Modelos de equilíbrio geral dinâmico com custo de default

FUNDAÇÃO GETULIO VARGASESCOLA de PÓS-GRADUAÇÃO em

ECONOMIA

Gustavo Quinderé SaraivaOrientador: Luis H. B. Braido

Modelos de equilíbrio geral dinâmicocom custo de default

Rio de Janeiro2013

Gustavo Quinderé Saraiva

Modelos de equilíbrio geral dinâmicocom custo de default

Dissertação submetida à Escola dePós Graduação em Economia daFundação Getúlio Vargas como re-quisito para a obtenção do título deMestre em Economia

Orientador: Luis H. B. Braido

Rio de Janeiro2013

1

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Mario Henrique Simonsen/FGV

Saraiva, Gustavo Quinderé

Modelos de equilíbrio geral dinâmico com custo de default / Gustavo Quinderé Saraiva. -

– 2013.

85 f.

Dissertação (mestrado) - Fundação Getulio Vargas, Escola de Pós-Graduação em

Economia.

Orientador: Luis H. B. Braido.

Inclui bibliografia.

1. Equilíbrio econômico. 2. Inadimplência (Finanças). 3. Créditos. I. Braido, Luis H. B.

II. Fundação Getulio Vargas. Escola de Pós- Graduação em Economia. III. Título.

CDD – 339.5

Resumo

Neste trabalho fazemos um resumo de alguns artigos que tratam de equilíbriogeral dinâmico com custos de default. Focamos no estudo dos modelos de Kehoe eLevine (1993) e de Alvarez e Jermann (2000). Também descrevemos algumas adap-tações do modelo de Alvarez e Jermann, como os trabalhos de Hellwig e Lorenzoni(2009) e de Azariadis e Kaas (2008), e comparamos os resultados desses modeloscom os de Huggett (1993), no qual os mercados são exogenamente incompletos. Fi-nalmente, expomos uma falha no algoritmo computacional sugerido por Krueger ePerry (2010) para se computar os equilíbrios estacionários de economias como as deAlvarez e Jermann (2000).

Palavras Chave: Equilíbrio Geral Dinâmico, default, limites de crédito.

2

Abstract

This work consists on a survey of some papers from the literature of generalequilibrium with default costs. We focus on the study of Kehoe and Levine (1993)and Alvarez and Jermann (2000) models. We also describe some adaptations of Al-varez and Jermann’s model, such as the models developed by Hellwig and Lorenzoni(2009) and Azariadis and Kaas (2008), and we compare them with Huggett’s (1993)model, where the market is exogenously incomplete. Finally, we point out one flawpresent in Krueger and Perry’s (2010) algorithm to compute stationary equilibriafrom economies such as Alvarez and Jermann.

Key words: Dynamic General Equilibrium, default, credit limits.

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Sumário

1 Introdução 6

2 Equilíbrio geral com punição por default dada pela exclusão per-manente dos agentes do mercado de ativos 82.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Ambiente Físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Equilíbrio de A-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Equilíbrio de Arrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4.1 Equity Premium Puzzle e Risk Free Rate Puzzle . . . . . . . . 132.5 Equilíbrio de K-L (1993) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 Equilíbrio de A-J (2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6.1 Resultados adicionais de A-J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6.2 Taxa de juros do ativo livre de risco . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.3 Resultados computacionais de A-J (2001) . . . . . . . . . . . . 25

Apêndice A 27A.1 Crescimento agregado em A-J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27A.2 Demonstrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 O efeito de mudanças na volatilidade de renda sobre a volatilidadede consumo 423.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 Ambiente Físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3 Equilíbrio de Kehoe e Levine estacionário . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Apêndice B 45

4 Limites de crédito com baixa penalização por default 474.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Equilíbrio seqüencial com exclusão unilateral do mercado de crédito

- Hellwig e Lorenzoni (2009) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.1 Exemplo de equilíbrio estacionário . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.2 Caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3 Equilíbrio seqüencial com exclusão temporária do mercado de ativos- Azariadis e Kaas (2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.1 Ambiente físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.2 Definição de Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4

4.3.3 Equilíbrio Estacionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.4 Implementado a alocação first best . . . . . . . . . . . . . . . 574.3.5 Equilíbrios com imperfect risk sharing . . . . . . . . . . . . . 60

Apêndice C 63

5 Mercados com estrutura de ativos incompleta e limites de crédito 655.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Modelo de Huggett (1993) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2.1 Ambiente Físico do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2.2 Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.3 Algoritmo para computar o equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . 685.2.4 Resultados Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3 Mercados com estrutura de ativos incompleta e limites de créditoendógenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3.1 Limites de crédito que impedem consumo negativo . . . . . . 705.3.2 Limites de crédito de não default . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Apêndice D 74

6 Um método numérico para achar equilíbrios estacionários no mo-delo de Azariadis e Kaas (2012) 766.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.2 Equilíbrio estacionário do modelo de Azariadis e Kaas . . . . . . . . . 776.3 Metodologia de Krueger e Perry (2010) para computar a alocação de

equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

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Capítulo 1

Introdução

Em um equilíbrio geral dinâmico de Arrow convencional, agentes são capazes de seassegurar completamente contra choques idiossincráticos de renda através do mer-cado de ativos contingentes. Mais precisamente, em um equilíbrio convencional deArrow, o consumo de cada agente é função apenas da renda agregada.

Esse resultado vai de encontro às fortes evidências empíricas que apontam nadireção de imperfeita suavização de consumo, tanto à nível individual, quanto ànível de instituições maiores, como países. Trabalhos como os de Hayashi (1985)e Zeldes (1982), por exemplo, apontam a existência de uma correlação imperfeitaentre consumo individual e consumo agregado.

Uma classe de modelos que pode ser usada para explicar esse fenômeno são osmodelos com estrutura de ativos incompleta e restrições de liquidez. Nos modelos deBewley, em particular, geralmente supõe-se a existência de um contínuo de agentesque são idênticos a priori, mas que sofrem choques idiossincráticos de renda. Assume-se que os agentes transacionem uma estrutura de ativos incompleta e estejam sujeitosa restrições de liquidez. As restrições de liquidez, por sua vez, podem ser exógenas,como em Huggett (1993), ou endógenas, como nos casos apresentados por Zhang(1997). Nesses modelos, a incompletude de mercado somada às restrições de créditoimpedem que os agentes suavizem consumo perfeitamente.

Uma desvantagem desses modelos consiste no fato de eles serem arbitráriosquanto a escolha dos ativos que são transacionados na economia. Além disso, o equi-líbrio desses modelos é geralmente difícil de ser computado, especialmente quandoexiste mais de um ativo na economia. De fato, como não podemos garantir que aalocação de equilíbrio desses modelos seja eficiente, não podemos usar a solução doproblema de um planejador central para achar as alocações de equilíbrio.

Esses modelos também não conseguem explicar alguns fatos estilizados sobrea dispersão de consumo e renda. Krueger e Perry (2005), por exemplo, mostramque a forte tendência de crescimento na desigualdade de renda nos EUA nas últi-mas décadas tem sido acompanhada de um aumento significativamente menor nadesigualdade de consumo.

Uma literatura em ascensão que tenta explicar fenômenos na dispersão do con-sumo é a baseada em equilíbrio geral dinâmico com possibilidade de default. EmKehoe e Levine (1993), por exemplo, assume-se a existência de um mercado paracada bem contingente. Todavia, dado que os agentes têm a opção de dar default,

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deve-se impor restrições de participação no problema dos agentes, o que torna o mer-cado endogenamente incompleto. Como equilíbrio, obtém-se suavização imperfeitade consumo e taxas de juros menores do que as que vigorariam em um equilíbrio deArrow Debreu.

Uma vantagem de modelos desse tipo em relação aos modelos de Bewley, consisteno fato de eles não serem arbitrários quanto a escolha dos ativos que serão transacio-nados em equilíbrio. Além disso, quando os equilíbrios desses modelos são eficientesrestritos, como é o caso de Kehoe e Levine (1993), eles podem ser computados apartir da solução do problema de um planejador.

Neste trabalho, estudamos alguns modelos de equilíbrio geral dinâmico com pos-sibilidade de default. Começamos, no capítulo 1, estudando os equilíbrios de Kehoee Levine (1993) e de Alvarez e Jermann (2000), além dos equilíbrios convencionaisde Arrow-Debreu e de Arrow, que servem como benchmark para os equilíbrios deAlvarez e Jermann e de Kehoe e Levine. No capítulo seguinte, apresentamos umresultado peculiar do modelo de Kehoe e Levine (aplicável também ao modelo deAlvarez e Jermann), que é o de que, um aumento na dispersão de renda agregadapode causar um aumento menor na dispersão de consumo e, em alguns casos extre-mos, até reduzir a dispersão de consumo. No capítulo 3 apresentamos os modelos deHellwig e Lorenzoni (2009) e de Azariadis e Kaas (2012), que são modelos seqüenci-ais onde a sanção aplicada aos agentes insolventes difere daquela aplicada no modelode Alvarez e Jermann (2000). No capítulo 4, apresentamos o modelo de Huggett(1993), com o intuito de compará-lo com os modelos com possibilidade de default.No último capítulo, discorremos sobre um algoritmo baseado na reformulação dametodologia computacional de Huggett (1993), para achar os equilíbrios estacioná-rios de modelos como os de Alvarez e Jermann; em particular, o algoritmo pode seraplicado ao modelo de Azariadis e Kaas. Veremos que esse algoritmo possui umafalha, ao não precificar corretamente os ativos de equilíbrio.

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Capítulo 2

Equilíbrio geral com punição pordefault dada pela exclusãopermanente dos agentes do mercadode ativos

2.1 IntroduçãoNeste capítulo apresentamos os conceitos de equilíbrio de Arrow Debreu (A-D), deArrow, de Kehoe e Levine (K-L) e de Alvarez e Jermann (A-J) para um mesmo am-biente físico simplificado, onde os agentes transacionam um único bem em infinitosperíodos.

Começaremos apresentado as propriedades de um equilíbrio de A-D para esseambiente físico. Veremos que as alocações de equilíbrio de A-D dependem apenasda renda agregada da economia e são eficientes de Pareto.

Em seguida, definimos o conceito de equilíbrio competitivo de Arrow para essaeconomia. Veremos o resultado que garante a equivalência entre as alocações e preçosde um equilíbrio de Arrow com as respectivas alocações e preços de um equilíbriode A-D.

Depois, descreveremos o modelo de K-L. Assim como em uma economia de A-D,nesse modelo todas as decisões são tomadas na data zero, com a diferença de que emK-L os agentes têm a opção de, a cada nó do histórico de choques, não cumpriremas promessas feitas na data zero. Restrições de participação impedem que agentesdêem default em equilíbrio. Devido a essas restrições adicionais, geralmente não ha-verá perfeita suavização de consumo em equilíbrio, o que implica que as alocações deequilíbrio geralmente não serão eficientes de Pareto. Todavia, as alocações de equi-líbrio serão eficientes restritas, i.e., eficientes dentro da classe de todas as alocaçõesque satisfazem as restrições de participação e de factibilidade. Como conseqüência,para se computar os equilíbrios dessa economia, pode-se achar primeiro alocaçõeseficientes restritas através da solução do problema de um planejador central, e emseguida se computar os preços de equilíbrio associados a essas alocações, através dascondições de primeira ordem do problema descentralizado.

Finalmente, estudaremos o modelo de A-J. O modelo de A-J consiste em uma

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tentativa de se criar uma versão seqüencial do modelo de K-L. Veremos que, sobdeterminadas hipóteses, como high implied interest rates, uma alocação de equilíbrioseqüencial de A-J será equivalente a uma alocação de equilíbrio de K-L. Veremostambém que a taxa de juros do ativo livre de risco de um equilíbrio de A-J será menorou igual do que aquela que vigoraria em um equilíbrio convencional de Arrow, o quesupostamente poderia explicar o risk free rate puzzle.

2.2 Ambiente FísicoNesta seção, especificamos o ambiente físico que será usado para descrever os equilí-brios de Arrow-Debreu, de Arrow, de Kehoe e Levine e de Alvarez e Jermann. Estemesmo ambiente físico será aproveitado em capítulos subseqüentes, onde abordare-mos modelos com diferentes penalizações por default.

Suponha que haja I = 1, 2, · · · , I agentes na economia, indexados por i, quevivem infinitos períodos. O tempo é discreto e, a cada período t ∈ 0, 1, 2, · · · ,ocorre um choque zt ∈ Z na economia, onde Z é finito. Assumimos que o processode choques zt segue uma cadeia de Markov com matriz de transição Π. Definimoszt como o histórico de choques (z0, z1, · · · , zt) de tamanho t, e Zt como o conjuntode todas as possíveis histórias de choques até a data t. A relação de ordem parcial" definida no conjunto zt ∈ Zt; t = 0, 1, 2, · · · é tal que zt′ " zt sse t′ ≥ t e zt′ éuma possível continuação do histórico zt.

Suponha que exista um único bem de consumo não durável na economia. A cadaperíodo t, o indivíduo i ∈ I recebe uma dotação ei,t(zt) = εi(zt) > 0 do bem nãodurável, que depende apenas do choque na data t. Por hipótese, não há crescimentonessa economia:

∑i∈I εi(zt) = 1 para todo t e todo zt.

O processo estocástico de consumo é definido por ci ≡ ci,t(zt); t ≥ 0∧zt ∈ Zt.Assumimos que os indivíduos tenham função de utilidade esperada convencionalseparável no tempo, e que a utilidade continuada de consumir c na data t históricozt seja dada por

U(c)(zt) ≡∞∑

s=t

∑

zs∈Zs

βs−tu(cs(zs))π(zs|zt),

onde u : R+ → R é limitada superiormente, estritamente crescente, estritamentecôncava, C1 e tal que limx→0 u′(x) = +∞, e onde β ∈ (0, 1) é o fator de descontoinvariante no tempo.1

2.3 Equilíbrio de A-DNesta seção, definiremos o conceito de equilíbrio de Arrow-Debreu (A-D) para aeconomia de dotações descrita na seção 2.2. Estabeleceremos o resultado de que, emum equilíbrio de A-D, a quantidade consumida do bem não durável por um indivíduo

1A fim de permitir crescimento no consumo agregado, A-J assumem que indivíduos tenham umfator de desconto estocástico, ao invés de assumir que o fator de desconto seja constante e igual aβ. No apêndice, nós mostramos que a especificação de A-J com fator de desconto estocástico é, defato, equivalente a uma economia com fator de desconto constante, com crescimento na dotaçãoagregada.

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em determinado período depende apenas da renda agregada naquele período. Comonão há crescimento de dotações em nossa economia, isso significa que em equilíbrioo consumo dos agentes é constante no tempo. Pelos dois teoremas do bem estar,temos que uma alocação será eficiente sse for uma alocação obtida a partir de umequilíbrio competitivo de A-D.

Em uma economia de A-D, os agentes tomam todas as decisões na data zerosobre o que consumir em cada nó da história choques. Assume-se que na data zeroos agentes possam comprar ou vender promessas de pagamento de unidades do bemde consumo não durável na data t, contingente à realização da história zt, ao preçoQ0,t(zt|z0), para todo t e zt. Em outras palavras, assume-se que exista um mercadopara todo bem de consumo contingente.

Assume-se também que, a cada nó do histórico de choques, os agentes tenham aobrigação de cumprir as promessas feitas na data zero. Ou seja, se um agente escolhena data zero a alocação c∗i (zt)t≥0, zt(z0 , então, ao chegar na data τ , histórico zτ ,ele não pode se desviar da alocação c∗i (zt)t≥τ, zt(zτ .

Agora note que, como os termos de ci são enumeráveis, podemos construir umaseqüência (y1, y2, · · · ) formada pelos termos de ci. Assumiremos que essa seqüênciapertença ao espaço l∞ (lembrando que l∞ é o espaço de Banach das seqüências(y1, y2, · · · ) limitadas munido da norma ||y||∞ = supi |yi|). Analogamente, temos queos preços dessa economia, Q0,t(zt|z0), podem ser expressos em forma de seqüência,e assumiremos que os possíveis preços dessa economia pertençam ao espaço l1 (i.e.,ao espaço de todas as seqüências (yi) tais que

∑∞i=1 |yi| < ∞ munido da norma

||y||1 =∑∞

i=1 |yi|). Note que, como l1 pertence ao espaço dual de l∞, temos que, sobessas hipóteses, necessariamente o valor das dotações dos agentes é finito:2

∑

t≥0

∑

zt∈Zt

ei,t(zt)Q0,t(z

t|z0) < ∞.

Podemos, agora, introduzir o conceito formal de um equilíbrio de A-D para essaeconomia.

Definição 2.3.1 Um equilíbrio competitivo de A-D para essa economia consiste emquantidades ci ∈ l∞ e preços Q0,t(zt|z0) ∈ l1, tais que

i) dado Q0,t(zt|z0), para cada i, ci maximiza

U(ci)(z0), (2.1)

sujeito a∑

t≥0

∑

zt∈Zt

ci,t(zt)Q0,t(z

t|z0) ≤∑

t≥0

∑

zt∈Zt

ei,t(zt)Q0,t(z

t|z0) (2.2)

e2Mas vale lembrar que, embora l1 pertença ao espaço dual de l∞, existem funcionais lineares

limitados definidos em l∞ que não pertencem a l1. Portanto, na nossa demonstração do segundoteorema do bem estar, não garantimos que os preços associados a uma alocação eficiente de Paretopertençam a l1, e que, portanto, possam ser expressos em forma de seqüência.

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ii) (ci)i∈I é factível:∑

i

ci,t(zt) =

∑

i

ei,t(zt) ∀t, ∀zt

ci,t(zt) ≥ 0 ∀i,∀t, ∀zt

Abaixo definimos o conceito de eficiência de Pareto para essa economia, e emseguida enunciamos os teoremas do bem estar, que garantem que uma alocação éeficiente sse for a alocação obtida a partir de um equilíbrio competitivo de A-D.

Definição 2.3.2 Uma alocação (ci)i∈I é Pareto Eficiente se é factível e se nãoexiste nenhuma outra alocação factível (ci)i∈I tal que

U(ci)(z0) ≥ U(ci)(z0) ∀i ∈ I (2.3)U(ci)(z0) > U(ci)(z0) para algum i ∈ I (2.4)

Proposição 2.3.1 (1o teorema do bem estar) Seja (ci)i∈I uma alocação de equi-líbrio de A-D dessa economia. Então a alocação (ci)i∈I é eficiente de Pareto.

Prova: No apêndice.

Proposição 2.3.2 (2o teorema do bem estar) Seja (ci)i∈I uma alocação eficientede Pareto para essa economia. Então existem preços caracterizados por um funcionallinear limitado φ : l∞ → R tais que (ci)i∈I e φ constituem um equilíbrio de A-Dcom transferências wi = φ(c∗i − ei).


A proposição a seguir caracteriza as alocações de equilíbrio de A-D dessa econo-mia:

Proposição 2.3.3 Em um equilíbrio de A-D, o consumo de cada agente a cadaperíodo é função apenas da dotação agregada naquele período. Além disso, se nãohá crescimento na economia, o consumo é constante ao longo do tempo.


Ou seja, em um equilíbrio de A-D, os agentes conseguem se assegurar comple-tamente contra choques idiossincráticos de renda. Em particular, como em nossaeconomia a dotação agregada é constantes e igual a 1, temos que, em equilíbrio, oconsumo dos agentes também é constante no tempo.

Finalmente, apresentamos a caracterização da taxa de juros implícita dessa eco-nomia:

Proposição 2.3.4 A taxa de juros de equilíbrio associada a uma economia de A-Dsem crescimento é dada por

ρ =1

β− 1. (2.5)

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Veremos nas próximas seções que essa taxa de juros é maior ou igual do que aque vigoraria em um equilíbrio de K-L ou em um equilíbrio seqüencial de A-J, ondeos mercados são endogenamente incompletos.

2.4 Equilíbrio de ArrowNesta seção, definiremos brevemente o conceito de equilíbrio de Arrow para o am-biente físico descrito na seção 2.2 e falaremos da equivalência entre as alocaçõesde equilíbrio de Arrow e de Arrow-Debreu. Em um equilíbrio de Arrow os agentestomam decisões a cada período sobre o quanto consumir e o quanto comprar de ati-vos contingentes de um período. Mais precisamente, a cada período t, histórico zt,os agentes transacionam bens de consumo ci,t(zt) e uma estrutura completa ativoscontingentes de um período. Na data zero, cada agente i recebe uma dotação inicialde ativos ai,0, tal que a oferta agregada líquida de ativos nesse período inicial sejazero:

∑Ii=1 ai,0 = 0.

Seja ai,t(zt, z′) a quantidade de ativos contingentes à realização do estado z′

amanhã que o agente i compra na data t, histórico zt, e seja qt(zt, z′) o preço desseativo. Assume-se que, para todo t e todo zt, ai,t(zt, z′) ≥ Ai,t(zt, z′), onde

Ai,t(zt) ≡

∞∑

τ=t

∑

zτ(zt

∏

zt)zl)zτ

ql(zl)

ei,τ (zτ ). (2.6)

Ou seja, assume-se que a cada período t um agente não possa se endividar mais doque o valor presente de sua renda no período seguinte, Ai,t+1(zt+1). Tal restrição,é chamada de “restrição de crédito natural”, tendo em vista que ela requer que, acada período, o agente tenha condições de honrar suas dívidas. Restrições dessetipo são usadas para evitar jogos de Ponzi, no qual os agentes tomam uma dívidaarbitrariamente alta e fazem rolamento da dívida permanentemente através de novosempréstimos.

Pode-se mostrar que, se em algum nó da árvore de choques o limite de créditonatural é ativo, então, em todos os nós subseqüêntes, o agente deve consumir zerounidades do bem. Pela condição de Inada, isso implica que essa restrição nunca seráativa em equilíbrio.

Assume-se que, a cada nó do histórico de choques, os agentes sejam obrigados acumprir as promessas feitas na data anterior. Portanto, os agentes não têm a opçãode dar default nesta economia.

Abaixo definimos o conceito formal de um equilíbrio de Arrow para esta econo-mia, também denominado de equilíbrio seqüencial em virtude de os mercados seremreabertos a cada período.

Definição 2.4.1 Um equilíbrio de mercado seqüencial com limites de crédito natu-rais Ai,t(zt) são condições iniciais ai,0, quantidades ci, ai e preços de Arrow qtais que:

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i) dado q, para cada i, ci, ai maximiza

U(ci)(z0) (2.7)

sujeito a

ei,t(zt) + ai,t(z

t) =∑

z′∈Z

ai,t+1(zt, z′)qt(z

t, z′) + ci,t(zt), ∀t, ∀zt,

ai,t(zt, z′) ≥ Ai,t+1(z

t, z′) ∀t, ∀zt, ∀z′ ∈ Z

ii) há market clearing nos mercados de bens e de ativos:∑

i∈I

ci,t(zt) =

∑

i∈I


∑

i∈I

ai,t(zt) = 0 ∀t, ∀zt.

