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Tpicos Abordados Nesta Aula
Apresentao do Curso.
Apresentao da Bibliografia
Definio da Mecnica Tcnica.
Sistema Internacional de Unidades.
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Mecnica Tcnica
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Apresentao do Curso Aula 1 - Definio de Mecnica, Conceitos Fundamentais e Sistema Internacional de Unidades Aula 2 - Escalares e Vetores - Lei dos Senos, Lei dos Cossenos e Regra do Paralelogramo Aula 3 - Sistema de Foras Coplanares Aula 4 - Adio e Subtrao de Vetores Cartesianos Aula 5 - Vetor Posio e Produto Escalar Aula 6 - Equilbrio do Ponto Material em Duas Dimenses Aula 7 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses Aula 8 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses Aula 9 - Avaliao 1 Aula 10 - Momento de uma Fora, Formulao Escalar
Aula 11 - Momento de uma Fora, Formulao Vetorial, Princpio dos Momentos Aula 12 - Momento em Relao a um Eixo Especfico e Momento de um Binrio Aula 13 - Sistemas Equivalentes de Cargas Concentradas Aula 14 - Sistemas Equivalentes de Cargas Distribudas Aula 15 - Clculo de Reaes de Apoio em Estruturas Aula 16 - Equilbrio de um Corpo Rgido em Duas e Trs Dimenses
Aula 17 - Estudo de Trelias Planas Aula 18 - Estudo de Mquinas e Estruturas Aula 19 - Avaliao 2 Aula 20 - Exame Final
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Bibliografia Recomendada
HIBBELER, R. C. Mecnica Esttica. 10 ed. So
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005, 540p. BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Mecnica
Vetorial para Engenheiros: Esttica.5.ed. So
Paulo: Makron Books, 1991. 980p. BEDFORD & FOWLER. Engineering Mechanics
Statics 3 ed. New Jersey: Prentice Hall, 2002,583p.
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Mecnica Tcnica
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Definio de Mecnica
A mecnica pode ser definida como o ramo
das cincias fsicas dedicado ao estudo doestado de repouso ou movimento decorpos sujeitos ao de foras.
Normalmente o estudo da mecnica dividido em trs partes: a mecnica doscorpos rgidos, a mecnica dos corpos
deformveis e a mecnica dos fluidos.
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Mecnica Tcnica
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Mecnica dos Corpos Rgidos A mecnica dos corpos rgidos pode ser dividida em
esttica (equilbrio de um corpo rgido) e dinmica(movimento de um corpo rgido). A esttica tem por finalidade o estudo do equilbrio de um
corpo em repouso ou em movimento com velocidade
constante. A dinmica, por sua vez, pode ser caracterizada como a
parte da mecnica dos corpos rgidos dedicada ao estudodo movimento de corpos sob a ao de foras, ou seja,
movimentos acelerados dos corpos.
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Sistema Internacional de Unidades
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A 11 CGPM, em 1960, atravs de sua Resoluo n12, adotoufinalmente o nome SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, comabreviao internacional SI para o sistema prtico de unidades, e
instituiu regras para os prefixos, para as unidades derivadas e asunidades suplementares, alm de outras indicaes, estabelecendouma regulamentao para as unidades de medidas. A definio deQuantidade de Matria (mol) foi introduzida posteriormente em 1969e adotada pela 14 CGPM, em 1971.
CGPM - Confrence Gnrale de Pois et Mesures
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Unidades de Base do SI
So sete unidades bem definidas que, por conveno, so tidascomo dimensionalmente independentes. Essas unidades soapresentadas na Tabela a seguir.
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cdcandelaintensidade luminosa
molmolquantidade de matria
Kkelvintemperatura termodinmica
Aamprecorrente eltrica
ssegundotempo
kgquilogramamassa
mmetrocomprimento
SmboloUnidadeGrandeza
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Definio das Unidades de Base
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Metro (m): o caminho percorrido pela luz no vcuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792458 de um segundo.
Quilograma (kg): igual massa do prottipo internacional, feito com uma liga platina - irdio,dentro dos padres de preciso e confiabilidade que a cincia permite.
Segundo (s): a durao de 9 192 631 770 perodos da radiao correspondente transio entreos dois nveis hiperfinos do tomo de csio-133, no estado fundamental. Ampre (A): uma corrente constante que, se mantida em dois condutores retilneos e paralelos,
de comprimento infinito e seo transversal desprezvel, colocados a um metro um do outro novcuo, produziria entre estes dois condutores uma fora igual a 2 x10-7 newton, por metro decomprimento.
Kelvin (K): a frao 1/273,16 da temperatura termodinmica do ponto triplo da gua.
Mol (mol): a quantidade de matria de um sistema que contm tantas entidades elementaresquantos forem os tomos contidos em 0,012 quilograma de carbono 12. Comentrios: a) O nomedesta quantidade vem do francs "quantit de matire",derivado do latim "quantitas materiae", queantigamente era usado para designar a quantidade agora denominada de "massa". Em ingls usa-se o termo "amount of substance". Em portugus, consta no Dicionrio como "quantidade desubstncia", mas pode-se admitir o uso do termo "quantidade de matria", at uma definio maisprecisa sobre o assunto. b) Quando se utiliza o mol, as entidades elementares devem serespecificadas, podendo ser tomos, molculas, ons, eltrons ou outras partculas ou agrupamentos
de tais partculas. Candela (cd): a intensidade luminosa, em uma determinada direo, de uma fonte que emite
radiao monocromtica de freqencia 540x1012 hertz e que tem uma intensidade radiante naqueladireo de 1/683 watt por esteradiano.
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Unidades Suplementares do SI
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So apenas duas as unidades suplementares: oradiano, unidade de ngulo plano e o
esteradiano, unidade de ngulo slido.
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sresteradianongulo slido
radradianongulo plano
SmboloUnidadeGrandeza
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Unidades Derivadas do SI So formadas pela combinao de unidades de base, unidades
suplementares ou outras unidades derivadas, de acordo com as relaesalgbricas que relacionam as quantidades correspondentes. Os smbolospara as unidades derivadas so obtidos por meio dos sinais matemticos de
multiplicao e diviso e o uso de expoentes. Algumas unidades SI derivadastm nomes e smbolos especiais.
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Mecnica Tcnica
mol/m3mol por metro cbicoconcentrao
m3/kgmetro cbico por quilogramavolume especfico
kg/m3quilograma por metro cbicodensidade
m-1metro recproconmero de onda
m/s2metro por segundo quadradoacelerao
m/smetro por segundovelocidade
m3metro cbicovolume
m2metro quadradorea
SmboloUnidadeGrandeza
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Unidades Derivadas do SI
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KCgrau celciustemperatura celcius
Wb/AHhenryindutncia
Wb/m2Ttesladensidade de fluxo magntico
V sWbweberfluxo magntico
A/VSsiemenscondutncia eltrica
V/Aohmresistncia eltrica
C/VFfaradcapacitncia eltrica
W/AVvoltpotencial eltrico
A sCcoulombquantidade de eletricidade
J/sWwattpotncia, fluxo radiante
N mJjouleenergia, trabalho
N/m2Papascalpresso, tensokg m/s
2
Nnewtonfora
s-1Hzhertzfreqncia
Expresso(*)SmboloUnidadeGrandeza
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Unidades Derivadas do SI
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W/(m K)watt por metro kelvincondutividade trmica
N/mnewton por metrotenso superficial
J/(kg K)joule por quilograma kelvinentropia especfica
J/kgjoule por quilogramaenergia especfica
W/srwatt por esteradianopotncia radiante
W/(m2 sr)watt por metro quadrado esteradianoradincia
W/m2watt por metro quadradodensidade de potncia
J/(mol K)joule por mol kelvinentropia molarJ/moljoule por molenergia molar
A/mampre por metrofora do campo magntico
J/Kjoule por kelvinentropia
J/m3joule por metro cbicodensidade de energia
V/mvolt por metrofora do campo eltrico
C/m2coulomb por metro quadradodensidade de carga eltrica
A/m2ampre por metro quadradodensidade de corrente
rad/sradiano por segundovelocidade angular
rad/s2radiano por segundo quadradoacelerao angular
Expresso(*)UnidadeGrandeza
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Mltiplos e Submltiplos
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Mecnica Tcnica
zzepto0,000 000 000 000 000 000 001 = 10-21
aatto0,000 000 000 000 000 001 = 10-18
ffemto0,000 000 000 000 001 = 10-15ppico0,000 000 000 001 = 10-12
nnano0,000 000 001= 10-9
micro0,000 001 = 10-6
mmili0,001 = 10-3
ccenti0,01 = 10-2
ddeci0,1 = 10-1
dadeca10 = 101
hhecto100 = 102
kquilo1 000 = 103
Mmega1 000000 = 106
Ggiga1 000 000 000 = 109Ttera1 000 000 000 000 = 1012
Ppeta1 000 000 000 000 000 = 1015
Eexa1 000 000 000 000 000 000 = 1018
Zzetta1 000 000 000 000 000 000 000 = 1021
SmboloPrefixoFator
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Escrita de Unidades
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Os princpios gerais relativos escrita de smbolos das unidades foram adotadas pela9 CGPM, em 1948, alguns comentrios so apresentados a seguir.
