MODELOS DE CAMPOS DE TENSÕES PARA BETÃO … · ampla utilização em estruturas de betão armado, em especial nas zonas de descontinuidade, onde não é válida a teoria das peças

MODELOS DE CAMPOS DE TENSÕES PARA BETÃO ESTRUTURAL

APLICAÇÃO AO PROJECTO DE DIAFRAGMAS DE TABULEIROS DE PONTES

José Luís Candeias de Almeida

Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em

Júri Presidente: Prof. Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara

Orientador: Prof. Doutor João Carlos de Oliveira Fernandes de Almeida

Vogal: Prof. Doutor António José da Silva Costa

Outubro de 2012

Engenharia Civil

1

MODELOS DE CAMPOS DE TENSÕES PARA BETÃO ESTRUTURAL

APLICAÇÃO AO PROJECTO DE DIAFRAGMAS DE TABULEIROS DE PONTES


Mestrado em Engenharia Civil

Orientador: Prof. Doutor João Carlos de Oliveira Fernandes de Almeida

Prova concluída em Outubro de 2012

Resumo

Os modelos de campos de tensões são uma ferramenta de análise e dimensionamento de

ampla utilização em estruturas de betão armado, em especial nas zonas de descontinuidade,

onde não é válida a teoria das peças lineares, como é o caso dos diafragmas ou das carlingas

de pontes. A sua aplicação conduzirá a soluções pertencentes ao teorema limite inferior da

análise plástica limite.

Numa primeira fase, esta dissertação incidirá sobre o método geral de dimensionamento com

recurso a modelos de campos de tensões, onde serão apresentadas as principais

características do método, o modo como obter um modelo e mais especificamente o método

dos caminhos de carga e o modo de proceder na verificação de segurança dos elementos do

modelo.

Numa segunda fase, será particularizada a aplicação dos modelos de campos de tensões ao

projecto de diafragmas de tabuleiros de pontes. Serão definidas duas situações tipificadas de

projecto, uma relacionada com o carregamento horizontal actuante em diafragmas ou carlingas

com dois apoios transversais e outra relacionada com o carregamento vertical actuante em

diafragmas com um único apoio. Para cada situação de projecto serão desenvolvidos e

apresentados modelos de campos de tensões, que permitem um correcto dimensionamento

das referidas peças de um modo satisfatoriamente expedito.

Será ainda resolvida uma situação de projecto concreta com recurso a um dos modelos

anteriormente desenvolvidos.

Esta dissertação fornece um conjunto de modelos de campos de tensões válidos para o

dimensionamento das referidas situações tipificadas de projecto. Modelos que deverão ver a

sua validade comprovada em desenvolvimentos futuros.

Palavras-Chave:

Modelos de campos de tensões; Zonas de descontinuidade; Diafragmas; Carlingas; Método dos caminhos de carga

2

STRESS FIELD MODELS FOR STRUCTURAL CONCRETE

APPLICATION TO THE DESIGN OF DIAPHRAGMS FOR BRIDGE DECKS


Master in Civil Engineering

Tutor: Prof. Doutor João Carlos de Oliveira Fernandes de Almeida

Completed in October 2012

Abstract

The stress field models are a broadly used tool for the analysis and design of concrete

structures, specialy in the discontinuity zones, where the linear parts theory is not valid, like in

the case of the diaphragms or cross girders in bridges. Its application will lead to solutions

belonging to the lower bound theorem of plastic limit analysis.

In the first part, this dissertation will focus on the general method of design using the stress field

models, presenting the main characteristics of this method, how to obtain a model and more

specifically the load path method and what to do when assessing the security of the elements of

the model.

In the second part, our attention will target the application of the stress field models to the

design of diaphragms for bridge decks. Two typified situations of project will be defined, one

related to the horizontal loading acting on diaphragms and cross girders with two transversal

supports, and the other related to the vertical loading acting on diaphragms with one single

support. Stress field models will be developed and presented for each project situation, allowing

a correct design of the mentioned parts in a satisfying way.

Another concrete project situation, using one of the models previously developed, will be

solved.

This dissertation provides a set of stress field models that are valid for the design of the

mentioned typified project situations. These models will have their validity proved in future

developments.

Key-words:

Stress field models; discontinuity zones; diaphragms; cross girder; load path method

3

Agradecimentos

Aproveito para agradecer a todos aqueles que me auxiliaram no desenvolvimento

deste trabalho. Um especial agradecimento para:

O Prof. João Almeida pela disponibilidade, clareza e amabilidade com que orientou

esta dissertação.

O Eng. Miguel Lourenço pela forma perfeitamente aprazível com que me transmitiu o

seu conhecimento e experiência na temática. Obrigado pela sua disponibilidade. A sua

ajuda foi para mim muito importante. Tem o meu sincero agradecimento e admiração.

A minha família, os meus pais, os meus avôs, o meu irmão e a minha esposa, pelo

suporte que foram ao longo da minha vida académica.

4

Índice Geral Capítulo 1_Introdução ................................................................................................................. 10

1.1 Contextualização temática ................................................................................................ 10

1.2 Objectivos .......................................................................................................................... 11

1.3 Organização da dissertação .............................................................................................. 11

Capítulo 2_Análise e dimensionamento de estruturas de betão armado ................................... 13

2.1 Regiões de continuidade e regiões de descontinuidade ................................................... 13

2.2 Método geral de dimensionamento ................................................................................... 14

Capítulo 3_Modelos de campos de tensões ............................................................................... 16

3.1 Principais características do método dos modelos de campos de tensões ...................... 16

3.2 Obtenção de um modelo de campos de tensões .............................................................. 17

3.2.1 Método dos caminhos de carga ................................................................................. 17

3.2.2 Avaliação da qualidade do modelo ............................................................................. 19

3.3 Verificação de segurança dos elementos de um modelo .................................................. 21

3.3.1 Valor representativo da resistência do betão ............................................................. 21

3.3.2 Nós .............................................................................................................................. 22

3.3.3 Escoras de betão ........................................................................................................ 27

3.3.4 Tirantes de armaduras ................................................................................................ 29

3.3.5 Comentário final .......................................................................................................... 29

3.4 Indicações regulamentares presentes na NP EN1992 ..................................................... 30

3.4.1 Aplicabilidade dos modelos de escoras e tirantes ..................................................... 30

3.4.2 Verificação de segurança dos elementos de um modelo ........................................... 31

3.4.2.1 Escoras .................................................................................................................... 31

3.4.2.2 Tirantes .................................................................................................................... 32

3.4.2.3 Nós singulares ......................................................................................................... 34

3.4.3 Modelos tipificados para diafragmas .......................................................................... 37

(NP EN1992-2, Anexo informativo OO) ............................................................................... 37

Capítulo 4_Diafragmas de tabuleiros de pontes ......................................................................... 40

4.1 Caracterização geral .......................................................................................................... 40

4.2 Tipificação de diafragmas de apoio ................................................................................... 41

4.2.1 Carregamento horizontal ............................................................................................ 41

5

4.2.2 Carregamento vertical de vão .................................................................................... 49

4.3 Identificação das situações de estudo ............................................................................... 52

4.4 Desenvolvimento e apresentação dos modelos propostos ............................................... 54

4.4.1 Situação 1a) Secções com dois apoios e carregamento horizontal .............................. 54

4.4.1.1 Peças mais esbeltas ................................................................................................ 56

4.4.1.1.1 Definição do modelo ............................................................................................. 56

4.4.1.1.2 Resultados importantes para o dimensionamento ............................................... 67

4.4.1.1.3 Campo de aplicabilidade ...................................................................................... 70

4.4.1.1.4 Definição do ângulo θ e a compatibilidade do modelo ......................................... 70

4.4.1.2 Peças menos esbeltas ............................................................................................. 71

4.4.1.2.1 Definição do modelo ............................................................................................. 71

4.4.1.2.2 Compatibilidade e campo de aplicabilidade ......................................................... 80

4.4.1.3 Comentários finais ................................................................................................... 81

4.4.2 Situação 1b) Caixões acessíveis com dois apoios ........................................................ 82

4.4.2.1 Comportamento global de placa .............................................................................. 82

4.4.2.1.1 Dimensionamento do reforço na zona da abertura .............................................. 83

4.4.2.1.2 Campo de aplicabilidade ...................................................................................... 89

4.4.2.2 Comportamento global de pórtico ........................................................................... 89

4.4.3 Situação 2) Diafragmas com um apoio central .............................................................. 92

Capítulo 5 _Exemplo de aplicação .............................................................................................. 98

Capítulo 6_Conclusão ............................................................................................................... 107

Capítulo 7_Referências ............................................................................................................. 110

6

Índice de Figuras

Figura 2-1: Distribuição de tensões normais nas secções de vigas parede ............................... 13

Figura 2-2: Trajectórias de tensão em zona próxima de uma carga concentrada ...................... 14

Figura 3-1:Caminhos de carga (incluindo um “U-turn”) e modelo do campo de tensões ........... 18

Figura 3-2: Dois modelos de escoras e tirantes possíveis para uma viga parede. a)Modelo mais

adequado. b)Modelo menos adequado ....................................................................................... 20

Figura 3-3: Ensaio de uma viga parede. a)Distribuição de fendas em ELU. b)Modelo que

explica a capacidade de carga da peça ...................................................................................... 21

Figura 3-4: Nó CCC com estado plano hidrostático de tensão ................................................... 23

Figura 3-5: Área nodal no caso de nó CCT de apoio .................................................................. 24

Figura 3-6: Nó CCT em que se desenvolvem tracções no betão nodal ..................................... 25

Figura 3-7: Geometria de um nó CTT ......................................................................................... 26

Figura 3-8:Comprimento de amarração mínimo para casos correntes ....................................... 27

Figura 3-9:Bolbo de compressões. a) Trajectórias de tensões. b) Modelo de escoras e tirantes

..................................................................................................................................................... 28

Figura 3-10:Campos de Compressões. a) ”Gargalo” de compressões. b) Campo de

compressões prismático. c) “Funil” de compressões. ................................................................. 28

Figura 3-11: Figura 6.23 da NP EN1992-1-1, valor de cálculo da resistência das escoras de

betão na ausência de tracções transversais ............................................................................... 31

Figura 3-12: Figura 6.24 da NP EN1992-1-1, Valor de cálculo da resistência das escoras

sujeitas a tracções transversais................................................................................................... 32

Figura 3-13: Figura 6.25 da NP EN1992-1-1, Bolbo de compressões. a) Descontinuidade

parcial. b) Descontinuidade total ................................................................................................. 33

Figura 3-14:Funíl de compressões. a) Descontinuidade parcial. b) Descontinuidade total. ....... 34

Figura 3-15: Figura 6.26 da NP EN1992-1-1, nó comprimido sem tirantes ................................ 34

Figura 3-16: Figura 6.27 da NP EN1992-1-1, nó com um único tirante ...................................... 35

Figura 3-17: Figura 6.28 da NP EN1992-1-1, nó com tirantes dispostos segundo duas direcções

ortogonais .................................................................................................................................... 35

Figura 3-18: Determinação da resistência característica à compressão do betão confinado .... 36

Figura 3-19: Figura OO.3 da NP EN1992-2 ................................................................................ 37



7

Figura 3-22: Figura OO.11 da NP EN1992-2 .............................................................................. 39

Figura 4-1: Estrutura do tipo viga parede .................................................................................... 40

Figura 4-2-Forças de massa actuantes na secção ..................................................................... 42

Figura 4-3-Distibuição simplificada de forças de massa numa secção de vão ........................... 42

Figura 4-4: Modelo de transmissão das forças de massa das vigas à secção de apoio. a)

Secção de vão. b) Modelo transversal. c) Modelo longitudinal ................................................... 43

Figura 4-5: Deformada da secção do tabuleiro sob acção do sismo transversal, segundo a

hipótese simplificativa adoptada .................................................................................................. 44

Figura 4-6: Carregamento horizontal transversal de vão ............................................................ 45

Figura 4-7: Campos de compressões na laje do tabuleiro, na zona adjacente à carlinga de

apoio ............................................................................................................................................ 46

Figura 4-8:Carregamento da secção de apoio ............................................................................ 46

Figura 4-9: Concentração em planta das compressões na zona do apoio comprimido ............. 47

Figura 4-10: Concentração em alçado das compressões na zona do apoio comprimido .......... 47

Figura 4-11:Tensões normais na secção de apoio ..................................................................... 48

Figura 4-12: Determinação do carregamento horizontal da secção de apoio. a) Modelo de

cálculo das reacções transversais nos pilares. b) Carregamento da secção de apoio .............. 49

Figura 4-13:Transmição do carregamento vertical. a) Numa viga em alçado. b) Carregamento

da secção de apoio ...................................................................................................................... 50

Figura 4-14: Apoio indirecto da secção de vão na secção de apoio. a) Transmissão em alçado

nas almas. b) Carregamento da secção de apoio. c) Resultantes das acções na secção de

apoio ............................................................................................................................................ 51

Figura 4-15:Secções do caso 1. a) Situação 1a). b) Situação 1b ............................................... 52

Figura 4-16: Secções do caso 2. a) Um único caixão. b) Dois caixões dispostos

transversalmente ......................................................................................................................... 53

Figura 4-17:Caso 1a). a) Definição geométrica. b) Definição do carregamento ......................... 54

Figura 4-18: Campos de tensões para a situação 1a). a) Peças mais esbeltas. b) Peças menos

esbeltas ........................................................................................................................................ 55

Figura 4-19: Definição do braço z para o caso 1a), peças mais esbeltas .................................. 57

Figura 4-20: Inclinação das compressões diagonais .................................................................. 58

Figura 4-21: Leque de compressões na proximidade dos apoios .............................................. 58

Figura 4-22:Campos de compressões em “funil”. a) Zona do apoio comprimido. b) Zona do

apoio tracionado .......................................................................................................................... 59

Figura 4-23:Campo de compressões prismático ......................................................................... 60

8

Figura 4-24:Campo de tracções verticais .................................................................................... 60

Figura 4-25: Definição do esforço axial actuante na corda superior ........................................... 61

Figura 4-26: Equilíbrio axial de um troço genérico da corda superior ......................................... 62

Figura 4-27: Variação de esforço axial nos pontos não pertencentes ao domínio de Nc sup(x) 63

Figura 4-28: Variação de esforço axial na corda superior ........................................................... 64

Figura 4-29:Definição do esforço axial na corda inferior ............................................................. 64

Figura 4-30:Equilibrio elementar da corda inferior ...................................................................... 66

Figura 4-31:Variação do esforço axial na corda inferior .............................................................. 67

Figura 4-32: Campo de tensões para peças menos esbeltas ..................................................... 72

Figura 4-33:Modelo do campo de tensões. a) Representação dos diferentes elementos. b)

Grandezas associadas ao modelo .............................................................................................. 73

Figura 4-34: Variação de θ no campo de tensões real ............................................................... 73

Figura 4-35:Campo de tracções verticais. ................................................................................... 74

Figura 4-36:Definição do campo de tracções horizontais. .......................................................... 75

Figura 4-37:Campo de tracções horizontais real......................................................................... 75

Figura 4-38:Campos de compressões prismáticos. a) Disposição simétrica na peça. b) Campo

do lado do apoio comprimido. c) Campo do lado do apoio tracionado ....................................... 76

Figura 4-39:Variação de esforço axial na corda superior ............................................................ 77

Figura 4-40:Variação de esforço axial na corda inferior. ............................................................. 78

Figura 4-41: Variação de esforço axial no montante comprimido. .............................................. 79

Figura 4-42:Variação de esforço axial no montante tracionado. ................................................. 79

Figura 4-43: Área de influência da abertura no que respeita ao desvio das compressões

diagonais...................................................................................................................................... 83

Figura 4-44: Decomposição da área de influência da abertura para o carregamento diagonal . 84

Figura 4-45: Largura da banda lateral ......................................................................................... 84

Figura 4-46:Modelo de dimensionamento do reforço. a) Modelo de escoras e tirantes. b)

Identificação dos elementos e do carregamento. ........................................................................ 85

Figura 4-47: Condição necessária e suficiente para o equilíbrio do modelo .............................. 86

Figura 4-48:Resolução do modelo de escoras e tirantes. ........................................................... 86

Figura 4-49: Atribuição de um valor a δ. ..................................................................................... 87

Figura 4-50:Pormenorização de armaduras. a)Tracções diagonais. b)Equilíbrio de uma tracção

genérica com recurso a uma qualquer malha ortogonal. ............................................................ 88

Figura 4-51:Modelo típico de um diafragma com abertura pouco esbelto. ................................. 89

9

Figura 4-52:Modelo do campo de tensões na travessa superior ................................................ 90

Figura 4-53: Resolução da hiperestatia do modelo. .................................................................... 91

Figura 4-54: Armadura vertical distribuída. ................................................................................. 91

Figura 4-55: Apoio indirecto das almas no diafragma ................................................................. 92

Figura 4-56: Flexão transversal da secção de apoio .................................................................. 93

Figura 4-57: Analogia entre uma secção de apoio e uma viga parede. a) Secção de apoio com

um único aparelho central. b) Viga parede sujeita a um carregamento vertical concentrado a

meio vão ...................................................................................................................................... 93

Figura 4-58: Modelo tipificado para diafragmas com um único apoio central ............................. 94

Figura 4-59: Modelo para peças menos esbeltas ....................................................................... 95

Figura 4-60: Modelo para peças mais esbeltas........................................................................... 95

Figura 4-61: Pormenorização típica de armaduras ..................................................................... 96

Figura 4-62: Modelo optimizado para peças menos esbeltas ..................................................... 97

Figura 5-1: Diafragma não acessível. a) Secção de vão. b) Secção de apoio ........................... 98

Figura 5-2: Campo vertical de tracções ....................................................................................... 99

Figura 5-3: Campo de compressões diagonais ......................................................................... 100

Figura 5-4: Variação de esforço normal nas cordas ................................................................. 100

Figura 5-5: Pormenorização de armaduras ............................................................................... 102

Figura 5-6: Armadura de apoio .................................................................................................. 103

Figura 5-7: Nó inferior. a) Discretizado. b) Representação plana. c) Representação espacial 103

Figura 5-8: Definição geométrica do nó superior ...................................................................... 105

Índice de Tabelas

Tabela 5-1: Armadura horizontal na corda superior .................................................................. 101

Tabela 5-2: Armadura horizontal na corda inferior .................................................................... 101

Tabela 5-3: Rácios das tensões nas fronteiras do nó inferior ................................................... 104

Tabela 5-4: Verificação de segurança ao esmagamento do betão do nó inferior..................... 105

Tabela 5-5: Rácios das tensões nas fronteiras do nó superior ................................................. 106

Tabela 5-6: Verificação de segurança ao esmagamento do betão do nó superior................... 106

10

Capítulo 1_Introdução

1.1 Contextualização temática

Os diafragmas são peças com uma geometria plana, isto é, apresentam um desenvolvimento

segundo duas direcções ortogonais entre si, contidas no plano transversal do tabuleiro, muito

superior ao que apresentam segundo uma terceira direcção, direcção longitudinal do tabuleiro

e como tal normal às outras duas. A geometria plana destas peças confere-lhes uma grande

rigidez para deformações no seu plano, normalmente muito superior à que apresentam para

deformações de flexão, ou seja, para deformações causadas por cargas aplicadas

normalmente ao seu plano. Estas propriedades geométricas e físicas farão com que os

diafragmas pertençam normalmente a um tipo de peças designado por vigas parede, sendo na

sua generalidade regiões de descontinuidade.

Para as regiões de descontinuidade não será valido o método de dimensionamento

vulgarmente utilizado para regiões de continuidade, isto é, o dimensionamento das peças não

poderá ser feito partindo dos esforços seccionais, obtidos através da análise global da

estrutura, até porque para este tipo de regiões o conceito de secção transversal não fará

sentido. O conceito de secção transversal está intrinsecamente ligado às regiões de

continuidade, onde se verifica uma distribuição linear de tensões normais nas secções, o que

faz com que as secções planas permaneçam planas após a deformação, mantendo-se assim o

conceito de secção na configuração deformada.

Nas regiões de descontinuidade a distribuição de tensões normais será altamente não linear e

como tal o conceito de secção transversal e o método de dimensionamento com base nos

esforços seccionais perde toda a validade.

Para o dimensionamento das regiões de descontinuidade e mais propriamente dos diafragmas

em foco nesta dissertação, resta a utilização de mecanismos de cálculo automático baseados

no método dos elementos finitos e o recurso aos modelos de campos de tensões,

procedimento motivador desta dissertação.

Existe um importante trabalho feito na área da tipificação de modelos de campos de tensões

aplicáveis ao dimensionamento de vigas parede, de referir os seguintes trabalhos (Schlaich,

Schafer, & Jennewein, Towward a Consistent Design of Strutural Concrete, 1987),(Muttoni,

Schwartz, & Thurlimann, 2006),(Lourenço, 2010). No entanto a tipificação de modelos

aplicáveis ao caso concreto dos diafragmas de apoio dos tabuleiros das pontes de betão

armado não parece, ainda hoje, estar suficientemente consolidada embora seja importante

referir e ter em atenção as informações disponibilizadas em (Comisión 1, Grupo de Trabajo 1/3,

2003) e as informações normativas preconizadas no Anexo informativo OO da EN1992-2.

11

1.2 Objectivos

A contextualização temática apresentada no ponto anterior motivou o estudo e o

desenvolvimento de modelos de campos de tensões específicos para o projecto de diafragmas

de apoio de tabuleiros de betão armado, com o objectivo específico de contribuir para a

tipificação dos modelos válidos para a análise e o dimensionamento das referidas peças.

Em sentido mais lato, esta dissertação foi igualmente desenvolvida com o objectivo de

contribuir para a divulgação da aplicação dos modelos de campos de tensões a situações

complexas de projecto, tentando mostrar-se que embora seja muito complexo e humanamente

impossível, sem o auxílio de mecanismos de cálculo automático, determinar o estado de

tensão que se desenvolve em cada pondo de uma peça de betão armado sob acção de um

determinado carregamento, a capacidade de redistribuição plástica das estruturas permitirá

obter um dimensionamento seguro das peças, bastando para tal desenvolver e verificar a

segurança dos elementos de um modelo aproximado dos campos de tensões que nelas se

desenvolverão imediatamente antes do colapso, ou seja, em estado limite último.

