Modelos de regress~ao para dados correlacionados · Modelo com efeitos mistos Modelo linear com efeitos mistos (forma geral, p covari aveis, q efeitos aleat orios)Y i = X i + Z ib

Modelos de regressão para

dados correlacionados

Cibele [email protected]

ICMC USP

Mini-curso oferecido no

Workshop on Probabilistic and Statistical Methods

28 a 30 de janeiro de 2013

Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 1 / 58

Conteúdo da aula

Modelo linear com efeitos mistos

Modelo marginal × modelo hierárquico

Aplicações

Referências:

Pinheiro and Bates (2009) ‘Mixed-effects Models in S and S-PLUS’, Springer.

Searle, S. R., Casella, G. McCulloch, C. E. (2006), Variance Components. Wiley Series in

Probability and Statistics.

Verbeke G. and Molenberghs G. (2000) ‘Linear mixed models for longitudinal data,’

Springer Series in Statistics, Springer-Verlag, New-York.


Medidas repetidas e dados longitudinais

Medidas repetidas (repeated measurements) são obtidas

quando uma resposta é observada repetidamente em

um conjunto de unidades experimentais

Unidades experimentais: Sujeitos, pacientes, participantes

Animais, plantas

Grupos (clusters): faḿılias, cidades, filiais de uma companhia

Dados longitudinais são um caso especial de medidas repetidas


Medidas repetidas e dados longitudinais

Quando as medidas são repetidas no mesmo indiv́ıduo

(ou em uma mesma unidade experimental),

as caracteŕısticas individuais induzem uma correlação nos dados

observados naquele indiv́ıduo.


Modelos para dados correlacionados

2 4 6 8 10

1.8

1.9

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

Tempo

2 4 6 8 10

1.8

1.9

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

Tempo

Res

post

a lo

ngitu

dina

lIndivíduo 1Indivíduo 2

Medidas longitudinais

(adaptado de Rizopoulos, D. ‘An Introduction to Joint Models for Longitudinal & Survival Data,

with Applications in R’, short course 27th IWSM, Prague.)Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 5 / 58


Como os indiv́ıduos são amostrados aleatoriamente de uma população,

pode-se supor que coeficientes de regressão sujeito-espećıficos também

amostrados de uma população de coeficientes de regressão:

βi ∼ N(β,D), 1, . . . , n.



Podeŕıamos então ajustar um modelo diferente

para as medidas de cada indiv́ıduo?

Sim, mas existe o interesse em estimar o comportamento geral

da população, e ao mesmo tempo identificar um padrão espećıfico

de cada indiv́ıduo.


Modelo com efeitos mistos

Um modelo com efeitos mistos para Yij , a j-ésima resposta observada para

o i-ésimo indiv́ıduo, utilizando o valor da covariável x , xij , é dado por

Yij = (β0 + bi0) + (β1 + bi1)xij + �i , i = 1, . . . , n; j = 1, . . . ,mi



Yij = (β0 + bi0) + (β1 + bi1)xij + �i , i = 1, . . . , n; j = 1, . . . ,mi

Efeitos fixos

β0 é o efeito fixo referente ao intercepto da reta

β1 é o efeito fixo referente ao coeficiente angular da reta

Efeitos aleatórios

bi0 é um efeito aleatório adicionado ao intercepto

bi1 é um efeito aleatório adicionado ao coeficiente angular


Modelos com efeitos mistos

Qual o resultado da inclusão dos efeitos aleatórios

no intercepto e no coeficiente angular?


Interpretação dos efeitos adicionados ao modelo

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Intercepto aleatório

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dist

ance

Exemplo de retas resultantes da inclusão de intercepto aleatório



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Coeficiente angular aleatório

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Exemplo de retas resultantes da inclusão de coeficiente angular aleatório



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Intercepto e coeficiente angular aleatório

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Exemplo de retas resultantes da inclusão de intercepto e coeficiente

angular aleatórioCibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 13 / 58


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Intercepto aleatório

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Coeficiente angular aleatório

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Intercepto e coeficiente angular aleatório

age

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ance

Retas resultantes da inclusão dos efeitos aleatórios



Reescrevendo o modelo

Yij = (β0 + bi0) + (β1 + bi1)xij + �ij , i = 1, . . . , n; j = 1, . . . ,mi

temos

Yij = (β0 + β1xij) + (bi0 + bi1xij) + �ij , i = 1, . . . , n; j = 1, . . . ,mi

em que mi observações pertencem ao indiv́ıduo i . Matricialmente,

Yi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n;




(1 covariável, intercepto e coeficiente angular aleatórios)

Yi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n

com Yi =

Y1...

