , em muitas ocasies, fundamental na Matemtica Financeira. Por exemplo, uma compra a prazo de um componente eletrnico que custa a vista R$100,00 pode ser paga em duas parcelas mensais (entrada no ato) no valor de R$60,00. Qual a taxa de juros mensal cobrada pela loja?

Soluo: Um leigo, em um primeiro momento, poderia achar que, j que se pagou R$120,00 (duas parcelas de R$60,00) para um bem financiado no valor de R$100,00, taxa seria igual a 20%. Embora intuitivo, o raciocnio est errado. Na


verdade, ao comprar e receber um bem no valor de R$100,00, o cliente j havia pago a entrada de R$60,00. Logo, financiou apenas a diferena no valor de R$40,00, comprometendo-se a pagar R$60,00 um ms depois. Assim, a taxa de juros incidente sobre a operao foi igual a 50% [=60/40 1)x100%].

O diagrama de fluxo de caixa lquido da operao facilita o entendimento da operao financeira apresentada. Como na data zero existem dois valores, um positivo igual a R$100,00 e um negativo igual a R$60,00, ambos poderiam ser representados por um valor lquido igual a R$40,00.

A Figura 03 abaixo ilustra o nosso raciocnio acima.

Figura 03: Diagrama de Fluxo de Caixa do caso da observao anterior.

Exerccio 02: Construa o diagrama de fluxo de caixa para os seguintes pagamentos ou recebimentos:

Ano FC

0 (500,00)1 1 250,00 2 200,00 3 150,00 4 100,00

1 Toda vez que um valor de fluxo aparecer entre parnteses quer dizer pagamento.


Soluo:

Exerccio 03: Construa o diagrama para os fluxos de caixa dados a seguir:

Ano FC

0 (700,00) 1 500,00 2 400,00 3 300,00

4 200,00 5 (300,00)

Soluo:


Exerccio 04: Um cliente do Banco Bom Negcio gostaria de descontar uma nota promissria, no valor de R$3.000,00 , com vencimento para 30 dias. O gerente, alm de cobrar-lhe juros antecipadamente de R$600,00, obriga-o a manter um Certificado de Depsito Bancrio (CDB) no valor de R$400,00 e remunerado a 10% durante o prazo da operao. Qual o diagrama de fluxo de caixa correspondente?

Soluo:

Exerccio 05: A empresa AFA Chumbo pensa em abrir uma nova instalao industrial com investimento inicial igual a R$300,00. Os gastos anuais associados aos cinco anos de vida do negcio so estimados em R$80,00, e as receitas, em R$200,00. Represente o diagrama de fluxo de caixa dessa operao.

Soluo:


4. CRITRIOS DE CAPITALIZAO DOS JUROS EXEMPLO INTRODUTRIO

Os critrios (regimes) de capitalizao demonstram como os juros so formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. Temos dois regimes de capitalizao de juros:

Regime de Capitalizao Simples (ou Linear)

Regime de Capitalizao Composta (ou Exponencial)

O Regime de Capitalizao Simples comporta-se como se fosse uma progresso aritmtica (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Neste critrio, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operao (aplicao ou emprstimo), no se registrando juros sobre o saldo dos juros acumulados.

Por exemplo, admita um emprstimo de R$1.000,00 pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros simples razo de 10% ao ano. O quadro abaixo ilustra a evoluo desta operao ao perodo, indicando os vrios resultados.

Quadro 01: Comportamento dos juros simples sobre o capital inicial de R$1.000,00 e taxa de 10% ao ano.

Ano

Saldo no Incio de cada ano

(R$)

Juros apurados para cada ano (R$)

Saldo devedor ao final de

cada ano (R$)

Crescimento anual do saldo devedor (R$)

Incio do 1 0 ano

- - 1.000,00 -

Fim do 1 0 ano 1.000,00 0,10x1.000,00=100,00 1.100,00 100,00

Fim do 2 0 ano 1.100,00 0,10x1.000,00=100,00 1.200,00 100,00

Fim do 3 0 ano 1.200,00 0,10x1.000,00=100,00 1.300,00 100,00

Fim do 4 0 ano 1.300,00 0,10x1.000,00=100,00 1.400,00 100,00

Fim do 5 0 ano 1.400,00 0,10x1.000,00=100,00 1.500,00 100,00

Podemos fazer algumas observaes como segue:

a) os juros por incidirem exclusivamente sobre o capital inicial de R$1.000,00, apresentam valores idnticos ao final de cada ano (0,10xR$1.000,00 = R$100,00);


b) em conseqncia, o crescimento dos juros no tempo linear (no exemplo, cresce R$100,00 por ano), revelando um comportamento idntico a uma progresso aritmtica. Os juros totais da operao atingem, nos 5 anos, R$500,00;

c) se os juros simples, ainda, no forem pagos ao final de cada ano, a remunerao do capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial (R$1.000,00), no ocorrendo remunerao sobre os juros que se formam no perodo. Assim no 5 0 ano, a remunerao calculada de R$100,00 obtida com base no capital emprestado h 5 anos, ignorando-se os R$400,00 de juros que foram se acumulando ao longo do perodo;

d) como os juros variam linearmente no tempo, a apurao do custo total da dvida no prazo contratado processada simplesmente pela multiplicao do nmero de anos pela taxa anual, isto : 5 anos x 10% ao ano = 50% para 5 anos. Se desejar converter esta taxa anual para ms, por exemplo, basta dividir a taxa anual por 12, isto : 10% ao ano/12 meses = 0,8333% ao ms, e assim por diante.

O Regime de Capitalizao Composto (RCC) incorpora ao capital no somente os juros referentes a cada perodo, mas tambm os juros sobre os juros acumulados at o momento anterior. um comportamento equivalente a uma progresso geomtrica (PG) no qual os juros incidem sempre sobre o saldo apurado no incio do perodo correspondente (e no unicamente sobre o capital inicial). Admitindo-se no exemplo anterior, que a dvida de R$1.000,00 deve ser paga em juros compostos taxa de 10% ao ano, tm-se os resultados ilustrados no quadro a seguir:

Quadro 02: Comportamento dos juros compostos sobre o capital inicial de R$1.000,00 e taxa de 10% ao ano.

Ano

Saldo no Incio de cada ano

(R$)

Juros apurados para cada ano (R$)

Saldo devedor ao final de

cada ano (R$) Incio do 1 0

ano

- - 1.000,00

Fim do 1 0 ano 1.000,00 0,10x1.000,00=100,00 1.100,00

Fim do 2 0 ano 1.100,00 0,10x1.100,00=110,00 1.210,00

Fim do 3 0 ano 1.210,00 0,10x1.210,00=121,00 1.331,00

Fim do 4 0 ano 1.331,00 0,10x1.331,00=133,10 1.464,10

Fim do 5 0 ano 1.464,10 0,10x1.464,10=146,41 1.610,51


Os seguintes comentrios sobre o quadro ilustrativo acima so colocados:

a) no critrio composto, os juros no incidem unicamente sobre o capital inicial de R$1.000,00, mas sobre o saldo total existente no incio de cada ano. Este saldo incorpora o capital inicial emprestado mais os juros incorridos em perodos anteriores;

b) o crescimento dos juros se d em progresso geomtrica, evoluindo de forma exponencial ao longo do tempo. O juro do primeiro ano produto da incidncia da taxa de 10% ao ano sobre o capital emprestado de R$1.000,00, totalizando R$100,00. No segundo ano, os R$210,00 de juros identificam:

juros referentes ao 1 0 ano: 0,10xR$1.000,00 = R$100,00 juros referentes ao 2 0 ano: 0,10xR$1.000,00 = R$100,00 juros s/os juros apurados no 1 0 ano: 0,10xR$100,00 = R$10,00

R$210,00 e, assim sucessivamente.

