Mestrado Integrado em

Engenharia Electrónica e Telecomunicações

Propagação de Ondas Electromagnéticaswww.deei.fct.ualg.pt/POE/

Sérgio M.M. Jesussjesus@ualg.pt

Faculdade de Ciências e TecnologiaUniversidade do Algarve

2016

Versão 1.0a - 11 de junho de 2016

(html://www.deei.fct.ualg.pt/POE/poe-V1.0a.pdf e poe-V1.0a-X2.pdf)

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História da disciplina (versão 1.0 - junho 2016)

O material deste texto de apoio foi preparado com vista a uma primeira lecionaçãoda disciplina no segundo semestre do ano letivo 2015-16. Trata-se de um texto pre-liminar com correções previstas durante o semestre em vista da obtenção de umaprimeira versão estável no final do semestre. O programa foi retirado do texto deavaliação do MIEET de 2012. Encontra-se igualmente disponível uma versão on-lineem www.deei.fct.ualg.pt/POE/html/ (tentativa).

Nota prévia e agradecimentos

O material contido neste conjunto de apontamentos é cedido a título gratuito e paraser utilizado exclusivamente como texto de apoio à disciplina de Propagação de On-das Electromagnéticas do curso de Mestrado Integrado em Engenharia Electrónica eTelecomunicações da Universidade do Algarve. Este texto poderá (e tem com certeza)erros involuntários1, de cujas consequências o autor não poderá ser responsabilizado.Em caso de perdas ou prejuízos, directos ou indirectos, causados pelo uso deste textoé concedida uma indemnização igual ao custo do próprio texto, i.e., zero Euros. Asua consulta não dispensa (e aliás aconselha) a de outras obras, nomeadamente ascitadas na bibliografia.

Boa leitura !...

1Agradecem-se correções e comentários para sjesus@ualg.pt

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Índice

1 Introdução 4

2 Propagação electromagnética e radiação 8

2.1 Justificação histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Ondas electromagéticas 11

3.1 Forças, campos de escalares e de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.1 Divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.2 Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Equação de onda e equação de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4 Ondas planas monocromáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.5 Polarização de uma onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Propagação guiada 19

4.1 A linha de propagação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Equações diferenciais acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3 Regime harmónico sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4 Ondas progressivas, regressivas e impedância característica . . . . . . 22

4.5 Coeficientes de reflexão e de transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.6 Rácio de onda estacionária (ROS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.7 Adaptação de impedância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.8 Ábaco de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.9 Parâmetros S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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1 Introdução

Uma onda electromagnética é formada simultaneamente por um campo elétrico E epor um campo magnético B

1, oscilando à mesma frequência f = 1/T (Hz), onde T (s)é o período. Estes dois campos, perpendiculares um em relação ao outro, propagam-se no meio (ver figura 1.1) a uma velocidade que depende do meio considerado. Novazio a velocidade de propagação é c = 3 × 108 m/s. A frequência de oscilação f

Figura 1.1: onda electromagnética formada por um campo eléctrico e um campomagnético (ver en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_radiation).

encontra-se ligada à velocidade de propagação ν através da equação

λ =ν

f(1-0.1)

onde λ é o comprimento de onda (em metros), correspondendo à distância percorridapela onda durante um ciclo completo, ν = c no vazio. De acordo com a relação (1-0.1)para um dado meio de propagação, quando mais elevada é a frequência, menor é ocomprimento de onda.

O espectro eletromagnético cobre uma larga gama de frequências com utilidade nasmais variadas aplicações. A figura 1.2 ilustra o espectro electromagnético através deuma sinusoide de frequência descrescente e por isso de comprimento de onda crescentede acordo com (1-0.1) (ver escala na parte inferior da figura). Partindo das ondasmais energéticas temos:

• raios gama: são devidos às radiações emitidas pelos elementos radioactivos;muito energéticos, atravessam facilmente a matéria e são muito perigosos paraos tecidos vivos. O seu comprimento de onda vai de 10−14 m e 10−12 m.

1a notação negrito (bold) é usada para designar grandezas vectoriais.

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raios γ | raios X | ultravioleta | visível | infraverm. | Hyper F | rádio F

Figura 1.2: espectro electromagnético em função do comprimento de onda.

• raios X: são também muito energéticos e atravessam tecidos e matéria mesmoque um pouco menos perigosos que os raios gama; são utilizados em medicina,no controlo de bagagens e na investigação da matéria. O seu comprimento deonda situa-se entre 10−12 e 10−8 m.

• ultravioleta: mesmo assim uma radiação relativamente energética, são nocivospara a pele. Felizmente grande parte da radiação ultravioleta emitida pelos solé filtrada pela camada de ozono da atmosfera. O seu comprimento de ondasitua-se entre 10−8 e 4× 10−7 m.

• domínio do visível: corresponde à pequeníssima banda do espectro electro-magnético perceptível pelo olho humano. É aqui que a radiação solar atingeo seu máximo (cerca de 0.5 µm) e onde se podem distinguir as várias coresdo arco íris, do azul ao vermelho. O seu comprimento de onda situa-se entre4× 10−7 e 8× 10−7 m (figura 1.3).

Figura 1.3: espectro visivel entre 400 nm e 800 nm.

• o infravermelho: radiação emitida por todos os corpos cuja temperatura ésuperior ao zero absoluto (-273C). Usado em teledeteção para medir a tem-peratura das superfícies terrestre e oceânica assim como as nuvens. O seucomprimento de onda situa-se entre 8× 10−7 e 10−3 m.

• radar ou hiperfrequência: esta região do espectro é usada para medir aradiação emitida pela superfície terrestre mas também para os sistemas de radarativo. O radar ativo emite um sinal eletromagnético próprio que ao ser reflectidono alvo, permite localisar, identificar e determinar a velocidade de objetos agrandes distâncias, independentemente das nuvens, de dia ou de noite. O seucomprimento de onda situa-se entre o centímetro e o metro, i.e., entre 0.01 e 1m.

• ondas rádio: este é o domínio mais vasto do espectro electromagnético dizrespeito às ondas de frequências mais baixas, estendendo-se de comprimentos

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de onda de alguns cm até vários kms. Estas ondas são relativamente fáceis deemitir e de receber e são utilizadas para transmitir informação (rádio, televisão,telefone, internet, telefonia móvel, wifi, etc). As emissões rádio FM tem umcomprimento de onda da ordem de 1m, enquanto as de telefonia móvel naordem dos 10 cm.

As trocas de energia devidas às ondas electromagnéticas não se fazem de forma con-tínua mas de forma discreta. Isto significa que essas trocas de energia se fazem atravésde pacotes de energia em corpúsculos elementares, sem matéria, chamados fotões.Cada fotão transporta assim um quantum de energia proporcional à frequência daonda em questão de acordo com a relação

E = hν (1-0.2)

onde E é a energia da onda electromagnética em Joules, ν é a sua frequência em Hze h = 6.62510−34 J.s é a constante de Planck.

A cada vez maior utilização das duas últimas categorias acima, i.e., das ondashiperfrequência e das ondas rádio, em redes móveis sem fios (wifi) e telefonia, tornamextremamente útil o estudo dos dispositivos electrónicos capazes de emitir, captare extrair informação deste tipo de radiação, fazendo desta zona a mais ocupadae também a mais cobiçada de todo o espectro. A necessidade de transmissão deuma cada vez maior quantidade de informação para mais utilizadores faz com quea frequência utilizada seja cada vez mais elevada e por isso o comprimento de ondaseja mais baixo. Neste momento trabalha-se com comprimentos de onda da ordemda dimensão das ligações entre circuitos electrónicos que funcionam, nesse caso, comoguias de onda.

