Mestrado Integrado em Engenharia Biomédicafisica.uc.pt/data/20082009/apontamentos/apnt_169_7.pdf · Slide 1 Sinais e Sistemas ... Exemplo: Sistema com 4 interligações Slide 24

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Slide 1 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias

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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs

Slide 1 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM

Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias

Análise e Processamento de Bio-Sinais Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica

Sinais e Sistemas Licenciatura em Engenharia Física

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Universidade de Coimbra


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Sobre Modelos para SLIT’s

Introdução

 Métodos de descrever a relação entre sinais de entrada e de saída de um sistema para Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo – SLIT

  Descrição por modelos que poderão ajudar na análise e predição do comportamento de SLITs

  Caracterização em termos de:

•  Resposta a um impulso (aplicada em t=0 ou n=0) (caracterização como uma combinação de sinais deslocados no tempo)

•  Equação diferencial linear e de coeficientes constantes ou equação de diferenças

•  Interligação de módulos elementares de sistemas

•  Descrição por variáveis de estado

  As formas de representação e seus respectivos modelos são equivalentes no sentido em que resultam em respostas no sinal de saída iguais para os mesmos sinais de entrada



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A Soma de Convolução

A Soma de Convolução para sinais discretos

  Um sinal pode ser expresso por uma sobreposição de impulsos deslocados no tempo.

Considerando

Pode ser expresso como uma soma pesada de impulsos deslocados no tempo

Pode ser expresso por

δ

δ

δ

δ

δ




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Se H representar o operador do sistema

Sendo o sistema invariante no tempo qualquer deslocamento temporal da entrada provoca um deslocamento temporal da saída

onde h[n] é a resposta impulsional do SLIT com operador H. A resposta do sistema

Designado somatório de convolução



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Procedimento de Cálculo

Exemplo: Comunicação Multi-Canal: Calculo da Soma de Convolução

  Considere um SLIT discreto e representando um canal de comunicação com duas vias (uma via directa e uma via indirecta). A amplitude do sinal pela via indirecta vem atenuado de 50% resultando num sinal

  O canal foi ensaiado com o que permitiu determinar a seguinte resposta impulsional

  Determinar a resposta do sistema quando é aplicada a entrada




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Exemplo: Comunicação Multi-Canal: Calculo da Soma de Convolução

Solução O sinal de entrada pode ser expresso por uma soma pesada de impulsos

deslocados no tempo

Notar que entrada é nula para n<0 e n>2 sendo a saída y[n] calculada através de

Adicionando as respostas impulsionais obtemos a resposta



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Para sistemas discretos com resposta a impulso com equações mais extensas é possível estabelecer um procedimento sistemático para o cálculo do Somatório de Convolução

Definindo o sinal intermédio

Como nesta definição consideramos k como variável e tratamos o n como uma constante e redefinimos o Somatório de Convolução como

Notar que , que corresponde a uma reflexão de , seguido de um deslocamento -n


Somatório de vários valores do sinal de entrada, pesados pelos valores da resposta a impulso




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Integral de Convolução:

O Integral de Convolução A resposta de um sistema contínuo, linear e invariante no tempo também pode ser

descrita pela sua resposta impulsional composto com o sinal de entrada.

Representando o sinal de entrada por uma sobreposição (aqui um integral) de sinais de impulso deslocados no tempo

e por H o sistema ao qual a entrada x(t) foi aplicada

Sendo o sistema invariante no tempo

Correspondendo ao Integral de Convolução



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Integral de Convolução:

Resposta a Impulso de um SLIT

ENTRADA:: Impulso atrasado SAÍDA:: Resposta a impulso TAMBÉM atrasada




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Procedimento de Cálculo:

É possível estabelecer um procedimento para o cálculo do Integral de Convolução

Definindo o sinal intermédio

Como nesta definição consideramos τ como variável e tratamos o tempo t como uma constante podemos redefinir o Integral de Convolução como

Notar que corresponde a uma reflexão de e de seguida um deslocamento

Composição do sinal de entrada, após ser pesado pelos valores da resposta a impulso



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Exemplo: Calcular o integral de convolução de um sistema com uma entrada

e resposta a impulso

Solução:

τ

τ

τ

h(t-τ)




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τ τ

τ

τ

τ

τ

t



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τ τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

t




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t



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Exemplo: Suponha que a distância a um objecto é determinada por determinação do tempo

de propagação dum pulso de radiofrequência (RF) que é emitido segundo a expressão

A resposta a impulso do canal de propagação é medida através de emissão de um impulso de RF. A resposta foi um impulso atenuado e atrasado no tempo com a seguinte representação

Solução:

Atraso Atenuação




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Nota: Sinal é atenuado e atrasado no tempo

β β



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Interligações de SLIT

Se um sistema é interligado por diferentes componentes cujas respostas impulsionais são conhecidas então é possível determinar a resposta impulsional final de todo o sistema.