a) Os smbolos usados para discriminar quantidades fsicas devem ser apresentadosem itlico, mas os smbolos das unidades so digitados em romano [ex:F= 23 N].
b) As unidades derivadas de nomes prprios devem ser escritas com a primeira letraem maisculo, enquanto que as outras devem ser apresentadas em minsculo [ex:newton, N; pascal, Pa, metro, m], exceto o litro, que pode ser escrito em minsculo oumaisculo ( l ou L ).
c) O smbolo da unidade geralmente descrito pela primeira letra do nome da unidade[ex: grama, g e no gm; segundo, s e no seg ou sec], com algumas excees [ex:mol, cd e Hz]. Tambm, o smbolo da unidade no deve ser seguido por um ponto e o
seu plural no seguido de "s" [ex: 3 kg e no 3 kg. ou 3 kgs]. d) A palavra "grau" e seu smbolo "" devem ser omitidos da unidade de temperatura
termodinmica, T [isto , usa-se apenas kelvin ou K e no Kelvin ou K], mas soretidos quando se quer designar temperatura Celcius, t[ex: graus Celcius ou C].
e) Os smbolos dos prefixos que representam grandezas maiores ou iguais a 106 soescritos em maisculo, enquanto que todas os outros so escritos em minsculo [ex:
mega, M; hecto, h]. f) Um prefixo nunca deve ser usado sozinho [ex: 106/m3, mas no M/m3]. g) No deve ser colocado espao entre o prefixo e a unidade e prefixos compostos
devem ser evitados [ex: 1 pF, e no 1 p F ou 1 F; 1 nm, e no 1mm].
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Escrita de Unidades
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h) O agrupamento formado pelo smbolo do prefixo ligado ao smbolo da unidadeconstitui-se em um novo e inseparvel smbolo, de modo que pode ser elevado apotncias positivas ou negativas e ser combinado com outros smbolos de unidadespara formar smbolos de unidades compostas. Desta forma, um expoente se aplica unidade como um todo, incluindo o seu prefixo [ex: 1 cm3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3; 1
cm-1 = (10-2 m) -1 = 102 m-1; 1s-1= (10-6 s) -1 = 106 s-1; 1 V/cm = (1 V)/(10-2 m) =102 V/m]. i) Quando um mltiplo ou submltiplo de uma unidade escrito por completo, o prefixo
deve ser tambm escrito por completo, comeando com letra minscula [ex:megahertz, e no Megahertz ou Mhertz].
j) O quilograma a nica unidade de base cujo nome, por razes histricas, contm
um prefixo. Seus mltiplos e submltiplos so formados adicionando-se os prefixos palavra "grama" [ex: 10-6 kg = 1 mg = 1 miligrama e no 1 microquilograma ou 1kg]. k) A multiplicao de unidades deve ser indicada inserindo-se um ponto"elevado", ou
deixando-se um espao entre as unidades [ex: ou N m]. l) A diviso pode ser indicada tanto pelo uso de uma barra inclinada, de uma barra de
frao horizontal ou por um expoente negativo [ex: m/s, ou , ou ], mas o uso repetido
da barra inclinada no permitido [ex: m/s2, mas no m/s/s; m kg/ (s3 A), mas no mkg/s3/A]. Para se evitar m interpretao, quando mais de uma unidade aparece nodenominador, deve-se utilizar parntesis ou expoentes negativos [ex: W/(m2 K4) ou Wm-2 K-4].
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Escrita de Unidades
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m) Os nomes das unidades no devem ser misturados com os smbolos dasoperaes matemticas [ex: pode-se escrever "metro por segundo", mas nometro/segundo ou metro segundo-1].
n) Quando o produto de duas unidades escrito por extenso, recomenda-se o uso deespao entre elas mas nunca o uso do ponto. tolervel o emprego de hfen nestescasos [ex: deve-se escrever newton metro ou newton-metro, mas no newtonmetro].
Nmeros com mais de quatro dgitos devem ser separados por um espao a cadagrupo de tres dgitos. Nunca utilizar pontos ou vrgulas nas separaes, para evitarconfuses com as marcaes de decimais [ex: 299 792 458, mas no 299.792.458 ou299,792,458]. Esta conveno tambm aplicada direita do marcador de decimais[ex: 22,989 8].
o) O valor numrico e o smbolo da unidade devem ser separados por um espao,mesmo quando usados como um adjetivo [ex: 35 mm, mas no 35mm ou 35-mm]. p) Deve-se colocar um zero antes do marcador de fraes decimais [ex: 0,3 J ou 0.3 J
ao invs de ,3 J ou .3 J]. q) Sempre que possvel, o prefixo de uma unidade deve ser escolhido dentro de um
intervalo adequado, geralmente entre 0,1 e 1000 [ ex: 250 kN; 0,6 mA].
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Prxima Aula
Escalares e Vetores.
Lei dos Senos.
Lei dos Cossenos.
Regra do Paralelogramo
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Mecnica TcnicaAula 2 Lei dos Senos e Lei
dos Cossenos
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Tpicos Abordados Nesta Aula
Clculo de Fora Resultante.
Operaes Vetoriais.
Lei dos Senos.
Lei dos Cossenos.
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Grandezas Escalares
Uma grandeza escalar caracterizada por
um nmero real. Como exemplo deescalares podem se citar: o tempo, amassa, o volume, o comprimento, etc.
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Grandezas Vetoriais Uma grandeza vetorial caracterizada pela dependncia de trs
elementos fundamentais, ou seja, representa um ente matemtico
que possui intensidade, direo e sentido. Em problemas de esttica muito comum a utilizao de grandezas vetoriais como posio,fora e momento.
A posio de um ponto no espao em relao a outro pontocaracteriza uma grandeza vetorial. Para descrever a posio de uma
cidade A em relao outra cidade B, insuficiente dizer que ambasesto separadas por uma distncia de 100 km, para se caracterizarum vetor, deve-se dizer por exemplo, que a cidade B se encontra 100km a oeste da cidade A.
A fora tambm caracterizada como uma grandeza vetorial, pois
quando se empurra uma pea de mvel atravs do cho aplica-se namesma uma fora com intensidade suficiente para mover o mvel ecom a direo desejada para o movimento.
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Representao de uma GrandezaVetorial Uma grandeza vetorial pode ser
representada graficamente por uma
seta, que utilizada para definir seumdulo, sua direo e seu sentido.Graficamente o mdulo de um vetor representado pelo comprimentoda seta, a direo definida atravsdo ngulo formado entre um eixo de
referncia e a linha de ao da setae o sentido indicado pelaextremidade da seta.
A figura mostra a representaogrfica de dois vetores foraatuando ao longo dos cabos de
fixao de um poste, o ponto O chamado de origem do vetor e oponto P representa sua extremidadeou ponta.
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Soluo Escalar Praticamente todos os problemas envolvendo os
conceitos de soma e subtrao vetorial, bemcomo a determinao das componentes de umvetor podem ser resolvidos a partir das leis dos
senos e dos cossenos, que representampropriedades fundamentais da trigonometria eso descritas a seguir a partir da figura a seguir e
das respectivas equaes.
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Lei dos Senos e dos Cossenos Dado um tringulo ABC e seus ngulos internos , e , a lei dos
senos definida da seguinte forma: Em todo tringulo, as medidasdos seus lados so proporcionais aos senos dos lados opostos.