Com o objectivo de divulgar os modelos de campos de tensões como uma ferramenta

complementar e até alternativa às análises elásticas lineares e elasto plásticas com

espalhamento de plasticidade, que ganharam enorme preponderância com a evolução dos

mecanismos de cálculo automático, serão apresentadas as disposições normativas vigentes

em Portugal que regulamentam as verificações de segurança com base em modelos de

campos de tensões, não só no que respeita às verificações de estados limite últimos como

também em relação a estados limite de serviço.

1.3 Organização da dissertação

Esta dissertação encontra-se organizada em cinco capítulos, subdivididos em vários

subcapítulos.

No primeiro capítulo faz-se a introdução da dissertação através da contextualização da

temática por ela abordada, bem como da apresentação das suas motivações e dos seus

objectivos. Apresenta-se igualmente o modo como será organizado o texto da dissertação.

No segundo capítulo será dada especial atenção à definição de regiões de continuidade e de

regiões de descontinuidade, apresentando-se um método simples para subdividir as estruturas

nestes dois tipos de regiões. Apresentar-se-á ainda um método geral de dimensionamento que

permitirá verificar a segurança de todas as regiões de uma estrutura, regiões de continuidade

ou regiões de descontinuidade, utilizando diferentes métodos, em função de pertencerem ao

primeiro ou ao segundo tipo de regiões, mas com um rigor e com resultados ao nível da

segurança estrutural, que se esperam igualmente satisfatórios para todas as regiões das

estruturas projectadas.

12

O terceiro capítulo incidirá sobre o método dos modelos de campos de tensões, apresentando-

se as suas principais características e especificidades. Dar-se-á especial atenção ao processo

de construção dos modelos, referindo-se alguns métodos e regras gerais úteis no processo de

obtenção ou de optimização de um modelo. Será abordada a metodologia geral de verificação

de segurança dos elementos modelados. Apresentar-se-ão ainda as disposições normativas

vigentes em Portugal, na NP EN1992-1-1, no que respeita a utilização, ao desenvolvimento e

às verificações de segurança exigidas aos modelos de campos de tensões.

O quarto capítulo será especificamente dirigido para a obtenção de modelos de campos de

tensões válidos para diferentes casos tipificados de diafragmas. Começar-se-á pela

identificação geral das propriedades, das funções e dos carregamentos dos diafragmas, o que

permitirá tipificá-los e estabelecer uma série correspondente de situações tipificadas de

projecto, para as quais será desenvolvido e analisado um modelo de campo de tensões típico.

No quinto capítulo será apresentada uma situação concreta de projecto, que a título

exemplificativo será resolvida com recurso um dos modelos tipificados desenvolvidos no

decorrer desta dissertação

O sexto capítulo encerrará a dissertação, apresentado uma série de considerações finais

acerca do conteúdo da mesma. Será apresentada uma síntese do trabalho realizado. Serão

referidas uma serie de conclusões acerca dos resultados obtidos, apontando-se igualmente os

potenciais desenvolvimentos futuros do trabalho realizado, que seriam importantes para a

consolidação e extensão dos conhecimentos desenvolvidos com a elaboração desta

dissertação.

13

Capítulo 2_Análise e dimensionamento de estruturas de betão armado

2.1 Regiões de continuidade e regiões de descontinuidade

As regiões de uma estrutura onde é válida a hipótese de Bernoulli, assunção de que a

distribuição de tensões normais numa secção é linear, o que implica que após a deformação as

secções planas permaneçam planas, são definidas como regiões de continuidade, ou de modo

abreviado por regiões B, em que o B remete para a validade da hipótese de Bernoulli.

As regiões onde a distribuição de tensões normais às secções é altamente não linear e assim

não é válida a hipótese de Bernoulli, são designadas de regiões de descontinuidade ou de um

modo abreviado por regiões D.

Na Figura 2-1 mostram-se vários exemplos de secções de vigas parede em que a distribuição

de tensões normais pode ser considerada linear e de secções em que tal simplificação é

perfeitamente abusiva. Numa primeira observação, é possível notar que quanto mais próximas

dos apoios, e portando das cargas concentradas, mais não linear será a distribuição de

tensões normais nas secções.

Figura 2-1: Distribuição de tensões normais nas secções de vigas parede

A introdução de cargas pontuais nas estruturas introduz uma forte turbulência nas trajectórias

das tensões (Figura 2-2), essa é de facto uma das características das regiões D, o traçado das

trajectórias de tensões é relativamente turbulento quando comparado com o que se regista nas

regiões B.

14

Figura 2-2: Trajectórias de tensão em zona próxima de uma carga concentrada

A presença de descontinuidades físicas ou geométricas causam uma concentração de tensões

e como tal uma turbulência nas trajectórias das mesmas, sendo assim são um indicativo da

presença de uma região D, numa estrutura. São casos de descontinuidades geométricas, as

variações abruptas da secção das peças como os cantos reentrantes em vigas, os nós de

ligação entre as vigas e os pilares, a introdução de aberturas nas peças. Como

descontinuidades físicas poderão ser indicadas as cargas concentradas introduzidas nas

estruturas pelos aparelhos de apoio, por carga aplicadas à estrutura e por ancoragens de

armaduras.

Como se pode observar na Figura 2-2, a concentração das tensões decresce rapidamente com

a distância à origem da descontinuidade. Este comportamento servirá para delimitar as regiões

D de acordo com a seguinte regra: uma descontinuidade está confinada a uma área que se

estende para cada um dos lados da origem da concentração de tensões de um valor igual à

altura da secção transversal(Schlaich, Schafer, & Jennewein, Towward a Consistent Design of

Strutural Concrete, 1987), documento onde é igualmente apresentado um método mais geral

para determinar a extensão das descontinuidades numa estrutura.

A regra apresentada baseia-se no Princípio de Saint-Venant, como tal não é exacta mas

permite identificar e determinar a extensão das descontinuidades, com um rigor aceitável para

a generalidade das situações de projecto, de um modo bastante expedito, repare-se que para o

caso de vigas e vigas parede a definição das zonas de descontinuidade dependerá apenas da

altura das peças.

2.2 Método geral de dimensionamento

O dimensionamento de qualquer estrutura de betão armado deverá ser feito de um modo

integrado. Num primeiro momento a estrutura deverá ser subdividida em regiões B e regiões D.

No caso de estruturas com uma extensão considerável de regiões B, deverá ser definido um

sistema estático equivalente que permita analisar globalmente a estrutura com o método de

análise global mais adequado à situação de dimensionamento, resultando desse processo a

definição dos esforços seccionais e as reacções de apoio da estrutura. A escolha do método de

análise global dependerá do estado limite em consideração.

15

Caso se trate de um dimensionamento aos estados limites de serviço em que se pretenda uma

resposta da estrutura em estado não fissurado deverá ser aplicada uma análise elástica linear,

já nos casos em que se permita uma resposta em estado fissurado com controlo da

fendilhação, garantindo uma tensão nas armaduras inferior à sua tensão plastificação, uma

análise global não linear será a mais indicada, contudo por motivos de simplificação uma

análise elástica linear, ou um modelo do campo de tensões orientado segundo as trajectórias

elásticas de tensões também serão aceitáveis.

Caso se trate de um dimensionamento aos estados limites últimos, em que a resposta da

estrutura será certamente em regime plástico, com a formação de fendas de grandes

dimensões e secções completamente plastificadas, secções em que se formarão as rótulas

plásticas, deverá ser aplicada uma análise elasto plástica (com conceito de rótula plástica) ou

uma análise elástica com redistribuição de esforços, regulamentarmente estabelecida. Em

alguns casos, poderá ainda aplicar-se uma análise rígido plástica. A avaliação da capacidade

de rotação das secções será crucial neste tipo de análises que tiram partido da capacidade de

redistribuição de esforços das estruturas. Repare-se que o projectista poderá ainda optar

conservativamente por uma análise elástica linear, ou por uma análise não linear (análise

elasto plástica com espalhamento de plasticidade) muito exigente ao nível do cálculo.

As regiões B serão então dimensionadas com base nos seus esforços seccionais, para o caso

de uma distribuição elástica de tensões ao nível das secções, o dimensionamento será feito

directamente com base nas propriedades geométricas das secções. No caso de se permitir

uma distribuição plástica de tensões normais ao nível da secção, o dimensionamento será feito

recorrendo aos métodos regulamentarmente estabelecidos para o efeito.

A análise global da estrutura e o processo de dimensionamento das regiões B permitirão assim

definir o carregamento nas fronteiras das regiões D. Para os casos em que se pretenda uma

resposta das regiões D em estado não fissurado, o seu dimensionamento deverá ser feito com

recurso a uma análise elástica linear de tensões na região, em alguns regulamentos é

igualmente permitida a utilização de modelos de escoras e tirantes orientados segundo o

comportamento elástico. Para os casos em que a resposta da região D se admita em estado

fissurado, o seu dimensionamento poderá ser feito com recurso a uma análise não linear, ou de

um modo mais expedito, com recurso aos modelos de campos de tensões.

Nos casos em que a estrutura seja uma única região D, a determinação dos efeitos seccionais

com recurso a um método de análise global não fará qualquer sentido, perdendo-se mesmo o

conceito de secção transversal, contudo nos casos de peças exteriormente hiperestáticas, esta

indeterminação deverá ser resolvida para que se possam definir as condições de fronteira

estáticas que permitirão dimensionar a descontinuidade com um dos métodos indicados no

parágrafo anterior.

16

Capítulo 3_Modelos de campos de tensões

3.1 Principais características do método dos modelos de campos de

tensões

O método é baseado no teorema estático, ou do limite inferior, da teoria da análise plástica

limite. Assim, será escolhido um modelo do campo de tensões que equilibre o carregamento

aplicado à estrutura e que respeite as condições de fronteira estáticas da mesma. Nesse

modelo, os campos de compressões serão representados por elementos lineares axialmente

comprimidos, as escoras de betão, e os campos de tracções por elementos lineares,

axialmente traccionados, os tirantes normalmente de armaduras ordinárias. As forças nas

escoras e nos tirantes equilibram-se essencialmente por compressão do betão das regiões

nodais. A consideração de modelos tridimensionais não é usual, assim sendo, os nós serão

elementos bidimensionais sujeitos a um estado plano de compressão.

O parágrafo anterior relata a principal característica do método, em alguns estudos apontada

mesmo como a sua grande deficiência: a ausência de qualquer exigência de compatibilidade.

De um ponto de vista meramente teórico, existirão assim uma infinidade de modelos que

poderão fornecer um dimensionamento seguro, desde que as respectivas exigências de

ductilidade sejam satisfeitas pelo comportamento estrutural. Apenas a introdução por parte do

projectista, de um critério de compatibilidade poderá levar à selecção do modelo que mais

realisticamente simula o comportamento da estrutura.

De facto, a obtenção de um método de análise e dimensionamento válido para estruturas

infinitamente hiperestáticas que conduzisse à obtenção da solução exacta, ou seja, verificasse

o equilíbrio, as condições de plasticidade e ao mesmo tempo as condições de compatibilidade,

não seria possível com a definição de um método relativamente expedito.

O principal problema de compatibilidade deste método, será garantir às estruturas ductilidade

suficiente para o modelo equilibrado que lhes será imposto, ou seja, que nenhum ponto da

estrutura exceda a sua capacidade de deformação (capacidade de rotação) antes de todos os

restantes pontos atingirem o estado de tensão assumido no modelo. Uma maneira de resolver

este problema, especialmente nas zonas mais esforçadas, será orientar o modelo segundo o

comportamento elástico da estrutura. Nas zonas menos esforçadas da estrutura, onde o betão

será submetido a um menor esforço de compressão, a direcção das escoras e dos tirantes

poderá afastar-se significativamente das direcções dos respectivos campos de tensões

elásticos, sem comprometer a compatibilidade do modelo de dimensionamento.

O facto de orientar o modelo segundo os caminhos de carga indicados pelo comportamento

elástico permitirá: ser menos exigente do ponto de vista da ductilidade que será necessário

garantir à estrutura, a verificação da capacidade de deformação de uma estrutura não é

geralmente fácil; utilizar o mesmo modelo para as verificações de segurança aos estados limite

últimos e aos estados limites de serviço, com um óbvio inconveniente associado, será

17

negligenciada grande parte da capacidade de carga, o que obviamente conduzirá a um

dimensionamento aos estados limite últimos menos económico.

Para dimensionar uma descontinuidade com recurso a um modelo do campo de tensões,

depois de definidas as suas fronteiras e as forças que nelas actuam, deverá seguir-se o

seguinte procedimento:

1. Desenvolver um modelo de campos de tensões que garanta o equilíbrio estático

sem violar de forma grosseira as condições de compatibilidade.

2. Analisar o modelo, obtendo assim as forças nos seus elementos, entendidas como

as resultantes dos campos de esforços internos que equilibram o carregamento

aplicado.

3. Dimensionar os elementos do modelo nomeadamente as escoras, os tirantes e os

nós. Assim garante-se que os campos de tensões assumidos não violam em

nenhum ponto a condição de plasticidade.

3.2 Obtenção de um modelo de campos de tensões

O processo de desenvolvimento do modelo ficará muito mais facilitado nos casos em que se

baseia no mapeamento das trajectórias elásticas de tensão. As escoras e os tirantes serão

assim definidos coincidentes com o centro de gravidade dos principais campos de

compressões e de tracções respectivamente. Processo que garantirá a orientação do modelo

segundo a distribuição elástica de tensões, garantido à partida compatibilidade do modelo.

No caso de não se efectuar uma análise elástica da peça à priori do desenvolvimento do

modelo este poderá ser desenvolvido com base no chamado método dos caminhos de carga.

3.2.1 Método dos caminhos de carga

Isolando a região D, a determinação das condições de fronteira estáticas garantirá o seu

equilíbrio global. Nas fronteiras com as regiões B adjacentes, o carregamento aplicado à zona

de descontinuidade será determinado assumindo uma distribuição linear das tensões na

secção fronteira entre as duas regiões e assim resultará directamente dos efeitos seccionais

determinados na análise global da estrutura e das propriedades geométricas da referida

secção.

O método dos caminhos de carga consiste em subdividir o carregamento aplicado à

descontinuidade, de tal modo que as acções aplicadas num dos lados encontram a respectiva

reacção do outro lado, considerando que os caminhos de carga que atravessam a

descontinuidade não se intersectam (Schlaich, Schafer, & Jennewein, Towward a Consistent

Design of Strutural Concrete, 1987).

Nas secções fronteira, os caminhos de carga localizar-se-ão no centro de gravidade das

distribuições de cargas que “transportam” e terão a direcção das respectivas cargas.

18

Os caminhos de carga deverão seguir o traçado mais curto e racional dentro da

descontinuidade, sabendo que deverão ser ligeiramente curvos, concentrando a sua curvatura

nas zonas de maior concentração de tensões, nomeadamente próximo de cargas

concentradas. Esta noção é de facto crucial para a qualidade do modelo, repare-se que até

este ponto, o método é perfeitamente definido. É com o traçado dos caminhos de carga que

surge a variabilidade e a incerteza, para casos relativamente complexos a definição dos

caminhos de carga não é óbvia, ficando a qualidade do modelo condicionada pela percepção

que o seu executante possua em relação ao comportamento real da estrutura.

Existirão ainda casos em que as acções aplicadas num dos lados da descontinuidade não

poderão encontrar toda a sua reacção no lado oposto, nestes casos obviamente terá de existir

um caminho de carga que entre por uma determinada fronteira da região, com uma

determinada magnitude e que sai por essa mesma fronteira com a mesma magnitude, dando

uma volta dentro da região e formando aquilo que pode ser designado por “U-turn” (Schlaich,

Schafer, & Jennewein, Towward a Consistent Design of Strutural Concrete, 1987).

Figura 3-1:Caminhos de carga (incluindo um “U-turn”) e modelo do campo de tensões

Este tipo de caminhos desenvolver-se-á forçosamente nos casos em que a distribuição de

tensões num dos lados da região for do tipo da apresentada na Figura 3-1, que indicia

claramente a existência de um carregamento com uma parcela auto equilibrada, que só poderá

ser resolvido com um caminho de carga em forma de U (“U-turn”).

O modelo do campo de tensões terá um traçado poligonal que resultará da linearização dos

caminhos carga, concentrando as suas curvaturas em nós, nos quais convergirão elementos

rectos. A estes nós terão ainda de ser adicionados elementos rectos que não derivam

directamente do transporte das cargas de um lado para o outro da descontinuidade mas que

são necessários para garantir o equilíbrio dos nós na direcção transversal ao carregamento. No

fundo, estes elementos transversais concentram as tensões transversais que se desenvolvem

nas zonas curvas dos caminhos de carga (Figura 3-1). Será ainda recomendável que os

tirantes do modelo sejam dispostos de modo a corresponderem directamente a uma

pormenorização de armaduras que facilite a execução em obra, preferencialmente paralelas

aos bordos das peças, e que permita um correcto controlo da fendilhação.

19

Um meio de desenvolver modelos de escoras e tirantes para casos especialmente complexos e

que fujam aos casos mais típicos, casos em que o comportamento estrutural não seja

intuitivamente perceptível para o projectista, será combinar os resultados de uma análise

elástica com o método dos caminhos de carga.

Os modelos de campos de tensões obtidos considerando o método dos caminhos de cargas

são muitas vezes cinemáticos, equilibrando apenas o carregamento para o qual foram

desenvolvidos, o que deriva da dependência do seu processo de desenvolvimento em relação

ao carregamento aplicado nas fronteiras das peças. Contudo, se a forma da distribuição dos

carregamentos se mantiver, os modelos serão facilmente ajustáveis através do reajustamento

da posição de alguns elementos, que conduzirá a pequenas alterações nos ângulos entre

elementos, mantendo-se no fundo a coerência no que respeita ao comportamento estrutural

assumido. Este tipo de modelos será assim facilmente resolvido apenas por considerações de

equilíbrio.

3.2.2 Avaliação da qualidade do modelo

Apresenta-se agora um conjunto de regras gerais que deverão ser tidas em linha de conta no

processo de desenvolvimento do modelo, para que este apresente uma qualidade final

satisfatória, regras essas que tendo em conta a natureza iterativa do dimensionamento com

recurso a modelos de campos de tensões, também poderão ser verificadas à posteriori como

forma de avaliar a qualidade do modelo desenvolvido.

Os ângulos entre as escoras e tirantes deverão ser no mínimo de 45º. Uma excepção a esta

regra será tolerada no caso dos nós onde convergem uma escora e dois tirantes ortogonais

entre si, para estes casos serão tolerados ângulos inferiores a 45º mas forçosamente

superiores a 30º. Ângulos inferiores a 30º serão irrealistas, levando fortes problemas de

compatibilidade dos modelos(Fédération International du Béton, July 1999).

As escoras e tirantes representam campos de tensões com uma certa espessura no plano do

modelo, isto significa que não poderão ser colocados excessivamente próximos das faces das

peças, sob pena de não ser possível verificar a sua segurança. A verificação de segurança das

zonas nodais será muitas vezes condicionante para o distanciamento dos elementos que nelas

convergem às faces das peças.

Modelos hiperestáticos só deverão ser considerados se existirem indicações explícitas de

como os determinar estaticamente, indicações que reflictam o comportamento estrutural real e

não apenas arbitradas de modo a resolver o problema da indeterminação estática.

É consensual que as estruturas tendem a encaminhar as cargas de modo a sofrerem menores

tensões e menores deformações. Embora o módulo de elasticidade do aço seja superior ao do

betão, a área da secção transversal dos tirantes de armadura será muito inferior à área efectiva

da secção das escoras de betão, numa razão que fará como que na generalidade dos casos se

20

possa considerar os tirantes muito mais deformáveis do que as escoras de betão. Assim, um

modelo que minimize o valor dado pela expressão (3-1), será à partida o modelo mais

adequado para simular o comportamento de uma estrutura em estado fendilhado.

� �� × �� (3 − 1) Onde: Fti - tracção no tirante i lTi - comprimento do tirante i.

Para casos de estruturas com escoras muito compridas e muito esforçadas, a expressão (3-1)

deverá ser substituída pela expressão (3-2).

� �� × �� × ( �)� (3 − 2) Onde: Fi – esforço axial no elemento i lTi - comprimento do elemento i EAi – rigidez axial do elemento i i será uma escora ou um tirante

A aplicação deste critério de minimização da energia de deformação, permitirá de modo

simples excluir modelos menos adequados (Figura 2b)) em benefício de outros modelos mais

adequados (Figura 3-2a)).

Figura 3-2: Dois modelos de escoras e tirantes possíveis para uma viga parede. a)Modelo mais adequado. b)Modelo menos adequado

Em (Fédération International du Béton, July 1999) é apresentado um ensaio de carga a uma

viga parede (Figura 3-3a)) e um modelo de escoras e tirantes (Figura 3-3b)) que permitirá

estimar em cerca de 94% a capacidade de carga que a peça mostrou no respectivo ensaio

experimental.

21

Figura 3-3: Ensaio de uma viga parede. a)Distribuição de fendas em ELU. b)Modelo que explica a capacidade de carga da peça

Um modelo orientado segundo as trajectórias de tensão elásticas, do tipo do apresentado na

Figura 3-2a) apenas permitiria estimar em cerca de 40% a capacidade de carga última da

estrutura. Este facto corrobora o que já havia sido exposto neste documento, a orientação dos

modelos segundo as trajectórias elásticas e mais especificamente a aplicação do critério de

minimização da energia de deformação para o comportamento elástico linear, modificado para

o estado fissurado, permite obter modelos menos exigentes ao nível da ductilidade do

comportamento estrutural e mais satisfatórios no que respeita ao controle da fendilhação das

estruturas, mas que em contra partida são geralmente muito conservativos, desprezando

grande parte da capacidade resistente das peças.

3.3 Verificação de segurança dos elementos de um modelo

3.3.1 Valor representativo da resistência do betão

Para as verificações de segurança do betão comprimido, nomeadamente nas secções das

escoras de betão e nas regiões nodais, as compressões actuantes terão de ser comparadas

com um valor de cálculo representativo da resistência do betão que não será constante para

todas as situações, deverá depender do estado de tensão triaxial, da distribuição de fendas e

da própria pormenorização de armaduras presente em cada caso específico.

