Microondas I

Prof. Fernando Massa Fernandeshttps://www.fermassa.com/microondas-i.php

Sala 5017 Efernando.fernandes@uerj.br

Aula 19

Exercícios selecionados do capítulo 2

Prova P.2 – Capt. 2 (exercícios propostos e exemplos)

Dia 11/07 (Quarta)

i) Cálculo dos parâmetros de circuito da linha (R,G,C,L)

ii) Linha fendida – Carta de Smith

iii) Cálculo da atenuação (alfa-dB) – Difer. Métodos

iv) Casamento de impedância

v) Transferência de potência

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2.1 / 2.3 / 2.8 / 2.9 / 2.11/ 2.16 / 2.20 / 2.23 / 2.29

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2.4 – Carta de Smith

* Correlação gráfica de três circulos:

1. →

2. → Circulo de res. const. ‘rL’

3. → Circulo de reat. const. ‘xL’

Γ = Γr+ jΓi = |Γ|.e jθ

Raio = (1

1+r L

)

Raio = (1x L

)

zIN = 1+|Γ|e jθ

1−|Γ|e jθ = r L+ jx L

Revisão

2.4 – Carta de Smith

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* Giro na direção do gerador.

⇒ Z in=Z01zL

⇒ z in=1zL

= yL → Igual aadmitância normalizada

∓180o≡(Δ ŀ = λ /4 = 0,25λ)

* Carta de Smith de admitância → Giro a carta de 180°

Revisão

2.5 – Transformador Quarto-de-onda

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* Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda.

→ Com o acoplador ideal devemos obter Γin = 0!

→ Assumindo impedância real na carga (RL)

Z in = RL+ j Z1 tan (β ŀ )Z1+ j RL tan (β ŀ )

.Z1

Quando l = λ/4 ⤇ βl = π/2 ⤇ tan(βl ) → ∞

Z in = Z1

2

RL

Γ in = Z in−Z0

Z in+Z 0

= 0 ⇒Z in = Z0 ⇒ Z1 = √Z0 . RL

“Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha”

Γ in = Z in−Z0

Z in+Z 0

Para que

Revisão

2.5 – Transformador Quarto-de-onda

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* Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda.

→ Sempre que introduzir a fase βl = π/2 + nπ (n = 1,2,3,…) (Z0)

→ O acoplador funcionara para múltiplos imparesda frequência fundamental (f0 = vp / λ0):

Z1 = √Z0 . RL

“Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha”

Γ in = 0

f = f0f = 3.f0f = 5.f0f = 7.f0...

Revisão

2.5 – Transformador Quarto-de-onda

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* O transformador quarto-de-onda assume que ZL é real (ZL = RL).

→ Mas posso tornar qualquer valor ZL em real (RL)por meio da inclusão de um certo incrementono comprimento da linha de transmissão.

→ Na carta de Smith, ZL = rL + ixL

“Giro Δθ = Δl na direção do gerador (sent. hor.)até que a componente complexa seja nula (Im(z) =0)

ZL→ RL

ZL

Δl

Revisão

2.6 – Descasamento entre gerador e carga (sem perdas)

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* Modelo geral: Casos em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador.

Zg→ Impedância série (Impedânciade saída)do gerador

Tensão na entrada da linha:

V (−l)=V in=V g

Z in

Z in+Zg

I (−l)=I in=V 0

+

Z0

(eiβl−Γl e−iβ l)

V (−l)=V in=V 0+(eiβl+Γ l e

−iβ l)

Solução geral na entrada da linha:

Tensão da onda incidente na carga:

V 0+=V g

Z0

Z0+Zg

e−iβ l

(1−ΓlΓg e−2 iβ l)

Revisão

V (z)=V 0+(e−i β z+Γl e

iβ z)

I (z )=V 0

+

Z0

(e−iβ z−Γl eiβ z)

2.6 – Descasamento entre gerador e carga (sem perdas)

Microondas I

* Modelo geral:

Casos em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:

→ Duas reflexões

Tensão na entrada da linha:

V (−l)=V in=V g

Z in

Z in+Zg

Tensão da onda incidente na carga:

V 0+=V g

Z0

Z0+Zg

e−iβ l

(1−ΓlΓg e−2 iβ l)

O coeficiente de reflexão olhando na direção do gerador →

Zg→ Impedância série (Impedânciade saída)do gerador

Revisão

2.6 – Descasamento entre gerador e carga

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* Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:

→ Potência transferida para a linha

P = 12ℜ(V in I in

*) I in =

V in

Z in

P =12|V in|

2ℜ(

1Z in

)

V in = V g

Z in

Z in+Z g

** Como Zg é fixa (gerador), devemos encontrar o valor de Zin que maximiza a potencia entregue pelo gerador.

P =12|V g|

2| Z in

Z in+Z g|2

ℜ(1Z in

)