Diante dos resultados obtidos, podemos elaborar um quadro comparativo dos regimes de capitalizao descritos anteriormente.

Quadro 03: Quadro comparativo das duas situaes descritas anteriormente.

Capitalizao Simples

Capitalizao Composta

Diferena Composta-Simples

Juros anuais

(R$) Saldo

devedor (R$)

Juros anuais

(R$) Saldo

devedor (R$)

Juros anuais

(R$) Saldo

devedor (R$)

Incio do 1 0 ano - 1.000,00 - 1.000,00 - -

Fim do 1 0 ano 100,00 1.100,00 100,00 1.100,00 Nihil Nihil

Fim do 2 0 ano 100,00 1.200,00 110,00 1.210,00 10,00 10,00

Fim do 3 0 ano 100,00 1.300,00 121,00 1.331,00 21,00 31,00

Fim do 4 0 ano 100,00 1.400,00 133,10 1.464,10 33,10 64,10

Fim do 5 0 ano 100,00 1.500,00 146,41 1.610,51 46,41 110,51

As seguintes observaes so vlidas:

a) no primeiro perodo do prazo total os juros simples e compostos igualam-se (R$10,00), tornando tambm idntico o saldo devedor de cada regime de capitalizao. Assim, para operaes que envolvam um s perodo de incidncia de juros (tambm denominado de perodo de capitalizao), indiferente o uso do


regime de capitalizao simples ou composto, pois ambos produzem os mesmos resultados.

b) A diferena entre os critrios estabelece-se nas operaes com mais de um perodo de capitalizao. Enquanto os juros simples crescem linearmente, configurando uma PA, os juros compostos evoluem exponencialmente, segundo o comportamento de uma PG.

Obs: No regime composto h uma capitalizao dos juros, tambm entendida por juros sobre juros; os juros so periodicamente incorporados ao saldo devedor anterior e passam, assim, a gerar juros. Quanto maior for o nmero de perodos de incidncia dos juros, maior ser a diferena em relao capitalizao simples.


5. APLICAES PRTICAS DOS JUROS SIMPLES E COMPOSTOS

Os juros simples, principalmente diante de suas restries tcnicas, tm aplicaes prticas bastante limitadas. So raras as operaes financeiras e comerciais que formam temporalmente seus montantes de juros segundo o regime de capitalizao linear. O uso de juros simples restringe-se principalmente s operaes praticadas no mbito do curto prazo.

No entanto, as operaes que adotam juros simples, alm de apresentarem geralmente prazos reduzidos, no costumam apurar o seu percentual de custo (ou rentabilidade) por esse regime. Os juros simples so utilizados para o clculo dos valores monetrios da operao (encargos a pagar, para emprstimos, e rendimentos financeiros, para aplicaes), e no para a apurao do efetivo resultado percentual.

importante ressaltarmos, ainda, que muitas taxas praticadas no mercado financeiro (nacional e internacional) esto referenciadas em juros simples, porm a formao dos montantes das operaes processa-se exponencialmente (juros compostos). Por exemplo, a Caderneta de Poupana paga tradicionalmente uma taxa de juros de 6% ao ano para seus depositantes, creditando todo ms o rendimento proporcional de 0,5%. A taxa referenciada para esta operao linear, porm os rendimentos so capitalizados segundo o critrio de juros compostos, ocorrendo ao longo dos meses juros sobre juros.

Para uma avaliao mais rigorosa do custo ou rentabilidade expressos em percentual, mesmo para aquelas operaes que referenciam suas taxas em juros simples, sugerida a utilizao do critrio de juros compostos. Tecnicamente mais correto por envolver a capitalizao exponencial dos juros, o regime composto reconhecidamente adotado por todo o mercado financeiro e de capitais.

Alm disso, outros segmentos alm do mercado financeiro tambm seguem as leis dos juros compostos, tais como o estudo do crescimento demogrfico, do comportamento dos ndices de preos da economia, da evoluo do faturamento e de outros indicadores empresariais de desempenho, dos agregados macroeconmicos, da apropriao contbil de receitas e despesas financeiras, etc.


6. ESTABELECIMENTO DAS NOTAES

A calculadora HP-12C e a tabela financeira que utilizaremos, adotam as seguintes convenes e simbologias para definir os elementos do Diagrama Padro do Fluxo de Caixa:

n - nmero de perodos de capitalizao de juros, expressos em anos, semestres, trimestres ou dias; (n=0 indica a data de hoje ou a data do incio do 1o perodo; n=1 indica a data do final do 1o perodo e assim por diante)

i taxa de juros por perodo de capitalizao, expressa em porcentagem e sempre mencionando a unidade de tempo considerada (ano, semestre, trimestre, ms, dia);

PV Valor presente (Present Value), ou seja, valor do capital inicial aplicado. Corresponde ao valor monetrio colocado no diagrama padro de fluxo de caixa quando n=0;

FV Valor Futuro (Future Value), ou seja, valor do montante acumulado no final de n perodos de capitalizao, com a taxa de juros i. Corresponde ao valor monetrio colocado no diagrama padro do fluxo de caixa quando n=1, 2, 3, ... ;

PMT Valor de cada prestao da Srie Uniforme (Periodic PayMen T) que ocorre no final de cada perodo. Corresponde ao valor monetrio de cada uma das prestaes iguais colocadas no diagrama padro do fluxo de caixa quando n=1, 2, 3, ... .


1) Nota Promissria constitui um dos trs tipos de ttulos mais usados (os outros dois so: duplicata e letra de cmbio); pode ser usada entre pessoas fsicas ou, ainda, entre pessoas fsicas e instituies financeiras. Trata-se de um ttulo de crdito, que corresponde a uma promessa de pagamento em que especificado o valor nominal ou quantia a ser paga (que a dvida inicial, normalmente acrescida de juros), a data de vencimento do ttulo (em que a dvida deve ser paga), o nome e a assinatura do devedor, o nome do credor e da pessoa que dever receber a importncia a ser paga. Estudaremos os trs tipos de ttulos mais usados mais a frente.

2) Para a Administrao Financeira, o objetivo econmico das empresas a maximizao de seu valor de mercado a longo prazo, pois, dessa forma estar sendo aumentada a riqueza de seus proprietrios (acionistas de sociedades por aes ou scios de outros tipos de sociedade). Os proprietrios de empresas privadas esperam que seu investimento produza um retorno compatvel com o risco assumido, por meio de gerao de resultados econmicos e financeiros (lucro e caixa) adequados por longo prazo. A gerao de lucro e caixa importante tambm em empresas pblicas, pois, com o reinvestimento desses resultados, possvel executar a melhoria e a expanso dos servios oferecidos comunidade. Assim, uma empresa pode ser visualizada como um sistema que aumenta os recursos nela investidos.

3) Finanas - Palavra de origem francesa, sculo XIII: Finer. Significa dvida ou prestao em dinheiro. Cincia que estuda as diversas formas pelas quais o estado, ou qualquer outro poder local obtm riquezas materiais necessrias ao seu funcionamento, e o modo com que essas riquezas so empregadas. a cincia ou profisso do manejo do dinheiro prprio ou alheio. a aplicao de uma srie de princpios econmicos e financeiros objetivando a maximizao da riqueza da empresa e do valor de suas aes. Arte e cincia de administrar fundos, ou seja, de administrar o processo, instituies, mercados e instrumentos envolvidos nas transferncias de recursos entre pessoas, empresas e governo. Praticamente todos os indivduos e organizaes ganham ou levantam dinheiro e gastam ou investem dinheiro. Finanas so os processos pelos quais o dinheiro transferido (por meio de financiamento e de investimento) entre empresas, indivduos e governo. Sendo assim, a administrao financeira possibilita a maximizao da riqueza da empresa, de seus proprietrios e de seus acionistas ao longo do tempo.