Yn

Xi = Zi =

1 xi1

1 xi2...

...

1 xin

,

β =

[β0

β1

], �i =

�i1...

�in

, bi =[

bi0

bi1

].





Yi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n

Yi(mi×1): vetor de respostas do indiv́ıduo i (aleatório)

Xi(mi×2): matriz do modelo referente aos efeitos fixos do indiv́ıduo i

(fixa e conhecida)

β(2×1): vetor de parâmetros (efeitos fixos)

Zi(mi×2): matriz do modelo referente aos efeitos aleatórios para o

indiv́ıduo i (fixa e conhecida)

bi(2×1): vetor de efeitos aleatórios para o indiv́ıduo i (aleatório)

�i(mi×1): vetor de erros aleatórios para o indiv́ıduo i (aleatório)





Yi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n

Suposições comuns:

biind∼ N2(0,D)

�iind∼ Nmi (0, σ2I )

bi independente de �i .

Parâmetros a serem estimados: β, σ2, elementos da matriz D.

Em alguns trabalhos considera-se D diagonal.




(forma geral, p covariáveis, q efeitos aleatórios)

Yi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n

Yi(mi×1): vetor de respostas do indiv́ıduo i (aleatório)

Xi(mi×(p+1)): matriz do modelo referente aos efeitos fixos do indiv́ıduo i (fixa

e conhecida)

β((p+1)×1): vetor de parâmetros (efeitos fixos)

Zi(mi×q): matriz do modelo referente aos efeitos aleatórios para o indiv́ıduo i

(fixa e conhecida)

bi(q×1): vetor de efeitos aleatórios para o indiv́ıduo i (aleatório)

�i(mi×1): vetor de erros aleatórios para o indiv́ıduo i (aleatório)





Yi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n

Suposições comuns:

bi ∼ Nq(0,D)

�i ∼ Nmi (0, σ2I )

Parâmetros a serem estimados: β, σ2, elementos da matriz D.

Em alguns trabalhos considera-se D diagonal.


Modelo com efeitos mistos - Interpretação

Efeitos fixos

β’s têm as mesmas propriedades encontradas nos modelos com efeitos

fixos

Efeitos aleatórios

bij ’s são interpretados como o parâmetro i do j-ésimo sujeito se

desvia do parâmetro populacional.

Caracteŕısticas interessantes

β’s descreve comportamentos populacionais

(β + bi )’s descreve comportamentos individuais





Yi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n

Estimação dos parâmetros

Existem várias formas de estimar os parâmetros, as mais utilizadas são

Formulação de dois estágios

Enfoque marginal no modelo linear geral misto

Enfoque hierárquico no modelo linear geral misto


Modelos lineares com efeitos mistos

Formulação de dois estágios

Estágio 1: Um modelo de regressão linear é ajustado para cada indiv́ıduo

separadamente. Esses modelos descrevem a variabilidade intraindiv́ıduos

Yi = Xiβi + Zibi + �i , i = 1, . . . , n

Estágio 2: Um modelo de regressão multivariado é ajustado utilizando as

estimativas βi obtidas no Estágio 1 como covariáveis.

βi = Kiβ + bi

(Verbeke G. and Molenberghs G. (2000) ‘Linear mixed models for longitudinal data,’ Springer

Series in Statistics, Springer-Verlag, New-York.)


Modelos lineares com efeitos mistos

Formulação de dois estágios{Yi = Xiβi + Zibi + �i

βi = Kiβ + bi , i = 1, . . . , n

com �i ∼ N(0, σ2I) e bi ∼ N(0,D).


