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MecanismosProf. Jorge Luiz Erthal
Engrenagens
Projeto de Trens de Engrenagens
Nesta aula
• Ferramentas auxiliares• Aproximação por fração continuada
• Tabela de Brocot
• Fatoração
• Exemplo
Relação de transmissão
iN
N
R
R
A
A
iN
N
R
R
A
A
RARA
p
p
p
p
pp
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2211
ou
..1pR
2pR
+
-
•Máximo recomendável: 10:1
•Compatibilização do número de dentes com a relação exigida.
•O número de dentes varia na faixa entre 18 a 20 (pinhão) e 100 a 120 (coroa).•Existe uma variedade muito grande de combinações, principalmente em transmissões com mais de um estágio de redução.•Fatores comuns aos números de dentes levam ao desgaste prematuro. (ex.: 20/40).
•Qual a combinação de número de dentes que satizfaz a relação de velocidades?
Problema
2
1
N
Ni NÚMEROS INTEIROS
•Aproximação por fração continuada.• Obtenção de combinações de números inteiros que
reproduzem aproximadamente a relação exigida.
•Tabela de Brocot• Organização das frações continuadas em uma
tabela, obedecendo as exigências do projeto
•Fatoração de números primos• Fatoração de números para aumentar a escolha do
número de dentes e evitar fatores comuns.
Método
Projetar uma transmissão para uma relação total i = 0,457
32
1
2
32
2
1
21
1
22
1
1
1
1
1
11
11
1
11
1
10
11
11
10
11
10
10
10 entre darepresentaser deve relaçãoA
Q
RR
Q
Z
RR
Z
D
N
QNR
Q
Z
Zi
i
n
n
n
n
457142857,035
16
31
5
12
1
275
3
15
12
1
1000
457
454545455,011
5
51
2
1
8627
5
12
1
1000
457
5,02
1
45786
2
1
1000
4571000
457
10
457,0 :Exemplo
n
Zi
i
Aproximação por fração continuada
Aproximação por fração continuada
457002457,0407
186
21
5
13
15
12
1
21
2
15
13
15
12
1
1000
457
456989247,0186
85
51
3
15
12
1
52
5
13
15
12
1
1000
457
457142857,035
16
31
5
12
1
275
3
15
12
1
1000
457
Aproximação por fração continuada
457,01000
457
21
2
15
13
15
12
1
10
2
12
15
13
15
12
1
1000
457
457002457,0407
186
21
5
13
15
12
1
21
2
15
13
15
12
1
1000
457
Aproximação por fração continuada
457,01000457
457002457,0407186
456989247,018685
457142857,03516
454545455,0115
5,021
relaçãoDN
Aproximação por fração continuada
457,01000457
457002457,0407186
456989247,018685
457142857,03516
454545455,0115
5,021
relaçãoDN
Para uma transmissão em 1 estágio, o número máximo de dentes é 120.Portanto a tabela de Brocot deve ser construída na faixa indicada.
Tabela de Brocot
•Corresponde à seleção de frações continuadas que interessam ao projeto, obedecendo os requisitos e limitações.
•As frações continuadas são frações ditas conjugadas, ou seja, que obedecem a propriedade:
•Entre cada linha de frações continuadas ainda podem existir várias frações conjugadas.
1.. 11 iiii DNDN
Tabela de Brocot entre 5/11 e 16/35
Melhor escolha:
53/116
erro = 1,034.10-4
N D razão5 11 0,45454545551 112 0,45535714346 101 0,45544554541 90 0,45555555636 79 0,45569620331 68 0,45588235326 57 0,45614035147 103 0,45631068021 46 0,45652173937 81 0,45679012353 116 0,45689655216 35 0,457142857
Transmissão em 2 estágios
457,01000457
457002457,0407186
456989247,018685
457142857,03516
454545455,0115
5,021
relaçãoDN
Para uma transmissão em 2 estágios, serão verificadas as duas possibilidades marcadas.
Frações continuadas
2
1
4
3
1
4
N
N
N
N
A
Ai
Aproximação por fração continuadae fatoração
456989247,031
25
30
17
31
17
6
5
3132
175
186
85
•Erro de 1,075.10-5
•Ignorado o questionável uso de 17 dentes.•Incluído um fator de ajuste de 5/5.