Exemplo:

Considere o circuito da figura 1.4. Até uma frequência f ≤ 1 MHz, o comprimento

R scR

Vs

VB

Bl=1m

A

Figura 1.4: linha de transmissão de comprimento l = 1 m.

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de onda é superior a λ ≥ 1.5 × 108/109 = 0.15 m2 e a tensão medida no ponto Bescreve-se obviamente

VB =RcVs

Rc +Rs

. (1-0.3)

No entanto a partir dessa frequência a tensão VB vai começar a variar e já não temo valor dado por (1-0.3). No entanto se diminuirmos a comprimento da linha de 1mpara 10 cm, poderemos constatar que a variação da tensão VB só ocorrerá para umvalor de frequência 10 vezes superior, i.e., da ordem dos 10 MHz. O que se passa ?Passa-se que quando o comprimento de onda é da ordem de grandeza (e aqui ordemde grandeza significa a partir de 10 vezes inferior a) do comprimento das ligaçõesenvolvidas no circuito, a oscilação espacial da onda electromagnética já não pode serignorada. Tendo em conta a importância do número de aplicações alta frequênciaem comunicações móveis, um engenheiro electrónico não pode ignorar os conceitosfundamentais e a prática do electromagnetismo na área hoje denominada electrónica

rápida. Nesta área consideramos a gama das micro-ondas com frequências a partirdas centenas de MHz (100× 106 Hz) até às centenas de GHz (100× 109).

2a velocidade de propagação num cabo é inferior à do ar em cerca de metade; na realidade avelocidade de propagação num meio de permitividade relativa ǫr é ν = c/

√ǫr e como no caso de

um dielétrico isolante ǫr ≈ 4, temos que ν ≈ c/2.

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2 Propagação electromagnética e radiação

2.1 Justificação histórica

O interesse pelas micro-ondas surgiu devido a um grande número de razões. As duasrazões mais óbvias são sem dúvida o facto de se tratarem de frequências relativamenteelevadas e por isso permitirem a transmissão de uma quantidade também elevada deinformação o que, hoje em dia, é primordial. A segunda razão é que possuem car-acterísticas de distância de propagação apreciáveis e ao mesmo tempo de penetraçãoem imóveis e obstáculos que permitem a sua utilização tanto em meio rural comourbano.

Durante e após a segunda grande guerra mundial o interesse nesta gama de fre-quências foi essencialmente nas aplicações radar para fins militares e depois também(hoje em dia) na aviação civil. As micro-ondas permitem a fabricação de antenasradar com elevado poder descriminatório espacial, i.e., elevada capacidade de separardois alvos em ângulos de visão, distâncias ou velocidades próximas. Isto é realizadoatravés da definição de um pixel de varrimento estreito. A título de exemplo, umaparábola de diametro D possui um cone de radiação com uma abertura A dada por

A =140

D/λ0(2-1.1)

onde λ0 = c/f é o comprimento de onda no vazio. Assim para D = 0.9m e para umafrequência de 10 GHz, teremos A=4.7 graus. Este valor tem já um grau de descrimi-nação espacial elevado. Usando a mesma equação e, a título de exemplo, podemos verque, se a frequência diminuir para 100 MHz, a dimensão do prato da antena aumentapara 100 vezes mais, i.e., 90m, para obter o mesmo ângulo de descriminação, o queé impraticável. Pelo contrário, frequências mais elevadas permitem diminuir aindamais a dimensão da antena, tornando-a portátil e embarcada (em aviões, barcos,satélites, etc).

Mais recentemente as micro-ondas começaram a ser largamente utilizadas na tele-fonia móvel e nas comunicações sem fios em geral. Dado que as comunicações micro-ondas se efectuam em linha de vista, apareceram torres de comunicação nos toposdos montes e nos locais mais elevados, incluindo em órbita, através de satélites geo-estacionários. O primeiro destes satélites foi o Telstar, nos Estados Unidos da América(EUA) em 1962. São assim estabelecidas gamas de frequência de “upload” (terra parasatélite) e gamas de “download” (satélite para terra). Nos EUA temos a banda C queusa uma gama de upload de 5.9 a 6.4 GHz e de download de 3.7 a 4.3 GHz, o que ne-cessita grandes antenas de mais de 2 m de diâmetro. Na Europa e no Japão utiliza-separa upload 14 - 14.5 GHz e para download 10.95 - 11.2 GHz ou 11.45 - 11.7 GHz.Como as frequências são mais elevadas as antenas são de menores dimensões, e sãoessas as antenas que vemos hoje em dia nos telhados e varandas das nossas casas.

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2.2 Motivação

As micro-ondas cobrem a gama de comprimentos de onda entre 1cm e 1m no ar,correspondendo a frequências entre 300 MHz e 300 GHz. Num meio diferente doar, com uma permitividade relativa ǫr > 1 este espectro é deslocado para valoresinferiores dado que a velocidade da onda será inferior à velocidade da luz no vaziodada por

ν =c√ǫr. (2-2.1)

A maior parte dos isolantes têm permitividade relativa da ordem de 2 a 4, com valoresde 4.7 para o vidro e de 6.7 para o neoprene (tipo de borracha). Os valores aumentammuito à medida que se vai para substâncias mais condutoras, atingindo valores de250.000 para o cálcio - cobre - titânio, etc.

As tabelas 1 e 2 mostram as várias bandas de frequência e as respetivas aplicaçõestípicas para as microndas e para a banda radar, respectivamente. Tendo em conta as

Banda Designação Aplicações

3 - 30 kHz Very Low Frequency (VLF) navegação, sonar30 - 300 kHz Low Frequency (LF) balisas, navegação0.3 - 3 MHz Medium Frequency (MF) radio AM, rádia maritima3 - 30 MHz High Frequency (HF) telefone, rádio internacional30 - 300 MHz Very High Frequency (VHF) televisão, rádio FM, trafego aéreo0.3 - 3 GHz Ultra High Frequency (UHF) televisão, satélite, radar3 - 30 GHz Super High Frequency (SHF) radar, satélite, micro-ondas30 - 300 GHz Extreme HF (EHF) experiências e radar

Tabela 1: designação das bandas de frequência e respetivas aplicações.

dimensões dos circuitos impressos e integrados, até aproximadamente uma frequênciade 1 GHz, são utilizados componentes discretos tais como resistências, condensadorese inductâncias vulgares. Entre 1 e 100 GHz esses elementos são substituidos porlinhas de propagação, formando guias de onda com propriedades equivalentes, graçasàs equivalências que veremos mais à frente. Hoje em dia o aumento exponencialde utilizadores de comunicações móveis ao longo dos últimos anos e que se prevêcontinue a aumentar com o alargamento aos países sub-asiáticos e africanos, faz comque a maior pressão se exerça nas bandas C, D e E, estendendo-se agora tambémpara as bandas F e G nas redes locais sem fios (ver tabela 2). De forma clássica oGSM (Global System for Mobile Communications) opera na banda 890- 915 MHzuplink e 935 - 960 MHz downlink para o posto móvel a partir das estações de basee é complementada com a banda DCS 1800 1.7 - 1.78 uplink e 1.8 - 1.88 downlink.Nos últimos anos a faixa de 2×60 MHz em torno aos 2.6 GHz também começou aser utilizada sob a norma 4G nalguns países. As últimas previsões apontam para

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Banda Designação

(GHz)0.5 - 1 C1 - 2 D2 - 3 E3 - 4 F4 - 6 G6 - 8 H8 - 10 I

10 - 12.4 J12.4 - 18 J18 - 20 J

20 - 26.5 K26.5 - 40 K

Tabela 2: designações militares das bandas micro-ondas.

uma nova norma 5G que se deverá tornar efectiva por volta de 2020 e que atingiráuma velocidade de várias dezenas de Mbit/s por utilizador, podendo assim viabilizara “Internet of Things” e usar várias técnicas de multiplexagem espacial e outras.Provavelmente não haverá muito mais espaço espectral para atribuir no 5G.

