MODELAGEM ELETROMAGNÉTICA DE ATERRAMENTOS ELÉTRICOS … · Alípio, Rafael Silva A412m Modelagem eletromagnética de aterramentos elétricos nos domínios do tempo e da freqüência

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS – CEFET/MG

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO - DPPG PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA E

COMPUTACIONAL - PPGMMC

MODELAGEM ELETROMAGNÉTICA DE

ATERRAMENTOS ELÉTRICOS NOS DOMÍNIOS DO TEMPO E

DA FREQÜÊNCIA

Aluno: Rafael Silva Alípio

Orientador: Prof. Dr. Marco Aurélio de Oliveira Schroeder

Co-orientador: Prof. Dr. Márcio Matias Afonso

Belo Horizonte, 12 de dezembro de 2008

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS – CEFET/MG

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO - DPPG PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA E

COMPUTACIONAL - PPGMMC

Modelagem Eletromagnética

de Aterramentos Elétricos nos Domínios do Tempo e da

Freqüência

por

Rafael Silva Alípio

Texto da Dissertação de Mestrado submetido à Banca

Examinadora designada pelo Colegiado do Programa

de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e

Computacional do Centro Federal de Educação

Tecnológica de Minas Gerais, como requisito parcial

para obtenção de título de Mestre em Modelagem

Matemática e Computacional.

Linha de pesquisa: Métodos Matemáticos Aplicados

Orientador: Prof. Dr. Marco Aurélio de Oliveira Schroeder

Co-orientador: Prof. Dr. Márcio Matias Afonso

Belo Horizonte, 12 de dezembro de 2008

Alípio, Rafael Silva A412m Modelagem eletromagnética de aterramentos elétricos nos domínios do tempo e da freqüência. – 2008. 140 f. Orientador: Marco Aurélio de Oliveira Schroeder Co-orientador: Márcio Matias Afonso Dissertação (mestrado) – Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais.

1. Aterramento elétrico – Teses. 2. Eletromagnetismo. 3. Transitórios (eletricidade). 4. Descargas atmosféricas. I. Schroeder, Marco Aurélio de Oliveira. II. Afonso, Márcio Matias. III. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. IV. Título.

CDD 621.31921

i

Dedico este trabalho ao arquiteto maior de minha

formação técnico-científica, Prof. Marco Aurélio de

Oliveira Schroeder.

ii

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar agradeço principalmente à minha família: meu pai Cleides Alípio, minha mãe Maria Ilza Silva Alípio e minha irmã Ludmara Silva Alípio. Agradeço fortemente a todos eles pela confiança em mim depositada. Em especial devo lembrar que meus pais nunca deixaram faltar nada no que diz respeito aos meus estudos e que realizaram todos os tipos de esforços para que eu pudesse prosseguir em minha incessante busca pelo saber. Sem eles com certeza eu não chegaria até aqui. Aproveito a oportunidade para agradecer aos meus tios Evander Alípio e Paulo Huet Alípio, que sempre me motivaram e fizeram-me acreditar que poderia ir além. O entusiasmo por eles transmitido foi essencial em minha caminhada. Um agradecimento especial deve ser dedicado ao Prof. Marco Aurélio de Oliveira Schroeder. Devo ressaltar que fui privilegiado em termos de orientação. É de praxe no meio acadêmico utilizar a metáfora de pai para os orientadores e filho para os orientandos. No meu caso, pode-se dizer que tal metáfora se traduziu em realidade. Agradeço a confiança depositada em minha pessoa ao permitir-me a honra de usufruir de sua orientação séria e segura. Agradeço ainda pela orientação calcada na amizade e por todo o incentivo e tranqüilidade passadas ao longo do mestrado. Agradeço também por proporcionar-me tantas oportunidades profissionais, desde os tempos de minha graduação. Saliento e novamente agradeço por ter sido além de orientador um amigo e um pai. Agradeço ao Prof. Márcio Matias Afonso pelas valiosas discussões e orientações com relação ao trabalho desenvolvido. Vale destacar sua capacidade e conhecimento ímpares tanto da teoria eletromagnética como de método numéricos, essenciais para o presente trabalho. Um agradecimento sincero é direcionado ao Prof. Tarcísio Antônio Santos de Oliveira por toda a ajuda técnica, pedagógica e pessoal dada desde os tempos de graduação e ao longo do mestrado. Não posso deixar de mencionar que o Prof. Tarcísio foi quem me mostrou pela primeira vez, em suas excelentes aulas, a beleza rara do Eletromagnetismo. Agradeço à Prof.ª Úrsula do Carmo Resende por todas as excelentes sugestões e ensinamentos durante meu mestrado e, principalmente, pela incansável paciência de auxiliar e ensinar sempre. Gostaria de lembrar que, como minha orientadora de trabalho de fim de curso, durante a graduação em Engenharia Elétrica, nunca aprendi tanto em tão pouco tempo como aprendi com a Prof.ª Úrsula. Agradeço ainda a brilhante matemática Maria Suzana Balparda de Carvalho por todos os ensinamentos, essenciais, durante minha graduação e aproveito para frisar sua inesgotável dedicação ao ensino, proporcional a sua sabedoria. Agradeço ainda a todos os professores do Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional, em especial Sérgio Ricardo de Souza por todos os excelentes conselhos e apoio digno de um ótimo coordenador, Flávio Luis

iii

Cardeal Pádua pelas brilhantes aulas de algoritmos, Fausto de Camargo Júnior pelos ensinamentos fundamentais de álgebra linear, Magno Meirelles Ribeiro em suas excelentes aulas de modelagem matemática, João Francisco de Almeida Vitor pelos ensinamentos de elementos finitos e Henrique Elias Borges pelos ensinamentos de modelagem computacional e orientação a objetos. Agradeço aos colegas da CEMIG (Companhia Energética de Minas Gerais) pelo trabalho em conjunto e por compartilharem seus conhecimentos ao longo de meu mestrado, em especial aos engenheiros Sandro de Castro Assis e Rafael Rennó Nunes. Agradeço a todos os brilhantes alunos de iniciação científica, envolvidos direta ou indiretamente neste trabalho, Felipe Alves Dias, Roberta Kellem de Oliveira, Marina Moreira Silveira Andrade e em especial a aluna Maisa Laila de Fátima Oliveira com quem trabalhei diretamente. Agradeço também às alunas de mestrado Adriana Generoso Pedrosa e Clarissa Gomes Cosentino Alvarez. Aproveito a oportunidade de agradecer meus colegas/amigos de graduação do CEFET-MG, que sempre me motivaram, em especial Gilberto Silveira, Petrus Bonato, Gustavo Gonçalves, Fábio Arruda, Naiara Duarte, Ciby Rosa, Francisco Bernardes, Guilherme Miranda e Cláudio Henrique. Um agradecimento póstumo é direcionado ao meu amigo Jomar Sales, que se aqui estivesse com certeza estaria vibrando comigo neste momento. Agradecimento especial deve ser direcionado ao amigo Weberton Luiz Gonçalves Eller por toda sua ajuda durante o mestrado e pelas belas discussões técnicas propiciadas por seu brilhantismo. Não posso deixar de mencionar uma das pessoas mais especiais e que tem me acompanhado já durante longo tempo, minha querida companheira Mirelle Karoline Alves de Macedo. Ressalto sua postura incansavelmente amorosa, solidária e compreensiva durante o período que dediquei à elaboração desta dissertação. Agradeço por cada palavra de apoio e de força, principalmente naqueles momentos mais difíceis e de cansaço elevado. Com certeza essa caminhada teria sido muito mais difícil sem sua agradável presença. Por fim, não menos importante, agradeço por sua ajuda no texto, primordial para sua contínua melhoria. Ao concluir este trabalho completo nove anos de estudo no CEFET-MG, desde o curso técnico em Eletrônica, passando pela Engenharia Elétrica e agora concluindo o Mestrado em Modelagem Matemática Computacional. Atualmente, obtive o enorme prazer e a importante missão de compor, como professor contratado, o corpo docente do Curso de Engenharia Elétrica. Espero honrar o posto obtido como uma forma mínima de agradecimento a essa bela instituição a que devo toda minha formação técnico-científica. Por fim, agradeço a todos os leitores por dispensarem seu precioso tempo na leitura do presente texto. Ao adentrar as páginas desta dissertação sintam-se à vontade, estaremos todos falando a mesma linguagem: as Equações de Maxwell.

iv

“If the doors of perception were cleansed everything would appear to man as it is: Infinite.”

William Blake

“O leitor atento, verdadeiramente ruminante, tem quatro estômagos no cérebro, e por eles faz passar e repassar os atos e os fatos, até que deduz a verdade, que estava, ou

parecia estar escondida.”

Machado de Assis

v Sumário

SUMÁRIO

RESUMO.......................................................................................................... vii

ABSTRACT .......................................... ........................................................... viii

LISTA DE FIGURAS .................................. ....................................................... ix

LISTA DE TABELAS .................................. ...................................................... xi

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ........................... ................................................ 1

1.1 – Relevância .................................. ................................................................................ 1

1.2 – Contextualização ............................ ............................................................................ 3

1.3 – Objetivo do trabalho ........................ .......................................................................... 4

1.4 – Organização do texto......................... ........................................................................ 5

CAPÍTULO 2 – RESPOSTA DE ATERRAMENTOS ELÉTRICOS A CORRENTES IMPULSIVAS .............................. ................................................ 7

2.1 – Introdução .................................. ................................................................................. 7

2.2 – Comportamento do aterramento frente a descarg as atmosféricas ...................... 8

2.2.1 – Definição da impedância de aterramento ...................................................... 10

2.2.2 – Composição da corrente no solo ................................................................... 13

2.2.3 – Efeito de propagação no solo e comprimento efetivo de aterramento .......... 14

2.2.4 – Efeito da intensidade da corrente .................................................................. 19

2.2.5 – Dependência dos parâmetros eletromagnéticos do solo com a freqüência . 22

2.3 – Conclusões .................................. ............................................................................. 25

CAPÍTULO 3 – FRONTEIRAS DA MODELAGEM DE ATERRAMENTO S ELÉTRICOS ..................................................................................................... 27

3.1 – Introdução .................................. ............................................................................... 27

3.2 – Modelagem no contexto científico ............ ............................................................. 28

3.3 – A natureza dos modelos ...................... ................................................................... 30

3.4 – Construção de modelos ....................... ................................................................... 32

3.5 – Modelagem de aterramentos elétricos ......... ......................................................... 35

3.5.1 – Introdução ...................................................................................................... 35

3.5.2 – Estudo do Estado da Arte .............................................................................. 36

3.5.3 – Qual tipo de modelagem adotar? .................................................................. 51

3.6 – Conclusões .................................. ............................................................................. 54

Sumário

vi

CAPÍTULO 4 – MODELAGEM DE ATERRAMENTOS ELÉTRICOS PA RA FENÔMENOS TRANSITÓRIOS ...................................................................... 56

4.1 – Introdução .................................. ............................................................................... 56

4.2 – Equações de Maxwell e a essência do Eletromag netismo .................................. 57

4.3 – Modelo matemático ........................... ....................................................................... 60

4.3.1 – Condutores imersos em um meio infinito ...................................................... 61

4.3.2 – Solução do modelo matemático .................................................................... 68

4.3.3 – Aspectos adicionais ....................................................................................... 76

4.4 – Conclusões .................................. ............................................................................. 79

CAPÍTULO 5 – MODELAGEM COMPUTACIONAL E ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA DE ATERRAMENTOS ELÉTRICOS .... .............. 82

5.1 – Introdução .................................. ............................................................................... 82

5.2 – Aspectos computacionais básicos ............. ........................................................... 83

5.3 – Validação do modelo ......................... ...................................................................... 87

5.3.1 – Comparação com resultados experimentais ................................................. 87

5.3.2 – Comparação com resultados de outras modelagens .................................... 93

5.3.3 – Conclusões .................................................................................................... 95

5.4 – Resultados e análises de sensibilidade: eletr odos horizontais ......................... 95

5.4.1 – Introdução ...................................................................................................... 95

5.4.2 – Faixa de valores para os parâmetros de interesse ....................................... 96

5.4.3 – Ondas de corrente injetadas.......................................................................... 96

5.4.4 – Determinação de impedância na freqüência ................................................. 97

5.4.5 – Determinação de impedância impulsiva ...................................................... 102

5.4.6 – Determinação de comprimento efetivo de eletrodos horizontais ................ 103

5.4.7 – Cálculo de tensão no domínio do tempo ..................................................... 107

5.4.8 – Cálculo de campo elétrico no nível do solo ................................................. 113

5.5 – Estudo de circuitos equivalentes para represe ntação de hastes verticais de aterramento ....................................... .............................................................................. 118

5.5.1 – Impedância de hastes verticais ................................................................... 120

5.5.2 – Hastes verticais inseridas em solos de resistividade elevada ..................... 121

5.6 – Conclusões .................................. ........................................................................... 127

CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES ........................... .......................................... 131

6.1 – Introdução .................................. ............................................................................. 131

6.2 – Potencialidades do modelo eletromagnético des envolvido ............................. 132

6.3 – Propostas de continuidade ................... ................................................................ 133

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................ ...................................... 136

vii

RESUMO

As descargas atmosféricas são responsáveis pelas principais solicitações dos

aterramentos elétricos e pela maior parcela dos desligamentos não programados dos

sistemas elétricos. O apurado conhecimento do comportamento eletromagnético

transitório do aterramento sob essas condições é de fundamental importância na

determinação de práticas eficazes de proteção de sistemas elétricos contra as

descargas atmosféricas. Tal comportamento pode ser estimado por meio do

estabelecimento de um modelo matemático e computacional que represente de forma

fisicamente consistente o aterramento.

Neste trabalho é apresentada uma modelagem de sistemas de aterramento

elétrico para investigação de fenômenos transitórios decorrentes da injeção de

correntes impulsivas. O modelo é baseado na solução direta das equações básicas do

eletromagnetismo no domínio da freqüência. A resposta no domínio do tempo é obtida

por meio da aplicação de uma transformada inversa de Fourier. O modelo

desenvolvido contempla os acoplamentos eletromagnéticos entre os componentes do

aterramento, os efeitos de propagação e a dependência da freqüência dos parâmetros

do solo.

Foi desenvolvida uma ferramenta computacional que implementa o modelo

eletromagnético em questão. Comparações com resultados experimentais mostraram

a consistência de tal ferramenta.

A atual versão da ferramenta é capaz de gerar os seguintes resultados no

domínio da freqüência: impedância de aterramento, perfil de potencial e distribuição de

corrente ao longo do aterramento, distribuição de potenciais no nível do solo,

distribuição de campo elétrico no nível do solo e ao longo da superfície do eletrodo.

São resultados gerados no domínio do tempo: impedância impulsiva de aterramento,

tensão transitória resultante no ponto de injeção, potenciais e campo elétrico no nível

do solo.

A sua aplicação a configurações básicas de aterramento permitiu análises

diversas. Nessas, avalia-se o comportamento do aterramento segundo algumas

condições, que incluem diferentes configurações, valores de resistividade do solo e

onda de corrente injetada.

A ferramenta desenvolvida pode ser um instrumento de valor no auxilio ao

estudo, análise e projeto de aterramentos, sobretudo quando é avaliado o

desempenho e comportamento dos mesmos frente a ocorrências rápidas.

viii

ABSTRACT

Lightning is the main cause of grounding solicitations and non-scheduled

electrical systems outages. The accurate knowledge of grounding electromagnetic

transient behavior under these conditions is of great importance in determination of

lightning protection practices for electric systems. Such behavior may be estimated by

the establishment of a mathematical and computational model physically consistent

which represents the grounding.

In this work a grounding system model for high frequencies transient analysis is

presented. This model is based on the direct solution of basic electromagnetic

equations in frequency domain. The time domain response is obtained by application of

a Fourier inversion technique. The developed model include electromagnetic coupling

between grounding components, propagations effects and frequency dependence of

soil parameters.

A computational tool based on the cited model was developed. Comparison

between simulated and experimental results has shown tool consistence.

The current version of developed tool generates the following results in

frequency domain: grounding impedance, potential and current distribution along

grounding, potential distribution in soil surface, electric field distribution on grounding

and soil surface. Results in time domain are: impulsive grounding impedance, transient

voltages along grounding and potentials and electric field on soil surface.

Its application to basic grounding configurations provided several sensitivity

analyses. In those, the grounding behavior was evaluated by considering different

configurations, soil resistivity and injected current waves.

The developed tool may be useful in study, analysis and design of grounding

systems, mainly in evaluation of grounding response to high frequency occurrences.

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Componentes de corrente no solo e circuito equivalente do aterramento – adaptada de [1]. ..................................................................................................................... 9

Figura 2.2 – Impedância de aterramento ao longo do espectro de freqüência característico de uma descarga atmosférica [9]. ............................................................................................. 11

Figura 2.3 – Influência do tempo de frente da onda de corrente injetada na impedância impulsiva. ............................................................................................................................. 13

Figura 2.4 – Atenuação e distorção da corrente ao longo do eletrodo – adaptada de [5]. ......... 15

Figura 2.5 – Impedância de um eletrodo horizontal (raio 1 cm e profundidade 0,5 m) para diferentes comprimentos inseridos em um solo de (a) baixa resistividade (ρ = 100 Ω.m) e (b) alta resistividade (ρ = 1.000 Ω.m) [9]. ............................................................................ 17

Figura 2.6 – Curva de impedância impulsiva em função do comprimento de um eletrodo horizontal para injeção de uma onda de corrente impulsiva de 1,2/20 µs. ......................... 18

Figura 2.7 – Curva de impedância impulsiva em função do comprimento de um eletrodo horizontal para injeção de uma onda de corrente impulsiva de 3/20 µs. ............................ 19

Figura 2.8 – Representação da região de ionização em um sistema de aterramento submetido à injeção de uma corrente I – adaptada de [17]. ................................................................. 21

Figura 2.9 – Representação da ionização do solo em um sistema de aterramento de pequeno porte submetido à injeção de corrente sendo I3 > I2 > I1 – adaptada de [17]. ..................... 21

Figura 3.1 – Natureza iterativa do processo de modelagem. ..................................................... 34

Figura 3.2 – Modelagem do eletrodo de aterramento por meio de uma série de circuitos π. .... 37

Figura 4.1 – Sistema físico sob estudo. ...................................................................................... 61

Figura 4.2 – Fontes de corrente em cada eletrodo. .................................................................... 62

Figura 4.3 – Eletrodo emissor (j) e distâncias ao ponto P. ......................................................... 64

Figura 4.4 – Eletrodo emissor (j) e distâncias ao eletrodo receptor (i). ...................................... 65

Figura 4.5 – Distribuição de corrente ao longo do eletrodo. ....................................................... 73

Figura 4.6 – Relação entre queda de tensão (∆V ) e elevação de potencial médio ( V ) em cada elemento com os potenciais nodais do elemento em questão (Vk e Vl). .................... 74

Figura 4.7 – Concentração da corrente transversal nos nós do elemento. ................................ 76

Figura 4.8 – Modelagem proposta e dipolo de Hertz. ................................................................. 81

Figura 5.1 – Eletrodo horizontal com 15 m de comprimento [99]. .............................................. 88

Figura 5.2 – Corrente injetada no eletrodo horizontal. ................................................................ 89

Figura 5.3 – Potenciais em relação ao terra remoto medidos e calculados em três pontos distintos (comprimento de 15 m, raio 12 mm, profundidade de 0,6 m, resistividade do solo igual a 70 Ω.m e permissividade relativa do solo igual a 15) – Fonte [65]. ......................... 89

Figura 5.4 – Potenciais em relação ao terra remoto calculados em três pontos distintos a partir da modelagem apresentada nesta dissertação. .................................................................. 90

Figura 5.5 – Haste vertical com 6 m de comprimento [99]. ........................................................ 91

Figura 5.6 – Corrente injetada na haste vertical. ........................................................................ 91

Figura 5.7 – Potenciais em relação ao terra remoto medidos e calculados no ponto de injeção de corrente para uma haste vertical (comprimento de 6 m, raio 16 mm, resistividade do solo igual a 50 Ω.m e permissividade relativa do solo igual a 15) – Fonte [65]. ................. 92

Figura 5.8 – Potenciais em relação ao terra remoto calculado no ponto de injeção a partir da modelagem apresentada nesta dissertação (haste vertical). .............................................. 92

Figura 5.9 – Configuração simulada para cálculo de campo elétrico na superfície do solo [62].93

Figura 5.10 – Distribuição de campo elétrico na superfície do solo – Fonte [62]. ...................... 94

Figura 5.11 – Distribuição de campo elétrico na superfície do solo determinado a partir da modelagem apresentada nesta dissertação. ....................................................................... 94

Figura 5.12 – Formas de onda de correntes injetadas. .............................................................. 97

Figura 5.13 – (a) Módulo e (b) ângulo da impedância de eletrodos horizontais de aterramento em função da freqüência inseridos em um solo de ρ = 1.000 Ω.m. .................................. 100

Figura 5.14 – (a) Módulo e (b) ângulo da impedância de eletrodo horizontal de aterramento de 50 m em função da freqüência para solos de diferentes valores de resistividade. ........... 101

Figura 5.15 – Curvas de impedância impulsiva em função do comprimento do eletrodo para diferentes valores de resistividade e injeção de uma onda de corrente de 1,2/20 µs. ...... 103

Figura 5.16 – Curvas de impedância impulsiva em função do comprimento do eletrodo para diferentes valores de resistividade e injeção de uma onda de corrente de 3/20 µs. ......... 105

x

Figura 5.17 – Curvas de impedância impulsiva em função do comprimento do eletrodo para resistividade do solo 2.400 Ω.m e injeção de uma onda rápida (1,2/20 µs) e uma onda lenta (3/20 µs). ............................................................................................................................ 106

Figura 5.18 – Tensões resultantes da injeção de uma onda de corrente de 1,2/20 µs na extremidade de eletrodos horizontais para solos com valores de resistividade de (a) 500 Ω.m (b) 1.000 Ω.m (c) 2.400 Ω.m e (d) 5.000 Ω.m. ........................................................... 111

Figura 5.19 – Tensões resultantes da injeção de uma onda de corrente de 1,2/20 µs na extremidade de um eletrodo horizontal de 70 m para solos com valores de resistividade de (a) 500 Ω.m (b) 1.000 Ω.m (c) 2.400 Ω.m e (d) 5.000 Ω.m considerando a variação dos parâmetros eletromagnético do solo (σ e ε) com a freqüência.......................................... 113

Figura 5.20 – Campo elétrico ao longo da superfície do solo devido a um eletrodo horizontal considerando (a) apenas fontes de corrente transversal e (b) as fontes de corrente, transversal e longitudinal. .................................................................................................. 115

Figura 5.21 – Campo elétrico ao longo da superfície do solo devido a um eletrodo horizontal incluindo a variação dos parâmetros eletromagnéticos com a freqüência. ....................... 116

Figura 5.22 – Campo elétrico transitório na superfície do solo devido a um eletrodo horizontal nos pontos (a) x = 2,5 m (b) x = 17,5 m e (c) 25 m. .......................................................... 118

Figura 5.23 – (a) Situação física (b) Circuito equivalente em baixas freqüências (c) Circuito equivalente em altas freqüências. ..................................................................................... 119

Figura 5.24 – Módulo da impedância de (a) haste curta 3 m=l e (b) haste longa 30 m=l em um solo mais condutivo ρ 30 Ω.m= e menos condutivo ρ 300 Ω.m= . ....................... 122

Figura 5.25 – Impedância de haste vertical inserida em solo de resistividade ρ = 1.000 Ω.m (a) módulo da impedância (b) ângulo da impedância. ............................................................ 125

Figura 5.26 – Impedância de haste vertical inserida em solo de resistividade ρ = 2.000 Ω.m (a) módulo da impedância (b) ângulo da impedância. ............................................................ 126

Figura 5.27 – Resposta transitória de haste vertical de aterramento em um solo resistivo (ρ 2.000 Ω.m= ) calculada por meio das modelagens de circuito e eletromagnética. ... 126

xi

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 – Relação entre a corrente condutiva e a corrente capacitiva para diferentes valores de resistividade do solo em função da freqüência. .............................................................. 14

Tabela 4.1 – Conjunto de vinte variáveis utilizadas por Maxwell em seu trabalho Uma teoria dinâmica do campo eletromagnético [87], [89], [92]. ........................................................... 58

Tabela 5.1 – Razão entre a resistividade do solo em baixas e altas freqüências. ................... 109

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO

1.1 – Relevância

O tema aterramentos elétricos tem despertado ao longo do tempo o interesse

de diversos pesquisadores. Muito provavelmente, tal interesse está relacionado à

importância do aterramento para um bom desempenho do sistema aterrado e,

principalmente, devido à questão de segurança de seres vivos. Historicamente, os

primeiros esquemas de aterramento foram fruto de uma longa evolução, orientada

pelo objetivo de proteger melhor as pessoas contra choques elétricos e dos efeitos

gerais da passagem de corrente pelo corpo humano.

No caso do Brasil, devido às características peculiares do solo, que possui

valor médio de resistividade elevado (superior a 1.000 Ω.m na maior parte do

território), o projeto e construção de malhas de aterramento adequadas à segurança

de seres vivos e que garantam um bom desempenho do sistema, constituem laboriosa

tarefa. Nesse sentido, os sistemas de aterramento apresentam uma singular

importância no que concerne a sua influência no desempenho do sistema aterrado e

proteção humana.

Somada às características peculiares do solo brasileiro, deve-se salientar a

elevada densidade de incidência de descargas atmosféricas nos sistemas elétricos ou

em suas proximidades. Elas são as responsáveis pelas principais solicitações dos

aterramentos elétricos e pela maior parcela dos desligamentos não programados das

linhas de transmissão. Às descargas atmosféricas está associada uma grande

quantidade de energia sendo que, quando da incidência de um raio em uma linha de

transmissão, por exemplo, a corrente advinda dele deve ser eficientemente escoada

para terra através do sistema de aterramento. A eficiência implica não unicamente em

rapidez, mas também no mínimo de interferência nos arredores do sistema de

aterramento. Tal eficiência pode ser obtida por meio de práticas adequadas de

aterramento, que exige um apurado conhecimento do comportamento eletromagnético

transitório do aterramento. O desconhecimento desse comportamento conduz a

soluções inadequadas, a maioria delas ligadas aos “achismos”, freqüentes na área de

aterramentos elétricos.

Especificamente, na investigação de técnicas de aterramento para proteção de

sistemas contra descargas atmosféricas os problemas se avolumam. Quando o

Capítulo 1 - Introdução

2

sistema de aterramento não é adequadamente dimensionado, a incidência de uma

descarga atmosférica no sistema elétrico pode gerar elevadas sobretensões

ocasionando o rompimento do isolamento e estabelecimento de arcos elétricos,

destruição de equipamentos, situações de riscos para os seres humanos localizados

nas proximidades do local de incidência e, evidentemente, desligamento do sistema

elétrico. Outro problema está relacionado ao recente desenvolvimento e utilização da

eletrônica em diversas aplicações, dentre elas, nas subestações elétricas. No início, a

preocupação com possíveis interferências eletromagnéticas era pouca ou inexistente,

tendo em vista a utilização de equipamentos eletromecânicos. Sérios problemas

podem ocorrer quando da substituição dos equipamentos antigos por sistemas

eletrônicos modernos e sensíveis. Deve-se lembrar ainda que um outro problema está

relacionado à proteção de seres vivos em instalações sujeitas a incidência de

descargas atmosféricas. Na opinião do autor deste trabalho ênfase aquém da

esperada é dada a esse último tema, sendo o foco, em geral, na proteção de

equipamentos.

Das exposições do parágrafo anterior podem surgir inúmeras questões

relacionadas à avaliação do comportamento e estimativa da resposta transitória do

aterramento frente à incidência de descargas atmosféricas. A resposta a elas pode ser

obtida por meio do estabelecimento de um modelo matemático que represente de

forma fisicamente consistente um sistema de aterramento real. A partir do

equacionamento consistente da interação da descarga atmosférica com o sistema de

aterramento, várias realizações técnicas importantes podem ser derivadas: cálculo e

previsão das sobretensões associadas às descargas em diversos pontos do

aterramento, cálculo dos campos eletromagnéticos nas proximidades do sistema

aterrado, avaliação das tensões induzidas em estruturas e equipamentos nos

arredores do aterramento, quantificação das tensões de passo e toque etc.

Julga-se, portanto, que no estudo do comportamento e desempenho de

sistemas de aterramentos frente a solicitações oriundas da incidência de descargas

atmosféricas é de fundamental importância o estabelecimento de um modelo

fisicamente consistente para sua representação.

Uma dificuldade associada à grande parte das modelagens presentes na

literatura refere-se às excessivas simplificações assumidas pelas mesmas, o que leva

a inconsistências físicas em relação ao fenômeno investigado e falta de generalidade

de aplicação.

Com esses comentários iniciais, denota-se a relevância do tema em

investigação: modelagem de aterramentos elétricos e avaliação de sua resposta frente

a descargas atmosféricas. Pretende-se gerar uma contribuição que subsidie a


3

investigação do comportamento transitório do aterramento em altas freqüências e na

definição de técnicas e soluções de proteção contra descargas atmosféricas.

1.2 – Contextualização

O tema em questão tem despertado amplo interesse das companhias

energéticas brasileiras. Esse interesse parece estar relacionado à carência das

concessionárias de metodologias consistentes de avaliação do comportamento

transitório do sistema elétrico quando da incidência de descargas atmosféricas. Tal

carência conduz a prejuízos como, por exemplo, desligamentos do sistema e

destruição de equipamentos.

Julga-se que existem ainda muitas questões em aberto na investigação da

interação de descargas atmosféricas com os sistemas elétricos. Levando-se em

consideração seus efeitos devastadores, urge obter respostas a tão relevantes

questões. Recentemente, por meio de um projeto cooperativo (P&D CEMIG1/ANEEL2)

entre a CEMIG e o GEAP3/CEFET-MG, investigações aprofundadas da interação de

descargas atmosféricas com o sistema elétrico têm sido conduzidas com o objetivo de

avaliar o desempenho de linhas de transmissão frente a esses fenômenos.

Percebe-se que um elemento essencial no desempenho de um sistema elétrico

frente às descargas atmosféricas é o aterramento elétrico, uma vez que está presente

em praticamente todas as partes do sistema em questão. Adicionalmente, a sua

interação com os sistemas de energia é de fundamental importância na avaliação do

desempenho em causa. Apesar dos inúmeros trabalhos desenvolvidos sobre o tema,

alguns pontos ainda merecem investigações adicionais (e, portanto, susceptíveis a

intensa pesquisa), tais como:

i) A quantificação experimental da variação da permissividade elétrica e

resistividade de solos típicos com a freqüência (para um espectro

característico das descargas atmosféricas);

ii) O desenvolvimento de uma rotina computacional, acoplada com o EMTP

(Electromagnetic Transients Program) / ATP (Alternative Transients

1 CEMIG – Companhia Energética de Minas Gerais 2 ANEEL – Agência Nacional de Energia Elétrica 3 GEAP – Grupo de Eletromagnetismo Aplicado (Cadastrado na base de dados do CNPq – Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico)


4

Program), que caracterize o comportamento de aterramentos elétricos

frente aos transitórios eletromagnéticos estabelecidos pelos surtos

atmosféricos.

Nesse sentindo foram eleitos os seguintes tópicos principais e norteadores do

projeto em questão:

i) O levantamento experimental da variação com a freqüência dos parâmetros

eletromagnéticos de solos típicos;

ii) O desenvolvimento de um modelo eletromagnético computacional (que

utilize os resultados experimentais) para quantificar a resposta de

aterramentos elétricos às solicitações associadas às descargas

atmosféricas;

iii) O acoplamento deste modelo com o ATP com o objetivo de proceder a

avaliações do desempenho de sistemas de transmissão frente a descargas

atmosféricas.

A presente dissertação, resultado de parte das pesquisas que vem sendo

desenvolvidas neste projeto, se insere e contempla parcialmente o segundo tópico.

1.3 – Objetivo do trabalho

O objetivo principal deste trabalho é o estudo do comportamento transitório de

sistemas de aterramento elétrico, especialmente quando solicitados por descargas

atmosféricas. A despeito dos avanços nas investigações relativas ao tema,

permanecem, todavia, muitas questões a serem resolvidas. A elucidação e solução de

tais questões podem ser realizadas mediante o estabelecimento de um modelo

matemático e computacional, consistente fisicamente, que permita a simulação da

injeção de correntes de descarga em diferentes configurações de aterramento. A

obtenção de uma modelagem completa para o aterramento elétrico encerra elevada

complexidade, que se tornará clara ao longo dessa dissertação.

Levando-se em consideração o contexto e o objetivo principal deste trabalho,

as seguintes atividades podem ser definidas como norteadoras:


5

• Estabelecimento de uma modelagem matemática e computacional, que seja

fisicamente consistente para representação de sistemas de aterramento de

configurações genéricas;

• Desenvolvimento de uma ferramenta computacional, que implemente a

modelagem desenvolvida. Validação da ferramenta com resultados

experimentais;

• Aplicação da modelagem desenvolvida em configurações básicas de

aterramento avaliando-se a sensibilidade destas em relação a variáveis típicas

do projeto de aterramentos. Aplicação na estimativa da resposta transitória de

sistemas de aterramentos às descargas atmosféricas.

1.4 – Organização do texto

O presente texto está organizado em seis capítulos, incluindo este capítulo

introdutório.

No capítulo 2 são destacados os aspectos básicos concernentes ao

comportamento de sistemas de aterramento a solicitações oriundas da incidência de

descargas atmosféricas. Este capítulo apresenta uma abordagem predominantemente

qualitativa, enfatizando o entendimento e compreensão dos conceitos físicos,

dispensando desenvolvimentos matemáticos.

No capítulo 3 apresenta-se uma evolução histórica da pesquisa da resposta de

sistemas de aterramento elétrico à incidência de descargas atmosféricas, com ênfase

nos aspectos de modelagem. Os principais trabalhos e metodologias de modelagem,

desde 1930 até 2008, são descritos e analisados. Ao final é apresentada uma

discussão acerca das vantagens e desvantagens das diversas filosofias de

modelagem.

Os capítulos 4 e 5 referem-se às realizações próprias deste trabalho e as suas

correspondentes contribuições.

No capítulo 4 são descritos os aspectos básicos do modelo eletromagnético

para avaliação da resposta transitória do aterramento elétrico. É apresentada, em

detalhes, a solução para o modelo a partir da aplicação do Método dos Momentos.


6

Além disso, são discutidos alguns aspectos físicos essenciais contemplados pela

modelagem.