Compressões actuantes na direcção transversal à da compressão actuante, para a qual se

estará a efectuar a verificação de segurança, serão certamente favoráveis, especialmente se

actuarem nas duas direcções transversais, produzindo um estado de compressão triaxial no

volume de betão em análise. Este efeito de confinamento permitirá aumentar a resistência e a

ductilidade do betão e poderá ser imposto através da cintagem do betão ou naturalmente

conferido pelo betão envolvente a um determinado volume de betão.

22

Tensões de tracção transversais e as fendas por elas causadas farão baixar a tensão de

ruptura do betão relativamente ao valor que este exibe no ensaio normalizado de um provete

cilíndrico. Assim, este será um factor desfavorável que poderá ser atenuado através da uma

pormenorização adequada de armaduras que resistirão às tracções e permitirão um adequado

controlo da fendilhação.

Nas referências bibliografias são apresentadas várias propostas para a quantificação da

referida resistência representativa do betão.

3.3.2 Nós

Os nós são por definição os pontos de intersecção dos elementos lineares do modelo Assim

sendo, a introdução de um nó implica assunção da existência de um desvio nas trajectórias de

tensões, desvio esse que poderá ser mais concentrado e abrupto ou mais disperso e suave.

Nos casos em que uma das escoras represente um campo de compressões concentrado,

normalmente introduzido por uma reacção de apoio ou carga concentrada exteriormente

aplicada, ou um dos tirantes seja pormenorizado como uma armadura concentrada, a direcção

das forças internas variará de forma abrupta, concentrando-se num pequeno volume de betão.

Nestes casos, os nós são designados de nós singulares ou concentrados e a sua verificação

de segurança será em muitos casos condicionante para o dimensionamento das peças.

No caso de nós onde se intersectem campos de compressões dispersos ou estes com uma

armadura distribuída numa determinada altura, com os varões dispostos suficientemente

próximos uns dos outros, o desvio das trajectórias de tensões será muito mais suave,

ocorrendo num volume de betão muito maior quando comparado com os nós singulares. Neste

caso os nós serão designados por nós dispersos ou contínuos.

Os nós singulares representam assim zonas de grande concentração de tensões devidas

sobretudo à introdução de cargas exteriores concentradas, reacções de apoio, ancoragens e

amarrações de armaduras. Também deverão ser tidas em linha de conta algumas

descontinuidades geométricas, como por exemplo os cantos reentrantes, que introduzem

concentrações de tensões em alguns casos susceptíveis de serem representadas por nós

singulares no modelo de dimensionamento.

Um nó singular será um pequeno volume de betão, circundante ao ponto teoricamente definido

no modelo, onde geralmente se desenvolve um estado plano de compressão que permitirá

equilibrar os campos de tensões que nele convergem. Em alguns casos, poderá mesmo se

desenvolver um estado triaxial de compressão mas será mais frequente se desenvolverem

tracções segundo a terceira dimensão, num plano ortogonal ao plano em que será definido o

modelo global.

23

Os nós singulares são simplificadamente identificados pela combinação de escoras (C) e de

tirantes (T) que neles convergem, assim para o caso de nós onde convirjam três elementos:

• Um nó CCC é um nó onde apenas convergem campos de compressões;

• Um nó CCT é um nó onde convergem dois campos de compressões e um tirante;

• Um nó CTT será um nó em que a força de dois tirantes com diferentes direcções será

equilibrada por um campo de compressões;

• Um nó TTT será um nó onde apenas convergem tirantes.

Definir de forma exacta o estado triaxial tensão em cada ponto da região nodal, não será

possível através de um método suficientemente expedito, coerente com o grau de simplicidade

que se exige a um dimensionamento com recurso a modelos de campos de tensões. Ocorrerá

certamente, uma redistribuição de esforços internos na região nodal antes de qualquer um dos

seus pontos entrar em ruptura e assim fará sentido comparar o valor da compressão média

actuante na região nodal com o valor representativo da resistência do betão (f*cd), já definido no

ponto 3.3.1 desta dissertação, ao invés de comparar o estado de tensão em cada ponto com a

resistência triaxial do betão. Mais uma vez, apenas as tensões necessárias ao equilíbrio da

região nodal serão consideradas, a compatibilidade será satisfeita se o modelo global for válido

e se algumas condições no que respeita a distribuição de tensões nas diferentes fronteiras da

região nodal forem respeitadas.

O dimensionamento de um nó singular implicará:

a) Definição da região nodal.

No caso dos nós CCC, as fronteiras da região nodal deverão ser definidas perpendiculares às

respectivas escoras e com um comprimento tal que todas elas estejam sujeitas à mesma

tensão, de modo a que o interior do nó esteja sujeito a um estado hidrostático plano de tensão.

Como se mostra na Figura 3-4, a satisfação simultânea das duas condições anteriores

permitirá definir de forma unívoca a geometria da região nodal quando uma das fronteiras

estiver à partida perfeitamente definida, por exemplo pela existência de uma placa de

ancoragem ou apoio.

Figura 3-4: Nó CCC com estado plano hidrostático de tensão

24

Ainda assim, rácios entre as tensões nas diferentes fronteiras nodais superiores a 0,5 serão

satisfatórios, daí que se possa optar por uma geometria nodal que não implique um estado

hidrostático plano de tensão. O afastamento excessivo do estado de tensão assumido

relativamente ao referido estado hidrostático, traduzido por rácios inferiores 0,5 entre as

tensões nas diferentes fronteiras, implicará sérios problemas de compatibilidade e com isto o

dimensionamento plástico anteriormente proposto, que tem por base a hipótese de que existirá

uma redistribuição de esforços na região nodal antes de qualquer um dos seus pontos entrar

em ruptura deixa de ser válido, pois a distribuição de tensões estará muito longe de ser

uniforme em todos os pontos, o que tornará abusiva a verificação de segurança da região

garantida pela comparação entre um valor médio das compressões actuantes e um valor

representativo da resistência do betão (f*cd).

No caso de nós CCT, a definição da geometria nodal dependerá claramente da disposição das

armaduras e do modo como estas estejam amarradas. A altura da região nodal (u), altura na

qual se dará o desvio das compressões diagonais, influenciará fortemente a distribuição de

tensões nas fronteiras do nó e dependerá essencialmente do número de camadas de varões

pormenorizadas (n), do afastamento entre elas (s) e do facto de estas poderem ou não ser

consideradas como estando em parte amarradas na parte de “trás” do nó. Num caso extremo

de uma única camada de varões (n=1), totalmente amarrada dentro do nó, a altura da região

nodal deverá ser nula (u=0).

Existe na bibliografia e na regulamentação vigente, nomeadamente na NP EN 1992-1-1,

informação que permite determinar de forma unívoca a altura nodal (u) em função da

pormenorização de armaduras adoptada para o tirante convergente num determinado nó CCT.

Definida a altura nodal (u), a geometria do nó ficará completamente determinada, tal como se

mostra na próxima Figura 3-5.

A largura da escora diagonal na fronteira com a região nodal (a2) será dada por:

�2 = � cos � + �1 sin � (3 − 3)

Figura 3-5: Área nodal no caso de nó CCT de apoio

25

Uma distribuição de armaduras que privilegie um aumento da altura do nó, permitirá diminuir a

tensão actuante na fronteira com a escora diagonal (σc2). A expressão (3-3) permite dizer que a

largura da fronteira entre o nó e a escora diagonal (a2) aumenta com a altura do nó (u) e assim

o aumento de (u) proporcionará uma diminuição da tensão actuante na fronteira com escora

diagonal (σc2).

Nos casos em que os aparelhos de apoio sejam colocados muito próximos das faces da peça,

os varões não poderão estender a sua amarração à parte de trás do nó, vão mesmo ter de

terminar a sua amarração ainda dentro da região nodal a uma certa distância da sua fronteira,

necessária para garantir o recobrimento adequado das armaduras (Figura 3-6).

Figura 3-6: Nó CCT em que se desenvolvem tracções no betão nodal

Nestes casos, o betão de recobrimento irá ter de desviar uma parte significativa das

compressões diagonais e assim será submetido a uma solicitação de tracção. Como forma de

tentar evitar a fragmentação do betão de recobrimento e de diminuir a tracção actuante em

cada varão, de modo a facilitar a sua amarração, a pormenorização de armaduras deverá

conduzir a uma altura do nó (u) considerável. Será aconselhável pormenorizar a armadura do

tirante com recurso a um número elevado de camadas de varões e atender a algumas

disposições normativas que garantam a correcta amarração de varões em casos

especialmente exigentes, como são exemplo as disposições preconizadas na NP EN1992-1-1,

para a amarração de armaduras de grande diâmetro.

No caso de um nó CTT, em que um campo de compressões é equilibrado pela pressão radial

que se desenvolve na superfície dos varões dobrados (Figura 3-7), para que este equilíbrio se

estabeleça de forma adequada, o diâmetro de dobragem dos varões (dm) não deverá ser

demasiado pequeno.

Neste caso, a largura da escora diagonal (a) será calculada em função do diâmetro de

dobragem dos varões (dm) e do menor dos ângulos entre a escora e os dois tirantes (θ),

através da expressão (3-4) (Fédération International du Béton, July 1999).

� = �� sin � (3 − 4)

26

Figura 3-7: Geometria de um nó CTT

A análise da expressão anterior permitirá concluir imediatamente que quanto menor for o

diâmetro de dobragem dos varões e o menor dos ângulos entre a escora e os tirantes, menor

será a largura da fronteira do nó com o campo de compressões desviado e assim, maior será a

solicitação do betão nodal, o que é coerente com a intuição de que quando menor for o

diâmetro de dobragem dos varões, menor será a superfície onde actuará a referida pressão

radial e assim, maior será a acção distribuída quer nos varões quer no betão envolvente.

O diâmetro de dobragem dos varões terá neste caso particular importância, devendo assim

respeitar todas as disposições normativas disponibilizadas pela regulamentação vigente num

determinado projecto.

b) Verificação da compressão média actuante no betão nodal.

Segundo o método proposto para a verificação de segurança do betão nodal, a tensão média

actuante no referido betão terá de ser inferior ao valor de cálculo representativo da resistência

do betão (fcd*), anteriormente definida em função do estado de tensão e de fissuração

expectável para o referido volume de betão. Condição que será automaticamente satisfeita se

em cada uma das fronteiras da região nodal a tensão actuante for inferior à referida resistência

representativa e se as armaduras apanharem completamente o desvio das compressões, ou

seja, as armaduras terão de se estender a toda a largura da região nodal, não poderão

terminar a sua amarração no interior da zona nodal, sob pena de algumas compressões terem

de ser desviadas via tracção no betão nodal (Figura 3-6), o que torna o método de verificação

de segurança proposto insuficiente.

c) Amarração das armaduras no nó.

A amarração das armaduras deverá obviamente respeitar todas a regras preconizadas pela

regulamentação vigente no projecto em questão. O projectista deverá apenas ter presente que

sempre que for possível, excepção feita ao caso apresentado na Figura 3-6, a amarração das

armaduras deverá começar no ponto onde as compressões diagonais intersectam a armadura

mas os varões terão de se estender pelo menos até ao outro lado da região nodal, de modo a

acomodarem integralmente o desvio das compressões diagonais (Figura 3-8).

27

Figura 3-8:Comprimento de amarração mínimo para casos correntes

É importante referir que a verificação de segurança dos nós singulares condiciona fortemente o

dimensionamento das escoras e dos tirantes de armadura, mais do que isso poderá mesmo

implicar a alteração de alguns ângulos definidos no modelo que deu origem aos esforços de

dimensionamento dos nós e assim obrigar ao desenvolvimento de um novo modelo, novos

esforços de dimensionamento, logo uma nova verificação de segurança dos elementos do

modelo, o que permitirá desde já inferir a natureza iterativa do dimensionamento com recurso a

modelos de campos de tensões, especialmente no caso de peças muito esforçadas em que as

exigências de compatibilidade e as verificações de segurança das regiões nodais, principais

pontos de concentração de tensões, são especialmente difíceis de garantir.

A verificação de segurança dos nós contínuos é geralmente dispensável, devendo contudo ser

garantido que nos casos em que existam armaduras estas sejam pormenorizadas de modo a

acomodarem integralmente o desvio das compressões, tal como o exigido aos nós singulares.

3.3.3 Escoras de betão

As escoras de betão representam a resultante de campos de compressões bidimensionais (na

realidade são tridimensionais mas frequentemente consideram-se modelos planos em que o

estado de tensão na terceira dimensão é tido em consideração de forma implícita na definição

da resistência representativa do betão). As compressões terão forte tendência para se

dispersar entre dois nós, se um dos nós em questão for um nó singular formar-se-á uma

espécie de “gargalo” de compressões, que devido ao desvio que as trajectórias das

compressões sofrem, implicará um estado biaxial de compressão na zona mais próxima da

concentração de tensões e o aparecimento de tracções transversais à direcção da resultante

das compressões em zonas mais afastadas. A curvatura inicial das compressões implica a

existência de compressões transversais mas depois de sofrerem uma inflexão passa a implicar

a existência de tracções transversais, a inflexão das trajectórias das compressões ocorre numa

zona próxima dos nós singulares, pois é sabido que as trajectórias das tensões tendem a

concentrar as suas curvaturas em zonas próximas das cargas concentradas (Figura 3-9 e

Figura 3-10a)). As tracções transversais poderão ser tidas em consideração na atribuição do

valor representativo da resistência do betão ou acomodadas em armaduras calculadas

28

especificamente para o efeito, com recurso a um modelo de escoras e tirantes local que tenha

em conta o desvio das trajectórias das compressões (Figura 3-9b)).

Figura 3-9:Bolbo de compressões. a) Trajectórias de tensões. b) Modelo de escoras e tirantes

Este tipo de campo de compressões é normalmente designado por “gargalo”, como referência

ao facto de numa das suas extremidades se verificar uma forte concentração das compressões

(Figura 3-10a)). O bolbo de compressões apresentado na Figura 3-9a) é um duplo “gargalo”,

pois desenvolve-se entre dois nós singulares.

Existem porém, outros tipos de campos de compressões que não apresentam curvaturas nas

trajectórias das compressões e assim não apresentam tracções transversais. É o caso dos

campos de compressões “prismáticos” (Figura 3-10b)), típicos das regiões B e que podem ser

entendidos como casos particulares de “gargalos” em que a=b (Figura 3-10a)) e assim não se

verifica o efeito de “gargalo”.

Existirá ainda o caso em que as compressões se desenvolvem radialmente em torno de um

ponto, nó singular, normalmente designado por “leque” de compressões (Figura 3-10c)) e que

também não implicará o aparecimento de tracções transversais, pois na realidade, as

trajectórias das compressões não serão desviadas, serão rectas ao longo do campo de

compressões.

Figura 3-10:Campos de Compressões. a) ”Gargalo” de compressões. b) Campo de compressões prismático. c) “Funil” de compressões.

29

Os campos de compressões prismáticos ou em forma de “leque”, por não desenvolverem por si

só tracções transversais, deverão ser dimensionados com base na resistência de cálculo à

compressão uniaxial do betão (fcd), definida no código vigente. Contudo se existirem tracções,

fendas ou armaduras a cruzarem o campo de compressões deverá ser tida em consideração

no dimensionamento uma resistência representativa do betão (fcd*), definida de acordo com os

princípios já enunciados nesta dissertação.

3.3.4 Tirantes de armaduras

Geralmente todos os tirantes num modelo serão dimensionados com recurso a armaduras

ordinárias, assim para um dado tirante com um esforço axial de tracção (Ts), deverá ser

pormenorizada uma área de armadura (As) com uma tensão de cedência de cálculo (fyd), de

modo a ser verificada a seguinte condição (3-5).

�� ≤ � × !"# (3 − 5)

A pormenorização da quantidade de armadura fornecida pela expressão anterior (3-5) deverá

ser especialmente cuidada, sendo forçosamente condicionada pela verificação de segurança

dos nós, quer singulares quer contínuos.

Em alguns casos de peças especialmente esforçadas, poderá ser interessante a introdução de

armaduras pré-esforçadas mas terá de ser tido em especial atenção o facto de o pré-esforço

ser por si só uma acção permanente actuante sobre a estrutura, que terá de ser tida em

consideração no modelo de cálculo.

3.3.5 Comentário final

Uma regra geral e de grande aplicabilidade no dimensionamento de vigas parede poderá ser

enunciada do seguinte modo:

“ Caso não existam campos de compressões em forma de “gargalo”, as compressões no betão

apenas necessitam de ser verificadas nas fronteiras dos nós singulares”

Caso existam campos de compressões em forma de “gargalo”, terá de ser verificada a

resistência do betão nas respectivas zonas sob acção do estado plano de tensão actuante e

provir a peça de uma armadura que acomode correctamente as tensões transversais à

resultante dos respectivos campos de compressões.

Nos casos em que se utilizem os modelos de campos de tensões para verificações de

segurança em serviço, será necessário considerar tirantes de betão e assim tirar partido da

diminuta resistência à tracção do betão. Nas verificações de segurança aos estados limite

últimos, os modelos concentram as tracções em tirantes que terão obrigatoriamente um

importante esforço axial de tracção logo terão geralmente de ser dimensionados com recurso a

30

armaduras, daí não ser dada especial atenção à consideração de tirantes de betão nesta

dissertação.

De um modo geral poderá dizer-se que numa estrutura correctamente dimensionada, as

tensões no betão não deverão ser condicionantes no que respeita à sua capacidade de carga

última, sob pena de esta apresentar um comportamento frágil na ruptura. Assim, será mais

importante determinar as áreas de armaduras e o modo como as dispor na peça de modo a

garantir a capacidade resistente em relação a um determinado carregamento, do que

determinar de forma exacta o estado de tensão triaxial que se desenvolverá em cada ponto da

peça sob acção do referido carregamento. Será nessa perspectiva que deverá ser encarado o

processo de desenvolvimento do modelo do campo de tensões e a verificação de segurança

dos seus elementos.

3.4 Indicações regulamentares presentes na NP EN1992

3.4.1 Aplicabilidade dos modelos de escoras e tirantes

A NP EN1992-1-1 define no seu ponto 5.6.4, o campo de aplicabilidade dos modelos de

campos de tensões.

Na alínea (1) do referido ponto é indicada a adequabilidade dos modelos de campos de

tensões quando utilizados nas verificações de segurança em relação aos estados limite últimos

e na definição de disposições construtivas para as regiões de descontinuidade de uma

estrutura. É indicado que as regiões de descontinuidade geralmente devem ser definidas até

uma distância h (altura da secção do elemento) do ponto de introdução da descontinuidade,

regra simplificada para delimitar a turbulência nas trajectórias das tensões e não linearidade

das tensões normais nas secções do elemento, baseada no princípio de Saint-Venant.

Estabelece também que os modelos de campo de tensões são igualmente válidos para

verificações de segurança aos estados limite últimos de região B (de continuidade), dando

como exemplo o dimensionamento de vigas e lajes em estado fendilhado. Refere-se ainda que

os modelos de campos de tensões serão especialmente interessantes no dimensionamento de

placas (estruturas em estado plano de deformação).

Na alínea (2) do ponto 5.6.4, é preconizado que os modelos podem ainda ser utilizados em

verificações de segurança referentes a estados limite de utilização desde que seja assegurada

a compatibilidade aproximada do modelo, referindo a particular importância para o referido fim

de os elementos do modelo serem posicionados e orientados de acordo com as trajectórias de

tensão elásticas fornecidas por uma análise elástica linear.

É ainda referido neste ponto, que o modelo terá de estar em equilíbrio com o carregamento de

dimensionamento, os tirantes deverão coincidir em posição e direcção com respectivas

pormenorizações de armaduras e ainda que o modelo poderá ser definido com base nas

isostáticas de tensões elásticas ou com base no método das trajectórias de carga (anterior

31

designado nesta dissertação por método dos caminhos de carga), podendo qualquer modelo

ser optimizado com base em critérios de energia, nomeadamente o critério de minimização da

energia de deformação já apresentado nesta dissertação.

3.4.2 Verificação de segurança dos elementos de um modelo

3.4.2.1 Escoras

A verificação de segurança das escoras e consequentemente da resistência do betão nas

zonas onde se desenvolvam campos de compressões deverá ser feita de acordo com as

disposições preconizadas no ponto 6.5.2 da NP EN1992-1-1.

Na alínea (1), fórmula (6.55), é estipulado o valor de cálculo da resistência de uma escora de

betão (σRd,max), numa região com tensões de compressão transversais ou sem tensões

transversais (Figura 3-11).

Figura 3-11: Figura 6.23 da NP EN1992-1-1, valor de cálculo da resistência das escoras de betão na ausência de tracções transversais

Fórmula 6.55 da NP EN1992-1-1:

%&#,()* = !+# (3 − 6)

Nesta mesma alínea é ainda indicada a possibilidade de se admitir um valor de cálculo superior

ao fornecido pela expressão (3-6), superior a fcd, para os casos em que se comprove a

existência de um estado de compressão triaxial, não sendo no entanto indicada qualquer

quantificação para a majoração aplicável ao valor de fcd.

Na alínea (2) é referido que na ausência de métodos mais rigorosos, o projectista poderá

aplicar a expressão (6.56) para quantificar a resistência das escoras de betão em zonas de

betão fendilhado, escoras sujeitas a tracções transversais (Figura 3-12).

Fórmula 6.56 da NP EN1992-1-1:

%&#,()* = 0,6 ./!+# (3 − 7)

O valor de .′ é dado pela expressão (6.57N).

32

Expressão 6.57N da NP EN1992-1-1:

./ = 1 − !+2250 (3 − 8)

Na expressão anterior (4-3) o valor de fck entrará em Mpa.

Figura 3-12: Figura 6.24 da NP EN1992-1-1, Valor de cálculo da resistência das escoras sujeitas a tracções transversais.

Como corolário poderá dizer-se que a NP EN1992-1-1 no que respeita à atribuição de uma

resistência representativa para o betão nos campos de compressões, apenas fornece duas

indicações perfeitamente quantificadas: no caso de não actuarem tracções transversalmente à

resultante das compressões, essa resistência representativa será numericamente igual ao valor

de cálculo da resistência do betão à compressão simples (fcd); no caso de campos de

compressões em zonas de betão fendilhado, a resistência representativa do betão dependerá

da sua classe mas genericamente será ligeiramente superior a 50% de fcd, quantificação

extremamente conservativa, para a maioria dos casos, quando comparada com a sugerida em

(Schlaich, Schafer, & Jennewein, Towward a Consistent Design of Strutural Concrete, 1987),

por desprezar factores de extrema importância como a dimensão e a direcção das fendas.