Nos dois capítulos que se seguem iremos tratar primeiramente os fundamentos dapropagação em espaço livre através das equações de Maxwell que regem a interaçãoentre o campo eléctrico e magnético. No capítulo seguinte abordaremos então o guiade ondas com o seu formalismo matemático através de uma análise tipo circuitos,usando uma equivalência entre corrente e tensão, e os campos eléctrico e magnético.

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3 Ondas electromagéticas

3.1 Forças, campos de escalares e de vectores

Juntamente com as forças gravitacional e nuclear, a força electromagnética é umadas forças fundamentais da natureza. A força F exercida sobre uma carga q que sedesloca à velocidade v submetida a um campo eléctrico E e a um campo magnéticoB escreve-se

F = q(E+ v ∧B), (3-1.1)

onde ∧ representa “produto vectorial”. Podemos lembrar aqui que um vector A podeser representado utilizando um sistema de coordenadas cartesianas através de

A = Axex + Ayey + Azez, (3-1.2)

onde (Ax, Ay, Az) são as coordenadas (escalares) do vector A no sistema cartesianodefinido pelo sistema ortogonal de vectores unitários (ex, ey, ez). O produto escalar

A ·B é definido por

A ·B = |A||B| cos(A,B), (3-1.3)

= AxBx + AyBy + AzBz, (3-1.4)

onde (A,B) é o ângulo entre os vectores A e B, |A| é o módulo, i.e., o comprimento,do vector A e onde (Ax, Ay, Az) e (Bx, By, Bz) são as coordenadas dos vectores A eB no mesmo sistema cartesiano (ex, ey, ez), respectivamente.

O produto vectorial entre dois vectores é definido por

A ∧B = |A||B| sin(A,B)eu, (3-1.5)

=

∣∣∣∣∣∣

ex ey ez

Ax Ay Az

Bx By Bz

∣∣∣∣∣∣(3-1.6)

onde o vector unitário eu é perpendicular ao plano que contém simultaneamente osvectores A e B e a sua direção aponta na direção do parafuso que se enrosca de A

para B (também chamada de regra dos três dedos da mão direita em que os trêsdedos colocados em ângulo recto se A e B forem respectivamente o indicador e odedo médio, o polegar indicará a direção do vector eu resultante, perpendicular aosoutros dois). As coordenadas do vector resultante do produto vectorial são dadaspelo determinante da matriz (3-1.6) para cada um dos eixos (ex, ey, ez) do sistemacartesiano. O produto escalar é um escalar, enquanto o produto vectorial é um vector.

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3.1.1 Divergência

O operador divergência, divA, de um vector A, define um campo escalar, i.e., associaum valor escalar a cada ponto do espaço (por exemplo a temperatura medida em cadaponto). Por definição, no ponto (x, y, z) em coordenadas cartesianas, a divergênciado vector A toma o valor

divA =∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z(3-1.7)

= (∂

∂xex +

∂

∂yey +

∂

∂zez) · (Axex + Ayey + Azez) (3-1.8)

= ∇ ·A (3-1.9)

onde∇ é o operador nabla, que não é mais do que um vector cujas componentes são asderivadas parciais relativamente a cada uma das componentes (x, y, z)3. Propriedadeinteressante: para qualquer escalar w, ∇ · wA = w∇ ·A.

3.1.2 Rotacional

O rotacional, rotA, de um vector A, define um campo de vectores, i.e., associa umvector a cada ponto do espaço (por exemplo a velocidade do vento em cada ponto).Por definição, em coordenadas cartesianas,

rotA =

∣∣∣∣∣∣

ex ey ez∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣(3-1.10)

= ∇∧A (3-1.11)

O sentido de rotação de rotA é dado pela regra da mão direita, o seu módulo é propor-cional à sua velocidade de rotação e as coordenadas podem ser calculadas através dodeterminante definido em (3-1.10). Propriedade interessante: para qualquer escalarw, ∇∧ wA = w∇∧A.

3.2 Equações de Maxwell

As equações de Maxwell governam a propagação do campo electromagnético e escrevem-se para campos eléctrico e magnético no vazio, em presença de uma densidade de cargaeléctrica ρ e de uma corrente eléctrica (i.e., de cargas em movimento) de densidade

3lembremos que na relação (3-1.8) ei · ei = 1 para i = x, y, z.

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J, ambas medidas no ponto designado pelo vetor de posição r no instante t,

divE(r, t) =ρ(r, t)

ǫ0, Gauss electrica

divB(r, t) = 0, Gauss magnetica

rotE(r, t) = −∂B(r, t)

∂t, Faraday

rotB(r, t) = µ0J(r, t) +1

c2∂E(r, t)

∂t, Maxwell − Ampere

(3-2.1)

onde ρ(r, t) é a densidade de carga livre (em C m−3) no ponto do espaço designadopelo vector r no instante t e, obviamente, ǫ0 ≈ 8.854×10−12 (F m−1) é a permitividadedo vazio. O termo 1/c2 deve-se à relação fundamental c2ǫ0µ0 = 1, onde µ0 = 4π×10−7

N A−1, é a permeabilidade do vazio e onde c é a velocidade da luz, também no vazio.

Sem cargas, as equações de Maxwell simplificam-se da seguinte forma

divE(r, t) = 0, Gauss electrica

divB(r, t) = 0, Gauss magnetica

rotE(r, t) = −∂B(r, t)

∂t, Faraday

rotB(r, t) =1

c2∂E(r, t)

∂t. Maxwell − Ampere

(3-2.2)

A primeira equação é equivalente à lei de Coulomb. A segunda diz-nos que nãoexiste outra fonte de campo magnético para além da corrente eléctrica. A terceira éa lei de indução de Faraday e finalmente a quarta exprime a dependência do campomagnético relativamente à densidade de corrente eléctrica ou taxa de movimento decargas eléctricas.

Em regime harmónico sinusoidal de pulsação ω, interessamo-nos unicamente peloregime dinâmico oscilatório e podemos assim tirar partido da notação complexa e darespectiva forma simplificada das equações de Maxwell. Em regime harmónico sinusoidala função temporal genérica A(r, t) é substituida por uma função complexa A de am-plitude A e de fase φA, assim podemos escrever

A(r, t) = A(r, ω) cos[ωt+ φA(r, ω)],

= A(r, ω)Reej(ωt+φA(r,ω),= ReA(r, ω)ej(ωt+φA(r,ω),= ReA(r, ω)ejωt,

(3-2.3)

de onde a função complexa

A(r, ω) = A(r, ω)ejφA(r,ω), (3-2.4)

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pode vantajosamente subsituir a função temporal A(r, t), tirando partido das vanta-gens de linearidade, da síntese de Fourier e sobretudo do facto de que as derivadasparciais relativamente ao tempo se transformam em multiplações por jω, i.e.,

∂

∂tA(r, t)←→ jωA(r, ω). (3-2.5)

Em regime harmónico sinusoidal de pulsação ω e usando a notação complexa, asequações de Maxwell escrevem-se finalmente

∇ · E(r, ω) =ρ

ǫ0(r, ω), (3-2.6)

∇ · B(r, ω) = 0, (3-2.7)

∇∧ E(r, ω) = −jωB(r, ω), (3-2.8)

∇∧ B(r, ω) = µ0J (r, ω) +jω

c2E(r, ω), (3-2.9)

onde ρ, E , B e J designam as representações complexas de ρ, E, B e J, respectiva-mente.