Modelo linear geral com efeitos mistos

Formulação geral e suposiçõesYi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n

bi ∼ Nq(0,D)�i ∼ Nmi (0, σ2I )b1, . . . ,bn, �1, . . . , �n são independentes


Modelo linear geral com efeitos mistos

O modelo linear geral com efeitos mistos com as suposições usuais pode

ser reescrito como

Yibi�i

∼ Nmi+q+mi Xiβ0

0

, ZiDZ

′i + σ

2I ZiD σ2I

DZ ′i D 0

σ2I 0 σ2I


Modelo hierárquico

Outro enfoque seria o Modelo hierárquico usual

{Yi |bi ∼ N(Xiβ + Zibi , σ2I ), i = 1, . . . , nbi ∼ N(0,D)



Uma possibilidade para estimação: Enfoque BayesianoYi |β,bi ∼ N(Xiβ + Zibi , σ2I )bi ∼ N(0,D)β ∼ N(β0,B)



Para estimar β, usamos a distribuição a posteriori de β|y,B,D, σ2, quepode ser obtida de

fβ(β|y) =

∫f (y|β, b)fβ(β)fb(b)db∫ ∫f (y|β, b)fβ(β)fb(b)dbdβ

.

Para isso, usa-se o fato de que

E (β|yi ,B,D, σ2) = (XiV−1i Xi )−1X ′i V

−1i y

com Vi = ZiDZ′i + σ

2I .


Modelo marginal

Por propriedades da distribuição normal, partindo do modelo em sua

formulação geral podemos obter a distribuição marginal de Yi

Formulação geralYi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n

bi ∼ Nq(0,D)�i ∼ Nmi (0, σ2I )b1, . . . ,bn, �1, . . . , �n são independentes

Esse modelo pode ser reescrito como um modelo marginal

Yi ∼ N(Xiβ,ZiDZ ′i + σ2I )


Modelo marginal

Yi ∼ N(Xiβ,ZiDZ ′i + σ2I )

Podemos então estimar os parâmetros β pelo método da máxima

verossimilhança, utilizando a função de verossimilhança de θ = (β, τ )′

com τ o vetor de elementos de Vi = ZiDZ′i + σ

2I .


Modelo marginal

A função de verossimilhança é dada por

L(θ) =n∏

i=1

{(2π)−ni/2|Vi (τ )|−1/2 exp

{−1

2(yi − Xβ)′V−1i (τ )(yi − Xβ)

}}

Se τ é conhecido,

β̂ = (n∑i

XiV−1i (τ )Xi )

−1n∑n

XiV−1i (τ )yi .

Se τ não é conhecido, pode-se considerar um processo iterativo.


Modelo marginal

Se τ é conhecido,

β̂ ∼ N(β,n∑

i=1

XiV−1i Xi )

Na prática, substitui-se τ por um estimador com boas propriedades e

obtém-se inferências aproximadas.


Propriedades

Vários modelos hierárquicos diferentes podem levar ao mesmo modelo

marginal,

Um modelo marginal bem ajustado pode não ser uma evidência de

um bom modelo hierárquico,

Um tratamento satisfatório do modelo hierárquico só é posśıvel em

um contexto Bayesiano,

Componentes de variância negativos (de D) podem ser obtidos sob o

enfoque marginal, o que não acontece no modelo hierárquico.


Predição dos efeitos aleatórios

Método de Bayes emṕırico

Distribuição a posteriori de bi |yi :

bi |yi ∼ N(DZ ′iV−1i (yi − Xiβ),Λi )

com Λi uma matriz positiva definida.

Podemos então utilizar a média a posteriori de bi |yi como preditor de bi

b̂i = DZ′iV−1i (yi − Xiβ).


Valores preditos para a variável resposta

Podemos obter um preditor para Yi fazendo

Ŷi = Xi β̂ + Zi b̂i

= Xi β̂ + ZiD̂ZTi V̂−1i (yi − Xi β̂)

= (Imi − ZiD̂ZTi V̂−1i )Xi β̂ + ZiD̂Z

Ti V̂−1i yi

= σ̂2V̂−1i Xi β̂ + (Imi − σ̂2V̂−1i )yi ,

que pode ser interpretado como uma média ponderada entre o perfil

populacional Xi β̂ e os dados observados yi , com pesos σ̂2V̂−1i e

(Imi − σ̂2V̂−1i ), respectivamente.


