MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA À SISTEMAS DINÂMICOS EPIDEMIOLÓGICOS: O … · 2019-08-03 · O período de incubação é desprezível, de modo que um suscetível que contrai a

Revista Científica Interdisciplinar - Instituto Federal do Paraná - IFPR Paranaguá, v3, n. 1. janeiro, 2018 33

Revista Científica Interdisciplinar - Instituto Federal do Paraná - IFPR Paranaguá, v3, n. 1. janeiro, 2018

RESUMO

Este artigo faz parte de um projeto de pesquisa do Programa Institucional de Bolsas de

Iniciação Científica (PIBIC), e tem como objetivo apresentar a descrição de um modelo

epidemiológico simples, o modelo SIR (Suscetíveis, Infectados e Removidos). Esse modelo é

composto por um conjunto de três equações diferenciais e simula a propagação de doenças

contagiosas. Originalmente o modelo SIR foi desenvolvido para explicar o aumento do

número de casos registrados durante a epidemia de peste bubônica ocorrida na Índia em

meados de 1905. Atualmente esse modelo e suas variações são utilizados para descrever a

propagação de doenças como por exemplo: gripe, dengue e a AIDS. Neste trabalho é feita

uma análise qualitativa do modelo SIR, com objetivo de fazer previsões sobre a ocorrência ou

não de uma epidemia numa população. Através desta análise foi possível identificar o impacto

da disseminação da doença e também estimar o número de pessoas que devem ser vacinadas

para evitar que uma epidemia aconteça.

Palavras-chave: Epidemiologia. Propagação de doenças. Modelo SIR. Equações diferenciais.

MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA

À SISTEMAS DINÂMICOS

EPIDEMIOLÓGICOS: O MODELO SIR

Isabeli Raiany de Miranda Silva¹, Jane Rosa¹

¹,²Instituto Federal do Paraná – Campus Paranaguá

¹e-mail: [email protected]

²e-mail: [email protected]



1 INTRODUÇÃO

Epidemiologia é o estudo de padrões de saúde/doença e fatores associados, relativos às

populações humanas (MARTCHEVA, 2015, p. 01). Um dos objetivos da epidemiologia é o

estudo das doenças infecciosas, como por exemplo: doenças respiratórias como a pneumonia

e a AIDS (Síndrome da Imunodeficiência Adquirida).

Uma doença infecciosa é causada por um agente microbiano patológico, como por

exemplo, bactérias, fungos, parasitas, vírus, e pode ser transmissível ou não. No que diz

respeito ao meio de transmissão, as doenças infecciosas são classificadas da seguinte forma

(MARTCHEVA, 2015):

Doenças transmissíveis de pessoa para pessoa: são aquelas doenças que

precisam de contato direto ou indireto para serem transmitidas. O contato

direto inclui o toque, ou ainda contato sexual. Entre as doenças transmissíveis

por contato direto, incluem-se a AIDS, sífilis, gonorreia, entre outras. O

contato indireto pode ocorrer através da troca de um objeto infectado, sangue,

ou outros fluidos corporais. A influenza, popularmente conhecida como gripe,

é um exemplo de doença que pode ser transmitida por contato indireto.

Doenças transmitidas pelo ar: ocorrem quando há inalação de ar infectado.

Entre as doenças transmitidas pelo ar, incluem-se a influenza, tuberculose,

varíola, entre outras.

Doenças transmitidas através de água ou de alimentos: são transmitidas

através da ingestão de água ou comida contaminada. A cólera é um exemplo de

doença transmitida através da água, enquanto a salmonela é um exemplo de

doença transmitida pelo consumo de alimentos.

Doenças transmitidas por vetores: são as doenças transmitidas por um

artrópode, como o mosquito ou o carrapato, tais como a malária e a dengue.

Transmissão vertical: ocorre quando uma doença é transmitida através da

placenta, de uma mãe para o filho, antes do nascimento. Exemplos de tais

doenças são o HIV, sífilis, rubéola e a hepatite B.