3.3 Equação de onda e equação de Helmholtz

O caso interessante é aquele do meio linear, homogéneo e isotrópico sem perdas, quepermite juntar as equações de Faraday e Maxwell-Ampere longe das fontes sem cargasρ = 0, sem correntes J = 0 e onde o campo eléctrico e magnético se auto alimentam(a energia oscila indefinidamente - porque sem perdas - entre o campo eléctrico e ocampo magnético). A equação de Faraday (3-2.8) implica (omitindo a notação r, t),

B = − 1

jω∇∧ E , (3-3.1)

de onde, substituindo na equação de Maxwell-Ampere (3-2.9) com J = 0, permiteescrever

∇∧ (−1jω∇ ∧ E) = jω

c2E . (3-3.2)

Aqui podemos usar a relação ∇ ∧ ∇ ∧ A = ∇(∇ · A) − ∇2A, no lado esquerdo de

(3-3.2) para obter

∇(∇ · E)−∇2E =ω2

c2E , (3-3.3)

que por virtude da primeira equação de Maxwell (3-2.6) com ρ = 0, se reduz a

∇2E =−ω2

c2E , (3-3.4)

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que não é outra que a equação de Helmholtz válida em regime permanente sinusoidalde frequência ω para um meio homogéneo, isotrópico e sem perdas. Passando agorano domínio do tempo

∇2E(r, t) =

1

c2∂2

∂t2E(r, t), (3-3.5)

que é a equação de onda clássica. Na realidade esta é uma equação vectorial que sepode decompor em três equações separadas para cada um dos eixos,

∂2Ex

∂t2= c2∇2Ex,

∂2Ey

∂t2= c2∇2Ey,

∂2Ez

∂t2= c2∇2Ez.

(3-3.6)

Em vez de eliminar o campo de indução magnética B das equações de Maxwell,poderíamos tê-lo feito para o campo eléctrico E e assim obter a equação de ondaidêntica a (3-3.5) para o campo de indução magnética. As três componentes de B,(Bx, By, Bz) obedeceriam a um conjunto de equações idêntico a (3-3.6).

3.4 Ondas planas monocromáticas

Demonstra-se facilmente que a solução particular mais simples da equação de onda(3-3.5) é dada por exemplo por

E(z, t) = E0 cos(ωt− kz), (3-4.1)

que é uma onda plana progressiva monocromática que se propaga na direção +z denúmero de onda k e pulsação ω.. Só existe esta direção de propagação, e nenhuma dascomponentes do campo electromagnético E e B apesar de ligadas entre si, dependedas coordenadas transversais x e y. Podemos com efeito escrever

E(r, t) = Ex(z, t)ex + Ey(z, t)ey + Ez(z, t)ez ,

B(r, t) = Bx(z, t)ex +By(z, t)ey +Bz(z, t)ez .(3-4.2)

Podemos ainda notar que no instante t2 > t1 e nas abscissas z1 e z2, que E(z1, t1) =E0 cos[ω(t1 − (k/ω)z1)] e que E(z2, t2) = E0 cos[ω(t2 − (k/ω)z2)], igualando as fasesprocuramos o ponto z2 > z1 tal que t2 > t1,

ω[t1 −

( kω

)z1]= ω

[t2 −

( kω

)z2], (3-4.3)

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de onde deduzimos que z2−z1 = ∆z = (ω/k)(t2−t1) = (ω/k)∆t e que portanto a ondase deslocou no sentido dos z positivos a uma velocidade de fase vφ = ∆z/∆t = ω/k.Definimos portanto a velocidade de fase

vφ =ω

k, (3-4.4)

como sendo a velocidade de progressão dos pontos de fase constante da onda. Umatal onda é chamada onda progressiva na direção +z. Neste caso basta diferenciar(3-4.1) duas vezes relativamente a z e substituir no lado esquerdo de (3-3.5) - dadoque as derivadas nas outras direções x e y são nulas - e em relação ao tempo no ladodireito. Chega-se à relação fundamental k2 = ω2/c2. O mesmo se poderia dizer deuma onda do tipo E(z, t) = E0 cos(ωt+ kz) na direção −z que seria neste caso umaonda regressiva.

O comprimento de onda, que notaremos λ, é a distância que separa dois pontosde mesma fase (módulo 2π) de uma onda progressiva monocromática. Assim, sendoesses pontos z1 e z2, podemos escrever

ω[t− z1

vφ

]= ω

[t− z2

vφ

]+ 2π, (3-4.5)

e portanto ω(z2 − z1)/vφ = 2π de onde z2 − z1 = 2πvφ/ω

λ = z2 − z1 =2πvφω

=2π

k. (3-4.6)

Podemos generalizar o raciocínio para uma onda plana monocromática propagando-se não apenas ao longo de um eixo, mas numa direção genérica k = (2π/λ)ek, sendoque ek é o vector unitário na direção de k perpendicular à frente de onda progressiva4,que se escreve

E(r, t) = E0 cos(ωt− k · r), (3-4.7)

que também é solução da equação de onda (3-3.5), e onde k · r representa o produtoescalar (ou interno) entre o vector de onda k e o vector de posição r.

Aplicando a definição da notação complexa para o caso de uma onda plana, monocromáticae progressiva temos

E(r, t) = E0 cos(ωt− k · r),= ReE0e

−jk·rejωt, (3-4.8)

e daí a notação complexa para a onda progressiva na direção k

E(r, ω) = E0e−jk·r. (3-4.9)

4a frente de onda progressiva são todos os pontos da onda de mesma fase que se deslocam àvelocidade vφ = ω/k.

16

Uma onda plana progressiva monocromática propagando-se num meio sem perdasé

• uma onda electromagnética transversal, i.e., os campos eléctrico e magnéticosão perpendiculares à direção de propagação k;

• os vetores E, B e k formam um triedro direto (regra da mão direita), i.e.,

E ∧B‖k. (3-4.10)

• os campos eléctrico e magnético encontram-se em fase;

• como já vimos, a equação de onda em regime harmónico impõe k2 = ω2/c2 =ω2µǫ de onde o (módulo) do número de onda

k = ω√µǫ. (3-4.11)

• a relação entre os módulos do campo elétrico e magnético ‖E‖/‖B‖, é constantee

B =k ∧ E

Zc

, (3-4.12)

mas como k ⊥ E temos que ‖B‖ = ‖E‖/Zc, onde Zc é a “impedância carac-terística” do meio;

• por definição

Zc =

õ

ǫ=

õr

ǫrZC0

, (3-4.13)

no vazio (ou no ar, dado que as permitividade e permeabilidade são quase iguais)Zc0 =

√µ0/ǫ0 ≈ 377Ω;

• num meio sem perdas Zc é um número real e (3-4.12) é válida no domíniotemporal e em regime harmónico; no caso de um meio com perdas Zc tomavalores complexos e a relação (3-4.12) é válida apenas em regime harmónicosinusoidal.

3.5 Polarização de uma onda plana

Entende-se por polarização de uma onda plana, a orientação do vector campo eléctrico

E(r, t) = E0 cos(ωt− k · r)eu, (3-5.1)

onde o vector unitário eu indica a orientação do campo eléctrico.

Uma polarização diz-se linear quando ela não se altera ao longo do tempo.

17

• polarização vertical: E = E0e−jkz

ex,

• polarização horizontal: E = E0e−jkz

ey,

• caso geral, ângulo θ entre E e ex,

E = E0 cos(ωt− kz)(cos θex + sin θey) (3-5.2)

E = E0e−jkz(cos θex + sin θey). (3-5.3)

No caso da polarização circular as duas componentes Ex e Ey têm a mesma ampli-tude mas estarão desfasadas de 90. Assim

E = E0e−jkz(ex + jey), (3-5.4)

E = E0 cos(ωt− kz)ex − E0 sin(ωt− kz)ey. (3-5.5)

Na polarização circular, distingue-se ainda a polarização circular à esquerda ou àdireita consoante o sentido de propagação.