3.4.2.2 Tirantes

No ponto 6.5.3 da NP EN1992-1-1 são preconizadas informações relativas ao

dimensionamento dos tirantes modelados, referindo-se que a resistência dos tirantes e das

armaduras deve ser limitada pelas relações constitutivas do material fornecidas no seu ponto

3.2, para o caso de armaduras ordinárias e no seu ponto 3.3, para o caso de armaduras de

pré-esforço.

De um modo mais simplista e a título exemplificativo no caso de se pretender dimensionar um

tirante sujeito a uma tracção Ts, com recurso a uma armadura ordinária, a quantidade de

armadura disposta deverá satisfazer a seguinte condição (3-9):

�4 ≤ � × !"# (3 − 9)

Onde As representa a área de armadura na secção transversal do tirante e fyd representa a

tensão de cálculo das armaduras.

33

Na alínea (3) do referido ponto é indicado que no caso de nós contínuos as armaduras que

equilibram os desvios das compressões terão de ser distribuídas ao longo de um determinado

comprimento. É apresentado um modelo tipificado para dimensionar a armadura transversal

necessária, no caso de um bolbo de compressões (Figura 3-13).

Figura 3-13: Figura 6.25 da NP EN1992-1-1, Bolbo de compressões. a) Descontinuidade parcial. b) Descontinuidade total

Nos casos em que a peça tenha uma região de continuidade central (descontinuidade parcial),

casos em que 6 ≤ 78 (ver Figura 3-13a)), a tracção transversal (T), será dada pela expressão

(6.58) da NP EN1992-1-1:

� = 14 6 − �6 � (3 − 10)

Nos casos em que a peça seja toda ela uma descontinuidade, 6 > 78 (ver Figura 3-13b)), a

tracção transversal (T) será dada pela expressão (6.59) da NP EN1992-1-1:

� = 14 :1 − 0,7 �ℎ< � (3 − 11)

É referido que a tracção transversal deverá ser distribuída numa altura correspondente à zona

onde as trajectórias das compressões têm uma curvatura que implique a existência de tracções

transversais, que no caso de descontinuidades parciais corresponderá a uma altura

ligeiramente inferior b e nos casos de descontinuidades totais a uma altura ligeiramente inferior

a H/2, uma vez que nas zonas muito próximas das cargas concentradas a curvatura das

compressões implicará a existência de um estado plano de compressão.

As armaduras deverão assim resistir a uma tracção distribuída T, ser normais à resultante das

compressões e ter um comprimento mínimo (bef) determinado de acordo com as indicações

preconizadas na Figura 3-13.

Embora nada esteja preconizado a esse respeito, a observação dos modelos anteriormente

referidos para o caso de “bolbos de compressões” permitirá generalizar os resultados por eles

fornecidos aos casos de campos de compressões em forma de “gargalo” (Figura 3-14), caso

34

geral de um “bolbo de compressões” onde a concentração de tensões, o afunilamento dos

caminhos de carga, ocorre apenas numa das extremidades do campo.

Figura 3-14:Funíl de compressões. a) Descontinuidade parcial. b) Descontinuidade total.

3.4.2.3 Nós singulares

As informações normativas relativas às verificações de segurança dos nós singulares são

preconizadas no ponto 6.5.4 da NP EN1992-1-1.

Na alínea (4) estabelecem-se os seguintes valores de cálculo para a resistência representativa

do betão nodal (σRd,max):

a) Em nós onde apenas convergem escoras (Figura 3-15), o valor das tensões máximas

que se poderão aplicar nas fronteiras do nó é dado pela equação 6.60 da NP EN1992-

1-1: %&#,()* = => ?/!+# (3 − 12)

Sendo indicado um valor unitário para K1. O valor de ?/ já havia sido definido aquando

da verificação de segurança das escoras, mais propriamente na equação (3-8).

Figura 3-15: Figura 6.26 da NP EN1992-1-1, nó comprimido sem tirantes

35

b) Em nós onde converge um único tirante (Figura 3-16) a máxima tensão de compressão

que poderá actuar nas fronteiras com os campos de compressões, será dada pela

expressão 6.61 da NP EN1992-1-1: %&#,()* = =8?/!+# (3 − 13)

Sendo indicado o valor de 0,85 para K2.

Figura 3-16: Figura 6.27 da NP EN1992-1-1, nó com um único tirante

c) Em nós com tirantes amarrados em mais do que uma direcção (Figura 3-17) a máxima

compressão que poderá actuar nas fronteiras do nó com os campos de compressões,

será definida pela equação 6.62 da NP EN1992-1-1: %&#,()* = =@?/!+# (3 − 14)

Sendo indicado o valor de 0,75 para K3.

Figura 3-17: Figura 6.28 da NP EN1992-1-1, nó com tirantes dispostos segundo duas direcções ortogonais

A alínea 5 do ponto 6.5.4 a NP EN1992-1-1 estipula que as tensões máximas determinadas na

alínea anterior do mesmo ponto, com recurso às equações 6.60, 6.61 e 6.62 poderão ser

aumentadas em 10% caso se verifique pelo menos uma das seguintes condições:

• é assegurada uma compressão triaxial;

• todos os ângulos entre escoras e tirantes que no nó convergem são superiores a 55

graus;

36

• as tensões nos apoios ou devidas a forças concentradas são uniformes e o nó este é

cintado por armaduras transversais;

• a armadura está disposta em várias camadas;

• o nó está confinado de forma fiável por uma disposição particular do aparelho de apoio

ou por atrito.

Na alínea 6 do mesmo ponto, a NP EN1992-1-1 estipula que para o caso de nós em que se

comprove a existência de estado triaxial de compressão e se conheça a distribuição das

tensões segundo as três direcções, a máxima tensão que poderá actuar nas fronteiras do nó

será determinada directamente através das suas expressões 3.24 e 3.25, que permitem

determinar a resistência à compressão do betão quando sujeito a um dado estado de

compressão lateral em que as tensões segundo as duas direcções laterais são iguais (Figura

3-18). Devendo contudo ser verificada a seguinte condição:

%&#,()* ≤ =A?/!+# (3 − 15)

É indicado o valor de 3 para K4, o que corresponde a dizer que por exemplo no caso de um

betão C25/30 será possível admitir uma tensão actuante nas fronteiras do nó que será no

máximo igual ao triplo da resistência de cálculo à compressão simples do betão, sendo óbvio

que esta relação dependerá do estado lateral de tensão, conferido por exemplo por armaduras

de cintagem, e varia ligeiramente com a classe do betão por influência do coeficiente ?/ na

expressão (3-8).

Figura 3-18: Determinação da resistência característica à compressão do betão confinado

De facto até este ponto referiram-se apenas as indicações relativas à determinação de um

valor de cálculo para a máxima compressão média que poderá actuar na região nodal, sendo

igualmente importante para a verificação de segurança dos nós definir uma geometria nodal e

uma correcta amarração das armaduras. A este respeito a NP EN1992-1-1 apenas estipula:

• na alínea 7, que a amarração da armadura em nós com um tirante deverá começar à

entrada do nó, por exemplo, na face interior do aparelho de apoio (Figura 3-16). O

comprimento de amarração deverá prolongar-se ao longo de toda a extensão do nó.

Em certos casos, a armadura pode também prolongar-se para lá do nó. Para a

amarração e dobragem das armaduras ver 8.4 a 8.6 da NP EN1992-1-1;

37

• na alínea 8 que os nós na junção de três escoras co-planares podem ser verificados de

acordo com a Figura 3-15, assumindo-se geralmente um estado de tensão hidrostático

plano, Fcd,1/a1=Fcd,2/a2=Fcd,3/a3 o que implica σcd,1=σcd,2= σcd,3= σcd,0;

• os nós correspondentes às partes curvas das armaduras podem ser analisados de

acordo com a Figura 3-17. O diâmetro do mandril deve ser verificado de acordo com

8.4 da NP EN1992-1-1.

3.4.3 Modelos tipificados para diafragmas

(NP EN1992-2, Anexo informativo OO)

No Anexo informativo da NP EN1992-2, regulamentação específica para projecto de pontes de

betão armado, são sugeridos alguns modelos típicos para análise e dimensionamento de

diafragmas de apoio.

O ponto OO1 diz respeito a diafragmas com dois apoios transversais localizados por baixo das

suas almas, solicitados por uma acção horizontal transversal ou por um momento torsor

aplicado.

Os modelos sugeridos para os diafragmas sem abertura são apresentados na Figura 3-19.

Figura 3-19: Figura OO.3 da NP EN1992-2

Para os casos de diafragmas com uma abertura central, são sugeridos os modelos

apresentados na Figura 3-20.

38


No ponto OO2 é sugerido um modelo típico para a situação de projecto relacionada com o

apoio indirecto do tabuleiro num diafragma de apoio com um único apoio central (Figura 3-21).


É ainda apresentado um modelo para o caso de carlingas de apoio de secções em laje vigada,

sujeitas a um carregamento horizontal transversal ou à acção de um momento torsor (Figura 3-

22).

39


40

Capítulo 4_Diafragmas de tabuleiros de pontes

4.1 Caracterização geral

As carlingas e os diafragmas são peças com uma geometria plana, isto é, apresentam um

desenvolvimento segundo as duas direcções ortogonais pertencentes ao plano transversal ao

tabuleiro, muito maior do que o desenvolvimento segundo o eixo longitudinal da ponte, normal

ao referido plano. Simplificadamente poderá dizer-se que apresentam uma espessura (e) de

uma ordem de grandeza inferior à da sua largura (b) e altura (h) (Figura 4-1).

Genericamente as únicas acções aplicadas nas fronteiras das carlingas ou dos diafragmas

serão as reacções no contacto com os aparelhos de apoio e as que equilibrarão directamente

as tensões tangenciais que se desenvolvem nas secções de vão fronteiras com as secções de

apoio. Assim estar-se-á perante um tipo de peças muito particular, normalmente designadas de

vigas parede, estruturas planas ou placas carregadas apenas no seu próprio plano, serão

peças submetidas a um estado plano de tensão caracterizado apenas por três componentes do

tensor das tensões σx, σy e τxy=τyx (Figura 4-1), uma vez que as restantes componentes serão

nulas (σZ=τxz=τzx=τyz=τzy=0).

Este tipo de peças apresenta a grande vantagem de poderem ser analisadas e dimensionadas

com recurso a um único modelo global plano do campo de tensões. Caso muito mais simples

do que o caso de peças com um comportamento marcadamente tridimensional, que terão de

ser resolvidas com recurso a modelos tridimensionais, muito mais complexos, ou com recurso a

um conjunto de modelos planos definidos em planos ortogonais entre si, aos quais deverão ser

aplicadas forças que simulem a interacção entre as diferentes direcções, recuperando a

natureza tridimensional do problema.

De um modo simplificado, baseado no princípio de Saint-Venant, poderá dizer-se que

independentemente do carregamento as carlingas ou os diafragmas poderão, ser consideradas

descontinuidades totais ou descontinuidades parciais, apenas pela avaliação da sua geometria.

Nos casos em que se tenha h<b/2 (Figura 4-1) estar-se-á na presença de uma descontinuidade

parcial, caso contrário a peça será uma descontinuidade total.

Figura 4-1: Estrutura do tipo viga parede

41

Os diafragmas e as carlingas são placas que permitem introduzir no tabuleiro secções

praticamente indeformáveis no seu plano, facilitando igualmente a introdução das reacções de

apoio na superestrutura, no caso de se tratar de diafragmas ou de carlingas de apoio.

No caso de secções em laje vigada, secções abertas com diminuta rigidez de torção, a

adopção de carlingas que encastrarão as vigas para as rotações de torção, terá enorme

importância para uma correcta repartição transversal das cargas pelas vigas.

4.2 Tipificação de diafragmas de apoio

No caso de secções em laje vigada a adopção de carlingas de apoio permitirá construir um

sistema transversal de pórtico, em que os montantes são os pilares e a travessa é a carlinga, o

que facilitará muito a transmissão do carregamento horizontal transversal e do momento torsor

gerado no tabuleiro aos pilares.

No caso de secções em caixão, a introdução de diafragmas de apoio e consequentemente de

uma secção de apoio praticamente indeformável no seu plano, permitirá transmitir de forma

muito mais eficiente o carregamento horizontal transversal e o momento torsor de vão aos

pilares.

Nos casos de secções em caixão com um único aparelho de apoio, na posição central de cada

secção de apoio, a adopção de um diafragma de apoio permitirá igualmente introduzir de forma

adequada as reacções de apoio verticais na superestrutura. Repare-se que a introdução de

cargas concentradas de elevada magnitude, caso das reacções verticais de apoio do tabuleiro

nos pilares, directamente na laje inferior do caixão causaria enormes momentos flectores

actuantes nos respectivos pontos da referida laje, problema de difícil resolução dada à

espessura que normalmente se atribui a este elemento. Adoptar-se-ão assim diafragmas de

apoio, que encaminharão as cargas verticais da zona das almas até ao apoio. A secção de

apoio funciona-se como um apoio indirecto para as secções de vão.

Nos casos de pontes construídas por avanços sucessivos será indispensável considerar uma

ligação monolítica entre o tabuleiro e os pilares, casos em que será indispensável conceber

diafragmas, verticais ou inclinados, para assegurar igualmente a transmissão dos elevados

momentos de flectores gerados no tabuleiro aos pilares, sobretudo na fase construtiva.

Nesta dissertação será dada especial atenção à transmissão do carregamento horizontal e do

carregamento vertical de vão aos apoios.

4.2.1 Carregamento horizontal

As acções horizontais de dimensionamento de qualquer ponte deverão ser divididas em acções

transversais e em acções longitudinais. A rigidez axial da secção de vão do tabuleiro será

muito grande quando comparada com a rigidez de uma carlinga ou de um diafragma de apoio a

solicitações fora do seu plano e que lhes conferiria um comportamento de laje, flexão segundo

42

os eixos contidos no plano da peça. Assim poderá dizer-se que a acção longitudinal será

directamente encaminhada até aos apoios pelas secções de vão, sem implicar o

comportamento de laje das carlingas ou dos diafragmas.

A acção horizontal em foco nesta dissertação será assim a acção do sismo transversal, as

forças horizontais em análise serão as forças de massa induzidas pelo espectro de

acelerações no plano horizontal com direcção transversal ao eixo da ponte.

Analisando a secção de vão por metro de desenvolvimento longitudinal (Figura 4-2), de toda a

massa oscilante existirá uma parcela de massa associada à laje do tabuleiro e uma parcela

associada à massa das vigas.

Figura 4-2-Forças de massa actuantes na secção

Trabalhando com a secção reduzida à linha média será possível determinar o carregamento

actuante numa secção de vão, considerando-se a distribuição simplificada representada na

Figura 4-3, quantitativamente descrita pelas expressões (4-1) a (4-3), onde β representa o

coeficiente sísmico.

Figura 4-3-Distibuição simplificada de forças de massa numa secção de vão

43

!B)CD �E� = F × �B)CD �E� × GHD�ãJ )K()#J6 (4 − 1)

!+JE JB) = F × �+JE JB) × GHD�ãJ )K()#J� (4 − 2)

!L�M) = F × �L�M) × GHD�ãJ )K()#Jℎ NOP�4 (4 − 3)

Contudo será muito pouco realista considerar que as forças de massa devidas à aceleração da

massa das vigas serão encaminhadas ao longo do vão até às secções de apoio pelas próprias

vigas. A assunção da preposição anterior implicaria a consideração de um comportamento de

flexão pura das vigas segundo a sua menor inércia.

As vigas e laje do tabuleiro constituem uma única secção transversal. Assim sendo, não fará

sentido assumir que as vigas funcionem isoladamente à flexão segundo a sua menor inércia

quando estão ligadas a uma laje extremamente rígida para a flexão no seu próprio plano.

De uma forma meramente intuitiva a laje poderá ser simulada como um apoio elástico,

contínuo ao longo do vão, para as vigas (Figura 4-4).

a)

b)

c)

Figura 4-4: Modelo de transmissão das forças de massa das vigas à secção de apoio. a) Secção de vão. b) Modelo transversal. c) Modelo longitudinal.

44

A rigidez K é directamente proporcional à inércia (Iy) da laje. Como a rigidez da laje à flexão no

seu plano é muito superior à rigidez de flexão das vigas na sua menor inércia, de um modo

simplificado poderá considerar-se que a laje constitui um apoio rígido para os deslocamentos

horizontais transversais das vigas ao longo do vão (Figura 4-4 b) e c)).

Segundo esta hipótese simplificativa toda a carga horizontal será encaminhada até às secções

de apoio pela laje de tabuleiro, o eixo longitudinal da ponte não sofrerá deslocamentos

transversais sob a acção do sismo transversal, apresentado as vigas uma deformação por

torção e laje uma deformação por flexão segundo z, ao nível da deformação da secção do

tabuleiro (Figura 4-5).

Figura 4-5: Deformada da secção do tabuleiro sob acção do sismo transversal, segundo a hipótese simplificativa adoptada

A adopção da hipótese antagónica, todas as forças correspondentes à aceleração da massa

das vigas serão por elas encaminhadas ao longo do vão, por flexão das vigas na sua menor

inércia, implicaria uma deformação pura de flexão para o tabuleiro, deslocamentos transversais

muito grandes ao longo do vão e secção do tabuleiro indeformada.

O comportamento real do tabuleiro será um misto dos dois anteriores e só será tangível por

intermédio de uma análise dinâmica global à estrutura.

A simplificação de considerar todo o carregamento horizontal suportado ao nível da laje do

tabuleiro será certamente conservativa para o dimensionamento ao carregamento horizontal

transversal das carlingas e dos diafragmas de apoio. Quanto maior for o braço das cargas

horizontais, ou seja, maior a altura da resultante do carregamento em relação aos aparelhos de

apoio, mais esforçadas serão as referidas peças. Para além disso, para secções correntes,

esta hipótese parece traduzir de forma mais fidedigna o comportamento real da estrutura.

Assim neste estudo será considerado que todo o carregamento horizontal transversal será

suportado no vão pela laje do tabuleiro.

No caso de secções em caixão existem duas lajes. A laje inferior será menos rígida no seu

plano que a laje superior, mas ainda assim configurará um apoio importante para as almas do

caixão. Assim no caso de secções em caixão suportar todo o carregamento horizontal na laje

superior do tabuleiro será excessivamente conservativo. Deverá ser imputada na laje inferior

45

uma percentagem das forças de massa, correspondentes a uma parte da massa das almas e à

massa da própria laje inferior.

Como o apoio do tabuleiro nos pilares se faz ao nível da laje inferior do caixão, o carregamento

horizontal suportado pela laje inferior será directamente encaminhado para os apoios sem

esforçar o diafragma.

Para o dimensionamento dos diafragmas poderá ser reduzido o carregamento horizontal

transversal de vão apenas à porção que corresponde à aceleração da massa da laje superior

do caixão e da percentagem de massa das almas que lhe será directamente impotável, ou de

um modo muito conservativo considerar toda a massa como se procede no caso das secções

em laje vigada.

Para além do peso próprio do tabuleiro, existem outras cargas permanentes gravíticas ao

longo do vão das pontes, designadas por restantes cargas permanentes, aplicadas ao nível da

laje do tabuleiro, também elas vão oscilar e assim produzir forças de massa.

Assim deverá ser considerada uma força transversal uniformemente distribuída (hsd), aplicada

ao nível da laje do tabuleiro, com uma magnitude correspondente a uma percentagem do

carregamento vertical permanente de vão.

ℎ # = F N (4 − 4)

N − Q�RRSP��TUV NSRUOQ�� WSR��TSTUS �S NãV X�YZ F − QVS!OQOSTUS 4O4�OQV

No caso de secções em caixão poderá ser considerada uma redução do carregamento devido

à parcela do carregamento que é transportado pela laje inferior, através da introdução de um

coeficiente(χ). ℎ # = [ F N (4 − 5)

[ − QVS!OQOSTUS \�S 4O�� V S!SOUV �S �WVOV S�áUOQV ��4 ��4 T� ��^S OT!SROVR

Figura 4-6: Carregamento horizontal transversal de vão

46

Para analisar a transmissão do carregamento horizontal em planta (Figura 4-6) e

consequentemente o carregamento da secção de apoio, poderá considerar-se um modelo

similar ao modelo do campo de tensões sugerido em (Muttoni, Schwartz, & Thurlimann, 2006)

no seu ponto 2.2.7, para a transmissão aos apoios de um carregamento vertical uniformemente

distribuído ao longo do vão de uma viga esbelta.

O corolário deste modelo será a definição dos campos de compressões imediatamente

adjacentes à secção de apoio, para assim se poder deduzir o carregamento das referidas

secções (Figura 4-7).

Figura 4-7: Campos de compressões na laje do tabuleiro, na zona adjacente à carlinga de

apoio

Produzindo assim o seguinte carregamento na secção de apoio (Figura 4-8):

_ = N × �OT! �OT! = �OT! S4\ + �OT! �OR

Figura 4-8:Carregamento da secção de apoio

Recuperando a natureza tridimensional do problema e reconhecendo que a secção de apoio

não será completamente rígida para deformações no seu plano, será espectável que haja um

“afunilamento” das compressões em planta para a zona do apoio comprimido (Figura 4-9 e

Figura 4-10), especialmente no caso de peças muito altas. Assim o carregamento da secção de

apoio não deverá ser exactamente uniformemente distribuído na sua largura.

47

Figura 4-9: Concentração em planta das compressões na zona do apoio comprimido

Figura 4-10: Concentração em alçado das compressões na zona do apoio comprimido

Embora se reconheça uma maior concentração das cargas na zona mais próxima do apoio

comprimido, tal como representado na Figura 4-9 e 4-10 e que o carregamento na zona das

consolas tenderá a ser claramente inferior ao da zona interior, à luz do dimensionamento

plástico será perfeitamente válido uniformizar a distribuição das cargas horizontais em toda a

face superior da secção de apoio, assumindo-se igualmente que a secção de apoio terá uma

rigidez de torção suficientemente elevada para que o seu carregamento horizontal seja

equilibrado por duas reacções de apoio horizontais de igual magnitude.

Desprezar o carregamento na zona das consolas, em especial na consola mais próxima do

apoio comprimindo, que funcionará obrigatoriamente à tracção na direcção transversal, poderia

conduzir a grandes fendas longitudinais nesta zona, por insuficiente capacidade de carga às

tracções transversais que ai ocorreriam em ELU.

