MCSDI problemas funcao descritiva v4 unpublishedave.dee.isep.ipp.pt/~gris/teaching/MCSDI/files/problemas/MCSDI... · Considere a associação em paralelo de dois elementos não-lineares

MEEC Mestrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

MCSDI Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos

Exercícios de

Função Descritiva

Conjunto de exercícios elaborados pelos docentes José Tenreiro Machado (JTM), Manuel Santos Silva (MSS), Vítor Rodrigues da Cunha (VRC) e Jorge Estrela da Silva (JES).

MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva

1

1. Calcule a função descritiva dos sistemas não lineares seguintes: a) b) 3xy = 2. Esboce a resposta m(t) da não-linearidade indicada na figura seguinte a uma entrada sinusoidal e(t).

3

0t

e

3. Considere a associação em paralelo de dois elementos não-lineares conforme indicado na figura.

Este sistema é equivalente a um só sistema:

D) Outro sistema

e

m A=1

K=2

m(t) e(t)

Δ x1

x4 x4 x1 k

C)

k x1

x4 x1 x4 B)

kΔ

x1

x4 x4 x1 A)

Δ x1

x2

Δ x1

x3 x3

x2

x1

k

kΔ

x4 +

−

kΔ


2

4. Considere a associação em série de dois elementos não-lineares do tipo relé conforme indicado na figura.

Este conjunto é equivalente a um só sistema: A)

B)

C)

D) Outro sistema

5. Considere a associação em série de dois elementos não - lineares (um relé e uma zona - morta) conforme indicado na figura.

Este conjunto é equivalente a um só sistema do tipo: A) Relé com M = 0,5 B) Relé com M = 1 C) Zona - morta com Δ = 0,5 D) Outro resultado 6. Considere um sistema de controlo envolvendo o bloco não-linear representado na figura, com função descritiva N(X).

Neste caso, a função descritiva vem:

A) XMN

π=

4 B) 2

14⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−π

=XX

MN

C) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−π

= −

XXMN 1sin4 D)

XMN

π+Δ=

4

+5

x1

x3 x3 x1

+3

x1

x3 x3 x1 +2

x1

x3 x3 x1

M

Δ

+2

x1

x2 +3

x2

x3 x3 x2 x1

M=1

x1

x2 Δ=0,5

x2

x3 x3 x2 x1

k=2 relé zona - morta


3

7. Considere um sistema de controlo envolvendo o bloco não-linear representado na figura, com função descritiva N(X).

Neste caso, a função descritiva vem:

A) XMN

π=

4 B) 2

14⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−π

=XX

MN

C) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−π

= −

XXMN 1sin4 D)

XMN

π+Δ=

4

8. Considere a associação em série de dois elementos não-lineares conforme indicado na figura, onde N1 e N2 representam as correspondentes funções descritivas.

Se NT representar a função descritiva da associação em série, então em geral verifica-se que: A) NT = N1 × N2 B) NT ≠ N1 × N2 9. Considere o sistema de controlo representado na figura, envolvendo os blocos não-lineares N1 e N2 e os sistemas lineares com funções de transferência G1(s) e G2(s) que apresentam características do tipo passa-baixo.

Neste caso, designando por N12 a função descritiva da associação em série dos dois blocos não-lineares: A) pode adoptar-se o método da função descritiva e estudar-se o ocorrência de ciclos limite através do traçado no plano de Nyquist da equação característica N12 G1(jω)G2(jω) + 1 = 0 onde N12 = N1 N2 B) pode adoptar-se o método da função descritiva e estudar-se o ocorrência de ciclos limite através do traçado no plano de Nyquist da equação característica N12 G1(jω)G2(jω) + 1 = 0 onde, em geral, N12 ≠ N1 N2 C) não se pode adoptar o método da função descritiva para estudar-se o ocorrência de ciclos limite através do traçado no plano de Nyquist da equação característica D) Outro caso 10. A análise de sistemas pelo método da função descritiva permite determinar aproximadamente: A) Pontos de sela B) Ciclos-limite C) Nós estáveis D) Todos estes fenómenos

N1 r(t) c(t) N2

M

Δ

c

−

+ e N2

m1 N1 G2(s) m2

G1(s)


4

11. Sabendo que o bloco do tipo saturação (Fig 1.a), com parâmetros k e S, tem função descritiva

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= −

21 1sin2

XS

XS

XSkN

π determine a função descritiva do bloco não-linear da Fig. 1.b).

