Medidas_de_dispersao

8/6/2019 Medidas_de_dispersao

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Medidas de Dispersão

IntroduçãoAmplitudeVariância

Desvio PadrãoCoeficiente de Variação



Introdução

• Estudo de medidas que mostram adispersão dos dados em torno datendência central

• Analisaremos as seguintes medidas: – Amplitude

– Variância – Desvio Padrão – Coeficiente de Variação



Introdução

• Por que estudar? – Entender grandes volumes de informação (pesquisas

de mercado, índices populacionais, acessos a sites)

– Qualidade de processos (CEP – Controle Estatísticode Processos)

– Previsões confiáveis (projeções financeiras e

populacionais, vida útil de equipamentos)

– Planejamento (coleta de dados, definição deamostras, planos de contingência)



Amplitude

• É a diferença entre a maior e a menor observaçãoem um conjunto de dados

• Mede a dispersão total no conjunto de dados

• É uma medida simples que não leva emconsideração como os dados são efetivamentedistribuídos entre os valores extremos

menor maior X X A −=



Amplitude

• Exemplo: Dada a amostra abaixo, calcule aamplitude.

OBS: A amplitude calculada não nos fornece qualquer informação sobrea tendência central e distribuição das observações

5

12

3,7

3,5

3

2

Custo de produção

(em milhões)

10212 =−= A



Variância

• A variância da amostra é a média aproximada das diferenças aoquadrado entre cada uma das observações e a média aritmética daamostra

onde:n é o tamanho da amostra

1

)(....)()()( 223

22

212

−−++−+−+−=

n

X X X X X X X X S n

OBS: O tamanho da amostra é subtraído de 1 devido ao fator decorreção de Bessel, que visa uma estimativa mais precisa. No cálculo

de variância para toda a população, este corretor é dispensado.



Variância

• A fórmula da variância de uma amostra pode ser escrita de formaresumida

Resumindo: A variância é a soma das diferenças ao quadrado em tornoda média aritmética dividida pelo tamanho da amostra menos um

1

)(1

2

2

−

−= ∑=

n

X X

S

n

i i



Variância

• A variância também pode ser calculada pela fórmulaa seguir, que exige um número menor de operaçõesaritméticas

• A variância da população é representada pelosímbolo σ2, porém é mais comum e prático o cálculoda variância da amostra

S 2=∑ x

2−∑ x2

n

n−1



Variância

➔ Exercício: Calcule a variância da amostra

Idades

18

3522

20

42

16



Variância

• Exemplo: Calcule a variância da amostra

5,25= X

i x x xi −

-7,5

9,5

-3,5

-5,516,5

-9,5

56,2518

90,2535

12,2522

30,2520272,2542

90,2516

2

id

∑ = 5,5512

id

3,110

5

5,5512 ≅=S



Variância

• Propriedades1. Somando-se (ou subtraindo-se) a cada elemento de

um conjunto de valores uma constante arbitrária, avariância não se altera

2. Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento deum conjunto de valores por um valor constante, avariância fica multiplicada (ou dividida) pelo

quadrado da constante



Desvio Padrão

• Desvio padrão é a raiz quadrada da variância daamostra

1

)(1

2

−

−=

∑=

n

X X

S

n

i

i



Desvio Padrão

• O desvio padrão indica o afastamento dosvalores observados em relação à médiaaritmética da amostra estuda

• É um conceito imprescindível paraanálises gráficas, determinação de

confiabilidade e estudos de distribuições



Desvio Padrão

• Exemplo: com base na amostra utilizada noexercício de variância, calcule o desviopadrão.

5,10

5

5,5512 === S S



Desvio Padrão

• Propriedades1. Somando-se (ou subtraindo-se) a cada elemento de

um conjunto de valores uma constante arbitrária, odesvio padrão não se altera

3. Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento deum conjunto de valores por um valor constante,desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) pela

constante



Coeficiente de Variação

• Dentre as medidas de dispersão relativa, o coeficientede variação mais é o de Pearson (CVp)

• É expresso em porcentagem

• Útil para comparação de variabilidade de dois conjuntosde dados com unidades de medidas diferentes

• Também é útil para comparar amostras decomportamento bastante diferentes (ex: ações de umaindústria X ações de empresa de serviços aéreos)



Coeficiente de Variação

• CVp é baseado no quociente entre o desviopadrão e a média aritmética

• Quanto menor este valor, mais homogêneoserá o conjunto de dados

%100 = X

S

CV p



Exercícios

1. Para os dados usados nos exercícios devariância e desvio padrão, calcule ocoeficiente de variação

3. O desvio padrão e a variância podem ser negativos?

5. Em que situação o desvio padrão e a variânciasão nulos? Qual é a amplitude neste caso?



Obrigado!

Até a próxima aula.

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