METODOS_NUMERICOS

Prof. Marlus Rolemberg Métodos Numéricos Aplicados à EQ 1

Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia Química

Carga Horária: 60 h - teóricos

Horário: 2ª (B7-S108) e 5ª (B7-S108 ou

Lab. Informática) - 10:10 h às 11:50 h

Professor: Marlus Rolemberg

Avaliação: 3 Provas (?) (50 %)

3 Trabalhos (?) (50 %)


Calendário

Semestre letivo 2009.1 Início: 06/03/2009

Término: 06/07/2009

Feriados: 02/04 a 10/04 (pesquisa), 21/04 (3ª), 11/06 (5ª)

Provas/Trabalhos: 1ª - 16/04/2009

2ª - 18/05/2009

3ª - 22/06/2009

Reposição: 25/06/2009

Final: 02/07/2009


Conteúdo

Programa 1. Modelagem matemática de sistemas de engenharia Química.

1.1. Introdução

1.2. Classificação e hipóteses básicas.

1.3. Apresentação de alguns modelos.

2. Utilização de pacotes científicos para cálculo numérico.

3. Solução de Equações Algébricas. 3.1. Introdução.

3.2. Método da bisseção.

3.3. Método de substituições sucessivas.

3.4. Método de Newton-Raphson.

3.5. Aplicação prática.

4. Solução de Equações Diferenciais Ordinárias. 4.1. Problemas de valor inicial.

Entendimento do problema.

Método de Euler.

Estabilidade e Ordem de Aproximação.

Problemas especiais.

Interpolação e quadratura.

Métodos Preditor-Corretor.

Métodos de Runge-Kutta.

4.2. Problemas de condição de contorno.

Entendimento do problema.

Método das diferenças finitas.

Resíduos ponderados.

Bibliografia: PINTO, J. C., LAGE, P. L. C. Métodos numéricos em problemas de Engenharia Química. E-papers, 2001.

CUNHA, C. Métodos numéricos. Editora da UNICAMP, 2003.

RICE, R. G.; DO, D. D. Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers. J. Wiley, 1995.

MATHEWS, J. H. Numerical Methods for Mathematics, Science and Engineering. 2 edição, Prentice-Hall, 1992.


Alunos Matriculados

ENNIOGLEISER PEREIRA DE CARVALHO NORMAL

JOSE PIRES MONTELES NETO NORMAL

ISADORA MARTINS COSTA NORMAL

MANOEL DE HOLANDA FERNANDES CAMPELO NORMAL

JONATHAN WALLACE COSTA PEREIRA NORMAL

CASSIUS MARCELLUS COSTA CARVALHO NORMAL

RAISSA THAYNANA TORRES VALE NORMAL

ARIEL SANTANA SILVA NORMAL

DENYSE GASPAR DE SOUSA NORMAL

NATALIA LEONOR QUARESMA SANTOS NORMAL

KARINA ARAUJO SOUSA NORMAL

JOAO WAGNER DOMINICI PINHEIRO NORMAL

FERNANDO JOSÉ SOARES BARROS NORMAL

ANGELICA DE SOUZA XAVIER NORMAL

ANDRE LUIZ DOS SANTOS BARROS LIMA NORMAL

PAULO FERNANDO DE OLIVEIRA LEAL NORMAL

PAULO GUILHERME ALENCAR MESQUITA NORMAL

DAYARA MOREIRA SANTOS FERREIRA NORMAL

GISELY JOVITA PEREIRA NORMAL

PAULA BEATRICY WEBA MOREIRA NORMAL

FABIANA DE CASSIA SANTOS SOEIRO NORMAL

THIAGO CARDOSO SODRE NORMAL

LIENYLCE FERREIRA RODRIGUES NORMAL


Pré-requisitos

Domínio de técnicas de programação Linguagem programação (Fortran, C, Pascal, etc.)

Planilhas eletrônicas

Softwares matemáticos (Matlab, Mapple, etc.)

Indispensável o uso de computadores/Calculadoras científicas na resolução dos problemas


Introdução

Métodos numéricos Conjunto de técnicas utilizadas na resolução de problemas

quando não é conveniente obter uma solução matemática exata.