A proposição a seguir trata da equivalência entre as alocações de equilíbrio de A-D e de Arrow. A prova deste teorema pode ser encontrada em Ljungqvist e Sargent(2000).

Proposição 2.4.1 Seja ci ∈ l∞, Q0,t(zt|z0) ∈ l1 um equilíbrio de Arrow-Debreupara esta economia. Supondo que:

q0,t(zt, z′) =

Q0,t(zt, z′|z0)

Q0,t(zt|z0)∀t, ∀zt, ∀z′

ai,0(z0) = 0 ∀i

ai,t(zt) =

∞∑

τ=t

∑

zτ(zt

Q0,t(zτ |z0)

Q0,t(zt|z0)[ci,τ (z

τ )− ei,τ (zτ )] ∀i, ∀t, ∀zt,

Então a alocação (ci, ai)i∈I e preços de Arrow q constituem um equilíbrio seqüen-cial com restrições de crédito naturais dadas por 2.6.

Dada a equivalência das alocações e preços de equilíbrio de A-D e de Arrow,temos que a taxa de juros de um equilíbrio de Arrow sem crescimento também édada pela fórmula 2.5.

2.4.1 Equity Premium Puzzle e Risk Free Rate PuzzleUsando um argumento de cálculo variacional, pode-se mostrar facilmente que acondição de primeira ordem do problema 2.7 é dada por

qt(zt, z′) = β

u′(ci,t+1(zt, z′))

u′(ci,t(zt))π(z′|zt).

Pela condição de não arbitragem, temos que o preço do ativo livre de risco, qft (zt),

é dado pela soma dos preços dos ativos contingentes:

qft (zt) ≡

∑

z′∈Z

βu′(ci,t+1(zt, z′))

u′(ci,t(zt))π(zt+1|zt).

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Agora, definindo Rt(zt, z′) ≡ 1/qt(zt, z′) como o retorno de cada ativo contin-gente, e Rf

t (zt) ≡ 1/qft (zt) como o retorno do ativo livre de risco, na data t e histórico

zt, temos que

∑

z′∈Z

βπ(z′|zt)u′(ci,t+1(zt, z′))

u′(ci,t(zt))Rt(z

t, z′) =∑

z′∈Z

βπ(z′|zt)u′(ci,t+1(zt, z′))

u′(ci,t(zt))Rf

t (zt) = 1.

Portanto,

Et

[β

u′(ci,t+1(zt, z′))

u′(ci,t(zt))

(Rt(z

t, z′)−Rft (zt)

)]= 0, (2.8)

onde Et denota o operador esperança condicional ao conjunto de informações até adata t (i.e., condicional ao histórico de choques até a data t).

Mehra e Prescott (1985) assumem que a função utilidade u é do tipo CRRA, istoé, que

u(c) =c1−γ

1− γ.

Neste caso, a condição 2.8 fica

Et

[β

(ci,t+1(zt, z′)

ci,t(zt)

)−γ (Rt(z

t, z′)−Rft (zt)

)]= 0. (2.9)

Pela lei das expectativas iteradas, temos que a esperança não condicional daexpressão em 2.9 também é igual a zero:

E

[β

(ci,t+1(zt, z′)

ci,t(zt)

)−γ (Rt(z

t, z′)−Rft (zt)

)]= 0. (2.10)

Usando dados sobre consumo per capita e retorno de ativos, temos que, para que acondição 2.10 seja satisfeita, o coeficiente de aversão ao risco γ deve ser muito alto:superior a 10. Esse fato contradiz pesquisas empíricas que sugerem que o coeficientede aversão ao risco α deva ser pelo menos menor que 3 (KOCHERLAKOTA, 1996a).Esse resultado é o famoso equity premim puzzle. Isto é, sob hipóteses bastanteconvencionais sobre o mercado e preferências, temos que, para que a condição deprimeira ordem do problema dos consumidores seja satisfeita, os agentes devem terum nível de aversão ao risco excessivamente alto, que não condiz com a realidade.Intuitivamente, o equity premium puzzle nos diz que, para que o agente seja indi-ferente entre investir no mercado de ativos e comprar o ativo não contingente, eledeve ter um nível de aversão ao risco excessivamente alto.

Um problema associado ao equity premium puzzle é o chamado risk free ratepuzzle . Esse segundo fenômeno pode ser resumido assim: suponha que os agentessejam de fato extremamente avessos ao risco, i.e., que α seja muito grande; então, osagentes desejarão suavizar bastante o consumo, tanto entre os estados da naturezacomo entre períodos. Isso implica que os agentes desejarão ter consumo constanteao longo do tempo, e, portanto, tentarão suavizar todo o crescimento de renda,consumindo nas datas presentes. Logo, haverá despoupança nessa economia e, comoconseqüência, as taxas de juros de equilíbrio serão altas. Esse resultado também vai

14

de encontro com fatos empíricos, que apontam para um crescimento do consumo naeconomia, mesmo quando as taxas de juros praticadas no mercado são muito baixas.

Como veremos, modelos seqüenciais como os de Alvarez e Jermann (2000) eHuggett (1993) prevêem taxas de juros menores do que as que vigorariam em umequilíbrio de Arrow convencional com mercados completos, o que supostamente aju-daria a explicar o risk free rate puzzle. Todavia, para que esses modelos sejamefetivamente capazes de explicar o risk free rate puzzle, é necessário que as taxas dejuros encontradas sejam substancialmente menores do que as de um equilíbrio deArrow. Isso não acontece, por exemplo, em Huggett (1993).

2.5 Equilíbrio de K-L (1993)Nesta seção, definiremos o conceito de equilíbrio de Kehoe e Levine (K-L) para oambiente físico descrito na seção 2.2. Veremos que um equilíbrio de K-L é similara um equilíbrio de Arrow Debreu (A-D), onde todas as decisões são tomadas nadata t = 0, com a diferença de que K-L incluem restrições de participação queimpedem default. Por causa dessas restrições adicionais, geralmente não haveráperfeita suavização de consumo em uma economia de K-L e, conseqüentemente, asalocações de equilíbrio de K-L geralmente não serão eficientes de Pareto. Todavia,as alocações de equilíbrio de K-L serão eficientes restritas, i.e., eficientes dentroda classe de todas as alocações que satisfazem as restrições de participação e defactibilidade.

Em K-L, assim como em uma economia de A-D, os agentes tomam todas asdecisões na data zero sobre o que consumir em cada nó da história choques. Assume-se que na data zero os agentes possam comprar ou vender promessas de pagamentode unidades do bem de consumo não durável na data t, contingente à realização dahistória zt, ao preço Q0,t(zt|z0), para todo t e zt. Em outras palavras, assume-se queexista um mercado para todo bem de consumo contingente.

Assim com em A-D, podemos interpretar esse mercado como um mercado no qualos agentes compram, na data zero, contratos de recebimento de posições líquidas dobem de consumo, ci,t(zt) − ei,t(zt), para cada período t e história zt. Sendo queagora, diferentemente de A-D, K-L assumem que os agentes tenham a opção de, acada nó da história de choques, não cumprirem os contratos firmados na data zero edarem default. A punição por default, por sua vez, consiste, por hipótese, na perdade todos os contratos comprados na data zero, o que implica que o agente insolventeé forçado a viver em autarquia pelo resto da vida.3

Dado que essa economia possui mercado para cada promessa contingente, umindivíduo nunca irá querer comprar uma promessa de recebimento futuro, se elesabe a priori que essa promessa não será cumprida. Por isso, K-L supõem que osindivíduos só possam vender promessas de pagamento futuro, se tiverem incentivosem cumprir essas promessas a cada nó da história de choques. Sendo assim, K-Limpõem restrições de participação em cada nó da história de choques que impedemque os indivíduos escolham dar default naquele nó.

3Quando existe mais de um bem contingente na economia, K-L assume que o agente insolventeainda possa transacionar nos mercados spot e que não precise, pois, viver em autarquia.

15

Assim com na seção 2.3, K-L assumem que ci pertence a l∞ para todo i. Em-bora K-L assumam que os preços pertençam ao espaço dual de l∞, l∞∗, assumiremos,para efeito de simplificação, que os preços pertencem a l1 ⊂ l∞∗ e que, portanto,possam ser expressos em forma seqüencial Q0,t(zt|z0). Note-se, todavia, que assimcomo em A-D, o segundo teorema do bem estar não irá nos garantir que os preçosassociados a uma alocação eficiente de pareto pertençam a l1.

Dito isso, podemos introduzir a definição formal de um equilíbrio de K-L paraessa economia.

Definição 2.5.1 Um equilíbrio de K-L consiste em quantidades ci ∈ l∞ e preçosQ0,t(zt|z0) ∈ l1, tais que

i) dado Q0,t(zt|z0), para cada i, ci maximiza

U(ci)(z0), (2.11)

sujeito a∑

t≥0

∑

zt∈Zt

ci,t(zt)Q0,t(z

t|z0) ≤∑

t≥0

∑

zt∈Zt

ei,t(zt)Q0,t(z

t|z0) (2.12)

U(ci)(zt) ≥ U(ei)(z

t) ∀t, ∀zt. (2.13)

e

ii) (ci)i∈I é factível em recursos:∑

i

ci,t(zt) =

∑

i

ei,t(zt) ∀t, ∀zt (2.14)

ci,t(zt) ≥ 0 ∀i,∀t, ∀zt

Em outras palavras, um equilíbrio de K-L são preços de A-D e uma alocaçãofactível em recursos tais que, dados os preços de A-D, a alocação de equilíbriomaximiza a função de utilidade continuada de cada indivíduo começando do período0, sujeito a sua restrição orçamentária (eq. 2.12) e sujeito a suas restrições departicipação (eq. 2.13).

Como um equilíbrio de K-L é simplesmente um equilíbrio de A-D acrescido derestrições no conjunto de possibilidades de consumo, temos que o primeiro e segundoteoremas do bem estar para uma economia de A-D também se aplicam ao equilíbriode K-L. Mais especificamente, temos que:4

Definição 2.5.2 Uma alocação (ci)i∈I é eficiente restrita no modelo de K-L, se éfactível, i.e., se satisfaz a condição de factibilidade de recursos 2.14 e as condições

4Kehoe e Levine (1993) mostram que, quando existe mais de um bem de consumo não durávelna economia e quando as preferências não são homotéticas, o primeiro e segundo teoremas do bemestar podem não ser satisfeitos. Já na economia estudada aqui, onde as pessoas transacionamapenas um bem não durável, não existem mercados spot e, conseqüentemente, os teoremas do bemestar são satisfeitos.

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de participação 2.13, e se não existe nenhuma outra alocação factível (ci)i∈I talque

U(ci)(z0) ≥ U(ci)(z0) ∀i ∈ I (2.15)U(ci)(z0) > U(ci)(z0) para algum i ∈ I (2.16)

Proposição 2.5.1 (1o teorema do bem estar) Seja (ci)i∈I uma alocação de equi-líbrio de K-L dessa economia. Então a alocação (ci)i∈I é eficiente restrita.

Prova: Similar à demonstração do teorema 2.3.1.

Proposição 2.5.2 (2o teorema do bem estar) Seja (ci)i∈I uma alocação eficienterestrita para essa economia. Então existem preços caracterizados por um funcionallinear limitado φ : l∞ → R tais que (ci)i∈I e φ constituem um equilíbrio de K-Lcom transferências wi = φ(c∗i − ei).

Prova: Similar à demonstração do teorema 2.3.2.

Os preços de Arrow correspondentes ao equilíbrio de K-L são definidos por

q0,t(zt, z′) =

Q0(zt, z′|z0)

Q0,t(zt|z0).

Pode-se provar que esses preços são determinados pela valoração marginal dos agen-tes cuja restrição de participação não é ativa. Formalmente, temos que vale a se-guinte proposição:

Proposição 2.5.3 (Alvarez e Jermann (2000), página 784) Sejam ci, i =1, · · · , I, e Q0,t as alocações e preços de um equilíbrio de K-L. Seja q0 os preçosde Arrow correspondentes a esse equilíbrio. Então,

q0,t(zt, z′) = max

i∈I

β

u′(ci,t+1(zt, z′))

u′(ci,t(zt))π(z′|zt)

, (2.17)

e seU(ci)(z

t, z′) > U(ei)(zt, z′),

entãoq0,t(z

t, z′) = βu′(ci,t+1(zt, z′))



A taxa de juros do ativo livre risco dessa economia é dada por

r =1∑

z′∈Z q0,t(zt, z′)− 1. (2.18)

Como não há crescimento nessa economia, temos que a taxa de juros que vigorariaem uma economia de A-D, ρ, é dada pela fórmula 2.5. Além disso, temos que

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ter q0,t(zt, z′) ≥ βπ(z′|zt), pois, caso contrário, a concavidade de u implicaria queci,t+1(zt, z′) > ci,t(zt) para todo i, o que, por sua vez, implicaria que

∑i ci,t+1(zt, z′) >∑

i ci,t(zt), sse∑

i ei,t+1(zt, z′) = 1 >∑

i ei,t(zt) = 1, uma contradição. Portanto,

r =1∑

q0,t(zt, z′)− 1 ≤ 1

β− 1 = ρ,

ou seja, a taxa de juros dessa economia é menor ou igual que a taxa de juros quevigoraria em uma economia de A-D.

2.6 Equilíbrio de A-J (2000)Nesta seção, definiremos o conceito de equilíbrio de Alvarez e Jermann (A-J) para oambiente físico descrito na seção 2.2. Veremos que um equilíbrio de A-J é similar aum equilíbrio de Arrow, onde a cada período os agentes escolhem o quanto consumire o quanto comprar de ativos contingentes, com a diferença de que A-J impõemlimites de crédito que são restritivos apenas o suficiente para impedir default a cadanó da história de choques (são as chamadas not too tight solvency constraints).Um equilíbrio de A-J poderá não ser eficiente restrito, como é o caso da alocaçãoautárquica, que é sempre um equilíbrio, mas geralmente é ineficiente restrito. Porisso, A-J impõem restrições adicionais sobre os preços e alocações de equilíbrio, afim de poderem provar versões dos teoremas do bem estar para o seu modelo.

Em A-J, assume-se que, a cada período t, histórico zt, os agentes transacionambens de consumo ci,t(zt) e ativos contingentes para cada período. Na data zero, cadaagente i recebe uma dotação inicial de ativos ai,0, tal que a oferta agregada líquidade ativos nesse período inicial seja zero:

∑Ii=1 ai,0 = 0.

O preço do bem de consumo é normalizado para 1, enquanto que o preço, nadata t e história zt, do ativo que promete pagamento de uma unidade do bem deconsumo em t + 1, contingente a zt+1 = z′, é dado por qt(zt, z′).

Diferentemente de uma economia de Arrow convencional, A-J assumem que, acada nó do histórico de choques os agentes tenham a opção de não cumprirem aspromessas feitas na data anterior e darem default. A punição por default, por suavez, consiste, por hipótese, na exclusão permanente do agente do mercado de ativoscontingentes, sendo permitida apenas transações nos mercados spot5. Mas comoexiste apenas um bem nessa economia, a punição por default equivale a obrigar oagente a viver em autarquia pelo resto da vida.

Para cada data t e história (zt, z′), −Bi,t+1(zt, z′) é definido endogenamente comoa quantidade máxima do ativo que paga uma unidade do bem de consumo emt + 1 quando zt+1 = z′, que o indivíduo i pode vender na data t, sem que eletenha incentivos em dar default na data seguinte, quando zt+1 = z′. Formalmente,seja Ji,t(a, zt) a utilidade futura descontada do agente i de adotar a política ótimaquando ele se encontra no estado (a, zt), então −Bi,t+1(zt+1) é definido como o nívelde endividamento tal que Ji,t+1(Bi,t+1(zt+1), zt+1) = U(ei)(zt+1). Note que, como

5Esse tipo de punição por default é chamada na literatura de exclusão bilateral do mercado deativos, pois ela proíbe o agente tanto de comprar quanto vender ativos a partir da data em que eledá default.

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Ji,t(a, zt) é crescente em a, para níveis de endividamento superiores a −Bi,t+1(zt+1)o agente terá incentivos em dar defalt no período seguinte.

Dado que essa economia possui um ativo contingente para cada período, umindivíduo nunca irá querer comprar um ativo contingente, se ele sabe a priori quea promessa vinculada ao ativo não será cumprida. Por isso, A-L supõem que cadaindivíduo i não possa vender mais do que −Bi,t+1(zt, z′) unidades do ativo quepromete pagamento em t+1 quando zt+1 = z′, a fim de que ele não tenha incentivosem dar default na data seguinte.

Dito isso, podemos introduzir a definição formal de um equilíbrio de A-J paraessa economia.

Definição 2.6.1 (Alvarez e Jermann (2000), página 780) Um equilíbrio de A-J sãocondições iniciais ai,0, quantidades ci, ai, preços de Arrow q e restrições desolvência Bi tais que:

i) dado q, para cada i, ci, ai resolve6

Ji,t(a, zt) = maxc,az′z′∈Z

u(c) + β

∑

z′∈Z

Ji,t+1(az′ , (zt, z′))π(z′|zt)

, (2.19)

sujeito a

ei,t(zt) + a =

∑

z′∈Z

az′qt(zt, z′) + c, (2.20)

az′ ≥ Bi,t+1(zt, z′) ∀z′ ∈ Z (2.21)


i

ci,t(zt) =

∑

i


∑

i∈I

ai,t(zt) = 0 ∀t, ∀zt.

iii) As restrições de solvência Bi são not too tight:

Ji,t+1(Bi,t+1(zt+1), zt+1) = U(ei)(z

t+1), ∀t ≥ 0, zt+1 ∈ Zt+1. (2.22)

A proposição a seguir apresenta as condições suficientes para ci, ai ser a alo-cação ótima que resolve o problema 2.19 do consumidor i.

6Note que a função J está indexada por t pois a dimensionalidade da variável de estado zt

aumenta com t. Note também que Ji,t(·, ·) necessariamente é uma função diferente de Ji,t+1(·, ·),tendo em vista que o domínio dessas funções não é o mesmo. Logo, este não é um problema deponto fixo, o que implica não podemos usar o teorema da contração para garantir a existência deJi,t(·, ·) para todo t.

19

Proposição 2.6.1 (Alvarez e Jermann (2000), página 780) As condições de Euler ede transversalidade abaixo são suficientes para que ci, ai seja solução do problema2.19:

− u′(ci,t(zt))qt(z

t, z′) + βπ(z′, z)u′(ci,t+1(zt, z′)) ≤ 0 (2.23)

com igualdade se ai,t+1(zt, z′) > Bi,t+1(zt, z′) e

limt→∞

∑

zt∈Zt

βtu′(ci,t(zt))[ai,t(z

t)−Bi,t(zt)]π(zt|z0) = 0. (2.24)


Pode-se mostrar que as restrições de solvência dessa economia são apertadas ape-nas o suficiente para impedirem default, mas permitem o máximo de diversificaçãode risco posível (daí o nome not too tight solvency constraints). Isso é estabelecidoformalmente na proposição a seguir, que afirma que as restrições de crédito dessaeconomia serão ativas sse as correspondentes restrições de participação de K-L foremativas:

Proposição 2.6.2 Se ci, ai é uma alocação de equilíbrio de A-J com restriçõesde solvência Bi (not too tight), então, para todo t e todo zt ∈ Zt,


t) eU(ci)(z

t) = U(ei)(zt) ⇐⇒ ai,t(z

t) = Bi,t(zt).


Para provar versões dos teoremas do bem estar em seu modelo, A-J exigemque os preços de equilíbrio satisfaçam a condição de high implied interest rates.Essa condição, por sua vez, requer que o valor presente da renda agregada sejafinito, o que é satisfeito se os preços de equilíbrio forem suficientemente baixos (ou,equivalentemente, se a taxa de juros de equilíbrio for suficientemente alta).

A fim de estabelecermos a definição formal de high implied interest rates, defi-namos, para cada alocação (c∗i )i∈I tal que c∗i,t(z

t) > 0 para todo i e todo zt, ospreços implícitos dessa alocação por

q∗t (zt, z′) ≡ max

i∈I

β

u′(c∗i,t+1(zt, z′))

u′(c∗i,t(zt))

π(z′|zt)

(2.25)

eQ∗

t (zt|z0) = q∗0(z0, z1)q

∗1(z0, z1, z2) · · · q∗t−1(z

t−1, zt). (2.26)

Note que q∗ não necessariamente é um preço de equilíbrio, uma vez que(c∗i )i∈I é uma alocação qualquer, não sendo necessariamente uma alocação deequilíbrio.

20

Definição 2.6.2 (Alvarez e Jermann (2000), página 781) A alocação (c∗i )i∈I temhigh implied interest rates se

∑

t≥0

∑

zt∈Zt

Q∗t (z

t|z0)

(∑

i∈I

c∗i,t(zt)

)

︸︷︷︸Pi∈I εi(zt)

< +∞. (2.27)

Alvarez and Jerman (2000) provam uma versão do segundo teorema do bem estarpara essa economia, a qual enunciamos (sem provar) na seguinte proposição:

Proposição 2.6.3 (Alvarez e Jermann (2000), página 781) Qualquer alocação efi-ciente restrita que tenha high implied interest rates pode ser descentralizada7 comoum equilíbrio competitivo de A-J.

De acordo com a próxima proposição, sempre existem preços para os quais au-tarquia é um equilíbrio de A-J.

Proposição 2.6.4 (Alvarez e Jermann (2000), página 782) As quantidades e preços

ca,i,t(zt) = ei,t(z

t), aa,i,t+1(zt, z′) ≡ Ba,i,t(z

t) = 0,

qa,t(zt, z′) ≥ max

i∈I

β

u′(ei,t+1(zt, z′))

u′(ei,t(zt))π(z′|zt)

,

para todo t ≥ 0, zt ∈ Zt, z′ ∈ Z e as condições iniciais ai,0 = 0, para i ∈ I,constituem um equilíbrio de A-J.


Todavia, o equilíbrio autárquico geralmente não é eficiente (restrito), pois ospreços implícitos da alocação autárquica geralmente não satisfazem 2.27. Isso nãoé um fato surpreendente, tendo em vista que, sempre que alguma diversificação derisco é possível, todos os indivíduos podem melhorar de situação transacionando nomercado de ativos, ao invés de consumirem a alocação autárquica.