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Mecnica Tcnica
sen
C
sen
B
sen
A==
cosABBAC 222 +=
A partir do mesmo tringulo ABC e seus ngulos internos , e , alei dos cossenos definida do seguinte modo: Num tringulo, oquadrado da medida de um lado igual soma dos quadrados das
medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidasdesses dois lados pelo cosseno do ngulo oposto ao primeiro lado.
B A
C
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Soma Vetorial Regra do Paralelogramo
O Clculo da fora resultante pode ser
obtido atravs da soma vetorial com aaplicao da regra do paralelogramo.
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Exerccio 1 1) O parafuso mostrado na figura est sujeito a duas foras F1 e F2.
Determine o mdulo e a direo da fora resultante.
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Mecnica Tcnica
10
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Soluo do Exerccio 1
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Mecnica Tcnica
110110
70
70
2Fr
1Fr
RFr
y
x
70
2Fr
1Fr
RFr
Construir um esquema aplicando a regra doparalelogramo de forma a identificar quais so as incgnitasdo problema.
A partir do paralelogramo obtido na figura, pode-se construir o tringulo de vetores.
cosFFFFFR += 212
2
2
1 2
+= 703002002300200 22 cosFR
sen
F
sen
F R=1
RF
senFsen
= 1
=
RF
senFasen
1
=
25298
70200
,
senasen
= 0639,
= = 300639, = 069,
Aplicando-se a lei dos cossenos, determina-seo mdulo da fora resultante F
R.
O ngulo
determinado a partir da lei dossenos, utilizando-se o valor calculado para FR
.
Com relao ao eixo xpositivo, o ngulo dado por:
FR= 298,25 N
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Exerccio 2
2) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontracom problemas em seus motores. Sabendo-se que a fora resultante
igual a 30kN, encontre suas componentes nas direes AC e BC.
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Mecnica Tcnica
A l 2
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Soluo do Exerccio 2
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Mecnica Tcnica
=
=
3040110 sen
F
sen
F
sen
F CBCAR
=
=
110
4030
110
40
sen
sen
sen
senFF RCA
52,20=CAF
=
=
110
3030
110
30
sen
sen
sen
senFF RCB
96,15=CBF
FCAFCB
FR
= 30 kN
3040
110
A partir da regra do paralelogramo, deve-seconstruir um tringulo de vetores envolvendo asforas atuantes nos cabos CA e CB e a foraresultante, de forma a identificar as incgnitas doproblema.
A partir da aplicao da lei dos senos,pode-se determinar os mdulos das forasatuantes em cada um dos cabos CA ou CB daseguinte forma.
Resolvendo para FCA
tem-se que:
Resolvendo para FCB
tem-se que:
kN
kN
A l 2 P f MS L i Ed d Mi d J R d i
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Exerccios Propostos
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1) Determine a intensidade da fora resultante e indique sua direo,
medida no sentido anti-horrio, em relao ao eixoxpositivo.
Mecnica Tcnica
Aula 2 P f MS L i Ed d Mi d J R d i
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Exerccios Propostos
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2) Determine a intensidade da fora resultante e indique sua direo,
medida no sentido anti-horrio, em relao ao eixo u positivo.
Mecnica Tcnica
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Exerccios Propostos
Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
3) A chapa est submetida a duas foras FA e FB como mostra afigura. Se = 60, determine a intensidade da fora resultante e suaintensidade em relao ao eixo horizontal.
Mecnica Tcnica
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Exerccios Propostos
Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
4) Duas foras so aplicadas ao olhal a fim de remover a estacamostrada. Determine o ngulo e o valor da fora Fde modo que afora resultante seja orientada verticalmente para cima no eixo y e
tenha uma intensidade de 750N.
Mecnica Tcnica
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Exerccios Propostos
Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
5) A caminhonete mostrada rebocada por duas cordas. Determineos valores de FA e FB de modo a produzir uma fora resultante de950N oreintada no eixo x positivo, considere = 50.
Mecnica Tcnica
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Exerccios Propostos 6) O parafuso tipo gancho mostrado na figura est sujeito a duasforas F1 e F2. Determine o mdulo e a direo da fora resultante.
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Mecnica Tcnica
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Exerccios Propostos 7) A tora de madeira rebocada pelos dois tratores mostrados,
sabendo-se que a fora resultante igual a 10kN e est orientada aolongo do eixoxpositivo, determine a intensidade das foras FA e FB.
Considere = 15.
Aula 2 g
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Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Prxima Aula Sistemas de Foras Coplanares.
Determinao de Fora Resultante. Componentes de um Vetor Cartesiano.
g
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Mecnica TcnicaAula 3 Sistemas de Foras
Coplanares, Vetores Cartesianos
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Tpicos Abordados Nesta Aula Sistemas de Foras Coplanares.
Determinao de Fora Resultante. Componentes de um Vetor Cartesiano.
Mecnica Tcnica
Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Componentes de um Vetor Quando um vetor R expresso segundo a soma de dois vetores A e
B, cada um dos vetores A e B so chamados de componentes de R,
portanto, um vetor resultante pode ser decomposto em duascomponentes a partir da aplicao da regra do paralelogramo. Umexemplo de decomposio vetorial pode ser observado na figura aseguir, onde, conhecendo-se as linhas de ao de cada componente,o vetor R pode ser decomposto formando os vetores A e B.
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Fora Resultante
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1Fr
2Fr
RF
r
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Mtodo das Componentes Retangulares Assim, pode-se notar que quanto maior o nmero de foras
envolvidas no sistema, maior o tempo dispensado para encontrar a
fora resultante, pois se necessita da aplicao da regra doparalelogramo sucessivas vezes gerando um cansativo trabalho degeometria e trigonometria para se determinar o valor numrico daresultante do sistema e sua respectiva direo.
Porm, este exaustivo processo suprido de forma rpida atravs daaplicao de uma metodologia que utiliza uma soma algbrica dascomponentes de cada um dos vetores fora que formam o sistema.
Este mtodo denominado mtodo das componentes retangularese consiste em trabalhar apenas com as componentes dos vetores,formando desse modo um sistema de foras colineares projetadosnos eixos de coordenadas do sistema de referncia.
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Decomposio de Foras Conveno de Sinais.
x Positivo para a direita, negativo para a esquerda.
y Positivo para cima, negativo para baixo.
No plano, utilizam-se os versores e .
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ir
jr
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Reduo a uma nica Fora Resultante Decompor as foras nos eixosxe y.
Utilizar trigonometria, decomposio em seno e cosseno.
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jFiFF yxrrr
111 += jFiFF yxrrr
222 += jFiFF yxrrr
333 =
++++== nR FFFFFFrrrrrr
......321
Fora Resultante:
Soma Vetorial
Vetores Cartesianos:
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Exerccio 1
1) O elo da figura est submetido as foras F1 e F2, determine aintensidade e a orientao da fora resultante.
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Soluo do Exerccio 1
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22 8,5828,236( +=RF
629=RF
=
x
y
F
Farctg
=
8,236
8,582
arctg
= 9,67
Mdulo da Fora Resultante:
Direo da Fora Resultante:
N
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Soluo do Exerccio 2
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)400(1 iFrr
=
)45cos45( 222 jFisenFF
rrr
+=
)45cos25045250(2 jisenFrrr
+=
+
= jFiFF
rrr
5
3
5
4333
+
= jiF
rrr
5
3200
5
42003
)120160(3 jiFrrr
+=
Decomposio das Foras:
Fora 1:
Fora 2:
Fora 3:
N
N
N
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Soluo do Exerccio 2
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)120160()45cos25045250()400( jijiseniFRrrrrrr
++++=
jisenFRrrr
)12045cos250()16045250400( +++=
22 8,2962,383( +=RF 485=RF
=
x
y
F
Farctg
=
2,383
8,296arctg = 8,37
Fora Resultante:
Mdulo da Fora Resultante:
Direo da Fora Resultante:
N
N)8,2962,383( jiFRrrr
+=
296,8N
383,2N
FR
x
y
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Exerccios Propostos 1) Trs foras atuam sobre o suporte mostrado. Determine o ngulo
e a intensidade de F1 de modo que a resultante das foras sejaorientada ao longo do eixoxpositivo e tenha intensidade de 1kN.