Produzem soluções aproximadas baseadas na solução de algoritmos gerados à partir de demonstrações matemáticas.

Ex: Raiz quadrada de p pelo algoritmo de Eudoxo (x2 = p):

Objetivos: Fornecer ao aluno um conjunto de ferramentas numéricas visando a solução de problemas ‘reais’ das aplicações práticas da Engenharia Química.


Erros

Origem das incertezas? Equacionamento do problema físico (simplificações)

Truncation (truncamento. computação numérica usa valores discretos como aproximação de um função matemática contínua).

Ex: Série de Taylor para seno: sin(x) = x – x3/3! + x5/5! – x7/7! + ...

Roundoff (arredondamento por limitação de memória).

Ex: Roundoff (ponto-flutuante) no MATLAB

Qual o motivo do erro através nos cálculos utilizando ferramentas computacionais?


Representação Digital dos Números (1)

Cálculo nos computadores baseados em pulsos elétricos

Manipulação de número binários Representação: N = an2

n + na-12n-1 + ... + a12

1 + a020 (an = 0 ou 1)

1 = 20 = (0000 0001)2

2 = 21 = (0000 0010)2

8 = 23 = (0000 1000)2

10 = 8 + 2 = 23 + 21 = (0000 1010)2

27 = 16 + 8 + 2 + 1 = 24 + 23 + 21 + 20 = (0001 1011)2

Bit (um dígito binário, zero ou um)

Byte (grupo de oito bits)

Computadores (64 ou 32 bits)

Computadores utilizam número fixo de dígitos



Tipos de números armazenados: Inteiros e Reais

Números inteiros: Número fixo de dígitos

Maioria dos computadores utiliza 16 ou 32 bits:

1111 1111 1111 1111 (16 bits) = 216 -1 = 65535

Representação de valores positivos e negativos : -32768 x +32767

Números reais (ponto flutuante ou Floating-point numbers) Representação digital de números reais

Números são armazenados em forma de notação científica

Parte inteira sempre zero. Primeiro dígito da parte decimal não pode ser zero. (75.5 = 0.755x102 ; -812.5 = -0.8125x103 ; 0.0057 = 0.57x10-2)

Forma binária ± (b1b2...bm) x 2t

Armazenados em 32 bits (precisão simples) ou 64 bits (dupla precisão)



Números reais (cont.) 64 bits: 1 para sinal, 52 para mantissa, 11 para expoente e sinal

Limites (dado pelo expoente: 210 -1 = 1023 = 2x1023 ~ 9x10307

-1.80x10+308 x -2.23x10-308 (negativos)

+2.23x10-308 x +1.80x10+308 (positivos)

Valores entre mínimo real: numericamente considerados igual a zero

Valores maiores que ultrapassem limite máximo real: ‘overflow’

Precisão: determinados pelos números de bits utilizado pela mantissa

Dados mantissa são armazenados na forma de múltiplos de potência de ½:

Ex: (011)2 =

m

k

k

kbf1

22

375.02

11

2

11

2

10

321



Números reais (cont.) Limite de número de bits para mantissa: limita valor de dígitos

decimais

Ex1: 1/5: Base decimal = 0.2; Base 2 = 0011 0011 0011... (infinito)

Conjunto de números reais é contínuo e infinito

Ex2: média entre 1 e 2 = 1.5 ; 1 e 1.5 = 1.25 ; etc

Números no formato digital: limitado pela capacidade armazenamento

Ex3: Implementar Ex2 no MATLAB

Como a armazenagem influencia nos cálculos? Erros de ‘arredondamento’

Ex: Inteiros: 4/3 = 1; Real precisão simples: 4/3 = 1.3333333

Fazendo operação inversa: 3 x 1.3333333 = 3.9999999 (erro de 0.0000001).

Imaginem milhares de cálculos acumulando pequenos erros



Precisão da máquina Números muito próximos não podem ser distinguidos pelo

computador se a diferença for menor que o bit menos significante da mantissa.

