UNIVERSIDADE DO PORTOFaculdade de Engenharia

Departamento de Engenharia Civil

Mecanica IIFicha 1 (V2.99)

Cinematica da Partıcula

1. Um projectil e disparado do ponto C. Pretende–se que o projectil caia a uma distancia de 300 mdo ponto de partida, apos ter atingido uma altura maxima de 100 m. Determine a velocidade comque deve partir o projectil e o angulo que devera fazer a direccao de ~v0 com a horizontal.

y

x

C

~v0

α

2. Um projectil e lancado da origem, no instante t = 0, com uma velocidade inicial ~v0 = (100, 100),(S.I.). Determine:

(a) a altura maxima atingida pelo projectil, o ponto de impacto no solo, P , e o tempo de voo;

(b) a velocidade inicial, ~v0, de modo que o ponto de impacto no solo seja Q ≡ (100, 84) e que esseponto corresponda, para o movimento considerado, ao ponto de altura maxima.

y

xO

P

Q~v0

40o

3. Uma bola e abandonada verticalmente sobre o ponto A, pertencente a um plano inclinado de 20o

em relacao a horizontal. A direccao do ressalto forma um angulo de 40o com a vertical. Sabendoque a bola atinge novamente o plano inclinado em B, determine:

(a) a velocidade com que a bola ressalta em A;

(b) o tempo gasto pela bola para ir de A ate B.

A

B

10 m

20o

40o

4. Uma partıcula move–se no plano OXY com uma velocidade de modulo constante e igual a 3 m/s.Sabendo que o vector velocidade faz um angulo θ = π

2 t (rad,s) com o eixo OX e que o movimentotem inıcio na origem das coordenadas, determine a equacao cartesiana da trajectoria.

5. Uma partıcula executa um movimento circular de raio R = 1 m, com uma aceleracao angular α,dada pelo grafico. Sabendo que no instante inicial a partıcula possui uma velocidade angular ω0 = 2rad/s, determine:

FEUP — DEC Mecanica II Ficha 1 (V2.99) 2

(a) a velocidade angular no instante t = 6 s;

(b) o comprimento do arco percorrido no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 6 s.

−1

−2

1

α (rad/s2)

t (s)

1 2 3 4 5 6

6. Uma partıcula descreve uma trajectoria circular de 20 m de raio. A lei horaria do movimento es = 4 t − t2 (m,s). Determine as grandezas da velocidade e da aceleracao no instante t = 1 s. Aofim de quanto tempo, se inverte o sentido do movimento? Qual o comprimento do arco percorridopela partıcula ate esse instante?

7. Uma partıcula descreve uma trajectoria circular de 18 m de raio e parte do repouso, com uma velo-cidade que cresce proporcionalmente a raiz quadrada do tempo. Ao fim de 3 s, o vector aceleracaofaz um angulo de 60o com o raio, no ponto onde se encontra a partıcula. Ao fim de quanto tempoestara esse angulo reduzido a 45o? Quais serao, nesse instante, as grandezas da velocidade e daaceleracao?

8. A aceleracao angular de uma partıcula que descreve uma trajectoria circular de 1 m de raio, e dadapor α = 2 t (rad/s2,s). Sabendo que a velocidade angular inicial e de 90 r.p.m., determine:

(a) o instante em que a velocidade linear e de 12 m/s;

(b) o arco descrito ate esse momento.

9. Uma partıcula descreve uma trajectoria circular de raio R = 1/3 m, com uma aceleracao angularα = −ω3 (rad/s2,rad/s). Sabendo que a velocidade angular inicial e ω0 = 1 rad/s, determine:

(a) a velocidade angular quando θ = 2 rad;

(b) a grandeza da aceleracao total, quando a partıcula ocupa aquela posicao.

10. Duas partıculas partem do ponto A de uma circunferencia de raio R, em sentidos opostos e com amesma velocidade inicial v0. O movimento de uma das partıculas e uniformemente acelerado e o daoutra e uniformemente retardado, sendo os valores absolutos das respectivas aceleracoes angularesiguais. As partıculas vao encontrar–se no ponto M da circunferencia, precisamente no instanteem que a segunda inverte o sentido do seu movimento. Determine as aceleracoes angulares daspartıculas.

AR

M~v0

~v0

11. o vector de posicao de uma partıcula que descreve uma trajectoria helicoidal e dado pela expressao~r(t) = (2 cos t, 2 sin t,

√5 t) (m,s). Determine:

(a) a velocidade, a aceleracao e as componentes intrınsecas da aceleracao no instante t = π2 s;

FEUP — DEC Mecanica II Ficha 1 (V2.99) 3

(b) o raio de curvatura da trajectoria no ponto ocupado pela partıcula nesse instante e o compri-mento do arco descrito entre os instantes t = 0 s e t = 3 s.

12. O vector de posicao de uma partıcula e dado por ~r(t) =(2 cos t2, 2 sin t2, 3

2 t2), (S.I.). Determine:

(a) o vector velocidade;(b) o vector aceleracao;(c) a componente tangencial da aceleracao;(d) a componente normal da aceleracao;(e) o raio de curvatura para t =

√π/2 s;

(f) o espaco percorrido entre os instantes t = 0 e t = π s.