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Exerccios Propostos 2) Determine o ngulo e a intensidade de F1 de modo
que a resultante das foras seja orientada ao longo do
eixo ypositivo e tenha intensidade de 800N.
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Exerccios Propostos
4) Determine o ngulo e a intensidade de FB de modoque a resultante das foras seja orientada ao longo do
eixo ypositivo e tenha intensidade de 1500N.
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E i P
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Exerccios Propostos
5) Determine o ngulo e a intensidade de F1 de modoque a resultante das foras seja orientada ao longo do
eixoxpositivo e tenha intensidade de 600N.
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Prxima Aula Operaes com Vetores Cartesianos.
Vetor Unitrio. ngulos Diretores Coordenados
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Componentes retangulares de um vetor Um vetorA pode ter um, dois ou trs
componentes ao longo dos eixos de
coordenadasx, ye z. A quantidade de componentes
depende de como o vetor estorientado em relao a esses eixos.
Sistema de coordenadas utilizando aregra da mo direita.
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Vetor Unitrio A direo deA especificada usando-se
um vetor unitrio, que possui esse nomepor ter intensidade igual a 1.
Em trs dimenses, o conjunto devetores unitrios usado paradesignar as direes dos eixos x, y e zrespectivamente.
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kjir
rr
,,
AuA
r
r
=F
FuF
r
r
=
Para um vetor A: Para um vetor Fora:
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ngulos Diretores Coordenados A orientao de um vetor no espao definida pelos ngulos
diretores coordenados , , e medidos entre a origem do vetor e os
eixos positivos x, y e z.
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Axr
=cos
Ayr
=cos
Azr
=cos
Determinao dos ngulos
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Determinao dos ngulosDiretores Coordenados
Mecnica Tcnica
kA
jA
iAA
u zyx
A
rrr
r
r
++==
kjiuA
rrr
r
coscoscos ++=
1coscoscos 222 =++
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Sistemas de Foras Concorrentes Se o conceito de soma vetorial for aplicado em um sistema de vrias
foras concorrentes, a fora resultante ser a soma de todas as
foras do sistema e pode ser escrita da seguinte forma:
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++== kFjFiFFF zyxRr
rrrr
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Exerccio 1 1) Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da
fora resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura.
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N N
Soluo do Exerccio 1
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Soluo do Exerccio 1
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+== 21 FFFFRrrrr
)8060()10010050( kjkjiFR
rr
rrrr
+++=
)1804050( kjiFR
rrrr
+=
191=RF N
Mdulo da fora resultante:
Vetor fora resultante:N
N
222 1804050 ++=RF
Soluo do Exerccio 1
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Soluo do Exerccio 1
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kF
Fj
F
Fi
F
F
F
Fu
R
Rz
R
Ry
R
Rx
R
RFR
rrr
r
r
++==
kjiuRF
rrr
r
191
180
191
40
191
50+=
kjiu RF
rrr
r
942,0209,0261,0 +=
R
Rx
F
Fr
=cos
261,0cos =
)261,0arccos(= = 8,74
R
Ry
F
Fr
=cos
209,0cos =
)209,0arccos(= = 102
R
Rz
F
Fr
=cos
942,0cos =
)942,0arccos(= = 6,19
Vetor unitrio da fora resultante:
ngulos diretores:
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Exerccio 2 2) Duas foras atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique
os ngulos diretores coordenados de F2, de modo que a fora
resultante FR atue ao longo do eixo ypositivo e tenha intensidade de800N.
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Soluo do Exerccio 2
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Soluo do Exerccio 2
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21 FFFR
rrr
+=
kFjFiFFr
rrr
1111111 coscoscos ++=
kjiFr
rrr
++= 120cos30060cos30045cos3001
kjiF
rrrr
1501502,2121 +=
21501502,212800 Fkjijrrrrr
++=
kjijFr
rrrr
1501502,2128002 +=
kjiF
rrrr
1506502,2122 ++=
222
2 1506502,212 ++=F
7002 =F
Determinao de F2:
Mdulo de F2:
N
N
Fora Resultante:
N
Determinao de F1:
jFR
rr
800=
N
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Exerccios Propostos
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Exerccios Propostos
1) Expresse a fora Fcomo um vetor cartesiano.
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Exerccios Propostos
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Exerccios Propostos 2) A pea montada no torno est sujeita a uma fora de 60N.
Determine o ngulo de direo e expresse a fora como um vetorcartesiano.
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Exerccios Propostos
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p 5) O suporte est sujeito as duas foras mostradas. Expresse cada
fora como um vetor cartesiano e depois determine a fora resultante,
a intensidade e os ngulos coordenados diretores dessa fora.
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Mecnica Tcnica
Aula 5 Vetor Posio,Aplicaes do Produto Escalar
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Tpicos Abordados Nesta Aula Vetores Posio.
Vetor Fora Orientado ao Longo de umaReta.
Produto Escalar Aplicado na Mecnica.
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Vetores Posio O vetor posio definido como um vetor fixo que localiza um ponto
do espao em relao a outro.
O vetor posio pode ser escrito na forma cartesiana.
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kzjyixrr
rrr
++=
Vetor Posio entre Dois PontosA e B
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Fora da Origem O vetor posio calculado a partir da subtrao das coordenadasx,
y, zdas extremidades dos vetores em anlise.
O vetor posio indica o comprimento real ou a distncia entre doispontos no espao.
Mecnica Tcnica
ABAB rrr rrr
=
kzzjyyixxr ABABABAB
rrr
r
)()()( ++=
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Aplicaes do Vetor Posio
Mecnica Tcnica
Vetor Fora Orientado ao Longo de
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uma Reta Pode-se definir uma fora como um vetor cartesiano pressupondo
que ele tenha a mesma direo e sentido que o vetor posio
orientado do pontoA para o ponto B na corda.
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==r
rFuFF
r
r
r
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Soluo do Exerccio 2
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Mecnica Tcnica
)2,0,0(A
)0;707,0;707,1B
kzzjyyixxr ABABABABr
rrr
)()()( ++=
kjirABr
rrr
)20()0707,0()0707,1( ++=
)2707,0707,1( kjirABr
rrr
+=
222 2707,0707,1 ++=ABr
723,2=ABr
AB
ABAB
r
ru
r
r
=
723,2
2707,0707,1 kjiuAB
rrr
r +
=
kjiuAB
rrr
r
734,0259,0626,0 +=
ABuFF r
r
=
)734,0259,0626,0(500 kjiFrrrr
+=
Vetor PosioAB:
Mdulo do Vetor Posio:
Vetor UnitrioAB:
Vetor Fora:
)3671303,31( kjiFrrrr
+=
m
m
m
m
N
P d t E l
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Produto Escalar Em determinados problemas de esttica necessrio se
determinar o ngulo formado entre duas retas ou ento os
componentes paralelo e perpendicular de uma fora emrelao a um eixo. Principalmente em problemas tridimensionais, a soluo
por trigonometria torna-se complicada, dessa forma uma
maneira rpida de se obter o resultado desejado a partirda lgebra vetorial.
O mtodo que pose ser utilizado o produto escalar entredois vetores.
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F l d P d t E l
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Formulao do Produto Escalar O produto escalar de dois vetores fornece como resultado um escalar
e no um vetor e definido conforme a equao mostrada a seguir.