O exemplo do equilíbrio autárquico serve para ilustrar que nem todo equilíbriode A-J é eficiente restrito. Por isso, A-J fazem algumas hipóteses sobre preços ealocações de equilíbrio que, se satisfeitas, garantem a equivalência dos equilíbriosde A-J com um equilíbrio de K-L, o que implica que os equilíbrios de A-J que sa-tisfizerem essas hipótese serão eficientes restritos. Dado que as hipóteses são feitassobre variáveis endógenas do modelo (preços e alocações de consumo), a razoabili-dade dessas hipóteses é questionável. Essas hipóteses estão enunciadas na seguinteproposição:

7Ou seja, se (ci)i∈I é uma alocação eficiente restrita, então existe uma distribuição inicial deativos (a∗i,0(z0))i∈I com demanda líquida igual a zero (i.e.,

∑i a∗i,0(z0) = 0), uma alocação de ativos

(ai)i∈I com ai,0(z0) = a∗i,0(z0) para todo i, e preços de Arrow q tais que as condições iniciaisai,0, as quantidades ci, ai e preços q constituem um equilíbrio de A-J.

21

Proposição 2.6.5 (Alvarez e Jermann (2000), página 784) Seja q, ci, ai um equi-líbrio de A-J com restrições de solvência Bi e distribuição inicial de riquezaai,0 = 0. Suponha que: (a) a alocação (ci)i∈I tem high implied interest rates,i.e., a condição 2.27 é satisfeita, (b) para cada i ∈ I existe uma constante ξi tal quepara todo t, zt,

|u(ci,t(zt))| ≤ ξi · u′(ci,t(z

t)) · ci,t(zt), (2.28)

e (c) limT→∞Qt(zT |z0)ai,T (zT ) = 08. Então, as alocações de consumo ci e ospreços de A-D Qt obtidos a partir de qt constituem um equilíbrio de K-L.


Observação 2.6.1 (Alvarez e Jermann (2000), página 784) A-J citam uma sériede situações em que a condição técnica 2.28 é satisfeita, como quando u(·) temaversão ao risco relativa diferente de 1 em c = 0, quando u′(0) < +∞, ou quando oconsumo de equilíbrio tem cota inferior maior que zero.

Como todo equilíbrio de K-L é eficiente restrito, obtemos, como corolário da pro-posição 2.6.5, a seguinte versão do primeiro teorema do bem estar para um equilíbriode A-J:

Corolário 2.6.1 (Alvarez e Jermann (2000), página 784) (1o Teorema do bemestar) Uma alocação de equilíbrio de A-J que satisfaz a condição de high impliedinterest rates (i.e., a condição 2.27) e a condição técnica 2.28, é eficiente restrita.

2.6.1 Resultados adicionais de A-JPodemos achar uma classe de parâmetros para os quais a alocação de equilíbrio firstbest (i.e., a alocação de equilíbrio de A-D) é implementável por um equilíbrio de A-J.Indo na direção oposta, também podemos achar uma classe de parâmetros para osquais autarquia é a única alocação implementável por um equilíbrio de A-J (o queocorre sse o consumo autárquico é a única alocação factível nessa economia). Ambosos casos não são muito interessantes do ponto de vista empírico, pois, por um lado,esperaríamos que a existência de um mercado de ativos permitisse algum nível desuavização de consumo para todos os agentes, mas, por outro lado, a existência derestrições de solvência impostas nessa economia deveriam impedir que os agentessuavizassem consumo perfeitamente.

De acordo com a proposição a seguir, autarquia é a única alocação de equilíbrio(e, portanto, a única alocação factível) da economia, se ela tem high implied interestrates. Esta proposição é uma conseqüência direta da proposição 2.6.4 e do primeiroteorema do bem estar (corolário 2.6.1).

Proposição 2.6.6 (Alvarez e Jermann (2000), página 785) Se a alocação autár-quica ci = ei tem high implied interest rates, i.e., se satisfaz 2.27, então autarquiaé uma alocação eficiente restrita e, portanto, é a única alocação factível da economia.

8Embora esta última hipótese não esteja explicitada no trabalho original de A-J, sua ausênciaimpede a prova do teorema.

22


A próxima proposição apresenta algumas condições que garantem que autar-quia tenha high implied interest rates e, portanto, seja a única alocação factível daeconomia (ou, equivalentemente a única alocação de equilíbrio):

Proposição 2.6.7 (Alvarez e Jermann (2000), página 785) Autarquia é a únicaalocação factível dessa economia se uma das seguintes condições é satisfeita: (i) ofator de desconto β é suficientemente pequeno, (ii) o coeficiente de aversão ao risco ésuficientemente pequeno uniformemente, (iii) a variância do choque idiossincrático ésuficientemente próxima de zero, e (iv) a matriz de transição do processo estocásticozt é suficientemente próxima da matriz identidade.


Esse resultado é intuitivo, pois:

(i) Se o fator de desconto é muito pequeno, então a utilidade de dar default seráalta, uma vez que a perda futura de transacionar no mercado de ativos terápouco impacto na utilidade descontada dos agentes. Por isso, os limites decrédito devem ser muito restritivos para impedir default. No limite (β ↓ 0),o limite de crédito para impedir default deve ser zero, e autarquia é a únicaalocação factível.

(ii) Se o coeficiente de aversão ao risco é suficientemente baixo, os agentes têmpouco desejo de suavizar consumo, o que faz com que a alocação autárquicaseja uma opção mais atrativa.

(iii) Se a variância das dotações de cada agente é suficientemente baixa, a alocaçãoautárquica proporcionará uma boa suavização de consumo para os agentes.

(iv) Se os choques são muito persistentes, as dotações dos agentes não irão variarmuito com o tempo, de tal forma que a alocação autárquica proporcionaráuma boa suavização de consumo para os agentes.

A-J também tentam mostrar que, se existe uma alocação eficiente restrita di-ferente da alocação autárquica (i.e., que permita algum nível de suavização deconsumo), então essa alocação necessariamente tem high implied interest rates e,portanto, pelo segundo teorema do bem estar 2.6.3, pode ser implementada por umequilíbrio de A-J. Todavia, Bloise e Reichlin (2011) mostram que esse resultado,embora válido para alocações eficientes restritas estacionárias, pode não ser válidopara o caso mais geral proposto por A-J. Em particular, Bloise e Reichlin (2011)mostram um exemplo de uma alocação não estacionária que é eficiente restrita, masque não tem high implied interest rates.

A proposição, tal como aparece em A-J, é dada por:

Proposição 2.6.8 (Alvarez e Jermann (2000), página 786) Seja ci uma alocaçãoeficiente restrita. Assuma que algum nível de diversificação de risco é possível, i.e.,

23

que para cada agente i existe um zt tal que

π(zt|z0)[U(ci)(zt)− U(ei)(z

t)] > 0. (2.29)

Então ci tem high implied interest rates (i.e., a condição 2.27 vale).

Ou seja, essa proposição nos diz que uma condição necessária para uma alocaçãode equilíbrio ser eficiente restrita é que ela tenha high implied interest rates. Todavia,essa proposição é invalidada pelo contra-exemplo de Bloise e Reichlin (2011).

2.6.2 Taxa de juros do ativo livre de riscoEm uma economia de Arrow convencional, podemos precificar ativos complexosque prometem pagamento em diferentes períodos e estados da natureza, a partir dospreços dos ativos contingentes de um período e da condição de não arbitragem. Umaindagação que pode ser feita é se na economia de A-J podemos fazer o mesmo. Ostrabalhos da literatura têm sugerido que sim, como os de A-J (2000) e Kocherlakota(2008). Mas por trás dessa resposta, assume-se implicitamente que o limite decrédito é determinado pelas posições líquidas dos ativos dos agentes para cada estadoda natureza, e que um agente nunca poderá assumir uma posição líquida de ativospara um estado onde ele tenha incentivos em dar default naquele estado.

Esta hipótese não parece razoável se considerarmos o seguinte exemplo. Imagineque um agente venda um ativo contingente à realização do estado ruim e outro ativonão contingente, numa mesma data. Então, esperamos que o comprador do ativocontingente nunca aceite fazer o empréstimo se ele sabe a priori que o vendedordo ativo não tem condições de pagar suas dívidas amanhã no estado ruim. Já ocomprador do ativo não contingente pode ter incentivos em fazer o empréstimo,mesmo sabendo a priori que o agente dará default no estado ruim; de fato, emborao comprador desse ativo não contingente tenha prejuízos quando da realização doestado ruim, ele pode ter ganhos nos demais estados que superem essa perda espe-rada (GEANAKOPLOS, 2003). Portanto, o limite de crédito imposto por esses doiscompradores deve ser diferente.

Uma forma de contornar esse problema seria assumir que cada agentes pudessemonitorar a posição líquida de ativos dos demais agentes, e assumir que os empres-tadores exijam que, em nenhum estado da natureza, essa posição líquida seja tal queos tomadores de empréstimos tenham incentivos em dar default. Todavia, com essedesenho de mecanismo, os limites de crédito deixam de atender o critério de que osemprestadores terão incentivos em nunca emprestar mais do que aquele limite. Emoutras palavras, os limites de crédito se tornam demasiadamente arbitrários.

Todavia, o trabalho de A-J desconsidera essa discussão um tanto filosófica e pre-cifica o ativo livre de risco dessa economia usando os preços dos ativos contingentese a condição de não arbitragem de maneira usual. Assim, A-J precifica o ativo livrede risco na data t, qt, como a soma dos preços dos ativos contingentes de 1 períododessa data. A taxa de juros do ativo livre de risco terá, pois, fórmula análoga àequação 2.18.

Usando a mesma demonstração feita na seção 2.3, temos que a taxa de juros doativo livre de risco obtida a partir de um equilíbrio de A-J é menor ou igual à taxa de

24

juros de uma economia convencional de Arrow. A intuição para esse resultado vemdo fato de que, em uma equilíbrio de A-J, os agentes que têm restrição de créditoativa tomam menos empréstimos do que gostariam, comparado com uma economiaconvencional de Arrow, onde essas restrições não se fazem presentes. Para convenceros compradores de um ativo, cuja restrição de crédito é inativa, a reduzirem o volumede empréstimos, a taxa de juros de equilíbrio deve cair.

2.6.3 Resultados computacionais de A-J (2001)Geralmente é computacionalmente difícil achar preços e alocações de equilíbrio si-multaneamente. Todavia, como neste modelo existe uma equivalência parcial entrealocações eficientes restritas e alocações de equilíbrio (lembrando que, se as condi-ções 2.27 e 2.28 não forem satisfeitas, não podemos garantir que um equilíbrio deA-J seja eficiente restrito), podemos resolver o problema de um planejador central(problema centralizado) para achar a alocação eficiente, e depois usar a condiçãode primeira ordem do problema descentralizado para achar o preço dos ativos deequilíbrio.

Nos gráficos abaixo replicamos as alocações de equilíbrio estacionário do primeiroexemplo de A-J (2001), com dois consumidores e dois estados da natureza. Utiliza-mos o método bissection para achar as alocações ótimas do problema do planejador.

Note que, em conformidade com a proposição 2.6.7, para baixos coeficientes deaversão ao risco, autarquia é o (único) equilíbrio eficiente restrito da economia. Indona direção oposta, quando o coeficiente de aversão ao risco é suficientemente alto, oequilíbrio first best com perfeita suavização de consumo é implementável. A intuiçãopara esse resultado vem do fato de que, ao se aumentar o coeficiente de aversão aorisco, aumenta-se a punição por default, o que por sua vez gera um aumento noslimites de crédito, permitindo maior suavização de consumo.

25

1 2 3 4 5 6 70.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

Risk aversion (!)

Co

nsu

mp

tio

n

c

2(z

2)

c2(z

1)

Figura 2.1: Alocações ótimas de consumo.

1 2 3 4 5 6 7!0.25

!0.2

!0.15

!0.1

!0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Risk aversion (!)

Contingent A

ssets

a

2(z

2)

a2(z

1)

Figura 2.2: Quantidade de ativos comprada em equilíbrio.

26

Apêndice A

A.1 Crescimento agregado em A-JSuponha que as dotações et(·) sigam o processo

et+1(zt, zt+1) = et(z

t)λ(zt+1)

e0(z0) = 1

e que a dotação de cada agente i, ei,t(·), seja dada por

ei,t(zt) = et(z

t) · εi(zt)

Suponha que a função utilidade seja dada por

u(c) =c1−γ

1− γ.

Defina

ci,t(zt) ≡ ci,t(zt)

et(zt)π(z′|z) ≡ π(z′|z)λ(z′)1−γ

∑′z π(z′|z)λ(z′)1−γ

β(z) ≡ β∑

z′

π(z′|z)λ(z′)1−γ.

Então, a utilidade de consumir ci quando a dotação agregada é constante eigual a 1 e o fator de desconto é igual a β(·) é dada por

U(c)(z0) =∑

t=0

∑

zt∈Zt

∏

zt∈(zt)

ˆβ(zt)t

ci,t(zt)1−γπ(zt|zt−1)

=∑

t=0

∑

zt∈Zt

βt

∏

zt∈(zt)

∑

zt

π(zt|zt−1)λ(zt)1−γ

ci,t(zt)1−γ

e(z0)∏

zt∈(zt) λ(zt)1−γ

∏zt∈(zt) π(zt|zt−1)

∏zt∈(zt) λ(zt)1−γ

∏zt∈(zt)

∑zt

π(zt|zt−1)λ(zt)1−γ

=∑

t=0

∑

zt∈Zt

βtci,t(zt)1−γ ∏

zt∈(zt)

π(zt|zt−1)

=∑

t=0

∑

zt∈Zt

βtci,t(zt)1−γπ(zt|z0) ≡ U(c)(z0),

que é a utilidade de consumir ci, quando o fator de desconto é β, o crescimentoagregado é λ(·) e as probabilidades de transição são π. Além disso, pode-se mostrar

27

facilmente que as restrições de factibilidade em recursos e de participação são satis-feitas para uma alocação cii∈I em uma economia com dotação agregada constantee igual a 1, fator de desconto β(·) e probabilidades π se somente se elas são satis-feitas para a alocação correspondente cii∈I, com crescimento agregado λ(·), fatorde desconto constante β e probabilidades π.

A.2 DemonstraçõesProva da proposição 2.3.1: Suponha por contradição que (ci)i∈I seja a alocaçãode um equilíbrio competitivo de A-D, mas não seja eficiente de Pareto. Então, existeuma alocação factível (ci)i∈I tal que

U(ci)(z0) ≥ U(ci)(z0) ∀i ∈ I

U(ci)(z0) > U(cj)(z0) para algum j ∈ I.

Logo, se Q0,t(zt|z0) é o preço de A-D associado à alocação de equilíbrio ci, temosque:

1) ∑

t≥0

∑

zt∈Zt

cj,t(zt)Q0,t(z

t|z0) >∑

t≥0

∑

zt∈Zt

cj,t(zt)Q0,t(z

t|z0),

De fato, suponha por contradição que∑

t≥0

∑

zt∈Zt

cj,t(zt)Q0,t(z

t|z0) ≤∑

t≥0

∑

zt∈Zt

cj,t(zt)Q0,t(z

t|z0).

Então cj não é um ótimo para o problema do consumidor j, dados os preçosQ0,t(zt|z0), uma contradição com (ci)i∈I, e Q0,t(zt|z0) serem um equilíbrio deA-D.

2) ∑

t≥0

∑

zt∈Zt

ci,t(zt)Q0,t(z

t|z0) ≥∑

t≥0

∑

zt∈Zt

ci,t(zt)Q0,t(z

t|z0), ∀i ∈ I.

De fato, suponha por contradição que∑

t≥0

∑

zt∈Zt

ck,t(zt)Q0,t(z

t|z0) <∑

t≥0

∑

zt∈Zt

ck,t(zt)Q0,t(z

t|z0), para algum k ∈ I.

Então existe δk > 0 tal que ck ≡ ck + δk · ι ainda satisfaz a restrição orçamentáriado agente k. Como U(·)(z0) é estritamente crescente, isso implica que

U(ck)(z0) > U(ck)(z0) ≥ U(ck)(z0),

e ck satisfaz a restrição orçamentária do agente k, o que implica que ck nãoé um ótimo para o problema do consumidor k, dados os preços Q0,t(zt|z0), umacontradição com (ci)i∈I, e Q0,t(zt|z0) serem um equilíbrio de A-D.

28

Portanto, por 1 e 2, temos que∑

t≥0

∑

zt∈Zt

∑

i∈I

ci,t(zt)Q0,t(z

t|z0) >∑

t≥0

∑

zt∈Zt

∑

i∈I

ci,t(zt)Q0,t(z

t|z0)

∑

t≥0

∑

zt∈Zt

∑

i∈I

ci,t(zt)Q0,t(z

t|z0) >∑

t≥0

∑

zt∈Zt

∑

i∈I

ei,t(zt)Q0,t(z

t|z0)

⇐⇒∑

i∈I

ci,t(zt) >

∑

i∈I

ei,t(zt) para algum t, zt,

uma contradição com (ci)i∈I ser factível. !

Prova da proposição 2.3.2:Seja c∗i ∈ l∞+ uma alocação ótima de Pareto com cota inferior maior que zero.

Então U(c∗i )(z0) > −∞ ∀i ∈ I. Além disso, como como u é limitado superiormente,U(ci)(z0) < +∞ ∀ci ∈ l∞+ .

Pela concavidade de u(·) e convexidade do conjunto l∞+ , temos que os conjuntos

Ai ≡ ci ∈ l∞+ ; U(ci)(z0) ≥ U(c∗i )(z0)Ai ≡ ci ∈ l∞+ ; U(ci)(z0) > U(c∗i )(z0)

são convexos.Definindo

A =I∑

i=1

Ai = c1 + c2 + · · · + cI ; ci ∈ A ∀i ∈ I,

temos que A é um conjunto convexo (pois é a soma de convexos). Além disso,usando o fato de u(·) ser contínuo e U(·)(z0) estar definido em l∞, pode-se provarque U(·)(z0) é uma função contínua.1 Isso, por sua vez, implica que c∗ ≡

∑Ii=1 c∗i

não pertence ao interior de A, A. Como A é diferente de vazio (pois u é estritamentecrescente), temos, pelo teorema do hiperplano suporte que existe um funcional linear

1De fato, seja B ≡ ci ∈ l∞+ ; ||ci−c∗i ||∞ < M, onde M > 0. Então, ∀ci ∈ B, |cit| ≤ supt |ci,t| <M +supt |c∗i,t| ∀t. Como u é uma função contínua e ci,t; ci ∈ B é um conjunto compacto, temosque u é uniformemente contínua em ci,t; ci ∈ B. Logo, dado ε > 0, ∃δ > 0 tal que ∀ci ∈ l∞+ talque |ci,t − c∗i,t| < minM, δ ∀t, então |u(ci,t) − u(c∗i,t)| < ε(1 − β) ∀t. Usando a desigualdadetriangular, temos que ∀ci ∈ l∞+ tal que supt |cit| < minM, δ,

T∑

t=1

|βtπ(zt|z0)u(cit(zt))− u(c∗it(zt))| ≤

T∑

t=1

βtπ(zt|z0)|u(cit(zt))− u(c∗it(zt))| < ε(1− βn).

Tomando o limite em T , temos que

∞∑

t=1

|βtπ(zt|z0)u(cit(zt))− u(c∗it(zt))| ≤ ε,

para todo ci tal que supt |cit| < minM, δ.

29

φ : l∞ → R não nulo e positivo em relação ao cone l∞+ (a positividade de φ segue dofato de u ser estritamente crescente) e limitado tal que

φ(c) ≥ φ(c∗) ∀c ∈ A.

Como c ∈ A é da forma c1 + c2 + · · · + cI onde ci ∈ Ai para todo i, e como φ éum funcional linear, temos que

I∑

i=1

φ(ci) ≥I∑

i=1

φ(c∗i ) ∀c = c1 + · · · cI ∈ A.

Tomando i′ ∈ I arbitrário e fazendo ci = c∗i ∀i 0= i′, temos que

φ(ci′) ≥ φ(c∗i′) ∀ci′ ∈ Ai′ .

Portanto, por contrapositiva,

U(ci)(z0) < U(c∗i )(z0) ∀c∗i tal que φ(ci) < φ(c∗i ). (A.1)

Agora note-se que necessariamente φ(c∗i ) > 0 para todo i. De fato, suponha porcontradição que φ(c∗j) = 0 para algum j ∈ I. Então, como φ é um operador linear,temos que, para todo α > 1,

φ(αc∗j) = αφ(c∗j) = 0,

o que implica que

φ(αc∗j +∑

i*=j

c∗i ) = φ(I∑

i=1

c∗i ).

Além disso, como u é estritamente crescente e como c∗j tem cota inferior maior quezero, temos que

U(αc∗j)(z0) > U(c∗j)(z0),

uma contradição com (c∗i )i∈I ser uma alocação ótima da Pareto.Portanto, tomando i ∈ I arbitrário, temos que sempre existe c′i ∈ l∞+ tal que

φ(c′i) < φ(c∗i ), basta fazer c′i = αc∗i e tomar α > 0 suficientemente próximo de zero.Agora tome ci tal que φ(ci) ≤ φ(c∗i). Então, para todo θ ∈ (0, 1), φ(θc′i+(1−θ)ci) =θφ(c′i) + (1− θ)φ(ci) < φ(c∗i ). Logo, por A.1, temos que, para todo θ ∈ (0, 1),

U(θc′i + (1− θ)ci)(z0) < U(c∗i )(z0).

Como U(·)(z0) é contínua, temos que

U(ci)(z0) = limθ→0

U(θc′i + (1− θ)ci)(z0) ≤ U(c∗i )(z0).

Ou seja, provamos que se ci é tal que φ(ci) ≤ φ(c∗i), então U(ci)(z0) ≤ U(c∗i )(z0).Portanto, fazendo transferências de riqueza wi = φ(c∗i )− φ(ei) = φ(c∗i − ei) para

cada agente i, temos que (c∗i )i∈I juntamente com os preços φ pertencentes aoespaço dual de l∞ constituem um equilíbrio com transferências wi = φ(c∗i − ei). !

30

Prova da proposição 2.3.3: Sejam Q0,t(zt|z0) os preços de equilíbrio dessaeconomia. Então, o Lagrangiano associado ao problema do consumidor i será dadopor:

L =∞∑

t=0

∑

zt∈Zt

βtu(ci,t(zt))π(zs|zt) + µi

(∑

t≥0

∑

zt∈Zt

ci,t(zt)Q0,t(z

t|z0)−∑

t≥0

∑

zt∈Zt

ei,t(zt)Q0,t(z

t|z0)

)

+ λi,t(zt)ci,t(z

t)

Aplicando o teorema de Kuhn Tucker, e notando que a restrição ci,t(zt) ≥ 0 serásempre inativa devido à condição de Inada, temos que valem as seguintes condiçõesde primeira ordem para os problemas dos agentes i e j:

[ci,t(zt)] : βtu′(ci,t(z

t))π(zt|z0) = µiQ0,t(zt|z0) (A.2)

[ci,t(zt)] : βtu′(cj,t(z

t))π(zt|z0) = µjQ0,t(zt|z0). (A.3)

Dividindo A.2 por A.3, obtemos

u′(ci,t(zt))

u′(cj,t(zt))=

µi

µj

u′(ci,t(zt)) = u′(cj,t(z

t))µi

µj,

o que implica que

ci,t(zt) = u′−1

(u′(cj,t(z

t))µi

µj

)∀i ∈ I. (A.4)

Mas como as alocações de equilíbrio devem ser factíveis, em equilíbrio temos que ter∑

i∈I

ci,t(zt) =

∑

i∈I

ei,t(zt).