A análise anterior permitirá igualmente concluir que o carregamento horizontal transversal de

vão produzirá um estado de compressão na terceira dimensão, direcção longitudinal, na

generalidade da zona superior da secção de apoio. A excepção será feita a uma zona na

extremidade da consola mais próxima do apoio tracionado, consola essa que será actuada por

compressões na direcção transversal (Figura 4-11).

48

Figura 4-11:Tensões normais na secção de apoio

O modelo construído quando aplicado a um caso em que os comprimentos de influência sejam

diferentes para cada um dos lados do apoio estará em desequilíbrio na direcção longitudinal.

Assim ao modelo terão de ser adicionadas tracções ou compressões longitudinais, distribuídas

em toda a largura do tabuleiro para equilibrar o modelo. Repare-se que o equilíbrio não deverá

ser atingido com recurso a uma reacção longitudinal, a secção de apoio não terá rigidez de

flexão suficiente para transmitir uma força longitudinal, aplica ao nível da sua face superior, aos

apoios.

O modelo desenvolvido assume que os pilares representam apoios rígidos aos deslocamentos

transversais do tabuleiro, o que na maioria dos casos é uma simplificação perfeitamente

absurda. Apenas alguns pilares muito curtos, com boas condições de fundação e alguns

encontros podem ser considerados apoios rígidos quando comparados com a rigidez de flexão

do tabuleiro no seu plano. Assim assumir que o carregamento horizontal transversal aplicado

num determinado vão será equilibrado nos pilares adjacentes não será na maioria dos casos

uma simplificação válida, podendo mesmo em alguns casos de pontes onde existam pilares

muito mais rígidos que os restantes, suceder que a reacção transversal nesses pilares seja

muito superior ao carregamento transversal aplicado nos seus vãos adjacentes.

Assim para situações reais de projecto será válida a hipótese assumida no modelo,

carregamento transversal uniformemente distribuído em toda a largura da secção de apoio,

aplicado ao nível do centro de gravidade da laje de tabuleiro, no entanto a resultante da carga

a distribuir deverá ter o valor da reacção transversal no respectivo pilar, calculada com base

num modelo global de análise da estrutura.

De forma simplificada poderá ser analisada uma viga com rigidez de flexão igual à rigidez de

flexão do tabuleiro no seu plano, carregada com a acção transversal de vão da ponte e com

apoios elásticos que simulam a rigidez aos deslocamentos transversais no topo dos pilares e

dos encontros. A resolução deste modelo determinará o valor das reacções transversais nos

pilares e assim a carga que deverá ser equilibrada em cada carlinga ou diafragma (Figura 4-

12).

49

a)

b)

Figura 4-12: Determinação do carregamento horizontal da secção de apoio. a) Modelo de cálculo das reacções transversais nos pilares. b) Carregamento da secção de apoio

4.2.2 Carregamento vertical de vão

Embora o funcionamento da estrutura do tabuleiro de uma ponte seja claramente

tridimensional, é grande parte das vezes interpretado como a reunião de dois sistemas planos,

um sistema longitudinal e um sistema transversal.

O sistema longitudinal é pensando para funcionar à flexão segundo o eixo horizontal

transversal, vencendo assim o vão entre apoios, condicionando a altura da secção, mais

propriamente das vigas no caso de secções em laje vigada ou das almas no caso de secções

em caixão.

O sistema transversal é pensado para resistir às cargas aplicadas ao nível da laje do tabuleiro,

por flexão segundo o eixo longitudinal dos seus elementos, consolas e laje interior, que

funcionarão apoiadas nas vigas ao nas almas que assim encaminharão todo o carregamento

vertical até aos apoios.

A hipótese assumida pressupõe então o funcionamento em flexão cilíndrica, apoiada nas vigas

ou nas almas, das lajes horizontais pertencentes à secção do tabuleiro, o que se verifica

apenas para secções suficientemente afastadas das secções de apoio. A rigidez de flexão

longitudinal das vigas ou das almas é muito superior à da laje interior do tabuleiro mas nos

casos em que a referida laje esteja monolítica com a carlinga ao com o diafragma, na

vizinhança dessa ligação a laje passa a ter uma componente de flexão longitudinal apoiada

50

directamente na carlinga ou no diafragma. Assim existirá uma parte do carregamento vertical

de vão que conjuntamente com o peso própria da carlinga ou do diafragma actuará

directamente sobre as referidas peças.

Neste estudo considerou-se que na maioria dos casos correntes o carregamento vertical

actuante directamente sobre as carlingas ou diafragmas pode ser desprezado e assim todo o

carregamento vertical de vão chegará directamente à secção de apoio transportado pelas vigas

ou pelas almas do caixão. Contudo importa referir que existirão verificações de segurança em

que o referido carregamento não deverá ser desprezado, nomeadamente no caso das pontes

ferroviárias em que a acção do comboio tipo, amplificada pelos seus efeitos dinâmicos,

actuando directamente sobre a carlingas ou o diafragmas não deverá de modo algum ser

desprezada.

Assim no caso em que existam dois aparelhos de apoio transversais situados sob as vigas ou

sob as almas, estes elementos do sistema estrutural longitudinal estarão apoiados

directamente nos aparelhos de apoio e deste modo todo o carregamento vertical de vão será

encaminhado directamente para os pilares sem esforçar a carlinga ou o diafragma. O apoio

introduz uma descontinuidade directamente na viga ou na alma, que deverá ser tida em conta

no modelo de dimensionamento dos referidos elementos.

O modelo do campo de tensões que descreve o comportamento assumido e que tem como

corolário o carregamento apresentado na próxima Figura 4-13, que embora retrate o caso de

uma secção em laje vigada será perfeitamente extensível ao caso de uma secção em caixão

com dois apoios transversais.

Figura 4-13:Transmição do carregamento vertical. a) Numa viga em alçado. b) Carregamento da secção de apoio

51

No caso de secções em caixão com um único apoio, o problema da transmissão do

carregamento vertical aos apoios ganha outra relevância, repare-se que neste caso as almas

do caixão das secções de vão não apoiam directamente no aparelho de apoio. Nestes casos o

apoio faz-se de forma indirecta através da secção de apoio, ou seja, o carregamento será

obrigatoriamente transmitido através do diafragma, o qual terá um conjunto de esforços

internos devidos à referida transmissão de cargas.

Repare-se que o próprio modelo de transmissão de esforço transverso nas almas será

afectado na zona do apoio, onde sofrerá uma alteração em relação ao caso em que as almas

apoiam directamente nos aparelhos de apoio.

Nos casos de apoio directo das almas nos aparelhos de apoio, devido ao efeito de

descontinuidade que o apoio exerce directamente sobre o mecanismo de transmissão de

esforço transverso nas almas, os campos de compressões diagonais adjacentes ao apoio

sofrem um afunilamento, ocupando a sua resultante uma posição muito próxima da face inferior

da secção. Tal efeito de afunilamento não será extensível ao caso em que o apoio se fará

indirectamente através da secção de apoio, caso em que as resultantes dos campos de

compressões adjacentes à secção de apoio terão uma posição muito mais central na altura da

secção (Figura 4-14).

Figura 4-14: Apoio indirecto da secção de vão na secção de apoio. a) Transmissão em alçado nas almas. b) Carregamento da secção de apoio. c) Resultantes das acções na secção de

apoio

52

4.3 Identificação das situações de estudo

Atendendo ao exposto nos pontos anteriores desenvolver-se-ão em seguida modelos de

campos de tensões para a análise e dimensionamento das seguintes situações tipificadas de

estudo:

• Situação 1: Acção do carregamento horizontal transversal sobre as carlingas e os

diafragmas pertencentes a secções de apoio com dois aparelhos de apoio. Para este

carregamento será ainda feita a distinção entre as seguintes situações: Situação 1a)

para secções em laje vigada ou secções em caixão não acessível (Figura 4-15a));

Situação 1b) para secções em caixão acessível, caso particular de obras de arte em

que os diafragmas terão de apresentar aberturas, genericamente concebidas em

posição central nas secções (Figura 8-15b)).

Figura 4-15:Secções do caso 1. a) Situação 1a). b) Situação 1b

• Situação 2: Acção do carregamento vertical sobre os diafragmas pertencentes a

secções de apoio com um único aparelho de apoio (Figura 4-16).

53

Figura 4-16: Secções do caso 2. a) Um único caixão. b) Dois caixões dispostos transversalmente

Como se mostra na Figura 4-16b), a Situação 2 engloba igualmente o caso de secções

compostas por dois caixões dispostos transversalmente em que existirá um aparelho de apoio

em cada um dos caixões. Para as cargas permanentes será óbvio, por uma questão de

simetria, que a reacção vertical será igual nos dois aparelhos de apoio transversais e assim o

carregamento dos dois diafragmas de apoio será igual. Já no que respeita às cargas variáveis,

existirá uma situação de carga que causará uma acção de torção distribuída no vão que deverá

ser equilibrada por um binário ao nível das duas reacções de apoio verticais, originado um

carregamento ligeiramente diferente nos dois diafragmas de apoio e um importante esforço de

flexão transversal na laje de ligação entre os dois caixões.

Também no caso das secções representadas na Figura 4-16a) existirá uma situação de carga

em que a estrutura ficará sujeita a uma acção de torção distribuída no vão, devida à actuação

das cargas variáveis, que deverá ser equilibrada por um binário com a direcção longitudinal,

transmitido aos pilares pelo único aparelho de apoio, dai que nestes casos este deverá ter uma

largura considerável.

Esta dissertação pretende fornecer modelos tipificados que permitam dimensionar as carlingas

e os diafragmas quando sujeitos às acções de dimensionamento que lhes provocarão maiores

tensões e deformações, dai não se terem desenvolvido situações de estudo específicas para a

transmissão do carregamento horizontal nas peças que constam da Situação 2, nem para a

transmissão do momento torsor que se desenvolve no tabuleiro aos pilares. Isto porque

intuitivamente não deverão ser acções condicionantes para o dimensionamento das

respectivas peças e porque poderão ser desenvolvidos modelos para estas situações de

projecto estabelecendo comparações analógicas com os modelos respeitantes às situações de

estudo a desenvolver.

54

4.4 Desenvolvimento e apresentação dos modelos propostos

4.4.1 Situação 1a) Secções com dois apoios e carregamento horizontal

Neste ponto do trabalho apresenta-se a definição do modelo do campo de tensões, que se

desenvolve num diafragma ou numa carlinga de apoio, numa secção com dois apoios

transversais, sujeita a uma carga horizontal uniformemente distribuída aplicada ao nível das

lajes de tabuleiro (Figura 4-17), carga esta que será equilibrada por duas reacções horizontais

de igual magnitude e por um binário conferido pelas reacções verticais.

Figura 4-17:Caso 1a). a) Definição geométrica. b) Definição do carregamento

Definida a geometria da peça, o carregamento e o equilíbrio global, será necessário achar um

campo de tensões que equilibre as condições de fronteira estáticas e que ao mesmo tempo

forneça uma solução aceitável do ponto de vista da compatibilidade, não excessivamente

exigente ao nível da ductilidade que será necessário garantir à peça.

Neste caso em concreto, o primeiro exercício de compatibilidade será pensar nas direcções

das compressões diagonais que se desenvolvem na peça, que representa o ângulo de desvio

das infinitas cargas pontuais de direcção horizontal aplicadas ao nível da laje do tabuleiro

(Figura 4-18).

55

Figura 4-18: Campos de tensões para a situação 1a). a) Peças mais esbeltas. b) Peças menos esbeltas

Por considerações meramente intuitivas poderá observar-se que a esbelteza da peça terá forte

influência na forma como as cargas aplicadas serão encaminhadas até aos apoios. Repare-se

que será de esperar que para peças com uma esbelteza, relação b/h, maior do que um

determinado valor, se consiga equilibrar o carregamento apenas com campos de compressões

diagonais e com campos de tracções verticais, uma vez que todas as cargas aplicadas na zona

superior poderão ser encaminhadas directamente para a zona inferior, sofrendo ângulos de

desvio que não serão excessivamente elevados do ponto de vista da compatibilidade (Figura 4-

18a)).

Para peças com uma esbelteza menor do que um determinado valor, este comportamento já

não será aceitável, ou pelo menos satisfatório do ponto de vista da ductilidade que será

necessário garantir. Assim para estas peças menos esbeltas será necessário que se

desenvolvam tracções horizontais, na altura da peça, para equilibrar o carregamento (Figura 4-

18b)).

56

4.4.1.1 Peças mais esbeltas

4.4.1.1.1 Definição do modelo

A carga horizontal uniformemente distribuída será aplicada ao nível da corda superior do

modelo, linha recta horizontal situada sobre o centro de gravidade da laje do tabuleiro, a uma

distância d1 da face superior da secção (Figura 4-19). A condição anterior tem implícita a ideia,

já discutida anteriormente, que a carlinga será carregada por uma carga horizontal

uniformemente distribuída aplicada sobre o eixo de menor inércia da laje de tabuleiro. Contudo

esta ideia já constitui por si só uma aproximação e assim não fará muito sentido calcular de

forma exacta d1. Será mais importante ter presente que a corda superior representa o centro

de gravidade dos campos de tracções horizontais e de compressões horizontais modelados

nesta zona da peça e assim ter este facto presente aquando do dimensionamento e das

verificações de segurança, para não entrar em contradição com o modelo do campo de

tensões que serviu para a análise.

A corda inferior representará igualmente o centro de gravidade dos campos de tensões que se

desenvolverão na zona inferior da peça, será uma recta horizontal situada a uma distância d2

da face inferior. Quanto maior for o valor de d2, maior será a excentricidade entre o local onde

se materializa a reacção de apoio (face inferior da carlinga) e o local onde esta será modelada

(Figura 4-19).

Existem algumas sugestões na bibliografia para a definição do valor de d2, em (Schlaich,

Schafer, & Jennewein, Towward a Consistent Design of Strutural Concrete, 1987) os autores

sugerem que para o caso de vigas e de vigas parede o valor de d2 esteja relacionado com a

geometria da peça, satisfazendo a seguinte condição:

�2 ≤ �OT`0.1 6; 0.1 ℎc (4 − 6)

A definição anterior não será propriamente estranha, repare-se que é perfeitamente consensual

assumir no dimensionamento de regiões B à flexão, um braço das armaduras em relação à

face superior das vigas (d) igual a 90% da altura das mesmas. Assim considerando que as

vigas parede mais esbeltas terão uma zona B central, a definição anterior será perfeitamente

válida e permitirá obter um dimensionamento coerente entre regiões D e regiões B adjacentes.

Em (Féderation International du Béton, December 1999) na cláusula 9.2.5.1.1, é preconizada

uma regra ligeiramente mais conservativa do que a referida no parágrafo anterior, uma vez que

fornece valores de d2 inferior aos sugeridos anteriormente:

�2 = 0.06 ℎ 4S ℎ < 6 (4 − 7)

�2 = 0.06 6 4S 6 < ℎ (4 − 8)

57

Qualquer uma das indicações deverá ser válida, contudo deverá ter-se presente que quanto

maior forem os valores das distâncias d1 e d2 menor será o valor do braço do carregamento

horizontal em relação apoios (z) (Figura 4-19). Logo menos conservativo será o

dimensionamento, menor será o binário conferido pelas reacções de apoio verticais e maior

será a propensão do modelo para encaminhar as cargas da zona superior para a zona inferior

da peça sem necessitar de tracções horizontais distribuídas na altura da peça, ou seja, maior

será à esbelteza conferida à peça no processo de dimensionamento.

Figura 4-19: Definição do braço z para o caso 1a), peças mais esbeltas

Assim, a construção do modelo do campo de tensões consistirá na definição de um conjunto de

compressões diagonais e tracções verticais que permitam encaminhar as cargas da corda

superior para a corda inferior.

A inclinação das compressões diagonais será constante numa zona central do vão da peça,

suficientemente afastada dos apoios. Finda a referida zona, a inclinação das compressões

tenderá a aumentar gradualmente. Este fenómeno pode ser identificado como “efeito de apoio”,

em zonas mais próximas dos apoios as cargas tenderão a encaminhar-se directamente para

eles. Os apoios introduzem cargas pontuais, logo zonas de descontinuidade na sua

proximidade. Assim existirão dois campos de compressões em forma de “leque” nas zonas

próximas dos apoios e um campo de compressões prismático na zona central (Figura 4-20). De

um modo meramente interpretativo poderá entender-se a zona prismática central como uma

região B e as zonas dos “leques” como duas descontinuidades introduzidas pelas reacções de

apoio, cargas concentradas aplicadas à peça que introduzem uma perturbação nas trajectórias

das tensões, perturbação essa que apenas se fará sentir na zona dos referidos “leques” de

compressões sendo que na zona prismática esse efeito já estará completamente dissipado,

sendo ai a inclinação das compressões constante.

58

Figura 4-20: Inclinação das compressões diagonais

Os apoios introduzem na sua proximidade campos de tensões em forma de “leque” que se

caracterizam por uma disposição radial, em torno de uma origem imaginária, das trajectórias

das compressões (Figura 4-21). Como as trajectórias das compressões serão rectas não

existirá um desvio das compressões no interior do campo e assim o betão no seu interior

estará sujeito a um estado plano de compressão simples.

Para um dado valor do ângulo de desvio das forças na zona prismática (θ), a extensão das

descontinuidades medida à face dos apoios (lleque) (Figura 4-20) valerá:

�BDefD = g QVUP(�) (4 − 9)

Figura 4-21: Leque de compressões na proximidade dos apoios

Nos campos de compressões em forma de “leque”, o ângulo das compressões varia entre θ e

θ0, em que θ0 é o ângulo da escora mais inclinada do “leque”, sendo o seu valor definido pela

expressão (4-10). O valor de θ0 aumenta com a distância entre as cordas do modelo e diminui

com a largura dos aparelhos de apoio (af). A referida variação dar-se-á num comprimento igual

a lleque, na zona mais aberta do “leque”, e num comprimento igual à largura do apoio (af) na sua

zona mais fechada.

�h = tank> l g�!m (4 − 10)

Os campos de compressões em forma de “leque” terão uma resultante R, com um ângulo de

desvio θ1 (Figura 4-22).

59

n = F_ g6 4ST(�1) (4 − 11)

�1 = tank> l 2g�! + g QVUP(�)m (4 − 12)

a)

b)

Figura 4-22:Campos de compressões em “funil”. a) Zona do apoio comprimido. b) Zona do apoio tracionado

Como já foi referido as compressões diagonais na zona prismática farão um ângulo θ com a

horizontal, constante ao longo de todo o campo, tendo o campo uma resultante distribuída por

unidade de comprimento r (Figura 4-23).

R = F_6 cos � (4 − 13)

60

Figura 4-23:Campo de compressões prismático

O campo de tracções verticais que se desenvolverá na área entre as cordas será designado

por fv (Figura 4-23).

!N = 0 ; T� gVT� �V �WVOV QV�WRO�O�V (4 − 14)

!N = F_6 QVUP(�) ; T� gVT� STURS �WVOV4 (4 − 15)

!N = F_ o6 �! ; T� gVT� �V �WVOV UR�QQOVT��V (4 − 16)

Figura 4-24:Campo de tracções verticais

Definidos desta forma os campos de compressões diagonais e o campo de tracções verticais e

impondo o equilíbrio dos campos de tensões internos com as cargas aplicadas, determinar-se-

á a variações de esforço axial nas cordas do modelo.

Os campos de tensões anteriormente definidos foram formalmente tratados como campos

vectoriais. Para cada ponto do plano foi definido um vector com uma magnitude, uma direcção

e um sentido. No caso da determinação do esforço axial nas cordas o problema é formalmente

mais simples, será resolvido com uma função real de variável real que a cada ordenada fará

corresponder um esforço axial, negativo caso se trate de compressão e positivo de tracção.

61

Para a corda superior do modelo escolheu-se como origem das ordenadas o ponto onde o

campo de compressões em “leque”, mais próximo do apoio comprimido, a intercepta com um

maior ângulo (θ0), ou seja, o ponto onde a carga da consola tracionado que é “puxada para

trás” tem a “primeira oportunidade” de descer, o primeiro ponto em que o esforço axial da corda

superior passa a depender dos campos de compressões e de tracções que existem na área

entre cordas (Figura 4-25).

Figura 4-25: Definição do esforço axial actuante na corda superior

A função que descreve a variação do ângulo das compressões diagonais ao longo da corda

superior (i(x)) pode ser analiticamente definida no seu domínio por:

O(p) = tank> q g�! + p − p × �!g cot %r ; 0 q gp − p × g cot %�! + =1r ; 6 − �! ≤ p ≤ 6 (4 − 19)

=1 = 6 × g cot %�! + �! − 6 (4 − 20)

A função que representa a força vertical descendente que actua em cada ponto da corda

superior (fv(x)), devida ao campo de tracções verticais que actua na peça, será definida no seu

domínio por:

!L(p) = 0; p = 0 (4 − 21)

!L(p) = F_6 cotg % ; 0 < p < 6 − �! (4 − 22)

!L(p) = F_ g6 �! ; 6 − �! ≤ p ≤ 6 (4 − 23)

Definidas estas funções, a magnitude da compressão diagonal em cada ponto da corda

superior (fc(x)) será determinada por uma simples condição de equilíbrio:

62

!+(p) = !N(p)sin(O(p)) (4 − 24)

Ficando assim a função fc(x) definida no seu domínio por:

!+(p) = F_6 cot % × sin qtank> q g�! + p − p × �!g cot %r r

; 0 q gp − p × g cot %�! + =1r r

; 6 − �! ≤ p ≤ 6 (4 − 27)

A componente horizontal de fc(x) pode ser interpretada como a carga horizontal que “desce”

em cada ponto da corda superior, será esse o significado físico da função fh(x), que será

analiticamente definida no seu domínio por:

!t(p) = !+(p) × cos(O(p)) = F_6 g cot % × l�! + p − p × �!g cot %m ; 0 ; 6 − �! ≤ p ≤ 6 (4 − 30)

=8 = F_�! 6 (4 − 31)

A carga horizontal que é equilibrada em cada ponto da corda superior, varia de forma linear

nas zonas dos campos de compressões em forma de “leque” e constante na zona prismática.

A variação de esforço axial na corda superior (Nc sup(x)) será obtida impondo o equilíbrio axial

de um troço genérico da mesma (Figura 4-26).