Precisão: menor fração () associada a mudança do menor bit significativo da mantissa (m):

Ex1: 1.0 + = 1.0 quando || < m

Implicação nos cálculos numéricos Perda na precisão devido ao roundoff precisa ser considerada

Ex2: tangente(a) = seno(a)/cosseno(a)

MATLAB: x = tan(pi/6); y = sin(pi/6)/cos(pi/6)

X == y ? Não!!! x – y = 1.110223x10-16

Para considerar x == y precisa-se definir ERRO e TOLERÂNCIA.



Erros: Absoluto: |’ - |

Relativo: |’ - |/| ref| geralmente |’ - |/| |

Ex1: Medida real = 10; Medida calculada = 9

Erro absoluto = 1; Erro relativo = 0.1

Medida real = 100; Medida calculada = 99

Erro absoluto = 1; Erro relativo = 0.01

Tolerância Menor valor a ser considerado como diferença significativa em um

procedimento numérico

Ex: MATLAB: x = tan(pi/6); y = sin(pi/6)/cos(pi/6)

X == y ? Não!!! x – y = 1.110223x10-16

Se tolerância = 0.1x10-8. Considerar x==y.


Modelagem matemática na EQ (1)

Modelo: Qualquer objeto, concreto ou abstrato, utilizado para explicar algum

tipo de fenômeno.

Exs: Complexo de Édipo e de Electra; Ensaios laboratório.

Na engenharia:

Conjunto de dados e idéias utilizado para representar um determinado fenômeno.

Dados quantitativos confiáveis Modelo matemático

Exemplo: viagem de carro de São Luís até Imperatriz: Distância: 600 km

Velocidade do carro: 100 km/h

Qual o tempo gasto na viagem?



Classificação e hipóteses básicas: Modelos teóricos: desenvolvidos a partir de pressupostos teóricos

bem fundamentados

Modelos empíricos: não são baseados em quaisquer pressupostos teóricos, mas descrevem um conjunto de dados experimentais conhecidos.

Ex: Preparar uma solução de concentração definida, Cf, utilizando como referência a altura de um tanque de diâmetro conhecido

Hipóteses básicas nas análises dos problemas em engenharia:

A massa se conserva (princípio de Lavoisier

A energia se conserva (1ª lei da termodinâmica)

A quantidade de movimento se conserva (3ª lei de Newton)

Grandeza Acumulada = Grandeza Adicionada – Grandeza Removida

Grandeza Acumulada i = Grandeza Adicionada i – Grandeza Removida i + Grandeza Produzida i



Classificação e hipóteses básicas (cont.): Modelos dinâmicos: consideram variações temporais nas variáveis

envolvidas

Modelos estacionários: admitem que as variáveis não se modificam com o tempo

Ex: Processos em batelada e processos contínuos

Modelo a parâmetros concentrados: propriedades são uniformes no espaço analisado

Modelo a parâmetros distribuídos: propriedades variam com as coordenadas espaciais

Ex: Reação em tanque de mistura e reator tubular



Modelagem de um reator de mistura (batch):

•Considerações:

•Reação: A B , solvente S

•Mecanismo idêntico ao proposto acima

•Agitação promove uma mistura perfeita

•Fluido incompressível

•Sistema de controle de nível eficiente


Equações não-lineares (1)

Exemplos: Relações PVT (Soave-Redlich-Kwong)

Tipos de raízes: Reais e distintas (x4 + 6x3 + 7x2 - 6x – 8 = 0)

Reais e repetidas (x4 + 7x3 + 12x2 - 4x – 16 = 0)

Complexas (x4 - 6x3 + 18x2 - 30x + 25 = 0)

Combinação de todas (x4 + x3 - 5x2 + 23x - 20 = 0)

Como localizar as raízes? Definir quantas raízes são necessárias;

Observar as restrições físicas do fenômeno;

Aplicar relação de Newton

Forma gráfica ou rotinas com pequenos incrementos

0)( 223

ABZBBAZZ

bVV

a

bV

RTP

n

i n

ni

a

ax

1

1



Resolução por métodos iterativos Repetir uma determinada operação até a convergência