Portanto, somando A.4 em i, temos que a seguinte expressão deve valer em equilíbrio:

∑

i∈I

ei,t(zt) =

∑

i∈I

u′−1

(u′(cj,t(z

t))µi

µj

)∀j ∈ I

Ou seja, o consumo de equilíbrio do agente j ∈ I em qualquer data e em qualquerhistórico de choques depende apenas da dotação agregada nessa data. Como corolá-rio, se a dotação agregada da economia é constante no tempo, temos que o consumodos agentes também será invariante no tempo. !

Prova da proposição 2.3.4: Para acharmos a taxa de juros dessa economia,definimos os preços Arrow como

q0,t(zt, z′) =

Q0(zt, z′|z0)

Q0,t(zt|z0).

31

Dividindo a condição de primeira ordem A.2 avaliada em t + 1, histórico (zt, z′), eavaliada em t, histórico zt obtemos

q0,t(zt, z′) = β

u′(ci,t+1(zt, z′))


Como o consumo de equilíbrio é constante no tempo, temos que o preço de Arrowde equilíbrio é dado por

q0,t(zt, z′) = βπ(z′|zt).

Usando a condição de não arbitragem, temos que a taxa de juros implícita dessaeconomia, ρ, é dada por

1

1 + ρ=

∑

z′∈Z

βπ(z′|zt) = β.

Logo,ρ =

1

β− 1.

!

Prova da proposição 2.5.3: Seja (c∗i )i∈I uma alocação de equilíbrio de K-L.Então, como c∗i é a alocação ótima do consumidor i, temos que, para todo t, zt etodo t + 1, zt+1 " zt, o agente não pode ter ganhos em transferir consumo da datat, estado zt para a data t+1, estado zt+1 sem violar suas restrições de factibilidade.Mais precisamente:

(0, 0) = arg maxε1,ε2≥0

u(c∗i,t(zt)− ε1) + βπ(zt+1|zt)u(c∗i,t+1(z

t+1 + ε2))

s.a. −Qt(zt|z0)ε1 + Qt+1(z

t+1|z0)ε2 = 0 (A.5)U(c∗i,t − ε1)(z

t) ≥ U(ei,t)(zt) (A.6)

U(c∗i,t+1 + ε2

)(zt) ≥ U(ei,t+1)(z

t+1), (A.7)

onde

U(c∗i,t − ε1)(zt) ≡ u(c∗i,t − ε1) +

∑

τ≥t

∑

zτ(zt

βτ−tπ(zτ |zt)u(c∗i,τ )

U(c∗i,t+1 + ε2)(zt) ≡ u(c∗i,t+1 + ε2) +

∑

τ≥t+1

∑

zτ(zt+1

βτ−(t+1)π(zτ |zt+1)u(c∗i,τ ).

Como a restrição A.5 pode ser reescrita como ε2 = ε1/q0,t(zt+1|zt), temos que,para todo t, zt e todo t + 1, zt+1 " zt,

0 = arg maxε1≥0

u(c∗i,t(z

t)− ε1) + βπ(zt, zt+1)u

(c∗i,t+1

(zt+1

)+

ε1

q0,t(zt, zt+1)

)

s.a. U(c∗i,t − ε1)(zt) ≥ U(ei,t)(z

t)

U

(c∗i,t+1 +

ε1

q0,t(zt, zt+1)

)(zt) ≥ U(ei,t+1)(z

t+1).

32

Agora suponha que U(c∗it)(zt) > U(eit)(zt). Então, pela continuidade de u, existe

ε > 0 tal que para todo ε1 ∈ [0, ε),

U(c∗i,t − ε1)(zt) > U(ei,t)(z

t).

Além disso, ∀ε1 ≥ 0,

U

(c∗i,t+1 +

ε1

q0,t(zt, zt+1)

)(zt) ≥ U

(c∗i,t+1

)(zt) ≥ U(ei,t+1)(z

t+1).

Então, definindo

∆U(ε1) ≡ u(c∗i,t(zt)− ε1) + βπ(zt+1|zt)u

(c∗i,t+1(z

t+1) +ε1

q0,t(zt, zt+1)

)

− u(c∗i,t(zt)) + βπ(zt+1|zt)u(c∗i,t+1(z

t+1)),

temos que, ∀ε1 ∈ [0, ε), ∆U(ε1) ≤ 0, haja vista que qualquer desvio em relaçãoa alocação de equilíbrio que satisfaça a restrição orçamentária e as restrições departicipação não pode aumentar a utilidade do agente.

Agora note-se que,

0 = limε1→0

∆U(ε1)

ε1=

[−u′(c∗i,t(z

t)) + βπ(zt+1|zt)

q0,t(zt, zt+1)u′(c∗i,t+1(z

t+1))

]

⇐⇒ −u′(c∗i,t(zt)) + β

π(zt+1|zt)


t+1)) = 0

⇐⇒ q0,t(zt, zt+1) = β

π(zt+1|zt)u′(c∗i,t+1(zt+1))

u′(c∗i,t(zt))

.

Agora suponha que U(c∗i,t)(zt) = U(ei,t)(zt). Então, para ε1 suficientemente

próximo de zero, ∆U(ε1) ≥ 0 (i.e., o agente possivelmente poderia ter ganhos emtransferir consumo de hoje para o futuro, mas é impedido de fazê-lo devido a suarestrição de participação na data t e estado zt ser ativa). Então, quando U(c∗i,t)(z

t) =U(ei,t)(zt), temos que

0 ≤ limε1→0

∆U(ε1)

ε1=

[−u′(c∗i,t(z

t)) + βπ(zt+1|zt)


t+1))

]

⇐⇒ q0,t(zt, zt+1) ≥ β

π(zt+1|zt)u′(c∗i,t+1(zt+1))

u′(c∗i,t(zt))

.

!

Prova da proposição 2.6.1:

33

Seja c∗i , a∗i uma alocação que satisfaça as restrições orçamentárias e as restriçõesde crédito e as condições 2.23 e 2.24; e seja ci, ai uma alocação qualquer quesatisfaça as restrições orçamentárias e as restrições de crédito. Defina2

D ≡ limT→∞

T∑

t=0

∑

zt∈Zt

βt[u(c∗i,t(z

t))− u(ci,t(zt))

]π(zt|z0)

= limT→∞

T∑

t=0

∑

zt∈Zt

βt

[u

(ei,t + a∗i,t(z

t)−∑

zt+1∈Zt+1

a∗i,t+1(zt+1)qt(z

t+1)

)−

−u

(ei,t + ai,t(z

t)−∑

zt+1∈Zt+1

ai,t+1(zt+1)qt(z

t+1)

)]π(zt|z0) (A.8)

Como u é côncava, contínua e diferenciável, e como o conjunto das alocações quesatisfazem as restrições de crédito e as restrições orçamentárias é convexo, temosque

D ≥ limT→∞

T∑

t=0

∑

zt∈Zt

βtu′(c∗i,t(z

t))[a∗i,t(z

t)− ai,t(zt)

]

−qt(zt+1)u′(c∗i,t(z

t+1))[a∗i,t+1(z

t+1)− ai,t+1(zt+1)

]π(zt|z0)

Como ai,0(z0) = ai,0(z0) = 0 ∀z0 ∈ Z, rearranjando os termos obtemos:

D ≥ limT→∞

T−1∑

t=0

∑

zt∈Zt

βt[βu′(c∗i,t+1(z

t+1))π(zt+1|zt)− qt(zt+1)u′(c∗i,t(z

t))]

·[a∗i,t+1(z

t+1)− ai,t+1(zt+1)

]π(zt|z0)

−∑

zT∈ZT

βT qT (zT+1)u′(ci,T (zT ))[a∗i,T+1(z

T+1)− ai,T+1(zT+1)

]π(zT |z0)

Agora note que os temos do primeiro somatório acima são todos maiores que zero.De fato, se a∗i,t+1(z

t+1) > Bi,t+1(zt+1), então, pela equação de Euler, o correspondentetermo do somatório é zero. Suponha, por outro lado, que

a∗i,t+1(zt+1) = Bi,t+1(z

t+1).

Então, comoai,t+1(z

t+1) ≥ Bi,t+1(zt+1) = a∗i,t+1(z

t+1),

temos que (a∗i,t+1(z

t+1)− ai,t+1(zt+1)

)≤ 0. (A.9)

Mas, pela equação de Euler, temos que

βu′(c∗i,t+1(zt+1))π(zt+1|zt)− qt(z

t+1)u′(c∗i,t(zt)) ≤ 0,

2Note que, se assumirmos que c∗i e ci têm cota inferior maior que zero, então, pela hipótesede u ser limitada, temos que D existe.

34

que, junto com A.9, implica que os correspondentes termos do somatório são maioresou iguais a zero.

Portanto,

D ≥ − limT→∞

∑

zT∈ZT


T+1)− ai,T+1(zT+1)

]π(zT |z0)

≥ − limT→∞

∑

zT∈ZT


T+1)−Bi,T+1(zT+1)

]π(zT |z0),

onde a segunda desigualdade segue do fato de que βT qT (zT+1)u′(ci,T (zT )) é estrita-mente positivo e ai,T+1(zT+1) ≥ Bi,T+1(zT+1).

Usando a equação de Euler novamente, isso implica que

D ≥ limT→∞

∑

zT∈ZT

βT+1u′(ci,T+1(zT ))

[a∗i,T+1(z

T+1)−Bi,T+1(zT+1)

]π(zT+1|z0)

(∗)= 0

onde (*) segue da condição de transversalidade. !

Prova da proposição 2.6.2:Se ci, ai é uma alocação de equilíbrio de A-J com restrições de solvência Bi

not too tight, então é imediato que


t) andU(ci)(z

t) = U(ei)(zt) ⇐ ai,t(z

t) = Bi,t(zt).

Agora, comoJi,t(ai(z

t), zt) = U(ci)(zt) ≥ U(ei)(z

t),

se nós usarmos o fato de que Ji,t(·, zt) é estritamente crescente, nós temos queai,t(zt) > Bi,t(zt) implica em

Ji,t(ai(zt), zt) = U(ci)(z

t) > U(ei)(zt).

Portanto,U(ci)(z

t) = U(ei)(zt) ⇒ ai,t(z

t) = Bi,t(zt).

!Prova da proposição 2.6.4:Nós apenas precisamos provar que a alocação

ca,i,t(zt) = ei,t(z

t), aa,i,t+1(zt, z′) ≡ Ba,i,t(z

t) = 0,

(A.10)

e preços


i∈I

β

u′(ei,t+1(zt, z′))


,

35

satisfazem a equação de Euler (eq. 2.23), a condição de transversalidade (eq. 2.24),as restrições orçamentárias e as condições de market clearing. É óbvio que essaalocação satisfaz a condição de transversalidade (pois o termo [ai,t(zt) − Bi,t(zt)]da condição de transversalidade é sempre zero), as restrições orçamentárias e ascondições de market clearing. Para provar que a equação de Euler é satisfeita, bastanotar que


i∈I

β

u′(ei,t+1(zt, z′))


⇒ qa,t(zt, z′) ≥ β

u′(ei,t+1(zt, z′))

u′(ei,t(zt))π(z′|zt) ∀i ∈ I

⇐⇒ −u′(ei,t(zt))qa,t(z

t, z′) + βu′(ei,t+1(zt, z′))π(z′|zt) ≤ 0.

!

Prova da proposição 2.6.5Seja q, ci, ai um equilíbrio de A-J. Então segue trivialmente que a alocação de

consumo é factível em recursos (para ver isso basta somar as restrições orçamentáriasintertemporais dos agentes e usar as condições de market clearing) e satisfaz asrestrições de participação para cada agente (pois as restrições de crédito em A-Jsão not too tight). A restrição orçamentária no período zero (eq. 2.12) também ésatisfeita, pois as restrições orçamentárias intertemporais (eq. 2.20) implicam que

ei,t(zt) + ai,t(z

t) =∑

zt+1(zt

ai,t+1(zt+1)qt(z

t+1) + ci,t(zt)

Somando em t e zt, e rearranjando os termos obtemos:

T∑

t=0

∑

zt∈Zt

Qt(zt|z0)ci,t(z

t) =T∑

t=0

∑

zt∈Zt

Qt(zt|z0)ei,t(z

t) +T∑

t=0

∑

zt∈Zt

Qt(zt|z0)ai,t(z

t)

−T∑

t=0

∑

zt+1∈Zt+1

Qt(zt+1|z0)ai,t+1(z

t+1)

⇐⇒T∑

t=0

∑

zt∈Zt

Qt(zt|z0)ci,t(z

t) =T∑

t=0

∑

zt∈Zt

Qt(zt|z0)ei,t(z

t)

+ Qt(zT+1|z0)ai,T+1(z

T+1)− ai,0(z0)

passando limite em T nos dois lados da equação, e usando as hipóteses (a), (c) e deque ai,0 = 0, obtemos

∞∑

t=0

∑

zt∈Zt

Qt(zt|z0)ci,t(z

t) =∞∑

t=0

∑

zt∈Zt

Qt(zt|z0)ei,t(z

t).

36

Portanto, resta apenas mostrar que, dados os preços Q obtidos a partir de q,ci resolve

maxci

U(ci)(z0),

s.a.∑

t≥0

∑

zt∈Zt

ci,t(zt)Qt(z

t|z0) ≤∑

t≥0

∑

zt∈Zt

ei,t(zt)Qt(z

t|z0)


t) ∀t, ∀zt.

Como antes, podemos escrever o Lagrangiano associado a esse problema como

L(ci, ζi, ηi) = U(ci)(z0) + ζi

[∑

t≥0

∑

zt∈Zt

(ei,t(zt)− ci,t(z

t))Qt(zt|z0)

]

+∑

t≥0

∑

zt∈Zt

βtηi,t(zt)

(U(ei)(z

t)− U(ci)(zt)

)π(zt|z0).

Portanto, pelo teorema do ponto de sela, resta achar multiplicadores de Lagrange po-sitivos (ζi, ηi) tais que, dado ci, (ζi, ηi) minimiza L(ci, ·, ·), e, dado (ζi, ηi),ci maximiza L(·, ζi, ηi).

Nosso chute para os multiplicadores é dado por

ζi =u′(ci,0(z0))

Qt(z0|z0)= u′(ci,0(z0))

e ηi tais que, para cada t e zt,

βtu′(ci,t(zt))π(zt|z0)

1 +∑

zr)zt

ηi,r(zr)

= ζiQt(zt|z0) (A.11)

Como a restrição de crédito deve ser válida com igualdade, é imediato que ζi =u′(ci,0(z0)) > 0 minimiza o Lagrangiano dada a alocação ci. Dirigindo, pois,nossa atenção aos multiplicadores ηi, provemos que eles também minimizam oLagrangiano, dada a alocação ci.

Adicionando um período à equação A.11, temos que, para cada zt+1 " zt,

βt+1u′(ci,t+1(zt+1))π(zt+1|z0)

1 +∑

zr)zt+1

ηi,r(zr)

= ζiQt(zt+1|z0). (A.12)

Dividindo A.12 por A.11, obtemos

q0,t(zt+1) = β

u′(ci,t+1(zt+1))[1 +

∑zr)zt+1 ηi,r(zr)

]

u′(ci,t(zt))[1 +

∑zr)zt ηi,r(zr)

] π(zt+1|zt)

⇒ −u′(ci,t(zt))qt(z

t, z′) + βπ(z′, z)u′(ci,t+1(zt, z′))

[1 +


][1 +

∑zr)zt ηi,r(zr)

] = 0

⇒ −u′(ci,t(zt))qt(z

t, z′) + βπ(z′, z)u′(ci,t+1(zt, z′)) ≤ 0. (A.13)

37

Mas, pela equação de Euler, sempre que U(ci)(zt+1) > U(ei)(zt+1), então A.13 devevaler com igualdade, o que acontece sse

[1 +


][1 +

∑zr)zt ηi,r(zr)

] = 1

⇐⇒ ηi,t(zt+1) = 0.

Portanto, nós temos que os multiplicadores ηi de fato minimizam o Lagrangiano,dada a alocação ci.

Agora resta apenas provar que ci maximiza L(·, ζi, ηi), o que é equivalentea mostrar que3

U(ci)(z0) + ζi

[∑

t≥0

∑

zt∈Zt

(ei,t(zt)− ci,t(z

t))Qt(zt|z0)

]

+∑

t≥0

∑

zt∈Zt

βtηi,t(zt)

(U(ei)(z

t)− U(ci)(zt)

)π(zt|z0)

≥U(ci)(z0) + ζi

[∑

t≥0

∑

zt∈Zt

(ei,t(zt)− ci,t(z

t))Qt(zt|z0)

]

+∑

t≥0

∑

zt∈Zt

βtηi,t(zt)

(U(ei)(z

t)− U(ci)(zt)

)π(zt|z0) (A.14)

⇐⇒

U(ci)(z0)− ζi

[∑

t≥0

∑

zt∈Zt

Qt(zt|z0)ci,t(z

t)

]+

∑

t≥0

∑

zt∈Zt

βtηi,t(zt)U(ci)(z

t)π(zt|z0)

≥ U(ci)(z0)− ζi

[∑

t≥0

∑

zt∈Zt

Qt(zt|z0)ci,t(z

t)

]+

∑

t≥0

∑

zt∈Zt

βtηi,t(zt)U(ci)(z

t)π(zt|z0)

(A.15)

para todo ci que satisfaça a restrição orçamentária e as restrições de participação.Rearranjando os termos da desigualdade A.15, nossa condição necessária e sufi-

ciente para otimalidade fica

∑

zt(Zt

βtu(ci,t(zt))

1 +∑

zr)zt

ηi,t(zt)

π(zt|z0)− ζi

∑

zt(z0

Qt(zt|z0)ci,t(z

t)

≥∑

zt(Zt

βtu(ci,t(zt))

1 +∑

zr)zt

ηi,t(zt)

π(zt|z0)− ζi

∑

zt(z0

Qt(zt|z0)ci,t(z

t)

(A.16)

Como u é côncava e diferenciável, nós temos que

u(ci,t(zt)) ≤ u(ci,t(z

t)) + u′(ci,t(zt))[ci,t(z

t)− ci,t(zt)] (A.17)

3As condições 2.27 e 2.28 garantem que o lado esquerdo da desigualdade A.14 é finito. Issoimplica que a condição de consumo ótimo imposta nessa desigualdade está, de fato, correta (verAlvarez e Jermann (2000) para mais detalhes).

38

Usando essa desigualdade, obtemos o resultado desejado:

∑

zt(Zt

βtu(ci,t(zt))

1 +∑

zr)zt

ηi,t(zt)

π(zt|z0)− ζi

∑

zt(z0

Qt(zt|z0)ci,t(z

t)

≤∑

zt(Zt

βtu(ci,t(zt))

1 +∑

zr)zt

ηi,t(zt)

π(zt|z0)

+∑

zt(Zt

βtu′(ci,t(zt))[ci,t − ci,t(z

t)]

1 +∑

zr)zt

ηi,t(zt)

π(zt|z0)

− ζi

∑

zt(z0

Qt(zt|z0)ci,t(z

t)

=∑

zt(Zt

βtu(ci,t(zt))

1 +∑

zr)zt

ηi,t(zt)

π(zt|z0)− ζi

∑

zt(z0

Qt(zt|z0)ci,t(z

t)

,

onde a primeira desigualdade segue diretamente de A.17 e a última desigualdadesegue da definição de ηi (eq. A.11). !

Prova da proposição 2.6.6: Pela proposição 2.6.4, ei, (ai = 0) e preçosimplícitos dessa alocação são um equilíbrio de A-J com restrições de solvência not tootight. Então, se essa alocação tem high implied interest rates e satisfaz a condiçãotécnica 2.28, temos, pelo teorema 2.6.1, que ela pode ser implementada por umequilíbrio de K-L e, portanto, é eficiente restrita.

Trivialmente tem-se que, se autarquia é a única alocação factível da economia(i.e., a única alocação que satisfaz market clearing no mercado de bens e as res-trições de participação), ela é eficiente restrita. Suponha, agora, que autarquia éuma alocação eficiente restrita e suponha por contradição que exista alguma outraalocação de consumo ci factível diferente da autárquica. Então, para todo i epara toda data t e histórico zt, U(ci)(zt) ≥ U(ei)(zt), com desigualdade estrita paraalgum i e algum t e zt. Isso implica que U(ci)(z0) > U(ei)(z0) para algum i, umacontradição com ei ser uma alocação eficiente restrita. !

Prova da proposição 2.6.7: Para provar essa proposição, precisamos apenasmostrar que, quando alguma das condições (i) até (iv) são satisfeitas, autarquia temhigh implied interest rates.

Primeiro, note que, como os preços de Arrow na data t associados à alocaçãoautárquica,

qa,t(zt+1) = β max

i∈I

u′(ei,t+1(zt+1))

u′(ei,t(zt))π(zt+1|zt)

,

só dependem de zt e zt+1, podemos expressar os preços de Arrow da alocação autár-quica como qa(zt, zt+1).

39

Definamos o valor presentes das dotações na data t e histórico zt quando vigoramos preços de autarquia qa(zt, zt+1), por A(zt). Então, a vale a seguinte recursão:

A(zt) =∑

zt+1∈Z

qa(zt, zt+1) [ei,t(zt+1) + A(zt+1)] π(zt|zt+1). (A.18)

Definindo

β∗(zt) ≡ β∑

zt+1∈Z

maxi∈I

u′(ei,t+1(zt+1))

u′(ei,t(zt))

π(zt+1|zt)

e

π∗(zt+1|zt) ≡ maxi∈I

u′(ei,t+1(zt+1))

u′(ei,t(zt))

π(zt+1|zt)

/ ∑

zt+1∈Z

maxi∈I

u′(ei,t+1(zt+1))

u′(ei,t(zt))

π(zt+1|zt),

podemos reescrever a equação A.18 como

A(zt+1) = β∗(zt)∑

zt+1∈Z

[ei,t(zt+1) + A(zt+1)] π∗(zt+1|zt). (A.19)

Definamos S como o conjunto de todas as funções reais f : Z → R definidas emZ, munido da norma do sup, (lembrando que a norma do sup é dada por ||f ||sup =maxz∈Z |f(z)|). Então claramente S, || · ||sup é um espaço métrico completo (i.e., éum espaço de Banach). Agora defina o operador T : S → S, tal que, ∀f ∈ S e∀z ∈ Z,

T (f(z)) = β∗(zt)∑

zt+1∈Z

[e(zt+1) + f(zt+1)] π∗(zt+1|zt).

