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Estatística
Noção FiabilidadeNoção Fiabilidade
FIABILIDADEFIABILIDADE
� Aquele em que podemos confiar;
Esta caraterística desejável para um sistema pode serdefinido, como :
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� Está livre de erros catastróficos ;
� Os resultados são previsíveis
� è um sistema robusto
FIABILIDADEFIABILIDADE
� Determinismo de eventos;
Para sistemas em tempo real, a fiabilidade pode ser :
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� Determinismo temporal;
� Carga temporal “razoável”;
� Carga de memória “razoável”
FIABILIDADEFIABILIDADE
Define-se fiabilidade como sendo a probabilidade de umsistema (ou componente) desempenhar a função para aqual foi concebido, nas condições previstas e nosintervalos de tempo em que tal é exigido.
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A fiabilidade de um componente pode ser obtida a partir da sua taxa de avarias.
FIABILIDADEFIABILIDADE
Como o estudo da fiabilidade é extremamenteimportante, pois por vezes envolve vidas humanas, énecessário um estudo de probabilidade relativo aofuncionamento adequado de um sistema oucomponente.
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componente.
FIABILIDADEFIABILIDADE
f(t) – função densidade de probabilidades de avarias
F(t) – função de probabilidade acumulada de avarias
R(t) – função de fiabilidade
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A fiabilidade é a função complementar de F(t)
R(t) + F(t) = 1
f(t)
0 t
FIABILIDADEFIABILIDADE
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F(t)
0 t
R(t)
0 t
Fiabilidade e Qualidade
A qualidade de conformidade corresponde àsatisfação de especificações após fabrico (t=0) efiabilidade à capacidade para mantê-la durante avida:
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vida:
- Não há boa fiabilidade sem qualidade inicial;
- A fiabilidade é uma extensão da qualidade no tempo.
Padrões de distribuiçãoEstatística das falhas
FIABILIDADEFIABILIDADE
1. Distribuição normalA distribuição das falhas é centrada emtorno do valormédio.
2. Distribuição exponencial
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A taxa de falhas é constante e as falhas surgemsegundo omodelo de Poisson.
R(t) = e ^ (- λt)
3. Modelo de WeibullA taxa de falhas assume valores variáveis ao longo da vidado elemento.
Função normalFunção normal
A sua função densidade:
A função fiabilidade:
( ) ( ) ∞<<∞−
−−= tt
2
1exp
2
1tf
2
2
σµ
πσ
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A função fiabilidade:
( ) ( )∫∞
−−=t
2
2
dtt
t
2
1exp
2
1tR
µπσ
Função normal
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Resolução do IntegralComeçamos por fazer a seguinte transformação
A função densidade de z fica:σ
µ−= Tz
Função normal
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E a função distribuição acumulada fica:
( ) 2
Z2
e2
1z
−=
πφ
( ) ( )∫∞−
=z
'dz'zz φΦ
A partir daqui, temos uma tabela estatística que nos dá ovalor da função distribuição acumulada, só temos desaber normalizar a nossa v. a.
( ) { }
−=
−≤=
−≤−=≤=
σµΦ
σµ
σµ
σµ
γγγtt
zPtT
PtTPtF
Função normal
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A fiabilidade fica:
( ) { }
=
≤=
≤=≤=
σΦ
σσσ γγγ zPPtTPtF
( )
−−=σ
µΦ t1tR
Exercício:Um equipamento industrial, tem as suas avarias, com umcomportamento aproximado á distribuição normal, com um desviopadrão de 14 horas e uma média de 120h. Sabendo que oequipamento trabalha 12 horas por dia. Quantos dias trabalharápara uma fiabilidade de 95%.Solução:
{ } 95.0=≥ donormalizantTP
Função normal
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Usando a tabela da normal:
{ }95,0
14
1201
14
120
95.0
95,095,0
95,0
=
−Φ−=
−
≥
=≥
TttP
donormalizantTP
r
r
dias8~h97,96T645,114
120T95,0
95,0 −=⇔−=
−
Função Exponencial
Taxa de falha constante:com t ≥ 0 e λ > 0
A fiabilidade será:
λλ(t) =
tt
edtttR λλ −∫ =−=0
))(exp()(
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0
E a função distribuição acumulada:
A Função densidade:
tetF λ−−=1)(
tedt
)t(dR)t(f λλ −=−=
Função Exponencial
Função exponencial
60
80
100
f(T)
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0
20
40
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
Tempo
f(T)
Função Exponencial
A Função exponencial é uma das distribuições da fiabilidade maisimportantes: é simples e pode ser aplicada em muitos casos.
É dominante no período de vida útil ou de uso do equipamento.
É uma das funções mais simples para análise estatística. CFR(Constant Failure Rate). Quanto maior o MTBF, maior é a dispersão.
i. é, a probabilidade de chegar ao tempo 368.0ee)MTTF(R 1
1
=== −
−λ
λ
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i. é, a probabilidade de chegar ao tempo
de MTBF e de quase 1/3 ou ≤ 50%
A fiabilidade de 50% terá um tmed:
368.0ee)MTTF(R 1 === −λ
MTTF693.069315.0
5.0ln1
tmed ==−=λλ
Função Exponencial
Exercício :Calcule os vários parâmetros da fiabilidade dotransmissor de ondas que exibe a seguinte taxa deavarias: λ(t)=0.0003 avaria/hora
Calcule a Fiabilidade para um tempo de funcionamentocorrespondente a 30 dias em trabalho contínuo.
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correspondente a 30 dias em trabalho contínuo.
Calcule o tempo de vida para uma Fiabilidade de 95%.
Função de Weibull
A sua taxa de avaria é caracterizada por: λ(t) = at b,em que a e b podem tomar os valores:
para λ(t) crescente: a>0 e b>0;para λ(t) decrescente: a>0 e b<0.
Por conveniência matemática escreve-se da seguinte forma:
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forma:
com θ>0, β>0 e t≥0
1t
)t(−
=β
θθβλ
β – Parâmetro ou fator de formaθ- Parâmetro ou fator de escala
Função de Weibull
A fiabilidade será:
E a função densidade:
ββ
θθθβ
−
−
=∫
=
−tdt
t
ee)t(R
t
0
1
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E a função densidade:
β
θβ
θθβ
−−
=t1
et
)t(f
Função de Weibull
Variação do fator de forma
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Função de Weibull
Variação do fator de escala
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FIABILIDADE
Equipamentos em série
R1 R2
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λt = λ1 + λ2 + λn
R(t) = R1(t) x R2(t) ... x Rn(t)
FIABILIDADE
Equipamentos em paralelo (redundante)
R1
R2
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F(t) = F1(t) x F2(t) ... x Fn(t)
1- R(t) = (1- R1(t)) x (1- R2(t)) ... x (1-Rn(t))
FIABILIDADE
Exercício 1:Calcule a fiabilidade do seguinte sistema:
0,416
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0,416
Solução: R3(t) = 0.66
FIABILIDADE
Exercício 2:Calcule a fiabilidade do seguinte sistema:
0,95
0,90
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0,80
0,80
0,85
0,85
0,85
0,95
0,85
Solução: R3(t) = 0.98
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FIM