MODELO IMPEDÂNCIA E CÁLCULO DE REDES Professor: Lissandro Brito Viena

1 de

Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro

MODELO IMPEDÂNCIA E CÁLCULO DE REDES

Professor: Lissandro Brito Viena e-mail: [email protected]

[email protected] Site: www.ifba.edu.br/professores/lissandro

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Vimos que a matriz admitância de barra é esparsa e possui muitos elementos nulos. Vimos também que a matriz admitância de barra pode ser construída ramo por ramo de admitâncias primitivas.

A matriz impedância de barra pode ser construída elemento por elemento usando algoritmos simples para incorporá um elemento por vez na representação do sistema.

O trabalho empregado na construção da matriz impedância de barra é muito maior que o trabalho empregado na construção da matriz admitância de barra.

3 de


Entretanto o conteúdo de informação matriz impedância de barra é maior do que a da admitância de barra.

Veremos que cada elemento da diagonal da matriz impedância de barra reflete características importantes de todo sistema na forma da impedância de Thevénin da barra correspondente.

A matriz admitância de barra é amplamente usada no fluxo de potência, enquanto a matriz impedância de barra favorece a análise de faltas.

4 de


A matriz impedância e a matriz admitância de barra

Por definição:

Para uma rede de três nós independentes a forma padrão é:

Para compreender o significado físico das várias impedâncias da matriz, faremos uma comparação com a admitância de barra.

1bus busZ Y

11 12 13

bus 21 22 23

31 32 33

Z Z ZZ Z Z Z

Z Z Z

5 de


Partindo com as equações nodais fornecidas por:

E com relação a barra 2 :

Se as tensões nas barras 1 e 3 são nulas curto-circuitando as barras 1 e 3 ao nó de referência e a tensão V2 é aplicada a barra 2 de tal forma que a corrente I2 entra na barra 2, então a admitância própria da barra 2 é:

bus bus busI Y V

2 21 1 22 2 23 3I Y V Y V Y V

1 3

222 V V 0

2

IY |V

6 de


A admitância própria de uma barra particular deve ser medida colocando em curto todas as barras e então encontrando a razão entre a corrente injetada na barra pela tensão aplicada na mesma.

7 de


O resultado equivale a adicionar todas as admitâncias conectadas diretamente a barra, que é o procedimento quando não existem admitâncias mútuas.

8 de


Já os termos fora da diagonal principal podem ser calculados através da seguinte forma.

Por definição Y12 é a razão do negativo da corrente da corrente deixando a rede no nó em curto (1) pela tensão V2. O negativo da corrente deixando a rede é utilizada desde que I1 é definida como a corrente entrando na rede.

A admitância resultante é o negativo da admitância conectada diretamente entre as barras (1) e (2).

1 3

1 11 1 12 2 13 3

112 V V 0

2

I Y V Y V Y VIY |V

9 de


Para resolver a equação abaixo:

Observe que V e I são vetores colunas de tensão das barras e de corrente entrando nas barras a partir de fontes de corrente.

bus bus

bus

1 1bus

bus

bus

I Y V

Y I Y Y V

Z I VV Z I

10 de


Expandindo a equação abaixo:

Considerando a equação da barra 2.

busV Z I

1 11 1 12 2 13 3

2 21 1 22 2 23 3

3 31 1 32 2 33 3

V Z I Z I Z IV Z I Z I Z IV Z I Z I Z I

1 3

2 21 1 22 2 23 3

222 I I 0

2

V Z I Z I Z IVZ |I

11 de


O circuito é mostrado na figura abaixo:

12 de


É possível medir a impedância de transferência entre quaisquer duas barras da seguinte maneira:

Por exemplo, Z12 :

As fontes de corrente I1 e I3 devem ser abertas.

Já Z32 :

1 11 1 12 2 13 3V Z I Z I Z I

1 3

1 11 1 12 2 13 3

112 I I 0

2

V Z I Z I Z IVZ |I

1 3

3 31 1 32 2 33 3

332 I I 0

2

V Z I Z I Z IVZ |I

13 de


O Teorema de Thévenin e Zbus

Iremos examinar a relação entre os elementos da impedância de barra e a impedância de Thévenin apresentada pela rede em cada uma de suas barras.