Claramente, sempre que β∗(z) < 1 ∀z ∈ Z, esse operador satisfaz as condições sufi-cientes de Blackwell para contração (a condição de desconto e de monotonicidade).Portanto, pelo teorema da contração, se β∗(z) < 1 ∀z ∈ Z, T deve ter um únicoponto fixo em S. Como A : Z → R é um ponto fixo do operador T : S → S, nóstemos que, sempre que β∗(z) < 1 ∀z ∈ Z, A é limitado (i.e., sempre que β∗(z) < 1∀z ∈ Z, a alocação de autarquia tem high implied interest rates).

Portanto, resta apenas mostrar que, quando alguma das condições (i), (ii), (iii)ou (iv) são satisfeitas, β∗(z) < 1 ∀z ∈ Z:

i) Como εi(z) > 0 ∀z ∈ Z, nós temos que∑

zt+1∈Z maxi∈I

u′(εi(zt+1))u′(εi(zt))

π(zt+1|zt) <

+∞. Portanto, ∃ β ∈ (0, 1) suficientemente pequeno tal que

β∗(zt) ≡ β∑

zt+1∈Z

maxi∈I

u′(εi(zt+1))

u′(εi(zt))

π(zt+1|zt) < 1.

ii) Se a função utilidade é do tipo CRRA, i.e., se u(c) = c(1−γ)

1−γ , então claramente

limγ→0

u′(εi(zt+1))

u′(εi(zt))= lim

γ→0

(εi(zt+1)

εi(zt)

)−γ

= 1 ∀zt, zt+1 ∈ Z

⇒ limγ→0

∑

zt+1∈Z

maxi∈I

u′(εi(zt+1))

u′(εi(zt))

π(zt+1|zt) = 1 ∀zt ∈ Z.

⇒ limγ→0

β∗(zt) = β limγ→0

∑

zt+1∈Z

maxi∈I

u′(εi(zt+1))

u′(εi(zt))

π(zt+1|zt) = β < 1 ∀zt ∈ Z.

40

iii) Para cada z ∈ Z, crie seqüências de dotações para cada agente iεj

i (z)

j∈N,tais que, para todo z ∈ Z, εj

i (z) → ei > 0, i.e., tais que a variância doschoques idiossincráticos de cada agente convirjam para zero. Claramente, comou : R+ → R é C1, g : R2

+ → R tal que g(x, y) = u′(x)u′(y) é contínua. Além disso,

g(εi, εi) = u′(εi)u′(εi)

= 1. Portanto, pela continuidade de g(·, ·), temos que

limj→∞

u′(εji (zt+1))

u′(εji (zt))

= 1 ∀zt, zt+1 ∈ Z

⇒ limj→∞

∑

zt+1∈Z

maxi∈I

u′(εj

i (zt+1))

u′(εji (zt))

π(zt+1|zt) = 1 ∀zt ∈ Z

⇒ limj→∞

β∗j (zt) ≡ β lim

j→∞

∑

zt+1∈Z

maxi∈I

u′(εj

i (zt+1))

u′(εji (zt))

π(zt+1|zt) = β < 1 ∀zt ∈ Z

iv) Se a probabilidade de transição dos choques Πj converge para a matriz iden-tidade, então

limj→∞

πj(zt+1|zt) =

1, if zt+1 = zt

0, otherwise. (A.20)

Além disso,u′(εi(zt+1))

u′(εi(zt))= 1, se zt+1 = zt. (A.21)

Então, por A.20 e A.21 nós claramente temos que

limj→∞

∑

zt+1∈Z

maxi∈I

u′(εi(zt+1))

u′(εi(zt))

πj(zt+1|zt) = 1 ∀zt ∈ Z

⇒ limj→∞

β∗j (zt) ≡ β lim

j→∞

∑

zt+1∈Z

maxi∈I

u′(εi(zt+1))

u′(εi(zt))

πj(zt+1|zt) = β < 1 ∀zt ∈ Z

!

41

Capítulo 3

O efeito de mudanças na volatilidadede renda sobre a volatilidade deconsumo

3.1 IntroduçãoKrueger e Perri (2005) mostram que, em um modelo de Kehoe e Levine (1993)com um único bem, uma mudança na volatilidade de renda pode ser seguida poruma mudança menor na volatilidade de consumo. Surpreendentemente, sob certashipóteses, um aumento na volatilidade de renda pode até ter o efeito de reduzir avolatilidade do consumo de equilíbrio. A intuição para esse resultado vem do fatode que, ao se aumentar a volatilidade de renda, a exclusão dos agentes do mercadode bens contingentes se torna uma punição mais severa, o que aumenta o nível decommitment da economia, permitindo assim uma maior diversificação de risco emequilíbrio. Iremos estabelecer esse resultado a seguir em um ambiente físico simples,com dois agentes e apenas dois estados da natureza.

3.2 Ambiente FísicoConsidere o mesmo ambiente físico descrito na seção 2.2, com as seguintes restriçõesadicionais:

• Existem apenas dois agentes nessa economia: I = 1, 2

• Existem apenas dois estados da natureza: zt ∈ H,L

• As dotações para cada agente são anti-simétricas: sempre que zt = H, o agente1 tem dotação et = 1 + ε e o agente 2 tem dotação et = 1 − ε, e sempre quezt = L, o agente 1 tem dotação et = 1− ε e o agente 2 tem dotação et = 1+ ε.

• π(zt+1 = H|zt−1 = H) = π(zt+1 = L|zt−1 = H) = π(zt+1 = H|zt−1 = L) =π(zt+1 = L|zt−1 = L) = 1/2, i.e., os choques são iid.

42

Assumimos que a função de utilidade esperada é a mesma de antes:

U(c)(zt) ≡∞∑

s=t

∑

zs∈Zs

βtu(cs(zs))π(zs|zt),

onde u : R+ → R é estritamente crescente, estritamente côncava e C1, e ondeβ ∈ (0, 1) é o fator de desconto invariante no tempo. Também assumimos que valea condição de Inada limc→0 u′(c) = ∞.

Krueger e Perri (2005) assumem que, além das dotações, cada agente possuiuma árvore não transacionável que paga r > 0 unidades do bem de consumo a cadaperíodo e que, se um indivíduo dá default, ele não só é impedido de transacionar nomercado de bens contingentes, como ele também perde essa árvore. Essa hipóteseserve para garantir que autarquia nunca seja um equilíbrio de K-L, nem mesmo deA-J. Todavia, a fim de mantermos consistência com o ambiente físico descrito em 2.2,não assumiremos essa hipótese aqui. Por isso, alguns de nossos resultados se mos-trarão diferentes daqueles que aparecem em Krueger e Perri (2005); em particular,autarquia poderá ser um equilíbrio.

3.3 Equilíbrio de Kehoe e Levine estacionárioNesta seção, caracterizamos o equilíbrio estacionário simétrico1 de K-L para essaeconomia. Usando a mesma notação de Krueger e Perri (2005), definimos U(1+ε) eU(1− ε) como a utilidade continuada de consumir a alocação de autarquia, quandoa dotação do agente naquela data é 1 + ε e 1− ε, respectivamente:

U(1 + ε) = u(1 + ε) +∑

t=1

βt

(1

2u(1 + ε) +

1

2u(1− ε)

)

U(1 + ε) = u(1 + ε) +1

2u(1 + ε)

∑

t=1

βt +1

2u(1− ε)

∑

t=1

βt

U(1 + ε) = u(1 + ε) +β

2(1− β)u(1 + ε) +

β

2(1− β)u(1− ε)

e

U(1− ε) = u(1− ε) +β

2(1− β)u(1 + ε) +

β

2(1− β)u(1− ε)

Seja UFB(1) a utilidade do consumo first best, onde ambos os agente consomem1 unidade do bem a cada período. Então, temos os seguintes resultados:

Lemma 3.3.1 U(1+ε) é estritamente crescente em ε no ponto ε = 0, é estritamentedecrescente em ε quando ε → 1, e é estritamente côncavo em ε, com único máximo

ε1 = arg maxε

U(1 + ε) ∈ (0, 1).

1Sem perda de generalidade, podemos assumir que a alocação first best e a alocação de equilíbriosão simétricas, contanto que façamos a devida redistribuição das dotações iniciais dos agentes.

43

Além disso, U(1 + ε1) > UFB(1) e existe 0 < ε ≤ 1 tal que U(1 + ε) ≥ UFB(1)e U(1 + ε) > UFB(1) para todo ε ∈ (0, ε). Ou seja, para valores de ε ∈ (0, ε), aalocação first best é pior do que a de autarquia para o agente com dotação alta, oque implica que o equilíbrio first best não é implementável.


Proposição 3.3.2 A alocação eficiente restrita é completamente caracterizada porum número 0 ≤ εc(ε) ≤ ε. Agentes com dotação 1 + ε consomem 1 + εc(ε), e agentscom dotação 1− ε consomem 1− εc(ε). εc(ε) é a menor solução não negativa paraa equação

U(1 + εc(ε)) = maxUFB(1), U(1 + ε),

onde U(1 + ε) é a utilidade futura descontada de um agente com dotação alta nopresente consumir a alocação caracterizada por εc(ε).


Proposição 3.3.3 Para ε ∈ [ε, 1) perfect risk sharing é factível e um aumentomarginal em ε não altera a desigualdade de consumo. Se ε ∈ [ε1, ε), então umaumento em ε diminui a desigualdade de consumo. Para ε ∈ [0, ε1), autarquia é aúnica alocação factível, o que implica que um aumento em ε aumenta a desigualdadede consumo na mesma proporção.


A proposição 3.3.3 nos mostra que um aumento na desigualdade de rendapode não alterar, ou até mesmo reduzir a desigualdade de consumo (para ε ∈[ε, 1) ∪ [ε1, ε)). Como uma aplicação desse resultado, temos que um aumento daprogressividade de um imposto de renda pode ter pouco impacto na redução dadesigualdade de consumo, uma vez que um imposto mais progressivo deve reduzir apenalidade por default e, com isso, diminuir a capacidade de commitment na eco-nomia, dificultando a diversificação de risco no mercado de bens contingentes (verKrueger and Perri (2010) para mais detalhes sobre essa aplicação).

44

Apêndice B

Prova do lema 3.3.1:

i) Tomando a derivada de U(1 + ε) com respeito a ε em ε = 0, temos que

∂U(1 + ε)

∂ε

∣∣∣∣ε=0

= u′(1) +β

2(1− β)u′(1)− β

2(1− β)u′(1)

= u′(1) > 0 (B.1)

ii) Derivando U(1 + ε) quando ε → 1, obtemos

limε→1

∂U(1 + ε)

∂ε= u′(2) +

β

2(1− β)u′(2)− β

2(1− β)limε→1

u′(1− ε)︸︷︷︸

−∞

= −∞

iii) Tomando a derivada segunda de U(1 + ε) com respeito a ε, obtemos

∂2U(1 + ε)

∂ε2= u′′(1 + ε)︸︷︷︸

<0

+β

2(1− β)u′′(1 + ε)︸︷︷︸

<0

+β

2(1− β)u′′(1− ε)︸︷︷︸

<0

< 0

iv) Por i, ii e iii, segue imediatamente que existe um único 0 < ε< 1 que maximizaU(1 + ε).

v) U(1 + ε1) > UFB(1) é óbvio, pois U(1 + 0) = UFB(1) e ∂U(1+ε)∂ε

∣∣∣ε=0

> 0.

vi) Primeiramente note que U(2) < UFB(1). Como U(1 + ε) > UFB(1)∀ε ∈ (0, ε1]e como U(1 + ε) é contínua em ε, temos, pelo teorema do valor intermediário,que existe ε ∈ (ε1, 1) tal que U(1 + ε) = UFB(1). Como U(·) é côncava, temosque U(1 + ε) é decrescente no intervalo (ε1, 1), o que implica que ε é único.

!


45

Como ambos os agentes querem suavizar consumo, ambos escolherão o menorεc ∈ [0, 1] tal que a restrição de participação seja satisfeita. Portanto, se U(1 + ε) <UFB(1), a solução é simplesmente εc = 0.

Se U(1 + ε) > UFB(1), então o agente escolherá o menor εc ∈ (0, 1] tal queU(1+ εc) ≤ U(1+ ε). Suponha por contradição que a alocação ótima εc seja tal queU(1 + εc) < U(1 + ε). Então, pela continuidade de U(·), existe um ε′c < εc tal queU(1 + ε′c) < U(1 + ε), uma contradição com εc ser ótimo. !


i) Pela proposição 3.3.2, temos que, para ε ∈ [ε, 1) existe perfect risk sharing, o queimplica que um aumento marginal em ε nesse intervalo não afeta a desigualdadede consumo.

ii) Como U(1 + ε) > UFB(1) e U(1 + ε) é decrescente em ε para ε ∈ [ε1, ε), umaumento em ε reduz U(1+ε), o que implica que εc, implicitamente definido por

U(1 + εc(ε)) = U(1 + ε),

deve decrescer.

iii) Como U(1+ε) > UFB(1) e U(1+ε) é crescente em ε para ε ∈ [0, ε1)), a alocaçãode equilíbrio deve ser a autárquica, εc = ε, de tal forma que um aumento em εnesse intervalo deve implicar em um igual aumento em εc.

!

46

Capítulo 4

Limites de crédito com baixapenalização por default

4.1 IntroduçãoNo capítulo 2, estudamos o modelo de Alvarez e Jermmann (2000), onde os agentestransacionavam ativos contingentes período a período e tinham a opção de, a cadadata, renegar o pagamento de dívidas passadas, onde a punição por default consistiana permanente exclusão do agente do mercado de ativos. Como essa economiapossuía um único bem não durável, a punição por default consistia em exigir queo agente insolvente vivesse em autarquia pelo resto da vida. Por causa disso, nessaeconomia podíamos achar a utilidade esperada de dar default apenas com base nosprimitivos do modelo (i.e., apenas com base nas dotações e preferências).

Poderíamos, todavia, imaginar uma economia onde a punição por default dife-risse da exclusão bilateral e permanente do mercado de ativos. Poderíamos, porexemplo, ter uma economia em que o agente que dá default volta a ter acesso aomercado após N períodos (e.g., Azariadis e Kaas (2008)), ou uma economia emque a punição por default resulta na perda de colateral (e.g., Geanakoplos (2003) eLustig e Nieuwerburg (2010)). Através do estudo desses modelos, podemos entenderaté que ponto resultados do trabalho de Alvarez e Jermmann (2000) são robustos amudanças na penalização por default.

Neste capítulo apresentaremos dois modelos seqüenciais com “baixas” penaliza-ções por default. O primeiro consiste no modelo de Hellwig e Lorenzoni (2009), ondea punição por default consiste na exclusão unilateral do mercado de ativos: uma vezexcluído do mercado de ativos, o agente é impedido de vender ativos (i.e., é impe-dido de tomar empréstimos) mas ainda pode comprar ativos contingentes a preçode mercado (i.e., ainda pode poupar). Veremos que alocações com nível de endivi-damento positivo só poderão ser implementadas pelo equilíbrio competitivo dessaeconomia se elas tiverem low implied interest rates. Esse resultado contrasta com orequerimento de Alvarez e Jermmann de que as alocações de equilíbrio tenham highimplied interest rates, a fim de garantir que elas sejam eficientes restritas.

Em seguida estudaremos o modelo de Azariadis e Kaas (2012), onde a puniçãopor default consiste, assim como em Alvarez e Jermmann, na exclusão bilateral doagente insolvente do mercado de ativos, com a diferença de que agora o tempo de

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exclusão não é infinito: a cata período, o agente insolvente tem uma chance µ > 0de voltar a ter acesso ao mercado de ativos (µ = 0 corresponde ao caso estudado porAlvarez e Jermmann). Azariadis e Kaas mostram que, ao se permitir que agentesvoltem a ter acesso ao mercado de ativos com probabilidade µ > 0: (i) a alocaçãofirst best pode não ser implementável para fatores de desconto β arbitrariamentepróximos de 1, (ii) existe uma complementariedade dinâmica nos preços que permitea existência de múltiplos equilíbrios.

Note que nesses dois modelos a punição por default é menor do que a puniçãodo modelo de Alvarez e Jermmann (2000). Como conseqüência, os limites de cré-dito dessas economias devem ser mais restritivos do que os de Alvarez e Jermmannpara impedir default. Por isso, esperamos que nessas economias tenhamos menossuavização de consumo do que em uma economia de Alvarez e Jermmann.

Note também que, ao passo que a utilidade esperada do outside option no modelode Alvarez e Jermmann podia ser plenamente caracterizada a partir das preferênciase dotações; nos modelos de Hellwig e Lorenzoni (2009) e de Azariadis e Kaas (2012)as utilidades do outside option dependerão dos preços de mercado e, portanto, se-rão endógenas. Esse aspecto dificulta a obtenção de alocações de equilíbrio nessaseconomias. De fato, como as restrições de participação desses modelos dependemde preços, o método de A-J (2001) de resolver o problema de um planejador paraachar alocações eficientes restritas não pode ser empregado nesses modelos.

4.2 Equilíbrio seqüencial com exclusão unilateral domercado de crédito - Hellwig e Lorenzoni (2009)

Nesta seção, definiremos o conceito de equilíbrio de Hellwig e Lorenzoni (2009) parao ambiente físico descrito na seção 2.2. Veremos que um equilíbrio de Hellwig eLorenzoni (H-L) é similar a um equilíbrio de A-J, onde a cada período os agentesescolhem o quanto consumir e o quanto comprar de ativos contingentes e, onde a cadaperíodo os agentes têm a opção de não cumprirem as promessas feitas no períodoanterior e darem default. A diferença é que agora a punição por default não serámais a exclusão bilateral do agente do mercado de ativos: o agente que dá defaultserá proibido de poupar (i.e., de vender ativos) em todos os períodos subseqüentes,mas ainda poderá fazer empréstimos (i.e., comprar ativos) aos mesmos preços quevigoram no mercado.

Em H-L, assume-se que, a cada período t, histórico zt, os agentes transacionambens de consumo ci,t(zt) e ativos contingentes de um período para cada realizaçãode estado da natureza. Na data zero, cada agente i recebe uma dotação inicial deativos ai,0, tal que a oferta agregada líquida de ativos nesse período inicial seja zero:∑I

i=1 ai,0 = 0.O preço do bem de consumo é normalizado para 1, enquanto que o preço, na

data t e história zt, do ativo que promete pagamento de uma unidade do bem deconsumo em t + 1, contingente a zt+1 = z′, é dado por qt(zt, z′).

Assim como em A-J, H-L assumem que, a cada nó do histórico de choques osagentes tenham a opção de não cumprirem as promessas feitas na data anterior edarem default. Sendo que agora, a punição por default será menos severa do que

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a punição de A-J: se um agente dá default na data t, ele é proibido de venderativos contingentes dessa data em diante (i.e., ele é proibido de pegar empréstimosdessa data em diante), mas ainda pode comprar ativos ao mesmo preço aplicadoaos agentes solventes. Em outras palavras, se um indivíduo dá default, ele não éexcluído permanentemente do mercado de ativos, pois ainda pode poupar atravésda compra de ativos contingentes.

Para cada data t e história (zt, z′), φi,t+1(zt, z′) é definido endogenamente comoa quantidade máxima do ativo que paga uma unidade do bem de consumo em t + 1quando zt+1 = z′, que o indivíduo i pode vender na data t, sem que ele tenhaincentivos em dar default na data seguinte, quando zt+1 = z′.

Dado que essa economia possui um ativo contingente associado a cada estado danatureza, um indivíduo nunca irá querer comprar um ativo contingente, se ele sabea priori que a promessa vinculada ao ativo não será cumprida. Por isso, assim comoA-J, H-L supõem que cada indivíduo i não possa vender mais do que −φi,t+1(zt, z′)unidades do ativo que promete pagamento em t + 1 quando zt+1 = z′, a fim de queele não tenha incentivos em dar default na data seguinte.

Com base nisso, temos que um equilíbrio de H-L para essa economia é definidoda seguinte forma:

Definição 4.2.1 Um equilíbrio competitivo de Hellwig e Lorenzoni consiste em res-trições de solvência φi, condições iniciais ai,0, quantidades ci, ai e preços qtais que:

i) Dado q, para cada i, ci, ai resolve

Ji,t(a, zt) = maxc,a(z′)z′∈Z

u(c) + β

∑

z′∈Z

Ji,t+1(az′ , (zt, z′))π(z′, zt)

, (4.1)

sujeito a

ei,t(zt) + a =

∑

z′∈Z

az′qt(zt, z′) + c, (4.2)

az′ ≥ φi,t+1(zt, z′) ∀z′ ∈ Z (4.3)


i

ci,t(zt) =

∑

i


∑

i∈I

ai,t+1(zt, z′) = 0 ∀t, ∀zt, ∀z′

iii) As restrições de solvência são not too tight:

Ji(φi,t(zt), zt) = JD

i,t(0, zt), (4.4)

onde

JDi,t(a, zt) = max

c,az′z′∈Z

u(c) + β

∑

z′∈Z

Ji,t+1(az′ , (zt, z′))π(z′, zt)

,

49

sujeito a

ei,t(zt) + a =

∑

z′∈Z

az′qt(zt, z′) + c,

az′ ≥ 0 ∀z′ ∈ Z (4.5)

Note que, diferentemente do modelo de A-J, a restrição de participação V Di,t (0, z

t)depende do preço dos ativos qi,t, que são endógenos.

4.2.1 Exemplo de equilíbrio estacionárioNesta seção, estudaremos propriedades de um equilíbrio estacionário para uma eco-nomia simplificada com apenas dois agentes. Veremos que, a fim de que um equilí-brio estacionário com nível de endividamento positivo possa ser implementado nessaeconomia, a alocação de equilíbrio deve ter low implied interest rates.

Suponha que haja apenas dois agentes nessa economia, i.e., I = 0, 1. A cadaperíodo existem apenas dois possíveis estados da natureza: s0, s1. As dotações decada agente são anti-simétricas, i.e., quando um agente tem dotação alta, o outrotem dotação baixa e vice-versa. Mais precisamente, as dotações de cada agente sãodadas por:

e0,t(zt = s0) = e, e0,t(zt = s1) = e ∀te1,t(zt = s0) = e, e0,t(zt = s1) = e ∀t,

onde a renda agregada é normalizada para 1, i.e., e + e = 1.Suponha que Pr(zt+1 = s0|zt = s1) = Pr(zt+1 = s1|zt = s0) ≡ α ∈ (0, 1), z0 = s0

e que a0(z0) = −ω e a1(z0) = ω.