Estimativa inicial

Convergência

Critério de parada

Método da bissecção: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]

Se f(a).f(b) < 0 então existe pelo menos uma raiz da equação f(x) = 0 no intervalo [a,b]

Algoritmo: dividir o intervalo [a,b] por 2, retendo a metade em que f(a).f(b) < 0

Desvantagem: definir os limites corretamente



Método da substituição sucessiva Rearranjar a função f(x) = 0, na forma x = g(x)

Exemplo: x4 + 6x3 + 7x2 - 6x – 8 = 0, ficaria na forma

x = (x4 + 6x3 + 7x2 – 8) / 6

Raiz: quando x – g(x) < tolerância ou, interseção entre a reta y = x e a função g(x)

Vantagem: necessita apenas de uma estimativa inicial, e não de um intervalo

Desvantagem: converge apenas se | g’(x) | < 1 em todo intervalo

Fórmula geral:

xn+1 = g(xn) y = x g(x)

x

y = x g(x)

x



Método Wegstein Aprimoramento do método da substituição sucessiva

x = g(x). Valor inicial: x2 = g(x1)

Traça-se uma reta ligando g(x2) a g(x1)

Interseção entre essa reta e a reta y = x é a nova estimativa, x3

Vantagem, converge onde substituição sucessiva não converge

Não necessita cálculo da derivada de f(x)

Fórmula geral:

y = x g(x)

x

12

12

1

1 )()()(

xx

xgxg

xx

xgy

2n )()(

)()(

1n )(

11

111

12

nnnn

nnnnn

xgxxgx

xgxxgxx

xgx



Método Newton-Raphson Um dos métodos mais utilizados.

Aproximação linear (série de Taylor):

Linearização: substituição f(x) = 0

Vantagem: Método tem boa convergência

Desvantagem:

Necessita da derivada da função

Horizontalidade de f(x) próximo a raiz

Fórmula geral:

f(x)

x

)('

)(

1

11

xf

xfxx

))((')()( 111 xxxfxfxf

)('

)(1

n

nnn

xf

xfxx

f(x)



Problema1 (fator de atrito): O fator de atrito f para um fluxo turbulento de um fluido

incompressível no interior de um tubo pode ser calculado pela Equação de Colebrook abaixo ( , D: rugosidade e diâmetro do interior do tubo; NRenúmero de Reynolds). Calcule f utilizando as técnicas numéricas apresentadas, dados valores de D e NRe

quaisquer. Compare as vantagens e desvantagens de cada método na resolução do problema

x

fN

D

fRE

51.2

7.3

/ln86.0

1



Problema 2 (Volume molar e fator de compressibilidade): Gases ideais podem ser representados por relações P-V-T, denominadas equações

de estado. Para pressões elevadas, equações complexas podem ser utilizadas. Uma delas é a equação de Van der Walls mostrada abaixo Em alguma situações é conveniente representar a pressão utilizando o termo pressão reduzida (PR), dado por PR = P/PC. O fator de compressibilidade, Z, é dado por: Z = (P.V)/(R.T).. Utilizando as técnicas numéricas apresentadas calcule:

a) O volume molar e fator de compressibilidade para a amônia a P = 56 atm e T = 450 K

b) Repita os cálculos para as pressões reduzidas: PR = 1, 2, 4, 10 e 20.

c) Como o fator de compressibilidade, Z, varia em função da PR?

d) Refaça os cálculos utilizando a equação de Redlich-Kwong e compare os resultados.

d) Quais foi a técnica numérica mais eficiente na resolução deste problema? Justifique sua resposta.

