Modelos Elastoplásticos para Solos Argilosos: Capacidade ... · modelo, chamado Tij-Clay, é baseado no conceito do Plano Espacialmente Mobilizado (SMP) e na definição de um novo

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

MODELOS ELASTOPLÁSTICOS PARA SOLOS ARGILOSOS:

CAPACIDADE DE PREVISÃO DE COMPORTAMENTO E

INTEGRAÇÃO DA RELAÇÃO CONSTITUTIVA

DORIVAL DE MORAES PEDROSO

ORIENTADOR: MÁRCIO MUNIZ DE FARIAS, PhD.

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM GEOTECNIA

PUBLICAÇÃO: G.DM-096A/02

BRASÍLIA / DF: AGOSTO DE 2002

ii

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

MODELOS ELASTOPLÁSTICOS PARA SOLOS ARGILOSOS: CAPACIDADE DE PREVISÃO DE COMPORTAMENTO E

INTEGRAÇÃO DA RELAÇÃO CONSTITUTIVA

DORIVAL DE MORAES PEDROSO

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE. APROVADA POR: ______________________________________ MÁRCIO MUNIZ DE FARIAS, PhD. (UnB) (ORIENTADOR) ______________________________________________ JOSÉ HENRIQUE FEITOSA PEREIRA, PhD. (UnB) (EXAMINADOR INTERNO) _________________________________________________________ EURÍPEDES DO AMARAL VARGAS JÚNIOR, PhD. (PUC-RIO) (EXAMINADOR EXTERNO) DATA: BRASÍLIA/DF, 20 DE AGOSTO DE 2002.

iii

FICHA CATALOGRÁFICA PEDROSO, DORIVAL DE MORAES

Modelos Elastoplásticos para Solos Argilosos: Capacidade de Previsão de Comportamento e Integração da Relação Constitutiva.

xx, 171 p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Geotecnia, 2002) Dissertação de Mestrado - Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil 1. Modelos Constitutivos 2. Integração Numérica 3. Cam-Clay 4. Tij-Clay I. ENC/FT/UnB II. Título (série)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA PEDROSO, D.M. (2002). Modelos Elastoplásticos para Solos Argilosos: Capacidade de Previsão de Comportamento e Integração da Relação Constitutiva. Dissertação de Mestrado, Publicação G.DM-096A/02, Departamento de Engenharia Civil, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 171 p. CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Dorival de Moraes Pedroso TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: Modelos Elastoplásticos para Solos Argilosos: Capacidade de Previsão de Comportamento e Integração da Relação Constitutiva. GRAU / ANO: Mestre / 2002 É concedida à Universidade de Brasília a permissão para reproduzir cópias desta dissertação de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação de mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor. _____________________________ Dorival de Moraes Pedroso SHIS, QL 2, CJ 7, CASA 13 CEP 71610-075 - Brasília / DF - Brasil

iv

DEDICATÓRIA

À minha família

v

AGRADECIMENTOS Ao professor Márcio Muniz de Farias pela orientação, ensino e amizade fornecidos durante o curso de geotecnia. Aos professores Dorival Pedroso e José Alves de Freitas pela contribuição à minha formação por 25 anos e no decorrer do Curso de Engenharia Civil na Universidade Católica de Goiás. Aos professores Marco Túlio Pereira de Campos e Adhemar Palocci pelo valioso ensino das matérias geotécnicas na graduação. Aos professores André, Camapum, Ennio, Eraldo, Feitosa, Márcio, Newton, Pedro e Renato pelo excelente curso de geotecnia. Aos colegas David Américo e John Eloi pela amizade e discussões relacionadas à geotecnia e a todos os colegas da UnB. À CAPES pelo suporte financeiro na forma de bolsa de estudos concedida. Em especial, à minha irmã Liliane pelos ensinamentos de Gramática da Língua Portuguesa, que me auxiliaram na escrita da dissertação, à minha mãe Elizabeth e às minhas tias Maura e Geralda pelo enorme incentivo.

vi

RESUMO MODELOS ELASTOPLÁSTICOS PARA SOLOS ARGILOSOS: CAPACIDADE DE

PREVISÃO DE COMPORTAMENTO E INTEGRAÇÃO DA RELAÇÃO

CONSTITUTIVA

Vários modelos elastoplásticos têm sido elaborados para a previsão do comportamento

mecânico de solos argilosos. Dentre alguns, o modelo Cam-Clay, desenvolvido na década de

1960, tem ganhado crescente aceitação no meio acadêmico e na prática corrente. Entretanto,

ele foi desenvolvido para condições específicas de solicitação, não apresentando desempenho

satisfatório fora do plano axis-simétrico de tensões. Matsuoka e Nakai (1986), desenvolveram

um modelo constitutivo para argilas sob condições tridimensionais de carregamento. O

modelo, chamado Tij-Clay, é baseado no conceito do Plano Espacialmente Mobilizado (SMP)

e na definição de um novo tensor de tensões (tij). Neste trabalho são deduzidas as expressões

para os tensores de quarta ordem da relação tensão-deformação para ambos os modelos. A

capacidade de previsão de comportamento mecânico desses modelos é avaliada através da

comparação entre simulações numéricas e resultados de ensaios triaxiais verdadeiros, sob

diferentes trajetórias no plano octaédrico.

As relações constitutivas para modelos elastoplásticos são do tipo não linear

incremental. A partir de uma trajetória de deformação (ou tensão) imposta, faz-se necessário

integrar a relação constitutiva, dados os incrementos finitos. Geralmente, esta integração não

pode ser feita de forma analítica, devendo-se recorrer a esquemas numéricos de integração do

tipo implícito ou explícito. Por serem mais simples, os explícitos são os mais utilizados,

porém não atendem à condição de consistência e os resultados dependem do tamanho dos

incrementos adotados. Os esquemas implícitos atendem à condição de consistência através de

um processo iterativo, porém exigem a determinação de derivadas de ordem superior e não

tem convergência assegurada. Na última parte deste trabalho, investiga-se a eficiência do

algoritmo implícito Backward-Euler (BE) e dos explícitos Forward-Euler (FE), Modified-

Euler (ME), Runge-Kutta-England (RKE) e Runge-Kutta-Dormand-Prince (RKDP). Para os

três últimos desenvolve-se um esquema automático de cálculo dos subincrementos. Conclui-

se que os esquemas ME e RKDP são os mais eficientes. O esquema RKDP é melhor que o

ME quando altas precisões são requisitadas.

vii

ABSTRACT

ELASTOPLASTIC MODELS FOR CLAYS: BEHAVIOR PREDICTION CAPACITY

AND INTEGRATION OF THE CONSTITUTIVE RELATION

Several models have been developed to predict the mechanical behavior of clay soils. Among

these, the Cam clay model, developed in the 1960s, has gained wide acceptance among

academics and even practicing engineers. However, this model was developed for specific

loading conditions and presents some shortcomings for stress states, which are not axis-

symmetric. Matsuoka and Nakai (1986) developed a constitutive model for clays under

general three-dimensional stress conditions. The model, named Tij-Clay, is based on the

concept of the Spatially Mobilized Plane (SMP) and on the definition of new stress tensor

(tij). Expressions for the fourth order tensors of the stress-strain relation for both models are

deduced in this dissertation. The capacity of both models for predicting the soil behavior is

checked by means of comparisons between numerical simulations and the results of true

triaxial tests under constant mean stress trajectories.

The constitutive relations for elastoplastic models are non-linear and generally

expressed in an incremental form. In order to reproduce a given stress (or strain) path, it is

necessary to integrate these relations over an increment of finite size. This integration cannot

be performed analytically and one has to make use of either implicit or explicit numerical

integration schemes. Explicit schemes are widely used, since they are simple to implement;

however, the results do not satisfy the consistency condition and are highly dependent of the

adopted finite increment sizes. On the other hand, implicit methods satisfy consistency,

through and iterative process that not always converges but requires higher order derivatives,

which are not always easy to obtain. The efficiency of explicit and implicit algorithms is

investigated in the last part of this study. The following schemes were tested: Backward-Euler

(BE), Forward Euler (FE), Modified Euler (ME), Runge-Kutta-England (RKE) and Runge-

Kutta-Dormand-Prince (RKDP). Automatic algorithms were implemented in order to definite

the increment sizes which would keep the solution within a given tolerance. It was concluded

that the Runge-Kutta-Dormand-Prince scheme was the most efficient when high precision is

required. For low precision, the Modified-Euler scheme was the most efficient.

viii

ÍNDICE

1 - INTRODUÇÃO.............................................................................................. 1

1.1 - OBJETIVOS.....................................................................................................................2

1.2 - METODOLOGIA ............................................................................................................3

1.2.1 - TRANSFORMAÇÕES ALGÉBRICAS .........................................................................3

1.2.2 - ELABORAÇÃO DE ALGORITMOS DE INTEGRAÇÃO...........................................3

1.2.3 - SIMULAÇÕES NUMÉRICAS.......................................................................................3

1.3 - ESCOPO DO TRABALHO ............................................................................................4

2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ..................................................................... 5

2.1 - TEORIA MATEMÁTICA DA PLASTICIDADE ........................................................6

2.1.1 - RELAÇÕES ELASTOPLÁSTICAS ..............................................................................7

2.1.2 - FUNÇÃO DE PLASTIFICAÇÃO..................................................................................8

2.1.3 - LEI DE ENDURECIMENTO.........................................................................................9

2.1.4 - LEI DE FLUXO..............................................................................................................9

2.2 - MODELO ELASTOPLÁSTICO CAM-CLAY...........................................................10

2.2.1 - SUPERFÍCIE LIMITE DE ESTADO...........................................................................11

2.3 - MODELOS ELASTOPLÁSTICOS TIJ ......................................................................13

2.3.1 - O PLANO ESPACIALMENTE MOBILIZADO .........................................................14

2.3.2 - INVARIANTES DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO ....................................................15

2.3.3 - CRITÉRIO DE RUPTURA MATSUOKA-NAKAI ....................................................15

2.3.4 - QUANTIDADE MECÂNICA TIJ................................................................................16

2.4 - INTEGRAÇÃO NUMÉRICA DA RELAÇÃO CONSTITUTIVA ...........................16

3 - FUNDAMENTOS TEÓRICOS.................................................................. 18

3.1 - TENSORES ....................................................................................................................18

3.1.1 - NOTAÇÃO INDICIAL ................................................................................................18

3.1.2 - DELTA DE KRONECKER..........................................................................................20

3.1.3 - MANIPULAÇÕES COM NOTAÇÃO INDICIAL......................................................20

3.1.4 - BASES CARTESIANAS..............................................................................................21

ix

3.1.5 - DEFINIÇÃO DE TENSORES......................................................................................22

3.1.6 - TENSOR TRANSPOSTO ............................................................................................23

3.1.7 - TENSORES ORTOGONAIS........................................................................................23

3.1.8 - LEIS DE TRANSFORMAÇÃO ...................................................................................23

3.1.9 - OPERAÇÕES COM TENSORES ................................................................................26

3.1.10 - TENSORES UNITÁRIOS..........................................................................................27

3.1.11 - INVERSÃO DE TENSORES.....................................................................................28

3.1.12 - DECOMPOSIÇÃO DE TENSORES DE SEGUNDA ORDEM................................30

3.1.13 - INVARIANTES DE UM TENSOR DE SEGUNDA ORDEM..................................30

3.1.14 - TRANSFORMAÇÃO DE SIMILARIDADE.............................................................31

3.1.15 - AUTOVALORES E AUTOVETORES – QUANTIDADES PRINCIPAIS ..............32

3.2 - TENSÕES E DEFORMAÇÕES ...................................................................................33

3.2.1 - TENSOR DE TENSÕES ..............................................................................................33

3.2.2 - TENSOR DE DEFORMAÇÕES ..................................................................................35

3.3 - LEIS CONSTITUTIVAS ..............................................................................................37

3.3.1 - RELAÇÃO CONSTITUTIVA ELÁSTICO-LINEAR .................................................37

3.3.2 - RELAÇÕES CONSTITUTIVAS NÃO LINEARES....................................................38

3.4 - ELASTOPLASTICIDADE CLÁSSICA ......................................................................39

3.4.1 - SUPOSIÇÕES DA TEORIA DA ELASTOPLASTICIDADE.....................................39

3.4.2 - TENSORES ELASTOPLÁSTICOS.............................................................................43

3.4.3 - EVOLUÇÃO DA VARIÁVEL DE ENDURECIMENTO TIPO TENSÃO ................44

4 - MODELO ELASTOPLÁSTICO CAM-CLAY........................................ 45

4.1 - INVARIANTES DE TENSÃO......................................................................................45

4.2 - INVARIANTES DE DEFORMAÇÃO.........................................................................46

4.3 - TRABALHO PLÁSTICO .............................................................................................46

4.4 - LEI DE FLUXO .............................................................................................................47

4.5 - CRITÉRIO DE RUPTURA ..........................................................................................48

4.6 - RELAÇÃO TENSÃO-DILATÂNCIA .........................................................................49

4.7 - FUNÇÃO DE PLASTIFICAÇÃO................................................................................49

4.7.1 - FUNÇÃO DE PLASTIFICAÇÃO DO MODELO CAM-CLAY ORIGINAL ............49

4.7.2 - FUNÇÃO DE PLASTIFICAÇÃO DO MODELO CAM-CLAY MODIFICADO ......50

x

4.8 - LEI DE ENDURECIMENTO.......................................................................................51

4.8.1 - DETERMINAÇÃO DO MÓDULO PLÁSTICO H .....................................................52

4.9 - TENSORES ELASTOPLÁSTICOS epC%

E epD%

..........................................................53

4.10 - INCREMENTO DO TAMANHO DA SUPERFÍCIE DE PLASTIFICAÇÃO......54

5 - MODELO ELASTOPLÁSTICO TIJ-CLAY ........................................... 55

5.1 - PLANO ESPACIALMENTE MOBILIZADO - SMP ................................................55

5.1.1 - NORMAL AO SMP......................................................................................................57

5.1.2 - TENSÕES E DEFORMAÇÕES NO SMP ...................................................................58

5.2 - INVARIANTES DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO ...................................................59

5.3 - TENSOR MODIFICADO TIJ......................................................................................60

5.4 - TRABALHO PLÁSTICO .............................................................................................63

5.5 - LEI DE FLUXO .............................................................................................................64

5.6 - CRITÉRIO DE RUPTURA ..........................................................................................65

5.7 - RELAÇÃO TENSÃO-DILATÂNCIA .........................................................................66

5.8 - FUNÇÃO DE PLASTIFICAÇÃO................................................................................67

5.9 - LEI DE ENDURECIMENTO.......................................................................................68

5.9.1 - DETERMINAÇÃO DO MÓDULO PLÁSTICO H .....................................................69

5.10 - DIVISÃO DO INCREMENTO DE DEFORMAÇÃO PLÁSTICA ........................69

5.10.1 - DETERMINAÇÃO DO INCREMENTO p(IC)dε%

.......................................................70

5.10.2 - DETERMINAÇÃO DOS INCREMENTOS pdε%

E pvdε ............................................71


E epD%

........................................................72

5.12 - INCREMENTO DO TAMANHO DA SUPERFÍCIE DE PLASTIFICAÇÃO......73

5.13 - RESUMO COMPARATIVO ENTRE AS EQUAÇÕES DOS MODELOS CAM-

CLAY E TIJ-CLAY ...............................................................................................................74

6 - COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS ELASTOPLÁSTICOS....... 75

6.1 - ENSAIOS DE LABORATÓRIO ..................................................................................76

6.1.1 - DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS..................................................................77

6.1.2 - DEFINIÇÕES DOS ENSAIOS.....................................................................................79

6.1.3 - RESULTADOS DE RESISTÊNCIA............................................................................80

xi

6.2 - SIMULAÇÕES NUMÉRICAS .....................................................................................82

6.3 - COMPARAÇÕES ENTRE OS MODELOS ...............................................................83

7 - INTEGRAÇÃO DA RELAÇÃO CONSTITUTIVA................................ 87

7.1 - ALGORITMOS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA ...................................................88

7.2 - ESQUEMA DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA IMPLÍCITA....................................92

7.2.1 - APLICAÇÃO AO MODELO CAM-CLAY.................................................................97

7.3 - ESQUEMAS EXPLÍCITOS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA .............................110

7.3.1 - FORWARD-EULER...................................................................................................110

7.3.2 - MODIFIED-EULER...................................................................................................111

7.3.3 - RUNGE-KUTTA-ENGLAND ...................................................................................112

7.3.4 - RUNGE-KUTTA-DORMAND-PRINCE...................................................................114

7.3.5 - ALGORITMOS DE SUBINCREMENTOS VARIÁVEIS ........................................115

7.3.6 - INTERSECÇÃO À SUPERFÍCIE DE PLASTIFICAÇÃO .......................................118

7.3.7 - APLICAÇÕES AOS MODELOS CAM-CLAY E TIJ-CLAY ..................................120

7.4 - COMPARAÇÕES ENTRE OS ESQUEMAS DE INTEGRAÇÃO ........................123

8 - CONCLUSÕES.......................................................................................... 128

8.1 - SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS.........................................................129

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................... 131

A - DEDUÇÃO GENÉRICA DOS TENSORES ELASTOPLÁSTICOS.. 135

A.1 - TENSOR ELASTOPLÁSTICO DE QUARTA ORDEM epD%

................................135

A.2 - TENSOR ELASTOPLÁSTICO DE QUARTA ORDEM epC%

................................137

B - FUNÇÃO DE PLASTIFICAÇÃO DO MODELO CAM-CLAY......... 139

B.1 - CAM-CLAY ORIGINAL ...........................................................................................139

B.2 - CAM-CLAY MODIFICADO.....................................................................................140

C - FUNÇÃO DE PLASTIFICAÇÃO DO MODELO TIJ-CLAY ............ 142

C.1 - SOLUÇÃO PARA 1α ≠ .............................................................................................142

xii

C.2 - SOLUÇÃO PARA 1α = .............................................................................................143

D - DERIVADAS PARA O MODELO CAM-CLAY.................................. 145

D.1 - DERIVADAS DOS INVARIANTES COM RELAÇÃO AO TENSOR DE

TENSÕES..............................................................................................................................145

D.2 - DERIVADAS PARA O CAM-CLAY ORIGINAL..................................................147

D.3 - DERIVADAS PARA O CAM-CLAY MODIFICADO............................................148

D.3.1 - DERIVADAS DE PRIMEIRA ORDEM...................................................................148

D.3.2 - DERIVADAS DE SEGUNDA ORDEM...................................................................150

E - TENSORES ELASTOPLÁSTICOS PARA O MODELO TIJ-CLAY 151

E.1 - DETERMINAÇÃO DO INCREMENTO NCdt ........................................................152

E.2 - DETERMINAÇÃO DO TENSOR epD%

.....................................................................152

E.2.1 - OBTENÇÃO DE ij ij ijd d (d ,d )ε = ε σ γ .........................................................................152

E.2.2 - OBTENÇÃO DE dγ ..................................................................................................153

E.2.3 - OBTENÇÃO DE epD%

.................................................................................................154

E.3 - DETERMINAÇÃO DO TENSOR epC%

......................................................................154

E.3.1 - OBTENÇÃO DE ij ij ijd d (d ,d )σ = σ ε γ .........................................................................154

E.3.2 - OBTENÇÃO DE NCdt ..............................................................................................155

E.3.3 - OBTENÇÃO DE dγ ..................................................................................................156

E.3.4 - OBTENÇÃO DE epC%

.................................................................................................157

F - DERIVADAS PARA O MODELO TIJ-CLAY ..................................... 158

F.1 - DETERMINAÇÃO DE N

Ft

∂∂

.......................................................................................158

F.2 - DETERMINAÇÃO DE S

Ft

∂∂

.......................................................................................159

F.3 - DETERMINAÇÃO DE Ntt

∂∂%

.......................................................................................160

F.4 - DETERMINAÇÃO DE Stt

∂∂%

.......................................................................................160

xiii

F.5 - DETERMINAÇÃO DE 1I∂∂σ

%, 2I∂

∂σ%

E 3I∂∂σ

%....................................................................163

F.6 - DETERMINAÇÃO DE Nt∂∂σ%

.......................................................................................166

F.7 - DETERMINAÇÃO DE St∂∂σ

%.......................................................................................167

F.8 - DETERMINAÇÃO DE NC

Ft∂

∂.....................................................................................169

F.9 - DETERMINAÇÃO DE Ft

∂∂%

........................................................................................170

F.10 - DETERMINAÇÃO DE F∂∂σ

%......................................................................................170

F.11 - RESUMO DAS DERIVADAS..................................................................................170

Quebra de seção (próxima página)

xiv

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 - Equações evolutivas da elastoplasticidade. ..........................................................43

Tabela 5.1 - Resumo comparativo entre as equações dos modelos Cam-Clay e Tij-Clay.......74

Tabela 6.1 - Parâmetros e condições iniciais para a argila Fujinomori....................................79

Tabela 6.2 - Definições para os ensaios triaxiais convencionais e verdadeiros. ......................80

Tabela 6.3 - Resultados dos ensaios; Critério de ruptura. ........................................................81

Tabela 7.1 - Equações para o algoritmo de integração implícita. ............................................96

Tabela 7.2 - Parâmetros do solo para as simulações de integração implícita com Cam-Clay. 97

Tabela 7.3 - Dados utilizados nas simulações de integração com o modelo Cam-Clay. .........98

Tabela 7.4 - Dados das simulações para o traçado das linhas de igual erro...........................105

Tabela 7.5 - Dados para os testes de integração com os modelos Cam-Clay e Tij-Clay. ......120

Tabela 7.6 - Parâmetros para os Testes A e B. .......................................................................120

Tabela 7.7 - Resultados da aplicação dos esquemas de integração ao modelo Cam-Clay.....121

Tabela 7.8 - Resultados da aplicação dos esquemas de integração ao modelo Tij-Clay........121

Tabela 7.9 - Dados para os testes de integração 01 até 08. ....................................................123

Tabela 7.10 - Resultados do Teste de integração 01. .............................................................124








Tabela F.1 - Derivadas para o modelo Tij-Clay. ....................................................................171


xv

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Pontos de integração. ..............................................................................................5

Figura 2.2 - Ensaio triaxial verdadeiro. ......................................................................................6

Figura 2.3 - Comportamento elástico-perfeitamente-plástico. ...................................................7

Figura 2.4 - Comportamento elastoplástico................................................................................8

Figura 2.5 - Superfícies de plastificação e potencial plástico e lei de fluxo. .............................8

Figura 2.6 - Estado crítico. .......................................................................................................10

Figura 2.7 - Softening, Hardening e dilatância.........................................................................11

Figura 2.8 - Superfície Limite de Estado e Linha de Estado Crítico........................................12

Figura 2.9 - Inclinação M da Reta de Estado Crítico. ..............................................................12

Figura 2.10 - Inclinações λ e κ das retas hidrostática, edométrica e de estado crítico..........13

Figura 2.11 - Relação tensão-dilatância (Matsuoka & Nakai, 1974). ......................................14

Figura 2.12 - Critérios de ruptura Mohr-Coulomb, Von Mises e Matsuoka-Nakai. ................15

Figura 3.1 - Base cartesiana......................................................................................................22

Figura 3.2 - Eixos coordenados. ...............................................................................................24

Figura 3.3 - Tensão num ponto.................................................................................................33

Figura 3.4 - Leis constitutivas. .................................................................................................37

Figura 3.5 - Lei constitutiva elástico-linear..............................................................................38

Figura 3.6 - Lei constitutiva não-linear. ...................................................................................38

Figura 3.7 - Resposta elástica. ..................................................................................................41

Figura 3.8 - Resposta plástica...................................................................................................41

Figura 4.1 - Lei de fluxo associada. .........................................................................................47

Figura 4.2 - Inclinação M da linha de estado crítico. ...............................................................48

Figura 4.3 - Superfície de plastificação do modelo Cam-Clay original. ..................................50

Figura 4.4 - Superfície de plastificação do modelo Cam-Clay modificado. ............................51

Figura 4.5 - Comportamento de consolidação..........................................................................52

Figura 5.1 – Círculos de Mohr para estado tridimensional de tensões.....................................55

Figura 5.2 - Planos mobilizados. ..............................................................................................56

Figura 5.3 - Plano espacialmente mobilizado - SMP. ..............................................................56

Figura 5.4 - SMP; intersecção com os eixos coordenados. ......................................................57

Figura 5.5 - SMP; vetor normal e componentes de tensão.......................................................58

Figura 5.6 - Tensor desviador Dt%. ............................................................................................61

xvi

Figura 5.7 - Incremento de deformação desviador Ddε%

. ..........................................................62

Figura 5.8 - Espaço de tensões convencional. ..........................................................................63

Figura 5.9 - Espaço de tensões modificado. .............................................................................63

Figura 5.10 - Lei de fluxo associada. .......................................................................................64

Figura 5.11 - Relação tensão-dilatância no SMP. ....................................................................66

Figura 5.12 - Superfície de plastificação do modelo Tij-Clay. ................................................68

Figura 5.13 - Trajetórias de tensão no plano St versus Nt . .....................................................70

Figura 6.1 - Equipamento triaxial verdadeiro (Chowdhury, 1998). .........................................76

Figura 6.2 - Ensaio de compressão isotrópica na argila Fujinomori. .......................................77

Figura 6.3 - Gráfico tensão-deformação do ensaio de Compressão Triaxial (TC). .................78

Figura 6.4 - Relação tensão-dilatância, baseada no SMP, para a argila Fujinomori. ...............78

Figura 6.5 - Ângulo da trajetória de tensões no plano Π . .......................................................79

Figura 6.6 - Resultados dos ensaios no plano Π ; Critérios de ruptura....................................81

Figura 6.7 - Programa Modelos Constitutivos..........................................................................82

Figura 6.8 - Resultados e simulação do ensaio TC. .................................................................83

Figura 6.9 - Resultados e simulação do ensaio TE...................................................................84

Figura 6.10 - Resultados e simulação do ensaio T0. ................................................................84

Figura 6.11 - Resultados e simulação do ensaio T15. ..............................................................85



Figura 7.1 - Resposta Elástica – RE. ........................................................................................89

Figura 7.2 - Resposta Elástica + Carregamento Elastoplástico – RE+CEP. ............................89

Figura 7.3 - Carregamento Elastoplástico – CEP.....................................................................89

Figura 7.4 - Descarregamento Elástico – DE. ..........................................................................90

Figura 7.5 - Resposta Elástica + Carregamento Elastoplástico – RE+CEP. ............................90

Figura 7.6 - Carregamento Neutro – CN. .................................................................................90

Figura 7.7 - Midpoint-Rule.......................................................................................................91

Figura 7.8 - FEM incremental. .................................................................................................92

Figura 7.9 - Algoritmo de integração implícita do tipo Previsor-Corretor...............................93

Figura 7.10 - Sim-01-1; Superfícies de plastificação e trajetórias; plano q x p’. .....................98

Figura 7.11 - Sim-01-1; Gráfico q versus 1ε ............................................................................99

Figura 7.12 - Sim-01-2; Superfícies de plastificação e trajetórias; plano q x p’. .....................99

Figura 7.13 - Sim-01-2; Gráfico q versus 1ε ..........................................................................100

xvii

Figura 7.14 - Sim-02-1; Superfícies de plastificação e trajetórias; plano q x p’. ...................100








Figura 7.22 - Pontos no espaço q versus p para o traçado das linhas de igual erro................104

Figura 7.23 - Simulação Sim-04-1; Pontos para o traçado das linhas de igual erro...............106

Figura 7.24 - Simulação Sim-04-1; Linhas de igual erro. ......................................................106







Figura 7.31 - Forward-Euler...................................................................................................110

Figura 7.32 - Modified-Euler. ................................................................................................111

Figura 7.33 - Runge-Kutta-England e Dormand-Prince.........................................................112

Figura 7.34 - Valor do escalar T.............................................................................................116

Figura 7.35 - Determinação da tensão de intersecção ............................................................118

Figura 7.36 - Método Newton-Raphson para a determinação da tensão de intersecção. .......119

Figura 7.37 - Superfícies de plastificação no espaço q x p; Integração do modelo Cam-Clay.

........................................................................................................................................122

Figura 7.38 - Superfícies de plastificação no espaço tS x tN; Integração do modelo Tij-Clay.

........................................................................................................................................122

Figura E.1 - Fluxograma 1; Determinação dos tensores elastoplásticos do modelo Tij-Clay.

.................................................................................................................................................151

Figura E.2 - Fluxograma 2; Determinação de ( )NCdt dz= para o modelo Tij-Clay. .............151

Figura F.1 - Esquema da determinação das derivadas para o modelo Tij-Clay. ....................158


xviii

LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES a%

Tensor da normal ao SMP

1a Componente da normal ao SMP na direção 1



BE Backward-Euler eC

% Tensor de quarta ordem elástico que relaciona eC :σ = ε

% % %

epC%

Tensor de quarta ordem elastoplástico que relaciona epd C : dσ = ε% % %

eD

% Tensor de quarta ordem elástico que relaciona eD :ε = σ

%% %

epD%

Tensor de quarta ordem elastoplástico que relaciona epd D : dε = σ%% %

pdW Incremento de trabalho plástico *pdW Incremento de trabalho plástico equivalente

Ddε%

Tensor desviador do incremento de deformação no SMP

Ndε Incremento de deformação normal no SMP

Sdε Incremento de deformação cisalhante no SMP

p(AF)dε%

Incremento de deformação plástica relacionado com o fluxo associado p(IC)dε

% Incremento de deformação plástica devido à compressão isotrópica

p(AF)vdε Incremento de def. volumétrica plástica relacionado com o fluxo associado

p(IC)vdε Incremento de def. volumétrica plástica devido à compressão isotrópica

*pvdε Incremento de def. vol. para situações de razão constante entre tensões

dγ Parâmetro de consistência (multiplicador de Lagrange)

e Índice de vazios

E Módulo de elasticidade (Young)

0e Índice de vazios inicial correspondente a 0p

Ce Índice de vazios correspondente a Cp

E%

Tensor desviador de deformações

FE Forward-Euler

h%

Vetor que define do endurecimento

H%

Módulo plástico

xix

1I ε Primeiro invariante do tensor de deformações

2I ε Segundo invariante do tensor de deformações

3I ε Terceiro invariante do tensor de deformações

1I σ Primeiro invariante do tensor de tensões

2I σ Segundo invariante do tensor de tensões

3I σ Terceiro invariante do tensor de tensões

2DJ Segundo invariante do tensor de tensões desviador

M Inclinação da linha de estado crítico no gráfico q versus p’

ME Modified-Euler

p ' Invariante de tensão normal média efetiva (Cambridge)

0p Invariante de tensão normal média inicial

Cp Medida do tamanho da superfície de plastificação do modelo Cam-Clay

q Invariante de tensão cisalhante (Cambridge)

r% Gradiente da função potencial plástico ou de plastificação

RKE Runge-Kutta-England

RKDP Runge-Kutta-Dormand-Prince

S%

Tensor desviador de tensões

t% Tensor modificado

1t Componente da tensão no SMP na direção 1



TC Compressão triaxial (Triaxial Compression)

Dt% Tensor desviador do tensor modificado no SMP

TE Extensão triaxial (Triaxial Extension)

Nt Invariante de tensão normal no SMP

NCt Medida do tamanho da superfície de plastificação do modelo Tij-Clay

St Invariante de tensão cisalhante no SMP

z%

Vetor das variáveis de endurecimento tipo tensão

α Inclinação da reta tensão-dilatância no gráfico S Nt t versus N Sd d− ε ε

xx

ε%

Tensor de deformações

vε Deformação volumétrica

dε Deformação cisalhante

evε Deformação volumétrica elástica

pvε Deformação volumétrica plástica

'φ Ângulo de atrito efetivo

comp'φ Ângulo de atrito efetivo em compressão

κ Inclinação da reta de descompressão no gráfico e versus ln(p’)

λ Inclinação da reta de compressão no gráfico e versus ln(p’)

ξ%

Vetor das variáveis de endurecimento tipo deformação

ν Índice de Poisson

σ%

Tensor de tensões

σ%

Tensor de tensões em termos de seus valores principais

1σ Tensão principal maior

2σ Tensão principal intermediária

3σ Tensão principal menor

RELAÇÃO DE OPERADORES

: Contração dupla

. Produto escalar

⊗ Produto diádico

1

1 - INTRODUÇÃO

Leis da natureza são utilizadas para tentar explicar tudo aquilo que o ser humano pode

perceber, ver, ouvir ou construir. Dentre algumas, pode-se citar a conservação da matéria,

energia, momentos lineares e angulares, as leis do fluxo eletromagnético e o conceito da

irreversibilidade termodinâmica. A Mecânica do Contínuo é baseada nestes princípios,

considerando-os independentes da constituição interna do material. Entretanto, a resposta de

um meio contínuo, sujeito a forças externas, não pode ser determinada apenas pelas equações

de campo derivadas a partir dos princípios básicos (Desai & Siriwardane, 1984). A solução

pode ser obtida através da utilização de leis constitutivas que representam (matematicamente)

o comportamento mecânico do material.