Proposição 4.2.1 (Hellwig e Lorenzoni (2009), página 1144) Seja c a (única) so-lução da equação 1 − β(1 − α) = βαu′(1 − c)/u′(c). Se c < e, então existe umequilíbrio estacionário de H-L onde as seguintes condições são satisfeitas:

i) Os preços de Arrow são dados por q(zt+1) = qc ≡ 1 − β(1 − α) se zt+1 0= zt eq(zt+1) = qnc ≡ β(1− α) se zt+1 = zt.1

ii) O consumo de equilíbrio é dado por

ci,t(zt) =

c, se zt = si

c, se zt 0= si,

onde c = 1− c.

iii) A quantidade de ativos de equilíbrio é dada por

ai,t(zt) =

−ω, se zt = si

ω, se zt 0= si,

onde ω = (e− c)/2qc.1Seguindo a notação de Hellwig e Lorenzoni (2009), qnc é o preço do ativo que paga no período

seguinte sempre que não haja uma mudança no choque atual (zt = zt+1), enquanto qc é o preço doativo que paga no período seguinte, sempre que haja uma mudança no choque atual (zt 0= zt+1).

50

iv) Os limites de crédito são dados por φi,t(zt) = −ω ∀ zt " z0.


Note que, em equilíbrio, necessariamente temos que ter c ≤ e, pois, caso contrárioa equação de Euler não seria satisfeita. De fato, suponha por contradição que c > e.Então agentes com dotação alta têm restrição de crédito ativa, e agentes com dotaçãobaixa têm restrição de crédito inativa, o que implica, pela equação de Euler que

qnc = βαu′(c)

u′(1− c)e qnc ≥ β

αu′(1− c)

u′(c)

⇒ u′(c) ≥ u′(1− c) ⇐⇒ c ≤ 1− c < 1− e = e ≤ e →←

uma contradição.Note também que esse equilíbrio com restrição de solvência binding requer que

qc + qnc = 1, i.e., que a taxa de juros seja zero. De fato, sejam ch o consumoestacionário de um agente com dotação alta e cl o consumo estacionário de umagente com dotação baixa. Então a utilidade continuada de um agente com dotaçãoalta é dada por

v(ch, cl) =1

1− β + 2βα((1− β(1− α))u(ch) + βαu(cl)) . (4.6)

Suponha que cada agente possua −ω ativos no período alto e a ≥ −ω ativos noperíodo baixo. Então as seguintes restrições orçamentárias devem ser satisfeitas:

ch = e− ω + qncω − qcacl = e + a− qnca + qcω

⇐⇒(1− qnc)ch + qccl = (1− qnc)e + qce + [q2

c − (1− qnc)2]w. (4.7)

Logo, o consumo estacionário de um indivíduo que se mantém solvente devemaximizar a função valor 4.6 sujeito a 4.7.

Se, por outro lado, o agente escolhe dar default quando tem dotação alta, entãoa quantidade de ativos possuída por esse agente no estado alto deve ser ω ≥ 0. Masω > 0 implicaria numa contradição, visto que esse agente não estaria suavizandoconsumo. Portanto, para o agente que dá default, ω = 0, o que implica que esseagente maximiza 4.6 sujeito a

(1− qnc)ch + qccl = (1− qnc)e + qce. (4.8)

Agora note que 4.8 representa um deslocamento na restrição orçamentária 4.7.Esse deslocamento será positivo ou negativo dependendo se [q2

c − (1 − qnc)2] é po-sitivo ou negativo. Se o deslocamento é estritamente positivo, o agente pode ficarestritamente melhor dando default, enquanto que um deslocamento negativo implicaque o agente prefere se manter solvente. Portanto, temos os seguintes resultados:

51

i) Quando qc + qnc > 1, o agente do tipo alto terá incentivos em dar default;

ii) Quando qc + qnc = 1, o agente do tipo alto será exatamente indiferente entre semanter solvente e dar default;

iii) Quando qc + qnc < 1, o agente do tipo alto prefere se manter solvente do quedar default.

Portanto, para que um equilíbrio estacionário com nível de endividamento posi-tivo seja implementável neste exemplo simplificado, é necessário que a taxa de jurosde equilíbrio seja zero. Isso implica, na terminologia de Alvarez e Jermmann (2000),que a alocação de equilíbrio com nível de endividamento positivo deve ter low im-plied interest rates (note que, quando a taxa de juros é zero, a equação 2.27 é igual ainfinito). Na próxima seção veremos que o requerimento de low implied interest ratestambém é necessário para implementar um equilíbrio com endividamento positivopara o caso geral.

4.2.2 Caso geralA proposição a seguir traz condições necessárias e suficientes para que as restriçõesde solvência do problema 4.1 sejam not too tight :

Proposição 4.2.2 (Hellwig e Lorenzoni (2009), página 1144) Os limites de créditoφi são not too tight se somente se permitem o exato rolamento da dívida:

φi,t(zt) =

∑

zt+1(zt

q(zt+1)φi,t+1(zt+1) ∀zt ∈ Zt. (4.9)

Pela próxima proposição, provada em Bullow and Rogoff (1989), temos que lowimplied interest rate é uma condição necessária para garantir existência de equilíbriocom endividamento positivo nessa economia:

Proposição 4.2.3 Suponha que preços e dotações sejam tais que

i) Preços satisfazem a condição de high implied interest rates:

ω(zt) ≡∑

τ=0

∑

zt+τ(zt

ei,t(zt+τ )Q0(z

t+τ |z0)/Q0(zt|z0) < ∞ ∀t, zt,

ondeQ0(z

t|z0) = q0(z0, z1)q1(z0, z1, z2) · · · qt−1(zt−1, zt)

são os preços de A-D dessa economia.

ii) As restrições de solvência são maiores ou iguais às restrições de crédito natural:

φi,t(zt) ≥ −ω(zt) ∀t, zt.

Então, temos que ter φi,t(zt) = 0 ∀t, zt.

52


Portanto, para garantir a existência de equilíbrio com nível de endividamentopositivo, uma das condições da proposição 4.2.3 devem ser violadas.

Bulow e Rogoff (1989) concluem não ser possível implementar um equilíbriocom nível de endividamento positivo em uma economia similar a essa, onde um paístoma suas decisões de empréstimo no exterior sujeito às mesmas sanções por default.Todavia, eles assumem que a taxa de juros da economia é exógena, e que o valorpresente das dotações do país é finita. Mas essa é justamente a condição de highimplied interest rate da proposição acima que, se satisfeita, impede a existência deequilíbrio com nível de endividamento positivo.

4.3 Equilíbrio seqüencial com exclusão temporáriado mercado de ativos - Azariadis e Kaas (2012)

Azariadis e Kaas (2012) trabalham com um ambiente físico parecido com o de Al-varez e Jermmann (2000), exceto que agora eles supõem que os agentes que dãodefault têm uma probabilidade µ > 0 de voltar a ter acesso ao mercado de ativosa cada período. Nessa formulação, os autores mostram exemplos de casos em quehá múltiplos equilíbrios para valores de µ próximos de um (i.e., quando o tempoesperado de exclusão do mercado de ativos é baixo).

No teorema 2.6.7, havíamos visto que, quando o fator de desconto β tendia azero, o único equilíbrio da economia de A-J era o autárquico. Indo na direçãooposta, temos que, para β suficientemente próximo de 1, o equilíbrio first best éimplementável em uma economia de A-J com exclusão permanente do mercado deativos. A intuição para esse resultado vem do fato de que, para β próximo de um,a punição por default é muito severa, o que faz com que o nível de commitmentna economia seja alto, tornando mais fácil a implementação do equilíbrio first best.Veremos que, no ambiente físico de Azariadis e Kaas, essa condição nem sempreé satisfeita. Surpreendentemente, o equilíbrio first best poderá ser implementávelpara valores de β baixos e não ser implementável para valores de β próximos de 1,quando o tempo esperado de exclusão do mercado de ativos é finito.

4.3.1 Ambiente físicoO ambiente físico deste modelo diferirá daquele apresentado na seção 2.2, pois agoraassumiremos a existência de um contínuo de agentes e a existência de um choque paracada agente. Embora os resultados que veremos nesta seção também se apliquem aoambiente físico com um número finito de agentes, optamos por manter consistênciacom o trabalho original de Azariadis e Kaas (2012), a fim de aproveitarmos esseambiente físico para explicar, no último capítulo, o algoritmo sugerido por Kruegere Perry (2010) para computar equilíbrios estacionários de economias como essa, comlimites de crédito endógenos.

Assuma que exista um contínuo de agentes i ∈ [0, 1], que vivem infinitos períodost ∈ 0, 1, · · · . Existe apenas um bem não durável nessa economia e, a cada período

53

t, o indivíduo i ∈ [0, 1] recebe um choque zit ∈ H, L que determina sua dotaçãoei(zit) do bem não durável naquela data. Nós assumimos que esses choques sigamum processo de Markov iid entre os indivíduos e que as probabilidades de transiçãosejam dadas por:

π(H|H) = πH π(L|H) = 1− πH

π(L|L) = πL π(H|L) = 1− πL.

Quando zit = H o indivíduo i recebe dotação alta, e quando zit = L, o indivíduo irecebe dotação baixa. Mais precisamente, nós assumimos que

ei(H) = λ > 1

ei(L) = 1− (λ− 1)1− πL

1− πH< 1,

de tal forma que a renda estacionária média seja igual a 1. Usando notação con-vencional, escrevemos zt

i como uma história de choques até a data t para o agentei.

Assumimos que a cada período os agentes transacionam bens de consumo ci,t(zt)e ativos contingentes de um período. Denotamos por ai(zt

i , z′i) a quantidade de ati-

vos comprada pelo agente i na data t que promete pagar uma unidade do bem nãodurável em t + 1, contingente à realização do choque z′i em t + 1, enquanto queq(zt

i , z′i) denota o preço desse ativo. Note-se que, a princípio, a compra de ativos

feita por um indivíduo, assim como os preços desses ativos, também deveriam de-pender da história de choques de todos os demais agentes dessa economia. Todavia,como essa economia possui um contínuo de agentes, temos, pela lei dos grandesnúmeros, que em um equilíbrio estacionário a distribuição das histórias de choquesserá determinística.

A utilidade esperada dos agentes é dada por:∑

t=0

∑

zti

βtπ(zti)u(ci(z

ti)),

onde β ∈ (0, 1) é o fator de desconto invariante no tempo.Assumimos que, a cada período, o agente tenha a opção de dar default e não

honrar as promessas feitas na data anterior. Caso um agente dê default, ele éexcluído do mercado de ativos naquele período, e tem probabilidade µ > 0 de voltara ter acesso ao mercado de ativos em cada período subseqüente. Portanto, a duraçãoesperada do tempo de exclusão do mercado de ativos para um agente que dá defaulté dada por 1/µ.2

4.3.2 Definição de EquilíbrioComo as decisões de um agente são plenamente caracterizadas por sua história dechoques idiossincráticos, podemos excluir o subscrito i do choque de cada agente.Fazendo isso, temos que o conceito de equilíbrio de Azariadis e Kaas (2012) paraessa economia é dado por

2Usando álgebra elementar, pode-se provar facilmente que o tempo esperado de exclusão é dadopor 1µ + 2µ · (1− µ) + 3µ · (1− µ)2 + · · · = 1/µ.

54

Definição 4.3.1 (Azariadis e Kaas (2012), página 6) Um equilíbrio com limitedcommitment e duração de exclusão 1/µ é uma lista de planos de consumo eativos ct(zt), at(zt)(zt), uma distribuição µ de condições iniciais (ai,0, zi,0), limitesde crédito bt(zt)(zt) e preços qt(zt)(zt) tais que:

(i) dados qt(zt)(zt), ct(zt), at(zt)(zt) resolve

Jt(a, zt) = maxc,a(H),a(L)

u(c) + β

∑

z′=H,L

π(z′|zt)Jt(a(z′), (zt, z′))

,

s.a. e(zt) + a =∑

z′=H,L

a(z′)qt(zt, z′) + c,

a(z′) ≥ −bt(zt, z′)

(ii) Há market clearing nos mercados de bens e de ativos:∫ 1

0

∑

zt

π(zt|zi,0)ct(zt)µ(ai,0, zi,0) di = 1 ∀t,

∫ 1

0

∑

zt

π(zt|zi,0)at(zt)µ(ai,0, zi,0) di = 0 ∀t

(iii) A restrição de participação é satisfeita:

Jt(at(zt), zt) ≥ Jt(z

t),

onde Jt(zt) é recursivamente definido por

J t(zt) = u(e(zt)) + βµ

∑

z=H,L

π(z|zt)Jt(0, (zt, z)) + β(1− µ)

∑

z=H,L

π(z|zt)J t(zt, z).

(iv) As restrições de solvência são not too tight: Jt(−bt(zt), zt) = Jt(zt).

Agora note-se que, como a primeira parte da definição de equilíbrio é exatamenteigual à definição de Alvarez e Jermann (2000), temos que a equação Euler e condiçãode transversalidade obtidas no modelo de A-J também se aplicam aqui. Portanto,as condições suficientes de otimalidade para esse problema são dadas por:

qt(zt, z′) ≥ βπ(z′|z)u′(ct(zt, z′))

u′(ct(zt)), (Eq. de Euler)

com igualdade se at(zt, z′) > −bt(zt, z′), e

limt→∞

∑

zt∈H,Lt

βtu′(ct(zt))[at(z

t) + bt(zt)]π(zt|zi,0) = 0. (Cond de Transv.)

55

4.3.3 Equilíbrio EstacionárioNesta seção, derivamos algumas condições suficientes para a existência de um equilí-brio estacionário. Dizemos que um equilíbrio é estacionário se os preços e alocaçõesdependem apenas no choque de dotação atual do indivíduo, e se a distribuição doschoques de dotação é constante no tempo.

Para achar a proporção de indivíduos com dotação alta, φH , e a proporção deindivíduos com dotação baixa, φL, no estado estacionário, basta resolver o seguintesistema linear (

πH 1− πL

1− πH πL

) (φH

φL

)=

(φH

φL

),

cuja solução é dada porϕH ≡

1− πL

2− πH − πLe

φL ≡ 1− φH .

Definimos x ∈ [1, λ] como o consumo estacionário do agente que se encontracom dotação alta. Por market clearing, isso implica que o consumo estacionário doagente com dotação baixa é dado por cL(x) ≡ 1 − (x − 1) 1−πL

1−πH∈ [0, 1]. az,z′ será a

quantidade do ativo que promete pagar uma unidade do bem de consumo na dataseguinte, contingente à realização do choque z′ na data seguinte, que um agente noestado z compra; e qz,z′ será o preço desse ativo.

Pelas equações de Euler, restrições orçamentárias e condições de market clearing,pode-se provar o seguinte resultado:

Lemma 4.3.1 (Azariadis e Kaas (2012), página 7) Seja x ∈ [1, λ] o consumo es-tacionário de um indivíduo com dotação alta, e cL(x) ≡ 1− (x− 1) 1−πL

1−πHo consumo

estacionário de um indivíduo com dotação baixa. Então os preços de equilíbrio sãodados por

qLL = βπL, qHL(x) =β(1− πH)u′(cL(x))

u′(x)

qHH = βπH , qLH(x) =β(1− πL)

1− πH

[πL − πH + (1− πL)

u′(cL(x))

u′(x)

],

e os ativos de equilíbrio são dados por

aLH = aHH = −b(x), aHL = aLL =1− πL

1− πHb(x),

ondeb(x) ≡ (λ− x)

1− βπH + β(1− πL)u′(cL(x))u′(x)

.

Note que, se x > cL(x), então a restrição de crédito necessariamente será bindingpara o agente com dotação baixa que compra ativos contingentes à realização doestado bom no período seguinte. Isso segue do fato de que

qLH > β(1− πL)u′(x)

u′(cL(x)),

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o que pode ser facilmente provado algebricamente.Note também que b(x) é decrescente em x. Como o limite de crédito será binding

para o agente com dotação baixa (exceto, possivelmente, no caso em que o equilíbriofirst best é implementável), isso reflete o fato de que, para permitir uma maiorsuavização de consumo (i.e., para que x possa ficar mais próximo de 1), é necessárioque o limite de crédito para o agente com dotação baixa aumente.

É importante salientar que as condições apresentadas no lema anterior são apenascondições necessárias para que um candidato x ∈ [1, λ] à alocação de equilíbrio sejaimplementável. Para que uma alocação caracterizada por x ∈ [1, λ] seja de fato umequilíbrio, é necessário que, não só as condições do lema anterior sejam satisfeitas,como também os limites de crédito not too tight dessa economia sejam respeitados.Na próxima seção, veremos quando a alocação first best (i.e., quando x = 1) éimplementável.

4.3.4 Implementado a alocação first bestAo estudarmos o equilíbrio de Arrow-Debreu, vimos que, na ausência de crescimentonas dotações agregadas, os agentes devem ter consumo constante. Para estudarmosos casos em que o equilíbrio first best é implementável, pode-se, sem perda de ge-neralidade, estudar os casos em que o equilíbrio simétrico first best é implementável(i.e., quando a alocação na qual cada agente consome a renda média da economia,que é 1, em todos os períodos, é implmentável). De fato, se um equilíbrio firstbest assimétrico é implementável, então o equilíbrio simétrico first best também éimplementável, na medida em que se faça uma redistribuição de riquea apropriada.Portanto, uma condição necessária para que um equilíbrio first best qualquer sejaimplementável é que o equilíbrio simétrico first best seja implementável para umadada redistribuição de riqueza inicial3.

Pelo lema 4.3.1, se a alocação simétrica first best, x = cL(x) = 1, é um equilíbriodessa economia, então temos que:

• qzz = βπz, qzz′ = β(1− πz), para todo z 0= z′ ∈ H,L.

• A utilidade de se manter solvente é dada por

U∗ = u(1)/(1− β).

• A utilidade de dar default no estado bom é dada por

UH = u(λ) + β(1− µ)[πHUH + (1− πH)UL

]+ βµ

[πHU0

H + (1− πH)U0L

]

• A utilidade de dar default no estado ruim é dada por

UL = u(e(λ)) + β(1− µ)[πLUL + (1− πL)UH

]+ βµ

[πLU0

L + (1− πL)U0H

]

Se essas condições são satisfeitas, pode-se provar os seguintes lemas:3De fato, se o consumo de cada agente é constante, mas esse nível de consumo (constante) difere

entre os agentes, então será mais difícil satisfazer os limites de crédito do agente que tem menorconsumo, comparado com uma economia onde todos consomem a mesma renda média.

57

Lemma 4.3.2 Um indivíduo que dá default e volta a ter acesso ao mercado deativos no estado bom, escolhe um nível de consumo constante desse ponto em diantee igual a

c0H =

λ(1− β) + β(2− πH − πL)

1 + β(1− πL − πH)> 1

⇒ U0H =

1

1− βu

(λ(1− β) + β(2− πH − πL)

1 + β(1− πL − πH)

). (III)

Lemma 4.3.3 b é definido de tal forma que, um agente que entra no estado bomcom renda λ− b é exatamente indiferente entre dar default e se manter solvente. Seele se mantém solvente, ele consome:

c = c0H − b(1− β) ⇒

u(c0H − b(1− β)

)

1− β= UH . (IV)

todo período.

Lemma 4.3.4 Um agente que dá default e volta a ter acesso ao mercado de ativosno estado ruim escolhe, nos períodos subseqüentes em que se encontra no estadoruim:

c0L = e(L) + qLHb

aLH = −b aLL = 0

⇒ U0L = u(c0

L) + βπLU0L + β(1− πL)UH . (V)

Lemma 4.3.5 Existe uma única solução (UH , UL, U0H , U0

L, b) para o sistema for-mado pelas equações (I), (II), (III), (IV) e (V).

Agentes não têm incentivos em se desviar da alocação first best se somente se

u(1) ≥ UH/(1− β) = u(c).

⇐⇒ 1 ≥ c = c0H − b(1− β) ⇐⇒ b ≥ b(1)

Usando os lemas 4.3.2 até 4.3.5, Azariadis e Kaas (2012) provam o seguinteteorema:

Teorema 4.3.6 (Azariadis e Kaas (2012), página 9) O equilíbrio first best é imple-mentável se somente se

u(1) ≥ α1u(λ) + α2u(e(L)) + α3u

(λ(1− β) + β(2− πH − πL)

1 + β(1− πL − πH)

)+

α4u

(e(L) +

β(1− πL)(λ− 1)

1 + β(1− πL − πH)

),

onde αi dependem dos parâmetros (β, µ, πH , πL) e satisfazem∑4

i=1 αi = 1.

58

Pode-se mostrar que o lado direito da equação 4.3.6 é a utilidade esperada deuma loteria com payoff esperado maior que 1. Portanto não podemos garantir queessa condição será satisfeita.

Note também que, quando β → 1, a desigualdade 4.3.6 se torna inócua: u(1) ≥u(1). Portanto, para avaliar quando a alocação first best é implementável, Azariadise Kaas (2012) computam, para diferentes parâmetros, a derivada do lado direitoda desigualdade do teorema 4.3.6 com respeito a β avaliada em β = 1, e verificamse essa derivada é positiva ou negativa. Se a derivada é negativa (positiva, resp.),então, para β arbitrariamente próximo de 1, a desigualdade em 4.3.6 não é satisfeita(é satisfeita, resp.).

Se, por exemplo,

u(c) =c(1−γ)

1− γ, (4.10)

Azariadis e Kaas (2012) computam a seguinte tabela, que mostra o menor coeficientede aversão ao risco γ para o qual o equilíbrio first best é implementável quando otempo esperado de exclusão é 1/µ, e quando β é arbitrariamente próximo de 1:

1/µ 1 2 3 4 5 10 20 30γ 19.4 13.2 10.0 8.0 6.7 3.6 1.9 1.3

A tabela acima mostra que, quanto menor é o tempo esperado de exclusão, maisdifícil se torna a implementação do equilíbrio first best para valores de β arbitrari-amente próximos de 1.

Pela tabela, também fica claro que o equilíbrio first best nem sempre é implemen-tável para valores de β próximos de 1. Esse resultado contrasta com o caso em queo tempo de exclusão é infinito. De fato, quando a punição por default consiste naexclusão permanente do agente do mercado de ativos, o equilíbrio first best é sempreimplementável para valores de β suficientemente próximos de 1. Já no modelo deAzariadis e Kaas, não só essa condição não é satisfeita, como é possível que o equilí-brio first best seja implementável para valores de β baixos e não seja implementávelpara valores de β próximos de 1.

A intuição para esse resultado vem do fato de que, quando a punição por defaulté apenas temporária, o agente pode voltar a ter acesso ao mercado no estado bom eter um ganho permanente de consumo. Por isso, ao fazer β próximo de 1, o agentesofrerá pouco com a punição temporária por default, e levará em consideração apenasa possibilidade de ganho permanente de consumo, o que faz com que ele tenha altosincentivos em dar default, dificultando assim a implementação do equilíbrio firstbest.