Dados: P – pressão em atm; v – Volume molar em L/g-mol; T – Temperatura em K; R – constante dos gases ideais (0.08206 atm.L/g-maol.K); TC – Temperatura crítica (405.5 K para amônia); PC – Pressão crítica (111.3 atm para amônia)

x

C

C

C

C

P

RTb

P

TRaRTbV

V

aP

8 e

64

27 sendo,

22

2


Exercícios (1)

Problema 1 (Cálculo do volume de líquido em uma esfera): Diversas substâncias químicas com ponto de ebulição abaixo da temperatura

ambiente costumam ser armazenadas na forma liquefeita, sob alta pressão, em recipientes adequados. Os exemplos mais conhecidos são o GLP (gás liquefeito de petróleo), propano, butano e amônia. Diversos tipos de recipientes são utilizados: recipientes cilíndricos (com tampos arredondados) são usados para pequenas quantidades (isqueiros, botijões, cilindros, caminhões tanque). Industrialmente, uma forma consagrada de armazenar estes "gases liquefeitos" é o uso de esferas.

Uma esfera de armazenamento de propano dispõe de um instrumento de medição de nível que indica a altura (medida do ponto de tangência inferior da esfera) da interface líquido-vapor. O volume de líquido é dado pela fórmula

a) Uma esfera com 10 metros de diâmetro é utilizada para armazenar propano saturado a 25°C (densidade aproximada 0,52; pressão de vapor aproximada 10 atm). O nível inicial de líquido é de 2 metros acima da linha de centro da esfera. O responsável pela operação da planta precisa transferir 50 toneladas de propano desta esfera para uma outra. Determine o nível de líquido na esfera ao final da transferência.


Exercícios (2)

Problema 2 (Ponto de bolha e ponto de orvalho): Uma mistura binária líquida de n-pentano (80% em mol) e n-hexano (20% em mol)

precisa ser transportada através de um deserto (temperatura média de 42 °C). Para evitar a perda através da vaporização, a transportadora sugeriu que a mistura fosse transportada em um reservatório pressurizado. Um engenheiro químico afirmou que a mistura poderia ser transportada à pressão atmosférica sem grandes perdas, pois a temperatura de ebulição da amostra seria suficientemente alta

a) Considere a mistura ideal e avalie se a transportadora ou o engenheiro estão corretos. (Dica: utilize a lei Raoult).

b) Supondo que toda a mistura estivesse vaporizada a pressão atmosférica, a temperatura do início de condensação (ponto de orvalho) seria a mesma do início de vaporização? E a composição da fase líquida?

Dados: PA - Pressão de vapor do n-pentano (mmHg), T em °C

PB - Pressão de vapor do n-hexano (mmHg), T em °C

232

63,106485221,6log

TPA T

PB

366,224

53,117187776,6log


Sistema de Equações Lineares (1)

Um sistema de m equações a n variáveis é chamado sistema de equações lineares. Pode ser representado na forma:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

....

....

............................................

....

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b



Equações e variáveis: Se o número de equações independentes (linhas na matriz [A]) for

igual ao número variáveis (tamanho do vetor [b]) o sistema terá solução única.

Se número de equações independentes for menor que o número variáveis, o sistema não terá solução.

Se número de equações independentes for maior que o número variáveis, o sistema terá infinitas soluções.



Um sistema de pode ser representado na forma de um produto de matrizes:

[A] [x] = [b]

• Resolução: determinar o vetor [x] que satisfaça a operação.

• Técnicas: operações matemáticas com matrizes (combinações lineares)



Operações com matrizes: Soma e subtração: matrizes com mesmo número de linhas e colunas

Produto: o número de colunas de uma matriz (A) deve ser igual ao número de linhas da outra matriz (B): AB

Propriedades:

AB ≠BA

A(B+C) = AB + AC

A(BC) = (AB)C

Matriz transposta At

(A + B)t = At + Bt

Matriz identidade (I):

Matriz triangular: Os elementos abaixo ou acima da diagonal são iguais a zero



Métodos para solucionar sistemas: Determinação da matriz inversa [A]-1

[A][A]-1 = I; assim [A]-1[b] = solução

Como calcular ? Pacotes computacionais, planilhas, rotinas, etc. Ex:

Eliminação Gaussiana:

Consiste em manipular matematicamente a matriz (transformar em um sistema equivalente), até se obter uma matriz triangular.