Para estabelecer a notação, denota-se as tensões de barra correspondentes aos valores iniciais de correntes de barra por I0 .

Quando as correntes de barra são modificadas de seus valores iniciais para os novos valores:

o obusV Z I

oI I I

14 de


As novas tensões de barra são fornecidas pelo princípio da superposição:

Em que representa as variações nas tensões de barra de seus valores originais. Considere o seguinte esquema:

o obus bus busV Z I I Z I Z I

Vo ΔV

ΔV

15 de


Considere o seguinte esquema:

Inicialmente consideramos que o circuito não está energizado de maneira que as correntes de barra I0 e as tensões correspondentes V0 são nulas.

16 de


Então para dentro da barra (k) uma corrente ΔIk é injetada em direção ao sistema a partir de uma fonte de corrente conectada ao nó de referência.

Pelo princípio da superposição, haverá variação de tensão em cada barra do sistema por causa da variação da corrente injetada na barra (k).

Essa variação é dada através de um vetor:

0

o obus bus bus

VV 0

bus

V Z I I Z I Z I

V Z I

17 de


Expandindo:

0

o obus bus bus

VV 0

bus

V Z I I Z I Z I

V Z I

18 de


Simplificando as equações anteriores:

Supondo agora que as tensões de barras iniciais são não nulas, podemos adicionar essas variações na tensão de cada barra resultando na tensão final após a variação da corrente injetada na barra (k).

19 de


A tensão na barra (k) adquire um novo valor dado por:

O circuito correspondente a essa equação é mostrado abaixo:

0k k kk kV V Z I

20 de


A tensão na barra (k) adquire um novo valor dado por:

Conclusão importante:

A impedância Zkk = Zth corresponde à impedância de Thévenin entre a barra (k) e a referência.

0k k kk kV V Z I

21 de


De maneira similar podemos determinar a impedância de Thévenin entre quaisquer duas barras (j) e (k).

Supomos que as correntes de barra são nulas para facilitar os cálculos.

22 de


Em função das correntes injetadas nas barras (j) e (k), as tensões das barras sofrerão variações.

23 de


Adicionando as variações de tensão nas barras (j) e (k) resulta em:

Colocando em (1) e em (2)

O circuito equivalente é mostrado a seguir:

0j j jj j jk k

0k k kj j kk k

V V Z I Z I

V V Z I Z I

(1)

(2)

jk j jk jZ I Z I kj k kj kZ I Z I

0j j jj jk j jk k j

0k k kj j k kk jk k

V V Z Z I Z I I

V V Z I I Z Z I

24 de


O circuito equivalente é mostrado a seguir:

25 de


O circuito da figura do slide anterior representa o circuito equivalente de Thévenin do sistema entre as barras (j) e (k).

Por inspeção, a tensão de circuito aberto da barra (k) para a barra (j):

E a impedância encontrada colocando um curto da barra (k) para a barra (j) é a impedância de Thévenin entre as barras (j) e (k):

0 0kj j k

0 0kj k j

V V V 0

V V V

th, jk jj kk jkZ Z Z 2Z

26 de


Ao colocar uma impedância Zb entre as barras (k) e (j), a corrente é dada por:

0 0k j k j

bth, jk b b

V V V VI

Z Z Z

27 de


EXEMPLO 1:

28 de


Para o sistema anterior, as equações através da matriz admitância nodal são dadas por:

Podemos encontrar as tensões de barra invertendo a matriz admitância nodal, além da própria matriz impedância de barra que relaciona as tensões de barra com as respectivas fontes de corrente.

29 de


Zbus

30 de


EXEMPLO 2: Um capacitor com reatância igual a 5 pu é conectado entre o nó de referência e a barra (4) do circuito exemplo 1. As tensões iniciais e as correspondentes correntes injetadas nas barras (3) e (4) foram definidas anteriormente. Encontre a corrente recebida pelo capacitor.