No Brasil, todos os anos a Secretaria de Vigilância em Saúde registra um grande

número de pessoas infectadas pela influenza e outros vírus respiratórios: no ano de 2016,

entre as amostras com resultados positivos para vírus respiratórios, cerca de 72% mostraram

resultado positivo para influenza e aproximadamente 28% para outros vírus respiratórios. As

regiões Sul e Sudeste do país apresentam as maiores quantidades de amostras positivas, com

maior incidência da influenza A (H1N1) e influenza B. A Secretaria de Vigilância em Saúde

conta com uma rede de unidades sentinelas distribuídas em todas as regiões geográficas do

Brasil. A vigilância sentinela tem como objetivo identificar os vírus respiratórios circulantes,

além de permitir o monitoramento da demanda de atendimento para essas doenças

(MINISTÉRIO DA SAÚDE, 2016).

O acompanhamento dos números de novos casos associados às doenças infecciosas

transmissíveis é uma preocupação contínua dos órgãos governamentais das cidades, estados e

países. Esse monitoramento é importante para prever o risco de epidemias, bem como planejar

as estratégias de controle dessas doenças nas populações. Neste contexto, as pesquisas que



utilizam modelos matemáticos podem contribuir com as investigações na área da

epidemiologia.

Um modelo matemático é a descrição de um sistema, utilizando linguagem e

ferramentas matemáticas. No caso das doenças infecciosas, utilizam-se modelos matemáticos

para descrever sua propagação em uma determinada população. Com isso, busca-se explicar o

comportamento da doença, estudar seus efeitos, além de fazer previsões sobre os impactos da

disseminação e as formas de controle da doença (MURRAY, 2002). Modelos

epidemiológicos possibilitam simular uma série de padrões de saúde/doença. O estudo desses

modelos tem como objetivo caracterizar os processos de infecção, cura e morte, bem como

elaborar estratégias para exterminar, ou pelo menos controlar a proliferação do agente

patológico (SCHIMIT, 2010, p. 09).

O processo de modelagem requer uma tradução de uma situação biológica para um

problema matemático. Para transformar essa situação biológica em equações matemáticas, é

necessário ter um objetivo específico. O modelo deve incorporar somente as características

que são relevantes para este objetivo específico. Assim que formulado, o modelo pode ser

investigado através de uma série de ferramentas matemáticas.

Os modelos matemáticos aplicados à epidemiologia podem ser úteis para fornecer

estimativas sobre as formas mais eficazes de controle. Como por exemplo, estimar o nível de

vacinação necessário para erradicar uma determinada doença contagiosa, como o sarampo

(MONTEIRO, 2009, p. 478).

Nesse sentido, a modelagem matemática de doenças infecciosas é uma ferramenta

importante, pois além de fornecer informações para a compreensão das mesmas, pode auxiliar

na escolha das estratégias de controle mais apropriadas para cada situação. Assim, o objetivo

deste trabalho é apresentar uma descrição qualitativa de um dos primeiros modelos

epidemiológicos proposto para estudar a disseminação de uma doença em uma população, o

qual é conhecido como modelo SIR.

Este trabalho faz parte de um projeto de pesquisa que está sendo desenvolvido com o

apoio do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica (PIBIC) do IFPR. O

objetivo do projeto é utilizar modelos matemáticos para o estudo de sistemas

epidemiológicos.

2 O MODELO SIR

O modelo SIR foi originalmente proposto por Kermack e McKendrick (1927) para

explicar matematicamente o rápido crescimento e a queda súbita do número de pacientes

infectados pela peste bubônica, durante a epidemia ocorrida na Índia, entre 1905 e 1906.

Atualmente esse modelo e suas inúmeras variações têm sido utilizados para outras finalidades,

como por exemplo, para o estudo da disseminação de doenças como a AIDS (MURRAY,

2002) e a dengue (YANG, 2003).