1. Qualquer equação pode ser multiplicada (ou dividida) por um escalar sem alterar a solução

2. Qualquer equação pode ser adicionada (ou subtraída) de outra equação sem alterar a solução

3. Pode-se trocar a posição de duas equações sem alterar a solução

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 0

4 3

8 1

x x x

x x x

x x x



Exemplo eliminação Gaussiana: Sistema matriz

L2 = L2 -(L1/3)*2 L3 = L3 -(L1/3)*4

L3 = L3 -(L2/-9)*-23


Algoritmo para Método de Gauss: Iniciação:

Eliminação:

Substituição:


Algoritmo para eliminação Gaussiana:

A. Selecionar uma das equações (i-ésima) com o maior coeficiente (ai1) de x1 não nulo. (Pivot).

B. Somar a cada uma das outras equações (j-ésimas) a equação selecionada no item anterior (A.). Antes, deve-se multiplicar a equação do item (A.) por: -aj1/ai1

C. Aplicar de novo o algoritmo com o sub-sistema de n-1 variáveis ate chegar a uma equação de uma variável.


Exemplo: Vapor d´água saturado a Ts = 130 C flui através de um tubo de aço de diâmetro

interno de D1 = 20 mm e diâmetro externo de D2 = 25 mm. O tubo é revestido por uma material isolante de [(D3-D2)/2] = 40 mm de espessura. O coeficiente de convecção no interior do tubo é estimado em hi = 1700 W/m2.K e no ambiente é de h0 = 3 W/m2.K. A condutividade térmica do metal é de ks = 45 W/m.K e do material isolante é de ki = 0,064 W/m.K. A temperatura, Ta, do ar é Ta, = 25 C. Calcule as temperaturas na parede interna e externa do tubo e na parede externa do material isolante.

Modelagem Sistema de Equações


Métodos iterativos

Necessitam de uma estimativa inicial

Soluções aproximadas.

Métodos apresentados nem sempre funcionam

A convergência é garantida em sistema com Dominância Diagonal:

Alguma vezes é possível transformar um sistema sem dominância diagonal através da troca de linhas

Elementos da diagonal não podem ser zero

n

ijj

ijii niaa1

,...,2,1 ,


Método Jacobi Consiste em dar estimativas iniciais as ingónitas (xi) e calcular

novos valores pela própria equação do sistema. Ex: O sistema abaixo

Isolando-se xi :


Método Jacobi (cont.) Se os valores de xi forem corretos, os dois lados da equação serão

iguais.

O método consiste em ir substituindo os valores até a convergência:


Método Jacobi (cont.) Forma geral:

Ou:

Critério parada:

KJXX kk 1


Método Gauss-Seidel Variante do método de Jacobi.

As incógnitas atualizadas são utilizadas imediatamente nas atualizações das demais:

Sistema de Equações Não-Lineares (1)

Pode-se adaptar métodos mostrados anteriormente para a solução de sistemas de equações não-lineares.

1. Método das substituições sucessivas.

Escrever as equações na forma:

Resolver o sistema (semelhante ao Jacobi)

Garantia e convergência: valores característicos do Jacobiano de G(x) tenham módulo menor do que 1.

Valor característico. Valor de que satisfaça:

),...,,(

...

),...,,(

),...,,(

...

0

...

0

0

),...,,(

...

),...,,(

),...,,(

)(

21

212

211

2

1

21

212

211

nn

n

n

nnn

n

n

xxxg

xxxg

xxxg

x

x

x

xxxf

xxxf

xxxf

xf

0)det( * IJ g

Sistema de Equações Não-Lineares (2)

1. Método das Newton-Raphson.

Pode ser facilmente estendido para problemas multi-dimensionais na forma:

Sendo a matriz inversa da matriz Jacobiana da função f(x) e X o vetor com as incógnitas x

Vantagens: não necessita da definição prévia da localização da raiz;

Sempre converge, se a estimativa inicial for boa

Desvantagens: Requer o cálculo das derivadas;

Método requer a inversão da matriz jacobiana em cada interação

Para minimizar desvantagens várias rotinas numéricas foram desenvolvidas ara cálculo da derivada e matriz inversa (IMSL, NR)

nfnn fJXX 1

1

1

fJ

n

nn

n

f

x

f

x

f

x

f

x

f

J

1

1

1

1

Equações Diferenciais Ordinárias (1)