7. CAPITALIZAO CONTNUA E DESCONTNUA

Pelo que vimos anteriormente, podemos compreender regime de capitalizao como o processo em que os juros so formados e incorporados ao principal (ou capital).

Podem ser identificadas dois regimes de capitalizao (ou formas), que so:

A Capitalizao Contnua e A Capitalizao Descontnua

A Capitalizao Contnua um regime que se processa em intervalos de tempo bastante reduzidos caracteristicamente em intervalo de tempo infinitesimal promovendo grande freqncia de capitalizao. A capitalizao contnua, na prtica, pode ser entendida em todo fluxo monetrio distribudo ao longo do tempo e no somente num nico instante. Por exemplo, o faturamento de um supermercado, a formao do custo de fabricao no processamento fabril, a formao da depreciao de um equipamento, etc. So capitalizaes que se formam continuamente, e no somente ao final de um nico perodo (ms, ano).

A forma de capitalizao contnua encontra enormes dificuldades em aplicaes prticas, sendo pouco utilizada.

Na Capitalizao Descontnua os juros so formados somente ao final de cada perodo de capitalizao. A caderneta de poupana que paga juros unicamente ao final do perodo a que se refere sua taxa de juros (ms) um exemplo de capitalizao descontnua. Os rendimentos, neste caso, passam a ocorrer descontinuamente, somente um nico momento do prazo da taxa (final do ms) e no se distribuem pelo ms.

De conformidade com o comportamento dos juros, a capitalizao descontnua pode ser identificada tanto em juros simples como em juros compostos.


8. FRMULAS DE JUROS SIMPLES

Geralmente, os juros so calculados periodicamente: ao final de um dia, de um ms, de um ano ou de qualquer outro perodo pr-fixado por ocasio de um investimento ou emprstimo.

Se os juros tm taxa fixa e so calculados sempre a partir da quantia inicial, so denominados de juros simples.

Exemplo: Consideremos um emprstimo de R$2.000,00 pelo qual devero ser pagos 5% de juros simples por ms. Para saber de quanto sero os juros ao final de um ms, basta calcularmos:

5% de R$2.000,00 = 0,05 x 2.000 = R$100,00

No segundo ms, estes juros dobram, no terceiro triplicam, e assim por diante. Para calcular os juros num perodo n de tempo, poderamos fazer:

Juros = 2.000 x 0,05 x n

De modo geral, os juros simples J, resultantes da aplicao de um capital C a uma taxa i, durante um perodo n de tempo, podem ser calculados pela frmula:

J = PV. i. n

Lembre-se que i e n devem ter as mesmas unidades. Por exemplo, se temos uma taxa diria, n dever ser calculado em dias, etc.

J = PV. i. n onde:

J = valor dos juros expressos em unidades monetrias; PV = capital. o valor (em R$) representativo de determinado momento; i = taxa de juros, expressa em sua forma unitria; n = prazo.


Esta frmula bsica tanto para o clculo dos juros como dos outros valores financeiros mediante simples deduo algbrica:

PV = nxi

J i =

nxPVJ

n =

ixPVJ

Exerccios de Aprendizagem

1) Qual o juro simples que um capital de R$30.000,00 produz, quando aplicado durante cinco meses, a uma taxa de 3,5% a.m. (ao ms)?

Soluo: Temos que PV = 30 000, n = 5 meses e i = 3,5% ao ms = 0,035 ao ms. Da:

J = PV x i x n J = 30000 x 0,035 x 5

J = 5.250,00 Ou seja, o juro de R$5.250,00.

2) Qual o juro simples que um capital de R$2.500,00 rende quando aplicado durante um ano, taxa mensal de 2%?

Soluo: Temos que PV = 2500, n = 1 ano = 12 meses, i = 2,0% ao ms = 0,02 ao ms. Da:

J = PVx i x n J = 2500 x 0,02 x 12

J = 600,00 Ou seja, o juro de R$600,00.

3) Um capital de R$10.000,00, investido a juros simples de 13% ao ano, foi sacado aps trs meses e dez dias, a contar da data inicial do investimento. Qual foi o juro?

Soluo: Na resoluo deste problema importante tomarmos cuidado com as unidades de tempo. Assim:

3 meses e 10 dias = 100 dias Da, temos que:

J = PVx i x n J = 10000 x 0,13 x

360100


Observe que o perodo n foi reduzido a anos, uma vez que dividimos o nmero de dias por 360, que o ano comercial.

J = 10000 x 0,13 x 360100

J = 361,11 Ou seja, o juro de R$361,11.

4) Qual a taxa mensal de juros simples que dever incidir sobre um capital de R$5.000,00 para que este, em quatro meses e meio, renda R$720,00?

Soluo: Temos que PV = 5000, n = 4 meses e meio = 4,5 meses e J = 720. Da: J = PVx i x n

720 = 5000 x i x 4,5

i = 5,45000

720x

i = 0,032 ao ms, i.e., i = 3,2% ao ms.

5) Que capital inicial rende R$2.000,00 em cinqenta dias, a uma taxa simples de 0,2% a.d. (ao dia)?

Soluo: Temos que J = 2000, n = 50 dias e i = 0,2% ao dia = 0,002 ao dia. Da: J = PVx i x n

2000 = PV x 0,002 x 50

PV = 002,050

2000x

PV = 20000

Ou seja, o capital inicial de R$20.000,00.

6) Qual a taxa mensal de juros simples que deve incidir num capital para que ele duplique de valor em um ano?

Soluo: Neste caso, temos que o juro igual ao prprio capital inicial. Desta forma, temos que:

J = PVx i x n PV = PV x i x 12

i = 12xPV

PV

i = 121

= 0,083333....


Ou seja, a taxa portanto ser de 8,33% ao ms.

Obs: Se calculada anualmente, essa mesma taxa se tornaria, evidentemente, 100% (afinal, o capital dobrou!). Portanto:

8,33% a.m. = 100% a.a.

Exerccios de Fixao

1) Um capital de R$80.000,00 aplicado taxa de 2,5% ao ms durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste perodo.

2) Um negociante tomou um emprstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao ms durante nove meses. Ao final deste perodo, calculou em R$270.000,00 o total dos juros incorridos na operao. Determinar o valor do emprstimo.

3) Um capital de R$40.000,00 foi aplicado num fundo de poupana por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de R$9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por esta operao.

4) Uma aplicao de R$250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao ms produz, ao final de determinado perodo, juros no valor de R$27.000,00. Calcular o prazo da aplicao.

5) Qual a taxa mensal de juros simples que deve incidir num capital para que ele triplique de valor em dois anos.


9. TAXA E PERODO

Como vimos nos problemas de juros simples, devemos tomar o cuidado no manejo das taxas e dos perodos de tempo, a fim de no trat-los com unidades diferentes.

comum nas operaes de curto prazo, onde predominam as aplicaes com taxas referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido em nmero de dias. Dessa forma, o nmero de dias pode ser calculado de duas maneiras:

a) pelo ano comercial, o qual admite o ms com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-se, por este critrio, a apurao do denominado juro comercial ou ordinrio;

b) pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendrio do ano cvel (365 dias). O juro apurado desta maneira denomina-se juro exato. Neste caso, ser necessrio recorrermos a uma tabela.

Por exemplo, 12% ao ano equivale, pelos critrios enunciados, taxa diria de:

a) Juro Exato: dias365%12

= 0,032877% ao dia

b) Juro Comercial: dias360%12

= 0,033333% ao dia

Na ilustrao, o juro comercial dirio ligeiramente superior ao exato pelo menor nmero de dias considerado no intervalo de tempo.