Neste modelo, a população é dividida em três classes: 1ª) a classe de indivíduos

saudáveis, mas que podem contrair a doença através de contato com infectados, estes são

chamados de suscetíveis (𝑆); 2ª) a classe de indivíduos que contraíram a doença, chamados de



indivíduos infectados (𝐼); 3ª) a classe de indivíduos removidos (𝑅), que morreram ou se

recuperaram e não podem contrair a doença novamente. Portanto, a cura de um indivíduo

confere a imunidade. Esse é um modelo do tipo compartimentado, pois cada letra (S, I e R) se

refere a uma das classes ou compartimentos. Cada indivíduo pode estar inserido em apenas

uma das classes, mas pode se mover de uma para a outra no decorrer do tempo. Uma

representação esquemática do modelo SIR é descrita pelo fluxograma mostrado na Fig. 1.

Neste esquema, as flechas indicam a direção do movimento dos indivíduos entre as classes

(MARTCHEVA, 2015).

Figura 1. Fluxograma do modelo SIR. As letras 𝑎 e 𝑏 que rotulam cada seta representam as

taxas de transição entre as classes.

Fonte: Os autores.

Os números de indivíduos (ou densidades) em cada uma dessas classes mudam com o

tempo, ou seja, 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡) e 𝑅(𝑡) são funções do tempo 𝑡; e a taxa de variação temporal de

cada classe é expressa pelas equações (MARTCHEVA, 2015, p. 11):

𝑑𝑆

𝑑𝑡 = −𝑎𝑆𝐼, (1)

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝑎𝑆𝐼 − 𝑏𝐼, (2)

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 𝑏𝐼 (3)

Nas equações acima, 𝑑𝑆/𝑑𝑡 representa a taxa de variação do número de suscetíveis ao

longo do tempo, 𝑑𝐼/𝑑𝑡 é a taxa de variação dos infectados ao longo do tempo, enquanto

𝑑𝑅/𝑑𝑡 é a taxa de variação dos indivíduos removidos ao longo do tempo. As constantes

positivas 𝑎 e 𝑏 caracterizam a interação entre o agente infeccioso e a população (MURRAY,

2002).

Na descrição desse modelo, assume-se que (MONTEIRO, 2011):

O número de infectados aumenta segundo uma taxa que é proporcional ao

produto entre o número de infectados e o de suscetíveis, que é 𝑎𝑆𝐼, sendo que

os suscetíveis diminuem a essa mesma taxa;

A taxa de passagem dos infectados para a classe dos removidos é proporcional

ao número de infectados, ou seja, 𝑏𝐼;



O período de incubação é desprezível, de modo que um suscetível que contrai a

doença torna-se imediatamente infectado;

As três classes estão uniformemente distribuídas pelo espaço. Portanto, as

taxas de encontro não dependem da localização geográfica.

Além disso, considera-se que o tamanho total da população 𝑁 é constante, e que os

indivíduos infectados também podem transmitir a doença (MURRAY, 2002). Portanto, o

tamanho total da população 𝑁 é a soma dos tamanhos das três classes:

𝑁 = 𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡). (4)

A formulação matemática do modelo SIR fica completa quando são aplicadas

condições iniciais:

𝑆(0) = 𝑆0 > 0, 𝐼(0) = 𝐼0 > 0, 𝑅(0) = 0, (5)

ou seja, os valores iniciais de indivíduos suscetíveis (𝑆0) e infectados (𝐼0) devem ser maiores

que zero, enquanto o número inicial de removidos (𝑅0) é nulo.