A elaboração de leis constitutivas depende fundamentalmente de ensaios de

laboratório, pois eles permitem a verificação direta do comportamento mecânico do material.

A determinação dos parâmetros necessários para representar (numericamente) tal

comportamento é realizada através da análise dos resultados dos ensaios.

A lei constitutiva mais simples utilizada em engenharia é a elástico-linear conhecida

por Lei de Hooke. Essa lei tem aplicação muito limitada ao solo, pois o comportamento deste

material é influenciado por vários fatores como o estado de tensão, tensões residuais ou

iniciais, variação de volume sobre cisalhamento (dilatância), história de tensões, anisotropia

inerente ou induzida, teor de umidade e dependência com relação ao tempo.

Uma importante classe de modelos constitutivos, com potencial aplicação ao solo, é

fundada na Teoria da Elastoplasticidade. Os modelos baseados nesta teoria têm enorme

vantagem quando comparados aos elástico-lineares e até mesmo aos elástico-não-lineares.

Isso se deve à teoria da plasticidade ter sido desenvolvida através de equações de evolução,

baseadas em princípios físicos consistentes, que consideram a ocorrência de deformações

irrecuperáveis.

O modelo elastoplástico Cam-Clay é utilizado para representar o comportamento

mecânico de solos argilosos. Devido ao seu processo de desenvolvimento ter sido baseado em

ensaios axis-simétricos, sua extensão a problemas tridimensionais encontra algumas

dificuldades. Nakai & Matsuoka (1986) desenvolveram o modelo elastoplástico Tij-Clay que

possui a capacidade de representar numericamente o comportamento mecânico de argilas em

situações tridimensionais. Com o mesmo intuito, também foi criado o modelo Tij-Sand para

areias (Nakai, 1989).

2

A partir de um levantamento bibliográfico verificou-se que as equações constituintes

do modelo elastoplástico Tij-Clay não estão apresentadas de forma clara quando comparadas

com as dos modelos elastoplásticos convencionais. Verificou-se ainda, que o modelo Tij-Clay

não é difundindo entre os profissionais da área, ao contrário do modelo Cam-Clay que tem

sido utilizado, apesar de algumas falhas na simulação do comportamento mecânico do solo

submetido a estados tridimensionais de tensão. Dentre esses dois modelos elastoplásticos, é

importante verificar quais podem ser utilizados, sobre determinadas condições de

carreagmento, nos problemas geotécnicos com geometria tridimensional.

A implementação de modelos elastoplásticos num programa de Elementos Finitos

necessita da elaboração de esquemas de integração numérica, pois as relações constitutivas

elastoplásticas formam um sistema não-linear de equações diferenciais, cuja solução analítica,

se existir, é de difícil obtenção. A integração visa determinar o novo estado de tensão devido

ao incremento de deformação calculado a cada iteração do Método dos Elementos Finitos. Ao

mesmo tempo, na obtenção das tensões atualizadas, deve-se determinar a variação da

superfície de plastificação. O desenvolvimento de algoritmos para a integração da relação

constitutiva elastoplástica é o núcleo da Plasticidade Computacional (Simo, 1994). Os

algoritmos apresentados na literatura podem ser classificados como explícitos e implícitos.

Nos esquemas de integração numérica explícita, os incrementos devem ser

subdivididos em subincrementos para que a solução correta possa ser aproximada. Por não

haver parâmetros que determinem seu tamanho, faz-se necessária a pesquisa por esquemas

que calculem de alguma forma o tamanho dos subincrementos.

Os algoritmos implícitos exigem a determinação de derivadas de segunda ordem.

Essas derivadas nem sempre podem ser obtidas facilmente. Além disso, não se sabe até que

ponto a resposta desses algoritmos é correta, nem se sua eficiência é maior que a dos

explícitos, justificando o estudo comparativo entre eles.

1.1 - OBJETIVOS

Inicialmente, objetiva-se apresentar as equações constitutivas do modelo elastoplástico

Tij-Clay num formato semelhante ao utilizado para os modelos convencionais da Teoria

Clássica da Plasticidade.

Em seguida, pretende-se comparar os modelos Cam-Clay e Tij-Clay, com relação à

representação do comportamento mecânico dos solos argilosos, submetidos a estados de

tensão e deformação tridimensionais.

3

Finalmente, busca-se determinar esquemas de integração numérica que possam ser

aplicados aos modelos elastoplásticos Cam-Clay e Tij-Clay. Além disso, procura-se verificar

a precisão e, principalmente, a eficiência desses esquemas.

1.2 - METODOLOGIA

1.2.1 - TRANSFORMAÇÕES ALGÉBRICAS

As relações elastoplásticas podem ser representadas por tensores de quarta ordem. A

determinação desses tensores é baseada nos conceitos básicos da teoria da elastoplasticidade.

Transformações algébricas das equações evolutivas dessa teoria, utilizando-se o arcabouço do

Cálculo Tensorial, auxiliado pela Notação Indicial, são efetuadas na busca da relação não-

linear entre tensão e deformação. Os conceitos específicos ao modelo Tij-Clay são

apresentados de acordo com uma estrutura padrão com relação às equações elastoplásticas.

Isso facilita a utilização dos esquemas de integração numérica que poderão ser desenvolvidos

de forma única.

1.2.2 - ELABORAÇÃO DE ALGORITMOS DE INTEGRAÇÃO

Os conceitos da teoria da elastoplasticidade formam um Sistema Algébrico de Equações

Diferenciais. A solução desse sistema é aproximada numericamente, para isso elaboram-se

algoritmos de integração (esquemas de integração) que devem tanto atualizar o estado de

tensões e deformações quanto o tamanho da superfície de plastificação, para incrementos de

tensão ou deformação fornecidos, num Ponto de Integração (Ponto de Gauss). Os algoritmos

elaborados são utilizados num programa que simula ensaios de laboratório. A aplicação

desses algoritmos em um programa de Elementos Finitos não é feita.

1.2.3 - SIMULAÇÕES NUMÉRICAS

Os tensores elastoplásticos são implementados num programa que realiza a simulação

numérica de ensaios de laboratório. Várias simulações são realizadas para que a capacidade

de cada modelo em reproduzir o comportamento mecânico dos solos argilosos possa ser

analisada. Essas simulações são comparadas com situações reais, representadas por ensaios

4

em amostras de solos. Para isso, utilizam-se os resultados de ensaios de laboratório, do tipo

triaxial verdadeiro, disponíveis logo no início da pesquisa. Estes resultados são provenientes

dos testes triaxiais realizados por Chowdhury (1998) na argila Fujinomori do Japão.

A análise da eficiência, em termos de precisão e tempo de processamento, entre os

esquemas numéricos de integração é realizada pela execução dos algoritmos elaborados,

aplicados a várias situações fictícias de estado de tensão e incrementos de deformação, num

ponto de integração. Para isto, utiliza-se a ferramenta computacional Mathcad®, que permite

a introdução direta das equações constitutivas, eliminando possibilidades de erro.

1.3 - ESCOPO DO TRABALHO

No Capítulo 2, são apresentadas algumas revisões da literatura relacionadas com modelos

elastoplásticos e integração numérica de leis constitutivas. A primeira parte reúne os conceitos

básicos e a história de surgimento dos modelos Cam-Clay e Tij-Clay. A segunda parte, trata

da integração numérica de relações elastoplásticas (Plasticidade Computacional).

Os fundamentos teóricos necessários para a leitura deste trabalho estão colocados no

Capítulo 3. Dentre os principais destacam-se: notação indicial, tensores, operações com

tensores, tensor de tensão, tensor de deformação, transformações de similaridade,

determinação de autovalores e autovetores, leis constitutivas e teoria da elastoplasticidade.

O modelo Cam-Clay nas suas versões original e modificada é desenvolvido de acordo

com o arcabouço da Teoria da Elastoplasticidade no Capítulo 4.

No Capítulo 5, introduzem-se os conceitos básicos do modelo elastoplástico Tij-Clay e

determinam-se suas equações evolutivas, objetivando-se a elaboração dos tensores

elastoplásticos numa forma padrão, o que facilita a integração numérica.

Comparações entre os modelos Cam-Clay e Tij-Clay e resultados de testes em

amostras de solos são apresentadas no Capítulo 6. Os ensaios triaxiais convencionais e

verdadeiros, realizados por Chowdhury (1998) são relacionados neste Capítulo.

O desenvolvimento de algoritmos de integração numérica explícita e implícita, é

realizado no Capítulo 7, em que se procura resolver o sistema de equações evolutivas da

elastoplasticidade. Para isto, utilizam-se tanto as equações evolutivas diretamente quanto os

tensores elastoplásticos, desenvolvidos nos Capítulos 4 e 5.

A Conclusão deste trabalho é apresentada no Capítulo 8. Após este capítulo, seguem-

se as Referências Bibliográficas e seis Apêndices contendo demonstrações específicas.

5

2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Vários modelos têm sido publicados. Poucos deles podem ser aplicados aos solos e a maioria

não tem capacidade de reprodução do comportamento mecânico do material sobre qualquer

trajetória tridimensional de tensão.

Em obras geotécnicas bidimensionais envolvendo solos argilosos, é conveniente a

escolha pelo modelo elastoplástico Cam-Clay, pois sua habilidade para representar o

comportamento mecânico do solo é satisfatória nestas circunstâncias. Quando a geometria do

problema for tridimensional, pode-se recorrer ao modelo elastoplástico Tij-Clay, bastante

eficaz na representação da relação tensão-deformação de solos argilosos, sobre diversas

condições de tensões. Esse modelo foi desenvolvido por Nakai & Matsuoka (1986) e é

baseado nos seguintes conceitos: a) Plano Espacialmente Mobilizado; b) tensor modificado tij

e c) divisão do incremento de deformação plástica.

O desenvolvimento do Plano Espacialmente Mobilizado originou o critério de ruptura

Matsuoka-Nakai (Matsuoka & Nakai, 1974). Esse critério define resistências iguais às do

critério Mohr-Coulomb, em condições de compressão e extensão axis-simétrica. Em

condições nas quais o estado de tensão sai do plano triaxial, o critério Matsuoka-Nakai

considera resistências maiores que as sugeridas pelo critério Mohr-Coulomb e menores que as

sugeridas pelo critério de Lade-Duncan.

Figura 2.1 - Pontos de integração.

6

Tanto o Cam-Clay quanto o Tij-Clay são relações constitutivas não lineares, portanto

são apresentadas na forma incremental. Em programas de Elementos Finitos, relações

constitutivas incrementais devem ser integradas e a superfície de plastificação deve ser

atualizada para cada ponto de integração (Figura 2.1). A integração de relações constitutivas

para a determinação dos incrementos de tensão é um passo chave em análises não-lineares

pelo Método dos Elementos Finitos (Sloan et al., 2001).

As relações deduzidas na teoria da plasticidade são apresentadas por equações

evolutivas sob forma incremental. Essas equações constituem um Sistema Algébrico de

Equações Diferenciais (Büttner & Simeon, 2002) cuja solução pode ser obtida por integração

numérica. A determinação dos algoritmos de integração constitui o problema básico da

Plasticidade Computacional (Simo, 1994). Gear (1971) apresentou vários esquemas de

integração numérica para sistemas algébricos de equações diferenciais ordinárias.

Os pontos de integração do Método dos Elementos Finitos equivalem a amostras

ensaiadas no equipamento triaxial verdadeiro ou, em situações específicas, no equipamento

triaxial convencional (Figura 2.2).

Figura 2.2 - Ensaio triaxial verdadeiro.

Nesta dissertação, o termo tensão será utilizado em equivalência à tensão efetiva.

2.1 - TEORIA MATEMÁTICA DA PLASTICIDADE

A Teoria Matemática da Plasticidade é a parte da Teoria da Plasticidade que estuda o

fenômeno físico, relacionado com deformações permanentes, do ponto de vista matemático

(Hill, 1950). Ou seja, preocupa-se com a análise fenomenológica (causa e efeito) do

problema. Outra abordagem é a microscópica, que investiga o movimento entre cristais,

7

responsável pelas deformações permanentes. A primeira parte divide-se em duas vertentes:

Elastoplasticidade Independente do Tempo e Visco-elastoplasticidade. Este trabalho

considera apenas a parte independente do tempo (rate independent).

Pode-se considerar que a plasticidade começou com Coulomb (1773), que apresentou

um critério de ruptura para materiais como o solo. Posteriormente, Rankine aplicou os

conceitos criados por Coulomb aos problemas relacionados com empuxos de terra. No

entanto, Tresca é considerado o primeiro a apresentar um estudo científico da plasticidade

através de seu critério de ruptura para metais (Hill, 1950; Mendelson, 1968). Dentre vários

outros pesquisadores, destaca-se Von Mises, Drucker e Prager, cujas teorias foram

fundamentais para a criação da plasticidade. O desenvolvimento da plasticidade originou três

conceitos básicos: a) Função de Plastificação; b) Lei de Fluxo e c) Lei de Endurecimento.

2.1.1 - RELAÇÕES ELASTOPLÁSTICAS

O material que se comporta de forma a sofrer deformações recuperáveis seguidas de

permanentes, ao ser submetido a tensões externas, é denominado material elastoplástico. Ele

pode ser elástico-perfeitamente-plástico ou simplesmente elastoplástico. No primeiro caso,

após o regime elástico, as deformações permanentes ocorrem sem acréscimo de tensões

(Figura 2.3) enquanto que no segundo, as tensões aumentam de acordo com o endurecimento

(Figura 2.4). As Figuras 2.3 e 2.4 representam situações unidimensionais, nas quais há apenas

um componente de tensão e uma direção para a ocorrência de deformações.

Figura 2.3 - Comportamento elástico-perfeitamente-plástico.

8

Figura 2.4 - Comportamento elastoplástico.

2.1.2 - FUNÇÃO DE PLASTIFICAÇÃO

Na situação unidimensional, a verificação do início de plastificação é imediata, bastando

comparar a tensão atuante com a tensão de plastificação, 0Y (Figuras 2.3 e 2.4). Essa

comparação pode ser feita por uma expressão como x x 0F( ) Yσ = σ − em que xσ é a tensão

atuante e 0Y é a tensão de plastificação. Se F 0= , então x 0Yσ = , que indica que o material

está na iminência da plastificação. Se F 0< o material está no regime elástico. Não há

possibilidade de F ser maior que zero.

Figura 2.5 - Superfícies de plastificação e potencial plástico e lei de fluxo.

9

Similarmente, em casos tridimensionais, utiliza-se a função de plastificação para

indicar o início da plastificação. Essa é uma função cujas variáveis independentes são os seis

componentes do tensor (simétrico) de tensões. Portanto, a função de plastificação delimita

uma região fechada num espaço hexadimensional através de uma superfície de plastificação.

Essa região é referida domínio elástico. Para material isotrópico, pode-se esboçar a superfície

no espaço tridimensional de tensões principais (Figura 2.5).

Alguns autores chamam a superfície de plastificação de superfície de escoamento

(Gitirana, 1999). Esta última denominação é devida à tradução do inglês para o português do

termo yield (yield surface), que no princípio da plasticidade referia ao escoamento dos metais.

Prefere-se a primeira, pois, de forma mais genérica, a superfície de plastificação indica o

início da ocorrência de deformações plásticas.

2.1.3 - LEI DE ENDURECIMENTO

A tensão que indica plastificação 0Y , nos materiais submetidos a estado unidimensional de

tensão e deformação, poderá aumentar (endurecimento / “hardening”) ou diminuir

(amolecimento / “softening”) com a ocorrência de deformações plásticas. A forma como isto

acontece é regulada pela lei de endurecimento.

Em geral, para estado tridimensional de tensão e deformação, devem-se definir

parâmetros de endurecimento com o intuito de controlar a variação do tamanho da superfície

de plastificação.

2.1.4 - LEI DE FLUXO

A direção do incremento de deformação, no caso unidimensional, é a mesma do único

componente de tensão. Em situações gerais, a direção é definida pela lei de fluxo que é uma

equação evolutiva relacionando incrementos de deformação com os gradientes da função

potencial plástico (Figura 2.5). Esta função deve ser determinada experimentalmente, no

entanto, pode ser a própria função de plastificação. Neste último caso, diz-se que o modelo

constitutivo utiliza lei de fluxo associada e que a condição de normalidade foi satisfeita. A lei

de fluxo, por determinar a direção das deformações plásticas, controla a dilatância (Naylor et

al., 1981).

10

2.2 - MODELO ELASTOPLÁSTICO CAM-CLAY

O modelo elastoplástico Cam-Clay foi desenvolvido por Roscoe et al. (1958) para a argila de

Cambridge na Inglaterra. O modelo é baseado na teoria da elastoplasticidade e na teoria do

estado crítico. Esta última, agrupa os seguintes conceitos: a) estado crítico; b) dependência

entre índice de vazios e tensão média efetiva; c) deformações permanentes; d) critério de

ruptura.

O estado crítico é definido como aquele no qual não há variação de volume nem de

tensões. Pode-se observar este comportamento tanto em solos pré-adensados (ou densos)

quanto em adensados (ou fofos). Nos primeiros, o índice de vazios (e) sofre um aumento e

nos segundos um decréscimo. A situação residual, após a ocorrência de deformações

consideráveis, é o estado crítico. A Figura 2.6 apresenta o índice de vazios em função da

deformação axial ( aε ) de um corpo de prova submetido a um estado unidimensional de

tensões.

Figura 2.6 - Estado crítico.

11

Figura 2.7 - Softening, Hardening e dilatância.

A resistência dos solos densos atinge um pico de tensão que diminui para uma situação

residual (softening) enquanto que nos solos fofos ocorre o aumento gradual da resistência até

que o estado crítico é atingido (hardening). Durante o carregamento, os solos compactos

aumentam de volume (dilatância) e os solos fofos diminuem (Figura 2.7).

2.2.1 - SUPERFÍCIE LIMITE DE ESTADO

O conceito fundamental da teoria do estado crítico é a Superfície Limite de Estado, no qual as

principais características de comportamento mecânico do solo foram agrupadas. Essa

superfície é definida no espaço tridimensional formado pelos invariantes de tensão (p e q) e o

índice de vazios (e). A aresta curva superior dessa superfície, chamada de Linha de Estado

Crítico, é o lugar geométrico dos pontos em que não há variação de volume, ou seja, ocorreu

ruptura, conforme mostrou-se nas Figuras 2.6 e 2.7. Esta curva é apresentada na Figura 2.8.

12

Figura 2.8 - Superfície Limite de Estado e Linha de Estado Crítico.

Figura 2.9 - Inclinação M da Reta de Estado Crítico.

Ao observar a Superfície Limite de Estado no plano q versus p, verifica-se que a Linha

de Estao Crítico é uma reta de inclinação M (Figura 2.9). Verifica-se também, que em

gráficos e versus ln(p ') , as linhas de compressão hidrostática, edométrica e de estado crítico

são paralelas (Figura 2.10). No sentido de compressão define-se a inclinação λ e no de

descompressão a inclinação κ . (Roscoe et al., 1958).

13

Figura 2.10 - Inclinações λ e κ das retas hidrostática, edométrica e de estado crítico.

2.3 - MODELOS ELASTOPLÁSTICOS TIJ

Os modelos elastoplásticos tij são formados a partir de uma série de novos conceitos como

Plano Espacialmente Mobilizado (SMP – Spatially Mobilized Plane), tensor modificado tij e

divisão do incremento de deformação plástica. Esses conceitos surgiram com os trabalhos de

Murayama & Matsuoka (1973), Matsuoka (1974a; 1974b), Matsuoka & Nakai (1977; 1982;

1985), Nakai & Matsuoka (1983; 1986), Nakai & Mihara (1984) e Nakai (1989).

A vantagem dos modelos tij, com relação aos modelos convencionais, como o Cam-

Clay, é a boa representatividade do comportamento mecânico dos solos, sujeitos a diferentes

trajetórias de tensão e deformação, permitindo uma adequada análise numérica

tridimensional. Estes modelos exigem a determinação de apenas um parâmetro adicional, de

fácil obtenção, a partir de ensaios tradicionais como compressão triaxial convencional.

14

2.3.1 - O PLANO ESPACIALMENTE MOBILIZADO

O SMP foi originado a partir do estudo microscópico do mecanismo de cisalhamento de

materiais granulares (Murayama & Matsuoka, 1973; Matsuoka, 1974a). Com os resultados

desse estudo, Matsuoka (1974b) definiu três planos (planos mobilizados) nos quais o material

está mais mobilizado, para cada par de estados bidimensionais de tensão.

Posteriormente, percebeu-se que a direção na qual partículas individuais do solo,

sujeitas às três tensões principais, deslizam, não é necessariamente paralela à direção do eixo

da tensão principal intermediária, mas sim, afetada por esta tensão (Matsuoka & Nakai, 1974).

Com isso, Matsuoka & Nakai (1974) criaram o SMP compondo os três planos mobilizados.

Acredita-se que o SMP representa o plano de tensões resultante, em que o deslizamento das

partículas do solo tem maior magnitude no espaço de tensões principais.

O SMP coincide com o plano octaédrico para o estado isotrópico de tensões e é

variável com a mudança relativa entre as tensões. Entende-se que o SMP é o plano no qual as

partículas do solo estão mais mobilizadas, na média. (Matsuoka & Nakai, 1977).

Matsuoka & Nakai (1974) verificaram um interessante fato que comprova a

importância do significado físico do SMP. Observaram que os dados de ensaios triaxiais

verdadeiros em solos, submetidos a diversas trajetórias de tensão, são bem ajustados numa

mesma reta num gráfico tensão-dilatância cujos invariantes são definidos no SMP (Figura

2.11). Isto não ocorre quando os invariantes são definidos no plano octaédrico (p e q).

Figura 2.11 - Relação tensão-dilatância (Matsuoka & Nakai, 1974).

Na Figura 2.11, τ e Nσ são os invariantes de tensão no SMP e Ndε e dγ são os

incrementos de deformação no SMP.

15

2.3.2 - INVARIANTES DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO

Enquanto o modelo Cam-Clay utiliza os invariantes de tensão e deformação definidos

no plano octaédrico, o modelo Tij-Clay define invariantes no SMP. O invariante de tensão

normal equivalente ao p é Nt e o de tensão cisalhante equivalente ao q é St . Analogamente,

as medidas de deformação equivalentes aos incrementos vdε e sdε são Ndε e Sdε ,

incrementos de deformação normal e cisalhante no SMP, respectivamente.

Nakai & Matsuoka (1983) fizeram uma interessante revisão dos conceitos relativos ao

SMP e alteraram a definição dos invariantes de deformação, com relação as primeiros

invariantes propostos no SMP. A alteração foi baseada no fato de que a direção de

deslizamento das partículas do solo coincide com a direção dos incrementos de deformação

principal.

2.3.3 - CRITÉRIO DE RUPTURA MATSUOKA-NAKAI

Com os invariantes de tensão definidos no SMP e supondo que o solo rompe quando a razão

entre tensão cisalhante e tensão normal neste plano atinge um valor constante, Matsuoka &

Nakai (1974, 1977 e 1982) apresentaram um novo critério de ruptura para solos. Pode-se

visualizar este critério no plano octaédrico como uma linha curva circundando o critério de

ruptura Mohr-Coulomb tocando-o nas situações de compressão e extensão triaxial

(Figura 2.12).

Figura 2.12 - Critérios de ruptura Mohr-Coulomb, Von Mises e Matsuoka-Nakai.

16

Matsuoka & Nakai (1985) fizeram uma comparação entre os critérios de ruptura

clássicos para metais: Tresca, Von Mises e os critérios para solos: Mohr-Coulomb e o novo

critério Matsuoka-Nakai. Eles concluíram que, da mesma forma que o critério de Von Mises

envolve o de tresca, o critério de Matsuoka-Nakai envolve o de Mohr-Coulomb. Além disso,

o critério Matsuoka-Nakai possui uma posição importante como critério de ruptura para

materiais granulares como os solos, devido a sua representatividade.

2.3.4 - QUANTIDADE MECÂNICA TIJ

Objetivando a extensão dos modelos elastoplásticos válidos apenas para a condição de

compressão triaxial, como o Cam-Clay, para situações genéricas de tensão e deformação,

Nakai & Mihara (1984) definiram o tensor de segunda ordem tij. Na verdade, o tensor tij

simplifica as definições e os invariantes baseados no plano SMP. Por isso, o tensor tij é o

núcleo do desenvolvimento dos modelos elastoplásticos tij.

Oda (apud. Nakai & Mihara, 1984), através de ensaios de microscopia, observou que

as normais dos contatos entre partículas, em materiais granulares, modificam-se gradualmente

para a direção da tensão principal maior, no decorrer do aumento da razão entre tensões. Este

comportamento é o de anisotropia induzida, com relação ao estado de tensões. O tensor tij

pode ser considerado como uma quantidade mecânica que reflete esse comportamento (Nakai

& Mihara, 1984).

2.4 - INTEGRAÇÃO NUMÉRICA DA RELAÇÃO CONSTITUTIVA

Os esquemas de integração numérica mais utilizados na Plasticidade Computacional

são os pertencentes à classe Midpoint-Rule. Nesta classe, existem esquemas explícitos e

implícitos. Ambos são baseados na linearização, por séries de Taylor, das equações evolutivas

da plasticidade. A convergência para a resposta correta é obtida com a subdivisão dos

incrementos de tensão ou deformação em partes menores. Assim, esses esquemas são

métodos lineares de vários passos (Linear Multistep Method). Uma primeira aplicação destes

algoritmos aos sistemas algébricos de equações diferenciais foi feita por Gear (1971).

Dentre os esquemas explícitos, destaca-se o Forward-Euler (FE), que calcula as

derivadas, provenientes da expansão por série de Taylor, no início do intervalo de tempo.

Dentre os implícitos, o Backward-Euler (BE), que avalia as derivadas no final do intervalo de

17

tempo. A verificação da precisão e estabilidade desses esquemas, aplicados à

elastoplasticidade é apresentada por Ortiz & Popov (1985).

O esquema de integração Forward-Euler é largamente empregado em programas de

Elementos Finitos para determinar novos estados de tensão (ou deformação) e atualizar o

tamanho da superfície de plastificação (Sloan, 1992). Como ele é um método de primeira

ordem, a resposta da integração será adequada somente se os incrementos de deformação

forem pequenos. O esquema Forward-Euler utiliza apenas as primeiras derivadas da função

potencial plástico.

Sloan (1987) apresentou algoritmos de integração explícita que determinam

automaticamente o tamanho dos subincrementos. Posteriormente, esses algoritmos foram

aplicados à integração das relações elastoplásticas que utilizam os critérios de Tresca e Mohr-

Coulomb (Sloan, 1992) e aos modelos do tipo Cam-Clay (Sloan et al., 2001).

Esquemas de integração implícita estão bem apresentados na literatura (Simo &

Taylor, 1986; Jeremić, 1994; Jeremić & Sture, 1997; Borja & Lee, 1990; Borja 1991; Farias,

1993; Crisfield, 1991 e 1997). Apesar da difusão desses esquemas, a aplicação aos modelos

elastoplásticos mais complexos é restrita, pois requisitam a determinação de derivadas de

ordem superior. Na tentativa de contornar esse problema, Ortiz & Simo (1986)

desenvolveram um método de integração implícita chamado cutting-plane-return no qual o

retorno é feito na direção de planos tangentes à superfície de plastificação.

18

3 - FUNDAMENTOS TEÓRICOS

O suporte matemático desta pesquisa é fornecido pelos conceitos básicos da Mecânica do

Contínuo, da Teoria da Plasticidade e da Teoria da Elasticidade. Os primeiros podem ser

encontrados detalhadamente nos trabalhos de Eringen (1967), Fung (1965), Fung (1969),

Coimbra (1978) e Lai et al. (1993) e os segundos nos de Hill (1950), Mendelson (1968),

Kachanov (1971), Lubliner (1990) e Khan & Huang (1995). Os conceitos da elasticidade

estão bem apresentados em Sokolnikoff (1956), Chou & Pagano (1967) e Boresi & Chong

(1987). Outros livros importantes no entendimento dos conceitos básicos são: (Harr, 1966) e

(Desai & Siriwardane, 1984).

3.1 - TENSORES

Na Mecânica do Contínuo, as leis da natureza devem ser formuladas independentemente do

referencial e do observador. Assim, as entidades chamadas de tensores constituem a

sustentação matemática desta ciência, pois eles preservam a invariância das proposições das

leis físicas. Utiliza-se o símbolo “~” para diferenciar tensores de escalares (Notação

Tensorial). Como vetor é um caso particular de tensor, então esse símbolo também será

utilizado para representá-lo. Para facilitar a manipulação dos componentes dos tensores,

utiliza-se a Notação Indicial.

3.1.1 - NOTAÇÃO INDICIAL

A notação indicial é largamente utilizada na dedução concisa de várias equações relacionadas

à modelagem constitutiva. A característica mais importante desta notação é a Convenção do

Somatório que permite economia na escrita de equações. Esta convenção foi inicialmente

utilizada por Einstein (Lai et al., 1993).

A equação

1 1 2 2 3 3b a x a x a x= + + (3.1)

pode ser substituída pelo somatório

3

i ii 1

b a x=

= ∑ (3.2)

ou

19

3

j jj 1

b a x=

= ∑ (3.3)

em que a escolha entre o Índice i ou j não altera o significado.

A Convenção do Somatório é a concordância de que repetição de índices num termo

de uma expressão algébrica indica o somatório dos termos correspondentes. Esta convenção

permite a omissão do símbolo de somatório. Com isso, a Equação (3.2) pode ser simplificada

da seguinte forma

i ib a x= (i 1,2,3)= (3.4)

em que i é o índice repetido que determina a soma a realizar. A variação dos índices depende

da dimensão em que se está trabalhando. Em todo o trabalho, considera-se que os índices

variam de um a três ( i 1, 2,3= ), assim, esta indicação será omitida.

A equação

1 1 1 1 1 2 2 1 3 3b h a x h a x h a x= + + (3.5)

pode ser representada por

1 1 i ib h a x= (3.6)

Para ordenar outros valores de b, por exemplo

2 2 i ib h a x= (3.7)

3 3 i ib h a x= (3.8)

utiliza-se a notação simplificada

j j i ib h a x= (3.9)

em que j é um Índice Livre.

Uma expressão que contenha três índices repetidos não tem significado, pois várias

interpretações de como o somatório é realizado podem ser tomadas. Assim, em cada termo

podem existir no máximo dois índices repetidos. Nas equações com vários termos, os índices

resultantes em cada um devem ser iguais, por exemplo

k k ia m b= ix kn+ (3.10)

ij ij kh s b= kx ijr+ (3.11)

i0 b= ix 5+ (3.12)

Pode-se pensar que o índice repetido é “cancelado”. Para exemplificar, realiza-se a “abertura”

da Equação (3.10), que representa três equações dadas por

( )1 1 1 1 2 2 3 3 1a m b x b x b x n= + + + (3.13)

20

( )2 2 1 1 2 2 3 3 2a m b x b x b x n= + + + (3.14)

( )3 3 1 1 2 2 3 3 3a m b x b x b x n= + + + (3.15)

3.1.2 - DELTA DE KRONECKER

O delta de Kronecker é uma função descontínua cujos valores são zero ou um, definida da

seguinte forma

ij

0 Se i j1 Se i j

≠δ = =

(3.16)

Ele é bastante utilizado quando se faz necessária a mudança de índices, como exemplo

i ij ja a= δ (3.17)

pois

1 11 1 12 2a a a= δ + δ 13 3a+ δ (3.18)

2 21 1a a= δ 22 2 23 3a a+ δ + δ (3.19)

3 31 1a a= δ 32 2a+ δ 33 3a+ δ (3.20)

Com dois índices livres, a mudança pode ser feita de acordo com

ij im jn mnA A= δ δ (3.21)

em que cada delta “troca” um índice repetido.

