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    Tpicos Abordados Nesta Aula

    Apresentao do Curso.

    Apresentao da Bibliografia

    Definio da Mecnica Tcnica.

    Sistema Internacional de Unidades.

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    Mecnica Tcnica

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    Apresentao do Curso Aula 1 - Definio de Mecnica, Conceitos Fundamentais e Sistema Internacional de Unidades Aula 2 - Escalares e Vetores - Lei dos Senos, Lei dos Cossenos e Regra do Paralelogramo Aula 3 - Sistema de Foras Coplanares Aula 4 - Adio e Subtrao de Vetores Cartesianos Aula 5 - Vetor Posio e Produto Escalar Aula 6 - Equilbrio do Ponto Material em Duas Dimenses Aula 7 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses Aula 8 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses Aula 9 - Avaliao 1 Aula 10 - Momento de uma Fora, Formulao Escalar

    Aula 11 - Momento de uma Fora, Formulao Vetorial, Princpio dos Momentos Aula 12 - Momento em Relao a um Eixo Especfico e Momento de um Binrio Aula 13 - Sistemas Equivalentes de Cargas Concentradas Aula 14 - Sistemas Equivalentes de Cargas Distribudas Aula 15 - Clculo de Reaes de Apoio em Estruturas Aula 16 - Equilbrio de um Corpo Rgido em Duas e Trs Dimenses

    Aula 17 - Estudo de Trelias Planas Aula 18 - Estudo de Mquinas e Estruturas Aula 19 - Avaliao 2 Aula 20 - Exame Final

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    Bibliografia Recomendada

    HIBBELER, R. C. Mecnica Esttica. 10 ed. So

    Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005, 540p. BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Mecnica

    Vetorial para Engenheiros: Esttica.5.ed. So

    Paulo: Makron Books, 1991. 980p. BEDFORD & FOWLER. Engineering Mechanics

    Statics 3 ed. New Jersey: Prentice Hall, 2002,583p.

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    Definio de Mecnica

    A mecnica pode ser definida como o ramo

    das cincias fsicas dedicado ao estudo doestado de repouso ou movimento decorpos sujeitos ao de foras.

    Normalmente o estudo da mecnica dividido em trs partes: a mecnica doscorpos rgidos, a mecnica dos corpos

    deformveis e a mecnica dos fluidos.

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    Mecnica dos Corpos Rgidos A mecnica dos corpos rgidos pode ser dividida em

    esttica (equilbrio de um corpo rgido) e dinmica(movimento de um corpo rgido). A esttica tem por finalidade o estudo do equilbrio de um

    corpo em repouso ou em movimento com velocidade

    constante. A dinmica, por sua vez, pode ser caracterizada como a

    parte da mecnica dos corpos rgidos dedicada ao estudodo movimento de corpos sob a ao de foras, ou seja,

    movimentos acelerados dos corpos.

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    Sistema Internacional de Unidades

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    A 11 CGPM, em 1960, atravs de sua Resoluo n12, adotoufinalmente o nome SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, comabreviao internacional SI para o sistema prtico de unidades, e

    instituiu regras para os prefixos, para as unidades derivadas e asunidades suplementares, alm de outras indicaes, estabelecendouma regulamentao para as unidades de medidas. A definio deQuantidade de Matria (mol) foi introduzida posteriormente em 1969e adotada pela 14 CGPM, em 1971.

    CGPM - Confrence Gnrale de Pois et Mesures

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    Unidades de Base do SI

    So sete unidades bem definidas que, por conveno, so tidascomo dimensionalmente independentes. Essas unidades soapresentadas na Tabela a seguir.

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    cdcandelaintensidade luminosa

    molmolquantidade de matria

    Kkelvintemperatura termodinmica

    Aamprecorrente eltrica

    ssegundotempo

    kgquilogramamassa

    mmetrocomprimento

    SmboloUnidadeGrandeza

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    Definio das Unidades de Base

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    Metro (m): o caminho percorrido pela luz no vcuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792458 de um segundo.

    Quilograma (kg): igual massa do prottipo internacional, feito com uma liga platina - irdio,dentro dos padres de preciso e confiabilidade que a cincia permite.

    Segundo (s): a durao de 9 192 631 770 perodos da radiao correspondente transio entreos dois nveis hiperfinos do tomo de csio-133, no estado fundamental. Ampre (A): uma corrente constante que, se mantida em dois condutores retilneos e paralelos,

    de comprimento infinito e seo transversal desprezvel, colocados a um metro um do outro novcuo, produziria entre estes dois condutores uma fora igual a 2 x10-7 newton, por metro decomprimento.

    Kelvin (K): a frao 1/273,16 da temperatura termodinmica do ponto triplo da gua.

    Mol (mol): a quantidade de matria de um sistema que contm tantas entidades elementaresquantos forem os tomos contidos em 0,012 quilograma de carbono 12. Comentrios: a) O nomedesta quantidade vem do francs "quantit de matire",derivado do latim "quantitas materiae", queantigamente era usado para designar a quantidade agora denominada de "massa". Em ingls usa-se o termo "amount of substance". Em portugus, consta no Dicionrio como "quantidade desubstncia", mas pode-se admitir o uso do termo "quantidade de matria", at uma definio maisprecisa sobre o assunto. b) Quando se utiliza o mol, as entidades elementares devem serespecificadas, podendo ser tomos, molculas, ons, eltrons ou outras partculas ou agrupamentos

    de tais partculas. Candela (cd): a intensidade luminosa, em uma determinada direo, de uma fonte que emite

    radiao monocromtica de freqencia 540x1012 hertz e que tem uma intensidade radiante naqueladireo de 1/683 watt por esteradiano.

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    Unidades Suplementares do SI

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    So apenas duas as unidades suplementares: oradiano, unidade de ngulo plano e o

    esteradiano, unidade de ngulo slido.

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    sresteradianongulo slido

    radradianongulo plano

    SmboloUnidadeGrandeza

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    Unidades Derivadas do SI So formadas pela combinao de unidades de base, unidades

    suplementares ou outras unidades derivadas, de acordo com as relaesalgbricas que relacionam as quantidades correspondentes. Os smbolospara as unidades derivadas so obtidos por meio dos sinais matemticos de

    multiplicao e diviso e o uso de expoentes. Algumas unidades SI derivadastm nomes e smbolos especiais.

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    Mecnica Tcnica

    mol/m3mol por metro cbicoconcentrao

    m3/kgmetro cbico por quilogramavolume especfico

    kg/m3quilograma por metro cbicodensidade

    m-1metro recproconmero de onda

    m/s2metro por segundo quadradoacelerao

    m/smetro por segundovelocidade

    m3metro cbicovolume

    m2metro quadradorea

    SmboloUnidadeGrandeza

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    Unidades Derivadas do SI

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    KCgrau celciustemperatura celcius

    Wb/AHhenryindutncia

    Wb/m2Ttesladensidade de fluxo magntico

    V sWbweberfluxo magntico

    A/VSsiemenscondutncia eltrica

    V/Aohmresistncia eltrica

    C/VFfaradcapacitncia eltrica

    W/AVvoltpotencial eltrico

    A sCcoulombquantidade de eletricidade

    J/sWwattpotncia, fluxo radiante

    N mJjouleenergia, trabalho

    N/m2Papascalpresso, tensokg m/s

    2

    Nnewtonfora

    s-1Hzhertzfreqncia

    Expresso(*)SmboloUnidadeGrandeza

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    Unidades Derivadas do SI

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    W/(m K)watt por metro kelvincondutividade trmica

    N/mnewton por metrotenso superficial

    J/(kg K)joule por quilograma kelvinentropia especfica

    J/kgjoule por quilogramaenergia especfica

    W/srwatt por esteradianopotncia radiante

    W/(m2 sr)watt por metro quadrado esteradianoradincia

    W/m2watt por metro quadradodensidade de potncia

    J/(mol K)joule por mol kelvinentropia molarJ/moljoule por molenergia molar

    A/mampre por metrofora do campo magntico

    J/Kjoule por kelvinentropia

    J/m3joule por metro cbicodensidade de energia

    V/mvolt por metrofora do campo eltrico

    C/m2coulomb por metro quadradodensidade de carga eltrica

    A/m2ampre por metro quadradodensidade de corrente

    rad/sradiano por segundovelocidade angular

    rad/s2radiano por segundo quadradoacelerao angular

    Expresso(*)UnidadeGrandeza

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    Mltiplos e Submltiplos

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    zzepto0,000 000 000 000 000 000 001 = 10-21

    aatto0,000 000 000 000 000 001 = 10-18

    ffemto0,000 000 000 000 001 = 10-15ppico0,000 000 000 001 = 10-12

    nnano0,000 000 001= 10-9

    micro0,000 001 = 10-6

    mmili0,001 = 10-3

    ccenti0,01 = 10-2

    ddeci0,1 = 10-1

    dadeca10 = 101

    hhecto100 = 102

    kquilo1 000 = 103

    Mmega1 000000 = 106

    Ggiga1 000 000 000 = 109Ttera1 000 000 000 000 = 1012

    Ppeta1 000 000 000 000 000 = 1015

    Eexa1 000 000 000 000 000 000 = 1018

    Zzetta1 000 000 000 000 000 000 000 = 1021

    SmboloPrefixoFator

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    Escrita de Unidades

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    Os princpios gerais relativos escrita de smbolos das unidades foram adotadas pela9 CGPM, em 1948, alguns comentrios so apresentados a seguir.