As interligações consideradas são:

Paralela

Série ou Cascata




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Configuração Paralela

Sistema contínuo

Sistema discreto



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Configuração Série




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Configuração Série

Propriedade Associativa

Propriedade Comutativa

Sistema contínuo

Sistema discreto

Sistema contínuo

Sistema discreto



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Exemplo: Sistema com 4 interligações

Considere o sistema da figura cujos

Módulos têm a seguinte resposta

Impulsional:

Determinar a resposta impulsional do sistema.




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Exemplo: Sistema com 4 interligações



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Propriedades de um SLIT

A resposta impulsional caracteriza completamente o comportamento entrada/saída de um SLIT.

As propriedades de um sistema podem ser relacionadas com a resposta a impulso.

Podemos obter relações para propriedades tais como Memória de um Sistema

Sistema Causal

Estabilidade do Sistema




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Memória de um SLIT

  Um SLIT não tem memória se a sua resposta no instante t depende unicamente do valor de entrada no instante t.

  Para um sistema sem memória:

  Condição é:



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Condição para SLIT sem memória de um SLIT

  Para o caso discreto.

  Para caso contínuo:




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SLIT Causal Um SLIT é causal se depender só dos valores presentes e passados do

sinal de entrada.

Para um sistema discreto é equivalente a

Para um sistema contínuo no tempo

Presente

Passado



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SLIT Estável

  Sendo o SLIT estável para uma entrada

então o correspondente sinal de saída será estável e obedecerá à restrição

  A resposta impulsional de um SLIT discreto e estável deverá obedecer à restrição

  No caso contínuo a




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Invertível

O sistema será invertível se a entrada do sistema pode ser recuperada a partir da saída a menos de um factor de escala.

  O processo de recuperar x(t) a partir de h(t)*x(t) é o inverso de uma convolução (“deconvolução”).

  Para sistemas contínuos

  Para sistemas discretos



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Propriedade Contínuo Discreto

Sem Memória

Causal

Estabilidade

Invertível




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Resposta Degrau:

A aplicação de um sinal degrau poderá ser utilizado para caracterizar a resposta de um SLIT

Caso discreto

Caso contínuo

Resposta impulso

Resposta do SLIT

Sinal de entrada - degrau

Somatório da resposta impulso

Resposta impulso Resposta do SLIT



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Resposta Degrau:

Notar que as relações anteriores podem ser invertidas de forma a obter a resposta a impulso:

Desta forma a resposta a impulso fica caracterizada.




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Resposta Degrau:

Exemplo: Circuito RC: Resposta a Degrau Considerando que a resposta impulsional do circuito

em anexo é

Determine a resposta a degrau. A partir do instante t=0 é aplicada uma tensão constante na fonte e o

condensador carrega até atingir a tensão da fonte.



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Resposta Degrau:

Exemplo: Circuito RC: Resposta a Degrau

Resposta a degrau de um circuito RC para RC = 1.




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Representações para SLITs :

Equações Diferenciais e de Diferenças

  Equações diferenciais e equações lineares de coeficientes constantes são uma forma de representar SLITs.

  As equações de diferenças são utilizadas para representações de sistemas discretos

  As equações de diferencias são utilizadas para representações de sistemas contínuos

  A ordem de uma equação de diferenças ou diferencial corresponde ao de dispositivos de memória/armazenamento de energia do sistema.

Muitas vezes e então a ordem é só descrita por



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Equações Diferenciais:

Exemplo: Equação Diferencial

Considerando a saída y(t) correspondente à corrente que circula no circuito RLC da figura e função da tensão de entrada x(t):

Esta expressão é de ordem N=2 (tem dois dispositivos de armazenamento de energia).




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Equações Diferenças:

o Exemplo: Equação Diferenças

Um exemplo de uma equação de diferenças de ordem N=2 é

que representa a relação entre a entrada e a saída de sinais de um sistema que processa os dados em computador.

A ordem indica o número de unidades de memória necessárias.

o As equações de diferenças podem ser reorganizadas de forma a dar uma igualdade que expressa a saída expressa de forma recorrente:

Nesta expressão é possível obter y[n] em função dos valores passados da entrada e da saída.



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Considerando a equação de diferenças

Podemos reescrever esta equação da forma

Que permite calcular y[n] em função dos valores passados da entrada e da saída.




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  O calculo anterior exige valores para e .

  Estas valores são as condições iniciais do sistema.