10. VALOR FUTURO (OU MONTANTE) E CAPITAL

Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa peridica de juro por determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de Montante ou Valor Futuro, e identificado em juros simples por FV ou M. Em outras palavras, o montante constitudo do capital mais o valor acumulado dos juros, isto :

M = C + J (I)

Por outro lado, sabemos que: J = C. i. n (II)

Substituindo (II) em (I), obtemos que:

M = C. (1 + i x n) ou FV = PV. (1 + i x n)

Evidentemente, o valor de FV desta frmula pode ser obtido atravs de simples transformao algbrica:

FV = )1( nxiM

+

A expresso (1+ i x n) definida como fator de capitalizao (ou de valor futuro FCS) dos juros simples. Ao multiplicar um capital por este fator, corrige-se o seu valor para uma data futura, determinando o montante. O inverso, ou seja, ).1(

1ni+

denominado de fator de atualizao

(ou de valor presente FAS). Ao se aplicar o fator sobre um valor expresso em uma data futura, apura-se o seu equivalente numa data atual. Graficamente, tem-se:

C n = C t x 48476FCS

ni ).1( +

C t C n C n

t n

C t = C n x 48476FAS

ni ).1(1

+

Figura 04: A atualizao e Capitalizao no Regime Linear de juros.



1) Uma pessoa aplica R$18.000,00 taxa de 1,5% ao ms durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste perodo.

Soluo: Temos que PV = 18000, n = 8 meses e i = 1,5% ao ms = 0,015 ao ms. Da:

FV = PV x (1 + i x n) FV = 18000 x (1 + 0,015 x 8)

FV = 20.160,00

2) Uma dvida de R$900.000,00 ir vencer em 4 meses. O credor est oferecendo um desconto de 7% ao ms caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidao da dvida.

Soluo: Temos que FV = 900000, n = 4 meses e i = 7,0% ao ms = 0,07 ao ms. Da:

FV = PV x (1 + i x n) 900000 = PV x (1 + 0,07 x 4)

PV = 703.125,00 3) Qual ser o montante resultante de uma aplicao de R$29.800,00, taxa de

1,2% a.m., durante seis meses?

Soluo: Temos que PV = 29800, n = 6 meses e i = 1,2% ao ms = 0,012 ao ms. Da:

FV = 29800 x (1 + 0,012 x 6) FV = 31.945,60

Exerccios de Fixao

1) Coloquei uma certa quantia em um banco a 12% ao ano e retirei, depois de 4 anos, R$928,00. Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicao foi feita base de juros simples?

2) Emprestei uma certa quantia a 12% ao ano e recebi R$3.230,00 depois de 2 anos e 4 meses. Quanto emprestei?

3) A que taxa anual um certo capital deve ser aplicado para que, num prazo de 2 anos, triplique de valor?


4) A que taxa mensal um certo capital deve ser aplicado para que, num prazo de 3anos, quadruplique de valor?

5) Calcule os juros anuais e o montante final de R$1.250,00 taxa de 5% a.a.

6) Calcule o juro produzido e o montante de R$500,00, taxa de 80% ao ano, durante 45 dias.

7) Qual deveria ser a taxa anual para que um capital qualquer, rendesse, em 3 anos, 3/5 do seu valor? Qual o montante?

8) A que taxa anual um capital de R$8.400,00, em 1 ms e 10 dias, renderia R$3,00?


11. DETERMINAO DA DATA DE VENCIMENTO E PRAZO DAS APLICAES: CONTAGEM DE DIAS ENTRE DUAS DATAS

Para determinar a data de vencimento e o prazo das aplicaes, podemos usar a tbua para contagem de dias entre duas datas, que aparece logo abaixo. Para tanto, devemos subtrair, do nmero de dias correspondente data posterior, o nmero correspondente data anterior, tendo o cuidado de, no caso de anos bissextos, acrescentar 1 (um) ao resultado encontrado.

Tabela 01: Tbua para contagem de dias entre duas datas.

JAN. FEV. MAR. ABR. MAIO JUN. JUL. AGO. SET. OUT. MOV. DEZ. 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 2 33 61 92 122 153

183 214 245 275 306 336

3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343

10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 31 90 151 212 243 304 365



1) Calcular os juros simples que um capital de R$2.500,00 rende a uma taxa de 2,7% ao ms, quando aplicado de 1 0 de fevereiro at 14 de maio.

Soluo: Na resoluo desse problema usamos a Tabela 01 para a contagem dos dias. Assim, temos:

1 0 de Janeiro 1 0 de Fevereiro 14 de Maio

32 (Tabela) 134 (Tabela)

134 32 = 102 = nmero de dias entre 1 0 de Fevereiro e 14 de Maio

Logo: J = 2500 x

30027,0

x 102

PV = 229,50 Portanto, o juro foi de R$229,50.

Tente fazer os demais!

2) Um investimento a juros simples, realizado com base no ano civil em 18 de julho e taxa anual de 20%, rendeu R$118,40 de juros em 30 de setembro. Calcular a quantia investida.

3) Um banco anuncia que um investimento de R$9.523,80 rende em seis meses a quantia de R$1.047,62. De quanto ser a taxa anual, calculada com base no ano comercial?

4) Calcular em quanto tempo um capital de R$1.200,00 render R$144,00 de juros, quando aplicado a uma taxa de 3% a.m.

5) Calcular os juros de R$1.200,00, aplicados a uma taxa de 15% a.a., durante trs meses e dez dias.

6) Calcular o juro que rende um capital de R$8.000,00 quando aplicado durante 7 meses e 15 dias, taxa anual de 30%.


Exerccios de Fixao

1) Qual o capital que, taxa de 10% ao ano, produz R$1.485,80 em dois anos?

2) A que taxa anual um capital de R$8.400,00, em 1 ms e 10 dias, renderia R$3,00?

3) Qual deveria ser a taxa anual para que um capital qualquer rendesse, em 3 anos, 3/5 do seu valor?

4) Em quanto tempo R$120,00 aplicados a 15% ao ano produziriam juros de R$80,00?

5) Apliquei 3/7 do meu capital a uma taxa de 8% ao ano. O restante apliquei taxa de 10% ao ano, recebendo um juro anual de R$4.850,00. Qual era o meu capital inicial?

6) Dois capitais aplicados rendem juros iguais. O primeiro a 130% ao ano, durante 8 meses; e o segundo a 90% ao ano, durante 9 meses. Determine esses capitais, sabendo que a diferena entre eles de R$2.800,00.

7) Quero que meu capital seja aplicado a uma determinada taxa de modo que dobre em 9 meses. Para tanto, qual ser a taxa que devo usar?

8) Pedi emprestada uma quantia a juros com taxa de 12% ao ano e tive de devolver o dobro do que usei. Por quanto tempo mantive o emprstimo?

9) A que taxa mensal um capital quintuplica em 10 anos?

10) Qual a taxa necessria para um capital duplicar em 3 anos e 4 meses?

11) O montante, aps um emprstimo de 18 meses, 8/5 do capital emprestado. Qual a taxa utilizada nesta operao?

12) Um capital ficou depositado durante 2 anos, taxa de 4% ao ano. Findo esse perodo, o montante foi reaplicado a 6% ao ano durante 18 meses. Determine o capital inicial, sabendo que o montante final foi de R$17.658,00.


13) O montante de uma aplicao, aps 7 meses e 15 dias, foi de R$180.900,00. O mesmo capital, mesma taxa e acrescido dos juros de 32 meses, d um montante de R$210.840,00. Determine o capital e a taxa mensal.