Solução: Não é preciso estudar todo circuito para analisar essa situação. Podemos simplificar o circuito e estudá-lo apenas com o equivalente de Thévenin na barra de interesse, que é a barra (4).

31 de


O circuito equivalente de Thévenin na barra (4) é constituído por uma fem interna (tensão de Thévenin) em série com a impedância equivalente de Thévenin entre a barra (4) e o nó de referência.

A tensão é a tensão da barra (4) antes da conexão do capacitor. A impedância de Thévenin Z44 na barra (4) completa o equivalente de Thévenin.

0 o4V 0,94866 20,7466

32 de


A corrente recebida pelo capacitor é dada por:

Essa corrente recebida pelo capacitor pode ser interpretada como o negativo da corrente injetada na barra (4). Considerando que , então as outras barras sofrerão mudanças em suas tensões devido à variação de corrente na barra (4).

44 cap

0 o4

capeq

Z Z

V 0,94866 20,7466I 0,22056 69,2534 puZ j0,6989 j5

4 capI I

33 de


Modificação de uma matriz impedância de barra existente

Através do uso do circuito equivalente de Thévenin e de uma Zbus existente é possível encontrar novas tensões de barra após a adição de um novo ramo sem que ter que encontrar uma nova matriz impedância de barra.

Examinaremos como uma matriz impedância de barra existente pode ser modificada para adicionar novas barras ou conectar novas linhas as barras existentes.

34 de


É possível reconhecer diversos tipos de modificações pelas quais um ramo com impedância Zb é adicionada em uma rede com a matriz impedância de barra conhecida. A matriz impedância de barra original é identificada como Zorig, de dimensão N x N.

NOTAÇÃO

As barras existentes serão identificadas por números ou letras h, i, j, k. A letra p ou letra q designará uma nova barra a ser adicionada na rede para converter Zorig em uma matriz (N+1) x (N+1).

35 de


Na barra (k) a tensão inicial será designada por e a nova tensão após a modificação de Zbus será identificada por Vk.

Denotará a variação de tensão na barra (k).

CASO 1: Adicionando Zb de uma nova barra (p) ao nó de referência

A adição de uma nova barra (p) conectada ao nó de referência através da impedância Zb sem qualquer conexão com outras barras da rede original não pode alterar as tensões de barra originais quando a corrente Ip é injetada na nova barra.

0kV

0k k kV V V

36 de


Para o caso 1, as equações para as tensões de barra são fornecidas por:

37 de


CASO 2: Adicionando Zb de uma nova barra (p) a uma barra existente (k)

38 de


A corrente injetada Ip na barra (p) fará com que ocorra uma variação da corrente que entra na rede através da barra (k) original.

A corrente após essa mudança que entra na rede pela barra (k) será a soma Ik + Ip.

A corrente Ip que entra na rede através da barra (k) aumentará a tensão inicial (antes da conexão da nova barra) da barra (k) pela variação (Ip Zkk).

0k k p kkV V I Z

39 de


A tensão da nova (p) será maior do que a tensão da barra (k) sendo dada por:

E substituindo para :

Essa é a nova linha que deve adicionada na matriz impedância original do sistema.

0k p kk

p k p b

p k p b

V I Z

0p k p kk p b

V V I Z

V V I Z

V V I Z I Z

k1 1 k 2 2 kN N

0k

0p k p kk p b

Z I Z I ... Z I

p k1 1 k2 kN N kk b p

V

V V I Z I Z

V Z I Z I ... Z I (Z Z )I

40 de


Para esse caso o esquema da nova matriz impedância de barra é mostrado abaixo:

Nova linha adicionada na matriz Zorig

41 de


CASO 3: Adicionando Zb de uma barra existente (k) ao nó de referência

Inicialmente conectamos uma nova barra (p) através de uma impedância Zb a barra existente (k) (correspondente ao caso 2). Depois colocamos a barra (p) em curto o que equivale ligar a impedância Zb entre a barra (k) e nó de referência.

pV 0

42 de


Observe que no caso 3 não criamos uma nova barra permanente, ela é fictícia. Temos que utilizar a redução de Kron para eliminar a linha cuja tensão da barra é nula.