Modelos com efeitos mistos em R

Pacote nlme

Possibilita o ajuste de modelos lineares e não lineares com efeitos

mistos

Várias possibilidades de estruturas de variância e covariância

Pacote lme4

Possibilita o ajuste de modelos lineares, não lineares e lineares

generalizados com efeitos mistos

Utiliza apenas efeitos aleatórios

Permite outras estruturas para os efeitos aleatórios


Exemplo: Dados ortodônticos


(1 covariável, intercepto aleatório){Yi = Xiβ + Zibi + �

bi ∼ N(0,D), �i ∼ N(0, σ2I )

Nesse caso,

Xi =

1 8

1 10

1 12

1 14

para i = 1, . . . 11, Zi =

1

1

1

1

.




(1 covariável, intercepto aleatório)

Comandos em R:

> library(nlme)

> attach(Orthodont)

> fit.IA ranef(fit.IA)

> coef(fit.IA)

> plot(fit.IA)

> plot(augPred(fit.IA),aspect=”xy”,grid=T)

> qqnorm(fit.IA,~ resid(.) |Sex)

Certifique-se que os comandos foram passados corretamente para o R.





Fitted values (mm)

Sta

ndar

dize

d re

sidu

als

−4

−2

0

2

4

20 25 30

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Age (yr)

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tanc

e fr

om p

ituita

ry to

pte

rygo

max

illar

y fis

sure

(m

m)

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25

30

8 9 10 11 12 13 14

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M16

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M05

8 9 10 11 12 13 14

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M02

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M11

8 9 10 11 12 13 14

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M07

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M08

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M03

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M12

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M13

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M14

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M09

20

25

30

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M15

20

25

30

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M06

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M04

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M01

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M10

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F10

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F09

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F06

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F01

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F05

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F07

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F02

20

25

30

● ● ●●

F08

20

25

30

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F03

8 9 10 11 12 13 14

●● ●

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F04

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● ●

F11





Residuals (mm)

Qua

ntile

s of

sta

ndar

d no

rmal

−2

−1

0

1

2

−4 −2 0 2 4

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Male

−4 −2 0 2 4

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Female




(1 covariável, coeficiente angular aleatório){Yi = Xiβ + Zibi + �

bi ∼ N(0,D), �i ∼ N(0, σ2I )

Nesse caso,

Xi =

1 8

1 10

1 12

1 14

para i = 1, . . . 11, Zi =

8

10

12

14




(1 covariável, coeficiente angular aleatório)

Comandos em R:

> library(nlme)

> attach(Orthodont)> fit.CA ranef(fit.CA)

> coef(fit.CA)

> plot(fit.CA)

> plot(augPred(fit.CA),aspect=”xy”,grid=T)

> qqnorm(fit.CA,~ resid(.) |Sex)






Fitted values (mm)

Sta

ndar

dize

d re

sidu

als

−4

−2

0

2

20 25 30

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Age (yr)

Dis

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ituita

ry to

pte

rygo

max

illar

y fis

sure

(m

m)

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25

30

8 9 10 11 12 13 14

● ●●

●

M16

●

●●

●

M05

8 9 10 11 12 13 14

●● ●

●

M02

● ● ●●

M11

8 9 10 11 12 13 14

● ●

●●

M07

●

●

●●

M08

● ●●

●

M03

●● ●

●

M12

●

●●

●

M13

●

● ● ●

M14

●

●

●

●

M09

20

25

30

●●

●

●

M15

20

25

30

●●

●●

M06

●●

● ●

M04

●●

●●

M01

● ●

● ●

M10

●

● ● ●

F10

●●

● ●

F09

●● ●

●

F06

●●

●●

F01

●● ●

●

F05

●● ●

●

F07

● ●

●●

F02

20

25

30

● ● ●●

F08

20

25

30

●

● ●●

F03

8 9 10 11 12 13 14

●● ●

●

F04

● ●

● ●

F11





Residuals (mm)