3.1.3 - MANIPULAÇÕES COM NOTAÇÃO INDICIAL

Na efetuação de certas operações utilizando índices, não se deve permitir a ocorrência de mais

de dois índices repetidos. Como os índices são imateriais, pode-se trocá-los à vontade.

Algumas dessas operações são mostradas a seguir.

a) Substituição

Se

i im ma U b= (3.22)

e

i im mb V c= (3.23)

21

então

i im mk ka U V c= (3.24)

em que os índices i e m da Equação (3.23) foram substituídos por m e k, respectivamente,

antes da sua substituição na Equação (3.22). Esta mudança de índices foi necessária para se

evitar a repetição de mais de dois índices.

b) Multiplicação

Se

i ip a b= (3.25)

e

i iq c d= (3.26)

então

i i j jpq a b c d= (3.27)

em que os índices i da Equação (3.26) foram substituídos por j.

c) Fatoração

Se

ij j iT n n 0− λ = (3.28)

e

i ij jn n= δ (3.29)

então

( )ij ij jT n 0− λδ = (3.30)

em que in da Equação (3.28) foi alterado para jn com a utilização do Delta de Kronecker,

permitindo a fatoração apresentada na Equação (3.30).

3.1.4 - BASES CARTESIANAS

Uma base do espaço cartesiano é um conjunto ordenado de vetores unitários, mutuamente

ortogonais, cujas direções são paralelas aos eixos cartesianos (Figura 3.1).

22

Figura 3.1 - Base cartesiana.

Qualquer vetor no espaço pode ser composto pelos unitários 1e%

, 2e%

e 3e%

de acordo

com a seguinte combinação linear

1 1 2 2 3 3v v e v e v e= + +% % % %

(3.31)

ou, de acordo com a Convenção do Somatório,

i iv v e=% %

(3.32)

em que os escalares 1v , 2v e 3v são os componentes de v%

.

3.1.5 - DEFINIÇÃO DE TENSORES

Matematicamente, tensor é a transformação linear

Ta b=% % %

(3.33)

que faz corresponder a qualquer vetor a%

um vetor b%

, de tal modo que a seguinte propriedade

seja satisfeita

( )T c d Tc Tdα + β = α + β% % %% % % %

(3.34)

Acima, T%

é um tensor, α e β são escalares e c%

e d%

vetores.

Refere-se aos componentes de T%

, de acordo com

[ ] ijijT T=%

(3.35)

Os componentes de b%

, obtido pela transformação linear dada pela Equação (3.33), serão

[ ] i ij jib b T a= =%

(3.36)

23

3.1.6 - TENSOR TRANSPOSTO

O tensor transposto TT%

de um tensor T%

é definido pela propriedade

Tv Tu u T v=g g% %% % % %

(3.37)

em que o símbolo g representa produto escalar entre vetores, de acordo com

1 1 2 2 3 3v u v u v u v u= + +g% %

(3.38)

Os componentes do tensor transposto são

Tij jiT T= (3.39)

3.1.7 - TENSORES ORTOGONAIS

Tensor ortogonal é uma transformação linear que, quando aplicada a dois vetores, não altera

nem os módulos desses vetores nem os ângulos entre eles. Ou seja,

| Qa | | a |=% %%

(3.40)

| Qb | | b |=% %%

(3.41)

( ) ( )Qa,Qb a,b=R R% % % %% %

(3.42)

na qual Q%

é um tensor ortogonal e a%

e b%

são vetores quaisquer. A partir dessas definições,

verifica-se uma importante propriedade entre os componentes de Q%

, apresentada por

im jm mi mj ijQ Q Q Q= = δ (3.43)

3.1.8 - LEIS DE TRANSFORMAÇÃO

Dadas duas bases cartesianas ie%

e *ie

%, correspondentes aos respectivos sistemas cartesianos ix

e *ix (Figura 3.2), a segunda pode ser obtida da primeira através de uma transformação

ortogonal Q%

, de acordo com

*i ie Qe=

% %% (3.44)

em que os componentes de Q%

são

*ij i jQ e e= g

% % (3.45)

24

Figura 3.2 - Eixos coordenados.

Os componentes de um vetor v%

, quando o sistema de eixos é “rodado” de ix para *ix ,

transformam-se de acordo com

*i mi mv Q v= (3.46)

e os componentes de um tensor T%

com

*ij mi nj mnT Q Q T= (3.47)

As entidades cujos componentes se transformam dessa maneira são denominadas tensores.

Então, vetores são tensores de primeira ordem. Os seguintes tensores podem ser definidos

1ª. Ordem (vetor) *i mi mv Q v= (3.48)

2ª. Ordem (tensor) *ij mi nj mnT Q Q T= (3.49)

3ª. Ordem *ijk mi nj pk mnpT Q Q Q T= (3.50)

4ª. Ordem *ijkl mi nj pk ql mnpqT Q Q Q Q T= (3.51)

Etc.

O número de componentes dos tensores pode ser determinado pela sua ordem de acordo com

a equação

o ordemN componentes 3= (3.52)

Assim, vetores têm três componentes, tensores de segunda ordem nove e tensores de quarta

ordem oitenta e um componentes.

25

Tensores podem ser visualizados de diversas maneiras. Os vetores, usualmente, são

vistos por

1 2 3v v ;v ; v=%

(3.53)

ou

1

2

3

vv v

v

=

% ou { }T

1 2 3v v v v=%

(3.54)

Tensores de segunda ordem são facilmente representados por matrizes, de acordo com

11 12 13

21 22 23

31 32 33

T T TT T T T

T T T

=

% (3.55)

Como os tensores de quarta ordem têm 81 componentes, sugere-se sua visualização por uma

matriz 3x3 contendo nove submatrizes 3x3, da seguinte forma

1111 1112 1113 1211 1212 1213 1311 1312 1313

1121 1122 1123 1221 1222 1223 1321 1322 1323

1131 1132 1133 1231 1232 1233 1331 1332 1333

2111 2112 2113

2121 2122 2123

2

C C C C C C C C CC C C C C C C C CC C C C C C C C C

C C CC C C C

C

=%

2211 2212 2213 2311 2312 2313

2221 2222 2223 2321 2322 2323

131 2132 2133 2231 2232 2233 2331 2332 2333

3111 3112 3113 3211 3212 3

3121 3122 3123

3131 3132 3133

C C C C C CC C C C C C

C C C C C C C C

C C C C C CC C CC C C

213 3311 3312 3313

3221 3222 3223 3321 3322 3323

3231 3232 3233 3331 3332 3333

C C CC C C C C CC C C C C C

(3.56)

em que os componentes de C%

são referenciados por

ijkl ij klC C = (3.57)

Os índices ij indicam as nove submatrizes, que são os elementos de C%

, e os índices kl os

componentes de cada submatriz.

A representação para tensores de quarta ordem sugerida acima, obviamente, serve

tanto para tensores simétricos quanto não-simétricos, pois permite a manipulação de todos

componentes do tensor.

Helnwein (2001) mostrou algumas considerações que devem ser tomadas ao

representar tensores simétricos de quarta ordem como matrizes 6x6. O estudo utilizou os

conceitos de covariantes e contravariantes para converter o espaço 3 3 3 3× × ×R R R R no

espaço 6 6×R R . Embora essa conversão seja interessante do ponto de vista de eficiência, ela

26

não será utilizada neste trabalho, pois se objetiva a apresentação de forma genérica das

equações constitutivas por intermédio de operações entre tensores.

3.1.9 - OPERAÇÕES COM TENSORES

As operações fundamentais com tensores são definidas a seguir, em que, s é um escalar, C%

,

D%

e E%

são tensores de quarta ordem, R%

, S%

e T%

de segunda ordem e u%

, v%

e w%

de primeira

ordem (vetores). Em alguns casos, apresenta-se tanto a notação tensorial quanto a indicial

entre parêntesis. A primeira geralmente é utilizada quando não se tem dúvida com relação à

ordem do tensor e deseja-se economia na escrita das equações. A segunda serve para a

comprovação das deduções. Deve-se observar que algumas operações são válidas apenas para

uma certa ordem de tensor.

a) Traço

ii 11 22 33tr(T) T T T T= = + +%

(3.58)

iitr(1) 3= δ =%

(3.59)

b) Adição

E C D= +% %%

( )ijkl ijkl ijklE C D= + (3.60)

T R S= +% % %

( )ij ij ijT R S= + (3.61)

w u v= +% % %

( )i i iw u v= + (3.62)

c) Produto escalar

i is u v u v= =g% %

(3.63)

d) Contração simples

“Aplicação” v Tu=%% %

( )i ij jv T u= (3.64)

“Produto entre matrizes” T RS=% % %

( )ij im mjT R S= (3.65)

e) Contração dupla

ij ijs S : T S T= =%%

(3.66)

27

R C : T=% %%

( )ij ijkl klR C T= (3.67)

S T : C=%% %

( )kl ij ijklS T C= (3.68)

E C : D=% %%

( )ijmn ijkl klmnE C D= (3.69)

f) Produto diádico

O produto diádico de dois vetores u%

e v%

, simbolizado por u v⊗% %

(lê-se: “u” diádico

“vê”), é o tensor de segunda ordem definido por

( ) ( )u v w u v w⊗ = g% % % % % %

( ) ( )( )i j j i j ju v w u v w= (3.70)

em que os componentes do tensor u v⊗% %

são

[ ] i jiju v u v⊗ =% %

(3.71)

Igualmente, define-se o produto diádico entre dois tensores de segunda ordem R%

e S%

,

resultando num tensor de quarta ordem R S⊗% %

, por

( ) ( )R S T R S: T⊗ =% % % %% %

[ ]( )ij kl kl ij kl klR S T R S T = (3.72)

em que os componentes do tensor R S⊗% %

são

( ) ij klijklR S R S⊗ =% %

(3.73)

3.1.10 - TENSORES UNITÁRIOS

A grande utilização dos tensores unitários torna merecida sua atenção especial. Os tensores

unitários são aqueles que “aplicados” a outros tensores não alteram os componentes desses

últimos. Definem-se a seguir dois tensores unitários, um de segunda ordem e outro de quarta.

a) Tensor unitário de segunda ordem

[ ] ijij1 = δ%

(3.74)

ou

1 0 0

1 0 1 00 0 1

=

% (3.75)

28

b) Tensor unitário de quarta ordem

[ ] ik jlijklI = δ δ%

(3.76)

ou

1 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0I 1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 0 0 0 1

=

%

(3.77)

Exemplos:

1T T=% % %

( )ij jk ikT Tδ = (3.78)

T1 T=% % %

( )ij jk ikT Tδ = (3.79)

I :S S=% % %

( )ik jl ij klS Sδ δ = (3.80)

S : I S=%% %

( )ij ik jl klS Sδ δ = (3.81)

I : C C=% % %

( )ik jl klmn ijmnC Cδ δ = (3.82)

C : I C=%% %

( )ijkl mk nl ijmnC Cδ δ = (3.83)

3.1.11 - INVERSÃO DE TENSORES

Define-se a inversão de um tensor de segunda ordem pela seguinte equação

1TT 1− =% % %

( )1ik kj ijT T − = δ (3.84)

ou

1T T 1− =% % %

( )1ik kj ijT T− = δ (3.85)

Como os tensores de segunda ordem podem ser facilmente representados por matrizes 3x3, a

determinação do inverso do tensor de segunda ordem é feita diretamente a partir da inversão

convencional de matrizes, ou seja

29

111 12 13

121 22 23

31 32 33

T T TT T T T

T T T

−

−

=

% (3.86)

A inversão de um tensor de quarta ordem será definida por

1C : C I− =%% % ( )1

ijmn mnkl ik jlC C − = δ δ (3.87)

ou

1C : C I− =%% % ( )1

ijmn mnkl ik jlC C− = δ δ (3.88)

em que o tensor inverso de quarta ordem 1C−

% é obtido com o auxílio de uma matriz 9x9M

formada a partir dos componentes do tensor C%

.

Levando em conta a representação matricial de tensores de quarta ordem, sugerida

anteriormente, monta-se a matriz M da seguinte maneira

1111 1112 1113 1121 1122 1123 1131 1132 1133

1211 1212 1213 1221 1222 1223 1231 1232 1233

1311 1312 1313 1321 1322 1323 1331 1332 1333

2111 2112 2113 2121 2122 2123 2131 2132 2133

2211 2212 2213 22

C C C C C C C C CC C C C C C C C CC C C C C C C C CC C C C C C C C C

M C C C C= 21 2222 2223 2231 2232 2233

2311 2312 2313 2321 2322 2323 2331 2332 2333

3111 3112 3113 3121 3122 3123 3131 3132 3133

3211 3212 3213 3221 3222 3223 3231 3232 3233

3311 3312 3313 3321 3322 3323 3331 33

C C C C CC C C C C C C C CC C C C C C C C CC C C C C C C C CC C C C C C C C 32 3333C

(3.89)

em que cada linha de M recebe os elementos de cada submatriz do tensor C%

. Em seguida, esta

matriz é invertida pelos métodos convencionais da teoria de matrizes obtendo-se a matriz

inversa 1M− . Com isso, o tensor inverso 1C−

% pode ser montado. Isto é feito colocando-se os

elementos de cada linha de 1M− em cada submatriz de 1C−

%. Ou seja, as linhas da matriz

inversa 1M− serão os elementos das submatrizes do tensor inverso 1C−

%. O procedimento pode

ser esquematizado de acordo com

( )

( )ij

1 1ij

linha M C

C linha M− −

← ←

(3.90)

30

3.1.12 - DECOMPOSIÇÃO DE TENSORES DE SEGUNDA ORDEM

Um tensor de segunda ordem pode ser decomposto em partes isotrópica e desviadora. A

primeira resulta num tensor cuja visualização matricial é através de uma matriz diagonal e a

segunda é caracterizada por ter a soma dos termos da diagonal principal da matriz

representativa igual a zero. Em termos de equações,

T A B= +% % %

( )ij ij ijT A B= + (3.91)

em que

1A tr(T)13

=% % %

ij kk ij1A T3

= δ

(3.92)

e

1B T tr(T)13

= −% % % %

ij ij kk ij1B T T3

= − δ

(3.93)

onde A%

é o tensor isotrópico e B%

o desviador.

3.1.13 - INVARIANTES DE UM TENSOR DE SEGUNDA ORDEM

Existem quantidades relacionadas aos tensores que são independentes do referencial e do

observador. Elas são chamadas de invariantes e têm grande utilização na Mecânica do

Contínuo. Um tensor de segunda ordem possui três invariantes independentes entre si que

podem ser apresentados de várias formas; duas delas são mostradas a seguir.

a) Invariantes “característicos” do tensor T%

1TI tr(T)=%

1T iiI T= (3.94)

2 22T

1I tr(T) tr(T )2

= − % % ( )2

2T ii ij ji1I T T T2

= − (3.95)

3 2 33T

1 1 1I tr(T ) tr(T )tr(T) tr(T)3 2 6

= − +% % % %

33T ij jk ki ij ji kk kk

1 1 1I T T T T T T (T )3 2 6

= − + (3.96)

o terceiro invariante também pode ser obtido por

3TI det(T)=%

(3.97)

em que “det” significa determinante.

31

b) Invariantes de traço do tensor T%

1T iiI tr(T) T= =%

(3.98)

22T ij ji

1 1I tr(T ) T T2 2

= =%

(3.99)

33T ij jk ki

1 1I tr(T ) T T T3 3

= =%

(3.100)

Verifica-se facilmente que os invariantes de traço são relacionados com os invariantes

do tensor pelas seguintes equações

1T 1TI I= (3.101)

( )22T 1T 2T

1I I 2I2

= − (3.102)

( )33T 1T 1T 2T 3T

1I I 3I I 3I3

= − + (3.103)

3.1.14 - TRANSFORMAÇÃO DE SIMILARIDADE

A transformação de similaridade é proveniente da Análise Matricial. De acordo com esta

teoria, sempre que duas matrizes A e B são relacionadas por

1A S B S−= ⋅ ⋅ (3.104)

em que S é uma matriz inversível qualquer, elas são chamadas de similares e a transformação

de B em A é chamada de transformação de similaridade.

As leis de transformação que definem os tensores são casos especiais de transformação

de similaridade, nos quais o tensor ortogonal Q%

é análogo à matriz S. No item 3.1.8 (Leis de

Transformação) foi mostrado a forma como os componentes de tensores de segunda ordem se

transformam. A transformação dos tensores em si deve obedecer a seguinte transformação de

similaridade

* TT QTQ=% %% %

(3.105)

em que 1Q−

% é análogo a S e foi substituído por TQ

% (caso particular).

A transformação de similaridade reversa é definida conforme

T *T Q T Q=% %% %

(3.106)

na qual o tensor *T%

é obtido do tensor T%

.

32

3.1.15 - AUTOVALORES E AUTOVETORES – QUANTIDADES PRINCIPAIS

Supõe-se, inicialmente, que o tensor T%

é tal que os termos fora da diagonal principal sejam

nulos. A transformação de similaridade que transforma esse tensor no tensor T%

é

TˆT QTQ=% %% %

(3.107)

“Aplicando” ambos os membros da equação acima ao tensor Q%

e lembrando que TQ Q 1=%% %

,

chega-se a

ˆTQ QT=% %% %

(3.108)

que é a forma padrão de um problema de autovalores e autovetores, em que as colunas de Q%

são os autovetores de T%

e os termos da diagonal de T%

são os autovalores de T%

. Neste

trabalho, o módulo dos autovetores será considerado unitário.

No contexto da Mecânica do Contínuo, devido à importância na representação do

comportamento mecânico de materiais, os autovalores e autovetores de um tensor de segunda

ordem são denominados quantidades principais. Os autovalores são os valores principais e os

autovetores as direções principais.

A determinação dos autovalores e autovetores de um tensor implica na solução de um

sistema não-linear de equações algébricas. Do ponto de vista computacional, a solução

analítica pode ser inviável. Para resolver esse problema, recorre-se a soluções numéricas. Um

método numérico bastante eficiente para a determinação dos autovalores e autovetores é a

Transformação ou Rotação de Jacobi (Jacobi-Rotation) (Khafaji & Tooley, 1986).

A Transformação de Jacobi é um método iterativo que executa sucessivas rotações do

tensor de segunda ordem, através de transformações de similaridade reversas. Esse método

somente é válido para tensores simétricos, como no caso dos tensores de tensão e deformação

que serão apresentados posteriormente.

O princípio do método é o seguinte: dado um tensor simétrico de segunda ordem T%

, a

cada iteração, determina-se um tensor ortogonal kQ%

que elimina um componente “fora-da-

diagonal” (off-diagonal) de T%

, através de uma transformação de similaridade reversa do tipo

Tk k kT Q TQ=

% %% % (3.109)

em que k representa o número da iteração. Com isso, obtém-se sucessivamente o tensor kT%

,

que no final do processo será diagonal, com certa tolerância. Seus componentes serão os

33

autovalores e as colunas do tensor kQ%

os autovetores. O método é bem apresentado em

Shwarz et al. (1973) e Wilkinson & Reinsch (1971).

3.2 - TENSÕES E DEFORMAÇÕES

Na mecânica do contínuo, a relação entre cargas e deslocamentos não é estudada diretamente,

mas através de quantidades relacionadas às reações internas dentro do corpo. Essas

quantidades são a tensão e a deformação num ponto, representadas matematicamente por

tensores de segunda ordem.

3.2.1 - TENSOR DE TENSÕES

Figura 3.3 - Tensão num ponto.

Em um plano qualquer, de um corpo contínuo submetido a ações externas, existirá uma força

resultante devida à distribuição das reações internas ao longo deste plano. Essa distribuição

pode não ser uniforme, além de variar para cada plano do corpo. Por isso, a análise é feita em

termos de tensão na qual a tensão no plano é definida como o limite da razão entre a força

resultante por sua área de atuação, de acordo com

n

n A 0n

Fp limA→

= (3.110)

34

em que nA é a área do plano cuja normal é n. A tensão num plano pode ser decomposta em

parte normal e parte paralela ao plano, denominadas tensão normal e cisalhante,

respectivamente, ou em três direções, cada uma paralela a um eixo coordenado do sistema

cartesiano de referência.

Cada ponto de um meio contínuo pode ser representado por um cubo de dimensões

infinitesimais (Figura 3.3).

Como em cada face do cubo atuam tensões normais e cisalhantes, o estado de tensões

no ponto fica estabelecido por nove componentes, representados por um tensor de segunda

ordem, conforme

i

jij A 0

i

Flim

A→σ = (3.111)

que define o tensor de tensões como a razão entre a força jF na direção j aplicada no plano de

área iA cuja normal é na direção de i. A partir do equilíbrio de momentos, mostra-se que o

tensor de tensões é simétrico, ou seja

ij jiσ = σ (3.112)

Com isso, apenas seis componentes serão necessários para representar o estado de tensões no

ponto.

Em Mecânica dos Solos é usual a consideração de que tensões compressivas são

positivas. Assim, convenciona-se que o sinal dos componentes do tensor de tensões ijσ é

contrário ao da normal cuja direção é paralela ao eixo i. Na Figura 3.3, apresenta-se uma

situação em que os sinais são positivos.

Obviamente, todos os conceitos apresentados para tensores de segunda ordem podem

ser aplicados ao tensor de tensões, dentre eles destacam-se os seguintes:

a) Tensões principais e direções principais de tensão

As tensões principais e as direções principais de tensão são os autovalores e os

autovetores do tensor de tensões, respectivamente. As tensões principais são os valores da

diagonal do tensor de tensões σ%

, em termo de seus valores principais, obtido pela

transformação de similaridade reversa

Tˆ Q Qσ = σ% %% %

(3.113)

35

O tensor em termos de seus valores principais também pode ser obtido a partir de uma

transformação de similaridade “normal”. A opção pela transformação reversa tem o objetivo

de facilitar a aplicação do método Jacobi-Rotation citado anteriormente. Neste método, os

elementos das colunas do tensor ortogonal Q%

são os autovetores (direções principais).

Como o tensor de tensões σ%

possui os componentes cisalhantes (elementos “fora-da-

diagonal”) nulos, então as direções principais do tensor σ%

são aquelas cujos planos normais

têm tensões cisalhantes nulas.

b) Invariantes do tensor de tensões

1 ii iiÎ σ = σ = σ (3.114)

( )22 ii ij ij 11 22 22 33 33 11

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Î2σ

= σ − σ σ = σ σ + σ σ + σ σ (3.115)

33 ij jk ki ij ij kk kk 11 22 33

1 1 1 ˆ ˆ Î ( )3 2 6σ = σ σ σ − σ σ σ + σ = σ σ σ (3.116)

lembrando que ij jiσ = σ .

c) Tensor de tensões desviador

ij ij kk ij1S3

= σ − σ δ (3.117)

Verifica-se que ij jiS S= (simetria).

d) Segundo invariante de traço do tensor de tensões desviador

( )2D 2S ij ij1 1J I tr SS S S2 2

= = =% %

(3.118)

3.2.2 - TENSOR DE DEFORMAÇÕES

A alteração da forma de um elemento infinitesimal num meio contínuo, devida à variação

relativa entre os pontos do interior deste meio, pode ser medida, por exemplo, pela razão entre

a diferença de deslocamento e a distância original entre esses pontos. Esse tipo de medida é

36

denominado deformação. Se o referencial for a configuração inicial, trata-se do conceito de

deformação de Cauchy, o qual será utilizado neste texto.

Considerando deformações infinitesimais, através de algumas deduções, chega-se à

equação

jiij

j i

uu12 x x

∂∂ε = +

∂ ∂ (3.119)

em que o tensor de deformações ε%

é definido pela parte simétrica do gradiente dos

deslocamentos u%

em cada ponto do meio contínuo.

Como no caso dos tensores de tensão, todos os conceitos apresentados para tensores de

segunda ordem podem ser aplicados ao tensor de deformações, dentre eles destacam-se os

seguintes:

a) Deformações principais e direções principais de deformação

As deformações principais e as direções principais de deformação são os autovalores e os

autovetores do tensor de deformações, respectivamente. As deformações principais são os

valores da diagonal do tensor de deformações ε%

, em termo de seus valores principais, obtido

pela transformação de similaridade reversa

Tˆ Q Qε = ε% %% %

(3.120)

Como o tensor de deformações ε%

possui os componentes cisalhantes (elementos “fora-da-

diagonal”) nulos, então as direções principais do tensor ε%

são aquelas cujos planos normais

têm deformações cisalhantes nulas.

b) Invariantes do tensor de deformações

1 ii iiÎ ε = ε = ε (3.121)

( )22 ii ij ij 11 22 22 33 33 11

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Î2ε

= ε − ε ε = ε ε + ε ε + ε ε (3.122)

33 ij jk ki ij ij kk kk 11 22 33

1 1 1 ˆ ˆ Î ( )3 2 6σ = ε ε ε − ε ε ε + ε = ε ε ε (3.123)

lembrando que ij jiε = ε .

37

c) Tensor de deformações desviador

ij ij kk ij1E3

= ε − ε δ (3.124)

Verifica-se que ij jiE E= (simetria).

3.3 - LEIS CONSTITUTIVAS

Leis (ou relações) constitutivas são modelos matemáticos que descrevem nossas idéias sobre

o comportamento de um material (Desai & Siriwardane, 1984) (Figura 3.4). Do ponto de vista

da mecânica do contínuo, o estado de tensão de cada ponto de um meio contínuo é

relacionado com as deformações deste ponto através de uma lei constitutiva.

Figura 3.4 - Leis constitutivas.

3.3.1 - RELAÇÃO CONSTITUTIVA ELÁSTICO-LINEAR

A lei constitutiva elástico-linear relaciona tensão com deformação através de um

tensor de quarta ordem eC%

ou eD%

, de acordo com

eC :σ = ε% % %

( )eij ijkl klCσ = ε (3.125)

ou

eD :ε = σ%% %

( )eij ijkl klDε = σ (3.126)

38

em que os tensores elásticos eC%

e eD%

são dados por

( ) ( )

e E EC I 1 11 1 1 2

ν= + ⊗

+ ν + ν − ν% % %%

( )( )eijkl ik jl ij kl

E EC1 1 1 2

ν= δ δ + δ δ + ν + ν − ν

(3.127)

e

e 1D I 1 1E E+ ν ν

= − ⊗% % % %

eijkl ik jl ij kl

1DE E+ ν ν = δ δ − δ δ

(3.128)

Acima, E é o módulo de elasticidade (Young) e ν o índice de Poisson.

Vê-se claramente que os tensores elásticos são funções apenas dos parâmetros E e ν

do material estudado, ou seja, independem do estado de tensão e deformação. Assim, as

tensões podem ser relacionadas diretamente com as deformações (Figura 3.5).

Figura 3.5 - Lei constitutiva elástico-linear.

3.3.2 - RELAÇÕES CONSTITUTIVAS NÃO LINEARES

Figura 3.6 - Lei constitutiva não-linear.

39

Algumas leis constitutivas, como a elastoplástica, são não-lineares, pois o tensor que relaciona

tensão com deformação é função do estado de tensões. Com isso, a relação constitutiva deve

ser elaborada para relacionar incrementos de tensão com incrementos de deformação e não

tensões com deformações diretamente (Figura 3.6).

Supondo que NLD f ( )= σ% % %

seja a representação tensorial de uma lei constitutiva não-

linear e que NLC g( )= σ% %%

seja seu inverso, as relações entre incrementos de tensão e

incrementos de deformação podem ser escritas de acordo com

NLd D ( ) : dε = σ σ%% % %

(3.129)

NLd C ( ) : dσ = σ ε% % % %

(3.130)

3.4 - ELASTOPLASTICIDADE CLÁSSICA

Denomina-se Elastoplasticidade à Teoria da Plasticidade que considera tanto deformações

recuperáveis quanto permanentes. Neste trabalho, a palavra Plasticidade subentende

Elastoplasticidade e vice-versa.

A principal característica da Teoria da Plasticidade é a ocorrência de deformações

plásticas. O processo de plastificação de um material pode ser determinado pelo tensor de

deformação ε%

, pelo tensor de deformação plástica pε%

e por uma série de variáveis (internas)

de endurecimento tipo deformação (strain-like hardening variables) ξ%

. Embora estas sejam

as quantidades “independentes” do problema, as funções de resposta da plasticidade clássica

(função de plastificação, lei de fluxo e lei de endurecimento) são formuladas no espaço de

tensões, em termos do tensor de tensões σ%

e de uma série de variáveis (internas) de

endurecimento tipo tensão (stress-like hardening variables) z%

.

As quantidades z%

e ξ%

são dois vetores de variáveis internas relacionadas com o

endurecimento. No caso mais simples, representam apenas uma variável interna tipo tensão e

uma tipo deformação, sendo substituídas por escalares.

3.4.1 - SUPOSIÇÕES DA TEORIA DA ELASTOPLASTICIDADE

A seguir, resumem-se as suposições básicas subjacentes à formulação fenomenológica da

plasticidade, conforme apresentado por (Simo, 1994). Estas definem um grupo de equações

40

evolutivas para a deformação plástica pε%

e para o vetor de variáveis de endurecimento tipo

deformação ξ%

.

A) Decomposição aditiva do tensor de deformação

Considerando pequenas deformações, supõe-se que o tensor de deformações pode ser

dividido em partes elástica e plástica, de acordo com

e pε = ε + ε% % %

( )e pij ij ijε = ε + ε (3.131)

Isto vale também para os incrementos de deformação, assim

e pd d dε = ε + ε% % %

( )e pij ij ijd d dε = ε + ε (3.132)

B) Repostas elástica e plástica entre tensões e deformações

O tensor de tensões e as variáveis de endurecimento tipo tensão (σ%

e z%

) são

relacionados com a deformação elástica e as variáveis de endurecimento tipo deformação

( eε%

e ξ%

) através da função de energia livre e( , )Ψ = Ψ ε ξ% %

, da seguinte forma

e

∂Ψσ =

∂ε%%

(3.133)

z ∂Ψ= −

∂ξ%%

(3.134)

em que a Equação (3.133) relaciona a parte elástica das deformações e a Equação (3.134) a

parte plástica das mesmas.

Para a maioria das aplicações, a função Ψ pode ser obtida pela seguinte combinação

linear

e e( , ) ( ) ( )Ψ ε ξ = ε + ξ% %% %

W H (3.135)

em que W é a função de energia elástica armazenada e H a função potencial relacionada com

o endurecimento. Em casos mais simples, W e H são representadas por expressões de

trabalho, conforme

e e e1 : C :2

= ε ε% % %

W (3.136)

1 H2

= ξ ξg%% %

H (3.137)

41

em que W representa um trabalho elástico e H um trabalho plástico. Acima, eC%

é o tensor

elástico e H%

é a matriz do módulo plástico consideradosb constantes, com relação ao estado

de tensão e deformação. Com isso, as relações entre tensões e deformações, obtidas pela

solução das derivadas dadas pelas Equações (3.133) e (3.134), serão

e eC :σ = ε% % %

(3.138)

z H= − ξ% % %

(3.139)

que representam a resposta elástica e a resposta plástica, respectivamente (Figuras 3.7 e 3.8).

Considerando a relação incremental entre tensão e deformação, essas equações podem ser

escritas da seguinte maneira

e ed C : dσ = ε% % %

(3.140)

dz Hd= − ξ% % %

(3.141)

A resposta elástica, dada pela Equação (3.138) também é conhecida por Lei de Hooke

Generalizada.

Figura 3.7 - Resposta elástica.

Figura 3.8 - Resposta plástica.