Mecnica Tcnica
cos= BABArr
1
1
1
=
=
=
kk
jj
ii
rr
rr
rr
0
0
0
=
=
=
ki
jk
ji
rr
rr
rr
ngulo entre dois Vetores:
=BABA
rr
arccos
Componentes Paralelo e Perpendicular
d V t
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de um Vetor
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2
//
2 AAA =
uAAA r
r
== cos//
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Soluo do Exerccio 3
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Mecnica Tcnica
ABAB uFFF r
r
== cos//
AB
ABAB
r
ru
r
r
=
kjirABr
rrr
362 ++=
222 362 ++=ABr
7=ABr
Fora Paralela a BarraAB:
Clculo do Vetor UnitrioAB:
Vetor PosioAB:
Mdulo do PosioAB:
m
m
Soluo do Exerccio 3
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Clculo do Vetor Unitrio AB: Vetor Fora Paralela a Barra AB:
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Mecnica Tcnica
7
362 kjiuAB
rrr
r ++=
kjiuABrrr
r
429,0857,0286,0 ++=
)429,0857,0286,0()300(// kjijF AB
r
rrr
++=
)429,00()857,0300()286,00(// ++=ABF
1,257// =ABF
ABABAB uFF r
v
= ////
)429,0857,0286,0(1,257// kjiF ABr
rrv
++=
)1102205,73(// kjiF AB
rrrv
++=
ABAB FFF //vrv
=
)1102205,73()300( kjijFAB
rrrrv
++=
)110805,73( kjiF AB
rrrv
+=
2
//
2
ABAB FFF +=22 1,257300 +=ABF
155=ABF
AB
ABAB
r
ru
r
r
=
Clculo do Vetor UnitrioAB:
ABAB uFFF r
r
== cos//
Fora Paralela a BarraAB:
Vetor Fora Paralela a BarraAB:
Fora Perpendicular a BarraAB:
Em Mdulo:
N
N
N
N
Exerccios Propostos
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1) A cobertura suportada por cabos como mostrado. Determine a
intensidade da fora resultante que atua emA.
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Exerccios Propostos
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2) Determine o comprimento do elementoAB da trelia.
Mecnica Tcnica
Exerccios Propostos
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3) D i i d l AB d bi l d
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100/351
3) Determine o comprimento do elemento AB da biela do motormostrado.
Mecnica Tcnica
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Exerccios Propostos
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6) A porta mantida aberta por meio de duas correntes Se a tenso
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6) A porta mantida aberta por meio de duas correntes. Se a tensoem AB e CD for FAB = 300N e FCD = 250N, expresse cada umadessas foras como um vetor cartesiano.
Mecnica Tcnica
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Exerccios Propostos
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8) A torre mantida reta pelos trs cabos Se a fora em cada cabo
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8) A torre mantida reta pelos trs cabos. Se a fora em cada caboque atua sobre a torre for aquela mostrada na figura, determine aintensidade e os ngulos diretores coordenados da fora resultante.
Considerex = 20m e y= 15m.
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Exerccios Propostos
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10) Determine o ngulo mostrado na figura a seguir.
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Mecnica Tcnica
Aula 6 Equilbrio do PontoMaterial em Duas Dimenses
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Tpicos Abordados Nesta Aula
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Tpicos Abordados Nesta Aula Equilbrio do Ponto Material.
Diagrama de Corpo Livre. Equaes de Equilbrio.
Equilbrio de Sistemas Bidimensionais.
Mecnica Tcnica
Condio de Equilbrio do Ponto Material
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q Um ponto material encontra-se em equilbrio esttico desde que
esteja em repouso ou ento possua velocidade constante.
Para que essa condio ocorra, a soma de todas as foras que atuamsobre o ponto material deve ser nula, portanto:
Mecnica Tcnica
=0F
Diagrama de Corpo Livre
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Diagrama de Corpo Livre O diagrama de corpo livre representa um esboo do ponto material
que mostra todas as foras que atuam sobre ele.
Mecnica Tcnica
Exemplo de Diagrama de Corpo Livre
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Esfera
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p g p
Mecnica Tcnica
Esfera
Corda CE NC
Molas
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Quando se utilizar uma mola elstica o comprimento da mola variar em
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K= Constante elstica da mola. S = Deformao da mola.
Mecnica Tcnica
skF =
Quando se utilizar uma mola elstica, o comprimento da mola variar emproporo direta com a fora que atua sobre ela.
A equao da fora atuante na mola apresentada a seguir.
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Equaes de EquilbrioS t t i l ti
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q q Se um ponto material estiver
submetido a um sistema devria foras coplanares ecolineares, cada fora poderser decomposta emcomponentes x e y e para acondio de equilbrio
necessrio que as seguintescondies sejam atendidas.
Mecnica Tcnica
=0xF =0yF
Exerccio 11) D t i t b AB AD ilb i d t
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117/351
1) Determine a tenso nos cabosAB eAD para o equilbrio do motor
de 250kg mostrado na figura.
Mecnica Tcnica
Soluo do Exerccio 1 Diagrama de corpo livre:
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gmP = 819250P
Peso do motor:
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Mecnica Tcnica
=0xF
=0yF
030cos = DB TT
030 = PsenTB
0245230 =senTB30
2452
senTB =
4904=BT
030cos4904 = DT 30cos4904 =DT
4247=DT
gmP = 81,9250 =P
2452=P
Equaes de equilbrio:
Resolvendo a equao II:
Substituindo em I:
N
N
N
(I)
(II)
Exerccio 2 2) Determine o comprimento da corda AC da figura de modo que a
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2) Determine o comprimento da corda ACda figura, de modo que aluminria de 8kg seja suspensa na posio mostrada. O comprimentono deformado da mola l
AB
= 0,4m e a mola tem rigidez kAB
=300N/m.
Mecnica Tcnica
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Exerccios Propostos
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1) Determine o ngulo e a intensidade de Fde modo que o ponto
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material esteja em equilbrio esttico.
Mecnica Tcnica
Exerccios Propostos
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2) Determine a fora necessria nos cabos AB eACpara suportar osemforo de 12kg
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semforo de 12kg.
Mecnica Tcnica
Exerccios Propostos
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3) Determine a deformao que cada mola deve ter para equilibrar o
bl d 2k A l t i d ilb i
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bloco de 2kg. As molas encontram-se em posio de equilbrio.
Mecnica Tcnica
Exerccios Propostos
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4) A molaABCda figura tem rigidez de 500N/m e comprimento semdeformao de 6m. Determine a fora horizontal F aplicada a corda
t l B d d d l t d l
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que est presa ao anel B de modo que o deslocamento do anel emrelao a parede seja d=1,5m.
Mecnica Tcnica
Exerccios Propostos
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5) Determine as foras necessrias nos cabosAB eACda figura paramanter a esfera D de 20kg em equilbrio. Dados: F = 300N e d = 1m.
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Mecnica Tcnica
Prxima Aula Equilbrio do Ponto Material de Sistemas
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Equilbrio do Ponto Material de SistemasTridimensionais.
Diagrama de Corpo Livre de SistemasTridimensionais.
Equaes de Equilbrio de SistemasTridimensionais.
Mecnica Tcnica
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Formulao Matemtica para o
Equilbrio em Trs Dimenses
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Mecnica Tcnica
=
==
0
00
z
y
x
F
FF
=0Fr
=++ 0kFjFiF zyxr
rr
Para o Equilbrio necessrio que:
A soluo obtida por um sistemade trs equaes e trs incgnitas
Exerccio 1
1) Determine a intensidade e os ngulos diretores da fora F i ilb i d O
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necessrios para o equilbrio do ponto O.
Mecnica Tcnica
Soluo do Exerccio 1
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OBOB
ru
r
r
=
Vetor unitrio e Vetor posio:
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Mecnica Tcnica
Determinao das foras:
)400(1 jFrv
=
)800(2 kF
rv
=OBuFF
rv
= 33
OBr
kjirOB
rrr
r
632 +=
222 632 ++=OBr
7=OBr
7
632 kjiuOB
rrr
r +
=
kjiuOB
rrr
r
857,0429,0286,0 +=
OBuFF r
v
= 33
)857,0429,0286,0(7003 kjiFr
rrv
+=
)600300200(3 kjiFr
rrv
+=
kFjFiFF zyx
rrrr
++= N
m
m
N
N
N
Soluo do Exerccio 1
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= 0Fr
)200100200( kjiFr
rr
+=
Condio de equilbrio: Vetor fora F:
N
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Mecnica Tcnica
0F
0321 =+++ FFFFrrrr
0600300200800400 =++++ kFjFiFkjikj zyxr
rrr
rrr
r
=0x
F 0200 =+ x
F 200=x
F
=0yF 0300400 =+ yF 100=yF
=0zF 0600800 =++ zF 200=zF
)200100200( kjiF +=
222 200100200 ++=F
300=F
Sistema de equaes:
Mdulo de F:
N
N
N
N
N
Soluo do Exerccio 1
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r
=
300
200arccos = 2,48
ngulos diretores de F:
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Mecnica Tcnica
F
FuF
r
r
=
300
200100200 kjiuF
rrr
r +=
kjiuF
rrr
r
+
=
300
200
300
100
300
200
300
,
= 300
100arccos = 109
=
300
200arccos = 2,48
Exerccio 2
2) A caixa de 100kg mostrada na figura suportada por trs cordas,uma delas acoplada na mola mostrada Determine a fora nas
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uma delas acoplada na mola mostrada. Determine a fora nas
cordasACeAD e a deformao da mola.