14) Divida R$360,00 em duas partes, de tal forma que a primeira parte produza em 6 meses o mesmo juro que a segunda em 3 meses, ambas com a mesma taxa de aplicao.

15) Dois capitais diferem em R$86.000,00. O maior, empregado durante 10 meses, rendeu R$1.542,00. O menor, empregado durante 15 meses, rendeu R$1.926,00, mesma taxa. Quais foram os capitais empregados e qual a taxa anual?

16) Um capital de R$29.000,00, foi dividido em duas partes. A primeira est empregada a 16% ao ano e a segunda, a 11% ao ano. Determine essas partes, sabendo que a soma do rendimento anual de cada uma delas perfaz R$4.440,00.

17) Calcule os juros de R$1.220,00, taxa de 8% ao ano, aplicados de 10 de janeiro a 9 de maio.

18) Quais os juros aferidos de 18 de novembro at 15 de maro, a uma taxa de 4% ao ms, sobre um capital de R$400.000,00?


12. TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE

Para compreendermos de forma mais clara o significado destas taxas deve-se reconhecer que toda operao envolve dois prazos: (1) o prazo a que se refere taxa de juros; e (2) o prazo de capitalizao (ocorrncia) dos juros. Por exemplo, vamos admitir um emprstimo bancrio a uma taxa (custo) nominal de 24% ao ano. O prazo a que se refere especificamente a taxa de juros anual. A seguir, deve-se identificar a periodicidade de ocorrncia dos juros. Ao se estabelecer que os encargos incidiro sobre o principal somente ao final de cada ano, os dois prazos considerados so coincidentes.

O crdito direto ao consumidor promovido pelas Financeiras outro exemplo de operao com prazos iguais. Caracteristicamente, a taxa cobrada definida ao ms e os juros capitalizados tambm mensalmente. Porm em diversas outras operaes estes prazos no so coincidentes. O juro pode ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa, devendo-se nesta situao ser definido como o prazo da taxa ser rateado ao perodo de capitalizao.

Por exemplo, sabe-se que a Caderneta de Poupana paga aos seus depositantes uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual empregada (capitalizada) ao principal todo ms atravs de um percentual proporcional de 0,5%. Tem-se aqui, ento, dois prazos prazo da taxa: ano e prazo de capitalizao: ms.

Como vimos anteriormente, devemos expressar estes prazos diferentes na mesma base de tempo. Ou transforma-se o prazo especfico da taxa para o prazo de capitalizao ou, de maneira inversa, o perodo de capitalizao passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros. No regime de juros simples, diante de sua prpria natureza linear, esta transformao processada pela denominada taxa proporcional de juros tambm denominada de taxa linear ou taxa nominal. Esta taxa proporcional obtida da diviso entre a taxa de juros considerada na operao e o nmero de vezes em que ocorrero os juros (quantidade de perodos de capitalizao). Por exemplo, para uma taxa de juros de 18% ao ano, se a capitalizao for definida mensalmente (ocorrero 12 vezes juros no perodo de um ano), o percentual de juros indicar sobre o capital a cada ms ser:

Taxa proporcional = 12

%18 = 1,5% ao ms

A aplicao de taxas proporcionais muito difundida, principalmente em operaes de curto e curtssimo prazo, tais como: clculo de juros de mora,


descontos bancrios, crditos de curtssimo prazo, apurao de encargos sobre saldo devedor de conta corrente bancria, etc.

Resumindo (esquema prtico taxas proporcionais)

Duas taxas so proporcionais quando seus valores formam uma proporo com os tempos a elas referidos, reduzidos mesma unidade.

Dadas duas taxas (percentuais ou unitrias) i e i, relativas, respectivamente, aos tempos n e n, referidos na mesma unidade, temos:

'' n

n

ii

= (I)

Obs: As taxas i e i devem ser ambas percentuais ou ambas unitrias. Assim, as taxas de 18% ao ano e 1,5% ao ms, por exemplo, so proporcionais,

pois:

112

015,018,0

112

5,118

== ou (1 ano = 12 meses)

Vamos, ento, determinar uma frmula que nos permita obter, rapidamente, uma taxa proporcional outra taxa dada.

Sendo i a taxa de juro relativa a um perodo e i k a taxa proporcional que queremos determinar, relativa frao 1/k do perodo, temos pela relao (I):

1

1k

iik

=

isto : i

ki

k =

Nota: Note que i sempre a taxa relativa ao maior perodo.



1) Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.

2) Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia.

3) Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre.

4) Calcule a taxa mensal proporcional a:

a) 9% a.t.

b) 24% a.a.

c) 0,04% a.d.

5) Calcule a taxa anual proporcional a:

a) 1,5% a.m.

b) 8% a.t.

c) 21% a.s.

d) 0,05% a.d.

As taxas de juros se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro.

Vamos calcular o juro produzido pelo capital de R$2.000,00:

taxa de 4% ao ms, durante 6 meses;

taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres.

No primeiro caso, temos:


==

=

=

..04,0..%46

000.2

mamaimesesn

PV

Logo: J = 2.000 x 6 x 0,04 = R$480,00.

No segundo caso, temos:

==

=

=

..12,0..%122

000.2

tataitrimestresn

PV

Da:

J = 2.000 x 2 x 0,12 = R$480,00.

Como os juros produzidos so iguais, podemos dizer que 4% ao ms e 12% ao trimestre so taxas equivalentes.

No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas equivalentes so consideradas a mesma coisa, sendo indiferente classificao de duas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes, ou seja:

Juros Simples: Taxas equivalentes Taxas proporcionais

De fato:

Dadas as taxas de juros i, relativa a 1 perodo, e i k relativa a 1/k perodo, temos: J i = PV x i x 1

e J

ki = PV x i k x k

( ) Suponhamos que i e i k sejam equivalentes, isto , J i = J ki . Da: J i = J ki PV x i x 1 = PV x i k x k i k

ik =

ou seja, i e i k so proporcionais.

( ) Suponhamos que i e i k sejam proporcionais, isto , 1

1k

iik

= . Da:

Multiplicando ambos os membros por PV, obtemos: PV x i k x k = PV x i x 1

ou seja,


Exerccios de Fixao

1) Um capital de R$2.400,00 aplicado durante 10 meses, taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido.

2) Calcule o juro correspondente a um capital de R$18.500,00, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, taxa de 36% ao ano.

3) Calcular a taxa anual proporcional a: (a) 6% ao ms; (b) 10% ao bimestre.

4) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a: (a) 60% ao ano; (b) 9% ao trimestre.

5) Mostre que 36% ao ano proporcional a 12% ao trimestre.

6) Calcular o montante de um capital de R$600.000,00 aplicado taxa de 2,3% ao ms pelo prazo de um ano e 5 meses.

7) Uma dvida de R$30.000,00 a vencer dentro de um ano saldada 3 meses antes. Para a sua quitao antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Apurar o valor da dvida a ser pago antecipadamente.


13. EQUIVALNCIA FINANCEIRA A JUROS SIMPLES

O problema da equivalncia financeira constitui-se no raciocnio bsico da Matemtica Financeira.

Definio: Dois ou mais capitais representativos de uma certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados iguais numa data comum (denominada data focal).

Por exemplo, R$120,00 vencveis daqui a um ano e R$100,00, hoje, so equivalentes a uma taxa de juros simples de 20%, uma vez que os R$100,00, capitalizados, produziriam R$120,00 dentro de um ano, ou os R$120,00, do final do primeiro ano, resultariam em R$100,00 se atualizados para hoje. Ou seja, ambos os capitais produzem, numa data de comparao (data focal) e a taxa de 20% ao ano, resultados idnticos.

Vamos interpretar graficamente o raciocnio descrito anteriormente: FV = 100,00 x (1 + 0,20 x 1)

R$ 100,00 C n R$120,00

PV = )12,01(00,120

x+

Exemplo 01: Determinar se R$438.080,00 vencveis daqui a 8 meses equivalente a se receber hoje R$296.000,00, admitindo uma taxa de juros simples de 6% ao ms.

Nosso objetivo agora, generalizar este raciocnio.

A equivalncia de capitais pode ento ser generalizada a partir da seguinte representao grfica:

A1 A 2 B1 B 2 B 3 _____________________________________________ _ _ _ _ _

0 1 2 3 4 5 n


Os capitais A 1 , A 2 e B 1 , B 2 , B 3 dizem-se equivalentes se, quando expressos em valores de uma data comum (data de comparao ou data focal), e a mesma taxa de juros, apresentam resultados iguais.

Sendo a data de comparao no momento 0, tem-se:

)51()41()31()21()11(32121

xiB

xiB

xiB

xiA

xiA

++

++

+=

++

+

Sendo o momento 6 escolhido como data focal, tem-se:

A 1 .(1 + i x 5) + A 2 .(1 + i x 4) = B 1 .(1 + i x 3) + B 2 .(1 + i x 2) + B 3 .(1 + i x 1)

E, assim por diante.

Na questo da equivalncia financeira em juros simples, importante ressaltar que os prazos no podem ser desmembrados (fracionados) sob pena de alterar os resultados. Em outras palavras, dois capitais equivalentes, ao fracionar os seus prazos, deixam de produzir o mesmo resultado na data focal pelo critrio de juros simples. Por exemplo, admitamos que o montante final de dois anos de R$100,00 aplicados hoje, taxa de juros simples de 20% ao ano, igual a R$140,00. No entanto, este processo de capitalizao linear no pode ser fracionado de forma alguma. Por exemplo, apurar inicialmente o montante ao final do primeiro ano e, a partir da, chegar ao montante do segundo ano envolve a capitalizao dos juros (juros sobre juros), prtica esta no adotada no regime de juros simples.

Graficamente, temos:

O fracionamento em juros simples leva a resultados discrepantes, dado que:

PV.(1 + 0,2 x 2) PV.(1 + 0,2 x 1).(1 + 0,2 x 1)


Como resultado das distores produzidas pelo fracionamento do prazo, a equivalncia de capitais em juros simples dependente da data de comparao escolhida (data focal).

Ilustrativamente, admitamos que A deve a B os seguintes pagamentos:

R$50.000,00 de hoje a 4 meses;

R$80.000,00 de hoje a 8 meses.

Suponha que A esteja avaliando um novo esquema de pagamento, em substituio ao original. A proposta de A a de pagar R$10.000,00 hoje, R$30.000,00 de hoje a 6 meses, e o restante ao final do ano.

Sabe-se que B exige uma taxa de juros simples de 2,0% ao ms. Esta taxa a que consegue obter normalmente em suas aplicaes de capital. Pede-se apurar o saldo a ser pago.

O problema mais facilmente visualizado no grfico a seguir, onde convencionou-se representar a dvida original na parte superior, e a proposta alternativa de pagamento na parte inferior.

A ilustrao apresentada de substituio de uma proposta de pagamentos por outra equivalente. Para serem equivalentes, os pagamentos devem produzir os mesmos resultados, a uma determinada taxa de juros, em qualquer data comum.

Primeiramente, vamos admitir que a data focal selecionada o momento hoje. Assim, ao igualar os pagamentos das propostas em valores representativos da data focal escolhida, tem-se:

DATA FOCAL = 0

)1202,01()602,01(00,000.3000,000.10)802,01(

00,000.80)402,01(

00,000.50x

Xxxx +

++

+=+

++

46.296,30 + 68.965,50 = 10.000,00 + 26.785,70 + 24,1X


ou seja,

X = R$97.310,40

Suponha que B resolva definir o ms 12 a data focal para determinar o valor do saldo a ser pago. Expressando-se os pagamentos na data focal escolhida, tem-se:

DATA FOCAL = 12

50.000,00 x (1 + 0,02 x 8) + 80.000,00 x (1 + 0,02 x 4) = 10.000,00 x (1 + 0,02 x 12) +

+ 30.000,00 x (1 + 0,02 x 6) + X

ou seja,

144.400,00 = 46.000,00 + X

portanto, X = R$98.400,00

Como resultado, verifica-se que o saldo a pagar altera-se quando a data focal modificada. Esta caracterstica tpica de juros simples (em juro composto este comportamento no existe), sendo explicada pelo fato de no ser aceito o fracionamento dos prazos.

Na prtica, a definio da data focal em problemas de substituio de pagamentos no regime de juros simples deve ser decidida naturalmente pelas partes, no se verificando um posicionamento tcnico definitivo da Matemtica Financeira.



1) Uma pessoa aplicou em uma instituio financeira R$18.000,00 resgatando R$21.456,00 quatro meses depois. Calcular a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicao.

Soluo: Temos que PV = 18.000,00, FV = 21.456,00 e n = 4 meses. Da:

21.456,00 = 18.000,00 x ( 1 + 4 x i)

1,192 = 1 + 4i

4i = 0,192

i = 0,048 que representa 4,8% ao ms.

2) Se uma pessoa necessitar de R$100.000,00 daqui a 10 meses, quanto dever ela depositar hoje num fundo de poupana que remunera taxa linear de 12% ao ano?

Soluo: Temos que FV = 100.000,00, n = 10 meses e i = 12% ao ano ou i =

12%12

= 1% ao ms = 0,01 a.m. Da:

FV = PV x ( 1 + i x n)

100.000,00 = PV x ( 1 + 0,01 x 10)

PV = 90.909,09

3) Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital triplique de valor aps 2 anos.

Soluo: Temos que PV = 1, FV = 3 e n = 24 meses = 12 bimestres. Da:

3 = 1 x ( 1 + i x 12)

3 = 1 + 12.i

12i = 2

i = 0,166666... ou 16,666666...% a.b. (ao bimestre)


4) Um ttulo com valor nominal de R$7.200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o valor desse ttulo:

a) hoje; b) dois meses antes de seu vencimento; c) um ms aps o seu vencimento.

Soluo:

a) C 0 =

+ 4

12312,01

00,200.7

x

=

104,100,200.7

= R$6.521,74 (Neste caso devemos

atualizar)

b) C 2 =

+ 2

12312,01

00,200.7

x

=

052,100,200.7

= R$6.844,11 (Neste caso devemos

atualizar)

c) C 5 = 7.200,00 x ( 1+ 12312,0

x 1) = R$7.387,20 (Neste caso devemos capitalizar)

5) Uma pessoa deve dois ttulos no valor de R$25.000,00 e R$56.000,00 cada. O primeiro ttulo vence de hoje a 2 meses, e o segundo um ms aps. O devedor deseja propor a substituio destas suas obrigaes por um nico pagamento ao final do 5 0 ms. Considerando 3% ao ms a taxa corrente de juros simples, determinar o valor deste pagamento nico.

Soluo: Temos a seguinte disposio geomtrica:

0 2 3 5

25.000,00 56.000,00

M


Data Focal: ms 5 (ou quinto ms), ou seja, devemos capitalizar os dois capitais para o Momento 5.

Desta maneira, temos que:

M = 25.000,00 x ( 1 + 0,03 x 3) + 56.000,00 x ( 1 + 0,03 x 2)

M = 27.250,00 + 59.360,00

M = 86.610,00

6) Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros:

R$35.000,00 vencveis no fim de 3meses;

R$65.000,00 vencveis no fim de 5 meses.

Para o resgate dessas dvidas, o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicando-as em uma conta de poupana que rende 66% ao ano de juros simples. Pede-se determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta poupana de forma que possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de vencimentos sem deixar saldo final na conta.