Em qualquer situação que envolve uma doença infecciosa, é importante determinar se

a infecção se espalhará ou não, e se for, como ela se desenvolverá com o tempo e,

principalmente, quando começará a diminuir. No entanto, a resposta para essa questão vai

depender das características de cada modelo, dos valores dos parâmetros e das condições

iniciais do sistema. Para analisar o modelo SIR, substituem-se as condições iniciais 𝑆0 e 𝐼0 na

Eq. (2):

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡|

𝑡=0 = 𝐼(0)(𝑎𝑆(0) − 𝑏), {

> 0< 0

𝑠𝑒 𝑆0 {> 𝜌< 𝜌 . (6)

O parâmetro crítico 𝜌 = 𝑏/𝑎 é chamado de taxa de remoção relativa (MURRAY,

2002). Da Equação (1), 𝑑𝑆/𝑑𝑡 ≤ 0 para 𝑆 ≤ 𝑆0, e no caso 𝑆0 < 𝜌, tem-se:

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝐼 (𝑎𝑆 − 𝑏) ≤ 0 para todo 𝑡 ≥ 0. (7)

Nesse caso, se 𝐼0 > 𝐼(𝑡) → 0 para 𝑡 → ∞, o número de infectados diminui com o

tempo, e assim a infecção desaparece; ou seja, não ocorre epidemia. Por outro lado, se

𝑆0 > 𝜌, então 𝐼(𝑡) aumenta com o tempo, e então ocorrerá uma epidemia. O termo

“epidemia” significa, matematicamente, que 𝐼(𝑡) > 𝐼0 para qualquer 𝑡 > 0, ou seja, o número

de infectados será maior que o número de infectados inicial com o passar do tempo.

Dividindo a Eq. (2) pela Eq. (1):

𝑑𝐼

𝑑𝑆=

(𝑎𝑆−𝑏)𝐼

−𝑎𝑆𝐼= −1 +

𝜌

𝑆, 𝐼 ≠ 0. (8)



Integrando a equação acima, encontram-se as trajetórias do plano de fase:

𝐼 + 𝑆 − 𝜌 ln 𝑆 = 𝐼0 + 𝑆0 − 𝜌 ln 𝑆0, (9)

para os valores do lado direito da igualdade (𝑆0 e 𝐼0), foram utilizadas as condições iniciais da

Eq. (5). As trajetórias 𝐼 versus 𝑆 são mostradas na Fig. 2.

Figura 2. Plano de fase do modelo SIR. Cada curva representa a evolução temporal do número

de suscetíveis e infectados para diferentes condições iniciais (𝑆0 e 𝐼0), todas as trajetórias

iniciam na reta 𝑆0 + 𝐼0 = 𝑁.

Fonte: Os autores.

A Figura 2 mostra como os números de infectados (𝐼) e suscetíveis (𝑆) evoluem com o

passar do tempo. Cada curva é determinada por diferentes condições iniciais 𝐼(0) = 𝐼0 e

𝑆(0) = 𝑆0. Com 𝑅(0) = 0, todas as trajetórias começam na linha 𝑆0 + 𝐼0 = 𝑁 e permanecem

dentro do triângulo, desde que 0 < 𝑆 + 𝐼 < 𝑁, para todos os instantes de tempo. Uma

epidemia irá existir se 𝐼(𝑡) > 𝐼0 para qualquer instante de tempo 𝑡 > 0; isso sempre irá

ocorrer se 𝑆0 > 𝜌 e 𝐼0 > 0 (MURRAY, 2002). Verifica-se na Fig.2 que se o número inicial

de suscetíveis for maior que um determinado valor crítico 𝑆𝑐, ou seja, se 𝑆0 > 𝑆𝑐 = 𝜌, então

ocorrerá uma epidemia (curvas na cor vermelha), enquanto que se 𝑆0 < 𝑆𝑐, a epidemia não

ocorre (curvas na cor azul). Assim, define-se o parâmetro 𝑅0 como:

𝑅0 ≡ 𝑎𝑆(0)

𝑏 , (10)

esse parâmetro é chamado de fator de reprodutividade basal e é considerado um parâmetro-

chave em investigações epidemiológicas. O parâmetro 𝑅0 é interpretado como o número



esperado de pessoas contaminadas geradas por um indivíduo infectado colocado numa

população totalmente suscetível à doença (SCHIMIT, 2010, p. 21). Se 𝑅0 > 1, o número de

indivíduos infectados cresce e pode haver um surto epidêmico. Se 𝑅0 < 1, haverá um

declínio do número de indivíduos inicialmente infectados, e a doença irá desaparecer

naturalmente.