Mecnica Tcnica
Soluo do Exerccio 2
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)( iFF BBrv
= ADAD
r
ru
r
r
=
Determinao das foras: Vetor unitrio e Vetor posio:
N
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Mecnica Tcnica
)60cos135cos120cos( kFjFiFF CCCC
rrrv
++=
)5,0707,05,0( kFjFiFF CCCCr
rrv
+=
ADDD uFF r
v
=
ADr
kjirAD
rrr
r
221 ++=222 221 ++=ADr
3=ADr
3
221 kjiuAD
rrr
r ++=
kjiuAD
rrr
r
667,0667,0333,0 ++=
)667,0667,0333,0( kjiFF DD
rrrv
++=
)667,0667,0333,0( kFjFiFF DDDD
rrrv
++=
)981( kWrr
=
ADDD uFF
rv
=
N
N
N
m
m
Soluo do Exerccio 2
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Condio de equilbrio:
=0Fr
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Mecnica Tcnica
Sistema de equaes:
0=+++ WFFF DCB
rrrr
0981667,0667,0333,05,0707,05,0 =+++ kkFjFiFkFjFiFiF DDDCCCBrr
rrr
rrr
=0xF 0333,05,0 = DCB FFF
=0yF 0667,0707,0 =+ DC FF
=0zF 0981667,05,0 =+ DC FF
(I)
(II)
(III)
Soluo do Exerccio 2
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862F
Soluo das equaes:
813059,1 =DFDe (II):
Em (IV):
N
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Mecnica Tcnica
813=CF
862=DF
7,693=BF
Deformao da mola:
skFB =
s= 15007,693
1500
7,693=s
462,0=s
667,0
707,0 CD
FF
= CD FF = 059,1
0981))059,1(667,0(5,0 =+ CC FF
0981706,05,0 =+ CC FF
0981207,1 = CF
207,1
981=CF
0862333,08135,0 =BF
04,2875,406 +=BF
(IV):
Substituindo (IV) em (III):
Em (I):
N
N
N
m
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Exerccios Propostos
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3) Determine as intensidades de F1, F2 e F3 para a condio deequilbrio do ponto material.
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Mecnica Tcnica
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Prxima Aula
Soluo de Exerccios.
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Equilbrio em Trs Dimenses.
Mecnica Tcnica
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Mecnica Tcnica
Aula 8 Equilbrio do PontoMaterial em Trs Dimenses
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Tpicos Abordados Nesta Aula
Soluo de Exerccios.
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Equilbrio em Trs Dimenses.
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Soluo do Exerccio 1Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
kjirAC
rrr
r
625,1 +=
222
kjirAD
rrr
r
663 =
222 6251 ++
Cabo AC:Vetor posio:
Mdulo do vetor posio:
Cabo AD:Vetor posio:
Mdulo do vetor posio:
mm
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Mecnica Tcnica
222 625,1 ++=ACr
5,6=ACr
5,6
625,1 kjiuAC
rrr
r +=
kjiuAC
rrr
r
923,0307,0230,0 +=
ACACAC uFF r
v
=
)923,0307,0230,0( kjiFF ACAC
rrrv
+=
)923,0307,0230,0( kFjFiFF ACACACAC
rrrv
+=
222 625,1 ++=ADr
9=ADr
9
663 kjiuAD
rrr
r =
kjiuAD
rrr
r
666,0666,0333,0 =
ADADAD uFF r
v
=
)666,0666,0333,0( kjiFF ADADrrrv
=
)666,0666,0333,0( kFjFiFF ADADADAD
rrrv
=
Vetor unitrio:
Vetor Fora AC:
Vetor unitrio:
Vetor Fora AD:
N
N
mm
Soluo do Exerccio 1
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Condio de equilbrio:
=0Fr
0=+++ FFFFrrrr
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Mecnica Tcnica
Sistema de equaes:
0=+++ FFFF ADACAB
0666,0666,0333,0923,0307,0230,0600300200 =+++ kFkFjFiFkFjFiFkji ADADADACACACrrrrrrrrrr
=0xF 0333,0230,0200
= ADAC FF
=0yF 0666,0307,0300 =+ ADAC FF
=0zF 0666,0923,0600 =+ FFFADAC
(I)
(II)
(III)
Soluo do Exerccio 1
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Soluo das equaes: Em (IV):
230,0200 ACFF
=
ACAD FF = 690,0600
57,131690,0600 =ADFDe (I):
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Mecnica Tcnica
Substituindo (IV) em (II):Em (III):
333,0ADF =
ACAD FF = 690,0600
0))690,0600(666,0(307,0300 =+ ACAC FF
0459,0400307,0300 =++ ACAC FF
0766,0100 =+ ACF
766,0
100=ACF 57,131=ACF
21,509=ADF
0666,0923,0600 =+ FFF ADAC
021,509666,057,131923,0600 =+ F21,509666,057,131923,0600 ++=F
13,33943,121600 ++=F
57,1060=F
(IV)
N
N
N
Exerccio 2
2) Determine a deformao necessria em cada mola para manter acaixa de 20kg na posio de equilbrio. Cada mola tem comprimentode 2m sem deformao e rigidez k = 300N/m
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de 2m sem deformao e rigidez k= 300N/m.
Mecnica Tcnica
Soluo do Exerccio 2
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jFF OAOArr
=
222 1246 ++=OCr 14=OCr
1246 kjr
rr
++
Determinao das Foras :Cabo OA:
Mdulo do vetor posio:
Vetor unitrio:
C b OB
N
m
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Mecnica Tcnica
iFF OBOBrr
=
kjirOC
rrr
r
1246 ++=
14
1246 kjuOC
r ++=
kjiuOC
rrr
r
857,0285,0428,0 ++=
OCOCOC uFF r
v
=
)857,0285,0428,0( kjiFF OCOC
rrrv
++=
)857,0285,0428,0( kFjFiFF OCOCOCOC
rrrv
++=
)81,920( kWrr
=
)2,196( kWrr
=
Peso:
Vetor posio:
Vetor Fora AB:
Cabo OB:
Cabo OC:
N
N
N
m
Soluo do Exerccio 2
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Condio de equilbrio:
=0Fr
0rrrr
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Mecnica Tcnica
Sistema de equaes:
0=+++ WFFFOCOBOA
0)2,196857,0285,0428,0 =+++ kkFjFiFiFjF OCOCOCOBOArr
rrrr
=
0xF 0428,0 =+
OCOB
FF
=0yF 0285,0 =+ OCOA FF
=0zF 02,196857,0 =
OCF
(I)
(II)
(III)
Soluo do Exerccio 2
Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Soluo das equaes:
De (III):
2,196F
Deformao da Molas:
OBOB skF =OAOA skF =
Mola OA: Mola OB:
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Mecnica Tcnica
Em (II):
Em (I):
N
mN
857,0
=OCF
93,228=OCF
093,228285,0 =+ OAF
24,65=OAF
093,228428,0 =+ OBF
98,97=OBF
N
OBOB skF
OBs=30098,97
300
98,97=OBs
326,0=OBs
OAOA
OAs=30024,65
300
24,65=OAs
217,0=OAsm
Exerccios Propostos
Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
1) Os cabos AB e AC suportam uma trao mxima de 500N e oposte, uma compresso mxima de 300N. Determine o peso daluminria sustentada na posio mostrada. A fora no poste atuaalongo de seu prprio eixo.
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Mecnica Tcnica
Exerccios Propostos
Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
2) O cabo suporta a caamba e seu contedo que tem massa total de300kg. Determine as foras desenvolvidas nas escoras AD eAEe afora na parteAB do cabo para a condio de equilbrio. A fora emcada escora atua ao longo do seu prprio eixo.
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Mecnica Tcnica
Exerccios Propostos
Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
3) Determine a fora necessria em cada um dos trs cabos paralevantar a escavadeira que tem massa de 8 toneladas.
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158/351
Mecnica Tcnica
Exerccios Propostos
Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
4) Determine a fora necessria que atua ao longo do eixo de cada
uma das trs escoras para suportar o bloco de 500kg.