Revisão

2.6 – Descasamento entre gerador e carga

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* Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:

Casos especiais:

→ Acoplamento conjugado ( Zin = Zg* )

P = 12|V g|

2 R in

(R in+Rg)2+(X in+Xg)

2

Potência entregue máxima (ideal) →

R in = Rg X in = −Xg

P = 18|V g|

2

Rg

“Quanto menor o valor de Rg do gerador melhor será a eficiência”

Revisão

2.7 – Linha de transmissão com perdas

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* Quando o comprimento não é muito longo, frequentemente podemos desprezar as perdas em alta frequência:

Com perdas:

→ γ = α+iβ = √(R+ jω L)(G+ jωC)

Z0 = R+ jω L

γ = √ R+ jω LG+ jωC

γ = √( jω L)( jωC )(1+R

jω L)(1+

GjωC

) = jω√LC √1− j (Rω L

+GωC

)−RG

ω ² LC

Revisão

2.7 – Linha de transmissão com perdas

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Baixa perda (alta frequência):

→

→

= α + jβ

⇒ RG

ω ² LC~ 0

Revisão

2.7 – Linha de transmissão com perdas

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Exemplo:

Utilizando os resultados do exercício 2.3, determine a constante de atenuação da linha coaxial na aproximação de baixa perda e sem aproximação. Compare os resultados.

γ=α+iβ=√(R+ jω L)(G+ jωC )

Revisão

2.7 – Linha sem distorções

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Distorção → β (geral) não é linear com a frequência (ω) como em

Geral

= α + iβ

β = ω√LC v f = ω/β

β = aω (linear em' ω ' ) ⇒ v p (constante )

Velocidade de fase →

β , Nãolinear ⇒ v p , varia com ω

Componentes do sinal com freq diferentes chegam em momentos diferentes no receptor→ (Distorção do sinal)

Linha sem distorção → RL

= GC

⇒β = ω√LC

2.7 – Linha com perdas carregada

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Baixa perda → Z0≃√ LC

Na distância ‘l’ da carga ‘ZL’,

V (−l)=V in=V 0+(eγ l+Γe−γ l)

I (−l )=I in=V 0

+

Z0

(eγ l−Γe−γ l)

V (−l)=V in=V g

Z in

Z in+Zg

=Z01+Γe−2 γ l

1−Γe−2γ l

2.7 – Potência entregue na linha (Pin)

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PIN = 12ℜ[V (−l) I (−l)*

]

γ = α+iβ

V (−l)=V in=V 0+(eγ l+Γe−γ l)

I (−l)=I in=V 0

+

Z0

(eγ l−Γe−γ l)

V 0+=V g

Z0

Z0+Z g

e−γ l

(1−ΓlΓg e−2γ l)

2.7 – Potência entregue na linha (Pin)

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PIN = 12ℜ[V (−l) I (−l)*

]

γ = α+iβ

V (−l)=V in=V 0+(eγ l+Γe−γ l)

I (−l)=I in=V 0

+

Z0

(eγ l−Γe−γ l)

V 0+=V g

Z0

Z0+Z g

e−γ l

(1−ΓlΓg e−2γ l)

=|V in

+|2

2 Z0

(1−|Γ(l)|2)

2.7 – Potência entregue na linha (Pin)

Microondas I

PIN = 12ℜ[V (−l) I (−l)*

]

γ = α+iβ

Potência entregue na carga (ZL)

Perda de potência na linha

V (−l)=V in=V 0+(eγ l+Γe−γ l)

I (−l)=I in=V 0

+

Z0

(eγ l−Γe−γ l)

2.7 – Método da perturbação para calcular ‘α’

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→ Técnica Padrão!

→ Potência sendo transmitida no ponto z

→ Perda de potência por comprimento.

⇒ P (z) = P0 e−2α z

(W/m)

⇒ P0 (fluxo de potência na linha sem perdas)→Teor de Poynting

→ “Para o campo que não se modifica ao longo da linha”

2.7 – Método da perturbação para calcular ‘α’

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→ Exemplo 2.7:

Constante de atenuação de uma linha coaxial pelo método da perturbação.

P0 = 12ℜ[( E⃗ x H⃗ *

).d S⃗ ] Fluxo de potência = Vetor de Poynting

Campos TEM

2.7 – Método da perturbação para calcular ‘α’

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→ Exemplo 2.7:

Constante de atenuação de uma linha coaxial pelo método da perturbação.

Perda no condutor (Pc) → Lei de Joule no metal (bom condutor)

Pc = Rs

2 ∫|⃗J|2 dS = R s

2 ∫|H⃗ t|2 dS J⃗ S = n⃗ x H⃗

dS = dlρdθ

RS = √ωμ

2σ

(W/m)

2.7 – Método da perturbação para calcular ‘α’

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→ Exemplo 2.7:

Constante de atenuação de uma linha coaxial pelo método da perturbação.