42

C) Domínio elástico e superfície de plastificação

A superfície de plastificação, cuja função de plastificação é F F( , z)= σ%%

, é o indicador

da ocorrência de deformações plásticas. Essa superfície limita uma região do espaço de

tensões denominada domínio elástico. Estados de tensão ( σ%

, z%

) fora da superfície de

plastificação não são admissíveis (entende-se que z%

determina o “estado de tensão plástica”).

D) Lei de fluxo e lei de endurecimento

A noção de irreversibilidade das deformações plásticas é introduzida através das

seguintes equações descontínuas de evolução

pd d r( , z)ε = γ σ% %% %

(3.142)

d d h( , z)ξ = γ σ% %%%

(3.143)

que são referidas por lei de fluxo e lei de endurecimento, respectivamente. r% é o gradiente da

função potencial plástico (Q) e determina a direção do fluxo plástico, de acordo com

Qr ∂=

∂σ%%

(3.144)

Caso essa função seja igual à função de plastificação diz-se que a lei de fluxo é associada e r%

será

Fr ∂=

∂σ%%

(3.145)

A variável h%

define o tipo de endurecimento e dγ é um escalar chamado de

parâmetro de consistência (multiplicador de Lagrange). A determinação de h%

é feita a partir

da definição de dξ%

. Por exemplo, quando

p pvd d tr(d )ξ = ε = ε

% (3.146)

então

h tr(r)=%

(3.147)

e quando

p pd dW : dξ = = σ ε% %

(3.148)

então

h : r= σ%%

(3.149)

43

E) Condições de carregamento, descarregamento e de consistência

As seguintes condições, conhecidas por condições de Kuhn-Tucker, devem ser

obedecidas

d 0γ ≥ , F( , z) 0σ ≤%%

e d F( , z) 0γ σ =%%

(3.150)

A condição de consistência é dada por

d dF 0γ ⋅ = , se F 0= (3.151)

Para facilitar, resumem-se as equações evolutivas da elastoplasticidade na Tabela 3.1.

Tabela 3.1 - Equações evolutivas da elastoplasticidade.

Decomposição aditiva e pd d dε = ε + ε% % % (3.132)

Resposta elástica e ed C : dσ = ε% % %

(3.140)

Resposta plástica dz Hd= − ξ% % %

(3.141)

Lei de fluxo pd d r( , z)ε = γ σ% %% % (3.142)

Lei de endurecimento d d h( , z)ξ = γ σ% %%% (3.143)

Condições de Kuhn-Tucker d 0γ ≥ , F( , z) 0σ ≤%% e d F( , z) 0γ σ =

%% (3.150)

Condição de consistência d dF 0γ ⋅ = , se F 0= (3.151)

3.4.2 - TENSORES ELASTOPLÁSTICOS

A Lei constitutiva elastoplástica pode ser representada por tensores de quarta ordem

que relacionam tensão com deformação pelas seguintes expressões

epd D ( , z) : dε = σ σ% %% % %

(3.152)

epd C ( , z) : dσ = σ ε%% % % %

(3.153)

No Apêndice A mostra-se que, a partir das equações evolutivas da elastoplasticidade

(Tabela 3.1), os tensores elastoplásticos podem ser obtidos pelas equações a seguir

ep e 1 Q FD DG '

∂ ∂= + ⊗

∂σ ∂σ% %% %

(3.154)

44

ep e e e1 Q FC C C : : CG

∂ ∂= − ⊗ ∂σ ∂σ % % % %

% % (3.155)

em que

FG ' Hhz

∂=

∂g% %

% (3.156)

eF Q FG : C : Hhz

∂ ∂ ∂= +

∂σ ∂σ ∂g% %%

%% % (3.157)

3.4.3 - EVOLUÇÃO DA VARIÁVEL DE ENDURECIMENTO TIPO TENSÃO

A variação das variáveis internas de endurecimento tipo tensão (z%

), pode ser representada

pela seguinte equação

dz d Hh= − γ% % %

(3.158)

obtida pela substituição da lei de endurecimento, dada pela Equação (3.143), na Equação

(3.141) que representa a resposta plástica. Os multiplicadores de Lagrange dγ (deduzidos no

Apêndice A) serão

1 Fd : dG '

∂γ = σ

∂σ %%

(3.159)

para o caso em que o incremento de tensão é dado, e

e1 Fd : C : dG

∂γ = ε

∂σ % %%

(3.160)

para o caso em que o incremento de deformação é dado.

45

4 - MODELO ELASTOPLÁSTICO CAM-CLAY

Roscoe et al. (1958) desenvolveram o modelo Cam-Clay para a simulação do comportamento

mecânico de argilas. Este modelo reproduz razoavelmente bem as deformações no solo, pois é

baseado na teoria de estado crítico, é formulado de acordo com a teoria matemática da

plasticidade e adota uma relação tensão-deformação elástica não-linear. É um modelo

bastante versátil, pois possui poucos parâmetros de fácil obtenção. A grande desvantagem do

modelo Cam-clay, já relatada pelos seus próprios criadores, é a limitação à condição axis-

simétrica de tensões e deformações. Apesar da simulação tridimensional com o modelo Cam-

clay não ser perfeita, vários autores utilizaram-no em tais situações.

Alguns conceitos básicos, relacionados ao modelo Cam-Clay, estão apresentados em

(Atkinson, 1981), (Britto & Gunn, 1987) e (Ortigão, 1995).

Neste capítulo mostram-se as expressões dos tensores elastoplásticos epD%

e epC%

para o

modelo Cam-Clay. O tensor epD%

é utilizado para simular ensaios triaxiais verdadeiros nos

quais a trajetória de tensão é dada. O tensor epC%

pode ser preparado para a implementação em

programas cuja solução utiliza o Método dos Elementos Finitos.

4.1 - INVARIANTES DE TENSÃO

No plano octaédrico, apresentado no espaço de tensões principais, pode-se definir duas

medidas relacionadas com o comportamento mecânico do solo: p e q. A quantidade p mede a

tensão normal média e q a tensão cisalhante devida ao desvio, com relação ao estado

hidrostático de tensões. Originalmente (situação axis-simétrica), p e q foram definidos de

acordo com

11 33ˆ ˆ2p3

σ + σ= (4.1)

11 33ˆ ˆq = σ − σ (4.2)

em que σ%

é o tensor de tensões, em temos de seus valores principais, e 11σ e 33σ são as

tensões principais maior e menor, respectivamente. Para situação tridimensional, as equações

de p e q são

11 22 33ˆ ˆ ˆp

3σ + σ + σ

= (4.3)

46

( ) ( ) ( )2 2 211 22 22 33 33 11

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆq2

= σ − σ + σ − σ + σ − σ (4.4)

p e q podem ser definidos em função dos invariantes do tensor σ%

, de acordo com

1 iioct

I tr( )p3 3 3

σ σσ= = = = σ% (4.5)

2D ij ij oct3 3q 3J S S2 2

= = = τ (4.6)

em que S%

é o tensor desviador de σ%

, cujos componentes são

ij ij kk ij1S3

= σ − σ δ (4.7)

Assim, p e q também são invariantes, com relação ao referencial e ao observador.

4.2 - INVARIANTES DE DEFORMAÇÃO

O princípio de objetividade da Mecânica do Contínuo exige que os parâmetros de tensão e

deformação sejam independentes e forneçam corretamente a quantidade de trabalho, dada por

v ddW pd qd= ε + ε (4.8)

em que vdε é o semelhante de p e mede o incremento de deformação volumétrica e ddε é o

semelhante de q, relacionado com o incremento de deformação desviador. Para a situação

axis-simétrica, mostra-se que

v 11 33ˆ ˆd d 2dε = ε + ε (4.9)

( )d 11 332 ˆ ˆd d d3

ε = ε − ε (4.10)

em que ˆdε%

é o tensor incremento de deformação, em termo de seus valores principais, e 11ˆdε

e 33ˆdε são os incrementos de deformação principal maior e menor, respectivamente. No caso

geral, vdε e ddε são definidos de acordo com

v 11 22 33ˆ ˆ ˆd d d dε = ε + ε + ε (4.11)

( ) ( ) ( )2 2 2d 11 22 22 33 33 11

2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆd d d d d d d3

ε = ε − ε + ε − ε + ε − ε (4.12)

4.3 - TRABALHO PLÁSTICO

47

Uma das hipóteses básicas da Teoria da Plasticidade é a decomposição aditiva das

deformações, dada por

e pd d dε = ε + ε% % %

(4.13)

em que edε%

e pdε%

são os incrementos de deformação elástica e plástica, respectivamente. Da

mesma forma, os invariantes de deformação podem ser divididos, de acordo com

e pv v vd d dε = ε + ε (4.14)

e pd d dd d dε = ε + ε (4.15)

Assim, o trabalho plástico pode ser representado pelos invariantes de tensão e deformação

como em

p p pv ddW pd qd= ε + ε (4.16)

4.4 - LEI DE FLUXO

No modelo Cam-Clay, a função potencial plástico é a própria função de plastificação (lei de

fluxo associada) assim

p Fd d d r∂ε = γ = γ

∂σ %%%

(4.17)

O incremento de deformação plástica pdε%

é paralelo ao gradiente da superfície de

plastificação. Isto também é válido no espaço dos invariantes de tensão e incrementos de

deformação.

Figura 4.1 - Lei de fluxo associada.

48

Na Figura 4.1, apresenta-se de forma simbólica os “vetores” incrementos de tensão,

incrementos dos invariantes de tensão e incrementos de deformação plástica no espaço dos

invariantes p e q. A superfície de plastificação é representada por uma curva. Para que o

estado de tensão permaneça em cima dessa “curva de plastificação” o “vetor” incremento de

tensão deverá ser tangente à mesma. Assim, levando em conta as notações

p

p vpd

dd

d ε

ε = ε %

(4.18)

e

dp

ddq

σ =

% (4.19)

a “condição de normalidade” será dada por

pd d 0ε σ =g% %

(4.20)

ou seja,

pvpd

ddqdp d

ε= −

ε (4.21)

4.5 - CRITÉRIO DE RUPTURA

O critério de ruptura do modelo Cam-Clay é baseado na definição de estado crítico, no qual a

variação de volume é nula. Esse critério diz que a ruptura ocorre quando a razão q/p atinge

um valor constante igual à inclinação M da linha de estado crítico no plano q versus p’

(Figura 4.2).

Figura 4.2 - Inclinação M da linha de estado crítico.

49

4.6 - RELAÇÃO TENSÃO-DILATÂNCIA

Na dedução da função potencial plástico, é utilizada a relação tensão-dilatância que tem haver

com a dissipação da energia interna. Na versão original do modelo Cam-Clay, Roscoe et al.

(1958) assumiram uma expressão para a dissipação da energia interna, de acordo com

p p p pv d ddW pd qd Mpd= ε + ε = ε (4.22)

enquanto na versão modificada, a seguinte expressão foi assumida

( ) ( )2 2p p p p pv d v ddW pd qd p d Md= ε + ε = ε + ε (4.23)

Em ambas, M é a inclinação da Linha de Estado Crítico, no plano q versus p. M é relacionado

com o ângulo de atrito efetivo pela equação

6sen( ')M3 sen( ')

φ=

− φ (4.24)

4.7 - FUNÇÃO DE PLASTIFICAÇÃO

A função de plastificação é obtida pela solução de uma equação diferencial ordinária,

composta pelos invariantes de tensão e seus incrementos, da seguinte forma

( )dq f p,qdp

= (4.25)

na qual a condição de contorno é dada por

Cp p q 0= ⇔ = (4.26)

em que Cp é o valor no qual a superfície de plastificação toca o eixo p.

Cp é a variável interna de endurecimento tipo tensão utilizada para representar o

tamanho da superfície dos modelos Cam-Clay original e modificado, ou seja, nestes modelos

há apenas uma variável interna tipo tensão representada pelo escalar

Cz p= (4.27)

4.7.1 - FUNÇÃO DE PLASTIFICAÇÃO DO MODELO CAM-CLAY ORIGINAL

Da relação tensão-dilatância para o modelo Cam-Clay original (Eq. 4.22), chega-se a

pvpd

d qMd pε

= −ε

(4.28)

50

que substituída na “condição de normalidade” (Eq. 4.21), obtém-se a seguinte equação

diferencial homogênea

dq q Mdp p

= − (4.29)

A solução desta equação, apresentada no Apêndice B, fornece a função de plastificação, de

acordo com

CC

pF( ,p ) q Mp lnp

σ = +

% (4.30)

cuja superfície de plastificação pode ser vista no espaço dos invariantes de tensão conforme

Figura 4.3.

0 10 20 30 40 50 60

10

20

30

p'

q

Figura 4.3 - Superfície de plastificação do modelo Cam-Clay original.

4.7.2 - FUNÇÃO DE PLASTIFICAÇÃO DO MODELO CAM-CLAY MODIFICADO

Da relação tensão-dilatância para o modelo Cam-Clay modificado (Eq. 4.23), obtém-se

p 2 2 2vpd

d M p qd 2pqε −

=ε

(4.31)

que substituída na “condição de normalidade” (Eq. 4.21), chega-se à seguinte equação

diferencial homogênea

2 2 2dq q M p

dp 2pq−

= (4.32)

A solução desta equação, apresentada no Apêndice B, fornece a função de plastificação, de

acordo com

51

( )2 2C CF( ,p ) M p p p qσ = − +

% (4.33)


Figura 4.4.

0 10 20 30 40 50 60

10

20

30

p'

q

Figura 4.4 - Superfície de plastificação do modelo Cam-Clay modificado.

4.8 - LEI DE ENDURECIMENTO

A partir da constatação de que os resultados de ensaios de adensamento são bem ajustados por

uma reta paralela à linha de estado crítico, quando plotados num gráfico cuja abscissa é o

logaritmo natural do invariante p e a ordenada é o índice de vazios, definiu-se como

parâmetro de endurecimento a deformação volumétrica plástica pvε , que será a variável interna

de endurecimento tipo deformação ξ , ou seja

pvξ = ε (4.34)

Assim, a lei de endurecimento dada por

d d hξ = γ (4.35)

será

pvd d hε = γ (4.36)

e, de acordo com a lei de fluxo (Eq. 4.17),

( )p pv

kk

F Fd tr d d tr d ∂ ∂

ε = ε = γ = γ ∂σ ∂σ %%

(4.37)

portanto,

52

kk

F Fh tr ∂ ∂

= = ∂σ ∂σ % (4.38)

4.8.1 - DETERMINAÇÃO DO MÓDULO PLÁSTICO H

Figura 4.5 - Comportamento de consolidação

De acordo com a Figura 4.5, a equação da reta de compressão é

00

pe(p) e lnp

= − λ

(4.39)

e a da reta de descompressão é

e*

0

pe (p) e lnp

= − κ

(4.40)

Diferenciando essas equações, obtém-se

dpdep

= −λ (4.41)

e

e dpdep

= −κ (4.42)

Considerando a decomposição aditiva das deformações, válida também para os índices de

vazios, subtrai-se o incremento total de índice de vazios ( de ) do incremento elástico do

53

índice de vazios ( ede ) para obter o incremento plástico do índice de vazios ( pde ), de acordo

com

( )p dpdep

= − λ − κ (4.43)

A partir da relação entre deformação volumétrica e índice de vazios, dada por

v0

e1 e−∆

ε =+

(4.44)

obtém-se o incremento de deformação volumétrica plástica, de acordo com

pv

0

dpd1 e pλ − κ

ε =+

(4.45)

Esta relação também é válida para a variação do tamanho da superfície de plastificação Cp ,

assim

p Cv

C C

dpd1 e pλ − κ

ε =+

(4.46)

ou seja

C Cpv

dp pd

=ε χ

(4.47)

em que

C1 e

λ − κχ =

+ (4.48)

Acima, Ce é o índice de vazios correspondente à tensão normal Cp .

Com isso, o módulo plástico H, definido pela equação

dz Hd= − ξ (4.49)

será

C Cpv

dp pdzHd d

= − = − = −ξ ε χ

(4.50)


E epD%

A relação constitutiva elastoplástica é representada pelos tensores de quarta ordem epD%

e epC%

.

Cada um relaciona incrementos de tensão com incrementos de deformação, de acordo com

epd D : dε = σ%% %

(4.51)

54

epd C : dσ = ε% % %

(4.52)

em que o tensor epD%

é o inverso de epC%

e vice-versa.

O modelo Cam-Clay, tanto na versão original quanto na modificada, se encaixa no

grupo de modelos convencionais da Teoria da Elastoplasticidade. Portanto, os tensores

elastoplásticos deduzidos no Apêndice A podem ser utilizados diretamente, levando em conta

a lei de fluxo associada. Com isso,

ep e 1 F FD DG '

∂ ∂= + ⊗

∂σ ∂σ% %% %

(4.53)

ep e e e1 F FC C C : : CG

∂ ∂= − ⊗ ∂σ ∂σ % % % %

% % (4.54)

em que

C

FG ' Hhp∂

=∂

(4.55)

e

C

F F FG : C : Hhp

∂ ∂ ∂= +

∂σ ∂σ ∂%% %

(4.56)

As derivadas F∂∂σ

% e

C

Fp∂∂

, para as versões original e modificada, são determinadas no

Apêndice D.

4.10 - INCREMENTO DO TAMANHO DA SUPERFÍCIE DE PLASTIFICAÇÃO

A atualização do tamanho da superfície de plastificação é realizada pela integração do

incremento Cdp dado pela Equação (3.158) que representa a evolução das variáveis internas

de endurecimento tipo tensão, assim

Cdp d Hh= − γ (4.57)

em que os multiplicadores de Lagrange dγ , deduzidos no Apêndice A, são

1 Fd : dG '

∂γ = σ

∂σ %%

(4.58)


e1 Fd : C : dG

∂γ = ε

∂σ % %%

(4.59)


55

5 - MODELO ELASTOPLÁSTICO TIJ-CLAY

Nakai & Mihara (1984) introduziram o conceito do tensor modificado ijt e aplicaram-no ao

modelo Cam-Clay, concedendo a esse a capacidade de representar o comportamento

mecânico do solo não somente no estado triaxial de tensões, mas também sobre qualquer

combinação de tensões. O tensor ijt é produto de vários estudos (Murayama, 1964; Matsuoka,

1974b; Matsuoka & Nakai, 1977; Matsuoka & Nakai, 1983; Nakai & Mihara, 1984)

realizados sobre o comportamento mecânico das partículas do solo cujos resultados levaram à

definição do Plano Espacialmente Mobilizado (Spatially Mobilized Plane - SMP), núcleo da

modelagem utilizando o tensor ijt .

Nakai & Matsuoka (1986) desenvolveram o modelo Tij-Clay que utiliza os conceitos

do Plano Espacialmente Mobilizado e do tensor de tensões modificado. Este modelo leva em

conta tanto a influência da tensão principal intermediária quanto a influência da trajetória de

tensão nas características de resistência e deformabilidade do solo. A primeira influência é

considerada através da utilização da quantidade mecânica ijt . A segunda é considerada

através da divisão do incremento de deformação plástica em parte cisalhante, causada pela

mudança do estado de tensão e parte de deformação volumétrica devido à mudança da tensão

principal normal média.

5.1 - PLANO ESPACIALMENTE MOBILIZADO - SMP

Figura 5.1 – Círculos de Mohr para estado tridimensional de tensões.

56

Para um estado tridimensional de tensões é possível traçar três círculos de Mohr para cada

combinação de tensões principais de acordo com a Figura 5.1, na qual 12φ , 13φ e 23φ são os

ângulos de atrito mobilizados nos planos 12, 13 e 23, respectivamente.

O ponto, no qual uma linha reta, que passa pela origem, toca o maior círculo de Mohr

indica a condição de razão tensão cisalhante-tensão normal máxima, num plano de tensões.

Este plano é chamado de plano mobilizado ou plano de máxima mobilização (Murayama,

1964) e é considerado ser o plano no qual as partículas do solo estão mais mobilizadas, pois o

comportamento das partículas do solo sob cisalhamento é governado pela lei de atrito.

Figura 5.2 - Planos mobilizados.

Figura 5.3 - Plano espacialmente mobilizado - SMP.

57

Existem três linhas retas passando pela origem e que tocam os três círculos de Mohr.

Então, existem três planos nos quais a razão tensão cisalhante-tensão normal tem valor

máximo, desde que se desconsidere a influência de um dos eixos principais. Esses três planos

foram chamados de planos mobilizados (Matsuoka, 1974b). A Figura 5.2 apresenta esses

planos no espaço de tensões principais.

Apesar de existir um plano no qual a razão tensão cisalhante-tensão normal é máxima,

imagina-se que a direção em as partículas individuais do solo, sujeitas às três tensões

principais, deslizarão, não será necessariamente paralela ao eixo da tensão principal

intermediária, mas sim afetada por essa tensão. Com isso, Matsuoka & Nakai (1974)

definiram o Plano Espacialmente Mobilizado (Spatially Mobilized Plane - SMP) que é

considerado ser um plano de tensões em que as partículas do solo estão mais mobilizadas na

média (Figura 5.3).

Figura 5.4 - SMP; intersecção com os eixos coordenados.

5.1.1 - NORMAL AO SMP

Demonstra-se que o SMP toca os eixos coordenados, no espaço de tensões principais, em

valores proporcionais às raízes quadradas de cada eixo (Figura 5.4). Além disso, os três

componentes da normal ao SMP (Figura 5.5) são funções dos invariantes e dos valores

principais do tensor de tensão, de acordo com

58

3i

2 i

IaI

σ

σ

=σ

(i = 1, 2 ou 3) (5.1)

em que iσ são os valores principais do tensor de tensões (ver Chowdhury, 1992).

Figura 5.5 - SMP; vetor normal e componentes de tensão.

O SMP coincide com o plano octaédrico numa condição de compressão isotrópica e é

variável com possíveis mudanças nas tensões.

Posteriormente, será utilizado o seguinte “tensor da normal”, em termos de seus

valores principais

1

ij 2

3

a 0 0a 0 a 0

0 0 a

=

(5.2)

em que 1a , 2a e 3a são os componentes da normal ao SMP obtidos pela Equação (5.1).

5.1.2 - TENSÕES E DEFORMAÇÕES NO SMP

A tensão no SMP (Figura 5.5), representada pelo vetor { }t , é determinada pela multiplicação

da matriz do tensor de tensões [ ]σ , em termos de seus valores principais, pelo vetor { }a ,

normal ao SMP, de acordo com

59

{ } [ ]{ }ˆt a= σ (5.3)

ou seja

1 1 1

2 2 2

3 3 3

t 0 0 at 0 0 at 0 0 a

σ = σ ⋅ σ

(5.4)

Com isso, as tensões normal e cisalhante no SMP podem ser determinadas por

SMP 1 1 2 2 3 3t a t a t aσ = ⋅ + ⋅ + ⋅ (5.5)

e

2 2 2SMP 1 2 3 SMPt t tτ = + + − σ (5.6)

respectivamente.

Através de algumas manipulações verifica-se que as tensões normal e cisalhante são

funções dos invariantes do tensor de tensões, de acordo com

3SMP

2

3II

σ

σ

σ = (5.7)

2

1 2 3 3SMP

2

I I I 9II

σ σ σ σ

σ

−τ = (5.8)

Supondo que as direções principais dos incrementos de deformação e de tensão são

paralelas entre si (coaxialidade), os incrementos de deformação normal e cisalhante, no SMP,

podem ser calculados por

SMP 1 1 2 2 3 3d d a d a d aε = ε ⋅ + ε ⋅ + ε ⋅ (5.9)

e

2 2 2 2SMP 1 2 3 Nd d d d dγ = ε + ε + ε − ε (5.10)

respectivamente.

5.2 - INVARIANTES DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO

Os invariantes de tensão utilizados no modelo Tij-Clay são as tensões no SMP, dadas pelas

Equações (5.5) e (5.6) ou (5.7) e (5.8) reescritas a seguir

3N SMP

2

3It

Iσ

σ

= σ = (5.11)

2

1 2 3 3S SMP

2

I I I 9It

Iσ σ σ σ

σ

−= τ = (5.12)

60

em que Nt é o invariante de tensão normal e St é o invariante de tensão cisalhante baseados

no conceito do SMP.

Os invariantes de deformação utilizados na modelagem são os incrementos de

deformação no SMP, dados pelas Equações (5.9) e (5.10), de acordo com

N SMPd dε = ε (5.13)

S SMPd dε = γ (5.14)

em que Ndε é o invariante de deformação normal e Sdε é o invariante de tensão cisalhante.

5.3 - TENSOR MODIFICADO TIJ

O tensor de tensões modificado ijt é definido como aquele cujos valores principais são os

componentes da tensão no SMP ( 1t , 2t e 3t ). Então, em termos de seus valores principais,

esse tensor será

1

ij 2

3

t 0 0t 0 t 0

0 0 t

=

(5.15)

A partir da Equação (5.4), verifica-se que o tensor t% também pode ser obtido por

1 1

ij 2 2

3 3

0 0 a 0 0t 0 0 0 a 0

0 0 0 0 a

σ = σ ⋅ σ

(5.16)

ou seja,

ˆ ˆˆt a= σ% % %

( )ij ik kjˆ ˆˆt a= σ (5.17)

O tensor ijt é simétrico, coaxial com o tensor de tensões e tem unidade de tensão. De

forma generalizada, pode ser obtido por

t a= σ% % %

( )ij ik kjt a= σ (5.18)

em que σ%

é o tensor de tensões e a%

é o “tensor da normal”.

Como o tensor a%

também é coaxial com σ%

, então a transformação de similaridade

Tˆ Q Qσ = σ% %% %

( )ij mi nj mnˆ Q Qσ = σ (5.19)

que transforma σ%

em σ%

é a mesma que transforma a%

em a%

, de acordo com

Ta Q aQ=% %% %

( )ij mi nj mna Q Q a= (5.20)

61

Figura 5.6 - Tensor desviador Dt%.

A determinação de Q%

é um problema de autovalores e autovetores que pode ser

resolvido numericamente pelo método Jacobi-Rotation citado no Capítulo 3. A partir daí, o

tensor a%

, é obtido pela seguinte equação

Tâ QaQ=% %% %

( )ij im jn mnâ Q Q a= (5.21)

Os invariantes Nt e St são relacionados com o tensor ijt da seguinte maneira

N SMP ij ijt t a t : a= σ = =% %

(5.22)

ij ijS SMP D D D Dt t t t : t= τ = =

% % (5.23)

em que

D Nt t t a= −% % %

( )D ij N ijijt t t a= − (5.24)

é definido como um tensor desviador no espaço de tensões principais 1t , 2t e 3t (Figura 5.6).

Embora as Equações (5.22) e (5.23) sejam válidas, não são recomendadas quando se

objetiva apenas o cálculo de Nt e St , pois as Equações (5.7) e (5.8) fornecem essas

quantidades diretamente, a partir dos invariantes do tensor de tensões σ%

. Mesmo assim, os

tensores Q%

, a%

e Dt%, devem ser determinados, nesta ordem, para a obtenção de algumas

derivadas relacionadas ao modelo Tij-Clay (Apêndice F).

62

Figura 5.7 - Incremento de deformação desviador Ddε%

.

Os incrementos de deformação no SMP também podem ser obtidos por

N SMP ij ijd d d a d : aε = ε = ε = ε% %

(5.25)

S SMP D D D Dij ijd d d d d : dε = γ = ε ε = ε ε

% % (5.26)

em que Ddε%

é o incremento de deformação desviadora, dado por

D Nd d d aε = ε − ε% % %

( )D ij N ijijd d d aε = ε − ε (5.27)

que pode ser visualizado no espaço de deformações principais de acordo com a Figura 5.7.

O espaço de tensões convencional (Figura 5.8) pode ser comparado com o espaço de

tensões modificado (Figura 5.9), em que

1p p13

=%

pp3

= ij ijδ δ

(5.28)

e

3q S2

=%

ij ij 2D3q S S 3J2

= =

(5.29)

Analogamente,

N Nt t a=%

( )N N ij ijt t a a= (5.30)

e

63

S Dt t=%

( )S Dij Dijt t t= (5.31)

A demonstração de ij ij|| a || a a 1= =%

encontra-se no item F.4 do Apêndice F.

Figura 5.8 - Espaço de tensões convencional.

Figura 5.9 - Espaço de tensões modificado.

5.4 - TRABALHO PLÁSTICO

Em modelos convencionais, o trabalho plástico é representado por

p p pij ijdW : d d= σ ε = σ ε

% % (5.32)

No modelo Tij-Clay, considera-se a coaxialidade entre as direções principais do tensor t% e os

incrementos de deformação plástica pdε%

. Assim, define-se o incremento de trabalho plástico

equivalente, de acordo com

64

*p p pij ijdW t : d t d= ε = ε

% % (5.33)

que implica na seguinte condição de objetividade equivalente

*p p pN N S SdW t d t d= ε + ε (5.34)

5.5 - LEI DE FLUXO

Neste modelo, a função potencial plástico é a própria função de plastificação (lei de fluxo

associada). Para satisfazer o trabalho plástico equivalente, a lei de fluxo é dada no espaço do

tensor ijt , assim

p(AF) Fd d d rt

∂ε = γ = γ

∂ %%%

(5.35)

em que AF indica fluxo associado (Associate Flow).

O incremento de deformação plástica p(AF)dε%

é paralelo ao gradiente da superfície de

plastificação. Isto também é válido no espaço dos invariantes de tensão e incrementos de

deformação.

Figura 5.10 - Lei de fluxo associada.

Na Figura 5.10, apresenta-se de forma simbólica os “vetores” incrementos de tensão,

incrementos dos invariantes de tensão e incrementos de deformação plástica no espaço dos

invariantes Nt e St . A superfície de plastificação é representada por uma curva. Para que o

estado de tensão permaneça em cima dessa “curva de plastificação” o “vetor” incremento de

tensão (modificada) deverá ser tangente à mesma. Assim, levando em conta as notações

65

p(AF)

p(AF) Np(AF)S

dd

d ε

ε = ε %

(5.36)

N

S

dtdt

dt

= %

(5.37)

a “condição de normalidade” será dada por

pd dt 0ε =g% %

(5.38)

ou seja,

p(AF)

S Np(AF)

N S

dt ddt d

ε= −

ε (5.39)

5.6 - CRITÉRIO DE RUPTURA

O critério de ruptura utilizado pelo modelo Tij-Clay é o de Matsuoka-Nakai. Neste critério a

ruptura ocorre quando a razão entre os invariantes de tensão, definidos no SMP, atinge um

valor constante, ou seja

S

N

t ctet

= (5.40)

2

1 2 3 3

2

I I I 9II

σ σ σ σ

σ

− 2I σ

3

cte3I σ

= (5.41)

2

1 2 3 32

3

I I I 9I cte9I

σ σ σ σ

σ

−= (5.42)

1 2

3

I I1 1 cte9 I

σ σ

σ

− = (5.43)

21 2

3

I I 9cte 9Iσ σ

σ

= + = constante (5.44)

Pode-se mostrar que a equação acima equivale a

( ) ( ) ( )2 2 212 23 13tan tan tan cteφ + φ + φ = (5.45)

em que 12φ , 13φ e 23φ são os ângulos de atrito mobilizados nos planos 12, 13 e 23.

O critério Matsuoka-Nakai é puramente friccional e assemelha-se ao de Mohr-

Coulomb, dado por

( )tan 'τ= φ

σ (constante) (5.46)

66

5.7 - RELAÇÃO TENSÃO-DILATÂNCIA

Uma descoberta bastante importante, relacionada ao SMP, foi a verificação de que os

resultados de ensaios em solos, sobre diversas trajetórias de tensão, se ajustam razoavelmente

bem numa mesma linha reta, quando plotados num gráfico tensão-dilatância cujas

coordenadas são S Nt t e N Sd dε ε (Figura 5.11). Ou seja, o SMP é um plano que fornece

uma interpretação única da característica tensão-dilatância dos solos sobre diferentes estados

de tensão (Matsuoka & Nakai, 1974).

Figura 5.11 - Relação tensão-dilatância no SMP.