Na Figura 3 apresenta-se o gráfico de duas situações distintas: a ocorrência ou não de

uma epidemia. Na Figura 3 (a) é mostrada a situação em que não há epidemia. Neste caso, o

número de infectados diminui até zero com o passar do tempo a partir do valor inicial 𝐼0. Na

Figura 3 (b) é mostrada a situação de epidemia: o número de infectados, a partir do valor

inicial 𝐼0 aumenta com o tempo até o seu valor máximo (𝐼𝑚𝑎𝑥), e em seguida diminui até a

doença sumir (𝐼 = 0).

Na situação para a qual a doença infecciosa se espalha, é importante saber o número

máximo de infectados (𝐼𝑚𝑎𝑥). No modelo SIR, o valor máximo de infectados ocorre quando

𝑑𝐼/𝑑𝑡 = 0. Da Eq. (7), essa condição é satisfeita quando 𝑆 = 𝜌 = 𝑏/𝑎. Portanto, fazendo

𝑆 = 𝜌 na Eq. (9), encontra-se o número máximo de infectados:

𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝑁 − 𝜌 + 𝜌 ln (𝜌

𝑆0) , (11)

a constante 𝑁 é o número total de indivíduos, definido por 𝑁 = 𝐼0 + 𝑆0.

Figura 3. Evolução temporal do número de infectados. (a): Situação na qual não ocorre

epidemia; (b): Situação característica de uma epidemia.

Fonte: Os autores.

Para qualquer valor inicial de 𝐼0 e 𝑆0 > 𝜌, observa-se na Fig. 2 que a epidemia

acontece. No entanto, a epidemia não será grave se o valor de 𝐼0 é próximo de 𝐼𝑚𝑎𝑥 (isso

acontece quando 𝑆0 ~ 𝜌). Porém, se 𝑆0 < 𝜌, não ocorre epidemia, porque o número de

infectados diminuirá com o tempo, a partir do valor inicial 𝐼0 até 𝐼 = 0.

O número de suscetíveis 𝑆 diminui desde que 𝑑𝑆/𝑑𝑡 < 0 para 𝑆 ≠ 0 e 𝐼 ≠ 0.

Dividindo a Eq. (1) pela Eq. (3) e fazendo a integração, encontra-se:



𝑆 = 𝑆0𝑒−𝑅/𝜌 . (12)

Na Figura 2, quando 𝑡 → ∞, 0 < 𝑆(∞) < 𝜌 para 𝐼(∞) = 0. Da Eq. (4), 𝑅(∞) = 𝑁 −𝑆(∞). Portanto, para tempos longos, (𝑡 → ∞), o número de suscetíveis que não adquirem a

doença, Eq. (12), é expresso por:

𝑆(∞) = 𝑆0𝑒[−(𝑁−𝑆(∞))/𝜌] , (13)

e 𝑆(∞) é a solução positiva dessa equação transcendental. Logo, o número de suscetíveis que

contraem a doença no decorrer da epidemia é:

𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐼0 + 𝑆0 − 𝑆(∞) . (14)

Uma implicação importante desse resultado é que a doença desaparece (𝐼(𝑡) → 0) por

falta de infectados, e não por falta de suscetíveis (𝑆(𝑡) → 𝑆(∞) > 0).