Fig 1.a) Fig. 1.b)

12. O sistema apresentado contém dois elementos não-lineares em série.

M=1

x2

x3

Δ=0,5x1

x2 x3x2x1

k=2+

-

6s.(s+2).(s+3)

R(s) C(s)

G(s)N1 N2

zona-morta relé

a) Determine o elemento não-linear equivalente à série de N1 e N2, justificando de forma fundamentada a sua resposta. b) Verifique se o sistema apresenta algum ciclo-limite. Em caso afirmativo, indique a sua frequência de oscilação ω, a correspondente amplitude de oscilação X e classifique-o como sendo estável ou instável. 13. Considere o sistema representado pelo seguinte diagrama de blocos

Apresente a função descritiva da associação de elementos não lineares que tem como entrada u1 e como saída u3. Tenha em conta que a função sgn(x) é definida da seguinte forma:

⎩⎨⎧

<−≥

=0,1

0,1)sgn(

xx

x . Logo, ⎪⎩

⎪⎨⎧

<−−≥

=0,

0,)sgn(

11

1111 uu

uuuu .

14. Considere a análise de sistemas pelo método da função descritiva. Pode dizer-se que se trata de um método que: A) Permite calcular a resposta do sistema para qualquer sinal de entrada B) Só permite calcular aproximadamente ciclos-limite se o sistema for do tipo passa-baixo C) Só permite calcular a resposta de sistemas lineares (não sendo possível analisar sistemas não-lineares) D) Outro resultado

u2 50

5 m

u2 m

11 )sgn( uu 22 uu1u 3u

x y

y

S1 S2 x

declives k2, k1x y y

S x

declive k


5

15. Considere o sistema de controlo representado na figura, envolvendo um bloco não-linear N e um sistema linear com função de transferência G(s). Através do método da função descritiva obtém-se o traçado no plano de Nyquist representado.

Então, sabe-se que: A) Somente o ponto A corresponde a um ciclo-limite estável B) Somente o ponto B corresponde a um ciclo-limite estável C) Nenhum dos pontos A e B corresponde a um ciclo-limite estável D) Ambos os pontos A e B correspondem a ciclos-limite estáveis 16. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte, envolvendo um bloco não-linear m = f(e) e

um sistema linear com função de transferência ( ) ( )( )2110G

++=

ssss .

Para o bloco m = f(e) consideraram-se dois casos: m = e3 e m = e1/3. Através do método da função descritiva obtém-se (para qualquer dos casos) o gráfico da figura. Todavia, nos dois casos as características são diferentes e, assim, os pontos A, B e C resultam:

Caso Ponto A Ponto B Ponto C m = e3 ωA ≈ 1,42 rad/seg, XA ≈ 0,98 XB → 0 XC → ∞

m = e1/3 ωA ≈ 1,42 rad/seg, XA ≈ 2,66 XB → ∞ XC → 0 Então, pode dizer-se que no ponto A existe: A) Um ciclo-limite estável para m = e3 e um ciclo-limite instável para m = e1/3 B) Um ciclo-limite instável para m = e3 e um ciclo-limite estável para m = e1/3 C) Em nenhum dos dois casos se obtém um ciclo-limite, seja estável seja instável

e c

−

+ G(s)

m m = f(e)

Re

Im G(jω)

−1/N

A

B

X→∞

X=0 ω→∞

ω→0

e c

−

+ G(s)

m N


6

17. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte, envolvendo um bloco não-linear do tipo

folga (backlash) com h = 1 e declive unitário e um sistema linear com função de transferência ( )( )21

31G+

=ss

,s .

Através do método da função descritiva sabe-se que no ponto A, ωA ≈ 0,68 rad/seg, XA ≈ 3,1 e que no ponto B, ωB ≈ 0,36 rad/seg, XB ≈ 1,34.

A) Em A existe um ciclo-limite estável e em B um ciclo-limite instável B) Em A existe um ciclo-limite instável e em B um ciclo-limite estável C) Os pontos A e B não correspondem a qualquer tipo (estável ou instável) de ciclo-limite no sistema 18. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte, envolvendo um bloco não-linear do tipo

saturação com h = 1 e declive unitário e um sistema linear com função de transferência ( ) ( )se

sss 2

11G −

+= .

Através do método da função descritiva sabe-se que no ponto A, ωA ≈ 0,54 rad/seg, XA ≈ 1,98. Pode concluir-se que:

A) Em A existe um ciclo-limite estável B) Em A existe um ciclo-limite instável C) O ponto A não corresponde a qualquer tipo (estável ou instável) de ciclo-limite no sistema

e c

−

+ G(s)

m

h

m

e

e c

−

+ G(s)

m

h

m

e


7

19. Considere o sistema com realimentação positiva representado na figura seguinte (0 ≤ ζ ≤ 1).

Através do método da função descritiva sabe-se que: a) Para ζ = 0,105 ocorre um ciclo-limite com amplitude X dada por: A) X = 24,25 B) X = 10,0 C) X= 15,10 D) Outro resultado b) Para ζ = 0,105 ocorre um ciclo-limite com frequência ω dada por: A) ω = 24,25 rad/seg B) ω = 10,0 rad/seg C) ω = 15,10 rad/seg D) Outro resultado c) Suponha agora que se varia o valor de 0 ≤ ζ ≤ 1. Nesse caso, para cada valor distinto de ζ ocorre um ciclo-limite com as seguintes características relativamente à frequência ω e à amplitude X: A) A frequência ω tem sempre o mesmo valor independentemente do valor de ζ. Todavia, a amplitude X

depende do valor de ζ. B) A amplitude X tem sempre o mesmo valor independentemente do valor de ζ. Todavia, a frequência ω

depende do valor de ζ. C) Quer a frequência ω quer a amplitude X têm sempre o mesmo valor independentemente do valor de ζ. D) Quer a frequência ω quer a amplitude X dependem do valor de ζ. 20. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte.

