QUANTIZAÇÃOQUANTIZAÇÃO

1. INTRODUÇÃO. N O UÇ O

• No final do século XIX acreditava-se, em geral, que todos os fenômenos naturais poderiam ser descritos mediante:

Leis de Newton,Leis da Termodinâmica, eLeis do Eletromagnetismo.

• Século XX: A Mecânica clássica passava a ser substituída pela mecânica l i í i d l id d d í l ó i l id d d lrelativística, quando a velocidade da partícula era próxima a velocidade da luz.

• As leis clássicas não se aplicavam a sistemas microscópicos como partículas no interior do átomo => Só podem ser descritos em termos da teoria quântica.

2. A ORIGEM DA CONSTANTE DE QUANTIZAÇÃO: A RADIAÇÃO DO CORPO QU N Ç O: Ç O O CO O

NEGROFenômeno intrigante no final do século XIX: A distribuição espectral da radiação d ( i t id l b t d di ã i id t b l )do corpo negro (sistema ideal que absorve toda radiação incidente sobre ele):Seja:λ – Comprimento de onda,T – Temperatura em ºKT – Temperatura em K,K – Constante de Boltzmann,f(λ, T) – Distribuição espectral,KT – Energia média por onda.g p

Pela física clássica (Lei de Rayleigh-Jeans):

48)( −λλ KTTf

Quando λ → 0, então, f(λ,T) → ∞ => o que caracteriza a Catástrofe do Ultravioleta(Furo)

48),( = λπλ KTTf

(Furo)

Lei de Planck (empírica e de Max Planck)Lei de Planck (empírica e de Max Planck)

18),(

5

−=

−

KThcehcTf λ

λπλ

onde: h – Constante de ajustamento.

1−e

h Constante de ajustamento.

Pode-se verificar que:Para λ grande: então:

hce KThc λ +≈ 1 45

88),( −−

=→ λπλπλ KThcTfPara λ grande: então:

Para λ → 0: então:

KTe

λ+≈ 1 ),(

λKThcf

1>>KThce λ 08),( 5 →→ −− KThcehcTf λλπλ

Logo, (após alguma manipulação matemática) pode-se concluir que:

h = 6 626x10-34 J s = 4 13x10-15 eVs (Constante de Planck)h 6,626x10 J.s 4,13x10 eV.s (Constante de Planck)

Aspecto Físico:p

• Modificação do cálculo da energia média por onda (KT),• Considerou a emissão e absorção da radiação representada por um conjunto de

il d d d f üê iosciladores de todas as freqüências,• No equilíbrio, energia média de um oscilador com freqüência f estaria associada a

energia média de radiação eletromagnética nessa freqüência,• No caso de um oscilador unidimensional, a energia E = KT,No caso de um oscilador unidimensional, a energia E KT,• Planck admitiu que a energia de um oscilador fosse discreta (quantizada) =>

En=nhf onde: (f = c/λ e n é um número inteiro).

Planck chegou a conclusão que a energia média era:

em vez de KT1−

= KThcmed ehcE λ

λ

(Esta idéia não foi apreciada até Einstein usá-la para explicar o efeito foto-elétrico). 1−e

3. QUANTIZAÇÃO DA RADIAÇÃO ELETROMAGNÉTICA FÓTONSELETROMAGNÉTICA: FÓTONS

Experimento: Resultados:

• A luz incidindo sobre uma substância fotoelétrica arranca um elétron do cátodo da sua placa metálica que sai em direção ao ânodo e, somente, aqueles elétrons com

2uma energia cinética (mv2/2) maior que a energia potencial entre as placas (eV) chegarão ao ânodo.

• Para atingir o equilíbrio (corrente I = 0): aumenta-se a ddp (V) até que: (mv2/2)max = eVeVo

(Surpreendente: Experimento mostrou que Vo independe da intensidade da luz => Aumento d i l i i id i i é i d lé dda energia luminosa incidente não aumenta energia cinética dos elétrons que saem do cátodo.)