3 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste artigo, foi realizada a descrição de um modelo epidemiológico chamado de

modelo SIR, proposto por Kermack e McKendrick (1927). A simplicidade desse modelo está

relacionada com sua descrição matemática. Mas apesar disso, o modelo SIR é capaz de

fornecer resultados que condizem com a realidade. O primeiro resultado mostrou que o fator

de reprodutividade basal 𝑅0, Eq. (10), é fundamental para determinar se ocorrerá uma

epidemia. Esse parâmetro fornece o número de infectados produzidos a partir de um único

infectado em meio a uma população de suscetíveis. Portanto, se 𝑅0 > 1, a epidemia acontece,

e o número de infectados poderá aumentar com o tempo. O valor de 𝑅0 depende apenas do

número inicial de suscetíveis (𝑆0) e das constantes 𝑎 e 𝑏, respectivamente identificadas como

a taxa de infecção e a taxa de recuperação (ou remoção dos infectados). Diante de uma

situação real busca-se reduzir o valor de 𝑅0, e isso pode ser feito, por exemplo, reduzindo o

número de suscetíveis (𝑆0) com vacinação.

Considerando a situação para a qual a doença se espalha, é importante saber qual será

o nível de gravidade dessa epidemia. Neste caso, é necessário determinar quantos indivíduos

serão infectados a partir de um número inicial de infectados (𝐼0) e suscetíveis (𝑆0). No modelo

analisado, verificou-se que para qualquer 𝐼0 e 𝑆0 > 𝜌, a epidemia vai acontecer. A epidemia

não será grave se o número inicial de infectados (𝐼0) é próximo do número máximo de

infectados (𝐼𝑚𝑎𝑥). Por outro lado, se 𝑆0 < 𝜌, não ocorrerá epidemia.

Para uma determinada doença, o parâmetro 𝜌 varia com as características da

população (ou comunidade) e, portanto, determina se a epidemia ocorre em uma comunidade

e não ocorre em outra. Por exemplo, se a densidade de suscetíveis (𝑆0/𝑁) é alta e a taxa de

remoção dos infectados (parâmetro 𝑏) é baixa (por ignorância ou falta de cuidados médicos),

então provavelmente a epidemia ocorrerá. Finalmente, quando se considera tempos longos,

independente da situação inicial, o modelo SIR mostra que nem todos os indivíduos

suscetíveis serão infectados. Portanto, a doença se extinguirá naturalmente por falta de

infectados e não por falta de indivíduos suscetíveis.

O estudo do modelo SIR serviu de base para realizar análises de modelos

epidemiológicos mais complexos. Desse modo, os próximos passos da pesquisa baseiam-se

no estudo de doenças transmitidas por vetores (mosquitos). Mais especificamente, será



realizado um estudo sobre a dinâmica de propagação da dengue, buscando-se identificar os

meios de controle mais eficientes para evitar epidemias.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem a Fundação Araucária pelo financiamento da bolsa PIBIC.

REFERÊNCIAS

KERMACK, W. O.; MCKENDRICK, A. G. A Contribution to Mathematical Theory of

Epidemics. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Containing Papers of a

Mathematical and Physical Character. London, v. 155, Issue 772 (Aug.1,1927), 700-721.

MARTCHEVA, M. An Introduction to Mathematical Epidemiology. 1 ed. Gainesville:

Springer, 2015.

MINISTÉRIO DA SAÚDE. Secretaria de Vigilância em Saúde. Informe Epidemiológico:

Influenza: Monitoramento até a Semana Epidemiológica 52 de 2016. Brasília, 2016.

MONTEIRO, L. H. A. Sistemas Dinâmicos. 3 ed. São Paulo: Livraria da Física, 2011.

MURRAY, J. D. Mathematical Biology: An Introdution. 3 ed. Springer-Verlag: United

States of Amercia, 2002.

SCHIMIT, P. H. T. Modelagem e controle de propagação de epidemias usando autômatos

celular e teoria de jogos. 83 f. Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) – Universidade de

São Paulo, São Paulo, 2010.

YANG, H. M. Epidemiologia da Transmissão da Dengue. TEMA Tend. Mat. Apl. Comput.,

São Carlos, v. 4, n. 3, 2003. p. 387-396.

Documents

MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA À SISTEMAS DINÂMICOS EPIDEMIOLÓGICOS: O … · 2019-08-03 · O período de incubação é desprezível, de modo que um suscetível que contrai a