Todavia, se µ = 0, temos que o tempo de exclusão é infinito, e o equilíbrio firstbest é implementável para β suficientemente próximo de 1. De fato, para µ = 0, acondição do teorema 4.3.6 fica

u(1) ≥ 1− βπL

1 + β(1− πH − πL)u(λ) +

β(1− πH)

1 + β(1− πH − πL)u(e(L)),

No limite, o lado direito dessa desigualdade é a utilidade esperada de uma loteriaque paga em média uma unidade do bem de consumo. Devido a concavidade de

59

u, o equivalente certeza dessa loteria é menor que 1, donde temos que, para βsuficientemente próximo de 1, o equilíbrio com perfeita suavização de consumo éimplementável.

4.3.5 Equilíbrios com imperfect risk sharingSeja x ≥ 1 ≥ cL(x) um candidato qualquer a alocação de equilíbrio. Então autilidade continuada de manter essa alocação quando o agente encontra-se no estadobom, U∗

H(x), e a utilidades continuada de manter essa alocação quando o agenteencontra-se no estado ruim, U∗

L(x), são dadas recursivamente por

U∗H(x) = u(x) + βπHU∗

H(x) + β(1− πH)U∗L(x)

U∗L(x) = u(cL(x)) + βπLU∗

L(x) + β(1− πL)U∗H(x).

Já as utilidades continuadas de o agente dar default no estado bom e no estadoruim são dadas por

UH(x) = u(λ) + β(1− µ)[πHUH(x) + (1− πH)UL(x)

]+ βµ

[πHUH(0, x) + (1− πH)UL(0, x)

]

UL(x) = u(e(L)) + β(1− µ)[πLUL(x) + (1− πL)UH(x)

]+ βµ

[πLUL(0, x) + (1− πL)UH(0, x)

],

onde

Uz(a, x) = maxaz,L≥−b(z,L)az,H≥−b(x)

u (e(z) + a− qzH(x)azH − qzL(x)azL) +

+ β[πzUz(azz, x) + (1− πz)Uz′(azz′ , x)

].

Essa alocação será um equilíbrio estacionário se

J(x) ≡ U∗H(x)− UH(x) ≥ 0, (∗)

com igualdade se x > 1.Para µ = 0 estamos no mesmo ambiente físico de Alvarez e Jermmann (2000) e,

portanto, podemos utilizar o mesmo procedimento de Alvarez e Jermmann (2001)para achar os equilíbrio estacionários dessa economia. Já para µ > 0, deve-seachar os pontos em que J(x) = 0, o que requer a solução de um problema deponto fixo complexo. Contudo, para o caso em que os agentes mudam de tipodeterministicamente e µ = 0 ou µ = 1, a função J pode ser derivada analiticamente.Nos gráficos 4.1 e 4.2, representamos a equação J para esses casos.

Note que, no exemplo em que µ = 1 e β = 0.79, existem três equilíbrios estacio-nários: o equilíbrio autárquico, e dois equilíbrios com imperfect risk sharing. Já emum equilíbrio de Alvarez e Jermmann (2000) existem no máximo dois equilíbrios:o autárquico e mais um equilíbrio, que pode ser o first best ou um equilíbrio comimperfect risk sharing.

Azariadis e Kaas argumentam que a razão pela qual seu modelo permite a exis-tência de múltiplos equilíbrios se deve ao fato de que existe uma complementariedadedinâmica dos preços, quando a punição por default não é permanente. De fato, su-ponha que µ = 1, isto é, que ao dar default na data t, o agente é proibido de

60

0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1!0.4

!0.3

!0.2

!0.1

0

0.1

0.2

0.3

x

J(x

)

!=.05

!=.2

!=.4

Figura 4.1: Curva J(x) definindo o equilíbrio estacionário quando µ = 0, u(c) =c1−γ, γ = 10/3 e θ = .25 para três níveis diferentes de fator de desconto.

0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1!0.015

!0.01

!0.005

0

0.005

0.01

x

J(x

)

!=.74

!=.79

!=.84

Figura 4.2: Curva J(x) definindo o equilíbrio estacionário quando µ = 1, u(c) =c1−γ, γ = 10/3 e θ = .25 para três níveis diferentes de fator de desconto.

transacionar ativos nessa data, mas volta a ter acesso ao mercado de ativos na datat+1 com probabilidade 1. Então, se a taxa de juros na data t+1 aumenta, o agentecom dotação alta em t terá menos incentivos em dar default na data t (pois, caso

61

ele dê default, deverá abrir mão de poupar nessa data), o que permite um aumentodo limite de crédito na data t, aumentando assim o volume de empréstimos na datat. Para que os poupadores da data t tenham incentivos em aumentar o volume deempréstimos nessa data, a taxa de juros de equilíbrio em t deve aumentar.

62

Apêndice C


i) 4: Essa alocação satisfaz a equação de Euler.Claramente,

qc = βαu′(1− c)

u′(c)

satisfaz a equação de Euler, pois o agente com dotação alta não está restritopelo limite de crédito, o que implica que o preço deve se igualar a sua taxamarginal de substituição.Equivalentemente,

qnc = β(1− α).

satisfaz a equação de Euler, pois no steady state temos que ter

qnc = max

β(1− α)

u′(c)

u′(c), β(1− α)

u′(1− c)

u′(1− c)

= β(1− α).

ii) Market clearing é satisfeito trivialmente.

iii) 4: A restrição orçamentária é satisfeita.Pela definição de ω, temos que

ω =e− c

2qc

2qcω = e− c

2(1− β(1− α))ω + c = e

ωqc + ω + qnc(−ω) + c = e

qcω + qnc(−ω) + c = e− ω

⇐⇒ qca0,t(zt = s1) + qnca0,t(zt = s0) + c = e− a0,t(zt = s0)

Similarmente, temos que a restrição orçamentária do agente com dotação baixaé satisfeita.

63

iv) 4: Restrições de solvência são not too tight.Pelo teorema 4.2.2, como φ(zt) é constante, temos que ter qc + qnc = 1, que ésatisfeito.

!

Prova da proposição 4.2.3: Se ω(zt) < ∞, temos que ter

limT→∞

∑

zt+T(zt

ωt(zt+T )

Q0(zt+τ |z0)

Q0(zt|z0)= 0.

Agora, como as restrições de crédito são not too tight, vale a condição 4.9. Portanto,

φ(zt) =∑

zt+1(zt

Q0(zt+1|z0)

Q0(zt|z0)φ(zt+1)

=∑

zt+1(zt

Q0(zt+1|z0)

Q0(zt|z0)

∑

zt+2(zt=1

Q0(zt+2|z0)

Q0(zt+1|z0)φ(zt+2)

=∑

zt+2(zt

Q0(zt+1|z0)

Q0(zt|z0)φ(zt+2)

...

=∑

zt+T(zt

Q0(zt+T |z0)

Q0(zt|z0)φ(zt+T ).

Usando a hipótese de que φ(zt) ≥ −ω(zt), obtemos

φ(zt) ≥ −∑

zt+T(zt

Q0(zt+T |z0)

Q0(zt|z0)ω(zt+T )

para todo T , o que implica que

φ(zt) ≥ − limT→∞

∑

zt+T(zt

Q0(zt+1|z0)

Q0(zt|z0)ω(zt+T ) = 0.

Como o limite de crédito não pode ser negativo (as pessoas não podem ser obrigadasa poupar) temos que ter φ(zt) = 0.

64

Capítulo 5

Mercados com estrutura de ativosincompleta e limites de crédito

5.1 IntroduçãoNeste capítulo apresentamos o modelo desenvolvido por Huggett (1993). Este mo-delo pertence à classe conhecida como modelos de Bewley, onde existe um contínuode agentes que são idênticos a priori, mas que sofrem choques idiossincráticos derenda que não podem ser completamente diversificados devido a incompletude daestrutura de ativos e devido a restrições de crédito na economia. No modelo de Hug-gett, em particular, o único ativo na economia é o ativo não-contingente (ou ativolivre de risco) e os limites de crédito são determinados exogenamente. Huggett achao equilíbrio estacionário para o seu modelo computacionalmente, e obtém taxa dejuro do ativo livre de risco menor do que a que vigoraria numa economia de Arrowcom agente representativo, o que supostamente ajudaria a explicar o risk free ratepuzzle. Todavia, veremos que a diferença entre essas taxas de juros é muito baixapara a calibração usada por Huggett.

Feita a abordagem do modelo de Huggett, apresentamos algumas formas de en-dogeneizar os limites de crédito desse modelo. Em particular, explicamos como seobtém o limite de crédito tal que os indivíduos nunca precisem incorrer em consumonegativo para poder pagar suas dívidas (para quaisquer realizações futuras de dota-ções do indivíduo) e o limite de crédito tal que os indivíduos não tenham incentivosem dar default.

5.2 Modelo de Huggett (1993)Nesta seção explicamos brevemente o modelo de Huggett (1993) e um algoritmousado para achar o seu equilíbrio estacionário. Em seguida, replicaremos os princi-pais resultados numéricos desse artigo.

5.2.1 Ambiente Físico do ModeloNo modelo de Huggett há um contínuo de agentes com massa 1, que vivem infinitosperíodos. A cada período t ∈ 0, 1, 2, · · · , cada indivíduo recebe um choque idios-

65

sincrático zt ∈ Z, onde Z é finito. Assume-se que zt siga um processo de Markovindependente entre os indivíduos, com matriz de transição dada por Π. Seguindonotação convencional, definimos zt como um histórico de choques (z0, z1, · · · , zt) atéa data t, e Zt como o conjunto de todas as possíveis histórias de choques até a datat. A relação de ordem parcial " definida no conjunto zt ∈ Zt; t = 0, 1, 2, · · · é talque zt′ " zt sse t′ ≥ t e zt′ é uma possível continuação do histórico zt.

Existe apenas um bem não durável nessa economia. A cada período t, o agentecom choque zt recebe dotação e(zt) > 0 do bem não durável (que depende apenasdo choque atual).1 O processo estocástico do consumo do bem é definido por c ≡ct(zt); t ≥ 0 ∧ zt ∈ Zt.

Assume-se que os indivíduos tenham função de utilidade esperada convencionalseparável no tempo, e que a utilidade continuada de consumir c na data t históricozt seja dada por

U(c)(zt) ≡∞∑

s=t

∑

zs∈Zs

βtu(cs(zs))π(zs|zt),

onde u : R+ → R é limitada superiormente, estritamente crescente, estritamentecôncava, C1 e tal que limx→0 u′(x) = +∞, e onde β ∈ (0, 1) é o fator de descontoinvariante no tempo.

Assume-se que a cada período os agentes possam transacionar bens de consumoe um ativo não contingente (i.e., um ativo livre de risco que promete o pagamento deuma unidade do bem de consumo no período seguinte). O preço do bem de consumoé normalizado para 1, enquanto que o preço do ativo na data t é dado por qt. Aprincípio, qt deveria depender da distribuição da história de choques dos agentes.Todavia, como há um contínuo de agentes na economia, a lei dos grandes númerosimplica que a distribuição da história de choques é uma variável determinística, oque implica que podemos indexar esse preço apenas em t.

Assume-se que cada agente não possa vender mais do que −a > 0 unidadesdo ativo livre de risco (onde a é exógeno). Denota-se a ≡ at(zt); t ≥ 0 ∧ zt ∈Zt como o processo estocástico da compra de ativos efetuada por um indivíduo,enquanto A = [a, +∞) é o conjunto de possíveis compras do ativo a cada período(note-se que, quando a < 0, o indivíduo assume uma posição de venda do ativo).

Para efeitos de definição de equilíbrio estacionário dessa economia, definimos Ψcomo uma σ-álgebra associada ao espaço amostral Ω ≡ A× Z.

5.2.2 EquilíbrioHuggett (1993) trabalha com um conceito de equilíbrio estacionáro onde: (i) o preçodo ativo qt é constante no tempo, (ii) a função política de cada agente dependeapenas do seu choque atual e do quanto ele trouxe de ativos do período anterior,(iii) e a distribuição das variáveis de estado (dotações e ativos) é invariante notempo. Abaixo apresentamos a definição formal de equilíbrio estacionário para essaeconomia, e em seguida explicamos porquê usa-se essa definição de equilíbrio, ao

1Em Huggett (1993), os choques podem assumir apenas dois valores (i.e., #Z = 2), um associadoa uma dotação alta e outro associado a uma dotação baixa. Aqui estamos assumindo um ambientefísico mais geral, onde podemos ter #Z > 2.

66

invés de uma definição mais simples, na qual as decisões dependem apenas do choquede dotação presente.

Definição 5.2.1 Um equilíbrio competitivo recursivo estacionário para essa eco-nomia com limite de crédito igual a a (exógeno) é (i) uma função valor V (·, q) :A × Z → R, (ii) uma função política g(·, q) : A × Z → A, (iii) uma medida deprobabilidade Φ :Ψ → [0, 1], e (vi) um preço estacionário para o ativo livre de riscoq tais que:

1. Dado o preço estacionário q, a função valor V e a função política g resolvema equação de Belman

V (a, z, q) = maxc,a′

u(c) + β

∑

z′∈Z

V (a′, z′, q)π(z′|z)

, (5.1)

sujeito a

e(z) + a = a′q + c,

a′ ≥ a.

2. Para todo A′ × Z ′ ∈ Ψ,

Φ(A′, Z ′) =

∫

A,Z

Q(a, z, A′, Z ′)Φ(da, dz),

onde Q : A× Z ×Ψ → [0, 1] é a função de transição definida por

Q(a, z, A′, Z ′) =∑

z′∈Z′A′g(a, z, q)π(z′|z),

e onde

A′(x) =

1, se x ∈ A′

0, c.c.

3. Há market clearing no mercado de ativos:∫

A,Z

g(a, z, q)Φ(da, dz) = 0.

Note que o termo q que aparece na função valor e na função política, serve apenaspara enfatizar que essas funções dependem do preço estacionário. Note também queo item 2 da definição de equilíbrio acima é apenas uma maneira formal de dizer quea distribuição estacionária das variáveis de estado dessa economia, Φ, em conjuntocom a função política g(·, q), devem gerar uma nova distribuição Φ′ que é exatamenteigual à distribuição anterior Φ.

Dito isso, pode-se perguntar a razão pela qual Huggett não trabalha com um con-ceito de equilíbrio estacionário mais simples, onde a função política depende apenasdo choque de dotação atual. Kehoe e Levine (2001) trazem a resposta, ao provarem

67

(na proposição 7) que economias como esta, com restrições de liquidez e cuja transi-ção de um estado bom para um estado ruim ocorre de maneira não determinística,não possuem equilíbrio estacionário onde as decisões dependem apenas do choqueatual.

Existe uma intuição simples para esse resultado: se no primeiro período o in-divíduo encontra-se no estado bom, ele irá querer poupar naquele período a fimde suavizar consumo, isto é, irá comprar ativos naquele período. Supondo que noperíodo seguinte ele esteja no estado ruim, esperamos que o agente pegue um em-préstimo naquele período a fim de suavizar consumo, i.e., ele irá assumir uma posiçãovendedora do ativo livre de risco. Finalmente, se no terceiro período o indivíduosofre um choque de dotação baixo novamente, então ele se encontrará em uma si-tuação pior do que no período 2, pois agora estará endividado. Por causa disso, apolítica adotada no período 3 deve diferir da política adotada no período 2, apesarde o choque de dotação no período 2 ser igual ao choque de dotação no período 3.

Esse tipo de problema não ocorre em uma economia com dois agentes e comum mercado de ativos contingentes para cada realização do estado da natureza,pois aí o agente tem condições de sempre levar a mesma quantidade de ativos paracada estado. É por isso que nos trabalhos de Alvarez e Jermmann (2001), Hellwige Lorenzoni (2009) e Azariadis e Kaas (2012), trabalha-se com a definição maissimples de equilíbrio estacionário, onde a função política depende apenas do choqueatual.

5.2.3 Algoritmo para computar o equilíbrioO equilíbrio estacionário dessa economia pode ser implementado computacional-mente seguindo-se os seguintes passos:

I) Define-se os parâmetros do modelo (β, probabilidades, preferências, limite decrédito, etc.).

II) Faz-se um chute inicial para a taxa de juros r0. Com a taxa de juros, computa-se o preço do ativo livre de risco q0 = 1/(1 + r0).2

III) Dá-se um chute inicial para a distribuição das variáveis de estado Φ0(·, q0).

IV) Dado o preço do ativo livre de risco, q0, itera-se a equação da Belman 5.1 atéque ela convirja, para obter a função política g0(·, q0).

V) De posse de g0(·, q0) e Φ0(·, q0), computa-se a distribuição do próximo períodoΦ1(·, q0). Usando g0(·, q0) e Φ1(·, q0), computa-se Φ2(·, q0) e assim sucessiva-mente, até que Φt(·, q0) ∼= Φt+1(·, q0). Chamemos essa distribuição invariantede Φ(·, q0).

VI) De posse de g0(·, q0) e Φ(·, q0), verifica-se se há market clearing no mercado deativos. Se a demanda agregada por ativos é aproximadamente zero, encerra-seo algoritmo. Se a demanda agregada por ativos é negativa, repete-se os passosII até VI com um novo chute r1 > r0. Se a demanda agregada por ativos épositiva, repete-se os passos II até VI com um novo chute r1 < r0.

2Equivalentemente, poderíamos ter chutado q0 diretamente.

68

5.2.4 Resultados ComputacionaisNesta seção replicamos os principais resultados computacionais de Huggett. Paraisso, utilizaremos a mesma calibração de Huggett.

Suponha que a dotação de cada agente possa assumir apenas dois valores eL = 0.1e eH = 1.0, com probabilidades de transição π(eH |eH) = 0.925 e π(eH |eL) = 0.5.Assuma β = 0.9932 e que a função utilidade u é do tipo CRRA:

u(c) =c1−γ

1− γ,

com coeficiente γ = 1.5. Então, aplicando o algoritmo descrito na seção anteriorpara diferentes níveis de limites de crédito3, nós obtivemos os resultados da tabela5.2.4.4

Limite de crédito, a Taxa de juros livre de risco Preço do ativo, q = 11+r

-2 -1.28% 1.0130-4 0.21% 0.9979-6 0.61% 0.9939-8 0.61% 0.9939

Tabela 5.1: Preço de equilíbrio para diferentes limites de crédito exógenos, quandoγ = 1.5.

Para γ = 3, obtivemos o resultado da tabela 5.2.4

Borrowing Constraint, a Risk free rate Period bond price, q = 11+r

-2 -4.4% 1.0460-4 -0.74% 1.0075-6 0.21% 0.9979-8 0.61% 0.9939

Tabela 5.2: Preço de equilíbrio para diferentes limites de crédito exógenos, quandoγ = 3.

Note-se que esses resultados são similares às tabelas 1 e 2 de Huggett (1993),página 962, exceto que aqui não convertemos a taxa de juros para uma periodicidadeanual. A intuição desses resultados vem do fato de que, ao se aumentar o limitede crédito (i.e., ao se diminuir a) a taxa de juros de equilíbrio deve subir, a fim degarantir equilíbrio no mercado de ativos. Além disso, um aumento no coeficiente deaversão ao risco deve aumentar a propensão dos agentes a poupar, o que, por suavez, deve causar uma redução na taxa de juros.

Definindo 11+ρ ≡ β, temos que ρ é a taxa de juros que vigoraria numa economia

de Arrow com agente representativo. Dado que q mostra-se sempre superior a β,3Claramente, se a = −∞, o ótimo para os agentes seria tomar uma dívida arbitrariamente alta

e praticar jogo de Ponzi.4O algoritmo completo pode ser achado em Huggett.m.

69

temos que r < ρ. Todavia, a tabela nos mostra que r não é muito menor que ρ, oque limita a capacidade desses resultados de explicar o risk free rate puzzle.

5.3 Mercados com estrutura de ativos incompleta elimites de crédito endógenos

Na seção anterior, explicamos o modelo desenvolvido por Huggett, onde o limitede crédito era constante e determinado exogenamente. Nesta seção, apresentaremosalguns critérios utilizados para se determinar os limites de crédito em uma economiacom uma estrutura de ativos incompleta como a de Huggett.

5.3.1 Limites de crédito que impedem consumo negativoUm critério usado para se determinar o limite de crédito a é requerer que cada indi-víduo sempre esteja apto a honrar suas dívidas, sem precisar incorrer em consumonegativo em nenhum período, não importa o quão ruim sejam os choques futuros dedotação desse indivíduo. Segundo esse critério, o máximo que um indivíduo podepegar emprestado é o valor presente da pior realização de suas dotações futuras.

Formalmente, seja el a dotação mais baixa que um indivíduo pode ter em umdado período. Então a pior seqüência de dotações futuras que um indivíduo podeter é dada por (el, el, · · · ), e o valor presente dessa seqüência de dotações é igual a

1

1 + rel +

1

(1 + r)2el + · · · =

1

rel,

onde r é a taxa de juros estacionária que vigora em equilíbrio.Então, de acordo com esse critério, o limite de crédito endógeno dessa economia

é dado pora = −el

r. (5.2)

Em anexo nós provamos que, se em algum momento da história essa restrição decrédito é ativa, então o agente deve consumir zero em todos os períodos subseqüentes.Mas, pela condição de Inada, uma alocação desse tipo não poderá ser um equilíbrio,o que implica que esses limites de crédito nunca poderão ser binding em equilíbrio.

Agora note-se que esse limite de crédito é bastante restritivo. Conforme ar-gumenta Geanakoplos (2003), eventualmente um indivíduo pode se beneficiar emcomprar um ativo não contingente (i.e., de fazer um empréstimo), mesmo sabendoa priori que existe uma probabilidade maior que zero de o vendedor do ativo (i.e.,de o tomador de empréstimo) não pagar sua dívida. De fato, se a probabilidade deo vendedor do ativo dar default for suficientemente baixa, ou o ganho esperado docomprador nos estados da natureza em que a dívida é paga for suficientemente alta,então ambas as partes poderão ter ganho esperado positivo em realizar a transação,apesar desta poder resultar em default.

Nós podemos usar um algoritmo parecido com aquele apresentado na seção 5.2.3para achar o equilíbrio estacionário de uma economia com estrutura de ativos in-completa e limite de crédito que impete consumo negativo em todas as histórias.

70

A única diferença é que agora devemos requerer que a restrição de crédito e a taxade juros sejam consistentes com 5.2. Em particular, podemos utilizar o seguintealgoritmo:


II) Dá-se um chute inicial para o limite de crédito a0.

III) Dá-se um chute inicial para a taxa de juros r0.

IV) Dá-se um chute inicial para a distribuição das variáveis de estado Φ0(·, q0).

V) Dado o preço do ativo livre de risco, q0, itera-se a equação de Belman 5.1 atéela convergir, para obter a função política g0(·, q0).