    a) Os smbolos usados para discriminar quantidades fsicas devem ser apresentadosem itlico, mas os smbolos das unidades so digitados em romano [ex:F= 23 N].

    b) As unidades derivadas de nomes prprios devem ser escritas com a primeira letraem maisculo, enquanto que as outras devem ser apresentadas em minsculo [ex:newton, N; pascal, Pa, metro, m], exceto o litro, que pode ser escrito em minsculo oumaisculo ( l ou L ).

    c) O smbolo da unidade geralmente descrito pela primeira letra do nome da unidade[ex: grama, g e no gm; segundo, s e no seg ou sec], com algumas excees [ex:mol, cd e Hz]. Tambm, o smbolo da unidade no deve ser seguido por um ponto e o

    seu plural no seguido de "s" [ex: 3 kg e no 3 kg. ou 3 kgs]. d) A palavra "grau" e seu smbolo "" devem ser omitidos da unidade de temperatura

    termodinmica, T [isto , usa-se apenas kelvin ou K e no Kelvin ou K], mas soretidos quando se quer designar temperatura Celcius, t[ex: graus Celcius ou C].

    e) Os smbolos dos prefixos que representam grandezas maiores ou iguais a 106 soescritos em maisculo, enquanto que todas os outros so escritos em minsculo [ex:

    mega, M; hecto, h]. f) Um prefixo nunca deve ser usado sozinho [ex: 106/m3, mas no M/m3]. g) No deve ser colocado espao entre o prefixo e a unidade e prefixos compostos

    devem ser evitados [ex: 1 pF, e no 1 p F ou 1 F; 1 nm, e no 1mm].

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    Escrita de Unidades

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    h) O agrupamento formado pelo smbolo do prefixo ligado ao smbolo da unidadeconstitui-se em um novo e inseparvel smbolo, de modo que pode ser elevado apotncias positivas ou negativas e ser combinado com outros smbolos de unidadespara formar smbolos de unidades compostas. Desta forma, um expoente se aplica unidade como um todo, incluindo o seu prefixo [ex: 1 cm3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3; 1

    cm-1 = (10-2 m) -1 = 102 m-1; 1s-1= (10-6 s) -1 = 106 s-1; 1 V/cm = (1 V)/(10-2 m) =102 V/m]. i) Quando um mltiplo ou submltiplo de uma unidade escrito por completo, o prefixo

    deve ser tambm escrito por completo, comeando com letra minscula [ex:megahertz, e no Megahertz ou Mhertz].

    j) O quilograma a nica unidade de base cujo nome, por razes histricas, contm

    um prefixo. Seus mltiplos e submltiplos so formados adicionando-se os prefixos palavra "grama" [ex: 10-6 kg = 1 mg = 1 miligrama e no 1 microquilograma ou 1kg]. k) A multiplicao de unidades deve ser indicada inserindo-se um ponto"elevado", ou

    deixando-se um espao entre as unidades [ex: ou N m]. l) A diviso pode ser indicada tanto pelo uso de uma barra inclinada, de uma barra de

    frao horizontal ou por um expoente negativo [ex: m/s, ou , ou ], mas o uso repetido

    da barra inclinada no permitido [ex: m/s2, mas no m/s/s; m kg/ (s3 A), mas no mkg/s3/A]. Para se evitar m interpretao, quando mais de uma unidade aparece nodenominador, deve-se utilizar parntesis ou expoentes negativos [ex: W/(m2 K4) ou Wm-2 K-4].

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    Escrita de Unidades

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    m) Os nomes das unidades no devem ser misturados com os smbolos dasoperaes matemticas [ex: pode-se escrever "metro por segundo", mas nometro/segundo ou metro segundo-1].

    n) Quando o produto de duas unidades escrito por extenso, recomenda-se o uso deespao entre elas mas nunca o uso do ponto. tolervel o emprego de hfen nestescasos [ex: deve-se escrever newton metro ou newton-metro, mas no newtonmetro].

    Nmeros com mais de quatro dgitos devem ser separados por um espao a cadagrupo de tres dgitos. Nunca utilizar pontos ou vrgulas nas separaes, para evitarconfuses com as marcaes de decimais [ex: 299 792 458, mas no 299.792.458 ou299,792,458]. Esta conveno tambm aplicada direita do marcador de decimais[ex: 22,989 8].

    o) O valor numrico e o smbolo da unidade devem ser separados por um espao,mesmo quando usados como um adjetivo [ex: 35 mm, mas no 35mm ou 35-mm]. p) Deve-se colocar um zero antes do marcador de fraes decimais [ex: 0,3 J ou 0.3 J

    ao invs de ,3 J ou .3 J]. q) Sempre que possvel, o prefixo de uma unidade deve ser escolhido dentro de um

    intervalo adequado, geralmente entre 0,1 e 1000 [ ex: 250 kN; 0,6 mA].

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    Prxima Aula

    Escalares e Vetores.

    Lei dos Senos.

    Lei dos Cossenos.

    Regra do Paralelogramo

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    Mecnica Tcnica

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    Mecnica TcnicaAula 2 Lei dos Senos e Lei

    dos Cossenos

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    Tpicos Abordados Nesta Aula

    Clculo de Fora Resultante.

    Operaes Vetoriais.

    Lei dos Senos.

    Lei dos Cossenos.

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    Mecnica Tcnica

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    Grandezas Escalares

    Uma grandeza escalar caracterizada por

    um nmero real. Como exemplo deescalares podem se citar: o tempo, amassa, o volume, o comprimento, etc.

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    Mecnica Tcnica

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    Grandezas Vetoriais Uma grandeza vetorial caracterizada pela dependncia de trs

    elementos fundamentais, ou seja, representa um ente matemtico

    que possui intensidade, direo e sentido. Em problemas de esttica muito comum a utilizao de grandezas vetoriais como posio,fora e momento.

    A posio de um ponto no espao em relao a outro pontocaracteriza uma grandeza vetorial. Para descrever a posio de uma

    cidade A em relao outra cidade B, insuficiente dizer que ambasesto separadas por uma distncia de 100 km, para se caracterizarum vetor, deve-se dizer por exemplo, que a cidade B se encontra 100km a oeste da cidade A.

    A fora tambm caracterizada como uma grandeza vetorial, pois

    quando se empurra uma pea de mvel atravs do cho aplica-se namesma uma fora com intensidade suficiente para mover o mvel ecom a direo desejada para o movimento.

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    Mecnica Tcnica

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    Representao de uma GrandezaVetorial Uma grandeza vetorial pode ser

    representada graficamente por uma

    seta, que utilizada para definir seumdulo, sua direo e seu sentido.Graficamente o mdulo de um vetor representado pelo comprimentoda seta, a direo definida atravsdo ngulo formado entre um eixo de

    referncia e a linha de ao da setae o sentido indicado pelaextremidade da seta.

    A figura mostra a representaogrfica de dois vetores foraatuando ao longo dos cabos de

    fixao de um poste, o ponto O chamado de origem do vetor e oponto P representa sua extremidadeou ponta.

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    Soluo Escalar Praticamente todos os problemas envolvendo os

    conceitos de soma e subtrao vetorial, bemcomo a determinao das componentes de umvetor podem ser resolvidos a partir das leis dos

    senos e dos cossenos, que representampropriedades fundamentais da trigonometria eso descritas a seguir a partir da figura a seguir e

    das respectivas equaes.

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    Lei dos Senos e dos Cossenos Dado um tringulo ABC e seus ngulos internos , e , a lei dos

    senos definida da seguinte forma: Em todo tringulo, as medidasdos seus lados so proporcionais aos senos dos lados opostos.

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    Mecnica Tcnica

    sen

    C

    sen

    B

    sen

    A==

    cosABBAC 222 +=

    A partir do mesmo tringulo ABC e seus ngulos internos , e , alei dos cossenos definida do seguinte modo: Num tringulo, oquadrado da medida de um lado igual soma dos quadrados das

    medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidasdesses dois lados pelo cosseno do ngulo oposto ao primeiro lado.