De acordo com a Figura 5.11, define-se

S

N

tXt

= (5.47)

p(AF)Np(AF)S

dYdε

=ε

(5.48)

Assim, a reta tensão-dilatância terá a seguinte equação

X Y= µ − α (5.49)

ou seja,

p(AF)

S Np(AF)

N S

t dt d

ε= µ − α

ε (5.50)

em que µ é o intercepto com o eixo vertical, dado por

f fX Yµ = + α (5.51)

67

e α é a inclinação da reta, obtida experimentalmente (parâmetro do solo).

Considera-se que, quando X atinge seu valor na ruptura fX , Y atinge o valor fY , em

condições de compressão triaxial, adotando-se incremento de deformação volumétrica

plástica nulo ( pvd 0ε = ). Nessas condições, define-se a razão entre a tensão principal maior e a

tensão principal menor fR , através de

comp1f

3 compf (comp)

1 sin( ' ) 2M 3R1 sin( ' ) 3 M

+ φ σ += = = σ − φ −

(5.52)

Mostra-se (ver Chowdhury, 1996) que os valores de fX e fY podem ser obtidos a partir da

razão fR , de acordo com

f ff

2 1X R3 R

= −

(5.53)

e

ff

f

1 R1Y2 0,5 R

−= +

(5.54)

Portanto, µ é função somente do ângulo de atrito efetivo (em compressão), ou seja

f f compX Y ( ' ) (M)µ = + α = µ φ = µ (5.55)

5.8 - FUNÇÃO DE PLASTIFICAÇÃO

A função de plastificação é obtida pela solução de uma equação diferencial ordinária,

composta pelos invariantes de tensão e seus incrementos, da seguinte forma

( )SN S

N

dt f t , tdt

= (5.56)

na qual a condição de contorno é dada por

N NC St t t 0= ⇔ = (5.57)

em que NCt é o valor no qual a superfície de plastificação toca o eixo Nt .

NCt é a variável interna de endurecimento tipo tensão utilizada para representar o

tamanho da superfície do modelo Tij-Clay, ou seja, neste modelo

NCz t= (5.58)

68

Substituindo a relação tensão-dilatância (Eq. 5.49) na “condição de normalidade”

(Eq. 5.39) chega-se à seguinte equação diferencial homogênea

S S

N N

dt t1dt t

µ= −

α α (5.59)

A solução desta equação, apresentada no Apêndice C, fornece a função de plastificação, de

acordo com

N SNC

NC N

t t1F( , t ) lnt t

σ = + µ %

Se 1α = (5.60)

N SNC

NC N

t t 1F( , t ) ln ln 1t 1 t

α α −σ = + + α − µ %

Se 1α ≠ (5.61)


Figura 5.12.

0 10 20 30 40 50 60

10

20

30

tN

tS

Figura 5.12 - Superfície de plastificação do modelo Tij-Clay.

5.9 - LEI DE ENDURECIMENTO

O modelo Tij-Clay utiliza como parâmetro de endurecimento a deformação volumétrica

plástica pvε , que será a variável interna de endurecimento tipo deformação ξ , ou seja

pvξ = ε (5.62)

Nas situações em que a razão entre tensões é constante, como compressão isotrópica e

condição 0K , a seguinte relação é válida (Nakai & Matsuoka, 1986)

69

N

N

dt dpt p

= (5.63)

Com isso, a Equação (4.45) do modelo Cam-Clay pode ser utilizada no Tij-Clay,

determinando uma deformação volumétrica plástica, de acordo com

*p Nv

0 N

dtd1 e tλ − κ

ε =+

(5.64)

válida somente nessas situações particulares.

5.9.1 - DETERMINAÇÃO DO MÓDULO PLÁSTICO H

A Equação (5.64) também pode ser utilizada para determinar a variação do tamanho da

superfície de plastificação NCt , assim

*p NCv

0 NC

dtd1 e tλ − κ

ε =+

(5.65)

ou seja

NC NC*pv

dt td

=ε χ

(5.66)

em que

01 e

λ − κχ =

+ (5.67)

O módulo plástico H para o modelo Tij-Clay é definido para a situação em que a razão entre

tensões é constante, de acordo com

*pNC vdz Hd dt Hd= − ξ ⇔ = − ε (5.68)

e obtido por

NC NC*pv

dt tdzHd d

= − = − = −ξ ε χ

(5.69)

5.10 - DIVISÃO DO INCREMENTO DE DEFORMAÇÃO PLÁSTICA

Para que o modelo Tij-Clay levasse em conta a influência da trajetória de tensão nas

características de resistência e deformabilidade do solo, Nakai & Matsuoka (1986) dividiram

o incremento de deformação plástica em duas partes. Uma cisalhante, causada pela mudança

do estado de tensão e dada pela lei de fluxo e outra volumétrica relacionada com a mudança

70

da tensão principal normal média. Esta última somente existirá quando o incremento do

invariante de tensão normal Ndt for positivo (Figura 5.13), assim

p p(AF) p(IC)d d dε = ε + ε% % %

Se Ndt 0> (5.70)

p p(AF)d dε = ε% %

Se Ndt 0≤ (5.71)

em que AF indica fluxo associado (Associate Flow) e IC indica compressão isotrópica

(Isotropic Compression).

Figura 5.13 - Trajetórias de tensão no plano St versus Nt .

5.10.1 - DETERMINAÇÃO DO INCREMENTO p(IC)dε%

A parcela do incremento de deformação plástica relacionada com compressão

isotrópica p(IC)dε%

é obtida supondo que seu valor, em termos volumétricos p(IC)vdε , é uma

parte do incremento de deformação volumétrica plástica total, nas situações em que a razão

entre tensões é constante, *pvdε

%. Essa parte é calculada por uma razão entre o quanto o SMP

está mobilizado, em termos de tensão normal Nt , e o quanto de compressão normal NCt o

material sofreu anteriormente (Nakai & Matsuoka, 1986), assim

p(IC) *pNv v

NC

td dt

ε = ε (5.72)

Substituindo o incremento de deformação volumétrica definido pela Equação (5.64) na

equação acima, obtém-se

p(IC) N Nv

NC 0 N

t dtdt 1 e t

λ − κε =

+ (5.73)

ou seja

71

p(IC)v N

NC

d dttχ

ε = (5.74)

Como Nt é função do tensor de tensões σ%

(Eq. 5.11), o incremento Ndt pode ser

obtido pelo seguinte diferencial

N NN ij

ij

t tdt : d d∂ ∂= σ = σ

∂σ ∂σ%%

(5.75)

assim

p(IC) Nv

NC

td : dt

∂χε = σ

∂σ %%

p(IC) Nv kl

NC kl

td dt

∂χε = σ ∂σ

(5.76)

Os componentes do tensor p(IC)dε%

podem ser relacionados com a deformação

volumétrica plástica p(IC)vdε , de acordo com

p(IC) p(IC)ij ij v

1d d3

ε = δ ε (5.77)

pois esse tensor é um tensor hidrostático. Substituindo a Equação (5.76) na equação acima,

obtêm-se os seguintes componentes

ijp(IC) Nij kl

NC kl

td dt 3

δ ∂χε = σ

∂σ (5.78)

ou,

p(IC)ij ijkl kld T dε = σ (5.79)

em que o tensor de quarta ordem T%

foi definido de acordo com

N

NC

t1Tt 3

∂χ= ⊗

∂σ%%

% ij N

ijklNC kl

tTt 3

δ ∂χ= ∂σ

(5.80)

Portanto

p(IC)d T : dε = σ%% %

(5.81)

5.10.2 - DETERMINAÇÃO DOS INCREMENTOS pdε%

E pvdε

Levando em conta as Equações (5.70) e (5.71) (divisão do incremento de deformação

plástica), a Equação (5.35) (lei de fluxo) e a Equação (5.81) (incremento de deformação

plástica devido à compressão isotrópica), obtém-se o incremento de deformação plástica total pdε

% pela seguinte equação

72

pd d r T : dε = γ + σ% %% %

(5.82)

em que o operador é definido por

N

N

se dt 00 ou 0 se dt 0

>= ≤

gg

% (5.83)

Como

( )p(AF) p(AF)v

kk

F Fd tr d d tr dt t

∂ ∂ε = ε = γ = γ ∂ ∂ %

% (5.84)

e de acordo com a Equação (5.76) (incremento de deformação volumétrica plástica devido à

compressão isotrópica), o incremento de deformação plástica volumétrica total é determinado

por

p Nv

NC

td d h : dt

∂χε = γ + σ

∂σ %%

(5.85)

em que h foi definido pela equação

kk

F Fh trt t

∂ ∂= = ∂ ∂ %

(5.86)


E epD%

A relação constitutiva elastoplástica é representada pelos tensores de quarta ordem epD%

e epC%

.

Cada um relaciona incrementos de tensão com incrementos de deformação, de acordo com

epd D : dε = σ%% %

(5.87)

epd C : dσ = ε% % %

(5.88)

em que o tensor epD%

é o inverso de epC%

e vice-versa.

No Apêndice E, utiliza-se as seguintes hipóteses para a determinação dos tensores

elastoplásticos epD%

e epC%

:

a) Decomposição aditiva das deformações;

b) Lei de Hooke generalizada;

c) Lei de fluxo;

d) Lei de endurecimento;

e) Condição de consistência;

f) Decomposição aditiva do incremento de deformação plástica.

73

As hipóteses de a até e são devidas à Teoria Clássica da Plasticidade enquanto que a hipótese

f é definida apenas para o modelo Tij-Clay. Com isso,

ep e 1D D T r vG '

= + + ⊗% % % % %

(5.89)

e

( ) ( )ep e e e1C S: C S: C : r v :S : CG

= − ⊗%% % % % % % % %

(5.90)

em que

( ) 1eS I C : T−

= +% %% %

(5.91)

N

NC

tF Fvt

∂∂ ∂= +

∂σ ∂ ∂σ%% %

(5.92)

NC

FG ' Hht∂

=∂

(5.93)

e

NC

FG v :S : C : r Hht∂

= +∂%% % %

(5.94)

O módulo plástico H e a variável h não são exatamente iguais aos mesmos para os

modelos convencionais, isso ocorre somente na situação em que Ndt 0≤ . Nessa situação, os

tensores elastoplásticos e o incremento do tamanho da superfície de plastificação tornam-se

semelhantes aos definidos para os modelos convencionais.

As derivadas Ft

∂∂%

, F∂∂σ

%,

NC

Ft∂

∂ e Nt∂

∂σ%

são determinadas no Apêndice F.

5.12 - INCREMENTO DO TAMANHO DA SUPERFÍCIE DE PLASTIFICAÇÃO

A atualização do tamanho da superfície de plastificação é realizada pela integração do

incremento NCdt . No Apêndice E, obtém-se este incremento através do módulo plástico e da

lei de endurecimento, de acordo com

NC Ndt d Hh dt= − γ + (5.95)

em que os multiplicadores de Lagrange dγ , deduzidos no Apêndice E, são

1d v : dG '

γ = σ% %

(5.96)


74

e1d v :S: C : dG

γ = ε% % %

(5.97)


5.13 - RESUMO COMPARATIVO ENTRE AS EQUAÇÕES DOS MODELOS CAM-

CLAY E TIJ-CLAY

Tabela 5.1 - Resumo comparativo entre as equações dos modelos Cam-Clay e Tij-Clay.

Definição Cam-Clay Tij-Clay

Tensor de tensões σ%

t a= σ% % %

Tensor unitário 1% a

%

Tensor de tensões desviador S p1= σ −%% %

D Nt t t a= −% % %

Invariante de tensão normal 1I:1p3 3

σσ= =%% 3

N2

3It t : aI

σ

σ

= =% %

Invariante de tensão cisalhante 2D3q || S || 3J2

= =%

2

1 2 3 3S D

2

I I I 9It || t ||

Iσ σ σ σ

σ

−= =

%

Tensor de deformações desviador vddE d 13ε

= ε −% %%

D Nd d d aε = ε − ε% % %

Invariante de deformação normal vd d :1ε = ε%%

Nd d : aε = ε% %

Invariante de deformação

cisalhante d2d || dE ||3

ε =%

S Dd || d ||ε = ε%

Variável de end. tipo tensão Cz p= NCz t=

Variável de end. tipo deformação pvξ = ε p

vξ = ε

Módulo plástico CpH = −χ

NCtH = −χ

Variável que controla o

endurecimento Fh tr

∂= ∂σ %

Fh trt

∂= ∂ %

75

6 - COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS ELASTOPLÁSTICOS

Várias comparações podem ser realizadas entre os modelos Cam-Clay e Tij-Clay. A mais

importante é referente à capacidade de representar o comportamento mecânico dos solos

argilosos. Esta é feita analisando-se a reprodutibilidade de trajetórias de tensão e deformação

calculadas, com relação às resultantes de ensaios triaxiais em amostras de solo. Para isto, uma

série de ensaios de laboratório é necessária, nos quais a aplicação de tensão (ou deformação)

deve repetir todas as condições encontradas no campo. Além disso, é interessante analisar a

adequação desses modelos a situações geométricas tridimensionais, por isso os ensaios devem

ser do tipo triaxial verdadeiro, em que diversas combinações de tensões são possíveis.

No equipamento triaxial verdadeiro que será apresentado, os ensaios são definidos

pela especificação de uma trajetória de tensão. O equipamento aplica sucessivamente

incrementos de deformação na amostra, através das placas de carregamento, e ao mesmo

tempo, as tensões resultantes são lidas pelos transdutores de pressão. Portanto, o ensaio ocorre

de forma iterativa na qual uma ação da placa de carregamento gera uma reação no estado de

tensões na amostra. Este tipo de ensaio é denominado ensaio por deformações controladas,

apesar de que as tensões devam seguir uma trajetória pré-determinada.

A simulação numérica dos ensaios é feita integrando-se a relação constitutiva para

cada incremento de tensão aplicado obtendo-se as deformações. Para isso, elaborou-se um

programa que utiliza os tensores elastoplásticos epD%

deduzidos anteriormente e que integra a

relação tensão-deformação através do esquema numérico Forward-Euler. A apresentação

detalhada deste esquema é realizada no Capítulo 7. O programa foi denominado “Modelos

Constitutivos” e permite simulações com as seguintes leis elastoplásticas: Cam-Clay original;

Cam-Clay modificado e Tij-Clay.

Uma etapa bastante importante na simulação numérica do comportamento mecânico é

a determinação dos parâmetros do material. Esta é realizada a partir da análise de gráficos

específicos. O modelo Cam-Clay exige a determinação dos seguintes parâmetros: κ ,

inclinação da reta de descompressão; λ , inclinação da reta de compressão e M ou 'φ ,

inclinação da reta de estado crítico ou ângulo de atrito efetivo. O coeficiente de Poisson ν

geralmente é adotado. O modelo Tij-Clay utiliza os mesmos parâmetros além da inclinação α

da reta tensão-dilatância. Além disso, algumas condições iniciais devem ser estabelecidas,

como índice de vazios inicial ( 0e ) e nível de pré-adensamento representado por 0p .

76

6.1 - ENSAIOS DE LABORATÓRIO

Os ensaios de laboratório apresentados aqui foram realizados por Chowdhury (1998)

no equipamento triaxial verdadeiro do Instituto de Tecnologia de Nagoya - NIT, Japão

(Figura 6.1). O material utilizado foi a argila Fujinomori, cujas amostras deformadas foram

reconstituídas num equipamento edométrico.

Figura 6.1 - Equipamento triaxial verdadeiro (Chowdhury, 1998).

A opção por estes ensaios foi devido ao equipamento do NIT gerar resultados de boa

qualidade, pois a chance de contato entre as placas de carregamento é menor, problema

comum em outras máquinas, além de ser totalmente controlado por computador.

Nos testes, a tensão principal maior é aplicada pela placa horizontal na direção vertical

( aσ ) e a tensão principal menor é aplicada pela placa vertical na direção horizontal (σl ). A

tensão principal intermediária é aplicada pela pressão da câmara ( rσ ). Este esquema de

aplicação de cargas é o que evita o choque entre as placas, pois quando a placa horizontal se

move em direção à amostra, a placa vertical se afastará da mesma.

As principais características do solo ensaiado são:

• Distribuição granulométrica: Areia 13,5%; Silte 69.5% e Argila: 17%

77

• Massa específica das partículas: SG =2,67

• Limite de Liquidez: LL=41%

• Limite de Plasticidade: LP=23%

• Índice de Plasticidade: IP=18%

6.1.1 - DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS

Os parâmetros λ e κ são obtidos do ensaio de compressão isotrópica, cujos resultados estão

apresentados na Figura 6.2, em amostras normalmente adensadas.

0.600

0.625

0.650

0.675

0.700

0.725

0.750

0.775

0.800

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

ln(p' x 98 kPa)

e

Figura 6.2 - Ensaio de compressão isotrópica na argila Fujinomori.

Excluindo os três primeiros pontos do gráfico da Figura 6.2 e ajustando os dados por

linhas retas, obtém-se as seguintes inclinações: 0,0778λ = e 0,00824κ = dos trechos de

compressão e descompressão, respectivamente.

Nos testes triaxiais que serão apresentados em seguida, a tensão isotrópica inicial é de 22 kgf cm (196kPa ). Para esta tensão, o índice de vazios inicial, obtido no trecho de

compressão do gráfico da Figura 6.2, é igual a 0,699.

A inclinação M da linha de estado crítico no plano q x p pode ser determinada pelo

valor de q/p na ruptura no ensaio de compressão triaxial (Figura 6.3).

78

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00

e1 - e3 (%)

q/p

Figura 6.3 - Gráfico tensão-deformação do ensaio de Compressão Triaxial (TC).

Verifica-se que o valor de q/p na ruptura é 1.40, ou seja M=1,40. Com isso, o ângulo

de atrito efetivo pode ser obtido pela seguinte expressão:

3M' asen6 M

φ = + (6.1)

que fornece ' 34,58ºφ = .

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

-0.50 -0.40 -0.30 -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40

-dεN/dεS

tS/tN

TCTE0º15º30º45º

Figura 6.4 - Relação tensão-dilatância, baseada no SMP, para a argila Fujinomori.

O modelo Tij-Clay requisita a determinação de mais um parâmetro: a inclinação da

reta tensão-dilatância no gráfico em que os eixos coordenados são razões entre os invariantes

α

79

definidos no SMP. Este gráfico está apresentado na Figura 6.4, em que o valor de alfa é

aproximadamente igual a 0,7.

Para argilas em que as deformações são predominantemente plásticas, qualquer valor

razoável de índice de Poisson pode ser assumido, sem ocasionar grandes erros (Chowdhury,

1998). Considera-se este caso e adota-se o valor de zero para o índice de Poisson, ou seja

0ν = .

Os parâmetros e as condições iniciais para a argila Fujinomori estão resumidos na

Tabela 6.1.

Tabela 6.1 - Parâmetros e condições iniciais para a argila Fujinomori.

Parâmetro κ λ M α ν 0e 0p (x 96kPa)

Valor 0,00824 0,0778 1,4 0,8 0,0 0,699 2

6.1.2 - DEFINIÇÕES DOS ENSAIOS

As definições dos ensaios triaxiais estão apresentadas na Tabela 6.2, em que as siglas

TC e TE significam Compressão Triaxial (Triaxial Compression) e Extensão Triaxial

(Triaxial Extension), respectivamente. Esses ensaios têm a característica de que os pontos que

representam os estados de tensão sempre permanecem no plano octaédrico, ou seja, a tensão

normal média p permanece constante. O ângulo θ é o ângulo da trajetória de tensão no plano

Π , com relação ao eixo da tensão principal maior (Figura 6.5).

Figura 6.5 - Ângulo da trajetória de tensões no plano Π .

80

O valor b quantifica a influência da tensão principal intermediária, de acordo com

2 3

1 3

b σ − σ=

σ − σ (6.2)

Dois ensaios foram realizados no equipamento Triaxial Convencional com efeito de

comparação com o equipamento Triaxial Verdadeiro.

Tabela 6.2 - Definições para os ensaios triaxiais convencionais e verdadeiros.

Estado inicial

(x98 kPa)

Estado final

(x98 kPa) Equipamento

Tipo do

teste

(Código)

θ

(º) b

aσ rσ σl aσ rσ σl

Convencional TC (TC) 0 0 2.0 2.0 2.0 6.0 0.0 0.0

Convencional TE (TE) 180 1 2.0 2.0 2.0 0.0 3.0 3.0

Verdadeiro TC (T0) 0 0 2.0 2.0 2.0 6.0 0.0 0.0

Verdadeiro TC (T15) 15 0.268 2.0 2.0 2.0 4.732 1.268 0.0

Verdadeiro TC (T30) 30 0.5 2.0 2.0 2.0 4.0 2.0 0.0

Verdadeiro TC (T45) 45 0.732 2.0 2.0 2.0 3.464 2.536 0.0

6.1.3 - RESULTADOS DE RESISTÊNCIA

O critério de ruptura utilizado no modelo Cam-Clay, no qual o estado crítico é atingido

( f fq p M= ), gera uma circunferência no plano Π . Este critério é do tipo Drucker-Prager ou

Von Mises extendido. O critério Matsuoka-Nakai é dado por

1 2

3

I I cteIσ σ

σ

= (6.3)

e o de Lade-Duncan por

3

1

3

I cteI

σ

σ

= (6.4)

O traçado desses critérios estão apresentados na Figura 6.6 juntamente com as observações

experimentais. Verifica-se que o modelo Cam-Clay considera resistências muito elevadas

81

quando em extensão e o modelo Tij-Clay, que utiliza o critério Matsuoka-Nakai, representa

satisfatoriamente a resistência do solo.

Figura 6.6 - Resultados dos ensaios no plano Π ; Critérios de ruptura.

A comprovação da adequação do critério de ruptura Matsuoka-Nakai ao solo ensaiado

é apresentada na Tabela 6.3, na qual a razão ( )1 2 3I I Iσ σ σ , na ruptura, realmente atingiu um

valor constante para todos os testes. Esse valor foi em média igual a 12,448.

Tabela 6.3 - Resultados dos ensaios; Critério de ruptura.

σ1f

(kgf/cm²)

σ2f

(kgf/cm²)

σ3f

(kgf/cm²) 1 f

I σ 2 fI σ 3 f

I σ σx σy θ f f

f

1 2

3

I IIσ σ

σ

TC 3.850 1.060 1.060 5.970 9.286 4.326 0.000 2.278 0.000 12.815

TE 2.620 2.620 0.850 6.090 11.318 5.835 -1.252 0.723 60.000 11.814

T0 3.843 1.144 1.070 6.057 9.732 4.704 -0.052 2.234 1.342 12.531

T15 3.444 1.590 0.865 5.899 9.830 4.737 -0.513 1.810 15.816 12.243

T30 3.233 2.000 0.788 6.021 10.590 5.095 -0.857 1.502 29.716 12.514

T45 2.922 2.340 0.735 5.997 10.705 5.026 -1.135 1.130 45.113 12.774

Média = 12.448

82

6.2 - SIMULAÇÕES NUMÉRICAS

As simulações numéricas são realizadas pelo programa Modelos Constitutivos que funciona

dentro de uma planilha eletrônica. Na Figura 6.7 visualiza-se a tela inicial deste programa

indicada pela guia “Dados iniciais”, localizada na parte inferior da planilha. As demais guias

têm os seguintes significados: CCO, Cam-Clay Original; CCM, Cam-Clay Modificado e TIJ,

Tij-Clay e apresentam os valores calculados para cada incremento de tensão como 1σ , 2σ ,

3σ , 1ε , 2ε e 3ε . Estas quantidades permitem o traçado dos gráficos comparativos, gerados na

guia “Gráficos” do programa. Nesta guia, também são colocados os dados resultantes dos

ensaios de laboratório.

Figura 6.7 - Programa Modelos Constitutivos.

Na tela inicial, deve-se entrar com os parâmetros e condições iniciais do solo e as

tensões que definem a trajetória. Nesta tela são apresentados dois gráficos, um com as

superfícies de plastificação dos modelos Cam-Clay original e modificado e outro com a

83

trajetória de tensão no plano Π . Os seguintes dados para a integração numérica do tipo

Forward-Euler também dever ser fornecidos:

• Nº Incs.: Número de incrementos em que a trajetória será dividida;

• fwe steps: Número de subincrementos para o esquema Forward-Euler;

• saída cd.: Intervalo entre incrementos para a saída dos resultados;

• Calc. Até: Multiplicador para que a integração continue após a ruptura;

6.3 - COMPARAÇÕES ENTRE OS MODELOS

Apresentam-se a seguir, através dos gráficos das Figuras 6.8 até 6.13, os resultados dos

ensaios e das simulações numéricas. Para cada ensaio foi elaborado um gráfico q/p versus iε

( i 1 2 3, ,ε = ε ε ε ) e um gráfico vε versus 1ε . O primeiro apresenta tanto a observação

experimental do comportamento tensão-deformação quanto a calculada pelos modelos

elastoplásticos. O segundo faz o mesmo mas para a deformação volumétrica em função da

deformação principal maior.

Figura 6.8 - Resultados e simulação do ensaio TC.

Deformações observadas

Cam-Clay original

Cam-Clay modificado

Tij-Clay

1ε 2 3ε = ε

84

Figura 6.9 - Resultados e simulação do ensaio TE.

Figura 6.10 - Resultados e simulação do ensaio T0.


Cam-Clay original

Cam-Clay modificado

Tij-Clay


Cam-Clay original

Cam-Clay modificado

Tij-Clay

2ε

2 3ε = ε 1ε

3ε 1ε

85




Cam-Clay original

Cam-Clay modificado

Tij-Clay


Cam-Clay original

Cam-Clay modificado

Tij-Clay

1ε 2ε

3ε

1ε

2ε

3ε

86


A partir dos resultados e das simulações realizadas pelos três modelos, pode-se

relacionar as seguintes observações:

• Verifica-se que o modelo Cam-Clay original representa o comportamento tensão-

deformação melhor que o Cam-Clay modificado;

• Os modelos Cam-Clay não são aplicáveis quando a trajetória de tensão sai do

plano triaxial;

• Dentre os três modelos, o Cam-Clay modificado foi o que melhor representou a

variação volumétrica (gráfico vε versus 1ε );

• O modelo Tij-Clay foi extremamente eficaz na simulação do comportamento

tensão-deformação para todas as trajetórias de tensão;

• É interessante notar que a linha simulada pelo modelo Tij-Clay, em todos os testes,

parou próxima ao último resultado do ensaio, que representa a situação de ruptura.

A linha que representa os cálculos com os modelos Cam-Clay, continua além da

ruptura real do solo (critério de Drucker-Prager).


Cam-Clay original

Cam-Clay modificado

Tij-Clay

1ε

2ε

3ε

87

7 - INTEGRAÇÃO DA RELAÇÃO CONSTITUTIVA

A relação constitutiva elastoplástica é representada por um tensor de quarta ordem que

relaciona tensão com deformação. Essa relação é não-linear, pois depende do estado de tensão

atual. Assim, as equações constitutivas são apresentadas na forma incremental e devem ser

integradas a cada incremento de tensão ou deformação dado. A integração geralmente é

numérica devido à complexidade das equações.

Dentre os métodos de integração numérica Midpoint-Rule destacam-se dois: os

explícitos, cuja avaliação das derivadas é feita no início do intervalo de tempo e os implícitos

que avaliam as derivadas no final do intervalo. Devido ao endurecimento, a superfície de

plastificação varia e seu novo tamanho deve ser calculado. Os esquemas implícitos

automaticamente atualizam o tamanho da superfície de plastificação no final das iterações

enquanto que os explícitos, dependendo do tamanho dos incrementos, não o fazem. Em

contrapartida, os esquemas implícitos podem não convergir além de exigirem derivadas que

nem sempre são de fácil obtenção. Para tentar satisfazer a condição de consistência e diminuir

os erros nos resultados, os esquemas explícitos dividem o incremento de deformação em

subincrementos.

Os esquemas de integração apresentados neste capítulo são desenvolvidos de forma

que, dados os incrementos de deformação, determinam-se os respectivos incrementos de

tensão. Essa é a forma normalmente utilizada em programas de cálculos através do Método

dos Elementos Finitos. Para a situação inversa, os esquemas explícitos podem ser facilmente

aplicados, bastando trocar o tensor elastoplástico epC%

pelo tensor epD%

.

Compara-se a eficiência da integração numérica dos esquemas implícitos com os

explícitos. A eficiência dos esquemas explícitos com subincrementos variáveis determinados

automaticamente é verificada. A utilização de passos variáveis torna a execução do código

mais rápida, pois, no final do processo, o número de subincrementos acaba sendo menor. Os

esquemas implícitos, por requisitarem derivadas de maior ordem, são aplicados apenas ao

modelo Cam-Clay e não ao Tij-Clay, pois esse último possui um equacionamento

razoavelmente complexo.

Os trabalhos de Gear (1971) e Zwillinger (1989) servem como textos iniciais para a

Solução de Equações Diferenciais Ordinárias, base teórica utilizada nos esquemas de

integração numérica.

88

7.1 - ALGORITMOS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

A dedução do tensor elastoplástico epC%

é baseada nas equações de evolução da teoria da

plasticidade clássica (Capítulo 3). Essas equações definem um sistema algébrico de equações

diferenciais, sujeito a restrições algébricas dadas pelas condições de Kuhn-Tucker. A

integração, no tempo, desse sistema é considerada o objetivo central do ramo da Plasticidade

denominado de Plasticidade Computacional (Simo, 1994). O problema aqui estudado é a

determinação dos incrementos de tensão, dados os incrementos de deformação, de acordo

com a relação constitutiva elastoplástica, reproduzida abaixo

epd C : dσ = ε% % %

(7.1)

Como o estado de tensão final é incógnito, a priori, a situação de carregamento ou

descarregamento não pode ser determinada. Para solucionar este problema, utiliza-se uma

tensão tentativa. Neste trabalho, utiliza-se uma tensão tentativa elástica ( trσ%

) calculada pela

soma do tensor de tensões com o incremento elástico de tensões ( tr∆σ%

) (Eq. 7.2). O

incremento elástico de tensões é dado pela aplicação do tensor elástico ao incremento total de

deformação (Eq. 7.3). O sobrescrito tr indica tentativa (trial).

tr trσ = σ + ∆σ% % %

(7.2)

tr eC :∆σ = ∆ε% % %

(7.3)

Alguns modelos elastoplásticos, como o Cam-Clay, utilizam relação não-linear entre

tensão e deformação, para estados de tensão no domínio elástico. Para estes casos, a tensão

tentativa elástica deveria ser calculada iterativamente. Para evitar processamento adicional, a

tensão tentativa elástica em todos os modelos estudados será determinada linearmente.

De acordo com o estado de tensões e o estado dado pela tentativa elástica, obtêm-se as

seguintes situações de carregamento ou descarregamento: a) Resposta elástica (Figura 7.1); b)

Resposta elástica mais Carregamento elastoplástico (Figura 7.2 e Figura 7.5); c)

Carregamento elastoplástico (Figura 7.3); d) Descarregamento elástico (Figura 7.4); e)

Carregamento neutro (Figura 7.6). A análise dessas situações é feita pelos valores da função

de plastificação avaliados nos estados de tensão inicial e tentativa elástica. Ainda, é necessário

o cálculo do produto escalar (contração dupla) entre o vetor (tensor) gradiente da superfície de

plastificação e o vetor (tensor) incremento de tensão tentativa.

89

Figura 7.1 - Resposta Elástica – RE.

Figura 7.2 - Resposta Elástica + Carregamento Elastoplástico – RE+CEP.

Figura 7.3 - Carregamento Elastoplástico – CEP.

90

Figura 7.4 - Descarregamento Elástico – DE.

Figura 7.5 - Resposta Elástica + Carregamento Elastoplástico – RE+CEP.

Figura 7.6 - Carregamento Neutro – CN.

91

A Plasticidade Computacional busca elaborar algoritmos precisos e eficientes para a

integração da relação constitutiva elastoplástica. Com este objetivo, as seguintes exigências

devem ser satisfeitas (Ortiz & Popov, 1985): a) Precisão de primeira ordem; b) Estabilidade

numérica; c) Consistência com relação à plasticidade incremental. Outra característica não

exigida, mas desejável é precisão de segunda ordem. As exigências a e b são necessárias para

que a convergência seja atingida na medida em que o tamanho dos incrementos diminui. A

exigência c é análoga à condição de consistência requisitada pela teoria clássica da

plasticidade, na qual o estado de tensões sempre deve estar sobre ou dentro da superfície de

plastificação. Os algoritmos classificados como Midpoint-Rule atendem essas exigências.

