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MODELAGEM MATEMÁTICA: UM TRABALHO COM EMBALAGENS

Roseni de Jesus Corrêa1

Orientadora: Violeta Maria Estephan 2

RESUMO

O presente artigo relata uma experiência realizada com o uso de Modelagem

Matemática. Objetivou-se com este estudo verificar a viabilidade dessa metodologia em

sala de aula. Aplicou-se uma oficina sobre o tema Embalagens para trabalhar os

conteúdos de Geometria Espacial. Justifica-se o presente pela necessidade de buscar

novos caminhos para o ensino da Matemática que possibilitem a formação do aluno

crítico e transformador de sua realidade, o qual teve como referência os estudos

realizados em 2008, atendendo ao Programa de Desenvolvimento Educacional,

promovido pela Secretaria de Estado de Educação do Paraná.

Palavras chaves: Matemática. Modelagem Matemática. Embalagens.

ABSTRACT

This article reports an experiment conducted with the use a Mathematical

Modeling. The objective of this study is to verify the feasibility of this methodology in

the classroom. We applied a workshop on the theme to work packaging the contents of

Space Geometry. Justified this by the need to seek new avenues for the teaching of

mathematics to enable the pupil's critical thinking and transforming their reality. Who

took into consideration the studies conducted in 2008, given the Educational

Development Program, sponsored by the State Department of Education of Paraná.

Keywords: Mathematics. Mathematical Modeling. Packaging.

1Licenciada em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Jacarezinho,

FAFIJA. Especialista em Metodologia do Ensino-Aprendizagem da Matemática no Processo Educativo pela Faculdade de Educação “São Luís”. Professora de matemática da Rede Estadual de Ensino. 2 Professora do DAMAT da UTFPR. Mestre em Educação pela UFPR.

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INTRODUÇÃO

Segundo SKOVSMOSE (2001) é essencial que a educação da matemática

busque caminhos que a desviem da norma predominante de domesticação dos

estudantes, com vistas a sua adequação a sociedade tecnológica. O baixo rendimento

escolar deixa claro que é necessário um novo olhar sobre o ensino da matemática.

Ensinar matemática apenas com fins na própria matemática não atende mais os anseios

e necessidades dos alunos, causando muitas frustrações a todos os envolvidos nestes

processos. Esse mesmo autor argumenta que é possível educar o ser humano para ser

democrático e que a educação matemática tem um importante papel a desempenhar na

medida em que é a “porta de entrada” para uma sociedade cada vez mais impregnada

pela tecnologia. Defende ainda que o trabalho com projetos pode servir de veículo para

a Educação Matemática Crítica em uma sociedade cada vez mais moldada pela

tecnologia.

O grande desafio do ensino da matemática é a formação do aluno crítico e

transformador de sua realidade. Para isso são necessárias estratégias de ensino que

possibilitem ao aluno construir o conhecimento matemático. Dentre as atuais tendências

do ensino da matemática, optou-se por Modelagem Matemática, por estar de acordo

com a proposta da Educação Matemática Crítica. Modelagem Matemática se encaixa

perfeitamente na perspectiva de trabalhar com projetos, o que se constitui em um

desafio encantador, uma vez que, além de transformar o aluno em cidadão crítico,

possibilita a ele a compreensão do papel sócio-cultural da matemática, tornando-a mais

rica de significado.

Com esta intenção, faz-se aqui um relato de uma experiência realizada com

Modelagem Matemática como estratégia de ensino, cujo objetivo foi constatar a

viabilidade dessa metodologia no Ensino Médio.

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Muitos são os desafios que permeiam o Ensino da Matemática. Para

BIEMBIGUTE e HEIN (2005) o maior deles é a formação do aluno crítico e

transformador de sua realidade. As pesquisas em Educação Matemática sugerem várias

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estratégias de ensino, nas quais o papel do professor é propor atividades que propiciem

ao aluno a construção do conhecimento matemático. Atualmente algumas tendências se

destacam no Ensino da Matemática: Resolução de Problema, Modelagem Matemática,

Novas Tecnologias, Etnomatemática, História da Matemática e Investigação. Dentre

elas optou-se por Modelagem Matemática, porque, além de estar de acordo com as

aspirações da Educação Matemática Crítica, envolve também outras áreas do

conhecimento. “Modelagem Matemática é um ambiente de aprendizagem, no qual os

alunos são convidados a indagar e/ou investigar por meio da Matemática, situações com

referência na realidade.” (BARBOSA, 2001, p. 31). O Ensino da Matemática ganha

significado ao se trabalhar explorando questões com base na realidade. Os conteúdos

surgem naturalmente como uma necessidade para entender e resolver a situação

problema em questão, aumentando assim o interesse do aluno em aprender matemática.

“Modelagem Matemática consiste na arte de transformar, problemas da

realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na

linguagem do mundo real.” (BASSANEZI, 2002, p. 24). Essa afirmação reforça o

pensamento de que trabalhar Modelagem Matemática se constitui em um processo

artístico, em que, para elaborar um modelo é preciso muito mais do que o conhecimento

matemático formal, sendo necessárias intuição e criatividade para perceber qual

conhecimento matemático melhor descrever a situação estudada.

Ao se reportar um pouco no passado, percebe-se que as grandes descobertas

surgiram diante da necessidade do homem de resolver situações da sua realidade. Com

base nesse raciocínio surge a Modelagem Matemática como uma importante ferramenta

na conquista de novos rumos para o Ensino da Matemática, criando condições para o

desenvolvimento da Educação Matemática Crítica, defendida por educadores, entre os

quais destacam-se Olé Skovsmose (Dinamarca) e Ubiratan D’Ambrósio (Brasil).

Diante da necessidade da conquista de um ambiente de aprendizagem que

possibilite a construção do conhecimento pelo aluno, e sendo a Modelagem uma

estratégia de ensino com tais características, BARBOSA (2004) defende que:

O ambiente de Modelagem está associado à problematização e investigação.

O primeiro refere-se ao ato de perguntar e/ou problemas enquanto que o

segundo, à busca, seleção, organização e manipulação de informações e

reflexão sobre elas. Ambas as atividades não são separadas, mas articuladas

no processo de envolvimento dos alunos para abordar a atividade proposta.

Nela, pode-se levantar questões e realizar investigações que atingem o

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âmbito do conhecimento reflexivo. (p. 4)

Dessa forma, a Modelagem Matemática no ensino representa um caminho para

despertar no aluno o interesse pela Matemática através da qual irá desvendar situações

de sua realidade. BIEMBIGUT e HEIN (2004) defendem que isso ocorre “porque é

dada ao aluno a oportunidade de estudar situações-problema por meio da pesquisa,

desenvolvendo seu interesse e aguçando seu senso crítico.” (p. 18) O uso de Modelagem

pode ocorrer em qualquer etapa de ensino. Algumas justificativas para sua utilização

são enumeradas por SILVEIRA e RIBAS (2004, parte 2):

1) Motivação dos alunos e do próprio professor.

2) Facilitação da aprendizagem. O conteúdo matemático passa a ter mais

significação, deixa de ser abstrato e passa a ser concreto.

3) Preparação para a profissão.

4) Desenvolvimento do raciocínio lógico e dedutivo em geral.

5) Desenvolvimento do aluno como cidadão crítico e transformador de sua

realidade.

6) Compreensão do papel sócio-cultural da matemática, tornando-a assim,

mais importante. (p. 1)

O uso de uma metodologia de ensino diferente, assim como Modelagem

Matemática, exige muitas mudanças no trabalho docente, a começar pela concepção do

currículo. Em cursos regulares, nos quais há um programa a ser cumprido,

BIEMBIGUT e HEIN (2004) sugerem que:

... o processo de modelagem precisa sofrer algumas alterações, levando em

consideração principalmente o grau de escolaridade dos alunos, o tempo

disponível que terão para o trabalho extra classe, o programa a ser cumprido

e o estágio que o professor se encontra, seja em relação ao conhecimento da

modelagem, seja no apoio por parte da comunidade escolar para implantar

mudanças. (p.18)

Para pôr em prática o método, os mesmos autores sugerem cinco passos:

Diagnóstico: um levantamento sobre os alunos: a realidade socioeconômica, o

grau de conhecimento matemático, o horário da disciplina, o número de alunos por

turma, a disponibilidade de tempo para realizar trabalhos extraclasse.

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Escolha do tema ou modelo matemático: Quando o tema for único por um

período letivo, este deve ser abrangente o suficiente para desenvolver os conteúdos e, ao

mesmo tempo, deve ser interessante para manter o estado motivacional dos alunos.

Desenvolvimento do conteúdo programático: seguem-se as mesmas etapas do

processo de modelagem: Interação – reconhecimento da situação problema;

Matematização – formulação e resolução do problema; e Modelo matemático –

interpretação e validação.

Orientação de modelagem: o objetivo principal do trabalho com modelagem é

criar condições para que os alunos aprendam a fazer modelos matemáticos,

aprimorando seus conhecimentos. Os alunos escolhem o tema e a direção do próprio

trabalho, cabendo ao professor promover essa autonomia.

Avaliação do processo: o ensino de Matemática deve proporcionar ao aluno,

em primeiro lugar, sólida formação matemática, capacidade para enfrentar e resolver

problemas, saber realizar uma pesquisa, capacidade em utilizar máquinas (calculadoras

e computadores) e capacidade de trabalhar em grupo. Para isso devem-se considerar

dois aspectos:

- avaliação como fator de redirecionamento do trabalho do professor;

- avaliação para verificar o grau de aprendizagem do aluno, analisando os

aspectos subjetivos (a observação do professor) e objetivos (provas, exercícios,

trabalhos realizados).

Muitos professores sentem-se inseguros para trabalhar Modelagem Matemática.

Habituados às aulas tradicionais, sentem-se numa área confortável, porque, além de

dominar essa metodologia, conseguem prever todos os conteúdos que desejam

trabalhar, usando a exposição oral, que vem seguida da famosa lista de exercícios do

tipo siga o modelo. Há certa resistência em se arriscar no uso de uma metodologia em

que não conseguem prever todas as atividades. Essas surgem da necessidade imposta

pela obtenção do modelo, assumindo o professor o papel de mediador da aprendizagem.

BARBOSA (2005) apresenta três casos possíveis no trabalho com modelagem:

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1) Caso 1. O professor apresenta a descrição de uma situação-problema, com as

informações necessárias à sua resolução e o problema formulado, cabendo aos alunos o

processo de resolução.

2) Caso 2. O professor traz para a sala um problema de outra área da realidade,

cabendo aos alunos a coleta das informações necessárias à sua resolução.

3) Caso 3. A partir de temas não-matemáticos, os alunos formulam e resolvem

problemas. Eles também são responsáveis pela coleta de informações e simplificação

das situações-problema. É via do trabalho de projetos.

Em todos os casos, o professor é concebido como “co-partícipe” na investigação

dos alunos, dialogando com eles acerca de seus processos.

CASO 1

CASO 2

CASO 3

Elaboração da situação-

problema

professor professor professor/aluno

Simplificação professor

professor/aluno professor/aluno

Dados qualitativos e

quantitativos

professor professor/aluno professor/aluno

Resolução professor/aluno

professor/aluno professor/aluno

Figura 1. O aluno e o professor nos casos de Modelagem.

O início do trabalho com modelagem não é algo tão simples, porém pode

perfeitamente ser usado no ensino desde que o professor realmente queira modificar sua

prática e esteja disposto a estudar muito e adotar uma concepção de ensino bem

diferente da usada atualmente. Recomenda-se que a princípio o professor use atividades

mais simples, como a do caso 1, pois isso irá facilitar seu trabalho e irá torná-lo mais

confiante para ousar mais e, aos poucos, com mais segurança, usar tipos dos casos 2 e 3.

Além de trabalhar numa abordagem que exige do professor uma postura

totalmente diferente da usada no ensino tradicional, surge a dificuldade de conciliar o

currículo a essa estratégia de ensino, uma vez que em sua essência a escolha do tema

deve partir do aluno. Porém, muitos autores colocam que se pode adaptar o trabalho de

Modelagem com as condições de trabalho do professor. BIEMBIGUT e HEIN (2004)

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afirmam que a escolha do tema pode partir do professor ou propor que os alunos

escolham. A grande vantagem da escolha do tema ser feita pelos alunos é que se sentem

participantes do processo. Por outro lado, o tema pode ser muito complexo ou não ser

adequado para desenvolver o programa, exigindo do professor um tempo que não

dispõe para aprender e ensinar. Diante dessa dificuldade, BASSANEZI (2002) sugere

que se trabalhe modelagem parcial e resolução de problemas, ou seja, “trabalhar com

modelagens curtas de temas distintos a cada tópico introduzido, completando com

problemas propostos que se relacionem com o conteúdo estudado.” (p. 185)

A opção de trabalhar modelagem cabe ao professor. Habilidade e segurança só

se adquirem com a experiência. Então, a melhor forma de aprender a trabalhar

modelagem é fazer modelagem. Aos professores que querem fazer um trabalho com

Modelagem, mas não se sentem seguros, BIEMBIGUT e HEIN (2004) orientam:

- conhecer alguns modelos clássicos por meio da literatura a respeito da

história da ciência ou da ciência contemporânea, adaptando-os para a sala de

aula; ou

- apresentar cada um dos conteúdos do programa a partir de modelos

matemáticos de outras áreas do conhecimento (Física, Química, Economia,

dentre outras); ou

- aplicar trabalhos realizados por outros colegas, por tempo curto, com uma

única turma, de preferência aquela cujo conteúdo se tem maior domínio; e

- para os alunos, propor que busquem exemplos ou tentem criar seus

próprios modelos, sempre a partir da realidade. (p.30 )

O uso de modelagem como estratégia de ensino, quando bem aplicado, torna o

ensino uma atividade prazerosa, onde professores e alunos estão tão envolvidos na

investigação da situação problema em estudo que os conteúdos matemáticos vão

surgindo naturalmente. Aprendê-los é uma necessidade para vencer o desafio de

resolver o problema. Sendo assim, esse processo se torna muito mais significativo para

ambos. Aos professores coloca-se aqui um convite ao conhecimento e possível

aplicação dessa metodologia, cabendo a eles fazerem as adaptações necessárias às suas

condições de trabalho. Acredita-se que não podemos avaliar se uma determinada

metodologia é boa ou não se dela não fizermos uso. Ao se propor a realizar um trabalho

com Modelagem Matemática o professor pode descobrir um universo novo que irá

apoiá-lo em sua prática.

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3. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Para a realização da Intervenção Didática Pedagógica na Escola, foi realizada

uma oficina de Modelagem Matemática, abordando o tema embalagens.

Participaram dessa oficina 35 (trinta e cinco) alunos do 3º B do Ensino Médio do

Colégio Estadual São Pedro Apóstolo, localizado na Rua Primeiro de Maio nº 1160,

bairro Xaxim, CEP: 80810-000, em Curitiba, estado do Paraná. A Intervenção Didática

foi realizada, utilizando 2 (duas) aulas semanais durante 3 (três) meses, totalizando 20

(vinte) horas.

Esse tema foi escolhido por estar adequado ao currículo do primeiro semestre,

tempo em que a proposta foi aplicada. E teve como meta facilitar a compreensão dos

conteúdos de Geometria Espacial.

O primeiro momento foi a escolha da turma. A intenção era aplicar o trabalho no

3º A, porém já de início, quando foi explicado qual seria a metodologia desenvolvida,

essa turma se mostrou muito resistente, argumentando que o trabalho seria muito

demorado, não tinham interesse de trabalhar através da pesquisa e construção de

modelos, estavam muito preocupados com o vestibular e não abriam mão da famosa

lista de exercícios. Alguns alunos até recorreram à direção, dizendo que se sentiam

prejudicados. Devido a esse fato foi decido trabalhar em contra-turno com todos os

alunos do terceiro ano que tinham interesse na proposta. A lista de alunos interessados

contava com mais de vinte, o que tornava viável o contra-turno. Já no primeiro encontro

só compareceram metade desses. Ficava muito difícil conciliar os dias e horários que

atendessem a todos, pois muitos faziam outros cursos no período da tarde. Ainda assim

foram realizados mais dois encontros. O número de alunos ficava reduzido a cada

encontro. Até que no terceiro, somente um aluno compareceu. Uma vez fracassada a

ideia do contra turno, foi convidada a turma do 3º B para participar da proposta.

Inicialmente foi explicado à turma como seria desenvolvido o trabalho. Deixou-se bem

claro aos alunos que o uso de Modelagem Matemática, como estratégia de ensino,

implica uma metodologia, na qual eles passam a serem os agentes ativos da

aprendizagem. Houve boa aceitação da turma, que se mostrou muito interessada.

Finalmente o trabalho pôde ser desenvolvido e realizado em equipes, estabelecendo-se

no máximo seis alunos por equipe. Para a realização da primeira atividade, foi pedido às

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equipes que trouxessem embalagens de formatos variados. Coube a professora também

trazer embalagens que seriam necessárias ao trabalho.

1ª ATIVIDADE: ANALISANDO FORMAS E TIPOS DE

EMBALAGENS

Para essa atividade os alunos puderam consultar um material de apoio que foi

elaborado na segunda fase do P.D.E.( Programa de Desenvolvimento Educacional), na

construção do material didático, ao desenvolver a unidade didática que seria aplicada no

terceiro momento programa, foi previsto que possivelmente os alunos apresentariam

dúvidas quanto alguns conceitos, então esse material de apoio (em anexo) tem a

finalidade de servir para consulta e pesquisa.

Nesta atividade os alunos analisaram e classificaram as embalagens, em seguida

preencheram uma tabela como a apresentada a seguir (figura 1), na qual relacionavam a

forma da embalagem com o sólido geométrico a que ela se assemelhava.

Todas as equipes conseguiram realizar essa atividade sem dificuldades. Em

seguida foi pedido para que eles montassem cartazes colando as embalagens segundo

sua classificação: prismas, pirâmides e corpos redondos.

Tipo de embalagem Nome do sólido Prismas Pirâmides Corpos

Redondos

caixa de bombom paralelepípedo

retângulo x

caixa de Panetone

tronco de cone x

caixa de cinto

prisma hexagonal x

lata de ervilha Cilindro

x

casquinha de sorvete Cone

x

suco (tetra pak )

poliedro irregular

Figura 1: Tabela da equipe A

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2ª ATIVIDADE: IDENTIFICANDO FACES, ARESTAS E VÉRTICES

Foi solicitado aos alunos que preenchessem uma tabela como a apresentada a

seguir (figura 2), depois de identificarem em cada embalagem o número de vértices,

arestas e faces, relacionando o modelo da embalagem com o sólido que a representa.

Sempre que surgiam dúvidas quanto aos conceitos, podiam recorrer ao material de

apoio para pesquisa. A possibilidade de manusear as embalagens facilitou e reforçou a

compreensão dos conceitos teóricos.

Tipo de embalagem Nome do sólido Nº de vértices Nº de faces Nº de arestas

caixa de leite paralelepípedo

retângulo 8 6 12

caixa de panetone

tronco de cone 8 6 12

caixa de pizza

octaedro prisma octagonal

10 16 24

copo descartável

tronco de cone não há não há não há

lata de nescau cilindro não há não há não há

Figura 2: Tabela da equipe C

Nesta atividade os alunos puderam concluir que somente nos poliedros podemos

identificar faces, arestas e vértices, o que não acontece com os demais sólidos.

3ª ATIVIDADE: RELAÇÃO DE EULER

Para esta atividade foi necessário utilizar outros poliedros, pois as embalagens

possuíam um número de faces bem limitado. Foram usados poliedros construídos com

canudinhos e em papel cartão fornecidos pela professora. Pediu-se a cada equipe que

completasse uma tabela como a apresentada a seguir (figura 3), contando o número de

vértices, faces e arestas e em seguida respondesse as questões:

Existe alguma relação entre o número de vértices e faces com o número de

arestas? Em caso afirmativo, escreva essa relação.

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Nome do sólido Nº de vértices(V) Nº de faces(F) Nº de arestas(A) V+F

tetraedro

4 4 6 4+4

hexaedro

8 6 12 8+6

dodecaedro

20 12 30 20+12

icosaedro

12 20 30 12+20

octaedro

12 8 18 12+8

Figura 3: Tabela da equipe C

Esperava-se que os alunos chegassem à relação de Euler.

RELAÇÃO DE EULER

V+F- 2 = A

A equipe C foi a primeira a perceber a relação de Euler, seguida das outras

equipes. Somente a equipe E precisou de ajuda para preencher a quinta coluna. Foi

preciso induzi-los à soma de V+F.

4ª ATIVIDADE: CONSTRUÇÃO DE UM MODELO PARA A

CAIXINHA DE LEITE LONGA VIDA

A princípio foi pedido para que medissem a caixinha e calculassem sua área e

volume. Todas as equipes conseguiram realizar essa atividade com tranqüilidade.

Devido à imprecisão do instrumento de medida, a régua, não obtiveram valores iguais,

porém muito próximos, como mostra a tabela abaixo (figura 4):

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Equipes Comprimento(a) Largura(b) Altura(c) Área (cm2) Volume (cm

3)

A 9,5 cm 6 cm 16,5 cm 625,5 cm2 940,5 cm3

B 9,4 cm

6,4 cm 16,7 cm 648,0 cm2 1004,6 cm3

C

9,5 cm

6,5 cm 16,6 cm 654,7 cm2 1025,05 cm3

D

9,5 cm

6,5 cm 16,5 cm 657,5 cm2 1018,875 cm3

E

9,5 cm

6,5 cm 16,5 cm 657,5 cm2 1018,87 cm3

F

9,5 cm

6,4 cm 16,5 cm 646,3 cm2 1003,2 cm3

Figura 4: Resultado do trabalho das equipes

Após terem calculado a área e o volume da caixinha, foi proposto para cada

equipe criar um modelo para caixinha de leite com menor gasto de material. Segue a

tabela (figura 5) dos resultados obtidos pelas equipes:

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Equipes Comprimento(a) Largura(b) Altura(c) Área (cm2) Volume

(cm3)

A

20 cm

6,5 cm 7,7 cm 668,1,cm2 1001

cm3

B 8,9 cm

6,9 cm 16,3 cm 637,9,0 cm2 1000,983

cm3

C

10 cm

10 cm 10 cm 600 cm2 1000

cm3

D

9cm

12cm 8cm 864cm2 1018,815

cm3

E

5 cm

5 cm 25cm 550 cm2 625cm3

F

9 cm

8 cm 14 cm 620 cm2 1008

cm3

Figura 5: Resultado do trabalho das equipes

Pode-se perceber, pela tabela, que as equipes A, D e E não atenderam ao critério

do conteúdo de um litro com menor área.

As equipes E e F, numa discussão com seus componentes, perceberam seu

equivoco e pediram uma nova oportunidade para construir outro modelo. O pedido foi

aceito, uma vez que as equipes fariam apresentação de seu modelo na próxima aula.

Ao optar por realizar todo o trabalho em equipes, esperavam-se atitudes como as

citadas acima. As equipes foram estimulas a terem liberdade de ação, desde que fossem

consideradas todas as sugestões de seus componentes e que as decisões tomadas

deveriam ser analisadas e aceitas por todos. Sendo assim, o trabalho em equipe se torna

muito rico, oportunizando aos componentes discutirem e tomarem decisões conjuntas,

permitindo descobrir erros e corrigi-los. Os erros são fundamentais no processo da

descoberta. É preciso que o aluno se sinta livre para fazer estimativas, pois o medo de

errar bloqueia o aprendizado.

A equipe A não percebeu seu erro. Isso apenas ocorreu durante na apresentação.

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Segue o segundo modelo apresentado pelas equipes D e E, figura 6:

Equipes Comprimento(a) Largura(b) Altura(c) Área

(cm2)

Volume

(cm3)

D

9 cm

7 cm 16 cm 638 cm2 1008

cm3

E 10 cm

10 cm 10 cm 600 cm2 1000

cm3

Figura 6: Segundo modelo das equipes D e E.

Durante a apresentação para o grande grupo, cada equipe mostrou o seu modelo,

indicando a área e o volume. Ao se perguntar quanto de material cada equipe

economizou, a equipe A percebeu que seu modelo implicava num gasto maior de

material. De todos os modelos apresentados a opção mais econômica foi das equipes C

e E, que correspondia a um cubo de 10 (dez) cm de aresta. Quanto ao quesito

praticidade da embalagem, perceberam que esse modelo não seria prático para o

manuseio. Isso ficou claro no depoimento do aluno L.C. B.(17 anos) da equipe B: “ Não

encontramos embalagens com formato de cubo nas prateleiras.”

Depois de várias considerações, concluíram que o modelo ideal do ponto de

vista matemático pode ser inadequado ao manuseio, transporte e estocagem. Foi

decidido no grupo que a embalagem da equipe B era a mais adequada ao manuseio.

Percebe-se que esse modelo se aproxima muito do original da caixa de leite.

O envolvimento das equipes nesta atividade foi muito marcante. Quando cada

equipe teve a liberdade para criar um modelo de embalagem, todos se sentiram

desafiados e perceberam a necessidade do uso de cálculos e conceitos matemáticos para

desenvolver essa atividade.

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5ª ATIVIDADE: CONSTRUÇÃO DE UM MODELO CILÍNDRICO PARA

CAIXINHA DE LEITE LONGA VIDA

O desafio foi construir um modelo cilíndrico mais econômico para um litro.

Praticamente todos os alunos, exceto um da equipe D, não sabiam calcular a área do

círculo. Foi necessário retomar alguns conceitos, o que já havia sido previsto no

material didático. Foi realizada a atividade do número , na qual eles mediram o

comprimento de vários círculos de isopor e dividiram pelo seu diâmetro. Assim

concluíram que C/D= . Com esse conhecimento puderam chegar ao comprimento do

círculo: C=2 r. Para deduzir a área do círculo, recortaram o círculo em 36 partes

iguais e montaram um retângulo, como apresentam as figuras 7 e 8.

ÁREA DO CÍRCULO

Figura 7: Trabalho da equipe C

Figura 8: Trabalho da equipe C

Comprimento do Círculo C= C=2 r

Comprimento do retângulo= 2 r/ 2 = r e largura do retângulo= r

Área do círculo = Área do retângulo

Área do círculo = comprimento x largura

Área do círculo = r x r

Área do círculo= r 2

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Após entender como se calcula a área e o comprimento do círculo, puderam

trabalhar na construção da embalagem cilíndrica. Os resultados apresentados pela

equipes constam na tabela da figura 10.

Nenhuma equipe apresentou o cilindro eqüilátero que é o mais econômico.

Raio da base Altura Área (cm2) Volume (cm

3)

5,425 cm 10,85 cm 554,472 cm2 1002,671cm3

Figura 9: Área e volume do cilindro eqüilátero

Equipes Raio da base Altura Área (cm2) Volume(cm

3)

A

6 cm

8,9 cm 561,432 cm2 1006,056

cm3

B 4 cm

20 cm 602,88 cm2 1004,8

cm3

C

4 cm

20 cm 602,88 cm2 1004,8

cm3

D

6,5 cm

8 cm 591,89 cm2 1061,32

cm3

E

6 cm

9 cm 565,2 cm2 1017,36

cm3

F

5 cm

13 cm 565,5 cm2 1020,5

cm3

Figura 10: Resultado do trabalho das equipes

Os alunos conseguiram mais êxito nesta atividade que na anterior, cumprindo as

exigências. Porém foi muito demorado devido à necessidade de resgatar a área do

círculo.

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Na apresentação, a equipe A obteve a embalagem mais econômica, porém

inadequada para o manuseio. As embalagens mais adequadas eram das equipes B e C.

Frente a isso a aluna A.C.S. (16 anos) da equipe C questionou: “Por que não usam a

embalagem cilíndrica para o leite, se ela é mais econômica?” Assim, o grupo concluiu

que, para este tipo de material, a embalagem cilíndrica não seria bastante firme, seria

facilmente deformada, portanto inadequada ao manuseio, transporte e estocagem.

Indagação semelhante fez o aluno T.M.( 17 anos) da equipe B: “Sendo o cilindro

eqüilátero mais econômico, por que quase não encontramos embalagens nesse formato

nos supermercados?” Isto posto, o grupo concluiu que as embalagens que mais se

aproximam do cilindro eqüilátero são a do leite em pó e a antiga embalagem do Nescau.

Para fabricar embalagens, além de se pensar na economia do material, é importante

considerar o produto armazenado, pois as embalagens devem ser práticas para o

manuseio. Por esse motivo as latas cilíndricas de óleo eram mais alongadas, facilitando

a vida da dona de casa.

6ª ATIVIDADE: CONSTRUÇÃO DE UMA CAIXINHA ABERTA

Para esta atividade cada equipe recebeu uma folha de papel sulfite A4, com a

qual construíram um modelo de caixinha aberta. Em seguida calcularam a área total,

incluindo os encaixes (área do papel sulfite), área externa (excluindo os encaixes), o

percentual de material gasto para os encaixes e o volume da caixa. Os resultados obtidos

pelas equipes estão representados na tabela da figura 11.

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Equipes Comp(a) Lar(b) Alt(c) Área

total

Área

externa

% dos

encaixes

Volume

(cm3)

A

17,7 cm

9 cm 6 cm 623,7

cm2

479,7

cm2

23,09% 955,8

cm3

B 23,7 cm

15 cm 3 cm 623,7

cm2

421,18

cm2

32,38% 1066,5

cm3

C

19,7cm

11 cm 5 cm 623,7

cm2

523,7

cm2

16,61% 1083,5

cm3

D

15,7 cm

7cm 7cm 623,7

cm2

427,7

cm2

31,43% 769,3

cm3

E

13,7 cm

5 cm 8 cm 623,7

cm2

367,7

cm2

41,04% 548

cm3

F

11,7 cm

3 cm 9 cm 623,7

cm2

299,7

cm2

51,94% 315,9

cm3

Figura 11: Resultado do trabalho das equipes

Durante a apresentação puderam verificar que a caixinha de maior volume foi a

da equipe C, sendo a segunda de maior volume a da equipe B. Diante disso o aluno

A.G. (16anos) da equipe E inquiriu: “Se todas as equipes utilizaram a mesma

quantidade de material, por que o volume foi diferente?” Desse modo o grupo concluiu

que a variação do volume dependia da altura.

Seria possível descobrir a altura ideal sem construir as caixinhas?

Para responder essa pergunta partimos para o cálculo da embalagem ótima.

19

7ª ATIVIDADE: EMBALAGEM ÓTIMA

Foi proposto que descobrissem a altura da embalagem ótima, ou seja, a de maior

volume. Para facilitar os cálculos foi usada uma folha quadrada de 10 cm de lado. Com

base no desenho abaixo (figura 12), cada equipe deveria descobrir a equação do volume

em função da altura.

Figura 12: Modelo da caixinha.

Como se esperava que chegassem a essa equação:

V= (10 - 2h) 2 x h

V= (100 – 40h + 4h 2 ) x h

V =100h – 40h 2 + 4h 3,

foi necessário optar pela solução gráfica, pois ainda não conseguiam resolver

algebricamente uma equação do terceiro grau. Usamos a planilha Calc para construção

do gráfico. Todos ficaram muito animados em usar o laboratório de informática,

atividade que não acontece com muita freqüência na escola. O uso da planilha Calc

facilitou e agilizou o trabalho. Seguem os gráficos abaixo (figuras 13, 14,e 15),

resultados obtidos por três equipes.

altura volume

1 64

2 72

3 48

4 16

20

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Figura 13: Gráfico da equipe B - altura máxima h= 2

altura volume

0,5 40,5

1 64

1,5 73,5

2 72

2,5 62,5

3 48

3,5 31,5

4 16

4,5 4,5

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Figura 14: Gráfico da equipe C - altura máxima h= 1,5

21

altura volume

0,5 40,5

1 64

1,5 73,5

1,6 73,984

1,7 74,052

1,8 73,728

2 72

3 48

4 16

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Figura 15: Gráfico da equipe D - altura máxima h= 1,7

Os alunos perceberam que o resultado seria mais preciso quando o intervalo dos

números se tornsse menor. A equipe D apresentou o melhor valor para a altura máxima.

8ª ATIVIDADE:

ANÁLISE DA MUDANÇA NA EMBALAGEM DE SABÃO EM PÓ

Após a leitura do texto O valor de uma idéia simples (texto adaptado da página:

portalexame.abril.com.br/.../m0144132.html), foram fornecidas as dimensões das

embalagens, antiga e atual, do sabão em pó. Pediu-se que calculassem a área externa e o

volume de cada embalagem. Todas as equipes chegaram ao mesmo resultado, como

mostra a tabela a seguir (figura 16):

22

Figura 16: Resultado do trabalho das equipes

Após os cálculos os alunos responderam as seguintes perguntas:

1-Qual a razão que levou a Unilever a mudar o formato da embalagem de sabão em pó?

2- Quanto foi a economia de papel?

3- Qual é o percentual de papel que a empresa irá economizar?

Como já se esperava, todas as equipes apresentaram as mesmas respostas:

Resposta 1- A economia de material

Resposta 2- 178,08 cm 2

Resposta 3- 14,86%

Com o desenvolvimento dessa atividade puderam perceber, por meio dos

cálculos matemáticos, que uma pequena mudança na embalagem resultou em uma boa

economia de material. Sem dúvida é importante que a embalagem seja econômica, mas,

sobretudo, deve-se considerar a praticidade no seu manuseio. “Jamais pensei que

precisava de matemática para construir embalagens” comentou a aluna A.L.C. (17 anos)

da equipe B. Ao final, o grupo concluiu que a Matemática está muito mais presente em

nossas vidas do que imaginamos. Só não percebemos porque alguém já fez todo o

trabalho.

Embalagens Comprimento

(cm)

Largura

(cm)

Altura

(cm)

Área

(cm2)

Volume

(cm3)

Antiga 16,8 4,8 24 1198,08 1935,36

Nova 19 7 14,5 1020 1928,5

23

4. CONSIDERAÇOES FINAIS

O programa de desenvolvimento educacional do governo do Paraná (P.D.E.) nos

oportunizou estudar, desenvolver e aplicar uma pequena experiência com modelagem

Matemática. Como o tema deveria ser planejado antecipadamente, optou-se por

trabalhar com Embalagens. A opção aconteceu por este tema estar adequado ao

currículo e ser muito acessível a todos. O resultado do trabalho foi muito positivo,

sendo que os alunos demonstraram interesse em realizar as atividades. Trabalhar com

essa metodologia é muito proveitoso. Embora tenha que se dispor de mais tempo,

ganha-se no envolvimento dos alunos. Considera-se, então, viável o uso de Modelagem

Matemática em sala de aula, mesmo que seja em pequenas experiências. Só o fato de o

Ensino da Matemática se tornar uma atividade prazerosa já justifica seu uso. Não há

outra forma de aprender a fazer modelagem Matemática a não ser fazendo Modelagem.

Cabe ao professor que deseja trabalhar com essa metodologia ir se aprimorando através

da sua prática, pois habilidade e segurança só se adquirem com a experiência.

Modelagem Matemática, como estratégia de ensino, se mostra um caminho

muito promissor na busca de um ensino eficaz, capaz de envolver o aluno, aproximando

a Matemática descontextualizada, da realidade, tornando a matemática de sala de aula

mais atrativa. Trabalhar dessa forma, como a apresentada nesse trabalho, obriga o

professor a sair de sua área de conforto, ou seja, aulas tradicionais, arriscando-se em um

campo desconhecido. Ao trabalhar com Modelagem Matemática, permite-se criar

desafios em que o aluno é convidado a investigar, por meio da Matemática, situações

problemas que possam fazer o elo entre o conhecimento matemático formal e sua

bagagem empírica.

A intenção deste trabalho é que os conteúdos matemáticos possam ser

desenvolvidos naturalmente durante o processo investigativo, oportunizando situações

que possam aliar o conhecimento matemático ao prazer da descoberta.

O tema escolhido facilitou o trabalho, pois vivemos num mundo de produtos

embalados. As embalagens apresentam uma ampla variedade de formas, modelos,

materiais e fazem parte de nossa vida diária de diversas maneiras, algumas reconhecidas

facilmente, outras de influência bem sutil. Todas, porém, proporcionando benefícios

24

que justificam a sua existência. O produto não pode ser planejado separado da

embalagem, que, por sua vez, deve ser definida com base na engenharia, marketing,

comunicação, legislação econômica e inovações. Explorando o mundo das embalagens,

analisando suas formas, mudanças ocorridas e construindo modelos, os alunos tiveram a

oportunidade de apreender, de forma prática, conteúdos de Geometria Espacial.

O tema embalagens poderia ser melhor explorado, interagindo com outras áreas

do conhecimento. Foi limitado ao conteúdo de Geometria Espacial devido ao pouco

tempo disponível. Mesmo assim, numa discussão de encerramento considerou-se que,

embora a matemática esteja muito presente nas embalagens, visando uma economia de

material, muito outros fatores influenciam na escolha das embalagens. Um deles é o

marketing do produto, como o uso de cores e outros atrativos visuais, que funcionam

como um apelo ao consumidor. Também foi discutido sobre a preocupação com o lixo

que essas embalagens representam ao adentrarem ao nosso lar, pois somos responsáveis

pelo lixo que produzimos. É preciso pensar ao comprar, considerarmos a possibilidade

de reaproveitamento de embalagens e a reciclagem do lixo.

Esse tema é bem amplo, sendo delimitado pelo objetivo do professor e o tempo

disponível para sua aplicação.

5. REFERÊNCIAS

ALMEIDA, L. M. W; DIAS, M. R. Um estudo sobre o uso de Modelagem

Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem. Bolema, nº 22, 17, 2004.

BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática:

uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2004.

BARBOSA, J. C. Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o

debate teórico. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 24, 2001, Caxambu. Anais... Rio

de Janeiro: ANPED, 2001.1 CD- ROM.

BIEMBIGUT, Maria Salete; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no ensino. São

Paulo: contexto, 2005.

BURAK, Dionísio. Modelagem Matemática e a Sala de Aula. In: ENCONTRO

PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 1, 2004,

Londrina. Anais. Londrina: UEL, 2004. 1 CD-ROM

SKOVSMOSE, O. Educação Matemática Crítica. Ed. Papirus, Campinas. SP. 1990.

25

SILVEIRA, Jean Carlos; RIBAS, João Luiz Domingues. Discussões sobre Modelagem

Matemática e o Ensino-Aprendizagem. Só Matemática. Disponível em: <http://

somatematica.com.br.>. Acesso em abril. 2008.

26