  O número de valores para as condições iniciais do sistema é igual à memória do sistema.

  Para uma equação de diferenças de ordem N os valores a determinar são

  Para um equação diferencial de ordem N os valores a determinar são



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Determine os dois primeiros valores da saída para o sistema descrito por

Assuma que a entrada é dada por

e as condições iniciais são

Os valores iniciais são:




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Solução das Equações :

A saída de um sistema descrito por uma equação de diferenças ou uma equação diferencial pode ser expressa pela adição de duas componentes:

Solução homogénea (solução da equação diferencial ou de diferenças)

Solução particular (uma qualquer outra solução da equação original)

A solução completa é

Solução Homogénea

A forma homogénea de uma equação diferencial ou de diferenças é obtida igualando a zero todos os termos que envolvam a entrada.

Para um sistema contínuo

Solução homogénea

Equação homogénea



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Para um sistema contínuo

Em que são as N raízes da equação característica

No caso de raízes repetidas p vezes então os termos envolvendo essas raízes tomam a forma






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Para um sistema discreto

Em que são as N raízes da equação característica do sistema discreto

No caso de raízes repetidas p vezes então os termos envolvendo essas raízes tomam a forma





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Exemplo: Circuito RC: Solução Homogénea

  A relação entre a tensão na fonte e os terminais do condensador do circuito RC da figura pode ser descrito por

A sua equação homogénea é

Utilizando para N=1 obtemos a solução

Em que é a raiz é solução da equação característica

com




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Exemplo: Sistema Recorrente de Primeira Ordem : Solução Homogénea

  A equação homogénea do sistema recorrente de primeira ordem (N=1) descrito pela equação de diferenças

A sua correspondente equação homogénea é

Utilizando para N=1 obtemos a solução

Em que é a raiz é solução da equação característica

com



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Exemplo: Sistema Recorrente de Primeira Ordem : Solução Particular

Determinar a solução particular para o sistema recorrente de primeira ordem (N=1) descrito pela equação de diferenças

quando se aplica a entrada .

Assumindo uma solução

Sendo obtemos a solução




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Exemplo: Circuito RC: Solução Particular

Considerando o circuito RC da figura, determine a solução particular quando este sistema é sujeito à entrada

A equação diferencial do sistema é

Assumindo a solução particular da forma

Igualando os termos em e obtemos



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Solução Completa

A solução completa é obtida por adição da solução homogénea com uma solução particular:

Para obter a expressão final determinam-se os coeficientes desconhecidos na expressão utilizando condições iniciais.

1º - Determinar a solução a partir das raízes da equação característica.

2º - Determinar a solução assumindo que é forma idêntica que a entrada mas com termos independentes da solução homogénea.

3º - Determinar os coeficientes da solução homogénea

de forma que satisfaça as condições iniciais do sistema.




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Exemplo: Circuito RC: Solução Completa

Considerando o exemplo do circuito RC da figura, determine a solução completa quando e este sistema é sujeito

à entrada

A solução homogénea é

A solução particular é

Colocando obtemos a solução completa

em que pois o sinal de entrada não introduz impulsos na parte direita da equação



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Características dos Sistemas

Por vezes é bastante informativo exprimir a resposta de um sistema em função da soma de duas componentes:

•  Componente associada só às condições iniciais – resposta natural

•  Componente associada só ao sinal de entrada – resposta forçada

Neste caso a solução completa é

Resposta Natural

A resposta natural corresponde à saída do sistema para uma entrada de sinal nula e dessa forma permite descrever como o sistema dissipa a sua energia ou memória do passado e representada pelas condições iniciais.

Resposta Forçada

A resposta forçada corresponde à saída do sistema a um sinal na entrada mas assumindo condições iniciais nulas. Nessa situação assumimos que o sistema está em repouso e não existe energia armazenada no sistema ou a sua memória está vazia.




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Exemplo: Circuito RC: Resposta Natural

O circuito RC da figura pode ser descrito por

Mas pretende-se obter a sua resposta natural assumindo que

Sendo a solução homogénea

Se for a constante for calculada de forma a satisfazer a condição inicial

Então e resposta natural do sistema é



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Exemplo: Circuito RC: Resposta Forçada

Considerando o exemplo do circuito RC da figura, determine a sua resposta forçada assumindo que

e a entrada é

Sabendo que a resposta completa é

A resposta forçada é determinada escolhendo c quando o sistema está em repouso, ou seja quando:

Nesse caso e a resposta forçada é dada por




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Resposta a Impulso

Sendo conhecida a resposta a degrau podemos determinar a resposta a impulso através da relação matemática entre as duas respostas.