Explicação (Einstein):• Energia luminosa não é distribuída no espaço, mas quantizada em pequenos pacotes

chamados fótons,• O elétron emitido do cátodo recebe energia de um único fóton (independentemente se

aumentar a intensidade da luz),Q d t i t id d d l ( t f üê i ) t• Quando se aumenta a intensidade da luz (para uma certa freqüência), aumenta-se o número de fótons incidentes por unidade de tempo.

• Equação de Einstein para o efeito fotoelétrico:

2

onde:

φ−==

hfeVmv

omax

2

2

h – Constante de Planck ,f – Freqüência da radiação,

– Função trabalho (é uma característica do material e é a energia necessária para remover um elétron da superfície).

• Experiência de Millikan – 1914 (prova da equação de Einstein)Experiência de Millikan 1914 (prova da equação de Einstein)

Experimentos mostraram que:

h φ

coef angular

ef

ehVo

φ−=

coef. angular

• Relação entre o limiar da freqüência fl e o comprimento de onda correspondente λl:

lhchfφ ==

(Fótons com freqüência menor que fl não tem energia para arrancar elétrons da superfície do metal).

llf

λφ

p )

• Unidades:

El t lt– Eletron-voltλ – Nanometroshc = 1,24x10-6 eV.m = 1240 eV.nm

• Exemplo: Dados do potássio: λl = 564nm (limiar do comprimento de onda). Pede-se:

a) Função trabalho:a) Função trabalho:

b) Energia de um fóton incidente de uma radiação de λ = 400nm

eVhchfl

l 20,2564

1240====

λφ

b) Energia de um fóton incidente de uma radiação de λ = 400nm

c) Energia cinética máxima:

eVhcE 10,3400

1240===

λc) Energia cinética máxima:

d) Potencial frenador:

eVhfmv 90,020,210,32 max

2

=−=−=

φ

d) Potencial frenador:

VVoeVeVo 90,090,0 =⇒=

• Outra evidência dos fótons: Arthur Compton mediu o espalhamento de raios XOutra evidência dos fótons: Arthur Compton mediu o espalhamento de raios X pelos elétrons livres. Temos que:

- Teoria clássica: E = p.c (E-energia e p-momento onda eletromagnética)p ( g p g )-Teoria relativística: E² = p²c² + (mc²)²

massa do fóton = 0

(neste caso, ambas equações geram o mesmo resultado para energia.)Na colisão de um fóton com um elétron, temos,pela conservação do momento:

antes depoiseppp += 21

antes depois

ou:

2122

21

2 .2 pppppe −+= 2121 pppppe

Pela conservação da energia:Pela conservação da energia:

antes depois

( ) cpcpmcmccp e 222222

1 ++=+

Resultado: ( ) )cos1(cos112 θλθλλ −=−=− cmch

onde: - Comprimento de onda de Compton

Só depende da massa do elétron

pmmchc 43,2==λ

4. QUANTIZAÇÃO DAS ENERGIAS ATÔMICAS: O MODELO DE BOHRMODELO DE BOHR

• Emissão de luz por átomos num gás excitado por descarga elétrica (elétrons vão d i i l d i d λ)para camadas mais externas e no retorno emitem luz com determinado λ) =>

observada por um espectroscópio com uma fenda estreita na entrada => aparecia como conjunto discreto de raias de cores (diferentes λ).

• Característica do elemento: espaçamento e intensidade das raias de cores• Característica do elemento: espaçamento e intensidade das raias de cores.• É possível medir o comprimento de onda, λ, com precisão.• Equação de Johan Balmer (1884): Para raias do espectro de hidrogênio, temos:

m = 3, 4, 5...

• Equação de Rydberg Ritz:

( )nmm

m4

9,364 2

2

−=λ

• Equação de Rydberg-Ritz:

mnR >

−= ,111

22λ nm 22λ

• Constante de Rydberg: tem o mesmo valor para todas as séries de um mesmoConstante de Rydberg: tem o mesmo valor para todas as séries de um mesmo componente e varia de elemento para elemento. Para o espectro do hidrogênio: R = 10,96776µm-1.