Qua

ntile

s of

sta

ndar

d no

rmal

−2

−1

0

1

2

−6 −4 −2 0 2 4

●

●

●●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●

●●

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●

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●

●

●●

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●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●

●

Male

−6 −4 −2 0 2 4

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●

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●

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●

●

●●

●

●

●

●

Female




(1 covariável, intercepto e coeficiente angular aleatórios){Yi = Xiβ + Zibi + �

bi ∼ N(0,D), �i ∼ N(0, σ2I )

Nesse caso,

Xi =

1 8

1 10

1 12

1 14

para i = 1, . . . 11, Zi =

1 8

1 10

1 12

1 14





Comandos em R:

> library(nlme)

> attach(Orthodont)> fit.doisefeitos summary(fit.doisefeitos)

> ranef(fit.doisefeitos)

> coef(fit.doisefeitos)

> plot(fit.doisefeitos)

> plot(augPred(fit.doisefeitos),aspect=”xy”,grid=T)

> qqnorm(fit.doisefeitos,~ resid(.)|Sex)





(1 covariável, intercepto e coeficiente angular aleatório)

Fitted values (mm)

Sta

ndar

dize

d re

sidu

als

−2

0

2

4

20 25 30

●

●

●●

●

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●

●

●

●





Age (yr)

Dis

tanc

e fr

om p

ituita

ry to

pte

rygo

max

illar

y fis

sure

(m

m)

20

25

30

8 9 10 11 12 13 14

● ●●

●

M16

●

●●

●

M05

8 9 10 11 12 13 14

●● ●

●

M02

● ● ●●

M11

8 9 10 11 12 13 14

● ●

●●

M07

●

●

●●

M08

● ●●

●

M03

●● ●

●

M12

●

●●

●

M13

●

● ● ●

M14

●

●

●

●

M09

20

25

30

●●

●

●

M15

20

25

30

●●

●●

M06

●●

● ●

M04

●●

●●

M01

● ●

● ●

M10

●

● ● ●

F10

●●

● ●

F09

●● ●

●

F06

●●

●●

F01

●● ●

●

F05

●● ●

●

F07

● ●

●●

F02

20

25

30

● ● ●●

F08

20

25

30

●

● ●●

F03

8 9 10 11 12 13 14

●● ●

●

F04

● ●

● ●

F11





Residuals (mm)

Qua

ntile

s of

sta

ndar

d no

rmal

−2

−1

0

1

2

−4 −2 0 2 4

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

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●●

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●●●

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●

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●

●

●

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●

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●●

●

●

●

●

●

Male

−4 −2 0 2 4

●

●

●

●●

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●

●

●●

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●

●

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●●

●

●

●

●

●

●

●

Female


Exemplo: Dados de produtividade industrial

Consideramos um modelo

Yijk = βj + bi + �ijk, i = 1, . . . , 6; j = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3,

com

bi ∼ N(0, σ2b), �ijk ∼ N(0, σ2).

Existe um efeito fixo para cada tipo de máquina e um efeito aleatório para

cada trabalhador.


Exemplo: Dados de produtividade industrial

Comandos em R:

> library(nlme)

> attach(Machines)

> fit.Machine1 fit.Machine1

> summary(fit.Machine1)



Exerćıcio: Dados de produtividade industrial

Outro posśıvel modelo seria

Yijk = βj + bi + bij + �ijk , i = 1, . . . , 6; j = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3,

com

bi ∼ N(0, σ21), bij ∼ N(0, σ22), �ijk ∼ N(0, σ2).

Esse modelo tem efeitos aleatórios em dois ńıveis: os efeitos bi para o

trabalhador e bij para o tipo de máquina dentro de cada trabalhador.

Devemos ler isso como “trabalhador” e “máquina dentro de trabalhador”.


Exerćıcio: Dados de produtividade industrial

Comandos em R:

Podemos simplesmente atualizar o modelo anterior com a função update

> fit.Machine2 fit.Machine2

> summary(fit.Machine2)



Pergunta:

Qual é o melhor modelo?


Documents

Modelos de regress~ao para dados correlacionados · Modelo com efeitos mistos Modelo linear com efeitos mistos (forma geral, p covari aveis, q efeitos aleat orios)Y i = X i + Z ib