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Mecnica Tcnica
Exerccios Propostos
Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
5) O vaso suportado pelos cabos AB,ACeAD. Determine a foraque atua em cada cabo para a condio de equilbrio. Considere d=
2,5m.
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Mecnica Tcnica
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Mecnica Tcnica
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Aula 9 Avaliao 1
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Avaliao 1 Matria da Prova:
Aula 1 - Definio de Mecnica, Conceitos Fundamentais e Sistema
Aula 9 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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163/351
Internacional de Unidades Aula 2 - Escalares e Vetores - Lei dos Senos, Lei dos Cossenos eRegra do Paralelogramo
Aula 3 - Sistema de Foras Coplanares Aula 4 - Adio e Subtrao de Vetores Cartesianos Aula 5 - Vetor Posio e Produto Escalar Aula 6 - Equilbrio do Ponto Material em Duas Dimenses Aula 7 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses Aula 8 - Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses
Mecnica Tcnica
Prxima Aula
Momento de uma Fora.
Problemas em Duas Dimenses.
Aula 9 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Formulao Escalar para Clculo deMomentos.
Mecnica Tcnica
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165/351
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166/351
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Momento de uma Fora - Definio
Quanto maior a fora ou a distncia (braode momento), maior o efeito da rotao.
Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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168/351
A tendncia de rotao tambm chamadade torque, momento de uma fora ou
simplesmente momento.
Mecnica Tcnica
Exemplos de Momento
Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Mecnica Tcnica
Momento Eixo z Momento Eixox No h momento no tubo
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Exerccio 1
1) Determine o momento da fora em relao ao ponto O em cadauma das barras mostradas.
Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Mecnica Tcnica
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Exerccio 2
2) Determine os momentos da fora de 800N em relao aos pontosA, B, C eD.
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Mecnica Tcnica
Soluo do Exerccio 2Aula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
dFMC =
0800 =CM
0CM
dFMA =
5,2800 =AM
2000AM N
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Mecnica Tcnica
0=CM
dFMD =
5,0800 =DM
400=DM
dFMB =
5,1800 =B
M
1200=BM Nm
2000=AM Nm
Nm
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Exerccios PropostosAula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
2) Determine o momento da fora de 200N em relao ao pontoA.
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Mecnica Tcnica
Exerccios PropostosAula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
3) Determine o momento da fora de 400N em relao ao ponto O.
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Mecnica Tcnica
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Exerccios PropostosAula 10 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
5) Determine o momento das foras que atuam na estrutura mostradaem relao ao pontoA.
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Mecnica Tcnica
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Mecnica Tcnica
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Aula 11 Momento de uma Fora,Formulao Vetorial
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Princpio dos Momentos
Conhecido como teorema de Varignon. O teorema estabelece que o momento de uma fora em relao a um
ponto igual a soma dos momentos dos componentes das foras emrelao ao mesmo ponto.
Aula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Mecnica Tcnica
)()( 21 FrFrMOr
r
r
r
r
+=
Regras do Produto Vetorial
O produto vetorial de dois vetoresA e B produz o vetor Ce matematicamente a operao escrita do seguintemodo:
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Mecnica Tcnica
BAC
rrr
=
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Soluo do Exerccio 1Aula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
FrM OAOr
r
r
=
)203060()473( kjikjiMOr
rrr
rrr
+=
ijikjkMOrrr
rr
rr
1202401404206090 ++++=
Clculo do Momento no Ponto A:
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Mecnica Tcnica
kjirOAr
rrr
473 +=
)203060()473( kjikjiMO +
kjiMOr
rrr
510180260 ++=
Vetor Posio:
Nm
m
Exerccio 2
2) O poste mostrado est sujeito a uma fora de 60N na direo de Cpara B. Determine a intensidade do momento criado por essa foraem relao ao suporte no pontoA.
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Mecnica Tcnica
Soluo do Exerccio 2Aula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
3
212 kjiuCB
rrr
r +=
kjiuCBr
rrr
666,0333,0666,0 +=
CBuFF r
v
=r
Vetor Unitrio:
Vetor Fora:
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Mecnica Tcnica
kjirCBr
rrr
)02()43()31( ++=
kjirCBr
rrr
212 +=
222 212 ++=CBr 3=CBr
)666,0333,0666,0(60 kjiFrrrv
+=
)402040( kjiFrrrv
+=
)402040()231( kjikjiMArrrrrrr
+++=
ijikjkMArrrrrrr
40801201204020 +++=
kjiMAr
rrr
100120160 +=
222 100120160 ++=AM 224=AM
Vetores Posio:
Mdulo do Vetor Posio:
Clculo do Momento no Ponto A:
Nm
Nm
Nm
m
m
m
FrM ABAr
r
r
=
kjirABrrr
r
231 ++=
jirACrr
r
43 +=
Exerccios PropostosAula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
1) Determine o momento da fora Fem relao ao ponto O. Expresseo resultado como um vetor cartesiano.
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Mecnica Tcnica
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Exerccios PropostosAula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
3) A fora N, atua na extremidade da viga.Determine o momento dessa fora em relao ao pontoA.
)600300600( kjiF
rrrr
+=
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Mecnica Tcnica
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Exerccios PropostosAula 11 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
5) A escora AB de uma comporta de 1m de dimetro exerce umafora de 450N no ponto B. Determine o momento dessa fora em
relao ao ponto O.
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Mecnica Tcnica
Prxima Aula
Momento em Relao a um Eixo Especfico.
Momento de um Binrio.
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Mecnica Tcnica
Mecnica Tcnica
Aula 12 Momento em Relao aum Eixo Especfico e Momento de
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um Eixo Especfico e Momento deum Binrio
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Momento em Relao a um Eixo
Especfico Determina-se o momento da fora emrelao a um ponto do sistema e depois se
realiza a projeo sobre o eixo que sedeseja a partir do produto escalar
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deseja a partir do produto escalar.
A soluo contempla duas etapas, umproduto vetorial seguido de um produtoescalar.
Mecnica Tcnica
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Exerccio 1
1) A fora F atua no ponto A mostrado na figura. Determine osmomentos dessa fora em relao ao eixox.
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Mecnica Tcnica
Soluo do Exerccio 1Aula 12 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Vetor Posio:
kjirOA
rrr
r
643 ++=)102040( kjiFr
rrv
++=
iuxr
r
=
Vetor Unitrio:
Vetor Fora:
Momento em Relao ao Eixox:
mN
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Mecnica Tcnica
)( FruM OAxxr
rr
=
zyx
zyx
xzxyxx
x
FFF
rrruuu
M =
102040
643
001
=xM
20
4
0
40
3
1
102040
643
001
=xM
)]2030()4060()1041[()]0310()1620()0440([ +++=xM
]0040[]01200[ +=xM ]40120[ +=xM 80=xM
Soluo do Determinante:
Nm
Momento de um Binrio
Um binrio definido como duas forasparalelas de mesma intensidade, sentidos
opostos e separadas por um distncia d.
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O efeito de um binrio proporcionarrotao ou tendncia de rotao em umdeterminado sentido.
Mecnica Tcnica
Formulao Matemtica de um Binrio
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dFM = rr
r
r
=
Formulao Escalar: Formulao Vetorial:
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Mecnica Tcnica
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Exerccio 2 2) Um binrio atua nos dentes da engrenagem mostrada na figura.
Substitua esse binrio por um equivalente, composto por um par deforas que atuam nos pontosA e B.
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Mecnica Tcnica
Soluo do Exerccio 2Aula 12 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
ABd
MF=
2,0
24=F
120=F
Clculo das Foras:
N
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Mecnica Tcnica
dFM =
6,040 =M
24=
Momento do Binrio:
Nm
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Exerccios PropostosAula 12 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
2) Substitua os dois binrios que atuam na estrutura por um nico
binrio resultante.
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Mecnica Tcnica
Exerccios PropostosAula 12 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
3) As extremidades da chapa triangular esto sujeitas a trs binrios.Determine a dimenso d da chapa de modo que o momento de
binrio resultante seja 350Nm no sentido horrio.
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Mecnica Tcnica
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Exerccios PropostosAula 12 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
5) As engrenagens esto sujeitas aos momentos de binriomostrados na figura. Determine a intensidade do momento de binrio
resultante e especifique seus ngulos coordenados diretores.