Os novos elementos da nova matriz impedância de barra são calculados através de:

h(N 1) (N 1)iatualhi hi

kk b

Z ZZ Z

Z Z

43 de


CASO 4: Adição de Zb entre duas barras existentes (j) e (k)

44 de


Para efetuar os cálculos da nova matriz impedância de barra podemos analisar a situação onde ocorre variação na corrente injetada através de duas barras.

45 de


Observa-se que a variação da tensão em cada barra é causada pelas correntes injetadas no sistema original através das barras (j) e (k).

A variação da tensão em cada barra (h) causada pela corrente injetada Ib através da barra (j) e –Ib através da barra (k) para dentro do sistema é dada por:

Baseado na definição de variação de tensão podemos escrever as equações para as tensões de barra. Por exemplo, para a barra 1:

h hj hk bV Z Z I

0

11

01 1 1

1 11 1 1j j 1k k 1N N 1j 1k b

VV

V V V

V Z I ... ...Z I Z I ...Z I Z Z I

46 de


De maneira similar para as barras (j) e (k):

Precisamos encontrar mais uma equação desde que Ib é desconhecida.

0

jj

0j j j

j j1 1 jj j jk k jN N jj jk b

VV

V V V

V Z I ... ...Z I Z I ...Z I Z Z I

0

kk

0k k k

k k1 1 kj j kk k kN N kj kk b

VV

V V V

V Z I ... ...Z I Z I ...Z I Z Z I

0 0j k b th, jk b0 V V I Z Z

47 de



0 0j k b th, jk b

j1 1 jj j jk k jN N k1 1 kj j kk k kN N

b th, jk b

j1 k1 1 jj kj j jk kk k jN kN N

b th, jk b

0 V V I Z Z

0 Z I ... ...Z I Z I ...Z I Z I ... ...Z I Z I ...Z I

I Z Z

0 Z Z I .. .. Z Z I Z Z I .. Z Z I

I Z Z

11

22

NN

b

IVIV

IVI0

Zorig

Lj-Lk

Cj - C

k

Zbb

48 de



Resulta em:

0 0j k b th, jk b0 V V I Z Z

49 de


O resultado final com a nova matriz impedância de barra é dado por:

Podemos eliminar a última linha de maneira que as tensões nas outras barras sejam compensadas pelos novos elementos da nova matriz.

bb th, jk b jj kk jk bZ Z Z Z Z 2Z Z

50 de


Os novos elementos são calculados através de:

Removendo um ramo: um ramo de impedância Zb entre duas barras pode ser removido da rede pela adição do negativo de Zb entre os mesmos terminais.


jj kk jk b

Z ZZ Z

Z Z 2Z Z

51 de


Síntese dos casos anteriores

52 de


Síntese dos casos anteriores

53 de


Determinação direta de Zbus

No princípio tem-se uma lista de impedâncias de ramo mostrando as barras nas quais elas estão conectadas.

Inicialmente, escrevemos a equação para uma barra conectada através da impedância de ramo Za ao nó de referência.

Por exemplo, uma segunda barra é conectada ao nó de referência através da impedância Zb.

1 a 1V Z I

a1 1

b2 2

Z 0V I0 ZV I

54 de


Exemplo 2:Determine a matriz impedância de barra da rede mostrada abaixo onde as impedâncias numeradas de 1 a 6 estão em pu.

55 de


Solução:1)Temos uma matriz impedância de barra 1 x 1.

2) Criação de uma nova barra (2) conectada a uma barra existente (1) através da impedância z2=j0,25.