Através do método da função descritiva sabe-se que existe um ciclo-limite com: a) Frequência ω dada por: A) ω = 5,66 rad/seg B) ω = 0,52 rad/seg C) ω = 2,50 rad/seg D) Outro resultado b) Amplitude X dada por: A) X = 5,66 B) X = 0,52 C) X = 2,50 D) Outro resultado c) Por análise no diagrama de Nyquist sabe-se que o ciclo-limite é: A) Estável B) Instável

c m e

( )( )( )102150

+++ sss−

+ +2

e

m

3

+4

1 e

m c m e

+

+ 10020

102 +ζ+ ss

s


8

21. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte.

Através do método da função descritiva sabe-se que: a) A) Para H(s) = 1 existe um ciclo-limite com frequência de oscilação 6=ω rad/seg

B) Para H(s) = 1 existe um ciclo-limite com frequência de oscilação π

=ω340 rad/seg

C) Para H(s) = 1 existe um ciclo-limite com frequência de oscilação 6340π

=ω rad/seg

D) Outro resultado b) A) Para H(s) = 1 existe um ciclo-limite com amplitude de oscilação 6=X

B) Para H(s) = 1 existe um ciclo-limite com amplitude de oscilação π

=340X

C) Para H(s) = 1 existe um ciclo-limite com amplitude de oscilação 6340π

=X

D) Outro resultado c) A) Para H(s) = s + a, deixa de ocorrer um ciclo-limite no sistema quando 0 < a ≤ 5 B) Para H(s) = s + a, deixa de ocorrer um ciclo-limite no sistema quando 5 ≤ a C) Qualquer que seja o valor de a nunca ocorre um ciclo-limite no sistema D) Qualquer que seja o valor de a ocorre sempre um ciclo-limite no sistema

22. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte onde o bloco não-linear consiste numa zona-

morta com função descritiva dada por ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

π−= −

21 12

XXXsinkkN .

Então, sabe-se que existe um ciclo-limite instável com amplitude X e frequência ω aproximadamente dados por: A) X = 2,235, ω = 1,414 rad s−1 B) X = 2,235, ω = 0,707 rad s−1 C) X = 2,235, ω = 1,000 rad s−1 D) X = 2,235, ω = 2,000 rad s−1

+1

e

m c m e

( )( )32100

++ sss

( )sH

−

+

Δ=1 e

m c m e

( )( ) ( )22 21

40

++=

sssG

−

+ k=1


9

23. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte onde N representa a função descritiva de uma nao-linearidade do tipo relé com histerese, tal que Mod(N) = 4M/(πX) e Fase(N) = −sin−1(h/X), e G(s) = ke−sT/s.

Então, sabendo que k = π, T = 1, h = 1, M = ¼, verifica-se que existe um ciclo-limite com amplitude X e frequência ω aproximadamente dados por: A) X = 2,535, ω = 0,394 rad s−1 B) X = 0,394, ω = 2,535 rad s−1 C) X = 1,353, ω = 0,739 rad s−1 D) X = 0,739, ω = 1,353 rad s−1 24. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte onde N = 4M / (πX) e G(s) = k / (s + 1)4.

Então, para M = π e k = 2 sabe-se que existe um ciclo-limite com amplitude X e frequência ω aproximadamente dados por: A) X = 2, ω = 1 rad s−1 B) X = 1/2, ω = 1/2 rad s−1 C) X = 2π, ω = 21/2 rad s−1 D) Outro resultado 25. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte onde N = 4M/(πX) e G(s) = k/[s(s + 1)2].

Então sabe-se que existe um ciclo-limite com amplitude X e frequência ω aproximadamente dados por: A) X = 4Mk /π, ω = 1/2 rad s−1 B) X = Mkπ, ω = 2 rad s−1 C) X = 2Mk /π, ω = 1 rad s−1 D) Outro resultado

c

−

+ e m N G(s)

r

e c

−

+ G(s)

m

h

m

e

N

M

c

−

+ e m N G(s)

r


10

26. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte onde N = 4M / (πX) e G(s) = k / (s + 1)3.