18

4 Propagação guiada

4.1 A linha de propagação

Os fenómenos de propagação nas linhas de condutores estudam-se através das leis deKirchoff: as leis das malhas e dos nós, que aprendemos em Análise de Circuitos, agoraaplicadas no caso de sistemas de equações diferenciais acopladas tensão - corrente.

Uma linha bifilar tradicional é formada por dois condutores paralelos separadospor um isolante ou dielétrico. As características da linha incluem a secção dos con-ductores, a sua separação e o seu comprimento, que pode variar de alguns milímetrosa alguns metros. Iremos estudar o comportamento de uma linha bifilar quando afrequência aumenta a partir da baixa frequência. Em baixa frequência, i.e., abaixode alguns MHz, a linha pode ser modelada como um elemento puramente resistivo.Quando aumentamos a frequência veremos aparecer um fenómeno de filtro passa-baixo, i.e., o sinal vai sendo atenuado à medida que a frequência aumenta. Estefenómeno pode ser modelado colocando um condensador parasita em paralelo nalinha. Este condensador traduz o facto de que a linha é formada por dois condutoresem face um do outro, tal como as placas de um condensador. Este efeito constata-sede alguns MHz até uma centena de MHz.

Se aumentarmos ainda a frequência veremos aparecer uma oscilação da corrente etensão medida em vários pontos da linha. Este é o caso observado na figura 1.4: trata-se de um fenómeno de propagação de ondas ao longo da linha. Este comportamentoé devido ao aparecimento do carácter indutivo da linha e deveremos então incluiruma inductância no nosso modelo de linha. Este fator deve-se ao campo de induçãomagnética criado por um condutor no outro devido à circulação de corrente alterna.Finalmente se o nosso dieléctrico (isolante) não for perfeito, uma corrente de fugapode circular entre os dois conductores dando origem a uma resistência (de valorelevado) em paralelo que, para benefício do nosso modelo e devido ao facto de estarem paralelo, pode ser representada por uma conductância.

Temos assim um modelo com quatro paramêtros:

• R: uma resistência em série (em ohms - Ω)

• L: uma inductância em série (em Henrys - H)

• C: um condensador em paralelo (em farads - F)

• G: conductância em paralelo (em siemens - S)

Estes quatro elementos formam um modelo discreto da linha do tipo passa baixode segunda ordem (visto ter um condensador e uma bobine) e os seus valores deverão

19

ser determinados para cada caso específico. Na prática o procedimento é de incluirum modelo de base função do comprimento infinitésimal da linha e depois integraras equações diferenciais obtidas em corrente e/ou tensão a partir desse modelo.

4.2 Equações diferenciais acopladas

A figura 4.1 mostra o modelo eléctrico equivalente para uma linha de propagaçãode comprimento infinitésimal dx. A partir da figura 4.1 podemos escrever a lei das

v(x) v(x+dx)

i(x+dx)i(x)

GdxCdx

RdxLdx

dx

Figura 4.1: secção elementar de comprimento dx de uma linha de propagação.

malhas e dos nós

v(x, t) = v(x+ dx, t) +Rdxi(x, t) + Ldx∂i(x, t)

∂t, (4-2.1)

i(x, t) = i(x+ dx, t) + Cdx∂v(x+ dx, t)

∂t+Gdxv(x+ dx, t). (4-2.2)

dado que dx é um comprimento infinitésimal podemos escrever que

∂v(x, t)

∂x=

v(x+ dx, t)− v(x, t)

dx,

∂i(x, t)

∂x=

i(x+ dx, t)− i(x, t)

dx,

(4-2.3)

e por substituição nas equações (4-2.1) e (4-2.2),

∂v(x, t)

∂x= − Ri(x, t)− L

∂i(x, t)

∂t,

∂i(x, t)

∂x= −Gv(x, t)− C

∂v(x, t)

∂t.

(4-2.4)

20

4.3 Regime harmónico sinusoidal

Como já vimos no capítulo 3.2, a utilização da notação complexa simplifica consid-eravelmente a solução de sistemas de equações diferenciais, que passam a ser simplessistemas de equações algébricas. Assim procedemos à substituição

v(x, t) ←→ V (x, ω, t) = V(x, ω)ejωt, (4-3.1)

i(x, t) ←→ I(x, ω, t) = I(x, ω)ejωt, (4-3.2)

onde V e I são as amplitudes complexas associadas às grandezas temporais v(x, t)e i(x, t), respectivamente, onde se assume que o circuito - neste caso a linha - seencontra em regime permanente sinusoidal à frequência f = ω/2π. Recorde-se quea técnica de resolução simplificada das equações diferenciais requere a passagem àsgrandezas complexas no início, resolução das equações - agora equações algébricas - edepois passagem de novo no domínio do tempo no final, que se faz tomando a partereal da componente complexa obtida (multiplicada por ejωt, obviamente),

v(x, t) = ReV (x, ω, t)ejωt,= ReV (x, ω)cos(ωt− φV (x, ω)), (4-3.3)

e, obviamente, o mesmo tratamento para a corrente i(x, t).

Então, por substituição em (4-2.4) obtemos

∂V∂x

= −(R + jLω)I, (4-3.4)

∂I∂x

= −(G+ jCω)V. (4-3.5)

Note-se que a notação complexa não simplifica, obviamente, as diferenciais relati-vamente ao comprimento da linha de propagação. A eliminação entre estas duasequações permite obter, como era de esperar, uma equação de segunda ordem nacorrente I

∂2I∂x2− γ2I = 0, (4-3.6)

e na tensão V∂2V∂x2− γ2V = 0, (4-3.7)

onde γ =√(G+ jωC)(R + jωL) = α + jβ. Este tipo de equações diferenciais sem

segundo membro pode resolver-se através da equação característica r2 − γ2 = 0 que,obviamente, admite duas soluções r1,2 = ±γ e portanto a solução geral da equaçãoadmite a forma (por exemplo para o caso da corrente)

I(x, ω) = A(ω)e−γx +B(ω)eγx. (4-3.8)

21

Para obter um resultado equivalente em tensão basta substituir (4-3.8) em (4-3.4),que permite escrever

V(x, ω) =1

G+ jωC

∂I(x, ω)∂x

,

=1

G+ jωCγ[A(ω)e−γx − B(ω)eγx],

=

√R + jωL

G+ jωC[A(ω)e−γx − B(ω)eγx],

= Zc(ω)[A(ω)e−γx − B(ω)eγx], (4-3.9)

onde, por definição,

Zc(ω) =

√R + jωL

G+ jωC, (4-3.10)

é a impedância característica da linha de propagação. As duas relações (4-3.8) e(4-3.9) com a definição (4-3.10) formam a solução do sistema de equações diferenci-ais que descreve o circuito equivalente da linha de propagação. As soluções para acorrente e para a tensão escrevem-se finalmente

i(x, t) = Ae−αx cos(ωt− βx) +Beαx cos(ωt+ βx), (4-3.11)

v(x, t) = Zc[Ae−αx cos(ωt− βx) +Beαx cos(ωt+ βx)]. (4-3.12)

Nestas últimas equações podemos constatar que, cada uma delas, é a soma de duasfunções que são ondas planas monocromáticas uma na direção −x (progressiva) eoutra na direção x (regressiva), idênticas aquelas deduzidas como solução da equaçãode onda no capítulo 3.4.