PROBLEMA: Construir um modelo de átomo que levasse a estas fórmulas para o espectro de radiação.

J.J. Thompson (1911): Elétrons contidos numa espécie de fluído que continha maior parte da massa do átomo e carga positiva suficiente para fazer o átomo neutro. Buscou configurações estáveis com vibrações de freqüências iguais ao dos espectros dos átomosespectros dos átomos.Dificuldade: impossível de se ter equilíbrio de forças estáveis exclusivamente pela ação de forças elétricas.

Niehls Bohr: Propôs modelo que combinava com o trabalho de Planck (radiação do corpo negro), de Einstein (dependência da temperatura com a capacidade calorífica) e Rutheford (experiência com espalhamento das partículas alfa) e previa com êxito

b dos espectros observados.

Modelo de Bohr: Como o sistema de solar.Modelo de Bohr: Como o sistema de solar.

Estabilidade Mecânica: Órbita dos elétrons: elíptica ou circulares.Órbita dos elétrons: elíptica ou circulares.Força (centrípeta) de atração: força de Coulomb.

Problema: Elétron estaria acelerado ao se deslocar sobre a órbita circularProblema: Elétron estaria acelerado ao se deslocar sobre a órbita circular irradiaria energia eletromagnética com freqüência igual a de seu movimento.

1º Postulado de Bohr: Elétron pode se mover em certas órbitas sem irradiar p(órbitas estáveis chamados estados estacionários). O átomo só irradia quando o elétron faz uma transição de um estado estacionário para o outro.

2º Postulado de Bohr: A freqüência de radiação emitida não é a freqüência do movimento em órbitas estáveis, mas está relacionada a energia das órbitas por :, g p

hWW

f fi −=

Onde : f : Frequência h : Constante de Planckh : Constante de PlanckWi e Wf : Energia total nas órbitas inicial e final (Conservação de energia do fóton)

Equação para o Momento AngularEquação para o Momento Angular

Seja : +Ze Carga Nuclear-e Carga do elétrone Carga do elétron

A energia potencial a uma distância r será dada por :

ondeZeKU2

K 1onder

KU −= oK

πε4=

A energia total do elétron movendo-se em uma órbita circular com velocidade v será dada por :dada por :

No caso a força coulombiana é igual a força centrípeta :r

ZeKmvUmvW2

22

21

21

−=+=

No caso , a força coulombiana é igual a força centrípeta :

rZeKmv

rvm

rZeK

22

2

2

2

21

21

=⇒=−

Então :

21.

2

rZeKW −=

Logo: 2r

=

−=

2 111 KZeWWf fi

Para que esta equação apresente os mesmos resultados das equações de Balmer eRitz os raios das órbitas (r) devem ser múltiplos de números inteiros

−== 122 rrhhf

raios das órbitas (r) devem ser múltiplos de números inteiros

3º Postulado de Bohr: Quantização do momento angular

nhnhmvr ==π2

logo :

mrKZe

rmhnv

rZeKmv

2

22

222

22

21

21

==⇒=

ou: onde Zr

nmKZe

hnr o22

22

== nmmKe

hro 0529,02 ≈=

logo o primeiro raio de Bohr é dado por :

logo:

=422 11eZmKf

−=12

34 nnhf

π

Então a constante de Rydberg será dada por: 4221 eZmK

Os valores possíveis para o átomo de hidrogênio previsto pelo modelo de Bohr são:

341

heZmK

cR

π=

24221 EZmeKKZe

onde:(energia da primeira órbita)

.22

2221

hidro W

nE

ZnZ

hmeK

rKZeW =−=−=−=

eVh

meKEo 6,132 2

42

≈= ( g p )ho 2 2

Correção para o movimento do núcleo:=>Suposição anterior : núcleo do átomo estava estacionário => No átomo do hidrogênio:

massa do núcleo ≈ 2000 x massa do elétron => Energia cinética total = energia cinética do núcleo + energia cinética do elétron

2222 ppmMppE =+

=+=

Onde :M - massa do núcleo

µ2222 mMmMEK ==+=

m - massa do elétron p - momento (conservação momento : p <núcleo> + p<elétron> = 0)µ - massa reduzida (usada no lugar de m no cálculo de f e a constante de Rydberg)µ ( g y g)

Mmm

mMMm

+=

+=

1µ

Exemplo: Calcular a energia e o comprimento de onda da raia de maior comprimento de onda na série de Lyman.