Então sabe-se que existe um ciclo-limite com amplitude X e frequência ω aproximadamente dados por: A) X = Mk / π, ω = 1/3 rad s−1 B) X = 2Mk / π, ω = 3 rad s−1 C) X = Mk / (2π), ω = 31/2 rad s−1 D) Outro resultado 27. Para os sistemas seguintes determine a amplitude e a frequência do ciclo limite. a)

+

−

R(s) 10s(s+1)(s+2)

C(s)-1

+1e m

b)

m=e3+

−

R(s) 1s(s+1)(s+2)

C(s)e m

28. Considere o sistema representado na figura seguinte:

+

−

R(s) 20s(s+3)(s+6)

C(s)

-A

A

a) Para este sistema (considerando R=0 e A=4) determine a frequência e a amplitude do ciclo limite. b) O ciclo limite determinado na alínea anterior é estável ou instável? 29. Considere o sistema representado na figura seguinte:

+

−

R(s) Ks(s+2)(s+4)

C(s)-A

A

a) Para este sistema (considerando R=0, A=4 e K=10) determine a frequência e a amplitude do ciclo limite.

c

−

+ e m N G(s)

r


11

b) O ciclo limite determinado na alínea anterior é estável ou instável? c) Variando o ganho K pode-se eliminar o comportamento de ciclo limite da saída do sistema anterior? Justifique a sua resposta. 30. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte, com G(s) = 100/[s(s + 2)(s + 3)].

Através do método da função descritiva verifique se este sistema apresenta algum ciclo-limite. Em caso afirmativo, indique a sua frequência de oscilação ω e a correspondente amplitude de oscilação X 31. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte, com G(s) = e−2s/[s(s + 2)].

Através do método da função descritiva verifique se este sistema apresenta algum ciclo-limite. Em caso afirmativo, indique a sua frequência de oscilação ω e a correspondente amplitude de oscilação X 32. Considere o sistema representado na figura seguinte:

+

−

R(s) 5s(s+1)(s+5)

C(s)

-K-A

AK

a) Para este sistema (considerando R=0, A=1 e K=1) determine a frequência e a amplitude do ciclo limite. b) O ciclo limite determinado na alínea anterior é estável ou instável? 33. Considere o sistema representado na figura seguinte:

+

−

R(s) K1s(s+2)(s+3)

C(s)

-K-A

AK

+1

e

mc me

G(s)

−

+

+1

e

mc me

G(s)

−

+


12

a) Para este sistema (considerando R=0, A=4, K=1 e K1=20) determine a frequência e a amplitude do ciclo limite. b) O ciclo limite determinado na alínea anterior é estável ou instável? c) Diminuindo o valor do ganho K1 como variam as características do ciclo limite da saída do sistema anterior? Justifique a sua resposta. 34. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte, exibindo uma não-linearidade do tipo “histerese” (backlash), com parâmetros 2A = 0.5, B = 1 e C = 1, e um sistema linear com função de transferência G(s) = 3/[s(s + 1)2].

Através do método da função descritiva verifique se este sistema apresenta algum ciclo-limite. Em caso afirmativo, indique a sua frequência de oscilação ω e a correspondente amplitude de oscilação X 35. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte, exibindo uma não-linearidade do tipo “folga” (backlash), com parâmetros A = 1 e K = 1, e um sistema linear com função de transferência G(s) = 1,5/[s(s + 1)2].

Através do método da função descritiva verifique se este sistema apresenta algum ciclo-limite. Em caso afirmativo, indique a sua frequência de oscilação ω e a correspondente amplitude de oscilação X 36. Considere os sistemas representados nas figuras seguintes. Para cada um analise a ocorrência de ciclos-limite através do método da função descritiva. a)

R(s) 1s(s+1)

C(s)

-1

+1e m-0.5

0.5

Relé com histerese

+

-

K ec

m

e G(s)

−

+

backlash

+A−A m

c m e G(s)

−

+

2A

e

m C

B


13

b)

R(s) 10s(s+1)

C(s)-1+1

e

Histerese

+-

37. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte:

R(s) C(s)+

-

10(0,4s+1)(2s+1)

N G(s)

2h

1

-1

sendo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∠=

Xh

XN arcsin4

π, para X > h. A representação gráfica no plano complexo de −1/N, para dois

valores distintos de h (h = 0,1 e h = 0,3), e de G(jω) é apresentada na figura seguinte.

Re

Im

G(jω)

h = 0,1

h = 0,3

−1/N para

−1/N para

Da análise desta figura é possível concluir que: A) Este sistema apresenta um ciclo limite estável para os dois valores de h (h = 0,1 e h = 0,3) em consideração B) Para h = 0,1 este sistema apresenta um ciclo limite estável e para h = 0,3 um ciclo limite instável C) Para h = 0,1 este sistema apresenta um ciclo limite instável e para h = 0,3 um ciclo limite estável D) Este sistema apresenta um ciclo limite instável para os dois valores de h (h = 0,1 e h = 0,3) em consideração

MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções)

1

1tω

2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−X

XΔ1

Soluções 1. 1. a) Para uma entrada senoidal:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

=

Δ=

Xt

tX

arcsin

)sin(

1

1

ω

ω

2

1

1

1)cos(

)sin(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−=

Δ=

Xt

Xt

ω

ω

Para uma função de saída y(t) ímpar:

[ ]

)cos(4

)cos(2

)()sin(2

)()sin()(1

11

1

1

2

01

1

1

1

1

tMY

tMY

tdtMY

tdttyY

tt

t

t

ωπ

ωπ

ωωπ

ωωπ

ωπω

ωπ

ω

π

=

−=

=

=

−

−

∫∫

Da dedução anterior vem 2

1 14⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−=X

MYπ

pelo que a função descritiva é 2

14⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−=XX

MNπ

1. b) Sendo x a entrada do elemento não linear, para um sinal sinusoidal )sin()( tXtx ω= 1º método:

)(sin)( 33 tXty ω=

dado que )3sin(41)sin(

43)(sin3 AAA −=

)3sin(41)sin(

43)( 33 tXtXty ωω −=

aplicando ∫=π

ωωπ

2

01 )()sin()(1 tdttyY

°∠==⇒= 0434

3

43 2

33

1 XX

XNXY

)sin( tX ω


2

2º método:

)(sin)( 33 tXty ω=

∫∫

=

=

π

π

ωωπ

ωωωπ

2

0

431

2

0

331

)()(sin1

)()sin()(sin1

tdtXY

tdttXY

dado que aax

aaxxdxax

32)4sin(

4)2sin(

83)(sin4 +−=∫

°∠=⇒=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−= 0

43

43

32)4sin(

4)2sin(

83 23

2

0

3

1 XNXtttXYπωωω

π

2. 3. C 4. B 5. B x3 = 2(x2 − 0.5) 6. B relé com zona morta - exercício 1 7. C relé com histerese – pág. 11 dos apontamentos das aulas teóricas 8. B 9. B 10. B 11. A não-linearidade da figura 1.b) é equivalente a:


3

( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

−

−

222212

2

2111121

1

1sin2

1sin2

XS

XS

XSkN

XS

XS

XSkkN

π

π

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=+= −−

22221

2

21111

2121 1sin1sin2XS

XS

XSk

XS

XS

XSkkNNN

π

12. 12. a)

-1

+1 x3x1x1

x3

com função descritiva: X

Nπ4

=

12. b) Este sistema apresenta um ciclo limite estável com amplitude X = 0,255 e frequência ω = 2,45 rad/s. 13. Calcular valor a partir do qual se atinge a saturação (m = 5)

255 11 =⇔= uu Para 251 >u teremos sempre u2 = 50 e u3 =2500. Na zona linear temos (considerando ainda apenas u1 não negativo)

251,25003

2510,25

25005

503 1

2

1

>=

≤<=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

uu

uuuu

Para valores negativos de u1 temos, de uma forma análoga:

251,25003

0125,25

25005

503 1

2

1

−<−=

≤≤−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

uu

uuuu

Trata-se de uma saturação, com k=2500/25=100 e S=25. Logo a função descritiva vem:

SXXS

XS

XSKN >

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

π= ,1arcsin2 2

14. B 15. A 16. B 17. A 18. A


4

19. 19. a) A 19. b) B

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−∠++−

=++−

=2222 100

1,221,2100

101001,2

10)(ω

ωπ

ωω

ωωω

ωω arctgj

jjG

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= −−

21

21 1111sin21sin2

XXXN

XS

XS

XSkN

ππ

( ) ( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

==

⇔

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=++−

−=

−

sradX

arctg

XXX

NjG

/1025,24

0100

1,22

1111sin81,2100

10

1)(

2

21

22

ω

ωωπ

π

ωω

ω

ω

Este sistema apresenta um ciclo limite estável. 19. c) A 20. 20. a) A 20. b) B

( )( )( ) ( ) π

π

ωωωωωω

ω

ππ

−∠+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−∠

+++⇔

−=

+=→+=

X

arctgarctgarctg

XNjG

XN

XMkN

83

110210041

50

)(1)(

834

222

( )( )( )( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

==

⇔

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−

+=

+++

sradX

arctgarctgarctg

X /657,5518,0

102

83

1

10041

50222

ωπωωω

πωωω

20. c) A

Re

Im

Ciclo limite estável

X→∝

X→0

-1/N

G(jω)

ω→0

ω→∝


5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6 6,1

a

w

21.

)3)(2()(100)(

4

+++

=

=

sssassGH

XMN

π

4)3)(2()(1001)( X

jjjaj

NjG π

ωωωωω −=

+++

⇔−=

( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=++

+

πωωπω

πωω

ωω

322

494100

22

22

arctgarctga

arctg

Xa

21. a) A 21. b) B Se 1)( =sH vem:

( )( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≈=

≈=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∞=−

+

−

⇔−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−

=++

srad

X

srad

X

arctgarctg

X

/45,26

24,4340

/6

415.106100

321

32

322

494

10022

ωπ

ω

π

ωω

ωω

πωωπ

π

ωωω

21. c) B

Para assH +=)( vem: 0232

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ πωωω arctgarctg

aarctg

a w 5 não há solução

5,1 17,49 5,2 12,49 5,3 10,3 5,4 9 5,5 8,12 5,6 7,48 5,7 6,99 5,8 6,6 6 6

Não há cruzamento com o eixo imaginário se 5≥a .