Figura 4-26: Equilíbrio axial de um troço genérico da corda superior

63

Deste modo Nc sup(x) será a diferença entre toda a carga horizontal aplicada e toda a carga

horizontal que já foi equilibrada, ou seja “desceu”, até à respectiva ordenada.

v+ wxy(p) = z W(p) �p*k:){)|8 < − z !ℎ(p) �p = }(p) − �ℎ(p)*

h ; 0 ; 0 = 0 (4 − 35)

�t(p) = ��H (p) + �8; g cot % u8 p + �@ ; 6 − �! ≤ p < 6 (4 − 38)

=@ = =8 cot % g2 �! (4 − 39)

�@ = F_6 (6 − �!) + �8 − =8(6 − �!)82 + =@(6 − �!)8 − => =8 (6 − �!) (4 − 40)

Para os pontos da corda superior não pertencentes ao domínio da função Nc sup(x), a variação

de esforço axial será linear e dependente apenas do carregamento horizontal (Figura 4-27).

Figura 4-27: Variação de esforço axial nos pontos não pertencentes ao domínio de Nc sup(x)

64

Tal como não poderia deixar de ser a função Nc sup(x) respeita estas condições fronteira, ou

seja:

lim*→h{ vQ sup(p) = F_(2� + 6) l� + �!2 m (4 − 41)

lim*→Hk vQ sup(p) = − F_(2� + 6) l� − �!2 m (4 − 42)

A variação de esforço axial na corda superior será dada por um polinómio do 2º grau na zona

dos campos de compressões em forma de “leque” e será linear na zona prismática (Figura 4-

28).

Figura 4-28: Variação de esforço axial na corda superior

A análise do esforço axial na corda inferior será feita utilizando um processo em tudo similar ao

utilizado para a corda superior. Fixando-se a origem das ordenadas no ponto onde se entende

começar a corda inferior, ou seja, sobre a face externa do apoio comprimido, ponto onde

deverá começar o desvio dos campos de compressões diagonais (Figura 4-29).

Figura 4-29:Definição do esforço axial na corda inferior

A variação do ângulo com que as compressões diagonais “chegam” à corda inferior, desde a

face externa do apoio comprimido até à face interna do apoio tracionado, será definida pela

função i(x):

65

O(p) = tank> q g�! − p + p g cot %�! r ; 0 q g−p + p �!g cot % + =>

r ; 6 − g cot % ≤ p < 6 (4 − 45)

=> = 6 − l 6 �!g QVU%m + �! (4 − 46)

A componente vertical do equilíbrio será conferida em cada ponto pelo campo de tracções

verticais, no vão da peça e pela reacção de apoio na zona do apoio comprimido:

!L(p) = F_ g6 �! ; 0 ≤ p ≤ �! (4 − 47) !L(p) = F_6 cot P(%) ; �! < p < 6 (4 − 48)

!L(p) = 0, 6 ≤ p < 6 + �! (4 − 49)

A magnitude dos campos de compressões diagonais (fc(x)) e a carga horizontal que “chega” à

corda inferior em cada ponto (fh(x)) serão igualmente determinadas por equilíbrio elementar.

!Q(p) = F_ g6 �! sin qtank> q g�! − p + p g cot %�! rr

; 0 ≤ p ≤ �! (4 − 50)

!Q(p) = F_ 6 cos(%) ; �! q g−p + p �!g cot % + =>

rr ; 6 − g QVU% ≤ p < 6 (4 − 52)

!ℎ(p) = !Q(p) cos(O(p)) = F_ 6 �! l�! − p + p g cot %�! m ; 0 ≤ p ≤ �! (4 − 53)

!ℎ(p) = !+(p) cos�O(p)� = F_ 6 ; �! g r = =8 l p �!g QVU%m − =8p + =>=8; 6 − g QVU% ≤ p < 6 (4 − 55)

66

=8 = F_6 g QVU% (4 − 56)

Toda a carga horizontal “chegará” à corda inferior no intervalo de x [0;b[ e será equilibrada por

duas reacções de apoio com igual magnitude (Figura 4-30).

�t(p) = z !t(p)*h

�p (4 − 57)

�t(6) = � !t(p)Hh �p = F_ (4 − 58)

Figura 4-30:Equilibrio elementar da corda inferior

Assim a função Nc inf(x) que traduz a variação de esforço axial na corda inferior, será definida

por:

v+ �E|(p) = �t(p) − F_2 �! p = F_6 �!8 ~�!8p − �! p82 + p8 g cot %2 � + �> − F_2 �! p; 0 ≤ p ≤ �! (4 − 59) �> = 0 (4 − 60)

v+ ��(p) = �t(p) − F_2 = F_6 p + �8 − F_2 ; �! =8 p + �@ − F_2 ; 6 − gQVU% ≤ p < 6 (4 − 63)

�@ = F_2 (6 − QVU%) + �8 − =@(6 − g QVU%)8 + =82 (6 − g QVU%)8 − =>=8(6 − g QVU%)(4 − 64)

67

=@ = =8 × �!2 × g × QVUP � (4 − 65)

v+ �E|(p) = �t(6) − F_2 – F_2 �! (p − 6) = =@68 − =82 68 + =>=8 6 + �@ − F_2 – F_2 �! (p − 6)= F_2 – F_2 �! (p − 6); 6 ≤ p ≤ 6 + �! (4 − 66)

Como não poderia deixar de ser, o esforço axial na corda inferior anula-se no início e no final

da mesma:

v+ �E|(0) = v+ �E|(6 + �!) = 0 (4 − 67)

O esforço axial terá uma variação parabólica na zona dos campos de compressões em forma

de “leque” e uma variação linear na zona prismática e na zona do apoio tracionado (Figura 4-

31).

Figura 4-31:Variação do esforço axial na corda inferior

4.4.1.1.2 Resultados importantes para o dimensionamento

Definido o modelo do campo de tensões serão apresentados, em género de corolário, uma

serie de resultados importantes para as verificações de segurança dos diferentes elementos do

modelo.

Para a verificação de segurança da corda superior, será essencial saber em que pontos é que

ocorrem e quais os valores das máximas compressões e tracções.

Analisando de forma directa o andamento da função Nc sup(x), poderá ser determinada a

ordenada da máxima compressão (X-max) e qual a sua magnitude:

�()*k = 6 (4 − 68)

68

vQ sup(6) = − F_(2� + 6) l� − �!2 m (4 − 69)

Como o andamento de Nc sup(x) é linear na zona prismática, o valor máximo da tracção terá

obrigatoriamente de ocorrer na zona do campo em “leque” mais próximo do apoio comprimido.

A ordenada em que tal se verifica (x+max) corresponderá ao ponto em que a primeira derivada

da referida função se anular. Verificando uma máxima tracção actuante na corda superior de

Nc sup(x+Max):

X��{ = �g QVUP(�)�8 × 6 − g QVUP(�)�! (2� + 6)�g QVUP(�) − �!(2� + 6)� (4 − 70)

vQ sup(X��{ ) = F_(2� + 6) lX��{ + � + �!2 m − F_6 g cot % ~�! X��{ + (X��{ )82 − (X��{ )8 �!2 g cot % � (4 − 71)

Na corda inferior, os valores extremos do esforço axial ocorrerão nas fronteiras entre o vão e

os apoios, verificando-se a máxima compressão na fronteira com o apoio comprimido e a

máxima tracção na fronteira com o tracionado.

Para relações af/b grandes, ou seja, situações em que os apoios têm uma largura significativa

quando comparada com a dimensão do vão, a máxima compressão ocorrerá na zona “dentro

do apoio”, numa ordenada menor que af, mas este será um valor que não condicionará o

esmagamento do betão da corda inferior. A verificação de segurança desta zona “dentro do

apoio” será feita de um modo distinto, correspondente às zonas dos nós da peça. Como

referido anteriormente nesta dissertação, quando respeitadas as condições gerais de

compatibilidade do modelo a verificação de segurança das zonas nodais será feita tendo em

consideração uma compressão média actuante na região nodal, mais propriamente serão

comparadas as compressões actuantes nas fronteiras das regiões nodais com um valor

representativo da resistência do seu betão.

�()*k = �!; �+J(�k é � VR�ST�� VT�S VQVRRS � �ápO�� QV�WRS44ãV (4 − 72)

vQ inf(�!) = F_2 l�! + g QVUP(�)6 − 1m ; �ápO�� QV�WRS44ãV (4 − 73)

X��{ = 6; VR�ST�� ápO�� UR�QçãV (4 − 74)

vQ inf(X��{ ) = F_2 ; �ápO�� UR�QçãV (4 − 75)

Os campos de compressões em forma de “leque” serão dimensionados conhecendo o valor

das suas resultantes, Nleque1 e Nleque2, que serão iguais em valor, direcção e sentido. Terão uma

inclinação θ1 e uma magnitude:

69

vBDefD> = −v+ wxy(0) − F_(2� + 6) × g cot(%) + v+ wxy(g cot (%))cos(%>) (4 − 76)

Igual em valor a

vBDefD> = F_ g6 sin(%>) (4 − 77)

Igual em valor a

vBDefD> = +v+ ��(0) − F_2 − v+ ��(�!)cos(%>) (4 − 78)

vBDefD8 = −v+ wxy(6 − �!) − F_(2� + 6) × �! + v+ wxy(6)cos(%>) (4 − 79)

Igual em valor a

vBDefD8 = F_ g6 sin(%>) (4 − 80)

Igual em valor a

vBDefD8 = +v+ ��(6 − g QVU%) − F_2 − v+ ��(6)cos(%>) (4 − 81)

Igual em valor a

vBDefD8 = vBDefD> (4 − 82)

Os resultados anteriores já eram conhecidos sendo agora apresentados por meio de novas

igualdades que permitem confirmar o equilíbrio do modelo.

Para a zona prismática poderá igualmente ser deduzida, por meio de uma nova igualdade, a

sua resultante por metro de desenvolvimento, que terá uma inclinação de θ e uma magnitude

Nprismática.

v�K� (á��+) = � F_6 cos % p �pHk)|�+J�M �6 − �! − g QVUP% = F_6 cos % (6 − �! − g QVUP%)6 − �! − g QVUP% = F_6 cos % (4 − 83)

A armadura vertical deverá ser dimensionada para uma força distribuída por unidade de

comprimento (fv,1) na zona do vão e para uma força concentrada (Fv,2) na zona do apoio

tracionado:

!N, 1 = F_6 cot P(%) (4 − 84)

70

�N, 2 = F_ o6 (4 − 85)

4.4.1.1.3 Campo de aplicabilidade

Este modelo será válido sempre que os dois campos de compressões em forma “leque” não se

intersectem, o que acontecerá sempre que a distância entre a face interna dos apoios seja

maior ou igual à parte mais aberta dos “leques” de compressões. Numa situação limite de

igualdade entre as distâncias anteriormente referidas não existirá zona prismática, assim toda a

peça será afectada pelo “efeito de apoio”. A peça será uma descontinuidade total.

Pelo exposto poderá definir-se, para este carregamento, carlinga esbelta ou diafragma esbelto,

como as peças que respeitarem a seguinte condição:

6 − �! ≥ g QVUP(�) (4 − 86)

4.4.1.1.4 Definição do ângulo θ e a compatibilidade do modelo

As definições anteriores permitem aferir a influência que a escolha do ângulo de desvio da

zona prismática (θ) terá no dimensionamento das peças. Quando maior for θ, menor será o

comprimento da zona mais aberta dos “leque” de compressões e assim maior será a extensão

da zona prismática. Segundo a definição anterior, um aumento de θ aumenta a esbelteza da

peça. Esta afirmação só fará sentido para geometrias limite, em que um aumento de θ poderá

significar a consideração da peça como esbelta, peça essa que com um θ inferior teria de ser

dimensionada com recurso a um modelo que tivesse em consideração a existência de tracções

horizontais na alma.

Poderá concluir-se que um aumento de θ terá igualmente implícito um aumento das tracções

verticais, acompanhado de um aumento da resultante de compressão da zona prismática e de

uma diminuição na zona dos “leques” de compressões.

A variação de θ não poderá ser entendida apenas como uma opção de dimensionamento,

poderá ser entendida como uma opção do projectista mas apenas dentro de valores que serão

aceitáveis do ponto de vista da compatibilidade.

A avaliação de uma solução do ponto de vista da sua compatibilidade, só pode ser feita com

base em resultados experimentais, ou com base em analogias com resultados já comprovados.

Assim, sem prejuízo de outras considerações a este respeito, considera-se que o ângulo θ

deverá estar compreendido entre 30º e 45º.

Numa primeira análise poderá parecer absurdo considerar que a largura dos apoios

condicionará de algum modo a inclinação das escoras na zona prismática mas tendo em conta

o modo como este modelo foi construído, esta hipótese ganha algum significado. A inclinação

das resultantes dos campos de compressões em “leque”, depende da inclinação das escoras

na zona prismática e da largura dos apoios:

71

�1 = tank> l 2o�! + g QVUP(�)m (4 − 87)

O aumento de θ1 é causado pelo aumento θ e pela diminuição da largura do apoio. Como do

ponto de vista da compatibilidade não é aconselhável ter resultantes do campo de tensões em

forma de “leque” muito inclinadas, poderá ser necessário limitar θ a valores inferiores a 45º

para casos em que os apoios têm dimensões consideravelmente pequenas.

A inclinação da resultante dos campos de tensões em forma de “leque” é influenciada pelo

efeito de apoio, assim a existência de um força vertical concentrada correspondente à reacção

de apoio no lado do apoio comprimido e à acção dos tirantes do lado do apoio tracionado, fará

com que para o ângulo θ1 se possam considerar compatíveis ângulos superiores a 45º.

O limite superior para θ1 é difícil de estabelecer. Deverá ser inferior a 60º mas sem ensaios e

sem resultados comprovados que possam servir de analogia não será correcto avançar com

um valor. Assim a influência da largura dos apoios parece não ter efectivamente influência para

situações correntes de dimensionamento, situações em que prevalece a limitação de θ ao

intervalo entre 30 e 45 graus, aceitando o valor de θ1 que dai advenha desde que inferior a 60º,

o que ocorrerá sempre que a largura dos apoios seja superior a 30 cm, considerando secções

correntes, com um braço (z) menor que 2 m que corresponde a alturas de secção (h) próximas

dos 2,5 m.

Existe agora a possibilidade de definir peças esbeltas de uma forma mais concreta. Uma vez

que não fará sentido, do ponto de vista da compatibilidade, a consideração de inclinações

superiores a 45º para as compressões na zona prismática das peças, peças esbeltas serão

todas aquelas que satisfaçam a seguinte condição:

6 − �! ≥ g QVUP 45 = g (4 − 88)

4.4.1.2 Peças menos esbeltas

4.4.1.2.1 Definição do modelo

Tal como se referiu anteriormente, no caso de peças menos esbeltas não existirá nenhum

campo de compressões diagonais que encaminhe directamente as cargas horizontais da parte

superior da peça para a parte inferior, todos os caminhos de carga serão constituídos por duas

escoras diagonais unidas por um tirante horizontal. Assim existirá um campo de tracções

horizontais distribuídas na alma da peça com uma resultante de magnitude igual à do

carregamento horizontal (Figura 4-32).

72

Figura 4-32: Campo de tensões para peças menos esbeltas

Para efeitos de dimensionamento poderá ser considerado um modelo simplificado do campo de

tensões constituído por: quatro elementos unidimensionais, duas cordas horizontais e dois

montantes verticais; dois campos de compressões diagonais; dois campos de tracções, um

vertical e outro horizontal (Figura 4-33).

a)

73

b)

Figura 4-33:Modelo do campo de tensões. a) Representação dos diferentes elementos. b) Grandezas associadas ao modelo

As considerações tecidas acerca das dimensões d1 e d2 para secções esbeltas são

igualmente válidas para o caso de secções menos esbeltas.

De um modo simplificado poderá considerar-se a inclinação das compressões diagonais

constante em toda a peça e igual a θ (Figura 4-33b)):

� = tank> :g6< (4 − 90)

Neste caso o valor de θ não será uma opção de dimensionamento, tal como acontecia no caso

das peças mais esbeltas. Será construído um modelo assumindo que θ será uma constante

definida de forma unívoca pela relação anterior, função de outras duas grandezas geométricas

do modelo.

Figura 4-34: Variação de θ no campo de tensões real

74

As simplificações anteriores serão tanto mais fortes quanto maior for a relação entre a largura

dos apoios e o vão da peça. No campo de tensões real, a inclinação das compressões variará

entre θi e θf (Figura 4-34). Quanto menor for a relação entre a largura dos apoios e o vão da

peça mais próximos entre si serão os valores θi e θf e mais próximos estarão de θ, logo menos

significativa será a simplificação introduzida.

O campo de tracções verticais será definido no vão entre apoios (Figura 4-35) por:

!N = F_ g68 − 6 �! (4 − 91)

Figura 4-35:Campo de tracções verticais.

O campo de tracções horizontais será definido apenas na altura tracionada da alma, zona

central da altura z, com um comprimento ztracionada (Figura 4-36):

o�K)+�JE)#) = g − 2�3 (4 − 92)

�3 = g �!26 (4 − 93)

O campo de tracções horizontais será constante, correspondendo ao carregamento horizontal

distribuído na altura tracionada da alma (Figura 4-36):

!ℎ = FNg − 2�3 (4 − 94)

75

Figura 4-36:Definição do campo de tracções horizontais.

No caso do campo de tensões real, em que existirá uma variação da inclinação das

compressões, assumindo um mesmo campo de tracções verticais constante no vão entre

apoios, as tracções horizontais não seriam constantes e existiriam numa altura superior à que

ocupam no modelo simplificado, mas teriam a mesma resultante com uma magnitude igual à

carga horizontal aplicado à secção (Figura 4-37).

Figura 4-37:Campo de tracções horizontais real

Com a definição dos campos de tracções será imediatamente possível definir os campos de

compressões prismáticos (Figura 4-38).

a)

76

b)

c)

Figura 4-38:Campos de compressões prismáticos. a) Disposição simétrica na peça. b) Campo do lado do apoio comprimido. c) Campo do lado do apoio tracionado

Os campos de compressões terão uma resultante Fc, que fará um ângulo θ com a horizontal

(Figura 4-38).

�Q = F_cos � (4 − 95)

Uma vez que a inclinação das compressões será constante e igual a θ, estas terão igualmente

uma magnitude constante e igual fc (Figura 4-38):

!Q = �Q�4 = F_cos � �4 (4 − 96)

�4 = (6 − �!) sin � = (g − 2�3) cos � (4 − 97)

A variação de esforço axial na corda superior será determinada impondo o equilíbrio de cada

um dos seus pontos. A função Nc sup(x), utilizada para definir a variação de esforço axial na

corda superior, será definida por (Figura 4-39):

77

vQ sup(p) = F_(2� + 6) p; 0 ≤ p ≤ � + �!2 (4 − 98)

vQ sup(p) = F_(2� + 6) p − F_6 − �! lp − � − �!2 m ; � + �!2 < p < � + 6 − �!2 (4 − 98)

vQ sup(p) = F_(2� + 6) p − FN; � + 6 − �!2 ≤ p ≤ 2� + 6 (4 − 100)

Figura 4-39:Variação de esforço axial na corda superior

Ao assumir uma inclinação constante das compressões, a variação de esforço axial na corda

superior será linear por troços, troços esses separados pelos pontos de máxima tracção e de

máxima compressão, situados na fronteira interior do vão da peça com o apoio comprimido e

com apoio tracionado respectivamente.

vQ sup l� + �!2 m = FN (� + �!2 )(2� + 6)) ; �ápO�� UR�QçãV (4 − 101)

vQ sup l� + 6 − �!2 m = − F_ (� + �!2 )(2� + 6)) ; �ápO�� QV�WRS44ãV (4 − 102)

A função Nc inf(x) que define a variação de esforço axial na corda inferior será definida por

(Figura 4-40):

vQ inf(p) = − F_2�! p, 0 ≤ p ≤ �! (4 − 103)

vQ inf(p) = − F_2 + F_(p − �!)6 − �! ; �! < p < 6 (4 − 104)

78

vQ inf(p) = F_2 − F_2�! (p − 6); 6 ≤ p ≤ 6 + �! (4 − 105)

Figura 4-40:Variação de esforço axial na corda inferior.

A variação de esforço axial na corda inferior é em todo similar à da corda superior, linear entre

valores máximos simétricos que ocorrem na fronteira interior do vão com os apoios, variando

depois linearmente até se anular nos pontos extremos.

vQ inf(�!) = − F_ 2 ; �ápO�� QV�WRS44ãV (4 − 106)

vQ inf(6) = F_ 2 ; �ápO�� UR�QçãV (4 − 107)

A variação de esforço axial no montante comprimido será definida no seu domínio pela função

Nm comp(y) (Figura 4-41):

v� QV�W(�) = 0; 0 ≤ � ≤ �3 (4 − 108)

v� QV�W(�) = − F_ g(g − 2�3)6 (p − �3); �3 < � < g − �3 (4 − 109)

v� QV�W(�) = − F_ g6 ; g − �3 ≤ � ≤ g (4 − 110)

79

Figura 4-41: Variação de esforço axial no montante comprimido.

O esforço axial variará linearmente na altura tracionada da alma, começando com um valor

nulo e acabando com a máxima compressão na parte inferior, valor que será igual à reacção

de apoio vertical dada pelo equilíbrio global da peça. Nas zonas em que o campo de tracções

horizontais é nulo, o esforço axial no montante será constante.

A variação de esforço axial no montante tracionado será definida no seu domínio pela função

Nm trac(y) (Figura 4-42):

v� UR�Q(�) = 0; 0 ≤ � ≤ �3 (4 − 111)

v� UR�Q(�) = F_ g(g − 2�3)6 (p − �3); 0 < � < g − �3 (4 − 112)

v� UR�Q(�) = F_ g6 ; g − �3 ≤ � ≤ g (4 − 113)

Figura 4-42:Variação de esforço axial no montante tracionado.

80

A variação das tracções no montante tracionada será em tudo similar à variação das

compressões no montante comprimido, o esforço axial variará linearmente na altura tracionada

da alma, começando com um valor nulo e acabando com a máxima tracção na parte inferior,

valor que será igual à reacção de apoio vertical dada pelo equilíbrio global da peça. Nas zonas

em que o campo de tracções horizontais é nulo, o esforço axial no montante será constante.