4.4 Ondas progressivas, regressivas e impedância caracterís-tica

A partir das soluções da equação de onda, (4-3.8) e (4-3.9) com a definição (4-3.10),estabelecidas para o caso monocromático podemos a partir de

I(x, ω) = A(ω)e−γx +B(ω)eγx, (4-4.1)

V(x, ω) = Zc(ω)[A(ω)e−γx − B(ω)eγx], (4-4.2)

escrever

I(x, ω) = I0+(ω)e−γx + I0−(ω)e

γx, (4-4.3)

V(x, ω) = V0+(ω)e−γx + V0−(ω)e

γx, (4-4.4)

22

onde temos que I0+(ω) = A(ω), I0−(ω) = B(ω), V0+(ω) = Zc(ω)A(ω) e V0−(ω) =−Zc(ω)B(ω), representam as amplitudes complexas das correntes e tensões no pontox = 0. Podemos ainda deduzir que a impedância característica Zc se obtem de formaequivalente

V0+(ω)

I0+(ω)= Zc(ω),

V0−(ω)

I0−(ω)= − Zc(ω).

(4-4.5)

De uma forma geral, em cada ponto da linha x, a relação tensão - corrente defineuma impedância Z(x, ω) nesse ponto, tal que

V(x, ω)I(x, ω) = Z(x, ω). (4-4.6)

Se interrompermos a linha num ponto x1, onde medimos uma impedância Z(x1, ω), esubstituirmos a linha a partir desse ponto, para x > x1, pela impedância Z(x1) nadamudará para a secção da linha x < x1.

Se tivermos a propagação de apenas uma onda progressiva, podemos escrever(omitindo a dependência de ω)

VI =

V0+

I0+= Zc, (4-4.7)

que tem a importante propriedade de não depender da abcissa x, apenas de ω. Nocaso de apenas uma onda regressiva

VI =

V0−

I0−= −Zc, (4-4.8)

portanto com o mesmo módulo, mas com fase de sinal contrário. Estas duas situ-ações colocam-se sempre que uma linha seja terminada apenas de um lado (casosemi-infinito). Neste caso apenas poderemos ter um tipo de onda (progressiva ouregressiva), caso contrário teríamos uma tensão ou corrente tendendo para valoresinfinitos, o que seria fisicamente impossível.

Conclui-se portanto que a impedância característica Zc é o valor da impedância quedeve ser conectada como terminador de uma linha de forma a que esta se comportecomo uma linha semi-infinita, i.e., para que apenas uma onda progessiva ou regres-siva se propague. Uma linha terminada pela sua impedância característica diz-seadaptada.

Vimos em (4-3.10) que a impedância característica depende dos elementos físicosda linha e no caso geral toma valores complexos. Porém, na prática, as linhas de

23

boa qualidade de hoje em dia fazem com que os elementos resistivo e a conductânciatenham valores extremamente fracos e por isso podem ser frequentemente desprezadosface aos valores da bobine e do consensador às frequências de utilização. ConsiderandoR≪ jLω e que G≪ jCω, reduz-se assim o valor da impedância característica a

Zc =

√L

C, (4-4.9)

que é um valor real e corresponde ao caso das linhas sem perdas. A adaptação da linhafica assim muito simplificada, porque a impedância característica deixa de dependerda frequência.

Em seguimento a (4-3.7) foi definido o valor do coeficiente γ como sendo

γ =√

(G+ jωC)(R+ jωL) = α + jβ, (4-4.10)

onde a parte real α corresponde ao termo de atenuação da linha em função da dis-tância. Esta atenuação mede-se em nepers/m ou, mais usualmente, em dB/m que éa atenuação de uma linha de um metro. O valor de α em dB deduz-se daquele emnepers através da relação

αdB = 20 log10(e−α) ≈ −8.68α. (4-4.11)

Por sua vez o coeficiente β de (4-4.10) encontra-se ligado à velocidade de faseatravés da relação (3-4.6), i.e.,

β =ω

vφ=

2π

λ, (4-4.12)

= ωTc, (4-4.13)

onde todos os termos já foram definidos anteriormente e Tc é o tempo característico dalinha expresso em s/m e é o tempo necessário para uma onda percorrer uma distânciade 1 metro na linha considerada. Tc é o inverso da velocidade de fase da linha. Nocaso da linha com baixas perdas R≪ jLω e G≪ jCω, temos que

β = ω√LC, (4-4.14)

α = Reγ (4-4.15)

=1

2(γ + γast) (4-4.16)

=1

2(R

Zc

+GZc). (4-4.17)

Em princípio a hipótese da linha perfeita levaria a desprezar R e G e, por isso, aconsiderar α = 0. Porém os valores de R e de G quando considerados em conjuntonão podem ser desprezados. Na prática teremos normalmente que G≪ R e por isso(4-4.17) conduz a

α ≈ 1

2

√R2C

L. (4-4.18)

24

4.5 Coeficientes de reflexão e de transmissão

A propagação de ondas numa linha depende fortemente das características físicasintrínsecas da linha mas, igualmente das condições nas suas extremidades. Define-seo coeficiente de reflexão Γ como sendo o rácio entre uma onda que se propaganum sentido e a onda que se propaga no outro sentido do guia de ondas (ou linha depropagação) após reflexão numa discontinuidade ou obstáculo. Assim,

Γ+(x) =V0−e

γx

V0+e−γx=

V0−

V0+e2γx. (4-5.1)

No ponto de abcissa x = l consideramos a linha fechada numa impedância Zl dadapor

Zl =V(l)I(l) ,

= Zc

V0+e−γl + V0−e

γl

I0+e−γl + I0−eγl,

= Zc

1 + Γ+(l)

1− Γ+(l), (4-5.2)

onde usamos a definição (4-5.1). A partir de (4-5.2) podemos ainda escrever

Γ+(l) =Zl − Zc

Zl + Zc

. (4-5.3)

O mesmo raciocínio poderia ser feito para uma onda regressiva, obtendo assim ocoeficiente Γ−(l) dado por

Γ−(l) =Z0 − Zc

Z0 + Zc

, (4-5.4)

onde Z0 é a impedância no ponto x = 0. Podemos agora deduzir a definição geral docoeficiente de reflexão em tensão

Γ =Zcarga − Zc

Zcarga + Zc

, (4-5.5)

onde Zcarga representa a impedância de carga da linha de propagação independente-mente do sentido de propagação considerado.

Exercício: demonstrar que o coeficiente de reflexão em corrente é igual a menoso coeficiente de reflexão em tensão.

O coeficiente de transmissão T é, por definição, o rácio entre a onda de tensãotransmitida a uma carga e a onda de tensão incidente que se propaga na direção da

25

carga. Para um onda progressiva de tensão, podemos escrever

T+(x) =V0−e

−γx + V0−eγx

V0+e−γx,

= 1 + Γ+(x), (4-5.6)

Para uma onda regressiva de tensão teremos

T−(x) =V0−e

−γx + V0−eγx

V0−eγx,

= 1 + Γ−(x), (4-5.7)

De onde deduzimos a definição geral e única do coeficiente de transmissão em tensão,

T (x) = 1 + Γ(x), (4-5.8)

a partir do qual podemos notar que a tensão transmitida é igual à tensão incidentemais a tensão reflectida e não menos como seria de esperar intuitivamente. Podemostambém notar que este resultado não é contrário à realidade física que implica que apotência transmitida deverá ser igual à potência incidente menos a potência reflectida.Isto porque o coeficiente de transmissão em corrente se escreve Ti = 1−Γ, permitindoobter um coeficiente de transmissão em potência

TP = TvT∗

i ,

= (1 + Γ)(1− Γ∗),

= 1− |Γ|2, (4-5.9)

inferior à unidade, como seria de esperar.

