Medidas de Localização

Medidas de Localização

1. Medidas de Localização

(ou de Tendência Central)

Servem para reduzir a quantidade de informação a um só valor que é usado para representar

de uma forma global o conjunto de dados.

Como é óbvio as medidas de localização facilitam a análise e interpretação dos dados

estatísticos.

As medidas de localização que se irão estudar são a média, a moda, a mediana e os quartis.

Porém, antes de se tratar cada uma destas medidas, estudar-se-á o operador de somatório, o

qual permite uma considerável simplificação da escrita.

Conceito de somatório:

O operador de somatório é representado pelo símbolo Σ e serve para escrever de forma

simplifica uma soma.

Assim, a expressão ∑=

5

1iif lê-se “somatório de if para i de 1 a 5, em que:

A letra i chama-se índice do somatório;

Os números 1 e 5 chamam-se limite inferior e limite superior do somatório,

respectivamente.

Assim, no caso da seguinte tabela:

ix 13 14 15 16 17

if 2 7 9 3 2

239724321

4

14 ++++=+++== ∑

=

fffffFi

i


Outros exemplos:

19)12()11()10()11()12()13()1( 2222222

3

2 =+++++++−++−++−=+∑−=j

j

49777777777

1

=++++++=∑=k

1.1. Média e Moda

Sejam x1 , x2 , x3 , … , xn, os n valores (dados estatísticos) de uma variável quantitativa.

Chama-se média e representa-se por x .

Exemplo 1 (Média e Moda – Dados Simples)

Registou-se o número de filhos de 14 funcionários de um prédio, tendo-se obtido os resultados

seguintes:

3 2 1 2 0 4 21 2 3 5 4 3 2

1- a) O valor da média é determinado pela seguinte fórmula:

42,214

23453212402123

14

... 1421 ≈+++++++++++++=+++

=xxx

x

1- b) A moda (corresponde ao valor que ocorre mais vezes) é 2.

2=oM

Relativamente à moda, uma distribuição pode ser:

Amodal – quando não tem um valor que ocorre mais vezes;

Bimodal – quando 2 valores se repetem mais vezes;

Multimodal – mais do que 2 valores ocorrem mais vezes.

Exemplo 2 (Média e Moda – Dados Agrupados)


As alturas dos alunos de uma turma estão distribuídos segundo a seguinte tabela:

Onde ix corresponde à marca da classe que corresponde ao valor médio do intervalo.

Portanto, ix de [1,50 ; 1,58 [ é 2

58,150,154,1

+= .

2- a) Nestes casos, em que os dados estão agrupados (em classes), para se determinar a

média, utiliza-se a fórmula seguinte:

67,122

78,1470,1862,1754,13... 442211 ≈×+×+×+×=+++

== ∑N

fxfxfx

N

xfx ii

2- b) Qual é a classe modal, a moda aproximada e a moda?

Sempre os dados estão agrupados em classes, não é possível determinar um valor exacto para

a moda.

No caso, a classe modal é [1,66 ; 1,74[, uma vez que é a tem a maior frequência

absoluta.

A moda aproximada corresponde ao valor médio do intervalo da classe modal. No

caso, 7,12

74,166,1 =+=oM .

Para se determinar a moda é necessário proceder à sua localização a partir de um

histograma de frequências absolutas.


Procedimento:

1. Identifica-se a classe modal;

2. Unem-se os vértices opostos como se vê na figura;

3. Obtido o ponto de intersecção das duas rectas, traça-se uma recta perpendicular ao

eixo horizontal;

4. O ponto de intersecção corresponde à moda.

1.2. Mediana e Quartis

A mediana corresponde ao dado estatístico que se encontra a meio da amostra, estando a

mesma ordenada, por ordem crescente ou decrescente.

Portanto, corresponde ao valor que a amostra apresenta para 50 % da sua distribuição.

Da mesma forma como se procedeu para o caso das medidas de localização moda e média,

para o caso da mediana e quartis, far-se-á uma divisão em dados simples e dados agrupados

(em tabela de frequência).

Exemplo 1 (mediana e quartis - dados simples)

As idades dos melhores amigos do Rui são as seguintes:

14 12 13 13 15 12 15 14 13

As idades dos amigos do Filipe são:

13 15 16 17 14 13 14 16 17 18

1- a) Qual é a mediana (~

x ) de cada um dos conjuntos de dados?


Para determinar a mediana, começa-se por ordenar cada conjunto das idades, uma vez que a

mediana corresponde ao valor que ocupa a posição central da distribuição, depois desta ter

sido ordenada.

A mediana das idades dos amigos do Rui: (N ímpar)

N=9

12 12 13 13 13 14 14 15 15

13~

=x

Para determinar o valor da mediana é necessário ter em atenção a dimensão da amostra: N=9

13~

== kxx

Em que:

No caso, da mediana dos amigos do Filipe, a dimensão da amostra é 10. (N par)

N=10

13 13 14 14 15 16 16 17 17 18

Há dois valores centrais

Neste caso, a mediada é determinada pela média dos dois valores centrais:

5,152

1615

21

~

=+=+= +kk xxx

52

10

2

1 ==+= Nk


Onde:

De facto, para o caso de N=10,

5,152

65 =+

=xx

k .

1- b) Qual é o 1.º, o 2.º e o 3.º quartil da distribuição das idades dos amigos do Rui?

Os Quartis dividem a distribuição em 4 partes:

1.º quartil (Q1) corresponde ao valor de 25 % da distribuição



Assim, para o caso das idades do amigos do Rui:

12 12 13 13 13 14 14 15 15

5,122

13121 =+=Q 13

~

=x 5,142

15143 =+=Q

Exemplo 2 (mediana e quartis - dados agrupados)

25%

50%

75%

2

Nk =


Considere a seguinte tabela:

2- a) Qual é a classe mediana?

Tendo em atenção a definição de mediana, esta encontra-se na classe [3; 3,5[, uma vez que é

aí que se encontra o valor central da distribuição.

Ao intervalo [3; 3,5[, chama-se classe modal.

2- b) A localização geométrica, da mediana e dos quartis faz-se de acordo com a

imagem seguinte:


Procedimento (para determinar a mediana):

1. Constrói-se o histograma de frequências relativas acumuladas (%) e correspondente

polígono;

2. Traça-se uma recta perpendicular ao eixo vertical partindo do ponto 50%;

3. Esta intersecta o polígono;

4. Partindo deste ponto de intersecção do polígono, traça-se uma nova recta

perpendicular ao eixo horizontal;

5. A intersecção corresponde à mediana.

A localização do 1.º, e 3.º quartil procede-se de forma idêntica.

Prof. Gustavo Soutinho

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