Embora os montantes sejam tratados como peças lineares, o montante tracionado representa

um campo de tracções que se desenvolverá em toda a largura do apoio, assim terá de ser

pormenorizada uma armadura distribuída na largura do apoio, que equilibre uma força tracção

por unidade de comprimento ft:

!U = v� UR�Q(�)�! (4 − 114)

4.4.1.2.2 Compatibilidade e campo de aplicabilidade

Atendendo à geometria concreta das carlingas e dos diafragmas, a relação z/b no limite

aproximar-se-á de 1 por valores inferiores. Assim o ângulo θ terá como limite superior 45 graus.

Esta constatação permite aceitar esta solução como válida do ponto de vista da

compatibilidade quando conjugada com um limite inferior para a relação z/b que conduza a um

θ de 30 graus:

g6 = tan(30º) = �33 ≈ 0.58 (4 − 115)

Os casos em que o modelo com tracções horizontais na alma constitui a única opção de

dimensionamento são aqueles em que o modelo sem tracções horizontais na alma não

permitirá obter uma solução válida do ponto de vista da compatibilidade. Este modelo deverá

então ser aplicado a todas as peças que não possam ser classificadas como esbeltas, de

acordo com a definição já apresentada nesta dissertação. Existirão três casos distintos:

Caso 1: 6 − �! < g − }Sç�4 TãV S6S�U�4

Implica o dimensionamento com recurso ao modelo com tracções horizontais na alma.

Caso 2: 6 − �! ≥ g S �H ≥ tan (30º)

Neste caso o dimensionamento poderá ser feito com qualquer um dos modelos, sendo uma

opção do projectista dimensionar a peça com ou sem armadura de ELU horizontais

distribuídas na alma.

Caso 3: 6 − �! ≥ g S �H ≤ tan(30º) − }Sç�4 S46S�U�4

Implica o dimensionamento com recurso ao modelo sem tracções horizontais na alma.

81

Assim as carlingas e os diafragmas, pertencentes a esta situação tipificada, poderão ser

classificados como não esbeltas ou esbeltas, consoante pertencerem ao caso 1 ou ao caso 3,

existindo ainda peças com relações h/b entre 1 e 1.5, que para certas larguras de apoio

poderão pertencer a qualquer um dos dois tipos.

Numa perspectiva puramente teórica existiria ainda um quarto caso para peças em que se

tivesse b - af < z e z/b < tan(30), situação que não poderia ser resolvida com recurso a nenhum

dos modelos desenvolvidos. Contudo esta situação não tem significado prático, uma vez que

só com larguras de apoio perfeitamente irrealistas é que se poderia ter um vão entre apoios

suficientemente pequeno para não se poder considerar a peça como esbelta e ao mesmo

tempo uma relação z/b suficientemente pequena para não se poder considerar a peça como

não esbelta, argumento já anteriormente utilizando nesta dissertação para excluir a

possibilidade da relação z/b conduzir a valores de θ superiores a 45º.

4.4.1.3 Comentários finais

Os modelos desenvolvidos nos pontos anteriores tiveram como única acção de

dimensionamento uma força horizontal distribuída ao nível da laje de tabuleiro, pensada para

simular a acção sísmica transversal sobre as carlingas e diafragmas de superstruturas com

dois aparelhos de apoio transversais, dai se considerar a existência de um apoio tracionado e

de um apoio comprimido. Contudo a acção horizontal terá sempre de ser combinada com uma

acção vertical, que no mínimo será devida ao peso próprio da superstrutura.

Pelo equilíbrio global da peça combinar as reacções devidas a diferentes acções, será

equivalente a calcular as reacções da respectiva combinação de acções, e assim não existirá

nenhum apoio tracionado mas sim um apoio menos comprido, devido ao binário que se

devolve ao nível das reacções de apoio para equilibrar o momento causado pelo carregamento

horizontal.

Sem prejuízo do referido nos parágrafos anteriores, em situações normais de dimensionamento

de carlingas e diafragmas com dois apoios transversais é usual considerara-se para única

acção de dimensionamento a acção horizontal transversal, normalmente devida a acção

sísmica, considerando que o carregamento vertical se encaminhará directamente das vigas

para os apoios sem esforçar a carlinga, ou das almas para os apoios sem esforçar os

diafragmas.

Assim independentemente do modelo do campo de tensões que se utilize, as peças deverão

ser providas de uma armadura vertical pormenorizada na largura dos apoios e dimensionada

para uma força Ft:

�U = F_ g6 (4 − 116)

82

Essa armadura deverá ser colocada na zona dos dois apoios porque a acção sísmica poderá

actuar em qualquer um dos sentidos da direcção horizontal transversal, e assim todo o

dimensionamento terá de ser simétrico em relação ao eixo de simetria vertical da peça.

4.4.2 Situação 1b) Caixões acessíveis com dois apoios

Também neste caso, tal como se procedeu no caso de peças sem abertura, houve

necessidade de modelar de duas formas distintas o problema em função da esbelteza das

peças, relação b/h.

No caso de peças com uma esbelteza maior do que um determinado valor, valor esse que

dependerá de outras grandezas assumidas no decorrer do processo de modelação e que será

apresentado mais à frente, poderá ser assumido que a abertura apenas introduz uma

perturbação nos campos de tensões que se desenvolveriam na zona prismática da peça caso

esta não tivesse abertura. Assim para estas peças o dimensionamento poderá ser feito

recorrendo ao modelo apresentado para a situação 1a), ignorando a existência da abertura,

desenvolvendo-se à posteriori um modelo que permita dimensionar um reforço para a resistir

ao desvio das trajectórias de tensão na zona de influência da abertura. Este método tem

implícita a ideia de que para peças muito esbeltas, ou seja, com relações b/h elevadas e com

aberturas relativamente pequenas, o comportamento global da peça não será afectado pela

introdução da abertura, ocorrerá apenas um acréscimo dos esforços na zona circundante à

abertura.

Já para casos de peças com esbeltezas menores e ou com aberturas de dimensões

consideráveis quando comparadas com as dimensões das peças, o problema não poderá ser

resumido a um acréscimo dos esforços na zona circundante à abertura, em comparação com o

caso sem abertura. Com a introdução da abertura o comportamento global da peça será

complemente diferente dos casos sem abertura, em que a peça teria um comportamento global

de placa. Neste caso a peça terá um comportamento muito mais próximo de um pórtico,

constituído por uma travessa superior onde a carga transversal é aplicada, ligada por dois

montantes a uma travessa inferior onde são aplicadas as reacções exteriores que permitirão

estabelecer o equilíbrio global da peça.

4.4.2.1 Comportamento global de placa

Este caso será então resolvido com o dimensionamento da peça, ignorando a existência da

abertura, reunido com o dimensionamento de uma zona reforçada junto da abertura.

O dimensionamento da peça ignorando a abertura será feito com recurso ao modelo

apresentado no ponto 4.4.1.1 desta dissertação.

83

4.4.2.1.1 Dimensionamento do reforço na zona da abertura

Primeiramente será importante definir a área de influência da abertura, ou seja, a área onde os

campos de tensões, existentes na zona prismática da peça, sofrem perturbações devido à

presença da abertura (Figura 4-43).

Figura 4-43: Área de influência da abertura no que respeita ao desvio das compressões diagonais

O ângulo θ terá o mesmo significado e obrigatoriamente o mesmo valor que lhe foi atribuído

para o dimensionamento global da peça, ignorando a existência da abertura. O ângulo θ

representa a inclinação das compressões na zona prismática da peça. O valor da largura de

influência da abertura (l1), poderá ser determinado em função da largura da abertura (babertura),

z e ϴ (Figura 4-44).

�> = 6)HDK�fK) + gtan � (4 − 117)

Será assim necessário dimensionar o reforço que permita encaminhar as compressões

diagonais da zona superior para a zona inferior da peça.

A área de influência da abertura pode ser decomposta numa zona central, com uma largura l3

definida ao nível da corda superior, onde o campo de compressões prismático intersectaria

efectivamente o vazio da abertura e em duas zonas laterais, em que as compressões vão

manter a inclinação θ, sendo apenas aumentada a sua magnitude uma vez que vão receber um

acréscimo de carga oriundo do desvio das compressões que ocorrerá na zona central (Figura

4-44).

84

Figura 4-44: Decomposição da área de influência da abertura para o carregamento diagonal

Serão assim definidas duas bandas laterais que servirão de apoio à zona central, zona onde

existirá efectiva necessidade de desviar as trajectórias de compressão. A largura das bandas

laterais medida ao nível das cordas (a’) foi definida como a distância medida sobre a corda

superior entre o ponto situado sobre o início da abertura, ponto P1, e o ponto que marca o

início da referida zona central, ponto P0 (Figura 4-45).

Figura 4-45: Largura da banda lateral

�/ = g − ℎ)HDK�fK)2 tan � (4 − 118)

�2 = �1 − �´ = 6)HDK�fK) + gtan � − g − ℎ)HDK�fK)2 tan � (4 − 119)

�3 = �1 − 2�/ = 6)HDK�fK) + gtan � − g − ℎ)HDK�fK)tan � (4 − 120)

85

Será então necessário definir um modelo de campos de tensões que permita resolver o

problema da transmissão das cargas da zona central para as duas bandas laterais de apoio

(Figura 4-46).

a)

b)

Figura 4-46:Modelo de dimensionamento do reforço. a) Modelo de escoras e tirantes. b) Identificação dos elementos e do carregamento.

Fará sentido repartir de forma igual o carregamento da zona central pelas duas bandas laterais

de apoio e assim:

S4 = S6 = }1 + }2 (4 − 121)

Aplicando a condição anterior ao modelo discreto poderá deduzir-se facilmente (Figura 4-47)

que será condição necessária e suficiente para o equilíbrio do modelo, a condição seguinte:

�1 = �2 = � (4 − 122)

86

Figura 4-47: Condição necessária e suficiente para o equilíbrio do modelo

As cargas aplicadas ao modelo, P1 e P2, serão dadas por:

}1 = F_6 cos(�) × �@2 = F_2 6 cos(�) × l6)HDK�fK) + gtan � − g − ℎ)HDK�fK)tan � m (4 − 123)

}2 = F_6 cos(�) × �/ = F_ 26 cos(�) × lg − ℎ)HDK�fK)tan � m (4 − 124)

A resolução do modelo consistirá na determinação de quatro resultantes de compressão, Rc1,

Rc2, Rc3, Rc4 e numa resultante de tracção Rt (Figura 4-48).

Figura 4-48:Resolução do modelo de escoras e tirantes.

87

nQ1 = }1 sin(� − � − �)sin �= F_2 6 cos(�) × l6)HDK�fK) + gtan � − g − ℎ)HDK�fK)tan � m × sin(� − � − �)sin � (4 − 125)

nQ2 = }1 sin �sin � = F_2 6 cos(�) × l6)HDK�fK) + gtan � − g − ℎ)HDK�fK)tan � m × sin �sin � (4 − 126)

nU = nQ2 = F_2 6 cos(�) × l6)HDK�fK) + gtan � − g − ℎ)HDK�fK)tan � m × sin �sin � (4 − 128)

nQ3 = }1 sin(� + �)sin � = F_2 6 cos(�) × l6)HDK�fK) + gtan � − g − ℎ)HDK�fK)tan � m × sin(� + �)sin � (4 − 129)

nQ4 = }1 + }2 = F_2 6 cos(�) :6)HDK�fK) + gtan �< = F_6 cos(�) × �12 (4 − 130)

Quer por construção geométrica do modelo quer por equilíbrio do modelo será possível

determinar o ângulo ξ em função de θ e δ:

� = �2 − � − tank> l sin(� − �)2 sin � sin �m (4 − 131)

Repare-se que definido o modelo geral de dimensionamento da peça, que ignora a existência

da abertura, a adopção do modelo anterior para dimensionar o reforço devido ao desvio do

campo de compressões prismático na área de influência da abertura, encerra em si uma única

opção de dimensionamento, a escolha do ângulo δ, ângulo que a resultante das tracções

diagonais devidas ao desvio das compressões da zona central para as bandas laterais fará

com a horizontal.

A atribuição de um valor a δ terá de ser feita tendo a consciência de que este ângulo define a

posição de uma resultante de tracções que por definição se localizará no centro de gravidade

de um campo de tracções distribuídas numa determinada área. Assim na atribuição de um

valor a δ, terá de se garantir que o campo de tracções, com resultante Rt, não intersecta o

vazio da abertura (Figura 4-49).

Figura 4-49: Atribuição de um valor a δ.

88

Devendo-se garantir que:

� ≤ tank> lg − ℎ�6SRU�R�2 6�6SRU�R� m (4 − 132)

A diminuição de δ implicará um aumento das resultantes de tensões na zona central da área de

influência da abertura, nomeadamente da resultante de tracções Rt.

As armaduras deverão ser pormenorizadas ortogonalmente às faces das peças. Será preferível

desenvolver modelos de dimensionamento que permitam obter campos de tracções em que a

direcção principal de tensão seja coincidente com uma das referidas direcções ortogonais.

Contudo existem casos em que tal condição dificulta muito a obtenção de um modelo simples.

É disso exemplo o problema tratado neste ponto do trabalho, em que o modelo mais simples e

intuitivo será o que aqui se apresentou, com um campo de tracções com a direcção principal de

tensão rodada em relação às direcções ortogonais dadas pelas faces das peças.

Nestes casos poderá recorre-se ao facto de pontualmente qualquer tracção poder ser

equilibrada por uma malha de armaduras dispostas segundo duas quaisquer direcções

ortogonais entre si, para que partindo de um modelo com as direcções principais de tracção

diagonais obter-se uma pormenorização de armaduras ortogonais em relação as faces da peça

(Figura 4-50).

a)

Figura 4-50:Pormenorização de armaduras. a)Tracções diagonais. b)Equilíbrio de uma tracção genérica com recurso a uma qualquer malha ortogonal.

89

4.4.2.1.2 Campo de aplicabilidade

Este modelo e a assunção de comportamento global de placa apenas será válido para as

geometrias em que a área de influência da abertura devida ao desvio do campo de

compressões prismáticas não intersecte os campos de compressões em forma de “leque”, que

se desenvolverão na zona próxima dos apoios e que estão relacionados com o comportamento

global de placa assumido pela peça.

De uma forma quantitativa a condição anterior poderá ser satisfeitas sempre que se verifique a

seguinte condição:

6 − �! ≥ 2 g + 6)HDK�fK) (4 − 133)

Repare-se que tal como seria de esperar a condição de aplicabilidade desde modelo

dependerá: da esbelteza do diafragma, traduzida pela relação da distância entre as faces

internas dos apoios (b-af) e o braço do modelo (z); do ângulo das compressões na zona

prismática da peça (θ); das dimensões da abertura. No fundo poderá observar-se que quanto

menos esbelta for a peça e quanto maior for a abertura, mais afastado do comportamento de

placa estará o comportamento do diafragma quando solicitado por uma carga transversal

uniformemente distribuída aplicada ao nível da laje do tabuleiro.

4.4.2.2 Comportamento global de pórtico

No caso de secções em que não seja possível satisfazer as condições (4-133) o

dimensionamento dos diafragmas terá de ser feito recorrendo a um único modelo do campo de

tensões, como o apresentado na Figura 4-51.

Figura 4-51:Modelo típico de um diafragma com abertura pouco esbelto.

90

Estes modelos serão constituídos por uma malha treliçada, construída para cada secção de tal

modo a que se obtenha uma inclinação das diagonais comprimidas (θ) constante em toda a

peça e com um valor aceitável do ponto de vista da compatibilidade global do modelo.

As direcções das resultantes dos campos de compressões reais não serão constantes em toda

a peça, contudo também não deverá ser possível quantifica-las univocamente de um modo

suficientemente expedito e assim à luz da teoria da plasticidade poderá admitir-se

simplificadamente que terão uma inclinação constante, sem que com isso se viole

grosseiramente as condições de compatibilidade globais do modelo, o que permitirá depois de

definido um intervalo de valores aceitáveis ao nível da compatibilidade para θ, construir através

de um processo perfeitamente normalizado um modelo do campo de tensões adequado para

cada geometria especifica da secção de apoio.

Os modelos deste tipo serão hiperestáticos, indeterminação que deverá ser resolvida com base

no comportamento estrutural. De um modo simplificado podemos entender o comportamento

global destas peças como o de um pórtico constituído por uma travessa superior ligada por

dois montantes a uma travessa inferior onde serão aplicadas as reacções de apoio. Para a

travessa superior poderá assumir-se valido o modelo do campo de tensões apresentado na

próxima Figura 4-52.

Figura 4-52:Modelo do campo de tensões na travessa superior

A travessa superior equilibrará o carregamento que lhe é aplicado desenvolvendo um campo

de compressões diagonais prismático, em que a inclinação das compressões será constante e

igual a θ. Será transmitido um binário vertical aos montantes e um par de reacções horizontais

distribuídas na largura a1 (Figura 4-52). Em analogia com o modelo apresentado no ponto

4.5.1.1.1 desta dissertação, a travessa superior comportar-se-á como uma peça muito esbelta

com apoios muito largos e assim não se verificará a existência dos “afunilamentos” das

compressões nas zonas dos apoios, não apresentando regiões de descontinuidades laterais,

sendo toda a peça uma região de continuidade caracterizada pelo referido campo de

compressões prismático e pelo campo de tracções verticais constante no seu domínio (Figura

4-52).

91

A assunção do campo de tensões representado na Figura 4-52, ao nível da corda superior,

permitirá resolver a indeterminação estática do modelo (Figura 4-53) e fixar um intervalo de

valores compativelmente aceitáveis para a inclinação das escoras do modelo (θ), recorrendo à

analogia com o modelo anteriormente apresentado no ponto 4.5.1.1.1 desta dissertação:

30º ≤ � ≤ 45º (4 − 134)

Figura 4-53: Resolução da hiperestatia do modelo.

Na pormenorização de armaduras deverá ter-se em especial atenção o facto de o modelo

assumido implicar a necessidade de se dispor uma armadura vertical distribuída que equilibre o

campo de tensões verticais existente na travessa superior (Figura 4-52), armadura que deverá

ser igualmente disposta no montante tracionado (Figura 4-54) e que deverá equilibrar uma

tracção ft, distribuída por unidade de comprimento:

!U = F_61 QVUP� (4 − 135)

Figura 4-54: Armadura vertical distribuída.

92

As tracções horizontais que se desenvolvem nos montantes deverão igualmente ser

equilibradas por uma armadura distribuída na altura dos mesmos, dimensionada para resistir

ao carregamento horizontal que é equilibrado em cada um deles.

As restantes tracções concentradas existentes no modelo deverão ser dimensionadas

recorrendo a uma quantidade de armadura correctamente disposta de modo a que se

satisfaçam as respectivas verificações de segurança. Deverá igualmente ter-se em atenção

mais uma vez o facto de a pormenorização de armaduras ter de ser simétrica em relação ao

eixo de simetria vertical da peça.

4.4.3 Situação 2) Diafragmas com um apoio central

Nestes casos a secção de apoio funciona como um apoio indirecto para as almas do caixão,

assim a magnitude do carregamento vertical transmitido a cada pilar dependerá da relação

entre a rigidez de flexão da secção vão, conferida essencialmente pela altura das almas (hw), e

a rigidez da secção de apoio para deformações no seu plano, influenciada essencialmente pela

esbelteza (relação h/b) da secção de apoio (Figura 4-55). Em situação real de projecto a

reacção vertical em cada pilar (V) deverá ser determinada com base numa análise global da

estrutura.

Figura 4-55: Apoio indirecto das almas no diafragma

Por razões de ordem cinemática, relacionadas com a obtenção de um campo de deformações

satisfatório, optou-se por um campo de tensões em que o principal tirante horizontal (Th),

responsável por equilibrar a tracção transversal de maior magnitude devida à flexão transversal

da secção de apoio, se encontre o mais próximo possível da face superior da peça,

funcionando assim com o maior braço possível (Figura 4-57a) e Figura 4-58) e assumindo-se

que nas situações correntes de projecto o valor da altura da secção (h) não será muito superior

93

à sua largura (b). Esta opção permitirá controlar de forma mais eficiente a concentração da

fendilhação espectável na zona superior da peça, devido à referida flexão transversal (Figura 4-

56).

Figura 4-56: Flexão transversal da secção de apoio

Suspenso todo o carregamento vertical na zona das almas, poderá estabelecer-se uma

analogia entre esta situação de projecto e a descontinuidade típica que surge na transmissão

de uma carga concentrada aos apoios de uma viga parede (Figura 4-57), situação

perfeitamente tipificada com recurso a modelos sugeridos em (Féderation International du

Béton, December 1999).

Figura 4-57: Analogia entre uma secção de apoio e uma viga parede. a) Secção de apoio com um único aparelho central. b) Viga parede sujeita a um carregamento vertical concentrado a

meio vão

Atendendo à analogia anterior, poderá ser sugerido o modelo tipificado apresentado na

próxima Figura 4-58.

94

Figura 4-58: Modelo tipificado para diafragmas com um único apoio central

De referir que:

− (tw) representa a espessura das almas do caixão;

− Os valores de (d1) e de (d2) deverão ser definidos próximos dos 10% da altura da peça

(h), de modo a que o valor do braço (z) corresponda a cerca de 80% da altura da peça;

− A força de tracção vertical (Tv) a distribuir na largura (an) será dada pela seguinte

condição:

�N = q2�g − 13 r _2 S 0 ≤ �N ≤ _2 (4 − 136)

�T = 6 − �! − 2U¡2 (4 − 137)

Pela condição (4-136), para esbeltezas que conduzam a modelos em que a<z/2 o valor de Tv

será nulo, ou seja, o carregamento será equilibrado sem recurso a tracções verticais

distribuídas na largura das peças. Todo o carregamento vertical será encaminhado

directamente para o apoio e o modelo degenera numa geometria mais simples, situação

representada na próxima Figura 4-59.

95

Figura 4-59: Modelo para peças menos esbeltas

Para esbeltezas maiores, que conduzam a modelos em que a>2z, a condição (4-133) fornece

um valor de Tv igual a V/2, ou seja, para estas situações de projecto todo o carregamento

vertical terá de ser suspenso no “vão” das peças antes de chegar ao apoio, não existirá

nenhuma fracção do carregamento vertical encaminhada directamente da zona das almas para

o apoio (Figura 4-60).