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Mecnica Tcnica
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Tpicos Abordados Nesta Aula
Reduo de um Sistema de CargasConcentradas.
Sistemas Equivalentes de Foras eMomentos.
Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Mecnica Tcnica
Sistema Equivalente
Representa um sistema no qual a fora e omomento resultantes produzam na
estrutura o mesmo efeito que ocarregamento original aplicado.
Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Mecnica Tcnica
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Exerccio 1
1) Substitua as cargas atuantes na viga por uma nica foraresultante e um momento atuante no pontoA.
Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Mecnica Tcnica
Soluo do Exerccio 1
Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
= xRx FF = 45cos400100RxF
8,382=RxF 8,382=RxF
22 )()( RyRxR FFF +=
22 )8,882()8,382( +=RF
962=RF
Clculo da fora resultante:
No eixox:
N N
N
Direo da fora resultante:
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Mecnica Tcnica
,Rx ,Rx
= yRy FF = 45400600 senFRy
8,882=Ry
F 8,882=RyF
=
Rx
Ry
F
Farctg
=
8,382
8,882arctg
= 6,66
No eixo y:
N N
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Exerccio 2
2) A estrutura mostrada na figura est submetida a um momento Meas foras F1 e F2. Substitua esse sistema por uma nica fora e ummomento equivalente atuante no ponto O.
Aula 13Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Mecnica Tcnica
Soluo do Exerccio 2Aula 13
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
kFrr
8001 =
CBuFF r
r
= 22
=
CB
CB
r
rFF
r
r
22
+=
180,0
1,015,0300
2
jiF
rr
r
( )jiFrrr
555,0833,03002 +=
jiF 5,1669,2492 += rr
kjMr
rr
+
=
5
3500
5
4500
Determinao dos vetores de Fora eMomento:
Fora 1
Fora 2 Momento
NN
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Mecnica Tcnica
jirCBrr
r
1,015,0 +=
221,015,0 +=CBr
180,0=CBr
kjMr
rr
300400 +=Vetor Posio
Mdulo do Vetor Posio
Nm
m
m
Soluo do Exerccio 2Aula 13
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Determinao da Fora Resultante:= FFR
rr
21 FFFRrrr
+=
jikFRrr
rr
5,1669,249800 += kjiFRr
rrr
8005,1669,249 +=
= MMROrr
)()( 21 FrFrMM OBOCROr
r
r
r
rr
++=
N
Determinao do Momento Resultante no Ponto O:
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Mecnica Tcnica
krOC
r
r
1= kjirOBr
rrr
11,015,0 ++=
)5,1669,249()11,015,0()800()1()300400( jikjikkkjMROrr
rrr
rrrrr
++++++=
)5,1669,24999,2499,24(0)300400( ijkkkjMROrr
rrrrr
++++=
)5,1669,249300400( ijkjMROrr
rrr
+=
)3009,6495,166( kjiMRO
rrrr
+= Nm
m m
Vetor Posio:
Exerccios PropostosAula 13
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
1) A viga est submetida a um sistema de foras coplanares.Determine a intensidade o sentido e a localizao de uma foraequivalente ao sistema de foras em relao ao ponto E.
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Mecnica Tcnica
Exerccios Propostos
Aula 13 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
2) A placa mostrada na figura est submetida a quatro foras.Determine a fora resultante equivalente e especifique sualocalizao (x, y) sobre a placa.
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Mecnica Tcnica
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Exerccios Propostos
Aula 13 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
4) Substitua as cargas atuantes na viga por uma nica foraresultante. Especifique onde a fora atua, tomando como referncia o
ponto B.
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Mecnica Tcnica
Exerccios Propostos
Aula 13 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
5) A laje da figura est submetida a quatro pilares com cargas.Determine a fora resultante equivalente e especifique sualocalizao (x, y) sobre a laje. Considere que F1 = 30kN e F2 = 40kN.
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Mecnica Tcnica
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Mecnica Tcnica
Aula 14 Sistemas Equivalentesde Cargas Distribudas
7/25/2019 Mecanica Tecnica IFPE
231/351
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Tpicos Abordados Nesta Aula
Sistemas Equivalentes de CargasDistribudas.
Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Mecnica Tcnica
Sistema de Cargas Distribuidas
Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
A intensidade da fora resultante equivalente a soma de todas asforas atuantes no sistema e em muitos casos deve ser calculada porintegrao, uma vez que existem infinitas foras atuando sobre osistema.
A fora resultante igual a rea total sob o diagrama de carga.
AdAdxxwFAL
R === )(
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Mecnica Tcnica
Localizao da Fora Resultante
Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
A localizao da linha de ao da fora resultante em relao ao eixox pode ser determinada pela equao de momentos da foraresultante e da distribuio de foras em relao ao ponto O.
A fora resultante tem uma linha de ao que passa pelo centride da
rea definida pelo diagrama de carregamento.
=
= AL
dA
dAx
dxxw
dxxwxx
)(
)(
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Mecnica Tcnica
AL dAdxxw )(
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Exerccio 1
1) Determine a intensidade e a localizao da fora resultante
equivalente que atua no eixo mostrado na figura.
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Mecnica Tcnica
Soluo do Exerccio 1
Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
= FFR
=AR dAF =
2
0
2
)60( dxxFR
23
60
= x
F
=02
6033
F
Determinao da fora resultante:
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Mecnica Tcnica
03
60
=FR
=
33
60RF
3
860 =RF
160=RF N
Soluo do Exerccio 1
Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
=
A
A
dA
dAxx
160
)60(2
0
2
=
dxxxx
160
)60(2
0
3
=
dxxx
160
460
2
0
4
=
x
x
160
4
0
4
260
44
=x
Localizao da fora resultante:
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Mecnica Tcnica
160
4160
1660
=x
160
460 =x
5,1=x m
Exerccio 2
2) Um carregamento distribudo com p = 800x Pa atua no topo deuma superfcie de uma viga como mostra a figura. Determine a
intensidade e a localizao da fora resultante equivalente.
Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Mecnica Tcnica
Soluo do Exerccio 2
Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
2,0)800( = xw
)160( xw =
= AR dAF
Determinao da fora resultante:
P/x= 9m tem-se que w= 1440N/m
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Mecnica Tcnica
A
2
hbFR
=
2
14409 =RF
6480=RF N
Soluo do Exerccio 2
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= 9
3
19x
6=x
Localizao da fora resultante: Pelo Centride do tringulo:
m
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Mecnica Tcnica
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Exerccios Propostos
Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
2) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante e
especifique sua localizao sobre a viga em relao ao ponto O.
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Mecnica Tcnica
Exerccios Propostos
Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
3) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante eespecifique sua localizao sobre a viga em relao ao pontoA.
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Mecnica Tcnica
Exerccios Propostos
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4) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante eespecifique sua localizao sobre a viga em relao ao pontoA.
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Mecnica Tcnica
Exerccios Propostos
Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
5) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante eespecifique sua localizao sobre a viga em relao ao ponto O.
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Mecnica Tcnica
Exerccios Propostos
Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
6) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante eespecifique sua localizao sobre a viga em relao ao ponto O.
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Mecnica Tcnica
Exerccios Propostos
Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
7) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante eespecifique sua localizao sobre a viga em relao ao pontoA.
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Mecnica Tcnica
Exerccios Propostos 8) Substitua as carga atuantes por uma nica fora resultante
equivalente e especifique sua localizao sobre a viga AB medidoem relao ao pontoA.
Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Mecnica Tcnica
Prxima Aula
Apoios Submetidos a Foras Bidimensionais. Clculo de Reaes de Apoio em Estruturas Isostticas.
Aula 14 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Mecnica Tcnica
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Tpicos Abordados Nesta Aula
Apoios Submetidos a ForasBidimensionais.
Clculo de Reaes de Apoio emEstruturas Isostticas.
Aula 15 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Mecnica Tcnica
Equaes de Equilbrio da EstticaSistema Bidimensional
Aula 15 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
=0xF
=0yF
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Mecnica Tcnica
=0M
Tipos de Apoios
1) Rolete ou Apoio Mvel. Possui apenas uma incgnita, a reao uma fora que atua
perpendicularmente superfcie do ponto de contato.
Aula 15 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J.