4.6 Rácio de onda estacionária (ROS)

Coloquemo-nos no caso de ondas estacionárias e interessemo-nos à amplitude dasondas de tensão e de corrente ao longo da linha de propagação, admitida sem perdas,quando esta se encontra terminada numa carga de valor qualquer Zl real. O resultadopoderá ser generalizado ao caso da linha de propagação com perdas.

No caso sem perdas temos que o coeficiente γ = jβ = j2π/λ, é imaginário puro.Neste caso a impedância característica será real e também o coeficiente de reflexãoao nível da carga Zl, ela mesma assumida como real.

V(x, ω) = V0+(ω)e−jβx + V0−(ω)e

jβx,

= V0+(ω)e−jβx(1 + Γe2jβx),

= V+(x, ω)(1 + Γe2jβx),

26

onde V+(x, ω) representa a forma complexa da onda progressiva na linha de propa-gação e onde Γ é o coeficiente de reflexão em x = 0. Assim podemos escrever

V(x, ω)V+(x, ω)

= 1 + Γe2jβx, (4-6.1)

cujo módulo é

ν =|V(x, ω)||V+(x, ω)|

,

= |1 + Γe2jβx|,=

√[1 + Γ cos(2βx)]2 + [Γ sin(2βx)]2,

(4-6.2)

de onde se deduz facilmente que quando a abscissa x ao longo do guia de ondavaria, o valor de ν vai estar compreendido no intervalo 1 − Γ ≤ |ν| ≤ 1 + Γ, maisconcretamente,

νmin = 1− Γ se 2βx = π + 2nπ → x =π + 2nπ

2β=

λ

4+ n

λ

2,

νmax = 1 + Γ se 2βx = 2nπ → x =2nπ

2β= n

λ

2,

(4-6.3)

O conjunto de equações anterior significa que os mínimos e máximos da função de xse encontram para múltiplos de λ/2 e encontram-se espaçados entre si de λ/4.

Finalmente o rácio de onda estacionária (ROS, ou VSWR na sigla inglesa), ρ,define-se como sendo a relação entre o valor máximo e o valor mínimo da onda noguia, i.e.,

ρ =νmax

νmin=

1 + |Γ|1− |Γ| , (4-6.4)

ou ainda, invertendo a equação,

|Γ| = ρ− 1

ρ+ 1. (4-6.5)

No caso em que a linha se encontra terminada seja por um curto-circuito (V = 0)ou por um circuito aberto (I = 0) temos que |Γ| = 1 e por isso que ρ → ∞. Se, noentanto, a linha se encontrar carregada pela sua impedância característica temos que|Γ| = 0 e por isso ρ = 1. Na prática os valores do coeficiente de reflexão e o rácio deonda estacionária exprimem-se em dB,

|Γ|dB = 20 log10 |Γ|, (4-6.6)

|ρ|dB = 20 log10 |ρ|. (4-6.7)

27

O ROS é um dado fundamental de uma linha de transmissão e durante muitos anosconstituia uma das medidas mais importantes em micro-ondas. Hoje em dia, com osanalisadores de redes e as técnicas de calibração que se adaptam às tecnologias actu-ais, a medida do ROS encontra-se incluida num conjunto mais vasto de parâmetroscaracterísticos das linhas micro-ondas em rede.

4.7 Adaptação de impedância

Da mesma forma que para os circuitos baixa-frequência, a adaptação de impedânciade uma linha micro-ondas destina-se a permitir uma transferência máxima de potênciaquando se ligam dois dispositivos. De uma forma geral um circuito diz-se adaptadoquando a impedância de carga Zc é igual ao complexo conjugado da impedância dogerador de Thévenin equivalente Zth, tal que Zc = Z∗

th. Este princípio continua válidoem micro-ondas.

Vamos supôr numa primeira fase que a impedância de Thevenin é real e igual aRth e que a impedância de carga é representada por Zc ou pela admitância Yc comparte real e imaginária.

O primeiro método consiste em aplicar a técnica de adaptação através do transfor-mador de 1/4 de onda. O procedimento é o seguinte:

• calcular a impedância “vista” através de uma linha de propagação de compri-mento l quando fechada numa carga real;

• mostrar que quando l = λ/4 a linha é equivalente a um transformador deimpedância.

Exercício: demonstrar que uma linha de comprimento 1/4 de onda fechada numacarga real se comporta como um transformador de impedância.

O segundo método baseia-se no facto que a impedância de uma linha de propagaçãoem circuito aberto ou em curto circuito é um imaginário puro e pode ser facilmenteajustada.

Exercício: demonstrar que uma linha fechada num curto-circuito ou num cir-cuito aberto se comporta alternativamente como um condensador, depois como umabobine, de novo como um condensador, etc...

28

4.8 Ábaco de Smith

O ábaco de Smith é uma ferramenta de análise de linhas micro-ondas ainda larga-mente utilizada para efetuar graficamente a passagem nos dois sentidos entre o coe-ficiente de reflexão na extremidade de uma linha e a impedância de carga. Visto queestes dois parâmetros são, em geral, complexos, o ábaco de Smith consiste na super-posição de dois planos complexos: um plano cartesiano representando o coeficientede reflexão e um feixe de curvas representando a impedância de carga.

O ábaco tradicional encontra-se normalizado pelo valor da impedância caracterís-tica. A relação (4-5.5) será a nossa equação de base ligando o coeficiente de reflexãoàs impedâncias de carga e característica. Normalizando em relação a Zc assumidacomo real,

Γ =Zcarga − 1

Zcarga + 1, (4-8.1)

onde Zcarga = Zcarga/Zc. Podemos igualmente escrever

Zcarga =1 + Γ

1− Γ= Re(Zcarga) + jIm(Zcarga). (4-8.2)

Pode-se demonstrar facilmente (que se deixa como exercício) que usando (4-8.2)

1-1

j

-j

0 0.5-0.5

Zcargare

1=

Zcargare

= 7

Zcargare = 1

Zcargare

Zcargare = 0

1

j

-j

0 0.5-0.5

Zcargare Zcarga

im

Zcargaim

-1

=2

=-2

=1

=-1

Zcargaim

ZcargaimZcarga

im

Figura 4.2: construção do ábaco de Smith.

temos que

• a região onde Re(Zcarga) = constante é representada por um círculo de raioR = [1 + Re(Zcarga)]

−1 centrado no ponto

Re(Γ) =Re(Zcarga)

1 + Re(Zcarga); Im(Γ) = 0

29

• a região onde Im(Zcarga) = constante é representada por um círculo de raioR = [Im(Zcarga)]

−1 centrado no ponto

Re(Γ) = 1; Im(Γ) =1

Im(Zcarga)

30

Figura 4.3: ábaco de Smith.

31

A figura 4.2 mostra a construção do ábaco de Smith com os círculos das partes reais(na figura da esquerda) e imaginárias (na figura da direita) da impedância de cargaconstante no plano complexo de coordenadas Re(Γ) e Im(Γ). A figura 4.3 mostrao ábaco de Smith clássico onde estas curvas já se encontram traçadas para váriosvalores.

O lugar das impedâncias reais é o eixo Im(Γ) = 0. O lugar das impedânciasimaginárias puras é o círculo exterior do ábaco. A métade inferior do ábaco representaas cargas capacitivas e a metade superior as cargas inductivas. Com efeito:

Γ =Zcarga − 1

Zcarga + 1,

=Re(Zcarga) + jIm(Zcarga)− 1

Re(Zcarga) + jIm(Zcarga) + 1,

=[Re(Zcarga)]

2 + [Im(Zcarga)]2 − 1

[Re(Zcarga) + 1]2 + [Im(Zcarga)]2+ 2j

Im(Zcarga)

[Re(Zcarga) + 1]2 + [Im(Zcarga)]2,

(4-8.3)

e portanto

Im(Γ) = 2Im(Zcarga)√

[Re(Zcarga) + 1]2 + [Im(Zcarga)]2, (4-8.4)

o que implica que Im(Γ) > 0 se Im(Zcarga) > 0 e vice-versa.

