Modelagem da dinâmica de sistemas e estudo da resposta.pdf

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MODELAGEM DADINMICA DE SISTEMASE ESTUDO DA RESPOSTA

MODELAGEM DADINMICA DE SISTEMASE ESTUDO DA RESPOSTA

Luiz Carlos Felcio

Segunda Edio

2010


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Direitos reservados desta edioRiMa Editora

EditoraoRiMa Artes e Textos

2007, 2010 Luiz Carlos Felcio

F313mFelcio, Luiz Carlos

Modelagem da dinmica de sistemas e estudo daresposta / Luiz Carlos Felcio Segunda Edio SoCarlos: RiMa, 2010.

568 p.

ISBN 978-85-7656-169-9

1. Modelagem dinmica. 2. Respostas dinmicas desistemas. 3. Modelagem de sistemas. 4. Dinmica de

sistemas. I. Ttulo. II. Autores.

CDD: 621

Rua Virglio Pozzi, 213 Santa Paula13564-040 So Carlos, SPFone/Fax: (16) 3372-3238

COMISSO EDITORIALDirlene Ribeiro MartinsPaulo de Tarso Martins

Carlos Eduardo M. Bicudo (Instituto de Botnica - SP)Evaldo L. G. Espndola (USP - SP)Joo Batista Martins (UEL - PR)

Jos Eduardo dos Santos (UFSCar - SP)Michle Sato (UFMT - MT)

Editorawww.rimaeditora.com.br


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A minha esposa Antonieta

e aos meus filhos Junior, Andr e Fabiana


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My special gratitudeto my former teacher

Prof. Ernest O. Doebelin


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PREFCIO

Procurando atender s demandas do mercado, por razes econmicas e dequalidade dos produtos, o desenvolvimento tecnolgico tem avanado na busca demquinas e equipamentos cada vez mais rpidos e eficientes. Estas condies defuncionamento intensificam os efeitos dinmicos. Desta forma, o desempenho demquinas de altas rotaes, de carros nas curvas, de processos automatizados, entreoutros, depende das respectivas propriedades dinmicas.

A elaborao de um projeto que satisfaa as exigncias de comportamento

dinmico previamente especificado somente se efetiva com a aplicao de conhe-cimentos tcnicos de Modelagem da Dinmica de Sistemas.

Assim, as grades curriculares dos cursos de Engenharia foram modificadas afim de contemplar o estudo de modelagem dinmica. No curso de EngenhariaMecnica da Escola de Engenharia de So Carlos, EESC-USP, por exemplo, asdisciplinas com foco em Dinmica de Sistemas foram introduzidas em 1977 na ps-graduao e em 1979 na graduao. Desde ento, o apoio bibliogrfico aos cursos constitudo por um conjunto de livros importados que no so facilmente encon-trados no mercado. Alm disso, sempre trouxe algum prejuzo ao aprendizado a faltade material didtico objetivamente ordenado e organizado.

Dentro desse contexto surgiu a perspectiva de colaborar com o estudo daDinmica de Sistemas e, conseqentemente, de elaborar este livro.

Esta obra tem por objetivo atender a cursos de graduao e cursos iniciais deps-graduao cujos respectivos programas contemplem modelagem da Dinmicade Sistemas. A tcnica de modelagem aqui ensinada utilizando uma metodologia

especial que se resume na diviso das expresses matemticas em dois grupos: equa-es e relaes.

Complementando o escopo, foi acrescentado o estudo da resposta, assuntoindispensvel para compreender o comportamento dinmico de sistemas, desenvolverbom senso e necessrio na elaborao de projetos, anlise e avaliao de sistemas.

O Captulo 1, Conceituao de Modelagem da Dinmica de Sistemas, apre-senta os conceitos fundamentais para uma abordagem da dinmica de sistema dire-cionada a problemas de Engenharia e conceitos de modelagem, de sistema, de entrada

e sada. Discute o conceito de modelagem matemtica, mostra uma classificaodesses modelos considerando as complexidades analticas, uma classificao para as


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entradas reais e os tipos de problemas encontrados. Enfoca ainda o uso de com-putadores nesse processo.

O Captulo 2, Conceitos Bsicos de Modelagem, apresenta os fundamentospara obter modelos lineares. Explica a estrutura adotada para a modelagem, requisito

importante na organizao dos procedimentos e na formao de engenheiro especia-lizado em Dinmica de Sistemas. As quatro partes fundamentais consideradas so:Hipteses, Aplicao de Leis, Relaes entre as Variveis e Validao do Modelo.No desenvolvimento desses quatro itens so apresentados enunciados simplificadosdas leis usadas no livro e so listadas as relaes importantes.

O Captulo 3, Modelagens de Sistemas Simples, desenvolve a organizao eos procedimentos de modelagem. Apresenta detalhes e implicaes decorrentes dadefinio da origem e escolha do sentido positivo das variaes das grandezas.

Introduz o conceito de funo de transferncia operacional. So desenvolvidasmodelagens de sistemas eltricos (nove modelos), de sistemas mecnicos (seis mo-delos), de sistemas fludicos com gua (quatro modelos), de sistemas fludicos comar (dois modelos) e de sistemas trmicos (dois modelos). Cada modelagem constituium corpo completo e pode ser estudada em seqncia diferente da aqui apresentada.Nas sees finais o captulo discute os conceitos de ganho proporcional, derivativoe integral e trs mtodos para verificao de modelagem.

No Captulo 4, Transformada de Laplace, a transformada desenvolvida para

aplicao em estudos da Dinmica de Sistemas. O captulo apresenta a definio datransformada e sua inversa, discusso de teoremas, detalhes na regio prxima origem, a diferena entre o operador derivativo De a transformada de Laplace.Desenvolve a transformada de funes peridicas, da funo degrau e da funoimpulso. Discute a converso de um problema com condies iniciais diferentes dezero em um problema com condies iniciais iguais a zero, e um mtodo para tratarcondies iniciais. Apresenta o processo de inverso da transformada por meio detabelas, o teorema da convoluo, funes de transferncia com Laplace, definindoplos e zeros.

No Captulo 5, Respostas no Domnio do Tempo de Sistemas de Primeira eSegunda Ordem s Entradas do Tipo Degrau, Rampa e Impulso, as respostas soencontradas resolvendo as respectivas equaes diferenciais. So apresentados grficosdas respostas com eixos normalizados. tambm realizado um estudo da respostaexperimental entrada degrau de sistema de primeira ordem e de sistemas de segundaordem subamortecidos e superamortecidos.

O Captulo 6, Resposta em Freqncia, explica o conceito de resposta em

freqncia e define a funo de transferncia senoidal. Determina equaes e grficosda relao de amplitudes e fases para o ganho, integradores e derivadores, sistemade primeira ordem, sistema de segunda ordem e tempo morto, tanto para escalas


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lineares como para escalas logartmicas (grfico de Bode). So discutidos os proce-dimentos para a confeco manual do grfico que oferece os subsdios para elaboraode projetos, anlises e avaliao de sistemas.

O Captulo 7, Estudo da Resposta Usando o Mtodo da Transformada de

Laplace, avana no exame e consideraes das respostas de um sistema em geral.Representa a base conceitual tanto para estudos tericos aprofundados como paraefetuar trabalhos prticos de medio, por exemplo, de vibraes, de som, de transientese outros. apresentada a interligao da Resposta em Freqncia com as respostasdo impulso, pulso e transientes. So feitas consideraes bsicas sobre sinais aleatriose tambm introduzido um dos conceitos mais importantes de dinmica: a Den-sidade Espectral Mdia Quadrada (Power Spectral Density).

O Captulo 8, Tcnicas para Tratamentos de Sistemas No-Lineares, apresenta

uma sntese dos tipos de no-linearidades possveis nos sistemas reais e seus efeitos nasrespostas dos sistemas. Explica a tcnica de linearizao em torno de um ponto deoperao (Anlise de Perturbao), desenvolve o conceito de Resposta em Freqnciapara sistemas no-lineares (Funo Descritiva) e introduz o uso de simulao digitalcomo um mtodo para implementar a resoluo de sistemas no-lineares.

O Captulo 9, Modelagens de Sistemas Exemplos, representa um avanonas modelagens, em termos de complexidade dos sistemas. As modelagens sodesenvolvidas de maneira mais natural, no esquematizadas como no Captulo 3.

Em alguns exemplos so tambm estudados aspectos como a Densidade Espectral,Resposta em Freqncia, Sensibilidade e Estabilidade. So apresentadas modelagensde Sistemas Mecnicos (trs), de Sistemas Hidrulicos leo (quatro) e de SistemasPneumticos Ar (trs). Dentre os dez sistemas modelados, oito contm partesmecnicas, portanto, a Lei de Newton a mais empregada.

O Apndice A, Reviso Matemtica, apresenta um resumo dos conceitosmatemticos necessrios para desenvolver os estudos de Dinmica de Sistemas e trazas relaes matemticas importantes. Faz um breve estudo de determinantes e de

equaes diferenciais ordinrias lineares com coeficientes constantes pelo mtodoclssico.

O Apndice B, Introduo ao MATLAB, tem dois objetivos: estudar os conhe-cimentos bsicos do MATLAB para uso imediato e motivar o usurio a passar paraestudos aprofundados. Apresenta a linguagem MATLAB e discute pontos funda-mentais como variveis, linhas de comando e outros. Discute o uso do MATLABem operaes com matrizes e vetores, comparativas e lgicas, polinmios, grficos,fraes parciais e Resposta em Freqncia.

O Apndice C, Introduo ao Simulink, observa os fundamentos das simulaesdigitais no domnio do tempo, no ambiente Windows. Mostra como construir um diagrama


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para simulao, como execut-lo e obter grficos e como salvar o trabalho. Apresenta adescrio de blocos usuais, informaes para manipulao e exemplos de simulao.

O Apndice D, Teoremas e Tabela da Transformada de Laplace, contm duastabelas, uma para os teoremas e outra contendo 37 pares de funes do tempo e

suas respectivas transformadas. As funes do tempo e as suas transformadas foramselecionadas com base no uso em Dinmica.

Enfim, na elaborao deste livro, os assuntos foram cuidadosamente selecio-nados e didaticamente desenvolvidos, com base na experincia de muitos anos deensino de modelagem e no desempenho e sucesso de ex-alunos na rea de Dinmicade Sistemas.

O Autor


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SUMRIO

CAPTULO1 CONCEITUAODEMODELAGEMDADINMICADESISTEMAS1.1 Introduo ..................................................................................................................... 11.2 Significado de Modelo ................................................................................................... 31.3 Significado de Dinmica de Sistema .............................................................................. 41.4 Conceito de Entrada e Sada .......................................................................................... 61.5 Classificao dos Tipos de Problemas ............................................................................. 81.6 Modelos de Entradas. ..................................................................................................... 91.7 Classificao de Modelos de Sistemas ........................................................................... 11

CAPTULO2 CONCEITOSBSICOSDEMODELAGEM2.1 Introduo ................................................................................................................... 18

2.2 Partes de uma Modelagem ........................................................................................ 182.3 Leis Bsicas................................................................................................................... 212.3.1 Segunda Lei de Newton ................................................................................ 232.3.2 Lei de Kirchhoff ............................................................................................ 242.3.3 Lei da Conservao da Massa ........................................................................ 252.3.4 Lei da Conservao da Energia ...................................................................... 27

2.4 Relaes Bsicas Utilizadas ........................................................................................... 272.4.1 Sistemas Mecnicos ....................................................................................... 272.4.2 Sistemas Eltricos .......................................................................................... 342.4.3 Sistemas Trmicos ......................................................................................... 38

2.4.4 Sistemas Fludicos .......................................................................................... 422.5 Concluso .................................................................................................................... 50

CAPTULO3 MODELAGENSDESISTEMASSIMPLES3.1 Consideraes Iniciais .................................................................................................. 523.2 Funo de Transferncia Operacional .......................................................................... 553.3 Sistemas Eltricos ......................................................................................................... 58

3.3.1 Modelagem do Circuito RC .......................................................................... 583.3.2 Modelagem do Circuito LRC ........................................................................ 613.3.3 Impedncias Equivalentes .............................................................................. 643.3.4 Circuito com Impedncias Equivalentes Exemplo 1 ................................... 663.3.5 Circuito com Impedncias Equivalentes Exemplo 2 ................................... 683.3.6 Circuito com Gerador de Corrente Exemplo 1 .......................................... 693.3.7 Circuito com Gerador de Corrente Exemplo 2 .......................................... 713.3.8 Circuito com Amplificador Operacional Exemplo 1 .................................. 723.3.9 Circuito com Amplificador Operacional Exemplo 2 .................................. 75

3.4 Sistemas Mecnicos ...................................................................................................... 763.4.1 Sistema MassaMolaAmortecedor............................................................... 773.4.2 Sistema em Rotao: InrciaMolaAmortecedor ......................................... 803.4.3 Sismgrafo/Acelermetro .............................................................................. 83

3.4.4 Pndulo Simples ............................................................................................ 863.4.5 Sistema com Massas em um Eixo .................................................................. 883.4.6 Sistema com Duas Massas em Translao ...................................................... 92

3.5 Sistemas Fludicos gua ............................................................................................ 97


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3.5.1 Sistema com um Tanque Exemplo 1 .......................................................... 973.5.2 Sistema com um Tanque Exemplo 2 .......................................................... 993.5.3 Sistema com um Tanque Exemplo 3 ........................................................ 1023.5.4 Sistema com Dois Tanques .......................................................................... 105

3.6 Sistemas Fludicos Ar .............................................................................................. 1103.6.1 Sistema Pneumtico para Compensao pelo Mtodo do Atraso de Fase .... 1113.6.2 Sistema com Controle de Presso atravs de Vlvula ................................... 114

3.7 Sistemas Trmicos ...................................................................................................... 1183.7.1 Sistema com uma Massa .............................................................................. 1183.7.2 Sistemas com Duas Massas .......................................................................... 121

3.8 Ganhos de Funes de Transferncias ........................................................................ 1233.8.1 Definies.................................................................................................... 1233.8.2 Interpretao Fsica dos Ganhos K, K

De K

I .................................................................................... 125

3.8.3 Ganho Paramtrico K.................................................................................. 1273.9 Tcnicas de Verificao de Modelagem ...................................................................... 128

3.9.1 Mtodo de Routh ........................................................................................ 1283.9.2 Condio de Regime Permanente ................................................................ 1313.9.3 Anlise Dimensional.................................................................................... 131

3.10 Exerccios Propostos ................................................................................................. 133

CAPTULO4 TRANSFORMADADELAPLACE4.1 Introduo ................................................................................................................. 1414.2 Transformada de Laplace e Sua Inversa Definies ................................................. 142

4.2.1 Definio da Transformada de Laplace ........................................................ 1424.2.2 Definio da Transformada Inversa de Laplace ............................................ 145

4.3 Teoremas da Transformada de Laplace ....................................................................... 147

4.3.1 Teorema da Integrao................................................................................. 1474.3.2 Teorema da Derivao Real ......................................................................... 1504.3.3 Teorema da Derivao Complexa ................................................................ 1524.3.4 Teorema do Defasamento no Tempo ........................................................... 1534.3.5 Teorema do Defasamento em s.................................................................... 1544.3.6 Teorema da Mudana de Escala no Tempo .................................................. 1554.3.7 Teorema do Valor Final ............................................................................... 1554.3.8 Teorema do Valor Inicial .............................................................................. 156

4.4 Diferena entre o Operador De a Transformada de Laplace ...................................... 1574.5 Transformada de Laplace de uma Funo Peridica ................................................... 1604.6 Funo Degrau, Funo Impulso e Suas Transformadas ............................................ 163

4.6.1 Funo Degrau ............................................................................................ 1634.6.2 Funo Impulso........................................................................................ 166

4.7 Condies Iniciais ...................................................................................................... 1754.7.1 Introduo ................................................................................................... 1754.7.2 Converso de um Problema com Condies Iniciais

Diferentes de Zero a um com Condies Iniciais Iguais a Zero .................. 1764.7.3 Mtodo para Tratar Condies Iniciais ........................................................ 181

4.8 Inverso da Transformada de Laplace ......................................................................... 183

4.8.1 Introduo ................................................................................................... 1834.8.2 Procedimento para Executar a Inverso Usando Tabelas ............................. 1844.8.3 Exemplos ..................................................................................................... 1854.8.4 Inverso da T. L. Quando D(s) Possui Razes Complexas ............................ 188


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4.9 Integral de Convoluo .............................................................................................. 1924.9.1 Teorema ....................................................................................................... 1924.9.2 Prova do Teorema ........................................................................................ 1934.9.3 Comentrios Sobre a Integral de Convoluo ............................................. 194

4.10 Funes de Transferncias com Laplace ................................................................... 1954.10.1 Funes de Transferncia ........................................................................... 1954.10.2 Plos e Zeros de uma Funo de Transferncia ......................................... 196

4.11 Exerccios Resolvidos................................................................................................ 1984.12 Exerccios Propostos ................................................................................................. 210

CAPTULO5 RESPOSTASNODOMNIODOTEMPODESISTEMASDEPRIMEIRAESEGUNDAORDEMSENTRADASDOTIPODEGRAU, RAMPAEIMPULSO

5.1 Introduo ................................................................................................................. 2135.2 Sistema de Primeira Ordem ....................................................................................... 213

5.2.1 Introduo ................................................................................................... 213

5.2.2 Soluo da Homognea ............................................................................... 2145.2.3 Resposta Funo Degrau .......................................................................... 2155.2.4 Resposta Funo Rampa ........................................................................... 2185.2.5 Resposta Funo Impulso ......................................................................... 220

5.3 Sistema de Segunda Ordem ....................................................................................... 2225.3.1 Introduo ................................................................................................... 2225.3.2 Soluo da Homognea ............................................................................... 2235.3.3 Resposta Funo Degrau .......................................................................... 2255.3.4 Resposta Funo Rampa ........................................................................... 2305.3.5 Resposta Funo Impulso ......................................................................... 233

5.4 Estudo da Resposta Experimental Entrada Degrau ................................................. 2365.4.1 Introduo ................................................................................................... 2365.4.2 Sistema de Primeira Ordem Determinao de ....................................... 2375.4.3 Sistema de Segunda Ordem Subamortecido Determinao de

ne ..... 240

5.4.4 Sistema de Segunda Ordem Superamortecido Determinao de 1e

2....... 243

5.5 Exerccios Propostos ................................................................................................... 249

CAPTULO6 RESPOSTAEMFREQNCIA6.1 Conceito de Resposta em Freqncia ......................................................................... 2506.2 Funo de Transferncia Senoidal .............................................................................. 252

6.3 Equaes Para a Relao de Amplitudes e a Fase de Sistemas Bsicos ........................ 2536.3.1 Relao de Amplitudes e Fase para o Ganho K ............................................ 254

6.3.2 Relao de Amplitudes e Fase para o Integrador

...................................... 255

6.3.3 Relao de Amplitudes e Fase para o Sistema de 1aordem

................ 257

6.3.4 Relao de Amplitudes e Fase para o Sistema de 2aordem

...... 260

6.3.5 Relao de Amplitudes e Fase para o Tempo Morto (Dead Time): ..... 2636.4 Resposta em Freqncia em Mono-Log ..................................................................... 264


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6.4.1 Introduo ................................................................................................... 2646.4.2 Grfico em db do Ganho K ......................................................................... 2666.4.3 Grfico em db do Termo: sN........................................................................................................................... 267

6.4.4 Grfico em db do Termo: ( ) .............................................................. 269

6.4.5 Grfico em db do Termo:

.................................................. 273

6.4.6 Grfico em db do Termo: ............................................................... 277

6.5 Exerccios Resolvidos .................................................................................................. 2786.6 Exerccios Propostos ................................................................................................... 288

CAPTULO7 ESTUDODARESPOSTAUSANDOOMTODODATRANSFORMADADELAPLACE

7.1 Resposta Entrada Impulso ....................................................................................... 2927.2 Resposta a uma Entrada Arbitrria ............................................................................. 2937.3 Resposta do Impulso Aproximado .......................................................................... 295

7.3.1 Resposta do Impulso Perfeito com reaAp

..................................................................................... 2957.3.2 Resposta do Impulso Aproximado com reaA

p ......................................................................... 296

7.4 Resposta em Freqncia (RF) ..................................................................................... 2997.5 Relao entre a Resposta do Impulso e a Resposta em Frequncia ............................. 301

7.5.1 Determinao da RF Quando a Resposta do Impulso Conhecida ........... 3017.5.2 Determinao da Resposta do Impulso Quando a Resposta em

Freqncia Conhecida .................................................................................... 303

7.6 Resposta da Entrada Peridica ................................................................................... 3057.6.1 Srie de Fourier ........................................................................................... 3057.6.2 Resposta em Regime Permanente Quando a Entrada Peridica ............... 308

7.7 Respostas a Entradas Cujas Amplitudes So Moduladas ............................................ 3107.7.1 Sinais Modulados ........................................................................................ 3107.7.2 Resposta do Sinal Modulado ....................................................................... 311

7.8 Determinao da Resposta Quando a Entrada um TransienteArbitrrio e a Resposta em Freqncia Conhecida ............................................... 312

7.9 Requisitos a um Impulso Realizvel para o Teste do Impulso.................................. 3167.10 Resposta de um Sistema Linear Quando a Entrada um Sinal Aleatrio ............. 319

7.10.1 Caractersticas de um Sinal Aleatrio ........................................................ 3197.10.2 Caracterizao da Magnitude do Sinal Aleatrio ....................................... 3217.10.3 Caracterizao da Rapidez do Sinal Aleatrio ........................................ 3247.10.4 White Noise ........................................................................................... 3307.10.5 Densidade Espectral Cruzada .................................................................... 3317.10.6 Consideraes Quando a Entrada do Sistema um Sinal Aleatrio ......... 332

7.11 Exerccios Propostos ................................................................................................. 333

CAPTULO8 TCNICASPARATRATAMENTODESISTEMASNO-LINEARES8.1 Introduo ................................................................................................................. 3388.2 Linearizao ao Redor de um Ponto de Operao ...................................................... 3458.3 Funo Descritiva ...................................................................................................... 3508.4 Simulao Digital ....................................................................................................... 356


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CAPTULO9 MODELAGEMDESISTEMAS EXEMPLOS9.1 Sistemas Mecnicos .................................................................................................... 366

9.1.1 Exemplo No1: Sistema Mecnico com Entrada Deslocamento e Clculo doMdulo da Densidade Espectral .................................................................. 366

9.1.2 Exemplo No2: Amortecedor Mais Realista ................................................. 3709.1.3 Exemplo No3: Sistema Mecnico com Acoplamento Fludico .................... 373

9.2 Sistemas Hidrulicos leo ...................................................................................... 3839.2.1 Consideraes Gerais ................................................................................... 3839.2.2 Hipteses, Equaes e Relaes Especficas da Modelagem de

Sistemas Hidrulicos .......................................................................................... 3899.2.3 Exemplo No4: Tanque Pressurizado com Vlvula, Orifcios e Pisto .......... 3979.2.4 Exemplo No5: Anlise de um Sistema com Bomba Controlada e com Motor .. 4089.2.5 Exemplo No6: Modelagem Dinmica de um Cilindro Hidrulico

Controlado por Vlvula ............................................................................... 4149.2.6 Exemplo No7: Modelagem Dinmica de uma Bomba Autocompensada por

Presso, Tipo Proporcional ........................................................................... 4239.3 Sistemas Pneumticos ................................................................................................. 435

9.3.1 Exemplo No8: Modelagem Dinmica de um Transdutor deDeslocamento para Presso .......................................................................... 435

9.3.2 Exemplo No9: Modelagem Dinmica de um ControladorProporcional, Integral e Derivativo Pneumtico ........................................... 440

9.3.3 Exemplo No10: Modelagem de um Transdutor Eletropneumtico ............. 4489.4 Exerccios Propostos ................................................................................................... 457

APNDICEA REVISOMATEMTICAA.1 Introduo ................................................................................................................. 467

A.2 Relaes Importantes ................................................................................................. 467A.2.1 Nmeros Complexos .................................................................................. 467A.2.2 Funes Trigonomtricas............................................................................. 468A.2.3 Derivadas .................................................................................................... 469A.2.4 Integrais ...................................................................................................... 470A.2.5 Limites ........................................................................................................ 471A.2.6 Srie de Taylor ............................................................................................. 471

A.3 Determinantes ........................................................................................................... 472A.3.1 Introduo .................................................................................................. 472A.3.2 Propriedades dos Determinantes ................................................................. 472A.3.3 Clculo de Determinantes Usando Co-fatores ............................................ 473A.3.4 Regra de Cramer ......................................................................................... 475

A.4 Equaes Diferenciais ................................................................................................ 476A.4.1 Introduo .................................................................................................. 476A.4.2 Mtodos para Resolver Equaes Diferenciais ............................................ 476A.4.3 Mtodo Clssico para Resolver Equaes Diferenciais

Ordinrias Lineares com Coeficientes Constantes ...................................... 476A.4.4 Princpio da Superposio ........................................................................... 483A.4.5 Equaes Diferenciais Simultneas ............................................................. 483

A.5 Exerccios Propostos .................................................................................................. 485APNDICEB INTRODUOAOMATLABB.1 Introduo ................................................................................................................. 488


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B.2 O Que MATLAB ................................................................................................... 488B.3 Pontos Iniciais ............................................................................................................ 490

B.3.1 Variveis ...................................................................................................... 490B.3.2 Linhas de Comando .................................................................................... 490B.3.3 Nmero e Matrizes Complexas ................................................................... 493B.3.4 Funes ....................................................................................................... 495

B.3.5 Formato de Sada ........................................................................................ 495B.4 Matrizes e Vetores ...................................................................................................... 497

B.4.1 Como Definir Matrizes e Vetores ................................................................ 497B.4.2 Operaes com Matrizes ............................................................................. 499B.4.3 Funes Matriciais ...................................................................................... 504

B.5 Operaes Comparativas e Lgicas ............................................................................ 505B.6 Polinmios ................................................................................................................. 506

B.6.1 Representao de Polinmios no MATLAB ................................................ 506B.6.2 Operaes com Polinmios ......................................................................... 506

B.7 Grficos ..................................................................................................................... 507

B.7.1 Introduo aos Grficos .............................................................................. 507B.7.2 Construindo Grficos.................................................................................. 508B.7.3 Estilos de Linha, Marcadores e Cor ............................................................. 509

B.8 Fraes Parciais .......................................................................................................... 510B.9 A Resposta em Freqncia ......................................................................................... 513B.10 Exerccios Propostos................................................................................................. 517

APNDICEC INTRODUOAOSIMULINKC.1 Introduo................................................................................................................. 518C.2 Construindo um Diagrama ....................................................................................... 519

C.2.1 Proposio .................................................................................................. 519C.2.2 Construo do Diagrama............................................................................ 519C.2.3 Simulao e Resultado ................................................................................ 524C.2.4 Salvar o Sistema .......................................................................................... 525

C.3 Descrio de Blocos Usuais ....................................................................................... 525C.3.1 Blocos Usuais do Continuous ...................................................................... 526C.3.2 Blocos Usuais do Discontinuities ................................................................. 526C.3.3 Blocos Usuais doMath Operations .............................................................. 527C.3.4 Blocos Usuais do Signal Routing ................................................................. 528C.3.5 Blocos Usuais do Sinks ................................................................................ 529

C.3.6 Blocos Usuais do Sources ............................................................................. 530C.4 Informaes Para Manipulao ................................................................................. 531C.4.1 Manipulao do Sistema ............................................................................. 532C.4.2 Manipulao de Blocos ............................................................................... 532C.4.3 Manipulao de Linhas ............................................................................... 533

C.5 Exerccios Resolvidos ................................................................................................. 533C.6 Exerccios Propostos .................................................................................................. 538

APNDICED TEOREMASETABELADATRANSFORMADADELAPLACED.1 Teoremas da Transformada de Laplace ...................................................................... 540D.2 Tabela da Transformada de Laplace ........................................................................... 541

NDICEANALTICO ............................................................................... 544REFERNCIASBIBLIOGRFICAS ............................................................... 551


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CAPTULO1

CONCEITUAODEMODELAGEMDADINMICADESISTEMAS

1.1 INTRODUO

importante iniciar o estudo de modelagem discutindo a sua filosofia.

O primeiro ponto que devemos abordar refere-se Engenharia em si, no que

consiste o seu trabalho.A discusso deste tema se faz necessria porque, quando as pessoas ingressam

no curso de Engenharia e recebem pela primeira vez explicaes sobre o que Engenharia, estas ficam surpresas e at reagem demonstrando desconfiana e incredi-bilidade. Esta atitude se deve muito ao mito popular que implanta a idia de queEngenharia uma cincia exata. Grave erro conceitual! Engenharia a cincia quebusca resolver problemas de forma aproximada. Alis, difcil compreender o quepossa ser exato. Ser que conseguiramos determinar as grandezas envolvidas em

Engenharia, como tenso, presso, tempo, temperatura, velocidade, comprimentoe outras, de maneira exata? A resposta no, porque no h exatido em Engenharia.s vezes at complexo compreender o que seria uma grandeza, como, por exemplo,o comprimento de uma barra. As faces tm rugosidade e no so absolutamenteparalelas e planas, e o comprimento depende da temperatura. Portanto, nem sequerconseguimos obter o exato valor de uma grandeza simples como o comprimento deuma barra.

Apenas para ilustrar, se examinarmos a face de uma barra em um microscpio

observaremos os detalhes da rugosidade com seus picos e vales, Figura 1.1. Essa figuraevidencia uma das dificuldades para definir o que seria o comprimento exato da barra.

Comprimento?

Figura 1.1 A rugosidade dificulta a definio do comprimento exato da barra.


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Quando fazemos medies de grandezas de Engenharia, os dados obtidos sempreapresentam erros. Por mais esforos que venhamos a empregar, quer com cuidadosespeciais ou com instrumental sofisticado, a medio perfeita (exata) nunca serrealizada.

neste ponto que precisamos de bom senso. Apesar de no haver exatido,mesmo assim a Engenharia consegue resolver, de forma aproximada, problemas ecom isso atender s necessidades da sociedade. Por meio da aplicao de tcnicas eprocedimentos, o engenheiro executa projeto e construo de tudo o que o ser humanousa, como carros, tratores, avies, foguetes, edifcios, estradas, computadores, robs,aparelhos para medicina, odontologia, de comunicao, etc.

dentro do contexto de solues aproximadas que encontramos o significadode Modelagem, pois Engenharia um conjunto de modelos.

Esse conjunto de modelos d sustentao ao progresso tecnolgico, poisdesenvolver um produto ou um bem por meio de tentativas inaceitvel. Com certezateramos alto custo, enorme demanda de tempo, risco de perder vidas ou de serinvivel, como, por exemplo, a construo de avies, pontes pnseis, etc. A quantidadede alternativas de modificaes e de combinaes das caractersticas pode implicarum nmero praticamente infinito de tentativas.

importante reconhecer que o mundo real muito complexo. Desta forma,para atingir nossos objetivos, entre eles a anlise e o projeto de bens, equipamentos

e componentes, precisamos ser capazes de descrever esses processos complexos demaneira inteligvel. Isso significa descrever alguns aspectos do mundo real de formaabstrata, Figura 1.2.

MUNDOREAL

ENGENHARIA

Modelos

Descrio domundo real

Figura 1.2 O material terico de Engenharia procura retratar o mundo real.

Sabemos que praticamente impossvel descrever todos os aspectos dedeterminado processo do mundo real. Por isso, temos de decidir quais caractersticasconsiderar e quais ignorar. Esta a essncia da arte de modelar saber selecionarsomente as caractersticas, dentre muitas disponveis, que so necessrias e suficientespara descrever o processo com preciso satisfatria.


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O engenheiro tem de se preparar para essa tarefa. A obteno de um modelovlido requer o conhecimento doprocessosob estudo e tambm das tcnicas demodelagem. Este livro trata desses itens, mas com intensidades diferentes.

Os processos de Engenharia constituem um campo extenso e amplo, impossvel

de ser tratado em um s livro. Aqui, alguns processos so discutidos de forma elemen-tar, com o objetivo de formar uma base para que o engenheiro possa posteriormentese desenvolver com proficincia em sua rea especfica.

Quanto discusso das tcnicas de modelagem, se comparada com o estudodos processos, esta avana um pouco mais. Contudo, ainda poderia ser classificadacomo um conjunto de conhecimentos fundamentais, evidentemente indispensveispara formar o alicerce do engenheiro de dinmica de sistema.

Adicionalmente, com objetivo de proporcionar ao engenheiro uma viso concei-

tual do comportamento dinmico, este livro tem boa parte dedicada ao estudo daresposta dos sistemas, muito importante para projetar, analisar e definir ascaractersticas de desempenho dos sistemas.

1.2 SIGNIFICADO DE MODELO

Em estudos de Engenharia, a palavra modelo possui mais de um significado,sendo um deles associado a modelos fsicose o outro a modelos matemticos.

Modelo fsico um arranjo de peas e mecanismos reais. construdo de acordocom regras de escala e deve se comportar de maneira similar a como se comporta osistema de tamanho natural. Os modelos fsicos em escala representam importantemetodologia para algumas reas da Engenharia. Este tipo de modelo muito usadoem projetos de veculos, perfis aerodinmicos, estruturas e outros.

O segundo tipo, o modelo matemtico, envolve a aplicao criteriosa de leisfsicas e julgamento de Engenharia para a obteno de um conjunto de equaesque iro (dentro de certa aproximao) descrever adequadamente o comportamento

do sistema. Os modelos matemticos, na grande maioria das vezes, so tratados dentrodo assunto dinmica de sistemas. Portanto, entendemos por modelagem o processo deobteno das equaes matemticase chamamos de modelo matemtico o conjuntodas equaes. Mesmo se tratando de modelos matemticos, a fabricao de peaspode vir a ser necessria quando desejamos determinar valores numricos reais paraos coeficientes do modelo.

Outros modelos usados em Engenharia so os modelos computacionais, porexemplo, sistema bielamanivela, mecanismo de quatro barras, vazamento e

solidificao de corpos em fundio, etc. Hoje temos computadores comuns com


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capacidade de mostrar na tela corpos de trs dimenses em movimento, gradientesde temperatura, o trabalho da suspenso de um carro, um sistema hidrulico emfuncionamento e outros. Em certas situaes, esses modelos substituem os construdosem escala, pois muito mais fcil mudar os parmetros ou as caractersticas nocomputador do que fabricar e instalar novos componentes. Por exemplo, alterar ocomprimento de uma barra de um mecanismo no computador uma tarefa rpida,enquanto no modelo em escala temos demanda de tempo, custos de fabricao emontagem.

Sob um ponto de vista mais rigoroso, esse tipo de modelo computacional seencaixa na classificao de modelos matemticos, com interfaces grficas para permitirque a determinao do modelo seja mais amigvel. Os modelos computacionais geramsuas equaes automaticamente.

Em outras reas, fora do contexto de Engenharia, h outros tipos de modelos,como os chamados verbais, que so usados em sociologia e psicologia.

1.3 SIGNIFICADO DE DINMICA DE SISTEMA

Os estudos dos comportamentos de mecanismos, motores, mquinas, circuitoseltricos e outros equipamentos so geralmente apresentados dentro de uma divisodidtica de livros ou revistas com o nome Dinmica deSistemas(System Dynamics).

Ao observarmos tal denominao, sempre indagamos qual campo de problemas ouassuntos que so tratados nessa rea. A resposta direta a esta indagao no toimportante, mas sim a clara conscientizao que pode ser conseguida pelo enten-dimento do prprio sentido das palavras sistemae dinmica.

Um sistema um conjunto de peas ou componentes, sem limitao dequantidade, que se encontra dentro de uma fronteira imaginria escolhida convenien-temente pelo analista. Um sistema pode ser de qualquer tamanho. Por exemplo, osistema eltrico de uma casa e o sistema eltrico de um pas possuem dimensescompletamente diferentes.

Uma importante deciso para a obteno dos modelos a definio da fronteirado sistema. A fronteira determina quais elementos do mundo real e do processo seroestudados. Todos os demais componentes no pertencentes ao sistema so chamadosde meio externo.

A escolha da fronteira do sistema pode se tornar fator crtico para a modelagem.Se for muito ampla, a modelagem pode se tornar difcil, complexa e envolver muitosdetalhes irrelevantes. Se for muito restrita, pode deixar de incluir aspectos importantes

e isso proporcionar resultados insatisfatrios.


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A definio da fronteira est tambm ligada ao detalhamento do estudopretendido. Por exemplo, quando a fronteira engloba um sistema hidrulico completo,contendo tanque, motor eltrico, bomba, vlvulas e cilindro, a vazo de uma vlvula considerada funo das propriedades do leo, da abertura da vlvula e das pressesenvolvidas. Nenhum detalhe do escoamento interno considerado. Contudo, se oobjetivo for o projeto do carretel, ento a fronteira ficar restrita vlvula e todo esfororecair na obteno do modelo do escoamento interno, Figura 1.3.

leodo

cilindro

Fronteirado sistema

Carretel

leoda

bomba

leopara ocilindro

Deslocamentodo carretel

leopara otanque

Figura 1.3 Para o projeto do carretel, a fronteira engloba somente a vlvula.

Agora, voltando interpretao de Dinmica de Sistemas, vamos observar osignificado de Dinmica.

Em Engenharia, a palavra dinmica refere-se situao que funo do tempo.

Assim, em Dinmica estudamos o comportamento de variveis em funo do tempo.Mesmo uma grandeza que no sofre mudanas em funo do tempo est dentro docampo de estudo da Dinmica, pois uma constante tambm uma funo do tempo.

Dessa maneira, conclumos que o estudo da Dinmica de Sistemas pode serentendido como o estudo do comportamento, em funo do tempo, de grandezasque esto relacionadas com parte do universo que foi imaginariamente separada paraeste fim.

Sob o ponto de vista acadmico, a rea de estudo de Dinmica de Sistemas se

caracteriza como uma das mais volumosas e tem importncia mpar. Ela pode ser


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dividida em quatro subreas, em que cada uma em si representa um campo daEngenharia, contendo seu prprio material de estudo e contemplando muitos casosde aplicao. Estas subreas so:

(i) Vibraes

Exemplos: vibrao da estrutura de um avio, mquina operatriz, etc.(ii) Sistemas de Controle(Automao)

Exemplos: robs, direo hidrulica de carro, etc.

(iii) Sistema de MedidasExemplos: medidores de som (rudo), de tenso e deformao, etc.

(iv) Modelos EspecficosExemplos: comportamento dinmico de uma usina nuclear, dinmica de ve-

culos, etc.

O material apresentado neste livro tem por objetivo formar um corpo queconstitui a base do estudo da Dinmica de Sistemas, conseqentemente, aplicvels quatro subreas.

1.4 CONCEITO DE ENTRADA E SADA

Dada uma fronteira imaginria que caracteriza o sistema, temos ento as entradase as sadas, Figura 1.4.

Sistema

Entradas Sadas

Figura 1.4 Representao geral de entrada/sistema/sada.

Uma entrada qualquer grandeza que pode modificar, de forma significativaou no, o estado do sistema. Em Dinmica, o comportamento de uma entrada considerado independente do sistema, ou seja, ela no sofre influncia do sistema.

Uma sada qualquer grandeza do sistema que caracteriza o seu estado. Nosignifica um fluxo que sai do sistema, mas uma informao. Por exemplo, o valor deuma presso dentro do sistema. As sadas podem corresponder s mudanas de valoresdas variveis fsicas do sistema ou mesmo s variaes dos parmetros usados paradescrev-lo.

importante evidenciar que no h unicidade entre sada e entrada, ou seja,h vrias sadas em funo de uma entrada. Isso quer dizer que, dada uma entrada,


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a sada deve ser escolhida de acordo com os interesses do estudo, da pesquisa ou doprojeto. Por exemplo, seja o sistema mecnico massamolaamortecedor da Figura1.5, em que consideramos apenas uma entrada, a fora f(t)sobre a massa. A sadapode ser escolhida entre diversas variveis, como:

posio da massa M; fora da mola sobre o solo;

temperatura da mola;

variao das propriedades mecnicas do material da mola;

temperatura do leo do amortecedor;

viscosidade do leo do amortecedor, etc.

B

Amortecedor Mola

Massa+

Ks

M

X

Base

Variveis e parmetros:M : massa do corpo;

f : fora sobre a massa M;

A : amplitude da fora f;

freqncia da fora f;

t : tempo;

X : posio da massa M;

Ks : coeficiente da mola;

B : coeficiente do amortecedor.

Figura 1.5 Sistema mecnico massa-mola-amortecedor com uma s entrada, f(t) = A sen(t).

O sistema poderia ter mais de uma entrada, como a temperatura ambiente, avibrao da base e outras, alm da prpria foraf(t).

As entradas so consideradas independentes do sistema, ou seja, elas no sofreminfluncia do sistema. Assim como as entradas independem do sistema, as sadasindependem do meio externo, pois estas dependem apenas do sistema e das entradas.Se alguma grandeza do meio externo causa mudana em uma sada, esta deve serconsiderada como entrada.

As sadas geralmente sofrem influncia quando fazemos montagens de sistemasem cascata. Muitas vezes equipamentos so conectados e o sistema posterior interfereno sistema em questo, que passa a ter comportamento bem diferente do previsto.Neste caso, a modelagem existente perde todo significado em razo do efeito de cargacausado pela conexo, e uma nova modelagem tem de ser feita.

Em dinmica muito comum estudarmos o comportamento de um sistema

observando uma nica resposta (uma sada) em funo de uma nica entrada. Quandorealizamos este estudo, todas as demais entradas tm de ser obrigatoriamente mantidasconstantes.


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Quando na anlise de determinado sistema real, considerado linear,1temos maisde uma entrada variando, o estudo da resposta feito considerando uma entrada decada vez. A resposta total obtida aplicando o princpio da superposio, somandotodas as respostas individuais.

Quando o sistema no-linear, com somente uma entrada ou com mltiplasentradas, no possvel estabelecer regras gerais e o seu estudo envolve maior com-plexidade.

1.5 CLASSIFICAO DOS TIPOS DE PROBLEMAS

Observando a Figura 1.6 podemos dizer que h trs tipos de entes envolvidos:entrada(E), sistema(Si) e sada(S). Dentro deste enfoque, os problemas tratadosem Dinmica de Sistemas podem ser classificados em trs tipos: anlise, sntesee demedidas. Cada um destes tipos compreende problemas baseados nas consideraesdescritas a seguir.

SiE S

Figura 1.6 Representao genrica de entrada (E), sistema (Si) e sada (S).

(i) Anlise:Os problemas de anlise so aqueles em que procuramos determinar a sada S,

Figura 1.6, quando a entrada Ee o sistema Siso conhecidos.

(ii) Sntese:Entendemos por sntese ou projeto aqueles problemas em que procuramos

determinar o sistema Si, Figura 1.6, sendo a entrada Ee a sada Sconhecidas.

iii) Medidas:Suponha que Si seja um sistema de medida escolhido para medir Ee o faz de

forma imperfeita. O problema de medidas resume-se ento determinao de E,sendo conhecidos S(dados com distores) e Si(as caractersticas do sistema demedida).

Sob o ponto de vista de modelos, o problema de anlise corresponde buscade solues para as equaes diferenciais. As solues (respostas) podem ser obtidasna forma analtica para a maioria dos sistemas lineares, mas para um nmero muito

1. So lineares se representados por uma ou um conjunto de equaes diferenciais ordinrias linearescom coeficientes constantes.


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pequeno de sistemas no-lineares. Neste caso, o uso de computadores o caminhoindicado. O processo de resoluo numrica por meio de computador convenientetanto para sistemas lineares como para no-lineares; a diferena que para no-lineares,geralmente, o uso imperativo.

O problema de sntese significa a busca de um modelo que traz a identificaoe a determinao da influncia de cada componente na resposta. Esses detalhes sofundamentais no desenvolvimento dos projetos dos sistemas, como, por exemplo,nas reas de vibrao mecnica, filtros dinmicos, controle e automao, dinmicade veculos, otimizao de suspenses e outras.

O problema de medida est presente em todo trabalho de investigao expe-rimental.

Em muitas situaes reais, o trabalho envolve, em conjunto, os trs tipos de

problemas. Este fato ocorre quando o sistema real existe e desejamos ter o seu modeloou quando o objetivo o desenvolvimento de sistemas tecnicamente avanados.

No caso da modelagem de um sistema real existente, usamos sistemas de medi-das para as medies das entradas e sadas (problema tipo3) para, posteriormente,chegarmos ao modelo (tipo2).

No caso do desenvolvimento de projetos mais avanados, temos sempre aconstruo de prottipos, assim, temos anlise, sntese e medies. Portanto, os trstipos.

Conforme pudemos observar, a modelagem est sempre envolvida nos trs tiposde problemas, o que torna seu estudo importante.

1.6 MODELOS DE ENTRADAS

As entradas que ocorrem no mundo real e que atuam nos sistemas semprecontm, em certo grau, alguma complexidade. Entretanto, o estudo da Dinmicade Sistemas pode ser feito por meio de algumas entradas matematicamente simples.

Essas entradas so escolhidas de maneira tal que suas respostas revelem as caractersticasdinmicas dos sistemas modelados.

A importncia dos modelos de entradas engloba tambm o objetivo de organizaros mtodos e os problemas da Dinmica de Sistemas.

Na Figura 1.7 observamos que a excitao de um sistema pode ser de duas formas:pela energia armazenadano sistema antes do instante considerado como inicial epela ao externaa partir desse instante.

H uma terceira forma de excitao do sistema fsico, no mostrada na Figura1.7, que ocorre pela variao de algum parmetro do sistema. Por exemplo, se emum circuito eltrico temos uma resistncia (parmetro) variando, este fato


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possivelmente causar modificaes na sada do circuito. O tratamento desta formade excitao, denominada excitao paramtrica,est fora dos objetivos deste texto.

No sistema massamolaamortecedor da Figura 1.5, por exemplo, a energiaarmazenada inicial existiria se a massa M fosse deslocada da posio de equilbrio

esttico, proporcionando armazenamento de energia potencial na mola. Dessa posio,se a massa for solta, esta responder oscilando de maneira especial, relacionada quelaentrada.

A excitao de um sistema por meio da energia cintica e/ou potencial inicialleva anlise dinmica de sistemas ditos livres. Em sistemas mecnicos, as oscilaesso chamadas de vibraes livres. Por outro lado, a excitao por meio de ao externaleva anlise de sistemas ditosforados.

Os agentes de atuao externa so quantidades fsicas que passam do meio

externo para o sistema por intermdio de uma interface imaginria. Conforme j foidito, elas so consideradas independentes do sistema, ou seja, a existncia e o com-portamento delas no dependem do que ocorre no sistema.

Entradas

Atuao externa

Determinstica

Aleatria

Energia inicial

Energia potencial

Energia cintica

Estacionria

No estacionria

Peridica

Transiente

Quase peridica

Outras funes

Senoidal

No senoidal

Figura 1.7 Classificao dos tipos de entradas.

Seguindo o esquema da Figura 1.7 observamos que os agentes de atuao externaesto classificados em determinsticose aleatrios. Uma entrada determinsticaquando ela pode ser expressa matematicamente como uma funo do tempo. Comotoda entrada real possui forma complexa com certo grau de aleatoriedade ouimprevisibilidade, considerar uma entrada como determinstica sempre umasimplificao da realidade. As entradas determinsticas podem ser classificadas em:

transientes(ocorrem uma vez e depois desaparecem),peridicas(se repetem em umciclo definido e idealmente sem parar no tempo), quase peridicas(funes queparecem ser peridicas exemplo: amplitude modulada) e outras funes(funes


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bem definidas matematicamente exemplo: rampa, parbola, etc.). Por sua vez, umaentrada aleatriaquando sua histria em relao ao tempo no pode ser previstaantes de a entrada realmente ocorrer. Portanto, quando trabalhamos com entradasaleatrias, no h a menor possibilidade de calcular a histria especfica em relaoao tempo antes de a entrada ocorrer de fato. Somente previses estatsticas podemser feitas, as quais so de grande utilidade na prtica. com base em suas propriedadesestatsticas que uma entrada aleatria classificada, pois, se as propriedades perma-necerem constantes em funo do tempo, temos uma entrada aleatria estacionria,caso contrrio, denominada no estacionria. Quando for possvel considerar aspropriedades estatsticas como invariveis no tempo (sinal aleatrio estacionrio),podemos empregar tratamento matemtico mais acessvel.

1.7 CLASSIFICAO DE MODELOS DE SISTEMAS

Em Engenharia, os resultados obtidos por meio da descrio matemtica(modelos) dos sistemas reais sempre so diferentes daqueles obtidos por meio decuidadosos ensaios experimentais. Isto ocorre devido s aproximaes e hiptesesutilizadas no desenvolvimento do modelo. Assim, claro que no h um nico modelomatemtico para o sistema real, mas vrios, cada um com diferente grau de aproxi-mao. O modelo depende at do ponto de vista do engenheiro. Por exemplo, parauma usina de acar, o engenheiro estrutural produzir um modelo com equaes

de resistncia dos materiais; o investidor de capital, equaes de economia; oengenheiro qumico, equaes estequiomtricas; e assim por diante.

Nos estgios iniciais de uma anlise ou projeto, geralmente procuramos escolhermodelos mais simples a fim de entender os fatores primordiais do sistema, sem esforoanaltico excessivo. Isso significa fazer hipteses simplificadoras. Sabemos que modelosmais simples produzem resultados menos precisos, entretanto, a impreciso relativadesses modelos aceita por conta da contrapartida desejvel, que a obteno rpidada visualizao dos aspectos importantes do sistema. medida que os modelos mais

simples, com suas limitaes, se mostram inadequados, torna-se necessria a adiode efeitos e aspectos mais complicados modelagem, com o objetivo de melhorar eaproximar os resultados ao comportamento real. Esse aumento planejado e gradualde complexidade dos modelos tem sido admitido como um mtodo lgico e siste-mtico de tratar problemas complexos.

O fato de existirem vrios modelos implica a necessidade de organizar para melhorvisualizar as modelagens. evidente que no h uma nica maneira de classificar osmodelos. A apresentada aqui deve ser considerada como um ponto de partida.

O primeiro passo separar os modelos em dois grupos: os analticose oscomputacionais.


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Modelos computacionais representam ferramentas avanadas, capazes de tratarno-linearidades; corpos de formas complexas, misturando variaes discretas econtnuas das propriedades; e ainda funes do tempo e do espao; portanto, pro-duzem resultados bem prximos dos obtidos experimentalmente nos sistemas reais.

Os equipamentos e bens otimizados de alta tecnologia e de alto desempenhoso projetados com o emprego desses modelos. Eles se configuram como um estgioavanado do desenvolvimento de projeto.

O objetivo deste livro est voltado aos fundamentos da Dinmica de Sistemas,portanto, o foco aqui so os modelos analticos bsicos, com exceo do mtodo desimulao digital apresentado no Apndice C. Entendemos que, para formar umprojetista, o aprendizado dos modelos analticos deva ocorrer antes do emprego demodelos computacionais. Por isso, observaremos a classificao dos modelos analticos.

A discusso dos tipos de modelos analticos est fundamentada no exame dostipos de equaes, pois a diferena entre os tipos de modelos baseia-se na naturezadas equaes diferenciais.

Com o objetivo de estabelecer uma classificao de modelos analticos comutilidade prtica, adotamos o ponto de vista de engenharia em vez de matemtico.Devemos tambm restringir o escopo e os detalhes, ou seja, incluir somente as classesimportantes das equaes normalmente utilizadas em aplicaes prticas dentro daDinmica de Sistemas. Portanto, a nfase aqui recai sobre as equaes diferenciais

ordinrias,assim como asparciais.A classificao dos tipos de modelos analticos apresentada na Tabela 1.1 baseia-

se em hipteses relativas natureza do meioe na variao, em funo do tempo, dosparmetros dos sistemas. A apresentao em quadro facilita a comparao e a com-preenso dos tipos de modelos. Os primeiros 24tipos de modelos referem-se aosexpressos por equaes diferenciais parciais, enquanto os do25ao30so modelosexpressos por equaes diferenciais ordinrias.

A Tabela 1.1 mostra queprecisoefacilidadetm direes opostas. A dificuldade

na resoluo das equaes depende essencialmente das hipteses simplificadorasadotadas pelo analista na deduo e obteno do modelo matemtico. Assim, modelosque reproduzem com grande aproximao o comportamento real envolvem poucashipteses simplificadoras. Por isso, esses modelos so matematicamente bastantecomplexos e exigem em suas resolues a aplicao de tcnicas matemticas sofis-ticadas, quando for de fato possvel resolv-los.

Repetimos que a Tabela 1.1 refere-se classificao de modelos analticos porqueos computacionais no seguem a mesma sistemtica. s vezes, para determinado

problema, muito mais fcil chegar soluo usando um modelo computacionalcom caractersticas do modelo tipo20do que resolver analiticamente as equaesdiferenciais do seu modelo tipo30.


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Tabela 1.1 Classificao dos tipos de modelos analticos.*

Natureza do meio, conforme modelado

Variao dos

parmetros em

funo do tempo

Modelo

tipo

Cont Disc Anis Isot N H Hom N L Lin Alea Deter Const

1 x x x x x2 x x x x x

3 x x x x x

4 x x x x x

5 x x x x x

6 x x x x x

7 x x x x x

8 x x x x x

9 x x x x x

10 x x x x x

11 x x x x x

12 x x x x x

13 x x x x x

14 x x x x x

15 x x x x x

16 x x x x x

17 x x x x x

18 x x x x x

19 x x x x x

20 x x x x x

21 x x x x x

22 x x x x x

23 x x x x x

24 x x x x x

25 x x x

26 x x x

27 x x x

28 x x x

29 x x x

30 x x x

Legenda:

Cont = Contnuo

Disc = Discreto

Anis = Anisotrpico

Isot = Isotrpico

N H = No-Homogneo

Hom = Homogneo

N L = No-Linear

Lin = Linear

Alea = Aleatrio

Deter = Determinstico

Const = Constante

* Esta tabela no inclui a classificao de modelos computacionais, como, por exemplo, elementos finitos.

Os corpos fsicos reais ocupam espao tridimensional, assim, se o estudo inclui

a resposta dinmica, tornando o tempo uma varivel independente, as incgnitas(sadas) dependero de quatro variveis independentes. Por exemplo, o movimentovibratrio de uma estrutura depende da localizao do ponto observado (coordenadas

MAISREALISTA

MAISFCILDERESOLVER

MENOSREALISTA

MAISDIFCILDERESOLVER


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x,y,z) e do instante em que observado (varivel tempo t). reas de Engenhariaque no curso de graduao realizam modelagens mais exatas de problemas, comotransferncia de calor, mecnica dos fluidos e vibrao, consideram o meio comocontnuo. Para tais sistemas, as leis fundamentais consideram a matria e a energiadistribudas continuamente em todo o espao do sistema. Aplicando as leis fsicasprprias ao problema e mantendo essa conceituao do meio contnuo, o modelomatemtico resultante expresso por equaes diferenciais parciais, pois as sadasdependem das quatro variveis independentes (x,y,z, t). Estes tipos de modelos sochamados modelos de campo ou modelos de parmetros distribudos, ou, ainda,modelos de sistemas contnuos. Na Tabela 1.1 eles esto numerados do 1ao24.

Os modelos matemticos de sistemas contnuos podem ser classificados deacordo com hipteses que levam em conta a direcionalidadedas propriedades domeio, a uniformidadee a linearidade. Alm das consideraes quanto ao meio, osparmetros podem variar ou ser constantes no tempo.

Quanto direcionalidade, esta significa observar as propriedades do materialnas diferentes direes de um ponto do corpo. Por exemplo, um ponto de um materialfibroso pode apresentar as propriedades na direo das fibras diferentes daquelas nadireo perpendicular s fibras. Neste caso, o material chamado de anisotrpico,equando possuem propriedades independentes da direo, de isotrpicos.

A uniformidaderefere-se s propriedades de um ponto para outro. Por exemplo,

a densidade pode variar de um ponto para outro e neste caso o material chamadode nohomogneo. Quando uma propriedade no varia de ponto para ponto, o meio chamado homogneo, em relao quela propriedade. Cabe ressaltar que um mate-rial pode ser homogneo em um aspecto (por exemplo, densidade) e no homogneoem outro (por exemplo, resistncia trao). Outro detalhe a ser destacado queum material pode ser anisotrpico e homogneo. Por exemplo, o material fibrosomencionado anteriormente. Se as propriedades se repetirem de ponto para ponto,ele homogneo.

A linearidadeda natureza do meio refere-se ao tipo de relao matemtica entreas variveis, por exemplo, a relao entre a deformao de uma mola e a fora aplicadasobre ela.

Quanto variao em funo do tempo dos parmetros do sistema, temos trstipos: a variao aleatria, a determinsticae a constante. Essa classificao significaque, alm de os parmetros variarem em funo da direo e localizao, eles podemtambm variar com o tempo.

No mundo real todos os parmetros de um sistema variam de forma aleatria

com o tempo em razo da influncia das flutuaes do meio ambiente (como, porexemplo, temperatura, umidade, presso, etc.) ou de outros fatores. Felizmente, muitas


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vezes as variaes aleatrias dos parmetros so bastante pequenas quando comparadascom as variaes previsveis (determinsticas) ou com um valor constante mdio.

Quando desejamos modelagens mais simples (tipo25a30), freqentementeadmitimos que as sadas no dependem da posio (coordenadasx,y, z) dentro da

fronteira de uma parte (aqui chamada de elemento) ou mesmo de todo o sistema.Dessa forma, por hiptese, dentro de cada elemento no haver variaes, em relao posio, das grandezas correspondentes s sadas, mas apenas em relao ao tempo.Portanto, podemos escolher apenas um ponto para a representao de cada elemento.O sistema fica, assim, representado por um nmero finito de elementos em relao posio, isto , sistemas discretos. Exemplificando, para os modelos do tipo25a30, uma mola um elemento discreto e nenhum efeito interno em funo de coor-denadasx,ye z considerado.

Os modelos de sistemas discretos podem ser tomados como no-lineares(nmeros25a27) ou, por hiptese, como lineares (nmeros28a30). Os modelosmatemticos lineares so mais simples e podem apresentar, em muitas situaes,resultados satisfatrios, se a no-linearidade do sistema real for relativamente fraca.Caso contrrio, os modelos no-lineares devem ser utilizados e, quando no for possvelobter solues analticas, mtodos numricos e simulaes computacionais soferramentas muito teis.

Para ilustrar a utilizao da Tabela 1.1 so dados dois exemplos dos tipos mais

comuns.(i)A equao de Euler para estudo de vibraes transversais de vigas:

+ =

4 2

X4 2

y yEI m p( x,t )

x t(1.1)

em que:2

E mdulo de elasticidade do material da viga;

I momento de inrcia de rea da seo transversal da viga;

x coordenada na direo do eixo longitudinal da viga;

t tempo;

y y(x, t) deslocamento lateral (transversal) de um ponto da viga, na direodo eixo de coordenaday;

2. O smbolo significa por definio.


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Xm massa da viga por unidade de comprimento;

p p(x,t) carga distribuda sobre a viga, na direo dey, funo dexet.

Essa equao diferencial parcial foi obtida considerando os parmetros geo-

mtricos constantes e as propriedades do material isotrpico, homogneo e constanteem relao ao tempo. Alm disto, foram adotadas leis e relaes lineares. A classificaodesse modelo, segundo a Tabela 1.1, corresponde ao nmero 24.

(ii)Uma equao bastante conhecida e apresentada em inmeros livros de Dinmica o modelo matemtico do sistema massamolaamortecedor, equao 1.2. O esque-ma e as definies das grandezas esto na Figura 1.5.

2

s2

d x dxM B K x f

dt dt + + = (1.2)

Neste modelo todos os elementos do sistema so considerados ideais. Isso querdizer que a massa rgida; a mola no possui massa e sua fora proporcional (linear)ao deslocamento; e o amortecedor tambm no possui massa e sua fora proporcional(linear) velocidade. Como temos: (1) uma equao diferencial ordinria, (2) asrelaes entre as grandezas lineares e (3) todos os parmetros constantes em funodo tempo, o modelo dado pela equao 1.2 do tipo nmero30.

Voltando discusso da Tabela 1.1, cabe observar um aspecto prtico em relao

aos modelos de nmeros 1a24. Apesar de os modelos de equaes diferenciais parciaisgeralmente serem mais precisos, eles tm sido analiticamente resolvidos somente paralimitado nmero de casos, principalmente os da categoria 24, e para geometrias,entradas e condies de contorno simples. Por isso, muitas vezes, quando pretendemosresolver um problema prtico, o mtodo do meio contnuo abandonado e a discre-tizao utilizada. Mesmo para modelagem discreta, muitas vezes no possvelencontrar soluo analtica em razo das particularidades e no-linearidades daequao diferencial ordinria.

Como comentrio final a respeito da Tabela 1.1, podemos dizer que o funda-mento terico atualmente existente da maioria das anlisesrecai (e provavelmentesempre recair) nas equaes diferenciais parciais do tipo24e nas equaes diferenciaisordinrias, lineares, com coeficientes constantes do tipo30. Essas equaes, parti-cularmente as ordinrias, so as nicas com complexidade que podem ser estendidaspara o tratamento de sistemas grandes, para os quais conseguimos prever analiti-camente seus comportamentos de maneira sistemtica e rotineira. evidente que,para obter solues especficas de problemas especficos (ao contrrio de desenvolveruma teoria unificada fundamental), podemos sempre esperar progresso contnuo nasresolues numricas por computador. Esses mtodos podem ser aplicados a todasas classes de modelos da Tabela 1.1, reduzindo todos os problemas aos modelos do


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tipo discreto. Computadores grandes e rpidos juntos com mtodos de discretizaocada vez mais sofisticados podem produzir resultados extremamente precisos. Con-tudo, ter a capacidade para realizar tais anlises no significa que elas devam serautomaticamente utilizadas. O julgamento prtico ser sempre indispensvel nadeciso de quo preciso um resultado se faz realmente necessrio, se a demanda detempo possvel e se o custo da metodologia pode ser economicamente justificado.


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CAPTULO2

CONCEITOSBSICOSDEMODELAGEM

2.1 INTRODUO

Este captulo apresenta uma explicao sobre a estrutura bsica de modelagemmatemtica, tendo por objetivo caracterizar a organizao dos procedimentos funda-mentais de modelagem.

comum o iniciante sentir-se confuso nos primeiros estudos sobre o desen-volvimento e a obteno de modelos. Em decorrncia da falta de informao sobre

a estrutura da modelagem, geralmente ele procura memorizar os passos e as passagensmatemticas. Adotando essa atitude errada, fica difcil aprender a fazer modelagem.

Quando observamos uma modelagem, o importante assimilar a essncia dosprocedimentos, pois o encaminhamento das passagens matemticas, de uma formaou outra, sempre chega ao resultado. Com essa estratgia, um estudante ou engenhei-ro cada vez mais vai captando a estrutura dos procedimentos, adquirindo confianae iniciativa para realizar sua prpria modelagem.

A metodologia de estudo adotada aqui : APRENDE-SE A MODELAR

MODELANDO. Esta a idia que este captulo pretende atender. Apresentar deimediato o esqueleto mnimo de modelagem para no Captulo 3 iniciar a elaboraoe obteno dos modelos. Salientamos que o objetivo mostrar a estrutura para odesenvolvimento de modelos do tipo30(vide Tabela 1.1).

2.2 PARTES DE UMA MODELAGEM

As modelagens possuem fundamentalmente quatro partes:

(i) hipteses;(ii) aplicao de leis bsicas do conhecimento cientfico;(iii) relaes entre as variveis;

(iv) validao do modelo.

Na maioria das vezes as trs primeiras partes no se apresentam separadas,mas sim mescladas. Contudo, uma modelagem sempre se inicia pela primeira parte,as hipteses.

O conjunto dehipteses uma parte muito importante da modelagem.Geralmente as hipteses so utilizadas para simplificar as solues matemticas. Em


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certas situaes elas tambm so declaradas para que a modelagem resulte em modelospadronizados. Alguns sistemas so chamados de padronizados porque j foramintensamente estudados e seus comportamentos so bem conhecidos.

Em geral, hipteses simplificadoras permitem obter resultados, embora menos

precisos, em menor tempo.O analista deve enunciar as hipteses com bastante critrio, com bom emba-samento cientfico e de acordo com os interesses do estudo do sistema. O modelo esua resposta dependem das hipteses. Com hipteses que significam aproximaesgrosseiras, a resposta advinda da modelagem ser completamente distinta do compor-tamento do sistema real, tornando a modelagem sem serventia.

Na maioria das vezes, experincias passadas auxiliam de forma bastante signi-ficativa a entender e a ter melhor viso das consideraes para que as hipteses sejam

estabelecidas. Devemos lembrar que o tipo de modelo depende das hipteses, con-forme citado no Captulo 1, seo 1.5.

As duas partes seguintes, aqui separadas, usualmente so desenvolvidas emconjunto, como sendo nica. Neste texto a idia modificar o procedimento comume adotar uma estrutura um pouco diferente.

A metodologia tradicional usa o raciocnio de que um modelo caracterizadopor determinado nmero de variveis e para ter soluo matemtica definida deverser montado igual nmero de equaes, o que vai exigir o emprego das leis bsicas

em nmero suficiente para montar todas as equaes, portanto, um modelo temtantas equaes quantas forem as variveis.

Entendemos que a estrutura da modelagem torna-se mais compreensvel quan-do dividida em duas partes: em aplicao de leis bsicas e relaes.

Assim, a segunda parte caracteriza-se pela aplicao de leis bsicase respon-svel pela gerao das equaes do modelo. Um modelo tem tantas equaes quantasvezes forem aplicadas as Leis. Por exemplo, se a Segunda Lei de Newton for aplicadaduas vezes e a Conservao da Massa, uma vez, ento, o modelo desse sistema tem

trs equaes.Na estrutura da modelagem aqui adotada classificamos as expresses mate-

mticas em equaese relaes. As equaes so geradas pelas Leis e todas as demaisexpresses que estabelecem funes entre as grandezas so chamadas de relaes.

Exemplificando, no sistema massamolaamortecedor da Figura 1.5, consi-derando a massaMrgida e a mola e o amortecedor com massas desprezveis, apli-camos a Lei de Newton uma s vez; portanto, o modelo tem uma s equao. Asdemais expresses matemticas so relaes. Temos uma relao para a mola, queestabelece o valor da fora sobre o corpo em funo do deslocamento da massaM,


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e uma outra relao para o amortecedor, que fornece o valor da fora sobre o corpoem funo da velocidade deM.

exatamente neste ponto que o aprendizado e o acompanhamento da mode-lagem podem se tornar confusos, quando a metodologia tradicional adotada. A

mistura das equaes com as relaes, proporcionada pelo tratamento eqitativo deambos os grupos, pode causar a perda do domnio da modelagem e da orientaodo manuseio matemtico.

necessrio observar a organizao da modelagem sob outro ponto de vista.Um modelo matemtico do tipo30 sempre formado por dois conjuntos de expressesmatemticas: (i) o conjunto de equaes advindas das aplicaes das Leis; e (ii) oconjunto de relaes. Inserindo as relaes nas equaes, por manuseio matemtico,o sistema de equaes ajustado para ter a quantidade de incgnitas igual ao nmero

de equaes. Nesta situao o sistema de equaes pode ser resolvido. A Figura 2.1mostra um fluxograma para ilustrar esse processo.

Conjunto deequaes

Conjunto derelaes

(aplicaode leis)

(obtidas deexperimentos)

1 Etapa:a

Geraexpresses

matemticas

Conjunto de

equaes(quantidade deincgnitas igual

quantidadede equaes)

3 Etapa:a

Organizaconjunto deequaes

4 Etapaa

MODELOMATEMTICO

Resolvesistema deequaes

Conjunto deequaes

Conjunto derelaes

Injeta relaesnas equaes

2 Etapa:a

Manuseiomatemtico

Figura 2.1 Fluxograma da organizao do trabalho com asexpresses matemticas para obter um modelo do tipo 30.

Aps o trabalho de obteno do modelo entramos na quarta parte, que avalidao, processo em que a modelagem verificada por comparao com o com-portamento do sistema real modelado, usando processo experimental. Uma mode-lagem realmente s termina aps a verificao experimental.

Muitas vezes no vivel a realizao de medies em sistemas reais (pode serque ele nem exista), ento a construo de bancadas experimentais torna-se necessria.De qualquer forma, quer faamos medies no sistema real, quer em bancadas, avalidao pode implicar altos custos decorrentes da compra de equipamentos e da

demanda de tempo de pessoas especializadas em experimentos.


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A resposta terica do modelo sempre ser uma aproximao do comportamentodo sistema real, assim, a tarefa de validao compreende a comparao dos resultadose o julgamento se as discordncias so aceitveis.

Dependendo da aplicao prtica ou do estgio do desenvolvimento do projeto,

podemos admitir tolerncia maior ou menor das diferenas. Diante dessa constatao,temos de admitir que cada caso representa uma situao particular, no sendo possvelgeneralizar a tolerncia do erro para estabelecer, a priori, o que aceitvel ou no.

Agora vamos voltar ao contexto geral que se refere ao conjunto das quatropartes de uma modelagem. Geralmente, elas aparecem organizadas de formaseqencial (no necessariamente rigorosa) em relatrios tcnicos, artigos cientficose materiais didticos. Na maioria das vezes as modelagens reportadas tm seu desen-volvimento com base em um modelo fsico esquemtico.

Se a modelagem for de um sistema real, o trabalho muito mais amplo e outraspartes e operaes acabam sendo envolvidas. A prpria tarefa de passar do sistemareal para o modelo fsico esquemtico pode representar trabalho rduo e complexo.Por exemplo, o vnculo de uma simples barra soldada a uma viga pode serinterpretado como um engastamento fixoou como uma barra ligada viga por meiode uma mola com coeficiente correspondente elasticidade da solda. Essas duasinterpretaes proporcionam esquemas fsicos diferentes.

Outra caracterstica do processo de modelagem de sistemas reais refere-se

existncia de realimentaes. Constantemente voltamos ao laboratrio ou a campopara novos experimentos e tambm a estgios anteriores do desenvolvimento analticoou computacional.

Na Figura 2.2 so retratadas, de maneira geral, as partes e tarefas da modelagemde um sistema real ou, se este no existir, as tarefas encontradas na modelagem deum novo sistema.

As sees seguintes discutem a primeira, a segunda e a terceira parte damodelagem. Exemplos ilustrando modelagens com aplicaes das Hipteses, Leis e

Relaes Bsicas so apresentados nos captulos seguintes.

2.3 LEIS BSICAS

Para o desenvolvimento dos modelos dinmicos utilizaremos quatro leis:

Lei de Newton;

Lei de Kirchhoff;

Lei da Conservao da Massa; e

Lei da Conservao da Energia.


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Experimentaes

anteriores

(componentes

esistemas)

Modelagens

anteriores

*Descartarestesblocosseosistemarealnoex

istir.

Testes

experimentais

Soluo

ana

ltica

Soluo

computador

Comportamen

toreal

Comportamento

previsto

Modelo

adequado

Modelo

inadequado

Mudanas

Sistema

real

Comparao

Bancadas

experimentais

auxiliares

Experimentos

exploratriosdo

sistemareal

Hipteses

Experincia

Leisfsicas

Intuio

Modelo

fsico

esquemtico

Modelo

matemtico

*

*

*

Modelagem

Figura

2.2

Fluxogra

mailustrandoasetapasdoprocessogeraldeumamodelage

md

eums

istemareal/projeto.


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Como o objetivo a obteno de modelos do tipo 30, as leis bsicas podemreceber simplificaes apropriadas e seus enunciados ficam conforme apresentadosa seguir.

2.3.1 SEGUNDA

LEI

DE

NEWTON

A Segunda Lei de Newton aplicada a cada massa rgida do sistema.

A Lei de Newton aqui enunciada est restrita a uma s coordenada linear euma s angular. Portanto, na translao o corpo ter movimento em uma s direoe na rotao, ao redor de um s eixo. Estamos supondo que estas condies foramestabelecidas pelos vnculos que prendem o corpo, construdos adequadamente parapermitir somente tais movimentos.

Assim, para umpontoou um corpo rgidode massa mem translao temos:

F mx= (2.1)em que:

F somatria das foras externas que atuam sobre o corpo, na direox;x deslocamento do corpo na direox;

x2

2

d x

dt

acelerao do corpo na direox.

A equao 2.1 incorpora uma conveno de sinais intrnseca e preestabelecida.Essa conveno universalmente aceita e adotada por todos do meio cientfico,portanto, aqui recomendada. Ela considera que o sentido positivoescolhido parao deslocamentoseja igual ao sentido positivoadotado para as forasque atuam sobreo ponto. Muitas vezes, ocorre de as pessoas usarem a Lei de Newton durante anos enunca perceberem este detalhe, pois ele implcito. Em modelagem a situao

diferente, pois os sentidos positivos so adotados.A acelerao, a velocidade e o deslocamento esto relacionados por derivaes,que so operaes que no invertem o sentido de referncia. Se a velocidade forpositiva, isso significa que o deslocamento crescente no sentido positivo. Idem paraa acelerao; se esta for positiva, a velocidade crescente no sentido positivo. Se aacelerao, a velocidade e o deslocamentos esto presos ao mesmo sentido positivode referncia, a fora tambm tem de estar. De acordo com a equao 2.1, em quea massa positiva, se a acelerao for positiva, matematicamente a fora resultante

tem de ser positiva. Por outro lado, em modelagem os sentid

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Modelagem da dinâmica de sistemas e estudo da resposta.pdf