    B A

    C

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    Soma Vetorial Regra do Paralelogramo

    O Clculo da fora resultante pode ser

    obtido atravs da soma vetorial com aaplicao da regra do paralelogramo.

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    Exerccio 1 1) O parafuso mostrado na figura est sujeito a duas foras F1 e F2.

    Determine o mdulo e a direo da fora resultante.

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    Soluo do Exerccio 1

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    Mecnica Tcnica

    110110

    70

    70

    2Fr

    1Fr

    RFr

    y

    x

    70

    2Fr

    1Fr

    RFr

    Construir um esquema aplicando a regra doparalelogramo de forma a identificar quais so as incgnitasdo problema.

    A partir do paralelogramo obtido na figura, pode-se construir o tringulo de vetores.

    cosFFFFFR += 212

    2

    2

    1 2

    += 703002002300200 22 cosFR

    sen

    F

    sen

    F R=1

    RF

    senFsen

    = 1

    =

    RF

    senFasen

    1

    =

    25298

    70200

    ,

    senasen

    = 0639,

    = = 300639, = 069,

    Aplicando-se a lei dos cossenos, determina-seo mdulo da fora resultante F

    R.

    O ngulo

    determinado a partir da lei dossenos, utilizando-se o valor calculado para FR

    .

    Com relao ao eixo xpositivo, o ngulo dado por:

    FR= 298,25 N

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    Exerccio 2

    2) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontracom problemas em seus motores. Sabendo-se que a fora resultante

    igual a 30kN, encontre suas componentes nas direes AC e BC.

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    A l 2

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    Soluo do Exerccio 2

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    Mecnica Tcnica

    =

    =

    3040110 sen

    F

    sen

    F

    sen

    F CBCAR

    =

    =

    110

    4030

    110

    40

    sen

    sen

    sen

    senFF RCA

    52,20=CAF

    =

    =

    110

    3030

    110

    30

    sen

    sen

    sen

    senFF RCB

    96,15=CBF

    FCAFCB

    FR

    = 30 kN

    3040

    110

    A partir da regra do paralelogramo, deve-seconstruir um tringulo de vetores envolvendo asforas atuantes nos cabos CA e CB e a foraresultante, de forma a identificar as incgnitas doproblema.

    A partir da aplicao da lei dos senos,pode-se determinar os mdulos das forasatuantes em cada um dos cabos CA ou CB daseguinte forma.

    Resolvendo para FCA

    tem-se que:

    Resolvendo para FCB

    tem-se que:

    kN

    kN

    A l 2 P f MS L i Ed d Mi d J R d i

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    Exerccios Propostos

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    1) Determine a intensidade da fora resultante e indique sua direo,

    medida no sentido anti-horrio, em relao ao eixoxpositivo.

    Mecnica Tcnica

    Aula 2 P f MS L i Ed d Mi d J R d i

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    Exerccios Propostos

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    2) Determine a intensidade da fora resultante e indique sua direo,

    medida no sentido anti-horrio, em relao ao eixo u positivo.

    Mecnica Tcnica

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    Exerccios Propostos

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    3) A chapa est submetida a duas foras FA e FB como mostra afigura. Se = 60, determine a intensidade da fora resultante e suaintensidade em relao ao eixo horizontal.

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    Exerccios Propostos

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    4) Duas foras so aplicadas ao olhal a fim de remover a estacamostrada. Determine o ngulo e o valor da fora Fde modo que afora resultante seja orientada verticalmente para cima no eixo y e

    tenha uma intensidade de 750N.

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    Exerccios Propostos

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    5) A caminhonete mostrada rebocada por duas cordas. Determineos valores de FA e FB de modo a produzir uma fora resultante de950N oreintada no eixo x positivo, considere = 50.

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    Exerccios Propostos 6) O parafuso tipo gancho mostrado na figura est sujeito a duasforas F1 e F2. Determine o mdulo e a direo da fora resultante.

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    Exerccios Propostos 7) A tora de madeira rebocada pelos dois tratores mostrados,

    sabendo-se que a fora resultante igual a 10kN e est orientada aolongo do eixoxpositivo, determine a intensidade das foras FA e FB.

    Considere = 15.

    Aula 2 g

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    Prxima Aula Sistemas de Foras Coplanares.

    Determinao de Fora Resultante. Componentes de um Vetor Cartesiano.

    g

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    Mecnica TcnicaAula 3 Sistemas de Foras

    Coplanares, Vetores Cartesianos

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    Tpicos Abordados Nesta Aula Sistemas de Foras Coplanares.

    Determinao de Fora Resultante. Componentes de um Vetor Cartesiano.

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    Componentes de um Vetor Quando um vetor R expresso segundo a soma de dois vetores A e

    B, cada um dos vetores A e B so chamados de componentes de R,

    portanto, um vetor resultante pode ser decomposto em duascomponentes a partir da aplicao da regra do paralelogramo. Umexemplo de decomposio vetorial pode ser observado na figura aseguir, onde, conhecendo-se as linhas de ao de cada componente,o vetor R pode ser decomposto formando os vetores A e B.

    Mecnica Tcnica

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    Fora Resultante

    Mecnica Tcnica

    1Fr

    2Fr

    RF

    r

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    Mtodo das Componentes Retangulares Assim, pode-se notar que quanto maior o nmero de foras

    envolvidas no sistema, maior o tempo dispensado para encontrar a

    fora resultante, pois se necessita da aplicao da regra doparalelogramo sucessivas vezes gerando um cansativo trabalho degeometria e trigonometria para se determinar o valor numrico daresultante do sistema e sua respectiva direo.

    Porm, este exaustivo processo suprido de forma rpida atravs daaplicao de uma metodologia que utiliza uma soma algbrica dascomponentes de cada um dos vetores fora que formam o sistema.

    Este mtodo denominado mtodo das componentes retangularese consiste em trabalhar apenas com as componentes dos vetores,formando desse modo um sistema de foras colineares projetadosnos eixos de coordenadas do sistema de referncia.

    Mecnica Tcnica

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    Decomposio de Foras Conveno de Sinais.

    x Positivo para a direita, negativo para a esquerda.

    y Positivo para cima, negativo para baixo.

    No plano, utilizam-se os versores e .

    Mecnica Tcnica

    ir

    jr

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    Reduo a uma nica Fora Resultante Decompor as foras nos eixosxe y.

    Utilizar trigonometria, decomposio em seno e cosseno.

    Mecnica Tcnica

    jFiFF yxrrr

    111 += jFiFF yxrrr

    222 += jFiFF yxrrr

    333 =

    ++++== nR FFFFFFrrrrrr

    ......321

    Fora Resultante:

    Soma Vetorial

    Vetores Cartesianos:

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    Exerccio 1

    1) O elo da figura est submetido as foras F1 e F2, determine aintensidade e a orientao da fora resultante.

    Mecnica Tcnica

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    Soluo do Exerccio 1

    Mecnica Tcnica

    22 8,5828,236( +=RF

    629=RF

    =

    x

    y

    F

    Farctg

    =

    8,236

    8,582

    arctg

    = 9,67

    Mdulo da Fora Resultante:

    Direo da Fora Resultante:

    N

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    Soluo do Exerccio 2

    Mecnica Tcnica

    )400(1 iFrr

    =

    )45cos45( 222 jFisenFF

    rrr

    +=

    )45cos25045250(2 jisenFrrr

    +=

    +

    = jFiFF

    rrr

    5

    3

    5

    4333

    +

    = jiF

    rrr

    5

    3200

    5

    42003

    )120160(3 jiFrrr

    +=

    Decomposio das Foras:

    Fora 1:

    Fora 2:

    Fora 3:

    N

    N

    N

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    Soluo do Exerccio 2

    Mecnica Tcnica

    )120160()45cos25045250()400( jijiseniFRrrrrrr

    ++++=

    jisenFRrrr

    )12045cos250()16045250400( +++=

    22 8,2962,383( +=RF 485=RF

    =

    x

    y

    F

    Farctg

    =

    2,383

    8,296arctg = 8,37

    Fora Resultante:

    Mdulo da Fora Resultante:

    Direo da Fora Resultante:

    N

    N)8,2962,383( jiFRrrr

    +=

    296,8N

    383,2N

    FR

    x

    y

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    Exerccios Propostos 1) Trs foras atuam sobre o suporte mostrado. Determine o ngulo

    e a intensidade de F1 de modo que a resultante das foras sejaorientada ao longo do eixoxpositivo e tenha intensidade de 1kN.

    Mecnica Tcnica

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    Exerccios Propostos 2) Determine o ngulo e a intensidade de F1 de modo

    que a resultante das foras seja orientada ao longo do

    eixo ypositivo e tenha intensidade de 800N.

    Mecnica Tcnica

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    Exerccios Propostos

    4) Determine o ngulo e a intensidade de FB de modoque a resultante das foras seja orientada ao longo do

    eixo ypositivo e tenha intensidade de 1500N.

    Mecnica Tcnica

    E i P

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    Exerccios Propostos

    5) Determine o ngulo e a intensidade de F1 de modoque a resultante das foras seja orientada ao longo do

    eixoxpositivo e tenha intensidade de 600N.

    Mecnica Tcnica

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    Prxima Aula Operaes com Vetores Cartesianos.

    Vetor Unitrio. ngulos Diretores Coordenados

    Mecnica Tcnica

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    Componentes retangulares de um vetor Um vetorA pode ter um, dois ou trs

    componentes ao longo dos eixos de

    coordenadasx, ye z. A quantidade de componentes

    depende de como o vetor estorientado em relao a esses eixos.

    Sistema de coordenadas utilizando aregra da mo direita.

    Mecnica Tcnica

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    Vetor Unitrio A direo deA especificada usando-se

    um vetor unitrio, que possui esse nomepor ter intensidade igual a 1.

    Em trs dimenses, o conjunto devetores unitrios usado paradesignar as direes dos eixos x, y e zrespectivamente.

    Mecnica Tcnica

    kjir

    rr

    ,,

    AuA

    r

    r

    =F

    FuF

    r

    r

    =

    Para um vetor A: Para um vetor Fora:

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    ngulos Diretores Coordenados A orientao de um vetor no espao definida pelos ngulos

    diretores coordenados , , e medidos entre a origem do vetor e os

    eixos positivos x, y e z.

    Mecnica Tcnica

    Axr

    =cos

    Ayr

    =cos

    Azr

    =cos

    Determinao dos ngulos

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    Determinao dos ngulosDiretores Coordenados

    Mecnica Tcnica

    kA

    jA

    iAA

    u zyx

    A

    rrr

    r

    r

    ++==

    kjiuA

    rrr

    r

    coscoscos ++=

    1coscoscos 222 =++

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    Sistemas de Foras Concorrentes Se o conceito de soma vetorial for aplicado em um sistema de vrias

    foras concorrentes, a fora resultante ser a soma de todas as

    foras do sistema e pode ser escrita da seguinte forma:

    Mecnica Tcnica

    ++== kFjFiFFF zyxRr

    rrrr

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    Exerccio 1 1) Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da

    fora resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura.

    Mecnica Tcnica

    N N

    Soluo do Exerccio 1

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    Soluo do Exerccio 1

    Mecnica Tcnica

    +== 21 FFFFRrrrr

    )8060()10010050( kjkjiFR

    rr

    rrrr

    +++=

    )1804050( kjiFR

    rrrr

    +=

    191=RF N

    Mdulo da fora resultante:

    Vetor fora resultante:N

    N

    222 1804050 ++=RF

    Soluo do Exerccio 1

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    Soluo do Exerccio 1

    Mecnica Tcnica

    kF

    Fj

    F

    Fi

    F

    F

    F

    Fu

    R

    Rz

    R

    Ry

    R

    Rx

    R

    RFR

    rrr

    r

    r

    ++==

    kjiuRF

    rrr

    r

    191

    180

    191

    40

    191

    50+=

    kjiu RF

    rrr

    r

    942,0209,0261,0 +=

    R

    Rx

    F

    Fr

    =cos

    261,0cos =

    )261,0arccos(= = 8,74

    R

    Ry

    F

    Fr

    =cos

    209,0cos =

    )209,0arccos(= = 102

    R

    Rz

    F

    Fr

    =cos

    942,0cos =

    )942,0arccos(= = 6,19

    Vetor unitrio da fora resultante:

    ngulos diretores:

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    Exerccio 2 2) Duas foras atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique

    os ngulos diretores coordenados de F2, de modo que a fora

    resultante FR atue ao longo do eixo ypositivo e tenha intensidade de800N.

    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 2

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    Soluo do Exerccio 2

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    21 FFFR

    rrr

    +=

    kFjFiFFr

    rrr

    1111111 coscoscos ++=

    kjiFr

    rrr

    ++= 120cos30060cos30045cos3001

    kjiF

    rrrr

    1501502,2121 +=

    21501502,212800 Fkjijrrrrr

    ++=

    kjijFr

    rrrr

    1501502,2128002 +=

    kjiF

    rrrr

    1506502,2122 ++=

    222

    2 1506502,212 ++=F

    7002 =F

    Determinao de F2:

    Mdulo de F2:

    N

    N

    Fora Resultante:

    N

    Determinao de F1:

    jFR

    rr

    800=

    N

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    Exerccios Propostos

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    Exerccios Propostos

    1) Expresse a fora Fcomo um vetor cartesiano.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    Exerccios Propostos 2) A pea montada no torno est sujeita a uma fora de 60N.

    Determine o ngulo de direo e expresse a fora como um vetorcartesiano.

    Mecnica Tcnica

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    Exerccios Propostos

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    p 5) O suporte est sujeito as duas foras mostradas. Expresse cada

    fora como um vetor cartesiano e depois determine a fora resultante,

    a intensidade e os ngulos coordenados diretores dessa fora.

    Mecnica Tcnica

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    Mecnica Tcnica

    Aula 5 Vetor Posio,Aplicaes do Produto Escalar

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    Tpicos Abordados Nesta Aula Vetores Posio.

    Vetor Fora Orientado ao Longo de umaReta.

    Produto Escalar Aplicado na Mecnica.

    Mecnica Tcnica

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    Vetores Posio O vetor posio definido como um vetor fixo que localiza um ponto

    do espao em relao a outro.

    O vetor posio pode ser escrito na forma cartesiana.

    Mecnica Tcnica

    kzjyixrr

    rrr

    ++=

    Vetor Posio entre Dois PontosA e B

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    Fora da Origem O vetor posio calculado a partir da subtrao das coordenadasx,

    y, zdas extremidades dos vetores em anlise.

    O vetor posio indica o comprimento real ou a distncia entre doispontos no espao.

    Mecnica Tcnica

    ABAB rrr rrr

    =

    kzzjyyixxr ABABABAB

    rrr

    r

    )()()( ++=

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    Aplicaes do Vetor Posio

    Mecnica Tcnica

    Vetor Fora Orientado ao Longo de

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    uma Reta Pode-se definir uma fora como um vetor cartesiano pressupondo

    que ele tenha a mesma direo e sentido que o vetor posio

    orientado do pontoA para o ponto B na corda.

    Mecnica Tcnica

    ==r

    rFuFF

    r

    r

    r

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    Soluo do Exerccio 2

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    Mecnica Tcnica

    )2,0,0(A

    )0;707,0;707,1B

    kzzjyyixxr ABABABABr

    rrr

    )()()( ++=

    kjirABr

    rrr

    )20()0707,0()0707,1( ++=

    )2707,0707,1( kjirABr

    rrr

    +=

    222 2707,0707,1 ++=ABr

    723,2=ABr

    AB

    ABAB

    r

    ru

    r

    r

    =

    723,2

    2707,0707,1 kjiuAB

    rrr

    r +

    =

    kjiuAB

    rrr

    r

    734,0259,0626,0 +=

    ABuFF r

    r

    =

    )734,0259,0626,0(500 kjiFrrrr

    +=

    Vetor PosioAB:

    Mdulo do Vetor Posio:

    Vetor UnitrioAB:

    Vetor Fora:

    )3671303,31( kjiFrrrr

    +=

    m

    m

    m

    m

    N

    P d t E l

    Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    92/351

    Produto Escalar Em determinados problemas de esttica necessrio se

    determinar o ngulo formado entre duas retas ou ento os

    componentes paralelo e perpendicular de uma fora emrelao a um eixo. Principalmente em problemas tridimensionais, a soluo

    por trigonometria torna-se complicada, dessa forma uma

    maneira rpida de se obter o resultado desejado a partirda lgebra vetorial.

    O mtodo que pose ser utilizado o produto escalar entredois vetores.

    Mecnica Tcnica

    F l d P d t E l

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    Formulao do Produto Escalar O produto escalar de dois vetores fornece como resultado um escalar

    e no um vetor e definido conforme a equao mostrada a seguir.