13. O vector de posicao de uma partıcula e dado pela expressao ~r(t) = t2 ı+√

32 t

2+ t3k (m,s). De-termine:

(a) os vectores velocidade e aceleracao tangencial no instante t = 1 s;(b) a lei horaria do movimento e a equacao cartesiana da trajectoria da partıcula, sabendo que,

no instante t = 0 s, o arco percorrido tem comprimento nulo.

14. Dado o vector velocidade de uma partıcula, ~v(t) =(2, 2 t, t2

), determine as equacoes cartesianas da

trajectoria e a lei horaria da partıcula, sabendo que no instante inicial esta se encontrava no pontode coordenadas (0, 2, 1).

15. Uma partıcula descreve um movimento sobre a trajectoria de equacoes x− 4y + z = 1 e x = z + 1,com a lei horaria s(t) = 3 t2. No instante inicial, a partıcula encontra–se no ponto com ordenaday = 0. Determine o vector velocidade e a velocidade no instante t = 1/2, (S.I.).

16. Uma partıcula descreve uma trajectoria definida por{x = 2 cos zy = 2 sin z , segundo a lei horaria s =

√5 t. Determine o vector de posicao, sabendo que para t = 0, z = 0.

17. As equacoes parametricas do movimento de uma partıcula sao x = 2 t, y = t3/3 e z = t2 (m,s).Escreva a equacao cartesiana do plano osculador no instante t = 1 s.

18. As equacoes parametricas da curva hodografa das velocidades do movimento de uma partıcula saox = t2/2 + t, y = 2 e z = 2 t, (S.I.). Determine:

(a) o vector aceleracao;(b) o raio de curvatura no instante t = 2 s.

19. A aceleracao de uma partıcula que se move ao longo do eixo OX e dada pela relacao a = 25− 3x2,(S.I.). A partıcula parte do repouso na origem. Determine:

(a) a velocidade quando x = 2 m;(b) o espaco percorrido ate a velocidade se anular.

20. A velocidade de uma partıcula que descreve uma trajectoria curvilınea e dada por v = 10s − 5s2

(S.I.). Determine os valores de s, para os quais e nula a componente tangencial da aceleracao.

21. Uma partıcula parte da origem e percorre o eixoOX com uma velocidade inversamente proporcionala (x2 + 4) (m/s,m). Ao fim de 9,6 s a partıcula percorre 6 m. Determine:

(a) a velocidade inicial da partıcula;(b) a aceleracao quando a partıcula se encontra na posicao x = 1 m.

22. Uma partıcula desloca-se ao longo do eixo OX , com uma aceleracao definida por a = −20v (S.I.),sendo v a velocidade. Sabendo que no instante inicial a partıcula se encontra na origem comvelocidade v = 200 m/s, determine:

(a) a distancia que a partıcula percorre ate a velocidade se anular;(b) o tempo que demora a percorrer a distancia referida na alınea anterior.

FEUP — DEC Mecanica II Ficha 1 (V2.99) 4

Solucoes

1. 55,37 m/s; 53,13o.

2. (a) 500 m; (321, 8; 270, 0) m. (b) (23,99;40,98) m/s.

3. (a) 8,73 m/s. (b) 1,78 s.

4. x2 +(y − 6

π

)2 =(

6π

)2.

5. (a) -1 rad/s. (b) 9,53 m.

6. 2 m/s; 2,01 m/s2; 2 s; 4 m.

7. 4,33 s; 2,08 m/s; 0,40 m/s2.

8. (a) 1,60 s. (b) 16,5 m.

9. (a) 1/3 rad/s. (b) 0,04 m/s2.

10. α = v20

πR2 .

11. (a)(−2 sin t, 2 cos t,

√5)

(m/s, s); (−2 cos t,−2 sin t, 0) (m/s2, s); ~0; (−2 cos t,−2 sin t, 0) (m/s2, s).(b) 4,5 m; 9 m.

12. (a)(−4 t sin t2, 4 t cos t2, 3 t

)(m/s, s). (b)

(−4 sin t2 − 8 t2 cos t2, 4 cos t2 − 8 t2 sin t2, 3

)(m/s2, s).

(c)(−4 sin t2, 4 cos t2, 3

)(m/s2, s). (d)

(−8 t2 cos t2,−8 t2 sin t2, 0

)(m/s2, s). (e) 3,125 m. (f) 24,67

m.

13. (a)(2 t,√

3 t, 2 t)

(m/s, s);(2,√

3, 2)

m/s2. (b) s =√

112 t2 (m,s).

14.{

4 y = x2 + 824 z = x3 + 24 ; s = 2 t+ t3

3 (m,s).

15. (4 t, 2 t, 4 t) (m/s, s); 3 m/s.

16. (2 cos t, 2 sin t, t) (m, s).

17. t2

2 + y − z = 13 .

18. (a) (3, 0, 2) m/s2. (b) 26,3 m.

19. (a) 9,17 m/s. (b) 50 m.

20. 1 s e 2 s.

21. (a) 2,5 m/s. (b) 1,6 m/s2.

22. (a) 10 m. (b) t→ +∞.