Estado fundamental: W = - 13,6eV

Temos que: (escolha nível de energia) WhWcf ∆⇒↓⇔↑

∆== λ

λ

Logo: W2-W1= -3,4-(-13,6) = 10,2eV (energia fóton emitido)

nmeV

nmeVW

hc 6,1212,10

.1240==

∆=λ

5. O ELÉTRON ONDULATÓRIO

Vimos que a luz possui características ondulatórias e corpusculares (fótons).

L. De Broglie (1924) sugeriu que matéria (elétron) possuam características corpusculares e ondulatórias (novidade).

Relações de de Broglie:

E he

f -freqüência

hEf =

ph

=λ

λ -comprimento de ondaP -momentoE -energia do elétron

Já vimos que tais equações são válidas para os fótons.

De Broglie apontava que: C di ã â ti d B h C di ã d d t i á iCondição quântica de Bohr = Condição de onda estacionária

Temos que :

λλ hcmc

mchc

Ehc

=⇒== 2

daí :

hhh λ=>

⇒ Numa órbita circular está contido um número inteiro de ondas eletrônicasE li d di d i ( bi l) d d i á i

πλπ 22hnrhhnmvr =⇒= crn == πλ 2

⇒ Explica estados discretos de energia(orbital) em termos de ondas estacionárias⇒ Energia associada a freqüência de uma onda estacionária => existência de energia

quantizada

Schrodinguer (1925):*Descobriu equação de onda para ondas eletrônicas*Proporcionou um método geral de encontrar a quantização de um sistema (mecânica ondulatória)

Exemplo: Calcular o comprimento de onda de de Broglie de uma partícula de massa m = 10-6 g e v = 10-6 m/s

Solução :

msmKg

sJmvh

ph 19

69

34

10.63,6)/10)(10(

.10.63,6 −−−

−

====λ

*Não se pode observar os fenômenos de interferência ou difração das ondas do elétron do átomo (muito menor que qualquer abertura possível ≈ 10-15)

Elétrons de baixa energia (acelerado por uma ddp V):2

Então:

meVh

mEh

pheV

mpE

222

2

===⇒== λ

2261Então:

Exemplo: Calcular o comprimento de onda de Broglie de um elétron com energia

V226,1

=λ

Exemplo: Calcular o comprimento de onda de Broglie de um elétron com energia E = 13,6eV (=> V = 13,6V)

Solução:Solução: nm332,0

6,13226,1

==λ

6. DUALIDADE ONDA PARTÍCULA

• O efeito Compton e efeito foto-elétrico => Luz atua como partícula

• De Broglie mostrou que o elétron apresenta propriedades ondulatórias como interferência e difração

• Coisa alguma podia ser , ao mesmo tempo , uma partícula clássica ou uma onda clássica até o século XX

• Existem certas circunstâncias que ambas levam ao mesmo resultado

7. O PRINCÍPIO DA INCERTEZA

Em virtude da dualidade onda-partícula é impossível , em princípio , medir posição e velocidade de uma partícula com exatidão infinita (Werner Heisenberg - 1927)

hpx21. ≥∆∆

∆x -incerteza da posição ∆p -incerteza do momento

A igualdade só vale se ∆x e ∆p tiverem uma distribuição normal (gaussiana) e se as experiências forem ideais.

Para se ver um objeto é preciso iluminá-lo => a radiação eletromagnética é portadora de momento => ela produz modificação do momento de uma partícula e desvio dade momento => ela produz modificação do momento de uma partícula e desvio da radiação =>

*Incerteza no momento será grande se λ for pequeno*Incerteza no momento será pequena se λ for grandece e o o e o se peque se o g de

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