    Mecnica Tcnica

    cos= BABArr

    1

    1

    1

    =

    =

    =

    kk

    jj

    ii

    rr

    rr

    rr

    0

    0

    0

    =

    =

    =

    ki

    jk

    ji

    rr

    rr

    rr

    ngulo entre dois Vetores:

    =BABA

    rr

    arccos

    Componentes Paralelo e Perpendicular

    d V t

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    94/351

    de um Vetor

    Mecnica Tcnica

    2

    //

    2 AAA =

    uAAA r

    r

    == cos//

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    Soluo do Exerccio 3

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    Mecnica Tcnica

    ABAB uFFF r

    r

    == cos//

    AB

    ABAB

    r

    ru

    r

    r

    =

    kjirABr

    rrr

    362 ++=

    222 362 ++=ABr

    7=ABr

    Fora Paralela a BarraAB:

    Clculo do Vetor UnitrioAB:

    Vetor PosioAB:

    Mdulo do PosioAB:

    m

    m

    Soluo do Exerccio 3

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    Clculo do Vetor Unitrio AB: Vetor Fora Paralela a Barra AB:

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    Mecnica Tcnica

    7

    362 kjiuAB

    rrr

    r ++=

    kjiuABrrr

    r

    429,0857,0286,0 ++=

    )429,0857,0286,0()300(// kjijF AB

    r

    rrr

    ++=

    )429,00()857,0300()286,00(// ++=ABF

    1,257// =ABF

    ABABAB uFF r

    v

    = ////

    )429,0857,0286,0(1,257// kjiF ABr

    rrv

    ++=

    )1102205,73(// kjiF AB

    rrrv

    ++=

    ABAB FFF //vrv

    =

    )1102205,73()300( kjijFAB

    rrrrv

    ++=

    )110805,73( kjiF AB

    rrrv

    +=

    2

    //

    2

    ABAB FFF +=22 1,257300 +=ABF

    155=ABF

    AB

    ABAB

    r

    ru

    r

    r

    =

    Clculo do Vetor UnitrioAB:

    ABAB uFFF r

    r

    == cos//

    Fora Paralela a BarraAB:

    Vetor Fora Paralela a BarraAB:

    Fora Perpendicular a BarraAB:

    Em Mdulo:

    N

    N

    N

    N

    Exerccios Propostos

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    1) A cobertura suportada por cabos como mostrado. Determine a

    intensidade da fora resultante que atua emA.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    2) Determine o comprimento do elementoAB da trelia.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    3) D i i d l AB d bi l d

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    3) Determine o comprimento do elemento AB da biela do motormostrado.

    Mecnica Tcnica

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    Exerccios Propostos

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    6) A porta mantida aberta por meio de duas correntes Se a tenso

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    6) A porta mantida aberta por meio de duas correntes. Se a tensoem AB e CD for FAB = 300N e FCD = 250N, expresse cada umadessas foras como um vetor cartesiano.

    Mecnica Tcnica

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    Exerccios Propostos

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    8) A torre mantida reta pelos trs cabos Se a fora em cada cabo

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    8) A torre mantida reta pelos trs cabos. Se a fora em cada caboque atua sobre a torre for aquela mostrada na figura, determine aintensidade e os ngulos diretores coordenados da fora resultante.

    Considerex = 20m e y= 15m.

    Mecnica Tcnica

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    Exerccios Propostos

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    10) Determine o ngulo mostrado na figura a seguir.

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    Mecnica Tcnica

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    Mecnica Tcnica

    Aula 6 Equilbrio do PontoMaterial em Duas Dimenses

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    Tpicos Abordados Nesta Aula

    Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Tpicos Abordados Nesta Aula Equilbrio do Ponto Material.

    Diagrama de Corpo Livre. Equaes de Equilbrio.

    Equilbrio de Sistemas Bidimensionais.

    Mecnica Tcnica

    Condio de Equilbrio do Ponto Material

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    q Um ponto material encontra-se em equilbrio esttico desde que

    esteja em repouso ou ento possua velocidade constante.

    Para que essa condio ocorra, a soma de todas as foras que atuamsobre o ponto material deve ser nula, portanto:

    Mecnica Tcnica

    =0F

    Diagrama de Corpo Livre

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    Diagrama de Corpo Livre O diagrama de corpo livre representa um esboo do ponto material

    que mostra todas as foras que atuam sobre ele.

    Mecnica Tcnica

    Exemplo de Diagrama de Corpo Livre

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    Esfera

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    p g p

    Mecnica Tcnica

    Esfera

    Corda CE NC

    Molas

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    Quando se utilizar uma mola elstica o comprimento da mola variar em

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    K= Constante elstica da mola. S = Deformao da mola.

    Mecnica Tcnica

    skF =

    Quando se utilizar uma mola elstica, o comprimento da mola variar emproporo direta com a fora que atua sobre ela.

    A equao da fora atuante na mola apresentada a seguir.

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    Equaes de EquilbrioS t t i l ti

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    q q Se um ponto material estiver

    submetido a um sistema devria foras coplanares ecolineares, cada fora poderser decomposta emcomponentes x e y e para acondio de equilbrio

    necessrio que as seguintescondies sejam atendidas.

    Mecnica Tcnica

    =0xF =0yF

    Exerccio 11) D t i t b AB AD ilb i d t

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    1) Determine a tenso nos cabosAB eAD para o equilbrio do motor

    de 250kg mostrado na figura.

    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 1 Diagrama de corpo livre:

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    gmP = 819250P

    Peso do motor:

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    Mecnica Tcnica

    =0xF

    =0yF

    030cos = DB TT

    030 = PsenTB

    0245230 =senTB30

    2452

    senTB =

    4904=BT

    030cos4904 = DT 30cos4904 =DT

    4247=DT

    gmP = 81,9250 =P

    2452=P

    Equaes de equilbrio:

    Resolvendo a equao II:

    Substituindo em I:

    N

    N

    N

    (I)

    (II)

    Exerccio 2 2) Determine o comprimento da corda AC da figura de modo que a

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    119/351

    2) Determine o comprimento da corda ACda figura, de modo que aluminria de 8kg seja suspensa na posio mostrada. O comprimentono deformado da mola l

    AB

    = 0,4m e a mola tem rigidez kAB

    =300N/m.

    Mecnica Tcnica

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    120/351

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    121/351

    Exerccios Propostos

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    1) Determine o ngulo e a intensidade de Fde modo que o ponto

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    material esteja em equilbrio esttico.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    2) Determine a fora necessria nos cabos AB eACpara suportar osemforo de 12kg

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    123/351

    semforo de 12kg.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    3) Determine a deformao que cada mola deve ter para equilibrar o

    bl d 2k A l t i d ilb i

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    124/351

    bloco de 2kg. As molas encontram-se em posio de equilbrio.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    4) A molaABCda figura tem rigidez de 500N/m e comprimento semdeformao de 6m. Determine a fora horizontal F aplicada a corda

    t l B d d d l t d l

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    que est presa ao anel B de modo que o deslocamento do anel emrelao a parede seja d=1,5m.

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    5) Determine as foras necessrias nos cabosAB eACda figura paramanter a esfera D de 20kg em equilbrio. Dados: F = 300N e d = 1m.

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    Mecnica Tcnica

    Prxima Aula Equilbrio do Ponto Material de Sistemas

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    Equilbrio do Ponto Material de SistemasTridimensionais.

    Diagrama de Corpo Livre de SistemasTridimensionais.

    Equaes de Equilbrio de SistemasTridimensionais.

    Mecnica Tcnica

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    Formulao Matemtica para o

    Equilbrio em Trs Dimenses

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    Mecnica Tcnica

    =

    ==

    0

    00

    z

    y

    x

    F

    FF

    =0Fr

    =++ 0kFjFiF zyxr

    rr

    Para o Equilbrio necessrio que:

    A soluo obtida por um sistemade trs equaes e trs incgnitas

    Exerccio 1

    1) Determine a intensidade e os ngulos diretores da fora F i ilb i d O

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    necessrios para o equilbrio do ponto O.