No capítulo 5 são apresentados os resultados, com respectivas análises,

oriundos da implementação computacional do modelo apresentado no capítulo 4, na

avaliação da resposta transitória de aterramentos elétricos a incidência de descargas

atmosféricas. São consideradas configurações básicas de aterramento constituídas

por eletrodos horizontais e hastes verticais. É também incluída uma seção de

validação da modelagem apresentada, em que são apresentas comparações de

resultados gerados pela aplicação da modelagem com aqueles obtidos por outros

modelos considerados precisos e, inclusive, com aqueles derivados de medições

diretas.

No capítulo 6 são apresentadas as implicações deste trabalho preliminar,

ressaltadas as principais contribuições e destacadas as propostas de continuidade.

CAPÍTULO 2 – RESPOSTA DE

ATERRAMENTOS ELÉTRICOS A

CORRENTES IMPULSIVAS

2.1 – Introdução

Quando submetidos a uma corrente de descarga atmosférica, os eletrodos de

um sistema de aterramento apresentam um comportamento bastante particular.

Aparentemente, há certa confusão de conceitos básicos em relação a esse

comportamento no meio técnico-científico. Esses conceitos são fundamentais para

compreensão dos problemas envolvendo o projeto de aterramentos elétricos para

proteção contra descargas atmosféricas. Este capítulo insere-se neste cenário e tem

como objetivo apresentar de forma sucinta aqueles conceitos considerados mais

relevantes para compreensão da resposta de aterramento a correntes impulsivas de

altas freqüências.

O tema aterramento elétrico, em função da generalidade de suas aplicações e

do número significativo de variáveis que influenciam o seu desempenho, encerra

considerável complexidade [1]-[3]. Particularmente, na avaliação da resposta do

aterramento para correntes impulsivas de altas freqüências, tal complexidade se

avoluma [4]-[6].

Em relação à generalidade de aplicações do aterramento elétrico é

interessante comentar as diferentes visões que os profissionais da área de Engenharia

Elétrica possuem em relação ao tema [4]. No caso dos profissionais que atuam na

área de Sistemas Elétricos de Potência (SEP), o aterramento elétrico corresponde à

necessidade de um caminho de baixa impedância, utilizado como referência do

sistema elétrico, e que possa garantir uma rápida atuação da proteção, quando da

ocorrência de faltas para a terra, além de manter as tensões de passo e toque dentro

de níveis toleráveis aos seres humanos. Para aqueles profissionais que atuam na área

de Eletrônica e Telecomunicações, em geral, o aterramento elétrico significa garantir

um baixo valor de impedância entre os equipamentos, bem como entre os

equipamentos e a terra. Já para os profissionais que trabalham com sinais na faixa de

Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas

8

radio freqüência, genericamente, o aterramento elétrico constitui-se em um caminho

de baixa impedância para as altas freqüências, além de ser um dos componentes no

processo de propagação de sinais [4]. As distintas visões conduzem a diferentes

práticas de execução dos aterramentos elétricos em instalações. Assim, o

aterramento pode assumir configuração muito diversificada, conforme a natureza da

função desempenhada. Todavia, apesar de aparentemente conflitantes, as

correspondentes aplicações estão sempre associadas a dois fatores fundamentais [1]:

i) Desempenho do sistema aterrado; ii) Questões de segurança (seres vivos). No

primeiro caso, pode-se citar, por exemplo, o uso do solo como condutor efetivo de

retorno, quando há injeção de corrente no aterramento ou, ainda, funções associadas

à proteção do sistema. No segundo caso, o aterramento pode ser um fator de

segurança por permitir o escoamento para a terra de cargas ou de correntes de

descargas e, ainda, promover a distribuição segura de potenciais na superfície do

solo, quando é injetada corrente nos eletrodos de aterramento [1]-[3].

Este trabalho insere-se no cenário de investigação dos transitórios oriundos da

incidência de descargas atmosféricas em linhas de distribuição, transmissão ou

subestações. Assim, em relação à avaliação da resposta do aterramento, é importante

demarcar as fronteiras deste capítulo. Interessa destacar aspectos básicos

concernentes ao comportamento de sistemas de aterramento típicos de SEP’s frente à

incidência de descargas atmosféricas. A análise de configurações características de

outras áreas de atuação, citadas anteriormente, foge do escopo deste trabalho.

2.2 – Comportamento do aterramento frente a descarg as atmosféricas

Um sistema de aterramento é constituído basicamente de três componentes

[5]: i) Os condutores metálicos que ligam o sistema aos eletrodos de aterramento; ii)

Os eletrodos de aterramento; iii) A terra que envolve os eletrodos. No desenvolvimento

dos conceitos nas subseções seguintes, interessa principalmente a compreensão dos

aspectos físicos envolvidos. Nesse sentido, é adotado um modelo conceitual

simplificado para o sistema de aterramento, baseado na teoria de circuitos. Tal

simplificação está relacionada com o foco do capítulo nos conceitos, evitando

desenvolvimentos matemáticos.

Para avaliação da natureza dos aterramentos considera-se que, em geral, uma

conexão à terra apresenta efeitos resistivo, capacitivo e indutivo. A Fig. 2.1 ilustra um


9

circuito equivalente que representa estes efeitos para uma pequena porção ou

elemento de um eletrodo de um sistema de aterramento. A corrente neste elemento é

composta de duas parcelas: uma corrente transversal IT que dispersa para o solo e

uma corrente longitudinal IL que é transferida para o restante do eletrodo.

Figura 2.1 – Componentes de corrente no solo e circuito equivalente do aterramento –

adaptada de [1].

A corrente longitudinal está associada às perdas internas no condutor e gera

um campo magnético interno e em volta dele. Na Fig. 2.1, uma resistência R e uma

indutância L em série são responsáveis pela modelagem desses efeitos. Ambos os

parâmetros geram uma queda de tensão (∆VR e ∆VL) ao longo do eletrodo quando

este é percorrido por uma corrente.

A corrente transversal está associada à dispersão para o solo de correntes

condutiva e capacitiva. A razão entre essas duas correntes não depende da geometria

do eletrodo, mas apenas da freqüência característica do fenômeno solicitante e da

condutividade e permissividade elétrica do solo. Esta razão é discutida mais

detalhadamente em outra seção. Os efeitos transversais associados a essa corrente

de dispersão são modelados na Fig. 2.1 por meio de uma condutância G e uma

capacitância C em paralelo.

Um aspecto que merece atenção refere-se ao cálculo dos parâmetros R, L, G e

C do circuito ilustrado na Fig. 2.1. Tal aspecto é destacado no Capítulo 3.

A representação ilustrada na Fig. 2.1 se aplica apenas a uma pequena porção

do eletrodo. Adicionalmente, devem ser considerados os acoplamentos

eletromagnéticos próprios e mútuos (capacitivo, condutivo e indutivo) entre os diversos

elementos dos eletrodos de aterramento [6]. O conhecimento do comportamento

completo do aterramento requer a solução de uma série de circuitos similares ao

apresentado na Fig. 2.1 conectados de acordo com a geometria do aterramento,

incluindo os efeitos mútuos [5]. A solução desse complexo circuito fornece a

impedância vista do ponto de injeção de corrente, que corresponde à razão entre a


10

elevação de potencial desenvolvida neste ponto em relação ao terra remoto e a

corrente de injeção. A impedância como foi definida é calculada para cada freqüência

característica da onda de corrente injetada e constitui-se um conceito importante. Sua

discussão detalhada é realizada na seção que se segue.

2.2.1 – Definição da impedância de aterramento

O sistema de aterramento pode ser caracterizado eletromagneticamente por

meio de uma impedância de aterramento. O conceito de impedância é amplamente

utilizado; entretanto, sua definição original e limitações merecem destaque. Ela é

originalmente definida no domínio da freqüência para excitações com variação

senoidal no tempo e se aplica, geralmente, entre pontos próximos no espaço [6]. Na

análise de fenômenos de baixa freqüência (50/60 Hz), os efeitos reativos podem ser

desprezados. Neste caso, a aproximação do potencial constante é válida para os

eletrodos de aterramento e o circuito equivalente para o aterramento fica reduzido a

uma série de condutâncias acopladas. Assim, em baixas freqüências, o sistema de

aterramento pode ser caracterizado eletromagneticamente por meio de uma

resistência de aterramento [7], [8]. Em tais situações, a resistência de aterramento

pode ser definida como uma condição limite da impedância de aterramento, sendo o

valor desta para freqüência igual a zero. Neste caso a razão entre a elevação de

potencial em relação ao infinito VT desenvolvida no ponto de injeção de corrente e a

corrente injetada IJ resulta em um número real, que é a resistência de aterramento RT:

TT

J

VR =

I. (2.1)

Todavia, em geral, e principalmente na investigação de fenômenos de alta

freqüência, o aterramento deve ser representado por uma impedância. No domínio da

freqüência, para cada freqüência específica, uma impedância complexa deve ser

precisamente determinada, como a solução do circuito equivalente do aterramento, ou

seja:

( ) ( )( )

VZ

I

ωω

ω= . (2.2)


11

O valor de ( )Z ω depende da geometria do aterramento e das características

eletromagnéticas do solo, mas não da onda de corrente injetada se o sistema é linear.

A Fig. 2.24 apresenta um gráfico de impedância em função da freqüência para um

eletrodo horizontal de 30 m de comprimento (raio 0,7 cm e profundidade 0,5 m)

inserido em um solo de resistividade 2.400 Ω.m e permissividade relativa 15 [9]. Nela

fica nítido que em baixas freqüências a impedância pode ser aproximada por um

número real puro e o aterramento representado por uma resistência de aterramento.

Contudo, na faixa superior do espectro, os valores de módulo e fase da impedância

diferem sensivelmente daqueles característicos de baixas freqüências. Nesta faixa, a

modelagem do eletrodo por uma resistência não é consistente e o sistema de

aterramento deve ser representado por meio de uma impedância. Detalhes adicionais

desta figura são comentados posteriormente, na seção 2.2.2.

Figura 2.2 – Impedância de aterramento ao longo do espectro de freqüência característico de

uma descarga atmosférica [9].

4 O gráfico ilustrado na Fig. 2.2 foi gerado a partir da modelagem matemática desenvolvida no Capítulo 4 e validada por medições no Capítulo 5 desta dissertação. Resultados desta natureza encontram-se em publicações dos pesquisadores envolvidos nesta dissertação em eventos nacionais e internacionais [9], [10].

102

103

104

105

106

0

50

100

150

200

250

Mód

ulo

de Z

( ω)

( Ω)

102

103

104

105

106-60

-40

-20

0

20

40

Freqüência (Hz)

Âng

ulo

de Z

( ω)

(gra

us)

ângulomódulo

valormínimo deimpedância

impedância nacondição de

baixa freqüência


12

No domínio do tempo, o comportamento do aterramento frente a ondas de

corrente impulsivas de alta freqüência costuma ser determinado em termos da

impedância impulsiva ZP [11]. Este parâmetro é definido como a razão entre os picos

de tensão e corrente no ponto de injeção. A impedância impulsiva nem sempre é

facilmente determinada, tendo em vista que os picos de tensão e corrente em geral

não ocorrem simultaneamente. Todavia, é um conceito bastante atrativo do ponto de

vista prático, tendo em vista que a máxima sobretensão resultante no ponto de injeção

pode ser determinada simplesmente pela multiplicação do valor do pico de corrente

por ZP. A impedância impulsiva, diferentemente do conceito original de impedância no

domínio da freqüência, depende da forma de onda injetada, com destaque para o

tempo de frente da mesma. Este aspecto pode ser observado na Fig. 2.35 que ilustra a

resposta de um eletrodo horizontal de aterramento de 50 m de comprimento (raio 1 cm

e profundidade 0,5 m) a duas ondas de corrente distintas, uma onda rápida (1,2/20 µs)

e uma onda lenta (3/20 µs). O solo possui resistividade de 1.000 Ω.m e permissividade

relativa 15. A razão entre o pico de sobretensão no ponto de injeção e o pico da

corrente injetada é maior para a onda mais rápida (53,1 Ω) comparada à onda mais

lenta (37,8 Ω). É importante salientar que, apesar dos distintos valores de impedância

impulsiva, a razão entre os valores instantâneos de tensão e corrente ao longo da

cauda é praticamente constante (~34 Ω) para ambas as ondas. Nesta faixa, o

comportamento do aterramento se assemelha àquele característico de fenômenos de

baixa freqüência e a referida razão aproxima-se do valor da resistência de

aterramento.

Da análise dos gráficos das Figs. 2.2 e 2.3 fica claro que o comportamento de

um sistema de aterramento possui a natureza de uma impedância. Apenas para

fenômenos bastante particulares (aqueles de baixa freqüência) o aterramento pode ser

adequadamente modelado por uma resistência de aterramento [5], [6], [13]. Um estudo

espectral das formas de ondas típicas de descargas atmosféricas revela componentes

tanto de alta quanto de baixa freqüência [13]. A alta freqüência está associada à

elevação extremamente rápida da frente de onda da corrente (da ordem de 0,7 µs

para correntes associadas às descargas de retorno subseqüentes e 5 µs para as

correntes associadas às primeiras descargas de retorno [14]), enquanto que os

componentes de baixa freqüência localizam-se na cauda alongada da onda ou

acompanham a corrente de impulso decrescente. Componentes de baixa freqüência

5 O gráfico ilustrado na Fig. 2.3 foi gerado a partir da modelagem matemática desenvolvida no Capítulo 4 e validada por medições no Capítulo 5 desta dissertação. Resultados desta natureza encontram-se em uma publicação específica dos pesquisadores envolvidos nesta dissertação [12].


13

são significativos para efeitos de dispersão de corrente condutiva, adequadamente

modelados por meio de uma resistência. Componentes de alta freqüência são

significativos para efeitos reativos associados à indução de tensão e fuga de corrente

capacitiva para o solo, adequadamente modelados por meio de indutância e de

capacitância. Claro está a importância fundamental da distinção dos conceitos de

impedância e resistência de aterramento na avaliação de correntes impulsivas de altas

freqüências. Um sistema de aterramento efetivo deve apresentar não só uma baixa

resistência, mas também uma baixa impedância de forma a garantir a maximização da

dissipação de ambos os componentes, de alta e baixa freqüência, característicos dos

surtos atmosféricos.

Figura 2.3 – Influência do tempo de frente da onda de corrente injetada na impedância

impulsiva.

2.2.2 – Composição da corrente no solo

A corrente que dispersa para o solo, conforme já destacado anteriormente, é

composta de duas parcelas, uma condutiva e outra capacitiva. A corrente de condução

é proporcional à condutividade elétrica do solo σ e está em fase com a tensão

transversal VT (vide Fig. 2.1). A corrente capacitiva é proporcional à freqüência angular

ω associada ao fenômeno solicitante e à permissividade elétrica do solo ε e está

defasada de 90º da tensão transversal VT. Para ocorrências lentas a corrente

0 5 10 15 20 25 30 35 400

10

20

30

40

50

60

Tempo (µs)

Sob

rete

nsão

(kV

)C

orre

nte

(kA

/20)

sobretensão

correnteZp = Vp / Ip

Para onda rápida:Zp = 53,1 Ω

(53,1 kV / 1 kA)Para onda lenta:

Zp = 37,8 Ω(37,8 kV / 1 kA)

Na cauda:v(t) / i(t) ≅ 34 Ω


14

capacitiva em geral pode ser desprezada, tendo em vista seu reduzido valor

comparado à corrente condutiva. Contudo, em ocorrências rápidas, a corrente

capacitiva pode atingir a mesma ordem de grandeza das correntes condutivas,

principalmente em solos com elevados valores de resistividade. A relação entre ambas

correntes não depende da geometria do eletrodo, mas apenas da relação σ / ωε. A

Tabela 2.1 apresenta os valores dessa relação para diferentes valores de resistividade

do solo ρ (ρ = 1 / σ) e freqüência, considerando um solo com permissividade relativa

=rε 10 [15].

Tabela 2.1 – Relação entre a corrente condutiva e a corrente capacitiva para diferentes valores

de resistividade do solo em função da freqüência.

σ / ωε ρ (Ω.m) 100 500 1000 2400 5000 f (MHz)

0,01 1797,51 359,50 179,75 74,90 35,95 0,05 359,50 71,90 35,95 14,98 7,19 0,1 179,75 35,95 17,98 7,49 3,60 0,3 59,92 11,98 5,99 2,50 1,20 0,5 35,95 7,19 3,60 1,50 0,72 1 17,98 3,60 1,80 0,75 0,36

A importância do efeito capacitivo também está expressa no gráfico de ( )Z ω

ilustrado na Fig. 2.2. Na faixa inferior do espectro de freqüência a impedância de

aterramento é próxima do valor da resistência de aterramento. Nesta faixa, os efeitos

da corrente capacitiva são desprezíveis em relação àqueles da corrente condutiva. À

medida que a freqüência aumenta, o módulo da impedância difere do valor da

resistência de aterramento, tornando-se menor devido ao efeito capacitivo. Efeito

similar pode ser observado no ângulo da impedância de aterramento. O valor da

impedância decai até que os efeitos indutivos passam a influenciar significativamente

a impedância de aterramento. A impedância atinge um valor mínimo em uma

determinada freqüência em que os efeitos capacitivo e indutivo se compensam (neste

ponto o ângulo da impedância é zero, conforme ilustra a Fig. 2.2). A partir desta

freqüência o efeito indutivo começa a predominar.

2.2.3 – Efeito de propagação no solo e comprimento efetivo de aterramento Quando uma corrente impulsiva de alta freqüência é injetada no sistema de

aterramento, a onda eletromagnética associada ao surto se propaga ao longo do


15

eletrodo. A propagação da onda eletromagnética em um meio com perdas, como o

solo, apresenta dois fenômenos associados: atenuação e distorção da onda. O

primeiro constitui-se no decréscimo da amplitude da onda de corrente ao longo do

eletrodo. O segundo representa a deformação da onda à medida que se propaga e

corresponde fisicamente às diferentes velocidades que cada componente de

freqüência apresenta, não apresentando assim uma propagação uniforme como um

todo. A atenuação aumenta com a freqüência e com a condutividade do solo, assim

como as perdas. Em resumo, a onda de corrente que se propaga ao longo do eletrodo

de aterramento tem sua amplitude atenuada e sofre deformação com o aumento do

tempo de frente ao longo da direção de propagação. Esses aspectos estão ilustrados

na Fig. 2.4.

Figura 2.4 – Atenuação e distorção da corrente ao longo do eletrodo – adaptada de [5].

Como conseqüência direta do fenômeno de atenuação, a corrente que dispersa

do eletrodo de aterramento apresenta uma distribuição não uniforme ao longo do

mesmo. A densidade de corrente de dispersão (A / m) diminui ao longo do eletrodo.

Dessas considerações deriva-se o importante conceito de comprimento efetivo, que

corresponde a um comprimento limite do eletrodo de aterramento. Eletrodos com

comprimento superior a esse valor limite não implicam na redução da impedância de

aterramento. Tal comportamento fica explícito quando, por exemplo, verifica-se que o

aumento além de determinado comprimento do cabo contrapeso ligado à torre de uma

linha de transmissão não afeta o desempenho da mesma frente a descargas

atmosféricas. Isto ocorre justamente porque a atenuação do campo para tal

comprimento já é tão acentuada, que a corrente que dispersa para o solo a partir dali é

desprezível. A existência de eletrodo a partir desse ponto é inócua e não afeta o valor

da impedância de aterramento. O comprimento efetivo diminui com o aumento da

condutividade do solo e da freqüência máxima representativa do fenômeno solicitante

[5]. Tal comportamento é prontamente compreendido levando-se em consideração os

aspectos de propagação, tendo em vista que a atenuação se acentua com o


16

crescimento da freqüência e da condutividade do meio. Esses dois efeitos podem ser

visualizados na Fig. 2.56, que ilustra o comportamento da impedância de um eletrodo

horizontal (raio 1 cm e profundidade 0,5 m) para diferentes comprimentos, inserido em

um solo de baixa resistividade (Fig. 2.5(a)) e em um solo de alta resistividade (Fig.

2.5(b)). Note-se que em baixas freqüências, onde os efeitos de propagação são

reduzidos, o aumento do comprimento do eletrodo implica na diminuição do módulo da

impedância de aterramento praticamente em proporção inversa, enquanto em altas

freqüências, onde tais efeitos são predominantes, a influência do comprimento é

pequena, e os valores de impedância são muito próximos. Isso ocorre porque no

espectro superior a atenuação do campo eletromagnético é bastante acentuada.

Comparando-se as Fig. 2.5(a) e Fig. 2.5(b) pode-se notar ainda que os efeitos de

propagação são mais pronunciados no solo de baixa resistividade. De acordo com a

Fig. 2.5(a) os valores de impedância dos eletrodos de diferentes comprimentos são

praticamente coincidentes já para freqüências a partir de 100 kHz. No caso do solo

menos condutivo, comportamento similar somente é observado na faixa superior do

espectro, para freqüências próximas de 1 MHz (ver Fig. 2.5(b)).

(a)

6 Idem nota 4, pág. 11.

102

103

104

105

106

5

10

15

20

25

30

35

40

Freqüência (Hz)

Impe

dânc

ia ( Ω

)

L = 15 m

L = 25 mL = 30 m

L = 20 m

ρ = 100 Ω .mεr = 5


17

(b)

Figura 2.5 – Impedância de um eletrodo horizontal (raio 1 cm e profundidade 0,5 m) para

diferentes comprimentos inseridos em um solo de (a) baixa resistividade (ρ = 100 Ω.m) e (b)

alta resistividade (ρ = 1.000 Ω.m) [9].

O comprimento efetivo Lef de um eletrodo é, em geral, definido como aquele

comprimento a partir do qual não há redução significativa de sua impedância de

aterramento. No domínio da freqüência, o valor de Lef é, portanto, definido para cada

freqüência. No caso de correntes impulsivas, que envolvem um amplo espectro de

freqüência, a definição de Lef para cada uma delas pode não ser a metodologia mais

adequada. Nesses casos, a quantificação do valor de Lef é realizada mediante o

cálculo da impedância impulsiva. Assim, o comprimento a partir do qual a impedância

impulsiva não apresenta diminuições significativas é definido como comprimento

efetivo. O valor de Lef pode ser determinado a partir do ponto em que a derivada da

curva que expressa a impedância impulsiva em função do comprimento é desprezível.

Na Fig. 2.67, esse tipo de curva é ilustrada para um eletrodo horizontal (raio 1 cm e

profundidade 0,5 m) inserido em diferentes solos. As curvas foram obtidas do cálculo

de Zp a partir das ondas de sobretensão resultantes da injeção de uma corrente

7 Os gráficos ilustrados nas Figs. 2.6 e 2.7 foram gerados a partir da modelagem matemática desenvolvida no Capítulo 4 e validada por medições no Capítulo 5 desta dissertação. Outros resultados dessa natureza podem ser encontrados no Capítulo 5.

102

103

104

105

106

40

60

80

100

120

140

160

Freqüência (Hz)

Impe

dânc

ia ( Ω

)

L = 15 m

L = 20 m

L = 25 m

L = 30 m

ρ = 1.000 Ω .mεr = 5


18

impulsiva de 1,2/20 µs, para diferentes comprimentos do eletrodo. Levando-se em

conta essa última definição na determinação do comprimento efetivo, o seu valor não

é constante para uma configuração de aterramento inserida em um determinado solo.

Para injeção de ondas de corrente rápidas, cujos componentes de freqüência na faixa

superior do espectro são significativos, o comprimento efetivo apresenta valores

reduzidos se comparados àqueles característicos da injeção de ondas de corrente

lentas. Tal comportamento está intimamente relacionado com o fenômeno de

atenuação acentuado no caso dos componentes de freqüência mais elevada,

característicos de ondas de corrente rápidas. A Fig. 2.77 apresenta curvas similares

àquelas da Fig. 2.6, para mesma configuração de aterramento, e injeção de uma

corrente impulsiva de 3/20 µs. Comparando-se ambas as figuras, fica claro que o valor

do comprimento efetivo é mais elevado no caso em que o aterramento é solicitado por

uma onda de corrente mais lenta. Os valores adotados para tempo de crista e cauda e

caracterização das ondas como rápidas ou lentas são oriundos de medições

realizadas na estação do Morro do Cachimbo, em Minas Gerais [14].

Figura 2.6 – Curva de impedância impulsiva em função do comprimento de um eletrodo

horizontal para injeção de uma onda de corrente impulsiva de 1,2/20 µs.

10 20 30 40 50 60 70 800

50

100

150

200

250

300

Comprimento do eletrodo (m)

Zp

( Ω)

2.000 Ω .m

1.000 Ω .m

500 Ω .m

Soloεr = 15


19

Figura 2.7 – Curva de impedância impulsiva em função do comprimento de um eletrodo

horizontal para injeção de uma onda de corrente impulsiva de 3/20 µs.

Neste ponto é oportuno destacar um aspecto de ordem prática relacionado ao

conceito de comprimento efetivo do eletrodo de aterramento que nem sempre é bem

compreendido. O aumento do comprimento do eletrodo implica na redução da

resistência de aterramento associada a fenômenos de baixa freqüência. Todavia, no

caso de transitórios eletromagnéticos de alta freqüência esse aumento do

comprimento pode não refletir diretamente na redução da impedância de aterramento.

Atingido o comprimento efetivo do eletrodo de aterramento, posterior aumento de seu

comprimento se traduz na redução da resistência, mas não da impedância de

aterramento. A utilização de longos eletrodos, que possuem uma baixa resistência de

aterramento, pode gerar a falsa expectativa de uma correspondente baixa impedância.

Uma vez mais fica clara a importância fundamental da distinção entre os conceitos de

resistência e impedância de aterramento. A incompreensão desses conceitos pode

conduzir a análises e conclusões errôneas.

2.2.4 – Efeito da intensidade da corrente Em condições práticas, para uma ampla faixa de intensidades de corrente, o

solo apresenta comportamento linear [5]. Isso significa que a razão entre a amplitude

da sobretensão resultante no ponto de injeção e da corrente injetada é constante, ou,

10 20 30 40 50 60 70 800

50

100

150

200

250

300


Zp

( Ω)

2.000 Ω .m

1.000 Ω .m500 Ω .m

Soloεr = 15


20

em outras palavras, a função de transferência que descreve o sistema independe da

onda injetada. Todavia, dependendo da intensidade da corrente imposta ao

aterramento, da dimensão dos eletrodos e da resistividade do solo, o campo elétrico

no solo circunvizinho aos eletrodos pode ultrapassar um valor crítico e romper a

rigidez dielétrica do meio. Neste caso, o solo possui um comportamento não-linear. O

valor de 300 kV/m é tipicamente adotado como campo elétrico crítico (ECR) na

literatura [16]. Para valores de campo elétrico superiores ao valor crítico a ionização do

solo se processa e há a ocorrência de descargas elétricas do eletrodo para o solo.

Esse processo basicamente transforma a porção do solo (um dielétrico) ionizada em

um condutor. A disrupção se inicia na superfície do eletrodo, onde a densidade de

corrente de dispersão é mais intensa, e continua até o ponto em que o campo elétrico

decai a um valor inferior ao crítico. O aumento aparente da condutividade na porção

do solo em que o fenômeno de ionização se processa resulta no crescimento da

corrente de dispersão na região. Tal efeito é classicamente modelado mediante uma

ampliação do raio equivalente do eletrodo [16]. Em termos práticos, a ocorrência do

fenômeno de ionização se traduz na redução da impedância de aterramento.

Naturalmente, como o fenômeno em questão é não-linear, o conceito de impedância,

levando-se em consideração sua definição original, não se aplica em um sentido

exato. Uma análise física imediata revela que o efeito da disrupção no solo

praticamente só influencia os parâmetros transversais do aterramento. Assim, sob o

ponto de vista da teoria de circuitos, a inclusão do fenômeno de ionização implicaria

na reavaliação dos parâmetros G e C do circuito da Fig. 2.1, mas não dos parâmetros

R e L.

A avaliação do fenômeno de ionização não é uma tarefa trivial e encerra duas

complexidades principais [5]. A primeira delas refere-se à determinação do valor de

ECR, que é o valor limite do campo elétrico no solo, acima do qual sua ionização se

processa. De uma forma geral, os trabalhos não conseguem apontar metodologias

consistentes para definição de ECR, o que acaba o tornando um fator de calibração, de

forma a fazer com resultados oriundos de investigações teóricas e realizações

experimentais se aproximem [15], [16]. Uma segunda complexidade está associada à

distribuição não uniforme da corrente de dispersão ao longo do eletrodo (e do campo

elétrico associado) devido ao efeito de atenuação. Assim, o fenômeno de ionização

não se processa de maneira linear ao longo do aterramento, sendo mais intenso junto

aos eletrodos próximos do ponto de injeção do sistema, conforme ilustra a Fig. 2.8

[17].

É também importante ressaltar que o processo de ionização é mais intenso

para eletrodos de aterramentos de pequenas dimensões submetidos a correntes de


21

alta intensidade. Em alguns sistemas de pequeno porte, com solo fortemente ionizado,

a geometria do aterramento, em alguns casos, pode até descaracterizar-se, dada a

grande abrangência da região ionizada. Esse último efeito é ilustrado na Fig. 2.9.

Assim, para os sistemas de aterramento típicos de linhas de distribuição, por exemplo,

que são formados geralmente por pequenas hastes verticais interligadas, o fenômeno

merece ser investigado com cautela. Já na análise de sistemas de aterramento

tipicamente empregados nas torres de linhas de transmissão, que possuem grandes

dimensões, mesmo para estudos de propagação de correntes de descargas

atmosféricas, a ionização do solo costuma não se caracterizar como um aspecto de

maior importância [17].

Figura 2.8 – Representação da região de ionização em um sistema de aterramento submetido

à injeção de uma corrente I – adaptada de [17].

Figura 2.9 – Representação da ionização do solo em um sistema de aterramento de pequeno

porte submetido à injeção de corrente sendo I3 > I2 > I1 – adaptada de [17].


22

2.2.5 – Dependência dos parâmetros eletromagnéticos do solo com a freqüência

Um aspecto essencial no estudo e simulação de aterramentos elétricos é a

modelagem adequada do solo. Exceto para valores elevados de campo elétrico, que

causam significativa ionização do meio, o comportamento eletromagnético do solo é

essencialmente linear, mas com significativa dependência da condutividade elétrica (σ)

e permissividade elétrica (ε) em relação à freqüência. A permeabilidade magnética µ é,

em geral, praticamente igual a permeabilidade magnética do vácuo (µ0) [18], [19]. Para

uma configuração do aterramento elétrico, os parâmetros determinantes da forma de

propagação do campo eletromagnético associado a uma onda de corrente injetada,

em condições em que não há a ocorrência significativa de fenômenos não-lineares,

são σ, ε e µ. Neste sentido, a determinação do comportamento de tais parâmetros de

forma mais próxima possível da realidade é fundamental para o estudo completo do

sistema de aterramento.

O comportamento dos parâmetros σ e ε ao longo do espectro típico de

descargas atmosféricas é determinado, em geral, por meio de medições. A partir das

medições, expressões aproximadas em função da freqüência podem ser estabelecidas

para σ e ε.

Em 1987 S. Visacro e C. M. Portela apresentaram um trabalho decorrente de

uma série de resultados experimentais, considerando-se determinadas categorias de

solo e freqüências desde 100 Hz até 1 MHz, que possibilitaram o levantamento das

seguintes relações matemáticas empíricas, aproximadas, para estimar a variação da

resistividade (ρ = 1 / σ) e da permissividade relativa do solo com a freqüência [18]:

( )

0,072

100Hz

0,5356 0,597r 100Hz

100ρ ρ

f

ε 2,34 10 ρ f− −

≈

≈ × ⋅

, (2.3)

sendo:

• f a freqüência elétrica (Hz);

• 100Hzρ é a resistividade do solo em baixa freqüência (Ω.m);

• ρ é a resistividade do solo em função da freqüência (Ω.m);

• rε é a permissividade relativa do solo em função da freqüência (-).


23

Pesquisas posteriores apoiadas em técnicas de medição mais precisas e

metodologias de análise estatística dos resultados experimentais foram conduzidas

por Portela [19], [20]. Baseando-se em várias medições para um número relativamente

grande de amostras de solo, considerando-se desde freqüências mais baixas até

2 MHz , apresentou-se a seguinte equação para estimar a dependência dos

parâmetros do solo com a freqüência [21]:

α

solo solo 0 6

π ωσ iωε σ ∆i cotang α i

2 2π 10

= + × m m ; (2.4)

sendo:

• ω é a freqüência angular (rad/s); ω 2πf= , sendo f a freqüência elétrica (Hz);

• 0σ é a condutividade elétrica do solo em baixa freqüência (S/m);

• α é um parâmetro do modelo do solo (-);

• ∆i é um parâmetro do modelo do solo (S/m);

• soloσ é a condutividade do solo em função da freqüência sendo a parte real do

resultado à direita na equação (2.4) (S/m);

• soloε é a permissividade do solo em função da freqüência sendo a parte

imaginária do resultado à direita na equação (2.4) dividida por ω (F/m).

Os parâmetros α e ∆i , que definem a variação com a freqüência, são obtidos

por meio de uma técnica de medição especial, que se encontra detalhada em [19]. Por

outro lado, esses dois parâmetros apresentam distribuição estatística conhecida, de

forma que, não havendo maiores informações ou ocorrendo dificuldades de medição,

tal distribuição pode subsidiar na definição de valores razoáveis dos parâmetros α e

∆i para vários estudos [20]. Considerando-se os resultados das avaliações do

desempenho de sistemas de aterramento submetidos à injeção de correntes de

descargas atmosféricas, para solos com valores intermediários de condutividade

elétrica ( 0100µS/m<σ <10.000µS/m), sugere-se [21]:

• Para obtenção de valores medianos:


24

α 0,706

∆i 11,71 mS/m

≅ ≅

. (2.5)

• Para obtenção de valores razoavelmente seguros:

α 0,806

∆i 9,23 mS/m

≅ ≅

(2.6)

ou

α 0,856

∆i 7,91 mS/m

≅ ≅

. (2.7)

A despeito da diferença entre as expressões oriundas de diferentes trabalhos

de pesquisa, o comportamento qualitativo observado se assemelha [18], [19]. No que

concerne à permissividade elétrica do meio é observada sua diminuição nas faixas

superiores do espectro. Essa diminuição, no entanto, não implica necessariamente na

diminuição da corrente capacitiva, uma vez que a mesma é proporcional ao produto da

permissividade pela freqüência. Quanto à condutividade do solo, verifica-se um

aumento sensível com a freqüência e, particularmente, nota-se a diferença entre os

valores da condutividade nas faixas de freqüências dominantes nos fenômenos

transitórios e aqueles na faixa de freqüências em que usualmente a resistividade é

medida (baixa freqüência). Com base nos comentários anteriores, o efeito global da

variação de σ e ε com a freqüência se traduz fisicamente em uma redução da

impedância de aterramento. Em alguns casos essa redução é cerca de 10%, podendo

atingir o valor de 30% [5].