6

22.

⎩⎨⎧

=ω=

⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

−ω−π

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

π−

=+ω+ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

−ω−∠+ω+ω

=ω

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

π−=

−−

−

−−

−

414.1235.2

02

tan2)(tan2

1111sin21

1)2)(1(

40

2tan2)(tan2

)2)(1(40)(

1111sin21

11

21

222

11222

21

XXXX

jG

XXXN

Código matlab para geração da figura: w=1.3:0.01:10;G=40./(((j*w+1).^2).*((j*w+2).^2)); hold off;plot(real(G),imag(G));hold on; X=2:0.1:1000;N=1-2/pi*(asin(1./X)+(1./X).*(1-(1./X).^2).^0.5); plot(real(-1./N),imag(-1./N),'r');axis equal;grid off Este sistema apresenta um ciclo limite instável com amplitude X = 2.235 e frequência ω = 1.414 rad/s. 23. D

seksG

Xh

XMN

sT−

−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∠=

)(

sin4 1

π

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=−−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−∠=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−∠→=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−∠=⇔−=

−

−

−−

XhT

MXk

Xh

MXTkjs

Xh

MX

sek

NsG

sT

1

1

1

sin2

4

sin42

sin4

1)(

ππω

πω

πππωω

ω

ππ

Re

Imω=1.414 X=2.235

X→∝X→0

-1/N

G(jω)

ω→0 ω→∝


7

Com k=π, T=1, h=1 e M=1/4 vem:

( ) ⎩⎨⎧

==

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=−

=⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=−

=

−−

sradXX

X

X

/739,0353,1

sin2

1

1sin2

414

11

ωωπωω

πω

πωπ

24. A

( )41)(

4

+=

=

sksG

XMN

π, com k=2 e M=π

( )( ) ( ) ⎩

⎨⎧

==

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=+→−=

sradX

arctg

X

arctg

X

NjG

/12

4

28

0441

21)(

22/42ωπωωπ

ππ

ωω

25. C

( )21)(

4

+=

=

ssksG

XMN

π

( )( )

( ) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−−

=+→−=

srad

MkX

sradMXk

arctgarctg

MXk

NjG

/1

2

/142

422

411)(2

ωπ

ω

ππω

πωπ

πωωω

Este sistema apresenta um ciclo limite estável. 26. C

( )31)(

4

+=

=

sksG

XMN

π

( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=+⇔

⎩⎨⎧

=−

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−

=+→−= π

π

ωπω

π

ωω 2413/3

341

1)( 2/32/32

MkXMXk

sradarctg

MXk

NjG

27. 27. a)

( )( )( )

42241

10

4)2)(1(10

1

44

22

Xarctgarctg

Xjjj

NGH

XXMN

πωω

π

ωωω

πωωω

ππ

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−∠

++

−=++

−=

==


8

( )( )( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇔=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∞=−

+

−

⇔−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−−

++=

srad

XX

arctgarctg

X

/2

1,26.32

104

2.1

2

22

41

104 22

ω

π

ωω

ωω

πω

ωπ

ωωω

π

Este sistema apresenta um ciclo limite estável com amplitude X = 2,1 e frequência ω = 1,414 rad/s.

27. b) Do exercício 1.b) sabe-se que a função descritiva de m=e3 é 2

43 XN = .

( )( )( )

( )( )( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇔=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∞=−

+

−

⇔−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−−

++=

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−∠

++

−=++

−=

srad

XX

arctgarctg

X

Xarctgarctg

Xjjj

NG

/2

8,26.32

13

4

2.1

2

22

41

13

4

34

2241

13

4)2)(1(

1

1

2222

222

2

ωωω

ωω

πωωπωωω

ωωπ

ωωω

ωωω

Este sistema apresenta um ciclo limite instável com amplitude X = 2,8 e frequência ω = 1,414 rad/s.

Re

Im

ω=1,414 X=2,8

X→∝

X→0

-1/N

G(jω)

ω→0

ω→∝

Re

Im

ω=1,414 X=2,1

X→∝

X→0

-1/N

G(jω)

ω→0

ω→∝


9

28. a) b)

( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−

=++

−=++

⇔−=

=⇒=

srad

X

arctgarctg

X

XjjjN

jG

XN

XMN

/18

63,0

632

16369

2016)6)(3(

201)(

164

22

ωπωωπ

π

ωωω

πωωω

ω

ππ

Este sistema apresenta um ciclo limite estável com amplitude X = 0,63 e frequência ω = 4,24 rad/s. 29. 29. a) b)

( )( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∞=−

+

−

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−⇔

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−

=++

−=++

⇔−=

=⇒=

srad

X

srad

X

arctgarctgarctgarctg

X

XjjjN

jG

XN

XMN

/8

061,1

/8

1624.12810

4.

