Teoría de las categorías: estudio de las álgebras de funciones (abstractas). Estudio de los diferentes tipos de estructuras matemáticas en términos de sus “transformaciones admisibles”. Teoría abstracta de las funciones. Una categoría es sólo un álgebra que se compone de los objetos A, B, C…. y de flechas [], que están cerradas bajo composición y satisfacen ciertas condiciones típicas de la composición de funciones. *transformaciones naturales Las transformaciones naturales sirven para definir adjoints: Categorías , funtores, transformaciones naturales , adición. 1.2 Funciones de conjuntos.Las funciones se pueden: componer y asociar, además de que para cada una existe una función identidad que funciona como una “unidad” para la operación de composición. Composición e identidades es pues todo lo que nos interesa. 1.3 Definición de categoría.Definición 1.1 . Una categoría consiste en la información siguiente: *Objetos A, B, C… , *flechas f,g,h*Para cada flecha f, están dados los objetos dom(f), cod(f). f: A → B*Dadas las flechas f: A→ B y g: B→ C, tales que cod(f) = dom(g), está dada una flecha g°f: A → C llamada composición. *Por cada objeto A, está dada una flecha 1A= A → A , llamada identidad de A . Esa información requiere satisfacer las siguientes leyes: *Asociatividad: h(gf)=(hg)f para toda f:A→B , g: B → C, h: C→ D. *Unidad: f1A=f = 1Bf para todo f: A→ B Que dos funciones sean iguales significa que : para cada argumento ellas tienen el mismo valor. 1.4 Ejemplos de categorías:1) Categoría Sets (conjuntos y funciones entre ellas).…………………………………………………………………………………………………………2) Categoría Setsfin (todos los conjuntos finitos y las funciones entre ellos).Hay muchas categorías como esta. Tome cualquier conjunto finito de objetos y sus funciones inyectivascomo flechas. (por ejemplo “1 a 1”) . Dado que las funciones inyectivas se pueden componer y dado que la identidad de las funciones es inyectiva, esto resulta una categoría. 3) Estructured sets ( conjuntos con un tipo de estructura y funciones que la preservan). 4) Pos (conjuntos parcialmente ordenados y funciones monótonas).……………………………………………………………………………………………………….Definición 1.2. Un funtor F: C → D entre categorías C y D es una aplicación (mapping) de objeto a objeto y flechas a flecha, tal que: a) F(f: A→ B ) = F (f): F(a) → F (B), b) F (1A)= 1F(A) , c) F (gf)= F(g)°F(f).Esto es, F preserva dominios y codominios, flechas de identidad, y composición. Un funtor F: C→D daentonces una especie de “imagen”- tal vez distorsionada- de C en D. Así tenemos la categoría Cat , la categoría de todas las categorías y funtores. 13) Un monoide (a veces llamado un semigrupo con unidad) es un conjunto M equipado con una relación binaria . : M x M → M y un “único” elemento distinguido u e M tal que para todo x,y,z e M.Un monoide es una categoría con sólo un objeto. Las flechas de la categoría son los elementos del monoide. En particular, las flechas de identidad es el elemento unitario u. La composción de flechas es

la operación binaria m . n del monoide.

1.5Definición 1.3. Para cualquier categoría C, una flecha f: A→B es llamada isomorfismo, si hay una flecha g: B→ A en C tal que: gf=1A y fg=1b

Ya que los inversos son únicos, escribimos g=f-1. Nosotros decimos que A es isomporfico a B, se escribe A = B, si existe un isomporfismo entre ellos. llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllmmmmmmmmmmmmmmxcbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmnnnnnnnnlbbbbbbbbbbbbbbvvvvvvvvvzxxxxxxnbbbbbbbbbbbbbbbbvmmmmmmmmmmmmmmteeeeeeeeeeemmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbmmm