Modelagem e Simulação de Sistemas.

Enrique Ortega

Unicamp, março 2006.

Revisão: junho 2007

www.unicamp.br/fea/ortega

Faculdade de Engenharia de Alimentos

Laboratório de Engenharia Ecológica e Informática Aplicada

Modelagem e simulação

a. As leis da Termodinâmica;

b. Os balanços de massa e energia;

c. O conceito de sistema fechado e aberto;

d. A tipologia das fontes de energia,

e. As funções que descrevem as interações entre os elementos de um sistema.

Para fazer a simulação de sistemas é necessário conhecer:

Para representar um sistema usaremos o diagrama de fluxos de energia.

Nesse diagrama usam-se símbolos gráficos (ícones) para mostrar os componentes e as interações do sistema.

Existem símbolos para: fontes externas, linhas de escoamento de energia e/ou massa, interações de forças e estoques de energia.

“Ecossistemas e Políticas Públicas”: http://www.unicamp.br/fea/ortega/eco

“Modelagem e simulação de Ecossistemas”: http://www.unicamp.br/fea/ortega/eco/ecosim

Fluxo de Energia

Produtor

Fonte externa ilimitada

Estoque interno

Transação

preço

Sumidouro de Energia

Fonte externa não renovávellimitada

ConsumidorInteração

Sistema ou subsistema

Interruptor

Símbolos com conexões

Fonte externa renovávellimitada

Existem várias técnicas de modelagem:

A  determinística consiste em propor um tipo de comportamento entre forças, interações e produtos para um sistema, ela exige testar o desempenho do modelo e achar os valores corretos para os coeficientes utilizados. 

a estatística, a fenomenológica, a determinística, e outras.

Porque simular? Geralmente interessa prever o desempenho de um sistema, observando como mudam os estoques internos com o tempo (Q versus T).

O modelo permite visualizar o impacto de:

alteração na composição das forças externas  

formação de novos arranjos internos. 

DQ = J*DT - K*Q*DT

Q

T

alteração nos fluxos internos  

O modelo de um sistema permite ações de controle para melhorar o desempenho, e atingir certos padrões de qualidade.

Para fazer a simulação de um sistema pode usar-se qualquer linguagem de programação ou planilhas eletrônicas ou aplicativos específicos (MatLab, Matemática, Stella, iThink, Simile, EmSim).

Leis da Termodinâmica 

Primeira lei: “A energia não se cria e não desaparece,ela apenas muda de forma"

E = constante = soma de energias

Segunda lei: "A energia potencial se converte em trabalho (W) e energia degradada (Q)"

E = W + Q

Princípios dos sistemas abertos (quarta e quinta leis da termodinâmica) :

"Os sistemas criam laços auto-catalíticos e se auto-organizam."

Os sistemas abertos evoluem e sua evolução depende da energia externa disponível, da organização interna e do aproveitamento dos resíduos do sistema.

“Os sistemas interagem para criar redes de fluxo de energia”.

As redes permitem aumentar a circulação de materiais e a captura de energia potencial disponível.

Princípios dos sistemas abertos 

Os sistemas pulsam, eles se desenvolvem em ciclos de produção, consumo, reciclagem.

Os ciclos aumentam de intensidade e duração quando o sistema cresce.

O sistema cresce quando amplia suas fronteiras para incorporar mais estoques.

Do ponto de vista do sistema terrestre vive-se um momento de intenso consumo de estoques e esse crescimento é visto como um processo contínuo, autônomo e infinito, sendo que é apenas parte de um ciclo. Após o crescimento ocorre um declínio.

Os conceitos desenvolvidos pela Termodinâmica para a energia se aplicam também para a massa:M = constante no sistema = soma de massas

M disponível = M transformada + M dispersada

Exemplo 1. Fluxo constante de energia (J) e uma saída (kQ)

Temos um sistema que recebe o fluxo J,  possui um estoque Q e apresenta uma vazão de saída proporcional ao volume do estoque Q.  Como será o gráfico Q x T?

O fluxo constante J, expressado em energia ou massa por unidade de tempo permite durante o incremento de tempo DT (segundos) aumentar em DQ o estoque interno Q (Joules ou kg). 

Diferença no estoque no intervalo DT = entrada ocorrida em DT- saída ocorrida em DT

Entrada de energia no intervalo de tempo DT: DQ (in) = J * DT -> (J/s).(s) ou (kg/s).(s)

O estoque tem um dreno e assumimos que a a vazão de saída é proporcional ao estoque de energia. Então a saída de energia no intervalo de tempo dT é:  DQ (out) = K*Q*DT -> (1/s).(J).(s) ou (1/s).(kg).(s)

A equação do balanço de energia no intervalo DT é:  Acumulação = Entrada - Saída DQ  = DQ(in) - DQ(out)  

 DQ  = J*DT - K*Q*DT 

 DQ  = J*DT - K*Q*DT 

Se o intervalo de tempo for unitário (DT = 1) a expressão fica como: DQ = J - K*Q Para simular a variação do estoque interno de energia  Q no decorrer do tempo T teríamos que escrever em qualquer linguagem de programação o seguinte procedimento:

Inicio do programa Definir o tipo o os nomes das variáveis: J, Q, T, DT, K, TMAX e atribuir valores iniciais as variáveis:

J=4 Q=10K=0.05

 Q  = Q + DQ 

T=0 DT=1 TMAX=10

Q versus T

0,000

10,000

20,000

30,000

40,000

50,000

60,000

70,000

80,000

0 10 20 30 40

Tempo

Est

oq

ue

inte

rno

Q versus T

0,000

20,000

40,000

60,000

80,000

100,000

120,000

140,000

160,000

0 10 20 30 40

Tempo

Est

oq

ue

inte

rno

Q versus T

0,000

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

0 10 20 30 40

Tempo

Est

oq

ue

inte

rno

K=0.05

 

K=0.0025  

K=1.0  

 DQ  = J*DT - K*Q*DT 

 J=4  Q=10

K=0.05 T=0

 DT=1 TMAX=10

Applets Java

miniworld.htm

Modelos básicos

Q

Tanque

Energia externa

K*Q

Energia dispersada

J

Q

Dreno

K*Q

Energia dispersada

DQ = J - K*Q*DT

DQ = - K*Q*DT

Q

Estoque não renovável

K2*QK1*E

Q

Dreno

K2*Q

E

XEnergia externa

Fonte ilimitadaLaço de retro-alimentação

K1*J*Q

Dreno

DQ = K1*E – K2*Q

DQ = K1*J*Q – K2*Q

R

Q

Dreno

K2*Q*Q

XEnergia externa

Fonte ilimitadaLaço de retro-alimentação

X

K1*J*Q

Q

Dreno

K2*Q

XEnergia externa

Fonte limitada na origem + Laço de retro-alimentação

K1*R*Q

J

DQ = K1*R*Q – K2*Q

DQ = K1*J*Q – K2*Q*Q

Q

Dreno

K2*Q

X

Fonte limitada

E

R

Q

Dreno

K3*Q

XEnergia externa

K1*R*Q

J

EX

K1*E*Q

K2*E*QFonte limitada

Fonte limitada na origem

Laço de retro-alimentação

DQ = K1*E*Q – K2*Q

DQ = K1*R*Q + K2*E*Q – K3*Q

Uso da ferramenta EmSim para resolver o modelo SlowRen

Modelo

SlowRen

Desenvolvimento com recursos renováveis, inicialmente há grandes estoques disponíveis que se esgotam e depois se sustenta com fluxos contínuos.

Modelagem e simulação

Fonte de energia renovável de fluxo pequeno

Interação de consumo

Estoque de formação lenta

QE

DE/DT = + J – k4*E -k*E*Q DQ/DT = + k1*E*Q – k3*Q

-k4E

-k*E*Q

+ k1*E*Q

– k3*Q

Um balanço para cada nó.As vezes, também nas fontes!

Estoque de formação rápida

J

Diagrama sistêmico

QE

Je

k8

k6

k0

MSm

Jm

Re

k1 k2

k3

k9

k4

k5

k6

-> Simulação

-> Modelagem

-> Calibração (com dados dos fluxos e dos estoques)

Equações dos balanços dos estoques e das fontes

QE

Je

DQ/DT = + k4*Q*E – k5*Q - k6*Q

k8

k6

k0

MSm

Jm

Re

Re = Je / (1 + k0*E*M)

Je = Re + k0 E*M*Re DE/DT = + k1*M*E – k2*E –k3*E*Q

k1 k2

k3

k9

k4

k5

k6

DM/DT = + Jm + k6*Q – k8*M –k9*M*Re

Je

Equações dos balanços em torno dos estoques e das fontes

QE

Se

DQ/DT = + k4*Q*E – k5*Q - k6*Q

k8

k6

k0

MSm

Jm

Re

Re = Je / (1 + k0*M*E)

Je = Re + k0 E*M*Re DE/DT = + k1*E*M*Re – k2*B –k3*E*Q

k1 k2

k3

k9

k4

k5

k6

DM/DT = + Jm + k6*Q – k8*M –k9*M*Re

E

SlowRen

J

Fonte de energia externa limitada

Interação de consumo

Estoque de formação lenta

QE

S

DE/DT = + J – k4*E -k*E*Q

DQ/DT = + k1*E*Q – k3*Q

k4E

-k*E*Q

+ k1*E*Q

– k3*Q

SlowRen

DE/DT = + J – k4*E -k0*E*Q

DQ/DT = + k1*E*Q – k3*Q

Agora vamos a prática!