3) Criação de uma nova barra (3) conectada a uma barra existente (2) através da impedância z3=j0,4

1 1V j1,25 I

bus,1Z j1,25

bus,2

j1,25 j1,25Z

j1,25 j1,5

1 212

56 de


A nova matriz impedância de barra é igual a:

4) Conexão de uma impedância (4) entre a barra (3) e a referência.Para esse caso criamos uma barra fictícia (p) e conectamos a impedância entre a barra (3) e a barra (p). Depois curto-circuitamos a barra (p).

bus,2

j1,25 j1,25Z

j1,25 j1,5

bus,3

j1,25 j1,25 j1,25Z j1,25 j1,5 j1,5

j1,25 j1,5 j1,9

1 2 31

2

3

j1,5 j0,4

57 de



Observe que os outros elementos, com exceção de j3,15 na nova linha e na nova coluna correspondem a linha 3 e a coluna 3 da matriz original (Zbus3).

Podemos eliminar a linha (p) e a coluna (q) pela redução de Kron.

bus,p

j1,25 j1,25 j1,25 j1,25j1,25 j1,5 j1,5 j1,5

Z j1,25 j1,5 j1,9 j1,9j1,25 j1,5 j1,9 j3,15

1 2 3 p1

2

3

p

58 de



5) Criação de uma nova barra (4) conectada à barra (3) através da impedância j0,2.

bus,4

j0,75397 j0,65476 j0,496032j0,65476 j0,78571 j0,59524

j0,496032Z

j0,7539j0,5952 74

1 2 31

2

3

bus,5

j0,75397 j0,65476 j0,496032 j0,496032j0,65476 j0,78571 j0,59524 j0,59524

j0,496032 j0,59524j0,496032 j0,59

Z j0,75397 j0,75397j0,75397 j0,9539524 7

1 2 3 4

1

2

3

4

59 de


6) Adição entre duas barras existentes de uma impedância igual a j0,125. As barras são (2) e (4).

Aplica-se agora a redução de Kron para eliminar a linha e a coluna (q) através da fórmula abaixo:

bus,6

j0,75397 j0,65476 j0,496032 j0,496032j0,65476 j0,78571 j0,59524 j0,59524

j0,496032 j0,59524j0,496032 j

j0,15873j0,19047

Z j0,75397 j0,75397 j0,15873j0,75397 j0,95397 j0,35873

j0,15873 j0,190470,59524

j0,15873

j0,35873 j0,67421

1 2 3 4 q

1

2

3

4q


jj kk jk b

Z ZZ Z

Z Z 2Z Z

60 de


Continuando, tem-se que:

Essa é a matriz impedância de barra do sistema.

bus,7

j0,7166 j0,60992 j0,53340 j0,58049j0,60992 j0,73190 j0,64008 j0,69659

Zj0,53340 j0,64008 j0,71660 j0,66951j0,58049 j0,69659 j0,66951 j0,76310

61 de


EXEMPLO 3: Modifique a matriz impedância de barra abaixo para levar em consideração a conexão de um capacitor com reatância igual a 5 pu entre a barra (4) e o nó de referência. Encontre a tensão na barra (4) usando as impedâncias da nova matriz e as fontes de corrente abaixo. Compare este valor com o valor calculado no exemplo anterior.

busZ

busI

62 de


Trata-se do caso 3: Adição de uma impedância Zb entre uma barra existente e o nó de referência. Nesse caso cria-se uma barra temporária (p) e efetua-se o mesmo procedimento do caso 2.

63 de


Como a tensão da nova barra é nula. Podemos eliminar a quinta linha e a quinta coluna.

A seguir, o cálculo de alguns elementos da nova matriz impedância de barra:


jj kk jk b

Z ZZ Z

Z Z 2Z Z

atual11

j0,63677 j0,63677Z j0,73128 j0,82555j4,30110

64 de


A matriz impedância de barra é dada por:

O vetor coluna de correntes é multiplicado pela matriz acima para obter os novos valores da tensões de barra.

atual11

j0,63677 j0,63677Z j0,73128 j0,82555j4,30110

atual24

j0,69890 j0,64178Z j0,64178 j0,74606j4,30110

o o4

o4

V j0,64065 1 90 j0,81247 0,68 135

V 1,03131 j0,39066 1,10281 20,7466 pu

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