    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 1

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    OBOB

    ru

    r

    r

    =

    Vetor unitrio e Vetor posio:

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    132/351

    Mecnica Tcnica

    Determinao das foras:

    )400(1 jFrv

    =

    )800(2 kF

    rv

    =OBuFF

    rv

    = 33

    OBr

    kjirOB

    rrr

    r

    632 +=

    222 632 ++=OBr

    7=OBr

    7

    632 kjiuOB

    rrr

    r +

    =

    kjiuOB

    rrr

    r

    857,0429,0286,0 +=

    OBuFF r

    v

    = 33

    )857,0429,0286,0(7003 kjiFr

    rrv

    +=

    )600300200(3 kjiFr

    rrv

    +=

    kFjFiFF zyx

    rrrr

    ++= N

    m

    m

    N

    N

    N

    Soluo do Exerccio 1

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    = 0Fr

    )200100200( kjiFr

    rr

    +=

    Condio de equilbrio: Vetor fora F:

    N

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    Mecnica Tcnica

    0F

    0321 =+++ FFFFrrrr

    0600300200800400 =++++ kFjFiFkjikj zyxr

    rrr

    rrr

    r

    =0x

    F 0200 =+ x

    F 200=x

    F

    =0yF 0300400 =+ yF 100=yF

    =0zF 0600800 =++ zF 200=zF

    )200100200( kjiF +=

    222 200100200 ++=F

    300=F

    Sistema de equaes:

    Mdulo de F:

    N

    N

    N

    N

    N

    Soluo do Exerccio 1

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    r

    =

    300

    200arccos = 2,48

    ngulos diretores de F:

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    Mecnica Tcnica

    F

    FuF

    r

    r

    =

    300

    200100200 kjiuF

    rrr

    r +=

    kjiuF

    rrr

    r

    +

    =

    300

    200

    300

    100

    300

    200

    300

    ,

    = 300

    100arccos = 109

    =

    300

    200arccos = 2,48

    Exerccio 2

    2) A caixa de 100kg mostrada na figura suportada por trs cordas,uma delas acoplada na mola mostrada Determine a fora nas

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    135/351

    uma delas acoplada na mola mostrada. Determine a fora nas

    cordasACeAD e a deformao da mola.

    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 2

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    )( iFF BBrv

    = ADAD

    r

    ru

    r

    r

    =

    Determinao das foras: Vetor unitrio e Vetor posio:

    N

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    136/351

    Mecnica Tcnica

    )60cos135cos120cos( kFjFiFF CCCC

    rrrv

    ++=

    )5,0707,05,0( kFjFiFF CCCCr

    rrv

    +=

    ADDD uFF r

    v

    =

    ADr

    kjirAD

    rrr

    r

    221 ++=222 221 ++=ADr

    3=ADr

    3

    221 kjiuAD

    rrr

    r ++=

    kjiuAD

    rrr

    r

    667,0667,0333,0 ++=

    )667,0667,0333,0( kjiFF DD

    rrrv

    ++=

    )667,0667,0333,0( kFjFiFF DDDD

    rrrv

    ++=

    )981( kWrr

    =

    ADDD uFF

    rv

    =

    N

    N

    N

    m

    m

    Soluo do Exerccio 2

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    Condio de equilbrio:

    =0Fr

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    Mecnica Tcnica

    Sistema de equaes:

    0=+++ WFFF DCB

    rrrr

    0981667,0667,0333,05,0707,05,0 =+++ kkFjFiFkFjFiFiF DDDCCCBrr

    rrr

    rrr

    =0xF 0333,05,0 = DCB FFF

    =0yF 0667,0707,0 =+ DC FF

    =0zF 0981667,05,0 =+ DC FF

    (I)

    (II)

    (III)

    Soluo do Exerccio 2

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    862F

    Soluo das equaes:

    813059,1 =DFDe (II):

    Em (IV):

    N

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    138/351

    Mecnica Tcnica

    813=CF

    862=DF

    7,693=BF

    Deformao da mola:

    skFB =

    s= 15007,693

    1500

    7,693=s

    462,0=s

    667,0

    707,0 CD

    FF

    = CD FF = 059,1

    0981))059,1(667,0(5,0 =+ CC FF

    0981706,05,0 =+ CC FF

    0981207,1 = CF

    207,1

    981=CF

    0862333,08135,0 =BF

    04,2875,406 +=BF

    (IV):

    Substituindo (IV) em (III):

    Em (I):

    N

    N

    N

    m

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    Exerccios Propostos

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    3) Determine as intensidades de F1, F2 e F3 para a condio deequilbrio do ponto material.

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    Prxima Aula

    Soluo de Exerccios.

    Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Equilbrio em Trs Dimenses.

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    Aula 8 Equilbrio do PontoMaterial em Trs Dimenses

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    Tpicos Abordados Nesta Aula

    Soluo de Exerccios.

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Equilbrio em Trs Dimenses.

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    Soluo do Exerccio 1Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    kjirAC

    rrr

    r

    625,1 +=

    222

    kjirAD

    rrr

    r

    663 =

    222 6251 ++

    Cabo AC:Vetor posio:

    Mdulo do vetor posio:

    Cabo AD:Vetor posio:

    Mdulo do vetor posio:

    mm

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    Mecnica Tcnica

    222 625,1 ++=ACr

    5,6=ACr

    5,6

    625,1 kjiuAC

    rrr

    r +=

    kjiuAC

    rrr

    r

    923,0307,0230,0 +=

    ACACAC uFF r

    v

    =

    )923,0307,0230,0( kjiFF ACAC

    rrrv

    +=

    )923,0307,0230,0( kFjFiFF ACACACAC

    rrrv

    +=

    222 625,1 ++=ADr

    9=ADr

    9

    663 kjiuAD

    rrr

    r =

    kjiuAD

    rrr

    r

    666,0666,0333,0 =

    ADADAD uFF r

    v

    =

    )666,0666,0333,0( kjiFF ADADrrrv

    =

    )666,0666,0333,0( kFjFiFF ADADADAD

    rrrv

    =

    Vetor unitrio:

    Vetor Fora AC:

    Vetor unitrio:

    Vetor Fora AD:

    N

    N

    mm

    Soluo do Exerccio 1

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Condio de equilbrio:

    =0Fr

    0=+++ FFFFrrrr

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    Mecnica Tcnica

    Sistema de equaes:

    0=+++ FFFF ADACAB

    0666,0666,0333,0923,0307,0230,0600300200 =+++ kFkFjFiFkFjFiFkji ADADADACACACrrrrrrrrrr

    =0xF 0333,0230,0200

    = ADAC FF

    =0yF 0666,0307,0300 =+ ADAC FF

    =0zF 0666,0923,0600 =+ FFFADAC

    (I)

    (II)

    (III)

    Soluo do Exerccio 1

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Soluo das equaes: Em (IV):

    230,0200 ACFF

    =

    ACAD FF = 690,0600

    57,131690,0600 =ADFDe (I):

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    Mecnica Tcnica

    Substituindo (IV) em (II):Em (III):

    333,0ADF =

    ACAD FF = 690,0600

    0))690,0600(666,0(307,0300 =+ ACAC FF

    0459,0400307,0300 =++ ACAC FF

    0766,0100 =+ ACF

    766,0

    100=ACF 57,131=ACF

    21,509=ADF

    0666,0923,0600 =+ FFF ADAC

    021,509666,057,131923,0600 =+ F21,509666,057,131923,0600 ++=F

    13,33943,121600 ++=F

    57,1060=F

    (IV)

    N

    N

    N

    Exerccio 2

    2) Determine a deformao necessria em cada mola para manter acaixa de 20kg na posio de equilbrio. Cada mola tem comprimentode 2m sem deformao e rigidez k = 300N/m

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    de 2m sem deformao e rigidez k= 300N/m.

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    Soluo do Exerccio 2

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    jFF OAOArr

    =

    222 1246 ++=OCr 14=OCr

    1246 kjr

    rr

    ++

    Determinao das Foras :Cabo OA:

    Mdulo do vetor posio:

    Vetor unitrio:

    C b OB

    N

    m

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    iFF OBOBrr

    =

    kjirOC

    rrr

    r

    1246 ++=

    14

    1246 kjuOC

    r ++=

    kjiuOC

    rrr

    r

    857,0285,0428,0 ++=

    OCOCOC uFF r

    v

    =

    )857,0285,0428,0( kjiFF OCOC

    rrrv

    ++=

    )857,0285,0428,0( kFjFiFF OCOCOCOC

    rrrv

    ++=

    )81,920( kWrr

    =

    )2,196( kWrr

    =

    Peso:

    Vetor posio:

    Vetor Fora AB:

    Cabo OB:

    Cabo OC:

    N

    N

    N

    m

    Soluo do Exerccio 2

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Condio de equilbrio:

    =0Fr

    0rrrr

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    Mecnica Tcnica

    Sistema de equaes:

    0=+++ WFFFOCOBOA

    0)2,196857,0285,0428,0 =+++ kkFjFiFiFjF OCOCOCOBOArr

    rrrr

    =

    0xF 0428,0 =+

    OCOB

    FF

    =0yF 0285,0 =+ OCOA FF

    =0zF 02,196857,0 =

    OCF

    (I)

    (II)

    (III)

    Soluo do Exerccio 2

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Soluo das equaes:

    De (III):

    2,196F

    Deformao da Molas:

    OBOB skF =OAOA skF =

    Mola OA: Mola OB:

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    Mecnica Tcnica

    Em (II):

    Em (I):

    N

    mN

    857,0

    =OCF

    93,228=OCF

    093,228285,0 =+ OAF

    24,65=OAF

    093,228428,0 =+ OBF

    98,97=OBF

    N

    OBOB skF

    OBs=30098,97

    300

    98,97=OBs

    326,0=OBs

    OAOA

    OAs=30024,65

    300

    24,65=OAs

    217,0=OAsm

    Exerccios Propostos

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    1) Os cabos AB e AC suportam uma trao mxima de 500N e oposte, uma compresso mxima de 300N. Determine o peso daluminria sustentada na posio mostrada. A fora no poste atuaalongo de seu prprio eixo.