45700245,044
31
37
24
37
31
11
6
3711
3132
407
186
•Erro de 2,457.10-6 (menor do que no primeiro caso)•Número de dentes adequado.•Incluído um fator de ajuste de 4/4
Os fatores foram distribuídos nos dois estágios para evitar fator comum no mesmo engrenamento.
N D razão5 11 0,45454545551 112 0,45535714346 101 0,45544554541 90 0,45555555636 79 0,45569620331 68 0,45588235326 57 0,45614035147 103 0,45631068021 46 0,45652173937 81 0,45679012353 116 0,45689655216 35 0,457142857
1 2
3 4
5 6
Transmissão em 3 estágios - estudo 1
Para uma transmissão em 3 estágios, seleciona-se uma linha da Tabela de Brocot para um dos estágios e, em seguida, resolve-se para os dois estágios restantes.
2
1
4
3
6
5
1
6
N
N
N
N
N
N
A
A
1 23 4
5 6
Transmissão em 3 estágios - estudo 1
Agora deve-se selecionar os pares para a relação parcial (iparcial).
2
1
4
3
6
5
1
6
N
N
N
N
N
N
A
A
99683929,0
10031707,1
9041457,0
457,090
41
parcial
parcialtotal
i
ii
Transmissão em 3 estágios - estudo 1
Será verificada a possibilidade marcada, juntamente com a relação 41/90 já definida.
Frações continuadas para i = 0,99683929N D razão1 1 1
315 316 0,996835443631 633 0,996840442946 949 0,9968387781577 1582 0,9968394442523 2531 0,9968391944100 4113 0,996839290
45700023,090
73
44
41
43
26
4311290
731341
946
949
90
41
•Erro: 2,349.10-7
•Utilizou-se um fator 2/2, distribuído para evitar fatores comuns num mesmo engrenamento.
N D razão5 11 0,45454545551 112 0,45535714346 101 0,45544554541 90 0,45555555636 79 0,45569620331 68 0,45588235326 57 0,45614035147 103 0,45631068021 46 0,45652173937 81 0,45679012353 116 0,45689655216 35 0,457142857
1 2
3 4
5 6
Transmissão em 3 estágios - estudo 2
2
1
4
3
6
5
1
6
N
N
N
N
N
N
A
A
1 23 4
5 6
Transmissão em 3 estágios - estudo 2
Agora deve-se selecionar os pares para a relação parcial.
2
1
4
3
6
5
1
6
N
N
N
N
N
N
A
A
998953477,0
10010476,1
4621457,0
457,046
21
parcial
parcialtotal
i
ii
Transmissão em 3 estágios
Será verificada a possibilidade marcada, juntamente com a relação 21/46 já definida.
Frações continuadas para i = 0,998953477N D razão1 1 1
954 955 0,9989529955 956 0,99895401909 1911 0,9989534
10500 10511 0,9989535
457000023,083
39
46
49
23
21
83232
1373
1909
1911
46
212
32
•Erro: 2,3.10-8
•Resultado melhor do que o obtido no estudo 1.
Projeto de TransmissãoComentários
•Existem outras possibilidades que podem ser exploradas.
•As possibilidades são imensas, mesmo na faixa entre 20 e 120 dentes.
•Necessita da habilidade do projetista.
•Importância do uso das ferramentas para orientar no projeto e na escolha da solução mais adequada.
Referência
Doughty, S.. Mechanics of Machines. New York: John Wiley, 1988.
Capítulo 5
Norton, R. L.. Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos. Porto Alegre: Bookman, 2010.Capítulo 9
Textos relacionados
Part 3: Brocot's Tables of Gear Ratios.
http://www.globalspec.com/reference/68677/203279/part-3-brocot-s-tables-of-gear-ratios
Part 4: Important Considerations in Designing Gear Trainshttp://www.globalspec.com/reference/68678/203279/html-head-part-4-important-considerations-in-designing-gear-trains
Using Continued Fractions to Find the Best Gear Ratiohttp://www.globalspec.com/reference/68679/203279/using-continued-fractions-to-find-the-best-gear-ratio