Figura 4-60: Modelo para peças mais esbeltas

Para peças muito esbeltas o modelo anterior deverá ser construído com o número de tirantes

verticais (Tv), igualmente espaçados, que permita obter um ângulo θ (Figura 4-60) que

satisfaça a seguinte condição:

30° < � < 45° (4 − 138)

Assim, este modelo do campo de tensões quando aplicado a uma situação genérica de

projecto de uma superestrutura com um único aparelho central em cada secção de apoio,

deverá conduzir a uma pormenorização de armaduras típica como a representa na próxima

Figura 4-61.

96

Figura 4-61: Pormenorização típica de armaduras

A verificação de segurança aos Estados Limite de Serviço, nomeadamente a referente ao

controlo da fendilhação, exigirá a disposição de uma armadura mínima composta por uma

malha ortogonal de armaduras a dispor em cada uma das faces do diafragma, assim existirá

uma quantidade de armadura horizontal distribuída na altura das peças que não será

contabilizada pelo modelo do campo de tensões proposto.

Logo, o modelo tipificado sugerido será certamente conservativo, subestimando a capacidade

de carga das estruturas. Esta questão terá maior relevância quanto menor for a esbelteza das

peças, ou seja, quanto maior for a relação entre a altura (h) e a largura (b) das mesmas.

Para os casos de peças pouco esbeltas, ou seja, que conduzam a modelos em que a<2z, o

modelo proposto poderá ser optimizado de modo a permitir contabilizar a contribuição da

referida armadura distribuída horizontal para a resistência aos Estados Limites Últimos. Nestes

casos poderá ser associado ao modelo anteriormente proposto um modelo adicional que

contemple a armadura horizontal distribuída na altura dos diafragma, através da introdução de

um tirante horizontal adicional (th(adicional)) (Figura 4-62).

97

Figura 4-62: Modelo optimizado para peças menos esbeltas

O modelo optimizado será hiperestático, indeterminação que poderá ser resolvida através da

atribuição de um valor à incógnita hiperestática α:

0 < £ ≤ 1 (4 − 139)

O valor de α deverá traduzir a percentagem do carregamento vertical que será suspenso na

zona das almas para posteriormente ser encaminhado para o apoio, provocando o campo de

tracções horizontais existente na face superior da peça, representado no modelo pelo tirante

Th. Assim quanto maior for o valor atribuído a α, maior será a relevância que se dará ao

comportamento em flexão transversal das secções de apoio, sendo por isso que para peças

mais esbeltas (a>2z) se atribui a α um valor unitário, ou seja, assume-se que o campo de

tensões que se desenvolverá nas peças será essencialmente provocado pela sua flexão

transversal (Figura 4-56).

98

Capítulo 5 _Exemplo de aplicação

Dados:

Considere-se uma superestrutura em caixão não acessível com a geometria definida na

próxima Figura 5.1. O diafragma tem uma espessura (e) igual a 0.5 m. Serão considerados

para material estrutural um betão C30/37 e armaduras ordinárias de aço A500 NR.

Pretende-se efectuar a verificação de segurança aos estados limites últimos de um diafragma

de apoio, com dois tramos adjacentes iguais e com vão de 50 m.

A título meramente ilustrativo admitiu-se um coeficiente sísmico (β) para a obra de arte com um

valor de 0.2.

a)

b)

Figura 5-1: Diafragma não acessível. a) Secção de vão. b) Secção de apoio

Resolução:

Neste exemplo estamos perante uma situação de projecto perfeitamente tipificada e

identificada nesta dissertação pela situação 1a). Estamos perante um diafragma com dois

aparelhos de apoio transversais e sem abertura, que terá como acção condicionante de

dimensionamento aos estados limite últimos a acção do sismo transversal.

Para calcular a acção horizontal sobre a peça, introduzida pelas forças de massa devidas ao

sismo transversal, considerou-se simplificadamente, de um modo muito conservativo, que a

reacção horizontal transversal equilibrada no pilar em questão corresponderia à aceleração da

massa da superestrutura até meio vão dos dois tramos adjacentes. Assim considerou-se um

comprimento de influência (Linf) igual a 50 m.

99

ÁRS� �D+çãJ #D LãJ = 8.810 �8 (5 − 1)

Considerando que as restantes cargas permanentes valerão 10% do peso próprio da

superestrutura, a massa oscilante (V) valerá:

_ = (ÁRS� �D+çãJ #D LãJ × GHD�ãJ )K()#J) × 1.1 × Y�E| = 12113.50 =v (5 − 2)

A reacção horizontal transversal no pilar em questão (Hsd) valerá:

¦ # = F _ = 2422.750 =v (5 − 3)

O carregamento horizontal distribuído na face superior do diafragma (hsd), valerá:

ℎ # = F _(2� + 6) = 162.601 =v� (5 − 4)

Tomou-se à partida a seguinte opção de dimensionamento:

�1 = �2 = 0.05 ℎ = 0.1 � (5 − 5)

g = 1.800 � (5 − 6)

Antes de efectuar o dimensionamento será necessário classificar a peça, o que será feito com

recurso à informação preconizada no ponto 4.4.1.2.2 desta dissertação:

6 − �! > g ⇒ 7.500 > 1.800 (NSR��S) (5 − 7) g6 < tan(30°) ⇒ 0.228 < 0.577 (NSR��S) (5 − 8)

Estamos assim perante um diafragma esbelto que terá de ser dimensionamento com recurso

ao modelo de campo de tensões deduzido no ponto 4.4.1.1 desta dissertação.

O ângulo de desvio das compressões na zona prismática (θ) foi definido (opção de

dimensionamento limitada pelo intervalo [30, 45] graus) com o valor:

� = 30° (5 − 6)

Resultados da aplicação do modelo

Figura 5-2: Campo vertical de tracções

100

Figura 5-3: Campo de compressões diagonais

Figura 5-4: Variação de esforço normal nas cordas

Pormenorização de armaduras

O campo de tracções verticais existente na zona do vão entre apoios (ft vertical), deverá ser

equilibrado com recurso a uma armadura vertical distribuída (as vertical):

!ULDK��+)B = F_6 cos � = 177.060 =v� (5 − 7) �4LDK��+)B = 4.070 Q�8 �¨ = 2.01 Q�8 �¨!�QS (5 − 8)

As tracções verticais existentes na zona dos apoios (Ft vertical) deverão ser equilibradas com

recurso à pormenorização de uma armadura (As vertical. Repare-se que o dimensionamento

deverá ser simétrico uma vez que deverá resultar da combinação dos efeitos devidos a

actuação do carregamento horizontal actuante segundo os dois sentidos da direcção horizontal

transversal.

�ULDK��+)B = F_ × g6 = 552.019 =v (5 − 9)

�4LDK��+)B = 12.690 Q�8 (5 − 10)

101

Os diagramas de esforço normal actuantes nas cordas do modelo permitirão identificar as

principais tracções horizontais concentradas.

Ao nível da corda superior a ordenada da máxima tracção (x+max), poderá ser determinada pela

aplicação da expressão (4-70) desta dissertação:

p(á*{ = 1.437 � (5 − 11)

A verificação de segurança da corda superior implicará a disposição de uma quantidade de

armadura horizontal (As) (Tabela 5-1), determinada pela definição do diagrama de esforço

normal actuante na corda em questão:

Tabela 5-1: Armadura horizontal na corda superior

A verificação de segurança da corda inferior implicará a disposição de uma quantidade de

armadura horizontal (As) (Tabela 5-2), determinada pela definição do diagrama de esforço

normal actuante na corda em questão:

Tabela 5-2: Armadura horizontal na corda inferior

102

De acordo com o ponto 9.7 da NP EN1992-1-1, nas vigas parede deve-se dispor uma rede de

armadura ortogonal mínima (As,dbmin) junto de cada face, com um afastamento máximo entre

varões (s máx):

� ,#H(�E = 0.1% � D+çãJ = 5 Q�8 �ª (S� Q�� !�QS S �ORSQçãV)(5 − 12)

4(á* = 30 Q� (5 − 13)

As quantidades de armadura determinadas serão dispostas de acordo com pormenorização

apresentada na próxima Figura 5-5.

Figura 5-5: Pormenorização de armaduras

Verificação do esmagamento do betão

A verificação do esmagamento do betão nodal, nos nós singulares do modelo, será suficiente

para garantir que em nenhum ponto da peça o betão excede a sua capacidade resistente à

compressão.

Nó inferior

Em primeiro lugar assumiu-se a existência de uma armadura adicional sobre o apoio que

permita deslocalizar a reacção horizontal da zona de contacto com o aparelho de apoio para

uma zona mais elevada da peça, como se a reacção de apoio horizontal fosse materializada

por meio de um batente (Figura 5-6).

103

Figura 5-6: Armadura de apoio

O sismo transversal actua em qualquer um dos sentidos da direcção transversal, o que faz com

o betão nesta zona apresente fendas em segundo várias direcções, logo a tensão máxima

resistente do betão nodal deverá ser afectada de um coeficiente correctivo K3 definido na NP

EN1992-1-1, com um valor de 0.75. De referir que em algumas referência, nomeadamente

(Schlaich, Schafer, & Jennewein, Towward a Consistent Design of Strutural Concrete, 1987),

(Lourenço, 2010), é apresentado um valor mais conservativo para a correcção da tensão

máxima admissível no betão, para estes tipo de nó.

A geometria nodal ficará perfeitamente definida fixando a relação entre a tensão actuante sobre

a placa de apoio (σf) e a tensão actuante em qualquer uma das restantes fronteiras. Neste caso

considerou-se uma tensão devida à reacção de apoio horizontal (σ1) cerca de 30% superior a

σf (Figura 5-7).

Figura 5-7: Nó inferior. a) Discretizado. b) Representação plana. c) Representação espacial

�1 = tank> l 2g�! + g QVUP(�)m = 45.663° (5 − 14)

nBDefD = F_ g6 sin(%>) = 771.800 =v (5 − 15)

v Q inf(�!) = 671.977 (=v)(QV�WRS44ãV) (5 − 16)

%1 = 1.3 %! (5 − 17)

104

%! = F_ g6 �! S = 2760.095 =}� (5 − 18)

�1 = F_2 × 1.3 × %! × S = 0.675 � (5 − 19) �3 = �1 − �! 4ST Θ1¬¬¬¬QV4 Θ1¬¬¬¬ = 0.284 � (5 − 20)

�2 = �1 − �34ST Θ1¬¬¬¬ = 0.559 � (5 − 21)

Definida a geometria da região nodal as tensões actuantes nas restantes fronteiras da região

nodal serão facilmente determinadas:

%1 = F_2 �1 S = 1.3 %! = 3588.123 =}� (5 − 22)

%2 = nBDefD�2 S = 2760.095 =}� (5 − 23)

%3 = v Q inf (�!)�3 S = 4726.257 =}� (5 − 24)

Determinadas as tensões actuantes nas fronteiras do nó será necessário calcular os rácios

entre elas, que deverão ser superior a 0.5 e inferiores 2 para que seja válido o

dimensionamento plástico do nó, o que se verifica para a geometria definida (Tabela 5-3), para

em seguida se efectuar a comparação entre as tensões actuantes nas fronteiras nodais e a

tensão representativa da resistência do betão nodal (σrd,max).

Tabela 5-3: Rácios das tensões nas fronteiras do nó inferior

Para o cálculo de σrd,max utilizou-se a informação normativa preconizada pela expressão 6.61 da

NP EN1992-1-1, desprezando-se conservativamente a compressão actuante na terceira

dimensão, conferida pelo mecanismo de transmissão do carregamento vertical de vão aos

apoios, que ocorre ao nível das almas do caixão.

%&#,()* = =@ ?/!+# = 0.75 × 0.920 × 20 × 10@ = 13800 =}� (5 − 25)

Efectuando a comparação das tensões actuantes com σrd,Max pode-se finalmente verificar a

segurança ao esmagamento do betão nodal (Tabela 5-4).

σf [Kpa] σ1[Kpa] σ2[Kpa] σ3[Kpa]

σf [Kpa] 1.300 1.000 1.712

σ1[Kpa] 0.769 0.769 1.317

σ2[Kpa] 1.000 1.300 1.712

σ3[Kpa] 0.584 0.759 0.584

105

V.S.

σi/σrd,máx

σf [Kpa] 2760.095 0.200

σ1[Kpa] 3588.123 0.260

σ2[Kpa] 2760.095 0.200

σ3[Kpa] 4726.257 0.342

Tabela 5-4: Verificação de segurança ao esmagamento do betão do nó inferior

Nó Superior

De igual modo, também o betão desta região nodal apresentará fendas segundo várias

direcções, logo a tensão máxima resistente do betão nodal deverá ser afectada de um

coeficiente correctivo K3 definido na NP EN1992-1-1, com um valor de 0.75

A geometria nodal ficará perfeitamente definida fixando a altura nodal(u) e a relação entre a

tensão actuante nessa fronteira (σ0) com a tensão actuante em qualquer uma das restantes

fronteiras. Definiu-se:

� = 0.4 � (5 − 26)

%0 = %1 (5 − 27)

Figura 5-8: Definição geométrica do nó superior

106

%0 = F_ g6 �! S = 2760.095 =}� (5 − 28)

�1 = F_2 × %0 × S = 0.436 � (5 − 29) �3 = �1 − �! 4ST Θ1¬¬¬¬QV4 Θ1¬¬¬¬ = 0.045 � (5 − 30)

�2 = �1 − �34ST Θ1¬¬¬¬ = 0.902 � (5 − 31)

Definida a geometria da região nodal, calculam-se as tensões actuantes nas suas fronteiras:

%1 = 2760.095=}� (5 − 32)

%2 = 1712.035 =}� (5 − 33)

%3 = 2760.095 =}� (5 − 34)

Determinadas as tensões actuantes nas fronteiras do nó será necessário calcular os rácios

entre elas, que deverão ser superior a 0.5 e inferiores 2 para que seja válido o

dimensionamento plástico do nó, o que se verifica para a geometria definida (Tabela 5-5), para

em seguida se efectuar a comparação entre as tensões actuantes nas fronteiras nodais e a

tensão representativa da resistência do betão nodal (σrd,max).

σ0 [Kpa] σ1[Kpa] σ2[Kpa] σ3[Kpa]

σ0[Kpa] 1.000 0.620 1.000

σ1[Kpa] 1.000 0.620 1.000

σ2[Kpa] 1.612 1.612 1.612

σ3[Kpa] 1.000 1.000 0.620

Tabela 5-5: Rácios das tensões nas fronteiras do nó superior

Para o cálculo de σrd,max utilizou-se a informação normativa preconizada pela expressão 6.62 da

NP EN1992-1-1.

%&#,()* = =@ ?/!+# = 0.75 × 0.920 × 20 × 10@ = 13800 =}� (5 − 35)

Efectuando a comparação das tensões actuantes com σrd,Max pode-se finalmente verificar a

segurança ao esmagamento do betão nodal (Tabela 5-6).

V.S.

σ0 [Kpa] 2760.095 0.200

σ1[Kpa] 2760.095 0.200

σ2[Kpa] 1712.035 0.124

σ3[Kpa] 2760.095 0.200

Tabela 5-6: Verificação de segurança ao esmagamento do betão do nó superior

107

Capítulo 6_Conclusão

Para se proceder ao desenvolvimento de modelos de campos de tensões aplicáveis ao

dimensionamento de diafragmas de pontes de betão armado, foi necessário numa primeira

fase analisar a transmissão das cargas verticais e horizontais ao longo do vão até às secções

de apoio onde se materializam as referidas peças.

Efectuado este estudo definiram-se duas situações gerais de projecto em função do

carregamento imposto às secções de apoio. Uma diz respeito à acção do carregamento

horizontal transversal actuante em diafragmas ou carlingas em secções de apoio com dois

aparelhos de apoio transversais, localizados respectivamente sob as almas ou vigas. Outra diz

respeito à acção do carregamento vertical actuante sobre diafragmas pertencentes a

superestruturas em caixão, com um único aparelho de apoio em cada secção de apoio.

Com o desenvolvimento do trabalho conclui-se que para as situações de projecto

condicionadas pela acção do carregamento horizontal transversal (devido à acção sísmica) as

peças poderão ser classificadas e dimensionadas do seguinte modo em função da sua

geometria:

Caso 1: 6 − �! < g − }Sç�4 TãV S6S�U�4

Implica o dimensionamento com recurso ao modelo com tracções horizontais distribuídas

na altura da peça, apresentado no ponto 4.5.1.2.1 desta dissertação.

Caso 2: 6 − �! ≥ g S �H ≥ tan (30º)

Neste caso o dimensionamento poderá ser feito com qualquer um dos modelos, sendo uma

opção do projectista dimensionar a peça com ou sem armaduras (estados limite últimos)

horizontais distribuídas na sua altura.

Caso 3: 6 − �! ≥ g S �H ≤ tan(30º) − }Sç�4 S46S�U�4

Implica o dimensionamento com recurso ao modelo sem tracções horizontais na alma,

apresentado no ponto 4.5.1.1.1 desta dissertação.

Dentro desta situação de projecto definiu-se ainda um caso particular correspondente a

diafragmas em secções em caixão acessível, caso em que o diafragma terá de apresentar uma

abertura. Também neste caso o dimensionamento deverá ser feito de modos distintos em

função da geometria das peças:

108

Caso 4:

6 − �! ≥ 2 g + 6)HDK�fK) − }Sç�4 S46S�U�4 QV� �6SRU�R�4 RS��UON��STUS WS\�ST�4 Neste caso o dimensionamento da peça deverá ser a reunião do dimensionamento da peça

ignorando a existência da abertura (Caso 3) e do dimensionamento de um reforço na zona

da abertura, recorrendo ao modelo apresentado no ponto 4.5.2.1.1 desta dissertação. Assim

o diafragma mantém o comportamento global de placa sem tracções horizontais distribuídas

na sua altura, existirá apenas uma zona confinada à vizinhança da abertura onde os

campos de tensões serão perturbados.

Caso 5:

6 − �! < 2 g + 6)HDK�fK)

}Sç�4 TãV S46S�U�4 V� WSç�4 S46S�U�4 QV� �6SRU�R� RS��UON��STUS PR�T�S Neste caso as peças perderão o comportamento global de placa e o seu comportamento

deverá ser assimilado ao de um pórtico transversal. O dimensionamento das mesmas

deverá ser feito com recurso a um modelo do campo de tensões mais discreto, como o

apresentado no ponto 4.5.2.2 desta dissertação.

Relativamente à segunda situação tipificada de projecto, acção vertical sobre diafragmas

pertencentes a secções com um único aparelho de apoio, as peças poderão ser

analogicamente comparadas a uma viga parede com uma carga concentrada actuante a meio

vão (Figura 4-58). Os diafragmas apresentarão campos de tensões marcadamente

influenciados pelo seu comportamento em flexão transversal. Assim sendo poderão ser

dimensionados com recuso ao modelo apresentado no ponto 4.5.3 desta dissertação, que em

função da relação entre a altura e a largura das peças e do aparelho de apoio, conduz à

necessidade ou à inexistência de armaduras (estado limite último) verticais, distribuídas na

largura dos diafragmas. De referir que nesta situação de projecto, independentemente da

geometria dos diafragmas, estes apresentarão nas zonas das almas do caixão zonas

fortemente traccionadas, que deverão ser providas de uma importante quantidade de armadura

vertical.

Findo o trabalho, julgo ter conseguido um contributo importante para a tipificação de modelos

de campos de tensões, aplicáveis às situações de projecto relacionadas com o

dimensionamento de diafragmas de pontes de betão armado. Em sentido mais lato julgo

igualmente ter contribuído para a divulgação da aplicação de modelos de campos de tensões à

generalidade das situações de projecto de peças de betão armado.

Considero que em desenvolvimentos futuros este trabalho deveria ter seguimento sobretudo

com o desenvolvimento de modelos de campos de tensões para os casos de pontes em que o

tabuleiro seja concebido monolítico com os pilares, caso particular de pontes construídas por

109

avanços sucessivos, em que existe um importante momento flector no tabuleiro, que sobretudo

em fase construtiva tem de ser transmitido ao topo dos pilares, por diafragmas que poderão ser

concebidos verticais ou inclinados. Este caso foi excluído do âmbito desta dissertação mas tem

grande relevância no projecto de pontes de betão armado.

É igualmente importante referir que os modelos apresentados nesta dissertação foram

deduzidos apenas com base em considerações intuitivas do comportamento estrutural e

estabelecendo analogias com o comportamento de descontinuidades para as quais existem

modelos comprovados e aceites como válidos pela comunidade cientifica. Assim, julgo que em

desenvolvimentos futuros seria igualmente importante tentar valida-los, por intermédio de

ensaios de carga em modelos físicos ou numéricos, processo que poderia conduzir à

optimização ou até à reestruturação de alguns dos modelos sugeridos nesta dissertação.

110

Capítulo 7_Referências

Schlaich, J., Schafer, K., & Jennewein, M. (May-June de 1987). Towward a Consistent Design

of Strutural Concrete. PCI JORNAL , 77-150.

Muttoni, A., Schwartz, J., & Thurlimann, B. (2006). Dimensionamiento y concepción de

estruturas en hormigón armado mediante campos de tensiones. Lausana: École Polytechnique

Fédérale de Lausanne.

Lourenço, M. (2010). Adaptative stress field models for structural concrete. PhD Dissertation .

IST-ICIST.

Comisión 1, Grupo de Trabajo 1/3. (2003). Monografia M6, Bielas y Tirantes. ACHE (Asociación

Científico-Técnica del Hornigón Estrutural).

Eurocode 2- Desing of concrete structures-Concrete bridges-Desing and Detailing rules (EN

1992-2). (s.d.).

Fédération International du Béton. (July 1999). Strutural Concrete Textbook on Behaviour,

Desing and Performance (Vol. 2). CEB/FIP.

Féderation International du Béton. (December 1999). Strutural Concrete Textbook on

Behaviour, Desing and Permance (Vol. 3). CEB/FIP.

Eurocódico 2: Projecto de estruras de betão - Parte 1-1: Regras gerais e regras para edifícios

(NP EN1992-1-1). (s.d.).

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MODELOS DE CAMPOS DE TENSÕES PARA BETÃO … · ampla utilização em estruturas de betão armado, em especial nas zonas de descontinuidade, onde não é válida a teoria das peças