Equações cujas incógnitas são funções de uma variável e sua derivadas

Ex1: y’(x) = f(x, y(x)) - EDO 1ª ordem

Ex2: y’’(x) = f(x, y(x), y’(x)) - EDO 2ª ordem

Tipos de problema:

Valor inicial: a solução deverá atender as condições pré-estabelecida no início do intervalo onde será avaliada:

Ex: Início da função em a: y(a) = y0, y’(a) = v0

Condição de contorno: a equação deverá ser satisfeita no intervalo (a, b) e são estabelecidos valores nos extremos deste intervalo:

Ex: y(a) = y0 e y(b) = yn

Essência do método: discretização da função

1. Definição de uma malha (conjunto finitos de pontos)

2. Definição de um passo, h


Problemas de valor inicial: Método de Euler

Idéia básica: avaliar o comportamento da função em cada ponto utilizando série de Taylor a partir do valor inicial

Truncando no primeiro termo e definindo h = t – t0

Resultado é a extrapolação a partir da avaliação do comportamento da função no ponto t0

A precisão do resultado depende do passo, do comportamento da curva e do valor previamente calculado (método explícito)

Ex:

...)(''2

)()(')()()( 0

2

0000

ty

tttytttyty

),(. 0001 ytfhyy

tety

yytdt

dy

25124

1

1)0( , 2


Estabilidade:

Como cada ponto calculado depende do ponto anterior, cálculos podem divergir:

Avaliação depende do conhecimento da solução algébrica

Ordem de aproximação

Maneira de representar os erros oriundos dos termos desprezados na aproximação

Representado por O(hn). Tende a zero na mesma velocidade que hn.

Euler: ...)(''2

)()( 0

2

0

tytt

hO n


Método de Euler (1ª. Ordem) pouco usado. Existem métodos mais eficientes (ordem superior).

Idéia básica: avaliar o comportamento da curva dentro do intervalo h.

Runge-Kutta 4ª ordem:

k1 , k2 , k3 , k4 ,estimativas do comportamento da função

6336. 4321

1

kkkkhyy ii

),(

)2

,2

(

)2

,2

(

),(

3114

2113

1112

111

hkyhtfk

kh

yh

tfk

kh

yh

tfk

ytfk

ii

ii

ii

ii


Método de Diferenças finitasEuler : transformar o problema de equações diferenciais em sistema de equações algébricas.

Primeiro passo: discretizar Dividir o domínio de cálculo em subdomínios

As aproximações e serão calculadas em cada ponto da malha Série de Taylor:

Avaliando o ponto i (Taylor = 2), e a tendência antes (+h) e depois (-h):

...)(''!2

)('.)()(2

xyh

xyhxyhxy

)(''!2

)('.)()(

)(''!2

)('.)()(

2

2

xyh

xyhxyhxy

xyh

xyhxyhxy


Subtraindo uma equação da outra teremos:

Mesmo raciocínio para calcular segunda derivada (um termo a mais na série de Taylor)

Em cada ponto no interior da malha utilizamos as equações discretizadas acima. Para o primeiro e último ponto do interior da malha, utiliza-se também os dados de condição de contorno

Dessa maneira, consegue obter um sistema de equações algébricas (tridiagonal) que pode ser resolvido por métodos numéricos.

h

hxyhxyxy

2

)()()('

2

)()(2)()(''

h

hxyxyhxyxy


Existem outras variações (intervalos variáveis), mas a fórmula centrada produz bons resultados:

Exemplo:

Discretizando no intervalo [0,1] e tomando como passo h = 0,1, teremos a equação genérica:

Rearranjando os termos com xi = ih:

eyy

xexyyy x

)1( 1)0(

)1(''' 2

)1(2

2 211

2

11

i

x

iiiiiii xeyx

h

yy

h

yyyi

)1(2)2()42()2( 222

1

3

1 hiehhyihyh ih

yii

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METODOS_NUMERICOS