VI) De posse de g0(·, q0) e Φ0(·, q0), computa-se a distribuição do próximo períodoΦ1(·, q0). Usando g0(·, q0) e Φ1(·, q0), computa-se Φ2(·, q0) e assim sucessiva-mente, até que Φt(·, q0) ∼= Φt+1(·, q0). Chamemos essa distribuição invariantede Φ(·, q0).

VII) De posse de g0(·, q0) e Φ(·, q0), verifica-se se há market clearing no mercado deativos. Se a demanda agregada por ativos é aproximadamente zero, procede-separa o próximo passo. Se a demanda agregada por ativos é negativa, repete-seos passos IV até VII com um novo chute r1 > r0. Se a demanda agregada porativos é positiva, repete-se os passos IV até VII com um novo chute r1 < r0.

VIII) Seja r a taxa de juros obtida a partir da iteração anterior. Verifica-se sea0∼= yl/r. Se sim, encerra-se o algoritmo, pois o equilíbrio foi encontrado. Se

não, dá-se um novo chute para o limite de crédito a1 = yl/r e repete-se ospassos III até VIII, até que a condição 5.2 seja satisfeita.

Aplicando esse algoritmo na calibração de Huggett, obtivemos em equilíbrio li-mite de crédito igual a a = −14.6883 e preço de equilíbrio igual a q = 0.9939.

5.3.2 Limites de crédito de não defaultEnquanto que o limite de crédito que impede o consumo negativo requer que in-divíduos estejam aptos a honrar suas dívidas em todos os estados da natureza, arestrição de crédito de não default requer que indivíduos sempre estejam dispostosa honrar suas dívidas em todos os estados da natureza. Em particular, podemosassumir que a punição pelo não pagamento de dívidas seja a exclusão permanente doagente do mercado de ativos. Neste caso, a utilidade futura descontada de contraira maior dívida possível em determinado período, e não pagá-la no período seguinte eviver em autarquia pelo resto da vida, não pode ser maior do que a utilidade futuradescontada de consumir a alocação ótima.

71

Formalmente, seja V (·, q) a função valor que resolve 5.1. Seja a(zt) o limitede crédito associado à compra do ativo livre de risco (que é o único ativo dessaeconomia) quando o agente encontra-se no estado zt. Então, temos que ter

V (a(zt), zt, q) ≥ u(e(zt)) +∞∑

s=t+1

βs−tπ(zs|zt)u(e(zs)) ∀t ∈ N, zt ∈ Z. (5.3)

Se os limites de crédito a(zt) são escolhidos de maneira tal que sejam restritivosapenas o suficiente para impedir default, a desigualdade 5.3 deve ser satisfeita comigualdade em equilíbrio:

V (a(zt), zt, q) = u(e(zt)) +∞∑

s=t+1

βs−tπ(zs|zt)u(e(zs)) ∀t ∈ N, zt ∈ Z. (5.4)

Novamente, podemos implementar um algoritmo similar ao apresentado na seção5.2.3 para achar os equilíbrios estacionários com não default. A única diferença é queagora devemos requerer que os limites de crédito e o preço do ativo livre de risco(ou equivalentemente, a taxa de juros) seja consistente com 5.4. Em particular,podemos implementar o seguinte algoritmo:


II) Dá-se um chute para o limite de crédito a(zt) para cada estado zt ∈ Z.

III) Dá-se um chute inicial para a taxa de juros r0. A partir dessa taxa de juros,computa-se o preço do ativo livre de risco q0 = 1/(1 + r0).

IV) Dá-se um chute inicial para a distribuição das variáveis de estado Φ0(·, q0).

V) Dado o preço do ativo livre de risco, q0, itera-se a equação de Belman 5.1 atéque ela convirja, para obter a função política g0(·, q0) e a função valor V0(·, q0).

VI) De posse de g0(·, q0) e Φ0(·, q0), computa-se a distribuição das variáveis deestado do próximo período Φ1(·, q0). Usando g0(·, q0) e Φ1(·, q0), computa-seΦ2(·, q0) e assim por diante, até que Φt(·, q0) ∼= Φt+1(·, q0). Chamemos essadistribuição estacionária de Φ(·, q0).

VII) De posse de g0(·, q0) e Φ(·, q0), verifica-se se há market clearing no mercado deativos. Se a demanda agregada por ativos é aproximadamente zero, prossegue-se para o próximo passo. Se a demanda agregada por ativos é negativa, repete-se os procedimentos III até VII com um novo chute r1 > r0. Se a demandaagregada por ativos for positiva, repete-se os procedimentos III até VII comum novo chute r1 < r0.

VIII) Seja q o preço do ativo livre de risco e V (·, q) a função valor obtida no passoanterior. Se a condição

V (a(zt), zt, q) ≈ u(e(zt)) +∞∑

s=t+1

βs−tπ(zs|zt)u(e(zs)) ∀t ∈ N, zt ∈ Z

72

for satisfeita, encerra-se o algoritmo. Se, por outro lado,

V (a(zt), zt, q) 0= u(e(zt))+∞∑

s=t+1

βs−tπ(zs|zt)u(e(zs)) para algum t ∈ N, zt ∈ Z

adjusta-se o limite de crédito a(zt) e repete-se os passos III até VIII até que oalgoritmo convirja.

73

Apêndice D

Equação de Euler para o mercado com estrutura de ativos incompleta elimites de crédito que impedem consumo negativo

A seguir derivaremos a equação de Euler da economia descrita na seção 5.3.1,i.e., de uma economia seqüencial com um único ativo livre de risco e restrições decrédito que impedem default. A equação funcional dessa economia é dada por

V (a, z) = maxc,a′

u(c) + β

∑

z′∈Z

V (a′, z′)π(z′|z)

,

sujeito a

e(z) + a = a′q + c,

a′ ≥ −el

r.

Note primeiramente que esse limite de crédito nunca é binding. De fato suponhapor contradição que at = − el

r para algum t. Sem perda de generalidade, assumaque a1 = − el

r . Suponha que ocorra a pior história de dotações possível para esseindivíduo: et = el ∀t. Então, pela restrição orçamentária intertemporal, temos que

el +

a1︷︸︸︷(−el

r

)= a2

1

1 + r+ c1 (R1)

el + a2 = a31

1 + r+ c2

⇒ 1

1 + rel +

1

1 + ra2 = a3

1

(1 + r)2+

1

1 + rc2 (R2)

...1

(1 + r)Tel +

1

(1 + r)TaT−1 = aT+2

1

(1 + r)T+1+

1

(1 + r)TcT+1 (RT)

74

Somando as equações R1 até RT e aplicando o limite, obtemos

limT→∞

(T∑

n=0

el

(1 + r)n− el

r− aT+2

1

(1 + r)T+1

)= lim

T→∞

T∑

n=0

1

(1 + r)ncn+1

el

r− el

r− lim

T→∞

aT+2

(1 + r)T+1=

∞∑

n=0

1

(1 + r)ncn+1

limT→∞

− aT+2

(1 + r)T+1=

∞∑

n=0

1

(1 + r)ncn+1

limT→∞

el/r

(1 + r)T+1≥

∞∑

n=0

1

(1 + r)ncn+1

0 ≥∞∑

n=0

1

(1 + r)ncn+1

⇐⇒ ct = 0 ∀t.

Mas, pela condição de Inada, essa alocação não pode ser ótima.Como a restrição de crédito nunca pode ser ativa, assumindo que a função valor

é diferenciável com respeito a a, temos que a condição de primeira ordem para aequação funcional é dada por

0 = − 1

1 + ru′(e(z) + a− 1

1 + rg(a, z)) + β

∑

z′∈Z

π(z′|z)V ′(g(a, z), z′), (D.1)

onde g(·) é a função política que determina a quantidade ótima de ativos compradano período seguinte.

A condição de envelope para esse mesmo problema de otimização é dada por

V ′(a, z) = u′(

e(z) + a− 1

1 + rg(a, z)

)(D.2)

Substituindo a = at e g(a, z) = at+1 em D.1, obtemos

0 = − 1

1 + ru′(e(z) + at −

1

1 + rat+1) + β

∑

z′∈Z

π(z′|z)V ′(at+1, z′). (D.3)

Substituindo a = at+1 e g(a, z) = at+2 em D.2, obtemos

V ′(at+1, z) = u′(

e(z) + at+1 −1

1 + rat+2

)(D.4)

Substituindo D.4 em D.3, obtemos a equação de Euler desse problema:

0 = − 1

1 + ru′

ct︷︸︸︷e(z) + at −

1

1 + rat+1

+ β∑

z′∈Z

π(z′|z)u′(

ct+1︷︸︸︷e(z) + at+1 −

1

1 + rat+2)

1

1 + r= β

∑z′ π(z′|z)u′(ct+1)

u′(ct).

!

75

Capítulo 6

Um método numérico para acharequilíbrios estacionários no modelode Azariadis e Kaas (2012)

6.1 IntroduçãoAo estudarmos os modelos de Kehoe e Levine (1993), Alvarez e Jermmann (2000),Azariadis e Kaas (2012) e Hellwig e Lorenzoni (2009), analisamos alguns exemplosestacionários, onde as alocações de equilíbrio de cada agente em determinado pe-ríodo dependiam apenas do choque de dotação naquele período. A vantagem dese trabalhar com esses equilíbrios estacionários é que eles são mais fáceis de seremcomputados do que equilíbrios onde a decisão dos agentes depende de um conjuntode informação maior. Todavia, eventualmente não é fácil computar nem mesmoesses equilíbrios estacionários. É o que acontece em Azariadis e Kaas (2012), que sóconseguem achar uma condição de equilíbrio estacionário para alocações próximasda alocação de autarquia.

Krueger e Perry (2010) propõem uma metodologia computacional para se acharequilíbrios estacionários que dependam não só do choque atual de dotação, como donível de endividamento dos agentes a cada período, para uma economia seqüencialcom possibilidade de default, onde a penalização por default é dada pela exclusãopermanente e unilateral do agente insolvente do mercado de ativos1. Essa metodolo-gia consiste numa adaptação do método computacional de Huggett (1993) para umambiente físico em que a estrutura de ativos da economia é completa e os limites decrédito são not too tight.

Dado que o modelo de Krueger e Perry (2010) difere do modelo de Azariadis eKaas (2012) apenas no tipo de penalização dada ao agente insolvente, poderíamos,a princípio, empregar esse mesmo método computacional no modelo de Azariadis eKaas (2012). Assim sendo, neste capítulo, descreveremos como aplicar esse algoritmopara o ambiente físico de Azariadis e Kaas. Note que, como o modelo de Alvarez eJermmann (2000) é um caso particular do modelo de Azariadis e Kaas (2012), temos

1Diferentemente do modelo de Hellwig e Lorenzoni (2009), em Krueger e Perry (2010) o agenteque dá default pode poupar apenas através da compra de um ativo livre de risco, com taxa dejuros exógena.

76

que esse método também poderia, a princípio, ser usado para se achar equilíbriosestacionários de um modelo de Alvarez e Jermmann.

Todavia, veremos que o algoritmo proposto por Krueger e Perry (2010) nãoprecifica corretamente os ativos contingentes da economia quando não há perfeitasuavização de consumo. Essa precificação incorreta dos ativos da economia, invalida,pois, o uso desse algoritmo.

6.2 Equilíbrio estacionário do modelo de Azariadise Kaas

Considere o mesmo ambiente físico descrito na seção 4.3.1. Então podemos definiro seguinte equilíbrio estacionário para essa economia:

Definição 6.2.1 Um equilíbrio estacionário com restrições de solvência not tootight para essa economia será: (i) limites de crédito a(z), (ii) uma função valorV : A×Z → R, (iii) funções políticas gH : A×Z → A e gL : A×Z → A, (iv) umamedida de probabilidade estacionária Φ : A×Z → R+, (v) e preços q(z, z′) tais que:

1. Dados os preços estacionários q(z, z′), a função valor V e as funções políticasgH , gL resolvem a equação de Belman:

V (a, z) = maxc,a(H),a(L)

u(c) + β

∑

z′=H,L

π(z′|z)V (a(z′), z′)

,

s.a. e(z) + a =∑

z′=H,L

a(z′)q(z, z′) + c,

a(H) ≥ a(H), a(L) ≥ a(L)

2. Se Ψ é a σ-álgebra associada ao espaço amostral Ω ≡ A× Z, então para todoA′ × Z ′ ∈ Ψ,

Φ(A′, Z ′) =

∫

A,Z

Q(a, z, A′, Z ′)Φ(da, dz),

onde Q : A× Z ×Ψ → [0, 1] é a função de transição definida por

Q(a, z, A′, Z ′) =∑

z′∈Z′A′gz′(a, z)π(z′|z),

e onde

A′(x) =

1, se x ∈ A′

0, c.c.

3. Market clearing:∫

A,Z

[gH(a, z, q)π(H|z) + gL(a, z, q)π(L|z)] Φ(da, dz) = 0.

77

4. Not too tight solvency constraints:

V (a(H), H) = U(H)

eV (a(L), L) = U(L),

onde

U(H) = u(e(H))+β(1−µ)[πHU(H) + (1− πH)U(L)

]+βµ [πHV (0, H) + (1− πH)V (0, L)]

e

U(L) = u(e(L))+β(1−µ)[πLU(L) + (1− πL)U(H)

]+βµ [πLV (0, L) + (1− πL)V (0, H)]

Note que essa definição de equilíbrio estacionário é similar àquela usada emHuggett (1993), em que a decisão dos agentes depende não só do seu choque atualde dotação, mas também do seu total de ativos. Essa definição de equilíbrio permite,pois, que agentes com mesma dotação na data t tenham níveis de consumo diferentes.

A seguir, caracterizaremos os preços das alocações de equilíbrio dessa economiaque são eficientes restritas (i.e. eficientes dentre a classe de alocações factíveis emrecursos e que satisfazem as restrições de participação).2

6.3 Metodologia de Krueger e Perry (2010) paracomputar a alocação de equilíbrio

Em um ambiente físico similar ao de Azariadis e Kaas (2012), Krueger e Perry(2010) tentam achar a alocação de equilíbrio estacionário utilizando um algoritmosemelhante ao de Huggett (1993). Uma das dificuldades de se adaptar o algoritmode Huggett para um ambiente físico com ativos contingentes consiste no fato deque, quando há ativos contingentes, devemos achar não um, mas vários preços si-multaneamente; em particular, quando #Z = 2, temos que descobrir quatro preçoscontingentes: q(H,H), q(H, L), q(L, H) e q(L, L).

Todavia, segundo Krueger e Perry (2010), os preços de equilíbrio estacionário desua economia são dados por

qt(z, z′) =

π(z′|z)

1 + r, (6.1)

onde r é a taxa de juros do ativo livre de risco da economia. Portanto, segundoKrueger e Perry (2010), precisamos apenas descobrir o valor de r para acharmos ospreços de equilíbrio. Assim sendo, o algoritmo sugerido por Krueger e Perry (2010)para se achar um equilíbrio dessa economia pode ser resumido assim:

I) Dá-se um chute inicial para os limites de crédito a(H) e a(L).2Diferentemente de Alvarez e Jermmann (2000), não tentaremos provar que as alocações de

equilíbrio dessa economia serão, sob certas hipótese, eficientes restritas. Assim sendo, o algoritmoproposto deve ser encarado da seguinte forma: suponha que essa economia tenha uma alocaçãoeficiente restrita, então podemos implementá-la através do algoritmo descrito neste capítulo.

78

II) Dá-se um chute inicial para a taxa de juros r = R− 1.

III) Com a taxa de juros, obtém-se os preços. Com os preços, itera-se a funçãovalor até ela convergir.

IV) Com a função política, obtém-se a distribuição invariante das variáveis deestado.

V) Verifica-se se há market clearing. Se sim, prossegue-se para o próximo passo.Se não, ajusta-se a taxa de juros e repete-se os passos 2 e 3.

VI) Verifica-se se as restrições de solvência são “not too tight”. Se sim, conclui-se oalgoritmo, se não, repete-se os passos 1 até 5 usando novos limites de créditoa(H) e a(L).

Todavia, a precificação de ativos dada pela fórmula 6.1 só é válida se há per-feita suavização de consumo em equilíbrio, i.e., se o equilíbrio é o first best. Issoclaramente invalida a metodologia sugerida por Krueger e Perry, tendo em vistaque estamos interessados em computar equilíbrios que não sejam first best. Paraprovarmos isso, repetiremos a mesma derivação feita em Krueger e Perry.

Imagine que um planejador deseja minimizar o custo de entregar promessas deutilidade futura descontada ω0 para cada agente dessa economia. Seja qt o preçosombra de entregar uma unidade do bem de consumo na data t para um determinadoagente. Como estamos interessados no equilíbrio estacionário, assumiremos que essepreço seja constante e igual a 1

R . Então, para cada ω0, o planejador irá resolver oseguinte problema:

minct

c0(ω0, z0) +1

R

∑

t=1

∑

zt

π(zt|z0)ct(ω0, zt)

s.a.

ω0 =∑

t

∑

zt

βtu(ct(ω0, zt)) (Promisse Keeping)

∑

s=t

∑

zs(zt

βs−tu(cs(ω0, zs)) ≥ U(zt) ∀t, zt (Restrição de Participação)

Então, a equação funcional associada a esse problema é dada por

V (ω, z) = minc,gz′

c +1

R

∑

z′

π(z′|z)V (gz′ , z′) (6.2)

s.a.

ω = u(c) + β∑

z′

π(z′|z)gz′

gz′ ≥ U(z′) ∀t, zt

Seja Φ0 a distribuição inicial das promessas de riqueza ω0 e dos choques dedotação z0. Suponha que, dado o preço 1

R , para todo ω0 a alocação ct(ω0, zt)zt

resolve essa equação funcional e, para todo t e zt,∫

ω0,z0

(ct(ω0, z

t)− e(ω0, zt))π(zt|z0) dΦ0 = 0.

79

Então, pode-se mostrar que a alocação ct é eficiente dentre a classe de alocaçõesfactíveis em recursos que satisfazem a restrição de participação.

Portanto, uma forma de se achar alocações eficientes restritas nessa economiaconsiste em achar o ponto fixo da função valor 6.2. Esse ponto fixo pode ser obtido deuma maneira relativamente fácil em uma economia de Alvarez e Jermmann (2000),onde a restrição de participação U(zt) é exógena. Todavia, quando a restrição departicipação não é exógena, como no caso do modelo de Azariadis e Kaas (2012)para µ > 0, a obtenção do ponto fixo dessa equação torna-se mais complexa, o quemotiva o próximo passo.

O Lagrangiano da equação funcional 6.2 é dado por3

L = c +1

R

∑

z′

π(z′|z)V (gz′ , z′) + λ(ω − u(c)− β

∑

z′

π(z′|z)gz′)

+ µz′(gz′ − U(z′))

Derivando a CPO deste problema, obtemos

[c] :1− λu′(c) = 0 ⇐⇒ u′(c) =1

λ

[gz′ ] :− λβπ(z′|z) + µz′ +1

Rπ(z′|z)V ′(gz′ , z

′) = 0

− βπ(z′|z)

u′(c)+ µz′ +

1

Rπ(z′|z)V ′(gz′ , z

′) = 0 (6.3)

Mas, pelo teorema do envelope,

V ′(ω) =dLd ω

= λ =1

u′(c)

Fazendo c = ct e c′ = ct+1, isso implica que

V ′(ω, z) =1

u′(ct)

V ′(gz′ , z′) =

1

u′(ct+1)

Substituindo na equação 6.3, obtemos

−βπ(z′|z)

u′(ct)+ µz′ +

1

Rπ(z′|z)

1

u′(ct+1)= 0 (6.4)

Supondo que a restrição de participação não seja ativa, então µz′ = 0 e, portanto,

βπ(z′|z)

u′(ct)=

1

R

π(z′|z)

u′(ct+1)

βu′(ct+1)

u′(ct)=

1

R. (6.5)

3A rigor, deveríamos escrever o consumo como o inverso da função utilidade a fim de convexificaras restrições do problema e viabilizar o uso das condições de Kuhn Tucker. Não faremos isso aquipara manter o problema o mais simples possível.

80

Mas, supondo que a alocação (eficiente restrita) ct seja um equilíbrio competitivodesse modelo, então vale a equação de Euler

qt(z, z′) =π(z′|z)u′(ct+1)

u′(ct).

Substituindo na equação 6.5, obtemos

qt(z, z′)

π(z′|z)=

1

R

qt(z, z′) =π(z′|z)

R, (6.6)

Todavia, se a restrição de participação não for ativa, teremos µz′ ≥ 0 e qt(z, z′) ≥π(z′|z)u′(ct+1)

u′(ct). Quando essas desigualdades forem estritas, teremos que

qt(z, z′) >

π(z′|z)

R,

o que contradiz a precificação dada por 6.6.

81

Conclusão

Neste trabalho, estudamos alguns modelos de equilíbrio geral dinâmico com possibi-lidade de default. Vimos que esses modelos podem ser usados para explicar algunsfenômenos econômicos não capturados pelos modelos convencionais de Arrow e deArrow-Debreu, como a existência de imperfeita suavização de consumo.

Uma vantagem dos modelos com possibilidade de default apresentados nestetrabalho consiste no fato de que eles não fazem hipóteses arbitrárias sobre quaisativos são transacionados na economia. Ao contrário, assume-se a existência de ummercado para todas as contingências; todavia, esses mercados são endogenamenteincompletos em virtude de restrições que impedem que os agentes dêem default.

Vimos que esses modelos ajudam a explicar por que o crescimento na desigual-dade de renda nas últimas décadas tem sido acompanhada de um aumento signi-ficativamente menor na desigualdade de consumo. De acordo com esses modelos,esse fenômeno é explicado pelo fato de que, ao se aumentar a volatilidade de renda,aumenta-se o desejo dos agentes de suavizar consumo, o que reduz os incentivosdos agentes de darem default, o que, por sua vez, viabiliza um maior volume detransações na economia.

Vimos também que a taxa de juros de equilíbrio dessas economias é menor doque a que vigoraria em uma economia convencional de Arrow, o que supostamenteajudaria a explicar o risk free rate puzzle. Todavia, esse resultado deve ser interpre-tado com cautela, visto que, em economias como essas, não é claro que a precificaçãodo ativo livre de risco seja dada pela soma dos preços dos ativos contingentes.

Também apontamos algumas desvantagens sobre alguns dos modelos estudadosneste trabalho. Em particular, Alvarez e Jermmann (2000) fazem muitas hipótesessobre preços e alocações de equilíbrio a fim de poderem provar versões dos teoremasdo bem estar para o seu modelo.

Finalmente, vimos que o algoritmo sugerido por Krueger e Perry (2010) parase computar equilíbrios estacionários de economias como as de Alvarez e Jermann(2000) não precifica corretamente os ativos contingentes de equilíbrio.

82

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Documents

Modelos de equilíbrio geral dinâmico com custo de default