Data Focal: data zero (hoje) - (Neste caso devemos atualizar os dois capitais)

C 0

3

35.000,00

5

65.000,00


Alm disso, i = 66% ao ano = 5,5% ao ms ou 0,055 ao ms. Logo:

C 0 = )5055,01(00,000.65

)3055,01(00,000.35

xx ++

+ (Neste caso devemos atualizar os dois capitais)

C 0 = 30.042,92 + 50.980,39

C 0 = 81.023,31

A pessoa, depositando hoje R$81.023,31 numa poupana que paga 5,5% ao ms de juros simples, ter condies, com este capital aplicado, de resgatar suas dvidas nas respectivas datas de vencimento. Logo, ao capitalizar o capital aplicado para os momentos 3 e 5, o resultado registrado deve ser igual ao valor dos pagamentos, isto :

Momento 3 = 81.023,31x (1 + 0,055 x 3) = R$ 94.392,16 () Resgate (35.000,00)

Momento 5 = 59.392,16 x (1 + 0,055 x 2) = R$ 65.925,30 () Resgate (65.000,00)

O saldo remanescente de R$925,30 devido capitalizao dos juros, procedimento este incorreto no regime linear. Foi demonstrado que em juros simples o prazo da operao no pode ser fracionado, originando-se da a diferena encontrada.

7) Uma dvida no valor de R$48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende resgatar a dvida pagando R$4.800,00 hoje, R$14.000,00 de hoje dois meses, e o restante um ms aps a data do vencimento. Sendo o momento deste ltimo pagamento definido como a data focal da operao, e sabendo-se ainda que de 34,8% ao ano a taxa linear de juros adotada nesta operao, determinar o montante do pagamento.

Saldo: R$925,30

Saldo: R$53.392,16



Data Focal: Momento 7 Devemos capitalizar todos os capitais (4.800,00, 14.000,00 e 48.000,00) para a data 7 (ms 7).

Logo:

48.000,00 x

+ 1

12348,01 x = 4.800,00 x

+ 7

12348,01 x + 14.000,00 x

+ 5

12348,01 x + M

43.392,00 = 5.774,40 + 16.030,00 + M

M = R$27.587,60

Exerccios de Fixao

1) Um aluno na aula de Matemtica Financeira faz a seguinte argumentao para a sala, a respeito de um dos fatores (inflao) que determinam a existncia dos juros:

Inflao (desgaste da moeda) diminuio do poder aquisitivo da moeda exige que o investimento produza retorno menor que o capital investido.

Esta argumentao coerente ou no? Justifique a sua resposta.

2) Qual o capital que diminudo do seu juro simples de 18 meses, taxa de 6% ao ano, se reduz a R$ 8.736,00?

3) Uma pessoa emprega seu capital nas seguintes condies: a tera parte a 15% ao ano, a quinta parte a 18% ao ano e o restante a 21% ao ano. A que taxa nica

0 2 6 7

4.800,00 14.000,00

48.000,00

M

Dvida Original


essa pessoa poderia empregar todo o capital a fim de obter o mesmo rendimento anual?

4) Uma determinada taxa foi aplicada a um capital de R$ 4.000,00 durante 3 anos. Sabendo que se um capital de R$ 10.000,00 fosse aplicado durante o mesmo tempo, a juros simples de 5% ao ano, renderia mais R$ 600,00 que o primeiro, possvel dizer que a taxa aplicada sobre o capital de?

5) Uma pessoa aplicou R$110.000,00 do seguinte modo:

R$68.000,00 a 5% ao ano;

R$42.000,00 a uma taxa desconhecida.

Sabendo que, ao fim de meio ano, a primeira importncia tinha rendido R$125,00 a mais do que a segunda, responda a que taxa esta ltima foi aplicada, considerando o regime linear de juros.

6) Uma mercadoria oferecida num magazine por R$130,00 a vista, ou nas seguintes condies: 20% de entrada e um pagamento de R$106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que est sendo cobrada.

7) Um negociante tem as seguintes obrigaes de pagamento com um banco: R$ 18.000,00 vencveis em 37 dias; R$ 42.000,00 vencveis em 83 dias; R4 100.000,00 vencveis em 114 dias;

Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema:

R$ 20.000,00 em 60 dias; R$ 50.000,00 em 100 dias; Restante em 150 dias.

Sendo de 3,2% ao ms a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas operaes, pede-se calcular o valor do pagamento remanescente adotando como data focal o momento atual.

8) Uma pessoa tem uma dvida composta dos seguintes pagamentos:

R$ 22.000,00 de hoje a 2 meses; R$ 57.000,00 de hoje a 5 meses; R$ 90.000,00 de hoje a 7 meses.


Deseja trocar estas obrigaes equivalentemente por dois pagamentos iguais, vencveis o primeiro ao final do 6 0 ms e o segundo no 8 0 ms. Sendo de 3,7% ao ms de juros simples, calcular o valor destes pagamentos admitindo-se as seguintes datas de comparao:

a) hoje;

b) no vencimento do primeiro pagamento proposto;

c) no vencimento do segundo pagamento proposto.

9) Um eletrodomstico vendido em trs pagamentos mensais e iguais. O primeiro pagamento efetuado no ato da compra, e os demais so devidos em 30 e 60 dias. Sendo de 4,4% ao ms taxa linear de juros, pede-se calcular at que valor interessa adquirir o bem vista.


UNIDADE 02 REGIME DE CAPITALIZAO COMPOSTO E APLICAES

Objetivos da Unidade

Apresentar toda teoria envolvendo o regime de capitalizao composto, bem como, apresentar diversas aplicaes;

Trabalhar sem dificuldades com exerccios envolvendo logaritmos no clculo envolvendo o regime composto;

Diferenciar taxa nominal e taxa efetiva; Diferenciar a conveno linear e exponencial; Resolver diversas aplicaes envolvendo todos os tpicos discutidos na

teoria.

1. INTRODUO

J vimos que os juros simples so aqueles calculados taxa fixa, sempre a partir da mesma quantia inicial (capital inicial). Nosso objetivo aqui, apresentar os principais aspectos relacionados s operaes no regime de capitalizao composto.

O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada perodo so acrescidos ao capital formando o montante (capital + juros) do perodo. Este montante, por sua vez, passar a render juros no perodo seguinte formando um novo montante (constitudo do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre juros formados em perodos anteriores), e assim por diante. Este processo de formao dos juros diferente daquele descrito para os juros simples, onde unicamente o capital rende juros, no ocorrendo remunerao sobre os juros formados em perodos anteriores. Tecnicamente, o regime de juros compostos superior ao de juros simples, principalmente pela possibilidade de fracionamento dos prazos. No critrio composto, a equivalncia entre capitais pode ser apurada em qualquer data, retratando melhor a realidade das operaes que o regime linear.


2. O MECANISMO DA CAPITALIZAO COMPOSTA (FRMULAS DE JUROS COMPOSTOS)

No regime de capitalizao composta (RCC), ou regime de juros compostos , a incidncia de juros ocorre sempre de forma acumulativa, ou seja, os juros so capitalizados, produzindo juros sobre juros periodicamente (a taxa de juros incidir sobre o montante acumulado no final do perodo imediatamente anterior).

Por exemplo, em uma operao de emprstimo de R$100,00 por trs meses, a uma taxa de 60% a.m., os juros de cada perodo incidiro sempre sobre o montante do final do perodo anterior. Assim, a composio dos valores futuros, mediante o emprego de juros simples e compostos, pode ser vista no Quadro 04 abaixo:

Quadro 4. Capitalizaes simples e composta.