21

42242

422

16164

10

16)4)(2(101)(

164

22

ωω

π

ωω

ωωπωω

πωωπ

π

ωωω

πωωω

ω

ππ

29. c) Variando o ganho K existe sempre intersecção entre os traçados de G(jω) e -1/N, pelo que existe sempre ciclo-limite.

Re

Im

X→∝

X→0

-1/N

G(jω)

ω→0

ω→∝

Re

Im

X→∝

X→0

-1/N

G(jω)

ω→0

ω→∝

Ciclo-limite estável


10

30.

( )( )

( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−⇔

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−

++=

→−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−∠

++=

++=

==

232322

94

10041

32294

100)3)(2(

100)(

44

22

22

πωω

πωωπωωω

π

ωωπ

ωωωωωωω

ππ

arctgarctgarctgarctg

X

NG

arctgarctgjjj

jG

XXMN

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≈=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

−⇔∞=

−

+

−

→−

+=+

srad

X

BtgAtgBtgAtgBAtg

/6

244,415.106

10040

61

321

32)()(1)()()( 2

ω

πω

ωω

ωω

Este sistema apresenta um ciclo limite estável. 31.

( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎩⎨⎧

==

⇔−=−−−

+=

−−−∠+

=+

=

==

−

632.0960.0

)2(224

14

)2(224

1)2(

)(

44

2

2

2

ωπωπωωω

π

ωπωωωωω

ω

ππω

X

arctg

X

arctgjj

ejG

XXMN

j

Código matlab para geração do diagrama polar: w=0.5:0.01:10;G=exp(-j*2*w)./(j*w.*(j*w+2));plot(real(G),imag(G));axis equal;grid off Este sistema apresenta um ciclo limite estável com amplitude X = 0.960 e frequência ω = 0.632 rad/s.

Re

Im

ω=0.632 X=0.960

X→∝ X→0

-1/N

G(jω)

ω→0

ω→∝


11

32. 32. a)

Resposta em frequência em malha fechada:)()(1

)()()(

ωωω

jHjNGjNG

sRsC

+=

A equação característica é: 0)()(1 =+ ωω jHjNG ou N

jHjG 1)()( −=ωω . Se esta equação for satisfeita, então

o sistema apresenta um ciclo limite com amplitude X e frequência ω.

O bloco não linear é descrito pela função descritiva: XAkN

π4

+= . Substituindo os valores vem: X

Nπ41+= .

( )( )X

jjjNjHjG

πωωω

ωω 41

151

51)()(+

−=++

⇔−=

Determinação do ciclo limite:

( ) ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=⇔+

=⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−

+=

++

→

→

srad

X

Xarctgarctg

Xfasedecondição

módulodecondição

/5

255,041

13065

5

52

41

1

251

522

ωπ

πωωππ

ωωω

32. b) Ciclo limite estável. 33. 33. a)

( )( )X

jjjNjG

πωωω

ω 161

132

201)(+

−=++

⇔−=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=⇔+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

−⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∞=−

+

−

⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−

+=

++

srad

X

Xarctgarctg

X

/6

63,100161

115106

20

06

1

3.

21

32

322

161

1

94

20

222

ωπω

ωω

ωω

πωωππ

ωωω

33. b) Ciclo limite estável. 33. c) Aumentando o ganho K1 atinge-se uma situação em que as curvas de G(jω) e -1/N deixam de se intersectar, logo deixa de existir ciclo limite. 34.

3)1(

32

)(1

)1(3)(

125.1175.012

,4112

22

2

2

22

2

22

−+=−⇒

+=

−⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

+>−⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

ωωω

ωωωω

ππ

ππ

jjGjj

jG

Xj

XXXN

BAXXACj

XAB

XAB

XCN


12

⎩⎨⎧

==

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=−

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=⇔=+

155.2882.0

3)1(1

3225.1175.012

)(10)(1

2

2

222

X

X

XXX

jGNNjG

rad/s ω

ωωπ

ωπ

ωω

Código matlab para geração da figura: w=0.8:0.01:10;G=3./(j*w.*((j*w+1).^2)); plot(real(G),imag(G));hold on; X=1.25:0.1:4;N=2/pi./X.*((1-(0.75./X).^2).^0.5+(1-(1.25./X).^2).^0.5)-j/pi./X.^2; plot(real(-1./N),imag(-1./N),'r');axis equal;grid off Este sistema apresenta um ciclo limite estável com amplitude X = 2.155 e frequência ω = 0.882 rad/s. 35.