Perda no dielétrico (Pd) → Do teorema de Poynting

Pd = σ2∫V

|E⃗|2 dv + ω2 ∫V

(∈,,|E⃗|2 + μ, ,|H⃗|

2)dv (W/m)

2.7 – Método da perturbação para calcular ‘α’

Microondas I

→ Exemplo 2.7:

Constante de atenuação de uma linha coaxial pelo método da perturbação.

P0 = |V 0|

2

2 Z0

Plc = RS|V 0|

2

4π Z02 ( 1

a +

1b ) Pld = πωε,,

ln b/a|V 0|

2

* Essa mesma fórmula é obtida a partir da aproximação de baixa perda (alta frequência)

2.8 – Transientes em linhas de transmissão (casada com Gerador)

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v p=ωβ=

1

√LC

β=ω√LC (sem perdas)

“Qto menor o produto LC mais rápido a pulso se desloca na linha”

Tensão DC →

v p=ωβ=

1

√LC=

1Z0 CEm baixa perda → Z0=√ L

C

2.8 – Transientes em linhas de transmissão (casada com Gerador)

Microondas I

v p=ωβ=

1

√LC

β=ω√LC (sem perdas)

“Qto menor o produto LC mais rápido a pulso se desloca na linha”

Tensão DC →

v p=ωβ=

1

√LC=

1Z0 CEm baixa perda → Z0=√ L

C

Exemplo: Velocidade de fase na linha coax semi-rígida modelo RG-402/U*Da folha de dados → Z

0 = 50Ω e C = 98,1pF

⇒ v p=2,038 .108 m / s

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→ Resposta transiente de uma linha com carga casada

β=ω√LC (sem perdas)

2.8 – Transientes em linhas de transmissão (casada com Gerador)

Vin = ?

v p=ωβ=

1

√LC=

1Z0 C

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→ Resposta transiente de uma linha com curto-circuito

β=ω√LC (sem perdas)

2.8 – Transientes em linhas de transmissão (casada com Gerador)

v p=ωβ=

1

√LC=

1Z0 C

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→ Resposta transiente de uma linha com circuito-aberto

β=ω√LC (sem perdas)

2.8 – Transientes em linhas de transmissão (casada com Gerador)

v p=ωβ=

1

√LC=

1Z0 C

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Exemplo 2.9: Diagrama de múltiplas reflexões para o transiente de um circuito. β=ω√LC (sem perdas)

2.8 – Transientes em linhas de transmissão (casada com Gerador)

v p=ωβ=

1

√LC=

1Z0 C

Microondas I

Exemplo 2.9: Diagrama de múltiplas reflexões para o transiente de um circuito. β=ω√LC (sem perdas)

2.8 – Transientes em linhas de transmissão (casada com Gerador)

8 V →

← 10,7 V

9,8 V →

← 9,5 V

V (dc) = ?

v p=ωβ=

1

√LC=

1Z0 C

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Exemplo 2.9: Diagrama de múltiplas reflexões para o transiente de um circuito. β=ω√LC (sem perdas)

2.8 – Transientes em linhas de transmissão (casada com Gerador)

8 V →

← 10,7 V

9,8 V →

← 9,5 V

9,6 V (dc)

v p=ωβ=

1

√LC=

1Z0 C

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Transformador quarto-de-onda:

Faça o projeto de acoplamento de impedância de uma antena transmissora com uma linha de 50Ω para operação em 100MHz. A impedância de entrada da antena (Za) é dada por

Capt. 2 – Exercício proposto – Casamento de impedância

Za=Ra+ j X a=73+ j 42,5Ω

ZL

Δl

Z1 = √Z0 . RL

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Exercício 2.29 (Livro): Uma linha de transmissão de 50Ω é acoplada a uma fonte de 10V e alimenta uma carga de 100Ω. Se a linha possui comprimento de 2,3λ e atenuação 0,5 dB/λ, encontre as potências entregue pela fonte, perdida na linha, e entregue na carga.

Capt. 2 – Exercício proposto – Transferência de potência

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Exercício 2.29 (Livro): Uma linha de transmissão de 50Ω é acoplada a uma fonte de 10V e alimenta uma carga de 100Ω. Se a linha possui comprimento de 2,3λ e atenuação 0,5 dB/λ, encontre as potências entregue pela fonte, perdida na linha, e entregue na carga.

Capt. 2 – Exercício proposto – Transferência de potência

V 0+=V g

Z0

Z0+Z g

e−γ l

(1−ΓlΓg e−2γ l)

=|V in

+|2

2 Z0

(1−|Γ(l )|2)