N FV(Juros Simples) FV(Juros Compostos)

0 100,00 100,00 0,1 106,00 104,81 0,5 130,00 126,49 0,8 148,00 145,65 1 160,00 160,00 2 220,00 256,00 3 280,00 409,60

Vejamos a Figura 04 abaixo:

Figura 04. Evoluo do valor futuro.

O valor futuro calculado no regime de capitalizao composta supera aquele obtido no regime de capitalizao simples para perodos superiores unidade. Para perodos menores que 1, o valor futuro, calculado mediante o emprego de juros simples maior.


Note que a forma de capitalizao da taxa de juros no regime de capitalizao composta impede quaisquer operaes de multiplicao ou diviso de taxas de juros. Para tornar compatveis taxas e prazos, converta sempre os prazos para a mesma base das taxas fornecidas. Evite, mais uma vez, converter taxas.

No Regime de Juros Compostos Nunca multiplique ou divida a taxa de juros!!!

Para melhor entendermos este contexto e definir as frmulas de clculo a serem utilizadas, admita ilustrativamente uma aplicao de R$1.000,00 a taxa composta de 10% ao ms. Denotando por PV o Valor Presente (capital) e FV o Valor Futuro (Montante), tm-se os seguintes resultados ao final de cada ms:

Final do 1 0 ms: o capital de R$1.000,00 produz juros de R$100,00 (10% x R$1.000,00) e um montante de R$1.100,00 (R$1.000,00 + R$100,00), ou seja:

FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) = R$1.100,00

Final do 2 0 ms: o montante do ms anterior (R$1.100,00) o capital deste 2 0 ms, servindo de base para o clculo dos juros deste perodo. Desta forma:

FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) 2 = R$1.210,00

O montante do 2 0 ms pode ser assim decomposto:

R$1.000,00 capital aplicado R$100,00 juros referentes ao 1 0 ms (10% x R$1.000,00) R$100,00 juros referentes ao 2 0 ms (10% x R$1.000,00) R$10,00 juros sobre os juros produzidos no 1 0 ms (10% x R$100,00)

Final do 3 0 ms: dando seqncia ao raciocnio de juros compostos:

FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) 3 = R$1.331,00


Final do ensimo ms: aplicando-se a evoluo dos juros compostos exposta para cada um dos meses, o montante (valor futuro) acumulado ao final do perodo atinge:

FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x ... x (1 + 0,10) FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) n

Generalizando, temos que:

FV = PV x (1 + i) n e PV = ni

FV)1( +

onde (1 + i) n o fator de capitalizao (ou de valor futuro), - FCC (i, n) a juros compostos, e

ni)1(1+

o fator de atualizao (ou de valor presente) FAC (i, n) a juros compostos. A movimentao de um capital ao longo de uma escala de tempo em juros compostos se processa mediante a aplicao destes fatores, conforme podemos visualizar na Figura 05 abaixo:

Figura 05. Movimentao de um capital na escala de tempo a juros compostos.

Olhando de outra forma, sabe-se que o valor monetrio dos juros (J) apurado pela diferena entre o Valor Futuro (FV) e o Valor Presente (PV), podendo-se obter o seu resultado tambm pela seguinte expresso:

J = FV PV Como

FV = PV x (1 + i) n

Colocando-se PV em evidncia, obtemos:

J = PV x [(1 + i) n - 1]


Resumindo, da equao geral para capitalizao composta, possvel deduzirmos outras equaes (equaes derivadas) que nos permite a obteno direta do valor presente, da taxa ou do prazo da operao com as notaes descritas abaixo. Vejamos a Figura 03 abaixo:

Figura 06: Principais Frmulas no Regime de Capitalizao Composta.


1) Se uma pessoa deseja obter R$27.500,00 dentro de um ano, quanto dever ela depositar hoje numa alternativa de poupana que rende 1,7% de juros compostos ao ms?

Soluo: Do problema temos que: FV = 27.500,00, i = 1,7% ao ms = 0,017 a.m. e n =

1 ano = 12 meses. Da: FV = PV x (1 + i) n

27.500,00 = PV x (1 + 0,017)12 PV = 22.463,70


2) Qual o valor de resgate de uma aplicao de R$12.000,00 em um ttulo pelo prazo de 8 meses taxa de juros composta de 3,5% a.m.?

Soluo: Do problema temos que: PV = 12.000,00, i = 3,5% ao ms = 0,035 a.m. e n = 8 meses. Da:

FV = PV x (1 + i) n FV = 12.000,00 x (1 + 0,035) 8

FV = 15.801,71

3) Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicao de R$40.000,00 que produz um montante de R$43.894,63 ao final de um quadrimestre.

Soluo: Do problema temos que: PV = 40.000,00, n = 4 meses e FV = 43.894,63. Da:

FV = PV x (1 + i) n 3.894,63 = 40.000,00 x (1 + i) 4

00,000.4063,894.43

= (1 + i) 4

1,097366 = (1 + i) 4 4 097366,1 = 4 4)1( i+

1,0235 = 1 + i i = 0,0235 ou 2,35% ao ms

4) Uma aplicao de R$22.000,00 efetuada em certa data produz, taxa composta de juros de 2,4% ao ms, um montante de R$26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operao.

Soluo: Do problema temos que: PV = 22.000,00, i = 2,4% ao ms = 0,024 a.m. e FV = 26.596,40. Da:

FV = PV x (1 + i) n 26.596,40 = 22.000,00 x (1 + 0,024) n

00,000.2240,596.26

= (1,024) n


1,208927 = (1,024) n log (1,208927) = log (1,024) n

0,082400 = n x log(1,024) n = )024,1log(

082400,0

n = 8 meses Obs: Toda vez que interessar o clculo do expoente n, devemos utilizar o logaritmo decimal.

5) Determinar o juro pago de um emprstimo de R$88.000,00 pelo prazo de 5 meses taxa composta de 4,5% ao ms.

Soluo: Do problema temos que: PV = 88.000,00, n = 5 meses e i = 4,5% a. m. = 0,045 a.m. Da:

J = PV x [ (1 + i) n 1] J = 88.000,00 x [ (1 + 0,045) 5 1]

J = 21.664,02

Tente fazer os demais!

6) Calcular o montante de um capital inicial de R$6.000,00, a juros compostos de 5% ao ms, durante 6 meses.

7) Calcular o montante para um capital inicial de R$10.000,00, a juros compostos de 4% ao ms, durante 8 meses e 12 dias.

8) Qual o montante que um capital inicial de R$8.000,00 pode produzir, aplicado do dia 3 de maro a 16 de julho, taxa de 3% ao ms de juros compostos?


9) Colocada em um banco, uma quantia rendeu R$40.000,00 a juros compostos de 2% ao ms, durante 5 meses. Calcular essa quantia.

10) Durante quanto tempo preciso aplicar R$5.000,00, taxa de 7% ao ms, para produzir o montante de R$12.000,00?

11) Um capital de R$7.500,00 aplicado durante 5 meses produziu um montante de R$9.500,00. Qual foi a taxa mensal aplicada?

12) Na porta do Banco AFA, encontra-se um cartaz onde se l Aplique hoje R$1.788,80 e receba R$3.000,00 daqui a 6 meses. Qual a taxa mensal de juros que o banco est aplicando sobre o dinheiro investido?


3. EXTENSES AO USO DAS FRMULAS

Deve-se acrescentar ao estudo de juros compostos que o valor presente (capital) no se refere necessariamente a um valor expresso no momento zero. Em verdade, o valor presente pode ser apurado em qualquer data focal anterior do valor futuro (montante).

Exemplo: Suponha que seja de nosso interesse calcular quanto ser pago por um emprstimo de R$20.000,00 vencvel de hoje a 14 meses ao se an

Documents

MCF+-+Guia+de+estudo (2)