Na classe de algoritmos denominados por Midpoint-Rule, as derivadas necessárias

( r( , z)σ% %

e h( , z)σ%

) são avaliadas no momento Tα do intervalo de tempo T, em que 0 1≤ α ≤ .

A Lei de Hooke generalizada (com a composição aditiva) e as leis de fluxo e endurecimento

tornam-se:

( )(n 1) e (n 1) p(n 1)C :+ + +σ = ε − ε% % % %

(7.4)

p(n 1) p(n) (n )r+ +αε = ε + γ%% %

(7.5)

(n 1) (n) (n )z z Hh+ +α= − γ (7.6)

Em que:

( )(n ) (n) (n 1) (n) (n 1)r r (1 ) , (1 )z z+α + += − α σ + ασ − α + α% % % %

(7.7)

( )(n ) (n) (n 1) (n) (n 1)h h (1 ) , (1 )z z+α + += − α σ + ασ − α + α% %

(7.8)

Para 0α = , a regra Midpoint-Rule torna-se explícita sendo conhecida por Forward-Euler.

Para 1α = , obtém-se o esquema implícito Backward-Euler e para 1 2α = tem-se o esquema

conhecido por Crank-Nicholson (Figura 7.7).

Figura 7.7 - Midpoint-Rule.

92

Como o método dos elementos finitos utiliza um procedimento incremental, no que se

refere à aplicação de parcelas do carregamento total, os incrementos têm módulos

indeterminados a priori podendo abranger uma vasta gama de valores (Figura 7.8). Com isso,

procedimentos de subdivisão dos incrementos devem ser tomados. Esta é uma das etapas mais

importantes dos algoritmos de integração, pois permite o aumento da precisão dos resultados.

Figura 7.8 - FEM incremental.

7.2 - ESQUEMA DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA IMPLÍCITA

Esquemas de integração numérica implícita determinam as tensões iterativamente, pois a

avaliação das derivadas é feita no final do intervalo de tempo. Para iniciar as iterações,

calcula-se uma tensão tentativa que, geralmente, não corresponde à solução final. Os

esquemas de integração implícita são considerados algoritmos de retorno, pois, após dado o

incremento de tensão tentativa, realizam o retorno deste estado para um estado de tensão

próximo à solução verdadeira, através de uma correção plástica. Trata-se, portanto, de

esquemas de integração numérica do tipo previsor-corretor (Gear, 1971).

O retorno é feito na direção do vetor gradiente avaliado no final do intervalo de tempo

(Figura 7.9). Para o caso de modelos elastoplásticos, em que o critério de ruptura é do tipo

Von Mises (Perfectly plastic J2D–flow theory), o retorno é radial, quando visto no plano

93

octaédrico, e o algoritmo é comumente conhecido por Radial Return Method (Crisfield,

1991).

No final da integração, automaticamente a condição de consistência é satisfeita, uma vez que

a cada iteração o tamanho da superfície de plastificação também é corrigido.

Figura 7.9 - Algoritmo de integração implícita do tipo Previsor-Corretor.

O algoritmo de integração implícita (Backward-Euler), apresentado neste trabalho, foi

baseado fundamentalmente no trabalho de Jeremić (1994). Aproveitou-se também, as idéias

contidas nos trabalhos de Farias (1993) e Simo (1994). Com relação ao algoritmo de Jeremić,

foram feitas modificações para aumentar a velocidade. Dentre elas, destaca-se a utilização de

um resíduo de deformações ( )e trR D : r = σ − σ − γ % % %% %, utilizado na verificação da

convergência, ao contrário do resíduo de tensões do trabalho original ( )tr eR C r= σ − σ + γ% %% % %

.

Conseguiu-se o ganho de velocidade de 50%. Isto ocorreu devido à quantidade de operações,

principalmente as com tensores de quarta ordem, ter sido menor.

Na execução do esquema de integração implícito, o resíduo é minimizado, corrigindo-

se as tensões e o tamanho da superfície de plastificação. Para isto, calcula-se os valores de

∆σ%

e z∆ em função do valor de ∆γ , determinado a partir da condição de consistência.

A dedução das equações para o algoritmo de integração implícita é baseada no sistema

de equações evolutivas da teoria clássica da plasticidade, no qual as seguintes hipóteses são

tomadas:

a) Decomposição aditiva das deformações plásticas;

b) Lei de Hooke generalizada;

c) Lei de fluxo;

94

d) Lei de endurecimento.

O algoritmo procura determinar os incrementos de tensão dσ%

e do tamanho da superfície de

plastificação dz que “retornam”, sucessivamente, o ponto dado pela tentativa elástica para a

superfície de plastificação.

Substituindo as deformações, de acordo com a decomposição aditiva, na Lei de Hooke

generalizada, obtém-se a seguinte equação do tipo Previsor-Corretor

tr en 1 n 1 n 1C : r+ + +σ = σ − γ

%% % % (7.9)

em que o índice n representa o novo estado de tensões a ser determinado pela integração.

Multiplicando-se ambos os membros da equação acima por eD%

, define-se o resíduo

(k) e tr (k) (k)n 1 n 1 n 1 n 1R D : r+ + + + = σ − σ − γ % % %% %

(7.10)

em que k representa a iteração na qual procura-se minimizar o resíduo, omitindo os índices

e trR D : r = σ − σ − γ % % %% % (7.11)

Para a determinação do novo resíduo, realiza-se uma linearização por série de Taylor,

de acordo com

(k 1) (k) R R RR R : d dz dz

+ ∂ ∂ ∂= + σ + + γ

∂σ ∂ ∂γ% % %% % %%

(7.12)

em que as derivadas são avaliadas em n 1+ e, lembrando que r r( , z)= σ% % %

, determinadas por

eR rD∂ ∂= − − γ

∂σ ∂σ% %%% %

(7.13)

R rz z

∂ ∂= −γ

∂ ∂% % (7.14)

R r∂= −

∂γ% %

(7.15)

A cada iteração, objetiva-se que o resíduo seja nulo, então, substituindo as derivadas acima e

igualando o resíduo a zero, obtém-se

(k) r rR D : d dz rd 0z

∂ ∂− + γ σ − γ − γ = ∂σ ∂

% %% % %%%

(7.16)

O incremento do tamanho da superfície de plastificação é dado pelo módulo plástico e a lei de

endurecimento (Apêndice A), de acordo com

dz d Hh= − γ (7.17)

Substituindo a equação acima na Equação (7.16), chega-se a

95

(k) r rR D : d r Hh d 0z

∂ ∂ − + γ σ − − γ γ = ∂σ ∂ % %% % %%%

(7.18)

Na equação acima, isola-se dσ%

em função de dγ , assim

(k)A : d R adσ = − γ% %% %

(7.19)

em que

rA D ∂= + γ

∂σ%% %%

(7.20)

e

ra r Hhz

∂= − γ

∂%%%

(7.21)

Então

1 (k) 1d A : R A : ad− −σ = − γ% % %% %

(7.22)

dγ é obtido, de forma que o novo valor da função de plastificação seja nulo (condição de

consistência). Esse novo valor é determinado por expansão de Taylor, de acordo com

(k 1) (k )n 1 n 1

F FF F : d dzz

++ +

∂ ∂= + σ +

∂σ ∂%%

(7.23)

que, igualando a zero e substituindo os valores de dσ%

e dz , será

( ) ( )(k) 1 (k) 1n 1

F FF : A : R A : ad d Hh 0z

− −+

∂ ∂+ − γ + − γ =

∂σ ∂% % % %%

(7.24)

Dessa equação obtém-se a seguinte expressão para dγ

(k) 1 (k)n 1

1

FF : A : Rd F F: A : a Hh

z

−+

−

∂+∂σ

γ =∂ ∂

+∂σ ∂

% %%

% %%

(7.25)

Resume-se as equações deduzidas anteriormente na Tabela 7.1, na ordem de

utilização. Nesta tabela os incrementos dσ%

, dz e dγ foram substituídos por ∆σ%

, z∆ e ∆γ ,

respectivamente.

Para iniciar as iterações, adota-se os seguintes valores: tensor de tensões igual ao

tensor de tensões tentativa ( (k 1) tr=σ = σ% %

), tamanho da superfície de plastificação igual ao

tamanho inicial ( (k 1)nz z= =

%) e multiplicador de Lagrange igual a zero ( (k 1) 0=γ = ). Deve-se

ressaltar que a tensão tentativa permanece constante durante as iterações.

96

Tabela 7.1 - Equações para o algoritmo de integração implícita.

Equação Número

(k) e tr (k) (k)n 1 n 1 n 1 n 1R D : r+ + + + = σ − σ − γ % % %% %

(7.10)

e rA D ∂= + γ

∂σ%% %%

(7.20)

ra r Hhz

∂= − γ

∂%%%

(7.21)

(k) 1 (k)n 1

1

FF : A : R

F F: A : a Hhz

−+

−

∂+∂σ

∆γ =∂ ∂

+∂σ ∂

% %%

% %%

(7.25)

1 (k) 1A : R A : a− −∆σ = − ∆γ% % %% %

(7.22)

z Hh∆ = −∆γ (7.17)

O Algoritmo de integração implícita (Backward-Euler) terá os seguintes passos:

1. Calcular tr en C :σ = σ + ∆ε

% % % %

2. Sair caso: resposta elástica (RE) ou descarregamento elástico (DE)

3. Fazer:

a. k 1←

b. (k) trσ ← σ% %

c. (k)nz z←

%

d. (k ) 0γ ←

4. Calcular as derivadas

5. Calcular ∆γ , ∆σ%

e z∆ de acordo com as equações da Tabela 7.1

6. Determinar (k 1)+γ , (k 1)+σ%

, e (k 1)z + :

a. (k 1) (k)+γ = γ + ∆γ

b. (k 1) (k)+σ = σ + ∆σ% % %

c. (k 1) (k)z z z+ = + ∆

7. Calcular o resíduo: (k 1) e tr (k 1) (k 1) (k 1)R D : r+ + + + = σ − σ − γ % % %% %, caso não seja nulo, com

certa tolerância, repetir as iterações a partir do item 4.

97

Para aumentar a exatidão da integração pode-se dividir os incrementos de deformação em

subincrementos.

7.2.1 - APLICAÇÃO AO MODELO CAM-CLAY

O algoritmo de integração implícita desenvolvido é verificado através da aplicação ao modelo

elastoplástico Cam-Clay. O modelo utilizado é o modificado, pois este possui uma superfície

de plastificação sem descontinuidades, com relação as primeiras derivadas, ao contrário da

versão original. Com isso, evita-se problemas relacionados à determinação do vetor gradiente,

no início do carregamento em casos de estado de tensão inicial isotrópico.

A aplicação do esquema de integração implícita ao modelo Cam-Clay modificado é

direta, pois este modelo é do tipo convencional. Para isto, devem-se determinar as derivadas

de segunda ordem da função de plastificação com relação ao tensor de tensões e ao tamanho

da superfície de plastificação. Essas derivadas estão deduzidas no Apêndice D.

A verificação da exatidão dos resultados da integração implícita é realizada através de

simulações do comportamento mecânico em um ponto específico submetido a um estado de

tensões e acréscimo de deformações adotados. Realizaram-se seis simulações, nas quais

adotou-se os parâmetros da Tabela 7.2. Para se economizar espaço nos gráficos (forma e

tamanho da superfície de plastificação), esses parâmetros foram escolhidos de forma que seus

valores diferem um pouco dos determinados para o solo real apresentado no Capítulo 6.

Tabela 7.2 - Parâmetros do solo para as simulações de integração implícita com Cam-Clay.

Parâmetro κ λ M ν 0e

Valor 0.00824 0.0778 1.0 0.25 0.889

Os estados de tensão e incrementos de deformação utilizados nas simulações estão

resumidos na Tabela 7.3. Nessa tabela apresenta-se também o número de incrementos

(divisões do incremento de deformação) utilizados para os métodos de integração Forward-

Euler ( feIncs ) e Backward-Euler ( beIncs ).

98

Tabela 7.3 - Dados utilizados nas simulações de integração com o modelo Cam-Clay.

Simulação 1σ 2σ 3σ cp 1∆ε 2∆ε 3∆ε Incs FE Incs BE

Sim-01-1 50 50 50 50 0.01 0 0 100 1

Sim-01-2 50 50 50 50 0.01 0 0 100 100

Sim-02-1 50 50 50 50 0.01 -0.005 -0.005 100 1

Sim-02-2 50 50 50 50 0.01 -0.005 -0.005 100 100

Sim-03-1 10 10 10 50 0.08 -0.055 -0.055 100 1

Sim-03-2 10 10 10 50 0.08 -0.055 -0.055 100 100

As Figuras 7.10 até 7.21 apresentam os resultados da integração numérica implícita

aplicada ao modelo Cam-Clay modificado através dos gráficos com as superfícies de

plastificação e dos gráficos q versus 1ε .

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 700

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Figura 7.10 - Sim-01-1; Superfícies de plastificação e trajetórias; plano q x p’.

99

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

5

10

15

20

Forward-EulerBackward-Euler

Figura 7.11 - Sim-01-1; Gráfico q versus 1ε .

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 700

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


100

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

5

10

15

20



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 700

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


101

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

5

10

15

20

25

30



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 700

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


102

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

5

10

15

20

25

30



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 700

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


103

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

5

10

15

20



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 700

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


104

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

5

10

15

20



Verifica-se que, com o aumento do número de subincrementos, o esquema Backward-

Euler converge para valores próximos aos determinados pelo esquema Forward-Euler,

considerados corretos.

0 10 20 30 40 50 60

10

10

20

30

40

50

Superfície de plastificaçãoPonto APonto B

p'

q

Figura 7.22 - Pontos no espaço q versus p para o traçado das linhas de igual erro.

105

Para se analisar a integração numérica, de uma forma mais geral, utiliza-se gráficos de

isolinhas, cujos valores são os erros devidos às integrações implícitas. Os erros são calculados

adotando como soluções “exatas” as determinadas com o esquema de integração explícita

Runge-Kutta-Dormand-Prince - RKDP, apresentado posteriormente neste capítulo. Para isto,

utiliza-se uma equação de média quadrada relativa (root-mean-square), na qual exato rkdpσ = σ%% %

,

conforme abaixo

( ) ( )be exato be exato

exato exato

:Erro 100%

:

σ − σ σ − σ= ⋅

σ σ% % % %

% % (7.26)

Estudam-se duas regiões do espaço q versus p, nas quais os estados de tensão iniciais são

apresentados na Figura 7.22.

Para cada região, representada pelos pontos A e B, define-se uma malha de valores q e

p que deverão ser atingidos pela integração. As simulações utilizam os mesmos parâmetros da

Tabela 7.2 e estão resumidas na Tabela 7.4.

Tabela 7.4 - Dados das simulações para o traçado das linhas de igual erro.

Simulação cp Ponto Incs BE

Sim-04-1 50 A 1

Sim-04-2 50 A 50

Sim-05-1 50 B 1

Sim-05-2 50 B 50

Apresenta-se a seguir, nas Figuras 7.23 a 7.30, os pontos calculados pelo esquema de

integração Runge-Kutta-Dormand-Prince e os calculados pelo esquema Backward-Euler.

Mostram-se também os gráficos de linhas de igual erro para cada simulação.

106

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

Superfície de plastificação inicialPonto inicialResultados - Backward-EulerResultados - Runge-Kutta-Dormand-PrinceLinha de ruptura

q x p'

p'

q

Figura 7.23 - Simulação Sim-04-1; Pontos para o traçado das linhas de igual erro.

Figura 7.24 - Simulação Sim-04-1; Linhas de igual erro.

107

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60


q x p'

p'

q



p'

q

108

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60


q x p'

p'

q



p'

q

109

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60


q x p'

p'

q



Verifica-se que:

a) O erro aumenta, à medida que o incremento de deformações aumenta;

b) O erro diminui com o aumento do número de subincrementos;

c) O erro aumenta mais na direção do invariante q do que na direção de p .

p'

q

110

7.3 - ESQUEMAS EXPLÍCITOS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

A estrutura dos esquemas de integração explícita apresentados aqui é fundamentada nos

trabalhos de Sloan (1987 e 1992) e Sloan et al. (2001). Modificou-se apenas a medida do

tamanho da superfície de plastificação com a utilização da variável interna de endurecimento

tipo tensão. Com isso facilitou-se a verificação da evolução do tamanho da superfície de

plastificação.

7.3.1 - FORWARD-EULER

Figura 7.31 - Forward-Euler.

O esquema de integração Forward-Euler é o esquema mais simples e largamente utilizado

para atualizar as tensões em códigos de Elementos-Finitos (Sloan, 1992). As tensões no final

do intervalo de tempo são calculadas através das equações dadas pela relação constitutiva

elastoplástica (Eq. 7.27) e o tamanho da superfície de plastificação é atualizado pela lei de

endurecimento (Eq. 7.28) (Sloan, 1987). As Equações (7.27) e (7.28) podem se obtidas

fazendo 0α = nas Equações (7.4) e (7.6), respectivamente.

(n 1) (n) ep(n)C :+σ = σ + ∆ε% % % %

(7.27)

(n 1) (n) (n)z z Hh+ = − γ (7.28)

A precisão deste procedimento pode ser aumentada dividindo-se o incremento de

deformações em subincrementos (Figura 7.31). Para N subincrementos de tamanhos iguais,

calcula-se seqüencialmente os valores kσ%

e kz até se obter (n 1)k N

+=σ = σ

% % e (n 1)

k Nz z+== , em

que k 1,2 N= L . Cada subincremento de deformação será igual a k N∆ε = ∆ε% %

.

111

7.3.2 - MODIFIED-EULER

O algoritmo Modified-Euler é um método de segunda ordem que requer duas avaliações do

tensor elastoplástico epC%

para a determinação das tensões no final do intervalo de tempo. A

atualização do tamanho da superfície de plastificação é feita utilizando a lei de endurecimento

calculada duas vezes (Figura 7.32).

Figura 7.32 - Modified-Euler.

A primeira etapa é determinar o estado de tensões e tamanho da superfície através da

aplicação de um passo do tipo Forward-Euler. Posteriormente, calculam-se as tensões num

outro estado definido pela soma do primeiro com aquele calculado através da integração

Forward-Euler. Duas estimativas da solução são tomadas, uma de primeira ordem e outra de

segunda ordem, respectivamente através de

k 1 k 1+σ = σ + ∆σ% % %

(7.29)

k 1 k 1z z z+ = + ∆ (7.30)

e

( )k 1 k 1 21ˆ2+σ = σ + ∆σ + ∆σ

% % % % (7.31)

( )k 1 k 1 21z z z z2+ = + ∆ + ∆ (7.32)

em que

ep

i i i

i i i

C ( , z ) :i 1, 2

z Hh( , z )∆σ = σ ∆ε

=∆ = −∆γ σ % % % %

% (7.33)

112

e

1 kσ = σ% %

(7.34)

2 k 1σ = σ + ∆σ% % %

(7.35)

1 kz z= (7.36)

2 k 1z z z= + ∆ (7.37)

Para um incremento de deformações ∆ε%

, o esquema de integração Forward-Euler tem

um erro local de truncamento de ordem 2O( T )∆ enquanto que o esquema Modified-Euler tem

erro de ordem 3O( T )∆ (Sloan, 1987). Então, subtraindo as Equações (7.31) e (7.29) obtém-se

uma estimativa do erro local de acordo com

( )k 1 1 21E2+ ≈ −∆σ + ∆σ

% % % (7.38)

Este erro será utilizado para a determinação dos subincrementos de deformação nos

algoritmos que utilizam passos variáveis.

7.3.3 - RUNGE-KUTTA-ENGLAND

Figura 7.33 - Runge-Kutta-England e Dormand-Prince.

O esquema de integração explícita Runge-Kutta-England calcula o tensor elastoplástico epC%

seis vezes para determinar o próximo estado de tensões (Figura 7.33). Da mesma forma que o

esquema Modified-Euler, a lei de endurecimento é utilizada para a determinação do novo

tamanho da superfície de plastificação. Duas estimativas da solução são tomadas, uma de

quarta ordem e outra de quinta ordem, respectivamente através de

113

( )k 1 k 1 3 41 46+σ = σ + ∆σ + ∆σ + ∆σ

% % % % % (7.39)

( )k 1 k 1 3 41z z z 4 z z6+ = + ∆ + ∆ + ∆ (7.40)

e

( )k 1 k 1 4 5 61ˆ 14 35 162 125

336+σ = σ + ∆σ + ∆σ + ∆σ + ∆σ% % % % % %

(7.41)

( )k 1 k 1 4 5 61z z 14 z 35 z 162 z 125 z

336+ = + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ (7.42)

em que

ep

i i i

i i i

C ( , z ) :i 1,2, ,6

z Hh( , z )∆σ = σ ∆ε

=∆ = −∆γ σ

K% % % %%

(7.43)

e

1 kσ = σ% %

(7.44)

2 k 112

σ = σ + ∆σ% % %

(7.45)

( )3 k 1 214

σ = σ + ∆σ + ∆σ% % % %

(7.46)

4 k 2 32σ = σ − ∆σ + ∆σ% % % %

(7.47)

( )5 k 1 2 41 7 1027

σ = σ + ∆σ + ∆σ + ∆σ% % % % %

(7.48)

( )6 k 1 2 3 4 51 28 125 546 54 378

625σ = σ + ∆σ − ∆σ + ∆σ + ∆σ − ∆σ% % % % % % %

(7.49)

1 kz z= (7.50)

2 k 11z z z2

= + ∆ (7.51)

( )3 k 1 21z z z z4

= + ∆ + ∆ (7.52)

4 k 2 3z z z 2 z= − ∆ + ∆ (7.53)

( )5 k 1 2 41z z 7 z 10 z z27

= + ∆ + ∆ + ∆ (7.54)

( )6 k 1 2 3 4 51z z 28 z 125 z 546 z 54 z 378 z

625= + ∆ − ∆ + ∆ + ∆ − ∆ (7.55)

Subtraindo as Equações (7.41) e (7.39) obtém-se uma estimativa do erro local de

truncamento de acordo com

114

( )k 1 1 3 4 5 61E 42 224 21 162 125

336+ ≈ − ∆σ − ∆σ − ∆σ + ∆σ + ∆σ% % % % % %

(7.56)

7.3.4 - RUNGE-KUTTA-DORMAND-PRINCE

Da mesma forma que o esquema de integração explícita Runge-Kutta-England, o esquema

Runge-Kutta-Dormand-Prince avalia o tensor elastoplástico epC%

seis vezes. A diferença está

nos coeficientes que foram determinados para que a estimativa e controle do erro local de

truncamento seja de forma mais exata possível (Sloan, 1992). As estimativas de quarta e

quinta ordem são, respectivamente,

k 1 k 1 3 4 5 631 190 145 351 1

540 297 108 220 20+σ = σ + ∆σ + ∆σ − ∆σ + ∆σ + ∆σ% % % % % % %

(7.57)

k 1 k 1 3 4 5 631 190 145 351 1z z z z z z z

540 297 108 220 20+ = + ∆ + ∆ − ∆ + ∆ + ∆ (7.58)

e

k 1 k 1 3 4 5 619 1000 125 81 5ˆ216 2079 216 88 56+σ = σ + ∆σ + ∆σ − ∆σ + ∆σ + ∆σ

% % % % % % % (7.59)

k 1 k 1 3 4 5 619 1000 125 81 5z z z z z z z216 2079 216 88 56+ = + ∆ + ∆ − ∆ + ∆ + ∆ (7.60)

em que

ep

i i i

i i i

C ( , z ) :i 1,2, ,6

z Hh( , z )∆σ = σ ∆ε

=∆ = −∆γ σ

K% % % %%

(7.61)

e

1 kσ = σ% %

(7.62)

2 k 115

σ = σ + ∆σ% % %

(7.63)

3 k 1 23 940 40

σ = σ + ∆σ + ∆σ% % % %

(7.64)

4 k 1 2 33 9 6

10 10 5σ = σ + ∆σ − ∆σ + ∆σ% % % % %

(7.65)

5 k 1 2 3 4226 25 880 55729 27 729 729

σ = σ + ∆σ − ∆σ + ∆σ + ∆σ% % % % % %

(7.66)

6 k 1 2 3 4 5181 5 266 91 189270 2 297 27 55

σ = σ − ∆σ + ∆σ − ∆σ − ∆σ + ∆σ% % % % % % %

(7.67)

115

1 kz z= (7.68)

2 k 11z z z5

= + ∆ (7.69)

3 k 1 23 9z z z z40 40

= + ∆ + ∆ (7.70)

4 k 1 2 33 9 6z z z z z

10 10 5= + ∆ − ∆ + ∆ (7.71)

5 k 1 2 3 4226 25 880 55z z z z z z729 27 729 729

= + ∆ − ∆ + ∆ + ∆ (7.72)

6 k 1 2 3 4 5181 5 266 91 189z z z z z z z270 2 297 27 55

= − ∆ + ∆ − ∆ − ∆ + ∆ (7.73)

O erro local de truncamento é obtido subtraindo-se as Equações (7.59) e (7.57) obtendo-se

k 1 1 3 4 5 611 10 55 27 11E360 63 72 40 280+ ≈ ∆σ − ∆σ + ∆σ − ∆σ + ∆σ

% % % % % % (7.74)

7.3.5 - ALGORITMOS DE SUBINCREMENTOS VARIÁVEIS

Se os incrementos de deformação são divididos em subincrementos consegue-se obter uma

solução mais precisa, conforme observado por Nayak e Zienkiewicz (1972, apud Sloan,

1987). A determinação dos subincrementos é feita através da avaliação do erro local de

truncamento. A vantagem de se utilizar uma medida de erro para a escolha dos

subincrementos é que estes poderão ser de tamanhos variados de forma a manter o nível de

precisão desejado mas efetuando o número mínimo de operações possíveis.

Embora o erro global na solução seja difícil de ser monitorado diretamente, ele pode

ser controlado assegurando que o erro relativo para cada subincremento esteja limitado a uma

certa tolerância (Sloan, 1987). Define-se o erro relativo para cada subincremento como

k 1k 1

k 1

|| E ||Err|| ||

++

+

=σ%%

(7.75)

A base teórica deste tipo de erro pode ser encontrada em (Gear, 1971). Objetiva-se controlar o

erro na solução global através do controle do erro local.

Com o intuído de facilitar o controle da divisão dos subincrementos, utiliza-se um

escalar T que indica uma posição no “tempo adimensional”. A Figura 7.34 ilustra a

equivalência entre T e os incrementos de tensão ou deformação.

116

Figura 7.34 - Valor do escalar T.

Para iniciar o procedimento de integração assume-se primeiramente um valor de kT∆

e calcula-se os valores de k 1+σ%

, k 1z + , k 1ˆ +σ%

, k 1z + , k 1E +% e k 1Err + . Se k 1Err + for menor ou igual a

certa tolerância (TOL), então as tensões e o tamanho da superfície de plastificação podem ser

atualizados utilizando as equações de k 1ˆ +σ%

e k 1z + . Se a tolerância não for satisfeita deve-se

diminuir o tamanho do subincremento e repetir os cálculos. A determinação do próximo

subincremento k 1T +∆ é deduzida por Sloan et al. (2001), fazendo

k 1 kT m T+∆ = ∆ (7.76)

em que m é um número positivo. Para o esquema de integração Modified-Euler, como o erro

local é 2O( T )∆ , pode-se estimar o erro no subincremento k 1T +∆ por

2k 2 k 1Err m Err+ +≈ (7.77)

Deve-se restringir o valor de k 2Err + de modo que a tolerância do erro local no próximo

subincremento seja atingida, assim

k 2Err TOL+ ≤ (7.78)

Substituindo a equação acima na Equação (7.77) e isolando o valor de m obtém-se

12

k 1

TOLmErr +

≤

(7.79)

Devido a determinação de m ter sido baseado na extrapolação do erro local, escolhe-se seu

valor de forma conservativa, ou seja, que causa mais subincrementos. Sloan et al. (2001)

sugerem

12

k 1

TOLm 0.9Err +

=

(7.80)

Além disso, os valores de m devem ser limitados de acordo com

0.01 m 2≤ ≤ (7.81)

117

O limite inferior procura manter a eficiência do código enquanto que o superior assegura que

o subincremento não seja tão grande.

Como o erro local de truncamento nas Equações (7.39) e (7.57) dos esquemas de

integração Runge-Kutta-England e Runge-Kutta-Dormand-Prince, respectivamente, é 5O( T )∆ , então a equação para o valor de m para estes esquemas será

15

k 1

TOLm 0.9Err +

=

(7.82)

valendo a mesma restrição para o valor de m dada pela Equação (7.81).

O Algoritmo de integração com subincrementos variáveis terá os seguintes passos:

1. Sair caso: resposta elástica (RE) ou descarregamento elástico (DE);

2. Caso: resposta elástica + carregamento elastoplástico (RE+CEP), determinar a

intersecção com a superfície de plastificação (Item 7.3.6)

3. Adotar T 0= (posição do subincremento) e T 1∆ = (tamanho do subincremento)

4. Calcular 1 kσ ← σ% %

e 1 kz z←

5. Calcular i∆σ%

, iz∆ , iσ%

e iz para i 1, 2= (Modified-Euler) ou i 1, 2, 6= K (Runge-

Kutta England ou Dormand-Prince)

6. Calcular k TErr +∆ e m

7. Se k TErr TOL+∆ ≤ , então (subincremento aceito):

a. Atualizar o “tempo”: T T T← + ∆

b. Atualizar as tensões com a equação de maior ordem: T k Tˆ +∆σ ← σ% %

c. Atualizar o tamanho da superfície com a equação de maior ordem: T k Tˆz z +∆←

d. Se m 2> , então (não permitir tamanhos de subincrementos tão grandes):

i. m 2←

8. Senão, se m 0.01< , então (não permitir tamanhos de subincrementos tão pequenos):

a. m 0.01←

9. Próximo tamanho de subincremento: T m T∆ ← ∆

10. Se T 1 T∆ > − , então (o próximo subincremento irá ultrapassar T 1= ):

a. O próximo tamanho de subincremento será o resto que falta para acabar a

quantia do intervalo de tempo total: T 1 T∆ ← −

11. Se T 1≤ repetir os passos a partir do item 4.

118

7.3.6 - INTERSECÇÃO À SUPERFÍCIE DE PLASTIFICAÇÃO

Para as situações em que a superfície de plastificação será atravessada (RE+CEP), deve-se

determinar o ponto de intersecção representado pela tensão intσ%

. O processo de determinação

da intersecção é iterativo no qual procura-se determinar o coeficiente α que multiplicado pelo

incremento elástico de tensão tr∆σ%

fornece a tensão de intersecção. Para evitar complicações

adicionais considera-se regime elástico linear e utiliza-se o método proposto por Crisfield

(1991) e Sloan (1987). O ideal seria considerar comportamento elástico não linear de forma

consistente com os modelos Cam-Clay e Tij-Clay. Borja (1991) e Sloan et al. (2001)

apresentam métodos para a utilização de elasticidade não linear em algoritmos de integração

numérica. A Figura 7.35 esquematiza a determinação de α .

Figura 7.35 - Determinação da tensão de intersecção

O objetivo é determinar α de forma que intF( , z) 0σ =%

em que

int trσ = σ + α∆σ% % %

(7.83)

Trata-se de um sistema de equações não lineares que será resolvido por linearização de Taylor

do tipo Newton-Raphson. A Figura 7.36 mostra de forma esquemática o método utilizado.

119

Figura 7.36 - Método Newton-Raphson para a determinação da tensão de intersecção.