O ábaco de Smith serve, em princípio, para passar do coeficiente de reflexão àimpedância de carga e vice-versa. Porém a sua utilização é bem mais ampla, nomeada-mente para alterações de comprimento de uma secção de guia de onda dado que, parauma linha sem perdas, no plano dos coeficientes de reflexão, uma variação do com-primento x traduz-se por uma simples diferença de fase:

∆φ = 2βx =4π

λx, (4-8.5)

que corresponde a uma ida e volta da onda, conforme podemos verificar usando (4-5.1)

Γ+(x) =V0−

V0+e2γx,

=V0−

V0+

e2jβx,

=V0−

V0+

e4jπλx,

(4-8.6)

que mostra que uma volta completa (2π) ao ábaco corresponde a uma distânciax = λ/2. Se quisermos, para este caso, determinar qual a impedância de cargavista à entrada, basta colocar a carga no ábaco de Smith e efectuar uma rotaçãocorrespondente a ∆φ, como está exemplificado na figura 4.4.

32

Figura 4.4: ilustração de uma variação de comprimento de onda.

Exemplo : consideremos uma linha de micro-ondas de impedância caracterís-tica Zc = 200Ω, de comprimento elétrico (ou fase) βl = 130 terminada por umaimpedância ZT = R− jX = 400− j300Ω. Qual é a sua impedância de entrada Ze ?

• o comprimento eléctrico é l/λ = βl/2π = 0.36;

• as impedâncias a colocar no ábaco de Smith devem ser normalizadas pelaimpedância característica e assim ZT = rT +jxT = (400−j300)/200 = 2−j1.5;

• coloquemos no ábaco (ver figura 4.5) o valor de ZT na intersecção dos círculosda parte real para rT = 2 e dos círculos da parte imaginária para xT = −1.5,ponto T ;

• no caso sem perdas, quando nos afastamos da carga o ponto T vai-se deslocarao longo do círculo de raio OT no sentido dos ponteiros do relógio. O raio desse

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circulo permite-nos, com ajuda da régua graduada na parte inferior do ábaco,de deduzir qual o rácio de onda estacionária (ROS) da linha que será neste casoρ = 3.33;

• a diferença de fase ao deslocarmo-nos ao longo da linha na direção do gerador(extremidade contrária à carga) é de 2βl, portanto 260 e assim obtemos oponto E que se situa na intersecção dos círculos de parte real rE = 0.77 e parteimaginária xE = 1.09 de onde, retirando a normalização devida à impedânciacaracterística

Ze = (rE + jxE)Zc = (0.77 + j1.09)200 = re + jxe = 154 + j218 Ω. (4-8.7)

r=2

x=-1.5

T

E

0.36

3.33

Figura 4.5: exemplo de utilização do ábaco: carga da linha (vermelho), carga vistano ínicio da linha (tracejado preto) e ROS (preto).

Exercício: encontrar o mesmo resultado através do cálculo.

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Continuando o exemplo podemos querer, após especificar as características físicasda linha, determinar qual o seu comprimento de forma a cumprir as especificaçõesde Zc e Ze. Se escolhermos uma linha tipo substrato ROS4003 (Rodgers) muitousada em micro-ondas, de espessura 635 µm e de permitividade relativa ǫr = 3.36,para 200Ω e 130 a 2 GHz obtemos uma linha de largura 32 µm e de comprimentol = 35.6 mm.

4.9 Parâmetros S

Os paramêtros S são das ferramentas mais utilizadas no calculo de redes de linhas detransmissão porque permitem sistematizar o cálculo e portanto a sua implementaçãoem ferramentas assistidas por computador. A matriz S é uma matriz de onda definida

a1

a2b1b1

b2b

Q

Figura 4.6: quadripolo S equivalente a uma linha de propagação.

para um quadripolo como representado na figura 4.6. A matriz que liga as ondasemergentes b1 e b2 das ondas incidentes a1 e a2 define-se da seguinte forma

[b1b2

]=

[S11 S12

S21 S22

] [a1a2

], (4-9.1)

ou

b1 = S11a1 + S12a2,

b2 = S21a1 + S22a2,(4-9.2)

onde todos os termos são assumidos como complexos. Os termos Sij do sistema deequações que liga entrada e saída do quadripolo são chamados paramêtros S, cujosignificado físico pode ser descrito da seguinte forma:

• S11 =[b1a1

]a2=0

é o fator de reflexão à entrada, quando a saída do quadripolo seencontra adaptada.

• S21 =[b2a1

]a2=0

é o fator de transmissão entrada-saída, quando a saída doquadripolo se encontra adaptada.

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• S22 =[b2a2

]a1=0

é o fator de reflexão à saída quando a entrada do quadripolo seencontra adaptada.

• S12 =[b1a2

]a1=0

é o fator de transmissão saída-entrada, quando a entrada doquadripolo se encontra adaptada.

A vantagem dos paramêtros S no estudo dos circuitos micro-ondas é que a suadeterminação experimental não necessita a colocação das saídas ou entradas das linhasem curto-circuito ou em circuito aberto o que, normalmente, ou é difícil ou provocaoscilações. Como se pode ver acima, os paramêtros S são determinados com a entradaou a saída da montagem adaptadas. O conhecimento dos paramêtros S permitecalcular de forma simples as grandezas mais importantes como sejam a potência, oganho ou a atenuação, o factor de reflexão e a impedância de entrada e por isso temuma utilidade prática grande.

Algumas propriedades dos parâmetros S:

1. Reciprocidade: quando as junções entre linhas são feitas de ar ou de dielétri-cos não ferromagnéticos, a transmissão da porta i para a porta j é a mesmaque da porta j para a porta i, i.e.,

Sij = Sji, (4-9.3)

o que implica que a matriz S é simétrica em relação à sua diagonal principal,S = S

T .

2. Conservação de energia: (para o caso das junções sem perdas) a potênciaassociada a uma onda ai ou bi é dada por Pi = (1/2)aia

∗

i = (1/2)|ai|2, onde ∗

representa conjugado. Da mesma forma, toda a energia das ondas incidentesencontra-se nas ondas emergentes,

|a1|2 + |a2|2, . . . , |an|2 = |b1|2 + |b2|2, . . . , |bn|2 (4-9.4)

Para multipolos recíprocos, podemos escrever

S∗

S = S2 = I. (4-9.5)

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Bibliografia aconselhada

I. Valentim Neves e M. José Martins “Propagação e Radiação de Ondas Electromag-néticas”, Lidel, 2015.

P. Ferrari, “Phenomenes de Propagation en Radiofrequences - Electronique Rapide”,Notes de Cours, IUT 1, Grenoble (France).

Frank S. Crawford, Jr., “Ondes”, Berkeley Cours de Physique, Vol. 3, Armand Colin,Paris, 1972.

S.M.Jesus, Propagação de Ondas Electromagnéticas (texto de apoio), FCT, Univer-sidade do Algarve, ver. 0.1a, 2016.

Avaliação

As regras de avaliação são aquelas indicadas no documento de aprovação do MIEET(http://www.fct.ualg.pt/intranet/bolonha/MIEET.pdf) para esta disciplina, sendoque a preparação dos trabalhos práticos equivale a 20% da respectiva nota.

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