Deve-se salientar que, na avaliação da variação da condutividade e

permissividade com a freqüência, o efeito do tipo de solo é bastante acentuado, o que

implica na necessidade de se considerar as características específicas de cada solo,

nas aplicações de aterramento, ainda que de forma aproximada. Esse aspecto dificulta

a obtenção de uma formulação geral para dependência dos parâmetros do solo com a

freqüência. Talvez essa dificuldade seja uma das justificativas para o fato de poucos

trabalhos da área incluírem a variação de σ e ε com a freqüência.


25

2.3 – Conclusões

Neste capítulo foram abordados conceitos fundamentais relacionados à

resposta do sistema de aterramento frente às correntes de descargas atmosféricas.

Devido ao razoável volume de conceitos abordados, julga-se adequado um breve

resumo das análises preliminares. Mostrou-se que o aterramento deve ser modelado

por uma impedância. A sua representação por uma resistência constitui-se um caso

bastante particular e limitado à investigação de fenômenos lentos. A corrente no solo é

composta por uma parcela condutiva e outra capacitiva. Em baixas freqüências a

corrente capacitiva é desprezível em relação à condutiva. Entretanto, para freqüências

mais elevadas, a relação entre ambas se aproxima da unidade, principalmente em

solos com elevado valor de resistividade. A onda de corrente de descarga atmosférica

injetada no sistema de aterramento se propaga ao longo do eletrodo e apresenta

atenuação de amplitude e distorção da forma de onda. Da análise da propagação

deriva-se o importante conceito de comprimento efetivo do eletrodo, que está

associado ao valor mínimo de impedância impulsiva para determinada geometria do

eletrodo e resistividade do solo. A ionização do solo, devido a correntes de alta

intensidade, caracteriza-se por um aparente aumento da condutividade elétrica da

porção ionizada. Tal efeito é mais pronunciado em aterramentos concentrados e de

pequeno porte. A ionização do solo conduz a uma redução da impedância de

aterramento. A variação dos parâmetros eletromagnéticos do solo (σ e ε) com a

freqüência é significativa ao longo do espectro característico de surtos atmosféricos.

Devido à dificuldade de se obter uma formulação geral para tal variação, ela é,

geralmente, negligenciada.

A análise predominantemente qualitativa apresentada ao longo do capítulo

constitui um passo fundamental para compreensão do comportamento de sistemas de

aterramento frente à incidência de descargas atmosféricas. A abordagem qualitativa

apresentada propicia a ampliação do domínio de compreensão, principalmente, dos

aspectos físicos envolvidos na resposta do aterramento. Esse domínio físico e

conceitual é essencial para aqueles engenheiros eletricistas que desejam investigar

transitórios oriundos da incidência de descargas atmosféricas. No entanto, em termos

práticos de engenharia, tão importante quanto o conhecimento qualitativo do

fenômeno investigado, é a quantificação de variáveis relacionadas a ele. No caso de

sistemas de aterramento, tal quantificação é de fundamental importância para

determinação de, por exemplo, configuração da malha de aterramento, níveis

máximos de sobretensão e isolação necessária, níveis de corrente para ajuste da


26

proteção e campos gerados para estudos de interferência eletromagnética. A

quantificação das variáveis relacionadas ao fenômeno investigado é feita mediante o

estabelecimento de modelos matemáticos para o sistema de aterramento. Um modelo

simplificado para o eletrodo de aterramento pode ser, por exemplo, aquele

apresentado na Fig. 2.1 e adotado na abordagem conceitual deste capítulo. O

estabelecimento de um modelo completo para representação de sistemas de

aterramento encerra considerável complexidade. Esta se relaciona principalmente ao

número elevado de variáveis que influenciam o comportamento do aterramento.

Ademais, os diversos fenômenos descritos ao longo do capítulo ocorrem, em geral,

simultaneamente, o que agrega outra complexidade ao processo de modelagem. Em

alguns casos, o efeito de determinado fenômeno prevalece sobre os demais;

entretanto, nem sempre a análise e determinação destes fenômenos predominantes

são triviais. O estabelecimento de um modelo matemático fisicamente consistente para

avaliação da resposta do aterramento frente a correntes impulsivas de alta freqüência

constitui o objetivo principal deste trabalho. Essa tarefa é postergada para o Capítulo

4. Antes, julga-se importante avaliar a seguinte questão: como os sistemas de

aterramento têm sido modelados por outros autores? A resposta, ao menos em parte a

essa pergunta, é objeto do capítulo seguinte.

CAPÍTULO 3 – FRONTEIRAS DA

MODELAGEM DE ATERRAMENTOS

ELÉTRICOS


Desde os primeiros sistemas elétricos até os dias atuais houve um

considerável avanço no entendimento dos conceitos e técnicas concernentes a um

sistema de aterramento elétrico. Esse avanço está bem documentado em uma série

de artigos e trabalhos que culminaram com o estabelecimento de algumas normas

para projeto e instalação do aterramento. O objetivo inicial dessas normas era orientar

de forma geral os engenheiros e técnicos, por meio de algumas recomendações, no

dimensionamento e construção de sistemas de aterramento.

Apesar desse nítido desenvolvimento, os aterramentos ainda são motivo de

muita discussão e erros conceituais, principalmente devido ao costume de se utilizar

soluções prontas e ao tratamento dogmático destinado às normas. Contudo, deve-se

lembrar que não se pode legislar sobre a física. Para o estudo e pesquisa dos

sistemas de aterramentos o requisito mais importante e essencial é o entendimento

das leis da física envolvidas e dos conceitos fundamentais relacionados. Esse

entendimento está intimamente ligado à compreensão das equações que regem todos

os fenômenos da engenharia elétrica: as Equações de Maxwell.

Dentre as investigações ligadas aos sistemas de aterramento, sua modelagem

para avaliação da resposta frente a fenômenos transitórios de alta freqüência tem

atraído a atenção de muitos grupos de pesquisa, levando-se em conta o volume de

recentes publicações. Os modelos de aterramento desempenham como função

essencial a predição de algumas variáveis importantes para dimensionamento da

proteção contra surtos, como, por exemplo, impedância de aterramento e níveis

máximos de sobretensão. Os modelos de sistema de aterramentos são ainda

fundamentais no auxílio da solução de alguns problemas atuais importantes, como:

avaliação do desempenho de linhas de transmissão frente às descargas atmosféricas,

estudos de compatibilidade eletromagnética envolvendo subestações, proteção de

linhas de transmissão, construções residenciais e instalações críticas contra incidência

de raios e qualidade da energia fornecida etc.

Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos

28

Quando submetidos a uma corrente de descarga atmosférica, os eletrodos de

um sistema de aterramento apresentam um comportamento bastante particular. A

completa investigação desse comportamento deve contemplar dois pontos principais:

i) o entendimento dos conceitos físicos relacionados ao fenômeno e ii) o

estabelecimento de um modelo para o sistema de aterramento incluindo o

acoplamento eletromagnético entre seus componentes. Esses dois pontos estão

relacionados, de forma que para obtenção de um modelo que seja consistente com a

realidade é importante o entendimento dos conceitos referentes ao comportamento do

aterramento. Os conceitos, juntamente com o modelo, são fundamentais para análise

e obtenção de soluções para problemas envolvendo a proteção contra descargas

atmosféricas.

Este capítulo tem por objetivo apresentar uma descrição sucinta de algumas

metodologias adotadas para modelagem de aterramentos. Devido ao grande volume

de trabalhos que foram apresentados na literatura durante os últimos anos, a tarefa de

descrever todos eles seria bastante extensa, além de fugir do escopo principal desta

dissertação. Dessa forma, procurou-se incluir aqueles mais essenciais e que

desempenharam um papel destacado para o desenvolvimento da área de modelagem

de aterramentos elétricos. Esta laboriosa e importante pesquisa do estado da arte da

modelagem de aterramentos é descrita na seção 3.5 deste capítulo. As seções que a

precedem são dedicadas a uma breve descrição dos aspectos gerais relativos aos

modelos e processo de modelagem no contexto científico. Nelas são abordadas

questões conceituais e filosóficas essenciais para ampla e profunda compreensão

dessa poderosa ferramenta, que são os modelos matemáticos.

3.2 – Modelagem no contexto científico

Na incessante busca por novos conhecimentos e esclarecimentos acerca dos

fenômenos e eventos ao redor, os cientistas recorrem não apenas às sensações ou

manifestações imediatas, mas principalmente à reflexão e ao conhecimento

acumulado por meio da formulação de hipóteses e da estruturação de modelos. Nesse

sentido, a abstração constitui uma ferramenta essencial no processo de aquisição de

novos conhecimentos, uma vez que, para se compreender a imensa variedade de

formas, estruturas, comportamentos e fenômenos residentes no universo, é

necessário interpretá-los e, a partir da abstração, selecionar aqueles de maior

relevância para o problema em investigação e elaborar para eles descrições


29

adequadas. Na nobre tarefa de modelar o mundo os cientistas constroem, portanto,

esquemas abstratos da realidade em que os objetos de investigação são reduzidos a

representações convenientes. A abstração deve ser não apenas ferramenta, mas uma

qualidade do bom pesquisador. Segundo Sayão, “a evolução da humanidade no seu

aspecto mais abrangente – a evolução das ciências, artes e filosofia – pode ser

encarada como uma trajetória rumo à aquisição progressiva da capacidade individual

de abstração” [22].

Nesse percurso de evolução da humanidade os modelos têm sido a luz para os

caminhos pouco iluminados quase sempre atravessados pelos pesquisadores na

busca por novos conhecimentos. Eles têm sido utilizados nas mais diversas áreas do

conhecimento com o objetivo de auxiliar na compreensão e estudo de temas

específicos [23]-[30]. Os modelos são empregados, por exemplo, para descrever a

proliferação de um mosquito transmissor de doenças, no planejamento estratégico

empresarial, na descrição do fluxo de aviões em um aeroporto e até mesmo para

compreensão da origem do universo por meio da formulação de modelos como o Big

Bang. Claro está a generalidade da aplicação dos modelos e sua relevância no

contexto científico.

Apesar da importância dos modelos deve-se destacar que eles são

representações aproximadas da realidade, o que constitui uma característica

intrínseca do processo de modelagem. Isso não caracteriza um problema, no entanto,

como lembra Capra: “o que torna a ciência tão bem sucedida é a descoberta de que

podemos utilizar aproximações. Se nos satisfizermos com uma compreensão

aproximada da natureza podemos descrever grupos selecionados de fenômenos,

negligenciando outros que se mostrem menos relevantes. Assim podemos explicar

muitos fenômenos em termos de poucos e, conseqüentemente, compreender

aspectos da natureza de forma aproximada, sem precisar entender tudo ao mesmo

tempo. Esse é o método científico: todas as teorias e modelos científicos são

aproximações da verdadeira natureza das coisas; o erro envolvido na aproximação é,

não raro, suficientemente pequeno para tornar significativa essa aproximação” [31].

Pode-se dizer, portanto, que os modelos são criações com o objetivo de

representar alguns aspectos da realidade e torná-los descritíveis qualitativa e

quantitativamente. A existência de modelos jaz na impossibilidade de descrever os

objetos com perfeição seja por uma limitação filosófica, seja por uma limitação técnica,

esgotando as possibilidades de observação, o que permite e exige o aparecimento de

modelos [22], [25]. Eles possibilitam ir além das observações humanas e dos recursos

técnicos existentes. As conclusões e resultados gerados serão tão relevantes quanto

mais significativas forem as aproximações adotadas.


30

Os modelos apresentam também uma dimensão heurística, pois uma vez

elaborados para explicar ou compreender determinado aspecto da realidade, estão

sujeitos a pontos de evolução e existe a possibilidade de gerar novos conhecimentos e

percepção de outros aspectos não imaginados antes de sua elaboração [22].

Deve-se salientar, ainda, que uma mesma realidade física pode ser

representada por meio de diferentes modelos, que, ocasionalmente, são

completamente distintos entre si [25]-[28]. Cada modelo se destina a explorar

determinadas faixas características do fenômeno investigado. Aqueles mais completos

e que abrangem uma maior faixa de operação podem chegar a explicações

complementares, já os mais simples podem gerar resultados contraditórios e

inconsistentes.

3.3 – A natureza dos modelos

Conforme destacado na seção 3.2 os modelos, de uma forma geral, buscam a

formalização do universo por meio de esquemas abstratos. Deve-se lembrar,

entretanto, que essa formalização do universo não é trivial; a realidade do universo

envolvente é extremamente complexa se forem levadas em consideração todas as

variáveis. Um modelo é, portanto, uma representação simplificada da realidade. A

idealização é intrínseca à natureza dos modelos e, ainda, uma reação tradicional do

homem à aparente complexidade da realidade em que está submerso [22]. Assim, um

modelo busca uma visão das características mais essenciais do domínio. Esta

simplificação exige criatividade, tanto sensorial quanto intelectual, o que,

evidentemente, implica admitir-se que, na construção de modelos, algumas

características da realidade, que não se referem diretamente aos objetivos buscados,

são desprezados ou abandonados, em função da maior inteligibilidade ou facilidade de

compreensão [23]. As aproximações adotadas durante o processo de modelagem

definem a precisão do modelo.

Enquanto representação de algum aspecto da realidade, um modelo pode ou

não assumir uma analogia com a realidade que ele modela. Ele pode possuir uma

forma própria independente do original que representa. Esse hiato representacional

depende do objeto específico de investigação [24]. Por exemplo, a modelagem

computacional orientada a objetos possui um baixo hiato representacional, enquanto o

modelo atômico quântico matricial de Heisenberg apresenta um hiato representacional

elevado. A despeito da existência ou não de diferenças entre a realidade e a estrutura


31

do modelo, nele deve ser incluído um modo de expressão das conclusões e resultados

gerados que seja claro e condizente com a realidade. O modo de expressão pode ser,

por exemplo, numérico, gráfico ou discursivo. A estrutura interna do modelo,

matemática e conceitual, juntamente com o modo de expressão empregado definem a

simplicidade do modelo.

As idéias de simplificação da realidade e estrutura interna do modelo estão

intimamente relacionadas com o conceito de características desejáveis de um modelo.

Elas são basicamente três: precisão, simplicidade e adequação. A precisão define o

grau de concordância dos resultados gerados com a realidade e está ligada às

idealizações adotadas durante o processo de modelagem. A simplicidade define a

dificuldade de exploração do modelo com o objetivo de gerar e visualizar resultados e

está relacionada com a complexidade da estrutura interna do modelo. A adequação é

encarada como uma característica chave e é função das duas outras. Um modelo

adequado é aquele que possui uma estrutura que seja simples e apresente

conclusões precisas. A adequação resume o objetivo e o dilema de um bom modelo,

que é aliar simplicidade à precisão.

Outro aspecto importante no delineamento da natureza de um modelo está

relacionado com sua classificação. Os modelos são tipologizados de várias formas,

em função de sua finalidade, método de exploração ou ainda de acordo com a área do

conhecimento. Devido à interdisciplinaridade da modelagem, essa tarefa taxonômica

é, em geral, complexa sendo difícil definir, sem ambigüidade, até mesmo os tipos mais

gerais. Nesta dissertação é proposta uma classificação orientada à finalidade, que

ressalta as diferentes formas de utilização dos modelos. A exploração do modelo

pode ser guiada segundo diferentes objetivos, nomeadamente para predição,

prescrição, explicação ou descrição ou um conjunto destes. Essa proposta sintética de

taxonomia procura abranger as finalidades mais gerais dos modelos e evitar

redundâncias.

Os modelos preditivos são aqueles construídos com o propósito de prever um

conjunto de variáveis, comportamentos ou fatos. Como exemplo pode-se citar um

modelo matemático empregado nas ciências econômicas para previsão do PIB de um

país [29].

Os modelos prescritivos permitem determinar “o que fazer” para atingir

determinado objetivo. Um modelo de aterramento pode, por exemplo, determinar as

condições necessárias para que a tensão de passo seja mantida abaixo dos valores

determinados por norma.

Os modelos explicativos procuram descrever determinado fenômeno e

responder basicamente a pergunta “por quê?”. Em geral fazem parte de uma teoria


32

mais ampla que é simplificada com objetivo de reduzir a complexidade e melhor

entendê-la. A teoria de circuitos a parâmetros concentrados é um modelo que

simplifica a teoria eletromagnética e permite explicar de forma relativamente simples

os efeitos resistivo, indutivo e capacitivo em um sistema elétrico.

Os modelos descritivos objetivam explicar algum fenômeno tal qual ele se

apresenta ou funciona. A utilidade destes modelos repousa basicamente na

possibilidade de resolver um problema específico de decisão. A utilização de modelos

matemáticos que descrevem a interação de um determinado vírus com o sistema

imunológico humano pode auxiliar na decisão de quais estratégias de tratamento

adotar [30].

3.4 – Construção de modelos

As seções anteriores foram dedicadas à discussão dos aspectos filosóficos e

conceituais principais dos modelos. Entendidos esses aspectos torna-se interessante

compreender o processo de construção de modelos, particularmente modelos

matemáticos. Devido à generalidade de aplicação dos conceitos de modelagem não

existe um procedimento exato a ser seguido, apenas algumas orientações gerais. O

processo de modelagem não deve ser encarado como algo rígido, mas com

especificidades que acompanham cada problema e área do conhecimento. Os passos

gerais que podem auxiliar a construção de um modelo matemático são descritos a

seguir [25], [28].

Passo 1 – Identificar o problema: Qual é o problema a ser explorado? A resposta

precisa a essa questão é de fundamental importância para os passos seguintes. O

problema deve ser bem especificado para permitir uma eficaz transposição da

descrição conceitual para linguagem matemática. Problemas mal enunciados ou

ambíguos podem gerar representações matemáticas e modelos inadequados para

solução do problema proposto.

Passo 2 – Fazer suposições: Em geral a inclusão de todos os fatores que

influenciam o problema identificado é inviável, o que tornaria a complexidade do

modelo extremamente elevada. A tarefa de modelagem é então simplificada por meio

da redução do número de fatores sob consideração. Aquelas variáveis que possuírem

uma influência reduzida comparada a outros fatores podem ser descartadas, o que


33

minimiza a complexidade do modelo. Após essa primeira simplificação, as relações

entre as variáveis selecionadas para estudo devem ser determinadas. Em problemas

mais complexos as relações entre todas as variáveis envolvidas podem ser de difícil

identificação inicialmente. Nestes casos algumas variáveis podem ser estudadas

separadamente a partir da criação de sub-modelos, que, posteriormente, podem ser

conectados. Novamente, se forem assumidas relações relativamente simples, a

complexidade do modelo pode ser reduzida. É importante salientar que as suposições

feitas neste passo estão diretamente relacionadas com a precisão dos resultados

gerados.

Passo 3 – Solucionar ou interpretar o modelo: Após a definição das relações entre

as variáveis, o modelo deve ser solucionado. Em geral os modelos são constituídos

por uma série de equações matemáticas, que devem ser resolvidas para se obter

informações acerca do problema investigado. Neste passo são gerados os primeiros

resultados. Ocasionalmente, podem ocorrer situações em que a solução ou

interpretação do modelo seja demasiadamente complexa ou até mesmo não existam

instrumentos, analíticos ou numéricos, capazes de prover uma solução satisfatória.

Nestes casos, pode ser necessário retornar ao passo 2 para que outras simplificações

sejam feitas.

Passo 4 – Verificar o modelo: A utilização efetiva do modelo deve ser precedida de

um processo de verificação. Antes, porém, de submeter o modelo a testes de

validação, que podem ser caros e demorados, é importante que se avalie a coerência

conceitual dos resultados gerados. Após essa avaliação é comum submeter o modelo

a verificações experimentais. Nesse procedimento é importante atentar que a

aquisição de dados e medições deve ser realizada dentro da faixa de trabalho do

modelo, que é definida de acordo com as suposições adotadas no passo 2. A

realização de testes fora desta faixa pode conduzir a suposições errôneas ou

incompletas. Um cuidado especial deve ser levado em consideração ao traçar

conclusões a partir dos resultados empíricos. Não se devem extrapolar generalizações

a partir de situações particulares. Assim, um modelo não se torna uma lei apenas

porque foi verificado repetidamente em algumas situações específicas. O que se pode

afirmar é que sua razoabilidade foi corroborada por meio dos dados coletados.

Passo 5 – Implementar o modelo: Concluídas as devidas verificações e

procedimentos de validação, o modelo deve ser implementado em sua forma final.

Neste passo é importante a criação de uma interface adequada aos usuários, que


34

facilite a operação e exploração do modelo. Outra tarefa essencial a ser desenvolvida

nesta etapa é a divulgação do ferramental desenvolvido. Modelos com interfaces de

difícil utilização ou pouco divulgados possuem grande probabilidade de insucesso.

Passo 6 – Manter o modelo: A manutenção do modelo é de fundamental importância,

sendo provável a existência de diversos pontos de evolução na primeira versão. Para

exemplificar, algumas considerações feitas no passo 2 podem ser revistas; novas

situações podem ser incluídas; métodos de solução do modelo mais robustos e

eficazes podem ser adotados. A manutenção do modelo é essencial para que ele

continue atualizado e suas respostas ao problema investigado continuem consistentes

e confiáveis.

Uma vez mais deve ser enfatizado que o processo de modelagem descrito

acima, uma espécie de meta-modelo, não corresponde exatamente ao processo real.

Ao contrário, é uma aproximação como são todos os modelos da realidade e possui

limitações. O procedimento como foi descrito parece, por exemplo, consistir em etapas

discretas que levam ao objetivo final que é a obtenção do modelo, porém isso

raramente ocorre na prática. A construção de modelos se aproxima mais de um

processo iterativo, conforme ilustra a Fig. 3.1. De acordo com o esquema a construção

de um modelo não é um processo em cascata. Na verdade, pode-se dizer que o que

existem são iterações e que ao fim de cada uma delas se têm uma versão do modelo

que pode necessitar de refinamento ou simplificação.

Figura 3.1 – Natureza iterativa do processo de modelagem.


35

3.5 – Modelagem de aterramentos elétricos

3.5.1 – Introdução

Conforme descrito nas três seções precedentes os modelos possuem uma

ampla aplicação no cenário científico. Além disso, mostrou-se que um modelo, uma

idéia aparentemente simples, encerra uma série de importantes questões filosóficas e

conceituais. Ademais, constatou-se que a obtenção de modelos adequados é uma

tarefa árdua. Este trabalho encontra-se inserido em um contexto de engenharia

elétrica aplicada, particularmente no estudo de modelagem de aterramentos elétricos

para avaliação de sua resposta a transitórios eletromagnéticos. Antes, porém, de

propor um modelo para tal tipo de avaliação é importante realizar-se uma revisão e

discussão da literatura pertinente do tema. Estes dois últimos pontos são o objetivo

principal desta seção.

Como já foi salientado na introdução deste capítulo, é realmente grande a

quantidade de trabalhos propondo modelos para análise do comportamento transitório

de sistemas de aterramento. No entanto, a despeito do elevado número de trabalhos,

uma análise geral permite uma divisão em três grupos principais de metodologias

adotadas:

• métodos baseados na aplicação da teoria de campos;

• métodos baseados na teoria de linhas de transmissão;

• métodos baseados na teoria de circuitos.

Obviamente, cada uma deles tem as suas vantagens, desvantagens e

domínios de aplicação, dependendo do tipo de estudo que se pretende realizar. As

metodologias citadas podem ainda ser desenvolvidas no domínio do tempo ou no

domínio da freqüência. De forma análoga, cada uma delas possui limitações, que são

devidamente expostos e discutidos ao longo desta seção.

A exposição a seguir é feita sob um ponto de vista histórico da evolução do

tema de modelagem de aterramentos. À medida que os modelos são descritos, eles

são incluídos em um dos três grupos destacados. Por fim são apresentados alguns

comentários críticos e uma discussão acerca de qual tipo de modelagem adotar neste

trabalho.


36

3.5.2 – Estudo do Estado da Arte

Os primeiros trabalhos de investigação do comportamento de eletrodos frente a

correntes impulsivas foram essencialmente experimentais. Esses trabalhos iniciais

tinham por objetivo principal estimar a impedância impulsiva do eletrodo de

aterramento. Por meio da impedância impulsiva e do conhecimento da magnitude das

ondas de corrente de descargas atmosféricas, era possível estimar os níveis máximos

de sobretensão a que o sistema de aterramento era submetido. Os resultados de

testes experimentais realizados por pesquisadores durante as décadas de 30 e 40

[32]-[36] indicavam que a impedância impulsiva dos eletrodos é em geral diferente do

valor da resistência CC ou CA a 60 Hz. Evidenciava-se, assim, o comportamento

diferenciado dos eletrodos de aterramento quando solicitados por correntes

impulsivas, quando comparados com o comportamento da mesma configuração

solicitada por fenômenos de baixa freqüência.

Trabalhos teóricos pioneiros investigando o comportamento de eletrodos de

aterramento frente a fenômenos de alta freqüência foram conduzidos por E. D. Sunde.

Esses trabalhos culminaram com a publicação, no fim da década de 40, de um dos

livros mais citados em estudos envolvendo aterramentos elétricos [37]. Sunde abre o

livro com uma revisão dos conceitos básicos do eletromagnetismo e das Equações de

Maxwell. Nos capítulos seguintes trata de conceitos fundamentais como resistividade

do solo e técnicas para medi-la, resistência de aterramento de configurações típicas e

acoplamento entre os eletrodos. Os dois últimos capítulos são destinados à

investigação do comportamento de eletrodos de aterramento para fenômenos rápidos.

Para esse fim, Sunde adota uma abordagem baseada na teoria de linhas de

transmissão em um meio condutivo. Nesse trabalho o autor estabelece fórmulas para

cálculo dos parâmetros elétricos de uma linha enterrada dependentes do comprimento

do eletrodo. Essas expressões são utilizadas em vários trabalhos atuais. São também

estabelecidas relações entre as características de surto dos eletrodos e algumas

variáveis como a resistividade e permissividade elétrica do solo, profundidade,

diâmetro e comprimento do condutor, separação entre eletrodos e o efeito da

ionização do solo.

Apesar das grandes contribuições oriundas de testes experimentais e do

trabalho de Sunde, até a década de 70 pouco se evoluiu no que diz respeito ao

estabelecimento de modelos que fossem capazes de predizer o comportamento do

aterramento frente a uma corrente impulsiva. Dessa forma, as configurações de

aterramento empregadas eram geralmente aquelas adotadas para fenômenos lentos


37

com algumas modificações. Essas modificações eram norteadas principalmente pelos

resultados experimentais e pelas análises teóricas desenvolvidas por Sunde.

No fim da década de 70 e início da década de 80 alguns trabalhos foram

publicados propondo modelos no domínio do tempo baseados na teoria de linhas de

transmissão [38]-[41]. Nesses trabalhos, o procedimento usual adotado é a divisão dos

eletrodos de aterramento em diversos segmentos. Cada um desses segmentos é

modelado como um circuito π , composto pelos parâmetros longitudinais R j Lω+ e

pelos parâmetros transversais G j Cω+ , conforme ilustra a Fig. 3.2. Esses

parâmetros são assumidos distribuídos ao longo de uma linha de transmissão

enterrada no solo. A partir da definição dos parâmetros as equações de propagação

de onda em uma linha de transmissão são solucionadas para cada segmento. O que

diferencia basicamente os trabalhos que adotam tal abordagem é a forma como são

calculados os parâmetros e o método empregado para solução das equações oriundas

da teoria de linhas de transmissão. Deve-se destacar a importância desses trabalhos,

que, apesar dos limites de validade, representam um primeiro esforço no sentido de

estabelecer um modelo analítico, que fosse capaz de prever o comportamento

transitório de configurações típicas de aterramento. Os principais trabalhos da época

citada são descritos de forma sucinta a seguir.

Figura 3.2 – Modelagem do eletrodo de aterramento por meio de uma série de circuitos π.

No início de 1983 A. P. Meliopoulos e M. G. Moharam propuseram um modelo

baseado na segmentação dos eletrodos de aterramento e modelagem de cada

segmento como uma linha de transmissão [39]. Cada segmento é caracterizado pelos

parâmetros R, L, G e C. O parâmetro G é calculado por meio da solução da equação

de Laplace [42]-[45]. Os parâmetros L e C são determinados a partir de relações com

G válidas para o modo de propagação TEM (Transverso EletroMagnético). No cálculo


38

dos parâmetros não é incluído o efeito da interface solo-ar nem os acoplamentos entre

os diversos segmentos. Obtidos os parâmetros elétricos, o método utilizado por H. W.

Dommel [46] é adotado para solução das equações de propagação na linha. O modelo

é utilizado para simulações de eletrodos horizontais e malhas lineares. A partir das

simulações, os autores concluem que as sobretensões originadas de uma solicitação

ao aterramento são dependentes da separação entre os eletrodos, do tempo de

subida e da resistividade e permissividade elétrica do solo. Nesse trabalho é descrita

ainda uma forma de se acoplar o modelo desenvolvido ao EMTP [48], [47].

C. Mazzeti e G. M. Veca, em 1983, apresentaram um modelo matemático para

eletrodos horizontais [40]. O eletrodo é considerado infinito sendo modelado com uma

linha de transmissão. Nesse trabalho os autores assumem o solo como um meio

predominantemente condutivo. A partir dessa consideração desprezam a resistência R

e a capacitância C. A indutância L e a condutância G são obtidas a partir das

expressões clássicas para linhas aéreas, o que é uma suposição fisicamente

inconsistente, já que nesse caso a linha de transmissão está enterrada. O efeito da

interface solo-ar não é levado em consideração no cálculo dos parâmetros. As

equações diferenciais de propagação na linha são solucionadas por integração

numérica. Nas simulações implementadas são avaliados o comprimento efetivo, a

impedância impulsiva e distribuição de potencial ao longo de condutores horizontais.

Os autores concluem que o comprimento efetivo aumenta com a resistividade do solo

e que a impedância impulsiva é dependente do comprimento do eletrodo,

condutividade do solo, intensidade e forma da corrente injetada. Os resultados obtidos

estão qualitativamente corretos, entretanto as avaliações quantitativas são

comprometidas devido às aproximações adotadas. Os autores propõem ainda a

consideração do efeito de ionização do solo por meio de um aumento aparente da

seção transversal do eletrodo. Esse aumento é estimado a partir da determinação do

campo elétrico na superfície do condutor por meio da conhecida expressão E ρJ=r r

.

No caso desse campo elétrico atingir um valor superior a determinado valor crítico,

considera-se que se inicia o processo de disrupção elétrica no solo e há a formação de

canais de plasma de alta condutividade. Esse aumento da condutividade do solo é

representado por uma modificação da seção transversal do eletrodo. O novo raio do

condutor é definido como a distância, medida a partir do centro do eixo do condutor,

na qual o campo elétrico se torna inferior ao valor determinado como crítico. A

verificação do campo elétrico na superfície do eletrodo é processada para cada passo

de tempo e, quando ultrapassa o valor crítico, os parâmetros elétricos são

recalculados para o novo raio. A partir da inclusão do fenômeno de ionização nas


39

simulações é destacado que sua desconsideração pode gerar erros no cálculo da

impedância impulsiva.

R. Velazquez e D. Mukhedkar, em 1984, publicaram um trabalho propondo um

modelo para eletrodos horizontais baseado na teoria de linhas de transmissão

incluindo todos os parâmetros elétricos [41]. O eletrodo é dividido em segmentos e

cada um é modelado como uma linha de transmissão com parâmetros R, L, G e C.

Esses parâmetros são calculados por meio de equações propostas por Sunde [37],

que dependem do comprimento de cada segmento. Os parâmetros são considerados

distribuídos uniformemente. As equações empregadas no cálculo aparentemente

incluem o acoplamento entre os segmentos, mas não o efeito da interface solo-ar. As

equações diferenciais de propagação na linha são solucionadas com o auxílio da

transformada de Laplace. O efeito de ionização é modelado de forma bastante similar

ao trabalho de Mazzeti e Veca [40]. Entretanto, uma maior precisão é obtida no

modelo de Velazquez e Mukhedkar já que o eletrodo é dividido em uma série de

segmentos, sendo o campo elétrico calculado na superfície de cada um deles. O

modelo é aplicado para avaliação da impedância impulsiva e distribuição de potencial

para eletrodos horizontais.

De uma forma geral a modelagem baseada na teoria de linhas de transmissão

empregada nesses trabalhos do fim da década de 70 e início da década de 80 adotam

algumas simplificações que merecem ser destacadas. Na dedução das equações de

propagação de ondas de corrente e tensão ao longo de uma linha de transmissão, os

campos eletromagnéticos que circundam o condutor são assumidos perpendiculares

entre si (modo de propagação TEM). Isso não corresponde à situação real dos

campos gerados pelas correntes em um eletrodo de aterramento, já que no caso de

altas freqüências o componente longitudinal do campo elétrico não pode ser

desprezado. Ademais, na dedução dessas equações considera-se que as variações

da tensão transversal e da corrente longitudinal são lentas, ou seja, essas grandezas

podem ser consideradas uniformes ao longo de uma seção da linha. Essa

consideração pode não ser válida no caso de fenômenos rápidos, sendo que o

eletrodo deveria ser segmentado em um número muito grande de elementos, o que

inviabilizaria a aplicação da teoria de linhas. O cálculo dos parâmetros R, L, G e C

também merece investigações adicionais. As relações típicas entre esses parâmetros,

normalmente adotadas para linhas aéreas, não podem ser utilizadas, já que são

válidas apenas para o modo de propagação TEM. Além disso, no cálculo dos

parâmetros transversais G e C uma atenção especial deve ser dedicada ao se definir o

caminho de integração do campo elétrico, já que, para fenômenos rápidos, o cálculo

do potencial escalar depende desse caminho. É também importante destacar que as


40

configurações simuladas possuem geometria limitada a condutores horizontais e

malhas simples. Essas limitações estão ligadas ao limite de aplicabilidade da teoria de

linhas de transmissão. Adicionalmente, a maioria desses modelos não inclui o

acoplamento eletromagnético entre os diversos segmentos, o que é de fundamental

importância para investigação de fenômenos de alta freqüência.

Na tentativa de tratar ou minimizar alguns dos problemas citados, A. D.

Papalexopoulos e A. P. Meliopoulos apresentaram, em 1987, um novo trabalho [49]. A

abordagem adotada é bastante similar à empregada no trabalho anterior de um dos

autores [39]. Assim, cada eletrodo é divido em diversos segmentos, cada um deles

com parâmetros R, G, L e C. O cálculo desses parâmetros, ao contrário do trabalho

anterior, é realizado a partir de uma solução mais elaborada das equações de

Maxwell. Neste cálculo, porém, a parcela não conservativa do campo elétrico, que

traduz o acoplamento indutivo mútuo, é descartada. Além disso, não fica claro se o

efeito da interface solo-ar foi incluído no cômputo dos parâmetros. O modelo proposto

foi utilizado para simular malhas de aterramento de diversos tamanhos inseridas em

solos com diferentes valores de resistividade e permissividade. Apesar do grande

número de simulações realizadas, elas se limitam à freqüência máxima de 420 Hz, o

que restringe bastante a aplicabilidade dos resultados gerados na investigação de

solicitações associadas a descargas atmosféricas.

No fim no ano de 1989, D. Mukhedkar e outros autores apresentaram um novo

trabalho, que propunha um modelo para análise do desempenho de malhas de

aterramento frente a transitórios [50]. A partir da divisão dos eletrodos em diversos

segmentos, cada um deles é modelado por meio de um circuito equivalente a

parâmetros concentrados L e G. A conexão de todos os circuitos equivalentes permite

formar uma rede, que representa a malha de aterramento. A solução dessa rede é

processada mediante a aplicação da teoria de circuitos. Além de desprezar os efeitos

resistivo e capacitivo, neste trabalho são adotadas outras simplificações como, por

exemplo, a desconsideração do acoplamento eletromagnético entre os elementos e do

efeito da interface solo-ar. Os resultados gerados foram comparados com dados

experimentais e, a despeito das idealizações citadas, uma boa concordância foi

observada de acordo com os autores. No entanto, os dados empíricos apresentados

se referem a algumas situações particulares e solicitações relativamente lentas, o que

pode comprometer análises direcionadas para fenômenos transitórios oriundos da

incidência de uma descarga atmosférica.

Por volta da segunda metade da década de 80, seguindo uma direção diferente

dos trabalhos apresentados até então, F. Dawalibi e L. Grcev publicaram alguns

trabalhos que foram a base para o primeiro modelo de aterramentos baseado na


41

solução mais elaborada das equações de campo. Dawalibi já era nessa época um

pesquisador renomado, autor de cerca de sessenta artigos nas áreas de aterramentos,

resistividade do solo e interferência eletromagnética. Em 1986 publicou um artigo

(dividido em duas partes) particularmente importante para o desenvolvimento do

modelo para transitórios em aterramentos [51]. Nesse trabalho, o pesquisador analisa

a resposta de condutores cilíndricos utilizando a teoria eletromagnética no domínio da

freqüência. Entretanto, apesar da solução ter sido formulada para correntes de baixa e

alta freqüência, as expressões analíticas utilizadas no modelo computacional foram

desenvolvidas a partir de aproximações quase-estáticas para possibilitar a integração

numérica da solução geral. Nesse mesmo ano, Grcev defendia sua tese de doutorado

[52]. Nela, o pesquisador desenvolveu as bases da metodologia para análise de

configurações de aterramento genéricas para todo o espectro de freqüência de

interesse baseado em técnicas computacionais envolvendo Método de Momentos,

integração numérica das integrais de Sommerfeld e Transformada Rápida de Fourier

(FFT) [53], [54]. Essa metodologia foi aplicada inicialmente para configurações de

hastes horizontais e os primeiros resultados computacionais estão na tese de Grcev

[52]. Em 1990 os dois pesquisadores se encontraram para escrever um artigo que foi

aclamado por muitos pesquisadores da época, sendo, por exemplo, denominado de

masterpiece por A. M. Mousa na discussão original gerada no periódico [55]. Nesse

artigo um modelo eletromagnético para transitórios em sistemas de aterramento é

descrito de forma detalhada. Os aspectos principais desse modelo são expostos a

seguir.

O problema transitório é solucionado no domínio da freqüência, o que implica a

consideração de um sistema linear. Para cada freqüência têm-se uma função de

transferência e a solução no domínio do tempo é obtida a partir de uma transformada

de Fourier inversa. O modelo é baseado na solução dos campos eletromagnéticos

para segmentos cilíndricos condutores com a aproximação destes por correntes

filamentares. Para cada segmento é calculado o campo elétrico ( )E rr

, devido às

distribuições de corrente ( )'I r e carga ( )'q r ao longo da superfície do condutor, por

meio do potencial elétrico escalar ( )rφ e do potencial vetor magnético ( )A rr

:

( ) ( ) ( )E r r j A rφ ω= −∇ −rr r

. (3.1)

O potencial escalar é obtido a partir da integração, ao longo do segmento, da

distribuição de carga e da função de Green relacionada. O potencial vetor é obtido a


42

partir da integração, ao longo do segmento, da distribuição de corrente e da função de

Green relacionada. Com a introdução dessas integrais em (3.1) e após algumas

manipulações, a seguinte equação integral para o campo elétrico é obtida:

( ) ( ) ( )1' , '4 l

jE r I r G r r dl

ωµπ

= − ∫r

, (3.2)

onde ω é a freqüência angular (rad/s), µ é a permeabilidade magnética do meio

(H/m) e ( )1 , 'G r r é a função de Green resultante das manipulações. Essa equação

ainda considera o campo elétrico devido a um segmento em um meio semi-infinito. O

efeito da interface solo-ar é considerado baseado no trabalho de A. Sommerfeld [53].

Esse efeito é introduzido por meio de alguns termos de correção nas funções de

Green. Esses termos envolvem integrais conhecidas como integrais de Sommerfeld. A

equação integral para o campo elétrico e a solução das integrais de Sommerfeld

definem o modelo matemático.

A solução do modelo é obtida a partir da aplicação do Método de Momentos,

que permite a redução da equação integral (3.2) a um sistema de equações lineares

para determinar a distribuição de corrente ao longo dos eletrodos [56]. O sistema de

aterramento é divido em N segmentos e, nesse primeiro trabalho, é considerada uma

distribuição de corrente longitudinal uniforme ao longo de cada segmento, podendo

variar de um para outro. Ao fim do condutor a corrente é assumida igual a zero. A

partir dessas considerações e da aplicação do Método de Momentos, a matriz de

impedâncias é obtida avaliando-se o acoplamento entre os segmentos por meio da

seguinte expressão:

m mmn

n

Ez

I

⋅= − l, (3.3)

onde os subscritos m e n detonam dois segmentos genéricos, ml é o comprimento do

segmento m e mE é o campo elétrico tangencial no centro do segmento m devido a

corrente nI do segmento n. A distribuição de corrente [ ]I é determinada pela solução

da seguinte equação matricial:

[ ] [ ] [ ]s sZ I Z I⋅ = , (3.4)


43

onde [ ]Z é a matriz de impedâncias e [ ]s sZ I é a matriz de excitação; sI é a corrente

de injeção e sZ é a impedância entre o segmento de injeção e os demais segmentos.

Uma vez determinada a distribuição de corrente, o campo elétrico pode ser

obtido em qualquer ponto a partir da soma das contribuições de cada segmento. A

corrente transversal é calculada a partir do produto do campo elétrico normal à

superfície do condutor e da condutividade do solo. O potencial elétrico em um ponto e

a diferença de potencial entre dois pontos são obtidos pela integral de linha do campo

elétrico. A impedância de aterramento é determinada pela razão entre o potencial

elétrico do ponto de injeção e a corrente de injeção.

Apesar desse primeiro trabalho não apresentar resultados computacionais

para validar o modelo descrito, ele foi bem aceito, pois, além de bastante completo, é

baseado na solução direta das equações de campo. Não obstante, alguns comentários

merecem ser feitos. Na escolha da distribuição de corrente e divisão do sistema em

segmentos, o primeiro segmento é adotado como ponto de injeção e sua corrente

longitudinal é definida como igual à corrente injetada. Isso significa que no primeiro

segmento existe apenas corrente longitudinal, sendo desprezada a corrente

transversal (caso contrário, o princípio de conservação da carga é violado). Essa

consideração pode ocasionar, por exemplo, algum erro no cálculo dos potenciais

próximos ao ponto de injeção. No cálculo da corrente transversal o campo elétrico é

avaliado em pontos bastante próximos ao condutor, o que gera instabilidade numérica.

Para contornar o problema é utilizada uma expressão aproximada para o campo

elétrico próximo aos condutores, de forma que a corrente transversal também possui

um valor aproximado. Por fim é importante destacar que os autores não consideram a

variação dos parâmetros eletromagnéticos do solo com a freqüência.

Após esse trabalho inicial, outros foram publicados pelos autores de forma

independente [57]-[66]. Dawalibi e outros autores realizaram a transposição do modelo

desenvolvido juntamente com Grcev para diversas situações práticas de engenharia:

cálculo de campos eletromagnéticos irradiados por condutores energizados [57], [58];

avaliação dos campos gerados por sistemas de aterramentos de subestações de

distribuição [59]; avaliação da resposta transitória de malhas de aterramento de

subestações de alta-tensão [60]; análise do desempenho de sistemas de aterramento

de subestações de alta-tensão incluindo algumas estruturas metálicas acima do solo

[61]. Grcev aplicou o modelo desenvolvido na avaliação do desempenho de eletrodos

horizontais e malhas de aterramento [62], [63] e, juntamente com F. E. Menter, no

cálculo dos campos eletromagnéticos oriundos de eletrodos de aterramentos


44

energizados [64]. Grcev obteve ainda aprimoramentos importantes com relação ao

tempo computacional e utilizou outras distribuições de corrente na aplicação do

Método de Momentos [65]. Estudos importantes sobre o comportamento da

impedância de malhas de aterramento ao longo do espectro de freqüência

característico das descargas atmosféricas foram apresentados por Grcev [66].

Paralelamente aos desenvolvimentos de Grcev e Dawalibi, no início da década

de 90, uma série de trabalhos foram publicados por S. Visacro e C. M. Portela,

propondo uma modelagem no domínio da freqüência baseada nas equações de

campo [67]-[69]. A versão final do modelo está detalhada na tese de doutorado de

Visacro [70]. Na solução final do modelo são empregados alguns conceitos típicos da

teoria de circuitos, o que justifica o nome HEM (Hybrid Electromagnetic Model) que

recebeu mais tarde [71]. Na abordagem adotada, os eletrodos são divididos em

diversos segmentos. Cada segmento é considerado fonte de uma corrente transversal

IT que dispersa do condutor em direção ao solo e de uma corrente longitudinal IL que

circula ao longo do segmento. A corrente IT gera um campo elétrico de natureza

divergente que estabelece uma elevação de potencial em relação ao infinito no próprio

segmento e nos demais. A corrente IL gera um campo elétrico não conservativo que

estabelece uma queda de tensão no próprio segmento e nos demais. Considerando

um par de segmentos, a corrente IT promove os acoplamentos capacitivo e condutivo

(próprio e mútuo) entre eles e a corrente IL promove os acoplamentos indutivo e

resistivo (próprio e mútuo). Esses acoplamentos são computados a partir da definição

das impedâncias transversal ZTij e longitudinal ZLij entre os segmentos, onde o índice i

se refere ao segmento receptor e o índice j se refere ao segmento emissor de campo.

A partir dessas considerações são estabelecias as seguintes equações matriciais:

ij Tij TjV Z I= , (3.5)

ij Lij Lj∆V Z I= , (3.6)

onde Vij se refere ao potencial médio do elemento i devido à corrente transversal do

elemento j e ∆Vij é a queda de tensão ao longo do elemento i devido à corrente

longitudinal fluindo no elemento j. As grandezas mencionadas são calculadas com o

auxílio do potencial escalar elétrico e potencial vetor magnético. Nesse cálculo os

efeitos de propagação são incluídos. O efeito da interface solo-ar é considerado por

meio da aplicação do método das imagens tradicional, o que constitui uma

aproximação [42]-[45]. Na solução do modelo estabelecido pelas equações (3.5) e

(3.6) são utilizadas algumas relações típicas da análise de circuitos. O potencial médio


45

em cada segmento é definido como a média entre os potenciais nodais e a queda de

tensão ao longo do segmento como a diferença entre os potenciais nodais. As

correntes transversal e longitudinal, em cada nó, são relacionadas por meio da lei de

Kirchhoff das correntes. A partir da aplicação dessas relações, as equações (3.5) e

(3.6) são acopladas em um único sistema do tipo A.VN = b. Nesse sistema o vetor VN

se refere às tensões nodais, o vetor b se refere à injeção de corrente em cada nó e a

matriz A se refere ao cálculo das impedâncias ZTij e ZLij, que dependem apenas da

geometria do sistema de aterramento e das características eletromagnéticas do meio

(solo). O cálculo da matriz A, e posterior determinação do vetor VN, permite o cálculo

das demais grandezas de interesse, como a distribuição de corrente e de potencial ao

longo do eletrodo. Esses trabalhos incluem ainda a variação dos parâmetros

eletromagnéticos do solo com a freqüência, o que constitui uma contribuição

significativa em relação aos demais trabalhos [18]. No entanto, a formulação adotada

para quantificar essa variação merece investigações adicionais [19]. Esse modelo,

dada sua generalidade, foi posteriormente aplicado na investigação de linhas, torres

de transmissão e medição de ondas de corrente de descargas atmosféricas [72]-[74].

Outro importante estudo de sistemas de aterramento baseado na teoria de

campo foi apresentado em meados de 1996 por R. G. Olsen e M. C. Willis [75]. Nesse

trabalho, o objetivo principal dos autores é verificar as condições nas quais a

aproximação de campos quase-estáticos é válida. Para tal fim, os autores propõem a

modelagem de um eletrodo vertical a partir da teoria de antenas, nomeada modelagem

exata. É suposta uma distribuição de corrente longitudinal e os campos

eletromagnéticos são calculados com o auxílio do potencial de Hertz, sendo o efeito da

interface solo-ar levado em consideração a partir da solução das integrais de

Sommerfeld [45], [53]. A distribuição de corrente é obtida da solução da equação de

Pocklington por meio do Método dos Momentos [42], [56]. Outra abordagem, baseada

na modelagem do eletrodo vertical a partir da teoria de circuitos, nomeada modelagem

quase-estática, é utilizada para fins de comparação e estabelecimento dos limites de

validade da aproximação de campos quase-estáticos. Dois tipos de resultados

gerados por ambas as concepções são comparados: distribuição de corrente e

tensões de passo e toque. Da análise dos resultados os autores chegaram às

seguintes conclusões principais: i) O método de cálculo exato das tensões de passo e

toque se reduz ao método quase-estático quando a freqüência tende a zero; ii) Uma

condição suficiente para validade da aplicação da aproximação quase-estática é que o

comprimento dos eletrodos enterrados seja menor que um décimo do comprimento de

onda no solo; iii) Para freqüências elevadas, os métodos quase-estáticos

superestimam os valores de tensão de passo e toque. Deve-se ressaltar que a


46

metodologia dos autores é bastante interessante, pois buscam estabelecer limites de

validade para modelos mais simplificados e não apenas comparar resultados e definir

aqueles que concordam e aqueles que não concordam com a teoria de campo. Esse é

um aspecto importante, já que, se bem definidos os limites de validade de cada teoria,

pode-se aplicar, por exemplo, a teoria de circuitos na resolução de determinados

problemas com a segurança de que o erro cometido é aceitável. Aplicações desse tipo

permitem a redução do esforço computacional em diversas situações, além de

possibilitar uma análise rápida e confiável de determinados problemas. Por fim, vale

salientar que, apesar de apresentar uma contribuição importante, os critérios

estabelecidos nesse trabalho se limitam à configuração de um eletrodo vertical. Não

se pode afirmar, portanto, que os mesmos critérios são válidos para configurações de

aterramento mais complexas.

Após a predominância da pesquisa e estudo dos sistemas de aterramento a

partir da teoria de campo durante os anos 90, ao final dessa década novos modelos

baseados na teoria de circuitos e linhas de transmissão foram propostos. Mais

precisos e robustos em relação àqueles modelos apresentados ao longo da década de

80, essa nova tendência de abordagem tem sido a predominantemente empregada

por pesquisadores do tema durante os últimos anos. Aqueles trabalhos considerados

mais relevantes dentro dessa nova tendência são descritos a seguir.

Em 1999 A. F. Otero, J. Cidrás e J. L. del Álamo apresentaram um modelo no

domínio da freqüência baseado na teoria de circuitos [76]. O sistema de aterramento é

considerado como uma rede de condutores cilíndricos interconectados. Cada condutor

é inicialmente dividido em diversos segmentos. A metodologia proposta é baseada no

estudo dos acoplamentos indutivo, capacitivo e condutivo entre esses segmentos.

Cada segmento é considerado como fonte de uma corrente longitudinal em seu interior

e de uma corrente transversal que deixa o condutor em direção ao solo. Os segmentos

são feitos suficientemente pequenos de maneira que o potencial em relação ao infinito

(potencial médio) em cada um é considerado constante e igual à média entre suas

tensões nodais. A partir desses conceitos é proposto um circuito equivalente do

sistema de aterramento composto por nós e ramos. Cada ramo possui uma resistência

própria e indutâncias próprias e mútuas associadas. Cada nó, devido à condutividade

do meio circundante e dos efeitos capacitivos, possui uma fonte de corrente para o

solo. O sistema de aterramento é solicitado pela injeção de uma onda de corrente em

um ou mais nós. Baseado nas considerações acima, o circuito elétrico equivalente

obtido é estudado a partir da tradicional técnica de análise nodal. A aplicação dessa

técnica resulta em um sistema do tipo A.VN = b, onde o vetor VN se refere às tensões

nodais, o vetor b se refere à injeção de corrente em cada nó e a matriz A se refere ao


47

cálculo das resistências e indutâncias e dos acoplamentos indutivo, capacitivo e

condutivo entre os segmentos. A resistência de cada condutor é calculada a partir de

expressões típicas da literatura, que levam em consideração o efeito pelicular. A

indutância mútua é calculada por meio da fórmula de Neumann [77]. Os acoplamentos

condutivo e capacitivo são calculados com o auxílio do potencial escalar elétrico

gerado pela corrente transversal. Nesse último cálculo, o efeito da interface solo-ar é

levado em consideração aplicando o método das imagens modificado proposto por T.

Takashima et al. [78]. No cálculo de todos os acoplamentos a aproximação quase-

estática é adotada e os efeitos de propagação são desconsiderados. O cálculo da

matriz A e posterior determinação do vetor VN permite o cálculo das demais grandezas

de interesse. Todos os cálculos são realizados no domínio da freqüência; a resposta

no tempo é obtida por meio da transformada inversa de Fourier. Os resultados obtidos

aplicando o método proposto são comparados com estudos realizados por Grcev [65].

Os perfis de tensão obtidos para as configurações simuladas apresentarem

comportamento similar àqueles obtidos por Grcev. São observadas, no entanto,

diferenças entre os tempos de subida das ondas de tensão transitória e entre os

valores máximos de sobretensão. Essas diferenças podem ter papel significativo no

estudo de transitórios associados a ondas de corrente de altas freqüências. No início

do ano 2000, os autores Otero e Cridrás, juntamente com Garrido, publicaram uma

continuação desse trabalho incluindo o efeito da ionização do solo [79]. A inclusão da

ionização é processada mediante um aumento do raio daqueles segmentos a partir

dos quais ocorre a formação de canais de descarga para o solo. Supõe-se que a

formação desses canais se dá nos casos em que o campo elétrico normal a cada

segmento ultrapassa um valor limite Ec. O campo elétrico na superfície de cada

segmento é obtido a partir da conhecida expressão J σE+jωεE=r r r

, onde Jr

é

densidade de corrente que dispersa do condutor, Er

é o campo elétrico na superfície

do condutor, σ é a condutividade elétrica do solo, ε é a permissividade elétrica do solo

e ω é uma das freqüências representativas do espectro de freqüência associado à

onda injetada. Note que nessa formulação a corrente de deslocamento é incluída, o

que não ocorre nos modelos de Mazzetti e Velazquez no domínio do tempo. Na

expressão anterior, Jr

é umas das grandezas obtidas a partir da determinação do vetor

VN. Calculado o campo elétrico Er

para todas as freqüências representativas do

fenômeno, aplica-se uma transformada inversa de Fourier e obtém-se ( )E tr

. Assim,

para cada instante de tempo, aqueles segmentos cuja intensidade de campo elétrico

associado ( )E tr

for superior ao valor crítico Ec, têm seu raio r aumentado para um


48

valor rc dado por ( ) ( )c

c

E tr t = r

E⋅ . O efeito de ( )cr t é incluído no cálculo dos

acoplamentos condutivo e capacitivo e, por meio de uma nova transformada de

Fourier, obtêm-se uma nova solução no domínio da freqüência. A partir de uma

transformada inversa, tem-se a solução final no domínio do tempo. Os resultados

obtidos a partir da metodologia descrita foram comparados com aqueles obtidos por A.

C. Liew e M. Darveniza [80]. Uma boa concordância entre os resultados foi obtida.

Em 2001, Y. Liu e outros pesquisadores do departamento de eletricidade e

descargas atmosféricas da Universidade de Uppsala, Suécia, publicaram um trabalho

propondo um modelo “melhorado” para sistemas de aterramento, baseado na teoria de

linhas de transmissão [81]. Na definição do modelo os autores assumem algumas

simplificações. É adotada a aproximação de que o campo eletromagnético que

circunda o condutor é quase-TEM. Elementos verticais, como, por exemplo, as hastes

que interligam o sistema aéreo ao sistema de aterramento, são desconsiderados. O

acoplamento entre elementos perpendiculares é desprezado, o que é plausível

levando-se em consideração o acoplamento magnético, mas não o elétrico. Nesse

trabalho não é interesse dos autores investigarem o fenômeno de ionização, portanto

esse efeito não é incluído na modelagem. A partir das considerações descritas, cada

eletrodo é assumido como parte de uma linha de transmissão. O acoplamento entre os

condutores é considerado a partir do cálculo das capacitâncias, condutâncias e

indutâncias mútuas. Esses e os demais parâmetros da linha (R, L, G e C) são obtidos

por meio do software Ace da ABB [82]. Segundo os autores, esse software inclui nos

cálculos o efeito da interface solo-ar, entretanto não deixam claro qual procedimento é

adotado para essa finalidade. Obtidos os parâmetros, cada eletrodo, modelado como

uma linha de transmissão, é dividido em diversas seções. Essas seções são

assumidas suficientemente pequenas de forma que cada uma possa ser representada

por um circuito concentrado. Os circuitos concentrados resultantes desse

procedimento são implementados e simulados no EMTP/ATP [48]. Para fins de

validação, os autores realizaram simulações de configurações similares às realizadas

por Grcev em dois de seus trabalhos [65], [66]. Os perfis de tensão nas configurações

simuladas apresentam comportamento similar àqueles obtidos por Grcev. Entretanto,

existem diferenças entre os tempos de subida das ondas de tensão transitória e os

valores máximos de sobretensão apresentam disparidades de até 8%, o que pode ser

significativo no caso de distúrbios oriundos da incidência de uma descarga

atmosférica. Por fim, os autores investigam a influência dos parâmetros

permissividade relativa do solo, resistividade do solo e condutividade e diâmetro do


49

eletrodo na distribuição de tensão transitória no sistema de aterramento. De acordo

com os resultados obtidos, alguns pontos são destacados. A resistividade do solo é o

parâmetro que mais influencia a resposta transitória dos eletrodos. A permissividade

relativa possui influência moderada em solos de baixa resistividade, o que leva os

autores a desprezarem o acoplamento capacitivo na maioria das simulações.

Contudo, destacam que a influência da permissividade do solo deve ser considerada

em solos de maior resistividade para obtenção de resultados mais precisos. A

condutividade do eletrodo e o efeito pelicular praticamente não influenciam o pico de

tensão transitória do sistema de aterramento, enquanto que um aumento do diâmetro

do eletrodo tende a diminuí-lo.

M. I. Lorentzou e outros apresentaram um modelo também baseado na teoria

de linhas de transmissão em 2003 [83]. O procedimento adotado é aquele

característico deste tipo de abordagem em que os eletrodos são divididos em

elementos, cada um representado por um circuito π a parâmetros concentrados R, L,

G e C. No texto não há informações sobre o procedimento de cálculo desses

parâmetros; portanto não se pode afirmar se o efeito da interface solo-ar foi levada em

consideração. As distribuições de tensão e corrente ao longo do eletrodo são obtidas a

partir da solução das “equações do telégrafo” [77]. No procedimento de solução de tais

equações, os autores estabelecem uma relação entre a corrente de injeção,

representada por uma dupla exponencial, e as tensões nodais. Esse procedimento

permite a obtenção de expressões matemáticas fechadas para corrente e tensão ao

longo do eletrodo. O fenômeno de ionização é considerado a partir de uma variação

dinâmica do raio do eletrodo. A formulação é aplicada na investigação de eletrodos

horizontais, típicos de aterramentos de linhas de transmissão. Os resultados são

comparados com outras formulações baseadas na teoria de circuitos, linhas de

transmissão e simulações no EMTP, sendo uma boa concordância observada. Os

resultados também são validados com dados experimentais obtidos por outros

autores. No entanto, a carência de comparações com modelos mais precisos e dados

experimentais realmente representativos de fenômenos de alta freqüência limita a

confiabilidade do modelo.

Em 2005, Y. Liu e outros pesquisadores da universidade de Uppsala

publicaram um novo trabalho propondo uma abordagem não uniforme da teoria de

linhas de transmissão para análise do transitório em sistema de aterramentos [84]. O

procedimento geral é aquele tradicionalmente adotado na modelagem baseada na

teoria de linhas; o eletrodo é dividido em segmentos e, depois de calculados os

parâmetros elétricos para cada um, obtém-se a resposta transitória do sistema a partir

da solução das conhecidas equações de uma linha de transmissão. A principal


50

contribuição dos pesquisadores nesse trabalho está na metodologia adotada para o

cálculo dos parâmetros elétricos. Segundo os autores, durante o transitório a

distribuição de corrente nos segmentos não é uniforme e varia no tempo. Portanto, os

diversos acoplamentos entre esses segmentos também devem variar no tempo.

Adicionalmente, é considerado que os campos eletromagnéticos que circundam o

eletrodo não são exatamente TEM, o que implica que o cálculo dos parâmetros

elétricos depende do comprimento do condutor. As equações a serem solucionadas

para cada segmento possuem então a seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( ), ,, ,e

V x t I x tr I x t l x t

x t

∂ ∂− = +

∂ ∂, (3.7)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,, , ,

I x t V x tg x t V x t c x t

x t

∂ ∂− = +

∂ ∂. (3.8)

Em (3.7) e (3.8) ( ),V x t e ( ),I x t são as distribuições de tensão e corrente ao longo

do segmento, er é a resistência série por unidade de comprimento e ( ),l x t , ( ),g x t e

( ),c x t são a indutância, condutância e capacitância por unidade de comprimento,

respectivamente, na posição x e tempo t. As equações (3.7) e (3.8) são solucionadas

pelo método de diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD). No processo de

solução, a cada passo de tempo, os parâmetros ( ),l x t , ( ),g x t e ( ),c x t são

recalculados. Isso garante a inclusão da variação no tempo dos diversos

acoplamentos, apontada pelos autores. O outro ponto destacado, a dependência dos

parâmetros com o comprimento do segmento, é levado em consideração baseado no

trabalho de Sunde [37]. No cálculo dos parâmetros, o efeito da interface solo-ar é

incluído a partir de coeficientes de reflexão, que são função das diferenças de

condutividade e permissividade elétrica entre o solo e o ar. As expressões finais

obtidas para os parâmetros elétricos são dependentes do comprimento do condutor,

mas esses parâmetros são considerados distribuídos uniformemente ao longo do

mesmo. O caráter não uniforme desse modelo está associado à variação dos

parâmetros no tempo. Note ainda que, apesar dos autores destacarem que os campos

não são TEM, as equações (3.7) e (3.8) são deduzidas para esse modo de

propagação. O comprimento efetivo de eletrodos horizontais é avaliado a partir do

modelo proposto, porém os resultados obtidos não são comparados com medições ou

resultados de outros autores.


51

Ainda em 2005, Jinliang He e outros publicaram um trabalho com o objetivo de

avaliar o comprimento efetivo de cabos contrapeso para transitórios associados a

descargas atmosféricas [85]. Nas análises teóricas os autores adotaram uma

abordagem baseada na teoria de linhas de transmissão. Os eletrodos são divididos em

diversos segmentos e cada um deles é modelado como circuito π a parâmetros

concentrados R, L, G e C. Esses parâmetros são calculados a partir de expressões

obtidas por Sunde [37], o que justifica a definição de modelo a parâmetros

concentrados não-uniforme, segundo os autores. O efeito de ionização do solo é

modelado por meio da mesma metodologia adotada por Velazquez e Mukhedkar [41].

Os autores não deixam claro como são solucionadas as equações das linhas de

transmissão. A partir do modelo descrito, são investigados os fatores que influenciam

o comprimento efetivo dos cabos contrapeso. As principais conclusões são: o

comprimento efetivo aumenta com a resistividade do solo e tempo de frente da onda

de corrente e diminui com a magnitude da corrente. Alguns resultados teóricos são

comparados com medições. Apesar do modelo apresentado ser relativamente simples

é observada uma ótima concordância entre simulações e medições, de acordo com os

autores. Com base nos dados medidos e simulados, a partir da técnica de mínimos

quadrados, é obtida uma fórmula para estimar o comprimento efetivo de cabos

contrapeso. Em 2008, os autores apresentaram um novo trabalho em que o mesmo

modelo é estendido para representação de malhas de aterramento [86]. A influência

de diferentes parâmetros no desempenho de uma malha de aterramento frente a uma

corrente de descargas é analisada. De acordo com os autores o desempenho é

influenciado pela forma de onda injetada, amplitude e ponto de injeção. O conceito de

área efetiva da malha de aterramento é investigado e, a partir de simulações, os

autores apresentam uma fórmula para o raio efetivo dos eletrodos utilizados na

construção de malhas para proteção contra descargas atmosféricas.

3.5.3 – Qual tipo de modelagem adotar?

Tendo em vista a sucinta revisão dos principais trabalhos que propõem

metodologias para investigação do comportamento transitório de um sistema de

aterramento frente a fenômenos de alta freqüência, algumas análises preliminares

podem ser esboçadas.

Recentemente, um grande número de modelos para investigação do transitório

associado a sistemas de aterramentos têm sido propostos. Entretanto, aparentemente

não existe um consenso com relação aos limites de aplicabilidade de cada um deles,


52

interpretação dos resultados e validade dos mesmos. Um ponto a ser destacado é a

carência de resultados experimentais para validação dos modelos.

Os modelos baseados na solução das equações de campo desenvolvidos no

domínio da freqüência para cálculo de transitórios eletromagnéticos possuem algumas

vantagens em relação àqueles desenvolvidos no domínio do tempo. Tais modelos são

extremamente adequados para o estudo de campos eletromagnéticos e propagação

de ondas. Por exemplo, no estudo da propagação de uma onda eletromagnética em

um eletrodo de aterramento, os efeitos de defasamento e atenuação podem ser

diretamente incorporados nas equações de campo relativas a cada freqüência. Além

disso, a variação com a freqüência dos parâmetros eletromagnéticos do meio em que

o aterramento está inserido pode ser incluída. Este último ponto é particularmente

importante na investigação de sistemas de aterramento inseridos em solos típicos,

cujos parâmetros eletromagnéticos (σ e ε) têm nítida variação com a freqüência,

principalmente para espectros elevados. Deve-se ressaltar ainda que, devido ao fato

de se basearem na solução direta das equações de Maxwell, esses modelos são

aplicáveis a configurações genéricas.

Por outro lado, os modelos desenvolvidos no domínio da freqüência costumam

demandar grande tempo computacional para os cálculos, sendo este problema crítico

para malhas de aterramento extensas, que exigem uma quantidade excessiva de

segmentos. Por exemplo, para modelagem de uma malha de aterramento de

subestação de 60 x 60 m² com elementos quadrados de 10 x 10 m² necessitar-se-ia

facilmente da ordem de dez mil segmentos para obtenção de uma resposta

satisfatória, o que significa a manipulação, para cada freqüência do espectro, de

matrizes da mesma ordem. Deve-se observar, no entanto, que este tipo de problema

já foi mais crítico no passado, em que os computadores possuíam freqüência de

processamento e capacidade de armazenamento de dados sensivelmente inferiores

aos dos computadores atuais. Ainda assim, é importante lembrar que, mesmo para um

computador atual, uma simulação do exemplo citado pode consumir algumas horas.

Outra desvantagem do cálculo no domínio da freqüência é que o mesmo não

permite incorporar diretamente fenômenos não lineares que podem estar presentes no

estudo de sistemas de aterramento, como por exemplo, a ionização do solo. Contudo,

a inclusão de tais fenômenos pode ser feita de forma indireta, conforme discutido na

seção 3.5.2 ou ainda por meio de rotinas que implementem um domínio híbrido

freqüência-tempo.

Os modelos baseados na teoria de linhas de transmissão assumem que a

propagação do campo eletromagnético guiado pelo eletrodo é ditada pelo modo TEM.

Mesmo em abordagens mais modernas em que os parâmetros são calculados por


53

equações que dependem do comprimento do eletrodo, o modo de propagação TEM é

implicitamente adotado, pois as equações de propagação, que são solucionadas, são

deduzidas para esse modo. Essa representação não é fisicamente consistente, tendo

em vista que o campo elétrico longitudinal não é desprezível em fenômenos de alta

freqüência. Deve-se destacar, ainda, que as configurações permitidas por essa

abordagem são limitadas a condutores horizontais não sendo adequada para

representação de hastes verticais e configurações genéricas. Pode-se dizer, portanto,

que o tratamento da propagação da descarga atmosférica por ondas trafegantes em

uma linha de transmissão distancia-se razoavelmente do fenômeno de propagação

real. Esse distanciamento é ainda maior quando o mesmo procedimento é adotado

para hastes verticais. Ademais, como a modelagem baseada na teoria de linhas é

geralmente realizada no domínio do tempo para o fenômeno específico investigado,

ela não permite a inclusão da variação dos parâmetros do solo com a freqüência. Isso

implica também que apenas uma freqüência representativa do espectro é considerada

para o cálculo dos parâmetros do modelo de linha de transmissão.

Em geral, a principal vantagem do emprego de metodologias baseadas na

teoria de linhas de transmissão no domínio do tempo em relação ao emprego de

metodologias baseadas na teoria de campo no domínio da freqüência é que aquelas,

normalmente, demandam menor tempo computacional para os cálculos. Outra

vantagem importante é que o desenvolvimento no domínio do tempo permite a

inclusão direta de modelos que contemplam os efeitos não lineares. Em alguns casos,

a opção por esses modelos pode ainda estar relacionada com a maior facilidade de

integração com softwares da série EMTP ou similares.

As metodologias baseadas na teoria de circuitos a parâmetros concentrados

modelam os componentes de sistemas de aterramentos por associações simples de

elementos RLC. Este tipo de modelagem pode ser desenvolvida no domínio da

freqüência ou ainda utilizando programas computacionais que operem no domínio do

tempo como softwares da série EMTP ou similares. Os modelos oriundos desta

abordagem em geral não incluem de forma adequada o acoplamento entre os

componentes do aterramento além de desconsiderar os efeitos de propagação. Esta

última aproximação particularmente limita a aplicabilidade desta metodologia a

freqüências da ordem de poucos kHz.

Resta agora responder a importante pergunta que dá título a esta seção: qual

tipo de modelagem adotar? A resposta a essa questão deve levar em conta dois

aspectos principais: o conhecimento adquirido por meio da revisão da literatura

apresentada e, ainda, a contemplação das características desejáveis de um modelo.


54

Em relação ao primeiro aspecto deve-se salientar que o modelo a ser proposto

é fruto da evolução do tema desde o início da década de 30. Uma análise dos erros e

acertos, que resultaram em grandes contribuições dos pesquisadores ao longo dos

anos, é de fundamental importância para formulação de um modelo fiel à realidade e

desprovido de simplificações inconsistentes. Como disse certa vez o gênio Isaac

Newton, “para enxergar mais longe é preciso se apoiar no ombro de gigantes”.

O segundo aspecto está relacionado com a precisão, simplicidade e

adequação do modelo. Na medida do possível deve-se buscar uma harmonia entre as

duas primeiras características citadas com vistas à obtenção de um modelo adequado.

Devido a carência de resultados experimentais para verificação das diferentes

abordagens entende-se que o melhor caminho é adotar aquela que se baseia na

descrição física mais apurada do fenômeno investigado. Portanto, a teoria de campo

será adotada para formulação do modelo. Além disso, é objetivo deste trabalho

modelar sistemas de aterramentos inseridos em solos típicos. Assim, os

desenvolvimentos e cálculos são realizados diretamente no domínio da freqüência,

que permite a inclusão da variação dos parâmetros eletromagnéticos do meio com a

freqüência. As eventuais simplificações adotadas são definidas no Capítulo 4. Elas

têm o objetivo principal de reduzir o tempo computacional e evitar uma elevada

complexidade do modelo, que pode ser desnecessária. Os erros associados devem

ser explicitados e, conforme destacado na seção 3.4, o modelo atualizado de forma a

reduzi-los, por meio de melhorias e refinamentos.

3.6 – Conclusões

A visão crítica e análises apresentadas nesse capítulo não têm por objetivo

desqualificar os trabalhos citados. Na verdade, é anseio dos pesquisadores envolvidos

no desenvolvimento dessa dissertação de mestrado incitar uma discussão acerca do

domínio de aplicabilidade dos diversos modelos disponíveis na literatura para

investigação da resposta de aterramento frente às descargas atmosféricas. É

consenso entre os diversos pesquisadores que os efeitos das descargas atmosféricas

são devastadores para os componentes do sistema elétrico. Nesse sentido, entende-

se que, ao propor um modelo para analisar o comportamento transitório do sistema, o

mínimo de simplificações deve ser adotado. Não se deve insistir em adotar

metodologias simplórias para investigação de um fenômeno tão sério e devastador.

Porém, a necessidade de respostas rápidas para solução de alguns problemas deve


55

ser levada em conta. Isso ocorre principalmente no atual mercado de empresas de

consultoria em engenharia elétrica. Nesses casos, modelos mais simplificados podem

ser adotados para análises qualitativas. O que não se pode confundir é a definição de

modelos de engenharia com aqueles que oferecem respostas rápidas. Um modelo de

engenharia deve oferecer, além de rapidez, respostas precisas e consistentes com a

realidade física. Cabe aqui lembrar mais uma vez a importância do conhecimento dos

conceitos básicos e leis da física relacionadas ao fenômeno investigado. Vale

ressaltar, ainda, a importância desempenhada pelo trabalho de pesquisa,

principalmente aquele realizado em parceria com empresas de engenharia aplicada.

Espera-se apresentar, com base nas reflexões deste capítulo, um modelo que

represente de forma consistente o comportamento transitório do aterramento.

Obviamente simplificações serão assumidas; elas são inerentes ao conceito de

modelo. No entanto, essas simplificações serão adotadas de forma que o fenômeno

representado não seja distorcido. Espera-se, ainda, que esse trabalho gere muitas

publicações e que elas sejam apreciadas e criticadas por diversos outros

pesquisadores, assim como alguns trabalhos foram aqui criticados. Essas críticas com

certeza serão fundamentais para o desenvolvimento de modelos cada vez mais

precisos e, quem sabe, para a mudança na visão do que deve ser um verdadeiro

modelo de engenharia.

CAPÍTULO 4 – MODELAGEM DE

ATERRAMENTOS ELÉTRICOS PARA

FENÔMENOS TRANSITÓRIOS


No presente capítulo é apresentado um modelo matemático para avaliação da

resposta transitória de sistemas de aterramento. Levando-se em consideração o

escopo desta dissertação, o conteúdo que será aqui abordado possui particular

importância. Neste sentido, o autor convida os leitores a fazerem um balanço do que

foi desenvolvido até o momento.

No Capítulo 1 foi apresentada uma contextualização do tema investigado e

destacados os objetivos principais desta dissertação, dentre eles, a avaliação do

comportamento transitório de sistemas de aterramento. No Capítulo 2 foram

apresentados os conceitos considerados mais relevantes para compreensão da

resposta de aterramentos elétricos a correntes impulsivas de altas freqüências e

destacadas as variáveis e fenômenos que influenciam seu comportamento. No

Capítulo 3 foram analisadas algumas metodologias presentes na literatura técnica

(nacional e internacional) de modelagem de aterramento e dos fenômenos associados

ao seu comportamento com o objetivo de estimar sua resposta transitória. Restam

ainda alguns pontos importantes a serem desenvolvidos nesta dissertação, dentre

eles, um dos principais objetivos do trabalho: a avaliação do comportamento de

sistemas de aterramentos frente à injeção de correntes advindas da incidência de

descargas atmosféricas. Como avaliar tal comportamento? A resposta a essa

pergunta, levando-se em consideração as importantes reflexões técnicas e filosóficas

oriundas dos capítulos anteriores, é o objetivo principal deste capítulo.

O modelo a ser descrito contempla os aspectos destacados como

fundamentais ao longo e, principalmente, ao final do Capítulo 3. Assim, o modelo é

baseado na solução das equações de campo no domínio da freqüência e procura

estabelecer uma harmonia entre precisão e simplicidade, atendendo ao conceito de

características desejáveis. Alguns aspectos do modelo em questão correspondem à

tese de doutorado desenvolvida por S. Visacro [70]. Todavia, determinados pontos não

abordados no trabalho deste autor são inseridos nesta dissertação como, por exemplo,

Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios 57

a inclusão do método das imagens modificado e solução do modelo por meio da

aplicação do Método dos Momentos. Devido à generalidade da metodologia

apresentada por Visacro, ela foi posteriormente ampliada para consideração dos

acoplamentos entre elementos no ar e no solo e, em seguida, aplicada para avaliação

do desempenho de linhas de transmissão frente a descargas atmosféricas e dos

efeitos de contaminação das ondas de corrente de descargas atmosféricas medidas

em torres instrumentadas [14], [72]. Os aspectos básicos da modelagem proposta são

apresentados na seção 4.3 deste capítulo. Antes, na seção 4.2, são apresentadas as

equações fundamentais que regem o modelo desenvolvido, as equações de Maxwell.

Adicionalmente, ao fim do capítulo são destacados alguns detalhes adicionais

importantes concernentes ao modelo.

4.2 – Equações de Maxwell e a essência do Eletromag netismo

Entre os anos de 1856 e 1864, James Clerk Maxwell apresentou três artigos

essenciais para fundamentação e formulação da teoria eletromagnética como é hoje

conhecida [87]-[92]. Neles, Maxwell analisou e sintetizou as contribuições relativas ao

eletromagnetismo dadas por H. C. Oersted, J. C. F. Gauss, A. M. Ampère, M. Faraday,

J. Henry, J. Biot, F. Savart e outros incluindo ele próprio, quem introduziu o conceito

essencial de corrente de deslocamento. Nos dois primeiros artigos (Sobre as linhas de

força de Faraday de 1856 e Sobre linhas de forças físicas de 1862), Maxwell analisa e

escreve sob a forma diferencial as leis de Ampère e Faraday, deduz a equação da

continuidade para circuitos fechados e chega ao conceito de corrente de

deslocamento que é incluída na lei de Ampère [90], [91]. No terceiro artigo, Uma teoria

dinâmica do campo eletromagnético (1864), todas as equações deduzidas nos artigos

anteriores são colocadas juntas e o termo campo eletromagnético é introduzido [92].

Maxwell define o campo eletromagnético como aquela parte do espaço que contém e

envolve corpos em condições elétricas e magnéticas. Neste artigo, Maxwell apresenta

também seus resultados em vinte equações para as variáveis que ele denomina de

momento eletromagnético, intensidade magnética, força eletromotriz, corrente

verdadeira, corrente de deslocamento, corrente total e finalmente duas quantidades

escalares, eletricidade livre (carga elétrica) e potencial elétrico. Em seu trabalho

original escreveu todas as suas equações como somas de derivadas e usou letras

diferentes para cada um dos três componentes de um vetor. Escreveu uma equação


para cada componente. A Tabela 4.1 ilustra os termos utilizados originalmente por

Maxwell e os termos correspondentes em notação moderna.

Tabela 4.1 – Conjunto de vinte variáveis utilizadas por Maxwell em seu trabalho Uma teoria

dinâmica do campo eletromagnético [87], [89], [92].

Variáveis utilizadas por Maxwell

(equivalente moderno)

Símbolos utilizados por Maxwell

(equivalente moderno)

Momento eletromagnético

(Potencial vetor magnético)

, ,F G H

( Ar

)

Intensidade magnética

(Intensidade de campo magnético)

, ,α β γ

( Hr

)

Força eletromotriz

(Intensidade de campo elétrico)

, ,P Q R

( Er

)

Corrente verdadeira

(Densidade de corrente de condução)

, ,p q r

( Jr

)

Deslocamento Elétrico

(Densidade de fluxo elétrico)

, ,f g h

( Dr

)

Corrente total

(Densidade de corrente de condução e

de deslocamento)

( ) ( ) ( )1 , ,, , , ,

d f g hp q r p q r

dt= +

( TJr

)

Eletricidade livre

(Densidade volumétrica de carga)

e

( vρ )

Potencial elétrico

(Potencial escalar elétrico)

ϕ

(ϕ ou V )

Depois de apresentar todas as equações e as relações entre elas, Maxwell

parte para investigar se as propriedades que constituem o campo eletromagnético são

suficientes para explicar a propagação da luz através da substância etérea ainda em

uso na época. Chega às equações de onda para os três componentes do campo

magnético, com a velocidade das vibrações transversas comparável à velocidade da

luz no vácuo. Conclui: “O acordo dos resultados parece mostrar que a luz e o

magnetismo são efeitos da mesma substância, e que a luz é um distúrbio

eletromagnético propagando através do campo de acordo com leis eletromagnéticas”

[89].


Uma síntese coerente da eletricidade, magnetismo e óptica foi finalmente

apresentado por Maxwell em 1873 em seu livro (em dois volumes), Um tratado sobre

eletricidade e magnetismo em que desenvolveu a interpretação dinâmica do

eletromagnetismo [93].

Maxwell faleceu em 1879. Nos anos seguintes, sua teoria foi desenvolvida por

vários pesquisadores. R. H. Hertz conduziu uma série de experiências fundamentais

onde se propôs detectar ondas eletromagnéticas, além da luz, e medir suas

velocidades. Ele produziu essas ondas usando dois fios ligados a uma bobina de arco

metálico, cujas extremidades ficavam próximas uma da outra, e por onde faíscas

podiam ser observadas (devido à corrente induzida no arco). Por meio desses

experimentos, Hertz não só produziu ondas eletromagnéticas, mas demonstrou que

elas tinham as propriedades de reflexão, refração e interferência. Em 1889 apresentou

uma análise teórica das ondas emitidas por um radiador relacionando-as com suas

fontes.

Em 1894 o físico britânico O. J. Lodge foi o primeiro a fazer uso das ondas

hertzianas (como eram chamadas) para telegrafia sem fio, porém não pensou que o

fenômeno pudesse ter utilidades práticas. Esse feito coube ao célebre engenheiro N.

Tesla que, em 1896, fez a primeira comunicação sem fio entre dois pontos distantes

na cidade de Nova York e, posteriormente, ao engenheiro italiano G. Marconi que, em

1901, fez a primeira comunicação transatlântica [89].

Oliver Heaviside também possui um papel importante na divulgação das idéias

de Maxwell [94]. Ele analisou em detalhes as conseqüências da teoria de Maxwell e

estudou vários tipos de ondas eletromagnéticas. Em um artigo publicado em 1884

usou relações de simetria entre forças elétricas e magnéticas na formulação das

equações do eletromagnetismo. Em seu livro Teoria Eletromagnética publicado em

1893 usou pela primeira vez a notação vetorial escrevendo rot e div em negrito [94].

Essa notação seria amplamente adotada desde então e as vinte equações originais

escritas por Maxwell foram reduzidas às seguintes quatro equações para meios

homogêneos, lineares e isotrópicos, no domínio do tempo [42]-[45]:

vEρε

∇ • =r r

, (4.1)

BE

t

∂∇ × = −∂

rr r

, (4.2)

0B∇ • =r r

, (4.3)


EB J

tµ εµ ∂∇ × = +

∂

rr r r

. (4.4)

Em algumas representações, as equações (4.1)-(4.4) são escritas utilizando as

relações constitutivas da matéria, ou seja [42]-[45]:

D Eε=r r

, (4.5)

B Hµ=r r

, (4.6)

J Eσ=r r

. (4.7)

Os campos podem ainda ser escritos em termos de dois potenciais, potencial

escalar elétrico (V ) e potencial vetor magnético (rA ). As relações entre os campos

eletromagnéticos e tais potenciais são dadas por [42]-[45]:

B A= ∇×rr r

, (4.8)

AE V

t

∂= −∇ −∂

rr r

. (4.9)

As equações de Maxwell (4.1)-(4.4) sintetizam todo o conhecimento relativo à

teoria de campos eletromagnéticos e constitui-se a base da engenharia elétrica. Tais

equações despertam tanta admiração, que certa vez ao se ver envolvido pela rara

beleza das equações de Maxwell o físico Boltzmann, citando as palavras do Fausto de

Goethe, perguntou: “Terá sido um Deus quem escreveu tais símbolos?”.

Como obter um modelo para avaliação do comportamento eletromagnético de

sistemas de aterramento a partir das equações de Maxwell? A resposta a essa

importante questão é apresentada de forma detalhada na seção que se segue.

4.3 – Modelo matemático

Deseja-se obter, a partir das equações de Maxwell, um modelo matemático

para avaliação da resposta transitória de sistemas de aterramentos elétricos. O

sistema a ser modelado, ilustrado na Fig. 4.1, é constituído por uma malha de

aterramento genérica imersa em um solo real de características eletromagnéticas

condutividade elétrica σs, permissividade elétrica εs e permeabilidade magnética µs.


Acima do solo e separado por uma interface horizontal está o meio ar com

características eletromagnéticas condutividade elétrica σa, permissividade elétrica εa e

permeabilidade magnética µa. Considera-se que a condutividade elétrica da malha de

aterramento é muito superior à do solo. Ao ser solicitado por uma onda de corrente i(t),

uma descarga atmosférica, por exemplo, é de fundamental importância o

conhecimento do comportamento transitório do sistema de aterramento. Esse

comportamento transitório pode ser previsto de forma confiável por meio da obtenção

de um modelo que seja fisicamente consistente. Uma descrição de tal modelo é

apresentada a seguir.

Figura 4.1 – Sistema físico sob estudo.

4.3.1 – Condutores imersos em um meio infinito

Para fins de aplicação na avaliação do desempenho de sistemas de

aterramento, interessa desenvolver uma formulação aplicável a configurações

genéricas de eletrodos, que seja eficiente do ponto de vista computacional e

consistente com a física do problema. O modelo a ser apresentado é utilizado,

principalmente, para o estudo do comportamento eletromagnético de sistemas de

aterramento constituídos de condutores cilíndricos, que corresponde às aplicações

práticas de interesse. Tendo em vista tais considerações, é apresentada uma forma

compacta de representação do aterramento, baseada em simplificações consistentes,

que mantenham as informações físicas essenciais do fenômeno investigado. Nesta

abordagem, o comportamento global do aterramento é obtido a partir da superposição

dos efeitos transversais e longitudinais para uma geometria cilíndrica correspondente

aos eletrodos [70].

Cada eletrodo é considerado fonte de uma densidade de corrente transversal

IT / L (sendo L o comprimento do eletrodo) que dispersa do condutor em direção ao

solo e de uma corrente longitudinal IL que circula ao longo do eletrodo, conforme ilustra


a Fig. 4.2 [14], [70], [72]. Assume-se que ambas as fontes possuem variações

harmônicas no tempo. Essas duas fontes de corrente são necessárias e suficientes

para que o sistema sob estudo atenda as condições físicas impostas por todas as

equações de Maxwell. A fonte de corrente transversal, devido ao fato de possuir

natureza divergente, apresenta efeito elétrico, mas não magnético, conforme as

equações (4.1) e (4.3). A cada fonte de corrente transversal está associado um campo

elétrico de natureza conservativa. Este campo gera elevação de potencial em relação

ao infinito em pontos genéricos no meio em que o eletrodo se encontra inserido,

inclusive nos demais eletrodos. Por outro lado, a fonte de corrente longitudinal, devido

ao fato de possuir natureza solenoidal, apresenta efeito eletromagnético, conforme as

equações (4.2) e (4.4). A cada fonte de corrente longitudinal está associado um campo

magnético, que por sua vez, gera um campo elétrico de natureza não-conservativa. O

efeito deste campo elétrico de natureza solenoidal se traduz na força eletromotriz

induzida em outros eletrodos e nele próprio. Pode-se afirmar, portanto, que as duas

fontes de corrente descritas são particularmente adequadas para a formulação e

solução dos campos eletromagnéticos oriundos de sistemas de eletrodos energizados.

A dedução desses campos, associados a cada fonte de corrente, é apresentada a

seguir.

Figura 4.2 – Fontes de corrente em cada eletrodo.

Seja um meio linear, homogêneo e isotrópico, caracterizado por uma constante

de propagação γ , para grandezas com variação harmônica no tempo de freqüência

angular ω , sendo

( )j j jγ ωµ σ ωε α β= + = + , (4.10)


onde µ , σ e ε são a permeabilidade magnética, a condutividade elétrica e a

permissividade elétrica do meio, respectivamente, e α e β correspondem à

constante de atenuação e à constante de defasamento, respectivamente.

Considere-se uma densidade de carga volumétrica vp distribuída dentro de

uma esfera inserida neste meio e variando harmonicamente no tempo. Se o raio dessa

esfera tender a zero, a distribuição de carga vp tende a uma carga pontual Q com

pulsação harmônica no tempo, ou seja [95], [96]:

Q j tQ e ω= . (4.11)

Sendo r a distância entre um ponto genérico no meio e o centro da esfera e rar

o

vetor unitário na direção radial, o potencial escalar V e o vetor campo elétrico VEr

associados à carga Q , são dados por:

( )V 2

1 QV

41 Q

E V 14

r

rr

er

r e ar

γ

γ

πε

γπε

−

−

= = −∇ = +

r r r. (4.12)

Considere-se agora uma corrente elétrica TI fluindo para fora da esfera

considerada. A relação entre a corrente TI , incluídas a corrente de condução e a

corrente de deslocamento, e a carga Q é dada por:

TQ Ij

εσ ωε

=+

, (4.13)

sendo

TIj t

TI e ω= . (4.14)

A partir das equações (4.13) e (4.14), (4.12) pode ser reescrita como


( )

( ) ( )

T

TV 2

I1V

4

I1E V 1

4

r

rr

ej r

r e aj r

γ

γ

π σ ωε

γπ σ ωε

−

−

= + = −∇ = + +

r r r. (4.15)

As equações (4.12) e (4.15) foram deduzidas considerando-se uma distribuição

de carga e uma fonte de corrente transversal pontuais. Seja agora um eletrodo

cilíndrico genérico de comprimento jL , designado por eletrodo emissor (índice j),

conforme ilustra a Fig. 4.3, do qual dispersa uma corrente total TjI . Assumindo-se que

o comprimento jL é suficientemente pequeno, por razões que se tornarão claras

adiante no texto, pode-se considerar a corrente total TjI distribuída uniformemente ao

longo do eletrodo e o efeito transversal deste pode ser representado como uma soma

finita de fontes de corrente transversal pontuais. Dessa maneira, a partir das Equações

(4.15), o potencial escalar médio no ponto P , gerado pela corrente transversal total

TjI injetada no meio por todo o comprimento do eletrodo é dado por [14], [72]:

( )j

Tj

jL

I1V

4 L

r

j

edl

j r

γ

π σ ωε

−

=+ ∫ . (4.16)

Figura 4.3 – Eletrodo emissor (j) e distâncias ao ponto P.


Suponha-se agora que o ponto P está sobre a superfície de outro eletrodo,

designado por eletrodo receptor (índice i), de comprimento iL , conforme ilustra a Fig.

4.4. Nesta condição, o potencial escalar médio ao longo do eletrodo receptor, devido à

densidade de corrente linear que deixa o eletrodo emissor é dado por [14], [72]:

( )

i

i j

iji L

ij Tjj i L L

1V = V

L

1V I

4 L L

i

r

j i

dl

edl dl

j r

γ

π σ ωε

−

= +

∫

∫ ∫

. (4.17)

Figura 4.4 – Eletrodo emissor (j) e distâncias ao eletrodo receptor (i).

Um procedimento similar pode ser adotado para obtenção dos campos e

potenciais associados à fonte de corrente longitudinal. Considere uma corrente

longitudinal filamentar LjI fluindo ao longo do eletrodo emissor ilustrado na Fig. 4.3. O

potencial vetor Ar

e o vetor campo elétrico AEr

no ponto P devido a essa corrente são

dados por [45]:


j

j

Lj

L

A Lj

L

A I4

E A I4

r

j

r

j

edl

r

ej j dl

r

γ

γ

µπ

µω ωπ

−

−

=

= − = −

∫

∫

rr

rrr, (4.18)

sendo

LjI j tLjI e ω= . (4.19)

Suponha-se agora que o ponto P está sobre a superfície de outro eletrodo,

designado por eletrodo receptor, de comprimento iL , conforme ilustra a Fig. 4.4.

Nesta condição, a força eletromotriz induzida no eletrodo receptor, devida à corrente

longitudinal LjI ao longo do eletrodo emissor, é dada por [14], [72]:

i

i j

ij A

L

ij Lj

L L

V E

V I4

i

r

j i

dl

ej dl dl

r

γµωπ

−

∆ = ⋅∆ = − ⋅

∫

∫ ∫

rr

r r . (4.20)

As equações integrais (4.17) e (4.20) definem o modelo matemático. A partir da

determinação das distribuições de corrente TjI e LjI as demais grandezas de

interesse podem ser calculadas. Definido o modelo matemático deve-se proceder à

solução do mesmo por meio da aplicação de uma técnica adequada. A escolha desta

técnica é crítica para o desenvolvimento do modelo, posto que ela deve manter um

compromisso entre precisão, complexidade do código computacional resultante e

tempo de processamento. Os detalhes concernentes à solução do modelo são

apresentados na seção seguinte. Antes, porém, julga-se oportuno alguns comentários

com relação ao modelo apresentado.

As equações (4.17) e (4.20) são essenciais para interpretação do modelo e

quantificam uma informação física fundamental para o fenômeno investigado: a

interação eletromagnética entre os diversos eletrodos. As equações (4.17) podem ser

interpretadas fisicamente como a interação eletromagnética entre dois eletrodos

quaisquer devido às fontes transversais, onde ijV é a elevação de potencial médio em

relação ao infinito no eletrodo receptor devido ao campo elétrico divergente associado


à corrente transversal TjI

no eletrodo emissor. As equações (4.20) podem ser

interpretadas fisicamente como a interação eletromagnética entre dois eletrodos

quaisquer devido às fontes longitudinais, onde ijV∆ é a força eletromotriz induzida no

eletrodo receptor devido ao campo elétrico solenoidal associado à corrente longitudinal

LjI no eletrodo emissor. A completa avaliação do comportamento de cada eletrodo

deve contemplar os efeitos físicos característicos de ambas as fontes, transversal e

longitudinal.

De acordo com as Equações (4.15) e (4.18) o vetor campo elétrico total Er

no

ponto P é dado por:

V AE E E= +r r r

, (4.21)

onde a parcela VEr

está associada à natureza divergente do campo elétrico e a

parcela AEr

está associada à natureza solenoidal do campo elétrico.

Da mesma forma, a tensão entre dois pontos genéricos a e b , abV , é dada

por:

( )ab a b AV E dl V V E dlb b

a a

= ⋅ = − + ⋅∫ ∫r rr r

, (4.22)

sendo dlr

o vetor diferencial de comprimento na direção do caminho de integração

entre os pontos a e b ; aV e bV os potenciais nos pontos a e b , respectivamente,

devidos somente ao campo elétrico VEr

, ou seja, independentes do caminho de

integração; AE dlb

a

⋅∫rr

a parcela da tensão devida ao campo elétrico AEr

, que depende

do caminho de integração.

É importante ainda salientar a relação entre a corrente longitudinal IL e a

corrente transversal total IT em cada eletrodo. Em princípio, considerando-se que

ambas as fontes de corrente são função da posição ao longo do eletrodo, a relação

mais geral entre elas seria:


( )( ) ( )

L L

T L

I I

I I

l

l d l

L dl

=

=

. (4.23)

As equações (4.23) expressam fisicamente o princípio da conservação da

carga, ou seja, a variação da corrente longitudinal ao longo do eletrodo corresponde

exatamente à corrente que foi dispersa para o meio em que o eletrodo se encontra

inserido.

4.3.2 – Solução do modelo matemático

Conforme destacado na seção anterior, a partir da determinação das

distribuições de corrente TjI e LjI outras grandezas de interesse podem ser

calculadas. Portanto, o problema consiste em solucionar as equações integrais (4.17)

e (4.20). Um método adequado para obtenção da solução de tais equações é o

Método dos Momentos (MoM) [42], [56]. A aplicação do MoM permite a redução de

uma equação integral a um sistema de equações lineares cuja solução pode ser obtida

por meio de algoritmos numéricos de inversão de matrizes [56].

O procedimento inicial consiste em discretizar o sistema sob estudo,

constituído de eletrodos cilíndricos, em N elementos uniformes cada um de

comprimento eL

N=l , sendo eL o comprimento do eletrodo. A razão entre o

comprimento e o raio de cada elemento é muito maior que a unidade, o que permite a

aproximação por correntes filamentares. Além disso, o comprimento de cada elemento

é suficientemente pequeno de forma que a corrente total que dispersa do mesmo pode

ser considerada distribuída uniformemente ao longo de l . Essas considerações são

fundamentais e importantes no auxílio da escolha de funções base adequadas para

representação das distribuições de corrente desconhecidas ( )TjI l e ( )LjI l . Tal

escolha deve ser condizente com a variável física investigada, além de minimizar,

sempre que possível, o esforço computacional de implementação.

A corrente transversal total pode ser representada por uma combinação linear

de N funções base ( )TnP l . Em geral, a corrente ( )TjI l em qualquer ponto ao longo do

eletrodo é dada por [42], [56]:


( ) ( )N

Tj1

I Tn Tnn

c P=

=∑l l , (4.24)

onde Tnc são coeficientes desconhecidos e a função base ( )TnP l é definida como [42],

[56]:

( )( )

( )0 L 1

1 1 L

0 LTn

n

P n n

n

< −

= − ≤ ≤ >

l

l l l

l

. (4.25)

Mas, de acordo com as equações (4.24) e (4.25), o coeficiente Tnc corresponde

à corrente transversal TnI do elemento n , ou seja,

( )( )

( )0 L 1

1 L

0 LTn Tn

n

c I n n

n

< −

= − ≤ ≤ >

l

l l l

l

. (4.26)

A partir das equações (4.24)-(4.26), a segunda das equações (4.17) pode ser

reescrita, para um elemento qualquer, como

( ) ( )i j

N

ij1j i

1V

4

r

Tn Tn j in

eI P dl dl

j r

γ

π σ ωε

−

=

= + ∑∫ ∫

l l

ll l

. (4.27)

Partindo da premissa de que a integral (4.27) não apresenta pontos de

singularidade, a integração e a somatória podem ser permutados, então

( ) ( )i j

N

ij1j i

1V

4

r

Tn Tn j in

eI P dl dl

j r

γ

π σ ωε

−

=

=+ ∑ ∫ ∫

l l

ll l

. (4.28)

Para determinação dos N coeficientes desconhecidos Tnc em (4.24), ou, em

outras palavras, para determinação da corrente transversal TnI em cada elemento são

necessárias N equações linearmente independentes. Para um determinado n e

fazendo-se j n= , a equação (4.28) fornece a elevação de potencial médio em relação

ao infinito no elemento i devida à corrente transversal que deixa o elemento n . Agora,


fixando-se o índice i na equação (4.28) e variando o índice n de 1 até N e fazendo

j n= , têm-se a elevação de potencial médio no elemento i devida às contribuições de

todos os elementos, ou seja:

( ) ( ) ( ) ( )i 1 i 2

i 1 1 1 2 2 21 2

1 1V

4 4

r r

T T i T T ii i

e eI P dl dl I P dl dl

j r j r

γ γ

π σ ωε π σ ωε

− −

= + ++ +∫ ∫ ∫ ∫

l l l l

l ll l l l

( ) ( )i N

N N NN

1...

4

r

T T ii

eI P dl dl

j r

γ

π σ ωε

−

+ ++ ∫ ∫

l l

ll l

. (4.29)

Mas, variando-se o índice i de 1 até N obtêm-se N equações linearmente

independentes cada uma interpretada como o potencial médio em cada elemento,

assim

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 N

N 1 N N

1 1 1 1 1 N N N 11 1 N 1

N 1 1 1 N N N N N1 N N N

1 1V ...

4 4

.

.

.

1 1V ...

4 4

r r

T T T T

r r

T T T T


j r j r


j r j r

γ γ

γ γ



− −

− −

= + ++ +

= + ++ +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

l l l l

l l l l

l ll l l l

l ll l l l

. (4.30)

As N equações (4.30) podem ser reescritas na forma matricial

T TV Z I= , (4.31)

onde V corresponde ao vetor elevação de potencial médio em relação ao infinito em

cada elemento, TI ao vetor de corrente transversal em cada elemento e TZ é definida

como matriz de impedância transversal. A dimensão dos vetores V e TI é N x 1 e da

matriz TZ é N x N, em que N é o número total de elementos.

Os termos na matriz de impedância transversal TZ são dados por:

( ) ( )i j

Tijj i

1z

4

r

Tn j i

eP dl dl

j r

γ

π σ ωε

−

=+ ∫ ∫

l l

ll l

. (4.32)

Os termos Tijz correspondem à impedância transversal entre dois elementos,

sendo um deles denominado elemento emissor de corrente (j) e outro receptor (i). Este


conceito está associado a uma impedância de circuito aberto, também conhecida

como impedância generalizada [56]. A impedância Tijz é igual ao potencial médio no

elemento receptor, devido à fonte de corrente transversal no elemento emissor,

dividido pela corrente transversal deste último. Ela representa a interação

eletromagnética entre os diversos elementos e traduz fisicamente os acoplamentos

elétricos (capacitivo e condutivo) próprio e mútuo entre eles. O valor de Tijz depende

apenas da geometria do aterramento e das características eletromagnéticas do meio.

A corrente longitudinal pode ser representada por uma combinação linear de N

funções base ( )LnP l . Em geral, a corrente ( )LjI l em qualquer ponto ao longo do

eletrodo é dada por

( ) ( )N

Lj1

I Ln Tnn

c P=

=∑l l , (4.33)

onde Lnc são coeficientes desconhecidos e a função base ( )LnP l é definida como

( )( )

( )0 L 1

1 1 L

0 LLn

n

P n n

n

< −

= − ≤ ≤ >

l

l l l

l

. (4.34)

Mas, de acordo com as equações (4.33) e (4.34), o coeficiente Lnc corresponde

à corrente longitudinal LnI do elemento n , ou seja,

( )( )

( )0 L 1

1 L

0 LLn Ln

n

c I n n

n

< −

= − ≤ ≤ >

l

l l l

l

. (4.35)

A partir das equações (4.33)-(4.35), a segunda das equações (4.20) pode ser

reescrita, para um elemento qualquer, como

( )i j

N

ij1

V4

γµωπ

−

=

∆ = − ⋅ ∑∫ ∫

l l

r rl

r

Ln Ln j in

ej I P dl dl

r. (4.36)


Partindo da premissa de que a integral (4.36) não apresenta pontos de

singularidade, a integração e a somatória podem ser permutados, então

( )i j

N

ij1

V4

r

Ln Ln j in

ej I P dl dl

r

γµωπ

−

=

∆ = − ⋅∑ ∫ ∫l l

r rl . (4.37)

Para determinação dos N coeficientes desconhecidos Lnc em (4.33), ou, em

outras palavras, para determinação da corrente longitudinal LnI em cada elemento são

necessárias N equações linearmente independentes. Para um determinado n e

fazendo-se j n= , a equação (4.37) fornece a queda de tensão induzida no elemento i

devida à corrente longitudinal ao longo elemento n . Agora, fixando-se o índice i na

equação (4.37) e variando o índice n de 1 até N e fazendo j n= , têm-se a queda de

tensão induzida no elemento i devida às contribuições de todos os elementos. Por

meio deste raciocínio, de maneira bastante similar ao procedimento adotado para a

fonte de corrente transversal, as quedas de tensão induzidas e correntes longitudinais

em cada elemento podem ser relacionadas de acordo com a seguinte equação

matricial:

L LV Z I∆ = , (4.38)

onde V∆ corresponde ao vetor de quedas de tensão em cada elemento, LI ao vetor

de corrente longitudinal em cada elemento e LZ é definida como matriz de impedância

longitudinal. A dimensão dos vetores V∆ e LI é N x 1 e da matriz LZ é N x N, em

que N é o número total de elementos.

Os termos na matriz de impedância longitudinal LZ são dados por

( )i j

Lijz4

r

Ln j i

ej P dl dl

r

γµωπ

−

= − ⋅∫ ∫l l

r rl . (4.39)

Os termos Lijz correspondem à impedância longitudinal entre dois elementos,

sendo um deles denominado elemento emissor de corrente (j) e outro receptor (i). A

impedância Lijz é igual à queda de tensão induzida no elemento receptor, devido à


fonte de corrente longitudinal no elemento emissor, dividida pela corrente longitudinal

deste último. Ela representa a interação eletromagnética entre os diversos elementos

e traduz fisicamente os acoplamentos magnéticos (resistivo e indutivo) próprio e mútuo

entre eles. O valor de Lijz depende apenas da geometria do aterramento e das

características eletromagnéticas do meio.

A Fig. 4.5 ilustra a distribuição de corrente ao longo do eletrodo de

aterramento, levando-se em consideração as distribuições de corrente propostas para

as fontes transversal e longitudinal. Pode afirmar que, para valores adequados de l ,

as distribuições de corrente propostas constituem uma boa aproximação da

distribuição de corrente real.

l

( )LjI l

( )LjI l

Figura 4.5 – Distribuição de corrente ao longo do eletrodo.

As equações (4.31) e (4.38) representam, respectivamente, os efeitos das

fontes de corrente transversal e longitudinal, de forma independente. Contudo, o

sistema físico a ser estudado é único e, portanto, não é independente. Logo, tais

equações devem ser acopladas para que possam expressar relações dependentes e,

assim, representar de forma consistente a resposta do sistema a solicitações diversas.

O acoplamento entre os dois sistemas matriciais é realizado por meio de alguns

passos, que são descritos sucintamente a seguir [14].

O primeiro passo corresponde à inversão das matrizes TZ e LZ e obtenção

das matrizes admitância transversal -1T TY Z= e admitância longitudinal -1

L LY Z= . A

partir dessas relações as equações (4.31) e (4.38) podem ser reescritas como:


T TI Y V= , (4.40)

L LI Y V= ∆ . (4.41)

O segundo passo corresponde a dois tipos de relacionamentos [10]:

i. O primeiro corresponde à relação entre o potencial médio de cada elemento,

dado pelos termos do vetor V, e os potenciais nodais do elemento

correspondente. Esta relação determina que o potencial médio do elemento é

expresso pela média aritmética dos potenciais nodais.

ii. O segundo corresponde à relação entre a queda de tensão em cada elemento,

dada pelos termos do vetor ∆V, e os potenciais nodais do elemento

correspondente. Esta relação determina que a queda de tensão no elemento é

expressa pela diferença entre os potenciais nodais.

A Fig. 4.6 ilustra essas duas relações.

Figura 4.6 – Relação entre queda de tensão (∆V ) e elevação de potencial médio ( V ) em

cada elemento com os potenciais nodais do elemento em questão (Vk e Vl).

A aplicação das duas relações descritas para cada elemento permite

reescrever as equações (4.40) e (4.41) da seguinte forma:

T TM NI Y V= , (4.42)

L LM NI Y V= , (4.43)

onde NV corresponde ao vetor de tensões nodais, ou seja, cada elemento do mesmo

expressa a tensão em cada nó de conexão entre dois ou mais elementos. Esse vetor

tem dimensão p x 1, onde p corresponde ao número total de nós. Observa-se que com

a transformação das equações (4.40) e (4.41) para as equações (4.42) e (4.43), as

matrizes TY e LY foram substituídas, respectivamente, pelas matrizes TMY e LMY


(denominadas matrizes modificadas), ambas de dimensão N x p. Tal substituição é

fruto da transformação dos vetores V e ∆V em um único vetor de tensões nodais NV

[14].

O terceiro passo corresponde ao estabelecimento de relações entre as

correntes transversal e longitudinal. A lei de Kirchhoff das correntes é forçada para

cada nó do sistema sob estudo, ou seja, a somatória das correntes que entram (ou

que deixam) um determinado nó é nula. Na aplicação de tais relações a corrente

transversal de cada elemento é dividida igualmente entre os nós extremos do

elemento em questão, conforme ilustra a Fig. 4.7. Por meio desse procedimento, são

estabelecidas relações entre as fontes de corrente transversal e longitudinal ao longo

de todo o eletrodo. Devido às aproximações com relação às funções base utilizadas e

à distribuição da corrente transversal em cada nó, a equação diferencial definida pelas

equações (4.23) é aproximada por uma equação de diferenças. O estabelecimento de

equações de diferença para as correntes em cada nó do sistema sob estudo permite

reduzir as equações (4.42) e (4.43) a uma única equação matricial que assume a

forma [14]:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

Ax=b

1

0

0

p N

p N

p p pp Np

a a a V

a a a V

a a a V

=

K

L

M M M M M M

K

, (4.44)

onde:

• A é a matriz resultante do relacionamento das correntes transversal e

longitudinal para cada nó do sistema sob estudo, de dimensão p X p. Em

termos mais gerais, essa matriz representa uma composição das matrizes

originais TZ e LZ , o que significa que seus termos dependem apenas da

geometria do aterramento e das características eletromagnéticas do meio.

• x é o vetor dos potenciais nodais NV , de dimensão p X 1.

• b é o vetor correspondente à injeção de correntes externas, de dimensão p X

1. Este vetor é resultado da aplicação da lei de Kirchhoff das correntes para

cada nó do sistema. Ele possui o valor “1” nos nós em que há injeção de

corrente externa e “0” nos demais nós. No caso da equação (4.44) considera-

se injeção de corrente apenas em um nó.


Figura 4.7 – Concentração da corrente transversal nos nós do elemento.

A partir da solução da equação matricial (4.44) e obtenção do vetor NV é

possível computar as correntes transversal e longitudinal em cada elemento, a partir

das equações (4.42) e (4.43), respectivamente, o que permite a determinação das

distribuições de corrente transversal e longitudinal, a partir das equações (4.24) e

(4.33), respectivamente. Obtidas as distribuições de corrente, pode-se calcular outras

variáveis importantes e de interesse na análise de sistemas de aterramentos como

impedância de aterramento, potenciais ao longo da malha de aterramento, tensões

induzidas e campos eletromagnéticos no meio em que a malha se encontra inserida.

4.3.3 – Aspectos adicionais

A. Transformada tempo X freqüência

No modelo descrito o problema transitório é solucionado no domínio da

freqüência. Assim, define-se o sinal de corrente, no domínio do tempo, a ser injetado

no sistema. Este sinal pode ser, por exemplo, uma onda de corrente representativa de

uma descarga atmosférica. A partir da aplicação de uma transformada direta de

Fourier pode-se levantar o espectro de freqüência do sinal em questão e determinar o

conjunto de freqüências de interesse. Para cada uma dessas freqüências o

procedimento exposto na sub-seção 4.3.2 é aplicado. A partir da resposta em

freqüência, a função de transferência ( )H jω do sistema é obtida. Deve-se salientar

que tal função de transferência é dependente apenas da geometria e características

eletromagnéticas do aterramento e do meio em que está inserido. A partir da

multiplicação, no domínio da freqüência, da função de transferência pela onda

injetada, obtêm-se a resposta do sistema à onda injetada no domínio da freqüência.

Finalmente, aplicando-se uma transformada de Fourier inversa é possível determinar a

resposta do sistema frente à onda de corrente injetada no domínio do tempo.


Dessa forma, se ( )i t representa a onda de corrente injetada no sistema de

aterramento e ( )x t representa a resposta do sistema a essa onda injetada, então

( ) ( ) ( ) -1x t F H jω F i t= ⋅ , (4.45)

onde F e -1F são a transformada direta e inversa de Fourier, respectivamente, ω é a

freqüência angular do sinal injetado.

B. Dependência dos parâmetros do solo em relação à freqüência

Os valores da condutividade e permissividade elétrica do solo variam com a

freqüência. Assim, para fenômenos transitórios rápidos, nomeadamente aqueles

relacionados com a incidência de descargas atmosféricas, é importante a inclusão da

variação dos parâmetros eletromagnéticos do solo ao longo do espectro de interesse

(0 a 1 MHz). Estudos de ordem experimental tentam quantificar, por meio de

expressões aproximadas, a dependência desses parâmetros com a freqüência,

conforme destacado no Capítulo 2. Neste trabalho, a variação da condutividade e da

permissividade do solo em função da freqüência é considerada, salvo indicado o

contrário, segundo o trabalho de Portela [19]. A escolha dessa formulação relaciona-se

ao fato dela se basear em técnicas de medição mais precisas e em um tratamento

mais rigoroso dos dados medidos. Os valores de condutividade e permissividade

elétrica para as freqüências de interesse são determinados a partir da equação (2.4),

apresentada na seção 2.2.5. Neste cálculo, os parâmetros α e ∆i são adotados de

forma a se obter valores medianos e são dados pela equação (2.5).

C. Composição da corrente no meio

A corrente elétrica que eventualmente flui no solo é constituída por duas

parcelas: a corrente de condução e a de deslocamento. A consideração de ambas é

de fundamental importância, uma vez que, dependendo da faixa de freqüência

considerada e da resistividade do solo, a relação entre tais correntes pode alcançar o

valor unitário. No modelo apresentado ambas as parcelas são computadas.

D. Efeitos não-lineares

A dispersão de altas intensidades de corrente do eletrodo corresponde ao

estabelecimento de campos elétricos intensos na região próxima ao mesmo. Tais


campos podem causar a ionização do solo, que corresponde a um fenômeno não-

linear. A inclusão desse efeito pode ser realizada de forma indireta, dentro de certa

ordem de aproximação, mediante um aumento equivalente no raio do eletrodo de

aterramento. Uma metodologia adequada para tal fim foi apresentada por Cidrás e

outros e descrita na sub-seção 3.5.2 do Capítulo 3 [79].

E. Consideração do meio semi-infinito

Como comentário final desta sub-seção, deve-se salientar que o cálculo dos

termos das matrizes de impedância transversal e longitudinal, conforme apresentados

na sub-seção 4.3.2, são válidos para um meio infinito. Contudo, no caso de sistema de

aterramentos, os eletrodos estão inseridos em um meio que pode ser considerado

como semi-infinito e não infinito. A inclusão do efeito da interface solo-ar é realizada

de forma distinta para as fontes de corrente transversal e longitudinal.

No cálculo dos termos da matriz de impedância transversal são somadas as

parcelas associadas à imagem de cada elemento emissor, multiplicada por um fator

que depende das características eletromagnéticas do meio. Este método é conhecido

na literatura como método das imagens modificado e pode ser aplicado para avaliação

do efeito da interface solo-ar na propagação dos campos eletromagnéticos associados

à fonte de corrente transversal [14], [78]. A partir dessas considerações, a impedância

transversal entre os elementos i e j, é dada por [14]:

( ) ( ) ( )i j i j'

'

Tij 'j i

1z

4 '

r r

Tn j i r Tn j i

e eP dl dl P dl dl

j r r

γ γ

π σ ωε

− − = + Γ

+ ∫ ∫ ∫ ∫l l l l

l ll l

, (4.46)

onde ( ) ( )( ) ( )

s s a ar

s s a a

j j

j j

σ ωε σ ωεσ ωε σ ωε

+ − +Γ =

+ + + é o coeficiente de reflexão e os índices s e a

correspondem ao solo e ar, respectivamente.

No cálculo dos termos da matriz de impedância longitudinal são somadas as

parcelas associadas à imagem simples de cada elemento emissor. Neste caso, o

método das imagens tradicional é empregado para avaliação do efeito da interface

solo-ar na propagação dos campos eletromagnéticos associados à fonte de corrente

longitudinal. A partir dessas considerações, a impedância longitudinal entre os

elementos i e j, é dada por [14]:


( ) ( )i j i j'

'

Lij 'z4 '

r r

Tn j i Tn j i

e ej P dl dl P dl dl

r r

γ γµωπ

− − = − ⋅ + ⋅ ∫ ∫ ∫ ∫l l l l

r r r rl l (4.47)

Nas equações (4.46) e (4.47) jl , il e 'jl correspondem aos comprimentos

dos elementos emissor (j), receptor (i) e imagem (j’), respectivamente; jdl , idl e 'jdl

correspondem aos elementos diferenciais de comprimento dos elementos emissor (j),

receptor (i) e imagem (j’), respectivamente; 'r corresponde a distância entre a imagem

(j’) e o elemento receptor (i).

Deve-se salientar que a aplicação do método das imagens restringe a

aplicação do modelo a freqüências entre 1 MHz e 2 MHz [62]. A inclusão do efeito da

interface solo-ar é realizada de forma mais precisa mediante a solução das integrais

de Sommerfeld para os campos oriundos dos eletrodos de aterramento. A inclusão de

tais integrais na modelagem de aterramentos foi feita por Grcev e Dawalibi em um

artigo de 1990, porém não são apresentados resultados neste trabalho [55]. Em

trabalhos posteriores, os referidos autores adotam o método das imagens modificado

[57]-[66]. Olsen também inclui as integrais de Sommerfeld na investigação de sistemas

de aterramento; no entanto apenas configurações de aterramento bastante simples

foram analisadas [75]. O trabalho original de Visacro inclui o efeito da interface solo-ar

por meio do método das imagens tradicional tanto para fonte de corrente transversal

quanto para a longitudinal [70].

4.4 – Conclusões

Neste capítulo foram apresentadas as características de um modelo,

desenvolvido com base nas equações de Maxwell, que permite a avaliação da

resposta de sistemas de aterramentos frente a fenômenos transitórios de alta

freqüência. O fato de se basear diretamente nas equações de campo garante uma

generalidade de aplicação do modelo. Assim, o método descrito pode ser aplicado

para configurações genéricas de eletrodos de aterramento. Ademais, a utilização da

metodologia desenvolvida não se restringe somente às análises de propagação de

descargas atmosféricas, mas pode também ser estendida para outras análises em

condições transitórias como, por exemplo, solicitações de baixa freqüência (tipo curto

circuito), considerando-se a injeção de sinais com variação no tempo, que possuam

transformada de Fourier.


Alguns aspectos do modelo apresentado correspondem à tese de doutorado

apresentada por Visacro [70]. Todavia, algumas contribuições específicas desta

dissertação merecem ser destacadas:

i) O ponto de partida para a dedução das equações que expressam o modelo

apresentado se baseia na consideração de uma fonte de corrente transversal e

uma fonte de corrente longitudinal inserida no solo, similar à proposta de Visacro

[70]. Entretanto, a obtenção das expressões que quantificam os acoplamentos

eletromagnéticos entre os elementos do aterramento se processa de maneira

relativamente distinta nos dois trabalhos, principalmente aquelas relacionadas ao

acoplamento transversal. No trabalho de Visacro as expressões que definem o

acoplamento transversal são obtidas diretamente da consideração de uma fonte

de corrente transversal. Assim, aparentemente, o potencial escalar elétrico é

determinado a partir de uma expressão incompleta do campo elétrico referente à

fonte transversal de corrente, que não inclui a parcela associada ao efeito de

propagação e que cai com o inverso da primeira potência da distância à fonte.

Nesta dissertação, na determinação do potencial escalar elétrico, parte-se,

primeiramente, de uma carga pontual e, posteriormente, estabelece-se uma

relação entre esta carga e a fonte transversal de corrente. Tal relação permite a

determinação direta do potencial escalar e, a partir dele, o cálculo do campo

elétrico transversal completo, que inclui uma parcela que cai com o quadrado da

distância à fonte e outra que cai com a primeira potência dessa distância,

associada à propagação. A determinação das expressões que definem o

acoplamento longitudinal se processa de maneira bastante similar em ambos os

trabalhos. Vale lembrar apenas que, nesta dissertação, destaca-se de maneira

clara que os acoplamentos longitudinais estão associados ao efeito integral da

parcela não-conservativa do campo elétrico. Deve-se ressaltar que as expressões

obtidas para os elementos das matrizes ZT e ZL, que expressam os acoplamentos

eletromagnéticos entre os diversos elementos, são as mesmas. Todavia, a forma

como foram conduzidas as deduções neste trabalho deixa clara a relação entre a

modelagem proposta e aquela baseada na composição de dipolos de Hertz, uma

vez que a fonte de corrente transversal está associada aos efeitos de carga em

um dipolo e a fonte de corrente longitudinal aos efeitos da corrente que flui ao

longo do dipolo. A Fig. 4.8 apresenta as duas modelagens.


l

l

Figura 4.8 – Modelagem proposta e dipolo de Hertz.

ii) Nessa dissertação o efeito da interface solo-ar foi incluído de forma mais

rigorosa por meio da aplicação do método das imagens modificado [14], [78]. A

inclusão deste método a despeito do método das imagens tradicional pode ser

relevante dependendo da freqüência e das características eletromagnéticas do

solo.

iii) A solução do modelo matemático desenvolvido é obtida mediante a aplicação

do MoM. A utilização desse método garante uma maior generalidade, precisão e

robustez à modelagem apresentada. Neste trabalho são utilizadas funções base

do tipo pulso, uma vez que modelam bem a distribuição de corrente no

aterramento. Todavia, funções base mais sofisticadas como, por exemplo, a

triangular podem ser adotadas. A utilização de uma função deste tipo permitiria a

discretização da malha de aterramento em um número menor de elementos, o

que resultaria em ganho computacional. Ademais, a possibilidade de utilização

das mais diversas funções base permite ampliar o campo de aplicação da

modelagem apresentada. Assim, a modelagem de elementos aéreos (torre e

cabos, por exemplo) poderia ser realizada mediante a aplicação da modelagem

desenvolvida e escolha de uma função base adequada a esse tipo de estudo.

A principal aplicação do modelo que se pretende discutir neste trabalho refere-

se à avaliação do desempenho de sistemas de aterramento quando submetidos a

transitórios oriundos da incidência de descargas atmosféricas. Essa avaliação é

complexa e deve contemplar as diversas variáveis associadas aos sistemas de

aterramentos. A análise da resposta transitória de sistemas de aterramentos, com

base na metodologia descrita e a validação do modelo por meio de comparações com

medições e outras modelagens, é apresentada no capítulo a seguir.

CAPÍTULO 5 – MODELAGEM

COMPUTACIONAL E ANÁLISE DA

RESPOSTA TRANSITÓRIA DE

ATERRAMENTOS ELÉTRICOS


Conforme já comentado, o projeto e dimensionamento de sistema de

aterramento são particularmente importantes no Brasil, devido às características

peculiares do solo, que possui valores (típicos) de resistividade muito elevados se

comparados àqueles de outros países. Tais características conferem uma importância

ímpar ao aterramento elétrico, no que concerne à sua influência no desempenho do

sistema aterrado frente a diversas solicitações. Dentre estas, aquelas advindas da

incidência de descargas atmosféricas possuem particular relevância. Nesse sentido, é

de fundamental importância um estudo aprofundado do aterramento, que inclua

basicamente dois aspectos: i) análise de sensibilidade para o comportamento do

aterramento, quando são consideradas faixas típicas das variáveis envolvidas (por

exemplo, configuração do aterramento e parâmetros do solo); ii) estimativa do

desempenho do sistema de aterramento quando submetido a solicitações impostas,

principalmente aquelas associadas a surtos atmosféricos. A existência de um modelo

matemático fisicamente consistente para o sistema de aterramento é um requisito

essencial para esse tipo de estudo. A modelagem apresentada no capítulo anterior

apresenta características bastante adequadas no que se refere à sua implementação

computacional para as aplicações de interesse.

Constitui-se, portanto, objetivo principal deste capítulo a apresentação e

aplicação de uma ferramenta computacional, que implementa a modelagem descrita

no Capítulo 4. Uma breve descrição dos aspectos computacionais mais relevantes do

código gerado é feita na seção 5.2. Com o intuito de destacar a efetividade e

potencialidade da ferramenta desenvolvida, apresenta-se uma seqüência de

resultados de simulações envolvendo algumas análises clássicas e outras originais

Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de Aterramentos Elétricos

83

deste trabalho. Os resultados gerados podem ser agrupados em dois conjuntos

principais:

i. Resultados para fins de validação: Comparação dos resultados gerados

pela modelagem apresentada com medições e com os obtidos por

outras filosofias de modelagem de aterramento. Esse conjunto de

resultados tem o objetivo principal de destacar a efetividade da

modelagem apresentada bem como validá-la. A comparação é

apresentada na seção 5.3.

ii. Resultados para fins de estudo: Análise de sensibilidade para o

comportamento do aterramento dentro de faixas típicas das variáveis

envolvidas e avaliação de seu desempenho quando submetido a surtos

atmosféricos. Esse conjunto de resultados tem o objetivo principal de

destacar a potencialidade da modelagem apresentada para análise e

projeto de sistemas de aterramento. Essa análise é apresentada nas

seções 5.4 e 5.5.

5.2 – Aspectos computacionais básicos

No modelo proposto o problema transitório é solucionado no domínio da

freqüência. Após a determinação do conjunto de freqüências de interesse o

procedimento descrito na sub-seção 4.3.2 é aplicado, para cada uma delas. Esse

procedimento foi implementado, inicialmente, em MATLAB® [97]. A escolha dessa

plataforma foi feita por vários motivos, dentre eles a facilidade de entrada e saída de

dados, facilidade de implementação e similaridade com as linguagens C/C++, além de

ser uma excelente plataforma para realização de testes e implementação de versões

beta. Atualmente, o código desenvolvido está sendo transferido para linguagem C, o

que permite uma redução significativa do tempo computacional, uma vez que é uma

linguagem compilada.

O algoritmo a seguir apresenta os passos seguidos pela ferramenta

computacional desenvolvida para cálculo do aterramento.

1. Entrada de dados

2. Discretização dos eletrodos e numeração dos nós

3. Para cada freqüência simulada


84

4. Cálculo dos parâmetros do solo e coeficiente de reflexão

5. Para cada elemento i

6. Para cada elemento j

7. Cálculo das impedâncias transversal e longitudinal entre

os elementos i e j

fim 6

fim 5

8. Obtenção das matrizes de impedância transversal e longitudinal

9. Cálculo das matrizes de admitância transversal e longitudinal

10. Cálculo das matrizes modificadas de admitância transversal e

longitudinal

11. Obtenção do sistema matricial Ax=b

12. Solução do sistema matricial e cálculo das correntes transversal e

longitudinal, da queda de tensão e potencial médio em cada elemento

do eletrodo

fim 3

13. Obtenção de resultados no domínio da freqüência

14. Algoritmo de transformação freqüência x tempo

15. Obtenção de resultados no domínio do tempo

É oportuno destacar alguns aspectos referentes aos principais itens do

algoritmo apresentado:

• Item 1 – Os dados de entrada constituem-se apenas da geometria do

aterramento (coordenadas do ponto inicial e extensão) e dos parâmetros do

solo (resistividade e permissividade elétrica).

• Item 2 – A discretização do eletrodo é automática e segue um algoritmo que

garante que a aproximação por correntes filamentares seja válida. Neste

trabalho foi adotado o comprimento de cada elemento igual a 10 vezes o raio


85

do eletrodo. A numeração dos nós também é automatizada, de forma a

minimizar o esforço computacional, essencialmente naqueles casos em que há

cruzamento de nós. Deve-se ressaltar que, uma vez que o número de

elementos depende do comprimento e raio dos eletrodos, o tempo

computacional aumenta com a extensão dos eletrodos. Assim, a simulação de

grandes malhas de aterramento pode demandar algumas horas.

• Item 3 – As freqüências a serem simuladas são determinadas de duas formas

distintas, dependendo do tipo de resultado que se deseja obter. Para

resultados no domínio da freqüência, deve-se, a partir da aplicação de uma

transformada direta de Fourier, fazer o levantamento do espectro de freqüência

da onda representativa da solicitação investigada. A faixa de freqüência

simulada, neste caso, deve ser aquela em que os componentes de freqüência

da solicitação possuem amplitude considerável (no caso de uma onda

representativa da corrente de uma descarga atmosférica, essa faixa é, em

geral, de 100 Hz a 1 MHz). Para resultados no domínio do tempo, além da

análise anterior, deve-se atentar para o conceito de freqüência de amostragem

introduzido por H. Nyquist. A freqüência de amostragem encontra-se

intimamente ligada à precisão da resposta obtida no tempo [54].

• Item 4 – Os parâmetros do solo, condutividade e permissividade, são

calculados em função da freqüência simulada. O valor da permeabilidade

magnética do solo é adotado igual ao do vácuo. A constante de propagação no

solo é função da freqüência e dos parâmetros eletromagnéticos citados. O

coeficiente de reflexão está relacionado à consideração do meio semi-infinito e

está bem definido na equação (4.46).

• Item 7 – O cálculo das impedâncias transversal e longitudinal implica na

solução das integrais duplas (4.32) e (4.39). Tais integrais não possuem

solução analítica e foram avaliadas numericamente. Uma extensa pesquisa

para determinação da técnica numérica mais adequada foi realizada, sendo o

método de Gauss-Legendre escolhido [98]. Esse método além de possuir uma

boa precisão para um número reduzido de iterações, em relação a outras

técnicas tradicionais, é de fácil implementação computacional [98]. Neste

trabalho resultados satisfatórios foram obtidos empregando-se 4 pontos de

Gauss.


86

• Itens 8 a 12 - Um aspecto importante com relação à avaliação dos

acoplamentos eletromagnéticos refere-se ao fato de que a formulação

apresentada satisfaz o teorema da reciprocidade [45]. Assim, os campos

eletromagnéticos são os mesmos quando pontos de fonte de corrente e

observação de campo são permutados. Portanto, as matrizes de impedância

transversal e longitudinal, oriundas da aplicação, respectivamente, das

equações (4.46) e (4.47), são simétricas. Essa especificidade permite a

otimização do código e o ganho de tempo computacional na obtenção das

matrizes de impedância (passo 8), admitância (passo 9), admitância modificada

(passo 10) e na obtenção e solução do sistema matricial resultante (passos 11

e 12, respectivamente).

• Item 13 – A atual versão da ferramenta computacional gera os seguintes

resultados no domínio da freqüência: impedância de configurações básicas de

aterramento, perfis de potencial ao longo da malha de aterramento, potencias

no nível do solo, distribuição de corrente no aterramento, campo elétrico ao

longo do eletrodo e no nível do solo.

• Item 14 – A transformada freqüência x tempo foi realizada utilizando o

algoritmo de Transformada Rápida de Fourier (FFT) [54]. A escolha desse

algoritmo está relacionada à sua praticidade, por não necessitar de

desenvolvimentos analíticos para ser implementado. Além disso, permite, com

certa facilidade, a consideração de diferentes formas de onda injetada nos

sistemas estudados.

• Item 15 - A atual versão da ferramenta computacional gera os seguintes

resultados no domínio do tempo: impedância impulsiva de configurações

básicas de aterramento, tensão transitória resultante no ponto de injeção,

potenciais e campo elétrico no nível do solo.


87

5.3 – Validação do modelo

5.3.1 – Comparação com resultados experimentais

Analisam-se nesta seção duas configurações de aterramento, que fazem parte

de um conjunto de sistemas de aterramento cuja resposta transitória a correntes

impulsivas foi medida pela Electricité de France (EDF) [99].

Foram medidos os potenciais em relação ao terra remoto em pontos do

sistema de aterramento, resultantes da injeção de correntes com frente de onda

bastante rápida. Os resultados oriundos de tais medições são bastante utilizados na

literatura para aferição de modelos de cálculo de sistemas de aterramento. Um desses

modelos foi apresentado por Grcev e outro por Otero et al., ambos fundamentados em

modelos no domínio da freqüência [65], [76]. No primeiro adota-se uma metodologia

de cálculo mais robusta em que as equações de campo são diretamente solucionadas

a partir da aplicação do Método dos Momentos. No segundo faz-se um cálculo

aproximado, baseado na teoria de circuitos em que são incluídos os acoplamentos

eletromagnéticos, porém desprezados os efeitos de propagação. Y. Liu e outros

também utilizaram os dados experimentais comentados para fins de validação de um

modelo de cálculo no domínio do tempo, baseado na teoria de linhas de transmissão

[84]. Detalhes adicionais dos trabalhos citados podem ser encontrados no Capítulo 3.

Portanto, a intenção desta seção é proporcionar uma primeira comparação

entre os resultados obtidos com a modelagem desenvolvida nesta dissertação com

aqueles obtidos da medição real em sistemas de aterramento.

O primeiro sistema de aterramento está ilustrado na Fig. 5.1 e corresponde a

um eletrodo horizontal de cobre de 15 m, com raio igual a 12 mm e enterrado a 0,6 m

da superfície do solo. De acordo com as poucas informações encontradas nos artigos

referenciados, cita-se apenas que o solo possui resistividade elétrica de 70 Ω.m e

permissividade elétrica relativa estimada em 15, não sendo mencionadas quaisquer

variações desses parâmetros com a freqüência. Também, não há maiores detalhes

sobre a injeção da corrente e sobre a forma em que as medições foram efetuadas,

mas apenas que a injeção de corrente foi feita numa das extremidades do cabo e que

foram medidas os potenciais no ponto de injeção e a 3,5 m e 7 m do mesmo, em

relação ao terra remoto.

Em função das poucas informações apresentadas, para realização da

simulação computacional, as seguintes considerações foram assumidas:


88

i. A escassez de informações sobre a corrente injetada dificulta a reprodução da

forma de onda para fins de simulação. Na simulação a forma de onda foi

aproximada por uma dupla exponencial, ilustrada na Fig. 5.2, na tentativa de

reproduzir a corrente real injetada apresentada por Grcev [65].

ii. Adotou-se um modelo de solo com condutividade do solo sσ e permissividade

elétrica sε invariantes com a freqüência e iguais a:

1/

70s S mσ =

015 /s F mε ε=

Os resultados experimentais e aqueles obtidos por Grcev estão ilustrados na

Fig. 5.3. Sob as considerações citadas, por meio da ferramenta computacional

desenvolvida nesta dissertação, foram obtidos os resultados ilustrados na Fig. 5.4.

De um modo geral os resultados da simulação são bastante próximos das

medições e daqueles calculados por Grcev [65]. O ajuste entre as formas de onda

medidas e calculadas foi bastante razoável, o que corrobora a efetividade da

modelagem apresentada. Além disso, acredita-se que com uma melhor modelagem da

onda de corrente injetada no eletrodo, com a representação mais apurada,

principalmente, da frente de onda, seriam obtidos valores calculados bem mais

próximos dos valores medidos disponibilizados.

Figura 5.1 – Eletrodo horizontal com 15 m de comprimento [99].


89

Figura 5.2 – Corrente injetada no eletrodo horizontal.

Figura 5.3 – Potenciais em relação ao terra remoto medidos e calculados em três pontos

distintos (comprimento de 15 m, raio 12 mm, profundidade de 0,6 m, resistividade do solo igual

a 70 Ω.m e permissividade relativa do solo igual a 15) – Fonte [65].

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

5

10

15

20

25

30

35

40

Tempo (µs)

Cor

rent

e (A

)


90

Figura 5.4 – Potenciais em relação ao terra remoto calculados em três pontos distintos a partir

da modelagem apresentada nesta dissertação.

O segundo sistema de aterramento está ilustrado na Fig. 5.5 e corresponde à

haste vertical de 6 m, com raio igual a 16 mm. Informa-se na referência que o solo

possui resistividade elétrica de 50 Ω.m e permissividade elétrica relativa estimada em

15, não sendo mencionadas quaisquer variações desses parâmetros com a

freqüência. As informações com relação à corrente injetada são praticamente

inexistentes neste caso, sendo apenas informado que a injeção foi feita na

extremidade superior da haste e que se mediu o potencial neste ponto em relação ao

terra remoto. Também não há menção sobre a profundidade de cravação da

extremidade superior da haste, apesar de uma pequena variação deste parâmetro não

causar grandes variações nos resultados.

Em função das poucas informações apresentadas, para realização da

simulação computacional, as seguintes considerações foram assumidas:

i. Neste caso não foi possível reproduzir em maiores detalhes a onda de corrente

injetada. Na simulação a forma de onda foi aproximada por uma dupla

exponencial, ilustrada na Fig. 5.6, na tentativa de reproduzir uma onda similar à

corrente real injetada apresentada por Grcev [65].

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

100

200

300

400

500

600

700

800

Tempo (µs)

Pot

enci

al (

V)

V (x=0; t)

V (x=3,5; t)

V (x=7; t)


91

ii. Adotou-se um modelo de solo com condutividade do solo sσ e permissividade

elétrica sε invariantes com a freqüência e iguais a:

1/

50s S mσ = ,

015 /s F mε ε= .

iii. Considerou-se a extremidade superior da haste a 0,5 m da superfície do solo.

Figura 5.5 – Haste vertical com 6 m de comprimento [99].

Figura 5.6 – Corrente injetada na haste vertical.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

5

10

15

20

25

30

35

Tempo (µs)

Cor

rent

e (A

)


92

Os resultados experimentais e aqueles obtidos por Grcev estão ilustrados na

Fig. 5.7. Sob as considerações citadas, por meio da ferramenta computacional

desenvolvida nesta dissertação, foram obtidos os resultados ilustrados na Fig. 5.8. Da

análise das figuras, podem ser estabelecidas as mesmas conclusões apresentadas

para o caso do eletrodo horizontal. Deve-se salientar, no entanto, que no caso da

haste vertical, houve uma dificuldade mais elevada na fiel reprodução da onda de

corrente real injetada. Uma vez mais vale destacar que, a partir de uma melhor

modelagem da corrente de injeção, melhores resultados poderiam ser obtidos.

Figura 5.7 – Potenciais em relação ao terra remoto medidos e calculados no ponto de injeção

de corrente para uma haste vertical (comprimento de 6 m, raio 16 mm, resistividade do solo

igual a 50 Ω.m e permissividade relativa do solo igual a 15) – Fonte [65].

Figura 5.8 – Potenciais em relação ao terra remoto calculado no ponto de injeção a partir da

modelagem apresentada nesta dissertação (haste vertical).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Tempo (µs)

Pot

enci

al (

V)


93

5.3.2 – Comparação com resultados de outras modelag ens

Apresenta-se nesta seção a comparação de resultados de cálculo de campo

elétrico de eletrodos energizados obtidos por meio da modelagem apresentada e

aqueles obtidos por Grcev [62] a partir da aplicação do modelo desenvolvido

juntamente com Dawalibi [55]. Este modelo foi selecionado para fins de comparação

uma vez que também é baseado na solução direta das equações de campo e, em

princípio, apresenta resultados confiáveis.

O sistema de aterramento está ilustrado na Fig. 5.9 e corresponde a um

eletrodo horizontal de 15 m (estendido entre os pontos x = 2,5 m e x = 17,5 m), com

raio igual a 7 mm e enterrado a 1 m da superfície do solo. O solo é caracterizado por

uma resistividade ρ = 2.000 Ω.m e permissividade relativa 4. O eletrodo é energizado

por meio da injeção de uma corrente harmônica (1 + j0) para três freqüências distintas:

50 Hz, 2,247 MHz e 6,741 MHz. Essa configuração foi simulada por Grcev e por

Dawalibi e Selby de forma independente [57], [62]. Resultados bastante similares

foram obtidos em ambos os trabalhos. Nesta seção para fins de comparação com a

modelagem desenvolvida adotam-se os resultados obtidos por Grcev, pois estão sob

uma forma mais didática para apresentação.

A partir da injeção das correntes citadas foi determinada a distribuição de

campo elétrico na superfície acima do eletrodo ao longo do eixo x. Os resultados

obtidos por Grcev estão ilustrados na Fig. 5.10 e aqueles obtidos a partir da

modelagem desenvolvida nesta dissertação são apresentados na Fig. 5.11. De um

modo geral os resultados da Fig. 5.11 estão em ótima concordância com aqueles

obtidos por Grcev [62]. Pequenas diferenças são observadas apenas na curva

referente à freqüência de 6,741 MHz.

Figura 5.9 – Configuração simulada para cálculo de campo elétrico na superfície do solo [62].


94

É importante salientar que os resultados apresentados foram gerados somente

para fins de comparação, uma vez que o método das imagens modificado é válido

apenas para freqüências próximas de 2 MHz. No trabalho citado de Grcev o efeito da

interface solo-ar também é incluído por meio da aplicação do método das imagens

modificado [62].

Figura 5.10 – Distribuição de campo elétrico na superfície do solo – Fonte [62].

Figura 5.11 – Distribuição de campo elétrico na superfície do solo determinado a partir da

modelagem apresentada nesta dissertação.

0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 200

5

10

15

20

25

Distância ao longo do perfil (m)

Inte

nsid

ade

de c

ampo

elé

tric

o (V

/m)

50 Hz

2,247 MHz

6,741 MHz


95

5.3.3 – Conclusões

Os resultados desta seção indicam a consistência do modelo desenvolvido.

Uma vez validado, é interessante explorar suas potencialidades na análise de

sistemas de aterramento. A ferramenta desenvolvida pode apresentar papel

importante no estudo de aterramentos elétricos, não somente por fornecer resultados

objetivos nos domínios do tempo e da freqüência para seu comportamento em

condições estabelecidas (configuração, tipo de solo e tipo de ocorrência), mas

principalmente devido à possibilidade da realização de uma análise de sensibilidade

relacionando as variáveis de interesse e o comportamento do aterramento. Dessa

análise podem ser derivadas práticas concretas de, por exemplo, melhoria do

desempenho do aterramento frente a correntes impulsivas de descargas.

Nos itens a seguir ilustra-se a aplicação da modelagem apresentada no

desenvolvimento de uma análise de sensibilidade das variáveis envolvidas no

comportamento de aterramentos com relação ao seu desempenho, considerando

configurações básicas do mesmo. Como o interesse principal deste trabalho é a

avaliação do comportamento transitório do aterramento frente a fenômenos de alta

freqüência, os resultados apresentados contemplam, basicamente, nos domínio do

tempo e da freqüência, o comportamento do aterramento quando solicitado pela

injeção de uma onda de corrente representativa de descarga atmosférica em termos

de tempo de frente e de cauda.

5.4 – Resultados e análises de sensibilidade: eletr odos horizontais

5.4.1 – Introdução O objetivo desta seção é investigar o comportamento de eletrodos horizontais,

nos domínios do tempo e da freqüência, avaliando-se aspectos importantes como:

impedância na freqüência, impedância impulsiva, comprimento efetivo, tensões

transitórias e campos eletromagnéticos gerados no meio.

As configurações simuladas são compostas por eletrodos horizontais de

comprimentos diversos, todos eles com raio igual a 1 cm e inseridos a uma

profundidade de 0,5 m no solo.


96

5.4.2 – Faixa de valores para os parâmetros de inte resse Com o objetivo de promover análises de sensibilidade para alguns parâmetros,

simulou-se as configurações descritas anteriormente para diversas resistividades do

solo e para diversos comprimentos do eletrodo, conforme apresentado a seguir.

Resistividade do solo: 500, 1.000, 2.400, 5.000 e 10.000 Ω.m.

Comprimento do eletrodo: 10, 15, 20, 30, 50, 70 e 90 m.

Os valores adotados para resistividade do solo têm o objetivo de contemplar

desde solos de baixa resistividade até solos de resistividade elevada, passando por

valores típicos como 1.000 Ω.m (valor médio brasileiro) e 2.400 Ω.m (valor médio de

Minas Gerais) [14], [15]. Nas simulações em que é incluída a variação dos parâmetros

eletromagnéticos do solo com a freqüência, os valores de resistividade adotados são

função da freqüência e da resistividade a 100 Hz e expressos de acordo com a

formulação indicada no item B da seção 4.3.3.

Os valores adotados para comprimento do eletrodo também tem por objetivo

avaliar valores típicos de eletrodos horizontais encontrados em configurações práticas

[15].

O valor utilizado para permissividade relativa do solo nas simulações foi 15,

uma vez que esse é um valor usualmente adotado na literatura [65]. Nas simulações

em que é incluída a variação dos parâmetros eletromagnéticos do solo com a

freqüência, os valores de permissividade adotados são função da freqüência e

expressos de acordo com a formulação indicada no item B da seção 4.3.3.

5.4.3 – Ondas de corrente injetadas Aparentemente, nas referências consultadas não há uma padronização no que

diz respeito às características da onda de corrente de descarga utilizada em

simulações, principalmente em sua região mais crítica, que é a frente de onda. Nas

simulações apresentadas nessa seção são consideradas ondas com tempo de frente

de 1,2 µs e 3 µs. O valor de 3 µs aproxima-se dos tempos de frente associados às

primeiras descargas de retorno medidas na Estação do Morro do Cachimbo, no Brasil

[14]. O valor de 1,2 µs aproxima-se dos valores de tempo de frente das descargas de

retorno subseqüentes, também medidas na Estação do Morro do Cachimbo [14]. O

tempo de cauda apresenta pouca influência no comportamento transitório do sistema

de aterramento [70]. Nas simulações foi adotado o valor de 20 µs, ou seja, neste


97

tempo a onda, depois de atingido o valor de pico, passa pela metade da amplitude

máxima. As ondas injetadas apresentam um valor de pico de 1 kA.

A onda de corrente de descarga foi modelada por meio da função dupla

exponencial:

( ) ( )αt βti t A e e= − , (5.1)

onde A , α e β são parâmetros ajustados para que a onda dupla exponencial

apresente amplitude, tempo de frente e tempo de cauda desejados. Para a onda com

tempo de frente de 1,2 µs os valores dos parâmetros são: A 1.093,86= ,

α 39.143,21= e β 2.236.641,15= . Para a onda com tempo de frente de 3 µs os

valores dos parâmetros são: A 1.303,67= , α 47.916,56= e β 709.288,10= . A Fig.

5.12 ilustra as duas ondas de corrente.

Figura 5.12 – Formas de onda de correntes injetadas.

5.4.4 – Determinação de impedância na freqüência Esta seção apresenta a análise da impedância de aterramento de eletrodos

horizontais no domínio da freqüência. A análise da impedância no domínio da

freqüência é de fundamental importância uma vez que, além de ser o domínio original

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (µs)

Cor

rent

e (k

A)

dupla exponencial(1,2/20 µs)

dupla exponencial(3/20 µs)


98

de sua definição, possibilita a fácil visualização das características condutivas,

capacitivas e indutivas do aterramento bem como dos efeitos de propagação.

A Fig. 5.13 ilustra o módulo (Fig. 5.13(a)) e o ângulo (Fig. 5.13(b)) da

impedância de eletrodos horizontais de diferentes comprimentos, inseridos em um solo

de ρ = 1.000 Ω.m, ao longo do espectro de freqüência característico de uma descarga

atmosférica. Conforme se pode observar, em baixas freqüências, a impedância dos

eletrodos apresenta módulo constante e ângulo de fase próximo de zero,

aproximando-se do conceito de resistência de aterramento. Observa-se ainda que o

aumento do comprimento do eletrodo implica na redução quase em proporção inversa

do módulo da impedância de aterramento na faixa inferior do espectro. Nesta faixa, os

efeitos condutivos, associados à corrente de condução ( c VJ σE=r r

), são dominantes.

Na faixa superior do espectro de freqüência torna-se clara a influência dos efeitos

capacitivos, relacionados à corrente de deslocamento ( d VJ jωεE=r r

), e dos efeitos

indutivos, ligados à parcela não conservativa do campo elétrico ( AE jωA= −rr

).

No caso dos eletrodos de menor comprimento (10, 15 e 20 m), a densidade de

corrente transversal é elevada se comparada à dos eletrodos de maior comprimento.

Neste caso, os efeitos transversais, associados à composição das correntes de

condução e deslocamento, são dominantes dentro de certa faixa de freqüência.

Particularmente para freqüências mais elevadas, torna-se evidente o efeito capacitivo,

principalmente para os eletrodos de 10 e 15 m. Esse efeito pode ser observado na

redução do módulo da impedância de aterramento e diminuição do ângulo da

impedância até atingir valores negativos, conforme ilustra a Fig. 5.13. Os efeitos

capacitivos são significativos até determinado valor de freqüência, a partir do qual os

efeitos indutivos são preponderantes. A partir desse ponto é observado um aumento

gradual do módulo e ângulo da impedância de aterramento. Tal fato pode ser

observado para o eletrodo de 10 m e, principalmente, para os eletrodos de 15 e 20 m

(ver Fig. 5.13).

Por outro lado, no caso de eletrodos de maior comprimento, em que a

densidade de corrente transversal é reduzida se comparada àqueles de menor

comprimento, uma vez que a corrente que dispersa é melhor distribuída ao longo do

condutor, os efeitos longitudinais tornam-se dominantes. Tal fato é sugerido pelo

aumento do módulo e ângulo da impedância de aterramento na faixa superior do

espectro de freqüência, para eletrodos de comprimento a partir de 30 m, como ilustra a

Fig. 5.13. Deve-se salientar que na faixa de altas freqüências os efeitos capacitivos

também estão presentes, todavia estes são “anulados” devido à significativa influência

dos efeitos indutivos.


99

Pode-se ainda observar na Fig. 5.13, principalmente no caso dos aterramentos

mais distribuídos (maiores comprimentos), que em altas freqüências a influência do

comprimento do eletrodo é pequena, e os valores de impedância são muito próximos.

Isso ocorre porque os efeitos de atenuação da onda de corrente são mais

significativos em freqüências elevadas. O efeito de propagação pode ser observado

mesmo em aterramentos mais concentrados nos casos em que a resistividade do solo

é reduzida, uma vez que os efeitos de atenuação são mais acentuados em meios mais

condutivos.

A impedância do aterramento, definida no domínio da freqüência, depende da

geometria do aterramento (no caso, principalmente o comprimento do eletrodo) e das

características eletromagnéticas do meio (no caso, principalmente a resistividade do

solo). Assim, na Fig. 5.13 foi avaliado o comportamento do aterramento para

diferentes comprimentos, mantendo-se fixo o valor de resistividade. Todavia, é

também de interesse avaliar o efeito da variação da resistividade do solo mantendo-se

fixo o comprimento do eletrodo. Um gráfico dessa natureza é apresentado na Fig.

5.14, que ilustra o módulo (Fig. 5.14(a)) e ângulo (Fig. 5.14(b)) da impedância de

aterramento de um eletrodo horizontal de 50 m, inserido em solos de diferentes

valores de resistividade. A despeito do comprimento elevado do eletrodo, pode-se

observar nitidamente a influência dos efeitos capacitivos no comportamento da

impedância do aterramento inserido em solos de alta resistividade (2.400 Ω.m e

principalmente 5.000 Ω.m e 10.000 Ω.m), dentro de certa faixa de freqüência. Esse

comportamento é observado em solos resistivos, pois, em freqüências elevadas, os

efeitos relacionados às fontes de corrente transversal são dominados pela corrente de

deslocamento ( d VJ jωεE=r r

), uma vez que o solo possui baixa condutividade,

acarretando valores reduzidos de corrente condutiva ( c VJ σE=r r

) em relação à de

deslocamento. Os efeitos capacitivos na situação analisada são significativos até

determinada freqüência a partir da qual, como já comentado em outra situação

analisada, os efeitos indutivos são preponderantes. Para os solos de menores valores

de resistividade dentre os analisados (500 Ω.m e 1.000 Ω.m), os efeitos indutivos são

predominantes e praticamente não se observa comportamento tipicamente capacitivo

da impedância de aterramento ao longo da faixa de freqüência avaliada. Pode-se

notar, ainda, que os efeitos indutivos são mais pronunciados nos solos de menores

valores de resistividade, uma vez que nestes casos os efeitos transversais associados

às correntes capacitivas apresentam reduzida influência no comportamento do

aterramento. Observa-se, também, uma menor variação no módulo da impedância


100

para solos de resistividade menores, comportamento relacionado ao fato dos efeitos

de propagação serem mais pronunciados nesses solos.

(a)

(b)

Figura 5.13 – (a) Módulo e (b) ângulo da impedância de eletrodos horizontais de aterramento

em função da freqüência inseridos em um solo de ρ = 1.000 Ω.m.

102

103

104

105

106

20

40

60

80

100

120

140

160

Freqüência (Hz)

Mód

ulo

da im

pedâ

ncia

(Ω

)

L = 10 m

L = 15 m

L = 20 m

L = 30 m

L = 50 m

L = 70 mL = 90 m

102

103

104

105

106

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Freqüência (Hz)

Âng

ulo

da im

pedâ

ncia

(gr

aus)

L = 50 m

L = 70 m

L = 90 m

L = 30 m

L = 20 m

L = 15 m

L = 10 m


101

(a)

(b)

Figura 5.14 – (a) Módulo e (b) ângulo da impedância de eletrodo horizontal de aterramento de

50 m em função da freqüência para solos de diferentes valores de resistividade.

É importante salientar que, com base nas análises e comentários

apresentados, não se pode generalizar ou procurar “regras de bolo” no estudo de

102

103

104

105

106

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Freqüência (Hz)

Mód

ulo

da im

pedâ

ncia

(Ω

)

ρ = 10.000 Ω.m

ρ = 5.000 Ω.m

ρ = 2.400 Ω.m

ρ = 1.000 Ω.m

ρ = 500 Ω.m

102

103

104

105

106

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

Freqüência (Hz)

Âng

ulo

da im

pedâ

ncia

(gr

aus)

ρ = 500 Ω.m

ρ = 1.000 Ω.m

ρ = 10.000 Ω.m

ρ = 5.000 Ω.m

ρ = 2.400 Ω.m


102

sistemas de aterramento. Por exemplo, na análise de um eletrodo de aterramento de

50 m, os efeitos capacitivos podem ser desprezíveis (Fig. 5.13) ou acentuados

dependendo do valor de resistividade do solo (Fig. 5.14). Conclusões similares podem

ser ampliadas para análise dos efeitos indutivos. Assim, para obtenção de respostas

confiáveis e consistentes com a realidade, é de fundamental importância um estudo

aprofundado da sensibilidade do aterramento às diversas variáveis envolvidas.

Estudos dessa natureza podem ser realizados mediante aplicação da ferramenta

desenvolvida nesta dissertação.

5.4.5 – Determinação de impedância impulsiva No projeto de aterramentos a resposta dos eletrodos a correntes de descargas

atmosféricas pode ser avaliada em função de três parâmetros básicos [5]: i) a

elevação de potencial em relação ao infinito no ponto de injeção, usualmente

designada por GPR (grounding potential rise); ii) o perfil de potencial ao longo dos

eletrodos; iii) a distribuição de potencial na superfície do solo nas proximidades da

malha de aterramento. Em grande parte das situações é de interesse, principalmente

prático, o conhecimento das condições críticas, que podem ser determinadas e

quantificadas a partir dos valores de pico de sobretensão desenvolvidos. Nesses

casos, é comum aproximar a impedância de aterramento pela impedância de

aterramento impulsiva (Zp). A partir da quantificação da impedância impulsiva, a

máxima GPR pode ser prontamente estimada por meio da multiplicação de Zp pelo

valor de pico da corrente injetada. Tal possibilidade é bastante adequada e atrativa do

ponto de vista aplicado na avaliação e determinação de práticas imediatas de proteção

contra descargas atmosféricas.

A Fig. 5.15 apresenta curvas de impedância impulsiva em função do

comprimento do eletrodo para diferentes valores de resistividade do solo e injeção de

uma onda de corrente de 1,2/20 µs. Esse tipo de gráfico é bastante importante e útil na

prática, inclusive quando da determinação do comprimento e instalação de eletrodos

de aterramento. Suponha-se, por exemplo, que a resistividade medida no local seja da

ordem de 2.400 Ω.m. De acordo com o gráfico da Fig. 5.15, a instalação de um

eletrodo de 30 m determina um valor de Zp igual a aproximadamente 150 Ω. Dessa

forma, conhecendo-se o valor de pico da onda de corrente injetada, pode-se

prontamente determinar a máxima elevação de potencial no ponto de injeção. As

curvas ilustradas na Fig. 5.15 foram simuladas para valores típicos de solos

brasileiros; todavia, gráficos mais completos podem ser obtidos a partir da ferramenta


103

desenvolvida com o objetivo de auxiliar na determinação de comprimentos adequados

de eletrodos horizontais e cabos contrapeso.

De acordo com as curvas da Fig. 5.15, pode-se observar que eletrodos

inseridos em solos de resistividade elevada apresentam valores significativos de

impedância impulsiva. Ainda de acordo com a Fig. 5.15, constata-se que a impedância

impulsiva diminui com o aumento do comprimento do eletrodo até determinado ponto,

a partir do qual posteriores acréscimos não implicam na redução da impedância

impulsiva. Esse resultado é de fundamental importância e é melhor explorado no item

a seguir. Observa-se que em solos de menores resistividades, as variações de ZP

também são menores, uma vez que os efeitos de propagação mais significativos.

Resultado similar foi obtido na análise da impedância no domínio da freqüência.

Figura 5.15 – Curvas de impedância impulsiva em função do comprimento do eletrodo para

diferentes valores de resistividade e injeção de uma onda de corrente de 1,2/20 µs.

5.4.6 – Determinação de comprimento efetivo de elet rodos horizontais O comprimento efetivo (Lef) de eletrodos de aterramento é um conceito

amplamente utilizado no estudo e projeto de sistemas de aterramento. Em geral, ele é

definido como aquele comprimento do eletrodo a partir do qual um aumento de

extensão não implica a redução da impedância impulsiva de aterramento. As curvas

10 20 30 40 50 60 70 80 900

100

200

300

400

500

600

700


Zp

( Ω)

ρ = 1.000 Ω.mρ = 2.400 Ω.m

ρ = 5.000 Ω.m

ρ = 500 Ω.m


104

da Fig. 5.15 permitem a quantificação do comprimento efetivo de eletrodos horizontais

para os valores de resistividade selecionados e onda de corrente injetada. Para solo

com ρ = 2.400 Ω.m, por exemplo, o valor de Lef é pouco mais que 50 m. Já um solo

com ρ = 5.000 Ω.m, o valor de Lef é elevado, próximo de 90 m. A dispersão de

corrente para faixas do condutor além do comprimento efetivo é desprezível; portanto,

eletrodos de comprimento superior a este praticamente não contribuem para melhoria

do desempenho ou redução da impedância impulsiva de aterramento.

O conceito de comprimento efetivo encontra-se intimamente relacionado ao

fenômeno de propagação das ondas de corrente e tensão ao longo do aterramento,

característico de transitórios de alta freqüência, como já comentado no Capítulo 2.

Assim sendo, o valor de Lef é menor para aterramentos solicitados por ondas de

corrente rápida, uma vez que nesses casos os efeitos de propagação são mais

acentuados. A Fig. 5.16 apresenta curvas similares àquelas da Fig. 5.15 para injeção

de uma onda de corrente de 3/20 µs. Conforme se pode observar pela Fig. 5.16, os

valores de comprimento efetivo para solos com mesma resistividade obtidos para

injeção da onda de corrente de 3/20 µs são superiores àqueles obtidos para injeção da

onde de corrente de 1,2/20 µs. Para solo com ρ = 2.400 Ω.m, por exemplo, o valor de

Lef é perto de 80 m. Já um solo com ρ = 5.000 Ω.m, o valor de Lef é superior a 90 m.

Pode-se observar, também, que o comprimento efetivo é tanto maior quanto maior for

a resistividade do solo. Isso ocorre devido aos reduzidos valores de condutividade, o

que diminui relativamente a atenuação das ondas de tensão e corrente que se

propagam através do eletrodo.

Das análises anteriores e curvas apresentadas, alguns comentários relevantes

podem ser destacados:

i. De acordo com a definição de impedância impulsiva e de comprimento efetivo,

pode-se inferir imediatamente que acréscimos no comprimento do eletrodo

além do efetivo não implica na diminuição da elevação de potencial máxima no

ponto de injeção.


105


diferentes valores de resistividade e injeção de uma onda de corrente de 3/20 µs.

ii. De acordo com as Figs. 5.15 e 5.16 pode observar que o comprimento efetivo

apresenta valores mais elevados para aterramentos solicitados por ondas de

corrente mais lentas. Entretanto, deve-se observar que, por meio desse

raciocínio, o valor de Lef pode se tornar excessivamente elevado para

solicitações oriundas da injeção de ondas de corrente muito lentas. Nestes

casos, o comportamento da impedância de aproxima daquele de uma

resistência e acréscimos no comprimento implicam na “contínua” redução da

resistência de aterramento. Assim, ao tratar do conceito de comprimento

efetivo deve-se ficar claro que sua aplicação se restringe a investigação de

transitórios de altas freqüências, associados principalmente à incidência de

descargas atmosféricas. Assim, quando se utiliza os termos “onda rápida” e

“onda lenta” nesta seção, entende-se que ambas representam ondas de

corrente características de descargas atmosféricas; todavia, a rápida apresenta

tempo de frente mais reduzido se comparado à lenta.

iii. A Fig. 5.17 apresenta as curvas de impedância impulsiva em função do

comprimento do eletrodo para um solo de resistividade 2.400 Ω.m e injeção de

uma onda de corrente rápida (1,2/20 µs) e uma onda de corrente lenta (3/20

µs). Observa-se que as duas curvas apresentam comportamento bastante

similar até que o comprimento efetivo para o eletrodo solicitado pela onda de

10 20 30 40 50 60 70 80 900

100

200

300

400

500

600

700


Zp

( Ω)

ρ = 5.000 Ω.m

ρ = 2.400 Ω.mρ = 1.000 Ω.m

ρ = 500 Ω.m


106

corrente rápida é atingido. A partir desse ponto, reduções no valor da

impedância impulsiva somente são observadas para o eletrodo solicitado pela

onda lenta até que seu comprimento efetivo também seja atingido. Das curvas

ilustradas na Fig. 5.17 deriva-se uma observação importante; nem sempre a

injeção de ondas de corrente mais lentas implica em níveis de sobretensão

inferiores àqueles oriundos da injeção de uma onda de corrente mais rápida.

Essa conclusão somente é verdadeira naqueles casos em que o eletrodo

apresenta comprimento superior ao comprimento efetivo referente à onda de

corrente rápida. Por exemplo, de acordo com a Fig. 5.17, para um eletrodo de

30 m, inserido em um solo de resistividade igual a 2.400 Ω.m, os valores de

pico de sobretensão desenvolvidos a partir da injeção de uma onda de corrente

rápida e lenta seriam praticamente os mesmos. Já para um eletrodo de 70 m,

os valores de pico de sobretensão observados a partir da injeção de uma onda

de corrente rápida seriam mais elevados se comparados àqueles observados a

partir da injeção de uma onda lenta.


resistividade do solo 2.400 Ω.m e injeção de uma onda rápida (1,2/20 µs) e uma onda lenta

(3/20 µs).

10 20 30 40 50 60 70 80 9050

100

150

200

250

300

350


Zp

( Ω)

onda rápida onda lenta


107

5.4.7 – Cálculo de tensão no domínio do tempo

A avaliação das sobretensões transitórias desenvolvidas no aterramento é de

fundamental importância, uma vez que revela parâmetros de grande importância

prática, como, por exemplo, a tensão máxima a que fica submetido o aterramento

quando da incidência da descarga atmosférica e o instante de tempo em que esse

máximo ocorre. Ademais, pode-se avaliar o tempo a que o aterramento fica submetido

a determinados níveis transitórios de tensão. A Fig. 5.18 ilustra os gráficos de

sobretensão no ponto de injeção para eletrodos horizontais inseridos em solos com

diferentes valores de resistividades e solicitados por uma onda de corrente de 1,2/20

µs. Das curvas da Fig. 5.18 pode-se derivar diretamente os valores de pico de tensão

desenvolvidos no ponto de injeção do aterramento. Como esperado, nota-se que os

maiores níveis de sobretensão são observados nos solos com valores de resistividade

mais elevados. O comprimento efetivo do eletrodo pode também ser estimado a partir

das curvas ilustradas na Fig. 5.18, como aquele comprimento a partir do qual não há

redução significativa do valor de pico de tensão resultante no aterramento. Para um

solo de resistividade de 500 Ω.m, por exemplo, percebe-se que um aumento do

comprimento do eletrodo além de 30 m não resulta em redução do valor de pico de

tensão. A partir desse comprimento, o valor máximo de tensão resultante não se

modifica, mesmo quando se tem um eletrodo de 90 m. Deve-se salientar que nas

curvas geradas adota-se um passo de 10 m até o comprimento de 30 m (10, 20 e 30

m) e 20 m até o comprimento de 90 m (30, 50, 70 e 90 m). Maior exatidão com relação

ao comprimento efetivo nas situações investigadas, assim como em condições

adicionais, pode ser obtida com um refinamento do procedimento pela diminuição do

passo de variação do comprimento do condutor. Obviamente, a determinação do

comprimento efetivo pode ser realizada mediante análise das curvas apresentadas

anteriormente na Fig. 5.15.

Os gráficos da Fig. 5.18 foram obtidos para valores fixos de resistividade e

permissividade elétrica do solo. Anteriormente, já havia sido considerado

qualitativamente o efeito da dependência dos parâmetros do solo com a freqüência.

De forma geral, o aumento da condutividade com a freqüência implica na redução da

impedância de aterramento. Já a diminuição da permissividade considerada

isoladamente resulta no aumento dessa mesma grandeza. Entretanto, deve-se

ressaltar que a corrente capacitiva é proporcional ao produto da permissividade pela

freqüência, sendo observado um aumento dessa relação ao longo do espectro, o que

implica, portanto, também na redução da impedância de aterramento. A análise

apenas qualitativa dos efeitos da variação dos parâmetros do solo com a freqüência


108

não permite a quantificação das intensidades reais deste efeito sobre o

comportamento do aterramento. Para ilustrar essa influência foi calculada a tensão

resultante em um eletrodo de aterramento de 70 m ao ser injetada uma corrente

impulsiva de 1,2/20 µs em uma de suas extremidades. No cálculo das sobretensões

foram consideradas duas hipóteses: i) valores de resistividade e permissividade do

solo variáveis com a freqüência e ii) valores fixos de resistividade e permissividade do

solo. Os resultados para essas duas hipóteses estão ilustrados na Fig. 5.19. É notável

o efeito da variação dos parâmetros do solo com a freqüência, que influencia não

apenas na amplitude, mas na forma da onda de sobretensão resultante. O valor de

pico da onda de tensão é reduzido nas simulações em que a variação dos parâmetros

do solo é incluída. Tal efeito é prontamente compreendido uma vez que, conforme já

comentado, um dos efeitos previstos quando da inclusão da dependência dos

parâmetros do solo com a freqüência corresponde à redução da impedância de

aterramento. Observa-se que o efeito na redução da amplitude máxima de tensão é

mais pronunciado, principalmente, em solos de resistividade elevada. Tal efeito pode

ser melhor compreendido a partir de uma análise da razão entre o valor da

resistividade para baixas freqüências (100 Hz) e para freqüências mais elevadas,

obtida a partir da formulação de Portela [19], conforme Tabela 5.1. A referida razão

aumenta quase que em proporção direta com o aumento da resistividade. Observe-se,

por exemplo, que um solo de resistividade igual a 5.000 Ω.m, medida a partir de

técnicas típicas de baixas freqüências, é reduzida de quase 50 vezes para uma

freqüência de 2 MHz. Essa redução acentuada permite compreender as sensíveis

diminuições nos níveis máximos de tensão transitória, sobretudo em eletrodos

inseridos em solos de elevado valor de resistividade. Nota-se, também, que as formas

de onda de tensão transitória são alteradas não apenas na amplitude, mas também na

forma. Tal alteração está intimamente ligada ao fato de que em freqüências elevadas

os efeitos condutivos tornam-se significativos quando considerada a variação dos

parâmetros do solo, o que implica na alteração do defasamento da impedância,

sobretudo em freqüências mais elevadas. Esse efeito se traduz na distorção da onda

de tensão transitória resultante em relação àquela obtida sem a inclusão da variação

dos parâmetros eletromagnéticos, conforme ilustram os gráficos da Fig. 5.19. Tal

aspecto elucida bem a correspondência entre defasamento no domínio da freqüência

e distorção no domínio do tempo. Salienta-se que no estudo das sobretensões

originadas em um sistema de aterramento devido à incidência de descargas

atmosféricas, é de fundamental importância o conhecimento não apenas dos picos de

tensão desenvolvidos, porém também a forma da onda de tensão transitória. As

curvas ilustradas na Fig. 5.19 sugerem que a inclusão da variação dos parâmetros do


109

solo com a freqüência é fundamental para a correta quantificação das variáveis

citadas. Julga-se, portanto, que no estudo e modelagem de aterramentos atenção

especial deve ser dispensada na análise das características do solo, o que

praticamente não é observado atualmente nos trabalhos presentes na literatura

especializada. De qualquer maneira, a não inclusão da variação dos parâmetros

eletromagnéticos do solo com a freqüência conduz a um estudo conservativo das

sobretensões.

Tabela 5.1 – Razão entre a resistividade do solo em baixas e altas freqüências.

ρ100Hz (Ω.m) ρ100Hz / ρ500kHz ρ100Hz / ρ1MHz ρ100Hz / ρ2MHz

500 2,79 3,91 5,75

1000 4,57 6,83 10,51

2400 9,57 14,99 23,82

5000 18,86 30,14 48,54

(a)

0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

60

70

Tempo (µs)

Ten

são

(kV

)

L = 10 m

L = 20 m

L = 30 m

L = 50 m

L = 70 m

L = 90 m


110

(b)

(c)

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

120

140

Tempo (µs)

Ten

são

(kV

)L = 10 m

L = 20 m

L = 30 m

L = 50 m

L = 70 m

L = 90 m

0 2 4 6 8 100

50

100

150

200

250

300

350

Tempo (µs)

Ten

são

(kV

)

L = 10 m

L = 20 m

L = 30 m

L = 50 m

L = 70 m

L = 90 m


111

(d)

Figura 5.18 – Tensões resultantes da injeção de uma onda de corrente de 1,2/20 µs na

extremidade de eletrodos horizontais para solos com valores de resistividade de (a) 500 Ω.m

(b) 1.000 Ω.m (c) 2.400 Ω.m e (d) 5.000 Ω.m.

(a)

0 2 4 6 8 100

100

200

300

400

500

600

700

800

Tempo (µs)

Ten

são

(kV

)

L = 10 m

L = 20 m

L = 30 m

L = 50 m

L = 70 m

L = 90 m

0 2 4 6 8 100

5

10

15

20

25

30

35

40

Tempo (µs)

Ten

são

(kV

)

σ(ω) e ε(ω)

σ e ε fixos


112

(b)

(c)

0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

60

Tempo (µs)

Ten

são

(kV

)

σ(ω) e ε(ω)

σ e ε fixos

0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Tempo (µs)

Ten

sao

(kV

)

σ (ω) e ε(ω)

σ e ε fixos


113

(d) Figura 5.19 – Tensões resultantes da injeção de uma onda de corrente de 1,2/20 µs na

extremidade de um eletrodo horizontal de 70 m para solos com valores de resistividade de (a)

500 Ω.m (b) 1.000 Ω.m (c) 2.400 Ω.m e (d) 5.000 Ω.m considerando a variação dos parâmetros

eletromagnético do solo (σ e ε) com a freqüência.

5.4.8 – Cálculo de campo elétrico no nível do solo As correntes que circulam pelos eletrodos de aterramento, quando solicitado

por fenômenos transitórios de alta freqüência, podem induzir tensões nos cabos e

equipamentos nas proximidades. Tais tensões induzidas acarretam o mal

funcionamento ou mesmo a destruição de equipamentos eletrônicos sensíveis em, por

exemplo, uma subestação automatizada [99]. Em freqüências elevadas, o cálculo da

tensão entre dois pontos é dependente do caminho e deve ser avaliada por meio da

integração do campo elétrico entre eles. Dessa forma, para quantificação dos valores

de tensão induzida é de fundamental importância o conhecimento apurado das

distribuições espaciais e temporais de campo elétrico nas proximidades do

aterramento, quando solicitado por uma corrente advinda da incidência de descarga

atmosférica [101].

Conforme já comentado no Capítulo 4, o campo elétrico total associado a um

eletrodo de aterramento energizado é composto por uma parcela conservativa

0 5 10 15 20 250

25

50

75

100

125

150

Tempo (µs)

Ten

são

(kV

)

σ(ω) e ε (ω)

σ e ε fixos


114

( )

( ) ( )

T

TV 2

I1V

4

I1E V 1

4

r

rr

ej r

r e aj r

γ

γ

π σ ωε

γπ σ ωε

−

−

= + = −∇ = + +

r r r, (5.2)

e uma parcela solenoidal

j

j

Lj

L

A Lj

L

A I4

E A I4

r

j

r

j

edl

r

ej j dl

r

γ

γ

µπ

µω ωπ

−

−

=

= − = −

∫

∫

rr

rrr. (5.3)

A inclusão de ambas as parcelas do campo elétrico nos procedimentos de

cálculo é essencial para correta quantificação das tensões induzidas nas proximidades

do aterramento.

A Fig. 5.20 ilustra o perfil de campo elétrico ao longo da superfície do solo,

acima de um eletrodo de 15 m, inserido em um solo de resistividade igual a 1.000 Ω.m,

considerando duas metodologias de cálculo. Para melhor visualização da distribuição

do campo, o eletrodo foi posicionado entre os pontos 2,5 e 17,5 m com relação à

origem do eixo de referência. Na Fig. 5.20(a) considera-se apenas as fontes

transversais de corrente (incluindo a corrente de deslocamento), desprezando-se os

efeitos das fontes de corrente longitudinais, o que se constitui uma aproximação típica

de metodologias desenvolvidas para baixas freqüências. Na Fig. 5.20(b) considera-se

o modelo completo, incluindo ambas as fontes de corrente, transversal e longitudinal.

Observa-se que o campo elétrico diminui com o aumento da freqüência quando é

considerada a metodologia simplificada de cálculo, conforme Fig. 5.20(a). Todavia,

quando ambas as fontes de campo são consideradas nota-se um comportamento

completamente diferente, conforme ilustra a Fig. 5.20(b). É nítida a contribuição do

componente de campo elétrico associado à variação da corrente longitudinal,

principalmente em freqüências mais elevadas. A Fig. 5.21 apresenta os valores de

campo elétrico calculados a partir do modelo completo com a inclusão da variação dos

parâmetros eletromagnéticos do solo com a freqüência. Nota-se que o comportamento

do campo elétrico é bastante distinto daquele ilustrado na Fig. 5.20(b) e que este

apresenta valores reduzidos em freqüências elevadas uma vez que, dada a variação

dos parâmetros do solo ao longo do espectro, nesta faixa o solo apresenta valores

elevados de condutividade elétrica e o efeito de atenuação é acentuado.


115

(a)

(b)

Figura 5.20 – Campo elétrico ao longo da superfície do solo devido a um eletrodo horizontal

considerando (a) apenas fontes de corrente transversal e (b) as fontes de corrente, transversal

e longitudinal.

0 5 10 15 200

5

10

15

20

25


Inte

nsid

ade

de c

ampo

elé

tric

o (V

/m)

60 Hz

1 MHz

2 MHz

0 5 10 15 200

5

10

15

20

25

30

35

40

Distância do longo do perfil (m)

Inte

nsid

ade

de c

ampo

elé

tric

o (V

/m)

60 Hz

1 MHz

2 MHz


116

Figura 5.21 – Campo elétrico ao longo da superfície do solo devido a um eletrodo horizontal

incluindo a variação dos parâmetros eletromagnéticos com a freqüência.

A Fig. 5.22 apresenta o valor absoluto do campo elétrico transitório em três

pontos distintos ao longo da superfície do solo com a adoção de parâmetros do solo

fixo e variáveis com a freqüência, considerada a injeção de uma corrente impulsiva de

1,2/20µs. Observam-se claras diferenças tanto na amplitude como na forma da onda

resultante. As conclusões e comentários apresentados na análise das ondas de

sobretensão, resultantes no ponto de injeção com a inclusão da variação dos

parâmetros do solo, são válidos para os resultados obtidos para o campo elétrico

transitório.

É nítida a diferença entre os valores e comportamento do campo elétrico, nos

domínios do tempo e da freqüência, dependendo da metodologia de cálculo

empregada. O emprego de metodologias simplificadas, baseadas em aproximações

típicas de fenômenos de baixa freqüência, mostrou-se inconsistente no cálculo de

campos na faixa superior do espectro, apresentando comportamento bastante distinto

daquele obtido mediante aplicação da modelagem completa. Metodologias que

incluem a variação dos parâmetros do solo com a freqüência apresentam valores

reduzidos de campo elétrico, sobretudo na faixa superior do espectro. A avaliação do

campo elétrico transitório também ilustra a acentuada influência da inclusão da

dependência dos parâmetros do solo com a freqüência, com alterações na amplitude e

forma da onda resultante. Deve-se salientar que nos estudos de compatibilidade

0 5 10 15 200

5

10

15

20

25


Inte

nsda

e de

cam

po e

létr

ico

(V/m

)

60 Hz

1 MHz

2 MHz


117

eletromagnética e cálculos de tensões induzidas, a correta determinação da frente de

onda do campo elétrico é essencial.

(a)

(b)

0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

Tempo (µs)

Inte

nsid

ade

de c

ampo

elé

tric

o (k

V/m

)

x = 2,5 mσ e ε fixos

x = 2,5 mσ(ω) e ε(ω)

0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

Tempo (µs)

Inte

nsid

ade

de c

ampo

elé

tric

o (k

V/m

)

x = 17,5 mσ(ω) e ε(ω)

x = 17,5 mσ e ε fixos


118

(c) Figura 5.22 – Campo elétrico transitório na superfície do solo devido a um eletrodo horizontal

nos pontos (a) x = 2,5 m (b) x = 17,5 m e (c) 25 m.

É importante destacar, ainda, que o campo elétrico calculado nesta seção é

devido apenas à corrente que circula no aterramento. Todavia, na determinação do

campo elétrico total na superfície do solo, deve ser acrescida a parcela de campo

referente à corrente do canal da descarga atmosférica. Essa última parcela é

significativa e representa a maior parte do campo elétrico induzido na superfície do

solo, quando da incidência de uma descarga atmosférica no sistema elétrico [102].

5.5 – Estudo de circuitos equivalentes para represe ntação de hastes verticais de aterramento

O conjunto de simulações apresentadas nesta seção tem como objetivo

investigar circuitos equivalentes simplificados para representação de hastes verticais

de aterramento.

Essa configuração é uma das mais simples e utilizadas como meio de conexão

do sistema elétrico à terra [10], [103]. Representa, ainda, a configuração

predominantemente utilizada nos sistemas de aterramento de redes de distribuição e

edificações. O comportamento de hastes verticais de aterramento é bem conhecido

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tempo (µs)

Inte

nsid

ade

de c

ampo

elé

tric

o (k

V/m

) x = 25 mσ e ε fixos

x = 25 mσ(ω) e ε(ω)


119

em baixas freqüências e é, em geral, analisado a partir de metodologias baseadas na

teoria de circuitos. Todavia, seu desempenho em altas freqüências também é

importante, principalmente quando são submetidas a surtos atmosféricos [10]. Neste

último caso, o valor da impedância do aterramento é um parâmetro de fundamental

importância, uma vez que, a partir dela, pode-se determinar os níveis máximos de

tensão a que o aterramento fica submetido. Em baixas freqüências, essa impedância é

usualmente aproximada por uma resistência de aterramento e a haste modelada por

um simples resistor [103]. Já em altas freqüências, esta é normalmente modelada por

um circuito RLC concentrado [10], [103]. Esses dois modelos são ilustrados na Fig.

5.23.

l

(a) (b) (c)

Figura 5.23 – (a) Situação física (b) Circuito equivalente em baixas freqüências

(c) Circuito equivalente em altas freqüências.

Modelagens baseadas na teoria de circuito adotam a aproximação de campos

eletromagnéticos quase-estáticos. Conseqüentemente, sua validade é limitada a

alguns kHz e a análise de transitórios associados à incidência de descargas

atmosféricas fica comprometida. Nesses casos, metodologias mais precisas,

baseadas diretamente na solução das equações de campo, como a apresentada nesta

dissertação, devem ser aplicadas.

Em princípio, é possível a utilização de metodologias mais robustas e precisas

para todos os casos. Todavia, nem sempre a aplicação de tais abordagens é prática,

principalmente por duas razões. Primeiro, existe um grande número de softwares

baseados em aproximações quase-estáticas, por exemplo, o EMTP/ATP. Segundo, os

códigos computacionais baseados diretamente nas equações de campo apresentam,

em geral, tempo computacional elevado e devem ser evitados sempre que possível.

Na impossibilidade de utilização de uma metodologia mais rigorosa para análise de

hastes verticais, o estudo é usualmente desenvolvido a partir de circuitos equivalentes.


120

Nessas situações, é importante adotar um circuito equivalente que represente o

aterramento de forma apurada, dentro das faixas de freqüência de interesse. Segundo

Olsen e Willis, a utilização de circuitos equivalentes para representação de hastes

verticais é limitada a uma freqüência que depende do comprimento do aterramento e

das características eletromagnéticas do meio [75]. De acordo com esses autores, a

utilização de um circuito RLC equivalente é limitada a hastes de comprimento inferior a

um décimo do comprimento de onda no solo, o que praticamente limita seu uso em

baixas freqüências [75].

Nesta seção são avaliadas as condições gerais, analisando não apenas o

comprimento de onda, mas também a resistividade do solo, em que um circuito

equivalente simples pode ser utilizado, a despeito de um modelo mais complicado. As

conclusões são determinadas a partir da comparação dos valores de impedância

calculados por meio da metodologia apresentada nesta dissertação e aqueles obtidos

do cálculo de um circuito equivalente.

5.5.1 – Impedância de hastes verticais Duas metodologias de cálculo da impedância de hastes verticais são

apresentadas nesta seção. A primeira é baseada no circuito equivalente ilustrado na

Fig. 5.23(c). Os parâmetros R, L e C podem ser calculados a partir das seguintes

expressões propostas por Sunde [37]:

( )4ln 1 Ω

2R

r

ρπ

= −

l

l, (5.4)

( )1

42 ln 1 FC

rπε

− = −

ll , (5.5)

( )0 2ln 1 H

2L

r

µπ = −

l l. (5.6)

A segunda metodologia de cálculo emprega a modelagem eletromagnética

proposta nesta dissertação. Uma vez que ela é baseada na solução rigorosa das

equações de Maxwell, adota um número reduzido de simplificações e foi validada por

meio de comparação com resultados de medição, serve como um padrão de

comparação.

Duas configurações são simuladas, uma haste curta ( 3 m=l ) e uma longa (

30 m=l ), inseridas em um solo mais condutivo (ρ 30 Ω.m= ) e menos condutivo (


121

ρ 300 Ω.m= ). Um raio de 1,25 cm para haste e permissividade relativa do solo igual a

10 são adotados em todas as simulações. Os parâmetros utilizados nas simulações

são semelhantes aos de dois outros trabalhos da literatura, um de Grcev e Popov

[103] e outro de Olsen e Willis [75], o que permite uma comparação direta dos

resultados obtidos nesta seção e por outros autores.

A Fig. 5.24 ilustra a comparação dos resultados obtidos do cálculo da

impedância de haste vertical, ao longo da freqüência, por meio do modelo de circuitos

e do modelo eletromagnético proposto nesta dissertação. Conforme se pode observar,

na faixa superior do espectro o modelo de circuito superestima o valor da impedância,

sendo tal efeito mais nítido no caso de hastes longas. Nesta faixa de freqüência, o

cálculo do circuito equivalente leva a valores elevados da reatância indutiva, reduzindo

a influência do ramo RC, o que ocasiona em valores de impedância irreais. O valor de

impedância computado por meio do circuito RLC equivalente está em acordo com o

modelo eletromagnético para freqüências em que o comprimento de onda é cerca de

dez vezes o tamanho da haste, conforme as conclusões de Olsen e Willis [75]. Os

resultados também estão em ótima concordância com aqueles obtidos por Grcev

[103]. Nota-se que um melhor ajuste entre os valores de impedância calculados por

ambas as metodologias é obtido para haste curta inserida em um solo mais resistivo (

3 m=l e ρ 300 Ω.m= ). Essa observação possui particular importância para locais

em o solo apresenta resistividade elevada, como é o caso brasileiro, e é melhor

explorada no item seguinte.

5.5.2 – Hastes verticais inseridas em solos de resi stividade elevada Nesta seção é considerada uma haste vertical curta, que corresponde a grande

parte das aplicações práticas, inserida em solos de resistividade elevada.

As Figs. 5.25 e 5.26 ilustram a impedância em função da freqüência,

computada por meio dos modelos de circuito e eletromagnético. Dois valores típicos

de resistividade de solos brasileiros são adotados (1.000 Ω.m e 2.000 Ω), sendo a

permissividade relativa igual a 10. A haste possui 3 m de comprimento e raio 1,25 cm,

em todas as simulações desta seção. Conforme se pode observar em ambas as Figs.

5.25 e 5.26, uma ótima concordância é obtida entre as duas metodologias em

praticamente toda a faixa de freqüência analisada, principalmente os resultados

concernentes ao módulo da impedância. Esse comportamento é consistente com a

interpretação de circuitos elétricos, uma vez que valores mais elevados de

resistividade implicam em um aumento da influência do ramo RC, o que reduz os

efeitos da reatância indutiva, principal responsável por valores extremamente elevados


122

(a)

(b)

Figura 5.24 – Módulo da impedância de (a) haste curta 3 m=l e (b) haste longa 30 m=l em

um solo mais condutivo ρ 30 Ω.m= e menos condutivo ρ 300 Ω.m= .

102

103

104

105

106

107

100

101

102

103

Freqüência (Hz)

Mód

ulo

da im

pedâ

ncia

(Ω

)

ρ = 30 Ω .m

ρ = 300 Ω .m

modelagem eletromagética

circuito RLC equivalente

102

103

104

105

106

107

101

102

103

Freqüência (Hz)

Mód

ulo

da im

pedâ

ncia

(Ω

)

ρ = 300 Ω .m

ρ = 30 Ω .m


modelagem eletromagnética


123

e irreais de impedância. O efeito do ramo RC pode ser observado a partir da

diminuição do módulo da impedância e do seu ângulo até valores negativos em

freqüências elevadas, conforme ilustram as Figs. 5.25 e 5.26.

Pequenas diferenças entre as duas metodologias são observadas apenas para

freqüências acima de 5 MHz, principalmente nas curvas de ângulo da impedância, o

que, todavia, não representa um problema na análise de problemas típicos associados

a transitórios oriundos de surtos atmosféricos. No caso de descargas, a faixa de

freqüência de análise do problema é, na maior parte das aplicações, determinada

pelos componentes de freqüência mais elevados existente no espectro de freqüência

da onda de corrente injetada. Uma vez que em aplicações práticas essa faixa de

freqüência é da ordem de 100 Hz a 1 MHz, a resposta transitória do aterramento é

pouco influenciada por componentes de freqüência acima de 5 MHz. Essa afirmação

pode ser facilmente confirmada por meio da avaliação da sobretensão transitória

resultante da injeção de uma onda de corrente impulsiva em uma haste de

aterramento vertical, obtida por meio dos modelos de circuito e eletromagnético. Um

gráfico dessa natureza é ilustrado na Fig. 5.27, que corresponde à resposta no tempo

de uma haste vertical imersa em um solo de resistividade 2.000 Ω.m para injeção de

uma corrente impulsiva de 0,7/20 µs. Observa-se que os resultados obtidos pelas

modelagens distintas estão em excelente concordância.

Os resultados obtidos nesta seção sugerem que um circuito equivalente

simples pode ser utilizado com boa aproximação na análise de hastes verticais,

inseridas em solos de resistividades elevadas, submetidas a surtos de altas

freqüências. Nesta seção foram analisadas hastes curtas; todavia, resultados bastante

similares podem ser obtidos para hastes mais longas utilizando mais de uma seção de

circuito RLC [10].

Considerando os gráficos analisados e os comentários anteriores, alguns

pontos podem ser destacados:

i) Um circuito RLC equivalente pode ser utilizado para estudo preliminar e

conservativo de hastes verticais, uma vez que o mesmo superestima os valores

de sua impedância de aterramento, principalmente em solos mais condutivos;

ii) Na análise de surtos de alta freqüência, hastes verticais curtas, imersas em

solos mais resistivos, podem ser modeladas, com boa aproximação dentro do

espectro de freqüência característico deste tipo de fenômeno, por um circuito

RLC equivalente. Nesse sentido, simulações confiáveis podem ser


124

desenvolvidas em programas de transitórios eletromagnéticas como, por

exemplo, o EMTP/ATP;

iii) A análise de hastes mais longas pode ser realizada de maneira similar à

descrita nesta seção mediante a adição de novas seções de circuito RLC [10].

Cabe, ainda, destacar que apesar dos resultados oriundos da aplicação de

metodologias simples baseadas na teoria de circuitos coincidirem razoavelmente bem

com os resultados da aplicação da modelagem eletromagnética proposta, deve-se ter

em mente que a análise por meio do circuito equivalente é limitada. Dela pode-se

obter variáveis de importância imediata para determinação de proteção contra

descargas atmosférica, como a impedância de aterramento e máxima elevação de

potencial. Todavia, análises mais complexas de cálculo de campo elétrico e tensões

induzidas em um estudo de compatibilidade eletromagnética, por exemplo, necessitam

de modelagens mais robustas e precisas.

(a)

102

103

104

105

106

107

0

50

100

150

200

250

300

350

Freqüência (Hz)

Mód

ulo

da im

pedâ

ncia

(Ω

)




125

(b) Figura 5.25 – Impedância de haste vertical inserida em solo de resistividade ρ = 1.000 Ω.m (a)

módulo da impedância (b) ângulo da impedância.

(a)

102

103

104

105

106

107

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Frequency (Hz)

Âng

ulo

da im

pedâ

ncia

(gr

aus)



102

103

104

105

106

107

0

100

200

300

400

500

600

700

Freqüência (Hz)

Mód

ulo

da im

pedâ

ncia

(Ω

)




126

(b) Figura 5.26 – Impedância de haste vertical inserida em solo de resistividade ρ = 2.000 Ω.m (a)

módulo da impedância (b) ângulo da impedância.

Figura 5.27 – Resposta transitória de haste vertical de aterramento em um solo resistivo

(ρ 2.000 Ω.m= ) calculada por meio das modelagens de circuito e eletromagnética.

102

103

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105

106

107

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Freqüência (Hz)

Âng

ulo

da im

pedâ

ncia

(gr

aus)



0 2 4 6 8 100

100

200

300

400

500

600

700

Tempo (µs)

Ten

são

(kV

)




127

5.6 – Conclusões

Neste capítulo foram apresentados os aspectos computacionais gerais de uma

ferramenta computacional cujo código implementa o modelo matemático apresentado

no Capítulo 4. Um conjunto de resultados objetivos, oriundos da aplicação da citada

ferramenta, foi obtido nos desenvolvimentos deste capítulo.

De forma abrangente, constitui-se importante contribuição a ferramenta

computacional desenvolvida para simulação de aterramentos elétricos e cálculo do

transitório eletromagnético que nele se estabelece devido à injeção de uma corrente

impulsiva. Naturalmente, uma vez que a formulação do modelo se baseia na solução

direta das equações básicas do eletromagnetismo, a ferramenta desenvolvida

apresenta como características essências a consistência física e generalidade de

aplicação. Apresenta, ainda, como destaque a capacidade de incluir o acoplamento

eletromagnético entre os elementos do aterramento e a variação dos parâmetros do

solo com freqüência, que é acentuada na faixa de freqüências analisadas.

Na seção 5.3 foram apresentados dois procedimentos distintos com fins de

validação do modelo. O primeiro constituiu-se na comparação dos resultados gerados

pela ferramenta desenvolvida com resultados experimentais, obtidos por medições

realizadas na França pela EDF, para tensão transitória resultante da injeção de uma

corrente impulsiva em um eletrodo horizontal e em uma haste vertical. Uma

concordância bastante razoável entre os resultados gerados e medidos foi observada.

O segundo constituiu-se na comparação dos resultados obtidos da modelagem

desenvolvida com aqueles gerados por outro modelo, também baseado na solução

direta das equações de campo e considerado referência na literatura, para cálculo de

campo elétrico gerado por um eletrodo energizado. Uma ótima concordância foi

observada entre os resultados obtidos por ambos os modelos.

Da aplicação da ferramenta a uma configuração básica de eletrodo horizontal,

decorreram algumas análises de sensibilidade do aterramento a algumas variáveis

relacionadas. De tais análises, algumas merecem destaque.

• Impedância na freqüência

Uma análise do módulo e ângulo da impedância de eletrodos horizontais, ao

longo do espectro de freqüência característico de uma descarga atmosférica, para

diversos comprimentos de eletrodo e diferentes tipos de solo, foi realizada. Observou-

se que na faixa de baixas freqüências a impedância possui módulo praticamente


128

constante e ângulo de fase igual a zero, ou seja, se aproxima de uma resistência.

Além disso, para aumentos do comprimento do eletrodo nesta faixa notou-se uma

redução da impedância quase em proporção inversa. Todavia, na faixa superior do

espectro, em que os efeitos de propagação são pronunciados, observou-se de

maneira geral que a influência do tamanho do eletrodo é pequena e os valores de

impedância são muito próximos, mesmo para aterramentos de grande extensão.

Mostrou-se que para o valor de resistividade médio brasileiro (1.000 Ω.m),

eletrodos de menor comprimento apresentam predominância dos efeitos capacitivos e

eletrodos de maior comprimento dos efeitos indutivos na faixa de altas freqüências.

Todavia, por meio da simulação de diferentes solos, mostrou-se que tal análise não

pode ser generalizada e que o efeito capacitivo se torna significativo mesmo para

eletrodos longos quando imersos em solos de elevada resistividade.

• Impedância impulsiva

Foram obtidos gráficos que relacionam a impedância impulsiva do aterramento

com o comprimento do eletrodo para diferentes valores de resistividade do solo. Como

esperado, verificou-se que a impedância impulsiva de uma mesma configuração de

aterramento é maior quando este se encontra enterrado em um solo de resistividade

mais elevada. Contatou-se, ainda, que a impedância impulsiva diminui com o aumento

do comprimento do eletrodo até atingir um patamar a partir do qual posteriores

acréscimos no comprimento não refletem na redução da impedância impulsiva.

• Comprimento efetivo de eletrodo de aterramento

A partir dos gráficos de impedância impulsiva em função do comprimento do

eletrodo foi determinado o comprimento efetivo de eletrodos horizontais de

aterramento para diferentes valores de resistividade do solo. Os resultados ilustraram

que o comprimento efetivo depende do tempo de frente da onda de corrente injetada

no aterramento e é tanto maior quanto mais lenta a solicitação. Mostrou-se que

eletrodos inseridos em solos de resistividade mais elevada apresentam valores

maiores de comprimento efetivo.

Constatou-se que, dentre as ondas de corrente características de descargas

atmosféricas, a injeção de uma onda mais lenta nem sempre resulta em picos de

tensão transitória menores que aqueles oriundos da injeção de uma onda mais rápida.

Mostrou-se que essa conclusão somente é verdadeira naqueles casos em que o


129

eletrodo apresenta comprimento superior ao comprimento efetivo referente à onda de

corrente rápida.

• Tensões transitórias

Da resposta em freqüência da impedância e aplicação de uma transformada

inversa de Fourier, obtiveram-se gráficos da tensão transitória no ponto de injeção do

aterramento. Verificou-se que o aumento do comprimento do eletrodo é eficaz na

redução dos valores de pico de tensão desenvolvidos até o comprimento efetivo, a

partir do qual acréscimos adicionais no comprimento não refletem em novas reduções.

Nos casos analisados em que a dependência dos parâmetros do solo com a

freqüência foi incluída, foram observadas alterações sensíveis tanto na amplitude

como na forma da onda de tensão transitória resultante. Reduções maiores nos

valores de pico de tensão foram observadas para solos com resistividade elevada.

Esse efeito relaciona-se com a acentuada redução da resistividade do solo observada

em solos pouco condutivos. Para um solo de, por exemplo, resistividade 5.000 Ω.m,

medida em baixa freqüência, observou-se a redução desse valor de cerca de 50 vezes

para uma freqüência de 2 MHz. As distorções mais significativas na forma de onda

também foram observadas para solos mais resistivos. De maneira geral, a não

inclusão da dependência dos parâmetros do solo com a freqüência conduz a um

estudo conservativo das sobretensões resultantes.

• Campos elétricos

Uma análise da distribuição do campo elétrico no nível do solo gerada por um

eletrodo horizontal energizado foi realizada. Adotaram-se três formas de cálculo do

campo elétrico no domínio da freqüência: i) forma simplificada com a desconsideração

da parcela de campo não conservativa; ii) forma completa com a inclusão da parcela

não conservativa; iii) forma completa com a inclusão da variação dos parâmetros do

solo com a freqüência.

Mostrou-se que, no cálculo do campo elétrico no nível do solo, a forma

simplificada conduz a valores menores que os obtidos por meio da forma completa na

faixa de altas freqüências. O emprego da forma completa com inclusão da

dependência dos parâmetros do solo com a freqüência gera resultados distintos das

duas metodologias anteriores, sendo os campos fortemente atenuados nas

freqüências elevadas.


130

A avaliação dos campos elétricos transitórios em pontos específicos na

superfície do solo levou a conclusões bastante similares àquelas obtidas no caso da

investigação das sobretensões, sendo observadas alterações na amplitude e forma da

onda de campo elétrico resultante da injeção de uma corrente impulsiva. Salienta-se

que a correta determinação da frente de onda do campo elétrico é de fundamental

importância para estudos ligados à interferência eletromagnética e cálculo de tensões

induzidas.

Um terceiro tipo de análise realizada neste trabalho teve como objetivo a

investigação de circuitos simplificados para representação de hastes verticais de

aterramento no estudo de fenômenos impulsivos. A análise foi realizada por meio da

comparação da impedância no domínio da freqüência obtida do cálculo de um circuito

RLC equivalente e emprego da modelagem desenvolvida. Para análises preliminares e

conservativas constatou-se que a utilização de um circuito RLC para modelagem da

haste vertical é válida, uma vez que o mesmo superestima os valores de impedância,

sobretudo para solos mais condutivos. No caso de solos de resistividade elevada,

como é o caso brasileiro, verificou-se que o emprego do circuito equivalente apresenta

valores de impedância e comportamento de tensão transitória bem próximos daqueles

obtidos a partir da modelagem desenvolvida quando são consideradas hastes curtas.

Nesse sentido, simulações de transitórios de alta freqüência podem ser realizadas, de

forma confiável, mediante a utilização de softwares do tipo EMTP/ATP. Contudo, deve-

se atentar que a análise por circuitos equivalentes permite apenas a quantificação de

variáveis mais diretas como impedância de aterramento e máxima elevação de

potencial. Análises mais complexas como cálculo de campos eletromagnéticos e

quantificação de tensões induzidas, por exemplo, necessitam de modelagens mais

robustas e fisicamente consistentes, como a desenvolvida nesta dissertação.

CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES


Ao final dessa dissertação cumpre avaliar alguns aspectos relativos às

contribuições e conseqüências do trabalho desenvolvido bem como responder a

importante pergunta: qual é a utilidade e aplicação da modelagem e ferramenta

desenvolvidas? O autor desta dissertação tem observado, em sua ainda bastante

breve experiência como pesquisador, que muitos trabalhos de altíssima qualidade

desenvolvidos por diversos pesquisadores com relação à teoria, simulação e

modelagem matemática, com ampla aplicabilidade industrial, são confinados às

universidades ou possuem divulgação relativamente restrita em termos de aplicação

prática. Uma vez que os problemas de engenharia, independentemente dos níveis de

abstração teórica envolvidos, são de cunho prático, julga-se que o estabelecimento de

uma relação, de mútuo benefício, entre academia e indústria é de fundamental

importância. A intensidade e o sucesso de tal relação dependem do estreitamento de

laços entre os engenheiros da indústria e os pesquisadores da universidade.

O presente trabalho representa um passo nessa direção com o

estabelecimento de uma parceria de pesquisa com a Companhia Energética de Minas

Gerais (CEMIG) no estudo da interação de descargas atmosféricas com os sistemas

elétricos. Nesta primeira etapa procurou-se desenvolver uma ferramenta de simulação

de sistemas de aterramento que contemple, de forma fisicamente consistente, a

análise de transitórios de alta freqüência. Espera-se que ela possa auxiliar os

engenheiros na solução de problemas relacionados ao desempenho de sistemas de

aterramento e proteção contra descargas. Vislumbra-se, ainda, o desenvolvimento de

um software completo cujo cerne é um código computacional que utiliza o estado da

arte do tema modelagem de aterramentos elétricos em altas freqüências. Esta

dissertação marca o início do desenvolvimento desse software.

Como uma etapa preliminar à implementação da referida ferramenta

computacional procedeu-se a um laborioso desenvolvimento analítico a partir da

aplicação das equações de Maxwell à configuração básica de interesse, constituída de

condutores cilíndricos imersos em um meio homogêneo e infinito. Os desdobramentos

desse desenvolvimento culminaram com o estabelecimento de um modelo consistente

Capítulo 6 – Conclusões

132

e geral para representação de sistemas de aterramento. As características essenciais

e potencialidades do modelo em questão merecem ser destacadas.

6.2 – Potencialidades do modelo eletromagnético des envolvido

A modelagem desenvolvida e apresentada no Capítulo 4 desta dissertação,

baseada diretamente nas equações básicas do eletromagnetismo, é aplicável a

configurações genéricas de aterramento. O seu emprego em domínios específicos de

configurações práticas de engenharia permite a exploração de certas simetrias e a

realização de consideráveis simplificações, que refletem diretamente na redução do

esforço de cálculo.

O modelo permite a inclusão dos acoplamentos eletromagnéticos entre os

diversos elementos do aterramento, aspecto de fundamental importância na análise de

fenômenos transitórios de alta freqüência. Ademais, uma vez que o cálculo do

transitório é realizado no domínio da freqüência, o modelo permite a inclusão da

variação dos parâmetros eletromagnéticos do solo, condutividade e permissividade

elétrica, que é acentuada na faixa de freqüência característica dos fenômenos

impulsivos investigados.

Outro aspecto de relevo decorre da aplicação do Método dos Momentos para

solução do modelo matemático desenvolvido. A possibilidade de escolha de diferentes

funções base para representação das distribuições de corrente ao longo dos eletrodos

de aterramento conduz a um aumento da generalidade de aplicação da modelagem e

permite a redução do número de elementos resultantes da discretização da malha de

aterramento.

A versão atual da ferramenta computacional que está sendo desenvolvida

implementa configurações de aterramento compostas por eletrodos horizontais, hastes

verticais e, ainda em fase de testes, malhas quadriculadas. A entrada de dados é

bastante otimizada, sendo informadas apenas as coordenadas dos eletrodos e as

características eletromagnéticas do solo. A partir desses dados uma série de

importantes resultados, nos domínios do tempo e da freqüência, são gerados.

São resultados obtidos no domínio da freqüência: impedância de aterramento,

perfil de potencial e distribuição de corrente ao longo do aterramento, distribuição de

potenciais no nível do solo, distribuição de campo elétrico no nível do solo e ao longo

da superfície do eletrodo.


133

São resultados obtidos no domínio do tempo: impedância impulsiva de

aterramento, tensão transitória resultante no ponto de injeção, potenciais e campo

elétrico no nível do solo.

Julga-se que a ferramenta desenvolvida pode ser um instrumento de valor no

auxilio ao estudo, análise e projeto de aterramentos, sobretudo quando é avaliado o

desempenho e comportamento dos mesmos frente a ocorrências rápidas. Pode, ainda,

servir de subsídio a estudos relacionados ao tema de compatibilidade eletromagnética

no cálculo de campos eletromagnéticos e tensões induzidas nas proximidades do

aterramento. Como ilustração das possibilidades associados a sua aplicação,

apresentou-se no Capítulo 5 uma série de análises de sensibilidade, relacionando

diversas variáveis presentes na análise de aterramentos e o seu desempenho, para

configurações básicas, nos domínio do tempo e da freqüência. A despeito do caráter

ilustrativo das aplicações, alguns aspectos interesse foram derivados. Um resumo dos

principais resultados obtidos encontra-se no fim do Capítulo 5 (seção 5.6 –

Conclusões).

Deve-se ainda salientar outro aspecto de interesse da possibilidade de

aplicação da modelagem apresentada em adição à questão, até então considerada, de

avaliação do desempenho do aterramento propriamente. A aplicação da ferramenta

desenvolvida a uma série de configurações e situações pode auxiliar na obtenção de

um banco de informações objetivas sobre o comportamento do aterramento em

diversas situações práticas. A divulgação de, por exemplo, tabelas que relacionam a

configuração de aterramento, comprimento efetivo e características da onda solicitante

pode ser extremamente útil aos engenheiros e técnicos que trabalham com proteção

de sistemas contra descargas atmosféricas. A ferramenta pode ainda servir como

padrão para calibração de outras modelagens mais simplificadas e que demandam

menor tempo computacional. A quantificação de impedâncias equivalentes do

aterramento para aplicação de um modelo de circuitos é um exemplo desta última

aplicação.

6.3 – Propostas de continuidade

Tendo em vista as realizações deste trabalho e a experiência adquirida durante

a produção desta dissertação, julga-se que alguns itens merecem explorações

adicionais, podendo-se citar, dentre estes:


134

• Avaliação da consideração do solo como meio homogêneo mediante a

ampliação da modelagem apresentada para um meio que apresente camadas

estratificadas;

• Desenvolvimento de uma modelagem mais adequada para inclusão do efeito

da interface solo-ar na investigação da propagação de surtos em eletrodos de

aterramento como, por exemplo, a inclusão das integrais de Sommerfeld;

• Inclusão de efeitos não lineares na ferramenta desenvolvida, sobretudo o

fenômeno de ionização do solo. Posterior avaliação desse efeito no

desempenho e comportamento transitório do aterramento;

• Avaliação da influência da forma de onda de corrente injetada a partir da

análise de outras funções diferentes da dupla exponencial como, por exemplo,

onda de corrente tipo rampa, côncava e função de Heidler;

• Investigação mais aprofundada do efeito da variação dos parâmetros

eletromagnéticos do solo com a freqüência na resposta transitória do

aterramento;

• Análise detalhada da relação entre a resistividade e tempo de frente da onda

de corrente injetada e o comprimento efetivo de eletrodos de aterramento.

Estabelecimento de relações matemáticas para essa relação e posterior

obtenção de fórmulas práticas para cálculo do comprimento efetivo;

• Avaliação das tensões induzidas em equipamentos situados nas proximidades

do aterramento e das tensões de toque e passo. Comparação dos resultados

obtidos para essas variáveis mediante aplicação da metodologia apresentada

nesta dissertação e aquelas recomendadas por normas;

• Determinação de limites em que os efeitos de propagação são significativos

com vistas à obtenção de modelagens simplificadas para investigação de

fenômenos mais lentos;

• Extensão da modelagem para outros elementos do sistema elétrico como, por

exemplo, torres, cabos fase e pará-raios;

• Investigação de outras funções base para representação das distribuições de

corrente ao longo dos eletrodos. A função pulso adotada nesta dissertação


135

corresponde a uma escolha razoável para o problema investigado; contudo,

requer a divisão da malha de aterramento em um número razoável de

elementos para obtenção de resultados precisos. A opção por uma função

base triangular, por exemplo, adiciona pouca complexidade ao código

computacional, porém pode reduzir drasticamente o número de elementos em

que a malha de aterramento é discretizada, uma vez que a corrente em cada

elemento é modelada por uma função que leva em conta a redução da corrente

no espaço;

• Desenvolvimento de uma análise detalhada da escolha de valores adequados

para a freqüência máxima de simulação e passo de freqüência, como por

exemplo, a investigação da aplicação da transformada wavelet.

Adicionalmente, investigação de outras técnicas para o processo de inversão

freqüência-tempo, bem como melhor avaliação das vantagens e desvantagens

das técnicas existentes.

Referências Bibliográficas

136

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MODELAGEM ELETROMAGNÉTICA DE ATERRAMENTOS ELÉTRICOS … · Alípio, Rafael Silva A412m Modelagem eletromagnética de aterramentos elétricos nos domínios do tempo e da freqüência