Uma primeira estimativa para α pode ser feita através de simples interpolação linear em F, de

acordo com

1tr

F( , z)F( , z) F( , z)

σα =

σ − σ%

% % (7.84)

Procede-se, então, iterativamente de acordo com

k 1 k k tr+σ = σ + α ∆σ% % %

(7.85)

Da Figura 7.36 vê-se que

1 2∆σ = σ − σ% % %

(7.86)

e

kk

k

F( , z)F

σ∆σ =

∂∂σ

%%

%

(7.87)

Substituindo os valores de 1σ%

e 2σ%

determinados pela Equação (7.85) e reproduzidos abaixo

1 1 trσ = σ + α ∆σ% % %

(7.88)

2 2 trσ = σ + α ∆σ% % %

(7.89)

obtém-se

12 1

tr

F( , z)F :

σα = α −

∂∆σ

∂σ

%

%%

(7.90)

120

O Algoritmo paa a determinação da tensão de intersecção terá os seguintes passos:

1. Calcular a tensão tentativa elástica: etr C :∆σ ← ∆ε

% % %

2. Estimar o valor de α por interpolação linear: 1tr

F( , z)F( , z) F( , z)

σα ←

σ − σ%

% %

3. Iniciar iterações com: k 1← e k 1 1 tr=σ ← σ + α ∆σ% % %

4. Calcular k

tr

F( , z)F :

σ∆α ← −

∂∆σ

∂σ

%

%%

5. Atualizar k 1 k+α ← α + ∆α e k 1 k 1 tr+ +σ ← σ + α ∆σ% % %

6. Calcular erro da forma: k 1 k

k

|| ||Err|| ||

+σ − σ←

σ% %

%

7. Se Err TOL> repetir os passos a partir do item 4

7.3.7 - APLICAÇÕES AOS MODELOS CAM-CLAY E TIJ-CLAY

Foram realizados dois testes de integração, um com o modelo Cam-Clay modificado e outro

com o Tij-Clay. A integração é realizada num ponto de integração, equivalente ao ensaio de

laboratório do tipo triaxial ou ao ponto de Gauss do Método dos Elementos Finitos. O estado

de tensões, o tamanho inicial da superfície de plastificação e o acréscimo de deformações

neste ponto, para cada modelo, são apresentados na Tabela 7.5. Os parâmetros do material

para os testes estão reunidos na Tabela 7.6.

Tabela 7.5 - Dados para os testes de integração com os modelos Cam-Clay e Tij-Clay.

Teste 1σ 2σ 3σ z 1∆ε 2∆ε 3∆ε

A 50 50 50 50 0.01 0 0

B 50 50 50 50 0.01 0 0

Tabela 7.6 - Parâmetros para os Testes A e B.

Parâmetro κ λ M ν ce α

Valor 0.00824 0.0778 1.0 0.25 0.889 0.78

121

Os resultados dos testes A e B são apresentados nas Tabelas 7.7 e 7.8,

respectivamente, nas quais as seguintes abreviações são utilizadas: Forward-Euler (FE),

Modified-Euler (ME), Runge-Kutta-England (RKE), Runge-Kutta-Dormand-Prince (RKDP) e

Backward-Euler (BE). Nessas tabelas, apresentam-se a tolerância (Tol) para os esquemas

explícitos de passos variáveis, o Erro (Erro), em porcentagem, cujo cálculo é feito de acordo

com a Equação (7.26), o número de subincrementos utilizados (Nº Incs) e o tempo de

processamento, em segundos, despendido na integração (Tempo gasto).

Tabela 7.7 - Resultados da aplicação dos esquemas de integração ao modelo Cam-Clay.

Teste A FE ME RKE RKDP BE

Tol - 1.0E-03 1.0E-03 1.0E-15 -

Erro (%) 0.5873 0.5929 0.8338 0 0.7123

Nº Incs 5 7 4 21 1

Tempo gasto (s) 0.04 0.1 0.18 0.851 0.07

Tabela 7.8 - Resultados da aplicação dos esquemas de integração ao modelo Tij-Clay.

Teste B FE ME RKE RKDP BE

Tol - 1.0E-03 1.0E-03 1.0E-15 -

Erro (%) 0.5873 0.5929 0.8338 0 -

Nº Incs 5 6 1 28 -

Tempo gasto (s) 0.201 0.39 0.18 5.388 -

As Figuras 7.37 e 7.38 mostram as superfícies de plastificação inicial e final dos

modelos Cam-Clay e Tij-Clay, respectivamente. Os pontos no gráfico q versus p, calculados

pelos esquemas de integração, também são mostrados.

122

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

10

20

30

40

50

60q x p'

p'

q

Figura 7.37 - Superfícies de plastificação no espaço q x p; Integração do modelo Cam-Clay.

0 10 20 30 40 50 60 700

10

20

30

40tS x tN

tN

tS

Figura 7.38 - Superfícies de plastificação no espaço tS x tN; Integração do modelo Tij-Clay.

123

Os resultados destes testes mostram que a integração do modelo Tij-Clay exige muito

mais tempo que a do Cam-Clay. Por exemplo, o tempo para a integração numérica pelo

método Forward-Euler do modelo Tij-Clay foi cinco vezes maior que o mesmo para o Cam-

Clay, com o mesmo número de incrementos.

7.4 - COMPARAÇÕES ENTRE OS ESQUEMAS DE INTEGRAÇÃO

A comparação, em temos de eficiência, dos esquemas de integração é feita pela análise dos

resultados de oito testes, cada um equivalente a um ponto de integração sobre diferentes

estados de tensão e acréscimos de deformação, dados pela Tabela 7.9. Os parâmetros do

material são os mesmos apresentados na Tabela 7.6.

Como o número de incrementos dos métodos FE e BE devem ser pré-estabelecidos,

esses foram adotados de forma que o erro fique próximo do mesmo para os outros métodos

(ME, RKE e RKDP).

Tabela 7.9 - Dados para os testes de integração 01 até 08.

Teste 1σ 2σ 3σ z 1∆ε 2∆ε 3∆ε Incsfe Tolme Tolrke Tolrkdp Incsbe

01 40 40 40 50 0.02 0 0 30 1.0E-05 1.0E-05 1.0E-15 1000

02 40 40 40 50 0.02 0 0 2000 1.0E-10 1.0E-10 1.0E-15 3000

03 40 40 40 50 0.02 0 0 - 1.0E-15 1.0E-15 1.0E-15 -

04 50 50 50 50 0.005 0 0 20 1.0E-05 1.0E-06 1.0E-18 60

05 53.33 33.33 33.33 50 0.001 0.001 0.001 50 1.0E-05 1.0E-05 1.0E-18 20

06 53.33 33.33 33.33 50 0.001 0.001 0.001 10000 1.0E-02 1.0E-02 1.0E-05 -

07 50 50 50 50 0.01 0 0 10000 1.0E-10 1.0E-10 1.0E-10 -

08 50 50 50 50 0.01 0.01 0.01 10000 1.0E-10 1.0E-10 1.0E-10 -

Nos testes 01 a 05, o objetivo é comparar os esquemas FE, ME, RKE e BE entre si,

para isso o esquema RKDP foi utilizado como “solução exata”. Nos testes 03, 06, 07 e 08 não

foi realizada a integração pelo método BE pois já se previu que o tempo necessário ao

processamento seria alto.

Os testes 06 a 08 são utilizados para comparar os esquemas explícitos ME, RKE e

RKDP entre si, para isso o esquema FE serviu de “solução exata”.

124

Cada teste foi executado três vezes permitindo a obtenção de uma média do tempo

gasto no processamento.

Os resultados dos testes 01 a 08 são apresentados nas Tabelas 7.10 a 7.17, nas quais as

seguintes abreviações são utilizadas: Forward-Euler (FE), Modified-Euler (ME), Runge-

Kutta-England (RKE), Runge-Kutta-Dormand-Prince (RKDP) e Backward-Euler (BE).

Nessas tabelas, apresentam-se a tolerância (Tol) para os esquemas explícitos de passos

variáveis, o Erro (Erro), em porcentagem, cujo cálculo é feito de acordo com a Equação (7.26)

e o número de subincrementos utilizados (Nº Incs) e o tempo de processamento, em segundos,

despendido na integração (Tempo gasto).

Tabela 7.10 - Resultados do Teste de integração 01.

Teste-01 FE ME RKE RKDP BE

Tol - 1.0E-05 1.0E-05 1.0E-15 -

Erro (%) 0.5873 0.5929 0.8338 0 0.7123

Nº Incs 30 13 9 20 1000

Tempo gasto

(s) 0.214 0.180 0.380 0.828 22.055

No Teste-01, em que a tolerância não é muito pequena (1.0E-05), o esquema ME foi

mais eficiente do que os esquemas FE, ME, RKE e BE. O esquema FE foi mais eficiente que

os RK (RKE e RKDP). Como será mostrado a seguir, o esquema BE será sempre o menos

eficiente, desde que a condição para determinar o número de incrementos seja o Erro. Quando

apenas um incremento é utilizado, o esquema BE determina estados de tensão próximos da

solução correta.



Tol - 1.0E-10 1.0E-10 1.0E-15 -

Erro (%) 0.0095368 0.0052761 0.0070438 0 0.2407

Nº Incs 2000 58 12 20 3000

Tempo gasto

(s) 13.699 0.798 0.510 0.818 45.195

125

No Teste-02, em que as tolerâncias são menores (1.0E-10), verifica-se que o esquema

RKE gasta menos tempo que o ME. Verifica-se também, que os esquemas FE e BE são

ineficientes para esta situação, pois o tempo de processamento foi muito elevado, quando

comparado com tempo gasto pelos outros esquemas.



Tol 1.0E-15 1.0E-15 1.0E-15 -

Erro (%) - 0.00025832 0.00046379 0 -

Nº Incs - 406 20 20 -

Tempo gasto

(s) - 5.395 0.811 0.825 -

Com os resultados do Teste-03, em que a tolerância é pequena (1.0E-15), pode-se

observar que os esquemas RKE e RKDP requisitam aproximadamente o mesmo tempo de

processamento enquanto que o ME torna-se bastante ineficiente. Neste teste, os esquema FE e

BE não foi utilizado pois o tempo de integração com esses métodos seria muito elevado.



Tol - 1.0E-05 1.0E-06 1.0E-18 -

Erro (%) 0.814 0.8492 0.3639 0 0.8753

Nº Incs 20 9 4 24 60

Tempo gasto

(s) 0.140 0.130 0.167 0.998 1.305

No teste de integração 04, em que o incremento de deformação total é relativamente

pequeno quando comparado com os incrementos dos outros testes, a ordem dos esquemas, em

termos de eficiência, foi: ME, FE e RKE. O esquema BE gastou muito tempo, com relação

aos outros esquemas.

126



Tol - 1.0E-05 1.0E-05 1.0E-18 -

Erro (%) 0.329 0.575 0.1504 0 0.49

Nº Incs 50 8 1 15 20

Tempo gasto

(s) 0.344 0.103 0.043 0.628 0.447

O Teste-05 foi realizado para uma trajetória “isotrópica de deformação”. Neste o

esquema RKE foi muito mais rápido que os outros, já que exigiu apenas um subincremento.

Contudo, o esquema ME foi mais eficiente que o FE e este, por sua vez, mais rápido que o

BE.



Tol - 1.0E-02 1.0E-02 1.0E-05 -

Erro (%) 0 4.0491 0.149 0.0434 -

Nº Incs 10000 1 1 1 -

Tempo gasto

(s) 73.636 0.020 0.057 0.047 -

Como o objetivo do Teste-06 é a comparação entre os esquemas explícitos de passos

variáveis, o número de subincremento do método FE foi elevado (10000) para que esse

pudesse ser utilizado como “solução exata”. O teste é caracterizado pelas tolerâncias altas

(1.0E-02), por isso o esquema ME foi mais eficiente que os outros, concordando com os

resultados de (Sloan et al., 2001).

127



Tol - 1.0E-10 1.0E-10 1.0E-10 -

Erro (%) 0 0.0054635 0.0395 0.0124 -

Nº Incs 10000 1 1 1 -

Tempo gasto

(s) >80 0.781 0.427 0.331 -

A comparação entre os esquemas ME, RKE e RKDP realizada no teste de integração

07 é feita para tolerâncias relativamente baixas (1.0E-10). Este teste mostra que o esquema

RKDP é o mais eficiente entre os três, para esta situação.



Tol - 1.0E-10 1.0E-10 1.0E-10 -

Erro (%) 0 0 0 0 -

Nº Incs 10000 48 3 1 -

Tempo gasto

(s) 74.187 0.674 0.137 0.054 -

Para um incremento de “deformação isotrópica”, conforme realizado pelo Teste-08,

em que a tolerância é pequena (1.0E-10), o esquema de integração explícita RKDP foi muito

rápido pois a determinação automática do tamanho dos subincremento resultou em apenas um

subincremento. Neste teste, o esquema RKE foi melhor que o ME.

128

8 - CONCLUSÕES

No Capítulo 6, mostrou-se que o modelo elastoplástico Cam-Clay não é bem adaptado para

representar o comportamento mecânico dos solos argilosos nas situações em que as tensões

saem do plano axis-simétrico. Em contrapartida, com exceção do comportamento de

dilatância, verificou-se a excelente representatividade do modelo Tij-Clay.

A resistência definida pelo critério de ruptura Matsuoka-Nakai se aproximou bastante

daquela atingida por todos os ensaios triaxiais apresentados, mostrando a validade deste

critério. Já o critério de ruptura utilizado pelo modelo Cam-Clay, que é do tipo Drucker-

Prager prevê resistências bastante elevadas.

Apesar de a relação tensão-dilatância, com os invariantes definidos no SMP, ter sido

desenhada para todos os ensaios de laboratório do Capítulo 6, o parâmetro adicional exigido

pelo modelo Tij-Clay pode ser obtido apenas por um ensaio do tipo Triaxial Convencional,

pois a inclinação da reta tensão-dilatância é válida para todas as situações de carregamento

apresentadas naquele Capítulo.

No Capítulo 4 foi mostrado que as variáveis de endurecimento tipo tensão e tipo

deformação do modelo Cam-Clay são o tamanho da superfície de plastificação e a

deformação volumétrica plástica, respectivamente. Com isso, mostrou-se que o Cam-Clay se

encaixa na categoria de modelos elastoplásticos convencionais, permitindo a utilização dos

tensores elastoplásticos deduzidos de forma genérica (Apêndice A).

O modelo Tij-Clay foi elaborado através dos conceitos do SMP, do tensor modificado

tij e das hipóteses básicas da Teoria da Elastoplasticidade. As principais características

observadas deste modelo são: a) o parâmetro de endurecimento é a deformação volumétrica

plástica total; b) o módulo plástico é determinado para a situação em que a razão entre tensões

é constante.; c) o incremento de deformação plástica é dividido em duas partes, mas quando o

incremento do invariante de tensão normal for nulo ou negativo esse incremento será dado

apenas pela lei de fluxo; d) a lei de fluxo ocorre no espaço do tensor modificado tij; e) a

dedução dos tensores elastoplásticos é um pouco mais trabalhosa, mas a obtenção deles foi

possível e resultou numa forma bastante semelhante aos tensores para modelos convencionais.

Como as equações constitutivas do modelo Tij-Clay foram deduzidas de maneira

equivalente às equações do modelo Cam-Clay, a aplicação de um procedimento padrão de

integração numérica aos dois modelos foi possível.

129

O esquema de integração implícito (Backward-Euler) foi baseado no proposto por

Jeremic (1994). A comparação deste esquema como os explícitos foi realizada apenas para o

modelo Cam-Clay devido à complexidade das equações do Tij-Clay.

O método Backward-Euler, na maioria dos casos, não foi eficiente, pois os

incrementos tiveram que ser subdivididos em várias partes, ocasionado processamento

adicional. Apesar disso, desconsiderando pequenos erros, este método é melhor que o

Forward-Euler, pois a consistência sempre é mantida no final da integração.

No Capítulo 7 três esquemas de integração explícita que automaticamente determinam

o tamanho dos subincrementos foram apresentados. O mais simples, Modified-Euler, é

aplicável quando a tolerância é relativamente alta (>1.0E-3), enquanto que os Runge-Kutta

são muito mais eficientes nos casos em que tolerância é baixa. Dentre todos os métodos de

integração apresentados aqui, o esquema Runge-Kutta-Dormand-Prince foi o mais veloz,

embora seis avaliações do tensor elastoplástico são necessárias.

Os esquemas explícitos são facilmente aplicados aos dois modelos elastoplásticos,

Cam-Clay e Tij-Clay. A integração do modelo Tij-Clay leva muito mais tempo que a do Cam-

Clay. Isto ocorre devido à obtenção do tensor elastoplástico do modelo Tij-Clay requerer

operações adicionais entre tensores de quarta ordem. Além disso, no processo de

determinação das derivadas, um método numérico, como o Jacobi-Rotation, deve ser utilizado

para o cálculo das tensões principais e do tensor ortogonal.

8.1 - SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS

O modelo Tij-Clay apresenta uma superfície de plastificação com singularidades, o que

dificulta a determinação dos gradientes para estados de tensão isotrópicos. Chowdhury (1998)

apresentou uma alteração na equação da relação tensão-dilatância deste modelo que origina

uma superfície mais suavizada. Sugere-se a realização dessa alteração e verificação com

ensaios de laboratório, dentro da formulação padrão apresentada.

Matsuoka et al. (1999) apresentou uma forma de se utilizar a coesão na definição do

plano SMP, permitindo o cálculo do tensor modificado tij nas situações em que os invariantes

do tensor de tensões são negativos. A aplicação desse conceito ao modelo Tij-Clay pode ser

estudada.

Novas relações tensão-dilatância devem ser estudadas para melhorar a capacidade de o

modelo Tij-Clay reproduzir as variações de volume, dadas pela deformação volumétrica.

130

Para uma análise global, tanto de eficiência quanto de precisão, dos esquemas de

integração apresentados, é importante implementar esses esquemas em programas de

Elementos Finitos para a solução de problemas reais de engenharia geotécnica.

A sensibilidade dos algoritmos à variação dos parâmetros pode ser verificada.

131

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135

A - DEDUÇÃO GENÉRICA DOS TENSORES ELASTOPLÁSTICOS

Os tensores elastoplásticos epD%

e epC%

são deduzidos a partir do sistema de equações

evolutivas da elastoplasticidade (Tabela 3.1), cujas seguintes hipóteses são tomadas

g) Decomposição aditiva das deformações;

h) Resposta elástica;

i) Resposta plástica;

j) Lei de fluxo;

k) Lei de endurecimento;

l) Condições de Kuhn-Tucker;

m) Condição de consistência.

O objetivo é chegar a equações que relacionam tensão com deformação da seguinte forma

epd D : dε = σ%% %

(A.1)

epd C : dσ = ε% % %

(A.2)

A.1 - TENSOR ELASTOPLÁSTICO DE QUARTA ORDEM epD%

A Lei de Hooke generalizada (resposta elástica) e a decomposição aditiva das deformações

fornecem as seguintes equações

e ed D : dε = σ%% %

(A.3)

e pd d dε = ε + ε% % %

(A.4)

que ao substituir uma na outra resultam em

e pd D : d dε= σ + ε%% % %

(A.5)

O incremento pdε%

é dado pela lei de fluxo, de acordo com

pd d rε = γ%%

(A.6)

em que

Qr ∂=

∂σ%%

(A.7)

ou, no caso particular de fluxo associado

Fr ∂=

∂σ%%

(A.8)

136

Assim, a Equação (A.5) torna-se

e Qd D : d d ∂ε= σ + γ

∂σ%% %%

(A.9)

O multiplicador de Lagrange dγ é obtido a partir da condição de consistência dada por

F FdF : d dz 0z

∂ ∂= σ + =

∂σ ∂g

%%%%

(A.10)

A resposta plástica e a lei de endurecimento são representadas por

dz Hd= − ξ% % %

(A.11)

d d hξ = γ%%

(A.12)


dz d Hh= − γ% % %

(A.13)

Substituindo o incremento dz%

acima na condição de consistência, dada pela Equação (A.10),

obtém-se

F F: d d Hh 0z

∂ ∂σ − γ =

∂σ ∂g% %%

%% (A.14)

em que o multiplicador dγ pode ser isolado de acordo com

F : dd F Hh

z

∂ σ∂σ

γ =∂∂

%%g% %

%

(A.15)

O escalar F Hhz

∂∂

g% %

% tem haver com o endurecimento e será substituído por G ' , então

1 Fd : dG '

∂γ = σ

∂σ %%

(A.16)

Substituindo o valor acima de dγ na Equação (A.9), obtém-se

e 1 F Qd D : d : dG '

∂ ∂ε= σ + σ ∂σ ∂σ %% % %

% % (A.17)

que se torna

e 1 Q Fd D : d : dG '

∂ ∂ε= σ + ⊗ σ ∂σ ∂σ %% % %

% % (A.18)

na qual foi utilizada a definição de produto diádico, de acordo com

Q F Q F: d : d ∂ ∂ ∂ ∂

σ = ⊗ σ ∂σ ∂σ ∂σ ∂σ % %% % % %

(A.19)

137

Com isso

e 1 Q Fd D : dG '

∂ ∂ε= + ⊗ σ ∂σ ∂σ %% %

% % (A.20)

Portanto, o tensor elastoplástico epD%

é

ep e 1 Q FD DG '

∂ ∂= + ⊗

∂σ ∂σ% %% %

(A.21)

A.2 - TENSOR ELASTOPLÁSTICO DE QUARTA ORDEM epC%

A Lei de Hooke generalizada (resposta elástica) e a decomposição aditiva das deformações

fornecem as seguintes equações

e ed C : dσ = ε% % %

(A.22)

e pd d dε = ε + ε% % %

(A.23)


( )e pd C : d dσ= ε − ε% % % %

(A.24)

O incremento pdε%

é dado pela lei de fluxo, de acordo com

pd d rε = γ%%

(A.25)

em que

Qr ∂=

∂σ%%

(A.26)

ou, no caso particular de fluxo associado

Fr ∂=

∂σ%%

(A.27)

Assim, a Equação (A.24) torna-se

e e Qd C : d d C : ∂σ= ε − γ

∂σ% % % %%

(A.28)

O multiplicador de Lagrange dγ é obtido a partir da condição de consistência dada por

F FdF : d dz 0z

∂ ∂= σ + =

∂σ ∂g

%%%%

(A.29)

A resposta plástica e a lei de endurecimento são representadas por

dz Hd= − ξ% % %

(A.30)

138

d d hξ = γ%%

(A.31)


dz d Hh= − γ% % %

(A.32)

Substituindo o incremento de tensão dσ%

, dado pela Equação (A.28), e o incremento dz%

acima

na condição de consistência, dada pela Equação (A.29), obtém-se

e eF F Q F: C : d d : C : d Hh 0z

∂ ∂ ∂ ∂ε − γ − γ =

∂σ ∂σ ∂σ ∂g% %% % %

%% % % (A.33)

em que o multiplicador dγ pode ser isolado de acordo com

e

e

F : C : dd F Q F: C : Hh

z

∂ ε∂σ

γ =∂ ∂ ∂

+∂σ ∂σ ∂

% %%

g% %%

%% %

(A.34)

O escalar eF Q F: C : Hhz

∂ ∂ ∂+

∂σ ∂σ ∂g% %%

%% % tem haver com o endurecimento e será substituído por G

e1 Fd : C : dG

∂γ = ε

∂σ % %%

(A.35)

Substituindo o valor acima de dγ na Equação (A.28), obtém-se

e e e1 F Qd C : d : C : d C :G

∂ ∂σ= ε − ε ∂σ ∂σ % % % % % %

% % (A.36)

que se torna

e e e1 Q Fd C : d C : : C : dG

∂ ∂σ= ε − ⊗ ε ∂σ ∂σ % % % % % %

% % (A.37)

na qual foi utilizada a definição de produto diádico, de acordo com

e e e eQ F Q FC : : C : d C : : C : d ∂ ∂ ∂ ∂

ε = ⊗ ε ∂σ ∂σ ∂σ ∂σ % % % % % %% % % %

(A.38)

Com isso

e e e1 Q Fd C C : : C : dG

∂ ∂σ= − ⊗ ε ∂σ ∂σ % % % % %

% % (A.39)

Portanto, o tensor elastoplástico epC%

é

ep e e e1 Q FC C C : : CG

∂ ∂= − ⊗ ∂σ ∂σ % % % %

% % (A.40)

139

B - FUNÇÃO DE PLASTIFICAÇÃO DO MODELO CAM-CLAY

B.1 - CAM-CLAY ORIGINAL

Conforme apresentado no Capítulo 4, a função de plastificação do modelo Cam-Clay original

pode ser obtida solucionando-se um problema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO),

cuja equação diferencial é

dq f (p,q)dp

= (B.1)

em que

qf (p,q) Mp

= − (B.2)

Esta equação é homogênea pois

tf (tp, tq) =q

tqM M f (p,q)pp

− = − = (B.3)

Portanto, as variáveis podem ser separadas utilizando-se a seguinte troca

q wp= (B.4)

de maneira que

dq dp dw dww p w pdp dp dp dp

= + = + (B.5)

Com isso, a Equação (B.1) torna-se

dww p w Mdp

+ = − (B.6)

ou

Mdw dp 0p

+ = (B.7)

A integração da equação acima fornece

w M ln(p) C+ = (B.8)

ou seja,

q M ln(p) Cp

+ = (B.9)

na qual, utilizando a condição de contorno

Cp p q 0= ⇒ = (B.10)

140

a constante C pode ser obtida de acordo com

CC M ln(p )= (B.11)

Portanto,

Cq M ln(p) M ln(p )p

+ = (B.12)

e a função de plastificação do modelo Cam-Clay original será

CC

pF( ,p ) q Mp lnp

σ = +

% (B.13)

B.2 - CAM-CLAY MODIFICADO

Conforme apresentado no Capítulo 4, a função de plastificação do modelo Cam-Clay

modificado pode ser obtida solucionando-se um problema de Equações Diferenciais

Ordinárias (EDO), cuja equação diferencial é

dq f (p,q)dp

= (B.14)

em que

2 2 2q M pf (p,q)

2pq−

= (B.15)


2 2 2 2 2 2(tq) M (tp) q M pf (tp, tq) f (p,q)2tptq 2pq− −

= = = (B.16)


q wp= (B.17)

de maneira que

dq dp dw dww p w pdp dp dp dp

= + = + (B.18)

Com isso, a Equação (B.14) torna-se

2 2 2dw (wp) M pw p

dp 2pwp−

+ = (B.19)

ou

2 2

2w 1dw dp 0M w p

+ =+

(B.20)

141


2 2ln(M w ) ln(p) C+ + = (B.21)

ou seja,

2

22

qln M ln(p) Cp

+ + =

(B.22)


Cp p q 0= ⇒ = (B.23)


( )2CC ln M p= (B.24)

Portanto,

( )2

2 2C2

qln M ln(p) ln M pp

+ + =

(B.25)

e a função de plastificação do modelo Cam-Clay modificado será

( )2 2C CF( ,p ) M p p p qσ = − +

% (B.26)

142

C - FUNÇÃO DE PLASTIFICAÇÃO DO MODELO TIJ-CLAY

C.1 - SOLUÇÃO PARA 1α ≠

Conforme apresentado no Capítulo 5, a função de plastificação do modelo Tij-Clay original

pode ser obtida solucionando-se um problema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO),

cuja equação diferencial é

( )SN S

N

dt f t , tdt

= (C.1)

em que

( ) SN S

N

t1f t , tt

µ= −

α α (C.2)


N Sk1f (kt ,kt ) =

αSt

kS

N SNN

t1 f (t , t )tt

µ µ− = − =

α α α (C.3)


S Nt wt= (C.4)

de maneira que

S NN N

N N N N

dt dt dw dww t w tdt dt dt dt

= + = + (C.5)

Com isso, a Equação (C.1) torna-se

NN

dw 1w t wdt

µ+ = −

α α (C.6)

ou

NN

1 1 1dw dt 0w(1 ) t

− =− α − µ α

(C.7)


( )

N

ln w 1 1 ln(t ) C1

− α − µ − =− α α

(C.8)

ou seja,

( )SN

N

t1 1ln 1 ln(t ) C1 t

− α − µ − = − α α

(C.9)


143

N NC St t t 0= ⇒ = (C.10)


NC1 1ln( ) ln(t ) C

1−µ − =

− α α (C.11)

Portanto,

( )SN NC

N

t1 1 1 1ln 1 ln(t ) ln( ) ln(t )1 t 1

− α − µ − = −µ − − α α − α α

(C.12)


N SNC

NC N

t t 1F( , t ) ln ln 1t 1 t

α α −σ = + + α − µ %

(C.13)

Observa-se que quando 1α = , a equação acima fica indeterminada, por isso outra solução

deve ser encontrada.

C.2 - SOLUÇÃO PARA 1α =

Para 1α = , a Equação (C.2) torna-se

( ) SN S

N

tf t , tt

= − µ (C.14)

e a Equação (C.1) será homogênea, pois

N Skf (kt ,kt ) = Stk

SN S

NN

t f (t , t )tt

− µ = − µ = (C.15)


S Nt wt= (C.16)

de maneira que

S NN N

N N N N

dt dt dw dww t w tdt dt dt dt

= + = + (C.17)

Com isso, a Equação (C.14) torna-se

NN

dww t wdt

+ = − µ (C.18)

ou

NN

dw dt 0tµ

+ = (C.19)


144

Nw ln(t ) C+ µ = (C.20)

ou seja,

SN

N

t ln(t ) Ct

+ µ = (C.21)


N NC St t t 0= ⇒ = (C.22)


NCC ln(t )= µ (C.23)

Portanto,

SN NC

N

t ln(t ) ln(t )t

+ µ = µ (C.24)


N SNC

NC N

t t1F( , t ) lnt t

σ = + µ %

(C.25)

145

D - DERIVADAS PARA O MODELO CAM-CLAY

As derivadas da função de plastificação, com relação ao tensor de tensões (σ%

) e com relação

à variável que mede seu tamanho ( Cp ), são necessárias à construção dos tensores

elastoplásticos que representam os modelos Cam-Clay original e modificado.

Como as derivadas dos invariantes do tensor de tensões, com relação ao mesmo, são

utilizadas na determinação das derivadas para o modelo Cam-Clay, então elas serão

apresentadas primeiramente.

Para o modelo Cam-Clay modificado, as derivadas de Fr ∂=

∂σ%%

, com relação a σ%

e com

relação a Cp são necessárias ao método de integração numérica implícita Backward-Euler.