)(10)(1

)1(5.1)(

1,)1(42sincos22sin2121

22

2

211

ωω

ωωω

ππ

jGNNjG

jjjG

XXXj

XX

XX

XXN

XX

AX

AX

−=⇔=+

+=

>−

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

−=

−

−−

Re

Im

ω=0.882 X=2.155

X→∝

X→1.25

-1/N

G(jω)

ω→0 ω→∝


13

Código matlab para geração da figura: w=0.2:0.01:10;G=1.5./(j*w.*((j*w+1).^2)); hold off;plot(real(G),imag(G));hold on; X=1.15:0.1:100;N=0.5*(1-2/pi*(asin((2-X)./X)+ ((2-X)./X).*cos(asin((2-X)./X))))-j*4/pi./X.^2.*(X-1); plot(real(-1./N),imag(-1./N),'r');axis equal;grid off O sistema apresenta um ciclo limite instável com amplitude X = 1.2 e frequência ω = 0.287 rad/s e um ciclo limite estável com amplitude X = 5.45 e frequência ω = 0.81 rad/s. 36. 36. a)

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−∠=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−∠+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∠−=

+⇔−=

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∠=

−

−

XXarctg

XX

jjNG

hMcomXh

XMN

5,0arcsin421

1

5,0sin4)1(

11

5,0,1sin4

2

1

1

ππ

ωπ

ωω

πωω

π

Im

Reω=0.81 X=5.45

X→∝

X→1

-1/N

G(jω)

ω→0

ω→∝

ω=0.287 X=1.2


14

( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=−−

=+

Xarctg

X

5,0arcsin2

41

12

πωπ

π

ωω

( ) 05,05,0

5,0

5,01

5,0

5,0

5,0

5,02

22

22

22

22=−−⇒∞=

−−

−+

⇔⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+= ω

ω

ωπω X

X

X

Xarctgarctg

( )⎩⎨⎧

==

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−

=+

sradX

X

X

/125,1752,0

05,05,0

41

1

22

2

ωω

π

ωω

Este sistema apresenta um ciclo limite estável com amplitude X = 0,752 e frequência ω = 1,125 rad/s.

θ22 5,0−X

X0,5

Re

Im

ω=1,125 X=0,752

X→∝

X→0,5 -1/N

G(jω) ω→0

ω→∝

-π/8


15

36. b)

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

==−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=

−−

XX

XX

XX

XXN

kAcomXXj

XXNN

s

s

2sincos22sin22

1,1,)1(1.1.41/2

1/121

11

2

π

π

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

21 2122sin2

2 XX

XX

XX

XXN s π

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−

−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

−=

+−=

−−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

−=⇔−=

−

−

10)1(4

102122sin1

21

1010)1()1(42122sin21

21

11

2

221

2

2

21

ωπ

ωππ

ωωωωππ

XX

XX

XX

XX

jjjX

XjX

XX

XX

X

GNGN

O sistema apresenta duas soluções: A - um ciclo limite estável com amplitude X = 3,24158 e frequência ω = 2,71612 rad/s. B - um ciclo limite instável com amplitude X = 1,012 e frequência ω = 0,1435 rad/s.

37. A

θ22 )2( XX −−

X2-X

Im

ReA

X→∝

X→1 -1/N

G(jω)

ω→0

ω→∝

B


16

A tabela seguinte apresenta algumas não-linearidades e respectivas funções descritivas. Tipo de Não-Linearidade Representação Gráfica Função Descritiva Saturação

Input

Output

+A−A K

K1

K1

( ) ( )AXAXNKKKN S >⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−+= ,11

Limitador

Input

Output

+S−S K

( )SXSXNKN S >⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= ,

Relé ideal (liga-desliga)

Input

Output

A

−A

XAN

⋅⋅

=π4

Zona morta

Input

Output

+Α−Α

K

K

( )AXAXNKN S >⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅= ,1

Relé com zona morta

Input

Output

+A

−A

K

K

XAKN

⋅⋅

+=π4

Relé com zona morta

Input

Output

B

−B

−AA

( )AXXA

XBN >⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

⋅⋅

= ,14 2

π

Limitador com histerese

Input

Output

+M−M

K

K

−A+A

( )

( )AX

XAXAKj

AXA

XNKN S

>

⋅

−⋅⋅⋅⋅−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−⋅= ,4

21

2 2π


17

Relé com histerese

Input

OutputM

−M

−h h

( )AXX

MhjXh

XMN >

⋅

⋅⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

⋅⋅

= ,4142

2

ππ

Relé com zona morta e histerese

Input

Output

C

−C

−BB

2Α

( )AXX

CAj

XAB

XAB

XCN

>⋅

⋅⋅⋅−

−⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⋅⋅⋅

=

,4

112

2

22

π

π

Zona morta e degrau

Input

Output

B

−B

−AA

K

K

( )AXXA

XB

AXNKN S >⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

⋅⋅

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅= ,141

2

π

Histerese em ciclo fechado

Input

OutputA

−A

−MM

240

MAjN

⋅⋅

⋅−=π

Obs.: ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

XXXXNS

1arcsincos11arcsin2π

Documents

MCSDI problemas funcao descritiva v4 unpublishedave.dee.isep.ipp.pt/~gris/teaching/MCSDI/files/problemas/MCSDI... · Considere a associação em paralelo de dois elementos não-lineares