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    Exerccios Propostos

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    2) O cabo suporta a caamba e seu contedo que tem massa total de300kg. Determine as foras desenvolvidas nas escoras AD eAEe afora na parteAB do cabo para a condio de equilbrio. A fora emcada escora atua ao longo do seu prprio eixo.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

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    3) Determine a fora necessria em cada um dos trs cabos paralevantar a escavadeira que tem massa de 8 toneladas.

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    Exerccios Propostos

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    4) Determine a fora necessria que atua ao longo do eixo de cada

    uma das trs escoras para suportar o bloco de 500kg.

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    Exerccios Propostos

    Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    5) O vaso suportado pelos cabos AB,ACeAD. Determine a foraque atua em cada cabo para a condio de equilbrio. Considere d=

    2,5m.

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    Aula 9 Avaliao 1

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    Avaliao 1 Matria da Prova:

    Aula 1 - Definio de Mecnica, Conceitos Fundamentais e Sistema

    Aula 9 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Internacional de Unidades Aula 2 - Escalares e Vetores - Lei dos Senos, Lei dos Cossenos eRegra do Paralelogramo

    Aula 3 - Sistema de Foras Coplanares Aula 4 - Adio e Subtrao de Vetores Cartesianos Aula 5 - Vetor Posio e Produto Escalar Aula 6 - Equilbrio do Ponto Material em Duas Dimenses Aula 7 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses Aula 8 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses

    Mecnica Tcnica

    Prxima Aula

    Momento de uma Fora.

    Problemas em Duas Dimenses.

    Aula 9 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Formulao Escalar para Clculo deMomentos.

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    Momento de uma Fora - Definio

    Quanto maior a fora ou a distncia (braode momento), maior o efeito da rotao.

    Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    A tendncia de rotao tambm chamadade torque, momento de uma fora ou

    simplesmente momento.

    Mecnica Tcnica

    Exemplos de Momento

    Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Momento Eixo z Momento Eixox No h momento no tubo

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    Exerccio 1

    1) Determine o momento da fora em relao ao ponto O em cadauma das barras mostradas.

    Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Exerccio 2

    2) Determine os momentos da fora de 800N em relao aos pontosA, B, C eD.

    Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 2Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    dFMC =

    0800 =CM

    0CM

    dFMA =

    5,2800 =AM

    2000AM N

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    Mecnica Tcnica

    0=CM

    dFMD =

    5,0800 =DM

    400=DM

    dFMB =

    5,1800 =B

    M

    1200=BM Nm

    2000=AM Nm

    Nm

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    Exerccios PropostosAula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    2) Determine o momento da fora de 200N em relao ao pontoA.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios PropostosAula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    3) Determine o momento da fora de 400N em relao ao ponto O.

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    Exerccios PropostosAula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    5) Determine o momento das foras que atuam na estrutura mostradaem relao ao pontoA.

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    Aula 11 Momento de uma Fora,Formulao Vetorial

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    Princpio dos Momentos

    Conhecido como teorema de Varignon. O teorema estabelece que o momento de uma fora em relao a um

    ponto igual a soma dos momentos dos componentes das foras emrelao ao mesmo ponto.

    Aula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    )()( 21 FrFrMOr

    r

    r

    r

    r

    +=

    Regras do Produto Vetorial

    O produto vetorial de dois vetoresA e B produz o vetor Ce matematicamente a operao escrita do seguintemodo:

    Aula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    BAC

    rrr

    =

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    Soluo do Exerccio 1Aula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    FrM OAOr

    r

    r

    =

    )203060()473( kjikjiMOr

    rrr

    rrr

    +=

    ijikjkMOrrr

    rr

    rr

    1202401404206090 ++++=

    Clculo do Momento no Ponto A:

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    kjirOAr

    rrr

    473 +=

    )203060()473( kjikjiMO +

    kjiMOr

    rrr

    510180260 ++=

    Vetor Posio:

    Nm

    m

    Exerccio 2

    2) O poste mostrado est sujeito a uma fora de 60N na direo de Cpara B. Determine a intensidade do momento criado por essa foraem relao ao suporte no pontoA.

    Aula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 2Aula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    3

    212 kjiuCB

    rrr

    r +=

    kjiuCBr

    rrr

    666,0333,0666,0 +=

    CBuFF r

    v

    =r

    Vetor Unitrio:

    Vetor Fora:

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    Mecnica Tcnica

    kjirCBr

    rrr

    )02()43()31( ++=

    kjirCBr

    rrr

    212 +=

    222 212 ++=CBr 3=CBr

    )666,0333,0666,0(60 kjiFrrrv

    +=

    )402040( kjiFrrrv

    +=

    )402040()231( kjikjiMArrrrrrr

    +++=

    ijikjkMArrrrrrr

    40801201204020 +++=

    kjiMAr

    rrr

    100120160 +=

    222 100120160 ++=AM 224=AM

    Vetores Posio:

    Mdulo do Vetor Posio:

    Clculo do Momento no Ponto A:

    Nm

    Nm

    Nm

    m

    m

    m

    FrM ABAr

    r

    r

    =

    kjirABrrr

    r

    231 ++=

    jirACrr

    r

    43 +=

    Exerccios PropostosAula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    1) Determine o momento da fora Fem relao ao ponto O. Expresseo resultado como um vetor cartesiano.

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    Exerccios PropostosAula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    3) A fora N, atua na extremidade da viga.Determine o momento dessa fora em relao ao pontoA.

    )600300600( kjiF

    rrrr

    +=

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    Exerccios PropostosAula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    5) A escora AB de uma comporta de 1m de dimetro exerce umafora de 450N no ponto B. Determine o momento dessa fora em

    relao ao ponto O.

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    Mecnica Tcnica

    Prxima Aula

    Momento em Relao a um Eixo Especfico.

    Momento de um Binrio.

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    197/351

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    Mecnica Tcnica

    Aula 12 Momento em Relao aum Eixo Especfico e Momento de

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    um Eixo Especfico e Momento deum Binrio

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    199/351

    Momento em Relao a um Eixo

    Especfico Determina-se o momento da fora emrelao a um ponto do sistema e depois se

    realiza a projeo sobre o eixo que sedeseja a partir do produto escalar

    Aula 12 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    deseja a partir do produto escalar.

    A soluo contempla duas etapas, umproduto vetorial seguido de um produtoescalar.

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    201/351

    Exerccio 1

    1) A fora F atua no ponto A mostrado na figura. Determine osmomentos dessa fora em relao ao eixox.

    Aula 12 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 1Aula 12 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Vetor Posio:

    kjirOA

    rrr

    r

    643 ++=)102040( kjiFr

    rrv

    ++=

    iuxr

    r

    =

    Vetor Unitrio:

    Vetor Fora:

    Momento em Relao ao Eixox:

    mN

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    Mecnica Tcnica

    )( FruM OAxxr

    rr

    =

    zyx

    zyx

    xzxyxx

    x

    FFF

    rrruuu

    M =

    102040

    643

    001

    =xM

    20

    4

    0

    40

    3

    1

    102040

    643

    001

    =xM

    )]2030()4060()1041[()]0310()1620()0440([ +++=xM

    ]0040[]01200[ +=xM ]40120[ +=xM 80=xM

    Soluo do Determinante:

    Nm

    Momento de um Binrio

    Um binrio definido como duas forasparalelas de mesma intensidade, sentidos

    opostos e separadas por um distncia d.

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    O efeito de um binrio proporcionarrotao ou tendncia de rotao em umdeterminado sentido.

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    Formulao Matemtica de um Binrio

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    dFM = rr

    r

    r

    =

    Formulao Escalar: Formulao Vetorial:

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    Exerccio 2 2) Um binrio atua nos dentes da engrenagem mostrada na figura.

    Substitua esse binrio por um equivalente, composto por um par deforas que atuam nos pontosA e B.

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    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 2Aula 12 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    ABd

    MF=

    2,0

    24=F

    120=F

    Clculo das Foras:

    N

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    Mecnica Tcnica

    dFM =

    6,040 =M

    24=

    Momento do Binrio:

    Nm

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    Exerccios PropostosAula 12 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    2) Substitua os dois binrios que atuam na estrutura por um nico

    binrio resultante.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios PropostosAula 12 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    3) As extremidades da chapa triangular esto sujeitas a trs binrios.Determine a dimenso d da chapa de modo que o momento de

    binrio resultante seja 350Nm no sentido horrio.