Por definição a resposta a degrau assume que o sistema está em repouso ou seja, com condições iniciais nulas.

Para um sistema contínuo a resposta a impulso relaciona-se com a resposta a degrau através de

Para um sistema discreto a resposta a impulso relaciona-se com a resposta a degrau através de

Resposta a degrau Resposta a impulso

Resposta a degrau Resposta a impulso



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Linear e Invariante

A resposta forçada de um sistema SLIT pode ser obtida por combinação linear das entradas.

De forma semelhante a resposta natural de um sistema SLIT pode ser obtida por combinação linear das condições iniciais.




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Equação Característica – As suas raízes

A resposta forçada depende do sinal de entrada e das raízes da equação característica.

A resposta natural depende das raízes da equação característica.

Daqui podemos concluir que as raízes da equação característica têm um papel fundamental no comportamento do sistema.

A estabilidade de um sistema está relacionada com as raízes equação característica.

A condição de estabilidade BIBO (entrada limitada, saída limitada) implica que a resposta natural seja limitada:

Caso discreto

Caso contínuo



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Diagramas de Blocos

Representações por Diagramas de Blocos

Um diagrama de blocos é uma representação para as operações elementares que são realizadas num sistema.

Um sistema com uma determinada característica entrada/saída pode ser representada por diferentes diagramas de blocos.

As três operações elementares nos sinais são:

Multiplicação Escalar

Adição

Integração

(para sistemas contínuos)

Deslocamento temporal

(para sistemas discretos)




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Diagramas de Blocos


Equação diferenças de ordem 2



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Diagramas de Blocos


  Para SLITs não existe uma única descrição por diagrama de blocos.

  Assumindo que o sistema ao lado

é um SLIT composto por 2 sub-sistemas

em série, é possível trocar a ordem

dos elementos sem alterar a sua relação

entrada/saída.

  Definindo f[n] como a saída do novo

sistema intermédio

  f[n] será a entrada para o subsistema

seguinte




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Diagramas de Blocos


  Forma Directa I.

  Forma Directa II

A forma directa II utiliza a memória de forma mais eficiente.



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Diagramas de Blocos

Exemplo: Diagramas de Blocos: Forma Directa I e Forma Directa II

Desenhe o diagrama de blocos correspondente ao sistema

Forma directa I.

Forma directa II.




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Variáveis de Estado

Descrições por Variáveis de Estado

Uma descrição por variáveis de estado de um SLIT consiste num conjunto de equações de diferença ou diferenciais que descrevem o estado do sistema e como evolui, assim como uma equação que relaciona a saída do sistema função das variáveis de estado e da entrada.

As equações são representadas de forma matricial.

Podemos analisar ou projectar o comportamento do sistema recorrendo à álgebra de matrizes.

O estado do sistema corresponde a um conjunto mínimo de sinais que permitem representar toda a memória passada do sistema:

•  Conhecido estado do sistema num instante ni (ou ti) e as entradas para n>= ni (ou t>= ti) podemos determinar a saída para todos instantes n>= ni (ou t>= ti).



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  Considere a descrição da figura na Forma Directa II

  Defina as variáveis de estado

(q1[n] , q2[n]) à saída das unidades

de memória

  O próximo valor do estado (q1[n+1] , q2[n+1])

corresponde às entradas das unidades de

memória e pode ser determinado por

  A saída do sistema pode expressa por




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  Descrevendo

Na forma matricial

Vector de estado



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Na forma matricial

Com

Se o sistema é de ordem N então




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Variáveis de Estado Descrições por Variáveis de Estado

Na descrição de um sistema contínuo por variáveis de estado a forma matricial é análoga com a excepção da expressão para a equação do estado que expressa em termos da derivada do vector de estado.

Exemplo: Descrição por Variáveis de Estado a Partir de um Diagrama



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Transformações do Estado

Não existe uma única representação por espaço de estado (ou variáveis de estado) o que implica que deverá existir uma transformação T que permite transformar um espaço de estado noutro espaço de estado.

Essa transforma T é uma matriz (NxN) sendo q(Nx1).

A matriz deverá ser não-singular (permitir inversa) para que seja possível uma relação 1 para 1 entre os dois espaço de estado:

As relações para as equações de estado serão:

De forma similar

Então




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Sumário

o Convolução

o O Integral de Convolução

o Interligações de SLIT - Sistemas Lineares Invariantes no Tempo

o Propriedades de SLIT   Resposta a Impulso   Resposta a Degrau

o Equações Diferenciais e de Diferenças para SLIT

o Soluções para Equações Diferenciais e de Diferenças

o Características dos Sistemas

o Representação por Diagramas de Blocos

o Descrições de SLIT por Variáveis de Estado



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