D.1 - DERIVADAS DOS INVARIANTES COM RELAÇÃO AO TENSOR DE

TENSÕES

a) obtenção de p∂∂σ

%

Em notação indicial,

ik jk ijkk

ij ij

p3 3 3

δ δ δσ∂ ∂= = =

∂σ ∂σ (D.1)

Portanto,

p 13

∂=

∂σ%

% (D.2)

b) obtenção de S∂∂σ

%%


ijij mm ij

kl kl

S 13

∂ ∂ = σ − σ δ ∂σ ∂σ (D.3)

ijik jl mk ml ij

kl

S 13

∂= δ δ − δ δ δ

∂σ (D.4)

146

ijik jl ij kl

kl

S 13

∂= δ δ − δ δ

∂σ (D.5)

Portanto,

( )S 1I 1 13

∂= − ⊗

∂σ% % % %%

(D.6)

c) obtenção de 2DJ∂∂σ%


2Dmn mn

ij ij

J 1 S S2

∂ ∂ = ∂σ ∂σ (D.7)

2D mnmn

ij ij

J S1 2S2

∂ ∂= ∂σ ∂σ

(D.8)

2Dmn kk mn mi nj mn ij

ij

J 1 13 3

∂ = σ − σ δ δ δ − δ δ ∂σ (D.9)

2Dmn mi nj kk mn mi nj mn mn ij kk mn mn ij

ij

J 1 1 1 13 3 3 3

∂= σ δ δ − σ δ δ δ − σ δ δ + σ δ δ δ

∂σ (D.10)

2Dij kk ij kk ij

ij

J 1 13 3

∂= σ − σ δ − σ δ

∂σ kk ij1 33 3

+ σ δ (D.11)

2Dij kk ij

ij

J 13

∂= σ − σ δ

∂σ (D.12)

2Dij

ij

J S∂=

∂σ (D.13)

Portanto,

2DJ S∂=

∂σ %%

(D.14)

d) obtenção de q∂∂σ

%


147

2Dij ij

q 3J∂ ∂=

∂σ ∂σ (D.15)

2D

ij ij2D

Jq 1 32 3J

∂∂=

∂σ ∂σ (D.16)

ijij

q 3 S2q

∂=

∂σ (D.17)

Portanto,

q 3 S2q

∂=

∂σ %%

Se q 0≠ (D.18)

q 0∂=

∂σ %%

Se q 0= (D.19)

D.2 - DERIVADAS PARA O CAM-CLAY ORIGINAL

A seguir, apresentam-se as derivadas da função de plastificação do modelo Cam-Clay

original, cuja equação é

CC

pF( ,p ) q Mp lnp

σ = +

% (D.20)

a) obtenção de Fp

∂∂

C

F pq Mp lnp p p

∂ ∂= + ∂ ∂

(D.21)

C

F pM M lnp p

∂= + ∂

(D.22)

b) obtenção de Fq

∂∂

C

F pq Mplnq q p

∂ ∂= + ∂ ∂

(D.23)

148

F 1q

∂=

∂ (D.24)

c) obtenção de F∂∂σ

%

Pela regra da cadeia,

F F p F qp q

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +

∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ% % %

(D.25)

Portanto,

C

F p 1 3M M ln Sp 3 2q

∂= + + ∂σ

% %%

Se q 0≠ (D.26)

C

F p 1M M lnp 3

∂= + ∂σ

%%

Se q 0= (D.27)

d) obtenção de C

Fp∂∂

C C C

F pq Mp lnp p p

∂ ∂= + ∂ ∂

(D.28)

C C

F pMp p∂

= −∂

(D.29)

D.3 - DERIVADAS PARA O CAM-CLAY MODIFICADO

A seguir, apresentam-se as derivadas da função de plastificação do modelo Cam-Clay

modificado, cuja equação é

2 2 2 2C CF( ,p ) M p M pp qσ = − +

% (D.30)

D.3.1 - DERIVADAS DE PRIMEIRA ORDEM

a) obtenção de Fp

∂∂

149

( )2 2 2 2C

F M p M pp qp p

∂ ∂= − +

∂ ∂ (D.31)

2 2C

F 2M p M pp

∂= −

∂ (D.32)

b) obtenção de Fq

∂∂

( )2 2 2 2C

F M p M pp qq q

∂ ∂= − +

∂ ∂ (D.33)

F 2qq

∂=

∂ (D.34)

c) obtenção de F∂∂σ

%


F F p F qp q

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +

∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ% % %

(D.35)

( ) ( )2 2C

F 1 32M p M p 2q S3 2q

∂= − +

∂σ% %

% (D.36)

Portanto,

( )2 2C

F 12M p M p 3S3

∂= − +

∂σ% %

% (D.37)

d) obtenção de C

Fp∂∂

( )2 2 2 2C

C C

F M p M pp qp p∂ ∂

= − +∂ ∂

(D.38)

2

C

F M pp∂

= −∂

(D.39)

150

D.3.2 - DERIVADAS DE SEGUNDA ORDEM

a) obtenção de 2

2

r F∂ ∂=

∂σ ∂σ%% %


ij ij2 2mmC ij

kl kl

r2M M p 3S

3 3∂ δ σ∂ = − + ∂σ ∂σ

(D.40)

ij ij ij2 mk ml

kl kl

r S2M 3

3 3∂ δ ∂δ δ

= +∂σ ∂σ

(D.41)

2

ijij kl ik jl ij kl

kl

r 2M 139 3

∂ = δ δ + δ δ − δ δ ∂σ (D.42)

2

ijij kl ik jl

kl

r 2M 1 39

∂ = − δ δ + δ δ ∂σ

(D.43)

Portanto,

2r 2M 1 1 1 3I

9 ∂

= − ⊗ + ∂σ % % % %%

(D.44)

a) obtenção de 2

C C

r Fp p∂ ∂

=∂ ∂σ∂

%%


ij ij2 2mmC ij

C C

r2M M p 3S

p p 3 3∂ δ σ∂ = − + ∂ ∂

(D.45)

ij ij2

C

rM

p 3∂ δ

= −∂

(D.46)

Portanto,

2

C

r 1Mp 3∂

= −∂

% % (D.47)

151

E - TENSORES ELASTOPLÁSTICOS PARA O MODELO TIJ-CLAY

A determinação dos tensores elastoplásticos epD%

e epC%

para o modelo Tij-Clay será baseada

no Fluxograma da Figura E.1, em que o incremento de deformação plástica, dado pela

Equação (5.82) do Capítulo 5, inicia o procedimento. Neste fluxograma, o objetivo é

determinar o incremento de tensão em função do incremento de deformação, ou vice-versa.

Estes serão também função do multiplicador dγ , obtido pela condição de consistência.

Figura E.1 - Fluxograma 1; Determinação dos tensores elastoplásticos do modelo Tij-Clay.

O incremento do tamanho da superfície de plastificação NCdt , igual ao incremento da

variável interna tipo tensão dz , é determinado pela resposta plástica e pela lei de

endurecimento de acordo com o Fluxograma da Figura E.2.

Figura E.2 - Fluxograma 2; Determinação de ( )NCdt dz= para o modelo Tij-Clay.

p Nv

NC

td d h : dt

∂χε = γ + σ

∂σ %%

pNC vdt Hd= − ε

( )NC NCdt dt d , d= γ σ%

pd d r T : dε = γ + σ% %% %

p ed d dε = ε + ε% % %

e ed D : dε = σ%% %

e ed C : dσ = ε% % %

( )d d d ,dε = ε σ γ% % %

( )d d d ,dσ = σ ε γ% % %

152

O Fluxograma da Figura E.2 é iniciado pelo incremento de deformação volumétrica

plástica pvdε , igual à variável interna de endurecimento tipo deformação dξ , dado pela

Equação (5.85) do Capítulo 5.

E.1 - DETERMINAÇÃO DO INCREMENTO NCdt

O incremento de deformação volumétrica plástica e a resposta plástica são

p Nv

NC

td d h : dt

∂χε = γ + σ

∂σ %%

(E.1)

e

pNC vdt Hd= − ε (E.2)

respectivamente. O módulo plástico H para o modelo Tij-Clay é

NCtH = −χ

(E.3)

Com isso, obtém-se a seguinte equação para o incremento do tamanho da superfície de

plastificação NCdt

NNC

tdt d Hh : d∂= − γ + σ

∂σ %%

(E.4)

ou seja

NC Ndt d Hh dt= − γ + (E.5)

E.2 - DETERMINAÇÃO DO TENSOR epD%

A seguir, utiliza-se a Notação Indicial para facilitar a visualização dos componentes das

equações deduzidas.

E.2.1 - OBTENÇÃO DE ij ij ijd d (d ,d )ε = ε σ γ

De acordo com a Lei de Hooke generalizada (resposta elástica) e utilizando o conceito da

decomposição aditiva das deformações, pode-se obter

e pij ijkl kl ijd D d dε = σ + ε (E.6)

153

em que o incremento de deformação plástica, é dado por

pij ij ijkl kld d r T dε = γ + σ (E.7)

então,

eij ijkl kl ij ijkl kld D d d r T dε = σ + γ + σ (E.8)

E.2.2 - OBTENÇÃO DE dγ

A Função de plastificação é função do tensor de tensões e do tamanho da superfície de

plastificação, ou seja

ij NCF F( , t )= σ (E.9)

Então, a condição de consistência pode ser escrita da seguinte forma

kl NCkl NC

F FdF d dt 0t

∂ ∂= σ + =

∂σ ∂ (E.10)

que, substituindo o incremento NCdt dado pela Equação (E.4), torna-se igual a

Nkl kl

kl NC NC kl

tF F Fd d Hh d 0t t

∂∂ ∂ ∂σ − γ + σ =

∂σ ∂ ∂ ∂σ (E.11)

e o multiplicador dγ pode ser isolado, de acordo com

Nkl

kl NC kl

NC

tF F dt

d F Hht

∂∂ ∂+ σ ∂σ ∂ ∂σ γ =

∂∂

(E.12)

Para

Nkl

kl NC kl

tF Fvt

∂∂ ∂= +

∂σ ∂ ∂σ (E.13)

e

NC

FG ' Hht∂

=∂

(E.14)

Com isso,

kl kl1d v d

G 'γ = σ (E.15)

ou seja,

154

1d v : dG '

γ = σ% %

(E.16)

E.2.3 - OBTENÇÃO DE epD%

Substituindo o valor de dγ , dado pela Equação (E.15), na Equação (E.8), obtém-se

eij ijkl kl ijkl kl kl kl ij

1d D d T d v d rG '

ε = σ + σ + σ (E.17)

ou

eij ijkl ijkl ij kl kl

1d D T r v dG '

ε = + + σ (E.18)

que é da forma

epij ijkl kld D dε = σ (E.19)

em que

ep eijkl ijkl ijkl ij kl

1D D T r vG '

= + + (E.20)

ou seja,

ep e 1D D T r vG '

= + + ⊗% % % % %

(E.21)

E.3 - DETERMINAÇÃO DO TENSOR epC%

E.3.1 - OBTENÇÃO DE ij ij ijd d (d ,d )σ = σ ε γ

De acordo com a Lei de Hooke generalizada (resposta elástica) e utilizando o conceito da

decomposição aditiva das deformações, pode-se obter

e e pij ijkl kl ijkl kld C d C dσ = ε − ε (E.22)

em que o incremento de deformação plástica, é dado por

pij ij ijkl kld d r T dε = γ + σ (E.23)

então,

e e eij ijkl kl ijkl kl ijkl klmn mnd C d d C r C T dσ = ε − γ − σ (E.24)

Como

155

ij im jn mnd dσ = δ δ σ (E.25)

Então a Equação (E.24) se torna

e e eim jn mn ijkl klmn mn ijkl kl ijkl kld C T d C d d C rδ δ σ + σ = ε − γ (E.26)

que, colocando mndσ em evidência, fica

( )e e eim jn ijkl klmn mn ijkl kl ijkl klC T d C d d C rδ δ + σ = ε − γ (E.27)

Com a definição

( ) 1eijmn im jn ijkl klmnS C T

−= δ δ + (E.28)

Então

1 e eijmn mn ijkl kl ijkl klS d C d d C r− σ = ε − γ (E.29)

Sabendo-se que

1pqij ijmn pm qnS S− = δ δ (E.30)

Então,

e epm qn mn pqij ijkl kl pqij ijkl kld S C d d S C rδ δ σ = ε − γ (E.31)

Ou seja,

e epq pqij ijkl kl pqij ijkl kld S C d d S C rσ = ε − γ (E.32)

que não se altera caso os índices sejam trocados, então

e eij ijkl klmn mn ijkl klmn mnd S C d d S C rσ = ε − γ (E.33)

E.3.2 - OBTENÇÃO DE NCdt

Substituindo o incremento do tensor de tensões dσ%

, dado pela Equação (E.33), na Equação

(E.4), que fornece o incremento do tamanho da superfície de plastificação, obtém-se

e eN NNC ijkl klmn mn ijkl klmn mn

ij ij

t tdt d Hh S C d d S C r∂ ∂= − γ + ε − γ

∂σ ∂σ (E.34)

que, colocando o multiplicador dγ em evidência, torna-se igual a

e eN NNC ijkl klmn mn ijkl klmn mn

ij ij

t tdt d Hh S C r S C d ∂ ∂

= − γ + + ε ∂σ ∂σ

(E.35)

156

E.3.3 - OBTENÇÃO DE dγ

A Função de plastificação é função do tensor de tensões e do tamanho da superfície de

plastificação, ou seja

ij NCF F( , t )= σ (E.36)

Então, a condição de consistência pode ser escrita da seguinte forma

ij NCij NC

F FdF d dt 0t

∂ ∂= σ + =

∂σ ∂ (E.37)

que, substituindo os incrementos dσ%

e NCdt dados pelas Equações (E.33) e (E.35),

respectivamente, torna-se igual a

( )e eijkl klmn mn ijkl klmn mn

ij

F S C d d S C r∂ε − γ +

∂σ

e eN Nijkl klmn mn ijkl klmn mn

NC ij ij

t tF d Hh S C r S C d 0t

∂ ∂∂ + − γ + + ε = ∂ ∂σ ∂σ

(E.38)

e eijkl klmn mn ijkl klmn mn

ij ij

F FS C d d S C r∂ ∂ε − γ +

∂σ ∂σ

e eN Nijkl klmn mn ijkl klmn mn

NC NC ij NC ij

t tF F Fd Hh S C r S C d 0t t t

∂ ∂∂ ∂ ∂− γ + + ε =

∂ ∂ ∂σ ∂ ∂σ (E.39)

e o multiplicador dγ pode ser isolado, de acordo com

e eNijkl klmn mn ijkl klmn mn

ij NC ij

e eNijkl klmn mn ijkl klmn mn

ij NC NC ij

tF FS C d S C dt

dtF F FS C r Hh S C r

t t

∂∂ ∂ε + ε

∂σ ∂ ∂σγ =

∂∂ ∂ ∂+ +∂σ ∂ ∂ ∂σ

(E.40)

ou

eNijkl klmn mn

ij NC ij

eNijkl klmn mn

ij NC ij NC

tF F S C dt

dtF F FS C r Hh

t t

∂∂ ∂+ ε ∂σ ∂ ∂σ γ =

∂∂ ∂ ∂+ + ∂σ ∂ ∂σ ∂

(E.41)

157

Para

Nij

ij NC ij

tF Fvt

∂∂ ∂= +

∂σ ∂ ∂σ (E.42)

e

eij ijkl klmn mn

NC

FG v S C r Hht∂

= +∂

(E.43)

Com isso,

eij ijkl klmn mn

1d v S C dG

γ = ε (E.44)

ou seja,

e1d v :S: C : dG

γ = ε% % %

(E.45)

E.3.4 - OBTENÇÃO DE epC%

Substituindo o valor de dγ , dado pela Equação (4.59), na Equação (E.33), obtém-se

e e eij ijkl klmn mn tv tvkl klmn mn ijpq pqrs rs

1d S C d v S C d S C rG

σ = ε − ε

(E.46)

ou

e e eij ijkl klmn mn ijpq pqrs rs tv tvkl klmn mn

1d S C d S C r v S C dG

σ = ε − ε (E.47)

ou

e e eij ijkl klmn ijpq pqrs rs tv tvkl klmn mn

1d S C S C r v S C dG

σ = − ε

(E.48)

que é da forma

epij ijmn mnd C dσ = ε (E.49)

em que

ep e e eijmn ijkl klmn ijpq pqrs rs tv tvkl klmn

1C S C S C r v S CG

= − (E.50)

ou seja

( ) ( )ep e e e1C S: C S: C : r v :S : CG

= − ⊗%% % % % % % % %

(E.51)

158

F - DERIVADAS PARA O MODELO TIJ-CLAY

Na construção das matrizes epC%

e epD%

, serão necessárias as derivadas Ft

∂∂%

e F∂∂σ

%, cujas

determinações baseiam-se no esquema da Figura F.1. Além dessas derivadas, será necessário

NC

Ft∂

∂.

Figura F.1 - Esquema da determinação das derivadas para o modelo Tij-Clay.

A função de plastificação do modelo Tij-Clay é a seguinte

N SNC

NC N

t t1F( , t ) lnt t

σ = + µ %

Se 1α = (F.1)

N SNC

NC N

,t t1F( t ) ln ln 1t 1 t

α α −σ = + + α − µ %

Se 1α ≠ (F.2)

F.1 - DETERMINAÇÃO DE N

Ft

∂∂

a) para 1α =

159

N S

N N NC N

t tF 1lnt t t t

∂ ∂= + ∂ ∂ µ

(F.3)

S2

N N N

tF 1 1t t t

∂= −

∂ µ (F.4)

N S2

N N

t tFt t

µ −∂=

∂ µ (F.5)

b) para 1α ≠

N S

N N NC N

t tF 1ln ln 1t t t 1 t

∂ ∂ α α −= + + ∂ ∂ α − µ

(F.6)

S2

N N NS

N

tF 1 1 1t t 1 tt11

t

−∂ α α −= + ∂ α − µ α − + µ

(F.7)

S2

N N N S N

tF 1t t t ( 1)t t

α∂= −

∂ µ + α − (F.8)

N S2

N N S N

t tFt t ( 1)t t

µ −∂=

∂ µ + α − (F.9)

Portanto,

N S2

N N S N

t tFt t ( 1)t t

µ −∂=

∂ µ + α − ∀α ∈R (F.10)

F.2 - DETERMINAÇÃO DE S

Ft

∂∂

a) para 1α =

N S

S S NC N

t tF 1lnt t t t

∂ ∂= + ∂ ∂ µ

(F.11)

S N

F 1t t

∂=

∂ µ (F.12)

160

b) para 1α ≠

N S

S S NC N


∂ ∂ α α −= + + ∂ ∂ α − µ

(F.13)

S NS

N

F 1 1 1t 1 tt11

t

∂ α α −=

∂ α − µ α −+ µ

(F.14)

S N S

Ft t ( 1)t

∂ α=

∂ µ + α − (F.15)

Portanto,

S N S

Ft t ( 1)t

∂ α=

∂ µ + α − ∀α ∈R (F.16)

F.3 - DETERMINAÇÃO DE Ntt

∂∂%


( )Nkl kl

ij ij

t t at t

∂ ∂=

∂ ∂ (F.17)

Nki lj kl

ij

t at

∂= δ δ

∂ (F.18)

Nij

ij

t at

∂=

∂ (F.19)

Portanto,

Nt at

∂=

∂ %%

(F.20)

F.4 - DETERMINAÇÃO DE Stt

∂∂%


161

S S D

D

t t tt t t

∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂%

% % % (F.21)

na qual

D Nt t t a= −% % %

(F.22)

a) obtenção de S

D

tt

∂∂%


( )SD Dmn mn

D Dkl kl

t t tt t∂ ∂

=∂ ∂

(F.23)

DS mnDmn

D DD Dkl klpq pq

tt 1 2tt t2 t t

∂∂= ∂ ∂

(F.24)

D mk nlS mn

D D Dkl pq pq

ttt t t

δ δ∂=

∂ (F.25)

DS kl

D Skl

ttt t∂

=∂

(F.26)

Portanto,

S D

D S

t tt t

∂=

∂%

% (F.27)

b) obtenção de Dtt

∂∂%%


( )Dklkl N kl

ij ij

tt t a

t t∂ ∂

= −∂ ∂

(F.28)

D Nklki lj kl

ij ij

t tat t

∂ ∂= δ δ −

∂ ∂ (F.29)

Dklik jl ij kl

ij

ta a

t∂

= δ δ −∂

(F.30)

Portanto,

162

Dt I a at

∂= − ⊗

∂% % % %%

(F.31)

Com isso, a Equação (F.21) pode ser escrita, de acordo com

( )S D

S

t t I a at t

∂= − ⊗ ∂

% % % %%

(F.32)

cujos componentes são

( )DSik jl ij kl

ij S

kltt a a

t t∂

= δ δ −∂

(F.33)

( )( )Skl N kl ik jl ij kl

ij S

t 1 t t a a at t

∂= − δ δ −

∂ (F.34)

( )Sik jl kl ij kl kl ik jl N kl ij kl N kl

ij S

t 1 t a a t t a a a t at t

∂= δ δ − − δ δ +

∂ (F.35)

Demonstra-se a seguir que kl kla a 1= , assim

Sij ij kl kl N ij

ij S

t 1 t a a t t at t

∂= − −

∂ N ij kl klt a a a+( ) (F.36)

( )Sij ij kl kl

ij S

t 1 t a a tt t

∂= −

∂ (F.37)

ou seja,

( )Sij N ij

ij S

t 1 t t at t

∂= −

∂ (F.38)

DS

ij S

ijtt

t t∂

=∂

(F.39)

Portanto,

S D

S

t tt t

∂=

∂%

% (F.40)

Prova: 2kl kla a || a || 1= =

%

Se a equação 2kl klˆ ˆ â a || a || 1= =

% for válida ( kla = valores principais do tensor kla ), então a

relação 2kl kla a || a || 1= =

% também será, pois a transformação de similaridade TQ aQ

%% %, que

transforma a%

em a%

, não altera o módulo do tensor (Coimbra, 1978 – p.26).

Como

163

3

2 11

3kl

2 22

3

2 33

I 0 0Î

Ia 0 0Î

I0 0Î

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

= σ

σ

(F.41)

então,

3 3 3kl kl

2 1 2 2 2 3

I I Iˆ â aˆ ˆ Î I Iσ σ σ

σ σ σ

= + +σ σ σ

(F.42)

3 2 3 3 1 3 3 1 2kl kl

2 1 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Î I Iˆ â aˆ ˆ Î

σ σ σ

σ

σ σ + σ σ + σ σ=

σ σ σ (F.43)

( )3 2 3 1 3 1 2kl kl

2 1 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Îˆ â a

ˆ ˆ Îσ

σ

σ σ + σ σ + σ σ=

σ σ σ (F.44)

3 2kl kl

2 3

I Iˆ â aI I

σ σ

σ σ

= (F.45)

kl klˆ â a 1= (F.46)

Logo,

kl kla a 1= c.q.d (F.47)

F.5 - DETERMINAÇÃO DE 1I∂∂σ

%, 2I∂

∂σ%

E 3I∂∂σ

%

a) obtenção de 1I∂∂σ

%


1 mmmi mj ij

ij ij

I∂ ∂σ= = δ δ = δ

∂σ ∂σ (F.48)

Portanto,

1I 1∂=

∂σ %%

(F.49)

b) obtenção de 2I∂∂σ

%

164


( )22kk kl kl

ij ij

I 12

∂ ∂ = σ − σ σ ∂σ ∂σ (F.50)

( )22kk kl kl

ij ij ij

I 1 12 2

∂ ∂ ∂= σ − σ σ

∂σ ∂σ ∂σ (F.51)

2 kk klmm kl

ij ij ij

I 1 12 22 2

∂ ∂σ ∂σ= σ − σ ∂σ ∂σ ∂σ

(F.52)

2mm ki kj kl ki lj

ij

I∂= σ δ δ − σ δ δ

∂σ (F.53)

2mm ij ij

ij

I∂= σ δ − σ

∂σ (F.54)

Portanto,

2I tr( )1∂= σ − σ

∂σ %% %%

(F.55)

c) obtenção de 3I∂∂σ

%


33kl lm mk kl kl mm mm

ij ij

I 1 1 1 ( )3 2 6

∂ ∂ = σ σ σ − σ σ σ + σ ∂σ ∂σ (F.56)

No desenvolvimento a seguir, as equações não serão numeradas propositalmente.

3

ij

I∂=

∂σ

lm mk klkl lm mk

ij ij

13

∂σ σ ∂σσ + σ σ ∂σ ∂σ

kl mm klkl kl mm

ij ij

12

∂σ σ ∂σ− σ + σ σ ∂σ ∂σ

( )2 mmkk

ij

1 36

∂σ+ σ

∂σ

165

3

ij

I∂=

∂σ

mk lm klkl lm mk lm mk

ij ij ij

13

∂σ ∂σ ∂σσ σ + σ + σ σ ∂σ ∂σ ∂σ

mm kl klkl kl mm kl mm

ij ij ij

12

∂σ ∂σ ∂σ− σ σ + σ + σ σ ∂σ ∂σ ∂σ

( )2kk mi mj

1 36

+ σ δ δ

3

ij

I∂=

∂σ

( )kl lm mi kj mk li mj lm mk ki lj13

σ σ δ δ + σ δ δ + σ σ δ δ

( )kl kl mi mj mm ki lj kl mm ki lj12

− σ σ δ δ + σ δ δ + σ σ δ δ

( )2kk ji

12

+ σ δ

3

ij

I∂=

∂σ

( )jl li ki jk jm mi13

σ σ + σ σ + σ σ

( )kl kl ij ij mm ij mm12

− σ σ δ + σ σ + σ σ

( )2kk ij

12

+ σ δ

166

3

ij

I∂=

∂σ

( )ik kj1 33

σ σ

( )kl kl ij ij mm1 22

− σ σ δ + σ σ

( )2kk ij

12

+ σ δ

ou seja,

( )23ik kj ij mm mm kl kl ij

ij

I 12

∂ = σ σ − σ σ + σ − σ σ δ ∂σ (F.57)

3ik kj mm ij 2 ij

ij

I I σ

∂= σ σ − σ σ + δ

∂σ (F.58)

Portanto,

32

I tr( ) I 1σ

∂= σσ − σ σ +

∂σ %% % % %%

(F.59)

F.6 - DETERMINAÇÃO DE Nt∂∂σ

%

A partir da definição do invariante de tensão normal Nt , dada por

3N

2

3ItI

σ

σ

= (F.60)

e pela regra da cadeia, pode-se escrever

N N 3 N 2

3 2

t t I t II I

σ σ

σ σ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +

∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ% % %

(F.61)

a) obtenção de N

3

tI σ

∂∂

N 3

3 3 2

t 3II I I

σ

σ σ σ

∂ ∂= ∂ ∂

(F.62)

N

3 2

t 3I Iσ σ

∂=

∂ (F.63)

167

b) obtenção de N

2

tI σ

∂∂

N 3

2 2 2

t 3II I I

σ

σ σ σ

∂ ∂= ∂ ∂

(F.64)

( )

N 32

2 2

t 3II I

σ

σ σ

∂= −

∂ (F.65)

Portanto, a Equação (F.61) torna-se

[ ]( )

[ ]N 32 2

2 2

t 3I3 tr( ) I 1 tr( )1I I

σσ

σ σ

∂= σσ − σ σ + − σ − σ

∂σ % %% % % % % %%

(F.66)

ou

[ ] [ ]N N2

2 2

t t3 tr( ) I 1 tr( )1I Iσ

σ σ

∂= σσ − σ σ + − σ − σ

∂σ % %% % % % % %%

(F.67)

F.7 - DETERMINAÇÃO DE St∂∂σ

%

A partir da definição do invariante de tensão cisalhante St , dada por

2

1 2 3 3S

2

I I I 9It

Iσ σ σ σ

σ

−= (F.68)

e pela regra da cadeia, pode-se escrever

S S 1 S 2 S 3

1 2 3

t t I t I t II I I

σ σ σ

σ σ σ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ% % % %

(F.69)

a) obtenção de S

1

tI σ

∂∂

2

1 2 3 3S

1 1 2

I I I 9ItI I I

σ σ σ σ

σ σ σ

−∂ ∂ = ∂ ∂

(F.70)

168

( )2S1 2 3 32

1 2 11 2 3 3

t 1 1 I I I 9II I I2 I I I 9I

σ σ σ σσ σ σσ σ σ σ

∂ ∂= −

∂ ∂− (F.71)

S2 32

1 2 1 2 3 3

t 1 1 I II I 2 I I I 9I

σ σσ σ σ σ σ σ

∂=

∂ − (F.72)

S 3

1 2 S

t I1I I 2t

σ

σ σ

∂=

∂ (F.73)

S N

1 S

t tI 6tσ

∂=

∂ (F.74)

b) obtenção de S

2

tI σ

∂∂

2

1 2 3 3S

2 2 2

I I I 9ItI I I

σ σ σ σ

σ σ σ

−∂ ∂ = ∂ ∂

(F.75)

2

S 1 3 32

2 2 2 2

t I I 9II I I I

σ σ σ

σ σ σ σ

∂ ∂= − ∂ ∂

(F.76)

2

S 1 3 322

2 2 2 21 3 32

2 2

t I I 9I1I I I II I 9I2

I I

σ σ σ

σ σ σ σσ σ σ

σ σ

∂ ∂= − ∂ ∂ −

(F.77)

2

S 1 3 32 3

2 S 2 2

t I I 18I1I 2t I I

σ σ σ

σ σ σ

∂= − + ∂

(F.78)

2

S N 1 N

2 S 2 2

t t I 2t1I 2t 3 I I

σ

σ σ σ

∂= − + ∂

(F.79)

( )S NN 1

2 S 2

t t 6t II 6t I σ

σ σ

∂= −

∂ (F.80)

c) obtenção de S

3

tI σ

∂∂

2

1 2 3 3S

3 3 2

I I I 9ItI I I

σ σ σ σ

σ σ σ

−∂ ∂ = ∂ ∂

(F.81)

169

( )2S1 2 3 32

3 2 31 2 3 3

t 1 1 I I I 9II I I2 I I I 9I

σ σ σ σσ σ σσ σ σ σ

∂ ∂= −

∂ ∂− (F.82)

( )S 21 2 32 2

3 2 1 2 3 3

t I1 I I 18II I 2 I I I 9I

σσ σ σ

σ σ σ σ σ σ

∂= −

∂ − (F.83)

( )S1 2 32

3 S 2

t 1 I I 18II 2t I σ σ σ

σ σ

∂= −

∂ (F.84)

S 3 21 22

3 S 2 2

t 18I I1 I II 2t I I

σ σσ σ

σ σ σ

∂= − ∂

(F.85)

( )S1 N

3 S 2

t 1 I 6tI 2t I σ

σ σ

∂= −

∂ (F.86)

Portanto, a Equação (F.69) torna-se

( ) [ ] ( ) [ ]N N 1 1 NS N2

S S 2 S 2

t 6t I I 6tt t 1 tr( )1 tr( ) I 16t 6t I 2t I

σ σσ

σ σ

− −∂= + σ − σ + σσ − σ σ +

∂σ % % %% % % % % %%

(F.87)

F.8 - DETERMINAÇÃO DE NC

Ft∂

∂

a) para 1α =

N S

NC NC NC N

t tF 1lnt t t t

∂ ∂= + ∂ ∂ µ

(F.88)

NC NC

F 1t t∂

= −∂

(F.89)

b para 1α ≠

N S

NC NC NC N


∂ ∂ α α −= + + ∂ ∂ α − µ

(F.90)

NC NC

F 1t t∂

= −∂

(F.91)

Portanto,

170

NC NC

F 1t t∂ −

=∂

∀α ∈R (F.92)

F.9 - DETERMINAÇÃO DE Ft

∂∂%

Utilizando-se a regra da cadeia, Ft

∂∂%

pode ser determinado por

N S

N S

t tF F Ft t t t t

∂ ∂∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂% % %

(F.93)

F.10 - DETERMINAÇÃO DE F∂∂σ

%

Utilizando-se a regra da cadeia, F∂∂σ

% pode ser determinado por

N S

N S

t tF F Ft t

∂ ∂∂ ∂ ∂= +

∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ% % %

(F.94)

F.11 - RESUMO DAS DERIVADAS

Para facilitar a implementação computacional, reúnem-se as derivadas determinadas acima na

Tabela E.1. Nesta tabela, as equações estão organizadas pela ordem de utilização.

171

Tabela F.1 - Derivadas para o modelo Tij-Clay.

Equação Número

N S2

N N S N

t tFt t ( 1)t t

µ −∂=

∂ µ + α − (F.10)

S N S

Ft t ( 1)t

∂ α=

∂ µ + α − (F.16)

Nt at

∂=

∂ %%

(F.20)

S D

S

t tt t

∂=

∂%

% (F.40)

[ ] [ ]N N2

2 2

t t3 tr( ) I 1 tr( )1I Iσ

σ σ

∂= σσ − σ σ + − σ − σ

∂σ % %% % % % % %%

(F.67)

( ) [ ] ( ) [ ]N N 1 1 NS N2

S S 2 S 2

t 6t I I 6tt t 1 tr( )1 tr( ) I 16t 6t I 2t I

σ σσ

σ σ

− −∂= + σ − σ + σσ − σ σ +

∂σ % % %% % % % % %%

(F.87)

N S

N S

t tF F Ft t t t t

∂ ∂∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂% % %

(F.93)

N S

N S

t tF F Ft t

∂ ∂∂ ∂ ∂= +

∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ% % %

(F.94)

NC NC

F 1t t∂ −

=∂

(F.92)

Documents

Modelos Elastoplásticos para Solos Argilosos: Capacidade ... · modelo, chamado Tij-Clay, é baseado no conceito do Plano Espacialmente Mobilizado (SMP) e na definição de um novo