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    Mecnica Tcnica

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    Exerccios PropostosAula 12 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    5) As engrenagens esto sujeitas aos momentos de binriomostrados na figura. Determine a intensidade do momento de binrio

    resultante e especifique seus ngulos coordenados diretores.

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    Mecnica Tcnica

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    215/351

    Tpicos Abordados Nesta Aula

    Reduo de um Sistema de CargasConcentradas.

    Sistemas Equivalentes de Foras eMomentos.

    Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    Sistema Equivalente

    Representa um sistema no qual a fora e omomento resultantes produzam na

    estrutura o mesmo efeito que ocarregamento original aplicado.

    Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

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    Exerccio 1

    1) Substitua as cargas atuantes na viga por uma nica foraresultante e um momento atuante no pontoA.

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    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 1

    Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    = xRx FF = 45cos400100RxF

    8,382=RxF 8,382=RxF

    22 )()( RyRxR FFF +=

    22 )8,882()8,382( +=RF

    962=RF

    Clculo da fora resultante:

    No eixox:

    N N

    N

    Direo da fora resultante:

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    Mecnica Tcnica

    ,Rx ,Rx

    = yRy FF = 45400600 senFRy

    8,882=Ry

    F 8,882=RyF

    =

    Rx

    Ry

    F

    Farctg

    =

    8,382

    8,882arctg

    = 6,66

    No eixo y:

    N N

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    221/351

    Exerccio 2

    2) A estrutura mostrada na figura est submetida a um momento Meas foras F1 e F2. Substitua esse sistema por uma nica fora e ummomento equivalente atuante no ponto O.

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    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 2Aula 13

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    kFrr

    8001 =

    CBuFF r

    r

    = 22

    =

    CB

    CB

    r

    rFF

    r

    r

    22

    +=

    180,0

    1,015,0300

    2

    jiF

    rr

    r

    ( )jiFrrr

    555,0833,03002 +=

    jiF 5,1669,2492 += rr

    kjMr

    rr

    +

    =

    5

    3500

    5

    4500

    Determinao dos vetores de Fora eMomento:

    Fora 1

    Fora 2 Momento

    NN

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    223/351

    Mecnica Tcnica

    jirCBrr

    r

    1,015,0 +=

    221,015,0 +=CBr

    180,0=CBr

    kjMr

    rr

    300400 +=Vetor Posio

    Mdulo do Vetor Posio

    Nm

    m

    m

    Soluo do Exerccio 2Aula 13

    Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    Determinao da Fora Resultante:= FFR

    rr

    21 FFFRrrr

    +=

    jikFRrr

    rr

    5,1669,249800 += kjiFRr

    rrr

    8005,1669,249 +=

    = MMROrr

    )()( 21 FrFrMM OBOCROr

    r

    r

    r

    rr

    ++=

    N

    Determinao do Momento Resultante no Ponto O:

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    Mecnica Tcnica

    krOC

    r

    r

    1= kjirOBr

    rrr

    11,015,0 ++=

    )5,1669,249()11,015,0()800()1()300400( jikjikkkjMROrr

    rrr

    rrrrr

    ++++++=

    )5,1669,24999,2499,24(0)300400( ijkkkjMROrr

    rrrrr

    ++++=

    )5,1669,249300400( ijkjMROrr

    rrr

    +=

    )3009,6495,166( kjiMRO

    rrrr

    += Nm

    m m

    Vetor Posio:

    Exerccios PropostosAula 13

    Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    1) A viga est submetida a um sistema de foras coplanares.Determine a intensidade o sentido e a localizao de uma foraequivalente ao sistema de foras em relao ao ponto E.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 13 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    2) A placa mostrada na figura est submetida a quatro foras.Determine a fora resultante equivalente e especifique sualocalizao (x, y) sobre a placa.

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    226/351

    Mecnica Tcnica

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    Exerccios Propostos

    Aula 13 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    4) Substitua as cargas atuantes na viga por uma nica foraresultante. Especifique onde a fora atua, tomando como referncia o

    ponto B.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 13 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    5) A laje da figura est submetida a quatro pilares com cargas.Determine a fora resultante equivalente e especifique sualocalizao (x, y) sobre a laje. Considere que F1 = 30kN e F2 = 40kN.

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    229/351

    Mecnica Tcnica

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    230/351

    Mecnica Tcnica

    Aula 14 Sistemas Equivalentesde Cargas Distribudas

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    Tpicos Abordados Nesta Aula

    Sistemas Equivalentes de CargasDistribudas.

    Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    Sistema de Cargas Distribuidas

    Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    A intensidade da fora resultante equivalente a soma de todas asforas atuantes no sistema e em muitos casos deve ser calculada porintegrao, uma vez que existem infinitas foras atuando sobre osistema.

    A fora resultante igual a rea total sob o diagrama de carga.

    AdAdxxwFAL

    R === )(

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    Mecnica Tcnica

    Localizao da Fora Resultante

    Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    A localizao da linha de ao da fora resultante em relao ao eixox pode ser determinada pela equao de momentos da foraresultante e da distribuio de foras em relao ao ponto O.

    A fora resultante tem uma linha de ao que passa pelo centride da

    rea definida pelo diagrama de carregamento.

    =

    = AL

    dA

    dAx

    dxxw

    dxxwxx

    )(

    )(

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    Mecnica Tcnica

    AL dAdxxw )(

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    Exerccio 1

    1) Determine a intensidade e a localizao da fora resultante

    equivalente que atua no eixo mostrado na figura.

    Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 1

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    = FFR

    =AR dAF =

    2

    0

    2

    )60( dxxFR

    23

    60

    = x

    F

    =02

    6033

    F

    Determinao da fora resultante:

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    237/351

    Mecnica Tcnica

    03

    60

    =FR

    =

    33

    60RF

    3

    860 =RF

    160=RF N

    Soluo do Exerccio 1

    Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    =

    A

    A

    dA

    dAxx

    160

    )60(2

    0

    2

    =

    dxxxx

    160

    )60(2

    0

    3

    =

    dxxx

    160

    460

    2

    0

    4

    =

    x

    x

    160

    4

    0

    4

    260

    44

    =x

    Localizao da fora resultante:

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    Mecnica Tcnica

    160

    4160

    1660

    =x

    160

    460 =x

    5,1=x m

    Exerccio 2

    2) Um carregamento distribudo com p = 800x Pa atua no topo deuma superfcie de uma viga como mostra a figura. Determine a

    intensidade e a localizao da fora resultante equivalente.

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    Mecnica Tcnica

    Soluo do Exerccio 2

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    2,0)800( = xw

    )160( xw =

    = AR dAF

    Determinao da fora resultante:

    P/x= 9m tem-se que w= 1440N/m

  • 7/25/2019 Mecanica Tecnica IFPE

    240/351

    Mecnica Tcnica

    A

    2

    hbFR

    =

    2

    14409 =RF

    6480=RF N

    Soluo do Exerccio 2

    Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    = 9

    3

    19x

    6=x

    Localizao da fora resultante: Pelo Centride do tringulo:

    m

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    242/351

    Exerccios Propostos

    Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    2) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante e

    especifique sua localizao sobre a viga em relao ao ponto O.

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    243/351

    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    3) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante eespecifique sua localizao sobre a viga em relao ao pontoA.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    4) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante eespecifique sua localizao sobre a viga em relao ao pontoA.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    5) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante eespecifique sua localizao sobre a viga em relao ao ponto O.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    6) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante eespecifique sua localizao sobre a viga em relao ao ponto O.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos

    Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    7) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante eespecifique sua localizao sobre a viga em relao ao pontoA.

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    Mecnica Tcnica

    Exerccios Propostos 8) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante

    equivalente e especifique sua localizao sobre a viga AB medidoem relao ao pontoA.

    Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    Prxima Aula

    Apoios Submetidos a Foras Bidimensionais. Clculo de Reaes de Apoio em Estruturas Isostticas.

    Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

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    Tpicos Abordados Nesta Aula

    Apoios Submetidos a ForasBidimensionais.

    Clculo de Reaes de Apoio emEstruturas Isostticas.

    Aula 15 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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    Mecnica Tcnica

    Equaes de Equilbrio da EstticaSistema Bidimensional

    Aula 15 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

    =0xF

    =0yF

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    Mecnica Tcnica

    =0M

    Tipos de Apoios

    1) Rolete ou Apoio Mvel. Possui apenas uma incgnita, a reao uma fora que atua

    perpendicularmente superfcie do ponto de contato.

    Aula 15 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J.